Valor Absoluto

1

VALOR ABSOLUTO ¿Qué tienen en común los números –2 y +2?

Es obvio que son distintos, pero acaso ¿no están ambos a la misma distancia de 0?

En pocas palabras, –2 está a la misma distancia a la izquierda de 0, que +2 a la derecha de 0.

Ejemplos: |7| = 7 |–3| = –(–3) = 3 2 3 2 3

3 π  π 3

Propiedades: P1.

x2  x ; x 

P2. x  0 ; x 

El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia del punto a al origen.

P3. x2  x

"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2 unidades de cero.

Así que el valor absoluto de 2 es 2, y el valor absoluto de -2 también es 2

P6.

Esto es:

2

 x2 ; x 

P4. x   x ; x  P5. x.y  x . y ; x, y  x x  ; x, y  y y

 y  0

ECUACIONES CON VALOR |–2| = 2 ; |2| = 2

Para cada número real “x”, la interpretación de |x| es la distancia (sin importar la dirección) a la que se encuentra x del origen.

Definición

ABSOLUTO: Si a  0  x  a  x  a  x  a

Ejemplos: |x| = 2  x = 2  x = –2 |x - 3| = 5  x - 3 = 5  x - 3 = –5  x = 8  x = –2

Si: x  R

 x ; si x  0 x     x ; si x  0

Profesor: Javier Trigoso T.

Razonamiento Matemático

2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

11.

12.

13.

14.

15.

|3x – 5| < 7 |4x – 3| > 5 |x2 – 9|  7 |2x – 7|  –2 |2x  4 |  | 5x  10 | 14

16.

3x 

17.

18.

19.

|x2 – 6x + 8|  4 – x |4 – x| > |2 + 3x| |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7| 2  | x  4 |  5  2  | x  5x  6|  2

6.

7.

8.

9.

10.

|5 – x| = 7 |x – 1| = 3 | x  3| 2 |2x  6| 4 |3x  6|  | 5x  10 | 16

1 2 x 1 |x2| – |x| – 42 = 0 |x2 + x – 12| = 3 – x |2x + 3| = |x – 1| ||x – 5| + 3| = 2

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

20.

1 1  2x   5 2 3

Propiedades Auxiliares: P1. Si x  y   x  y   x  y   0

Propiedades :

P2. Si x  y   x  y   x  y   0

P1. Si x  a  a  0  a  x  a P2. Si x  a  x  a  x  a

… PARA LA CASA Resuelve el siguiente grupo de ecuaciones e inecuaciones:

03. |2x – 3| = 7 A. {2, 5} C. {2, –5}

B. {–2, –5} D. {–2, 5}

01. |3x – 4| = 0 A. 0 C. 4/3

B. 3/4 D. 1

02. |4 – x| = 3 A. {1, 7} C. {–1, 7}

04. |3x – 2| = 1 A. {1/3, 1} C. {–1/3, 1}

B. {–1, 1/3} D. {–1, –1/3}

B. {–1, –7} D. {1, –7}

05. |x – 3| < 1 A. x  ]–, 2[

B. x  [2, 4]

Profesor: Javier Trigoso T.

Razonamiento Matemático

3 C. x  ]2, 4[

D. x  ]4, +[

06. |3x – 6| < 9 A. x  ]1, 5[ C. x  ]–5, 1[

B. x  [1, 5] D. x  ]–1, 5[

07. |x – 4|  1 A. x  ]3, 5[ B. x  ]–, 3]  [5, +[ C. x  ]3, 5] D. x  ]–, 3[  [5, +[ 08. |x + 2|  3 A. [–5, 1[ C. ]0, 5] 09. |1 – 5x| < 1 A. [0, 2/5] C. ]0, 5[ 10.

16. |2x + 6| = 2x + 6 A. [–3, +[ B. [3, +[ C. [2, +[ D. [–2, +[ 17. |2x + 1| = |x| A. {–1} B. {1, 1/2} C. {–1/3} D. {–1, –1/3}

B. [–5, 1] D. [1, 5]

18. |2x + 4| = |x – 10| A. {–2} B. {–14, 2} C. {–14} D. {–14, –2}

B. [0, 1] D. [0, 1[

19. |3x + 4| > 2x + 10 A. [–6, +[ B. ]–, –14/5[ C. [6, +[ D. [–14/5, +[

1 0 | x  3|

A. R C. R – {3}

15. |2x + 6|  –4 A. { } B. R– C. R D. R+

B. R – {0} D. [–3, 3]

11. |3x + 4|  3x + 8 A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[ C. [2, +[ D. R 12. |x + 6|  10x A. [–2/3, +[ B. [–11/6, +[ C. [6/11, +[ D. [2/3, +[ 13. |2x + 3| < x + 1 A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [ C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[ 14. |2x + 6|  2x + 1 A. R B. R– C. { } D. R+

Profesor: Javier Trigoso T.

20.

Si : |x2 + 4| + 3  x2 + 1 + |x – 5|, el menor valor positivo que satisface la inecuación es : A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 21.

Si: |x – 4|2 – 5|x – 4| + 6 = 0, halla la suma de los posibles valores de “x” que satisface la ecuación.

A. 13 B. 16 C. 11 D. 5 22.

Si: |x – 2| + x2 = 4, halla la suma de los posibles valores de “x” que satisface la ecuación.

A. 2 B. –2 C. –1 D. 1 23.

Las soluciones de la ecuación : |18 – 3x – x2| = 3 – x son: A. –5 y 3 B. –5, –7 y 3 Razonamiento Matemático

4 C. –7 y –5

D. –5, –6 y 3

24.

La solución de la inecuación : |x + 2 – x2|  |x2 – 3x + 4|, es: A. 1  x  3 B. – < x  1 C. –3  x   D. –  x  3 25.

Resolver : 1 1 1 3x   2x   x  1 2 3 6

A. {1, –1} C. {–1, 1} 26.

B. {0, 1/3} D. {–1/3, 0}

Resolver la ecuación mostrada :

1 17  x 1  4 4 4 e indica la suma de sus raíces.

A. 3 B. –1 C. 2 D. 0 x 1 

27.

Resuelve la ecuación : 1

3 3 5 5  1  2  x x x x

28.

Después de resolver la inecuación : x 1 x 1 3x  1 3    2,5 2 4 3

indica la suma de los valores enteros que admite “x”.

A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 29.

Luego de resolver la inecuación:

x 6 1 1   2 x 2 x 3 x  5 x  6 indica un intervalo solución : A. ]–3, 0[ B. ]2, 3[ C. ]–3, 3[ D. ]–2, 0[ 30.

Resolver : 3 |x – 7x + 6|  19x – x3 – 18, es: A. ]–, –3[  ]–3, 1] B. ]–3, 1]  [3, +[ C. ]–, 1]  [3, +[ D. ]–, –1]  [1, +[

e indica la menor solución : A. 4 B. –4 C. 1 D. –1

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Profesor: Javier Trigoso T.

Razonamiento Matemático