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VALOR ABSOLUTO ¿Qué tienen en común los números –2 y +2? Es obvio que son distintos, pero acaso ¿no están ambos a la misma distancia de 0? En pocas palabras, –2 está a la misma distancia a la izquierda de 0, que +2 a la derecha de 0.
Ejemplos: |7| = 7 |–3| = –(–3) = 3 2 3 2 3
3 π π 3
Propiedades: P1.
x2 x ; x
P2. x 0 ; x
El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia del punto a al origen.
P3. x2 x
"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2 unidades de cero. Así que el valor absoluto de 2 es 2, y el valor absoluto de -2 también es 2
P6.
Esto es:
2
x2 ; x
P4. x x ; x P5. x.y x . y ; x, y x x ; x, y y y
y 0
ECUACIONES CON VALOR |–2| = 2 ; |2| = 2
Para cada número real “x”, la interpretación de |x| es la distancia (sin importar la dirección) a la que se encuentra x del origen.
Definición
ABSOLUTO: Si a 0 x a x a x a
Ejemplos: |x| = 2 x = 2 x = –2 |x - 3| = 5 x - 3 = 5 x - 3 = –5 x = 8 x = –2
Si: x R
x ; si x 0 x x ; si x 0
Profesor: Javier Trigoso T.
Razonamiento Matemático
2 Resuelve las siguientes ecuaciones:
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1. 2. 3. 4. 5.
11. 12. 13. 14. 15.
|3x – 5| < 7 |4x – 3| > 5 |x2 – 9| 7 |2x – 7| –2 |2x 4 | | 5x 10 | 14
16.
3x
17. 18. 19.
|x2 – 6x + 8| 4 – x |4 – x| > |2 + 3x| |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7| 2 | x 4 | 5 2 | x 5x 6| 2
6. 7. 8. 9. 10.
|5 – x| = 7 |x – 1| = 3 | x 3| 2 |2x 6| 4 |3x 6| | 5x 10 | 16
1 2 x 1 |x2| – |x| – 42 = 0 |x2 + x – 12| = 3 – x |2x + 3| = |x – 1| ||x – 5| + 3| = 2
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:
20.
1 1 2x 5 2 3
Propiedades Auxiliares: P1. Si x y x y x y 0
Propiedades :
P2. Si x y x y x y 0
P1. Si x a a 0 a x a P2. Si x a x a x a
… PARA LA CASA Resuelve el siguiente grupo de ecuaciones e inecuaciones:
03. |2x – 3| = 7 A. {2, 5} C. {2, –5}
B. {–2, –5} D. {–2, 5}
01. |3x – 4| = 0 A. 0 C. 4/3
B. 3/4 D. 1
02. |4 – x| = 3 A. {1, 7} C. {–1, 7}
04. |3x – 2| = 1 A. {1/3, 1} C. {–1/3, 1}
B. {–1, 1/3} D. {–1, –1/3}
B. {–1, –7} D. {1, –7}
05. |x – 3| < 1 A. x ]–, 2[
B. x [2, 4]
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Razonamiento Matemático
3 C. x ]2, 4[
D. x ]4, +[
06. |3x – 6| < 9 A. x ]1, 5[ C. x ]–5, 1[
B. x [1, 5] D. x ]–1, 5[
07. |x – 4| 1 A. x ]3, 5[ B. x ]–, 3] [5, +[ C. x ]3, 5] D. x ]–, 3[ [5, +[ 08. |x + 2| 3 A. [–5, 1[ C. ]0, 5] 09. |1 – 5x| < 1 A. [0, 2/5] C. ]0, 5[ 10.
16. |2x + 6| = 2x + 6 A. [–3, +[ B. [3, +[ C. [2, +[ D. [–2, +[ 17. |2x + 1| = |x| A. {–1} B. {1, 1/2} C. {–1/3} D. {–1, –1/3}
B. [–5, 1] D. [1, 5]
18. |2x + 4| = |x – 10| A. {–2} B. {–14, 2} C. {–14} D. {–14, –2}
B. [0, 1] D. [0, 1[
19. |3x + 4| > 2x + 10 A. [–6, +[ B. ]–, –14/5[ C. [6, +[ D. [–14/5, +[
1 0 | x 3|
A. R C. R – {3}
15. |2x + 6| –4 A. { } B. R– C. R D. R+
B. R – {0} D. [–3, 3]
11. |3x + 4| 3x + 8 A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[ C. [2, +[ D. R 12. |x + 6| 10x A. [–2/3, +[ B. [–11/6, +[ C. [6/11, +[ D. [2/3, +[ 13. |2x + 3| < x + 1 A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [ C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[ 14. |2x + 6| 2x + 1 A. R B. R– C. { } D. R+
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20. Si : |x2 + 4| + 3 x2 + 1 + |x – 5|, el menor valor positivo que satisface la inecuación es : A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 21. Si: |x – 4|2 – 5|x – 4| + 6 = 0, halla la suma de los posibles valores de “x” que satisface la ecuación. A. 13 B. 16 C. 11 D. 5 22. Si: |x – 2| + x2 = 4, halla la suma de los posibles valores de “x” que satisface la ecuación. A. 2 B. –2 C. –1 D. 1 23. Las soluciones de la ecuación : |18 – 3x – x2| = 3 – x son: A. –5 y 3 B. –5, –7 y 3 Razonamiento Matemático
4 C. –7 y –5
D. –5, –6 y 3
24. La solución de la inecuación : |x + 2 – x2| |x2 – 3x + 4|, es: A. 1 x 3 B. – < x 1 C. –3 x D. – x 3 25.
Resolver : 1 1 1 3x 2x x 1 2 3 6
A. {1, –1} C. {–1, 1} 26.
B. {0, 1/3} D. {–1/3, 0}
Resolver la ecuación mostrada :
1 17 x 1 4 4 4 e indica la suma de sus raíces. A. 3 B. –1 C. 2 D. 0 x 1
27.
Resuelve la ecuación : 1
3 3 5 5 1 2 x x x x
28.
Después de resolver la inecuación : x 1 x 1 3x 1 3 2,5 2 4 3
indica la suma de los valores enteros que admite “x”. A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 29.
Luego de resolver la inecuación:
x 6 1 1 2 x 2 x 3 x 5 x 6 indica un intervalo solución : A. ]–3, 0[ B. ]2, 3[ C. ]–3, 3[ D. ]–2, 0[ 30. Resolver : 3 |x – 7x + 6| 19x – x3 – 18, es: A. ]–, –3[ ]–3, 1] B. ]–3, 1] [3, +[ C. ]–, 1] [3, +[ D. ]–, –1] [1, +[
e indica la menor solución : A. 4 B. –4 C. 1 D. –1
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