คณิตศาสตร์มหัศจรรย์

¡“§âπÀ“¡πμå‡ πàÀå¢Õߧ≥‘μ»“ μ√å°—π‡∂Õ–

º≈ß“π¢ÕߺŸâ‡¢’¬π πÿ°§‘¥§≥‘μ»“ μ√å The Joy of Mathematics

THE MAGIC OF MATHEMATICS ª√‘»π“‡π¬·¢Áß ¢Õß ·´¡ ≈Õ¬¥å ∂â“μ—¥°âÕπ‡π¬·¢Áߥ—ß¿“æ Õ¬“°∑√“∫«à“®–‰¥â‡π¬·¢Áß √Ÿª≈‘Ë¡°’Ë™‘Èπ

ª√‘¡“μ√·∑àß ’ˇÀ≈’ˬ¡≈«ßμ“ ¿“æπ’È¡’·∑àß¢π“¥ 2x1x1 Õ¬Ÿà°’Ë·∑àß

1

‘Ë߇ªìπ‰ª‰¡à‰¥â∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

ISBN 978-974-484-240-4

THE MAGIC OF MATHEMATICS

√“§“ 220 ∫“∑

Theoni Pappas

‡√“∑”„Àâ¥â“¬∫π°√–¥ÿ¡ Õ߇¡Á¥À≈ÿ¥ ®“°∑’ˬ÷¥°√–¥“…‰¥âÕ¬à“߉√ ‚¥¬Àâ“¡ ¥÷ߥ⓬À≈ÿ¥®“°°√–¥ÿ¡ Àâ“¡μ—¥¥â“·≈–Àâ“¡∑”°√–¥“…©’°¢“¥

1 3 4+4 = 1

7 9 16 + 16 = 1

√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¢Õ߉´‡ÕÕ√åæ‘π °’ æ◊Èπ∑’Ë “¡‡À≈’ˬ¡ ’¢“«®–≈¥≈߇√◊ËÕ¬ Ê ¡’≈‘¡‘μ‡¢â“ Ÿà 0 „π¢≥–∑’˧«“¡¬“« ‡ âπ√Õ∫√Ÿª‡¢â“ ŸàÕπ—πμå 37 27 64 + 64 = 1

Theoni Pappas

175 81 256 + 256 = 1

®“°ºŸÈ·ª≈ §”«Ë“ magic Õ“®∑”„Àȇ√“π÷°∂÷ßÕ¿‘π‘À“√ §«“¡μ◊Ëπ‡μÈπ ¡À—»®√√¬Ï ‡À¡◊Õπ „π‚≈°·ÀË ß ‡«∑¡πμ√Ï ¢ ÕßæË Õ ¡¥πÈ Õ ¬ ·Œ√’ æÕμ‡μÕ√Ï Õ— 𠇪’ Ë ¬ ¡¥È « ®‘πμπ“°“√§«“¡æ‘»«ß ‡√◊ÕË ß√“«∑’§Ë “¥‰¡Ë∂ß÷ ·≈–§«“¡ πÿ° π“π„π¥‘π·¥π ¡À—»®√√¬Ï·ÀËßπ—Èπ ·μË∂ȓ查∂÷ߧ≥‘μ»“ μ√Ï∫È“ß ‡√“√ŸÈ ÷°Õ¬Ë“߉√∫È“ß≈Ë– Ÿμ√π“π“ ª√–°“√ °“√§”π«≥Õ— π · πª√–À≈“¥ ·≈–∑’ Ë ”§— ≠ À≈“¬§πÕ“®‡∫◊ Ë Õ §≥‘μ»“ μ√χæ√“–‰¡Ë‡ÀÁπ«Ë“ ≈—° ”§—≠լ˓߉√„π™’«‘μ‡√“‡≈Õ“≥“®—°√≈÷°≈—∫·ÀË߇«∑¡πμ√Ï´ËÕπ‡√Èπ®“° “¬μ“¢Õß ç¡—°‡°‘≈é §π∏√√¡¥“‰ª‰¥È©—π„¥ ‚≈°¡À—»®√√¬Ï·ÀËߧ≥‘μ»“ μ√Ï°ÁÕ“®À≈ÿ¥æÈπ®“° “¬μ“¢Õߧπ∏√√¡¥“©—ππ—Èπ ¢≥–∑’Ë∫√√¥“æËÕ¡¥·¡Ë¡¥∑—ÈßÀ≈“¬°”≈—ß«ÿË𫓬°—∫°“√ª°ª‘¥‚≈° ·ÀËßμπ ·μ˧≥‘μ»“ μ√Ϭ‘π¥’μÈÕπ√—∫∑ÿ°§π∑’Ëæ√ÈÕ¡‡ª‘¥„®‡¢È“¡“ —¡º— ª“Ø‘À“√‘¬Ï·ÀËß¡—π Àπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’È®–∑”„Àȇ√“‡ÀÁπ§≥‘μ»“ μ√Ï∑’Ë∑”ÀπÈ“∑’ˇªÁπ‰¡È°«“¥ °“¬ ‘∑∏‘Ï„Àȧπ‡√“‚∫¬∫‘π À√◊Õ‡ªÁπ‡«∑«‘‡»… √Ë“¬„Àȇ√“ “¡“√∂ ◊ËÕ “√°—π ¢È“¡‚≈° ‡√“®–‰¥È‡ÀÁπ§≥‘μ»“ μ√Ï„π· μ¡ªÏ „π ‘Ëß°ËÕ √È“ß „π»‘≈ª– „π ‡Àμÿ°“√≥ÏμË“ß Ê √«¡∑—Èߧ≥‘μ»“ μ√Ï∑’ˇ°’ˬ«æ—π°—∫‡æ◊ËÕπ ‘Ëß¡’™’«‘μ∑—ÈßÀ≈“·≈–∑—π„¥π—Èπ ‡√“®–æ∫«Ë“§≥‘μ»“ μ√Ï·Ω߇√ÈπÕ¬ŸË·∑∫∑ÿ°·ßË¡ÿ¡¢Õß™’«‘μ լ˓ß∑’ˇ√“‰¡Ë‡§¬‡ÀÁπ¡“°ËÕπ ‡√“®–‰¥Èæ∫«Ë“®—°√«“≈¢Õߧ≥‘μ»“ μ√Ïπ—Èπ¡’‚≈°À≈“¬‚≈°∑’ËμË“ß ‡ªÁπÕ‘ √–μËÕ°—π ·μË∫“ߧ√—Èß°≈—∫‡°’ˬ«æ—π°—∫‚≈°·ÀËߧ«“¡‡ªÁπ®√‘߉¥ÈÕ¬Ë“ß ‰¡Ë§“¥Ω—π ‚≈°·ÀËߧ≥‘μ»“ μ√Ï·μË≈–„∫∑—ÈßπË“æ‘»«ß ∑È“∑“¬®‘πμπ“°“√ ·≈–Õ“®π”¡“„™Èß“π„π‚≈°¢Õ߇√“‰¥Èլ˓߉¡Ë√ŸÈ®∫

§≥‘μ»“ μ√Ϭ—߇ªÁπ¢ÿ¡∑√—æ¬Ï§«“¡§‘¥Õ—π∑√ߧ˓ „ÀÈπ—°ª√—™≠“ °«’ »‘≈ª‘π ∂“ªπ‘° ·≈–ºŸÈ§π®“°π“π“ “¢“Õ“™’扥ȧÈπÀ“·√ß∫—π¥“≈„® Õ“®°≈“¬¡“‡ªÁπ·π«§‘¥Õ—π∑√ßæ≈—ß„π°“√„™Èß“π ‡™Ëπ §Õ¡æ‘«‡μÕ√ÏÀ√◊Õ ∂“ª—μ¬°√√¡ Õ“®‡ªÁπ·À≈Ëß ÿπ∑√’¬√ „π«√√≥°√√¡ ∫∑‡æ≈ß ·≈–¿“æ »‘≈ªÏ À√◊ÕÕ“®À¬Õ°‡Õ‘π‡√“Õ¬Ë“ß πÿ° π“π„π√Ÿª¢Õ߇°¡À√◊Õª√‘»π“μË“ßÊ Àπ— ß ◊ Õ ‡≈Ë ¡ π’ È ‡ ªÁ π °È “ «·√°„ÀÈ ‡ √“‰¥È — ¡ º— °— ∫ ¡À— » ®√√¬Ï · ÀË ß §≥‘μ»“ μ√Ï °“√‡¥‘π∑“ߧ√—Èßπ’È À«—ß«Ë“®–‡ªÁπ°È“«§√—Èß ”§—≠„Àȧÿ≥‡Õ߉¥È —߇°μ‡ÀÁπª“Ø‘À“√‘¬Ï·ÀËߧ≥‘μ»“ μ√Ï„π™’«‘μ®√‘ßμËÕ‰ª‰¥Èլ˓߉¡Ë ‘Èπ ÿ¥ ¥√. °‘μμ‘°√ 𓧪√– ‘∑∏‘Ï ‚° ÿ¡ °√’∑Õß

®“°ºŸÈ‡¢’¬π §ÿ≥‰¡ËμÈÕß·°Èª—≠À“À√◊Õ‡ªÁππ—°§≥‘μ»“ μ√Ï°Á “¡“√∂§Èπæ∫§«“¡«‘‡»… ¢Õߧ≥‘μ»“ μ√ω¥È Àπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’ȉ¥È√«∫√«¡·π«§‘¥∑’Ë¡’·°Ëπ·∑ȇªÁπ§≥‘μ»“ μ√Ï Àπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’ȉ¡Ë„™Ëμ”√“ լ˓‰¥È§‘¥‡™’¬««Ë“Àπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’È®–™Ë«¬§ÿ≥ „ÀÈ°≈“¬‡ªÁπºŸÈ‡™’ˬ«™“≠∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï À√◊Õ¡’‡π◊ÈÕÀ“ “√–∑’ËÀπ—° ¡Õß §≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï The Magic of Mathematics ®–擧ÿ≥∑ËÕ߉ª „πÕ“≥“®—°√·ÀËߧ«“¡§‘¥ ◊∫‡ “–§ÈπÀ“¡πμÏ∑’˧≥‘μ»“ μ√ω¥È –°¥™’«‘μ ¢Õ߇√“‰«È ·≈–™Ë«¬„Àȧÿ≥¡ÕßÀ“·≈–¡Õ߇ÀÁπ§≥‘μ»“ μ√Ï„π∑’Ë∑’Ëμ—«§ÿ≥‡Õß Õ“®§“¥‰¡Ë∂÷ß À≈“¬§π¡Õߧ≥‘μ»“ μ√Ï«Ë“‡ªÁπÀ≈—° Ÿμ√∑’Ë쓬엫 ‰¡Ë¡’Õ–‰√πÕ° ‡Àπ◊Õ‰ª®“°§«“¡®√‘ß Õ¬Ë“ß‰√°Á¥’®‘μ¡πÿ…¬Ï‰¡Ë‡§¬À¬ÿ¥∑’Ë®– √√§Ï √È“ß ·π«§‘¥∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï·≈–‚≈°„À¡ËÕ—ππË“æ‘»«ß ·≈–‡™◊ËÕ¡·π«§‘¥μË“ß Ê ‡À≈Ë“π’È°—∫‚≈°¢Õ߇√“√“«°—∫‡ °¥È«¬§∑“«‘‡»… °“√∑’Ë«—μ∂ÿ®“°¡‘μ‘Àπ÷Ëß “¡“√∂À“¬‰ª„πÕ’°¡‘μÀ‘ π÷ßË °“√∑’√Ë –À«Ë“ß®ÿ¥ Õß®ÿ¥„¥ Ê ¡’®¥ÿ „À¡ËÕ¬Ÿ‡Ë ¡Õ ®”π«π¡’°“√¥”‡π‘π°“√ °“√·°È ¡°“√ °√“ø™Ë«¬„ÀȇÀÁπ¿“æ Õπ—πμÏ𔉪 ŸË §”μÕ∫¢Õߪ—≠À“ °“√ √È“ß Ÿμ√μË“ß Ê ∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë°≈Ë“«¡“π’È≈È«π¡’§«“¡ ¡À—»®√√¬ÏÕ¬ŸË„πμ—«‡Õß∑—Èß ‘Èπ ·π«§‘¥∑“ߧ≥‘μ»“ μ√χªÁπÕ≥Ÿ¢Õß®‘πμπ“°“√ ·π«§‘¥‡À≈Ë“π’È¡’ Õ¬ŸË„π‚≈°Õ◊ËπÕ—π«‘®‘μ√æ‘ ¥“√´÷Ëß ‘ËßμË“ß Ê ∂Ÿ°‡π√¡‘μ¢÷Èπ¡“¥È«¬μ√√°»“ μ√Ï ·≈–§«“¡§‘¥ √È“ß √√§Ï≈È«π Ê √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ·≈–√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë ¡∫Ÿ√≥Ï ·∫∫π—Èπ¡’Õ¬ŸË„π‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï ¢≥–∑’Ë‚≈°¢Õ߇√“¡’‡æ’¬ßμ—«·∑π¢Õß ‘Ëß μË“ß Ê ∑’ˇªÁπ§≥‘μ»“ μ√Ï

À—«¢ÈÕ·≈–‡π◊ÈÕÀ“ “√–∑’Ë°≈Ë“«∂÷ß„π·μË≈–∫∑π—Èπ‰¡Ë‰¥È®”°—¥°√Õ∫ Õ¬ŸË·§Ë„π Ë«ππ—Èπ Ê „π∑“ßμ√ß°—π¢È“¡μ—«Õ¬Ë“ßμË“ß Ê “¡“√∂¢È“¡‰ª ŸË∫∑ Õ◊Ëπ‰¥Èլ˓߉√Èæ√¡·¥π ∂÷ß·¡È®–‡ªÁπ‰ª‰¥È ·μ˧߉¡Ë‡ªÁ𧫓¡§‘¥∑’Ë¥’π—° À“°®–®—¥·π«§‘¥§≥‘μ»“ μ√Ï·π«§‘¥Àπ÷Ëß„ÀÈ®”°—¥Õ¬ŸË·§Ë„π Ë«πÀπ÷Ëß Ë«π „¥¢Õß»“ μ√Ï‚¥¬‡©æ“– ·μË≈–À—«¢ÈÕ„πÀπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’È®∫„πμÕπ ®–ÕË“π ‡√◊ËÕ߉Àπ°ËÕπÀ√◊ÕÀ≈—ß°Á‰¥È ¥‘©—πÀ«—ß«Ë“Àπ—ß ◊Õ‡≈Ë¡π’È®–‡ªÁπ∫—π‰¥∑’Ëπ”§ÿ≥ °È“«‰ª ŸË‚≈°§≥‘μ»“ μ√ÏμËÕ‰ª§Ë– ∑’‚Õπ’ ·æªæ—

“√∫—≠ 11 41 71 105 127 151 181 197 231 251 273 319 320 327

§≥‘μ»“ μ√Ï„π ‘Ëß√Õ∫μ—« ‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï §≥‘μ»“ μ√Ï°—∫»‘≈ª– ¡À—»®√√¬Ï·ÀËß®”π«π ¡πμϧ≥‘μ»“ μ√Ï„π∏√√¡™“μ‘ ¡À—»®√√¬Ï§≥‘μ»“ μ√Ï„πÕ¥’μ ∑Ë«ß∑”πÕߢÕߧ≥‘μ»“ μ√Ï °“√ªØ‘«—μ‘∑“ߧա摫‡μÕ√Ï §≥‘μ»“ μ√Ï°—∫™’«‘μ §≥‘μ»“ μ√Ï°—∫ ∂“ª—μ¬°√√¡ ¡πμÏ·ÀË߇°¡§≥‘μ»“ μ√Ï ¿“§ºπ«° ‡©≈‡Õ° “√ÕÈ“ßÕ‘ß

Print Gallery ‚¥¬ ‡ÕÁ¡.´’. ‡Õ ‡™Õ√Ï „ 1994 M.C. Escher/Cordon Art-Baarn-Holland. All rights reserved.

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

11

§≥‘μ»“ μ√Ï „π ‘Ëß√Õ∫μ—« §≥‘μ»“ μ√Ï¢Õß°“√∫‘π • §≥‘μ»“ μ√Ï¢Õß‚∑√»—æ∑Ï • μ—« –∑ÈÕπæ“√“‚∫≈‘°·≈–‰øÀπÈ“√∂¬πμÏ • »“ μ√Ï¢Õߧ«“¡´—∫´ÈÕπ°—∫ª—®®ÿ∫—π • §≥‘μ»“ μ√Ï°—∫°≈ÈÕß∂Ë“¬√Ÿª • √’‰´‡§‘≈®”π«π • ®—°√¬“π ‚μÍ–∫‘≈‡≈’¬¥ ·≈–«ß√’ • ®—∫μ“¡Õ߇∑ ‡´≈‡≈™—π • §≥‘μ»“ μ√Ï∫π· μ¡ªÏ • ‡√◊ËÕߢÕßÀπŸ • ‡¡◊ËÕ§≥‘μ»“ μ√Ï¡“‡¬◊Õπ • ¡°“√¢Õ߇«≈“ • ∑”‰¡Ω“∑ËÕ®÷ß°≈¡ •

12

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

牡ˡ’§≥‘μ»“ μ√Ï·¢πß„¥ ·¡Èπ«Ë“®–‡ªÁππ“¡∏√√¡ —°·§Ë‰Àπ ∑’ˉ¡ËÕ“®„™È°—∫ª√“°Ø°“√≥Ï·ÀËß‚≈°¢Õߧ«“¡‡ªÁπ®√‘߉¥Èé 𑂧‰≈ ‚≈∫“‡™ø °’

À≈“¬μËÕÀ≈“¬ ‘Ëß∑’ˇ√“ —¡º— „π™’«‘μª√–®”«—π≈È«π¡’§≥‘μ»“ μ√χªÁπæ◊Èπ∞“π À√◊Õ‰¡Ë°Á¡’§«“¡‡™◊ËÕ¡‚¬ß°—∫§≥‘μ»“ μ√Ï ‰¡Ë«Ë“®–‡ªÁπ°“√‚¥¬ “√‡§√◊ËÕß∫‘𠉪∂÷ß√Ÿª√˓ߢÕß∑ËÕ√–∫“¬πÈ” ‡√“¡—°æ∫«Ë“ ‘ËßμË“ß Ê ¡’§≥‘μ»“ μ√χ¢È“¡“ ‡°’ˬ«¢ÈÕß‚¥¬∑’ˇ√“‰¡Ë‰¥È§“¥§‘¥ ≈ÕߥŸμ—«Õ¬Ë“ß®“°∫∑∑’Ë®–μ“¡¡“μËÕ‰ªπ’È

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

13

§≥‘μ»“ μ√Ï ¢Õß°“√∫‘π

‡≈‚Õπ“√Ï‚¥ ¥“«‘π™’ ‡¢’¬π‰«È«Ë“ ç... ¡πÿ…¬Ï ... “¡“√∂ —Ëß„ÀÈ≈¡Õ¬ŸË„μÈ∫—≠™“ ·≈–∫‘π‰ª∫π∑ÈÕßøÈ“¥È«¬ª’°‚ÕÓ√∑’Ë √ȓߢ÷Èπ Õ—π‡ªÁπ ‘ËßÀπ÷Ëß∑’Ë¡’°”≈—߇撬ßæÕ®–μÈ“π·√ß≈¡é ¿“æ√Ë“ß®“° ¡ÿ¥ ∫—π∑÷°¢Õߥ“«‘π™’

¿“æΩŸßπ°‚∫¬∫‘π∫π‡«À“լ˓߷§≈Ë«§≈ËÕß·≈– ßË“ß“¡‡¬È“¬«π„ÀÈ¡πÿ…¬Ï ª√“√∂π“®–∫‘π‰¥È‡ ¡Õ¡“ π‘∑“πª√—¡ª√“„πÀ≈“¬«—≤π∏√√¡‡ªÁπ‡§√◊ËÕß æ‘ Ÿ®πÏ∂÷ߧ«“¡ π„®„§√Ë√ŸÈ¢Õß¡πÿ…¬Ï∑’Ë¡’μËÕ ‘Ëß¡’™’«‘μ∑’Ë∫‘π‰¥È ¿“懧√◊ËÕß √ËÕπ·Œß°Ï‰°≈‡¥Õ√Ï∫π∑ÈÕßøÈ“∑”„Àȇ√“√ŸÈ«Ë“°“√∫‘π¢Õߥ’¥“≈— 1 (Daedalus) ·≈–Õ‘ § “√— (Icarus) §ß¡‘ „ ™Ë ‡ ªÁ π ‡æ’ ¬ ߇√◊ Ë Õ ß‡æÈ Õ Ω— π „ππ‘ ¬ “¬¢Õß°√’ ° ª—®®ÿ∫—π‡§√◊ËÕß∫‘π¢π“¥¡À÷¡“ “¡“√∂π”æ“μ—«‡Õß·≈– ‘π§È“∑–¬“π¢÷Èπ ŸË ∑ÈÕßøÈ“‰¥È√“«°—∫π° ·μË°«Ë“®–æ—≤π“¡“∂÷ߢ—Èππ’ȉ¥È §«“¡æ¬“¬“¡®– ∫‘π¢Õß¡πÿ…¬Ï‰¥ÈºË“π∑—Èß ç¢“¢÷Èπé ·≈– 碓≈ßé À≈“¬μËÕÀ≈“¬ª’∑’ËºË“π¡“ π— ° «‘ ∑ ¬“»“ μ√Ï π— ° ª√–¥‘ … ∞Ï »‘ ≈ ª‘ π π— ° §≥‘ μ »“ μ√Ï ·≈–ºŸ È § π®“° «‘™“™’æÕ◊Ëπ Ê μË“ßæ“°—πæ‘»«ß°—∫·π«§‘¥¢Õß°“√∫‘π·≈–‰¥Èæ—≤π“√Ÿª·∫∫ ‡§√◊ËÕßμÈπ·∫∫ ·≈–°“√∑¥≈Õß∑’Ë®–𔉪 ŸË°“√‡À‘π‡«À“ 1

¥’¥“≈— ¬÷¥¢ππ°¥È«¬¢’Ⱥ÷Èß„ÀÈμ‘¥°—π‡ªÁπª’° ”À√—∫μ—«‡¢“·≈–Õ‘§“√— ∫ÿμ√™“¬ ‡æ◊ËÕ∫‘π Àπ’ÕÕ°®“°‡¢“«ß°μ ‚¥¬‡μ◊ÕπÕ‘§“√— ‰¡Ë„ÀÈ∫‘πμË”‡°‘π‰ª¡‘©–π—Èπª’°®–‡ª’¬°πÈ” ·≈–‰¡Ë „ÀÈ∫‘π Ÿß‡°‘π‰ª¡‘©–π—Èπ¢’Ⱥ÷Èß∑’ˬ÷¥ª’°‰«È®–À≈Õ¡≈–≈“¬¥È«¬§«“¡√ÈÕπ®“°· ßÕ“∑‘μ¬Ï Õ‘§“√— ´÷Ëß°”≈—ßμ◊Ëπμ“μ◊Ëπ„®°—∫°“√∫‘π‰¥È‡ªÁπ§√—Èß·√° ‰¡Ë‰¥Èø—ߧ”‡μ◊Õπ¢Õß∫‘¥“ ∫‘π¢÷Èπ Ÿß‡°‘π‰ª®π¢’ºÈ ßÈ÷ ∑’¬Ë ¥÷ ª’°∂Ÿ°· ßÕ“∑‘μ¬ÏÀ≈Õ¡≈–≈“¬ ÿ¥∑È“¬‡¢“°Áμ°≈ß¡“쓬 (ºŸ·È ª≈)

14

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

ª√–«—μ‘»“ μ√Ï¢Õß°“√∫‘π‚¥¬ —߇¢ª ‰¥È·°Ë • ™“«®’πª√–¥‘…∞Ï«Ë“«‡ªÁπ§√—Èß·√° (400-300 ª’°ËÕπ§√‘ μÏ»—°√“™) • ‡≈‚Õπ“√Ï‚¥ ¥“«‘π™’ »÷°…“°“√∫‘π¢Õßπ°Õ¬Ë“߇ªÁπ«‘∑¬“»“ μ√Ï ·≈–√Ë“ß¿“æÕÿª°√≥Ï°“√∫‘πμË“ß Ê (§.». 1500) • ®’‚Õ«“ππ’ ∫Õ‡√≈≈’ (Giovanni Borelli) π—°§≥‘μ»“ μ√Ï™“« Õ‘μ“‡≈’¬π æ‘ Ÿ®πÏ«Ë“°≈È“¡‡π◊ÈÕ¡πÿ…¬ÏÕËÕπ·Õ‡°‘π°«Ë“®–„™È∫‘π (§.». 1680) • ¨Õß ª‘ ≈ “μ√Ï ‡¥Õ ‚√´’ ‡ ¬ (Jean Pilatre de Rozier) ·≈– ¡“°’ Ï ¥“√Ï≈Õß Ï (Marquis dû Arlandes) ™“«Ω√—Ë߇» √È“ß∫Õ≈≈Ÿπ Õ“°“»√ÈÕπ‰¥È‡ªÁπ§√—Èß·√° (§.». 1783) • ‡´Õ√Ï®Õ√Ï® ‡§¬Ï≈’¬Ï (Sir George Cayley) π—°ª√–¥‘…∞Ï™“« Õ—ß°ƒ… ÕÕ°·∫∫·æπÕ“°“» (airfoil) ¢Õß¿“§μ—¥¢«“ߢÕߪ’° √È“ß·≈– 𔇧√◊ËÕß√ËÕπμÈπ·∫∫‡§√◊ËÕß·√°¢÷Èπ ŸË∑ÈÕßøÈ“ (§.». 1804) ·≈–°ËÕμ—Èß»“ μ√Ï „À¡Ë∑’Ë¡’™◊ËÕ«Ë“ Õ“°“»æ≈»“ μ√Ï (aerodynamics) • ÕÕμ‚μ ≈‘‡≈’¬π∑“≈ (Otto Lilienthal) ™“«‡¬Õ√¡—𠧑¥§Èπ √–∫∫°“√«—¥·√߬°¢Õߪ’° ·≈– √ȓ߇§√◊ËÕß√ËÕπ∑’Ë¡’¡πÿ…¬Ï¢—∫¢’ˉ¥È ”‡√Á® ‡ªÁπ§√—Èß·√°√–À«Ë“ߪ’ §.». 1891-1896 • ª’ §.». 1903 ÕÕ√Ï«‘≈ ·≈– «‘≈‡∫Õ√Ï ‰√μÏ (Orville and Wilbur Wright) ¢÷Èπ∫‘π‡ªÁπ§√—Èß·√°¥È«¬‡§√◊ËÕß∫‘π∑’Ë¢—∫‡§≈◊ËÕπ¥È«¬‡§√◊ËÕ߬πμÏ Õßæ’ËπÈÕߪ√—∫ª√ÿ߇∑§π‘§°“√∫‘π·≈–‡§√◊ËÕß∫‘π®π∫‘π‰¥È‰°≈∂÷ß 20 ‰¡≈Ï ‡ªÁπ‡«≈“ 38 π“∑’„πª’ §.». 1905

‡√“∫‘π¢÷ÈπøÈ“‰¥Èլ˓߉√ °“√®–∫‘π‰¥Èπ—Èπ ‘Ëß∑’ËμÈÕߧ”π÷ß∂÷ߧ◊Õ ¡¥ÿ≈¢Õß·√ß·π«¥‘Ëß·≈–·√ß·π« √–¥— ∫ ·√ß·π«¥‘ Ë ß ‰¥È · °Ë ·√ß‚πÈ ¡ ∂Ë « ß (∑‘ » ™’ È ≈ ß) ·≈–·√߬° (∑‘ » ™’ È ¢÷Èπ) √Ÿª√˓ߢÕߪ’°·≈–°“√ÕÕ°·∫∫‡§√◊ËÕß∫‘π¡’ Ë«π ”§—≠„π°“√ √È“ß ·√߬° °“√»÷°…“√Ÿª·∫∫¢Õߪ’°„π∏√√¡™“μ‘·≈–°“√∫‘π¢Õßπ°®÷߇ªÁπ °ÿ≠·® ”§—≠ °“√欓¬“¡·ª≈ßÕߧϪ√–°Õ∫μË“ß Ê ¢Õß°“√∫‘π¢Õßπ°„ÀÈ ‡ªÁπ¢ÈÕ¡Ÿ≈‡™‘ߧ≥‘μ»“ μ√Ï·≈–ø‘ ‘° Ï Õ“®¥Ÿ‡À¡◊Õπ«Ë“‡ªÁπ°“√¡Õߢȓ¡§«“¡ ß“¡¢Õß°“√∫‘π‰ª ·μË∂È“‡√“‰¡Ë∑”‡™Ëππ—È𠇧√◊ËÕß∫‘π„πª—®®ÿ∫—π°Á®–‰¡Ë¡’«—𠉥È∑–¬“π¢÷Èπ ŸË∑ÈÕßøÈ“‡≈¬

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

15

¥“‡π’¬≈ ·∫√ÏπŸ≈≈’ (Daniel Bernoulli §.». 1700-1782) π—° §≥‘μ»“ μ√Ï™“« «‘ §Èπæ∫«Ë“‡¡◊ËÕÕ—μ√“‡√Á«¢Õß°Í“´À√◊Õ¢Õ߉À≈‡æ‘Ë¡¢÷È𠧫“¡¥—π®–≈¥≈ß √Ÿª√˓ߢÕߪ’° √È“ß·√߬°‰¥Èլ˓߉√π—πÈ °Á “¡“√∂Õ∏‘∫“‰¥È¥È«¬À≈—°°“√¢Õß·∫√ÏπŸ≈≈’2 π’ȇÕß °≈Ë“«§◊Õ Õ“°“»∑’ˉÀ≈ºË“π Ë«π∫π √Ÿª√˓ߢÕߪ’°∑”„ÀÈ∫√‘‡«≥ ‡Àπ◊Õª’°¡’√–¬–∑“ß¡“°¢÷Èπ ´÷ËßÀ¡“¬§«“¡«Ë“Õ“°“» μÈÕ߇¥‘π∑“ߢȓ¡ Ë«π∫π¢Õß ª’°‡√Á«¢÷Èπ ∑”„Àȧ«“¡¥—π Õ“°“»¥È“π∫πª’°μË”°«Ë“„μÈ ª’° §«“¡¥—πÕ“°“»∑“ß„μÈ ª’°´÷Ëß Ÿß°«Ë“®–¥—πª’°¢÷Èπ ‡¡◊ËÕª’°∑”¡ÿ¡™—π¢÷Èπ √–¬–∑“ß ‡Àπ◊Õª’°®–¬‘Ëß¡“°¢÷Èπ ·√߬°®÷߇æ‘Ë¡¢÷Èπ

¢Õߪ’°´÷Ëß¡’≈—°…≥–‚§Èß ®–¡’Õ—μ√“‡√Á«¡“°¢÷È𠧫“¡¥—π¢ÕßÕ“°“»®÷ß≈¥ ≈ß ·μËÕ“°“»∑’˺˓π„μȪ’°´÷Ë߉¡Ë‚§È߇§≈◊ËÕπ∑’˙ȓ°«Ë“ §«“¡¥—πÕ“°“»®÷ß Ÿß °«Ë“ §«“¡¥—πÕ“°“» Ÿß„μȪ’°®÷ߙ˫¬¬°‡§√◊ËÕß∫‘π¢÷Èπ ŸËÕ“°“» πÈ”Àπ—° (·√ߥ÷ß®“°·√ß‚πÈ¡∂Ë«ß) ‡ªÁπ·√ß„π·π«¥‘Ëß∑’ËμÈ“π·√߬°¢Õ߇§√◊ËÕß∫‘π ”À√—∫·√ß·π«√–¥—∫ ‰¥È·°Ë ·√ßμÈ“π·≈–·√ߺ≈—°¥—π ·√ߺ≈—° ¥—πº≈—°‡§√◊ËÕß∫‘π„Àȇ§≈◊ËÕπ‰ª¢È“ßÀπÈ“ ¢≥–∑’Ë·√ßμÈ“π®–º≈—°‡§√◊ËÕß∫‘π„ÀÈ ‡§≈◊ËÕπ‰ª¢È“ßÀ≈—ß π° √È“ß·√ߺ≈—°¥—π‚¥¬°“√°√–æ◊Õª’° Ë«π‡§√◊ËÕß∫‘π „™È„∫æ—¥À√◊Õ‰ÕæËπ ”À√—∫‡§√◊ËÕß∫‘π∑’Ë®–√—°…“√–¥—∫§«“¡ Ÿß·≈–∑‘»∑“ß °“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˇªÁπ‡ Èπμ√߉¥Èπ—Èπ ·√ß∑ÿ°·√ß∑’Ë°√–∑”μËÕ‡§√◊ËÕß∫‘π®–μÈÕß¡’ ¢π“¥‡∑Ë“°—π π—Ëπ§◊Õ ‰¥È·√ß≈—æ∏χªÁπ»Ÿπ¬Ï ·√ß≈—æ∏Ï¢Õß·√߬°·≈–·√ß‚πÈ¡ 2

°Æ°“√‰À≈¢ÕßÕ“°“» ”À√—∫‡§√◊ËÕß∫‘π “¡“√∂𔉪„™È°—∫·ßË¡ÿ¡Õ◊Ëπ„π™’«‘μ¢Õ߇√“ ‡™Ëπ μ÷°√–øÈ“ –æ“π·¢«π ¥‘ °Ï‰¥√ø¢Õߧա摫‡μÕ√Ï∫“ߪ√–‡¿∑ °“√ Ÿ∫πÈ”·≈–°Í“´ ·≈–°—ßÀ—πμË“ß Ê

16

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

∂Ë«ß®–μÈÕ߇ªÁπ»Ÿπ¬Ï ¢≥–∑’Ë·√ߺ≈—°¥—π·≈–·√ßμÈ“π®–μÈÕß ¡¥ÿ≈°—π „π ™Ë«ß‡§√◊ËÕß∫‘π°”≈—ߢ÷Èπ ŸË∑ÈÕßøÈ“ ·√ߺ≈—°¥—π®–μÈÕß¡“°°«Ë“·√ßμÈ“π ·μË ‡¡◊ Ë Õ ¢÷ È π Ÿ Ë ∑ È Õ ßøÈ “ ·≈È « ·√ߺ≈— ° ¥— π ·≈–·√ßμÈ “ π®–μÈ Õ ß‡∑Ë “ °— π ¡‘ © –π— È π Õ—μ√“‡√Á«¢Õ߇§√◊ËÕß∫‘π®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ‡√◊ËÕ¬ Ê ¿“æπ°‚©∫≈ß¡“®“°∑ÈÕßøÈ“∑”„Àȇ√“‡ÀÁπª—®®—¬∑’ˇ°’ˬ«¢ÈÕß°—∫ °“√∫‘πÕ’° Õߪ—®®—¬ §◊Õ ‡¡◊ËÕÕ—μ√“‡√Á«¢ÕßÕ“°“»‡Àπ◊Õ Ë«π∫π¢Õߪ’°‡æ‘Ë¡ ¢÷Èπ ·√߬°°Á®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ Õ—μ√“‡√Á«‡Àπ◊Õ Ë«π∫π¢Õߪ’°¬—߇æ‘Ë¡¢÷Èπ‰¥ÈÕ’°‚¥°“√‡æ‘Ë¡¡ÿ¡∑’˪’°°√–∑”μËÕÕ“°“» À√◊Õ¡ÿ¡ª–∑– (angle of attack) ∂È“ ¡ÿ¡¥—ß°≈Ë“«‡æ‘Ë¡¢÷Èπ®π∂÷ߪ√–¡“≥ 15 Õß»“À√◊Õ¡“°°«Ë“ ·√߬°®–À¡¥‰ª „π∑—π∑’ ‡√“‡√’¬°¡ÿ¡π’È«Ë“ ¡ÿ¡‡ ’¬°“√∑√ßμ—« (angle of stall) ·¡È®–‰¡Ë¡ª’ °’ լ˓ßπ° ·μË¡πÿ…¬Ï°„Á ™ÈÀ≈—°°“√∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï·≈– ø‘ °‘ Ï„π°“√π”¡πÿ…¬Ï·≈– ‘ßË Õ◊πË Ê ¢÷πÈ Ÿ∑Ë ÕÈ ßøÈ“ °“√ÕÕ°·∫∫∑“ß«‘»«°√√¡ ·≈–Õÿª°√≥ÏμË“ß Ê3 ‰¥È√—∫°“√ª√—∫ª√ÿßÕ¬ŸË‡ ¡Õ‡æ◊ËÕ‡æ‘Ë¡ª√– ‘∑∏‘¿“æ¢Õß Õ“°“»¬“π

3

·ø≈ª (flap) ·≈– ≈ÁÕμ (slot) ‡ªÁπÕÿª°√≥χ √‘¡∑’Ëμ‘¥μ—È߉«È∫πª’°‡æ◊ËÕ‡æ‘Ë¡·√߬° ·ø≈ª¡’≈—°…≥–§≈È“¬∫“πæ—∫´÷Ëߙ˫¬ª√—∫§«“¡‚§ÈߢÕߪ’°·≈–‡æ‘Ë¡·√߬° ≈ÁÕ쇪Áπ ™ËÕß∫πª’°´÷Ëߙ˫¬¬◊¥¡ÿ¡‡ ’¬°“√∑√ßμ—«‰¥ÈÕ’° 2-3 Õß»“

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

17

§≥‘μ»“ μ√Ï ¢Õß‚∑√»—æ∑Ï ∑ÿ°§√—ßÈ ∑’¬Ë °ÀŸ‚∑√»—æ∑Ï¢πÈ÷ ¡“‡æ◊ÕË ‚∑√œ À“„§√ —°§π Ëß·ø°´Ï À√◊Õ ËߢÈÕ¡Ÿ≈ ºË“π‚¡‡¥Á¡ §ÿ≥°”≈—߇¢È“ ŸË‡§√◊բ˓¬ ≈—∫´—∫´ÈÕπ¢π“¥¡‚ÀÓ√ ‡§√◊բ˓°“√ ◊ËÕ “√∑’˧√Õ∫§≈ÿ¡‰ª∑—Ë«‚≈°π—Èπ™Ë“ßπË“Õ—»®√√¬Ï¬‘Ëßπ—° √–∫∫∑’Ë·μ°μË“ß °—π¢Õßπ“π“ª√–‡∑»∑”ß“πլ˓߉√ —≠≠“≥‚∑√»—æ∑Ï “¡“√∂À“∑“߉ª ®π∂÷ß„§√ —°§π„π‡¡◊Õß √—∞ À√◊Õª√–‡∑»Õ◊Ëπ Ê ‰¥Èլ˓߉√

™Ë « ß·√° ‡¡◊ Ë Õ ®–„™È ‚ ∑√»— æ ∑Ï ‡√“μÈ Õ ß¬°ÀŸ · ≈–À¡ÿ π ·ªÈ π ‰ªÀ“ ‚Õ‡ªÕ‡√‡μÕ√Ï ‚Õ‡ªÕ‡√‡μÕ√Ï∑’Ë™ÿ¡ “¬‚∑√»—æ∑Ï∑ÈÕß∂‘Ëπ°Á®–√—∫ “¬ ç°√ÿ≥“ ·®È߇≈¢À¡“¬‚∑√»—æ∑Ï∑’ËμÈÕß°“√μ‘¥μËեȫ¬§Ë–é ®“°π—Èπ°Á®–μËÕ‡≈¢À¡“¬∑’Ë §ÿ≥μÈÕß°“√„ÀÈ ª—®®ÿ∫—π°“√„™È‚∑√»—æ∑χμ‘∫‚μլ˓ß√«¥‡√Á« «‘∏’°“√∑’Ë„™È„π °“√‚Õπ·≈–√—∫ “¬°Á¡’À≈“°À≈“¬«‘∏’ ∂“π°“√≥Ï∑’ˬÿË߇À¬‘ßπ’ȇªÁπ‰ª‰¥ÈÈ°Á ¥È«¬°”Àπ¥°“√‡™‘߇ Èπ (linear programming) Õ—π ≈—∫´—∫´ÈÕπ °—∫ √–∫∫∞“π Õß·≈–√À— ·≈È«‡ ’¬ß¢Õߧÿ≥‡¥‘π∑“߉¥Èլ˓߉√ ‡ ’¬ß®–∂Ÿ°‚∑√»—æ∑Ï·ª≈ß„ÀÈ

26

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

®—°√¬“π ‚μÍ–∫‘≈‡≈’¬¥ ·≈–«ß√’ ™“«°√’°»÷°…“√Ÿª«ß√’·≈–√Ÿª∑’ˇ°‘¥®“°¿“§μ—¥°√«¬Õ◊Ëπ Ê ¡“μ—Èß·μË 300 ª’ °ËÕπ§√‘ μÏ»—°√“™·≈È« ∂È“·∑ß≈Ÿ°∫‘≈‡≈’¬¥ ºË“π®ÿ¥‚ø°— (μ√߇§√◊ËÕßÀ¡“¬ X) ≈Ÿ°∫‘≈‡≈’¬¥®– –∑ÈÕπ ¢Õ∫‚μÍ–·≈È«°≈‘È߉ªÕ’° ®ÿ¥‚ø°— Àπ÷Ëß ´÷Ë߇ªÁπ μ”·ÀπËߢÕßÀ≈ÿ¡

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

P

27

·°π‡Õ°

·°π‚∑

A ®ÿ¥‚ø°— F1

B

®ÿ¥‚ø°— F2

√Ÿª«ß√’¡’®ÿ¥‚ø°— Õß®ÿ¥ º≈√«¡¢Õß√–¬–∑“ß®“°®ÿ¥‚ø°— ‰ª¬—ß®ÿ¥„¥ Ê ∫π√Ÿª«ß√’ ®–¡’§“Ë ‡∑Ë“°—∫§«“¡¬“«¢Õß·°π‡Õ° π—πË §◊Õ ˙ PF1˙ + ˙ PF2˙ = ˙ AB˙

‡¡◊ËÕ查∂÷ß√Ÿª«ß√’ æ«°‡√“ Ë«π„À≠Ë¡—°π÷°∂÷ß√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë∫‘¥‡∫’Ȭ« À√◊Õ«ß‚§®√¢Õߥ“«‡§√“–ÀÏ ·μË«—μ∂ÿ√Ÿª«ß√’·≈– ¡∫—μ‘¢Õß√Ÿª«ß√’¬—ß∂Ÿ°π” ¡“„™Èª√–‚¬™πÏ„π‡√◊ËÕß∑’ˉ¡Ë‡°’ˬ«°—∫«‘∑¬“»“ μ√ϥȫ„§√‡≈Ë “ ®–§‘ ¥ «Ë “ √Ÿ ª «ß√’ ® –‡°’ Ë ¬ «¢È Õ ß°— ∫ °“√ÕÕ°·∫∫‡°’ ¬ √Ï √ ∂ ®—°√¬“π·≈–‚μÍ–∫‘≈‡≈’¬¥¥—ß¿“æ«“¥„πÀπÈ“∑’Ë·≈È« ª—®®ÿ∫—π√∂®—°√¬“π∫“ß ª√–‡¿∑¡’‡ø◊ÕßÀπÈ“‡ªÁπ√Ÿª«ß√’·≈–‡ø◊ÕßÀ≈—߇ªÁπ√Ÿª«ß°≈¡ °“√ÕÕ°·∫∫ ®—°√¬“π‡™Ëππ’ș˫¬„ÀÈ¢“ª—Ëπ°≈—∫¢÷Èπ¡“‰¥Èլ˓ß√«¥‡√Á« Ë«π‚μÍ–∫‘≈‡≈’¬¥√Ÿª «ß√’∂Ÿ°ÕÕ°·∫∫¢÷Èπ¡“‡æ◊ËÕ„™È ¡∫—μ‘°“√ –∑ÈÕπ¢Õß®ÿ¥‚ø°— ∑—Èß ÕߢÕß√Ÿª «ß√’ ‚¥¬¡’À≈ÿ¡Àπ÷ËßÕ¬ŸË∑’Ë®ÿ¥‚ø°— ®ÿ¥Àπ÷ËߢÕß√Ÿª«ß√’ ≈Ÿ°∫‘≈‡≈’¬¥∑’Ë∂Ÿ°·∑ß „ÀȺ˓π®ÿ¥‚ø°— Õ’°®ÿ¥¢Õß√Ÿª«ß√’ ®–°√–∑∫°—∫¢Õ∫‚μÍ–·≈È«°≈‘Èßμ“¡·π« °“√ –∑ÈÕπ¡“≈ßÀ≈ÿ¡ (®ÿ¥‚ø°— )

40

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

Metamorphosis III ‚¥¬ ‡ÕÁ¡.´’. ‡Õ ‡™Õ√Ï „ 1994 M.C. Escher/cordon Art-Baarn-Holland. All rights reserved.

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

41

‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï ¡À—»®√√¬Ï ‚≈°§≥‘μ»“ μ√χ°‘¥¢÷Èπ‰¥Èլ˓߉√ • ‚≈°‡√¢“§≥‘μ • ‚≈°®”π«π • ‚≈°·ÀËß¡‘μ‘ • ‚≈°·ÀËßÕπ—πμÏ • ‚≈°¢Õß·ø√Á°∑—≈ • ‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï„π«√√≥°√√¡ •

42

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

‡ªÁπ‰ª‰¥Èլ˓߉√∑’˧≥‘μ»“ μ√Ï Õ—π‡ªÁπº≈‘μº≈¢Õߧ«“¡§‘¥¡πÿ…¬Ï ´÷Ë߉¡Ë‡°’ˬ«æ—π°—∫ª√– ∫°“√≥Ï„¥ ®÷ß “¡“√∂ª√—∫„™È°—∫ ‘ËßμË“ßÊ „π‚≈°·ÀËߧ«“¡‡ªÁπ®√‘߉¥Èլ˓ßπË“™◊Ëπ™¡ Õ—≈‡∫‘√Ïμ ‰ÕπÏ ‰μπÏ §≥‘μ»“ μ√Ï “¡“√∂π”¡“‡™◊ËÕ¡‚¬ß·≈–„™È°—∫ ‘ËßμË“ß Ê ¡“°¡“¬„π‚≈°π’È ·μË °Á¬—ß≈ÿË¡≈÷°„π‚≈°¢Õß¡—π‡Õß∑’Ë∑—ÈßπË“æ‘»«ß ¡∫Ÿ√≥Ï·∫∫ ·≈–™Ë“ß·ª≈°·¬° ®“° ‘ßË μË“ß Ê „π‚≈°¢Õ߇√“‡ ’¬‡À≈◊Õ‡°‘π ‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï∑ßÈ— „∫π—πÈ “¡“√∂ μ—ÈßÕ¬ŸË∫πª≈“¬‡¢Á¡ À√◊ÕÕ¬ŸË„π‡´μ∑’Ë¡’®”π«π‡ªÁπÕπ—πμω¥È ‡√“æ∫«Ë“‚≈° ≈—°…≥–π’ªÈ √–°Õ∫¥È«¬®ÿ¥ ¡°“√ ‡ Èπ‚§Èß πÕμ (knot) ·ø√Á°∑—≈ (fractal) ·≈–Õ◊Ëπ Ê μ√“∫„¥∑’ˇ√“‰¡Ë‡¢È“„®«Ë“‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï∑—ÈßÀ≈“¬·≈–√–∫∫ μË“ß Ê √ȓߢ÷Èπ¡“‰¥Èլ˓߉√ ‡√“°ÁÕ“®‡ÀÁπ«Ë“∫“ß Ë«π¢Õß‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï ¢—¥°—∫§«“¡√ŸÈ ÷°¢Õ߇√“ ‡™Ëπ ‚≈°∑’Ë¡’¢Õ∫‡¢μ‰¡Ë®”°—¥ “¡“√∂μ—ÈßÕ¬ŸË∫π Ë«π ¢Õ߇ Èπμ√ß°√–®ÈÕ¬√ËÕ¬‰¥Èլ˓߉√ À√◊Õ‡√“ √È“ß‚≈°®“°®ÿ¥‡æ’¬ß “¡®ÿ¥‰¥È լ˓߉√ „π∫∑π’ȇ√“®– ”√«®§«“¡¡À—»®√√¬Ï¢Õß‚≈°§≥‘μ»“ μ√χÀ≈Ë“π’È Õ¬Ë“ß‡®“–≈÷°

„π∫∑μËÕ Ê ‰ª®–‡≈Ë“«Ë“∑”‰¡®”π«ππ—∫ ∑—ÈßÀ¡¥π’È®÷ߪ√–°Õ∫‡ªÁπ‚≈°§≥‘μ»“ μ√ω¥È

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

43

‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï ‡°‘¥¢÷Èπ‰¥Èլ˓߉√ ‡Àμÿ„¥∫“ߧ√—Èß©—π®÷߇™◊ËÕ „π ‘Ë߇ªÁπ‰ª‰¡Ë‰¥È∂÷ßÀ°Õ¬Ë“ß °ËÕπÕ“À“√¡◊ÈÕ‡™È“ ≈Ÿ«‘ ·§√Ï√Õ≈ ‡¡◊ËÕ 300 ª’°ËÕπ§√‘ μÏ»—°√“™¢≥–¬ÿ§≈‘¥√«∫√«¡§«“¡√ŸÈ‡√¢“§≥‘μ„ÀȇªÁπ √–∫∫Õ¬ŸËπ—Èπ ‡¢“·∑∫‰¡Ë√ŸÈ‡≈¬«Ë“°”≈—ß √È“ß‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï„∫·√°¢÷Èπ¡“ ®“°π— È π ‚≈°¢Õߧ≥‘ μ »“ μ√Ï · ≈–¡«≈ ¡“™‘ ° °Á ∂ ◊ Õ °”‡π‘ ¥ ¢÷ È π ¡“°¡“‡™Ëπ ‚≈°¢Õ߇≈¢§≥‘μ∑’Ë¡’ ¡“™‘°§◊Õ®”π«π ‚≈°¢Õßæ’™§≥‘μ∑’Ë¡’μ—«·ª√ ‚≈°¢Õ߇√¢“§≥‘μ·∫∫¬ÿ§≈‘¥∑’Ë¡’√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡·≈–√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ∑ÕæÕ‚≈¬’·≈–«—μ∂ÿլ˓߷∂∫‡¡Õ∫‘Õÿ ·≈–¢Ë“¬ß“π ·ø√Á°∑—≈·≈–«—μ∂ÿÕ—π ·ª√‡ª≈’ˬπ‰¡Ë ‘Èπ ÿ¥ ‚≈°μË“ß Ê ‡À≈Ë“π’ÈÕ¬ŸËլ˓߇ªÁπ‡Õ°‡∑» ·μË°√–π—Èπ°Á ‡°’ˬ«æ—π°—π ‘Ëß∑—ÈßÀ≈“¬π’Ȫ√–°Õ∫‡ªÁπ®—°√«“≈·ÀËߧ≥‘μ»“ μ√Ï∑’Ë¥”√ßÕ¬ŸË ‰¥È‚¥¬‰¡ËÕß‘ Õ“»—¬ ‘ßË „¥®“°®—°√«“≈¢Õ߇√“ ·μË “¡“√∂Õ∏‘∫“¬ ‘ßË √Õ∫μ—«‡√“‰¥È ‚≈°§≥‘μ»“ μ√Ï∑ÿ°„∫¥”√ßÕ¬ŸË„π√–∫∫§≥‘μ»“ μ√Ï ´÷Ëß«“ß°Æ æ◊πÈ ∞“π¢Õß ‘ßË μË“ß Ê ∑’¡Ë Õ’ ¬Ÿ„Ë π‚≈°¢Õß¡—π·≈–∫√√¬“¬«Ë“ ‘ßË ‡À≈Ë“π’‡È °‘¥¢÷πÈ ‰¥È լ˓߉√ ‡ªÁπμÈπ°”‡π‘¥¢Õß ‘ËßÕ◊Ëπ‰¥Èլ˓߉√ ·≈–Õ¬ŸË¿“¬„μȰƇ°≥±Ï„¥∫È“ß √–∫∫∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ϫ√–°Õ∫¥È«¬ ¡“™‘°æ◊Èπ∞“π∑’ˇ√’¬°«Ë“ §” Õ𑬓¡ ‡√“Õ“®Õ∏‘∫“¬§”Õ𑬓¡«Ë“À¡“¬∂÷ßÕ–‰√ ·μËμ“¡À≈—°«‘™“·≈È«‡√“ ‰¡ËÕ“®π‘¬“¡§”ª√–‡¿∑π’ȉ¥È ∑”‰¡®÷ß∑”‰¡Ë‰¥È≈Ë– °Á‡æ√“–‡√“μÈÕß„™È§”Õ◊Ëπ ¡“ √È“ß𑬓¡ ·≈–®”μÈÕ߇√‘Ë¡¥È«¬°“√¡’§”∫“ߧ”°ËÕπ ·μ˧”‡√‘Ë¡·√°‡À≈Ë“ π’ȉ¡ËÕ“®¡’§”°ËÕπÀπÈ“¡“„™È𑬓¡¡—π‰¥È πÕ°®“°§”Õ𑬓¡·≈È«√–∫∫§≥‘μ»“ μ√Ϭ—ß¡’ —®æ®πÏ ∑ƒ…Æ’ ∫∑ ·≈–𑬓¡¥È«¬ —®æ®πϧ◊Õ·π«§‘¥∑’ˇ√“¬Õ¡√—∫«Ë“®√‘ß‚¥¬‰¡ËμÈÕß æ‘ Ÿ®πÏ π‘¬“¡§◊Õ§”„À¡Ë∑’Ë √È“ß®“°§”Õ𑬓¡À√◊Õ§”𑬓¡∑’Ë √ȓߢ÷Èπ°ËÕπ ÀπÈ“ Ë«π∑ƒ…Æ’∫∑§◊Õ§«“¡√ŸÈ´÷ËßμÈÕßæ‘ Ÿ®πÏ‚¥¬„™È —®æ®πÏ π‘¬“¡ ·≈–

70

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

71

§≥‘μ»“ μ√Ï °—∫»‘≈ª– »‘≈ª– ¡‘μ‘∑’Ë 4 ·≈–°“√®—¥‡√’¬ß‰¡Ë‡ªÁπ§“∫ • §≥‘μ»“ μ√Ï°—∫ª√–μ‘¡“°√√¡ • §≥‘μ»“ μ√Ï ß“πÕÕ°·∫∫ ·≈–»‘≈ª– • §≥‘μ»“ μ√Ï·≈–»‘≈ª–¢Õß ‡ÕÁ¡.´’. ‡Õ ‡™Õ√Ï • ∑”‡∑ ‡´≈‡≈™—π∫π√–π“∫¥È«¬√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°·ª≈ß • ‡∑ ‡´≈‡≈™—π‡°Ë“·°Ë • ‡√¢“§≥‘쇙‘ß¿“æ©“¬°—∫»‘≈ª– • °“√º ¡º “π»‘≈ª–°—∫§≥‘μ»“ μ√Ï¢Õß Õ—≈‡∫√™∑Ï ¥Õ‡√Õ√Ï • »‘≈ª°√√¡§Õ¡æ‘«‡μÕ√Ï •

72

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

ç ‘Ëßߥߓ¡∑’Ë ÿ¥∑’ˇ√“ —¡º— ‰¥È°Á§◊Õ§«“¡≈÷°≈—∫ ‡æ√“–‡ªÁπμÈπ°”‡π‘¥¢Õß»“ μ√Ï·≈–»‘≈ªÏ∑’Ë·∑È®√‘ßé Õ—≈‡∫‘√Ïμ ‰ÕπÏ ‰μπÏ ”À√—∫À≈“¬§π·≈È«§≥‘μ»“ μ√ω¡Ë‡ÀÁπ®–‡¢È“°—π‰¥È°—∫»‘≈ª–‡≈¬ ·μËÕ—π∑’Ë ®√‘ß»‘≈ª‘π‰¥È√—∫Õ‘∑∏‘æ≈®“°§«“¡√ŸÈ·≈–∫∑ª√–¬ÿ°μÏ∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï„π°“√ √—ß √√§Ïß“π»‘≈ª–¡“‡ªÁπ‡«≈“À≈“¬»μ«√√…¡“·≈È« °≈Ë“«°—π«Ë“ ª√–μ‘¡“°√™“«°√’°‚∫√“≥™◊ËÕ ø‘¥‘Õ— (Phidias) „™È §Ë“‡©≈’ˬ∑Õß (golden mean) °”Àπ¥ —¥ Ë«π„πº≈ß“π¢Õ߇¢“À≈“¬™‘Èπ

¿“æ√Ë“ß®“° ¡ÿ¥∫—π∑÷° ¢Õß ‡≈‚Õπ“√Ï‚¥ ¥“«‘π™’ · ¥ß‡ Èπμ√ß≈ŸË‡¢È“ ŸË®ÿ¥ ≈—∫μ“ (vanishing point)

Õ—≈‡∫√™∑Ï ¥Õ‡√Õ√Ï (Albrecht Durer) „™È·π«§‘¥®“°‡√¢“§≥‘쇙‘ß¿“æ©“(projective geometry) ‡¢’¬π¿“æ„Àȉ¥È∑—»π¡‘μ‘ ·≈–„™È°“√ √ȓ߇™‘߇√¢“ §≥‘μ∑”μ—«æ‘¡æÏÕ—°…√‚√¡—π ‡π◊ËÕß®“°»“ π“Õ‘ ≈“¡¡’¢ÈÕÀÈ“¡„π°“√„™È ¿“æ ‘Ëß¡’™’«‘μ„πß“π»‘≈ª– »‘≈ª‘π¡ÿ ≈‘¡®÷ßμÈÕß„™È§≥‘μ»“ μ√Ï„π°“√ ◊ËÕ “√ ∑“ß»‘≈ª– Õ—π𔉪 ŸËß“π»‘≈ª–¡“°¡“¬∑’Ë„™È‡∑ ‡´≈‡≈™—π ‡≈‚Õπ“√Ï‚¥ ¥“«‘π™’ ‡§¬°≈Ë“««Ë“ ç...‰¡Ë¡’°“√„§√Ë√ŸÈ„¥¢Õß¡πÿ…¬Ï∑’Ë ‡√’¬°‰¥È«Ë“‡ªÁπ«‘∑¬“»“ μ√Ï ‡«Èπ·μË°“√„§√Ë√ŸÈπ—Èπ‰¥È¥”‡π‘π‰ªμ“¡§√√≈Õß ¢Õß¡—πºË“π°“√Õ∏‘∫“¬·≈–„ÀȇÀμÿº≈∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ïé º≈ß“π¥È“πª√–μ‘¡“°√√¡·≈–®‘μ√°√√¡¢Õ߇≈‚Õπ“√Ï‚¥· ¥ß„ÀȇÀÁπ«Ë“‡¢“»÷°…“‡√◊ËÕß√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°∑Õß (golden rectangle) Õ—μ√“ Ë«π (proportion) ·≈– ‡√¢“§≥‘쇙‘ß¿“æ©“¬ Ë«π°“√ÕÕ°·∫∫ ∂“ª—μ¬°√√¡¢Õ߇¢“· ¥ß„ÀÈ ‡ÀÁπ«Ë“‡¢“»÷°…“‚§√ß √È“ß∑“߇√¢“§≥‘μ·≈– ¡¡“μ√ „π∫∑π’ȇªÁπ‡æ’¬ß∫“ß μ—«Õ¬Ë“ß∑’Ë· ¥ß„ÀȇÀÁ𧫓¡‡™◊ËÕ¡‚¬ß√–À«Ë“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï°—∫»‘≈ª–

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

73

»‘≈ª– ¡‘μ‘∑’Ë 4 ·≈–°“√®—¥‡√’¬ß ‰¡Ë‡ªÁπ§“∫ §≥‘μ»“ μ√Ïπ”‡√“‰ª ŸË¢ÈÕ°”Àπ¥ —¡∫Ÿ√≥Ï ´÷Ë߉¡Ë‡æ’¬ß·μË‚≈°®√‘߇∑Ë“π—Èπ ·μË∑ÿ° Ê ‚≈°¥È«Õ—≈‡∫‘√Ïμ ‰ÕπÏ ‰μπÏ ∫πº◊πºÈ“„∫ »‘≈ª‘π∂Ÿ°®”°—¥‰«È„π 2 ¡‘쑇æ◊ËÕ‡≈Ë“‡√◊ËÕß√“«§«“¡√ŸÈ ÷°¢Õß¡‘μ‘ Õ◊πË Ê »‘≈ª‘π§π ”§—≠ Ê ·ÀË߬ÿ§‰∫·´π‰∑πω¥Èæ√√≥π“‡√◊ÕË ß√“«∑“ß»“ π“ ´÷Ë߇ªÁπ¡‘μ‘‚¥¬„™È‡æ’¬ß 2 ¡‘μ‘ „π¬ÿ§ø◊ÈπøŸ»‘≈ª«‘∑¬“°“√»‘≈ª‘π„™È·π«§‘¥ ‡√¢“§≥‘쇙‘ß¿“æ©“¬‡ª≈’ˬπº◊πºÈ“„∫·∫π Ê „ÀÈ°≈“¬‡ªÁπ‚≈° 3 ¡‘μ‘∑’Ë æ«°‡¢“μÈÕß°“√ ◊ËÕ„ÀȇÀÁπ ∑ÿ°«—ππ’ȧ≥‘μ»“ μ√Ϭ—ߧߡ’∫∑∫“∑ ”§—≠„π°“√„ÀÈ·√ß∫—π¥“≈„® ·≈–‡ªÁπ‡§√◊ËÕß¡◊Õ ”À√—∫°“√ √È“ß √√§Ïº≈ß“π·≈–°“√ ◊ËÕ “√∑“ߧ«“¡§‘¥ ¢Õß»‘≈ª‘π »‘≈ª‘π„™È·π«§‘¥∑“ߧ≥‘μ»“ μ√χæ◊ËÕ‰ª ŸË¡‘μ‘∑’Ë Ÿß¢÷Èπ μ—«Õ¬Ë“ß »‘≈ª‘π∑’Ëπ”≈Ÿ°∫“»°Ï 4 ¡‘μ‘ (hypercube À√◊Õ tesseract) ¡“„™È‡ªÁπ∫—π‰¥ °È“«‰ª ŸË¡‘μ‘∑’Ë 4 ¡’‡™Ëπ ∂“ªπ‘° §≈ÁÕ¥ ·∫√Á°¥Õπ (Claude Bragdon) π”≈Ÿ°∫“»°Ï 4 ¡‘μ·‘ ≈–‚§√ß√Ë“ß 4 ¡‘μÕ‘ πË◊ Ê ¡“ª√—∫„™È„πß“π¢Õ߇¢“1 ´—≈«“¥Õ√Ï ¥“≈’2 (Salvador Dali) π”·π«§‘¥≈Ÿ°∫“»°Ï 4 ¡‘μ‘·∫∫§≈’ËÕÕ°¡“„™È„π ®‘μ√°√√¡™◊ËÕ The Crucifixion3 (μ√÷߉¡È°“߇¢π ª’ §.». 1954) ‡ªÁπμÈπ ª— ® ®ÿ ∫ — π ¡’ » ‘ ≈ ª‘ π À≈“¬§π欓¬“¡‡™◊ Ë Õ ¡‚¬ßß“π»‘ ≈ ª–‡¢È “ °— ∫ §≥‘μ»“ μ√Ï ‚¥¬‡©æ“–լ˓߬‘Ëߧ≥‘μ»“ μ√Ï¢Õß°“√®—¥‡√’¬ß‰¡Ë‡ªÁπ§“∫ (non-periodic tiling) æÀÿ¡‘μ‘ (multidimensions) ·≈–°“√·ª≈º≈∑“ß §Õ¡æ‘ « ‡μÕ√Ï (computer rendition) Õ— π ∑’ Ë ® √‘ ß ·≈È « °“√·ª≈º≈∑“ß 1

·∫√Á°¥Õπ¬—ß„™È‡ Èπ°≈ (magic line) ÕÕ°·∫∫‡§√◊ËÕߪ√–¥—∫·≈–¿“æ≈“¬‡ È𠥓≈’»÷°…“¢ÈÕ¡Ÿ≈‡æ‘Ë¡‡μ‘¡®“°¿“§«‘™“§≥‘μ»“ μ√Ï ¡À“«‘∑¬“≈—¬∫√“«πÏ 3 æ√–‡¬´Ÿ∂Ÿ°μ√÷߉«È°—∫‰¡È°“߇¢π√Ÿª≈Ÿ°∫“»°Ï 4 ¡‘μ‘·∫∫§≈’ËÕÕ° 2

76

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

§≥‘μ»“ μ√Ï °—∫ß“π ª√–μ‘¡“°√√¡ ¡‘μ‘ ª√‘¿¡Ÿ À‘ √◊Õ∑’«Ë “Ë ß (space) »Ÿπ¬Ï ∂Ë«ß ¡¡“μ√ «—μ∂ÿ∑“߇√¢“§≥‘μ ·≈–‡´μ‡μ‘¡‡μÁ¡ (complementary set) ≈È « π‡ªÁ π ·π«§‘ ¥ ∑“ß §≥‘μ»“ μ√Ï∑’˪√–μ‘¡“°√π”¡“„™È √È“ß √√§Ïß“π ∑’Ë«Ë“ß¡’∫∑∫“∑‡¥Ëπ ™—¥„πß“πª√–μ‘¡“°√√¡ ´÷Ëß∫“ß™‘Èπ ∂Ÿ°®—¥«“ß„πæ◊πÈ ∑’«Ë “Ë ß„π∑”πÕ߇¥’¬« °—∫‡√“·≈– ‘ßË ¡’™«’ μ‘ Õ◊πË Ê ª√–μ‘¡“°√√¡‡À≈Ë“π’È¡’»Ÿπ¬Ï∂Ë«ß1 Õ¬ŸË¿“¬„π ¡«≈ ‡™Ëπ David ¢Õß¡‘‡°≈—π‡®‚≈ The Discobolus ‚¥¬‰¡√Õπ »‘ ≈ ª‘ π ™“«°√’ ° ‚∫√“≥ À√◊ Õ St. Francison Horseback ¢Õß √ŸªÀ≈ËÕ ”√‘¥ The Discobolus (π—°¢«È“ß®—°√ √ȓߢ÷Èπ‡¡◊ËÕ√“« ‡∫‡π’¬¡‘‚π ∫Ÿø“‚π (Beniamino 450 °ËÕπ§√‘ μÏ»—°√“™) Bufano) ‡ªÁπμÈπ ‚¥¬‰¡√Õπ (Myron) ª√–μ‘ ¡ “°√√¡ ¡— ¬ „À¡Ë ∫“ß™‘Èπ„™È∑’˫˓߇ªÁπÕߧϪ√–°Õ∫ ”§—≠·≈–„™È≈Ÿ°‡≈Ëπ°—∫¡‘μ‘∑—Èß “¡Õ¬Ë“ß «‘®μ‘ √æ‘ ¥“√ ¥È«¬‡Àμÿπ»È’ πŸ ¬Ï∂«Ë ß®÷߇ªÁπ®ÿ¥®ÿ¥Àπ÷ßË „π∑’«Ë “Ë ß¡“°°«Ë“∑’®Ë –‡ªÁπ ®ÿ¥®ÿ¥Àπ÷ßË ¿“¬„π¡«≈ ¥—ß· ¥ß„π Red Cube ‚¥¬ Õ‘´“¡ÿ ‚π–°ÿ®‘ (Isamu Noguchi), The Eclipse ‚¥¬ ™“√Ï ≈ Ï ‡æÕ√Ï √ ’ (Charles Perry) 1

»Ÿπ¬Ï∂˫ߧ◊Õ®ÿ¥∑’Ë«—μ∂ÿ “¡“√∂∑√ßμ—«Õ¬ŸË‰¥È ‡™Ëπ »Ÿπ¬Ï∂Ë«ßÀ√◊Õ‡´π∑√Õ¬¥Ï¢Õß√Ÿª “¡ ‡À≈’ˬ¡ “¡“√∂À“‰¥È‚¥¬≈“°‡ Èπ¡—∏¬∞“π (medians) ¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ®ÿ¥∑’ˇ Èπ ¡—∏¬∞“π∑—Èß “¡μ—¥°—π‡ªÁπ»Ÿπ¬Ï∂˫ߢÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

77

πÈ”æÿ‡«≈≈Õß°Ÿ√Ï (The Vaillancourt Fountain) „π´“πø√“π´‘ ‚° ¡’®ÿ¥®ÿ¥Àπ÷Ëß„π∑’˫˓߇ªÁπ»Ÿπ¬Ï∂Ë«ß

·≈– The Vaillancourt Fountain ‚¥¬ À≈ÿ ¬ Ï ‡«≈≈Õß°Ÿ √ Ï (Louis Vaillancourt) Ë « πß“πª√–μ‘ ¡ “°√√¡Õ◊ Ë π Õ“»— ¬ ªØ‘ — ¡ æ— π ∏Ï ° — ∫ ∑’ Ë « Ë “ ß √Õ∫ Ê ™‘Èπß“π „π∑’Ëπ’È∑’Ë«Ë“ß√Õ∫™‘Èπß“π (‡´μ‡μ‘¡‡μÁ¡¢Õß®ÿ¥√Õ∫¡«≈ “√) π—Èπ¡’§«“¡ ”§—≠æÕ Ê °—∫™‘Èπß“π ≈Õßæ‘®“√≥“ Zinc Zinc Plain ‚¥¬ §“√Ï≈ ՗߇¥√ (Carl Andre) ´÷Ëß· ¥ß„πÀÈÕß∑’˪√“»®“°«—μ∂ÿÀ√◊Õº≈ß“πÕ◊Ëπ ß“π™‘Èππ’È¡’≈—°…≥–‡ªÁπ √–π“∫∑’˪√–°Õ∫¢÷Èπ®“°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¢π“¥‡≈Á°®”π«π 36 ™‘Èπ ‡°‘¥‡ªÁπ √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ∑’Ë«“ß√“∫Õ¬ŸË∫πæ◊Èπ μ—«ÀÈÕß·∑π∑’Ë«Ë“ßÀ√◊Õ‡´μ¢Õß®ÿ¥ ∑—ÈßÀ¡¥ ‡¢“∫√√¬“¬«Ë“º≈ß“π¢Õ߇¢“‡ªÁπ ça cut of spaceé2 (√Õ¬μ—¥ ¢Õߪ√‘¿Ÿ¡‘) ª√–μ‘¡“°√√¡∫“ß™‘Èπ¥Ÿ‡À¡◊Õπ®–∑È“∑“¬À√◊Õ欓¬“¡®–‡Õ“™π– ·√ß‚πÈ¡∂Ë«ß ‡™Ëπ ‚¡∫“¬ ¢Õß Õ‡≈Á°´“π‡¥Õ√Ï §“≈‡¥Õ√Ï (Alexander Calder) ´÷Ëß¡’ ¡¥ÿ≈·≈– ¡¡“μ√ «¬ß“¡πË“∑÷Ëß ·≈– Red Cube ¢Õß Õ‘´“¡ÿ ‚π–°ÿ®‘ ´÷Ëß “¡“√∂√—°…“ ¡¥ÿ≈‰¥Èլ˓ßπË“æ‘»«ß∫π¬Õ¥¢Õß¡—π‡Õß πÕ°®“°π’Ȭ—ß¡’ß“πª√–μ‘¡“°√√¡∑’Ë„™È‚≈°¢Õ߇√“‡ªÁπÕߧϪ√–°Õ∫ ”§—≠ 2

Art & Physics, Leonard Shlain, William Morrow & Co. NY, 1981.

82

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

§≥‘μ»“ μ√Ï ß“πÕÕ°·∫∫ ·≈–»‘≈ª– √ŸªμËÕ‰ªπ’È∂Ÿ°π”¡“„™È √È“ß √√§Ïß“πÕÕ°·∫∫°√“ø‘° ‚¥¬æ◊Èπ∞“π·≈È«√Ÿª ‡À≈Ë“π’‡È ªÁπ√Ÿª√Ë“ß∑“ߧ≥‘μ»“ μ√Ï ·μËππË— °Á‰¡Ë‰¥È∑”„Àȧ«“¡ß“¡¢Õß√Ÿª‡À≈Ë“ π’È≈¥πÈÕ¬≈߉ª‡≈¬

¥“«§≥‘μ»“ μ√Ï ¿“æ„πÀπÈ“π’È· ¥ß°“√ √È“ß√Ÿª¥“«‚¥„™È √ Ÿ ª À≈“¬‡À≈’ Ë ¬ ¡ ”À√— ∫ √Ÿ ª À≈“‡À≈’ˬ¡∑’Ë¡’®”π«π¥È“π‡ªÁπ®”π«π§’Ë °Á ‡æ’¬ß≈“°‡ Èπ‚¬ß√–À«Ë“ß®ÿ¥¬Õ¥¿“¬„π √ŸªÀ≈“¬‡À≈’ˬ¡π—Èπ®ÿ¥‡«Èπ®ÿ¥ ”À√—∫ ¥“«À≈“¬·©°∑’¡Ë ®’ ”π«π·©°‡ªÁπ®”π«π §ŸË —߇°μ«Ë“ √Ÿª¥“«‡°‘¥®“°°“√À¡ÿπ√Ÿª À≈“¬‡À≈’ˬ¡ Õß√Ÿª„ÀȇÀ≈◊ËÕ¡°—π

§≥‘μ»“ μ√Ï¡À—»®√√¬Ï

83

ª—°≈“¬¥È«¬§≥‘μ»“ μ√Ï ‡´’¬π§≥‘μ»“ μ√Ïπ” Ë«π¢Õ߇ Èπ μ√ß¡“ 窗 ° é ‡ªÁπ‡ Èπ‚§Èß¡“π“π À≈“¬»μ«√√…·≈È« ç≈“¬ª—°é ( Ë«π ¢Õ߇ È π μ√ß) ¥— ß °≈Ë “ «‡ªÁ π ‡ È π —¡º— ¢Õß Ë«π‚§Èß∑’ˇ°‘¥¢÷È𠄧√ Ê °Á “¡“√∂ 窗 ° é ‡ªÁ π √Ÿ ª «ß°≈¡ √Ÿ ª «ß√’ æ“√“‚∫≈“ ‰Œ‡æÕ√Ï ‚ ∫≈“ §“√Ï¥‘ÕÕ¬¥Ï (cardioid) ≈’¡“´Õß (limacon) ‡¥≈∑Õ¬¥Ï (deltoid) œ≈œ „π°√–∫«π°“√ª—°‡ Èπ‚§È߇À≈Ë“π’È ‡√“®–æ∫≈—°…≥–摇»…¢Õ߇ Èπ‚§Èß μËÕ‰ªπ’ȧ◊Õ«‘∏’°“√ √È“ß·Õ ∑√Õ¬¥Ï (astroid)

‡¡◊ËÕ≈“°‡ Èπ∑·¬ß¡ÿ¡¢Õß√Ÿª 24 ‡À≈’ˬ¡ ®–‡°‘¥«ß°≈¡√Ë«¡»Ÿπ¬Ï°≈“ß

·Õ ∑√Õ¬¥Ï

«‘∏’ √È“ß·Õ ∑√Õ¬¥Ï«‘∏’Àπ÷Ëߧ◊Õ°“√„™È ·π«§‘¥∫—π‰¥‡≈◊ËÕπ ‚¥¬„™È«ß°≈¡ ´÷Ë߇ªÁπ√—»¡’¢Õß∫—π‰¥ °”Àπ¥∞“π ¢Õßμ”·ÀπËߢÕß∫—π‰¥

æ“√“‚∫≈“√Ÿª·∫∫μË“ß Ê

¡“§âπÀ“¡πμå‡ πàÀå¢Õߧ≥‘μ»“ μ√å°—π‡∂Õ–

º≈ß“π¢ÕߺŸâ‡¢’¬π πÿ°§‘¥§≥‘μ»“ μ√å The Joy of Mathematics

THE MAGIC OF MATHEMATICS ª√‘»π“‡π¬·¢Áß ¢Õß ·´¡ ≈Õ¬¥å ∂â“μ—¥°âÕπ‡π¬·¢Áߥ—ß¿“æ Õ¬“°∑√“∫«à“®–‰¥â‡π¬·¢Áß √Ÿª≈‘Ë¡°’Ë™‘Èπ

ª√‘¡“μ√·∑àß ’ˇÀ≈’ˬ¡≈«ßμ“ ¿“æπ’È¡’·∑àß¢π“¥ 2x1x1 Õ¬Ÿà°’Ë·∑àß

1

‘Ë߇ªìπ‰ª‰¡à‰¥â∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

ISBN 978-974-484-240-4

THE MAGIC OF MATHEMATICS

√“§“ 220 ∫“∑

Theoni Pappas

‡√“∑”„Àâ¥â“¬∫π°√–¥ÿ¡ Õ߇¡Á¥À≈ÿ¥ ®“°∑’ˬ÷¥°√–¥“…‰¥âÕ¬à“߉√ ‚¥¬Àâ“¡ ¥÷ߥ⓬À≈ÿ¥®“°°√–¥ÿ¡ Àâ“¡μ—¥¥â“·≈–Àâ“¡∑”°√–¥“…©’°¢“¥

1 3 4+4 = 1

7 9 16 + 16 = 1

√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¢Õ߉´‡ÕÕ√åæ‘π °’ æ◊Èπ∑’Ë “¡‡À≈’ˬ¡ ’¢“«®–≈¥≈߇√◊ËÕ¬ Ê ¡’≈‘¡‘μ‡¢â“ Ÿà 0 „π¢≥–∑’˧«“¡¬“« ‡ âπ√Õ∫√Ÿª‡¢â“ ŸàÕπ—πμå 37 27 64 + 64 = 1

Theoni Pappas

175 81 256 + 256 = 1