Y ABRE LA POSIBILIDAD DE ACTUAR DISTINTO Pensamiento Lรณgico Matemรกtico
CUENTA HASTA DIEZ Alcaldía de Bogotá Alcalde de Bogotá Enrique Peñalosa Londoño Secretaría Distrital de Seguridad, Convivencia y Justicia Secretario de Seguridad, Convivencia y Justicia Jairo García Guerrero Subsecretaria de Seguridad y Convivencia María Lucía Upegui Mejía Subsecretario de Acceso a la Justicia Alejandro Peláez Rojas Directora de Prevención y Cultura Ciudadana Alejandra Tarazona Zambrano Directora de Responsabilidad Penal Adolescente Ilvia Ruth Cárdenas Luna Asesores protocolistas John Edison Castaño Giraldo Liliana Malagón Torres Equipo Coordinador Adriana Lucía Guerra Nuñez Diseño y diagramación July Andrea Navarro Salinas Ilustradora Daissy Lucero Romero Martín Impresión Panamericana Formas e Impresos S.A., 2019
Las herramientas y estrategias presentadas en esta cartilla se encuentran dentro del marco de la terapia cognitivo conductual. Es decir, hacen referencia a estrategias basadas en la evidencia de esta aproximación.
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Módulos La habilidad de comunicación propone una discusión frecuente y explícita sobre situaciones, conceptos, simbolizaciones, para lograr con ello que los jóvenes tomen conciencia del trabajo. Una vez preparado y comprendido cada uno de los procedimientos se pretende que haya una automatización de los mismos, por medio de la ejercitación, guiada o autónoma. Los jóvenes ponen en juego todas sus habilidades para resolver de manera consciente el algoritmo. La habilidad para formular y comparar plantea una reflexión sobre qué procedimientos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades además de identificar su contribución para conceptualizarlo. La modelación o matematización implica las habilidades para representar el contexto en forma esquemática.
Sesión de modelación: POR LA CIUDAD VOY PASO A PASO Objetivo: Reconocer algunos métodos para resolver problemas. Actividad central: Previo a la actividad central se les propone a los estudiantes construir una pirámide, esta actividad requiere de planeación y ejecución. A continuación, a cada grupo se les entrega unos problemas y deberá seleccionar los pasos necesarios para resolverlos.
PASOS Representar gráficamente el problema. Buscar los datos del problema. Para plantear una estrategia pienso en la operación matemática que necesito. Leer el problema para identificar lo que me piden. Resolver la operación matemática. Interpretar el resultado de la operación matemática.
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre la importancia de tener unos pasos para resolver el problema. 4
PROBLEMAS1
En un concierto de rock se reservó para el público un terreno rectangular con unas dimensiones de cien metros por cincuenta metros. Se vendieron todas las entradas y el terreno se llenó de aficionados, todos de pie. ¿Cuál podría ser el número total de asistentes al concierto?
Mei-ling, ciudadana de Singapur, se encuentra realizando los preparativos para ir a estudiar a Sudáfrica en un intercambio de tres meses. Necesita cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR). Mei-ling se enteró que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricano es: 1 SGD=4,2 ZAR. Mei-ling cambió tres mil dólares de Singapur en rands Sudáfricanos. ¿Cuánto dinero recibió Mei-ling en rands sudafricanos?
Para construir un estante, un carpintero necesita los siguientes materiales: cuatro tablas largas de madera, seis tablas cortas de madera, doce ganchos pequeños, dos ganchos grandes y catorce tornillos. En el almacén el carpintero tiene 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?
Tomado de Estímulos liberados PISA como recursos didácticos de Matemáticas
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Modelar DIAGONALES Y TRANSVERSALES Objetivo: Buscar un camino para estimar la solución de un problema de vías en la ciudad. Actividad central: Como introducción se cuestiona a los estudiantes sobre el conocimiento que tienen de su ciudad. Para ello se les entrega un mapa de Bogotá y se les pide que marquen algunos elementos con el fin de ejercitarse en la interpretación de un mapa de la ciudad. Además, marcarán cuatro polígonos que puedan observar en el mapa. Teniendo en cuenta calles, carreras, diagonales y transversales. (Cuadrado, rectángulo, triángulo, polígonos…)
COSTRUCCIóN DE DIAGONALES Una vez dada la instrucción para copiar unas figuras, deben trazar en ellas las diagonales y responder preguntas como las siguientes, con el fin de reconocer patrones respecto del número de diagonales. ¿Cuántos lados tiene cada figura? ¿Cuántas diagonales tiene cada figura? ¿Cuántas diagonales salen de los vértices en cada figura?
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre la importancia de comprender la relación entre la distribución del espacio y la organización de las vías en la ciudad. 6
Modelar SEIS PROBLEMAS EN LA CIUDAD Objetivo: Comprender algunas características de los conjuntos numéricos. Actividad central: Al inicio de esta actividad se realiza un juego con un dominó, con el cual se busca nocionalizar algunas características de los números enteros.
Clasificación de situaciones Para esta actividad se propone un grupo de problemas cuyo contexto está relacionado con situaciones propias de la ciudad, el trabajo será representar las cantidades mencionadas en dichas situaciones por medio de unas barras. Por último, cada grupo debe realizar una clasificación de las situaciones problema de acuerdo al resultado de la representación que construyeron en cada caso. Recontextualización, Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre las características de los conjuntos que hicieron fácil o difícil la clasificación. La reflexión debe hacerse con los números enteros y racionales vistos en su clase regular. Daniel es un joven veterinario de la granja del parque Mundo Aventura. Una de las tareas de Daniel consiste en alimentar los animales. Cada animal debe recibir comida proporcionalmente con su peso, por ejemplo, del alimento preparado en la granja la vaca debe consumir tres quintos del total, los caballos la mitad del alimento que consumen las vacas, el resto de los animales consume un tercio del alimento restante. ¿Cómo puede organizar Daniel todo el alimento?
Cantidad que representa la comida que consumen las vacas. Cantidad que representa la comida que consumen los caballos. Cantidad que consumen el resto de animales de la granja. 7
Modelar LA GALERÍA DE ARTE Objetivo: Proponer una solución para un problema de distribución de cámaras de seguridad en un espacio. Actividad central: Como actividad lúdica se propone un juego llamado “Go” en el cual cada uno de los jugadores deberá idear una estrategia para lograr derrotar a su rival. A continuación, se trabajará el problema de la galería de arte, cuyo problema ha sido muy estudiado en la geometría computacional. Luego de explicar los conceptos: galería de arte, cámaras de vigilancia y lugares vigilados, desde un punto de vista geométrico. Los estudiantes deberán plantear una propuesta sobre las cámaras de seguridad a instalar en una galería de arte, teniendo en cuenta que se debe optimizar tanto el número de cámaras como la ubicación que debe tener cada una de ellas
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre la importancia de comprender la relación entre la distribución del espacio y la organización de objetos como las cámaras. 8
Modelar TURISMO EN LA CIUDAD Objetivo: Reconocer las variables presentes en una situación. Actividad estratégica: Inicialmente los estudiantes realizarán un primer recorrido por el mapa de la ciudad ubicando algunos lugares y direcciones. Teniendo como base los tipos de turismo que ofrece la ciudad, los estudiantes plantean una ruta turística, se deberán reconocer las variables a tener en cuenta para planear la ruta turística de forma completa y eficiente. Es indispensable que el equipo de trabajo se ponga en contexto ya que se manejan datos reales y las variables que se pongan en consideración deben acercarse a su realidad, para ello deberán explorar la información dada y hacer uso de sus experiencias previas.
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre la importancia de comprender las variables de una situación. 9
Comparar LAS PRIMERAS MATEMÁTICAS DE LA SOCIEDAD Objetivo: Entender los conceptos sobre los cuales se apoya la adición y diferencia entre números enteros.
Actividad estratégica: Se realiza una lúdica con fichas de colores. En esta lúdica el uso de material concreto ayuda a los estudiantes a tener un primer acercamiento a las bases sobre las cuales se apoyan las operaciones entre números enteros.
Terminada la lúdica se pasa a representar con fichas de colores algunas cantidades enteras. Por último, se propone crear estrategias para las operaciones de suma y resta con esta representación.
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se hace una reflexión sobre los objetos matemáticos, adición de números enteros y diferencia de números enteros. Además, se reflexiona sobre las dificultades o facilidad de trabajar con una representación distinta. 10
Comparar CAMINO AL SUR Objetivo: Explicar conceptos sobre los cuales un procedimiento se apoya, siguiendo la lógica que lo sustenta. Actividad de aprendizaje: Se plantea una situación problema en la que deben interpretar las variaciones de la temperatura como uno de los contextos del conjunto de los números enteros, para ello deberán responder una serie de preguntas que los irán guiando. Un grupo de ambientalistas tiene los siguientes datos para lograr completar la tabla:
Día
Cambio en la temperatura
Martes Miércoles Jueves Viernes
Cada hora aumenta 2oC con respecto al lunes. Cada hora disminuye 2oC antes de las 12 am y después 1oC con respecto al lunes. Cada hora disminuya 1oC hasta 12am con respecto al martes. En la tarde aumenta 2oC respecto al lunes. Hasta medio día igual que el lunes y luego disminuye 2oC con respecto al lunes.
La siguiente actividad se centra en una lúdica, los estudiantes juegan el parqués propuesto por el implementador y registran las jugadas. Tabla de registro Jugada
Casilla de partida
Dado rojo
Dado Blanco
Casilla llegada
Movimiento real
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se reflexiona sobre la suma de números enteros. Además, se reflexiona sobre la facilidad o dificultad de registrar la jugada final en la tabla de registro. 11
Ejercitar EL RETO COTIDIANO DE DOBLAR PAPEL Objetivo: Proponer una solución para un problema de generalización. Actividad central: La actividad inicial consiste en construir un fractal, siguiendo una serie de pasos. En un segundo momento cada estudiante deberá doblar una tira de papel y anotar las marcas que se obtienen, para esto debe diligenciar la siguiente tabla. El número de dobleces lo va indicando el implementador y eso define el número de filas de la tabla. Pasos para lo construcción del triángulo de Sierpinski 1. Iniciamos nuestra construcción con una hoja de papel y la doblamos transversalmente. 2. Dividimos la hoja a lo largo del doblez en dos partes iguales, haciendo un corte de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado. 3. Doblamos una de las mitades para marcar el doblez. 4. Una vez marcado, lo metemos hacia adentro, lo cual no quedará como una especie de escalera de dos peldaños. 5. En cada uno de los peldaños, repetimos el procedimiento: corte al medio. 6. Marcar los dobleces y meterlos hacia adentro. 7. Repetimos una última vez, cortar, marcar y doblar. 8. Así obtenemos nuestro triángulo de Sierpinski. Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, se reflexiona para aprovechar las deducciones hechas por los jóvenes para hablar de las fórmulas básicas de la función exponencial. N° dobleces
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N° de marcas
Ejercitar PASANDO LA CUENTA Objetivo: Ejercitar el cálculo mental, mediante la adición de cantidades. Actividad central: Se realiza un torneo de matemática deportiva. Previamente, en el salón, se realiza una competencia de cálculo mental. Luego en la cancha y en equipos los estudiantes deben superar el reto de llegar a cierta cantidad sumando los números que tienen y pasando un balón con las manos, inicialmente con los números 1, 2, 3 y 4 y luego solamente 2 y 3. Se juega en tiempos previamente establecidos y se van intercambiando los equipos. El objetivo es hacer la mayor cantidad de puntos.
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24 7
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo, y al finalizar la actividad se hace una reflexión sobre las dificultades de la misma. Además, se recuerda el significado de los múltiplos de un número. 13
Ejercitar TIC TAC TOE Objetivo: Realizar combinaciones por medio una actividad lúdica. Actividad central: Previamente se realizan unas actividades de sudoku en el salón. Luego en la cancha y en equipos deben competir en una actividad por relevos para correr y conseguir puntos realizando un triqui. Se juega en un tiempo determinado y se van intercambiando los equipos. El objetivo es hacer la mayor cantidad de puntos y sumarlos a los de la sesión anterior.
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo y al finalizar la actividad se hace una reflexión sobre las dificultades de la misma. Además, se recuerda el significado de combinaciones de un conjunto de datos. 14
Comunicar ¿POR QUÉ PAGAMOS ESO? Objetivo: Tomar conciencia sobre el modelo matemático de una situación. Actividad central: Se hace un reconocimiento de algunas facturas de servicios públicos con el objetivo de reconocer las principales variables. Los estudiantes deben compartir sus facturas de servicios públicos, como insumo para que los demás puedan trabajar en uno de los totales del recibo, además, deberán representar la información en un plano, esto con el fin de interpretar el modelo.
Factura del acueducto agua y alcantarillado
Factura del servicio público de energía
¿Cuántos meses me están facturando? _____________________________________________ ¿Cuál es el valor m promedio?: _____________________________________________ ¿Cuál es el consumo de Agua?: _________________________________________ m ¿Cuál es el costo del alcantarillado?: _____________________________________________ ¿Cuál es el costo del aseo?: _____________________________________________
¿Cuántos meses me están facturando? _____________________________________________ ¿Cuál es el valor Kwh promedio?: _____________________________________________ ¿Cuál es el consumo del mes?: _________________________________________ Kw ¿Cómo se calcula el consumo de energía? _____________________________________________
Agua
Luz
3
3
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5. 15
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo y se reflexiona entorno a la identificación del modelo matemático que se utiliza en la facturación de los recibos públicos. 16
Comunicar TRABAJO INFANTIL Objetivo: Hacer una discusión explícita sobre situaciones de la ciudad. Actividad estratégica: Se presentan algunas fotografías, recolectadas por los profesionales o los estudiantes, para reflexionar con ellos sobre la problemática de trabajo infantil. Se reparte a cada grupo una sección de un estudio realizado para que lo estudien y preparen una exposición.
Recontextualización: Se verifica el cumplimiento del objetivo y luego de haber realizado las exposiciones, se hace una reflexión en torno a la actividad y la unidad desarrollada. Además, se reciben las sugerencias por parte de los estudiantes. 17
RETOS PARA LOS JÓVENES En vista de que los jóvenes han dado respuesta a problemas planteados en un contexto conocido y cercano, como es la ciudad. Los jóvenes han tenido toda la información a su alcance y las preguntas estaban definidas, proponemos ahora que trabajen problemas en los cuales haya que hacer inferencia del contexto para extraer información. También proponemos que hagan razonamientos directos e interpretaciones de los resultados. A medida que mejoran sus habilidades para resolver problemas en matemáticas, proponemos como sugerencia para estudiantes y profesores plantear situaciones en las cuales haya que tomar decisiones secuenciales sobre los procedimientos, así como interpretar información proveniente de distintas fuentes de información. En este nivel los jóvenes están en la capacidad de presentar sus resultados e interpretaciones mediante escritos sencillos. Así que los invitamos a asumir el reto de interpretar las matemáticas en el mundo y no alejadas de él.
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Esta cartilla fue creada para ti como una ayuda en tu día a día donde tienes que tomar decisiones. Aquí encontrarás herramientas que te permitirán entender más lo que sientes, piensas y haces; podrás utilizar estas habilidades para lograr tus metas y proyectos. Úsala a lo largo de tu vida, especialmente en aquellos momentos difíciles. Cuenta hasta diez: reconoce cómo te sientes, piensa en lo que quieres hacer y decide cómo actuar.