VECTORES Y FUERZAS
eONTENIDOS 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. LAS FUERZAS 1.1. Vectores. Elementos. 1.2. Clases de vectores. 1.3. Las fuerzas. Carácter vectorial. 2. SISTEMAS DE VECTORES. APLICACiÓN A LAS FUERZAS 2.1. Sistema de fuerzas. J
,
3. DESCOMPOSICION DE VECTORES 4. PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 4.1. Vector unitario. ¿ ¿k .,-t 42L .. os vectores I ,}, • 4.3. Aplicación al cálculo de fuerzas resultantes. 5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 5.1. Propiedades. 5.2. Cálculo.
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El estudio de la ESTÁTICA, ciencia que trata de las fuerzas cuando conducen a situaciones de equilibrio, requiere el repaso (o la adquisición) de unos conocimientos previos siempre necesarios para interpretar los fenómenos objeto de investigación. ¿Qué son las fuerzas y por qué únicamente se conocen por los efectos que originan?, ¿cómo definir correctamente y en toda su amplitud la acción de una fuerza? , ¿qué es un sistema de fuerzas y qué significa su resultante? ... La 'respuesta a estas cuestiones requiere unos conceptos, aunque mínimos, relativos al cálculo vectorial. El estudio y repaso de tales conceptos constituye el objetivo de esta Unidad; en la siguiente, profundizando en esta materia, abordaremos la interpretación de los vectores momento.
Unidad 1 ..............................................................................................
,
1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. LAS FUERZAS
Notación vectorial
Existen muchas magnitudes físicas -como la masa, la temperatura o el trabajo- que con sólo conocer el valor numérico de su medida y la unidad en que ésta se expresa, su significado queda perfectamente explicitado. Decir, por ejemplo, que la masa de un cuerpo es 25 kg (núm~ro y unidad) es dato suficiente para interpretar con plena corrección lo que sé quiere expresar. Otras magnitudes, en cambio, precisan para su correcta interpretación otros datos complementarios, como la línea de acción en la que actúan, el sentido que poseen, el punto donde se aplican. Tal es el caso, por ejemplo, de la velocidad, de la fuerza ... A las primeras se las denomina magnitudes escalares (su representación gráfica se realiza en una escala) y a las segundas, vectoriales, puesto que gráficamente se representan mediante vectores. 1.1. Vectores. Elementos Un vector es un segmento rectilíneo orientqdo. Su longitud, o módulo, indica el valor numérico, en la unidad elegida, de la magnitud representada; la dirección (mejor, línea de acción) corresponde a la recta a la que pertenece el segmento; el sentido se indica mediante una punta de flecha; y el origen señala el punto donde se aplica la magnitud o punto de aplicación.
Un vector se representa por medio de una letra latina o griega que simboliza la magnitud a la que se refiere, y encima de ella, una flecha que indica el carácter vectorial de dicha magnitud. Para representar el módulo de un vector se utilizan letras normales (sin flechital, empleándose también esta notación cuando no se quiere insistir en el carácter vectorial de la magnitud. Otra forma de representar módulos consiste en escribir el símbolo del vector entre barras verticales. Ejemplo:
v= vector velocidad v,
IVI = módulo del vector velocidad
En la figura vemos que los vectores Ay Btienen la misma línea de acción y el mismo sentido; en cambio, el módulo de Bes doble del de A.
A
B=2A
-----.~
.
1.2. Clases de vectores Los vectores pueden ser: a) Iguales: si coinciden en todos sus elementos (punto de aplicación, línea de acción, sentido, módulo). b) Opuestos: si tienen igual módulo y línea de acción pero sus sentidos son contrarios.
Cosenos directores de un vector
z
------- --------------
c) Fijos: o ligados a un punto, si exigen la concreción del punto de aplicación.
Az -
-
-
-
-
-
-
-
, -
d) Deslizantes: o ligados a una recta, cuando, sin modificar su efecto, pueden trasladarse a lo largo de su línea de acción. e) Libres: o ligados a un plano, si pueden trasladarse paralelamente a sí mismos sin que varíe su efecto. Un vector libre viene determinado únicamente por el valor de su magnitud y por su línea de acción (módulo y cosenos directores), o, lo que es lo mismo, por sus tres componentes cartesianas (proyecciones del módulo sobre los tres ejes coordenados).
f) Equipolentes: cuando tienen sus componentes cartesianas idénticas.
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
",
:,~
---ª-º--------4
y, / / ~ lY" /
~
a
Vectores iguales
Vectores opuestos
'
Y
Vectores deslizantes
Az
A,
Ax = A cos ex Ay = Acosj3 Az = A cos 'Y
A = Ax + Ay + Az
A=VA~ + A~+A;
: :
,
:. , I
y
,
o-------ª-+ -
-~~;:
/'
,
------------------- - - -- - ~/;/
x
Cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos a, f3 y r que forma el vector con cada uno de los ejes coordenados. Su valor, obtenido a partir de la figura, vendrá dado por:
cosa=
A
Á
A
cos f3 = - y A A cos r =-L A
Se deduce fácilmente que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a la unidad.
Vectores libres
7
VECTORES Y FUERZAS
El sacacorchos sube al girar en el sentido de la velocidad angular.
El vector Aatraviesa la superficie pasando de la cara interior a la exterior.
Vectores axiales.
g) Axiales: si se utilizan para representar magnitudes que pueden considerarse como vectoriales y a las que, por convenio, hay que asignarles un sentido. Tal es el caso, por ejemplo, de la velocidad angular cuyo sentido viene definido por la regla de Maxwell (avance del sacacorchos) o el de una superficie (límite de separación de dos medios) cuyo sentido se fija suponiendo que el vector la atraviesa pasando de la cara interior (negativa) a la exterior (positiva). 1.3. Las fuerzas. Carácter vectorial El concepto de fuerza es intuitivo y surge de la propia experiencia cuando se intenta deformar un cuerpo o modificar su vector velocidad. El mero hecho, por ejemplo, de estirar un muelle para alargarlo nos exige la acción de una fuerza; fuerza que, a su vez, «provoca» la aparición de otra (reacción) en el propio muelle que tiende a que éste recupere su forma primitiva. Podríamos decir, por tanto, que: Toda fuerza es siempre una acción mutua ejercida entre dos cuerpos (fuerzas exteriores) o entre dos partes de un mismo cuerpo (fuerzas interiores). Las fuerzas son magnitudes vectoriales; por tanto, para poder interpretar con exactitud sus posibles efectos hay que conocer, además del valor de su medida (número y unidad), el punto de aplicación, la línea de acción y el sentido en que actúan. Cuando se conceptúen como vectores libres bastará conocer su módulo y cosenos directores o, lo que es lo mismo, sus componentes rectangulares.
I
Ejemplos 1. Una fuerza de 6,164 kp actúa sobre una anilla de acero, sujeta a una pared, de modo tal que forma los siguientes ángulos con cada uno de los ejes cartesianos: a= 60,86°; f3= 71°; y= 35,8°. Calcula las componentes rectangulares de la fuerza aplicada y comprueba que la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual a 1. Solución:
z
A x=A· cos a=6,164 kp· 0,487=3 kp Ay=A . cos f3= 6,164 kp . 0,325 = 2 kp
y
Az=A· cos y=6,164 kp· 0,811 =5 kp
Por otra parte: (0,487t + (o, 325t + (0,811t = 1
2. Un bloque de 10 kg se encuentra situado sobre un plano inclinado 30° sobre la horizontal. Calcula las componentes del peso, normal y paralela al plano. Solución: De acuerdo con la figura los dos ángulos alfa son iguales por ser ángulos agudos de lados perpendiculares. El ángulo beta es el complementario de alfa y su valor es 60°. El peso m . 9 del cuerpo es 100 N. En consecuencia: N=P· cos 30°= 100 N· 0,866= 86,6 N F = p . cos 60° = 100 N . 0,5 = 50 N
8
Unidad 1 2. SISTEMAS DE VECTORES. APLICACiÓN A LAS FUERZAS Varios vectores constituyen un sistema cuando actúan simultáneamente sobre un mismo punto. Cada uno de ellos recibe el nombre de componente y aquel vector que realiza el mismo efecto que el sistema -y, por tanto, puede sustituirlo- se denomina vector resultante o vector suma. El simbolismo R= + E+ 8 + ... indica que el vector R es la suma de los vectores componentes E, 8, .. . y, en consecuencia, puede sustituir al sistema formado por ellos.
a
a,
Para determinar gráficamente el vector resultante de un sistema se aplica la llamada regla del polígono: el vector que une el origen del primero del sistema con el extremo de la línea formada al trazar, unos a continuación de otros, vectores equipolentes a los dados, es el vector resultante.
------R
La suma de vectores posee las propiedades conmutativa:
R=A+B+C=C+B+A y asociativa, según se observa en la figura adjunta. En el caso de dos vectores concurrentes el módulo del vector resultante se deduce por aplicación del teorema del coseno a uno de los triángulos formados por un vector componente, el equipolente al otro y el vector resultante:
y como cos f3 = - cos a, por ser ángulos suplementarios:
R = ~ A2 + 8 2 + 2 A8 cos a Para aquellos casos de sistemas formados por varios componentes se aplica la propiedad asociativa a parejas de dos vectores. 2.1. Sistema de fuerzas Componer un sistema de fuerzas consiste, en principio, en obtener su resultante general. De hecho, implica también el cálculo del momento resultante (se explicará más adelante) pero como en la mayoría de los casos éste es nulo, el problema queda reducido simplemente a la determinación de la fuerza resultante tal como se explicó para el caso general de vectores.
r---------------------------------------------------------------1. Calcular el módulo de la resultante de dos fuerzas de igual valor cuyas direcciones forman: a) un ángulo de 90°; b) un ángulo de 60°.
Ejemplos
I
.
Solución: a)
R = ~ F 2 + F 2 + 2 . F . F . cos 90°
= ~ 2 . F 2 = F.J2
b)
R = ~ F + F + 2 · F . F . cos 60°
=.J3.F2 = F.J3
2
2
9
VECTORES Y FUERZAS
f
~OON :p
f
•
2. Un cuadro está colgado por un clavo sujetándolo ángulo de 90°. Se sabe cuerda sin romperse es puedetenerel suadro?
en una pared mediante una cuerda que pasa en un punto medio y cuyas mitades forman un que la máxima fuerza que puede soportar la 100 N. Con estos datos, ¿qué máximo peso
Solución: Las dos fuerzas (tensiones) que han de soportar cada una de las cuerdas son iguales, formando un sistema cuya resultante es una fuerza opuesta al peso del cuadro. Al ser perpendiculares ambas fuerzas, el valor de la resultante (máximo peso del cuadro) será, según el ejercicio anterior:
R = F·
A
1m
1m
B
.f2 = 100 N . .f2 = 141,4 N
3. Desde dos puntos de una misma horizontal, distantes entre sí 2 m, cuelgan dos cables iguales que forman con la horizontal ángulos de 40° y soportan un peso de 100 kp tal como se indica en la figura. Calcula la tensión de cada cable, y la distancia entre la horizontal y el punto de suspensión.
100 kp
Solución: Las dos fuerzas (tensiones) ejercidas por cada cable han de ser iguales, formando sus direcciones un ángulo de 100° (recuérdese que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°). Según lo explicado: 1002 = T 2 + T 2 + 2 T . T . cos 1000
A~~____~~-'-7B 40 °"", .R=P ",,40° 00° '
1002 = 2 T 2 - 0,3473 T 2 = 1,6527 T 2 de donde:
T
P=100 kp
T= 77,8 Kp Por otra parte se observa en la figura que: tg 40 0 =a/1 m de donde: a = 1 m· tg 40 0 = 0,84 m
3. DESCOMPOSICiÓN DE VECTORES Descomponer un vector en otros varios (componentes) es hallar un sistema cuyo vector resultante sea el dado; es decir, un sistema que produzca el mismo efecto que el vector propuesto. De hecho, así planteado el concepto (y el problema), el número de soluciones posibles es infinito. Esto exige, si se pretende una sola solución, el que se concreten previamente algunos datos (valores de alguno de los componentes, ángulos formados por ellos, etc.), siendo muy frecuente la exigencia de que los vectores componentes del sistema sean perpendiculares entre sí (componentes rectangulares o cartesianas). Estos componentes rectangulares no son otra cosa que las proyecciones del vector dado sobre cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas (véase lo explicado en 1.2. y los ejercicios resueltos en ese apartado).
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Unidad 1 .............................................................................................. 4. PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCALAR El producto -o cociente- de un vector por un número escalar es otro vector de la misma dirección y sentido que el dado, cuyo módulo es el producto -o el cociente- del vector inicial por el escalar. ir
--+- . 3 =
3a
--.;....:;.-...,.~
Evidentemente, si se conocen las componentes rectangulares de un vector, al multiplicar éste por un escalar n, aquellas también se verán multiplicadas por el mismo número.
n·A=n ·Ax +n·Ay +n ·Az 4.1. Vector unitario Lo explicado anteriormente permite considerar a todo vector como múltiplo de otro cualquiera de su misma dirección y sentido. Si este vector de referencia tiene de módulo la unidad se le denomina vector unitario, cumpliéndose que:
Si en la expresión del vector unitario üA :
A =A · üA donde A representa al vector, A es su módulo, y üA es el vector unitario dirigido según la dirección y sentido de A. De esa expresión se deduce que:
_
A
uA = A 4.2. Los vectores 7,],
Expresión algebraica del vector unitario
sustituimos A en función de sus componentes, resulta:
_
uA =
k
Con esas letras se simbolizan los vectores unitarios situados respectivamente en las direcciones de los ejes X, Y, Z y sentido positivo (hacia adelante, hacia la derecha, hacia arriba). Como todo vector puede descomponerse en sus componentes rectangulares y éstas, según lo explicado ahora, pueden expresarse como múltiplos de sus correspondientes unitarios 7, o k; se tiene que:
7,
7
A} +A y +A){ A
=
A - A - A =......!5...i+.......Lj+---Lk= A A A = cos a T+ cosf3 + cos y
7
k
Las componentes de un vector unitario son los cosenos directores de dicho vector.
A = Ax+ Ay+ Az= Ax . 7+ Ay ·7+ ~ . k cumpliéndose, según lo explicado, que:
•
A=
IA2x + Ay2 + Az2
"'IJ
(cosenos directores) •
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a la unidad.
4.3. Aplicación al cálculo de fuerzas resultantes La resolución de un sistema de fuerzas se simplifica muchísimo si éstas se descomponen previamente en sus componentes rectangulares y se expresan en función de los vectores unitarios 7, k. Basta, en estos casos, sumar algebraicamente los coeficientes que afectan respectivamente a lo~ vectores unitarios y deducir, finalmente, el vector resultante (o expresarlo sin más en función de 7, k).
7,
7,
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VECTORES Y FUERZAS
I
Ejemplos 1. . Una fuerza de 400 N actúa verticalmente hacia arriba sobre un cuerpo. Otra fuerza, simultánea con la anterior, y de valor 250 N, actúa sobre el mismo cuerpo formando un ángulo de 60°, hacia arriba, con la horizontal. Calcula: a) la fuerza que tiende a elevar el cuerpo; b) la fuerza total que actúa sobre él. #
Solución:
y 400T
Admitiendo que las fuerzas son coplanarias y actúan en el plano XV, sus respectivas componentes rectangulares son:
F= O . T+ 400 ·7 (SI) F' = 250 cos 60° T+ 250 cos 30° 7= 125 T+ 216,57
216,5T
(SI)
Ry=Fy+F;=4007 + 216,57 = 616,57
x
1251
a) La fuerza que tiende a elevar el cuerpo corresponde a la resultante de las componentes rectangulares verticales:
y
(SI)
b) La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es:
R=F +F' =4007 + 125 T+ 216,57= 125 T+ 616,57
t·~
10
cD ,.... co
(SI)
R
siendo su módulo:
x
1251
2. Un bloque de peso P está suspendido de una cuerda de 20 m de cuyo punto medio se tira horizontalmente, mediante otra cuerda, con una fuerza igual a la cuarta parte del peso del bloque. Calcular cuánto se desviará el bloque lateral y verticalmente. Solución: Sobre .el punto donde se aplica la fuerza horizontal actúan las siguientes fuerzas:
- ---,,~-
Fx = - 4P ¡
•
la horizontal aplicada:
•
el peso del cuerpo:
•
la tensión T de la cuerda que cuelga y que se descompone en dos componentes rectangulares:
4'
Fx E
o ,....
E o,....
Cuando el sistema está en equilibrio la resultante de las fuerzas ha de ser nula, cumpliéndose que:
Tcos cp-P/4=0 ;
Tx
x
Fx
- P ·7
y
Ty
E o,....
Tsen cp-P=O
p
O
p
Por otra parte vemos en la figura que: sen cp=y/10
cos cp=x/10
Sustituyendo valores:
T . ~ - P =0 10
y 10
T · --P=O
4
~+ 1=100
Resolviendo el sistema se tiene:
x=2,425 m;
y=9 ,70 m
Por lo tanto, el bloque se desvía horizontalmente 2,425 m y verticalmente: 10m - 9,70 m = 0,30 m
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Unidad 1 .............................................................................................. ,
e
Actividades
::::>
1. ¿Es posible que la resultante de un sistema de dos fuerzas, de valores 5 N Y 7 N, sea 2 N? ¿Y 12 N? ¿Y 14 N? Razona la respuesta en cada caso.
2. Un poste del tendido eléctrico complementa su .sujeción en el suelo mediante dos tensores de acero que, partiendo de un mismo punto del suelo, alcanzan al poste formando con él ángulos de 40° y 60° soportando tensiones, respectivamente, de valores 100 kp y 60 kp. Si ambos tensores se sustituyen por un solo cable, ¿qué tensión soportaría? ¿Qué ángulo formará con el poste?
Resultado: T= 157,7 kp;
a= 47,48°
3. Para elevar a velocidad constante una viga de hierro de 1 tonelada de masa, una grúa de las habitualmente empleadas en la construcción utiliza un dispositivo como el representado en la figura. Si la máxima tensión que soportan los cables de sujeción, sin llegar a la ruptura, es de 5 000 N cada uno, ¿podrá llevarse a cabo la operación sin peligro alguno?
Resultado: No, puesto que la tensión que debiera soportar cada cable es 5 773,5 N
5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Se denomina así (y se simboliza como A . B) al número que resulta de multiplicar entre sí los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman sus líneas de acción. Matemáticamente:
A . B= A
. B . cos cp
Como el producto B . cos cp representa la proyección del vector B sobre la dirección del vector ,4,. el producto escalar también puede definirse como el producto del módulo de uno cualquiera de los vectores por la proyección del otro sobre él (véase figura).
A·S = A·B
B . cos
cOS<p
<p
5.1. Propiedades
•
El producto escalar de dos vectores cumple la propiedad conmutativa y la propiedad distributiva respecto a la suma:
A·B=B·A A· (B+C) =A· B+A· C • El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo (cos 90° = O). • El producto escalar es máximo si los vectores tienen la misma dirección (cos 0° = 1) • El ángulo que forman entre sí dos vectores cualesquiera viene dado por la expresión: A-B cp = arc cos - A ·B 5.2. Cálculo Si los vectores A y B se expresan en función de los unitarios producto escalar de ambos viene dado por la expresión:
A . B =Ax· Bx+Ay· By+Az· Bz deducida a partir del producto (A x I+AJ+Azk) . (B x 1+ BJ+BJ) y teniendo en cuenta que los productos
1, }, k,
el
Proyección de un vector sobre otro
De la expresión correspondiente al producto escalar:
A . B = A . B cos qJ se deduce (véase figura): Proy A B = B· cos qJ =
- - -
kB A - - =B·--=-·B=B,u A kB A
La proyección de un vector sobre otro es igual al producto escalar del vector que se proyecta por un vector unitario en la dirección sobre la que se proyecta.
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VECTORES Y FUERZAS
I
Ejemplos 1. Una argolla, sujeta al suelo mediante una plataforma horizontal , está sometida a la acción de dos fuerzas:
F\ = 25 7+ 147 + 18 k F2 = 40 7- 92 7+ 16 k
(SI)
(SI)
Deduce qué ángulo forman entre sí y calcula el módulo de su resultante. Solución: a) El producto escalar
F1 . F2
es:
25 . 40 + 14 . ( - 92) + 18 . 16 = O
lo que indica que las líneas de acción de ambas fuerzas son perpendiculares. b) La fuerza resultante de ambas viene dada por:
R= F1 + F2 = 65 7- 787 + 34 k siendo el valor de su módulo:
NOTA:
El módulo de R también puede deducirse calculando previamente los módulos de F1 y F2 y, al ser las fuerzas de direcciones perpendiculares, aplicar la expresión:
R= ~F,2 +~2 2. Dos vectores A y
B cumplen la condición: lA + BI = lA - Bl. Demostrar que A y B son perpendiculares.
Solución: Consideremos que los vectores A y B vengan dados por:
A=Ax 7+A y7+Azk Como
B=B)+By7+Bz k
A+B=(Ax+Bx) 7+ (Ay+By) 7+ (Az+Bz ) k A -B = (Ax-Bx ) 7+ (Ay-By) 7 + (Az -Bz ) k
los módulos de la suma y de la diferencia de ambos vectores serán:
Como estos módulos han de ser iguales, se cumplirá:
es decir:
(Ax+Bx)2+ (Ay+By)2+ (Az+Bz )2= (Ax-Bx)2+ (Ay-By)2+ (Az -Bz) 2 Simplificando la expresión a~terior, resulta: Ax . Bx + Ay . By+ Az . Bz = O, es decir: A . B= O, laque pone de manifiesto que los vectores A y B son perpendiculares.
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Unidad 1
,Llctividades de Síntesis 1. Identificar el carácter vectorial o escalar de las siguientes magnitudes: masa, trabajo, velocidad, peso, potencia mecánica, presión yaceleración. 2. ¿Cómo se podría representar vectorialmente el movimiento del minutero de un reloj de agujas? 3. Calcular el vector resultante (módulo) de dos vectores fuerza de 9 y 12 N aplicadas en un punto O, formando un ángulo de: a) 30°, b) 45°, c) 90°
Resultados: a) Fa=20,3 N, b) Fb=19,43 N, c) Fc=15 N 4. El vector resultante de dos vectores fu.erza de direcciones perpendiculares vale 10 N. Si una de las fuerzas componentes es 8 N, ¿cuál es el valor de la otra? Resultado: F2 = 6 N 5. Descomponer un vector fuerza de 100 N en dos componentes rectangulares tales que sus módulos sean iguales.
Resultado: Fx = Fy = 70,7 N 6. Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 200 N. Si la cuerda forma un ángulo de 30° con el suelo horizontal, ¿cuál es el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente el cuerpo?
Resultado: Fy = 100 N 7. Dos hombres tiran horizontalmente de sendas cuerdas atadas a un poste, las cuales forman entre sí un ángulo de 45°. Si el hombre A ejerce una fuerza de 750 N Y el B una fuerza de 500 N, hallar el valor de la resultante y el ángulo que forma con la tracción ejercida por el hombre A.
11. Calcular los módulos y los cosenos directores de los vectores anteriores. Resultados: A=5,1; 8=10,25; cos a = 0,5883; cos f3= 0,7844; cos y = 0,1961; cos a ' = 0,3904; cos f3' =-0,4879; cos y' = 0,7807 12. Dados los vectores A (3, - 2, O) Y B (5, 1, -2), deducir: a) Sus módulos. b) Su producto escalar. c) El ángulo que forman. Resultados: a) A=m, 8=..f30, b) A · B= 13; c) <p=48,83° 13. Hallar un vector que sea perpendicular al vector A = 7+ 7+ k, que cumpla la condición de que su componente sobre el eje Z sea nula y que sumado con el vector ( - 3,0, - 1) se obtenga de primera componente el valor cero.
Resultado:
V= 3 7-
37
14. Hallar un vector cuyos componentes sean proporcionales a 2, 3 Y 4, respectivamente, y cuyo módulo sea -ff16
Resultado:A=±(47+ 67+ 8k) 15. Hallar la tangente del ángulo que forman los vectores A = 3 7- 7+ 2 k y B = 7+ k.
Resultado: tg <p = -/3/5 16. Comprobar que los vectores A = 3 7+27 - k; B=7+37-5k y c=2 7-7 + 4kforman untriángulo rectángulo. 17. Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 km/h y las corrientes lo arrastran hacia el este con una velocidad de 9 km/h. ¿Cuál es el valor, dirección y sentido de la velocidad real del barco?
Resultados: R= 1 160 N; <p= 17,8°
Resultado: v= 15 km/h hacia el nordeste formando un ángulo de 53,13° a partir del este
8. Dado el vector A = 3 7+ 27+ 51<:: a) Representarlo gráficamente. b) Calcular su módulo. c) Calcular . sus cosenos directores.
18. ¿Qué fuerza paralela a un plano inclinado, de pen diente 27,8 %, se debe ejercer para conseguir que un cuerpo de 90 kg colocado en él no deslice?
Resultados: b) A = 6,164; c) cos a= 0,487; cos f3= 0,324; cos y= 0,811
Resultado: F= 250,2 N
9. Deducir el valor de x para que los vectores A (5,1, - 2) Y B (2, x, 6) sean perpendiculares:
19. Dados los vectores A (3,-1,2) Y B (1,1,-2) calcular a) su producto escalar, b) el ángulo que forman sus direcciones.
Resultado: x= 2
Resultados: a) A · 8=-2; b) 102°36'
10. Dos vectores A y B v i enen expresados por: A = 3 7+47+ k; B= 4 7-57+ 8 k. Deducir si son perpendiculares. Resultado: Sí, porque A . B = O
-
20. Empleando el cálculo vectorial, demostrar que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
15