MOVIMIENTO RELATIVO
eONTENIDOS 1. MOVIMIENTO ABSOLUTO, RELATIVO Y DE ARRASTRE 1.1. Fórmulas de Poisson. 1.2. Fórmula de Boure. 2. VELOCIDADES ABSOLUTA, RELATIVA Y DE ARRASTRE 2.1. Cálculo de la velocidad absoluta. 3. ACELERACIONES ABSOLUTA, RELATIVA Y DE ARRASTRE. ACELERACiÓN DE CORIOUS 4. SISTEMAS INERCIALES. PRINCIPIO MECÁNICO DE LA RELATIVIDAD DE GALILEO 5. INFLUENCIA DE LA ROTACiÓN DE LA TIERRA EN EL MOVIMIENTO DE UN PUNTO 5.1. Influencia de la aceleración de Coriolis sobre fenómenos naturales.
168
El término "relativo" es muy usual en nuestra "visión práctica de la vida". 'Todo es relativo", solemos decir a la hora de interpretar un suceso. Y todo porque en esa posible interpretación basamos nuestro razonamiento en una peculiar referencia. Una velocidad de 40 000 km/h es relativamente muy grande comparada con la de un ciclista que participa en el Tour de Francia y, sin embargo, es muy pequeña comparada con la velocidad de propagación de la luz en el vacío. El concepto de movimiento exige un cambio de posición respecto a un sistema de referencia. Pero, ¿cómo está este sistema referencial: en reposo real o en movimiento relativo respecto a otro sistema? Y si es así, ¿cómo interpretar el movimiento de un cuerpo que se mueve respecto a un sistema de referencia móvil? Tú mismo encontrarás respuesta a estas cuestiones.
Unidad 8 1. MOVIMIENTO ABSOLUTO, RELATIVO Y DE ARRASTRE La imposibilidad de concretar un sistema de referencia realmente fijo (o espacio absoluto) respecto al cual pueda estudiarse el movimiento de un punto o de un sólido rígido obliga a la elección arbitraria de un sistema de referencia que se considera como fijo y, así, poder anaUzar el movimiento de los cuerpos que se mueven respecto a él o respecto a otros sistemas móviles en relación con aquél. Es el caso, por ejemplo, de una persona que camina por el pasillo de un tren en marcha; su movimiento puede estudiarse respecto a una ventanilla del tren o respecto a un poste de la vía que, a su vez, determina el movimiento del propio tren. Consideremos un punto P, cuyo movimiento pretendemos analizar, y dos sistemas de referencia distintos, uno en movimiento respecto al otro. A este último sistema lo llamamos referencia fija y viene representado por {01X1Y1Z1}' y al primero referencia móvil, representado por {OXYZ}. En la mayor parte de los casos esta referencia móvil se asocia a un cierto sólido rígido.
Y
1<,
Y, j,
X
i,
Sistemas de referencia móvil {OXYZ} y fijo {O,X,Y,Z,}.
Se define: •
Movimiento absoluto. Es el movimiento del punto P respecto a la referencia fija.
•
Movimiento relativo. Es el movimiento de P respecto a la referencia móvil.
•
Movimiento de arrastre. Es el movimiento de la referencia móvil respecto a la fija.
I
Ejemplos 1. En el caso del tren, citado anteriormente, el movimiento de la persona respecto al poste de la vía (sistema fijo) sería un movimiento absoluto; estudiado respecto a una ventanilla del tren sería un movimiento relativo; mientras que el movimiento del tren respecto al poste determinaría el movimiento de arrastre.
Admitiendo que un sistema de referencia es indeformable, se concluye que el movimiento de arrastre consiste, precisamente, en una traslación, en una rotación alrededor de un eje fijo, o en ambos movimientos a la vez (movimiento general). Supuesto este último caso (que incluye a los dos anteriores como casos particulares), para analizar el movimiento de arrastre es necesario conocer el vector rotación instantánea, de la referencia móvil, así como la velocidad lineal instantánea, o' de su origen, 0, y sus respectivas variaciones con el tiempo, a y 80 ,
ro,
v
Por otra parte, si la referencia móvil posee movimiento de rotación los vectores unitarios T, 7, k experimentarán una variación en su dirección y sentido (aunque no en módulo), cumpliéndose que:
~;)
F
= ro ¡ ; Á
El vector unitario T puede consi derarse como el vector posición fA = T del punto A de coordenadas (1, O, O). Entonces:
d T d fA -=-=v dt
dt
Pero como VA = ta finalmente: .
1.1. Fórmulas de Poisson
(
Las fórmulas de Poisson Si un sistema de referencia posee movimiento de rotación, los vectores unitarios T, ], k situados sobre los ejes cartesianos experimentan una variación a lo largo del tiempo, no en módulo, pero sí en dirección y sentido .
(~{)
F
=
ro ¡ ; (~~) Á
F
= ro k Á
Éstas son las llamadas fórmulas de Poisson, que permiten calcular las derivadas, respecto al tiempo, de los vectores unitarios de los ejes móviles en relación a una referencia fija, a causa del movimiento de rotación de dichos ejes.
di dt
-
ro
A
-
A
fA = ro· T, resul -:
=O) A /
[1]
Pr ocediendo del mismo modo con los vectores unitarios], k, se obtienen resultados análogos:
dj
_
-;
- = O)A }
dt d k dt
-
-
=O) A
k-
[2]
[3]
Las expresiones [1], [2] Y [3], que indican el valor de las derivadas temporales de los vectores unitarios de los ejes móviles cuando éstos están sometidos a un movimiento de rotación, se conocen con el nombre de fórmulas de Poisson.
169
MOVIMIENTO RELATIVO 1.2. Fórmula de Boure
Supongamos un vector cualquiera E(vector posición, velocidad, aceleración, etc.), que en una referencia móvil puede expresarse mediante la ecuación:
E=b)+by7+bJ;
, Su derivada respecto al tiempo será:
d b) ( dt
= Ó M VIL
puesto que los vectores unitarios 7,
dbx I + db y -; + dbz k dt dt J dt
7. k son constantes para esta referencia.
Si ahora se deseara hallar la derivada respecto al tiempo del vector relación con la referencia fija, se cumpliría que:
=(dbx 1+ db y -; + db z k)+(b di +b dJ +b dk) dt dt J dt x dt y dt z dt
db) ( dt .
E en
FIJA
puesto que que tanto b x' by, b z como los vectores unitarios T, 7, k son variables respecto al tiempo si se toma como sistema referencial la referencia fija. De acuerdo con lo explicado anteriormente y las fórmulas de Poisson:
(
~~ )
=
(~~ )
FIJA
+ b x(ió 1\ 1) + b y(ió 1\ J) + b z (ió 1\ k) MÓVIL
o también:
(m es la rotación instantánea de la referencia móvil respecto a la fija; es decir, la rotación instantánea del movimiento de arrastre).
La expresión es la llamada fórmula de Boure. Su significado físico puede enunciarse en estos términos: En cada instante, la derivada absoluta de un vector cualquiera E, respecto al tiempo, es igual a la suma de la derivada relativa más el producto vectorial de la velocidad instantánea de rotación por dicho vector E.
m
1.2.1. Consecuencias •
La derivada absoluta del vector E, respecto al tiempo, coincidirá con la derivada relativa cuando el producto vectorial 1\ E sea nulo. Es decir: si uno de los dos vectores (o los dos) es nulo, o si ambos poseen la misma línea de acción o líneas de acción paralelas.
m
Evidentemente, si traslación. •
170
m= 6, se trata de un movimiento de arrastre de
Si el vector E es la rotación instantánea del movimiento de arrastre, se cumplirá que:
m,
Unidad 8
(dW) dt _(dW) dt +W/\W_(dW) dt F
M
,puestoquew/\w=O. M
Por tanto: la derivada respecto al tiempo del vector si se toma como referencia la fija o la móvil.
w es la misma tanto
2. VELOCIDADES ABSOLUTA, RELATIVA Y DE ARRASTRE
Consideremos, al igual que en el apartado anterior, un punto P cuya posición respecto a la referencia móvil viene dada por el vector 1, y respecto a la referencia fija por 11 , Se define: •
Velocidad absoluta de P. Es la velocidad de P respecto a la referencia fija:
- _(d~) dt
vp
-
F
•
Velocidad relativa de P. Es la velocidad de P para la referencia móvil:
•
Velocidad de arrastre de P. Es la velocidad que tendría el punto P si no poseyera movimiento relativo; es decir, si él "viajase" solidario con la referencia móvil. Su valor, en el caso de que la referencia móvil posea un movimiento general, vendrá dado por:
siendo
170 = (
d:~o)F
la velocidad absoluta de O; es decir, la velocidad
del origen de la referencia móvil respecto a la fija; y 110 el vector posición de respecto a 01'
°
- (d~o) _dt +OJ/\r
va
Por lo tanto:
= --
F
2.1. Cálculo de la velocidad absoluta
De acuerdo con la figura, se deduce fácilmente que:
Según lo expuesto, la velocidad absoluta de P vendrá dada por:
- _(d~) _-o + (dr) dt _(d~o) dt + (dr) dt -v dt
vp
-
-
F
El término
(dr) dt
F
F
F
,de acuerdo con la fórmula de Boure, viene dado por: F
(dr) dt =(dr) dt +w/\r F
M
Sistemas de referencia móvil {OXYZ} y fijo
{O,X,Y,Z,},
171
MOVIMIENTO RELATIVO
siendo, a su vez,
dt (dr)
M
_
la velocidad relativa vr· Por tanto: I
v = va + vr + ro r p
I
1\
#
Y como
va + ro res la velocidad de arrastre, se tiene finalmente: 1\
La velocidad absoluta de un punto es igual a la suma de su velocidad relativa y la de arrastre.
I
Ejemplos 1. El disco de la figura, de 0,5 m de radio, situado inicialmente en el extremo O de la varilla, desliza a lo largo de ella con una velocidad de 0,5 mis en el sentido positivo del eje OY, y a la vez gira sobre su eje con una velocidad angular de nl2 radls, en el sentido señalado por la flecha. Hallar la velocidad del punto P de la periferia del disco al cabo de 2 segundos de iniciado el movimiento.
z
Solución:
y
Consideremos como sistema de referencia fijo el señalado en la figura y supongamos, a su vez, un sistema de referencia móvil de ejes paralelos a los anteriores y cuyo origen coincida en todo momento con el centro del disco.
x _
La velocidad angular del disco es gundos, el disco habrá girado:
úJ
n-:
=
2' J . Al
cabo de 2 se-
e = úJ . t = -n -rad .2 s = n rad 2 s
Y'
y el punto P se encontrará en la nueva posición que se señala en la figura. Analicemos, ahora, los movimientos relativo y de arrastre.
x'
•
• Movimiento relativo. Es el movimiento del punto P respecto al centro del disco. Como en el instante indicado 0,5 k, la velocidad relativa valdrá:
r=
Movimiento de arrastre. Es el movimiento del punto P, solidario al disco, respecto al extremo O de la varilla. La velocidad de arrastre es: va = 0,5
J.
Por lo tanto, la velocidad absoluta del punto P será: v p =vr +v a
172
n-: -: =¡-' +0,5J
Unidad 8
•••..•........••....•........•...•............••...•.. ·········································1 3. ACELERACIONES ABSOLUTA, RELATIVA Y DE ARRASTRE. ACELERACiÓN DE CORIOLIS
Siguiendo un razonamiento similar al de los apartados anteriores, definiremos: •
Aceleración absoluta de P. Es la aceleración del punto P en relación a la referencia fija. Matemáticamente es la derivada, respecto al tiempo, de la velocidad absoluta: I
- _(dV
ap •
p )
-
dt
F
Aceleración relativa de P. Es la aceleración de P en relación con el sistema de referencia móvil; es decir, la aceleración de P en el movimiento relativo. Matemáticamente es la derivada, respecto al tiempo, de la velocidad relativa, medida por la referencia móvil:
8 =(dVdt
r
)
r
•
M
Aceleración de arrastre de P. Es la aceleración que tendría el punto P si no poseyera movimiento relativo; o, lo que es lo mismo, si P estuviese fijo respecto a la referencia móvil y únicamente se moviera debido al arrastre.
Su valor, en el caso general, será:
I 8a = 8a + a1\ r + ro 1\ (ro I'J) siendo 8a la aceleración absoluta de O (aceleración del origen de la referencia móvil con respecto a la fija); y ii la aceleración de rotación:
3.1. Cálculo de la aceleración absoluta
De acuerdo con la expresión, ya explicada en el apartado anterior, correspondiente a la velocidad absoluta: vp = vr + va= vr + (va+ 1\ r), la acele-
ro
ración absoluta vendrá dada por la derivada, respecto al tiempo, de lación a la referencia fija:
v en rep
Derivando respecto al tiempo:
8p
=(dV =(dV +(dVa ) +(d(rol\ r)) p
~
r )
)
F
~
F
~
F
~
F
El cálculo de esta derivada, que exigiría la aplicación de la fórmula de Boure a cada uno de los términos del segundo miembro, conduce a:
Considerando el valor de la aceleración de arrastre citado en este mismo apartado, la expresión anterior se convierte en:
173
MOVIMIENTO RELATIVO
v
El término 2 [ti) /\ r ] que aparece en las anteriores expresiones es la llamada aceleración complementaria o aceleración de Coriolis, e , cuya importancia es muy significativa en aquellos casos en los que la referencia móvil va provista de un movimiento de rotación. Teniendo esto en cuenta, se puede escribir:
a
que constituye la expresión matemática del teorema de Coriolis: La aceleración absoluta de un punto P es igual a la suma de las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis de dicho punto.
a
La aceleración de Coriolis viene dada por la expresión: e = 2 [ti) /\ Vr ], de modo que su valor en un punto determinado es igual al doble del producto vectorial de la velocidad instantánea de rotación de arrastre por la velocidad el relativa del punto. Si se designa por <p el ángulo entre los vectores ro y módulo de la aceleración de Coriolis será:
v"
lác 1= 2 úJ · v
r .
sen <p
v
Por otra parte, la fórmula ae = 2 [ro /\ r ] pone de manifiesto que la aceleración de Coriolis será nula en los siguientes casos:
Fíjate
Aunque puede existir rotación tanto en el movimiento de arrastre como en el relativo, la rotación que interviene en la aceleración de Coriolis es la que corresponde al movimiento de arrastre. Es lógico que sea así, puesto que la aceleración de Coriolis sólo puede existir cuando el movimiento de arrastre de los ejes móviles es una rotación.
•
Si el movimiento de arrastre es exclusivamente de traslación, o si la velocidad angular de la rotación de arrastre se hace nula en el instante dado (ti) = 6) .
•
Si es nula la velocidad relativa (vr = 6); es decir, si el púnto P permanece fijo respecto al sistema de referencia móvil, o bien si en el instante considerado nos encontramos en un punto de retroceso del movimiento relativo.
•
Cuando <p = 0° ó <p = 180°; es decir, cuando el movimiento relativo se efectúa en dirección paralela al eje de rotación de arrastre, o si en el instante dado el vector r es paralelo a este eje.
v
I
Ejemplos 1. Un bombero sube por la escalera de un camión de servicio con una velocidad constante de 0,5 mis. La escalera está inclinada 60° respecto a la horizontal y gira con una velocidad angular constante úJ= 6 rpm alrededor del eje vertical en sentido antihorario. El bombero inicia la subida cuando la escalera se encuentra en el plano de simetría del camión y dirigida hacia adelante. La velocidad inicial del camión es va = 5 mis y su aceleración a = 0,5 m/s2 • Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del bombero cuando la escalera haya descrito una vuelta' completa. Solución: La velocidad angular de la escalera es:
x úJ
174
=6
rev . 27r rad . 1 min min 1rev 60 s
=!!.5
radls
Unidad 8 y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa: t=
z
2n rad = 10 s n/5 radls
En ese tiempo, el espacio que recorre el bombero sobre la escalera es:
s=v · t=0,5 mis ·10 s=5 m En la figura se representa la posición al cabo de 10 segundos, que es cuando deseamos calcular la velocidad y la aceleración. Tomamos los ejes fijos tal como se indica, con origen O en el punto donde se encuentra el pie de la escalera al cabo de esos 1O segundos, en cuyo momento la velocidad del camión será:
y
x
v = va+ a . t = 5 mis + 0,5 m/s2 1O s = 10 mis Analizaremos, ahora, los movimientos relativo y de arrastre. •
Movimiento relativo. Es el movimiento del bombero sobre la escalera, considerando que ésta se encuentre en reposo. Es un movimiento rectilíneo y uniforme. La velocidad y la aceleración relativas valdrán:
Vr = 0,5· (cos 60° 7+sen 60° k) =
¡·(7 +-13 k)
a =0 r
•
Movimiento de arrastre. Es el movimiento del bombero debido al giro de la escalera (considerando que el bombero no se mueve sobre ella) y al movimiento del camión. --->
La velocidad de arrastre viene dada por:
va= V + ro /\ AP A
7 (debido a la traslación
Como Va = 1O
del camión) - n kw=5
--->
-
-
AP = 5 . cos 60° j = 2,5 j
sustituyendo resulta:
Calculemos, ahora, la aceleración de arrastre:
Como
a = 0,57 (debido a la traslación del camión) A
ii /\ AP = O(pues ii = Opor ser la velocidad angular de la escalera constante)
ro /\ (ro /\ :AP) = ~ k /\ (- ~ ¡) = -
~~ 7 (aceleración normal en un movimiento circular) 175
MOVIMIENTO RELATIVO ............................................................................................
sustituyendo, resulta: La aceleración de Coriolis valdrá:
ae = 2 [ro /\ íir ] ='2 . ~5 k /\ ~4 (7 +.J3 k) = - ~ i 10 Por último, la velocidad y la aceleración absolutas del bombero serán:
v- =v- +vP
r
_
_
1 (-: ~ k-) - -n/-:+ 1OJ=--/+-J+-: n -: 41 -: .J3 k=-J+~3 84 2 244
_
_
-
5 - n2
-:
n -:
n -: 5 - n 2
-:
a =a +a +a =O+--J - - / =--/ + - - J P r 8 e 10 10 10 10
2. Un avión está girando con una velocidad v = 401t mis respecto a la Tierra alrededor de un eje vertical, describiendo una circunferencia de radio H = 800 m en sentido horario. El piloto ye moverse la hélice de su avión de radio r = 2 m en sentido horario con una velocidad de rotación (0= 101t rad/s. Calcular la velocidad y la aceleración absoluz ta del punto P de la hélice cuando se encuentra en la posición de w-...:..R~=~80:.::0...:..m~ Z' la figura y 10 segundos más tarde. Se considerará despreciable la - .. longitud del avión respecto al radio de la trayectoria. ",-
o~
Solución: El movimiento relativo es el del punto P de la hélice respecto al avión; y el de arrastre, el de dicho punto respecto a tierra, considerando la hélice en reposo.
_____~~~--~ y
X'
x
La velocidad angular del avión es:
Q=..':..= 40n mis =~ radls R 800 m 20 y expresada en forma vectorial: •
En la posición de la figura:
ñ = - ~ k . La aceleración angular será: A= d Q = 6 (por ser.Q = B). 20
ro = 10 1t 7; a = ddtro = 6 (por ser ro = cte); r = O'P = 27
•
Movimiento relativo:
•
Movimiento de arrastre:
a = ao + AI\OP +ñ/\(ñ I\OP) = ñ /\(ñ I\OP) = 8
=(-
176
;0
dt
k) /\ (40,1 n i) = - 2, 005 n 2 7
R = 00' = 800 j.
Unidad 8 .... lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
•
Aceleración de Coriolis:
•
Movimiento absoluto:
................. •
8c = 2 [ro /\. vr ] = 6 (ya que Q I IVr )
8p = 8r + 8a + 8c = - 200Jr 2 7- 2, 005 Jr2 7= - 202, 005Jr 2 7 • Al cabo de 10 segundos el avión habrá girado: rad () = Q ·t = -Jr --·10s = -Jr rad
20 s
z
2
R = BOOm
y la hélice: qJ = ro . t = 10 n radls . 10 s = 100 n md (un número entero de vueltas a la circunferencia; por lo tanto, el punto P se encuentra en ese momento en la misma posición relativa que al comienzo).
,
La posición del punto P en ese instante será la de la figura, cumpliéndose que:
ro= _10n];a=dro=6 dt •
(por ser
ro= cte);
r=OP=27;R=OO'=8007
,-
,, ,
y
ñ
p X
o
2m
Movimiento relativo:
8r = 80 , + a /\. r + ro /\. (ro /\. r) = ro /\. (ro /\. r) = (-10 Jr 7) /\. (20 Jr k) = - 200 Jr2 1 •
Movimiento de arrastre:
Va = Vo + Q/\. OP = Q/\. OP = Q/\. (R + r) 1= ( - ;0 8a = 80
k) /\. (802 1) = - 40,1
Jr
7
+A/\.OP+Q/\.(Q/\.OP) = Q/\.( Q/\.OP) =
= ( - ;0 k) /\. (40, 1Jr 7) = 2, 005 Jr2 1 •
Aceleración de Coriolis:
•
Movimiento absoluto:
8c; = 2 [ro /\. vr ] = 6 (ya que Q I IVr )
NOTA: Aunque en los dos instantes considerados la aceleración de Coriolis es nula, ello no implica que lo sea siempre. En la resolución de casos prácticos conviene efectuar en todo momento las comprobaciones oportunas.
177
. . . . . . . ..
MOVIMIENTO RELATIVO 3. Un carrusel de un parque de atracciones inicia su movimiento partiendo de la posición de la figura con una aceleración constante de 7tl4 rad/s2 , que mantiene durante 4 segundos, para proseguir luego con velocidad constante. Al mismo tiempo, el caballo, que dista 4 m del eje de giro, realiza un movimiento armónico simple de 0,2 m de amplitud y 0,25 S-1 de frecuencia, partiendo del centro de la oscilación, situado en el plano XV, y hacia arriba. Calcular la velocidad y la aceleración absolutas del caballito 2 segundos y 8 segundos después del arranque. ;; Solución: El movimiento relativo es el del caballo respecto al carrusel (movimiento armónico simple); y el de arrastre, el del caballo debido al movimiento de rotación del carrusel.
•
Movimiento relativo: La pulsación del movimiento armónico simple del caballo es: eo=211:·v=211:·0,25s-1 = !E. 2 rad/s.
Por tanto: Z = 0,2 . sen (eo t + IPo) = 0,2 . sen ( Como para t = O, Z = O, resulta: -
Z
IPo = O,
%t + IPo)
y, por consiguiente:
11: = 0,2· sen -t k
2
-
di 11: 11: 11: =-=0 2 · -·cos-t k =0 111:·cos-t k 'dt'22 ' 2
x
V
dv' = - O 2· -11: a, = dt ' 4
2
11: 11: . sen - t k = - O 0511: 2 • sen - t k
2
'
2
Z (2)=0
Para t=2 s:
-
11: -
-
v, (2)=-O,2'2"k=-O,111:k B, (2) = O Z (8) = O
Para t=8 s:
-
11:2
-
v, (8)=0,2·- k = 0,111: k B, (8) = O •
Movimiento de arrastre: --->
--->
-
va =vo +mAOP=mAOP (ya que iio=O) Para t=2 s:
11: 11: eo (2) = a . t = - rad/s2 . 2 s = - rad/s
4
2.
2
1 1 11: rad ( O(2)=-a·t = - . - -2 . 2 s 2 24s
=:}
m(2) = -11:k 2
)2 =-11: rad 2
Al cabo de 2 segundos el caballo habrá girado TT12 rad y se encontrará sobre el eje OY. Por lo tanto, en ese momento:
178
Unidad 8
Para t=8 s:
-
~
ro(8)=ro(4)=a·t=- rad/s2·4s=~rad/s => m(8)=~k
4
8 (8)= 6
~rad
Luego, al cabo de 8 segundos el caballo habrá girado 61t rad y se encontrará sobre el eje OX. Por lo tanto, en ese momento: OP=47
La aceleración de arrastre viene dada por: .
siendo en este caso 80 = B Para t= 2 s:
Para t=8 s:
e
•
Aceleración de Coriolis: Es nula en todo momento, ya que
•
Movimiento absoluto:
Actividades
my v, son paralelos.
::::>
1. ¿En qué casos particulares se puede considerar a la aceleración relativa como la derivada respecto al tiempo de la velocidad relativa? Justifica adecuadamente tu respuesta. 2. ¿A qué se llama aceleración de Coriolis? ¿De qué factores depende? ¿En qué casos su valor es nulo?
179
MOVIMIENTO RELATIVO
e
Actividades
::::>
3. Un disco de 5 m de radio dispuesto horizontalmente gira en torno a su eje con una velocidad angular constante de nl2 rad/s. Una lagartija recorre el disco en dirección radial, partiendo de su centro, con la velocidad constante de 2 mis. Hallar su aceleración al cabo de 2 segundos.
ú)
=
TI
5"
rad/s
Resultado: a = n~ n 2 + 4 (mi S2) 4. La grúa de la figura está animada de un movimiento de rotación con velocidad constante de
ni 5 radl s y
sostiene un blo-
que de 250 kg de masa que se aleja de su eje con velocidad constante de 0,5 mis. Hallar la velocidad y la aceleración de este bloque cuando se encuentra a 10m de distancia del eje.
Resultado: v= 6,3 mis;
a'"
4 m/s2
4. SISTEMAS INERCIALES. PRINCIPIO MECÁNICO DE LA RELATIVIDAD DE GALILEO Si suponemos que el sistema móvil {OXYZ} se mueve con movimiento de traslación uniforme rectilíneo con respecto al sistema fijo {01X1Y1Z1}' se-
ro
ría: 80 = 6 y = 6, obteniéndose de las ecuaciones correspondientes a la velocidad y a la aceleración absolutas:
De la última expresión se deduce que la aceleración de un punto es la misma con respecto a todos los sistemas de referencia en movimiento relativo de traslación uniforme. La aceleración se presenta como una magnitud invariante en todos los sistemas que se desplazan con velocidad uniforme con respecto a un sistema de referencia fijo. Este tipo de sistemas se llaman inerciales, y en ellos son válidas, por tanto, las leyes de la mecánica; así, por ejemplo, un laboratorio físico en un barco animado de un movimiento de traslación uniforme obtendrá exactamente los mismos resultados que otro situado en tierra firme. Así se infiere que es imposible determinar mecánicamente si un sistema está en reposo o animado de movimiento rectilíneo uniforme; esta afirmación constituye el principio mecánico de la relatividad de Galileo, generalizado más tarde por Einstein para todas las leyes físicas, no solamente para las mecánicas.
5. INFLUENCIA DE LA ROTACiÓN DE LA TIERRA EN EL MOVIMIENTO DE UN PUNTO La Tierra posee un movimiento orbital alrededor del Sol y otro de rota-ción en torno a su eje polar. Como consecuencia de ello, la velocidad de rotación de la Tierra es de 7,29.10 - 5 rad/s y produce sobre los cuerpos situados en sus proximidades una aceleración de arrastre y otra de Coriolis (esta última en el caso de que se muevan respecto a la Tierra).
180
Unídad 8 Un observador situado en la superficie terrestre aprecia sólo el movimiento relativo, pudiendo medir una aceleración, relativa, cuyo valor, de acuerdo con el teorema de Coriolis, vendrá dado por:
a = a-aa -ac r
Veamos cómo influyen a, aa y ac en la aceleración relativa a,. Supongamos un cuerpo en las proximidades de la Tierra, sometido únicamente a la acción del campo gravitatorio terrestre. •
, ....l.}w
a (aceleración absoluta del cuerpo en cuestión). Es la aceleración que mediríamos nosotros si la Tierra no se moviese. Su valor, que se simboliza por go, es de 9,83 m/s2 , y su sentido, radial hacia el centro de la Tierra, como indica la figura.
• - aa. Es la aceleración del móvil P ligado a la referencia móvil; es decir, pegado a la Tierra. Con otras palabras: es la aceleración de P si no existiese movimiento relativo. Se trata del vector opuesto a la aceleración de arrastre, cuyo sentido es hacia fuera del paralelo correspondiente. Como la trayectoria del móvil es una circunferencia que coincide con el paralelo terrestre donde se encuentra, el movimiento en cuestión será circular uniforme y, por lo tanto, su aceleración sólo poseerá componente normal.
~ = Latitud
Gravedad teórica (go) y gravedad efectiva (g) .
dv
aat
= dt =O (ya que v =cte)
aan =
ol . R' = ol . R . cos A
(siendo A la latitud del lugar y
R el radio terrestre)
aa'
no depende de que el punto se esté moviendo, Esta componente, o no, respecto de la Tierra; es decir, no depende del movimiento relativo. La resultante de 90 y-aa se denomina gravedad efectiva o gravedad del lugar, y suele designarse por 9:
9=90- aa Ésta es la gravedad que nosotros observamos. Su módulo varía con la latitud, y su dirección no es radial, según se aprecia en la figura anterior, que no está realizada a escala. Por lo tanto, una plomada marca una dirección vertical que no es radial. Sustituyendo en la expresión r = c:
a a-aa - a
ar = 9 - ac = 9 - 2 Iro vr I 1\
-ao· cos ~
Si se consideran unos ejes en direcciones tangencial y radial al meridiano del lugar: .
La componente radial de - aa vale ol . R . cos A . cos A = of . R . cos2 A y su sentido es opuesto a 90. Puede decirse que su efecto es que los cuerpos "pesen menos". La componente tangencial de - aa vale of . R . cos A . sen A. Su efecto es acelerar hacia el sur a los cuerpos en el hemisferio norte, y hacia el norte a los cuerpos situados en el hemisferio sur. Esta componente suele despreciarse cuando se trata de calcular el módulo de la gravedad del lugar, que, por lo tanto, es aproximadamente:
9 "" go - of . R . cos 2 A
P
*""-------i,IIl'~
-as
R
-ao· sen ~
Componentes tangencial y radial de
-a•. 181
MOVIMIENTO RELATIVO
I
Ejemplos 1. El valor de g en Madrid (A, "" 40°) será:
g "" 9,83 m/s2- (7,29 . 10- 5 rad/s)2 . 6,37 . 106 ~ . cos2 40° = =9,810 m/s2 y su desviación respecto a la dirección radial será: tg
e=
Q)2 •
R . cos A, . sen A, 2
2
go -Q) ·R·cos
A,
Q)2 •
R . cos A, . sen A,
g
(7,29.10-5 rad/st .6,37 . 106 m·cos43°·sen43° 9,810 m/s2 = 1,7212.10-3 de donde:
e = 0° 5' 55"
Desviación de 9 respecto a la dirección radial.
• - ac =
- 2 1m /\ Vr l. Es el vector opuesto a la aceleración de Coriolis. Sus efectos dependen de dónde y cómo se realice el movimiento.
m
Supongamos un móvil en el hemisferio norte. El vector rotación es libre a efecto de cálculos cinemáticos y su sentido viene dado por la regla de Maxwell; se puede descomponer, según indica la figura A, en direcciones tangencial y radial:
A
Del mismo modo (figura B), la velocidad relativa del móvil se puede descomponer en direcciones horizontal y vertical:
Las componentes tangencial y radial de ro.
Vr = Sustituyendo en - ac = - 2
v +v rh
rv
1m /\ Vr I, resulta:
Analicemos el efecto de cada uno de estos sumandos: B Las componentes horizontal y vertical de la velocidad relativa.
mt /\ v
mt
v
a) - 2 : Tanto como rh están situados en el plano horizontal. rh Por lo tanto, su producto vectorial es perpendicular al plano (figura C). Efectos:
182
•
Provoca una disminución de peso cuando 0< a< n (movimiento hacia el Este).
•
Provoca un aumento de peso cuando n< a< 2n (movimiento hacia el Oeste).
Unidad 8
e
E
D C) Efecto de - 2
ro,
1\
ii,.. ; D) Efecto de - 2 ro,l\ ii,v ; E) Efecto de - 2 ro,l\ ii'n
mt /\
b) - 2 V,.v Este producto vectorial estará situado en el plano horizontal (Figura D). Efectos: •
Provoca una desviación hacia el Oeste cuando el móvil sube (movimiento ascendente).
•
Provoca una desviación hacia el Este cuando el móvil baja (movimiento descendente).
m, /\
c) - 2 V'h (véase figura E; en el hemisferio sur este producto vectorial tiene sentido inverso). Efectos: •
Provoca una desviación hacia la derecha de la trayectoria rectilínea en el hemisferio norte.
•
Provoca una desviación hacia la izquierda de la trayectoria rectilínea en el hemisferio sur.
m, /\ v,:
d) - 2 No produce efeéto alguno, ya que ambos vectores tienen v la misma dirección.
RESUMEN EFECTOS DE LAS COMPONENTES DE LA ACELERACiÓN DE CORIOLlS SOBRE LOS CUERPOS EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA Causa
Condiciones
Efecto
Movimiento hacia el Este
Disminución de peso
Movimiento hacia el Oeste
Aumento de peso
¿Sabías que .. ? •
- 2 ro,l\ ii'h
La desviación hacia el Este o el Oeste (dependiendo del hemisferio) que experimenta un cuerpo que cae libremente desde una altura H, como consecuencia de la aceleración de Coriolis, viene dada por:
~2H
2 y=-roH -,cosA Movimiento ascendente
Desviación hacia el Oeste
Movimiento descendente
Desviación hacia el Este
En el hemisferio norte
Desviación hacia la derecha
En el hemisferio sur
Desviación hacia la izquierda
- 2 ro, 1\ ii,v
3 •
- 2 ro,l\ ii'h
9
La desviación lateral hacia la derecha o la izquierda (dependiendo del hemisferio) de un cuerpo lanzado horizontalmente se rige por la expresión:
y = ro . v, . f . sen A
183
MOVIMIENTO RELATIVO 5.1. Influencia de la aceleración de Coriolis sobre fenómenos naturales. La aceleración de Coriolis, aunque numéricamente poco importante, adquiere mucha trascendencia en ciertos movimientos que tienen lugar en la superficie terrestre, ya que al actuar de forma continua puede producir efectos considerables. Así; en el hemisferio norte la margen derecha de los ríos resulta más erosionada que la izquierda (ley de Baer), al contrario de lo que sucede en el hemisferio sur. Asimismo, la aceleración de Coriolis es la responsable de la desviación de las corrientes marinas y de la tendencia de los ciclones y tornados a girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio norte y en sentido horario en el sur. También se aprecia su acción en el distinto grado de desgaste que experimentan los rieles del tren en algunos tramos de doble vía. N
N
O--+-~---!~--t-4--- E
O- -+--+- -+-- ,..--f-- - E
s
s
Hemisferio norte
Hemisferio sur
Sentido de giro de los ciclones y tornados. La aceleración de Coriolis influye en el giro de los ciclones y tornados.
184
Unidad 8
Actividades de Síntesis 1. Expone George Gamow (1904-1968) en su libro "Biography of Physics" (Biografía de la Física) el siguiente problema:
"Un hombre en un bote navega corriente arriba por un río y lleva una botella medio vacía de whisky sobre la popa del bote. Mientras el bote pasa bajo un puente, una ola reflejada en los pilares del puente choca contra la embarcación y la botella cae al agua, sin que el tripulante se dé cuenta. Durante 20 minutos el bote continúa aguas arriba, mientras que la botella flota aguas abajo. Al cabo de los 20 minutos el hombre ve que la botella ha desaparecido, vuelve el bote (prescindamos del tiempo empleado en la maniobra) y se mueve aguas abajo con la misma velocidad que antes respecto al agua. Coge la botella una milla más abajo del puente. La pregunta es: ¿cuál es la velocidad del río?".
#
ralelos a los bordes de la plataforma, sabiendo que en el instante inicial O' está en el punto (3,4) respecto a los ejes fijos. Resultado:r=27T+167 (SI);v=24T+127 (SI) 5. Un punto material P parte del origen de coordenadas y recorre la rama de ordenada positiva de la parábola y2 = 2 x, de manera que en todo instante la componente V x de la velocidad es 1 mis. Al mismo tiempo la parábola se desplaza a lo largo del eje OX con la velocidad 2 T (SI).
v=
y
Resultado: v= 1,5 millas/hora 2. Por una carretera horizontal circula un camión a la velocidad de 72 km/h. Detrás y a la misma velocidad va un automóvil, cuyo conductor no se decide a adelantar al camión, porque observa una piedra encajada entre dos de las ruedas traseras de éste y teme que si la piedra se desprende alcance a su vehículo. ¿A qué distancia mínima del camión ha de ir el automóvil para tener la completa seguridad de que la piedra no lo alcanzará? -~
0 A-_____________
x
z Hallar la velocidad y la aceleración absolutas de P al cabo de 2 segundos de iniciarse el movimiento. Resultado:
v = 3 T+ ~ 7(SI) p
Resultado: d= 40 m
3. Una partícula comienza a deslizar libremente, sin rozamiento, desde la parte superior de un plano, de 22,05 m de longitud, inclinado 30° con respecto a la horizontal, y que se mueve horizontalmente con una velocidad de 2 mis, de manera que la partícula no se separa de él. Hallar la velocidad y la aceleración absolutas de la partícula cuando llegue al final del plano. Resultado: v= 16,46 mis; a = 4,9 m/s 2 4. El vector posición de una partícula respecto a unos ejes O'X'V'Z' tomados en los bordes de una plataforma horizontal es: r' = 5 t 2 T+ 3 t 2 La plataforma se mueve con una aceleración constante de 2 m/s 2 paralela al borde que se considera como eje O'X'. Hallar al cabo de 2 segundos el vector posición y la velocidad de la partícula respecto a unos ejes fijos a tierra y pa-
J.
8p
=_27 8
;
(SI)
6. Repetir la misma actividad anterior, suponiendo, además, que en el instante inicial la parábola comienza a girar alrededor del eje OX con una aceleración angular
a= %¡ (SI) .
- 1Resultado: v p =3i--j-2rck (SI); 2
8p
=
1 ) ( a+2rc2 j -2rc k (SI)
7. Una plataforma circular de 4 m de radio gira con una velocidad angular constante de rcl2 rad/s. En un instante determinado, un móvil punJual parte del centro de la plataforma con una aceleración radial constante. Calcular el va-
185
MOVIMIENTO RELATIVO
Actividades de Síntesis lor de esta aceleración, sabiendo que el móvil · alcanza el borde de la plataforma justamente cuando ésta ha girado una vuelta completa. Suponiendo que se cumpla esta condición, hallar la velocidad y la aceleración absolutas del móvil en el instante considerado .
#
10. La barra OAB de la figura gira en el plano XY alrededor del eje OZ con velocidad angular (o, = 7,5 rpm en sentido antihorario. El disco horizontal con centro en B gira en sentido horario con velocidad angular constante (02= 15 rpm. Considerando un punto P de la periferia del dis-
Resultado: ar = 0,5 m/s2;
z
v p = 6,59 mis; m/s 2
ap = 11,28
8. Un punto material P comienza a moverse sobre una recta horizontal con un movimiento uniformemente acelerado de a= 2 m/s 2 , partiendo inicialmente del reposo del punto x= O. La recta, a su vez, gira en sentido antihorario en un plano vertical alrededor de un eje que pasa por la posición inicial del móvil, con una velocidad angu lar constante de 27r rad/s . Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del punto P al cabo de 2 segundos. Resultado: v p = 25,45 mis;
y
x co que en un cierto instante se encuentra en la posición indicada en la figura, hallar la velocidad y la aceleración absolutas de dicho punto 2 segundos más tarde.
ap = 163,8 m/s 2
Resultado:
9. Un disco vertical de 50 cm de radio gira alrededor de su eje, y va provisto de una ranura diametral por la que se mueve una pequeña esferilIa P. En un determinado instante la velocidad
v = -~7r ¡ (SI) '. 2 p
a- p
5
= --7r
8
2 -; (
J SI)
11. El disco de la figura, de 2 m de radio, rueda hacia la izquierda sin deslizar, de tal manera que la velocidad del punto A es siempre de 20 mis. Al mismo tiempo, la bola B se mueve en sentido horario sobre la periferia del disco con una y
A
angular del disco es de 30 rpm en sentido horario, y su aceleración angular 3 rad/s 2 en sentido antihorario, mientras que la esferilla se encuentra en la posición de la figura, moviéndose con una velocidad de 0,1 mis hacia la derecha y una aceleración de 0,5 m/s 2 hacia la izquierda. Hallar en ese instante la velocidad y la aceleración absolutas de la esferilla.
velocidad angular de 2t rad/s. En el instante t= 2 s, la bola y el disco se encuentran en las posiciones indicadas. Hallar en dicho momento la velocidad y la aceleración absolutas de la bola.
Resultado: v p =0,33 mis; ap = 1,55 m/s 2
Resultado: a = -11,67+1,27 (SI);
W///////
v
8a =27-47 (SI)
186
Unidad 8
Actividades de Síntesis 12. El ascensor B de un trasatlántico sube con una velocidad v= 1,2 mis y una aceleración a = - 0,6 m/s 2 , mientras el barco se mueve hacia la derecha con una velocidad constante Vo = 9 mis. Sabiendo que en la posición representada en la figura (R= 15 m) el barco se balancea con una velocidad angular (o, = 0,05 rad/s y cabecea con el valor ~ = 0,02 rad/s, sin aceleración angular, calcular la velocidad y la aceleración absolutas del ascensor. y
a) Velocidades relativa y absoluta de la corredera. b) Aceleración absoluta de la corredera. Resultados: a) v r = 4 mis; v= 17 mis; b) a=430,8 m/s 2
14. ¿Sabrías citar algún ejemplo que ponga de manifiesto el principio de la relatividad de Galileo? 15. ¿Puede originar vértigo viajar en línea recta a velocidad muy elevada? 16. ¿Es cierto que al desplazarse sobre un paralelo terrestre en dirección hacia el Este se pesa más, y hacia el Oeste menos? Razonar la respuesta. 17. Un tren recorre el paralelo 25° S en dirección de Este a Oeste. ¿Cuál de los dos raíles está más gastado como consecuencia de la aceleración de Coriolis? ¿En qué condiciones pesará más el tren : si va hacia el Este o hacia el Oeste?
x
Resultado:
a= p
-
v = 8,7 T+ 1,27 + 0,75 k (SI); p
0,048 T-0,64357 + 0,12
k
(SI)
13. La barra AB de la figura gira en un plano horizontal alrededor de A en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 20 rad/s. La corredera C puede deslizar sobre la barra y va unida a un hilo inextensible que enrolla en el cilindro fijo D, cuyo eje pasa por A y que
18. Un posible aumento del valor de la rotación instantánea de la Tierra, ¿qué efecto causaría sobre la gravedad? 19. ¿Cómo debe moverse un objeto situado inicialmente sobre la superficie terrestre para que la aceleración de Coriolis se anule? 20. Hallar el ángulo de desviación de la plomada respecto de la dirección radial en un punto de latitud terrestre A= 30°. Datos: R= 6 370 km; go = 9,83 m/s 2 • Resultado:
()=
0° 5' 8"
21. Un proyectil cae verticalmente sobre la superficie terrestre desde una altura de 300 m y en un lugar de 60° de latitud Norte. ¿Cuál será el valor de la aceleración de Coriolis a que se encuentra sometido en los instantes finales de su recorrido? Resultado: ac = 5,59 . 10- 3 m/s 2 tiene un radio R= 20 cm, de manera que al girar la barra en el sentido indicado la corredera se acerca a A. Todo el sistema experimenta una traslación hacia la derecha con velocidad constante de 5 mis. En el instante representado en la figura la distancia de la corredera a A es de 1 m . Hallar:
22. En el paralelo de 35° de latitud Norte se lanza un proyectil horizontalmente hacia el Oeste. ¿De qué manera influye sobre él la aceleración de Coriolis?
187