04 ESTRUCTURAS Y MECANISMOS by Secundino Sáenz

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS

eONTENIDOS 1. ESTRUCTURAS 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS 2.1. Estructuras articuladas planas. 2.2. Hipótesis fundamentales. Consecuencias. 2.3. Estructuras simples, compuestas y complejas. 2.4. Estructuras isostáticas e hiperestáticas. 3. CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS 3.1. Método de los nudos. 3.2. Método de las secciones o de Ritter. 3.3. Método de Cremona. 4. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS 4.1. Entramados. 4.2. Máquinas. 5. ANÁLISIS ESTÁTICO DEL MECANISMO BIELAMANIVELA. AMPLIACiÓN. FUERZAS DISTRIBUIDAS

El equilibrio entre fuerzas y momentos se manifiesta con todo su esplendor en esas grandes estructuras -puentes, grúas, edificios, presas ... - que se extienden por nuestra geografía y ponen de relieve el esfuerzo de la técnica para aplicar los principios de la estática al progreso de la sociedad. Madera, ladrillo, acero, hormigón ... , todo un conjunto de materiales que, sometidos a cuidadosas normas de diseño, permiten hoy en día esas obras gigantescas que causan admiración por sus dimensiones y armonía estructural. En esta Unidad abordaremos la aplicación de las ecuaciones de equilibrio al cálculo de las reacciones internas de los elementos que componen estas estructuras, lo que resulta indispensable para su diseño posterior.

Unidad 4 1. ESTRUCTURAS En Mecánica y en Ingeniería se designa con el nombre de estructura a cualquier sistema de cuerpos unidos entre sí, capaz de ejercer, soportar o transmitir cargas o esfuerzos.

¿Sabías que ... ?

Se designan con el nombre de cargas las fuerzas aplicadas direc-

tamente sobre las estructuras y que son la causa de sus posibles movimientos y deformaciones.

Una estructura está constituida por partes interconectadas o miembros (barras o elementos). Su diseño y posterior comprobación se llevan a cabo determinando las fuerzas y los pares que actúan sobre ella en su totalidad, así como en sus miembros individuales. Consideremos, por ejemplo, la grúa esquematizada en la figura a), que carga un peso W. Dicha grúa está formada por tres vigas, AB, CD y EF, unidas entre sí sin rozamiento. Está apoyada en el punto A y sostenida por el cable BG. En la figura b) se representa el diagrama de fuerzas del sólido libre, en el que figuran solamente las fuerzas exteriores que actúan sobre la grúa. Sin embargo, si descomponemos la grúa en las tres vigas que la constituyen y consideramos cada una de ellas por separado, en los correspondientes diagramas de sólido libre (figura c) aparecen fuerzas que desde el punto de vista global de la grúa son fuerzas interiores.

w B

B (b)

B (e)

Las estructuras de ingeniería se pueden clasificar en tres categorías: •

Estructuras articuladas o armaduras (también llamadas celosías o cerchas). Por lo general, son estructuras fijas y estables, diseñadas para soportar cargas. Están constituidas por barras unidas en sus extremos por medio de articulaciones o nudos. Por lo tanto, las barras son elementos sometidos a dos fuerzas; es decir, elementos sobre los que actúan dos fuerzas iguales y opuestas dirigidas a lo largo de la barra. Las armaduras suelen constar de subelementos triangularesy están apoyadas de manera que se impida todo tipo de movimiento. Su estructura ligera puede soportar cargas elevadas con un peso estructural relativamente pequeño.

•

Entramados o bastidores. Al igual que las armaduras, están diseñados para soportar cargas y suelen ser estructuras fijas y estables. Sin embargo, a diferencia de las anteriores, contienen por lo menos un elemento sometido a más de dos fuerzas; es decir, los entramados poseen una o más barras sobre las que actúan tres o más fuerzas que, por lo general, no son longitudinales. Los entramados también se construyen y apoyan de manera que se impida su movimiento.

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS •

Máquinas. Son estructuras que contienen partes móviles, y que están diseñadas para transmitir o modificar fuerzas. Al igual que los entramados, las máquinas también tienen por lo menos un elemento sometido a más de dos fuerzas. Pueden considerarse como estructuras tipo entramado que no están totalmente inmovilizadas.

Ejemplos Las estructuras de miembros de acero que soportan algunos puentes son armaduras, mientras que la que soporta la estatua de la Libertad a la entrada del puerto de Nueva York es un bastidor. Por otra parte, un par de tenazas es una máquina. 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Una gran parte de las construcciones actuales, tales como puentes, torres, cubiertas, grúas, etc., son estructuras articuladas.

(e)

Cartelas: a) Soldada. b) Roblonada. e) Atornillada.'

. . . . y ~ 0000000

Cartela

Idealización

Idealización de una estructura articulada.

(a)

(b)

a) Esfuerzo de tracción; b) Esfuerzo de compresión.

De acuerdo con su geometría, las estructuras articuladas pueden ser planas o espaciales, según que el sistema de barras sea cap lanar o tridimensional. Así, los laterales de un puente o la cercha de un tejado son ejemplos de estructura articulada plana, mientras que la torre de un tendido eléctrico constituye un ejemplo de estructura articulada espacial. Pero tanto unas como otras están constituidas por barras (o vigas) cuya sección transversal tiene forma de H, U, lo L, y que se unen entre sí por soldadura, roblonado o atornillado a elementos estructurales intermedios llamados cartelas. Como el análisis riguroso de las fuerzas y de los momentos existentes en estas conexiones resulta excesivamente complejo, se hace necesario recurrir a simplificaciones que no supongan una pérdida de precisión muy elevada. En la práctica, si las direcciones de las barras concurren en las conexiones, el sistema se idealiza sustituyendo dichas conexiones por pasadores exentos de rozamiento. Por otra parte, para que la capacidad resistente de una estructura articulada se haga máxima las cargas externas se deben aplicar en las uniones entre barras (nudos): de esta forma se evitan problemas de flexión o pandeo. Además, el peso de las barras se suele considerar despreciable frente a las cargas; y en caso de no ser así, se distribuye en partes iguales entre los dos extremos de la barra. De esta manera, cada barra se puede considerar como un sólido sometido a dos cargas equivalentes en sus extremos, cuyo diagrama de fuerzas de sólido libre se representa en la figura. Las fuerzas en los extremos, T, que son las sumas de las fuerzas ejercidas sobre la barra en sus nudos, deben ser iguales en magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea entre los nudos. Cuando estas fuerzas se alejan una de otra, la barra está trabajando a tracción (a veces se dice "a tensión"), mientras que cuando las fuerzas se acercan entre sí, la barra está a compresión.

Unidad 4 2.1. Estructuras articuladas planas

¿Sabías que ... ?

Las estructuras articuladas planas están contenidas en un solo plano, en el cual se encuentran también todas las cargas aplicadas. Frecuentemente se utilizan por parejas para sostener puentes. En la figura se aprecia que todos los miembros de la armadura ABCOEF están situados en un mismo pIano vertical: la estructura del piso transmite las cargas a~ los nudos ABCO y las hace actuar en el mismo plano vertical de la armadura.

Los proyectistas de estructuras suelen designar con el nombre de barra al elemento sometido a compresión, mientras que al sometido a tracción lo denominan tirante.

Las armaduras planas se utilizan por parejas para sostener puentes.

Otro ejemplo interesante es el de la armadura ABCOE (figura a) que soporta el techo de un edificio. La carga del techo se transmite a la estructura y recae en las uniones por medio de una serie de vigas de soporte (como la DO). Como la carga sobrepuesta actúa en el mismo plano que la estructura (figura b), el análisis de las fuerzas desarrolladas se realiza en dos dimensiones. En el caso de un puente (figura a), la carga sobre el suelo se transmite primero a los durmientes, luego a los trave(a) saños, y por último a las uniones B, C y O de las dos estructuras de soporte lateral. Al igual que en la estructura del techo, la carga de la estructura del puente es también coplanar (figura b).

(b)

Las armaduras planas también se utilizan para sostener techos.

Si las estructuras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, se suele utilizar una cuña o rodamiento para soportar un extremo. Esto permite la libre dilatación o contracción de las barras por la acción de la temperatura o como consecuencia de la aplicación de la carga.

Estructura de puente

(b)

'--_ _ __ __ _ _ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _-' Estructura de un puente.

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS En el transcurso de esta Unidad dedicaremos nuestra atenci贸n al estudio de las estructuras articuladas planas, prescindiendo de las espaciales, por su mayor dificultad.

Cerchas empleadas corrientemente en puentes.

Cerchas empleadas corrientemente en cubiertas.

Parte en voladiz驴 "" de una estructura Otros tipos de estructuras articuladas.

De puente levadizo

Unidad 4 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• J

2.2. Hipótesis fundamentales. Consecuencias

En el estudio de las armaduras se formulan cuatro hipótesis fundamentales, que ya han sido enunciadas con anterioridad y que resumimos ahora brevemente. •

Las barras de las armaduras están unidas solamente por sus extremos.

•

Las barras de las armaduras están conectadas por pasadores ideales.

•

Las armaduras sólo están cargadas en los nudos.

•

Los pesos de las barras se pueden despreciar.

Como consecuencia de estas hipótesis, se deduce que las fuerzas sólo se ejercen en los nudos. Además, como los pasadores carecen de rozamiento, en los nudos no existen momentos aplicados. Por ello, en las barras sólo actúan dos fuerzas en dirección axial.

Ejemplos

~--------------------------------------------------------------1. La figura a) representa la armadura más sencilla, que es la triangular. Sobre cada una de las barras actúan dos fuerzas; y, a su vez, las barras están unidas por pasadores sin rozamiento. Supongamos que sobre el nudo B se aplica una carga F vertical hacia abajo. En la figura b) se representan las fuerzas que actúan sobre cada barra y sobre los pasadores. Obsérvese que estas fuerzas son interiores con respecto a la estructura, de manera que si una barra actúa con una fuerza determinada sobre un pasador, éste reacciona sobre la barra con una fuerza igual y de sentido contrario.

TAB (a)

En la práctica resulta importante distinguir qué miembros de una armadura están sometidos a compresión y cuáles a tracción. Los miembros largos y de pequeña sección son muy resistentes a la tracción, pero cuando se someten a cargas de compresión elevadas tienden a sufrir flexión o pandeo (véase Bloque V). Por este motivo, aquellas barras que vayan a experimentar compresiones deberán ser más gruesas que las demás, o bien se riostrarán con objeto de impedir el pandeo.

~~===========~ ~c ~c (b)

¿Sabías que ... ? Las riostras son piezas que se colocan oblicuamente y aseguran la invariabilidad de forma de una estructura.

2.3. Estructuras simples, compuestas y complejas

La estructura articulada indeformable más sencilla es la constituida por tres barras articuladas en sus extremos formando un triángulo (figura a). A partir de esta estructura básica se pueden obtener otras mayores, añadiendo · uno a uno nuevos elementos triangulares, lo que implica, en cada caso, un nudo y dos barras más (figura b). Las estructuras que se obtienen de esta manera se E denominan estructuras c simples. Si b y n son, respectivamente, los números de barras y de nudos de una (a) (b) estructura simple, en todas ellas se satisface la relación :

b=2n-3

Estructuras simples.

•

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS Las vigas Gerber Las vigas Gerber son vigas rectas que tienen n apoyos y n-2 articulaciones convenientemente situadas para que la viga sea isostática. De los n apoyos, n-1 son móviles y uno es fijo; de esta manera, la viga puede est ar en equilibrio cuando se encuentra sometida a cargas que tengan componentes paralelas a su eje. Las figuras (a), (b), (c) y (d) representan todos los tipos posibles de vigas Gerber con cuatro apoyos, mientras que la viga de la figura (e), debido a la inadecuada situación de las articulaciones, es una viga compuesta de una parte hiperestática y de otra deformable; según se aprecia en la figura (f).

nÁ7 ~ ~ ~

A á á á

~3:i

(a)

(b)

(e)

(d)

(e)

(f)

Sustituyendo la estructura básica triangular por una base fija (por ejemplo, una cimentación, figura c) se obtiene una variante de la estructura simple. En estas estructuras (que serían deformables si no tuviesen incorporada la base fija), cada nuevo nudo situado fuera de la base exige la existencia de dos nuevas barras, por lo que en este caso la relación entre el número de barras y el de nudos será:

b=2 n' siendo

n' el número de nudos situados fuera de la base.

Las estructuras compuestas se obtienen uniendo rígidamente dos estructuras simples por medio de los enlaces estrictamente necesarios. Esta unión se puede realizar utilizando tres barras articuladas de ejes no paralelos ni concurrentes (figura a), o bien una articulación común y una barra articulada (figura b). Se comprueba fácilmente que en ambos casos también se verifica:

b=2n-3

Estructuras compuestas.

Asimismo, existen las llamadas estructuras complejas, que también satisfacen la relación b = 2 n - 3 Y que se forman cambiando la disposición de una o varias barras de una estructura simple. En la ilustración se recogen dos ejemplos de este tipo de estructuras: la estructura hexagonal (figura a) y la viga de celosía (figura b).

(b)

Estructuras complejas: a) Estructura hexagonal. b) Viga de celosía.

Armaduras rígidas Las armaduras, para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se les aplican, deben ser estructuras rígidas. La estructura rígida más sencilla (con independencia de cómo esté apoyada) es el triángulo. Evidentemente, la palabra rígida no significa que la armadura no se deforme nada al cargarla; en realidad, experimentará deformaciones muy pequeñas, pero mantendrá casi totalmente la forma original. Es frecuente asociar la rigidez con el hecho de que la armadura conserve su forma al sacarla de sus apoyos, o cuando uno de ellos pueda deslizar libremente. De acuerdo con este criterio, la armadura de la figura (a) será rígida, y no lo será la (b); en esta última, la falta de rigidez interna se compensa por medio de una reacción exterior más de apoyo.

Unidad 4 ............................................................................................... 2.4. Estructuras isostáticas e hiperestáticas 2.4.1. Estructuras isostáticas exteriormente

Una estructura isostática exteriormente es aquélla en la que las reacciones en los apoyos y enlaces externos son perfectamente calculables por aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Para saber si una e structura es de es- , . te tipo, se la aísla (en conjunto o por partes) y se le aplican las ecuaciones de la Estática: •

La estructura será isostática exteriormente cuando resulte un número de ecuaciones igual al de incógnitas, lo que permite el cálculo de todas las reacciones exteriores.

•

Si el número de incógnitas (parámetros de las reacciones exteriores) es superior al de ecuaciones de equilibrio, los enlaces exteriores son superabundantes y algunos de los parámetros no pueden calcularse mediante las ecuaciones citadas. Se dice que la estructura es hiperestática exteriormente. En este caso, es preciso admitir que dicha estructura experimenta pequeñas deformaciones, siendo necesario, para obtener las reacciones exteriores, recurrir no sólo a las ecuaciones de equilibrio sino también a las que proporciona la resistencia de materiales.

•

Si el número de incógnitas es inferior al de ecuaciones de equilibrio, los enlaces exteriores son insuficientes y el sistema puede tener movimientos de conjunto cuando se le aplican cargas. Por lo tanto, el sistema es inestable y no constituye propiamente una armadura, sino un mecanismo, del que puede servir como ejemplo la palanca, la cual sólo está en equilibrio cuando las cargas F1 y F2 satisfacen la relación F1 . d 1 = F2 . d 2 •

., F2

La palanca es un mecanismo .

....-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplos

1. ¿Es isostático exteriormente el sistema de la figura? Solución: Aislando la estructura en su conjunto y construyendo el diagrama de fuerzas del sólido libr:e (véase figura) se observa que existen tres parámetros desconocidos o incógnitas, que son RAx' RA Y RB• Por otra parte, como las fuerzas que actúan s06re la estructura son todas ellas coplanarias, las ecuaciones de equilibrio serán tres: l: Fx = O; l: Fy = O; l: M = O. Por lo tanto, al ser el número de ecuaciones igual al de incógnitas, la estructura es isostática exteriormente.

A L---.-----~--------~

~--------~------~~B

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS 2.4.2. Estructuras isostáticas interiormente La isostaticidad interna de una estructura viene dada por la relación entre el número de barras (b) y el de nudos (n): •

Si b = 2 n - 3, la estructura es isostática interiormente.

•

Si b > 2' n -3, el sistema es hiperestático o abundante.

•

Si b < 2 n - 3, el sistema es hipoestático o deformable.

Ejemplos 1. Analizar la posible isostaticidad interior de la estructura representada en la figura. /l Solución:

Como el número de nudos es n =8, Y el de barras b

= 11 , se cumple:

b=2n-3 Por lo tanto, la estructura es isostática interiormente.

Actividades

:::>

1. Razonar si la viga Gerber de la figura es isostática exteriormente.

2. ¿Es isostática interiormente la estructura representada en la figura? Razona tu respuesta.

3. CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS Todas las estructuras articuladas simples, compuestas y complejas son isostáticas interiormente, y en ellas se puede calcular las tensiones en las barras, empleando distintos procedimientos gráficos o analíticos. En los siguientes apartados estudiaremos el método de los nudos, el de las secciones y el de Cremo na. Con carácter general, cualquiera que sea el método utilizado, deberá aislarse previamente la estructura y calcular las reacciones, para de este modo conocer todas las fuerzas exteriores actuantes. A continuación se comprobará si la estructura es isostática interiormente.

3.1. Método de los nudos Este método consiste en desmontar la armadura, dibujando por separado los diagramas de sólido libre de cada una de las partes -barras y nudos o pasadores-, y aplicar las condiciones de equilibrio a cada una de ellas. Cada una de las tensiones se simbolizará con una T afectada de subíndices que identifican a los nudos extremos de la barra. Así, por ejemplo, mediante

Unidad 4 el símbolo TAB se representa la tensión de la barra que une los nudos A y S. El sentido de dicha fuerza vendrá dado por el signo correspondiente: si este signo es positivo significa que la fuerza tiene el sentido que se le asignó en el diagrama de sólido libre, mientras que si es negativo, el sentido de la fuerza será opuesto al asignado. Las fuerzas que apuntan hacia fuera de la barra tienden a estirarla y se dice que son fuerzas de tracción. Por el contrario, las que apuntan hacia la barra tienden a comprimirla y son fuerzas de compresión. De antemano no suele saberse si una barra está sometida a compresión o a tracción. Aunque con un·mínimo de experiencia en la resolución de este tipo de problemas es posible prever y dibujar correctamente la mayor parte de las fuerzas como tracciones o compresiones, no es imprescindible hacerlo. De acuerdo con el principio de acción yreaccíón, la fuerza que un pasador ejerce sobre una barra es igual y opuesta a la que la barra ejerce sobre el pasador. Por lo tanto, se utilizará el mismo símbolo TAB para la fuerza que la barra AS ejerce sobre el pasador S que para la fuerza que este pasador ejerce sobre la barra AS. Si en el diagrama de sÓlido libre para una barra se representan las dos fuerzas que actúan en sus extremos, con ello ya se asegura el equilibrio de la barra; por este motivo, las barras pueden suprimirse en el resto del análisis y considerar tan sólo el equilibrio de los nudos. Este equilibrio se expresa dibujando un diagrama de sólido libre para cada nudo y aplicando las ecuaciones de equilibrio:

L,Fx=O L,Fy=O Como las fuerzas que actúan en cada nudo son concurrentes y coplanarias , el equilibrio de momentos no suministrará información útil alguna; por ello, se utilizan solamente las dos ecuaciones anteriores. En la práctica se comienza aislando un nudo en el que haya un enlace exterior y se continúa luego con los nudos restantes, procurando que en cada uno de ellos sólo haya dos tensiones desconocidas. Conviene tener en cuenta que las tensiones que salen de un nudo corresponden a tracciones de la barra correspondiente, y que un valor negativo de dicha tensión indica que la barra está sometida a compresión y no a tracción. Una vez determinadas todas las tensiones, se deberá hacer un resumen, consignando en una tabla los módulos de las fuerzas correspondientes a las distintas barras, indicando en cada una de ellas si es de tracción o de compresión .

....._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplos

1. Hallar, utilizando el método de los nudos, la tensión en cada una de las barras de la estructura isostática de la figura, indicando en cada caso si se trata de fuerzas de tracción o de compresión. Solución: Construyamos, en primer lugar, el diagrama de sólido libre de la estructura, teniendo en cuenta que en A existe una articulación y en S un apoyo simple.

10 m

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS Aplicando las condiciones de equilibrio del sólido rígido en el plano se obtienen las reacciones en A y en B:

I,Fx =0 :=:} RAx =0 I,Fy =0 :=:} R Ay +Ra -200 N-300 N-150 N=O

I, M A = O :=:} Ra ·20 m - 200 N· 5 m ~ 150 N· 10m -

300 N· 15 m = O

La resolución de este sistema conduce a:

RA=O x

Ra=350 N

R Ay =300N

A continuación, una vez comprobado que la estructura es isostática interiormente, aislaremos los nudos, comenzando por el A. También podríamos iniciar los cálculos en el nudo B, y obtendríamos los mismos resultados. •

Nudo A:

~ ° T ~Fy=O:=:} R A -TAC ·sen60 =O:=:} AC=

RA 300 N 4 N =~=3 6 0 sen 60 -V3/2

Como TAC resulta positiva y se ha dibujado dirigida al nudo, es una fuerza de compresión.

I, Fx = O :=:}

TAE - TAC . cos 60 0 = O :=:} :=:} TAE = TAC . cos 60 0 = 346 N . 0,5 = 173 N (tracción)

•

Nudo B:

I,Fy = O :=:} Ra - Tao' sen 60 0 = O :=:} :=:} Tao =

Ra sen 60

3~0 N = 404,14 N (compresión) -V3 /2

I, Fx = O :=:}

Tao · cos 60 0 - TaE = O :=:} :=:} TaE = Tao' cos 60 0 = 404,14 N . 0,5 = 202,07 N (tracción)

•

Nudo C:

I, Fy = O :=:}

TAC ' sen 60 0 - F, - TCE . sen 60 0 = O :=:} T

:=:} 'CE -

TAC . sen 60 sen 60

F, -_ 346 N . f3 _ 115 47 N (t .') r::12 - 200 N , racclon -v3 /2

I, Fx = O :=:}

TAC ' cos 60 0 +TCE . cos 60 0 - Tco = O :=:} :=:} Tco = TAC . cos 60 0 +TCE . COS 60 0 = = 346 N· 0,5 + 115,47 N· 0,5 = 230,7 N (compresión)

•

Nudo D:

I, Fx = O :=:}

TOE' COS 60 0 +Tao' cos 60 0 - Tco = O :=:} 0

:=:} 'OE -

Tco - Tao' cos 60 _ 230,7 N - 404, 14 N . 0, 5 _ 57 26 N (t .') -, racclon 0 cos 60

0,5

Se obtendría el mismo resultado utilizando la expresión

2:Fy=O

Unidad 4 ............................................................................................... RESUMEN DE RESULTADOS

Obsérvese que:

Barra

Tensión

Naturaleza

346 N

Compresión

173 N

Tracción

404,14 N

Compresión

202,07 N

Tracción

115,47 N

Tracción

230,7 N

Compresión

57,26 N

Tracción

•

Al pasar de un nudo a otro consecutivo se ha cambiado el sentido de la tensión. Esta manera de proceder se debe a que las tensiones son fuerzas interiores.

•

No ha sido necesario aislar todos los nudos para obtener las tensiones en las barras. Si se aísla el nudo E y se aplican las condiciones de equilibrio, los resultados que se obtengan pueden servir de comprobación.

Fi =10 kN 2. Hallar, utilizando el método de los nudos, la tensión en cada una de las barras de la estructura isostática de la figura, indicando en cada caso si se trata de fuerzas de tracción o de compresión. R By

Solución: -

Diagrama de fuerzas del sólido libre (A: apoyo libre; B: articulación, véase figura).

Cálculo de las reacciones exteriores:

~l=:::::::::::=;iC

Fi = 1o kN

B R Bx

10 m 5m

F2 = 20 kN

I, Ma = O =>

R A . 10m - 20 kN· 10m - 1O kN· 5 m = O

La resolución de este sistema conduce a:

RA =25 kN -

Rax = -5 kN

Ray = 10 kN

Cálculo de las tensiones en las barras: • Nudo A:

I,Fx = O => RA

- TAO

= O =>

TAO

= RA = 25 kN

(compresión)

• Nudo C:

=> - Tac ( o => Tac = O

I, Fy = O => • Nudo

Tco -

= O => Tco = F., = 10 kN

(compresión)

I, Fy = O =>

Tao ' cos () - Tco = O =>

=> T.

_ Tco _

ao - COS () -

1 OkN 1O

= 11 , 18 kN (tracción)

~52 + 102

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS RESUMEN DE RESULTADOS

El hecho de que las tensiones TAB y TBC resulten nulas se debe a las cargas aplicadas y no significa que las barras AB y BC puedan eliminarse de la estructura. Si las cargas fuesen ligeramente diferentes, esas tensiones no serían nulas. Incluso con las cargas del problema esas barras resultan necesarias para asegurar la rigidez de la armadura.

Barra

Tensión

25 kN

11 ,18 kN

10 kN

Naturaleza

Compresión

Tracción Compresión

Observaciones A la hora de determinar las tensiones en las barras de una armadura aplicando el método de los nudos, se pueden simplificar bastante los cálculos si se tienen en cuenta las siguientes consideraciones:

•

En un nudo con sólo dos barras colineales y sin carga las tensiones de ambas barras son iguales. De este modo, la suma de fuerzas en el nudo es nula.

~==:JH T2

•

En un nudo con sólo dos barras no colineales y sin carga las tensiones son nulas. En efecto, como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser cero, T2 = O. Por lo tanto, T1 también debe ser nula.

o' x T2 = o .. T1 = o •

Cuando en un nudo sobre el que no haya carga exterior concurren tres barras y dos de ellas están alineadas, la tensión de la tercera es nula.

Efectivamente, basta con tomar el eje y en la dirección de las barras alineadas, y como no puede haber fuerzas según el eje x, para que exista equilibrio la tensión de la tercera barra ha de ser nula. Así, en la estructura de la figura se puede afirmar "a priori" sin necesidad de resolverla que las tensiones en las barras CI, BG y BH son nulas.

e A ~--------~~--------~

Unidad 4 ...................••..••................•....•......•••••••.••••••••••..•...••••••...•..•••... 3.2. Método de las secciones o de Ritter

Este método ofrece la ventaja de que permite calcular directamente la tensión de una barra determinada sin necesidad de obtener las de las barras restantes, como sucede con el método de los nudos. En el método de Ritter la estructura articulada plana, una vez determinadas las reacciones en los soportes, se divide en dos fragmentos por medio de una sección (recta o curva) que corte como máximo a tres barras de tensiones desconocidas. A continuación se aísla uno de los fragmentos y se traza el correspondiente diagrama de fuerzas del sólido libre, sustituyendo las barras cortadas por las tensiones respectivas. Como no se sabe si dichas barras estaban en tracción o en compresión, se suelen representar en tracción. Por último, por tratarse de fuerzas coplanarias, se aplican las tres ecuaciones de equilibrio, evitando resolverlas simultáneamente. Conviene tomar momentos con respecto a un punto que recaiga en la intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas, para que de este modo se obtenga directamente la tercera fuerza. A modo de ejemplo, supongamos que queremos determinar la tensión en la barra BD de la estructura plana de la figura a). Con este objeto se traza la sección aa', que divide a toda la estructura en dos partes, cortando solamente tres barras: una de ellas la BD, que es precisamente la barra cuya tensión se desea calcular. F2 B

(a)

, ,,

A*-- ---=:tr----.... TBD

:~~, (b)

TCE

- --- ~' E

Cualquiera de las dos partes puede utilizarse como sólido libre, si bien se suele escoger aquélla sobre la que actúe el menor número de fuerzas; en nuestro caso, la de la izquierda (figura b). Las fuerzas que actúan sobre este sólido libre son las cargas F1 y F2 aplicadas en los puntos A y B Y las tres tensiones desconocidas Tao' TaE Y TCE' Como no se sabe si las barras cortadas estaban en tracción o en compresión, en el diagrama se ha supuesto que las tres estaban en tracción. El hecho de que el sólido rígido aislado se encuentre en equilibrio se expresa por medio de tres ecuaciones cuya resolución conduce a las tres tensiones desconocidas. Si únicamente queremos conocer Tao' sólo se precisa una ecuación de equilibrio, a condición de que en ella no figuren las otras incógnitas. Esta ecuación será: I, ME = O, Y una vez calculado el módulo de Tao , su signo nos indicará si la barra estaba en tracción (signo positivo) o en compresión (signo negativo). En caso de que sólo nos interese conocer TCE; utilizaremos una ecuación en la que no figuren Tao Y TaE . La ecuación apropiada es I, Ma = O; Y una vez resuelta tendremos también que considerar el signo de TCE para decidir las características de tracción o de compresión de la barra CE. Si sólo se desea el valor de TaE , la ecuación más apropiada es I, Fy = O. Que la barra esté en tracción o en compresión viene determinado por el signo que se obtenga. Por último, es interesante mencionar que la ecuación I, Fx = O puede servir para comprobar los anteriores resultados.

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS

Ejemplos 1. Empleando el método de las secciones, hallar las tensiones en las barras EF, CF y BC de la estructura articulada plana que se esquematiza en la figura. Indicar, además, si dichas barras se encuentran en tracción o en compresión.

AJ;;e====-t-.

Solución:

Primeramente es necesario determinar las reacciones exteriores en A y en D (A: articulación; B: apoyo libre). Para ello, construiremos el diagrama de sólido libre de la estructura, aplicando a continuación las condiciones de equilibrio:

8m 12 kN

.,....,...._a-.=: -.::-_ <O

.....

~R~~ A----~'-'~ ·. ~a·,-'~"----~ D

L,Fy =O ~ R Ay +Ro -12kN=0

16 m

L,MA =0 ~ Ro ·24 m-12 kN · 16 m-~ kN ·6 m=O La reso lución de este sistema conduce a:

RAx =4 kN

4 kN

:', , : :): .

L, Fx = O ~ 4 kN - RAx = O ~ RAx = 4 kN

4 kN

TEF

R Ay =3 kN

Para la aplicación del método de Ritter elegiremos la sección aa', ya que corta transversalmente las tres barras cuyas tensiones se quiere determinar. Los diagramas de sólido libre correspondientes a las dos partes de la estructura seccionada son los que aparecen recogidos en las figuras (a) y (b). Por comodidad, utilizaremos el diagrama primero, pues en él hay un número menor de fuerzas involucradas.

A (a)

4 kN

TCF TBC " "

-- -- , C

A continuación, aplicaremos las ecuaciones de equilibrio. (b)

•

9 kN

Cálculo de Tac . Tomando momentos con respecto al punto F, los correspondientes a las tensiones TEF y TCF son nulos y de esta forma se calcula directamente Tac : LMF=O ~ Tac · 6m-3kN · 8m-4kN · 6m=0 ~ Tac =8kN

La barra BC está en tracción, pues así se había supuesto al principio, y el valor de Tsc resultó positivo. •

Cálculo de TEF . Tomando momentos con respecto al punto C se obtiene directamente TEF : LMc = O ~ - TEF · 6 m-3 kN · 16 m=O ~ TEF = -8 kN Teniendo en cuenta el sentido asignado inicialmente, la barra EF está en compresión, y el valor de la tensión es: TEF = 8 kN

•

Cálculo de T cF . Como Tac Y TEF no tienen componentes verticales, el cálculo de TCF se realiza directamente por medio de la condición L Fy = O: 3 kN - TCF . cos

e= O ~

TCF = 3 kN = cos e

~ = 5 kN

6/ 62 + 82

(tracción)

Unidad 4

2. Empleando el método de las secciones, hallar la tensión en la barra CF de la estructura en techo que se representa en la figura, indicando si dicha barra se encuentra en tracción o en compresión. Solución: Cualquier sección imaginaria que corte transversalmente a la barra CF cortará también otras tres barras de tensiones desconocidas. Así, por ejemplo, la sección aa' corta a las barras CD, CF, BF y AF (figura a). Si se considera el diagrama de fuerzas del sólido libre de la 6 kN parte izquierda (figura b), se puede obte2 kN ner TCD tomando momentos con respecto 2 kN a F, pues de esta forma los momentos de las tensiones restan3m 3m 3m tes son nulos. Sin 4 kN embargo, las dos (a) 8 kN ecuaciones de equilibrio restantes no permiten el cálculo de TCF • Una manera lógica de proceder en este caso es calcular primero TCD de la sección aa' y utilizar luego este resultado en la sección bb' (figura a). La figura c pone de manifiesto que el diagrama de sólido libre que se obtiene es el mismo que el que suministra el método de los nudos para el perno C.

6 kN

2 kN 2 kN

!~===:;====~======~ 3m

4 kN

8 kN

6 kN

2 kN

J:~ 3m

8 kN

(b)

Procedamos, ahora, a la resolución del problema.

LMF=O ~ 2kN·6m+6kN·3m-Tco ·sen30°·6m-8kN·6m=0 ~ ~

TCD = - 6 kN (compresión)

Considerando el diagrama de sólido libre de la sección bb' (figura c), tenemos:

L Fx = O ~ ~

TCD ' cos 30° - Tca . cos 30° = O ~

,: 2 kN

Tca = TCD = - 6 kN (compresión)

= O ~ - Tca . sen 30° - TCD . sen 30° - TCF ~

2 kN = O ~

TCF = - 2 kN - Tca . sen 30 0 -TcD ' sen 30°=

= - 2 kN - (-6 kN) · 0,5 - (-6 kN)· 0,5 = 4 kN (tracción)

TCB

TCF

TCD

(e)

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS 3.3. Método de Cremona

Es un método gráfico, similar en ciertos aspectos al método de los nudos antes estudiado. Se basa en construir para cada nudo un polígono cerrado cuyos lados sean las fuerzas (reacciones o tensiones) concurrentes en el nudo. Para ello se parte de un nudo con dos tensiones desconocidas, y se continúa postériormente trazando tantos polígonos como nudos existan en la estructura. Procediendo de una forma ordenada se consigue una notable simplificación en los dibujos. A efectos prácticos conviene seguir las normas siguientes: •

Comprobar las isostaticidades exterior e interior de la estructura, representándola a continuación a escala adecuada.

•

Calcular las reacciones exteriores (en módulo, dirección y sentido).

•

Numerar las barras una a una, evitando todo tipo de ambigüedad.

•

Iniciar las construcciones gráficas en un nudo con dos tensiones oesconocidas (por lo general, se comienza en un apoyo).

•

El paso de un nudo a otro se lleva a cabo invirtiendo los sentidos de las tensiones.

•

Una vez finalizada- la construcción, aquellas tensiones que se acerquen a un nudo significan una compresión en la barra correspondiente; mientras que si se alejan, la barra se encuentra a tracción. A las fuerzas de tracción se les suele dar el signo positivo, y a las de compresión, negativo.

Ejemplos 1. Calcular, por el método de Cremona, las tensiones en las barras de la estructura de la figura, especificando cuáles trabajan a tracción y cuáles a compresión. Solución:

Hallaremos, en primer lugar, las reacciones en los apoyos. Como A es un apoyo liso, RA ha de ser vertical. Por otra parte, B es una articulación, por lo que Ra, en principio, habría de tener dos componentes; pero como tanto las fuerzas solicitantes como la reacción en A son verticales, también lo ha de ser Ra. Trazando el diagrama de sólido libre y aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos:

I,.Fy =O ~ RA +Ra -1t-1t=0

L"MA =0

~ Ra ·12 m - 1 t ·4 m-1 t·8 m=O

La resolución de este sistema conduce a:

RA = 1 t ; Ra = 1 t De esta forma se comprueba que la estructura es isostática exteriormente. Debemos comprobar que también lo es interiormente. Como el número de nudos es n = 6 y el de barras, b = 9, se verifica la relación b = 2 n - 3. Por lo tanto, la estructura es isostática interiormente y se le puede aplicar el método de Cremona para su resolución.

Unidad 4 Por otra parte, la tensión de la barra rotulada con el número 8 es nula, pues corta perpendicularmente a otras dos alineadas. T,

-c

Aplicaremos ahora el método de Cremona, partiendo del nudo A, y realizando las construcciones vectoriales poligonales que se recogeñ en la figura, teniendo en cuenta que al pasar de un nudo a otro se han de invertir los sentidos de los vectores representativos de las tensiones. Los módulos de dichos vectores, considerando la escala elegida, corresponden a los valores de las tensiones de cada una de las barras, que serán de tracción o de compresión según que se alejen o se acerquen al nudo. En la práctica, las construcciones de los polígonos de fuerzas se suelen realizar en una sola gráfica, conforme se aprecia en la figura inferior.

Resultados

Barra 1 (-)

T, = 5/3 t (Compresión)

2 (-)

T2 = 5/6 t (Compresión)

3 (-)

T3 = m/3 (Compresión)

4 (+)

T4 = 2/3 t (Tracción)

5 (+)

T5 = 1/2 t (Tracción)

6 (-)

T6 = 5/6 t (Compresión)

7 (+)

T7 = 4/3 t (Tracción)

8 9 (+)

Actividades

Tensión

Ta=O

T9 = 4/3 t (Tracción)

:::::>

lada de la figura.

1. Hallar las tensiones en cada una de las barras de la estructura articuE

Resultado: TAS = 2,828 kN (C); TAC =2 kN (T); TBC =2 kN (T); TBO = 2 kN (C); Tco = O; TCE = 2 kN (T); TOE = 2 kN (T); TOF =2,828 kN (C); TEF =2 kN (T)

2 kN

2. Utilizando el método de las secciones, determinar la tensión en la barra OF de la estructura representada en la figura.

Resultado: TOF = 1,667 kN (C) 2t 10 kN

14 kN

3. Calcular, por el método de Cremona, las tensiones en las barras de la estructura de la figura.

Resultado: TAS =6 tIC); TAE =6 tIC); TBC =2-Y5 t(T); TBE = 2...[2 t (T); Tco = 2-Y5 t (T); TCE =2 tIC); TED =4 t(C)

2t A_~~__~~~~__ D

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS 4. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS

(a)

Mientras que las armaduras están constituidas solamente por miembros (barras) de dos fuerzas, los entramados y las máquinas contienen al menos un miembro sobre el que se ejercen fuerzas en más de dos puntos o sobre el cual actúan fuerzas y momentos. La diferencia principal que c existe entre entramados y máquinas es que los primeros son estructuras rígidas, mientras que las máquinas no lo son. Por ejemplo, la estructura representada en la figura (a) es un entramado. Como se trata de un cuerpo rígido, son suficientes tres reacciones de los apoyos para fijarla en su posición, y estas tres reacciones se determinan mediante las condiciones (e) de equilibrio global.

(d)

En cambio, la figura (c) corresponde a una máquina, aun cuando en ocasiones se la denomina estructura no rígida, porque depende de sus apoyos para mantener la forma. La falta de rigidez interna se compensa por una reacción más de los apoyos. En estos casos, aunque la única información que se solicite sean estas reacciones exteriores, es preciso descomponer la estructura y analizar sus partes constituyentes.

Con más precisión, el término máquina suele utilizarse para describir dispositivos, como tenazas, pinzas, etc., utilizados para amplificar el efecto de las fuerzas. En estos casos, al mango del dispositivo se le aplica una fuerza (entrada) y en la salida se obtiene una fuerza mayor. Al igual que los entramados no rígidos, es preciso descomponer y analizar estas máquinas, aunque la única información que se busque sea la relación entre las fuerzas de entrada y salida. Pero en ambos casos, a diferencia de lo que sucedía con las estructuras articuladas, el análisis que se debe realizar consiste en el estudio del equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos, y no el de un sistema de puntos. 4.1. Entramados

d (a)

(b)

Para que sirva de ilustración del método que se sigue en el análisis de entramados, consideremos la mesa de la figura (a). Como ninguna de las partes que la constituyen es miembro de dos fuerzas, la mesa no es una armadura. Si bien puede doblarse si se desengancha el tablero de las patas, la mesa, cuando se utiliza normalmente es una estructura rígida estable: un entramado.

Unidad 4 Si se construye el diagrama de sólido libre de la mesa y se aplican las ecuaciones de equilibrio, se obtienen las reacciones en los apoyos:

LFx =O~RAx =O LFy=O ~ RAy +Re-W=O LMA =0 ~ Re · d-W·2d=0

}

R Ay =Wj 2

Re =Wj 2

El paso siguiente consiste en descomponer la mesa y dibujar por separado los diagramas de sólido libre correspondientes a cada una de sus partes. Se puede observar que ninguno de los miembros es de dos fuerzas; por ese motivo, las direcciones de las fuerzas en los nudos C, D y E son desconocidas, pues no coinciden con las de los miembros, aunque siempre se ha de tener en cuenta que las fuerzas que ejerce un miembro sobre otro son de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto a las fuerzas que el segundo ejerce sobre el primero (ley de Newton de la acción y la reacción). Así, en las figuras (b) y (c) se puede apreciar que las componentes de la fuerza que el miembro AD ejerce sobre BC en el nudo E son iguales y opuestas a las de la fuerza que BC ejerce sobre' AD; y lo mismo sucede en los nudos restantes. En el apoyo B el suelo ejerce una fuerza hacia arriba sobre la pata; y del mismo modo, en la ranura D la componente horizontal de la fuerza sobre la pata AD ha de estar dirigida hacia la izquierda. Si al resolver el problema los valores de estas fuerzas resultasen negativos, o bien la solución sería errónea o la mesa no estaría en equilibrio.

(a)

(b)

RAx

Por otra parte, resulta lógico considerar que las componentes verticales Cy y Dy se ejercen hacia arriba sobre el tablero y hacia abajo sobre las patas. En cambio, no resulta tan fácil saber si Ey actúa hacia arriba o hacia abajo sobre la pata AD; sin embargo, esto carece de importancia (siempre que el pasador correspondiente al nudo E no tenga rozamiento), pues si a esta componente se le asignase un sentido erróneo, al final se obtendría un valor negativo, lo que indicaría que su sentido era el opuesto al atribuido inicialmente. Por último, se formularán las ecuaciones de equilibrio (dos de fuerzas y una de momentos) correspondientes a cada parte del entramado, que conducirán a la obtención de las fuerzas actuantes en los nudos. En el caso de la mesa mencionada en el ejemplo, compuesta de tres partes, se podrán escribir nueve ecuaciones, que servirán para calcular los valores de las seis fuerzas desconocidas restantes (Cx' Cy ' Dx' Dy, Ex, Ey), pues las reacciones de los apoyos ya se habían obtenido con anterioridad a partir del equilibrio global del entramado. Por lo tanto, tres de las ecuaciones podrán servir como comprobación de los resultados .

......_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplos 1. La grúa esquematizada en la figura sostiene una carga W = 2 toneladas. Despreciando el peso de la estructura, se pide calcular: a) Tensión del cable BG. b) Fuerzas internas que mantienen unidas las distintas partes del entramado. Se considera nulo el rozamiento. Solución:

iI:=*-===l O F

a) Consideremos el diagrama de sólido libre de toda la grúa (véase figura de la página siguiente). Las fuerzas exteriores que actúan sobre ella son: las componentes horizontal y vertical RAx y RAy de la reacción del suelo, la tensión T del cable y el peso de la carga W = 19 600 N.

ESTRUCTURAS y' MECANISMOS La tensión del cable se determina tomando momentos respecto al punto A: B 2m

= O ~ T sen e·1 O m - W ·4 m = O ~ =$ T =

W ·4 m sen 30° . 4 m

19 600 N ·4 m 0,5 . 10m

15 680 N

Las componentes de la reacción en la articulación se obtienen por medio de las otras dos ecuaciones de equilibrio:

L Fx = O ~ ~

R Ax

T sen e = O ~

R Ax = T sen e = 15 680 N . O, 5 = 7 840 N

. R Ay = W + T cos e = Fíjate

En el caso de entramados que pierdell su rigidez al desprenderlos de los soportes, como por «3jemplo el de la figura, las ecuaCiones de equilibrio para todo el sólido son condiciones necesarias, pero no suficientes, siendo preCiso <;Iescomponer la estructura y considerar los diagramas de sóli. do libre de cada' parte ppr separado. En efecto, es fácil observar que las ecuaCiones de equilibrio p'ara todo el sólido son tres, y las' componentes de las reacciolles exteriores cuatro.

= 19 600 N + 15 680 N·

-J3 = 33 179,3 N 2

Para el cálculo de las fuerzas interiores que mantienen uni2m das las piezas de la grúa, dese e e compondremos ésta. en sus T partes constituyentes y construiremos el diagrama de sólido libre de cada una de ellas. 6m La barra EF está sometida sólo a dos fuerzas, FEF, de igual A tL-- - . R Ax módulo y dirección, pero de sentidos contrarios, que actúan en sus extremos. Su sentido se le asigna arbitrariamente y será comprobado más adelante cuando se resuelvan las ecuaciones de equilibrio planteadas. Obsérvese que en todos los casos los vectores que representan las fuerzas interiores se han dibujado de manera que cumplan la ley de acción y reacción. Consideremos, por ejemplo, la barra CD y apliquemos las ecuaciones de equilibrio:

L Me = O ~

FEF • sen 45° . 2 m - W ·4 m = O ~

~ F. = EF

W·4m = 19600N.4m=55437N sen45°·2m - ·2m 2

.J2

Estos valores obtenidos pueden comprobarse verificando que el elemento AB también está en equilibrio.

Unidad 4 4.2. Máquinas

Para el análisis de las máquinas se sigue el mismo método que para los entramados: se desqompone la estructura en sus partes constituyentes y, una vez construido el diagrama de sólido libre de cada una de ellas, se aplican las ecuaciones de equilibrio. Esta manera de proceder resulta, en este caso, de todo punto imprescindible, incluso cuando sólo interese conocer las reacciones de los apoyos o la relación entre las fuerzas exteriores que se ejercen sobre la estructura.

D,-_~-

(a)

Consideremos, a modo de ejemplo, una máquina de triturar ajos como la que se repre~ senta en la figura a. A las empuñaduras de la máquina se aplican unas fuerzas de entrada E1 y E2 , que se convierten en fas fuerzas de salida S1 y S2 aplicadas al diente de ajo. Si se tiene en cuenta la máquina en su conjunto, la única información que suministran las condiciones de equilibrio es que E 1 = E2 , sin que obtengamos dato alguno acerca de la relación entre las fuerzas de salida y entrada. Para determinar esta relación, es necesario descomponer la máquina y construir los diagramas de sólido libre correspondientes a cada una de las partes (figura b). Tomando momentos respecto a B, resulta:

de donde:

La relación entre la fuerza de salida y de entrada se conoce con el nombre de desarrollo mecánico (M) de la máquina: M = Fuerza de salida Fuerza de entrada Por lo tanto, en el caso de la máquina de triturar ajos:

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS 5. ANÁLISIS ESTÁTICO DEL MECANISMO BIELA-MANIVELA Este mecanismo, a pesar de su sencillez, goza de enorme importancia en el campo de la técnica, pues constituye la b.ase del funcionamiento de muchos aparatos de uso cotidiano . Quizá el ejemplo más significativo, y a la vez conocido, del mecanismo biela-manivela sea el motor de combustión interna, en el que se utiliza para convertir los movimientos rectilíneos alternativos del pistón en un movimiento de rotación continua en la manivela.

Mecanismo biela-manivela.

Bujía A

Mecanismo biela-manivela en el motor de La figura representa el esquecombustión interna. ma de un si'stema biela-manivela. La biela AB, de longitud Lb' tiene el extremo B unido a un pistón por medio de un perno o pasador llamado bulón, mientras que el otro extremo, A, está articulado a la manivela OA, cuya longitud es Lm' Sobre el extremo B de la biela actúa una carga F, transmitida a través del pistón y originada por la explosión de una mezcla carburante o por la resistencia que una mezcla de gases ofrece a la compresión. Por otra parte, el extremo O de la manivela se mantiene fijo, actuando sobre él un par Mo que puede ser resistente, si se trata de un motor de combustión interna, o motor en el caso de un compresor.

En el transcurso de esta exposición consideraremos que el peso de las barras es despreciable, así como el rozamiento. Y llevaremos a cabo el desarrollo analítico para una posición determinada del mecanismo biela-manivela, definida por los ángulos respectivos, f3 y <p, que forman con el eje de movimiento del pistón. El análisis estático de este mecanismo se puede realizar desde dos puntos de vista opuestos: •

Calcular la fuerza F conociendo el par resistente o motor Mo'

•

Calcular el par motor o resistente, M o' en función de la fuerza F.

Este segundo enfoque será precisamente el que seguiremos a continuación, suponiendo que el mecanismo funciona como un compresor, y que se desea determinar el par motor Mo conociendo .Ia fuerza resistente F. En el diagrama de todo el mecanismo (véase figura) aparecen las siguientes incógnitas: -

M o : Par motor que es necesario aplicar para vencer la resistencia F del aire.

Ra: Reacción de las paredes del cilindro contra el pistón, y que es perpendicular a éste.

Ro: Reacción sobre la manivela producida por su soporte. Se desconocen tanto su módulo como la dirección, lo que equivale a dos incógnitas, que serán, precisamente, las dos componentes de Ro (R ox Y Roy)·

Como se trata de un sistema plano, disponemos sólo de tres ecuaciones de equilibrio y de cuatro incógnitas.

Unidad 4 Descompondremos, ahora, el mecanismo biela-manivela en partes aisladas y analizaremos los correspondientes diagramas. •

Diagrama de sólido libre del bulón B (figura a). Además de F y Re (fuerzas exteriores), aparece una nueva fuerza (interior al sistema), que es la reacción Q de la biela, de la cual desconoce~ os su módulo, pero no su dirección, que es la de la propia biela. Sin embargo, resulta ventajoso utilizar las dos componentes, Qx y Q y, de esta reacción, cuyos valores son:

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene:

L Fx = O ::::}

Diagrama de sólido libre del bulón,

F - Qx = O ::::} F = Qx = Q . cos /3 ::::} Q = _F_ cos /3

[1] [2]

L Me = O. Esta ecuación es trivial, pues todas las fuerzas que actúan sobre el bulón son concurrentes. •

Diagrama de sólido libre de la manivela OA (figura b). Además de la fuerza exterior Ro Y del momento Mo, tenemos que considerar la reacción Q de la biela; y, por ser fuerza interior, le asignaremos sentido contrario al de la fuerza que actuaba sobre el bulón. Apliquemos las ecuaciones de equilibrio:

[3]

Diagrama de sólido libre de la manivela,

[4]

L Mo = O ::::}

Mo + Qy . Lm . cos ep - Qx . Lm . sen ep = O ::::}

::::} Mo = Qx . Lm . sen ep - Qy . Lm . cos ep = =Q·Lm ·(cos/3·senep-sen/3·cosep)=Q ·Lm · sen(ep-/3) [5]

y teniendo en cuenta la expresión [1] : resulta finalmente:

M _ _F_,L.. .!m .!.!-·_s_en_(.:..:.ep_---'./3-=..) 0cos/3 Por último, la observación de la figura c permite obtener la relación entre los ángulos /3 y ep:

C!l.

Lb' sen/3 = Lm' senep::::} sen/3 =

~: . senep::::}

/3 = arcsen

(~: . senep)

B ___ \~ _______ Lb ' eos [3

c: .o ..J

(el

Las ecuaciones anteriores ponen de manifiesto que el momento motor o resistente depende del ángulo que forme la biela con el eje del movimiento del pistón, el cual determina, a su vez, el ángulo correspondiente de la manivela. Es evidente que el ángulo /3 nunca puede llegar a ser de 90°, pues ello im plicaría que Lm > Lb' Y además el par se haría infinito, pudiendo ocasionar la rotura del mecanismo.

O __ j_~ _______ Lm' eos 'P

..J

Relaciones geométricas,

_ _ _ 87

.---_ _ _ _ _ A m pi ia ción 7200 N

~ 600 N/m

flllllllllllfllt Carga uniformemente distribuida sobre la barra.

FUERZAS DISTRIBUIDAS

En la mayor parte de las ocasiones -y así se ha hecho hasta ahora- el peso de los sólidos se considera aplicado en su centro de gravedad. Por ejemplo, si sobre la barra AS de la figura, de 12 m de larga, se coloca uJla viga homogénea de 7 200 N de peso y de la misma longitud, aunque es lógico sl:Jponer que su peso se encuentra distribuido sobre toda la barra con una densidad de carga de 600 N/m, en la práctica se puede considerar la carga total de 7 200 N concentrada en el centro de gravedad, que es su punto medio. En el ejemplo mencionado la carga se distribuye de manera uniforme. Pero en muchas ocasiones esto no sucede así. Supongamos, por ejemplo, el caso de la figura, en el que la carga vertical se encuentra distribuida a lo largo de toda la viga segúne1 diagrama de cargas representado por la curva q(x). Sobre un elemento de viga de longitud dx la carga vertical que actúa es dQ =q . dx, siendo q la carga por unidad de longitud. Para determinar el equilibrio de la viga hay que tener en cuenta que las cargas verticales distribuidas son equivalentes a su fuerza resultante, que es una fuerza vertical que pasa por el centro de gravedad de la superficie determinada por erdiagrama de cargas, y cuya magnitud es el área de dicha superficie. Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene:

LFx =0 =>

RAx =0

L f o q . (L -

Carga distribuida de una forma irregular.

O =>

1 fL

x) . dx - RAy . L = O => R Ay = -

q . (L - x) . dx

Como RAx = O, la reacción en el apoyo A es vertical. Casos particulares:

R Ay I+-- - - - :- - - -...¡ Rs L

Carga uniformente distribuida.

• Si la carga por unidad de longitud (q) es constante a lo largo de toda la viga (carga uniformemente distribuida), las ecuaciones anteriores se convierten en: RAx =0

El peso de una viga de sección transversal constante constituye una carga uniformemente distribuida y no puede despreciarse cuando sea del orden de magnitud de las cargas restantes. • Si la viga se encuentra sometida a un diagrama triangular de cargas verticales, se cumple: X

q= qo·L

R Ay

------:----~

Diagrama triangular de cargas verticales.

Y este valor sustituido en las ecuaciones anteriores conduce a:

- qo ·L 6

Ay -

R - qo · L B-

Unidad 4

Actividades de Síntesis 1. Deducir razonadamente si las estructuras de las figuras (a) y (b) son isostáticas exteriormente. , ¿E interiormente?

4. Hallar la tensión en cada una de las barras de la estructura articulada de la figura.

E C\I

1,5 m 1,5 m (a)

Resultados: T AB = 7,5 kN (e); TAO = 4,5 kN (T); T BC =6 kN (e); T Bo =2,5 kN (T); T co =2 kN (e)

5. Identificar todas las barras de tensión nula en la armadura tipo Fink de la figura. Razonar esta circunstancia sin llevar a cabo cálculo alguno. (b)

3 kN

2. La armadura representada en la figura se encuentra sometida a las cargas F, = 220 N Y F2 = 80 N. Hallar la tensión ' en cada una de las barras, indicando si se encuentran a tracción (T) o a compresión (e).

Resultado: Las barras de tensión nula son la eG, la DF y la Fe

6. La figura representa una estructura reticular articulada en A y apoyada en B. Determinar: a) Reacciones en A y en B.

Resultado: TAB = 265,7 N (e);

TAc =92,15 N (T); TBC = o

b) Tensión, indicando su naturaleza, de cada barra. 10 3 kp

3. Utilizando el método de los nudos, calcular las ~-----:,,-----.---J

tensiones en cada una de las barras de la estructura articulada de la figura.

2,5kN A

, '11(

C'f:'----------7<

Resultados: a) RAx = -1 333,3 kp;

, '1(

, O,9m '

RAy = 1 000 kp; R B = 1 333,3 kp;

1,8 m

Resultados: TAB = 21,87 kN (e);

TAE = 13,13 kN (T); TBc =7,5 kN (e); TBE =9,37 kN (e); Tco =6,25 kN (e); T cE =

6,25 kN (T);

TOE =

3,75 kN (T)

TAO = 1 T BC

333,3 kp (T);

T AE

= 1 000 kp

=1 666,6 kp (e);

T BE

=1 000 kp (T);

T co = O; T CE = O; T cp = 1 TOE =

T op =

(T);

666,6 kp (e);

1 333,3 kp (T)

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS

I1.ctiviar;u;{es ae Síntesis 7. Dibujar el diagrama de sólido libre correspondiente a la articulación B y calcular las tensiones en las barras AB y Be, indicando si se encuentran a tracción (T) o a compresión (e).

11. Usando el método de los nudos, hallar las tensiones en cada barra de la estructura articulada de la figura, determinando si son de tracción o de compresión. B

E .¡

12 kN

Resultado: TAB = 2862,6 N (T); TBC = 1523,2 N (e)

8. En la estructura metálica de la figura, calcular:

2000 kg

a) Reacciones en A yen B.

Resultados: TAC = 40 kN (T); TBC = 9,5 kN (e); TBo = 25,5 kN (e); Tco = 24 kN (T); TCE = 22,5 kN (T); TOE = 25,5 kN (e)

12. La armadura de la figura representa uno de los

b) Tensión de cada barra y naturaleza de la misma (tracción o compresión).

Resultados: a) RA = 500 kp (i); RB = 1 500 kp (i); b) TAC = 1 000 kp (e); TAO = 866 kp (T); TBC= 1732 kp (e); TBo =866 kp (T); Tco=O

laterales de un puente. Las vigas del suelo transpqrtan las cargas de los vehículos a los nudos de la armadura. En el puente y en la posición indicada se detiene un coche de 2 000 kg. Utilizando el método de los nudos, calcular la tensión en cada una de las barras de la armadura.

9. Mediante el méto20 kN

do de los nudos, calcular las tensiones en todas las barras de la estructu ra articu lada de la figura.

10 kN

Resultados: TAB = 15 kN (T); TAE =25 kN (e); TBc = 52,5 kN (T); TBo = 37,5 kN (e); TBE = 25 kN (T); Tco = 87,5 kN (e); TOE = 30 kN (e)

10. Hallar las tensiones a que se encuentran sometidas las barras de la estructura.

Resultados: TAB =3 832 N (e); TAc =2 941,7 N (T); TBC = 3140,6 N (T); TBo = 4903,7 N (e); Tco =3138,4 N (T); TCE =2 943,1 N (T); TOE = 3829,3 N (e)

13. Hallar las tensiones de todas las barras de la estructura del techo representada en la figura.

Resultados: ~______~~____~~D

100 kN

Resultados: TAB = O; TAC = 200,6 kN (T); TAO = 364,8 kN (T); TBC= 525 kN (e); Tco = 350,8 kN (e)

TAB = 1,16 kN (e); TAO = 6,15 kN (T); TBC = 7,53 kN (e); TBo =6,15 kN (T); Tco = 6,15 kN (T)

Unidad 4

Actividades de Síntesis 14. Calcular, por el método de los nudos, la tensión en cada una de las barras del entramado en voladizo de la figura.

•

17. Hallar las tensiones en las barras CB, Cl y Kl del entramado en voladizo representado en la figura, como consecuencia de la carga de 50 kN .

E v

10 kN

Resultados:

T AB =5,77

15 kN

kN (C);

T AC =31,76

6 Tramos de 3 m

kN (C);

Resultados: TCB = 142,85 kN (C); TCL = 14,4 kN (C); TKL = 162,5 kN (T)

=28,87 kN (T); T Bo = 17,32 kN Tco = 17,32 kN (C); TCE = 8,66 kN

T BC

(T); (C); TOE = 17,32 kN (T)

15. Utilizando el método de Ritter, determinar la tensión en la barra BE de la estructura Warren de la figura. Todas las barras de la estructura t ~enen 2,5 m de longitud.

18. la armadura de la figura, cuyas barras horizontales tienen todas ellas 2 m de longitud, soporta una carga de 250 kN. Determinar la tensión en la barra CJ, indicando si trabaja a tracción o a compresión.

BCD

~3JNNN~ G

250 kN

Resultado: TCJ = 353,6 kN (T) Resultado: TBE = 57,73 N (T)

16. Hallar la tensión en la barra DJ de la cercha de cubierta Howe de la figura.

19. Calcular, mediante el método de Cremona, las tensiones de las barras en la estructura de la figura. Indicar, además, cuáles trabajan a tracción y cuáles a compresión.

Resultado: ToJ = 8,33 kN (T) T AB =

3 t (T);

Resultados: 3{2t (C); T BC = 2 t (T); TBE ={2t(T); Tco =2 t(T); T CE =2 t(C); T oE =2{2 t(C) T AE =

ESTRUCTURAS Y MECANISMOS

Actividades de Síntesis 20. La armadura representada en la figura sirve de apoyo a uno de los extremos de una pantalla de. cine al aire libre de 12 m de ancho por 7,2 m de alto que pesa 35 000 N. Otra armadura igual da apoyo al otro extremo de la pantalla. Un viento de 32 km/h que incide normalmente en la pantalla ejerce sobre ella una presión de 57,88 Pa. Calcular las fuerzas máximas de tracción y compresión en las barras de la armadura e indicar en cuáles tienen lugar.

22. Determinar las tensiones en las barras DF y BE de la armadura de la figura.

2 kN

10 cm

4 kN

Resultados: TOF = 2 kN (C); TBE = 2 kN (T) 3,6 m

23. El mecanismo biela-manivela de un compresor de aire se encuentra en equilibrio en la posición de la figura cuando a la manivela se le aplica un par de 300 N·m. ¿Qué fuerza Fejerce el aire?

S7,88 Pa

3,6 m

2,4m

1,8 m 1,S m 1,S m

Resultados: Tracción máxima: TFG = 8632,8 N; Compresión máxima: TEH = 10 993,8 N

21. Hallar los módulos de la fuerzas C y T que actúan sobre los miembros que concurren en el nudo de la armadura de puente de la figura, sabiendo que las otras tres fuerzas tienen los valores que se indican .

1Scm

' Scm'

Resultado: F= 4000 N

24. La grúa de la figura, cuyo centro de masas es el punto G, tiene una masa de 1 000 kg y lleva una carga de 2 400 kg. Se mantiene en su lugar por medio de una articulación en A y un balancín en B. Hallar las componentes de las reacciones en

Ay en B.

l·

Resultados: T = 9,09 kN; C= 3,03 kN

.1.

, 4m

·1

Resultados: Ax = - 107,1 kN; Ay = 33,3 kN; 8= 107,1 kN

AÑO 11

Número 1

ESOS PUENTES QUE TANTO NOS ASOMBRAN La construcción de puentes ha sido siempre considerada, a lo largo de la historia, como un símbolo del progreso de la técnica en su intento de facilitar la comunicación entre los pueblos.

Algunas denominaciones

Ya en épocas muy antiguas se hizo necesario, para cruzar pequeños ríos, utilizar puentes rudimentarios constituidos por simples troncos de árboles tendidos entre sus orillas. Pero si la distancia entre ellas (que recibe el nombre de claro) era muy elevada, la tarea se hacía sumamente dificultosa, a causa de la escasa resistencia de las vigas de madera. Por ese motivo, comenzaron a surgir en muchos países, antes ya de nuestra era, diseños de puentes sumamente originales, algunos de los cuales aún se conservan en la actualidad.

• • • •

Pasarelas: puentes ligeros, para uso exclusivo de peatones. Puentes viales: puentes para el tránsito de una carretera ordinaria. Viaductos: puentes que salvan desniveles amplios o profundos, para una vía férrea o carretera. Puentes ferroviarios: puentes situados en una vía férrea. Acueductos: proporcionan continuidad a una conducción o vía de agua.

Las estructuras de puente en arco son muy antiguas. En ellas todas las barras trabajan a compresión. Como los materiales de mampostería (ladrillo, piedra u hormigón), aunque poco resistentes a la tracción, resisten la compresión con facilidad, los puentes construidos con estos materiales han sido diseñados con estructura· en arco. Por el contrario, la madera y el acero pueden soportar grandes fuerzas tanto a tracción como a compresión, y por ello se utilizan para la construcción de p)lentes con armaduras Pratt.

(a)

(b)

(e)

Distintas estructuras de puentes: a) En arco. b) Armadura Pratt. e) Estructura su pendida. En todos los casos, se dibujan en rojo las barras sometidas a tracción, yen verde las que trabajan a compresión.

En el caso de puentes de grandes dimensiones las armaduras son excesivamente pesadas para que puedan utilizarse como soporte. Este problema se puede resolver mediante estructuras suspendidas, que aprovechan la capacidad que tienen los cables relativamente ligeros para resistir grandes fuerzas de tracción. De esta manera se consigue salvar grandes claros por medio de cables soportados por torres. En los últimos cien años, algunos puentes, alardes de ingeniería y estética, se han convertido en símbolos de las localidades en que se encuentran. Otros, más recientes, colgantes o atirantados, han conseguido salvar enormes barreras naturales, sirviendo de unión entre islas y países. En la tabla de la página siguiente se recogen algunos puentes que merecen una mención especial.

Número 1

AÑO 11

ALGUNOS PUENTES FAMOSOS Fecha

Nueva York (EEUU). Une Manhattan con Brooklyn a través del East River

1869-1883

Puente de D. Luis I

Oporto (Portugal). Une las dos orillas del Duero

1885

Puente en arco (metálico). Vano central : 172 m. Tiene dos niveles: trafico rodado y ferrocarril. Construido por la compañía belga Willebroek y proyectado según un diseño del ingeniero Teophile Serig.

Golden Gate

San Francisco (EEUU)

1937

Puente colgante. Vano central: 1 280 m. Altura de las torres: 227 m. Concebido por el ingeniero Joseph Baermann Strauss.

lron Bridge

Coalbrookedale (Gran Bretaña). Sobre el río Severn

1777-1779

Puente en arco (metálico). Vano central: 30 m. Su construcción fue encabezada por Abraham Darby, dueño de una fundición de hierro en Coalbrookedale. Fue el primer puente de hierro del mundo.

Puente de Brooklyn

Uno de los primeros puentes colgantes. Proyectado por Roebling. Fue considerado la octava maravilla del mundo.

Puente de la Torre de Londres

Londres

1886-1894

Puente en arco. Altura de las torres: 62 m. Éstas se encuentran conectadas por un tramo colgante. La parte basculante está formada por dos brazos que se abren en un minuto.

Puente sobre el Humber

Sobre el estuario del Humber (Humberside, Gran Bretaña)

1972-1981

Puente colgante. 2 220 m . Vano central: 1 410 m. Torres: 155 m. Diseñado por la ingeniería Freeman Fox & Partners.

Puente de Clifton

Bristol (Gran Bretaña). Salva el valle del río Avon

1864

Puente colgante. Vano central: 189 m. Diseñado por el ingeniero Brunel.

Firth of Forth

Edimburgo (Gran Bretaña). Sobre el estuario del río Forth

1890

Puente en celosía, con dos vanos centrales de 521 m . Fue construido por sir William Arrol. Da paso a la línea férrea de Edimburgo a Perth y Dundee.

Puente de la Bahía de Sidney

Sidney (Australia)

Puente navajo sobre el Gran Cañón

Condado de Coconino (Arizona, EEUU)

Enlace de Lantau

Características

Ubicación

Puente

Tsing Ma Kap Shui Mun

China. Unen las islas de Lantau y Hong Kong, a través de las islas Tsing Yi y Ma Wan y Kowloon

1924-1932

Puente en arco. 1 150 m. Vano central: 504 m. Tiene 17 metros de anchura para tráfico rodado y cuatro vías para el paso de ferrocarril. Se le conoce como The Coathanger (La Percha).

1996

Puente en arco (metálico). Altura: 143 m. Es el único paso rodado sobre el río Colorado en el parque nacional del Gran Cañón.

1992-1997

Puente colgante. 2 200 m. Vano central: 1 377 m. Altura de las torres: 206 m .

1992-1997

Puente atirantado. 820 m. Vano central: 430 m. Altura de las torres: 150 m.

1998

Puente atirantado. 1 480 m. Vano central: 890 m.

Puente de Tatara

Ehime (Japón)

Great Belt (Gran Cinturón).

Dinamarca. Une las islas de Funen y Zealand

1993-1998

Puente de tramo recto (puente oeste) y puente colgante (puente este). Longitud total: 18 km.

Puente de Oresund

Malmoe (Suecia). Une Copenhague con Suecia a través del canal de Flinte

1993-2000

Puente atirantado. 1 092 m (tramo recto de 3 730 m). Luz vano central: 490 m. Longitud total: 16 km.

Akashi Kaikyo

Japón. Une la ciudad de Kobe con la isla de Awaji

Puente Vasco de Gama

Lisboa (Portugal) . Une las dos orillas del Tajo

1998

Puente colgante. Longitud : 3 910 m. Vano central: 1 991 m. Altura de las torres: 300 m. Altura de la base sobre el agua: 283 m.

1995-1998

Puente principal atirantado. Longitud total del tramo: 17 185 m. Longitud del tramo de puente: 12345 m. Longitud del puente principal: 829 m. Vano central: 420 m. Altura de las torres: 148 m .