07 CINEMATICA DEL SOLIDO RIGIDO by Secundino Sáenz

CINEMATICA DEL SOLIDO , RIGIDO

eONTENIDOS 1. MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RíGIDO 1.1. Movimiento de traslación del sólido rígido. 1.2. Movimiento de rotación del sólido rígido. 2. MOVIMIENTO GENERAL DEL SÓLIDO RíGIDO 2.1. Campo de velocidades. 2.2. Campo de aceleraciones. 2.3. Representación gráfica de velocidades y aceleraciones. 3. EL MOVIMIENTO HELlCOIDAL UNIFORME

148- - - -

Un estudio inicial -o elemental- de la Cinemática nos permitía considerar a todos los móviles como masas puntuales en movimiento. De hecho, muchos sólidos pueden ser considerados como puntuales, supuesta su masa concentrada en el centro de masas o de gravedad. Pero la realidad material es muy otra; un sólido (y ahora solamente consideraremos sólidos rígidos o indeformables) puede estar sometido a la vez a movimientos de traslación y de rotación, cosa que un punto no puede hacer, pues en él únicamente existen traslaciones. ¿Cómo estudiar el movimiento general de un sólido rígido?, ¿qué leyes lo rigen?, ¿cuáles son sus implicaciones en la aplicabilidad práctica de la Mecánica? .. He aquí algunas preguntas a las que esta Unidad proporciona respuestas.

Unidad 7

................................................................................................ 1. MOVIMIENTO DEL SÓLIDO RíGIDO En Cinemática, al igual que en Estática, los sólidos se consideran como cuerpos rígidos, en el sentido de que las distancias entre dos puntos cualesquiera de ellos permanecen constantes en el transcurso del movimiento. Esto significa que puntos coplanarios del sólido seg ~ irán en el mismo plano; si están en línea recta, continuarán en línea recta; y si forman un cierto ángulo con otro punto de referencia, ese mismo ángulo formarán al moverse.

En un sólido rígido, VA¡,A¡ E sólido,IA¡AJI = cte.

El movimiento del sólido rígido puede ser de traslación o de rotación. 1.1. Movimiento de traslación del sólido rígido Se dice que un sólido rígido posee movimiento de traslación cuando el vector AB que une dos puntos cualesquiera, A y B, del sólido 'permanece constante (equipolente a sí mismo) durante el movimiento: --->

VA,BE:;>ólido::::}AB=cte;

(---» -

d dt ·AB =0

lo que significa que el vector AB se mueve paralelamente a sí mismo. De esta definición inicial se deducen las siguientes consecuencias: •

Durante el movimiento de traslación todos los puntos del sólido rígido describen trayectorias iguales (que se superponen). Estas trayectorias pueden ser rectilíneas o curvilíneas.

•

Las velocidades de todos los puntos son iguales en cada instante. En efecto, como AB =

ra - r = cte, A

derivando respecto al tiempo, se

Para estudiar el movimiento de traslación de un sólido rígido es suficiente considerar el movimiento de uno de sus puntos, pues todos los demás tendrán la misma velocidad y la misma aceleración.

obtiene:

de donde resulta: •

Fíjate

Las aceleraciones de todos los puntos son iguales en cada instante. Como v- =vA

dv A dVa I aA=aa - --=--::::} dt .

a' dt

En resumen: Cuando un sólido rígido experimenta un movimiento de traslación, todos sus puntos describen trayectorias semejantes y se mueven con las mismas velocidades y las mismas aceleraciones. Pedal

Como ejemplos de movimientos de traslación se pueden citar el de la carrocería de un automóvil en un trayecto rectilíneo y horizontal, el de los cangilones de una noria, o el de los pedales de una bicicleta.

Los cangilones de una noria y los pedales de una bicicleta describen movimientos de traslación.

149

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO Fíjate En el movimiento de rotación del sólido rígido puede suceder que ningún punto del sólido se encuentre sobre el eje de rotación. Éste es el caso, por ejemplo, de la rotación de una rueda sobre un eje o la de una persona sentada en un tiovivo .

1.2. Movimiento de rotación del sólido rígido Un sólido rígido posee movimiento de rotación cuando existen dos puntos fijos, A y B, que determinan una recta, llamada eje de rotación, de manera que todos los puntos del sólido no pertenecientes a esta recta describirán circunferencias cuyos planos serán perpendiculares al eje de rotación y cuyos centros se encontrarán sobre dicho eje. El estudio de la rotación del sólido rígido exige introducir el concepto de velocidad de rotación, magnitud representada por un vector deslizante cuyas características son:

•

Dirección. Coincide con la de eje de rotación.

•

Sentido. Viene dado por la regla del sacacorchos.

•

, drp Modulo: m = Cit·

La celeridad de un punto cualquiera P del sólido, vendrá expresada por (véase el apartado 3.2. de la Unidad 5):

vp = m . R = m "r "sen f3 siendo R la distancia del punto P al eje de rotación, que es igual al radio de la circunferencia descrita por el punto P. La expresión anterior se puede escribir vectorial mente de la forma: El vector ro caracteriza al movimiento de rotación.

[1] siendo -¡ el vector posición de P respecto a cualquier punto del eje de rotación.

I--- - ' - - - j P

La aceleración del punto P se obtiene derivando la ecuación [1] respecto al tiempo:

dvp dt

d (_ dt

d ro dt

= - - = - m/\r = - /\ r+m /\ -

dro y v- p = dr - /\ r- , resu Ita f"InaImente: Y recordando que: a- = dt' dt = m

o La velocidad del punto P viene dada por:

vp=ro /\ r.

[2] •

El vector a /\ -¡ es la componente tangencial de la aceleración del punto P (a t = f) . Su dirección es tangente a la circunferencia en

a /\

dicho punto. •

En cuanto al vector m/\ (m /\ f), se demuestra que su módulo es igual a m2 " R (R = radio de la circunferencia descrita por el punto P), estando dirigido radialmente hacia el eje. Se trata de la componente normal de la aceleración (a n ) .

Mencionaremos, por último, que si el movimiento de rotación del sólido es uniforme (a= O; m= cte), se rige por la ecuación:

150

Unidad 7

................................................................................................ mientras que si es uniformemente variado (a = cte) se ajusta a las expresiones ya conocidas:

w=wo +a · t ({J = ({Jo

w2 -

+ W o . t + "2 a . t

w~ = 2 a . ({J

......_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplos

1. Un volante de 1,5 m de radio gira uniformemente con una velocidad de 90 rpm . Hallar la velocidad lineal y la aceleración de un punto de la llanta del volante. Solución: Expresemos, primeramente, la velocidad de rotación, en unidades internacionales:

w = 90 rev ..2n rad . 1 min min

1 rev

= 3n rad/s

60 s

La velocidad lineal de un punto de la periferia del volante valdrá: v=

w . R = 3n rad/s . 1,5 m = 4 ,5n mis

Por otra parte, como w= cte, la aceleración tangencial del punto es nula. La aceleración normal (que, en este caso, es la tota!), vale: a = an =

oJ . R = (3n rad/s ) 2 . 1,5 m = 133,2 m/s 2

2. Un volante gira de acuerdo con la ley:

Hallar la velocidad lineal y la aceleración de un punto que dista r= 0,5 m del eje de rotación en el instante en que los valores de las aceleraciones tangencial y normal sean iguales. Solución: La velocidad y la aceleración angulares del volante vienen dadas por: a= dw = 27 t

y las aceleraciones tangencial y normal : a t = a· r Cuando estas dos aceleraciones sean iguales (a t = an ) , se cumplirá: a = w2 ; es decir:

La resolución de esta ecuación conduce a: t = 2/3 s. Sustituyendo este valor en las expresiones correspondientes de W2/ 3 =

w y a, se obtiene:

3 rad/s; ~/3 = 9 rad/s

Los valores de la velocidad y de la aceleración del punto mencionado en ese instante serán:

151

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

......•..•...•......•......••..•......•.....•..•••••....................•..............•.. V2/3 = W2/3 . r = 3 rad/s ·0,5 m = 1,5 mis 2

él¡ =a·r= 9 rad/s ·0,5m=4,5 m/s

}

an = w2 . r = (3 rad/s)2. 0,5!ll = 4,5 m/s2

3. El tetraedro de la figura está sometido a una rotación en torno a la arista Be con una velocidad de 2 -v2 rad/s en el sentido indicado. Hallar la velocidad del vértice A en el instante en que se encuentra en la posición que se señala.

Solución: El vector velocidad de rotación es: A (0,0,1) --->

BC 2-yo¿.--=r::2 - i + j 2 1+ -; 2-;J w=w·_-=

locl

.J2

y la velocidad del vértice A:

~---~>-""''---

---->

VA = ¡¡JI, = ro A CA = -2

O también:

2 O =2i+2j+2k O -1

---->

j k

VA = ro A r = ro A BA = -2 2 O =2i+2j+2k -1

O 1

1.2.1. Caso de elementos que giran acoplados

Las consideraciones que se acaban de efectuar respecto al movimiento de rotación son válidas para el caso de ruedas de fricción, poleas, engranajes, transmisiones por correas, cadenas o cables, etc. Así, por ejemplo, consideremos dos ruedas que se encuentran en contacto y que giran sin resbalar en torno a dos ejes fijos paralelos entre sí. Una de ellas -que va unida a un motor, o a la que se le suministra movimiento- se la conoce como rueda impulsora; mientras que a la otra, que recibe el movimiento procedente de la primera, se la llama seguidora. Identificaremos ambas ruedas con los subíndices i y s, respectivamente. En el punto de contacto entre ambas no existe deslizamiento, lo que significa qué la velocidad lineal del punto de la rueda impulsora que está en contacto con la seguidora es la misma que la del punto de esta segunda rueda que está haciendo contacto con la primera. Y como el movimiento de las dos ruedas es de rotación, se cumplirá: Ruedas de fricción exteriores.

VA¡ = VA =m R. s i.l

ms. R s =>

I mSRR;. m· 1 I

Derivando la anterior expresión respecto al tiempo se obtiene la aceleración de la rueda seguidora:

152

Unidad 7

El cociente entre las velocidades de rotación de las ruedas seguidora e impulsora se denomina relación de transmisión, i:

ros ro¡

R¡ Rs

1=-=-

Obsérvese que si i> 1 la rueda seguidora girará más rápidamente que la impulsora; mientras que si ¡< O, sucederá lo contrario. Si las ruedas de fricción son exteriores, ambas giran en sentido opuesto y la distancia entre sus ejes de rotación es: C = R¡+ Rs' Cuando es necesario que la distancia entre los ejes sea pequeña, se suelen utilizar ruedas de fricción interiores, siendo en este caso: C = R¡- Rs' Se cumplen las mismas re-

Ruedas de fricción interiores.

laciones anteriores, con la única diferencia de que' el sentido de rotación de las dos ruedas es el mismo. Análogo tratamiento e idénticas conclusiones se obtienen para las transmisiones por correas o cables mediante poleas, así como por cadenas y engranajes. En este último caso las ruedas van provistas de dientes y huecos, que deben ajustar perfectamente entre sí; por este motivo, los dientes han de ser del mismo tamaño, y el número de ellos en cada rueda será proporcional a su perímetro y, por consiguiente, al radio. Si los números de dientes de las ruedas impulsora y seguidora se designan, respectivamente, por Z¡ y Zs' la relación de transmisión vendrá dada por:

. ros ro¡

Seguidora

Transmisión por correa.

Z¡ Zs

R¡ Rs

Impulsora

1=-=-=-

_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Ejemplos 1. El bloque B de la figu ra, inicialmente en reposo, comienza a descender con una aceleración constante a, haciendo girar al árbol de radio R y al pistón A de radio RAl montado sobre el mismo eje

que el árbol. Determinar la ecuación del movimiento del pistón C, de radio Re' que está engranado con el pistón A. Solución: Al cabo de un tiempo

t la velocidad

del bloque B será: va = a . t, Y

esta misma velocidad será la de los puntos de la periferia del árbol al cual va enrollada la cuerda. Si designamos por roAla velocidad de rotación del árbol y del pistón A, se cumplirá: a·t

ro A =R La velocidad de rotación del pistón C será: roe

R Re

R a ·t Re R

= - A . ro A = - A .-

153

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

Ahora bien:

úJe

a ·t

= CPe . Por lo tanto: dCPe = úJe . dt = ----<i . _ dt

. dt

Integrando los dos miembros de esta expresión,· ~eniendo en cuenta que cuando t = O, CPe = O, resulta:

2. El eje del piñón A está unido a la manivela 00' que gira en sentido antihorario con una velocidad angular úJ= 0,12 rad/s. Además, dicho piñón engrana en la corona dentada fija B. Hallar el valor y el sentido de la rotación úJA del piñón. Solución: Interesa primeramente calcular la velocidad del centro del piñón. Como el punto O' pertenece a la manivela, y ésta posee movimiento de rotación con = 0,12 k, se cumplirá:

va.= ro /\ 00' = O, 12 k- /\ 1, 32 -i = 0,1584 j ~

(SI)

Por otra parte, la velocidad del punto P de contacto entre el piñón y la corona es cero, por pertenecer este punto a la corona, que está fija. Por lo tanto, se puede escribir:

va· = ro

------t

A /\

PO' =

úJ A

k /\ (-0,24) i

= -O, 24úJ A j (SI)

Igualando las dos expresiones de iío' resulta: 0,15847= - 0,24 úJA = -

El signo negativo obtenido para

úJA

úJA 7,

de donde:

0,66 rad/s

indica que su sentido es el negativo del eje OZ; es decir horario. El pi-

ñón A gira en el sentido de las agujas del reloj.

Actividades

::::>

l. Durante el programa de centrifugado de una lavadora, el tambor de ésta, de 25 cm de radio, gira a 1 000 rpm . El motor eléctrico que acciona la lavadora transmite el movimiento al tambor mediante una correa que pasa por dos poleas, la impulsora y la seguidora, teniendo la primera 10 cm de radio. Una vez finalizado el programa, el tambor tarda 10 segundos en pararse. Hallar: al Aceleración angular del tambor, supuesta constante, durante el frenado . bl Número de vueltas descritas por el tambor hasta detenerse. cl Relación de transmisión, sabiendo que el motor gira a 1 550 rpm . dI Aceleración de un punto de la periferia del tambor a los 5 segundos de finalizar el programa. el Aceleración que poseen en dicho instante los puntos situados en las periferias de ambas poleas. Resultados: al a = -10,47 rad/s 2; bl cp=83 ,33 vueltas; cl ;=0,645; dI a t = -2,62 m/s2; a n=685,4 m/s 2; el polea impulsora: 0t= - 1,623 m/ S2; 0n = 658,7 m/ S2; polea seguidora : 0t= -1 ,623 m/s2; on=424,9 m/s2

154

Unidad 7

Actividades

:::>

2. Los ejes de los piñones A y B de la figura están unidos a la manivela 00 2 que gira en sentido antihorario con una velocidad angular w= 0,1 2 rad/ s. Además, el piñón B engrana en la corona dentada fija C. Hallar el valor y el sentido de la rotación COA del piñón A.

2- y

Resultado: COA = 0,64 rad/ s, en sentido antihorario.

xz Movimiento plano

2. MOVIMIENTO GENERAL DEL SÓLIDO RíGIDO Por regla general, el movimiento de un sólido rígido no suele ser una simple traslación o una rotación . En la práctica, lo más frecuente es que dicho movimiento -movimiento general- sea más complejo, sin que pueda a priori asimilarse únicamente a uno de los tipos antes mencionados. Con objeto de que el estudio que se va a realizar resulte lo más sencillo e intuitivo posible para el alumnado, consideraremos el caso de que el movimiento del sólido sea plano y obtendremos las expresiones q 413 relacionan las velocidades y las aceleraciones de los distintos puntos del sólido. La validez de las conclusiones obtenidas en el análisis del movimiento en el plano será extrapolable al movimiento del sólido en el espacio. 2.1. Campo de velocidades Sean O y P dos puntos cualesquiera de un sólido rígido con movimiento paralelo al plano YZ y que en el instante inicial ocupan las posiciones señaladas en la figura, siendo sus velocidades respectivas Vo y p • Al cabo de un tiempo dt, como consecuencia del movimiento del sólido , d ichos puntos habrán experimentado los desplazamientos respectivos Vo dt Y p dt. El vector OP que une los puntos O y P también ha variado una cantidad dr, cumpliéndose que:

Movimient o plano es aquél en el que todos los puntos del sólido se desplazan paralelamente a un plano fijo n, llamado plano director. Muchas piezas de máquinas y mecanismos (por ejemplo, una rueda móvil sobre una vía rectilínea, una biela de un mecanismo biela -manivela , etc.) efectúan un movimiento plano. Por otra parte, el movimiento de rotación de un cuerpo sólido constituye un caso particular de este tipo de movimiento. Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre una recta perpendicular al plano n se desplazan de modo idéntico. Por este motivo, para el estudio del movimiento plano de u n cuerpo es suficient e estudiar el movimiento de una sección S de dicho cuerpo paralela al plano director; y en vez de considerar el cuerpo entero, se representa solamente dicha sección.

x Movimiento general del sólido rígido.

vp dt = Vo dt + dr En el intervalo dt el sólido gira alrededor de un eje imaginario que pasa por O un ángulo dep, de manera que el vector dr puede expresarse de la forma: Para el estudio del movimiento plano de un cuerpo es suficiente considerar la sección S paralela al plano director.

155

CINEMÁTICA Del SÓLIDO RíGIDO

siendo

dep

(j)

= -.

Por lo tanto: y dividiendo entre dt, se obtiene: [

v = vo + W/\ r = Vo + W/\ OP p

[1]

Esta ecuación resulta fundamental para el cálculo de las velocidades de los distintos puntos del sólido, y de ella se deduce que: El movimiento general .de un sólido rígido se puede considerar como una traslación con velocidad igual a la de un punto O del sólido, más una rotación en torno a un eje que pase por dicho punto.

Cuerpos sometidos a varias rotaciones Cuando un sólido rígido se encuentra sometido a varias rotaciones, m¡, 05 2 , de ejes paralelos o concurrentes, la rotación instantánea total, Q, será la suma vectorial de todas las rotaciones:

I Q=m¡+m

+ · .. =I,m¡

Con otras palabras: el movimiento general instantáneo de un sólido rígido equivale a una traslación y a una rotación simultáneas. El primer sumando de la expresión anterior corresponde a una traslación, mientras que el segundo representa únicamente una rotación, de vector alrededor de un eje que pasa por O. Cuando aparecen los dos sumandos, el sólido rígido se encuentra sometido a ambos movimientos simultáneamente, y la velocidad de uno de sus puntos será la suma de la que tendría ese punto sometido solamente a una traslación, más la que tendría si tuviera sólo una rotación en un instante dado.

La rotación instantánea es la misma para todos los puntos del sólido, e independiente del punto de referencia, O, que se considere (invariante vectorial). En efecto, para otro punto P' se cumplirá: ->

vp ' = Vo + W/\OP' Restando esta expresión de la [1], se obtiene:

v =v

es decir:

--->

+w/\P'p

lo que pone de manifiesto que la rotación alrededor de P' ha de tener la misma velocidad que si la rotación se verificase en torno a P.

ro)

Al par de elementos (vo , que caracteriza el movimiento general de un sólido rígido se denomina "grupo cinemático" en O. Consecuencias: •

Si los dos miembros de la expresión escalarmente por resulta:

ro,

vp ·w= vp" w+( w/\ fYP}w => P' La proyección de la velocidad de un punto sobre el vector rotación es constante.

156

v = v + ro /\ PP se multiplican p

v w= v w= ... = cte (i nvariante escalar) p .

p' .

cuya interpretación física es la siguiente: proy ro

v = proy ro v = ... = cte p

Unidad 7 La proyección de la velocidad de un punto cualquiera del sólido rígido sobre el vector' rotación es una cantidad constante, cualquiera que sea el punto que se considere. •

De la última expresión, así como de la figura que la acompaña, se deduce que cuanto menor sea el ángulo que forme lá velocidad de un punto con la dirección de menor será el valor de dicha velocidad. Por este motivo, los puntos más lentos del sólido rígido son aquéllos cuya velocidad es paralela a m. Todos estos puntos se encuentran alineados formando un eje denominado eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo. Los puntos de este eje poseen una velocidad mínima, paralela en cada instante a y que recibe el nombre de velocidad de deslizamiento, Vd; su módulo valdrá:

'2~~,"

¡;¡

eje

, , instantáneo

Eje instantáneo de rotación y velocidad de deslizamiento,

Rodadura sin deslizamiento

•

Se pueden considerar dos casos particulares: - Si m:;t: o, y Vd = - Si m =

y vd:;t:

o, el movimiento del sólido es una rotación pura. o,

el movimiento del sólido es una traslación pura.

Cuando se dice que un sólido (por ejemplo, una esfera o un cilindro) rueda sin deslizar, ello significa que la velocidad de su punto de contacto con el suelo es nula.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplos 1. La pirámide de la figura se encuentra en movimiento, y se sabe que:

1m I = 10 radls y Ivel = 5 mis. Hallar: z

a) Velocidad del punto D. b) Grupo cinemático en D. c) Velocidad de deslizamiento. Solución: a) Expresaremos primeramente

ve y men forma vectorial:

ve = 5 7 (SI) ---+

- =1-1 AC = 1O· -4i+3j = - 8-:I +6 J-: ro- =1-1 ro . Uro ro . u- AC =1-1 ro . ---+ IAcl 5 Además: CD = -

37+ 5 k

(SI)

116A1=4m; locl=3m; lool= 5m l

(SI).

Aplicando la expresión que relaciona las velocidades de dos puntos del sólido rígido, resulta:

---+

=Ve +ro /\ CD =5i +

-8

. , . en D es: b) El grupo clnematlco

= 35 -i +40 -j +24 k-

(SI)

-3 5

{ro = -8 ¡_+ 6 J _ _ VD = 35 i +40 j +24 k 157

CINEMÁTICA Del SÓLIDO RíGIDO c) Calculemos, por último, la velocidad de deslizamiento:

- m

= Ve "1m I = 5 I

-8i +6j 10

= - 4 mis

;;

también:

m (-

-) -8 i10+ 6 j

Vd=VO"lm( 35i+40j+24k "

=-4 mis

La velocidad de deslizamiento es de 4 mis, en sentido contrario a ro.

2.2. Campo de aceleraciones La aceleración de un punto P de un sólido rígido con movimiento general se obtiene derivando con respecto al tiempo la expresión de la velocidad:

vp=VO+ro A OP. --->

Se obtiene: ap

dvp

= di

dvo dm = dt + dt

O ---> P

dOP

+ ro /\ Cit --->

dVo y recordando que = ao nalmente: dt

dOP = a- , y Cit

0 = ro- /\ r- = ro- /\ ---> P,

resulta fl-

[2]

siendo:

• ao == aceleración que tendría el punto P si no existiese rotación.

• a/\ üP + m/\ (m/\ üP) == aceleración del punto P si sólo hubiese rotación. Este término consta, a su vez, de dos sumandos:

- a /\ OP == aceleración tangencial. - m/\ (m/\ üP) == aceleración normal. La ecuación [2] resulta fundamental para el cálculo de las aceleraciones de los distintos puntos del sólido, y de ella se deduce que:

La aceleración de un punto P de un sólido rígido es igual a la de otro punto cualquiera O, más la aceleración (normal y tangencial) de P en una rotación de velocidad ro y aceleración ii en torno a un eje paralelo al eje de rotación y deslizamiento mínimo que pase por O.

En general, o tendrá componentes debidas a una traslación y a una rotación, excepto cuando este punto pertenezca al eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo, en cuyo caso poseerá solamente una aceleración de traslación.

158

Unidad 7 ...............................................................................................

....._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejem p lo5 1. La varilla AB, de 6 m de longitud, gira en el plano XYen sentido antihorario, a la vez que su centro de masas está en todo momento sometido a la aceleración G = 2 7 (SI). Hallar la aceleración del extremo A de dicha varilla cuando se encuentra en la posición de la figura, sabiendo que en dicho instante a= 4 rad/s 2 y (j)= 10 rad/s .

w,a y-B

Solución: Teniendo en cuenta que la rotación de la varilla tiene lugar en sentido antihorario: ii = 4 k (SI); w= 10 k (SI); = GA = - 37 (SI).

__- I : t - - - + X 2m

Para el cálculo de la aceleración del punto A aplicaremos la expresión:

z A

Como:

aG = 2 7 (SI); -----t

ii /\ GA = (4 k) /\ (-3 j ) = 12 i (SI) (aceleración tangencial)

ro /\ (ro /\ GA) = 10 k /\ [(1 Ok) /\ (-37)] = 3007

(SI) (aceleración normal)

sustituyendo estos valores resulta:

2.3.

Representación gráfica de velocidades y aceleraciones

Las expresiones que relacionan las velocidades y aceleraciones de dos puntos A y B de un sólido rígido con movimiento plano:

Representación gráfica de la relación

pueden ser representadas gráficamente, y las construcciones obtenidas permiten determinar de una forma gráfica y/o trigonométrica los valores de algunas magnitudes desconocidas.

VB = VA +w /\ AB.

En el caso de la representación de las velocidades se ha de tener en cuenta que el vector w/\ AB, según la definición de producto vectorial, debe ser perpendicular a la recta que une los puntos A y B. B

En lo que respecta a las aceleraciones, a la hora de representarlas conviene recordar que: •

el vector ii /\ AB (aceleración tangencial) ha de ser perpendicular a la recta AB.

•

el vector de B a A.

w2 . AB tiene la dirección de la recta AB, siendo su sentido

A Representación gráfica de la relación

aB=a A+ii /\ AB - al· AB. 159

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

Ejemplos 1. La varilla AB, de longitud L = 3 m, se mueve de manera que en la posición de la figura su extremo A posee la velocidad y la aceleración que se indican. Hallar gráficamente la velocidad y la aceleración angulares de la varilla. R=2 rÍl

Solución: La varilla realiza un movimiento plano. a) Para el cálculo de la velocidad angular partiremos de la expresión:

va = VA + m

•

El vector VA es conocido en módulo, dirección y sentido.

•

El módulo del vector es desconocido, pero se sabe que su dirección es tangente a la trayectoria de B; es decir, a la circunferencia.

•

En cuanto al vector m1\ AB, su módulo es: 1m 1\ AB I = 0). L = 3 0); su dirección es normal a AB, es decir, a la varilla; y es también perpendicular a por lo que estará situado en el plano director.

Eligiendo una escala adecuada para las velocidades y otra para las longitudes, se traza el vector VA con punto de aplicación en B, y por su extremo se construye una perpendicular a la varilla, que servirá de línea de acción del vector 1\ AB. Al mismo tiempo, se dibuja una tangente a la circunferencia en el pun to B hasta que corte a la perpendicular anterior en el punto C. Los segmentos interceptados sobre ambas rectas representan los módulos de y de 1\ AB. Es decir:

e Teniendo en cuenta la escala elegida, se obtienen los valores aproximados: 0)=

El vector

0,9 rad/s

mes saliente (sentido antihorario) del plano director.

b) Para el cálculo de la aceleración angular utilizaremos la expresión :

160

Unidad 7 ...............................................................................................

•

El vector

•

El módulo del vector

es conocido en módulo, dirección y sentido.

a es desconocido, pero se sabe que posee dos componentes: B

una (a tB ) tangente a la trayectoria (circunferencia) y cuyo módulo se desconoce.

otra (a nB ), normal a la trayectoria (pasa por el centro de la circunferencia) y cuyo módulo es:

a /\

•

Del vector AB no se conoce su módulo ( 1 AB 1 = a . L = 3 a), pero sí su dirección: está situado en el plano del papel y es perpendicular a la varilla.

•

El vector -

al . AB es perfectamente conocido:

1- al

Módulo:

AB 1= w2 L = (0,9 rad/s)2 o

3 m = 2,43 m/s2

Dirección: paralela a la varilla. -

Sentido: de S a A.

Eligiendo una escala adecuada para las aceleraciones y otra para las longitudes, se dibuja el vector A con punto de aplicación en S, y a continuación se traza una paralela a la varilla, de módulo al L y dirigida de S a A. De esta manera, se obtiene el punto F, por el cual se traza una perpendicular a la varilla. Por otra parte, a partir de S se dibuja la componente normal de B , la cual pasa por el centro de la circunferencia, y por su extremo G se traza una perpendicular, que será la línea de acción de la componente tangencial de aBo Esta recta cortará a la dibujada a partir de F en el punto H. Los segmentos interceptados en ambas rectas representan los módulos de AB y de la componente tangencial atBo Por último, uniendo S y H se obtiene el vector aBo o

a /\

En la figura:

Teniendo en cuenta la escala elegida, se obtienen los valores aproximados:

atB= 0,55 m/s2

;

Observando la figura se aprecia que el vector

laBI =3 m/s2

;

a=2 rad/s2

a es entrante (sentido horario) en el plano director. 161

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

Actividades

::>

1. En un cierto instante la velocidad de un punto P de un sólido rígido es

ro = 7- 2 k. Comprobar que el movimiento es una rotación pura.

v = 2 7+ k, y su p

rotación instantánea:

2. La chapa de la figura está animada de un movimiento tal que en la posición representada tiene una rotación I I = 5 rad/ s, siendo la velocidad del punto O, o = 2 7+2 k (SI). Hallar la velocidad del punto C de la chapa.

Resultado: Ve =

- 24 7+ 2

3. De la barra de la figura, de longitud L, se conocen la velocidad y la aceleración de su extremo A. Obtener gráficamente los valores de la velocidad angular, ro, y de la aceleración angular, a, de la barra.

B A

(SI)

e (0,5,2)

4m o~

__---+""""-_ _ y 3m

3. EL MOVIMIENTO HELlCOIDAL UNIFORME Movimiento helicoidal uniforme es aquel movimiento resultante de la composición de otros dos: uno de rotación uniforme alrededor de un eje -eje de la hélice- con una velocidad angular y otro de traslación también uniforme con velocidad dirigida paralelamente al eje.

ro,

Como ejemplos de movimientos helicoidales pueden citarse el de una tuerca que se desplaza a lo largo de un tornillo, o el de un niño que desliza por algunos toboganes en forma de hélice existentes en parques acuáticos o de atracciones. En los movimientos helicoidales los vectores y tienen la misma dirección, pudiendo suceder que estén orientados en el mismo sentido, en cuyo caso la hélice será "a derechas", o en sentido contrario (hélice "a izquierdas").

v ro

v w

a) Hélice a derechas; b) Hélice a izquierdas.

162

Se llama paso de la hélice, p, la distancia proyectada sobre el eje que avanza un punto P del cuerpo durante una vuelta. Esta distancia será constante siempre que v y ro lo sean. Si designamos por T el tiempo que invierte el cuerpo en efectuar una vuelta completa, se cumplirá:

v · T=p

ro · T=2n

El movimiento de una tuerca es helicoidal.

Unidad 7 de donde resulta:

v p =2n-ro

Si p es constante, cualquier punto P del cuerpo que no esté situado en el eje de la hélice describe una línea helicoidal. Su velocidacl' en un instante determinado vendrá dada por:

o siendo, el vector posición del punto en dicho instante. Como ambas componentes son perpendiculares entre sí y el módulo de ro /\, es 1ro /\ ,1 = ro - r - sen f3 = ro - R (R = radio de la hélice), la celeridad del punto será:

y teniendo en cuenta que v =

x Velocidad de un punto P sometido a movimiento helicoidal.

P2-: ' la expresión anterior se convierte en:

La dirección del vector p es la tangente a la línea helicoidal y forma con el plano perpendicular al eje de la hélice (plano XY en la figura) un ángulo () que viene dado por:

tg()=~ 2nR

Por otra parte, resulta evidente que si cortamos la superficie cilíndrica por la cual se desplaza el punto P, y la desplegamos, si el paso de la hélice es constante las líneas helicoidales se transforman en rectas inclinadas cuya

pendiente es: tg () = ~. 2nR Para el cálculo de la aceleración del punto P aplicaremos la relación ya conocida:

------------

teniendo en cuenta que .3 0 = en todo momento, y ii =

pues el origen de referencia O permanece fijo

por ser ro constante. Resulta, así:

Al desarrollar la hélice la línea helicoidal se convierte en una recta inclinada_

es decir, el punto P sólo posee aceleración normal, siendo su módulo:

163

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

Ejemplos 1. Las ecuaciones paramétricas de un movimiento son:

x=4· cos t y= J1. . sen t z=3t

Hallar: a) Ecuación de la trayectoria. b) Celeridad del móvil Solución: a) Elevando al cuadrado, y sumando a continuación las dos primeras ecuaciones paramétricas, se obtiene:

i2+I=16 y dividiendo las dos ecuaciones, resulta:

l = tg t ~ x

t = arctg l

Este valor, sustituido en z = 3 t, conduce a: z = 3.arctg l

Por lo tanto, la ecuación de la trayectoria será: X2 + y2 = 16

y z = 3·arctg-

b) Escribámos en primer lugar la ecuación del movimiento:

r = 4 . cos t 7+ 4 . sen

t +3t

(SI)

La velocidad del móvil será:

d¡ -vp =-=-4·senti +4·cost j +3k (SI) dt y su módulo (celeridad):

Obsérvese que se trata de un movimiento helicoidal de v = 3 mis y valdrá:

3 mis

(j)

1 radls

p = 2 n . - = 2 n rad .

164

6n m

(j)=

1 rad/s. El paso de la hélice

Unidad 7

Actividades de Síntesis 1. En los tractores el radio de las ruedas delanteras es menor que el de las traseras. Cuando se • mueve un tractor, ¿son iguales las velocidades de las ruedas delanteras que las de las traseras? Explícalo, según que consideres la velocidad lineal o la angular. 2. La rueda A de la figura, de 20 cm de diámetro, gira con una velocidad angular de 4Jr rad/s y arrastra en su movimiento una correa que hace girar a la rueda B, de 8 cm de diámetro. ¿Con qué velocidad angular gira esta última rueda?

6. El grupo cinemático en el punto A (1, 2, 4) de un sólido rígido viene dado por: VA = 3 7+27 (SI);

m= 2 7- 37

(SI).

a) Hallar la velocidad de deslizamiento. b) ¿A qué se reduce el movimiento? Resultados: a) vd = O; b) A una rotación pura alrededor del eje instantáneo. 7. Un cubo indeformable, de 3 m de lado, se mueve de manera que en el instante representado en la figura las velocidades de los vértices A, C y E son: vA =6 7-6 k, vc =6 7, vE = 127. Hallar en dicho instante: a) Velocidad de rotación. b) Velocidad de deslizamiento. c) Velocidad del vértice G.

Resultado:

O)s

= 1OJr rad/s

3. Un sólido rígido está sometido a una serie de rotaciones paralelas a 1 = 27 + 3 7; 2 = 47+ 6 7 y

FF----~'

m= 6 7+ 9 J. Hallar la velocidad de los puntos de 3

mínima velocidad. 4. La esfera rígida y maciza de la figura, de radio R, realiza un movimiento tal que en un determinado instante las velocidades de los puntos A y B son: VA = - R 2 7y 8 = - R 2 7. ¿Qué conclusiones se pueden deducir acerca de la velocidad de rotación de la esfera?

Resultados: a) "¡Q 8.

m= 27; b)

El cubo rígido de . la figura, de 3 m de arista, está sometido a las rotaciones 1 y 2 , de

Vd =

O; c)

v = 127- 6 k G

módulos respectivos 0)1 = 2 rad/s y

B(O,R,O)

0)2

A (O,O,-R)

5. El eje instantáneo de rotación de un sólido rígido es el semieje OX positivo. La velocidad del punto A (3, O, 5) perteneciente al sólido es VA = - 20 7. Hallar la rotación instantánea y la velocidad de deslizamiento. Resultado:

m m

------~---

/o.!-- -- ---

m= 4 7; v = o d

3 r a dI s, y a

una traslación de velocidad 47 (SI). Hallar:

a) Velocidades de los puntos G y B. b) Velocidad de deslizamiento. Resultados: a)v G = -67+47 (SI);v 8 =137-6k (SI); b) v d =2m mIs

165

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RíGIDO

Actividades de Síntesis 9. La figura representa un piñón de radio r que en- ,./0 11. El disco rugoso de la figura de radio R gira sin deslizar sobre una superficie horizontal con una grana con una rueda dentada fija de radio R. El aceleración de rotación ex. Hallar la aceleración piñón es arrastrado en su movimiento por el brazo OA que gira con una velocidad angular e de su centro. constante m.

////////~ 7////////~x

Resultado: e= ex RI

Sabiendo que el piñón da 5 vueltas por cada vuelta del brazo OA, hallar la relación entre los radios de la rueda y del piñón. Resultado: RIr= 4

¡J°12. La esfera de la figura, de 1 m de radio, rueda sin deslizar sobre el plano XV, sometida a las rotaciones m" de módulo desconocido, y m2 de 2 radls de módulo, y a la traslación de valor 4 mis, según se indican. Hallar: a) Velocidades de los puntos A y C.

10. El tetraedro de la figura se encuentra sometido a un movimiento tal que en la posición representada posee una rotación de valor 10 radls en el sentido indicado, y la velocidad del punto B es de 3 mis. Hallar:

a) Grupo cinemático en B. b) Velocidad del punto D. c) Velocidad de deslizamiento. y

z IAC = AD = AB = 3m

4ml

x b) Velocidad de deslizamiento. Resultados: a)

Resultados: a) VB = -2.47+1,8k (SI);m= -87+6k (SI);

v =24/+21,67+33,8k (SI); v D

=3 mis

v =2/(SI); ve= -2/(SI); A

b) vd=O

13. Una rueda de radio R rueda sin deslizar sobre un raíl horizontal. Sabiendo que la velocidad del cen" p tro C de la rueda es ve y designando , , 0:/ por ex el ángulo COP, hallar la veW////ffi 7////////~ locidad del punto P de la periferia. Resultado: vp = 2 ve· cos ex

166

Unidad 7

Actividades de Síntesis 14. Un disco de 4 metros de radio se mueve rodando sin deslizar, partiendo de la posición indica- '

Resultado: vc= 0,17577 (SI);

ro = -~2 ¡ .

da en la figura, con

a) Determinar los vectores velocidad y aceleración del punto P al cabo de 1 segundo. b) Hallar las componentes intrínsecas de la velocidad y de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria para ese mismo punto e instante.

z p

tante en que la barra 1 forma con la horizontal un ángulo de 45°.

ac =

- 0,0574 7 (SI)

16. La barra AB, de 4 m de longitud, está articulada en su extremo B al borde de un disco de 2 m de radio, que rueda sin deslizar con una velocidad angular constante m= 0,125 rad/s. El extremo A de la barra se encuentra en todo momento en contacto con el suelo. Hallar la velocidad angular y la aceleración angular de la barra en el instante en que q>= n/2.

Resultados: a)v p =2n7-2nk (SI);a p = -rr?j (SI); b) p= 2-v2n i (SI);

Resultado:

_ n2 _ _ n2 _ a¡ = - -J2 r (SI); an = -J2 n (SI) ;

mAS

0,125

576

rad/s;

rad/s 2

p=8-{2 m 15. En el sistema de la figura la barra 1, de 0,5 m de longitud, gira con velocidad angular constante de OA rad/s alrededor del punto A en sentido horario. La barra 2, de 1,5 m de longitud, realiza el movimiento correspondiente al giro del punto B, con la restricción de que el otro extremo C se ha de deslizar obligatoriamente a lo largo de la recta AC. ~Y ,

:ú)t

~ :, ,

VA = 2 7+ 2 7+ 2 k;

vs = 27+2 k; vc= -47+47+2k Comprobar si estas velocidades son posibles y hallar el vector rotación del sólido y la velocidad de deslizamiento.

Resultado:m=2k; v d =2

17. En un determinado instante los puntos A (1, O, O), B (1, 1, 1) Y C (2, 3, 4) de un sólido rígido se mueven con las velocidades respectivas:

•

e x

Si en el instante inicial la barra 1 es perpendicular a AC, estando B por encima de A, calcular la velocidad y la aceleración del punto C en el ins-

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