03_equilibrio_en_los_solidos by Secundino Sáenz

EQUILIBRIO EN LOS SOLIDOS

eONTENIDOS 1. SÓLIDOS RíGIDOS Y . SÓLIDOS DEFORMABLES 2. EQUILIBRIO. PRINClPIOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA

2.1. Sólidos libres y sólidos ligados. 2.2. Condiciones de equilibrio de un sólido. 2.3. Rozamiento estático. 3. DIAGRAMA DE FUERZAS DEL SÓLIDO LIBRE 4; CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASAS 5. CLASES DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO

5.1. Equilibrio de sólidos suspendidos. 5.2. Equilibrio de sólidos apoyados. AMPLIACiÓN. TEOREMAS DE GULDIN-PAPPUS

La idea fíSico-química de sólido, relacionada con un cierto estado de agregación de la materia, no siempre coincide con lo que ese término indica acerca del comportamiento de un cuerpo frente a situaciones de acción de fuerzas , de equilibrio, etc. ¿Qué es lo que caracteriza el que un sólido sea rígido o deformable? ¿Pueden darse ambas situaciones para un cuerpo en concreto? ¿Puede, en un momento dado, considerarse a un sólido como si fuera una masa puntual? ¿Qué ventajas e inconvenientes acarrea esta situación dentro de un estudio de la Mecánica? La presente Unidad te ofrece pautas de respuesta a éstas y a otras cuestiones.

Unidad 3 1. SÓLIDOS RíGIDOS Y SÓLIDOS DEFORMABLES El concepto físico de sólido corresponde a aquel estado de agregación de la materia en el que las fuerzas de cohesión entre partículas (átomos, iones, moléculas) son tan grandes que éstas ocupan posiciones fijas (aceptando los posibles movimientos de vibración debidos a la agitación térmica) y mantienen una distancia constante entre ellas. Por tanto, un cuerpo sólido ha de poseer una estructura de orden (estructura cristalina) que en algunos casos es apreciable externamente (forma cristalina).

Evidentemente, y así lo demuestra la experiencia, existen factores diversos que pueden modificar esa distancia entre partículas y, en consecuencia, alterar el volumen del cuerpo. Tal es el caso, por ejemplo, de las dilataciones, consecuencia de un aumento de temperatura, o el de las compresiones o alargamientos debidos a esfuerzos de tracción. En Mecánica el concepto de sólido es más amplio y, sin atender demasiado a microestructuras atómicas o ·moleculares, se relaciona con el comportamiento del cuerpo frente a las fuerzas exteriores a las que se somete. Según este comportamiento los sólidos pueden ser: a) Deformables, si al aplicarles una fuerza exterior se deforman con facilidad. Si la deformación producida es permanente, se les denomina sólidos plásticos; si únicamente se genera mientras actúa la fuerza deformadora y los cuerpos, al cesar ésta, recobran la forma y el volumen primitivos, en ese caso se les llama elásticos. En realidad no existen cuerpos perfectamente elásticos en la totalidad de su comportamiento ante las fuerzas exteriores, puesto que siempre habrá un límite (límite de elasticidad) a partir del cual el cuerpo sufre una deformación permanente (plástica). b) Indeformables o rígidos, si las distancias entre sus partículas constituyentes permanecen invariables con el tiempo cualesquiera que sean las fuerzas exteriores actuantes. Al igual que sucedía con los cuerpos elásticos, no existen sólidos completa o totalmente rígidos pues siempre habrá fuerzas exteriores capaces de deformarlos. La experiencia nos demuestra que si se tiene un sólido en equilibrio y después se le aplican dos fuerzas opuestas en puntos diferentes, siempre que pertenezcan a la misma línea de acción, el cuerpo no altera su equilibrio.

~--\--.- -- ------- - +---+

o F

Este fenómeno nos permite entender que las fuerzas aplicadas a sólidos rígidos se comportan como vectores deslizantes, pudiendo afirmarse que: Sistemas de fuerzas exteriores vectorial mente equivalentes producen efectos idénticos en sólidos indeformables.

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS 2. EQUILIBRIO. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA Un cuerpo está en equilibrio cuando su aceleración es nula. Esto implica que si está en reposo continuará indefinidamente en reposo, y si está en movimiento, éste habrá de ser rectilíneo y uniforme. La Estática es la parte de la Física que estudia las fuerzas cuando existe equilibrio entre ellas o, mejor aún, cuando conducen a situaciones de equilibrio. Para ello, como se explicará en apartados posteriores, es necesario que la resultante general y el momento resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo sean nulos. Ampliando ahora el concepto definiríamos la Estática como: La parte de la Física que tiene por objeto determinar la resultante general y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para establecer en él las condiciones de equilibrio. La Estática se basa en una serie de principios evidentes: •

Una fuerza sola actuando sobre un cuerpo no produce equilibrio. Se supone que el cuerpo -sólido rígido- está libre; en el caso de que estuviera sometido a enlaces (sólido ligado) aparecerían otras fuerzas y podrían acarrear una situación de equilibrio. Por ejemplo: si aplicamos una fuerza a un bloque grande de hierro apoyado en el suelo y en reposo, seguirá en reposo. Ello es debido a que a la fuerza aplicada se opone otra fuerza: la de rozamiento del bloque contra el suelo.

•

Dos fuerzas iguales y opuestas, actuando en la misma línea de acción, producen equilibrio.

•

En un cuerpo en equilibrio cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de las demás.

En efecto, si R es la resultante del sistema formado por las fuerzas F 1 y F2 , para que el sólido esté en equilibrio, según lo dicho antes, la fuerza F3 debe ser igual y opuesta a ella. 2.1. Sólidos libres y sólidos ligados

Se entiende por sólido libre aquél que no experimenta restricción alguna a su movimiento, como es el caso, por ejemplo, de un cuerpo que deslice por una superficie horizontal plana sin rozamiento y sin fricción con el aire. En caso contrario, se dice que el sólido se encuentra sometido a enlaces o ligaduras que, al disminuir sus grados de libertad, impiden la realización de algunos movimientos y, en consecuencia, modifican las condiciones de equilibrio.

Así, en el caso del disco representado en la figura, que puede girar en torno al eje OY, estando impedido su desplazamiento a lo largo de dicho eje y de los OX y OZ, así como también la rotación alrededor de éstos, para que esté en equilibrio sólo es necesario que: L Miy = O

Unidad 3 2.2. Condiciones de equilibrio de un sólido La existencia de equilibrio en un sólido rígido libre, sometido a un sistema de fuerzas exteriores, exige que la resultante general del sistema y el momento resultante sean cero (nulos). Matemáticamente:

Estas igualdades vectoriales son equivalentes a las seis ecuaciones escalares siguientes:

I,F¡x = O

I,F¡y =0

I,F¡z = O

I,M¡x =0

I,M¡y =0

I,M¡z =0

Las tres primeras ecuaciones ponen de manifiesto las condiciones necesarias para que el sólido no se desplace con aceleración a lo largo de los ejes coordenados (equilibrio de traslación); las otras, relativas a los momentos, determinan que el cuerpo no gire alrededor de dichos ejes (equilibrio de rotación). Vemos, pues, que el equilibrio de un sólido indeformable está condicionado por seis parámetros que se conocen con el nombre de grados de libertad. Evidentemente, como se explicó en el apartado anterior, si el sólido está ligado, el número de grados de libertad disminuye y, en consecuencia, sus condiciones de equilibrio. Por otra parte, si en vez de un sólido rígido se trata de una partícula material aislada (<<punto material»), al carecer de sentido el que un punto gire alrededor de un eje que pase por él, las seis condiciones de equilibrio se reducen a las tres primeras:

En resumen: •

Para que una partícula material (<<punto») esté en equilibrio es necesario y suficiente que la resultante general de todas las fuerzas que actúan sobre ella sea nula.

•

Para que un sólido rígido libre esté en equilibrio es necesario y suficiente que la resultante general y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él sean nulos.

2.2.1. Casos particulares •

Fuerzas concurrentes en el plano. Si todas las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido se encuentran situadas en un plano (por ejemplo, el XY) y sus líneas de acción concurren en el punto 0, las condiciones de equilibrio antes citadas se reducen a las dos siguientes:

Es decir, un problema de estática plana de fuerzas concurrentes no puede tener más de dos incógnitas (pues son sólo dos las ecuaciones que tienen sentido).

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS ............................................................................................... El momento respecto a cualquier punto P es nulo, pues Mo = O (por ser O el punto de concurrencia de las fuerzas) y R= O (por encontrarse el sólido en equilibrio), y al aplicar la expresión que relaciona los momentos respecto a dos puntos distintos, resulta: Mp=Mo+PO/\R=O •

o)--_ _ _ ____+_ Y

Fuerzas concurrentes en el espacio. Las ecuaciones de equilibrio son:

Para los momentos el razonamiento es análogo al caso anterior. •

Fuerzas coplanarias. Supongamos que las fuerzas están contenidas en el plano )0( (y no son concurrentes). Las condiciones de equilibrio son:

Fuerzas coplanarias

te,

1" h

A efectos operativos, en un sistema plano como el de la figura tomar momentos respecto al eje l es lo mismo que respecto al origen de coordenadas, pues las distancias al eje l y al origen coinciden.

0)--_ _ _ __

•

Fuerzas paralelas en el espacio. Si, por ejemplo, las fuerzas tienen la dirección del eje l, las condiciones de equilibrio son:

x Fuerzas paralelas en el espacio

Ejemplos 1. Un cuerpo que puede considerarse puntual, de peso 100 pondios, cuelga de una cuerda que pasa por dos poleas muy ligeras, situadas a igual altura y a la distancia de 6 m. Para que el sistema esté en equilibrio en los extremos de la cuerda hay que colocar sendos pesos de 250 pondios. ¿A qué distancia h de la recta que une las poleas quedará el punto medio de la cuerda? Solución: Observando la figura se deduce que h = 3/tg a puesto que, al ser iguales las fuerzas que equilibran el peso de 100 pondios, el punto A donde concurren las tres fuerzas (punto medio de la cuerda) ha de estar debajo del punto medio del segmento que une las dos poleas. Si llamamos f a la tensión de cada cuerda, que descompondremos en dos componentes rectangulares: Tx = T . sen a y Ty = T . cos a, estas dos tensiones, junto con el peso del cuerpo, constituyen un sistema de fuerzas concurrentes en el plano. Aplicando las condiciones de equilibrio, resulta:

2, Fx = O=> T . sen a

- T · sen a

;

h 250 p:

250 p

- T """-~¡'<--~ Tx x A 100

tg a =

2, Fy = O=> T . cos a + T . cos a - P = O

Sustituyendo datos numéricos en la segunda ecuación:

de donde:

cos a= 0,2 => a= 78,46° => tg a= 4,899

y de aquí:

3m h=--=0612m 4,899 '

250· cos a + 250 . cos a -1 00 = O

250 P

Unidad 3 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2.3. Rozamiento estático

Causas de rozamiento'

Ya se sugirió al comienzo de este apartado que para interpretar el «aparente» incumplimiento, en algunos casos, del primer postulado de la Estática había que aceptar la presencia de unas fuerzas «no visibles» que se oponen al movimiento de un cuerpo sobre otro. Son las llamadas fuerzas de rozamiento cuyo origen, fundamentalmente, se debe al encaje de las asperezas superficiales que presentan los cuerpos, interviniendo, asimismo, la adherencia y cohesión entre ellos. Leonardo da Vinci, Charles Coulomb y Arthur Jules Morin, el primero en el siglo )0,f y el último en el XIX, encontraron experimentalmente las siguientes leyes: •

El rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto y de la velocidad de los cuerpos, siempre que ésta sea pequeña. Sin embargo, si la velocidad es muy alta se observa que el rozamiento disminuye.

•

El rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto y del grado de pulimento de sus superficies .. El valor máximo de la fuerza de rozamiento (fuerza opuesta al movimiento) es directamente proporcional a la reacción normal del plano sobre el que se desliza el cuerpo.

•

Matemáticamente: Frmáx =J.1 · N

donde N representa la fuerza normal de reacción del plano y J.1 es un coeficiente adimensional característico de las superficies en contacto, denominado coeficiente de rozamiento. Despejando en la ecuación anterior:

Fr . N

• ~ • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • t

Con carácter general, se puede admiti r que el rozamiento se debe a: - la rugosidad de las superficies en contacto. -las interacciones moleculares. En la figura se recoge una representaci.Ón típica de la fuerza de rozamiento en función de la rugosidad. F,

...

Rugosidad

El aumento del rozamiento que se observa a la izquierda del mínimo se explica por las interpcciones moleculares que entran en juego cuando las distancias entre las moléculas son pequeñas y que se ponen de manifie s!o, por ejemplo, al soldar por presión dos superficies especulares. Por el contrario, cuando la rugosidad es elevada, es ella precisamente quien juega un papel predominante en el rozamiento.

J.1=~

Según esto: Coeficiente de rozamiento de un cuerpo sobre otro es la relación que existe entre el valor máximo de la fuerza de rozamiento y la reacción normal del plano de deslizamiento sobre el cuerpo. La propia experiencia demuestra que se precisa mayor esfuerzo para iniciar el movimiento de un sólido (rozamiento estático) que para mantenerlo en movimiento una vez iniciado éste. De ahí que se definan dos coeficientes de rozamiento: el estático y el dinámico. •

El coeficiente de rozamiento estático J.1e es mayor que el coeficiente de rozamiento dinámico J.1d' El conocimiento de ambos, lógicamente, es experimental.

Fíjate El valor máximo de la fuerza de rozamiento: Frm,x = J.1e . N se alcanza cuando el movimiento es inminente. Así, en el caso de la figura la fuerza F trata de mover el bloque prisF mático. Hasta que lo consigue el valor de ~ la fuerza de rozamiento es igual al de la fuerza aplicada. A medida que ésta va auÑ mentando también lo va haciendo la fuerza de rozamiento, la cual alcanza su valor máximo (J.1e . N) en el momento en que el cuerpo empieza a moverse (movimiento inminente). Una vez que el bloque esté en movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye, manteF, niéndose luego en un valor f1 .. N - -- - -- --- -- - ---movimiento

1 1_

' F~

F'r=J.1d· N.

La gráfica adjunta, que representa la fuerza de rozamiento en función de la fuerza aplicada, sirve de resumen de lo anteriormente expuesto.

F; =f1d' N

-------- -- ---- - -

inminente

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

Ejemplos 1. Demuéstrese que el coeficiente de rozamiento estático de dos cuerpos, uno de doble masa que otro, es el mismo si puestos sobre el mismo plano inclinado los dos inician su movimiento con un ángulo de inclinación igual. I

Consideremos un cuerpo de masa m, situado en un plano inclinado a grados sobre la horizontal.

F a

El peso P = m . 9 del cuerpo (vertical hacia abajo) se descompone en dos componentes rectangulares, una perpendicular al plano, que provoca la reacción normal de éste, N, y otra paralela al plano, F, que es causa del deslizamiento. Evidentemente, el cuerpo iniciará su movimiento por el plano cuando la fuerza que lo causa (F) contrarrestre a la de rozamiento (JL . N).

Solución:

-- mg cos a mg

COEFICIENTES DE ROZAMIENTO ESTÁTICO DE ALGUNOS MATERIALES

En la figura se observa que:

Material

JLe

Metales perfectamente limpios en el vacío

Metales limpios en aire

0,8 - 2

F = m . 9 . sen ex; y N = m . 9 . cos ex

Metales limpios en aire seco

Como

Cuerda de cáñamo sobre roble seco

0,7

Madera-madera con agua

0,7

Madera-madera seca

0,6

Metal-madera seca

0,5

Cuero-madera en seco

0,47

Madera-madera engrasada

0,2

F = F,rnáx: m . 9 . sen ex =f.1 . m . 9 . cos ex Despejando f.1 se tiene: sena f.1=--=tga cos a El coeficiente de rozamiento es independiente de la masa del cuerpo que desliza. No lo es, en cambio, el valor de la fuerza de rozamiento.

0,5 - 1,5

Acero en cojinetes metálicos secos (plomo o bronce)

0,1 - 0,5

Metal-madera engrasada

0,1

Acero-cerámicos (zafiro-diamante)

0,1 - 0,5

Cerámicos-cerámicos

0,05 - 0,5

2. Un bloque de 20 kg se encuentra si-

0,05 - 1 Polímeros-polímeros tuado sobre un plano horizontal, sienMetales y cerámicos-polímeros 0,04 - 0,5 do los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano 0,30 y 0,28, respectivamente. Hallar los valores de la fuerza de rozamiento cuando al bloque se le aplica una fuerza horizontal de: a) 20 N; b) 40 N; c) 60 N; d) 80 N; e) 100 N.

Solución: La fuerza normal de reacción del plano es N = m . g = 20 kg . 10 m/s2 = 200 N, Y el valor máximo de la fuerza de rozamiento: F, . = f.1e . N = 0,30 . 200 N = 60 N. max

Mientras la fuerza aplicada no alcance este valor, el bloque permanecerá en reposo, y la fuerza de rozamiento será igual y de sentido contrario a la fuerza exterior que se aplica. Una vez que el bloque inicie su movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye, y su valor será:

F', =f.1d . N = 0,28 . 200 N = 56 N. Se puede, por lo tanto, establecer la tabla adjunta:

Fuerza aplicada

Fuerza de rozamiento

20 N

20 N (no hay movimiento)

40 N

40 N (no hay movimiento)

60 N

60 N (movimiento inminente)

80 N

56 N (movimiento acelerado)

100 N

56 N (movimiento acelerado)

Unidad 3 3. DIAGRAMA DE FUERZAS DEL SÓLIDO LIBRE

Las condiciones de equilibrio establecidas en el apartado 2.2.:

son aplicables a los sólidos libres, entendidos como aquéllos cuyos movimientos no experimentan restricción alguna. Sin embargo, esto no suele suceder en la práctica. Lo más frecuente es que el sólido se encuentre ligado; es decir, sometido a ligaduras o enlaces, provenientes del exterior, que limitan sus posibilidades de movimiento y que van acompañados de un cierto efecto mecánico, que es la fuerza de enlace o de ligadura. Los módulos de estas fuerzas no se conocen a priori, pues dependen de las otras fuerzas aplicadas al cuerpo (fuerzas solicitantes); sin embargo, sí se conocen algunas características de ellas, como, por ejemplo, su dirección, lo que resulta de gran importancia a la hora de estudiar el equilibrio de dichos cuerpos. Si queremos aplicar las condiciones de equilibrio a un sólido ligado, hemos de aislarle del medio exterior, representando gráficamente las fuerzas solicitantes y de enlace que actúan sobre éL Se obtiene, de esta forma, el llamado diagrama de fuerzas del sólido libre, en el que figuran todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él -las de ligadura y las solicitantes. Se debe tener en cuenta que las fuerzas interiores, que provienen de las acciones mutuas entre puntos o partes del sólido, constituyen sistemas de fuerzas cuya resultante es nula. Por ese motivo, no pueden figurar en los correspondientes diagramas. Las principales características de algunas fuerzas de enlace de uso frecuente, así como su representación gráfica, se recogen en la tabla de la página siguiente. Conviene tener en cuenta los siguientes aspectos: •

Toda fuerza de enlace representa una ligadura o restricción de alguno de los grados de libertad del sólido. Las reacciones y los momentosreacción son las causas que impiden, respectivamente, traslaciones y giros en los contactos del cuerpo o sistema con el medio exterior.

•

Si al aislar el sistema se representan las fuerzas de enlace con que el medio exterior actúa sobre él, es necesario recordar que el sistema actúa también sobre el exterior con fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentidos contrarios. Es decir, las fuerzas de enlace son fuerzas de acción y reacción entre el sistema y el medio exterior. Lo mismo sucede con los momentos-reacción en los empotramientos.

•

Para el planteamiento de las condiciones de equilibrio se debe elegir un sistema de ejes de referencia que resulte cómodo. Si todas las fuerzas son coplanarias, se tomarán momentos con respecto a un eje perpendicular al plano de las fuerzas; o, lo que es equivalente, con respecto al punto de intersección de dicho eje con el plano. Aunque este punto puede elegirse arbitrariamente, resulta por lo general aconsejable tomar como centro de momentos un punto por el que pase el mayor número de fuerzas desconocidas. De esta forma, se reduce al mínimo el trabajo de resolución del sistema de ecuaciones de equilibrio.

•

En cada ejercicio de aplicación se debe comparar el número de ecuaciones independientes con el número de incógnitas, pues en muchos casos algunas de las condiciones de equilibrio pueden resultar superfluas.

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS Tipo de enlace

Dirección de la fuerza de enlace

Apoyo simple

Normal

Representación gráfica

);

Apoyo móvil

Normal

Apoyo en un plano

Normal al plano

Apoyo en una esquina

Normal al sólido apoyado

Apoyo en un rincón

Indeterminada (componentes horizontal y vertical)

V =1(N

~ Nx

Normal a la esfera (dirección radial)

Cable, cuerda o tirante

Dirección del cable

Pasador

Indeterminada (componentes horizontal y vertical)

Articulación

Indeterminada (componentes horizontal y vertical)

Corredera

Normal a la guía "'--

Polea

Empotramiento

Apoyo en una esfera

~'.N.

~ Nx

~ . ~

Indeterminada (componentes horizontal y vertical)

Fuerza de reacción de dirección indeterminada (componentes horizontal y vertical) y momento-reacción perpendicular al plano de éstas

~ ~-~~-Ny

---

-----

~t N, ) M

Movimiento inminente ---.

Rozamiento

La del posible movimiento (sentido opuesto)

Unidad 3 •

La resolución del sistema de ecuaciones derivado de la aplicación de las condiciones de equilibrio proporcionará los valores de las fuerzas desconocidas. Si alguno de estos valores resulta negativo, se ha de interpretar que el sentido de la fuerza correspondiente es opuesto al que inicialmente se le había asignado.

•

Cuando el sistema es deformable, pero consta de distintas partes rígidas, es necesario aislar cada una de estas partes y aplicarles individualmente las condiciones de equilibrio. En estos casos, no hay que olvidar los enlaces entre una y otra parte del sistema, que se traducen en fuerzas que tendrán sentidos contrarios en cada una de las partes aisladas.

Ejemplos 1. La figura representa una tabla sujeta horizontalmente en una pared vertical por medio de dos anillas y dos escarpias en A y en B, y por medio de dos cuerdas CD y EF. Calcular la tensión de las cuerdas y las reacciones verticales en A y en B cuando la tabla y el objeto que soporta, situado simétricamente sobre la tabla, pesan en total 40 kp.

Solución: )-f---(f_.!....!!.!--'-~

El peso P = 40 kp, situado en el centro de la tabla (centro de gravedad), puede sustituirse por dos fuerzas paralelas, verticales hacia abajo, de 20 kp cada una, aplicadas en los puntos medios de AC y BE. De este modo, el problema se enfoca considerando uno sólo de los "enganches y apoyos": el ADC o el BFE. Aislemos la tabla y construyamos el diagrama de fuerzas del sólido libre, en el que aparecerán el peso de la tabla y del objeto (20 kp), la tensión de la cuerda (T) y las componentes horizontal y vertical (H y V) de las reacciones de la pared en cada uno de los puntos de sujeción de la tabla. Eligiendo el sistema de ejes coordenados que se indica, la tensión de la cuerda se puede descomponer en dos componentes rectangulares en la dirección de los ejes:

Tx = T . cos a = T . cos 45 0 Ty= T . sen a = T . sen 45 0

Si el sistema está en equilibrio, habrá de cumplirse que:

¿, Fx = O=> H -- Tx = O=> H -- T . cos 45 = O ¿, F = O=> V + T 20 kp = O=> V + T . sen 45° -- 20 kp = O ¿,Mo =0=>H · 1m--20kp·0,5m=0 0

y --

Obsérvese (ecuación [3]) que, aunque se podría haber elegido otro punto diferente, hemos tomado momentos respecto al punto O. De esta manera, los momentos de la tensión T y de la componente vertical V de la reacción de la pared son nulos; y resulta una ecuación muy sencilla, que permite el cálculo directo de H:

H= 10 kp Sustituyendo este valor en la ecuación [1] Y recordando que sen 45° = cos 45° = ...J2 /2, se obtiene de las dos primeras ecuaciones:

V = 10 kp ; T = 10...J2 kp

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS 2. El sistema de la figura está constituido por dos barras homogéneas de igual peso y longitud, que se encuentran en equilibrio en la posición indicada. El apoyo y el pasador están situados en los puntos medios de las barras respectivas. El peso del bloque A es de 16 kp. No existe rozamiento. Hallar el peso del bloque B que permite el equilibrio y las reacciones en la pared y en el punto de contacto de las dos barras. Solución: Aislando las barras se obtienen los diagramas de fuerzas del sólido libre que aparecen representados en la figura. Si se considera que la longitud de cada barra es 2L, los centros de gravedad de cada una de ellas (donde están aplicados sus pesos respectivos P) distarán L de cada extremo. Eligiendo los ejes coordenados que se indican, se pueden plantear las siguientes ecuaciones de equilibrio:

I.Fx= O=> N - N' . cos37° = O

[1]

Barra oblicua I,Fy = O=> N' · sen 3r - P - PA = O

[2]

I, Me = O=> N· L . cos 3r - PA . L . sen 3r = O I, Fx = O=> N' . cos 3r - R x = O

Barra horizontal I, Fy = O=> Ry

P - PB

[3] [4]

N' . sen 37° = O

{ . I, Mo =O => N' . L . sen 37° - PB . L = O

[5] [6]

Ñ' ,COS

37"

De la ecuación [3] se obtiene: N = PA . tg 37° = 16 kp . 0,75 = 12 kp

_ - - - - - - - _: Ñ' N"sen 37°

y este valor, sustituido en la ecuación [1] conduce a: N' =

N cos 37°

= 12 kp = 15 kp 0,8

Por último, de la ecuación [6] resulta:

P B = N' . sen 37° = 15 kp . 0,6 = 9 kp NOTA: Procediendo con absoluto rigor, habría que considerar que el sistema está constituido no sólo por las dos barras sino también por los dos bloques (A y B), Y trazar para estos últimos los correspondientes diagramas de fuerzas. De esta manera, las fuerzas actuantes sobre los extremos de las barras no serían PA y P B' sino las tensiones de los hilos correspondientes. Sin embargo, en condiciones de equilibrio estas tensiones coinciden con los pesos de los bloques y por ese motivo en la práctica se procede de la forma arriba mencionada. 3. Una varilla de vidrio de sección uniforme y longitud 3 R se apoya sobre el fondo y el borde de una cápsula de porcelana de forma semiesférica de radio R (véase figura). Considerando nulos los rozamientos, determinar el ángulo a que formará la varilla con la horizontal en la posición de equilibrio. Solución: Aislemos la varilla y construyamos el diagrama de fuerzas del sólido libre. Las tres fuerzas que actúan sobre ella son su peso P, y las reacciones contra ella en los puntos de apoyo, ÑA y ÑB . La reacción ÑA será normal la superficie de la cápsula y la ÑB normal a la varilla.

Unidad 3 x

Dado el equilibrio existente, si tomamos como ejes de referencia la varilla y la perpendicular a ella, se ha de cumplir que:

I, Fx = O=> NA' cos a - mg . sen a = O

[1 ]

I,Fy =O=> NA ·sen a+ Na -mg ·cos a =O

[2]

I,MA=0 => Na ·2Rcos a -mg · _3R ·cosa =0 2

[3]

De la ecuación [1] se obtiene:

>_-

ÑA ·sen oc, _ A Ni_Q9S-cx- mg

NA = mg · sen a , y este valor, sustituido en la ecuación [2], conduce a: cos a

2 2 sen a [ sen a l mg ·---+N a =mg ·cos a=> Na =mg · cosa---cos a cos a Pasando a la ecuación [3]:

Na = '4 mg e igualando ahora los dos valores de Na resulta:

sen2 a l 3 sen2 a 3 cos2 a -sen 2 a 3 cos 2 a-1+cos 2 a 3 mg · cos a - - - - =-mg=>cosa=-=> =-=> =-=> [ cos a 4 cos a 4 cos a 4 cos a 4 =>4·(2cos2 a - 1)=3cos a =>8cos2 a -3cosa-4=0 ' Resolviendo esta ecuación de segundo grado se obtienen dos valores para cos a : 0,9190 y - 0,5440, que corresponden a dos valores de a: a 1 = 23,21 ° Y ~ = 122,96° Lógicamente, sólo el primero de esos valores tiene significado físico: a= 23 ,21 ° 4. El sistema de la figura está constituido por una barra homogénea AB de peso P, apoyada en una pared vertical rugosa (punto A) y en un suelo horizontal liso (punto B). Dicha barra se mantiene en equilibrio por medio de un hilo que pasa por una pequeña polea, y uno de cuyos extremos está sujeto a B, mientras que A del otro cuelga un bloque de peso Q. Si el coeficiente de rozamiento estático en A es /1 = 0,2 , hallar la relación entre los pesos P y Q que permite el equilibrio. Solución: En primer lugar, hemos de tener en cuenta que la tensión del hilo es igual al peso Q (la polea lo único que hace es cambiar la dirección de la fuerza). A continuación, aislaremos la barra designando por L su longitud. La barra permanecerá en equilibrio mientras no inicie su movimiento, el cual podrá verificarse en dos sentidos: extremo A de la barra hacia arriba o hacia abajo. En cada uno de los dos casos el diagrama de fuerzas del sólido libre será diferente, debido al distinto sentido de la fuerza de rozamiento.

Consideremos primero el movimiento inminente de la barra en A hacia arriba. En la figura se representa el correspondiente diagrama de fuerzas. Aplicando las condiciones de equilibrio, tenemos:

I,Fx =O=>Q-RA =O=>R A =Q

[1]

I,Fy =O=>Ra -P-/1 · RA =0

[2]

I, M a = O=> R

A •

L . sen 37° - P . ~ . cos 3r - /1 ' R A • L . cos 37° = O=>

2 => 0,6 RA -0,4 P-O, 16 RA = O=> 0,44 RA = 0,4 P

[3]

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

P=.!2=11 10 ' Consideremos, ahora, el movimiento inminente de la barra en A hacia abajo. El nuevo diagrama de fuerzas del sólido libre correspondiente a la barra se representa en la figura. Apliquemos las condiciones de equilibrio:

Resolviendo la ecuación [3] con la [1] se obtiene:

I,Fx =O~Q-RA =O~RA =Q

[4]

LFy=O~RB-P+f.l . RA=O

[5]

LMB = O ~ RA · L· sen 37° + f.l' RA ·L ·cos +----~ A

0,6 RA + O, 16 RA - 0,4 P

3r-p . ~ . cos 37° = O ~ 2

= O ~ 0,56 RA = 0,4 P

Resolviendo la ecuación [6] con la [4] se obtiene:

[6]

~ =. ~~ = 1,4

Por lo tanto, para que la barra esté en equilibrio se habrá de cumplir:

1,1:S; Q :s; 1,4 5. ¿Qué fuerza horizontal F es necesario ejercer sobre las cuñas By C, de peso despreciable, para que el bloque A, de 4 000 kp de peso, comience a elevarse? Los valores de los coeficientes de rozamiento estático son 0,25 entre las cuñas y el suelo y 0,20 entre las cuñas y A.

Solución: Aislemos el bloque A y las cuñas B y e, y tracemos los correspondientes diagramas de fuerzas del sólido libre, aplicando a continuación las condiciones de equilibrio. En realidad, consideraremos solamente una de las cuñas (por ejemplo, la B), ya que los sistemas de fuerzas que actúan sobre ambas son idénticos. Tendremos en cuenta, además? que, de acuerdo con el enunciado, los pesos de las cuñas son despreciables. . BloqueA N

LFx = O~ N ·cos 60 0 -N ·cos600+ f.lN ·cos 30° - f.l N . cos 30° = O (lógico, por simetría) . LFy = O~ 2N· sen 60 0 -2f.lN· sen 30 0 -P = O

L Fy

= O ~ N' + f.l N . sen 30° -

N . cos 30° = O

[3]

[4]

Sustituyendo los valores de los coeficientes de rozamiento y de las funciones trigonométricas, las ecuaciones [2], [3] y [4] se convierten en: N.J3 = P + 0,2 · N

[5]

F = [5+.J3) . N +025 · N' 10 '

[6]

N' = 5.J3 - 1 . N 10 Resolviendo este sistema, se obtiene: F = '2 257 kp

[2]

Cuña B L Fx = O ~ F - N · sen 30° - f.l N . cos 30° - f.l' N' = O

fL , N'•

[1 ]

[7]

Unidad 3

e 11

Actividades

:::>

l. Hallar los valores de las fuerzas

2000 N

ejercidas hacia arriba en cada extremo de la mesa de la figura.

Resultado: En el extremo de la izquierda, 1500 N; Y en el de la derecha, 2 100 N

1000 N

2. Dos esferas, ambas de radio R y 20 N de peso, quedan en equilibrio en la posición que se indica en la figura; de manera que la línea que une sus centros forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular las fuerzas que ejercen las esferas en los apoyos

A, By C.

Resultado: FA = 20 N; Fa = 30 N; Fc = 1013N

4. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASAS

Hemos visto en apartados anteriores que para resolver algunos ejercicios propuestos como ejemplo se localizaba el peso del cuerpo en un punto característico denominado centro de gravedad. ¿Por qué puede hacerse esto? Si tenemos un cuerpo cualquiera, podemos considerarlo integrado por muchísimas partículas materiales de masa muy pequeña, cada una de las cuales es atraída por la Tierra. Si el cuerpo en cuestión es lo suficientemente pequeño en comparación con la Tierra (yeso es lo que sucede en la práctica) las fuerzas de atracción sobre sus partículas son prácticamente paralelas entre sí y se representan, además, por vectores fijos. La resultante de todo este sistema de fuerzas paralelas es una única fuerza, llamada peso del cuerpo, cuya dirección es la vertical. Su punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad (c.d.g.) del cuerpo. Centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación del peso de dicho cuerpo. Su posición es tal que no se modifica al cambiar la orientación del cuerpo. El cálculo de la posición del centro de gravedad resulta, en algunos casos, muy sencillo. Así, por ejemplo, si el cuerpo es homogéneo y posee un centro de simetría, el centro de gravedad y el centro de simetría coinciden. Por otra parte, algunos cuerpos geométricos se pueden descomponer en franjas, cuyos centros de gravedad son fácilmente determinables, y componiendo los pesos de cada franja se puede llegar a determinar el centro de gravedad del conjunto. Así, por ejemplo, supongamos que queremos calcular la posición del centro de gravedad de una lámina triangular. Para ello descompongamos el triángulo en franjas muy estrechas paralelas al lado AB, cada

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS una de las cuales se puede considerar como un segmento con el centro de gravedad en su punto medio. La recta que une dichos puntos medios, que es la mediana correspondiente al lado AB, contendrá al centro de gravedad del triángulo. Ya que se puede repetir el razonamiento descomponiendo el triángulo en franjas paralelas a otro lado, por ejemplo el AC, resulta, como conclusión final, que el triángulo tiene su centro de gravedad en el punto donde se cortan sus medianas (baricentro).

Si se trata de un cuadrilátero cualquiera, se trazan sucesivamente sus dos diagonales y así queda descompuesto en dos parejas de triángulos cuyos centros de gravedad se pueden determinar fácilmente. Uniendo a continuación dos a dos los centros de gravedad de cada pareja, se obtienen dos segmentos cuyo punto de intersección es el centro de gravedad del cuadrilátero.

p A

En general, salvo en estos casos sencillos, el cálculo de la posición del centro de gravedad es un problema analítico bastante complejo. Si trazamos un sistema de ejes coordenados respecto a los cuales podamos referir el cuerpo, el vector de posición (G Y las coordenadas xi;;, YG' zG del centro de gravedad vienen dadas por las siguientes expresiones:

siendo (¡ , Xi' y¡, Z¡ y p¡ el vector de posición y las coordenadas y peso, respectivamente, de cada uno de los puntos materiales en que podemos considerar dividido el cuerpo. Como p¡=m¡· g , si suponemos 9 constante, las expresiones anteriores quedan reducidas a:

"" m· . z · z - k.. I

G-

siendo M la masa total del cuerpo. Se deduce de lo anterior que las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo no dependen de que se encuentre o no situado en un campo gravitatorio, ya que en las expresiones correspondientes no aparece el valor de 9 (siempre que sea constante, lo cual sólo sucede cuando el tamaño del

Unidad 3 cuerpo es reducido). Por otra parte, hablando con entero rigor, el centro de gravedad no es un punto perfectamente definido, ya que no son exactamente paralelos los vectores representativos de los pesos de las partículas. Por ello las ecuaciones anteriores definen un punto que en la actualidad se suele designar con el nombre más correcto de centro de masas. Es fácil la deducción de las fórmulas anteriores. Hagámoslo con la primera, ya que para las demás el razonamiento será análogo. Supongamos un cuerpo en forma de lámina, referido a un sistema de dos ejes coordenados y descompuesto en partículas de masas, m 1 , m 2 , • • • , mi' ... , m n y pesos respectivos P1' P2' ... , Pi' ... , Pn , que forman un sistema de fuerzas paralelas al cual podemos aplicar el teorema de Varignon, tomando los momentos con respecto al origen de coordenadas:

m1· g ,x 1+m2 · g ,x 2 + ... +mn · g ,x n =xG ·[m1· g+m2 · g+ ... +m n · g]

Sacando 9 factor común en ambos miembros: gLm¡. x ¡ =xG · gLm¡

de donde: p

Tratándose de cuerpos homogéneos descomponibles en otros de formas geométricas sencillas cuyos centros de gravedad sean conocidos, se trazan unos ejes coordenados y se aplican las fórmulas anteriores, teniendo en cuenta que ahora Xi' y¡, Z¡ son las coordenadas de los centros de gravedad de cada una de las figuras parciales. Además, si el cuerpo tiene forma lineal, la masa es proporcional a la longitud; si es laminar, a la superficie, y, por último, si se trata de un cuerpo tridimensional, al volumen; por lo que en los cálculos se puede sustituir la masa por la longitud, la superficie o el volumen, respectivamente.

Ejemplos ~-----------------------------------------------------1. Determinar la posición del centro de gravedad de la lámina homogénea de la figura.

Solución: Tracemos unos ejes coordenados como se ve en la figura y descompongamos la lámina en dos rectángulos ABCD y EFGH. Los centros de gravedad de ambos rectángulos, fácilmente determinables por geometría, son: G1 (3,5) Y G2 (3,2) Y sus superficies S1 = 12 cm 2 y S2 = 8 cm 2, siendo la superficie total S = 20 cm 2 • Aplicando las fórmulas: x _ Lm¡ ,x ¡ _ LP ' s¡ , x ¡ _ LS¡ ,x ¡ . GM p .S S '

6cm 2cm

LS¡, y¡ YG =

x resulta: 12 cm2 . 3 cm + 8 cm2 . 3 cm xG = 20c~ 12 cm ·5 cm + 8 c~ ·2 cm YG = 20 c~ 2

3 cm

= ,

Luego, las coordenadas del centro de gravedad de la lámina son (3;3,8) lo cual significa que dicho punto está situado sobre el eje de simetría, a 3,8 cm de la base.

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS Si en vez de tratarse de partículas aisladas, el cuerpo es continuo, se descompone en elementos infinitesimales de volumen, dV, cada uno de los cuales tendrá una masa dm = p . dV, siendo p la densidad. Procediendo de esta forma, las sumas que aparecen en las expresiones anteriores se convierten en integrales, resultando:

Si el cuerpo es homogéneo, al ser su densidad constante en todos los puntos, se puede expresar como factor fuera de la integral, y como M = V . p fI/ = volumen total del cuerpo) tendremos:

Si, además, el cuerpo es de forma laminar, con un espesor, e, constante, como dV = e . dS y V = e . S (siendo S la superficie total de la lamina, y dS un elemento infinitesimal de dicha superficie), resulta:

=~J y·dS;

Por último, si el cuerpo tiene forma lineal, como un hilo o un alambre, las coordenadas del centro de gravedad serán:

YG =iJ y · dl; donde L es la longitud total del hilo y dI un elemento infinitesimal de longitud.

Ejemplos 1. Hallar la posición del centro de gravedad de un triángulo rectángu-

lo cuyos catetos de 10 Y 8 cm están situados sobre los ejes OX y OY, respectivamente: Solución:

5 I----~~=T= dy

(1)

La ecuaCión de la recta que define la dirección de la hipotenusa del triángulo es 4x + 5y - 40 = O. Aislemos en él una franja elemental paralela al eje de abscisas, como indica la figura, y de superficie dS=x · dy. Como el área de todo el triángulo es 40 cm 2 , resulta:

~J y·dS= ~J Y.X.dY=~J:(10-¡y }

5 [ =-.!J8(10y-~y2)dY= y

S o

x 10cm y

.dY =

3]8

-12

o =2,67cm

(1)

y - -- -- -- -- -,--

Aislando ahora otra franja elemental paralela al eje de ordenadas, al ser su superficie dS = y . dx, tenemos que:

o I + - - - - - : ;10cm -;c------+j X

Unidad 3

XG =

~ J x · dS= i J x· y·dx = ~ J~o x .( s-~X )dX =

J (sx _±

x2) dx

S o

[

x-15 40

]10 O

= 3,33 cm

El centro de gravedad del triángulo es el punto (3,33; 2,67) cm. Precisamente se trata del baricentro del triángulo. 2. Hallar la posición del centro de gravedad de un aro semicircular de radio R y grosor despreciable. Solución:

Escojamos un sistema de ejes coordenados tal que el origen coincida con el centro del arco. De esta manera, por simetría x G = O, Y sólo es preciso calcular y G. Para llevar a cabo este cálculo podemos seguir el siguiente procedimiento. Como el arco es homogéneo:

YG =lJ y·dl Descompongamos el arco en elementos de longitud dI. Como y =R . sen ep, dI =R . dep, L = 'Ir R, resulta:

1 YG =-1 y · dl=L 'lrR

J"o

RJ" senepdep=-[-cosep] R ,, = 2R Rsenep · R·dep='Ir

'Ir

El centro de gravedad está situado sobre el eje de simetría del aro y dista de su centro

2R 'Ir

3. Determinar la posición del centro de gravedad de una lámina plana homogénea en forma de semicírculo de radio R.

Solución: Lo mismo que en el ejemplo anterior, por simetría, x G = O. Para el cálculo de

YG tendremos en cuenta que como se trata de una superficie homogénea: YG

~J y · dS

Descomponiendo la superficie semicircular en aros de radio r y grosor dr, como el centro de gravedad de cada uno de estos aros tiene de ordenada: y = 2 rln (véase ejemplo anterior) y, además, dS = 'Ir r dr, y S=nR 2/2, resulta:

=S J 1

1 JR2r y . dS = 'Ir R2 o---;¡ .1TT . dr

= 'Ir 4R2 JRor 2 dr = 'Ir 4R2 [r"3 ]Ro= 4R 3'1r

2 El centro de gravedad de la lámina está situado sobre su eje de simetría y dista de su centro

4R 3'1r Si un cuerpo homogéneo posee en su estructura zonas huecas geométricamente definidas, el cálculo de la posición de su centro de gravedad se lleva a cabo considerando que estas zonas huecas poseen masa, volumen o superficie negativos. El próximo ejemplo puede servir para poner en claro el procedimiento que se sigue.

EQUILIBRIO EN LOS SÓLIDOS

..............................................................................................

Ejemplos 1. Determinar la posición del centro de gravedad de la superficie homogénea sombreada de la figura.

Solución: Por simetría, el centro de gravedad de la superficie está situado sobre el eje OY, de manera que x G = O, Y sólo es preciso calcular YG. Para llevar a cabo este cálculo, se puede considerar a la superficie constituida por una chapa semicircular, de área S, = rcR 2/2; cuyo centro de gravedad está situado en y, = 4RI3rc (véase ejemplo anterior); con un hueco u orificio en forma de triángulo de área S2= - ~ y con centro de gravedad en Y2= R13.

Es aconsejable, para realizar los cálculos con mayor comodidad, tabular los datos correspondientes a las distintas partes que componen el sistema:

Parte del sistema

Ordenada del centro de gravedad

Superficie

Chapa semicircular

4R 3n

nR2 -2

Hueco triángular

_R 2

La ordenada del centro de gravedad de la superficie rayada será: 2 nR "4R _R2 R _LS¡ "Y¡ _S,.y,+S2 ·Y2 _ 2 3n 3 -0584R k-, 2 S S, +S2 nR _R2

2 Por lo tanto, el centro de gravedad es el punto G (O; 0,584 R).

Para que un cuerpo suspendido esté en equilibrio es necesario que el centro de suspensión y el centro de gravedad estén en la misma vertical, ya que en ambos puntos actúan la tensión del hilo (o la reacción del apoyo) y el peso del cuerpo respectivamente, y ambas fuerzas han de ser iguales y de sentido contrario. Se deduce de esto que para determinar experimentalmente la posición del centro de gravedad de un cuerpo (sea homogéneo o no) basta suspenderlo de dos puntos distintos, trazando, en cada caso, la vertical correspondiente: el centro de gravedad estará situado en el punto de intersección de ambas rectas. Si se trata de un cuerpo de forma alargada, como, por ejemplo, una barra o una varilla, y queremos saber a qué distancia de sus extremos se encuentra el centro de grave~ dad , lo que se hace es apoyarlo sobre una cuña e ir desplazándolo hacia uno u otro lado, hasta conseguir que quede en posición horizontal.

Unidad 3

Ejemplos 1. El alambre de la figura es homogéneo y tiene la forma y dimensiones que se indican. Hallar:

a) La posición de su centro de gravedad. b) Al suspenderlo por O, ¿qué ángulo formará la parte recta de AB con la vertical cuando el alambre alcance el equilibrio?

A L.:...:....--'-----, B

o OA

= AB = 20 Be = 10

Solución: a) Descompongamos el alambre en las tres partes homogéneas que lo constituyen . Tomando un sistema de ejes coordenados como el que se señala en la figura, una vez calculadas las longitudes de cada una de las partes y las posiciones de sus centros de gravedad respectivos, podemos construir una tabla como la siguiente:

x e

Trozo semicircular

20ht

101t

TrozoAB

Trozo Be

-5

Las coordenadas del centro de gravedad del alambre son:

x =

LX;./; = 10 · 10n+30 ·20+40 · 10 = 100+10n = 214 1On + 20 + 10

_ .~_J; -

20 - ·10n+0·20+(-5) · 10

./ i _

1 On + 20 + 10

3 +n

15 ----244 - 3+n - ,

El centro de gravedad es el punto G (21,4; 2,44).

b) Al suspenderlo por O (véase figura), el centro de gravedad se situará en la vertical que pasa por O. Se cumplirá: tg cp = 2,44 = 0,114 , de donde se obtiene el valor del ángulo cp:

21,4

<p = 6,5 0

e B

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

Actividades

::::>

1. ¿Es cierto que el centro de gravedad de un cuerpo ha de estar situado siempre sobre algún elemento material? ¿O es falso? ¿Por qué? Explícalo, si quieres, con un ejemplo.

2. Calcular la posición del centro de gravedad del alambre homogéneo de la figura. Resultado: G (1 ,778 R; 0,389 R)

x z 3. Sobre los vértices de una pirámide de 6 m de altura y base cuadrada de 4 m de lado se encuentran las masas puntuales de la figura. Hallar la posición del centro de gravedad del ~istema.

Resultado: G (2, 38/15, 2)

4. Determinar la posición del centro de gravedad de un cono recto, macizo y homogéneo, de altura H.

Resultado: El centro de gravedad está situado sobre la altura del cono, distando de su base 1/4 de la longitud de la altura.

5. Calcular la posición del centro de gravedad de un disco circular homogéneo de radio R con un orificio taladrado de radio R/4, como se indica en la figura.

Resultado: G (O, - R/60)

6. Determinar la posición del centro de gravedad de una semiesfera maciza homogénea de radio R.

Resultado: Está situado sobre el eje de simetría de la semiesfera y dista de su vértice 5/8 R Y=vx

7. Si la lámina plana y homogénea representada en la figura se suspende del punto A, ¿cuál es el ángulo que forma el lado AB con la vertical en la posición de equilibrio?

Resultado: a = 50,r

Unidad 3 5. CLASES DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO Un sólido puede disfrutar de tres clases de equilibrio: a) Estable: Es aquél que posee un cuerpo que, separado ligeramente de su posición de equilibrio, la recobra al dejarlo posteriormente en libertad (caso de un cono de madera apoyado sobre su base). b) Inestable: Cuando, al efectuar la misma operación, el cuerpo se aleja todavía más de su posición de equilibrio, hasta alcanzar la de equilibrio estable (conQ apoyado sobre su vértice). c) Indiferente: Es el equilibrio que posee un cuerpo que, al desplazarlo un poco de su posición de equilibrio, se encuentra de nuevo en equilibrio (cono apoyado sobre su generatriz). Para que un cuerpo pesado esté en equilibrio es condición necesaria que se le aplique una fuerza vertical cuya línea de acción pase por el centro de gravedad y neutralice el peso del cuerpo. Así se cumple que L F¡ = O y L M¡ = O {las dos condiciones de equilibrio) Esto se puede conseguir de dos formas: suspendiendo el cuerpo o apoyándolo sobre una superficie. 5.1. Equilibrio de sólidos suspendidos

Para que un cuerpo suspendido esté en equilibrio es necesario que el centro de suspensión S y el centro de gravedad G estén en la misma vertical. Ahora bien:

S G

r: Equilibrio estable

Equilibrio inestable

Equilibrio indiferente

a) Cuando S está por encima de G el equilibrio será estable, pues una pequeña separación origina un par que hace que el cuerpo recobre la primitiva posición de equilibrio. b) Si G está por encima de S, el equilibrio es inestable, dado que una pequeña desviación da lugar a la aparición de un par de fuerzas que hace que el cuerpo alcance la posición de equilibrio estable. c) Por último, si coinciden S y G el equilibrio es indiferente; en este caso, las fuerzas P (peso del cuerpo) y R (reacción del apoyo o tensión del hilo) están aplicadas en el mismo punto y son iguales y de sentido contrario, anulándose mutuamente, por lo que no originan par alguno.

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS 5.2. Equilibrio de sólidos apoyados

Estable Indiferente

En este caso, considerando como base de sustentación el menor contorno convexo que encierra todos los puntos de apoyo sobre el suelo, el equilibrio será: a) estable, cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad pasa por la base de sustentación. b) inestable, cuando pasa por la líneas límite de dicha base. c) indiferente, cuando la base de sustentación es tal que la vertical del centro de gravedad siempre pasa por ella. Cuando un cuerpo apoyado disfruta de equilibrio estable, su estabilidad dependerá de la posición del centro de gravedad y de la superficie de sustentación. La estabilidad de un cuerpo apoyado es tanto mayor cuanto mayor sea la base de sustentación y más bajo esté situado su centro de gravedad. Tanto en los cuerpos apoyados como en los suspendidos, la energía potencial depende de la altura a la que se encuentra situado el centro de gravedad. La posición que corresponde al equilibrio estable es la de menor energía potencial; la de equilibrio inestable, la de mayor, y la de equilibrio indiferente es la de energía potencial constante. Por lo tanto, podemos resumir todas las consideraciones anteriores diciendo que: La estabilidad de un cuerpo es tanto mayor cuanto menor sea su energía potencial y, por consiguiente, cuanto más bajo está situado su centro de gravedad. Dicho con otras palabras: los cuerpos buscan el equilibrio y éste corresponde a aquella posición en la que el centro de gravedad está lo más bajo posible.

Actividades

::::>

1. Siéntate en una silla con la espalda recta y coloca las piernas de modo que formen un ángulo recto o ligeramente obtuso. Apoya las manos en las rodillas e intenta levantarte sin doblar la espalda. ¿Qué observas? ¿Cómo explicas este hecho? 2. ¿Son estables las tres posiciones de la caja de la figura? ¿En cuál de ellas es mayor la estabilidad?

~------[di B ,

~ - ------ -

(a)

3. ¿Quién tiene mayor estabilidad, un vaso completamente lleno de agua o el mismo vaso con agua hasta la mitad? Justifica la respuesta.

(b)

(e)

.----_ _ _ _ _ A m pi ia ción TEOREMAS DE GULDIN-PAPPUS

Los dos teoremas que vamos a enunciar a continuación, debidos al matemático y físico suizo Paul Habakuk Guldin (1577-1643) Y basados en los trabajos del griego Pappus (siglo IV), son de gran interés para la determinación de los centros de gravedad d~ líneas y superficies planas que al girar en torno a un eje dan lugar a figuras de revolución. • Primer teorema. "El área de la superficie engendrada por una curva plana que gira alrededor de un eje que no la corta es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad".

Este primer teorema es útil para calcular el centro de gravedad de una línea que, al girar, origina una superficie. Apliquémoslo para determinar el centro de gravedad de un arco semicircular de radio R y grosor despreciable. Una semicircunferenci~ cuya longitud es n R, al girar en torno a su diámetro, engendra una superficie esférica, de área 4 n R 2 • Si designamos por y G la distancia del centro de gravedad del arco semicircular al centro de la circunferencia a la que pertenece, tenemos:

de donde:

• Segundo teorema. "El volumen del sólido engendrado por una superficie plana que gira alrededor de un eje que no la corta es igual al producto del área de dicha superficie por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad".

Este segundo teorema se puede utilizar para determinar los centros de gravedad de superficies planas que, al girar, engendran un volumen. Supongamos que queremos calcular el centro de gravedad de una lámina plana homogénea en forma de semicírculo, de radio R. El área del semicírculo es nR2/2, y el volumen de la esfera que origina al girar es 4/31tR 3 • Por lo tanto: .

de donde resulta:

laboratorio DETERMINACiÓN DE COEFICIENTES DE ROZAMIENTO a) Método del tribómetro

Material:

•

1 tablero.

•

3 bloques prismáticos de madera de masas diferentes.

•

1 platillo.

•

1 caja de pesas.

• Cuerda fina y polea ligera. Método:

•

Disponer el tablero sobre la mesa; sujetar un extremo de la cuerda a una base del prisma y el otro a un platillo.

•

Colocar el prisma de madera sobre el tablero e ir poniendo pesas en el platillo hasta conseguir que el movimiento del bloque sea uniforme.

•

Cuando se cumpla esa circunstancia tendremos que el valor del peso que cuelga (pesas y platillo) es igual a la fuerza de rozamiento 11 m 9 (m = masa del cuerpo de madera).

Por tanto: PCUelga

11' m . 9

de donde:

b) Método del plano inclinado

El tribómetro también puede convertirse en un plano inclinado de inclinación variable, cuyo giro se facilita con una o varias bisagras. . Colocar horizontalmente el tablero e ir inclinándolo poco a poco hasta que el bloque situado encima empiece a deslizar con movimiento uniforme. En ese caso la aceleración es nula y por tanto: O= 9 sen

a - 11 9 cos a

de donde:

11=

9 sen a

gcosa

= ga

El coeficiente de rozamiento coincide con el valor de la tangente del ángulo preciso para que el cuerpo deslice con movimiento uniforme. NOTA: Repetir en cada caso la experiencia tres veces en bloques distintos. Tabular los resultados y calcular el valor más probable como la media aritmética de los valores hallados.

Unidad 3 ...•........•.....•.•....•.......••....••..••••••..••...•........•.....•..••...••••....•.......

!tctividades de Síntesis 1. Calcular la tensión en cada cuerda de la figura, sabiendo que el peso del cuerpo suspendido es de 1 000 N.

4. La barra AB de la figura, de peso despreciable, lleva suspendida en su punto medio una masa de 20 kg. El extremo A está unido a un deslizadar que se puede mover en una ranura vertical, y el otro extremo, B, tiene un soporte de pasador. Hallar el valor de las reacciones en A yen B.

(a)

B A

(e)

(d)

Resultado: A= 130,7 N; Bx = 130,7 N; By= 196 N Resultados: a) A= B= C= 1000 N; b) A=732 N; B=896,6 N; C= 1000 N; c) A= 1 000 N; B= 1414 N; C= 1 000 N;

d) A=2 732 N; B=3 346 N; C= 1000 N; e) A=833 N; B=291,7 N; C=625 N 2. La viga AB de la figura, de peso despreciable, está articulada en A, y su otro extremo se encuentra unido al punto O por medio del tirante BO. Está sometida, además, a las cargas p= 1 500 N Y Q=4 000 N. Hallar la reacción de la articulación y la tensión del tirante.

3m 7

Resultado: T=3 000 N; Rx = 1 500 -{3 N; Ry= 1 000 N 3. El semicilindro de la figura pesa 1 000 kp. Sabiendo que no existe rozamiento entre el plano inclinado y el semicilindro, determinar la fuerza horizontal necesaria para equilibrar dicho semicilindro, así como su punto de aplicación . Resultado: F = 5 658 N

5. Una escalera uniforme, de 10 m de longitud y de 600 N de peso, con su centro de gravedad en el punto medio, se encuentra en equilibrio con un extremo en A, sobre el suelo áspero, y el otro en B, a 8 m sobre el suelo, y apoyado contra una pared vertical sin rozamiento . Se pide calcular las reacciones de la pared y del suelo, así como sus direcciones respectivas. Resultado: Reacción en la pared = 225 N, norma l a ella; reacción en el suelo = 640,8 N, formando un ángulo de 69,440 con el suelo 6. Las bisagras A y B de una puerta de 500 N de peso distan entre sí 2 m y la anchura de la puerta es 1 m (véase figura). Sabiendo que todo el peso de la puerta lo soporta la bisagra superior, se desea saber los valores de las fuerzas ejercidas sobre la puerta en sus bisagras. Resultado: En la bisagra superior, R=515,4 N, Y en la inferior, 125 N

I E C\I

R=:::;1C=:m:==+1

7. Una barra de 1 500 N de peso está soportada por un poste y un cable, según se observa en la figura. Todas las superficies son lisas. Hallar la tensión del cable y las reacciones sobre la barra en las superficies de contacto.

EQUILIBRIO EN LOS SÓLIDOS ..............................................................................................

Actividades de Síntesis cuya tensión va aumentando paulatinamente hasta que la fuerza horizontal sobre la bisagra A sea nula. a)

¿Cuál es la tensión del cable CD?

¿Cuál es el valor de la componente horizontal de la fuerza en la bisagra B?

¿Cuál es la fuerza vertical ejercida en su conjunto por las bisagras A y B?

e Resultados: Tensión del cable = 642,9 N; Reacción en el suelo = 1 .017,8 N; Reacción en el poste = 803,6 N 8. Dos bloques M 1 y M 2 se apoyan sobre los p lanos inclinados de la figura y están unidos por medio de un hilo ideal que pasa por la polea P. Los coeficientes de rozamiento de los bloques sobre los planos son J.l1 y J.l2' Calcular entre qué valores puede variar la relación M,IM2 para que el sistema permanezca en equil ibrio.

Resultado: sen f3 - J.l2 . cos f3 M 1 sen f3 + J.l2 . cos f3 < ----'---''--''----'sen a + J.l1 . cos a - M2 - sen a - J.l1 . cos a

---'----'-"----'- < -

9. Una escalera de 8 m de longitud y 50 kp de peso está apoyada en una pared lisa vertical y en un suelo horizontal con el que forma 60°. Un hombre de 70 kg dese'a subir hasta su extremo superior sin que la escalera se deslice. Determinar: a)

Coeficiente de rozamiento mínimo escalerasuelo que permite esta circunstancia.

Reacciones en la pared y en el suelo.

Resultados: a) J.le = 0,457; Reacción en la pared = 54,85 kp; Reacción en el suelo = 131,9 kp 10. Una puerta de 2 m de ancho, 1 m de alto y 500 N de peso, con su centro de gravedad en el mismo centro geométrico, está unida al ma rco por dos bisagras (véase figura). Se dispone el cable CD,

Resultados: a) T = 268 N; b) F' =232 N; c) F=366 N 11. El pescante OA de la figura forma 60° con la horizontal, tiene 4 m de largo y pesa 500 kp . Calcular la tensión del cable horizontal que lo sujeta a la pared y las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida sobre el pescante en el punto O.

Resultados: T = 750{3 kp;

Rx = 750{3 kp; Ry = 2 500 kp 12. Un hombre quiere subir una caja a lo largo de una pendiente con movimiento uniforme. Para arrastrarla tira de una cuerda atada a la caja. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la pendiente para que la fuerza con que debe tirar sea mínima? El coeficiente de rozamiento es J.l=0,2.

Resultado: qJ = 11,3°

Unidad 3

Actividades de Síntesis 13. El bloque A de la figura tiene una masa de 4 kg Y descansa sobre un bloque B de 8 kg. Ambos , bloques están unidos por una cuerda 'por pasa por la acanaladura de una polea sin rozamiento. Entre los bloques A y B Y entre este último y el suelo el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Hallar el valor de la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B hacia la derecha a velocidad constante.

16. Hallar la mínima fuerza horizontal que es necesario aplicar sobre un bloque prismático de 500 kg de masa, situado sobre un plano de 30° de inclinación para que no descienda. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano es 0,2. Resultado: F= 1658 N

17. ¿Cuál ha de ser el mínimo valor de l ángulo a para que la pila formada por los tres cilindros iguales de peso P= 26,5 kp, dispuestos como indica la figura, no se deshaga? Se desprecian los rozamientos.

Resultado: F= 5 kp 14. Determinar el módulo y el sentido de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque de 100 kg representado en la figura , si la fuerza aplicada Fes:

a)F=600 N

b)F=200 N

Resultado: a = 10° 54'

Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano valen 0,20 y 0,15, respectivamente. Las fuerzas se aplican con el bloque inicialmente en reposo.

Resultados: a) Fr = 29,6 N, hacia abajo del plano; b) Fr = 142,3 N, hacia arriba del plano 15. La barra AB de la B figura, de 50 kg de masa y 4 m de longitud, está apoyada en los puntos A y C. Determinar el ángulo a en la A posición de equi1m librio, así como las reacciones en "A Y C. Se consideran nulos los rozamientos.

Resultado: a= 52,53°; RA =375,6 N; Rc =617,4 N

18. El bloque homogéneo prismático de la figura , de masa m, anchura b y altura H, está situado sobre una superficie horizontal y sometido a una fuerza horizontal F, aplicada a una altura h sobre la superficie, que lo hace deslizar sobre ella a velocidad constante. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la superficie es J.ld' Hallar el valor máximo que puede t ener h para que el bloque deslice sin volcar. b F

H h

Resultado: h =

J.ld

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

¡qctividades de Síntesis 19. Para manejar tubos de acero calientes se utilizan las tenazas de la figura. Si la apertura de las mordazas es igual a 30°, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático entre el tubo y las mordazas que permite que las tenazas sujeten el tubo sin deslizamiento?

Resultado: ·f.le = 0,268

20. El coche representado en el esquema tiene una masa de 2 000 kg, Y el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento es f.le= 0,8. Determinar la fuerza F que es necesario ejercer sobre el parachoques trasero, para conseguir que el automóvil deslice:

soportes en los que se apoya? El coeficiente de rozamiento dinámico entre el tablón y cada soporte es 0,50. Resultado: F= 795 N

22. El cilindro de la fi gura tiene una masa de 2 kg y su coeficiente de rozamien to con el bloque es f.l,. La masa del .bloque es también de 2 kg, y su coeficiente de rozamiento con el plano es f.l2' Hallar los valores de f.l, y f.l2 para que: a) El cilindro pueda deslizar sobre el bloque sin que éste se mueva . b)

El bloque pueda deslizar sobre el plano arrastrado por el cilindro.

Resultados: a) f.l, = 1/3; f.l2 ~ 14/27;

b) f.l,

1/3; f.l2 = 14/27

23. Un alambre homogéneo tiene la forma de la figura. Si el radio del aro es de 5 cm, ¿cuánto debe valer L para que el centro de masas del sistema sea el punto G?

0,4

Si las cuatro ruedas están bloqueadas.

Si sólo están bloqueadas las ruedas traseras.

Si sólo están bloqueadas las ruedas delanteras.

Resultados: a) F= 15680 N; b) F= 5 37Q N; c) F= 11 000 N

21. ¿Qué fuerza F se debe ejercer sobre la cuerda para conseguir que el tablón de 100. k¡¡¡ de masa y 6 m de longitud comience a desliza n sobre los

~>-~

Resultado: L= 17,72 cm

24. Hallar la posición del centro de gravedad de la superficie rayada homogénea de la figura. y

y=yx

3,6m

L__ _

Resultado:

G(~,~)

Unidad 3

,Llctividades de Síntesis 25. Hallar la posición del centro de gravedad de la lámina plana homogénea de la figura. y

cuelga de un clavo por el vértice del ángulo recto. ¿Qué ángulos formará la vertical que pasa por el clavo con los brazos de la barra en la posición de equil ibrio? Resultado:

= 60,66

;

({J2

= 29,34

29. Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 10 0 con la horizontal se quiere colocar un cilindro recto y homogéneo de 20 m de altura, en equilibrio sobre su base. ¿Cuál debe ser el radio mínimo de dicho cilindro para conseguirlo?

Resultado:

({J,

,!!..]

3R 2(4+v'3) 2

26. Hallar la posición del centro de gravedad de la superficie de la figura, supuesta homogénea . y (0,20) 1r-r7""7"7""7""7""7""'" (20, 20)

Resultado: R= 1,76 m

30. En un bidón de chapa de aluminio (densidad = 2 700 kg/m 3 ) de forma cilíndrica, de 1 m de altura y 0,5 m de diámetro de la base, colocado verticalmente y sin tapa superior, se desea echar agua hasta que su estabilidad sea máxima. ¿Hasta qué altura se debe llenar? El espesor de la chapa es de 2 mm . Resultado: h = 16,5 cm.

31. El cuerpo sólido homogéneo de la figura está constituido por una semiesfera de radio R y un cono cuya base tiene el mismo radio. Calcular el valor de la altura H del cono si se desea que el cuerpo esté en equilibrio.

Resultado: G (8,15; 9,64)

27. Halla r la posición del centro de gravedad de la chapa agujereada de la figura, sabiendo que su radio es R= 24 cm. y

(O,R,O) y

x Resultado: H=

Rf3

Resultado: G (-4 cm; O) 28. Una varilla homogénea de 56 cm de longitud se dobla en ángulo recto por un punto que la divide en dos partes de 32 cm y 24 cm. Situar su centro de gravedad . Esta varilla doblada se