DERIVADAS.
f −′ ( x1 ) = lim
1
1.- Definición de la derivada de una función. La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ′ 2, tal que su valor en un número
x
∆x → 0−
del
dominio de f está dado por f ′( x) = lim f ( x + ∆ x) − f ( x) si este límite existe. ∆x ∆x → 0
Una función que tiene una derivada se dice diferenciable. Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación. 1.1.- Notaciones para la derivada de una función. Otras dos notaciones para la derivada de una función f son: d [ f ( x)] y D x [ f ( x )] .
dx
La derivada de y con respecto a x en general se denota por uno de los tipos de notación siguientes:
dy. f ′(x) , y ′ , dx 2.- Definición de recta tangente a la gráfica de una función. Suponga que la función f es continua en x1 . La recta tangente a la gráfica de f en el punto P ( x1 , f ( x1 ) ) es: i.- la recta que pasa por P y tiene pendiente m ( x1 ) , dada por m ( x ) = lim 1
∆x → 0
f ( x 1 + ∆ x) − f ( x1) si ∆x
este límite existe. ii.- la recta x = x1 si lim
∆x → 0+
f ( x1 + ∆ x) − f ( x 1) es + ∞ ó − ∞ y ∆x
lim
∆x → 0−
f ( x1 + ∆ x) − f ( x1) es + ∞ ó − ∞ ∆x
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se denomina pendiente de la gráfica en el punto. La ecuación de la recta tangente a una curva y = f (x) en un punto dado ( x1 , f ( x1 ) ) se determina mediante la ecuación y − f ( x1 ) = f ′( x1 ) ( x − x1 ) , si f ′( x1 ) existe. 3.- Definición de recta normal a una gráfica. La recta normal a una gráfica en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. La ecuación de la recta normal a una curva y = f (x) en un punto dado ( x1 , f ( x1 ) ) se determina mediante la ecuación y − f ( x ) = − 1
1 ( x − x1 ) , si f ′( x1 ) existe y f ′( x1 ) ≠ 0 . f ′( x1 )
4.- Diferenciabilidad y continuidad. Si una función f es diferenciable en un número x1 , entonces f es continua en x1 . 4.1.- Definición de derivada lateral. i.- Si la función f está definida en x1 , entonces la derivada por la derecha de f en x1 , denotada por f +′ ( x1 ) , está definida por
f +′ ( x1 ) = lim
∆ x → 0+
f ( x 1 + ∆ x) − f ( x1) ⇔ ∆x
f +′ ( x1 ) = lim
x→ x +
f ( x) − f ( x1) x − x1
1
si existe el límite. ii.- Si la función f está definida en x1 , entonces la derivada por la izquierda de f en x1 , denotada por f −′ ( x1 ) , está definida por En el siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) y Sir Isaac Newton (1642 – 1727), trabajando de manera independiente, dieron a conocer casi simultáneamente la derivada. El concepto de límite, como se conoce actualmente, fue desconocido por Leibniz y Newton. El uso del símbolo f ′ para la derivada de la función f fue introducido por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) en el siglo XVIII. Esta notación destaca que la función
f ′ se deriva (o proviene) de la función f y su valor en x es f ′(x ) .
f ( x1 + ∆ x) − f ( x 1) ⇔ ∆x
f −′ ( x1 ) = lim
x→x −
f ( x) − f ( x 1) x − x1
1
si existe el límite. 5.- Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas. 5.1.- Regla de diferenciación de una constante. Si c es una constante y si f ( x) = c , entonces f ′( x) = 0 . La derivada de una constante es cero. 5.2.- Regla de diferenciación de potencias (para potencias con exponentes enteros positivos). Si n es un entero positivo y si f ( x ) = x n , entonces f ′( x ) = n x n−1 5.3.- Regla de diferenciación para la función identidad. si f ( x) = x , entonces f ′( x) = 1 5.4.- Regla de diferenciación de potencias (para exponentes racionales). Si f es la función potencia definida por f ( x ) = x r , donde r es cualquier número racional, entonces f es diferenciable y f ′( x ) = r x r −1 . Para obtener f ′(0 ) a partir de esta fórmula, r debe se un número tal que x r −1 esté definido en algún intervalo abierto que contenga a 0. 5.5.- Regla de diferenciación para el producto de una constante por una función. Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g ( x) = c f ( x) y si f ′(x) existe, entonces g ′( x) = c f ′( x) . La derivada de la multiplicación de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. 5.6.- Regla de diferenciación para la suma. Si f y g son funciones y si h es la función definida por h ( x) = f ( x) + g ( x) y si f ′(x) y g ′(x) existen, entonces h ′( x) = f ′( x) + g ′( x) . La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas derivadas existen. En general, la derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas derivadas existen. 5.7.- Regla de diferenciación para el producto. Si f y g son funciones y si h es la función definida por h ( x) = f ( x ) . g ( x) y si f ′(x) y g ′(x) existen, entonces h′( x) = f ′( x) . g ( x ) + f ( x) . g ′( x ) . La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda si estas derivadas existen 5.8.- Regla de diferenciación para el cociente. Si f y g son funciones y si h es la función definida por h ( x ) = f ( x ) , donde g ( x) ≠ 0 y si f ′(x)
g ( x)
′ ′ g ′(x) existen, entonces h′( x) = f ( x) . g ( x) − f 2( x) . g ( x) . [ g ( x)] La derivada del cociente de dos funciones es igual a la fracción que tiene como denominador el cuadrado del denominador original, y como su numerador tiene a la derivada del numerador por el denominador original menos el numerador por la derivada del denominador original si estas derivadas existen. 5.9.- Regla de la cadena. Si y es una función de u, definida por y = f (u ) y d y existe, y si u es una función de x, definida por
du d u existe, entonces y es una función de x y d y existe la cual está dada por u = g (x) y dx dx d y d y du . = . d x du d x
6.- Derivadas de orden superior. Si la función f es diferenciable, entonces su derivada f ′ se llama, en ocasiones, primera derivada de f o primera función derivada. Si la función f ′ es diferenciable, entonces la derivada de f ′ se denomina segunda derivada de f o segunda función derivada. La segunda derivada de f se denota por f ′ ′ (que se lee “f biprima”). De la misma manera, la tercera derivada de f o tercera función derivada, está definida como la derivada de f ′ ′ , suponiendo que la derivada de f ′ ′ existe. La tercera derivada de f se representa por f ′ ′′ (lo cual se lee como “f triprima”). La enésima derivada de la función f, donde n es un número entero mayor que 1, es la derivada de la n − 1 )-ésima derivada de f. La n-ésima derivada se denota por f (n ) . De modo que si f (n ) es la n-
9.- Derivada de la función logarítmica de base a.
ésima derivada, entonces se puede representar la función misma como f ( 0) . La primera y todas las derivadas de orden superior de y con respecto a x en general se denotan por uno de los tipos de notación siguientes: ….. f ′(x) f ′′( x) f ′′ ′(x) f (n ) ( x )
12.- Derivada de la función exponencial natural.
y′ dy dx
13.1.- d (senh x) = cosh x
y ′′
y ′ ′′
2
…..
3
d y d x2
y (n) n
d y d x3
…..
d y d xn
7.- Derivadas de las funciones trigonométricas. 7.1.- d (sen x) = cos x
dx 7.3.- d (cos x) = −sen x dx 7.5.- d (tan x) = sec2 x dx 7.7.- d (cot x) = − csc2 x dx 7.9.- d (sec x) = sec x tan x dx 7.11.- d (cscx) = − cscx cot x dx
7.2.- d ( sen u ) = cosu d u
dx dx d du 7.4.(cosu ) = −sen u dx dx 7.6.- d (tanu ) = sec2 u d u dx dx 7.8.- d (cotu ) = − csc2 u d u dx dx 7.10.- d (sec u ) = sec u tan u d u dx dx d du 7.12.(cscu) = − cscu cot u dx dx
d 1 1 1 [loga x] = (loga e) = dx x ln a x
10.- Derivada de la función logaritmo natural. 10.1.- d (ln x) = 1
dx
10.2.- d (ln u ) = 1 d u .
x
dx
11.1.- d (a x ) = a x ln a
11.2.- d ( a u ) = a u ln a d u
dx
dx
12.1.- d (e x ) = e x
dx
dx 13.3.- d (cosh x) = senh x dx 13.5.- d (tanh x) = sech2x dx 13.7.- d ( csch x ) = −csch x coth x dx 13.9.- d (sech x) = −sech x tanhx dx 13.11.- d (coth x) = −csch2 x dx
dx
14.3.- d (cosh−1 x ) =
x +1 1
14.9.- d (sech−1 x) =
8.9.- d (sec −1 x ) =
8.10.- d (sec −1 u ) =
8.3.- d (cos −1 x ) =
1− x2
dx
8.5.- d (tan−1 x) =
dx
8.11.- d (cot−1 x) =
dx
1 x
x −1
−1 1 + x2
2
1
2
dx
1 du dx 1 + u2 d x −1 du 8.8.- d (csc−1 u ) = 2 dx u u −1 d x dx
8.12.- d (cot−1 u ) =
dx
u
1 du u2 − 1 d x
−1 d u 1 + u2 d x
dx dx 13.4.- d (coshu ) = senhu d u dx dx d du 13.6.(tanhu ) = sech2u dx dx d du 13.8.(csch u ) = − csch u coth u dx dx d du 13.10.(sech u) = −sech u tanhu dx dx 13.12.- d (coth u ) = −csch2u d u dx dx
dx
dx
8.2.- d (sen−1u ) =
13.2.- d (senh u ) = cosh u d u
14.- Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. 1 14.1.- d (senh−1x ) = 14.2.- d (senh−1u ) = 2
8.6.- d (tan−1 u ) =
1− x −1
2
dx
13.- Derivadas de las funciones hiperbólicas.
1 dx 1 + x2 −1 8.7.- d (csc−1 x ) = dx x x 2 −1
1
dx
dx
12.2.- d ( e u ) = e u d u .
dx
du 1− u d x −1 d u 8.4.- d (cos−1 u ) = dx 1− u2 d x
8.1.- d (sen −1 x ) =
u dx
11.- Derivada de la función exponencial de base a.
x2 − 1 14.5.- d (tanh−1 x) = 1 dx 1 − x2 −1 14.7.- d ( csch−1x ) = dx x 1 + x2
8.- Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
d 1 du u′ 1 u′ [log a u ] = (log a e) = (loga e) = dx u dx u ln a u
−1
x 1− x d 1 14.11.(coth−1 x) = dx 1 − x2 dx
Autor:
2
14.4.- d (cosh−1 u ) =
dx
1
du u +1 d x 2
1
du
u2 − 1 d x
14.6.- d (tanh− 1 u ) =
1 du dx 1−u2 d x −1 du 14.8.- d (csch−1u ) = dx u 1 + u2 d x 14.10.- d (sech−1u ) =
dx
−1
du 1−u d x 2
u d 1 du 14.12.(coth− 1 u ) = dx 1−u2 d x
Ing. Willians Medina.