8.- Operaciones aritméticas.
MATEMÁTICAS BÁSICAS. 1.- Factores y ceros de polinomios. Consideremos el polinomio P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + K + a1x + a0 . Si P (b) = 0 entonces se dice que b es un cero del polinomio y una raíz de la ecuación P ( x) = 0 . La expresión ( x − b ) es un factor del polinomio. 2.- Teorema de las raíces racionales. Si P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + K + a1x + a0 tiene coeficientes enteros, entonces toda raíz racional de
r P ( x) = 0 es de la forma x = , siendo r un factor de a 0 y s un factor de a n . s 3.- Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos ellos pueden ser imaginarios como en el caso de P ( x ) = x 2 + 1 , los polinomios reales de grado impar deben tener un cero real al menos. 4.- Ecuación de segundo grado.
−b± P ( x) = a x 2 + b x + c . Si b 2 − 4 a c ≥ 0 , los ceros reales de P (x) son x =
b2 − 4a c 2a
5.- Teorema del binomio (Productos notables). 5.1.- ( x + a ) 2 = x 2 + 2 a x + a 2 5.2.- ( x − a ) 2 = x 2 − 2 a x + a 2 5.3.- ( x + a ) 3 = x 3 + 3 x 2 a + 3 x a 2 + a 3 5.4.- ( x − a )3 = x 3 − 3 x 2 a + 3 x a 2 − a 3 5.5.- ( x + a ) 4 = x 4 + 4 x 3 a + 6 x 2 a 2 + 4 x a 3 + a 4 5.6.- ( x − a ) 4 = x 4 − 4 x 3a + 6 x 2a 2 − 4 x a 3 + a 4
8.2.- a + b = a + b
8.4.- a c = a c
8.5.- a c = a c
d
d
a
8.7.- b a d =
c
c
c
b d bd a a 8.8.- b b a = = c c bc 1
8.3.- a + c = a d + b c
b d bd 8.6.- a − b = b − a c−d d −c 8.9.-
c bc d 8.10.- a b + a c = a/ ( b + c) = b + c a a/
a a 1 a c = = b b b c c
9.- Exponentes. 9.1.- a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) x 9.4.- a = a x − y ay x x 9.7.- a = a bx b
9.2.- a − x = 1 x
9.3.- a x a y = a x + y
9.5.- (a ) = a x y
9.6.- (a b ) x = a xb x
a
x y
10.- Radicales. 1
10.1.10.4.-
5.7.- ( x + a ) n = x n + n x n−1a + n (n − 1) x n−2 a 2 + K + n a n−1 + a n
2! n ( n − 1) n− 2 2 5.8.- ( x − a ) n = xn − n xn −1a + x a − K ± n a n−1 m a n 2! 5.9.- ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c 5.10.- ( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 (b + c ) + 3 b 2 (a + c ) + 3 c 2 (a + b ) + 6 a b c 6.- Algunas factorizaciones. 6.1.- x 2 − a 2 = ( x − a ) ( x + a ) 6.2.- x 3 − a 3 = ( x − a ) ( x 2 + a x + a 2 ) 6.3.- x 3 + a 3 = ( x + a ) ( x 2 − a x + a 2 ) 6.4.- x 4 − a 4 = ( x − a ) ( x + a ) ( x 2 + a 2 ) 6.5.- x 4 + a 4 = ( x 2 + 2 a x + a 2 ) ( x 2 −
8.1.- a b + a c = a (b + c)
2ax+ a ) 2
6.6.- x n − a n = ( x − a ) ( x n −1 + a x n− 2 + a n −1 ) 6.7. x n + a n = ( x + a ) ( x n −1 − a x n − 2 + a n −1 ) (n impar). 6.8.- x 2 n − a 2 n = ( x n − a n ) ( x n + a n ) 7.- Factorización por agrupamiento.
a c x 3 + a d x 2 + b c x + b d = a x 2 ( c x + d ) + b ( c x + d ) = ( c x + d ) (a x 2 + b )
n
m
1
a = a2
10.2.-
n
a = an
ab = n a n b
10.5.-
n
a = b
n n
10.3.-
n
am = a n
a b
11.- Desigualdades. Definiciones Dados a, b ∈ R 11.1.- a > 0 si y sólo si a es positivo. 11.2.- a < 0 si y sólo si a es negativo. 11.3.- a < b si y sólo si b − a es positivo. 11.4.- a > b si y sólo si a − b es positivo. 11.5.- a ≤ b si y sólo si b − a es positivo ó a = b . 11.6.- a ≥ b si y sólo si a − b es positivo ó a = b . Propiedades. Dados a, b, c, d ∈ R 11.7.- Si a > 0 y b > 0 , entonces a + b > 0 11.8.- Si a > 0 y b > 0 , entonces a b > 0 11.9.- Si a < b y b < c , entonces a < c 11.10.- Si a < b , entonces a + c < b + c 11.11.- Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d 11.12.- Si a < b y c > 0 , entonces a c < b c 11.13.- Si a < b y c < 0 , entonces a c > b c 11.14.- Si a < x < b , entonces x > a y x < b x está entre a y b sin incluir los extremos. 11.15.- Si a ≤ x ≤ b , entonces x ≥ a y x ≤ b x está entre a y b incluyendo los extremos. 12.- Intervalos. Para cada uno de los intervalos ( a , b ) , [ a , b ] , ( a , b ] y [ a , b ) , los números a y b se denominan extremos del intervalo.
12.1.- Intervalo abierto: ( a , b ) = { x / a < x < b } 12.2.- Intervalo cerrado: [ a , b ] = { x / a ≤ x ≤ b } 12.3.- Intervalo semiabierto por la izquierda: ( a , b ] = { x / a < x ≤ b } 12.4.- Intervalo semiabierto por la derecha: [ a , b ) = { x / a ≤ x < b } 12.5.- ( a , + ∞ ) = { x / x > a } 12.6.- [ a , + ∞ ) = { x / x ≥ a } 12.7.- ( − ∞ , b ) = { x / x < b } 12.8.- ( − ∞ , b ] = { x / x ≤ b } 12.9.- ( − ∞ , + ∞ ) = ℜ Operaciones con intervalos. Si [ a , b ] ⊂ [ c , d ] , entonces: 12.10.- [ a , b ] ∪ [ c , d ] = [ c , d ] 12.11.- [ a , b ] ∩ [ c , d ] = [ a , b ] 12.12.- Al intersectar el intervalo [ a , b ] con ( − ∞ , + ∞ ) , el resultado es el intervalo [ a , b ] . 12.13.- Si [ a , b ] y [ c , d ] son excluyentes: [ a , b ] ∩ [ c , d ] = φ (El conjunto vacio). 13.- Definición de valor absoluto. Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x es x si x es no negativo, y –
x , si x es negativo. Con símbolos se escribe x =
Si − x Si
Propiedades. 13.1.- x < a
ab = a
x >a b
13.5.- a + b ≤ a + b
ó
x < −a , donde a > 0 13.4.- a = a si
b
13.6.-
15.2.- ( x − a ) 2 ≠ x 2 − a 2 15.3.15.4.15.5.15.6.-
(x − a)2 = x 2 a a = x+b x+ b a +b x a = + a a a +b x a = + a a
a a a ≠ + x+b x b a/ + b x ≠ bx a/ a/ + b x ≠1+b x a/ ( x 2 ) 3 ≠ x5
15.7.-
x +a
15.8.15.9.15.10.-
b≠0
x +
x + a ≠ x +a
x +a =
x +a
2
x+a ≠ x+a
x+a =
a
2
2
− x 2 + a2 ≠ −
x2 − a 2
m /n
x 15.15.- a ≠ b x b a
a−b ≤ a + b
15.17.15.18.15.19.15.20.15.21.15.22.-
En un triángulo rectángulo, si a y b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a 2 + b 2 = c2 . “El cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma del cuadrado de los dos lados más pequeños (catetos)”.
x ax ≠ a b b k ≠0 0 sen a a ≠ sen b b log ( a + b ) = log a + log b log ( a − b ) = log a − log b log ( a. b ) = log a . log b log ( a / b ) = log a / log b
2
2
2
15.11.- a ( b) ≠ (a b) n 15.12.- a (b + c ) ≠ ( a b + a c ) n
15.16.-
2
2
2
m/n
2
2
x+a
− x 2 + a2 =
Hacer a = b = x = 1 Hacer a = b = x = 1 Hacer x = 2
x +a
2
b
13.7.- a − b ≤ a − b 14.- Teorema de Pitágoras.
bx bx = 1+ a a bx bx = 1+ a a
x +a =
2
2
Hacer x = 2, a = 1 Hacer a = b = x = 1
2
2
≠
− 2 a x + a2
( x 2 ) 3 = x 2 x2 x 2 = x 6
15.13.- a ( b + c ) m / n ≠ ( a b + a c ) m / n 15.14.- a − b ( x − 1) ≠ a − b x − b
− a < x < a , donde a > 0
⇔
13.2.- x > a ⇔ Dados a, b ∈ R 13.3.-
x ≥0 x <0
Los puntos A, B y C en la figura forman un triángulo rectángulo si se cumple d A2− B = d A2− C + d B2 −C . 15.- Errores a evitar. Error. Forma correcta. Ejemplo. 15.1.- ( x + a ) 2 ≠ x 2 + a 2 Hacer a = x = 1 (x + a)2 = x 2 + 2 a x + a2
2
Hacer x = 3 y a = 4 Hacer x = 3 y a = 4 Hacer x = 9 y a = 4
− (x 2 − a 2 )
a (b ) = (a b ) m / n a ( b + c ) n = (a 1 / nb + a 1 / nc) n a (b + c) m / n = ( a n / m b + a n / m c ) m / n a − b ( x − 1) = a − b x + b m /n
n/ m
x x a = a = x b b ab 1 x x bx 1 = = a a a b b k = No existe 0 sen a sen a = sen b sen b log ( a + b ) = log (a + b ) log ( a − b ) = log ( a − b) log ( a. b) = log a + log b log ( a / b ) = log a − log b
15.23.- logn a = n log a
log n a = (log a ) n
Autor:
Ing. Willians Medina.
2 2 3 = 3 = 2 5 5 15 1 2 2 10 1 = = 3 3 3 5 5