FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES. 1.- Funciones algebraicas. Funciones en cuya ecuación funcional intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes, potencia y raíces de polinomios. Ejemplos: Polinomios, funciones racionales, funciones con radicales. 2.- Funciones transcendentes. Funciones cuya ley de asociación no se puede representar mediante términos racionales o algebraicos. Ejemplos: Exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas. 3.- Definición de función logarítmica de base a ( loga x ). Si a > 0 y a ≠ 1 , entonces loga x = b si y sólo si a b = x . loga x = b se lee <<el logaritmo en base a del número x es b>>). 4.- Definición del logaritmo natural. La función logaritmo cuya base es e (el exponencial) se llama función logaritmo natural y se denota por loge x = ln x . 5.- Definición de e (El exponencial). 1
10.- Definición de función exponencial de base a. Si a > 0 y a ≠ 1 , entonces nos referimos a y = a x como la función exponencial de base a. 11.- Propiedades de los exponentes. 11.1.- a 0 = 1 11.5.- (a ) = a x y
11.3.- a x . a y = a x + y
11.2.- a 1 = a xy
11.6.- (a.b ) = a . b x
x
x 11.4.- a = a x − y y
a
x
x 11.7.- a = a bx b
x
12.- Relación entre funciones exponenciales (Cambio de base). a x = ex ln a para todo a > 0. 13.- Características de las funciones exponenciales a − x y a x . Gráfica de y = a x Gráfica de y = a − x
(Con doce dígitos significativos, e = 2.71828182846).
e = lim (1 + x) x x →0
6.- Características de las funciones logarítmicas y = log a x . Dominio: ( -∝ , ∝ ) Intersección: ( 0 , 1 ) lim a = ∞ x
x → +∞
Dominio: ( 0 , ∝ ) Siempre creciente.
Recorrido: (– ∝ , ∝ )
Intersección: ( 1 , 0 ) (Asíntota vertical). lim log x = −∞
lim log a x = ∞
x → +∞
Continua. 7.- Propiedades de los logaritmos. 7.1.- log a1 = 0 7.4.- log x = log x − log y a a a y
x →0
a
7.2.- log aa = 1
7.3.- log a ( x. y) = log a x + log a y
7.5.- log a ( x n ) = n log a x
7.6.- log a n x = 1 log a x
7.7.- log a x = ln x (Cambio de base). 7.8.- log x = log b x a
ln a
log b a
n
7.9.- log b = a
1 log b a
(Idénticas propiedades son válidas si log a x es sustituido por log e x = ln x ). 8.- Derivadas de funciones logarítmicas. 8.1.- d [ln x] = 1 dx x
8.2.- d [log x] = (log e) 1 = 1 1 a a dx x ln a x
8.3.- d [ln u ] = 1 d u = u ′ dx u dx u
8.4.- d [log u ] = (log e ) 1 d u = (log e ) u ′ = 1 u ′ a a a dx u dx u ln a u
9.- Regla del logaritmo en integración. Para toda función diferenciable u :
u′
1
∫ u d x = ln u + C . En particular, ∫ x d x = ln x + C
Recorrido: ( 0 , ∝ ) Siempre creciente. x (Asínt. horizontal). a = 0 lim
Dominio: (-∝,∝) Recorrido: ( 0 , ∝ ) Intersección: ( 0 , 1 )Siempre decreciente. −x (Asínt. horizontal); lim a − x = ∞ lim a = 0
x→+∞ ; x → −∞ Reflexión de y = a − x en el eje y. Reflexión de y = a x en el eje y. Continua. Continua. 14.- Propiedades inversas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Si a > 0 y a ≠ 1 , entonces: 14.1.- log a (a u ) = u 14.2.- a loga u = u .
14.3.- ln (eu ) = u 14.4.- eln u = u . 15.- Propiedades inversas y cambio de base. 15.1.- log b (a u ) = (logb a) u 15.2.- a logb u = u logb a . 16.- Derivadas de funciones exponenciales. 16.1.- d [e x ] = e x
dx
16.2.- d [ a x ] = (ln a ) a x
dx
Si u es una función diferenciable de x, entonces: 16.3.- d [e u ] = eu u ′
dx
16.4.- d [ a u ] = (ln a ) a u u ′
dx
17.- Integrales de funciones exponenciales. 17.1.-
∫e
x
d x = ex + C
17.2.-
∫a
17.3.-
∫e
u
u ′ d x = eu + C
17.4.-
∫a
Autor:
x
u
1 x dx= a + C ln a 1 u u′d x = a + C ln a
Ing. Willians Medina.
x → −∞
15.3.- a ln u = u ln a