11.- Suma y diferencia de funciones hiperbólicas.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS. 1.- Definición de las funciones hiperbólicas. −x
e −e 2 2 csch x = x e − e− x
senh x =
x
e −e e −1 = 2x x −x e +e e +1 e x + e −x e 2 x + 1 coth x = x = e − e −x e 2 x − 1
−x
e +e 2 2 sech x = x e + e −x cosh x =
x
tanh x =
−x
x
2x
2.- Funciones recíprocas. csch x =
1 senh x
sech x =
1 cosh x
coth x =
1 tanh x
x+y x− y x−y x+ y senhx + senh y = 2 senh cosh senhx − senh y = 2 senh cosh 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y cosh x + cosh y = 2 cosh cosh cosh x − cosh y = 2 senh senh 2 2 2 2 12.- Producto. senh x senh y = 12 [ cosh( x + y) − cosh( x − y) ] senh x cosh y = 12 [senh( x + y) − senh( x − y) ]
cosh x cosh y = 12 [cosh( x + y) + cosh( x − y)]
13.- Gráficos de las funciones hiperbólicas.
3.- Identidades hiperbólicas fundamentales. senh xcsch x = 1 tanh x =
senh x cosh x
tanh x coth x = 1
cosh xsech x = 1 coth x =
cosh x senh x
4.- Identidades pitagóricas. cosh2 x − senh2 x = 1 5.- Otras identidades.
tanh2 x + sech2 x = 1
coth2 x − csch 2 x = 1
coshx + senhx = ex coshx − senhx = e− x 6.- Suma y diferencia de dos ángulos. senh ( x ± y ) = senh x cosh y ± cosh x senh y
y = senh x
y = cosh x
y = tanh x
y = csch x
y = sech x
y = coth x
cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± senh x senh y
7.- Angulo doble. senh 2 x = 2 senh x cosh x
cosh2 x = 2 cosh2 x − 1
cosh 2x = cosh 2 x + senh 2 x cosh2 x = 2 senh2 x + 1 2 tanh x tanh 2 x = 1 + tanh 2 x
8.- Angulo triple. senh 3 x = 4 senh 3 x + 3 senh x 3 tanh x + tanh 3 x tanh 3 x = 1 + 3 tanh 2 x
cosh 3 x = 4 cosh 3 x − 3 cosh x
14.- Equivalencia entre las funciones hiperbólicas.
9.- Angulo mitad. x senh = 2
cosh x −1 2
cosh x + 1 x coth = cosh x − 1 2 senh x x tanh = 2 cosh x + 1
x cosh = 2
cosh x + 1 2
x cosh x − 1 tanh = senh x 2 x cosh x + 1 coth = senh x 2
2 1 x coth = coth x + csch x senh x = 2 (cosh 2x − 1) 2
x tanh = 2
cosh x − 1 cosh x + 1
senh x x coth = 2 cosh x − 1 x tanh = coth x − csch x 2 cosh x = (cosh 2 x + 1) 2
1 2
csch (− x) = − csch x tanh (− x) = − tanh x
senh x
senh x
1
cosh (− x) = cosh x coth (− x ) = − coth x
cosh x
cosh2 x − 1
tanh x
1 − tanh x
tanh x
csch x
1 csch x
1 − sech 2 x sech x
coth x − 1 2
csch x
senh x 1 + senh x 2
cosh x − 1 cosh x 2
1 1
2
1 coth x
tanh x
1 + senh2 x
cosh x
sech x
10.- Fórmulas de reducción. senh (− x) = − senh x sech (− x) = sech x
Hallar ? Dado ?
1 − tanh x 2
1 + csch 2x
1
1 sech x
1 − sech 2x
2
2
1 coth x
2
1 cosh x − 1 2
1 cosh x
cosh x − 1 2
1− tanh2 x
csch x
1
1 + csch x 2
sech x 1 − sech x 2
coth2 x − 1
1 − senh x senh x cosh x 2
1 + senh x
2
csch x
coth x
coth x
1
1 senh x
1 − tanh x tanh x
1 1 + csch x
coth x − 1
sech x
1 coth x − 1 coth x
1 tanh x
1 + csch 2 x
1 1 − sech x 2
2
1
15.- Derivadas de las funciones hiperbólicas. d dx d dx
(senh u ) = cosh u
du dx
(csch u ) = −csch u coth u
du dx
d du (cosh u ) = senh u dx dx
dx
d du (sech u) = − sech u tanh u dx dx
dx
d
d
(tanh u ) = sech u 2
y = senh −1 x
y = cosh −1 x
y = tanh −1 x
y = csch −1 x
y = sech −1 x
y = coth −1 x
du dx
(coth u) = −csch u 2
du dx
16.- Integrales de las funciones hiperbólicas.
∫ senh u d u = cosh u + C ∫ csch u d u = ln [tanh ( u )] + C ∫ sech u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = −csch u + C
∫ cosh u d u = senh u + C ∫ sech u d u = tan ( senh u ) + C ∫ csch u d u = −coth u + C −1
1 2
2
2
17.- Definición de las funciones hiperbólicas inversas. Definición Domino
∫ tanh u d u = − ln (sech u) + C ∫ coth u d u = ln( senh u ) + C ∫ sech u tanh u d u = −sech u + C
19.- Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. Rango
Seno hiperbólico inverso
senh x = ln ( x +
x +1 ) R
R
Coseno hiperbólico inverso
cosh −1 x = ln ( x +
x 2 − 1) [ 1 , ∝ )
[0,∝)
−1
2
1+ x 1− x 1+ x −1 1 tanh x = 2 ln 1− x
Tangente hiperbólica inversa tanh −1 x = ln
( -1 , 1 )
d (senh− 1u ) = dx
1
du u +1 d x
d (cosh −1 u ) = dx
2
d −1 du (csch− 1u ) = dx u 1+ u2 d x
1
du u −1 d x
d 1 du (tanh− 1 u ) = dx 1 − u2 d x
2
d −1 du (sech− 1u ) = dx u 1 − u2 d x
d 1 du (coth− 1 u ) = dx 1 − u2 d x
R
2 Cosecante hiperbólica inversa csch −1 x = ln 1 + 1 + x ( -∝ , 0 ) ∪ (0 , ∝ ) ( -∝ , 0 ) ∪ (0 , ∝ ) 2 x x 1 + 1 + x 2 csch −1 x = ln x 2 Secante hiperbólica inversa sech −1 x = ln 1 + 1 − x ( 0 , 1 ] [0,∝) 2 x x 2 1 + 1 − x sech −1 x = ln x Cotangente hiperbólica inversa coth−1 x = ln x +1 ( -∝ , -1 ) ∪ ( 1 , ∝ ) ( -∝ , 0 ) ∪ ( 0 , ∝ ) x −1 x + 1 coth−1 x = 12 ln x − 1
20.- Integrales de las funciones hiperbólicas inversas.
∫ senh
−1
x d x = x senh −1 x −
1 + x2 + c
∫ cosh
−1
x d x = x cosh −1 x −
x2 − 1 + c
21.- Integrales cuyas primitivas son funciones hiperbólicas inversas. du
∫
u 2 + a2
∫
u 2 − a2
∫a ∫u
du
du
= ln (u +
u 2 + a2 ) + C
∫
u2 + a2
= ln (u +
u2 − a2 ) + C
∫
u2 − a2
du
du 1 a +u = ln +C − u2 2a a − u
∫a
2
du 1 a −u = ln +C − a 2 2a a + u
∫a
2
2
2
∫u
du
1 = − ln a a +u
∫u
du
2
2
1 = − ln 2 2 a a −u
a +
a 2 + u 2 +C u
∫u
a +
a 2 − u 2 +C u
∫u
u +C a
= cosh −1
u +C a
du 1 u = tanh −1 + C − u2 a a du 1 u = coth− 1 + C − u2 a a du a 2 + u2 du
1 u = − csch −1 + C a a
1 u = − sech− 1 + C a a a −u
18.- Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Autor:
= senh−1
Ing. Willians Medina.
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