FUNCIONES TRIGONOMÉ TRICAS. 1.- Identidades Trigonométricas. senθ =
Catetoopuesto Hipotenusa
cosθ =
Catetoadyacente Hipotenusa
tan θ =
Catetoopuesto Catetoadyacente
cotθ =
1 Cateto adyacente = tanθ Catetoopuesto
2.- Funciones recíprocas. csc θ =
1 Hipotenusa 1 Hipotenusa = secθ = = senθ Catetoopuesto cosθ Catetoadyacente
3.- Identidades trigonométricas fundamentales. senθ cscθ = 1
cosθ sec θ = 1
tan θ cot θ = 1
y = sen x
y = cos x
y = tan x
y = csc x
y = sec x
y = cot x
cos θ cot θ = sen θ
senθ tan θ = cosθ
4.- Identidades pitagóricas. sen 2 θ + cos 2 θ = 1
tan2 θ + 1 = sec2 θ
5.- Suma y diferencia de dos ángulos. cos (θ ± φ ) = cosθ cosφ m senθ senφ
Acosθ + B sen θ =
cot 2 θ + 1 = csc 2 θ sen (θ ± φ ) = sen θ cosφ ± cosθ senφ
tan (θ ± φ ) =
A2 + B2 sen (θ + φ )
tanθ ± tan φ 1 m tanθ tan φ
A cosθ + B sen θ =
φ = tan −1 ( A / B)
cot (θ ± φ ) =
A2 + B2 cos(θ + φ)
−1 , φ = tan (− B / A)
cos2 θ = 12 (1 + cos 2θ )
6.- Angulo doble.
sen 2 θ = 2 sen θ cosθ
cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1
cos 2θ = 1 − 2 sen 2 θ
sen2 θ = 12 (1 − cos 2θ )
cos2θ = cos2 θ − sen 2θ
cos 2θ = (cosθ + senθ ) (cosθ − senθ )
tan 2θ =
7.- Angulo triple. sen 3 θ = 3 senθ − 4 sen3 θ θ sen = 2
8.- Angulo mitad. θ cot = 2
cotθ cotφ m1 cot φ ± cotθ
1 + cosθ 1 − cosθ
cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ
1 − cosθ 2
θ cos = 2
tan 3θ =
1 + cosθ 2
3 tanθ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ
θ 1 − cosθ tan = 2 1 + cosθ
senθ θ cot = 2 1 − cosθ
θ 1 − cosθ tan = senθ 2
θ 1 + cosθ cot = sen θ 2
2 tanθ 1 − tan 2 θ
θ senθ tan = 2 1 + cosθ
θ cot = csc θ + cotθ 2
θ tan = cscθ − cotθ 2
13.- Dominio y rango de las funciones trigonométricas, para que la función inversa exista. Función. Domino Rango 1 1 [–1,1] y = sen x [ − π , π ] 2 2 Seno [–1,1] y = cos x [0, π ] Coseno 1 1 R y = tan x (− 2 π , 2 π ) Tangente Cosecante
y = csc x
[− 12 π , 0 ) ∪ (0 , 12 π ]
( -∝ , – 1 ] ∪ [1 , ∝ )
Secante
y = sec x
[ 0 , 12 π ) ∪ ( 12 π , π ]
( -∝ , – 1 ] ∪ [1 , ∝ )
R y = cot x ( 0 ,π ) Cotangente 14.- Ley de los senos y de los cosenos. En estas fórmulas a , b y c representan las medidas de los lados de un triángulo; α , β y γ denotan las medidas de los ángulos opuestos a los lados de medidas a , b y c respectivamente. 15.- Ley de los senos. sen α sen β sen γ = = a b c
a b c = = senα sen β senγ
16.- Ley de los cosenos. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cosα
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β
9.- Fórmulas de reducción. sen ( −θ ) = − sen θ
csc ( −θ ) = − csc θ
cos ( −θ ) = cosθ
sec ( −θ ) = sec θ
tan (−θ ) = − tanθ
cot ( −θ ) = − cotθ
sen ( 12 π ± θ ) = cosθ
17.- Límites trigonométricos.
sen (π −θ ) = senθ
cos ( 12 π ±θ ) = m senθ
cos (π − θ ) = − cosθ
tan ( π ± θ ) = m cot θ
sen x =1 x x→ 0
tan (π − θ ) = − tan θ
tan ( 14 π ± 12 θ ) = secθ ± tgθ
tan ( 14 π ± 12 θ ) = cot ( 14 π m 12 θ )
tan ( 14 π + θ ) =
1 + tan θ 1 − tan θ
1 2
1 ± sen θ cos θ 1 − cotθ 1 tan ( 4 π − θ ) = 1 + cotθ tan ( 14 π ± 12 θ ) =
10.- Suma y diferencia de funciones trigonométricas.
11.- Producto.
sen (k x) =1 kx x→ 0 lim
lim
lim
x→0
senn ( k x) ( k x) n
=1
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cosγ
lim
x→0
1 − cos x =0 x
18.- Signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes. Son positivas: Primer cuadrante: Todas. S egundo cuadrante: El S eno y su recíproco. Tercer cuadrante: La Tangente y su recíproca. Cuarto cuadrante: El Coseno y su recíproca. Obsérvese la “regla” de la inicial del nombre del cuadrante con la inicial del nombre de la función positiva en dicho cuadrante. 19.- Valores notables de las funciones trigonométricas. Para n∈ Z : El seno de un múltiplo de pi es cero. sen (n π ) = 0
θ +φ θ −φ senθ + sen φ = 2 sen cos 2 2
θ +φ θ −φ senθ − senφ = 2 cos sen 2 2
θ +φ θ −φ cosθ + cosφ = 2 cos cos 2 2
θ +φ θ −φ cosθ − cosφ = −2 sen sen 2 2
sen [(4 n + 1) π2 ] = 1
cosθ cosφ = 12 [ cos (θ − φ ) + cos (θ + φ ) ]
cos[( 2 n + 1) ] = 0
El coseno de un múltiplo impar de pi medio es cero.
senθ senφ = 12 [ cos (θ − φ ) − cos (θ + φ ) ]
cos(2 n π ) = 1
El coseno de un múltiplo par de pi es 1. El coseno de un múltiplo impar de pi es –1.
senθ cosφ = 12 [ sen (θ − φ ) + sen (θ + φ ) ]
π 2
cos[(2 n + 1)π ] = −1
sen [( 4 n + 3) π2 ] = −1 El seno de un múltiplo impar de pi medio es 1 o –1.
θ (rad)
θ (º)
senθ
cosθ
tan θ
cscθ
sec θ
cot θ
0
0°
0
1
0
∞
1
∞
1 6 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 5 6
π
30°
π
45°
π π π
π π π
7 6 4 3 3 2 5 3 11 6
π π π
π π 2π
1/2 1/
3/ 2
2
60°
3/ 2
90°
1
120º
1/
1/
1/2
3
0
∞ −
−1/
2
150º
1/2
− 3 /2
180°
0
–1
210º
– 1/2
− 3 /2
240º
− 3 /2
– 1/2
270°
–1
0
300º
− 3 /2
1/2
330º
– 1/2
360°
0
3
∞
0 1/
−2/
3
∞
−1/
3/ 2
1
3
−2/
–2
3
1/
−1/ 3
1
senθ
senθ
1
cosθ
tan θ cscθ sec θ cot θ
cosθ 1 − sen 2θ
1
tanθ
1
2
tan θ + 1
1 cscθ
csc2 θ − 1
2
cscθ 1 sec θ cotθ
sec θ − 1 2
sec θ 1
cot θ + 1 2
sen θ 1− sen 2θ
1 − cos θ 2
1 − cos2 θ
tan θ + 1
tan θ
cot2 θ + 1
cscθ
sec θ
1 sen θ 1
1− sen 2θ
1 − cos2 θ
cosθ
tan 2 θ + 1
1
tan θ
1
1
csc2 θ − 1 sec2 θ − 1 1 cot θ
sec θ sec θ − 1 2
cot2 θ + 1
1
1 cos θ
tan2 θ + 1
cscθ csc θ − 1 2
1 cot2 θ + 1 cotθ
22.- Derivadas de las funciones trigonométricas. d du (sen u ) = cos u dx dx d du 2 (cot u ) = − csc u dx dx
d du (cos u) = −sen u dx dx d du (sec u ) = sec u tan u dx dx
d du (tan u) = sec 2 u dx dx d du (csc u ) = − csc u cot u dx dx
23.- Integrales de las funciones trigonométricas.
∫ cos u d u = sen u + C ∫ sec u d u = ln sec u + tan u ∫ sec u tan u d u = sec u + C
+C
∫ tan u d u = − ln cos u + C ∫ csc u d u = ln csc u − cot u ∫ csc u d u = − cot u + C 2
+C
∫ sen u d u = − cos u + C ∫ cot u d u = ln sen u + C ∫ sec u d u = tan u + C ∫ csc u cot u d u = − csc u + C 2
( -∝ , -1 ] ∪ [1 , ∝ ) [− 12 π , 0 ) ∪ ( 0 , 12 π ] ( -∝ , -1 ] ∪ [1 , ∝ ) [ 0 , 12 π ) ∪ ( 12 π , π ]
si y sólo si sec y = x si y sólo si cot y = x ( -∝ , ∝ ) y = cot x 25.- Gráficos de las funciones trigonométricas inversas.
( 0 ,π )
3
y = sen − 1 x
y = cos−1 x
y = tan −1 x
y = csc −1 x
y = sec − 1 x
y = cot− 1 x
3
− 3
∞
21.- Equivalencia entre las funciones trigonométricas. Hallar ? Dado ?
( − 12 π , 12 π )
3
2
∞
0
( -∝ , ∝ )
−1
3
3
0
2/
si y sólo si tan y = x si y sólo si csc y = x
[0, π ]
− 3
∞ 3
Rango [ − 12 π , 12 π ]
∞
–2
–1 3
3
−2/
Domino [ -1 , 1 ] [ -1 , 1 ]
–1
–1
–2
3
−
−2/
Definición si y sólo si sen y = x si y sólo si cos y = x
y = sec − 1 x
3
−1/
− 2
2
3
y = csc −1 x
0
–2
2
−1/
1/
∞ 3
y = tan x
3
1
2
3
2/
3
2
1
–1
2
2/
2 2/
y = cos−1 x −1
2
3
1
2
– 1/2
3/ 2
135º
1/
y = sen − 1 x
cot θ
26.- Identidades trigonométricas inversas.
1 − sen 2θ
sen−1θ =
sen θ cosθ
1 − cos2 θ 1 tanθ
csc2 θ − 1
1 sec θ − 1 2
1
tan−1θ =
θ π − cos−1 θ = tan −1 1 −θ 2 2
π − cot−1θ = sen−1 2
1 csc−1 θ = sen−1 θ
θ
cos−1 θ =
π − sen −1θ = cot−1 2
θ 1 −θ 2
1+ θ 2 1 sec−1 θ = cos−1 θ
1 cot −1θ = tan −1 θ
27.- Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. d (sen −1u ) = dx
1 du 2 1− u d x
d −1 du (csc−1 u) = 2 dx u u −1 d x
d (cos −1 u ) = dx d (sec −1 u) = dx u
−1 d u 2 1− u d x 1 du 2 u −1 d x
d 1 du (tan −1 u) = dx 1+ u2 d x d −1 d u (cot −1 u ) = dx 1+ u2 d x
28.- Integrales cuyas primitivas son funciones trigonométricas inversas.
∫
du a2 − u2
= sen −1
u +C a
∫a
du 1 u = tan −1 + C + u2 a a
2
∫u
du u2 − a2
Autor: Ing. Willians Medina.
=
1 u sec − 1 + C a a