Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka . Tilastot ja todennäköisyys II Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagans layout: Juho Niemelä Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Bilder: Shutterstock: 12 (Lucia CG), 15 (Wetzkaz Graphics), 17 (Magdalena Kusova), 23 (SIAATH), 27 (Jeanette Dietl), 30 (Harry Colllins Photography), 48 (Bohbeh), 63 (Kryvenok Anastasiia), 71 (Everyone photo studio), 75 (ubmark), 85 (Ayman alakhras), 89 (Yasonya), 90–91 (Elvis Antson), 112 (pajtica), 127 (a_v_d), 129 (Hekla), 130 (Chursina Viktoriia), 136 (Robert Schneider), 145 (Tsekhmister), 149 (Grigorita Ko), 159 (Elisabeth A. Cummings), 167 (homydesign), 176 (Toomas Lehtinen), 181 (Madlen), 182 (djomas), 185 (3DMI), 225 (nednapa), 231 (New Africa) Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. Första upplagan, 2020 © Katariina Hemmo, Anna Kairema och Sanoma Pro Oy © 2020 Niklas Palmberg, Jan-Anders Salenius ISBN: 978-951-52-4750-6
Innehåll 1 Diskret sannolikhetsfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Repetition av räkneregler för sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Upprepat försök och binomialsannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Binomialfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Kontinuerlig statistisk fördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Frekvensfördelning för en kontinuerlig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Medelvärde och standardavvikelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beskrivning och jämförelse av olika fördelningar . . . . . . . . . . . . . . .
50 51 76 92
3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1 Beskrivning av en kontinuerlig fördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.2 Normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3 Tillämpningar med normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4 Statistisk slutledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.1 Stickprovsmedelvärde och konfidensintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.2 Relativa andelens felmarginal och konfidensintervall . . . . . . . . . . . . . 186 5 Tilläggsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.1 Korstabulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.2 Att rita diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3 Samplingsfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.4 Felmarginal och samplets storlek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6 Repetition: Statistik och sannolikhet II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.1 Centrala begrepp i kursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Till dig som använder boken Mål Lärobokens viktiga roll är att hjälpa dig som studerande till positiva inlärningsfärdigheter. Målet är att du lär dig lita på din kapacitet, dina färdigheter och din tankeförmåga och att du blir inspirerad att satsa på en inlärning som är undersökande, testande och kreativ. Gymnasiets läroplan lägger upp många mål för undervisningen i den korta matematiken. Den studerande ska exempelvis kunna använda matematiken som hjälpmedel i det dagliga livet och i samhällelig verksamhet. I en värld som förändras allt snabbare, måste man kunna ta emot och analysera sådan information som massmedierna ger i matematisk form och kunna bedöma dess tillförlitlighet. Gymnasiet ska ge dig en tillräcklig grund för fortsatta studier. Förutom de matematiska kunskaperna och färdigheterna ska du lära dig att använda ändamålsenliga tekniska hjälpmedel och informationskällor.
Enligt gällande läroplan är målen för kursen ”Statistik och sannolikhet II” att den studerande ska ◗ få bättre och mångsidigare färdigheter i att hantera statistiskt material ◗ kunna bestämma statistiska karakteristika och sannolikheter med hjälp av kontinuerliga fördelningar och tekniska hjälpmedel ◗ kunna använda tekniska hjälpmedel för att söka, behandla och undersöka data i digital form, för att bestämma väntevärdet och standardavvikelsen för en sannolikhets fördelning, för att beräkna sannolikheter med hjälp av parametrarna för en given fördelning och för att bestämma konfidensintervall.
Bokens struktur I serien Ma kort finns många lösningar som stöder den studerande att nå de mål som står i läroplanen. • I början av varje kapitel finns en översikt som visar huvudmålen för kapitlet. Dessutom visar översikten vilka mål den studerande borde behärska utan hjälpmedel och vilka saker som borde behärskas med hjälpmedel. • V arje delkapitel börjar med något att fundera på. Avsikten med uppgifterna är att inleda lektionens tema.
Fundera på
E1
• T ill varje exempel i boken hör en motsvarande övning i avsnittet med uppgifter. De uppgifterna är tydligt markerade med en symbol för att underlätta självstudier.
123.
• M era krävande uppgifter är markerade med färgad bakgrund. De kan vara uppgifter som är avsedda att lösas med räknare eller utan räknare.
Tilläggsmaterial: Korstabulering s. 199
• Det tilläggsmaterial som hör till kursen har sammanställts till ett eget kapitel. I teoridelen finns hänvisningar till detta kapitel. • D e exempel och uppgifter där användningen av tekniska hjälp medel är begränsad är markerade med en egen symbol. Här kan du använda dig av de hjälpmedel som är godkända i student provets A-del. • De exempel och uppgifter där det är meningen att du ska använda hjälpmedel som är godkända i studentprovets B-del är markerade med en egen symbol.
◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel
De möjligheter som de tekniska hjälpmedlen erbjuder har beaktats i kapitlen med hjälp av instruktionsrutor. I dem berättas vilka funktioner som kan hittas, till exempel på räknaren, för att underlätta lösningen av uppgifterna.
Tidsplanering
75 min 45 min
1 Diskret sannolikhetsfördelning 1.1 Repetition av räkneregler för sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1
1.2 Upprepat försök och binomialsannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1–2 1.3 Binomialfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2
2 Kontinuerlig statistisk fördelning
2.1 Frekvensfördelning för en kontinuerlig variabel . . . . . . . . . . . . . . 2–3 2–3 • Tilläggsmaterial: 5.1 Korstabulering 2.2 Medelvärde och standardavvikelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1
2.3 Beskrivning och jämförelse av olika fördelningar . . . . . . . . . . . . . 1–2
2
• Tilläggsmaterial: 5.2 Att rita diagram
3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning
3.1 Beskrivning av en kontinuerlig fördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3 3.2 Normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2
2
3.3 Tillämpningar med normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3
4 Statistisk slutledning
4.1 Stickprovsmedelvärde och konfidensintervall . . . . . . . . . . . . . . . 1
2
4.2 Relativa andelens felmarginal och konfidensintervall . . . . . . . . . . . 1
2
• Tilläggsmaterial: 5.3 Samplingfördelning • Tilläggsmaterial: 5.4 Felmarginal och samplets storlek
6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2
2
Totalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–19 21–25
1
Diskret sannolikhetsfördelning M ålet är
■
att du lär dig känna igen vad ett upprepat försök är
■
att du lär dig beräkna binomialsannolikheter
■
att du lär dig använda tekniska hjälpmedel för att åskådliggöra binomialfördelningar och för att bestämma karaktäristikor
◗ Vilka är de centrala räknereglerna i sannolikhetslära? – additionsregeln – multiplikationsregeln – komplementregeln
◗ Hur beräknar vi sannolikheten för en händelse med – additionsregeln – multiplikationsregeln – regeln för binomialsannolikhet?
◗ När har vi att göra med ett upprepat försök? – antalet försök – sannolikheten för att lyckas
◗ Hur bildar vi en binomialfördelning? – värden för en stokastisk variabel och sannolikheter förknippade med dem ◗ Hur åskådliggör vi en binomialfördelning? – punkt-, stapel- och linjediagram – fördelningsfunktion ◗ Hur beräknar vi – väntevärdet – standardavvikelsen för en binomialfördelning?
7
1.1
Repetition av räkneregler för sannolikheter
Fundera på 1
Vi kastar en tärning. Vilken är sannolikheten att vi får a) ögontalet 1 b) ögontalet 3 c) ögontalet 1 eller 3? Vad är sambandet mellan sannolikheterna i a- och b-fallet och sann olikheten i c-fallet?
Vi kastar en tärning två gånger. I kursen MAB5 åskådliggjorde vi utfallsrummet (mängden av alla utfall) med hjälp av ett koordinatsystem. a) Hur många utfall finns det då man kastar en tärning två gånger? b) Använd koordinatsystemet för att bestämma sannolikheten för händelsen ”på första kastet får vi ögontalet 1 och på andra kastet ögontalet 3”.
6 5
Tärning 2
Fundera på 2
4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
Tärning 1
c) Hur kan sannolikheten i b-fallet beräknas med hjälp av resultaten i Fundera på 1 a och b?
Fundera på 3
a) Vi kastar en tärning. Vilken är sannolikheten att vi inte får ögontalet 1? b) Vi kastar en tärning två gånger. Vilken är sannolikheten att vi inte på någotdera kastet får ögontalet 1? Beräkna sannolikheten och motivera ditt svar med hjälp av koordinatsystemet.
8 1
D i s k r e t s a n n o l i k h e t s f ö rd e l n i n g
Vi lärde oss räknereglerna för sannolikheter i kursen MAB5. I den här kursen finns det situationer där vi använder oss av tidigare inlärda kunskaper.
Till exempel i tärnings kast är varje utfall, det vill säga ögontalen 1–6, lika sannolika.
Den franska matematikern Blaise Pascal (1623–1662) kan ses som sannolikhetskalkylens fader. Han undersökte endast problem där utfallen är symmetriska, det vill säga där varje utfall är lika sann olikt. Jakob Bernoulli (1654–1705) generaliserade Pascals teori så att den även innefattade osymmetriska fall. Då definierades binomial fördelningen som vi ser mera på i kapitel 1.3. Sannolikhet är kopplat till exempelvis följande situationer: • Sannolikt lyckas jag få ögontalet 1 då jag kastar en tärning. • Ett sått frö kommer sannolikt att gro. Om man inte är säker på vad som kommer att hända och slumpen inverkar på situationen så kallas fenomenet för slumpfenomen. De tidigare nämnda situationerna innehåller slumpfenomenen: ”tärningskast” och ”sannolikheten för att ett frö ska gro”.
Förkortningen P kom mer från det engelska ordet probability.
I ett slumpfenomen kan vi betrakta olika händelser vars sannolikhet kan beräknas eller åtminstone uppskattas. Sannolikheten för händelsen A betecknas P(A) och dess värde ligger mellan 0 och 1. Sannolikheten för en omöjlig händelse är 0 och sannolikheten för en säker händelse är 1.
0 ≤ P ( A) ≤ 1
Anta exempelvis att händelsen A = ”vi får ögontalet 1 då vi kastar en 1 tärning en gång”. Då är P( A) = . 6 När man i ett slumpfenomen betraktar händelsen A så kan man även betrakta A:s komplementhändelse A = ”icke A” (A inträffar inte). Enligt komplementregeln är sannolikheten för komplementhändelsen Komplementhändelsen A = ”vi får ögontalet 2, 3, 4, 5 eller 6”.
P ( A) = 1 − P ( A) .
Komplementregeln kan även skrivas i formen P( A) + P( A ) = 1.
Vi betraktar igen händelsen A = ”vi får ögontalet 1”. Då är komplementhändelsen A = ”vi får inte ögontalet 1” och sannolikheten är
P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −
1 5 = . 6 6
1 . 1 R e p e t i t i o n a v r ä k n e r e g l e r f ö r s a n n o l i k h e t e r 9
I slumpfenomen är två händelser antingen disjunkta (varandra uteslutande) eller icke-disjunkta (den ena händelsen innehåller en del av eller hela den andra händelsen). Slumpfenomen
Händelser
Är händelserna disjunkta?
ett kast med en tärning
• vi får ögontalet 1
disjunkta händelser
att dra ett spelkort
• vi får hjärterdam ♥Q
att dra ett spelkort
• vi får ett hjärterkort ♥
• vi får ögontalet 3 • vi får ett hjärterkort ♥
• vi får en dam Q
den ena händelsen innehåller helt den andra händelsen ena händelsen innehåller delvis den andra händelsen
Om händelserna A och B är disjunkta kan vi beräkna sannolikheten för händelsen ”A eller B” genom att addera sannolikheterna för händelserna A och B.
P(A eller B) = P(A) + P(B)
A
B
Det här är känt som additionsregeln för disjunkta händelser. Exempelvis är sannolikheten att vi i ett tärningskast får ögontalet 1 eller 3 Två disjunkta händelser: ”vi får 1” och ”vi får 3”.
P(”vi får 1 eller 3”) = P(”vi får 1”) + P(”vi får 3”) 1 1 = + 6 6 2 = 6 1 = 3
Om händelserna A och B är icke-disjunkta, betyder ordet ELLER mellan händelserna att någondera eller båda händelserna inträffar. Händelsen ”A eller B” betyder alltså att • A inträffar eller A och B B A • B inträffar eller • A och B (båda) inträffar. Då får vi den allmänna additionsregeln P(A eller B) = P(A) + P(B) – P(A och B).
10 1
D i s k r e t s a n n o l i k h e t s f ö rd e l n i n g
I slumpfenomen är två händelser oberoende om sannolikheten för den ena händelsen inte påverkas av om den andra händelsen inträffar eller inte. Slumpfenomen
Händelser
Är händelserna oberoende?
två kast med en tärning
• på första kastet får vi ögontalet 1
oberoende händelser
• på andra kastet får vi ögontalet 3 att dra två spelkort
• första kortet är ett hjärterkort ♥ • andra kortet är ett hjärterkort ♥
att dra två spelkort
• första kortet är ett hjärterkort ♥ • andra kortet är ett hjärterkort ♥
Händelserna är oberoende om det första kortet läggs tillbaka och packen blandas. Händelserna är inte oberoende (de är alltså beroende) om det första kortet inte ett läggs tillbaka i packen.
Om händelserna A och B är oberoende kan vi beräkna sannolikheten för händelsen ”A och B” genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna A och B.
P(A och B) = P(A) ⋅ P(B)
Det här är känt som multiplikationsregeln för oberoende händelser. Anta att vi exempelvis kastar en tärning två gånger. Då är sannolik heten att vi exempelvis får ögontalet 1 på det första kastet och ögontalet 3 på det andra kastet
P(”vi får först 1 och sedan 3”) = P(”vi får 1”) ⋅ P(”vi får 3”) 1 1 = ⋅ 6 6 1 = 36 Räkneregler för sannolikheter
Additionsregeln (oberoende händelser) P(A eller B) = P(A) + P(B) Multiplikationsregeln (oberoende händelser) P(A och B) = P(A) ⋅ P(B) P ( A) = 1 − P ( A) Komplementregeln 1 . 1 R e p e t i t i o n a v r ä k n e r e g l e r f ö r s a n n o l i k h e t e r 11
EXEMPEL 1
Vi drar två kort ur en vanlig kortpacke med 52 kort. Det första kortet läggs tillbaka och packen blandas innan vi drar det andra. Vilken är sannolikheten att vi får a) två spaderkort b) spaderdam ♠Q på första kortet och spaderkung ♠K på andra kortet c) spaderdam ♠Q på första kortet och något annat kort än spader dam på andra kortet? Ge svaren i bråkform. LÖSNING
Eftersom händelserna förenas av ordet OCH använder vi multiplikationsregeln P( A och B ) = P( A) ⋅ P(B ).
a) Kortpacken innehåller 52 kort varav 13 är spader. Eftersom första kortet läggs tillbaka finns det även 52 kort varav 13 är spader då det andra kortet dras. Sannolikheten för händelsen ”vi får två spader” är
P(”spader och spader”) =
13 13 1 ⋅ = . 52 52 16
b) Kortpacken innehåller en spaderdam och en spaderkung. Sann olikheten för händelsen ”första kortet ♠Q och andra kortet ♠K” är
P(”vi får ♠Q och ♠K”) = =
1 1 1 ⋅ = . 52 52 2704
c) Kortpacken innehåller en spaderdam och det finns 51 kort som inte är spaderdam. Sannolikheten för händelsen ”första kortet ♠Q och andra kortet någonting annat” är
SVAR
12 1
P(”vi får ♠Q och något annat”) = =
a)
1 16
D i s k r e t s a n n o l i k h e t s f ö rd e l n i n g
b)
1 2704
1 51 51 ⋅ = . 52 52 2704 c)
51 2704
EXEMPEL 2
I en blomaffär säljs tulpanlökar som gror med 70 % sannolikhet. Elin planterar två lökar. Vilken är sannolikheten att a) endast en av lökarna gror b) åtminstone en av lökarna gror? LÖSNING
Sannolikheten för att en lök ska gro är P(”gror”) = 0,70, vilket betyder att P(”gror inte”) = 1 − 0,70 = 0,30. a) Elin planterar två lökar. Händelsen ”endast en av lökarna gror” innehåller händelserna:
Sannolikheterna för händelserna A och B får vi med hjälp av multiplikationsregeln.
A = ”första löken gror och andra löken gror inte” B = ”första löken gror inte och andra löken gror”.
Sannolikheten för händelsen ”endast en av lökarna gror” är
Eftersom händelser na förenas av ordet ELLER använder vi additionsregeln P(A eller B) = P(A) + P(B).
P(A eller B) = 0,70 ⋅ 0,30 + 0,30 ⋅ 0,70 = 0,21 + 0,21 = 0,42
b) Händelsen ”åtminstone en av lökarna gror” innehåller händelserna: A = ”första löken gror och andra löken gror inte” B = ”första löken gror inte och andra löken gror” C = ”båda lökarna gror”. Sannolikheterna för händelserna A och B har vi redan beräknat i a-fallet. Sannolikheten för händelsen C är
C = ”båda gror” betyder ”första gror och andra gror”.
Metod 2 Med hjälp av komplementhändelsen: P(”åtminstone en gror”) = 1 − P(”ingendera gror”) = 1 − 0,30 ⋅ 0,30 = 0,91 SVAR
P(”båda lökarna gror”) = 0,70 ⋅ 0,70 = 0,49.
Sannolikheten för ”åtminstone en gror” är
P(A eller B eller C) = 0,21 + 0,21 + 0,49 = 0,91.
a) 0,42
b) 0,91
1 . 1 R e p e t i t i o n a v r ä k n e r e g l e r f ö r s a n n o l i k h e t e r 13
En slumpmässigt vald person hör till blodgruppen AB med sann olikheten 0,08. Till en testgrupp väljs sex personer. Vilken är sann olikheten att a) alla sex tillhör blodgruppen AB b) åtminstone en av dem tillhör blodgruppen AB? Ge svaren med två gällande siffrors noggrannhet.
EXEMPEL 3
LÖSNING
a) Sannolikheten för händelsen A = ”alla sex tillhör blodgruppen AB” beräknas med multiplikationsregeln:
P(A) = (”person 1 och person 2 och ... och person 6 tillhör blodgrupp AB”) = 0,08 ⋅ 0,08 ⋅…⋅ 0,08 6 st.
= 0,08
6
≈ 2,6 ⋅ 10−7 Då händelsen innehåller ordet åtminstone, är det ofta lättare att beräkna sannolikheten med hjälp av komplement händelsen.
b) Händelsen B = ”åtminstone en tillhör blodgruppen AB” inne håller många olika gynnsamma fall: ”person 1 eller 2 eller 3 eller … eller 6 tillhör blodgruppen AB”. Sannolikheten är med andra ord lättast att beräkna med hjälp av komplementhändelsen B = ”ingen i testgruppen tillhör blodgruppen AB”. Vi börjar med att beräkna sannolikheten för att en vald person inte tillhör blodgruppen AB.
P(”personen tillhör inte AB”) = 1 − 0,08 = 0,92
Sannolikheten för händelsen B är
P(”ingen tillhör AB”) = 0,92 ⋅ 0,92 ⋅…⋅ 0,92 = 0,926 = 0,606… 6 st.
Den efterfrågade sannolikheten B får vi med hjälp av sannolikheten för komplementhändelsen B . P (B ) = 1 − P (B )
SVAR
14 1
P(”åtminstone en tillhör AB”) = 1 − 0,606... = 0,3936... ≈ 0,39
a) 2,6 ⋅ 10−7
D i s k r e t s a n n o l i k h e t s f ö rd e l n i n g
b) 0,39
Uppgifter 1. Av hundarna på en kennel är 40 % svarta, 30 % bruna och resten
ljusa. a) Vilken är sannolikheten att en slumpmässigt vald hund är svart? b) Hur många procent av hundarna är svarta eller bruna? c) Vilken är sannolikheten att en slumpmässigt vald hund inte är svart?
2. En kortlek innehåller 52 kort. I packen finns 4 sorter: hjärter ♥,
ruter ♦, spader ♠ och klöver ♣. Av varje sort finns det 13 kort med valörerna 1–13. Vi drar ett kort ur packen. Vilken är sannolikheten att kortet a) är hjärter 10 b) har valören 10 c) är ett ruterkort eller har valören 7 d) är ett spaderkort eller spader 3? Ge svaren i bråkform.
3. Vi drar två kort (ett i taget) ur en vanlig kortlek med 52 kort. Det
första kortet återläggs före andra kortet dras. Vilken är sannolikheten att vi a) får två damer (Q) b) på första kortet får klöverdam uttryck och på andra kortet får en kung (K) c) på första kortet får en dam (Q) och på andra kortet får något annat än en dam.
4. I en låda finns det 24 bollar varav 10 är vita, 6 är svarta och resten
är röda. Två bollar lyfts på måfå ur lådan med återläggning (det vill säga varje gång en boll har lyfts läggs den tillbaka och innehållet rörs om). Vilken är sannolikheten att a) båda bollarna är röda b) första bollen är röd och den andra är svart c) första bollen är röd och den andra är en annan färg? Ge svaren i bråkform.
5. En tärning kastas två gånger. Vilken är sannolikheten att vi får a) ögontalet 6 på första kastet och 1 på andra b) ögontalet 1 på första kastet och minst 5 på andra c) ögontalet 1 på första kastet och högst 3 på andra? Ge svaren i bråkform.
1 . 1 R e p e t i t i o n a v r ä k n e r e g l e r f ö r s a n n o l i k h e t e r 15
6. En kortlek innehåller 52 kort varav fyra är äss. Vi drar två kort ur
packen. Vilken är sannolikheten att vi får två äss (♠1, ♣1, ♥1 eller ♦1) då a) det lyfta kortet läggs tillbaka i packen (med återläggning) b) det lyfta kortet inte läggs tillbaka i packen (utan återläggning)? Ge svaren i bråkform.
E2
7. Tilde passerar två trafikljus på vägen till jobbet. Sannolikheten att ett trafikljus lyser grönt är 0,52. Trafikljusen fungerar oberoende av varandra. Med vilken sannolikhet a) lyser bara det ena trafikljuset grönt b) lyser första eller andra trafikljuset grönt då Tilde åker till jobbet?
8. Vi kastar en tärning två gånger. Vilken är sannolikheten att vi
a) får ögontalet 6 endast på det ena kastet b) inte får ögontalet 6 på någotdera kastet c) får ögontalet 6 åtminstone på det ena kastet? Ge svaren i bråkform.
9. En målvakt i ett ishockeylag har en räddningsprocent på 82 %. Under
en period skjuts två skott efter varandra mot målet. Vilken är sann olikheten att målvakten räddar a) båda skotten b) endast det ena skottet c) åtminstone det ena skottet?
E3
10. I en fabrik packar man 10 motordelar per förpackning. Av motor delarna är 0,50 % felaktiga. Vilken är sannolikheten att a) alla motordelar i en förpackning är felfria b) åtminstone en motordel i en förpackning är felaktig?
11. William köper fyra lotter. Sannolikheten för vinst på en lott är 0,2.
Med vilken sannolikhet får William a) ingen vinst b) åtminstone en vinst c) vinst på första och tredje lotten och ingen vinst på de övriga lotterna?
16 1
D i s k r e t s a n n o l i k h e t s f ö rd e l n i n g
12. John kastar fem pilar. Han träffar i medeltal tian med 4 pilar av 30. Med vilken sannolikhet a) missar John tian med alla pilarna b) träffar han tian med åtminstone en av pilarna c) träffar han tian endast med den sista pilen? Ge svar med två decimalers noggrannhet. Blandade uppgifter
13. I en låda finns det 15 bollar varav 5 är gröna, 6 är röda och resten är gula. Två bollar lyfts på måfå ur lådan. Vilken är sannolikheten att a) båda bollarna är gröna b) första bollen är röd och den andra är grön c) första bollen är röd och den andra är en annan färg? Ge svaren i bråkform.
14. Under ett visst veckoslut är sannolikheten för uppehållsväder 0,67. Vilken är sannolikheten att det under detta veckoslut är uppehållsväder a) endast endera dagen b) åtminstone endera dagen?
15. Anton sår fem frön av örten basilika i fem krukor (ett frö per kruka). Fröna gror med sannolikheten 65 %. Med vilken sannolikhet gror a) alla fem fröna b) åtminstone ett frö c) fröna i de två första krukorna men inte i de övriga tre krukorna? Ge svaren med två gällande siffrors noggrannhet.
1 . 1 R e p e t i t i o n a v r ä k n e r e g l e r f ö r s a n n o l i k h e t e r 17