Tangent B

TANGENT

I

D

TANGENT B

Tangent innehåller överskådlig teori, konkretiserar genom tydliga exempel och har uppgifter på två nivåer: bas och avancerad. Dessutom erbjuder Tangent en mängd elevaktiviteter, till exempel aktiverande uppgifter, olika spel, digitala övningar och extra arbetsblad, som eleverna kan göra enskilt eller tillsammans. Aktiviteterna är utmärkta med en symbol i läroboken och materialet till dem finns i lärarens materialpaket.

Programmering med Linda Mannila

ISBN 978-951-52-4771-1

9 789515 247711

S

M

B

Ö

H

L

.F .

T

R

SC

för åk 7­–9 skriven av Tora Smeds. Linda Mannila står för programmeringsdelen. Serien består av tre läroböcker Tangent A, B och C som kan svara mot var sin årskurs eller användas över årskurserna enligt den lokala läroplanen och timfördelningen. För varje lärobok finns ett materialpaket för läraren.

O

SMEDS M

L

TANGENT är en finlandssvensk serie i matematik

A

TS

& S Ö D E RS

T

R

S

.

I H SC

L D

B

M

R

SMEDS M .F

Ö

O

A

L

T

TANGENT

TS

T & SÖDERS

R

Programmering med Linda Mannila

Schildts & Söderströms www.sets.fi Redaktör: Siv Fogelholm Omslag, grafisk formgivning och illustrationer: Linnéa Sjöholm Inlagans ombrytning: Jukka Iivarinen/Vitale Ay Bilder: Shutterstock, förutom fotografiet från Lantmäteriverket på s. 189. © 2020 Tora Smeds, Linda Mannila, Liselotte Risberg, Anders Johansson, Sofia Fröman och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Utgiven med stöd av Finlandssvensk Bokkultur.

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Första upplagan 2020 ISBN 978-951-52-4771-1

Innehåll 1

Area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Inledande aktiviteter och repetition . . . . . 6 1.2 Areor och areaenheter. . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Rätblockets volym och area. . . . . . . . . . . 18

1.4 Prisma och pyramid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Bråk- och procenträkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1 Bråkräkning – repetition. . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bråkform, decimalform och procentform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Procenträkning utan förändring . . . . . . . 43 2.4 Procenträkning vid förändring. . . . . . . . . 48 2.5 Procenträkning vid jämförelse. . . . . . . . . 54

2.6 Procenträkning vid flera förändringar efter varandra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Blandningar som förändras . . . . . . . . . . . 58 2.8 Ränteräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.9 Promille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.10 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Potenser och rötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1 Repetition av potenser. . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Förenkling av potenser. . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 Tiopotenser och grundpotensform. . . . . 85 3.4 Tiopotensberäkningar . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5 Rötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.6 Det reella talområdet (R) . . . . . . . . . . . 101

4

Uttryck och ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1 Uttryck med tal och variabler. . . . . . . . 126 4.2 Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.3 Sammanslagning av termer. . . . . . . . . 140 4.4 Multiplikation och division med polynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.5 En ekvation är en likhet . . . . . . . . . . . . . 148 4.6 Ekvationslösning i flera steg. . . . . . . . . 152

5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

3.7 Räkna med rötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.8 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.9 Potenser och rötter – mycket stora och mycket små tal. . . 116 3.10 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.7 Att lösa matematiska problem med ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.8 Olika typer av problemlösning med ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.9 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Cirkelns geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Repetition av vinklar och polygoner. . . 172 Cirkelns delar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Grunderna i geometrisk konstruktion. 180 Cirkelns periferi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Cirkelns area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.6 Cylinderns volym och area. . . . . . . . . . . 192 5.7 Konens volym och area. . . . . . . . . . . . . 196 5.8 Klotets volym och area . . . . . . . . . . . . . 200 5.9 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6 Programmering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Vi repeterar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 När något går fel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Nästlade instruktioner. . . . . . . . . . . . . . 214 Kombinerade villkorsuttryck. . . . . . . . . 215 Egna funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.6 Moduler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Begrepp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.7 Sammanfattning av Python. . . . . . . . . . 228 Repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Facit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Guide till Tangent-serien Läroboken Tangent innehåller överskådlig teori med tydliga exempel och uppgifter på två nivåer, bas och avancerad. Uppgifterna löper innehållsmässigt parallellt, så att eleverna kan välja uppgifter på den nivå som passar dem.

I slutet av varje kapitel finns en sammanfattning och repetitionsuppgifter. I repetitions­ uppgifterna är a-uppgiften lättast och d-uppgiften svårast.

Programmeringskapitlet längst bak i boken ser lite annorlunda ut, uppgifterna finns i mindre block genast efter teorin och exemplen. Programmeringskapitlet innehåller också en samman­fattning, en begreppslista och repetitionsuppgifter, där de avancerade uppgifterna är stjärnmarkerade. Facit till programmeringsuppgifterna finns i det digitala materialpaketets modellkod.

Facit till bokens övriga uppgifter finns i slutet av boken.

Dessutom finns det en mängd elevaktiviteter av olika slag i lärarens digitala materialpaket.

Det finns hänvisningar till dem i boken med olika symboler för olika typers elevaktiviteter:

Spel Tärningen symboliserar olika spel, till exempel brädspel, läggspel och bingo. Med den finns en QR-kod som leder till spelets instruktioner.

Aktivitet Kugghjulen visar på en aktiverande uppgift, som till exempel att mäta eller bygga något, eller att ta reda på och sedan diskutera.

Digital uppgift Datorn symboliserar en digitalövning som görs på en dator, surfplatta eller mobiltelefon.

Arbetsblad Pappersarken visar på att det finns extra arbetsblad som kan skrivas ut.

5 Cirkelns geometri 5.1

Repetition av vinklar och polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2

Cirkelns delar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.3

Grunderna i geometrisk konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4

Cirkelns periferi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.5

Cirkelns area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.6

Cylinderns volym och area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.7

Konens volym och area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.8

Klotets volym och area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.9 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Målet med kapitlet är att du • känner och kan namnge cirkelns delar • förstår sambandet mellan cirkeln och vinklar i cirkeln • kan konstruera enkla geometriska figurer med en passare och ograderad linjal • lär känna talet π och hur det är definierat • övar att beräkna cirkelns periferi och area • övar att beräkna båglängden och cirkelsektorns area • förstår hur kropparna cylinder och kon ser ut som utvikta • övar att beräkna volymen och arean av cylinder, kon och klot.

171

5.7 Konens volym och area En kon består av en basyta och en mantelyta som smalnar av i en topp.

Konens basyta kan ha olika form. När basytan är en månghörning kallas konen pyramid.

Konen kan vara sned eller rak.

AB

Konens volym är en tredjedel av volymen för en cylinder med lika stor basyta och höjd.

V=

r

h

AB h 3

h

h r r

h

Konens volym När vi i fortsättningen pratar om en kon syftar vi på en rak cirkulär kon om inget annat nämns.

Basytan är en cirkel och vi får formeln:

s

h

Konens volym πr2h V= 3

r

Konens totala area Konens totala area består av basytan och mantelytan. Konens mantelyta har formen av en cirkelsektor. Ifall konens sidlängd inte är given, och vi känner radien och höjden, kan vi räkna ut sidlängden med hjälp av Pythagoras sats. Sambandet är h2 + r2 = s2

Mantelytans area AM = πrs

Konens totala area Atot = AB + AM

s

AM

Atot = πr2 + πrs

AB

r

Utvidgad förklaring till formeln för konens mantelyta: a

π s2 360° cirkelbågens längd 2 AM = πs hela cirkels längd 2pr 2 πs AM = 2ps α r A s AM M = s π ∙ s ∙ s 2πs AM = πrs

AB

196

r

AM =

Konens sidlängd s är radie i den utvikta cirkelsektorn.

2πr

5.7 Konens volym och area

EXEMPEL

Beräkna volymen av en kon med basytan 75 cm2 och höjden 18 cm.

AB = 75 cm2

Vi beräknar volymen enligt formeln

AB h 3 h 75∙18 3 V = cm 3

AB = 450 cm3

h = 18 cm

V =

Svar: 450 cm3

EXEMPEL

a) Ett saltkar har formen av en kon. Den inre diametern är 4,6 cm och den inre höjden är 7,2 cm. Beräkna hur mycket saltkaret rymmer. h = 7,2 cm Vi beräknar volymen enligt formeln d = 4,6 cm π r2 h V = → r = 2,3 cm 3 h

Rak cirkulär kon

V = d

r

π ∙2,32 ∙7,2 cm3 3

= 39,886... cm3 ≈ 40 cm3 = 40 ml

Svar: Saltkaret rymmer 40 ml.

b) Saltkaret har den yttre diametern 4,9 cm och höjden 7,6 cm.

Sidlängden är 8,0 cm. Beräkna saltkarets totala area. h = 7,6 cm d = 4,9 cm → r = 2,45 cm s = 8,0 cm

s

AM

AB

r

Vi beräknar den totala arean enligt formeln

Atot = AB + AM Atot = πr2 + πrs Atot = (π ∙ 2,452 + π ∙ 2,45 ∙ 8,0) cm2

= 80,432... cm2

≈ 80 cm2

5.7 Konens volym och area

Svar: Saltkarets totala area är 40 cm2.

197

EXEMPEL

Ett företag tillverkar koner som används för teknikträning i fotboll.

Konens färg kan varieras genom att olikfärgade plastfilmer limmas på konen. Konens cirkelformade basyta har radien 13 cm och höjden är 42 cm. a) Beräkna konens sidlängd.

r = 13 cm Konens sidlängd beräknas med hjälp av h = 42 cm Pythagoras sats. h

s

h

s2 = h2 + r2 s2 = 422 + 132 rr s2 = 1 933 s = √1 933 = 43,96... (cm) ≈ 44 (cm)

b) Beräkna konens mantelyta.

AM = π r s AM = π ∙ 13 ∙ 43,96 cm2 s AM ≈ 1 800 cm2 = 18 dm2

r

Vi tar med fler gällande siffror från mellansvaret än vi tänker använda i slutsvaret.

Svar: Sidlängden är 44 cm och mantelytan är 18 dm2.

EXEMPEL

En kon har volymen 5,0 liter. Basarean är 7,4 dm2.

Beräkna konens höjd.

AB h Vi ställer upp en ekvation V = 5 l = 5 dm3 V = 3 utgående från konens AB = 7,5 dm2 7,4 x

5 = volym där höjden är x. h = x dm 3 Alla enheter bygger på 7,4 x

= 5 |∙3

decimeter.

3 7,4 x = 15 | :7,4 h 15

x = 7,4

Ekvationens lösning ger AB

x = 2,027... oss höjden i konen.

x ≈ 2,0 Svar: Höjden är 2,0 dm.

198

5.7 Konens volym och area

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Rita en skiss, beteckna och beräkna.

Rita en skiss, beteckna och beräkna.

1251. Beräkna volymen av a) en kon med basytan 50 cm2 och höjden 7,0 cm b) en kon med höjden 16 cm och basytan 430 cm2.

1258. En kon har diametern 15,2 cm och höjden 20,8 cm. Konens sidlängd är 22,1 cm. Beräkna konens volym och totala area.

1252. Beräkna volymen av en kon med radien 8,8 cm och höjden 12 cm.

1253. En kon har radien 8,50 cm, höjden 26,5 cm och sidlängden 27,8 cm. a) Beräkna arean av basytan. b) Beräkna arean av mantelytan. c) Beräkna den totala arean.

1254. En konformad kåta har radien 1,8 m.

Sidans längd är 4,2 m. a) Beräkna kåtans golvyta. b) Beräkna kåtans mantelyta.

1255. Ett glas har formen av en uppochner­ vänd kon. Radien är 2,5 cm och höjden är 8,0 cm. Hur många hela centiliter rymmer glaset?

1256. a) En kon har volymen 1 200 cm3 och basytan 360 cm2. Beräkna konens höjd. b) En kon har volymen 245 cm3 och höjden 14,0 cm. Beräkna konens basyta.

1257. En kropp består av två sammansatta koner. a) Beräkna kroppens volym. b) Beräkna konens sidlängd med hjälp av Pythagoras sats. c) Beräkna den sammansatta kroppens area.

3,50 cm

17,0 cm

5.7 Konens volym och area

1259. Vilken area har hela det glasspapper som innesluter en strut med diametern 6,5 cm och höjden 15 cm?

1260. Kroppen på bilden omsluts av en kartong med måtten 12 × 12 × 32 cm3. a) Beräkna kroppens volym. b) Hur många procent av kartongens volym uppfylls av kroppen?

1261. Använd informationen i föregående uppgift och beräkna arean av den sammansatta kroppen.

1262. Bestäm volymen för hinken.

Den övre diametern är 30,0 cm och den nedre diametern är 20,0 cm.

Hinkens höjd är 25,0 cm.

(Tips: hinken är en kon utan topp.)

1263. Volymen för en stympad kon beräknas enligt formeln πh 2 V= (r + r r + r 2), 3 1 12 2 r1 och r2 är vardera basytans radie.

Kontrollera svaret på föregående uppgift med hjälp av formeln.

1264. Bilden visar en hemgjord regn­mätare. Den består av en tratt som samlar vattnet i ett cylinderformat mått. Trattens största radie är 13,0 cm och cylinderns radie är 3,0 cm. Hur högt når vattnet i cylindern om det har regnat 8,0 mm?

199

5.8 Klotets volym och area Ett klot bildas av en mängd punkter som har samma avstånd till klotets medelpunkt.

En sfär syftar på klotets yta.

Klotets volym Klotets (sfärens) area

4 π r3 V= A = 4πr2 3 r

EXEMPEL

En fotboll av storlek 5 har diametern 22 cm. Beräkna volymen. d = 22 cm → r = 11 cm

Vi bestämmer radiens längd och använder formeln för att beräkna bollens volym.

4 π r3

V = 3 4 ∙ π ∙ 113 V = cm3 3 = 5 575... cm3 ≈ 5 600 cm3 = 5,6 dm3

Svar: Bollens volym är 5,6 dm3 eller 5,6 l.

EXEMPEL

Dvärgplaneten Pluto har radien 1 150 km. a) Beräkna Plutos area och ange svaret i tiopotensform med enheten m2.

Klotets volym

r = 1 150 km = 1 150 000 m = 1,15 · 106 m

Vi skriver radien i tiopotensform med enheten meter och beräknar arean.

A = 4 π r2 A = 4 · π · (1,15 · 106)2 m2

≈ 16,6 · 1012 m2 ≈ 1,66 · 1013 m2 b) Beräkna längden på Plutos ekvator.

Ekvatorns längd är periferins längd i en cirkel med radien 1 150 km.

p = 2πr

p = 2 · π · 1 150 km = 7 225,66... km ≈ 7 230 km Svar: Plutos yta är 1,66 · 1013 m2 och ekvatorn är 7 230 km.

200

5.8 Klotets volym och area

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Rita en skiss, beteckna och beräkna.

Rita en skiss, beteckna och beräkna.

1265. En tennisboll har radien 3,2 cm. a) Beräkna volymen. b) Beräkna arean. c) Beräkna omkretsen.

1272. En skål har formen av ett halvklot med radien 5,5 cm. a) Hur många deciliter rymmer skålen? b) Beräkna skålens area.

1266. En badboll har diametern 35,0 cm. a) Beräkna volymen. b) Hur många liter luft innehåller badbollen? c) Hur mycket väger luften i badbollen då luft har densiteten 1,3 g/l?

1273. En kran läcker och droppar cirka 10 droppar/minut. Vi antar att en droppe har radien 2,0 mm. Beräkna hur mycket vatten som droppar under en månad.

1267. Ett klot har radien 10 cm. Ett mindre klot har radien 5,0 cm. a) Beräkna volymerna för vartdera klotet. b) Hur många små klot behövs för att fylla samma volym som det större klotet?

1268. Ett klotrunt äpple har diametern 7,0 cm.

Beräkna skalets area.

1269. En diskokula är en sfär som är täckt av små spegelbitar. En diskokula har diametern 45 cm. Beräkna ungefär hur stor spegelyta som täcker sfären.

1270. En boll har radien 3,9 cm. Den pressas ner under vattenytan i ett litermått som är fyllt med 5,0 dl vatten. En kropp som pressas ner under ytan pressar undan lika mycket vatten. Till vilken nivå (angiven i deciliter) stiger vattenytan?

1271. Planeten Uranus minsta måne Cupid har en diameter på bara 17,8 km. a) Beräkna Cupids volym i enheten km3.

Omvandla svaret till enheten m3 och skriv svaret i grundpotensform. b) Beräkna Cupids area i enheten km2.

Omvandla svaret till enheten m2 och skriv i grundpotensform.

5.8 Klotets volym och area

1274. En cylinderformad burk är fylld med tennisbollar. Burkens diameter är 6,4 cm och höjden är 25,6 cm. a) Hur många tennisbollar med radien 3,2 cm rymmer burken? b) Hur många procent av burkens volym upptas av tennisbollarna?

1275. Ett träklot med radien 7,1 cm delas längs sin omkrets och det uppstår två lika stora halvklot. Hela ytan på det ena halvklotet ska målas. Beräkna arean som ska målas.

1276. Jordklotets ekvator är 40 000 km. a) Bestäm jordens volym. b) Jordens massa är 6,0 ∙ 1024 kg.

Bestäm jordklotets medeldensitet i enheten kg/m3.

1277. a) Beräkna jordens area utifrån fakta i föregående uppgift. Skriv svaret i grundpotensform i enheten km2. b) Finland har arean 338 000 km2.

Beräkna hur många promille (tusendelar) Finlands area är av jordklotets area.

1278. En mätcylinder med diametern 4,0 cm är delvis fylld med vatten. Hur mycket stiger vattenytan då man pressar ner en bordtennisboll med diametern 3,8 cm under vattenytan?

201

5.9 Sammanfattning Punkter, linjer och sträckor i cirkeln p (periferi)

Medelpunkten M är cirkelns centrum.

korda

Radien r är avståndet från medelpunkten till cirkeln.

Periferin p är cirkelns omkrets eller rand.

sekant

M (medelpunkt) r (radie)

En korda är en sträcka som sammanbinder två punkter på cirkelbågen.

d (diameter)

Diametern d är den längsta kordan och går genom cirkelns medelpunkt. Längden är två gånger radiens längd, d = 2r.

tangent

En sekant är en linje som skär cirkeln i två punkter.

En tangent är en linje som tangerar cirkeln i en punkt och står vinkelrätt mot radien i tangeringspunkten.

Vinklar i cirkeln En medelpunktsvinkel bildas mellan två radier.

medelpunktsvinkel bågvinkel M a

A

tangentvinkel g

b b

B

M a

A

b B

r a r

En bågvinkel bildas mellan två kordor som utgår från samma punkt på cirkeln. Bågvinkeln är hälften så stor som den medel­punkts­vinkel som utgår från motsvarande punkter på cirkeln. Bågvinklar till en viss båge är sinsemellan lika stora.

En tangentvinkel bildas mellan två olika tangenter i samma cirkel. Summan av den medelpunktsvinkel och den tangent­vinkel som bildas av gemensamma radier och tangenter är 180°.

Längder och areor i cirkeln p

Cirkelns periferi p

r

r

A = π r2

p = 2 π r

r a

202

b

Båglängden b a b= 2 π r 360°

Cirkelns area A

r aAS

Cirkelsektorns area AS a π r2 AS = 360°

5.9 Sammanfattning av Cirkelns geometri

Volym och area av kroppar

r

AB = basyta AM = mantelyta

h

l = längd b = bredd k = kantlängd

h

h AB

AB

AB

Klot 4 π r3 V= 3 A = 4π r2

s = sida h = höjd r = radie

s

AB

Kon eller pyramid AB h V= 3 Atot = AB + AM

Cylinder eller prisma V = AB h Atot = 2AB + AM

h

s

AB Rak cirkulär kon πr2h 3 AM = πrs V=

h h r

l

Rak cirkulär cylinder

Rätblock

V = π r2h

V = l b h

Atot

= 2πr2 + 2πrh

Atot = πr2 + πrs

b

Atot = 2 (lb + bh + lh)

k Kub V = k3 Atot = 6k2

5.9 Sammanfattning av Cirkelns geometri

203

Repetitionsuppgifter I repetitionsuppgifterna är a-uppgiften lättast och d-uppgiften svårast.

1279. Namnge delarna i cirkeln. b) a)

c)

d)

II. I.

II.

I.

II.

II. I.

I. 1280. Bestäm storleken av vinkeln utan att mäta. Motivera ditt svar. a) b) d) c) 125°

α

66°

β

γ

β

255°

γ

δ δ

1281. Bestäm storleken av vinkeln utan att mäta. Motivera ditt svar. b) c) a) d) γ 78° α 110°

δ 202°

β

1282. Bestäm storleken av vinkeln utan att mäta. Motivera ditt svar. a) b) c) γ

140°

δ

d)

70°

β 80° 52°

δ

α

1283. a ) Konstruera en rät vinkel med hjälp av en mittpunktsnormal. b) Konstruera en 45°:s vinkel med hjälp av en bisektris. c) Konstruera en 60°:s vinkel med hjälp av en liksidig triangel. d) Konstruera en vinkel på 30° i den liksidiga triangeln i c-uppgiften.

1284. a) Rita tre olika långa sträckor. Konstruera en triangel där de tre sträckorna ingår. b) Konstruera en vinkel på 60°. Konstruera en romb utgående från vinkeln. c) Rita en spetsvinklig triangel och kalla toppen A och basen BC. Förläng basen BC åt båda hållen.

Konstruera höjden från punkten A ner mot den förlängda basen. d) Konstruera en rätvinklig triangel där den ena kateten är dubbelt så lång som den andra.

204

5 Cirkelns geometri – Repetitionsuppgifter

1285. Träna omvandling av areaenheter. Skriv i enheten i parentesen. a) I. 350 dm2 (m2) II. 50 000 m2 (ha) III. 23 dm2 (cm2) 2 2 2 b) I. 2 570 dm (m ) II. 3 500 m (ha) III. 1,69 m2 (cm2) c) I. 8 600 cm2 (m2) II. 0,12 km2 (ha) III. 50 000 dm2 (cm2) 2 2 d) I. 1,3 ha (m ) II. 4,6 km (ha) III. 0,017 m2 (cm2)

IV. 35 m2 (dm2) IV. 26 000 cm2 (dm2) IV. 635 mm2 (dm2) IV. 0,5 m2 (dm2)

1286. Träna omvandling av volymenheter. Skriv i enheten i parentesen. a) I. 7 m3 (dm3) II. 600 mm3 (cm3) III. 12 dm3 ( l ) 3 3 3 3 3 b) I. 900 cm (dm ) II. 90 cm 40 mm (cm ) III. 6 dl 7 cl ( l ) 3 3 c) I. 1,08 m (dm ) II. 1,48 dm3 (cm3) III. 720 cl ( l ) 3 3 d) I. 70 000 cm (dm ) II. 0,08 m3 (cm3) III. 0,15 dm3 ( l )

IV. 15 cm3 (ml) IV. 38 dl (ml) IV. 0,97 l (ml) IV. 6,6 dl (cm3)

Rita en skiss, beteckna och beräkna.

1287. a) En cirkel har radien 5,2 cm.

I. Beräkna cirkelns area.

II. Beräkna cirkelns periferi. r = 5,2 cm b) En cirkel har diametern 24 cm.

I. Beräkna cirkelns area.

II. Beräkna cirkelns periferi. c) En cirkel har periferin 25 m.

I. Beräkna cirkelns radie. II. Beräkna cirkens area. d) Beräkna arean och periferin av en halvcirkel med diametern 22,0 dm.

1288. a) Beräkna bottenarean av en cylinderformad konservburk med

radien 3,5 cm. b) En fotboll har omkretsen 69 cm. Beräkna bollens radie. c) Ett cykelhjul har storleken 26 tum, dvs. hjulets diameter är 26 tum.

Hur många varv roterar hjulet under 1,0 km? (1 tum = 2,54 cm) d) Beräkna arean av figuren. (1 ruta = 1 a.e.)

1289. a) Ett hjul har radien 71 cm. Beräkna hur långt hjulet roterar under 20 varv. b) Ett rakt dricksglas med rund bottenyta har diametern 8,3 cm. Beräkna den area glaset står på. c) Några metallkulor har periferin 47 mm. Beräkna hur bred en springa mellan två plankor måste vara för att kulorna ska rymmas genom. d) Ett bowlingklot har den högsta tillåtna diametern på 218 mm. Klotet väger 7 257 g.

Bowlingbanan är 1 920 cm lång och 105 cm bred.

I. Beräkna banans area i enheten m2.

II. Beräkna hur många hela varv bowlingklotet rullar på banan.

1290. a) En cirkelsektor har radien 15,0 cm och medelpunktsvinkeln 90°. Beräkna arean. b) En cirkelsektor har radien 45,5 cm och medelpunktsvinkeln 132°.

I. Beräkna cirkelbågens längd.

II. Beräkna cirkelsektorns area. c) Robert bygger en utepool med formen av en cirkelsektor. Cirkelsektorn har radien 17,2 m och medelpunktsvinkeln 120°. Beräkna poolens area och omkrets. d) Urtavlan på en klocka har radien 14,0 cm. Minutvisaren är lika lång som radien.

Beräkna hur stort område minutvisaren sveper över under tiden I. 20 minuter II. 18.50 – 19.35.

5 Cirkelns geometri – Repetitionsuppgifter

205

Rita en skiss, beteckna och beräkna. h = 12 cm

1291. a) Beräkna volymen för en cylinder med basytan 25 cm2 och höjden 12 cm. b) En cylinderformad syltburk rymmer 0,5 liter (= 500 cm3). Burkens höjd är 14 cm. Hur stor area upptar syltburken på bordet? c) Aapos mopedmotor har cylindervolymen 50 cc (kubikcentimeter). Cylinderns diameter är 48 mm. Beräkna den cylinderformade kolvens slaghöjd.

AB = 25 cm2 d) Everts cylinderformade vas fylls med 6 dl vatten. Vattnet når upp till två tredjedelar av vasens höjd. Vasens inre diameter är 9,8 cm. Beräkna vasens höjd.

1292. a) En cylinderformad behållare för säd är 10 m hög och den inre diametern är 6,0 m.

Hur mycket foder ryms det i behållaren? Svara i både kubikmeter och liter. b) En ishockeypuck har höjden 2,5 cm och diametern 7,6 cm.

I. Beräkna puckens volym.

II. Hur mycket väger pucken då gummits densitet är 1,5 g/cm3.

III. Beräkna puckens totala area. c) Emma har en cylinderformad brännoljetank med diametern 1,80 m och höjden 2,50 m.

I. Hur mycket material går åt vid tillverkningen av tanken?

II. Hur många liter rymmer tanken?

III. Vad kostar det att fylla tanken då priset på brännolja är 1,08 €/l? d) Blåmögelost har formen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln 45° och radien 10 cm.

Ostens höjd är 6,0 cm. Ostarna är förpackade i aluminiumfolie. Beräkna I. volymen för osten II. arean av aluminiumfolien som omger osten.

1293. a) En kon har följande mått: radien 5,5 cm, höjden 18,8 cm och sidlängden 19,6 cm.

Beräkna konens I. volym II. totala area. b) Dennis köper popcorn. Struten är öppen och har sidan 30 cm, diametern 18 cm och höjden 28,6 cm. Beräkna I. hur mycket papper det går åt för att tillverka struten II. hur många liter popcorn det ryms i struten. c) Beräkna volymen och den totala arean för en kon med radien 5,0 cm och höjden 12,0 cm. d) Ett lastbilsflak har formen av en halv cylinder. Flaket är 2,8 m brett och 7,5 m långt.

Hur många gruslass måste bilen köra för att förflytta allt material från en konformad hög med diametern 30 m och höjden 15 m? Flaket fylls upp till kanten.

1294. a) En korgboll för fullvuxna har radien 12 cm. Beräkna bollens volym och area. b) Oskars fågelbad har formen av ett halvklot med diametern 50 cm.

I. Hur många liter vatten ryms i badet?

II. På hur stor vattenyta kan fågeln röra sig? c) Linda älskar glass och köper tre kulor. En kula har diametern 6,0 cm.

Hur många deciliter glass köper Linda? d) En vattenmelon har omkretsen 66,5 cm I. Beräkna hur stor area skalet har. Svara i lämplig enhet.

II. Skalet är 1,6 cm tjockt. Hur många liter fruktkött finns på insidan av skalet?

206

5 Cirkelns geometri – Repetitionsuppgifter