ALFA MAA2 Utdrag

MAA

2

Funktioner och ekvationer 1

ALFA Jukka Harsunkorpi Paavo Heiskanen Mika Leikas Miia-Maarit Saarelainen Jorma Tahvanainen Jan-Anders Salenius

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Moodi MAA2 Funktiot ja yhtälöt 1 Redaktörer för den finska upplagan: Hieu Tran och Anssi Tuovinen Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Bildredaktörer: Kirsi Aronniemi och Mari-Elina Lemmetty Förlagans layout: Kaisa Manner, Sari Jeskanen och Anni Mikkola Ombrytning: Aste Kirjat Oy / Sari Jeskanen (den finska upplagan) och Jukka Iivarinen / Vitale (den svenska upplagan) Illustrationer: Marja Venäläinen Omslag: Kustmedia Ab / Terese Bast Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Första upplagan, 2020 Text © Jukka Harsunkorpi, Paavo Heiskanen, Mika Leikas, Miia-Maarit Saarelainen och Jorma Tahvanainen I verket har använts material ur serien Tekijä Pitkä matematiikka (GLP16), vars författare är Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Pertti Lehtinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas och Jorma Tahvanainen.

Illustrationer © Marvegraf Oy, Kustantaja © Sanoma Pro Oy © 2021 Jan-Anders Salenius och Schildts & Söderströms ISBN 978-951-52-5322–4

Innehåll

Räkneoperationer med polynom

Polynomfunktioner av högre grad

1 Summan och differensen av polynom................................... 9

15 Polynomfunktioner av högre grad.....................................119

2 Multiplikation av polynom....................................................... 16

16 Ekvationer av högre grad........................................................128

3 Kvadraten av en summa och kvadraten av en differens...................................................................................... 22

17 Samband mellan nollställen och faktorer.......................133

4 Produkten av en summa och en differens ........................ 28 5 Faktorisering................................................................................... 34

Potensfunktion 6 Räkneregler för kvadratrötter................................................. 43 7 Det allmänna rotbegreppet..................................................... 52

Polynomfunktioner av första och andra graden 8 Polynomfunktioner av första graden.................................. 65 9 Olikheter av första graden........................................................ 73 10 Polynomfunktioner av andra graden.................................. 81 11 Lösningsformel för ekvationer av andra graden........... 91 12 Olikheter av andra graden........................................................ 97 13 Diskriminant..................................................................................103 14 Tillämpningar................................................................................110

18 Olikheter av högre grad...........................................................141

Rationell funktion 19 Rationell funktion.......................................................................149 20 Räkneoperationer med rationella uttryck......................158 21 Rationell ekvation ......................................................................165

Rotfunktion 22 Rotfunktion....................................................................................171 23 Kvadratrotsekvation..................................................................180 24 Allmän rotekvation....................................................................189

Repetition..........................................................................................196 Facit........................................................................................................203 Sakegister.........................................................................................224 Programfärdigheter...............................................................226 De mångsidiga kompetenserna....................................228

3

Till dig som använder boken Alfa MAA2 är en läromedelsserie i lång matematik. Serien beaktar att du som studerande lär dig på olika sätt. Med hjälp av materialet får du verktyg som lämpar sig för olika inlärningsstilar och situationer.

I MAA2 Funktioner och ekvationer 1 bekantar vi oss med funktionernas egenskaper och lär oss lösa problem med hjälp av ekvationer.

Symboler som används i boken Uppgiften är krävande.

CAS Uppgifter som är tänkta att räknas

utan symboliska kalkylprogram eller räknare (CAS).

E1 Hänvisning till typexempel 1.

Uppgifter som är tänkta att räknas med något program.

GG Hänvisning till GeoGebra-appleten.

Symboler som används i boken

Basinnehåll Här får du jobba med mångsidig kompetens i läromedlets text- och bildmaterial.

Uppgifter Här får du jobba med mångsidig kompetens i uppgifter till basinnehållet.

lera genrer F Här får du jobba med andra genrer än lärobokstext.

8 Polynomfunktioner av första och andra graden

I början av ett avsnitt presenteras de centrala målen för avsnittet.

i det här avsnittet lär du dig lösa ekvationer och olikheter av första och andra graden. det är nödvändiga grundfärdigheter i alla studier i matematik.

lera ämnen F Här får du tips på andra ämneskunskaper du kan använda.

orskning och fakta F Här får du ta del av forskning och fakta utanför lärobokstexten.

rfarenhet och upplevelser E Här får du ta del av enskilda individers erfarenheter och upplevelser.

lera språk F Här möter du flera olika språk.

Polynomfunktioner av första och andra graden Vi undersöker

GG

Grafen till en polynomfunktion av första graden f ( x ) = a x + b är en linje.

Undersök med hjälp av appleten hur koefficienterna a och b påverkar grafens utseende.

1. Bestäm sådana värden för koefficienterna a och b att grafen till funktionen f a) är en stigande linje som går genom punkten (0, 3) b) är en fallande linje som skär x-axeln vid x = −2 c) går genom punkterna (−1, 4) och (3, −4).

Finns det flera lösningar till uppgiften?

2. Hur påverkas utseendet av grafen till funktionen f när du ändrar koefficienten a?

3. Hur påverkas utseendet av grafen till funktionen f när du ändrar koefficienten b?

64

4

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

8 P o ly n o m f u n k t i o n e r av f ö r s ta o c h a n d r a g r a d e n

65

Varje kapitel börjar med en Vi undersöker-uppgift, som leder dig framåt till ny kunskap.

du lär dig känna igen polynomets termer.

Polynom består av termer

Teorin presenteras så att du kan studera självständigt.

I det här avsnittet repeterar vi begrepp som har att göra med polynom.

Vi övar också addition och subtraktion av polynom.

a) polynomets gradtal b) polynomets termer

koefficient

variabeldel

–6 x3

DEFINITION

Monom

c) koefficienten i andragradstermen d) koefficienten i förstagradstermen

Ett monom är en produkt av ett tal och en potens av en variabel eller enbart ett tal.

gradtal

variabel

e) konstanttermen.

Variabelns exponent bör vara ett positivt heltal.

lÖSninG

Variabelns exponent bestämmer monomets gradtal.

a) Termen med det högsta gradtalet är 2x5 vilket betyder att polynomets gradtal är 5.

Ett monom kan också bestå av flera variabler.

b) Polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 kan skrivas i formen

Exempel på monom är –6x3, 3 y och 7.

4 Uttrycket 2 = 2 x −1 är inte ett monom eftersom variabelns exponent x inte är ett positivt heltal.

2x5 + (-7x3) + x2 + (-9).

Polynomets termer är 2x5, -7x3, x2 och -9.

d) Polynomet saknar förstagradsterm. Vi kan tänka att förstagradstermen är 0 · x , vars koefficient är 0. e) Konstanttermen är -9.

Ett polynom är summan av flera monom.

De monom som polynomet består av är polynomets termer.

Svar

Polynomets gradtal är lika med det högsta gradtalet hos dess termer.

a) 5

En term som saknar variabel utgör en konstantterm. du lär dig förenkla ett polynom.

Exempelvis är uttrycket

ett femtegradspolynom i variabeln x där femtegradstermen är förstagradstermen är –4x och konstanttermen är 8.

Serie I innehåller basuppgifter som följer ordningen i typexemplen.

Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

I

13.1 CAS

E1

13.2 CAS

CAS

13.4 CAS

13.5 CAS

E2

13.6 CAS

13.7 E3

I slutet av avsnittet finns flervals­ uppgifter med vars hjälp du kan testa ditt kunnande.

−y2

3a 2 − a

−y2 + 3y + 7

5a 3

−x 3 + 8

5x 3 + 7 x 2 − 2

−9 x 2 + 6 x 3 + x − 7 x + 2 x 3 + 11

vi ordnar termerna enligt fallande gradtal.

= 6 x 3 + 2 x 3 − 9 x 2 + x − 7 x + 11

vi sammanslår de likformiga termerna: 6 x 3 + 2 x 3 = 8 x 3 och x − 7 x = −6 x .

8 x 3 − 9 x 2 − 6 x + 11

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

b) Ekvationen 214x2 – 102x + 12 = 0 har 1) två rötter 2) en rot 3) inga rötter. a) Diskriminanten för ekvationen 0,9x2 + 14,4 = 7,2x är 1) 103,68 2) –103,68 3) 0.

Beräkna diskriminanten för ekvationen.

Hur många rötter har ekvationen? a) 13,4x2 = 4 – 2,57x b) 8x(1 – 3x) = 0 Hur många rötter har ekvationen? a) x2 – 6x + 12 = x2 b) 3x2 + x – 81 = x För vilka värden på konstanten q har ekvationen 4x2 – 8x + q = 0 a) två rötter b) en rot c) högst en rot?

För vilka värden på konstanten k saknar funktionen f(x) = –4x2 + kx – 1 nollställen?

För vilka värden på konstanten p har ekvationen 3x2 + px + 12 = 0 exakt en rot?

Bilda de ekvationer som motsvarar de här p-värdena och lös dem.

Visa att funktionen f(x) = x(12 – 3x) inte antar värdet 13.

13.9

Bestäm a) med hjälp av en applet b) genom uträkningar värdet på koefficienten b så att toppen för parabeln y = − 1 x 2 + bx − 12 är på 3 x-axeln.

108

CAS

Svar

Tredjegradspolynom

a) Diskriminanten för ekvationen 214x2 – 102x + 12 = 0 är 1) –132 2) –20 676 3) 132.

e) -9

d) 0

= 8 x 3 − 9 x 2 − 6 x + 11

5a − 1

Andragradspolynom

13.8

GG

definiTion Termerna i ett polynom är likformiga om de har likadana variabeldelar.

Ett trinom har tre termer

6x

1 S u mman o c h di f f eren S en av polynom

13.10

a) Undersök med hjälp av en applet vilket villkor konstanten k bör uppfylla för att grafen till funktionen f(x) = x2 + 3kx + 4 helt och hållet ska finnas ovanför x-axeln. b) Motivera dina observationer genom uträkningar.

GG

II

13.17

För vilka värden på konstanten a har ekvationen ax2 + (a – 3)x + 1 = 0 exakt en rot? Bilda de ekvationer som svarar mot de här a-värdena och lös dem.

13.18

För vilka värden på konstanten a har funktionen f(x) = ax2 – 6x + a – 8 två nollställen?

13.19

Visa att ekvationen px2 + 3x = p + 2 har minst en rot oberoende av värdet på konstanten p. För vilket värde på konstanten p har ekvationen exakt en rot?

13.20

Vi antar att förtecknen hos koefficienterna a och c i ekvationen ax2 + bx + c = 0 är olika.

Visa att ekvationen har två rötter.

13.21

a) Undersök med hjälp av appleten för

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

13.11 CAS

a) Diskriminanten för ekvationen 4,02x2 + 8,14x = –5,03 är 1) –14,6228 2) 46,039 3) 147,142. b) Ekvationen 4,02x2 + 8,14x = –5,03 har 1) två rötter 2) en rot 3) inga rötter.

b) Ekvationen 0,9x2 + 14,4 = 7,2x har 1) två rötter 2) en rot 3) inga rötter.

13.3

Ett binom har två termer

Förstagradspolynom

Du lär dig grunderna

c) 1

lÖSninG

2x5,

Vi kan också indela polynom, förutom enligt deras gradtal, enligt antalet termer.

10

b) 2x5, -7x3, x2 och -9

E X E MP E L 2 Förenkla polynomet −9 x 2 + 6 x 3 + x − 7 x + 2 x 3 + 11.

2 x 5 − 4 x + 8 dvs. 2 x 5 + (−4 x 1 ) + 8

Ett monom har en term

13.12 CAS

13.13 CAS

13.14 CAS

Hur många rötter har ekvationen? a) x3 – 12x2 + 9 = x3– 4x b) 2x3 + x2 + 6 = x3 + x2

GG

För vilka värden på konstanten c har funktionen f ( x ) = 1 x 2 − 3 x + c 8 a) två nollställen b) ett nollställe c) minst ett nollställe?

13.22

vilka värden på konstanten a funktionen f (x ) = 2 3 är definierad för alla ax − ax + 3 reella tal. b) Motivera dina observationer genom uträkningar.

Vilket villkor måste konstanten c uppfylla för att funktionen f(x) = 6x2 – 24x + c ska anta värdet 210?

13.16

a) Undersök med hjälp av appleten vilket villkor konstanten q måste uppfylla för att funktionerna f(x) = –x2 + 3x + 7 och g(x) = 5x + q ska ha en gemensam punkt.

Vilken är den här punkten? b) Motivera dina observationer genom uträkningar.

Bestäm toppen till parabeln y = ax2 + bx + c med hjälp av lösningsformeln för andragradsekvationer. Metoden baserar sig på följande iakttagelser: a) Visa: om diskriminanten D ≥ 0 för andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0 så skär parabeln x-axeln i punkterna x1 = − b − D och x 2 = − b + D .

2a 2a 2a 2a b) Avgör y-koordinaten för toppen till parabeln y = ax2 + bx + c. c) Bestäm topparna till parablerna y = 4x2 + 124x + 961 och y = x2 – 23x + 123. Granska resultatet genom att rita parablerna med din räknare.

I boken MAA6 Alfa Derivatan, visar vi att metoden även fungerar när D < 0.

Testa vad du kan 13

CAS

a) 9x2 + 30x + 25 = 0 b) –2x2 + 3,75x – 1,5 = 0 c) 92 x 2 − 38 x + 17 = 0 med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

13 D iskriminant

Repetition

Repetera: Polynomfunktioner av första och andra graden

Välj de rätta svarsalternativen. Det finns 1–3 rätta svarsalternativ i varje uppgift.

a) x = –6 b) x = –2 c) x = 8.

F2. Värdet av funktionen f(x) = 2x + 5 vid x = 9 är a) 2 b) 23 c) 32.

F3. Det minsta heltalet som uppfyller olikheten 3 x − 5 > x + 2 är a) 3 b) 4 c) 7.

F4. Olikheten 6x − 11 ≤ 4 + x satisfieras a) av alla negativa heltal b) när x ≤ 3 c) när x = −9.

F5. Vilken av graferna nedan är en parabel som öppnar sig nedåt? a) f (x) = –3x + 2 b) f (x) = x2 – x – 3 c) f (x) = –x2 + x + 1

F6. Grafen till funktionen f ( x ) = − x 2 + 9 x − 7 a) är en parabel som öppnar sig nedåt b) är en parabel som öppnar sig uppåt c) går genom punkten (0, −7) .

I det digitala materialet finns uppgifternas modellösningar.

I avsnittet Testa vad du kan kan du kolla om du lärt dig de centrala färdigheterna i kapitlet.

rymdsonden solar Orbiter, som undersöker solen, sköts upp i Florida den 10:e februari 2020.

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

F1. Lösningen till ekvationen 2x – 7 = x +1 är

I programlådorna finns anvisningar om de centrala programfärdigheterna.

Anvisningarna finns även samlade i slutet av boken.

11

Hur många lösningar (rötter) har ekvationen?

Visa att funktionen f(x) = –3x2 + 42x – 5 a) inte antar värdet 143 b) antar värdet 142 för ett enda variabelvärde c) antar värdet 141 för två variabelvärden.

13.15

GG

Exemplen visar hur du tillämpar ny kunskap.

Bredvid exemplet nämns den färdighet du lär dig.

c) Andragradstermen är x2, vars koefficient är 1.

DEFINITION

Polynom

Uppgifterna är indelade i två serier.

E X E MP E L 1 Undersök polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 och bestäm

R7.

Förenkla.

CAS

a)

F7. I ekvationen

x2

F8. I ekvationen

–x2

+ 5x = 4 är de koefficienter som vi bör sätta in i lösningsformeln a) a = x2, b = 5x och c = 0 b) a = 1, b = 5 och c = 0 c) a = 1, b = 5 och c = –4. + 9 = 0 är de koefficienter som vi bör sätta in i lösningsformeln a) a = –1, b = 9 och c = 0 b) a = –1, b = 0 och c = 9 c) a = –x2, b = 0 och c = 9.

F9. Lösningen till olikheten a) x < 1 b) x < ±1 c) –1 < x < 1.

x2

R1.

R2.

CAS

CAS

F10. Lösningen till olikheten x2 > 9 är a) x > 3 eller x < –3 b) x < 3 eller x > –3 c) –3 < x < 3.

R4.

CAS

R5.

CAS

Förenkla. a) 5 x 2 − 2 x (3 x − 4) b) 2 x − (7 x − 3)( − x + 5)

CAS

196

Förenkla. a) (7 x − 2)2

b) (5 x + 1)2

2

)

CAS

R9.

Förenkla. a) (2 x − 3)(2 x + 3) b) ( x 2 + 4)( x 2 − 4) c) (3 x − 9)( x + 3)

CAS

Förenkla. a) 5( x + 2)( x − 2)

R10.

Förenkla.

CAS

a) ( 3 + 7 )( 3 − 7 ) b) (2 7

b) x 2 − 2( x + 3)( x − 3)

I slutet av materialet finns repetitionsuppgifter för varje avsnitt och två serier med repetitionsuppgifter.

+ 1)2

c) (3 − 7 )2

R11.

CAS

R12.

R13.

CAS

Lös ekvationen. a) 6 x − (5 − 4 x ) − 3( x + 3) = 0 x + 1 2x + 6 x b) − = −1 2 6 3 Faktorisera. a) 25 x 2 − 9

b) x 3 − 9 x

c) x 4 − 81

Faktorisera. a) 25 x 2 − 10 x + 1 b)

3x 2

+ 12 x + 12

c) x 3 − 2 x 2 + x

R14.

Faktorisera. a) x ( x + 2) − 5( x + 2) b) y 3 + y 2 − y − 1 c) z 3 − 3 z 2 + 2 z − 6

Kontrollera om Aino och Dimitri räknade rätt.

Korrigera de fel du observerar.

Dimitri: (2 y + 1)2 = 2 y 2 + 2 ⋅ 2 y ⋅ 1 + 12 = 2 y 2 + 4 y + 2

R6.

R8.

CAS

Aino: (3 x − 5)2 = (3 x )2 + ( −5)2 = 9 x 2 + 25

117

3

(

CAS

f) 32 ⋅ x 2 − 5 2 Välj bland g–i det alternativ som utgör det färdigt förenklade uttrycket. g) 9 x 2 − 25 h) 7 x + 5 i) 6 x 2 − 5 x − 25

ekvationen 7x2 + 31 = 29x har. a) två b) en c) inga

(k + 8)x2 + kx + 1 = 0 exakt en rot? a) k = –8 b) k = –4 c) k = 8

Din uppgift är att förenkla uttrycket (3 x − 5)(2 x + 5) . Välj bland a–c det alternativ som utgör det första mellansteget i förenklingen. a) (3 x )2 − 5 2 b) 3 x − 5 ⋅ 2 x + 5 c) 3 x ⋅ 2 x + 3 x ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 5 Välj bland d–f det alternativ som utgör det andra mellansteget i förenklingen. d) 3 x − 10 x + 5 e) 6 x 2 + 15 x − 10 x − 25

F11. Avgör utan att lösa ekvationen hur många rötter

F12. För vilket värde på konstanten k har ekvationen

Förenkla. a) (5 x 2 + 3 x − 2) + ( x 2 − 4 x + 5) b) ( −5 x 2 + 7 x ) − ( −4 x 2 + 8 x − 3)

R3.

< 1 är

Undersök polynomet x 5 − 2 x 3 − x + 7 och bestäm a) polynomets gradtal b) polynomets termer c) koefficienten i andragradstermen d) koefficienten i förstagradstermen e) konstanttermen.

( x + 13 )

b) ( − x 3 + x )2 2 3 2 c) 4 x − 1

Räkneoperationer med polynom

109

R15.

CAS

Det färgade områdets area är 74.

Bestäm variabeln x.

5x

x–1 4x

2(x + 1)

c) ( − x − 6)2

Repetition

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

5

Funktioner och ekvationer I MATEMATIKENS HISTORIA ÄR EN DEL AV KULTURERNAS UTVECKLING

P

olynomekvationerna har en lång historia.

Redan ca år 2 000 f.v.t. kunde babyloniska matematiker med hjälp av geometriska metoder lösa andragradsekvationer som i exempel 1 i kapitel 14. Också i Egypten, Grekland, Indien och Kina kände man till geometriska lösningsmetoder.

De första egentliga formlerna för att lösa andra­ gradsekvationer utvecklades på 600-talet i Indien.

Inspirerad av de här metoderna framställde persern Muhammad bin Musa al-Khwarizmi i början av 800talet en mer allmän lösningsformel i sitt arabiska verk al-Jabr (på latin: Algebra).

I Europa blev lösningsformeln känd på 1100-talet när arabiska skrifter översattes till latin. Det blev lättare att lösa ekvationer när översättningarna medförde att de indiska siffrorna (0, 1, 2, …) anlände till Europa och trängde undan användningen av de romerska siffrorna (I, II, III, IV, …). Den nuvarande versionen av lösningsformeln finns i Rene Descartes verk La Géometrié från år 1637.

HI

6

P O LY N O M I E N L A S K U T O I M I T U K S I A

Efter att man började bokföra nya matematiska upptäckter började de sprida sig inom Europa.

Lösningsformlerna för ekvationer av tredje och fjärde graden uppfanns på 1500-talet. Efter det började man leta efter en lösningsformel för femtegrads­ ekvationer, men förgäves. I början av 1800-talet visade norrmannen Abel och fransmannen Galois att det inte finns någon allmän lösningsformel för ekvationer av femte eller högre grad.

Abels och Galois öden beskriver sin tid. Abel dog 26 år gammal i lungsjukdom och Galois dog 20 år gammal i en duell.

”

Abel: "För att göra fram­steg i matematik bör man enligt min syn på saken undersöka mästarnas verk, inte elevernas."

Finlandssvensk pionjär inom matematik

DET GYLLENE SNITTET VAR ANTIKENS IDEAL

S

edan antiken har man använt det gyllene snittet inom konsten och arkitekturen. Det gyllene snittet utgör ett specifikt sätt att dela en sträckas längd i två delar: förhållandet mellan längden av den kortare delen och längden av den längre delen är lika med förhållandet mellan längden av den längre delen och längden av hela sträckan.

Enligt det antika skönhetsidealet bör människans navel dela in hennes längd i det gyllene snittets förhållande. Exempelvis delar naveln hos en staty med längden en meter in statyn i delarna x och 1 – x. Vi får delarnas längder genom att lösa ekvationen 1− x = x , x 1

och denna går att förenkla till formen

x 2 + x − 1 = 0.

Vi undersöker det gyllene snittet närmare i kapitel 14.

HI

Erechtheions tempel på Akropolis i Aten, Grekland

VI UTNYTTJAR POLYNOMEKVATIONER I KARTPROJEKTIONER

GE

A

tt visa ett runt jordklot som en planformad karta är en krävande uppgift. Man har utvecklat flera metoder för det. Den mest bekanta metoden torde vara Mercatorprojektionen som bibehåller de korrekta vinklarna mellan väderstrecken.

Med denna projektion projicerar man jordklotet på en cylinderformad yta som tangerar jordklotet vid ekvatorn. Ju längre bort från ekvatorn man kommer desto mer förvrids ändå de verkliga måttförhållandena. Det kan vara kalkylmässigt utmanande att göra olika kartprojektioner. Man kan ofta under­ lätta processen med hjälp av polynom­ ekvationer eftersom de är relativt enkla att programmera och hantera.

GG G G

7

Räkneoperationer med polynom repeterar du begrepp som har att göra med polynom.

Du övar räknereglerna för polynom och bekantar dig med idén bakom matematisk bevisföring. Färdigheterna behövs i nästan alla kommande studier i matematik. i det här avsnittet

8

1 En matematik­ lärare berättar

Summan och differensen av polynom Vi undersöker

GG

1. Undersök de nedanstående summorna av två på varandra följande udda tal. Vilka regelbundenheter lägger du märke till? Anteckna dina observationer.

1 + 3 = 5 + 7 = 9 + 11 = 2. Hur framgår de här regelbundenheterna i appleten?

3. Anta att n är ett heltal. Då är 2n + 1 och 2n + 3 två på varandra följande udda tal. Undersök om summan av talen 2n + 1 och 2n + 3 följer den regelbundenhet du observerade i punkt 1.

4. Undersök sedan på motsvarande sätt summan av tre på varandra följande udda tal och fyra på varandra följande udda tal. Vad lägger du märke till? Motivera din slutsats.

1 S u m m a n o c h d i ff e r e n s e n av p o ly n o m

9

Polynom består av termer I det här avsnittet repeterar vi begrepp som har att göra med polynom.

Vi övar också addition och subtraktion av polynom. koefficient

variabeldel

–6 x3

DEFINITION

Monom

Ett monom är en produkt av ett tal och en potens av en variabel eller enbart ett tal.

gradtal

variabel

Variabelns exponent bör vara ett positivt heltal.

Variabelns exponent bestämmer monomets gradtal.

Ett monom kan också bestå av flera variabler.

Exempel på monom är –6x3, 3 y och 7.

4 2 − 1 Uttrycket = 2 x är inte ett monom eftersom variabelns exponent x inte är ett positivt heltal.

DEFINITION

Polynom Ett polynom är summan av flera monom.

De monom som polynomet består av är polynomets termer.

Polynomets gradtal är lika med det högsta gradtalet hos dess termer.

En term som saknar variabel utgör en konstantterm.

Exempelvis är uttrycket 2 x 5 − 4 x + 8 dvs. 2 x 5 + (−4 x 1 ) + 8

ett femtegradspolynom i variabeln x där femtegradstermen är 2x5, förstagradstermen är –4x och konstanttermen är 8.

Vi kan också indela polynom, förutom enligt deras gradtal, enligt antalet termer.

Ett monom har en term

10

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Ett binom har två termer

Ett trinom har tre termer

Förstagradspolynom

6x

5a − 1

Andragradspolynom

−y2

3a 2 − a

−y2 + 3y + 7

Tredjegradspolynom

5a 3

−x 3 + 8

5x 3 + 7 x 2 − 2

Du lär dig känna igen polynomets termer.

E X EM P EL 1 Undersök polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 och bestäm a) polynomets gradtal b) polynomets termer c) koefficienten i andragradstermen d) koefficienten i förstagradstermen e) konstanttermen.

LÖSNING a) Termen med det högsta gradtalet är 2x5 vilket betyder att polynomets gradtal är 5. b) Polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 kan skrivas i formen

2x5 + (-7x3) + x2 + (-9).

Polynomets termer är 2x5, -7x3, x2 och -9.

c) Andragradstermen är x2, vars koefficient är 1. d) Polynomet saknar förstagradsterm. Vi kan tänka att förstagradstermen är 0 · x , vars koefficient är 0. e) Konstanttermen är -9.

SVAR a) 5 Du lär dig förenkla ett polynom.

b) 2x5, -7x3, x2 och -9

c) 1

d) 0

e) -9

E X EM P EL 2

CAS

Förenkla polynomet −9 x 2 + 6 x 3 + x − 7 x + 2 x 3 + 11.

LÖSNING DEFINITION Termerna i ett polynom är likformiga om de har likadana variabeldelar.

−9 x 2 + 6 x 3 + x − 7 x + 2 x 3 + 11

Vi ordnar termerna enligt fallande gradtal.

= 6 x 3 + 2 x 3 − 9 x 2 + x − 7 x + 11

Vi sammanslår de likformiga termerna: 6 x 3 + 2 x 3 = 8 x 3 och x − 7 x = −6 x .

= 8 x 3 − 9 x 2 − 6 x + 11

SVAR 8 x 3 − 9 x 2 − 6 x + 11

1 S u m m a n o c h d i ff e r e n s e n av p o ly n o m

11

Du lär dig beräkna summor och differen­ ser av polynom.

E X E M PEL 3

CAS

Förenkla. a) (4 x 2 − 3 x + 7) + (6 x 2 − x ) b) ( x 2 − 5 x + 3) − (−2 x 2 + 6 x + 4)

LÖSNING a) (4x2 - 3x + 7) + (6x2 - x)

OBSERVERA Vi kan ändra en differens till en summa: a - b = a + (-b)

= 4x2 - 3x + 7 + 6x2 - x = 10x2 - 4x + 7

Vi avlägsnar parenteserna.

Vi sammanslår de likformiga termerna.

b) (x2 - 5x + 3) - (-2x2 + 6x + 4) Vi avlägsnar parenteserna. När det finns ett minus framför en parentes byter vi tecken på alla termer.

= x2 - 5x + 3 + 2x2 - 6x - 4

= 3x2 - 11x - 1

Vi sammanslår de likformiga termerna.

SVAR a) 10x2 - 4x + 7

b) 3x2 - 11x - 1

Bevisföring är exakt slutledning Vi ökar den matematiska kunskapen genom att dra slutsatser. Resultatet av en matematisk slutledning kallas en sats. Den slutledning satsen baserar sig på kallas satsens bevis. Startpunkten i ett bevis utgör de kända antagandena och av dem drar vi med hjälp av slutledningsregler och kända sanningar slutsatsen om beviset är giltigt eller inte.

Många bevisuppgifter i den här boken behandlar jämna och udda tal. Ett jämnt tal har alltid formen 2n medan ett udda tal alltid har formen 2n +1, där n är något heltal.

Exempelvis är 22 = 2 · 11 och 23 = 2 · 11 + 1.

Mer allmänt kan vi säga att heltalet a är delbart med heltalet b om det existerar ett sådant heltal q att a = bq.

Exempelvis är talet 12 delbart med talet 4 eftersom 12 = 4 · 3.

12

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Du bekantar dig med idén om matematisk bevisföring.

E X EM P EL 4 Bevisa satsen: Summan av två på varandra följande udda tal är två gånger så stor som det jämna tal som ligger mellan talen.

LÖSNING OBSERVERA 9 =2·4+1 10 = 2 · 4 + 2 11 = 2 · 4 + 3

Vi skriver ut antagandet Ett udda tal har alltid formen 2n + 1, (dvs. startvillkoren). där n är ett heltal.

Därpå följande udda tal är 2n + 3.

Mellan dessa två tal finns det jämna talet 2n + 2.

Vår uppgift är att visa att

Vi skriver ut påståendet.

(2n + 1) + (2n + 3) = 2(2n + 2) .

OBSERVERA Vårt mål är att skriva en motivering som gäller för varje summa av två på varandra följande udda tal. Det är inte tillräckligt att pröva med några utvalda tal, såsom exempelvis 9 + 11 = 20 = 2 · 10.

Denna prövning visar endast att påståendet gäller för talen 9 och 11, inget annat.

Vi beräknar summan av talen 2n + 1 och 2n + 3.

Vi börjar slutledningen från antagandet.

(2n + 1) + (2n + 3)

Vi skriver summan som en produkt med faktorn 2n + 2.

= 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4

Vi bryter ut den gemen­ samma faktorn 2.

= 2 ⋅ 2n + 2 ⋅ 2 = 2(2n + 2)

Påståendet är således bevisat. 

Vi avslutar ofta ett bevis med en liten kvadrat .

Vi avslutar ofta ett bevis med bokstäverna V.S.B. (vilket skulle bevisas) eller med en liten kvadrat . Kvadratsymbolen användes ursprungligen i tidskrifter för att visa var en artikel tar slut. Matematikerna Paul Holmos använde den på 1950-talet första gången för att visa att ett matematiskt bevis avslutats.

1 S u m m a n o c h d i ff e r e n s e n av p o ly n o m

13

I I

1.1

E1

1.2

1.3

1.5

Du lär dig grunderna

Undersök polynomet 2x4 - 5x3 + 4x2 - x + 1 och bestäm a) polynomets gradtal b) andragradstermen c) koefficienten i förstagradstermen d) konstanttermen.

b)

− 3x + 1

5a y2

3 a3

Monom

−3 x + 1 8y2 − 7

Första­ grads­ polynom Andra­ grads­ polynom Tredje­ grads­ polynom Förenkla polynomet. a) 2 x 2 + 4 x + 3 x 2 + 6 b) 6 x 2 − 7 x + 8 x − 5 x 2 + 2

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

3x

-x 7x

c) -4x 7x

-x

1.6 Förenkla. a) (3 x 2 + 4 x − 7 ) + (- x2 + 8) CAS b) (4x + 3) - (-3x - 5)

E3

−x 4 + 4 x

Binom

8x 2x

Placera följande polynom på rätt ställe i tabellen.

6t 3 − t 2 + t

14

5x

5a + a 3

CAS

E2

Bilda ett tredjegradspolynom i variabeln x så att koefficienten i termen med det högsta gradtalet är 2, koefficienten i andragradstermen är 1, koefficienten i förstagradstermen är –3 och den konstanta termen är 7.

x2

1.4

CAS

Komplettera additionspyramiden. Skriv in summan av två bredvidliggande monom i rutan ovanför monomen. a)

Trinom

1.7 CAS

Bilda och förenkla a) summan b) differensen av polynomen - x2 + 2x - 4 och 3 - 2x + x2.

1.8

Lös ekvationen. a) 3x - (1 - 2x) = x - 6 CAS b) 6 - 2x + 4 = 8x - (2x + 4)

1.9 E4

Bevisa satsen: Summan av två på varandra följande udda tal är delbar med talet 4.

1.10 Visa att summan av tre på varandra följande heltal är delbar med talet 3.

II

1.11

1.12

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

Vilka uttryck är polynom i variabeln x? a) 3x8 - 7x b) x3 + 5x + x-3 c) x2 - ax + x d) ax3 - ax + a Undersök polynomet − x 5 − 6 x 4 + x 2 − 3 och bestäm a) polynomets gradtal b) andragradstermen c) koefficienten i tredjegradstermen d) konstanttermen.

1.13 Förenkla.

− 2 x + 8) − 4 x) + 2 3 − 7 x ) - ( −4 x + 2 x 2 − 1)

CAS

1.14

Komplettera additionspyramiden. Skriv in summan av två bredvidliggande monom i rutan ovanför monomen.

CAS

Anta att P(x) = 3x2 + x och Q(x) = 3x2 - x + 4. Visa att CAS a) gradtalet hos summan P(x) + Q(x) är 2 b) gradtalet hos differensen P(x) - Q(x) är 1.

1.19 Lös ekvationen.

CAS

2x − 5 2 − x = 3 2 3x − 4 2 x + 7 x − = 1+ b) 2 4 3 a) x −

1.20 Bestäm ett sådant värde på konstanten a att lösningen till ekvationen är x = -2.

a) (5 x 2 b) (x 3

1.18

x − 3a a − 2 x 2 a 15 x 2 − 2 x − 6 − − = 6 2 3 2

(3 x 2

1.21 Talen a, b och c satisfierar ekvationerna

b - a = c - b = 3. Bestäm talen a, b och c, när a) 3a - b = 11 b) 3a - c = 5.

1.22 Vi adderar två heltal som båda slutar på siffran

3x2

1.15 CAS

−2 x 2

− 5x

− 6x + 4

Vi kan förenkla kvadratrotsuttryck på samma sätt som vi förenklar polynom. Förenkla uttrycken. a) 5 3 − 4 2 − 2 3 + 2

( c) ( 2

) ( 5 − 2) 2 − 1) + ( 5 − 2 + 1)

b) 3 5 + 2 −

3+

1.16 Bilda ett andragradspolynom i variabeln x så

att koefficienten i förstagradstermen är –3, konstanttermen är 7 och att polynomet antar värdet 6 när x är –1.

1.17

5. Visa att summan är ett tal som slutar på siffran 0.

−2 x 2 + x + 2

Bevisa satsen: Summan av fyra på varandra följande udda heltal är fyra gånger så stor som det jämna heltal som ligger mitt emellan de två mittersta talen.

Testa vad du kan 1

CAS

Förenkla polynomet (7 x + 1) + (2 x 3 − 6) − (− x 2 + 3 x ).

Bestäm a) polynomets gradtal b) andragradstermen c) koefficienten i förstagradstermen d) konstanttermen.

Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

1 S u m m a n o c h d i ff e r e n s e n av p o ly n o m

15

2

Multiplikation av polynom Vi undersöker

GG

1. En rektangel har sidlängderna a och b + c. Undersök med hjälp av appleten hur du kan uttrycka rektangelns area med hjälp av areorna av de mindre rektanglarna. a

b

c

2. En rektangel har sidlängderna a + b och c + d. Undersök med hjälp av appleten hur du kan uttrycka rektangelns area med hjälp av areorna av de mindre rektanglarna. b a

c

d

Multiplikation av polynom följer den distributiva lagen I undersökningen åskådliggör vi den distributiva lagen för multiplikation a(b + c ) = ab + ac .

Vi multiplicerar varje term i parentesfaktorn med faktorn framför parentesen.

Vi kan förenkla produkten av två binom genom att använda den distributiva lagen. (a + b )(c + d ) = a(c + d ) + b(c + d ) = ac + ad + bc + bd

Vi får räkneregeln (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd .

Vi multiplicerar varje term i den senare parentesfaktorn med varje term i den första parentesfaktorn.

När vi multiplicerar polynom med varandra behöver vi vid sidan av de här reglerna ytterligare räkneregler för potenser. Den viktigaste potensregeln är produkten av två potenser med samma bas. am an = am + n

16

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Den gemensamma basen utgör bas och exponenten är summan av expo­ nenterna i de enskilda potenserna.

Du lär dig multiplicera ett monom med ett polynom.

E X EM P EL 1

CAS

Förenkla. a) 6a 3 ⋅ 5a 4 b) −5 x 4 (3 x 2 + 2 x − 4)

LÖSNING a) 6a3 · 5a4

= 6 · 5 · a3 · a4 = 30a7

b) -5x4(3x2 + 2x - 4)

Vi ordnar faktorerna i produkten så att koefficienterna finns i början och variablerna i slutet.

Koefficienternas produkt blir ny koefficient medan exponenternas summa 3 + 4 = 7 blir ny exponent.

Vi multiplicerar monomet med varje term i polynomet.

= -5x4 · 3x2 - 5x4 · 2x - 5x4 · (- 4) Koefficienternas produkt blir ny

koefficient medan exponenternas summa blir ny exponent.

= -15x6 - 10x5 + 20x4

SVAR a) 30a 7 b) −15 x 6 − 10 x 5 + 20 x 4

2 M u lt i p l i k at i o n av p o ly n o m

17

Du lär dig multiplicera två polynom med varandra.

E X E M PEL 2

CAS

Beräkna produkten av polynomen 3x2 + 5 och 4x + 7.

LÖSNING (3x2 + 5)(4x + 7)

Vi multiplicerar varje term i den senare parentesfaktorn med varje term i den första parentesfaktorn.

= 3x2 · 4x + 3x2 · 7 + 5 · 4x + 5 · 7

Vi utför multiplikationerna.

= 12x3 + 21x2 + 20x + 35

SVAR 12x3 + 21x2 + 20x + 35

Du lär dig utföra räkneoperationer med polynom i rätt ordning.

EX EM P EL 3

CAS

Förenkla 8 x 3 − 4 x (3 x − 2 x 2 ).

LÖSNING 8x3 - 4x(3x - 2x2) = 8 x 3 − 4 x ⋅ 3 x − 4 x ⋅ ( −2 x 2 )

= 8x3 - 12x2 + 8x3 = 16x3 - 12x2

SVAR 16x3 - 12x2

18

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Vi avlägsnar parenteserna med multiplikation.

Vi kan också förenkla polynom med CAS-räknaren Du måste lära dig förenkla polynomuttryck utan CAS-räknare. I tillämpningsuppgifter är det ändå tillåtet att förenkla uttrycken med räknaren.

PROGRAM

Räkneoperationer med polynom på CAS-räknaren CAS-räknaren beräknar vanligen summan och differensen av polynom utan något enskilt kommando.

(2x+3)–(x–1)=x+4 Kommandot expand beräknar vanligen produkten av polynomen. expand((2x+3)·(x–1))=2x2+x–3

BENÄMNING Expand, utvidga, förlänga

Du lär dig förenkla polynomuttryck med CAS-räknaren.

E X EM P EL 4 Anta att P ( x ) = 4 x − 7 och Q ( x ) = x 2 − 5 x + 3 . Förenkla med hjälp av CAS-räknaren. a) Q ( x ) − x ⋅ P ( x ) b) Q ( x )P ( x )

LÖSNING a) Vi förenklar uttrycket.

Q( x ) − x ⋅ P( x )

Vi sätter in Q ( x ) = x 2 − 5 x + 3 och P ( x ) = 4 x − 7.

= ( x 2 − 5 x + 3) − x ⋅ (4 x − 7)

Vi förenklar med CAS-räknaren.

=

−3 x 2

+ 2x + 3

b) Vi förenklar uttrycket.

Q ( x )P ( x )

Vi sätter in Q ( x ) = x 2 − 5 x + 3 och P ( x ) = 4 x − 7.

= ( x 2 − 5 x + 3) ⋅ (4 x − 7)

Vi förenklar med CAS-räknaren.

= 4 x 3 − 27 x 2 + 47 x − 21

SVAR a) −3 x 2 + 2 x + 3 b) 4 x 3 − 27 x 2 + 47 x − 21

2 M u lt i p l i k at i o n av p o ly n o m

19

I

Du lär dig grunderna

2.1 Förenkla.

CAS

E1

a) x ⋅ 3 x b) −2 x 2 ⋅ 3 x 4 c) x ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4

2.2 Förenkla.

CAS

a) x (3 x − 4) b) −2t (5t − 3)

2.3

Förenkla. a) 2a 3 (4 a 2 − 3a + 1) b) − x 2 (− x 2 + 3 x − 4)

CAS

2.8 Förenkla.

CAS

a) 3 x − 2( x − 5) b) 5(2 x + 4) − 6(3 x − 5)

2.9

Anta att P ( x ) = 3 x 2 − 5 x och Q ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 2. Förenkla med CAS-räknaren. a) P ( x )Q ( x ) b) 2 xP ( x ) − 3 xQ ( x )

E4

2.10

3x 3

2.4 Förenkla.

CAS

E2

2.5 CAS

4x + 1

Förenkla. a) ( x 2 − 3)(4 x − 2) b) (−6 x 2 + 2 x )(4 x − 3)

CAS

a) produkten av binomen x + 5 och x – 5 b) kvadraten av binomet 2x + 3.

2.7

Din uppgift är att förenkla uttrycket 12 x − 3(4 x + 1). Välj av alternativen a–c det alternativ som utgör det första mellansteget i förenklingen. a) 12 x ⋅ 4 x + 12 x ⋅ 1 − 3 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 1 b) 12 x − 3 ⋅ 4 x + 3 ⋅ 1 c) 12 x − 3 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 1 Välj av alternativen d–f det alternativ som utgör det andra mellansteget i förenklingen. d) 12 x − 12 x − 3 e) 48 x + 12 x − 12 x − 3 f) 12 x − 12 x + 3 Välj av alternativen g–i det alternativ som utgör det färdigt förenklade uttrycket. g) 48 x − 3 h) x + 3 i) −3

E3

20

x+1

3x

a) ( x + 3)(5 x + 7) b) (2a − 4)(3a + 1)

2.6 Beräkna

CAS

Arean av figuren nedan är 45.

Bestäm variabeln x.

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

II

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

2.11 Förenkla.

CAS

a) 3a 2 ⋅ 5a 3 b) (−4 a 4 ) ⋅ (−5a 3 )

2.12 Förenkla.

CAS

a) 4 x 2 (5 x 2 − 6 x + 2) b) −3 x (2 x 3 + 5 x − 4)

2.13 Förenkla.

CAS

2.14 CAS

a) (3 x − 5)( x 2 + 1) b) (2 x 3 + 3 x 2 − 1)(4 x − 6)

Förenkla. a) 6t 2 − 3t 2 (2t − 4) b) 4t 3 − t 2 + 2t (t 2 − 2t + 3)

2.15 Kontrollera om Amir och Mira räknade rätt.

Korrigera de fel du observerar.

Amir: 3 x (2 x 4 − 5) = 6 x 5 − 5 Mira: 5 x + 3(4 x − 1) = 20 x 2 − 5 x + 12 x − 1

2.22

2.16 Multiplicera summan av binomen 3x 2 − 5 x CAS

och − x + 4 med binomet 2 x + 4.

Arean av hela figuren är 77.

Bestäm variabeln x. x+2

2.17 Förenkla.

CAS

2.18 CAS

a) (3 x − 4)2 b) (−2 x 2 + 1)2 c) ( x 3 + 2)2

x+2

Beräkna produkten av polynomen 2 x + 1, 4 x − 2 och 4 x 2 + 1 .

Harjoitellaan suomeksikin!

2.19 Sievennä tulo 3x 2 − 5 x 2 + 5 CAS

2.20

2.21

(

)(

polynomiksi. Mikä on polynomin a) asteluku b) toisen asteen termin kerroin c) vakiotermi?

)

Anta att P ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3 och Q ( x ) = 2 x 4 + 6 x 3. Bestäm gradtalet av polynomet (2 x 2 − 1) ⋅ P ( x ) − x ⋅ Q ( x ) .

Bestäm konstanten a så att koefficienten i andragradstermen hos polynomet (3 x 2 + ax − 4)(−2 x 2 − 5 x + 1) är 6.

fi

x

6

x+1

x+1

2.23 Bevisa satsen: Produkten av fem på varandra följande heltal är delbar med talet 5.

2.24 Visa att det för två udda heltal gäller

a) att deras summa alltid är ett jämnt tal b) att deras produkt alltid är ett udda tal.

Testa vad du kan 2

CAS

Förenkla. a) −3a 4 ⋅ 6a ⋅ (−a 2 ) b) −a 2 (5a 3 − 3a 2 + 4) c) (6 x − 1)(−2 x + 5) d) 12 x − 3(5 x + 2) Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

2 M u lt i p l i k at i o n av p o ly n o m

21

3

Kvadraten av en summa och kvadraten av en differens Vi undersöker

GG

En kvadrat har sidlängden a + b. Undersök med hjälp av appleten hur du kan uttrycka arean av denna kvadrat med hjälp av areorna av de mindre rektanglarna. b

a a

Torget Piazza degli Scacchi, Italien.

22

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

b

Minnesregler underlättar förenklingen av uttryck Resultatet vi åskådliggör i undersökningen kallas minnesregeln för kvadraten av en summa (binom). Kvadraten av en differens har en egen minnesregel. I detta kapitel övar vi oss att förenkla uttryck med hjälp av dessa minnesregler.

Minnesregeln för kvadraten av en summa

SATS

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

BEVIS Vi skriver kvadraten av summan som en produkt och utför multiplikationerna. (a + b)2 = (a + b)(a + b)

=a·a+a·b+b·a+b·b

= a2 + 2ab + b2 

Enligt satsen får vi kvadraten av summan av två tal genom att addera den dubbla produkten av talen till summan av talens kvadrater. (a + b)2

a2

=

kvadraten av summan

+

2ab

kvadraten av talet a

b2

+

dubbla produkten

kvadraten av talet b

BENÄMNING

Minnesregeln för kvadraten av en differens

Ofta använder man även benämningen kvadraten av ett binom när man talar om kvadraten av en summa och kvadraten av en differens.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

SATS

Satsen bevisas i uppgift 3.10.

Enligt satsen får vi kvadraten av differensen av två tal genom att subtrahera den dubbla produkten av talen från summan av talens kvadrater. (a - b)2

=

kvadraten av differensen

a2 kvadraten av talet a

–

2ab dubbla produkten

+

b2 kvadraten av talet b

3 K va d r at e n av e n s u m m a o c h k va d r at e n av e n d i ff e r e n s

23

Du lär dig förenkla kvadraten av en summa och kvadra­ ten av en differens.

E X E M PEL 1

CAS

Förenkla. a) (x + 3)2

b) (3x - 5)2

LÖSNING a) Vi använder minnesregeln (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2.

(x + 3)2

x2

=

kvadraten av summan

+ 2·x·3

kvadraten av talet x

32

+

dubbla produkten

= x2 + 6x + 9

kvadraten av talet 3

b) Vi använder minnesregeln (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2.

= (3 x )2

(3 x − 5)2 kvadraten av differensen

– 2 ⋅ 3x ⋅ 5

kvadraten av talet 3x

+

dubbla produkten

52

= 9 x 2 − 30 x + 25

kvadraten av talet 5

SVAR a) x 2 + 6 x + 9 Du lär dig använda minnes­ reglerna.

b) 9 x 2 − 30 x + 25

EX EM P EL 2 Förenkla.

(

a) x 2 + 1 2

LÖSNING

)

2

c) (− x − 5)2

b) ( x 4 − 3 x )2

a)

( x + 12 )

= ( x 2 )2 + 2 ⋅ x 2 ⋅

= x4 + x2 +

2

CAS

2

1 4

()

1 1 + 2 2

(a + b)2, där a = x2 och b = 1 2 2

a2 + 2ab + b2

b) ( x 4 − 3 x )2

= ( x 4 )2 − 2 ⋅ x 4 ⋅ 3 x + (3 x )2

= x 8 − 6x 5 + 9x 2

(a – b)2, där a = x4 och b = 3x

c) (− x − 5)2

= ( − x )2 − 2 ⋅ ( − x ) ⋅ 5 + 5 2

= x 2 + 10 x + 25

(a – b)2, där a = –x och b = 5

a2 – 2ab + b2

a2 – 2ab + b2

SVAR

a) x 4 + x 2 + 1 4

24

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

b) x 8 − 6 x 5 + 9 x 2

c) x 2 + 10 x + 25

Du lär dig använda minnesreglerna i motsatt riktning.

E X EM P EL 3

CAS

a) Uttryck polynomet 9 x 2 − 30 x + 25 som kvadraten på en differens. b) Bestäm ett sådant värde på konstanten k att polynomet 25 x 2 + kx + 16 utgör kvadraten av ett binom.

LÖSNING a) Vi kan uttrycka andragradstermen och konstanttermen som kvadrater.

OBSERVERA Vi kan använda minnesreglerna även i motsatt riktning. a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

OBSERVERA Vi kan uttrycka kvadraten av en differens (ett polynom) på olika sätt.

9 x 2 = (3 x )2 och 25 = 5 2

Vi kan skriva den mittersta termen –30x med hjälp av den dubbla produkten av talen 3x och 5.

−30 x = −2 ⋅ 3 x ⋅ 5

Vi får

9 x 2 − 30 x + 25 = (3 x )2 − 2 ⋅ 3 x ⋅ 5 + 5 2 = (3 x − 5)2 .

(5 − 3 x )2

b) Vår uppgift är att bestämma ett sådant värde på konstanten k att polynomet 25 x 2 + kx + 16 utgör kvadraten av en summa eller kvadraten av en differens.

= 25 − 30 x + 9 x 2

Vi kan uttrycka andragradstermen och konstanttermen som kvadrater.

25 x 2 = (5 x )2 och 16 = 4 2

För att polynomet ska utgöra kvadraten av ett binom måste den mittersta termen kx vara lika med den dubbla produkten av talen 5x och 4 eller det motsatta talet till den här produkten.

kx = 2 ⋅ 5 x ⋅ 4 = 40 x , när k = 40

=

9x2

− 30 x + 25

eller

kx = −2 ⋅ 5 x ⋅ 4 = −40 x , när k = –40

SVAR a) (3 x − 5)2 b) k = 40 eller k = –40

3 K va d r at e n av e n s u m m a o c h k va d r at e n av e n d i ff e r e n s

25

I

Du lär dig grunderna

3.1 Förenkla.

CAS

E1

3.6 CAS

(a + 3)2

a) b) (a − 1)2 c) (b − 4)2 d) (b + 7)2

3.7 CAS

3.2 CAS

3.3

3.4 CAS

E2

3.5 CAS

Förenkla. a) (7 x + 1)2 b) (2 x − 4)2 c) (5 − 4 x )2 d) (9 x + 2)2 Din uppgift är att förenkla uttrycket (9 x − 5)2.

Välj av alternativen a–c det alternativ som utgör det första mellansteget i förenklingen. a) (9 x )2 − 5 2 b) (9 x )2 − 2 ⋅ 9 x ⋅ 5 + 5 2 c) (9 x )2 − 2 ⋅ 9 x ⋅ 5 − 5 2 Välj av alternativen d–f det alternativ som utgör det förenklade uttrycket. d) 9 x 2 − 25 e) 81x 2 − 25 f) 81x 2 − 90 x + 25

E3

3.8 CAS

3.9 CAS

Förenkla.

3.12

(

)

Bestäm ett sådant värde på konstanten a att polynomet utgör kvadraten av ett binom. a) x 2 + 8 x + a b) x 2 + ax + 25 c) 4 x 2 − 8 x + a Vi kan exempelvis beräkna kvadraten av talet 13 utan räknare genom att beteckna 132 = (10 + 3)2 och använda minnesregeln.

Beräkna kvadraterna av talen 11, 12, 13, 14 och 15 utan räknare. en differens (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2.

3.11

2 −1 a) 2 b) ( x 3 − x )2 c) (3 x 3 + 1)2

Komplettera parenteserna med de termer som saknas. a) x2 + 2xy + y2 = ( )2 b) x2 – 2x + 1 = ( )2

3.10 Bevisa minnesregeln för kvadraten av

Förenkla. a) ( x 2 + 1)2 b) ( x 3 − 4)2 c) ( x 4 + 6)2

x2

Förenkla. a) (−4 x + 7)2 b) (− x − 1)2 c) (− x 2 − 3)2

Visa att ekvationen inte satisfieras av alla reella tal a och b. a) (a + b )2 = a 2 + b 2 b) a 2 + b 2 = a + b

En ny lärare berättade att hen är född år 1991 och att detta tal utgör differensen av kvadraterna av två på varandra följande heltal.

Vilka är talen?

Sveaborg, Helsingfors, godkändes och togs med på FN:s världsarvslista år 1991.

26

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

II

3.13 CAS

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

3.20

Vi kan beräkna kuben av ett binom genom att först skriva kuben som en produkt där den ena faktorn är en kvadrat: (a + b )3 = (a + b )(a + b )2.

Beräkna a) ( x + 1)3 b) ( x − 2)3 c) (2 x + 1)3.

CAS

Förenkla. a) (5 x + 1)2 b) ( x − 7)2 2 c) x + 1 3 d) (3 x − 6)2

( )

3.14 CAS

3.15 CAS

Förenkla. a) ( x 3 − 5)2 b) ( x 3 + x )2 c) (2 x 4 − 9)2 d) (2 x 4 )2 − 9 2 Förenkla. a) (−2 x + 1)2 b) (−2 x − 1)2 c) (− x 3 + x )2 d) (− x 3 − x )2

3.16 Kontrollera om Kalle och Carina räknade rätt.

Korrigera de fel du observerar.

Kalle:

3.21

Farmor berättade att hon är född år 1948 och att detta tal utgör differensen av kvadraterna av två på varandra följande jämna heltal. Vilka är talen? Vilket år var följande födelseår med samma egenskap?

3.22

a) Den sista siffran i ett heltal är 5. Visa att talets kvadrat slutar på siffrorna 25. b) I beviset i punkt a finner vi en metod med vilken vi utan räknare kan beräkna kvadraten av ett tvåsiffrigt tal som slutar på siffran 5. Beräkna 652 utan räknare.

3.23

Visa: Om vi subtraherar den fyrfaldiga produkten av två heltal från kvadraten av summan av heltalen blir resultatet ett tal som utgör kvadraten av ett heltal.

3.24

Visa: Summan av ett positivt reellt tal och dess inverterade tal är alltid större än eller lika med två.

(5 x + 9)2 = 5 x 2 + 9 2 = 5 x 2 + 81

Carina: ( y − 1)2 = y 2 − 2 ⋅ y ⋅ 1 − 12

= y2 − 2y −1

3.17 CAS

3.18 CAS

3.19 CAS

Komplettera parenteserna med de termer som saknas. a) (x + ___ )2 = x2 + 10x ___ b) (y – ___ )2 = y2 – 6y ___ c) (z + ___ )2 = z2 + 3z ___ a) Uttryck polynomet x 2 + x + 1 som 4 kvadraten av en summa. b) Uttryck polynomet 4 x 2 − 20 x + 25 som kvadraten av en differens.

Bestäm ett sådant värde på konstanten a att polynomet utgör kvadraten av ett binom. a) x 4 + 6 x 2 + a b) ax 2 − 30 x + 25 c) 4 x 4 + ax 2 + 16

Testa vad du kan 3

CAS

Förenkla. a) ( x + 9)2 b) (2 x − 3)2 2 c) z 2 + 1 3 d) (−4 x − 1)2

(

)

Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

3 K va d r at e n av e n s u m m a o c h k va d r at e n av e n d i ff e r e n s

27

4

Produkten av en summa och en differens Vi undersöker

GG

Undersök med hjälp av appleten hur vi kan uttrycka differensen a2 – b2 av areorna som arean av en rektangel. b b a

a

Minnesregler underlättar förenkling av uttryck Det resultat vi åskådliggör i vår undersökning utgör produkten av en summa och en differens.

Minnesregeln för produkten av en summa och en differens

SATS

Produkten av en summa av två termer och en differens mellan samma termer utgör differensen mellan talens kvadrater. (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

BEVIS Vi bildar och förenklar produkten av summan och differensen. (a + b )(a − b ) = a ⋅ a + a ⋅ ( −b ) + b ⋅ a + b ⋅ ( −b ) = a 2 − ab + ab − b 2 = a2 − b2

28

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

☐

Du lär dig använda minnesregeln för produkten av en summa och en differens.

E X EM P EL 1

CAS

Förenkla. a) ( x + 3)( x − 3) b) (5 x + 4)(5 x − 4) c) (6 x 3 + 5)(6 x 3 − 5)

LÖSNING a)

( x + 3)( x − 3)

( a + b )( a − b ), där a = x och b = 3

= x 2 − 32

a2 − b2

= x2 −9 b)

(5 x + 4)(5 x − 4)

( a + b )( a − b ), där a = 5x och b = 4

= (5 x )2 − 4 2

a2 − b2

= 25 x 2 − 16 c)

(6 x 3 + 5)(6 x 3 − 5)

( a + b )( a − b ), där a = 6x3 och b = 5

= (6 x 3 )2 − 5 2

a2 − b2

= 6 2 ⋅ ( x 3 )2 − 5 2 = 36 x 6 − 25

SVAR a) x 2 − 9 b) 25 x 2 − 16 c) 36 x 6 − 25

4 P r o d u k t e n av e n s u m m a o c h e n d i ff e r e n s

29

Du lär dig förenkla kvadratrotsuttryck med hjälp av minnes­reglerna.

E X E M PEL 2

CAS

Förenkla. a) (5 3 + 2)(5 3 − 2) b)

(3 + 2 )

2

LÖSNING a) (5 3 + 2)(5 3 − 2)

(

)

= 52 ⋅

( 3)

= 5 3

2

( a + b )( a − b ) , där a = 5 3 och b = 2

− 22 2

a2 − b2

( a)

−4

2

=a

= 25 ⋅ 3 − 4

= 71 b)

(3 + 2 )

2

= 32 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + = 9+6 2 + 2 = 11 + 6 2

SVAR a) 71 b) 11 + 6 2

Transfăgărășan, Rumänien.

30

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

( a + b )2 , där a = 3 och b = 2

( 2)

2

a 2 + 2 ab + b 2

Du övar matematisk bevisföring.

E X EM P EL 3 Tina lade märke till att när man subtraherar talet 1 från den fjärde potensen av heltalet 3 får man ett tal som är delbart med det heltal som kommer före talet 3 och med det som kommer efter talet 3: 34 – 1 = 80 = 2 · 4 · 10.

Enligt Tomas gäller motsvarande egenskap för alla heltal.

Visa att Tomas har rätt.

LÖSNING Anta att talet n är ett godtyckligt heltal.

OBSERVERA Ett heltal a är delbart med ett heltal b om det existerar ett sådant heltal q att a = bq.

Vår uppgift är att visa att n 4 − 1 kan skrivas som en produkt i vilken det föregående heltalet n – 1 och det därpå följande heltalet n + 1 ingår. n4 − 1 = (n 2 )2

Vi identifierar minnesregeln.

− 12

= (n 2 + 1)(n 2 − 1)

a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )

= (n 2 + 1)(n + 1)(n − 1)

Vi har nu visat att alla heltal har följande egenskap: När man subtraherar talet 1 från den fjärde potensen av ett heltal n får man ett tal som är delbart med det heltal som kommer före talet n och med det heltal som kommer efter talet n. 

4 P r o d u k t e n av e n s u m m a o c h e n d i ff e r e n s

31

I

Du lär dig grunderna

4.9

4.1

Förenkla. a) ( x + 7)( x − 7) b) ( x − 1)( x + 1) c) (3 + x )(3 − x )

E3

Förenkla. a) (2 x + 3)(2 x − 3) b) (3 − 5 x )(3 + 5 x ) c) ( x + 1)( x − 2)

4.10

CAS

E1

4.2 CAS

4.3 CAS

4.4 CAS

4.5 CAS

4.6 CAS

4.7 CAS

E2

4.8 CAS

32

CAS

II

Förenkla. a) ( x 3 − 9)( x 3 + 9) b) ( x 2 + 3)( x 2 − 3) c) (3 x 2 − 8)(3 x 2 + 8)

4.11 CAS

Din uppgift är att förenkla uttrycket (2 x 3 − 7)(2 x 3 + 7). Välj av alternativen a–c det alternativ som utgör det första mellansteget i förenklingen. a) (2 x 3 )2 − 2 ⋅ 2 x 3 ⋅ 7 + 7 2 b) 2( x 3 )2 − 7 2 c) (2 x 3 )2 − 7 2 Välj av alternativen d–f det alternativ som utgör det förenklade uttrycket. d) 4 x 6 − 14 e) 4 x 6 − 49 f) 4 x 6 − 28 x 3 + 49 Förenkla. a) ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9) b) ( x + 4)( x − 4) − ( x − 2)2 Lös ekvationen. a) ( x − 5)2 = ( x + 5)( x − 5) b) (2 x + 3)2 = 4( x + 3)( x − 3) Förenkla. a) 3 − 2 3 + 2

( ) b) ( 5 + 2 )( 2 c) (5 − 6 2 )

CAS

4.13 CAS

CAS

4.15

CAS

5− 2

)

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

Förenkla. a) (3 x + 4)(3 x − 4) b) x − 1 x + 1 2 2 c) (3 x + 2)(−3 x − 2)

(

)(

)

Förenkla. a) (2 x 2 + 5)(2 x 2 − 5) b) (− x + 4)(− x − 4) c) (4 a 3 + 2b 2 )(4 a 3 − 2b 2 ) Kontrollera om Nadja och Niklas räknade rätt.

Korrigera de fel du observerar.

4.14 De reella talen a och b är varandras inverterade

4.16

2

Beräkna utan räknare. a) 1012 − 99 2 b) 532 − 47 2

Nadja: ( x − 9)2 = x 2 − 81 Niklas: (9 x − 7)(9 x + 7) = 9 x 2 − 7 2 = 9 x 2 − 49

CAS

( )( ) b) ( 3 + 1)( 3 − 1) c) ( 2 5 + 1)( 2 5 − 1)

Förenkla. a) 5 + 1

4.12

Ingmar lade märke till att när man subtraherar talet 1 från kvadraten av heltalet 3 får man ett tal som utgör produkten av de två närliggande heltalen: 32 – 1 = 2 · 4. Enligt Sanna gäller motsvarande egenskap för alla heltal. Visa att Sanna har rätt.

tal om deras produkt är lika med 1. Visa att följande tal är varandras inverterade tal. a) 5 − 2 och 5 + 2 b) 3 + 2 och 3 − 2

Förenkla. a) 2 3 − 1 2 3 + 1

( )( 2 b) ( 2 − 5 ) 2 c) ( 2 5 + 1)

Förenkla. a) x + 1 2

(

)

) − ( x + 12 )( x − 12 ) 2

b) (( x + 3)( x − 3))

2

4.17 CAS

Lös ekvationen. a) 4 x − 1 x + 1 − 1 = (2 x − 5)2 2 2

(

)(

)

4.21 Skriv först talet 1 023 i formen 2n − 1 och visa sedan att talet inte är ett primtal genom att faktorisera talet.

b) ( x + 3)( x − 3) − 4 x ( x − 1) = (1 − x )(3 x − 1)

4.18 CAS

4.19

Förenkla. a) (7 x + 6)(7 x − 6)(49 x 2 + 36) b) (3 x 2 − 4)2 − 3( x 2 − 4)( x 2 + 4) När man subtraherar heltalet 5 från dess kub får man produkten av tre på varandra följande heltal: 53 − 5 = 120 = 4 ⋅ 5 ⋅ 6 . Undersök om alla heltal har samma egenskap.

4.20 De heltal som är större än talet 1 och delbara endast med sig själva och talet 1 är primtal.

Testa vad du kan 4

CAS

Förenkla. a) (6 x + 1)(6 x − 1) b) ( 5 − 3)(3 + 5 ) c) (x2 + 5)(x – 5) Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

Man letar ofta efter primtal bland tal som är skrivna i formen 2n − 1 där n är ett positivt heltal. a) Framställ talen 31, 127 och 8 191 i formen 2n − 1. b) Visa: Om n är jämnt och större än 2 kan inte talet 2n − 1 vara ett primtal.

4 P r o d u k t e n av e n s u m m a o c h e n d i ff e r e n s

33

5

Faktorisering Vi skriver ett polynom i produktform med hjälp av faktorisering Att faktorisera betyder att vi uttrycker ett polynom som en produkt av polynom­uttryck med så låga gradtal som möjligt.

Exempelvis kan vi uttrycka polynomet x 3 − x i produktform på följande sätt: x 3 − x = x ( x + 1)( x − 1).

Vi behöver faktorisering när vi löser ekvationer av högre grad, olikheter av högre grad (kapitlen 16 och 18) och när vi förenklar bråkuttryck (kapitlen 19–21).

I det här kapitlet lär vi oss faktorisera polynom genom • utbrytning av en gemensam faktor • att använda minnesreglerna i motsatt riktning • gruppering.

I kapitel 17 lär vi oss dessutom hur vi kan faktorisera ett polynom med hjälp av dess nollställen.

34

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

Faktorisering av polynom med hjälp av utbrytning Multiplikation av ett monom och ett polynom följer den distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac.

När vi faktoriserar i motsatt riktning kallar vi det för utbrytning av en gemensam faktor: ab + ac = a(b + c).

Du lär dig faktorisera med hjälp av utbrytning.

EXEM P EL 1

CAS

Faktorisera. a) x 2 − 5 x b) 6 x 5 + 12 x 4

LÖSNING a) x 2 − 5 x

Vi identifierar den gemensamma faktorn x.

= x ⋅ x − x ⋅5

Vi bryter ut den gemensamma faktorn.

= x ( x − 5) b) 6 x 5 + 12 x 4

Vi identifierar den gemensamma faktorn 6x4.

= 6x 4 ⋅ x + 6x 4 ⋅ 2

Vi bryter ut den gemensamma faktorn.

= 6 x 4 ( x + 2)

SVAR a) x ( x − 5)

b) 6 x 4 ( x + 2)

5 Fa k t o r i s e r i n g

35

Faktorisering av polynom med hjälp av minnesregler Du lär dig faktorisera med hjälp av minnesregler.

• a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 • a 2 − 2ab + b 2 = (a − b )2 Du lär dig faktorisera med hjälp av minnes­ regler.

E X E M PEL 2

CAS

Faktorisera. a) 4 x 2 − 12 x + 9 b) x 3 − 25 x

LÖSNING a) 4 x 2 − 12 x + 9

= (2 x )2

− 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 + 32

= (2 x − 3)2 b) x 3 − 25 x

=

(a – b)2 Vi bryter först ut den gemensamma faktorn x.

− 25)

Vi identifierar minnesregeln.

x(x 2

− 52 )

a2 – b2, där a = x och b = 5

SVAR a) (2 x − 3)2 b) x ( x + 5)( x − 5)

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

a2 – 2ab + b2, där a = 2x och b = 3

x(x 2

= = x ( x + 5)( x − 5)

36

Vi identifierar minnesregeln.

(a + b)(a – b)

Faktorisering av polynom med hjälp av gruppering Multiplikation av polynom följer den distributiva lagen: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

När vi tänker i motsatt riktning kallar vi det gruppering. Gruppering kräver att polynomet består av ett jämnt antal termer. ac + ad + bc + bd

Vi bryter ut den gemensamma faktorn i de två första termerna och den gemen­ samma faktorn i de två sista termerna.

= a(c + d) + b(c + d)

Vi bryter igen ut den gemensamma faktorn.

= (a + b)(c + d)

Du lär dig faktorisera med hjälp av gruppering.

EXEM P EL 3

CAS

Faktorisera. a) 6 x 3 + x 2 − 6 x − 1 b) 2 x 2 + 7 x − 4

LÖSNING a) 6 x 3 + x 2 − 6 x − 1

Vi bryter ut den gemensamma faktorn i de två första termerna och den gemen­ samma faktorn i de två sista termerna.

= x 2 (6 x + 1) − 1 ⋅ (6 x + 1)

Vi bryter ut den gemensamma faktorn 6x + 1.

= (6 x + 1)( x 2 − 1)

x2 – 1 = x 2 – 1 2

= (6 x + 1)( x + 1)( x − 1) b) 2 x 2 + 7 x − 4

Vi skriver den mittersta termen som en summa: 7x = –x + 8x.

= 2x 2 − x + 8x − 4

Vi bryter ut den gemensamma faktorn i de två första termerna och den gemen­ samma faktorn i de två sista termerna.

= x (2 x − 1) + 4(2 x − 1)

Vi bryter ut den gemensamma faktorn 2x – 1.

= (2 x − 1)( x + 4)

SVAR a) (6 x + 1)( x + 1)( x − 1) b) (2 x − 1)( x + 4)

5 Fa k t o r i s e r i n g

37

Faktorisering av polynom med hjälp av CAS-räknare I tillämpningsuppgifter kan vi faktorisera polynom med hjälp av en CAS-räknare.

PROGRAM

Faktorisering med CAS-räknare Faktoriseringen sker vanligen med kommandot factor.

Vi skriver exempelvis factor(x 2 − x)= x(x −1)

Du lär dig faktorisera med hjälp av en CAS-räknare.

E X E M PEL 4 Bestäm faktorerna i och nollställena hos polynomet p( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 .

Vilket samband ser ut att gälla mellan faktorerna i och nollställena hos polynomet p?

LÖSNING Vi bestämmer faktorerna i polynomet. p( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 = ( x − 3)( x − 2)( x + 1)

Vi faktoriserar med CAS-räknaren.

Polynomets faktorer är x – 3, x – 2 och x + 1.

Polynomets nollställen är de variabelvärden x för vilka polynomet antar värdet 0. Vi löser ekvationen p( x ) = 0 . p( x ) = 0 x3

− 4x 2

+x +6 = 0 x = –1 eller eller x =x 3= 3 −1 tai x x==22 tai

Vi löser ekvationen med CAS-räknaren.

Polynomets nollställen är –1, 2 och 3.

OBSERVERA I kapitel 17 studerar vi sambandet mellan polynomets faktorer och nollställen.

38

Faktorerna i polynomet p ser ut att vara av formen x – a, där a är ett nollställe hos polynomet.

Faktorerna är x – 3, x – 2 och x – (–1).

SVAR Faktorerna är x – 3, x – 2 och x + 1. Nollställena är 3, 2 och –1.

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

I

5.1 CAS

E1

5.2 CAS

Du lär dig grunderna

CAS

Faktorisera. a) x 3 − 5 x 2 b) 3 x 5 + x 4 c) 6 x 2 − 3 x Kontrollera om Samuel och Sara räknade rätt.

Korrigera de fel du observerar.

Samuel: 4 x 2 + x = 4 x ( x + 1) Sara:

5.9

Harjoitellaan suomeksikin!

5.10 Määritä CAS-laskimella polynomin p( x ) = 5 x 2 + 5 x − 30 tekijät ja nollakohdat.

Mikä yhteys polynomin p tekijöiden ja E4 nollakohtien välillä näyttää olevan?

CAS

E2

5.4 CAS

5.5 CAS

5.6 CAS

5.7 CAS

E3

5.8 CAS

fi

x 2 − 3 x = x 2 (1 − 3 x )

II

5.3

Faktorisera. a) x 2 − 6 x − 7 b) y 2 + 7 y + 10 c) 2 z 2 − 8 z + 6

Faktorisera. a) x 2 + 8 x + 16 b) x 2 − 12 x + 36 c) x 2 − 36 Faktorisera. a) 4 x 2 − 20 x + 25 b) 25 y 2 − 1 c) 4 z 2 + 4 z + 1 Faktorisera. a) y 3 + 2 y 2 + y b) y 3 − 4 y 2 + 4 y c) 9 y 3 + 6 y 2 + y Faktorisera. a) x 3 − 16 x b) 16 x 3 − x c) x 5 − x Faktorisera. a) x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18 b) x 3 + x 2 − x − 1 c) 5 x 3 + x 2 − 5 x − 1 Faktorisera. a) x 4 − 7 x 3 − 9 x 2 + 63 x b) −3 x 3 + 4 x 2 + 3 x − 4 c) 9 x 3 + 18 x 2 − x − 2

5.11 CAS

5.12 CAS

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

Faktorisera. a) 12 x 2 − 4 x b) 2 x 6 + x 5 c) 9 x − 15 x 2 Faktorisera. a) x 2 − 14 x + 49 b) y 2 − 81 c) 9 z 2 + 12 z + 4

5.13 Faktorisera.

CAS

5.14 CAS

a) 36 x 2 + 60 x + 25 b) x 2 + 3 x + 9 4 2 2 c) x − x + 1 3 9

Din uppgift är att faktorisera polynomet x 3 − 18 x 2 + 81x . Välj av alternativen a–c det alternativ som utgör det första mellansteget i förenklingen. a) x 2 ( x − 18) + 81x b) x 2 − 18 x + 81 c) x ( x 2 − 18 x + 81) Välj av alternativen d–f det alternativ som utgör det andra mellansteget i förenklingen. d) x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 e) x ( x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 ) f) ( x 2 + 81x )( x − 18) Välj av alternativen g–i det alternativ som utgör det förenklade uttrycket. g) x ( x − 9)2 h) ( x − 9)2 i) x ( x + 81)( x − 18) 5 Fa k t o r i s e r i n g

39

5.15 CAS

5.16 CAS

Faktorisera. a) x 3 − 36 x b) y 3 − 6 y 2 + 9 y c) 4 z 4 + 4 z 3 + z 2 Faktorisera. a) z 2 − 9 b) x 4 − 81 c) 1 − y 4

5.17 Faktorisera.

CAS

5.18 CAS

a) 3 x 3 + x 2 − 12 x − 4 b) 4 x 3 + 4 x 2 − x − 1 c) x 3 + 3 x 2 − 9 x − 27

Faktorisera. a) 12 x 3 + 4 x 2 − 3 x − 1 b) x 4 + x 3 − 36 x 2 − 36 x c) 5 x 3 + x 2 − 15 x − 3

5.19 Faktorisera.

CAS

5.20

a) 6 x 2 − x − 1 b) y 2 − 10 y + 21 c) 3 z 2 + 13 z + 4

Faktorisera polynomet x 4 − 10 x 2 + 9 .

CAS

40

R Ä K N E O P E R AT I O N E R M E D P O LY N O M

5.21

Bestäm nollställena hos polynomet x 3 −5 x 2 − a 2 x + 5a 2 med CAS-räknaren.

Bestäm ett sådant värde på konstanten a att polynomet består av två faktorer.

5.22 Visa att olikheten är sann för alla reella tal a och b. a) 2ab ≤ a2 + b2 b) (a + b )2 ≤ 2(a 2 + b 2 )

5.23 Vilket av talen a 2 + 1 b 2 och ab är större när

2 a ↑ 0 , b ↑ 0 ? Besvara frågan genom att undersöka differensen mellan talen. Exempel räcker inte som motivering.

Testa vad du kan 5

Faktorisera. a) 81x 2 − 36 x + 4 b) 5 x 3 − 45 x c) x 3 − 5 x 2 − 4 x + 20 Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

CAS

Repetera: Räkneoperationer med polynom

Välj de rätta svarsalternativen. Det finns 1–3 rätta svarsalternativ i varje uppgift.

F1. Andragradstermen i polynomet x 3 − 6 x 2 + 5 x − 9 är a) x 2 b) 6 x 2 c) −6 x 2 .

F2. Gradtalet hos polynomet x 3 − 6 x 2 + 5 x − 9 är a) 4 b) 3 c) x 3 .

F3. Det förenklade uttrycket av produkten − x 3 ( x 2 − 2) är a) − x 6 + 2 x 3 b) − x 5 − 2 x 3 c) − x 5 + 2 x 3.

F4. Uttrycket 9 x − 2(4 x + 1) kan ersättas med uttrycket a) x + 2 b) x − 2 c) 28 x + 7 .

F5. Uttrycket (4 x − 1)2 kan ersättas med uttrycket a) 16 x 2 − 8 x + 1 b) 16 x 2 − 8 x − 1 c) 16 x 2 − 1 .

(

F6. Uttrycket 2 x + 1 2 a) 2 x 2 + 2 x + 1 4 2 b) 4 x + 2 x + 1 4 1 2 c) 4 x + 4 x + .

4

)

2

kan ersättas med uttrycket

F7. Uttrycket (4 x − 1)(4 x + 1) kan ersättas med uttrycket a) 4 x 2 − 1 b) 16 x 2 + 1 c) 16 x 2 − 1 .

F8. Uttrycket ( x 4 − 7)( x 4 + 7) kan ersättas med uttrycket a) 2 x 8 − 49 b) x 8 − 49 c) 2 x 4 − 49 .

F9. Uttrycket x 4 − 16 kan ersättas med uttrycket a) ( x − 2)4 b) (( x + 4)( x − 4))

2

c) ( x 2 + 4)( x − 2)( x + 2).

F10. Uttrycket 16 x 3 − 8 x 2 + x kan ersättas med uttrycket

a) x (4 x − 1)2 b) (4 x − 1)2 c) 4 x ( x − 1)2 .

41

Potensfunktion i det här avsnittet repeterar du räknereglerna för kvadratrötter och lär dig förenkla kvadratrotsuttryck.

Dessutom lär du dig det allmänna rotbegreppet (högre rötter) och att lösa potensekvationer med hjälp av det. Du behöver de här färdigheterna när du löser polynomekvationer av andra och högre graden.

42

6

Räkneregler för kvadratrötter Vi undersöker 1. Beteckna kvadratroten av kvadraten av talet a) 5 b) –3.

Vad observerar du? Vad skulle kvadratroten av kvadraten av talet a vara?

2. Beteckna och beräkna a) produkten av kvadratroten av talet 4 och kvadratroten av talet 9 b) kvadratroten av produkten av talen 4 och 9.

Vad observerar du?

3. Beteckna och beräkna a) kvoten av kvadratroten av talet 16 och kvadratroten av talet 4 b) kvadratroten av kvoten av talen 16 och 4.

Vad observerar du?

4. Beteckna och beräkna a) summan av kvadratroten av talet 16 och kvadratroten av talet 9 b) kvadratroten av summan av talen 16 och 9.

Vad observerar du?

6 R ä k n e r e g l e r f ö r k va dr at r ö t t e r

43

Vi förenklar kvadratrotsuttryck med hjälp av räkneregler Vi påminner till en början om definitionen av begreppet kvadratrot.

Symbolen för en kvadratrot användes första gången på 1500-talet. Den har bildats ur bokstaven lilla r som är första bokstaven i det latinska ordet radix som betyder rot.

DEFINITION

Kvadratrot

Kvadratroten av talet a är det icke-negativa tal vars kvadrat är talet a.

Vi betecknar kvadratroten av talet a med a .

Vi kan skriva definitionen kortare på följande sätt. a = b, när 1) b ≥ 0 och 2)

b2

Kvadratroten av talet a är det icke-negativa tal

= a.

vars kvadrat är talet a.

Exempelvis är

49 = 7 eftersom 7 ≥ 0 och 72 = 49.

Fastän (–7)2 = 49 duger inte det negativa talet –7 som ett svar på kvadratroten av 49.

Ur definitionsvillkoret b2 = a följer att talet a bör vara icke-negativt.

Därför är kvadratroten a av talet a endast definierad när a ≥ 0. −49 av talet –49 är inte definierad eftersom –49 < 0.

Kvadratroten

Räkneregler för kvadratrötter

SATS

1) Kvadratroten av en kvadrat Kvadratroten av kvadraten av ett tal är lika med absolutbeloppet av talet.

a 2 = a 2) Kvadratroten av en produkt Kvadratroten av en produkt är lika med produkten av kvadratrötterna av faktorerna.

ab = a b för alla a ≥ 0 och b ≥ 0 3) Kvadratroten av en kvot Kvadratroten av en kvot är lika med kvoten av kvadratrötterna

44

POTENSFUNK TION

a = b

a för alla a ≥ 0 och b > 0 b

BEVIS 1) Kvadratroten av en kvadrat

Vi ska visa att talet |a| utgör kvadratroten av talet a2.

1) Absolutbeloppet |a| är alltid icke-negativt.

2) När a ≥ 0 är |a| = a. Således är |a|2 = a2.

När a < 0 är |a| = - a. Således är |a|2 = (- a)2 = a2.

Eftersom talet |a| satisfierar båda villkoren för definitionen av en kvadratrot är a 2 = |a|.

2) Kvadratroten av en produkt

Vi ska visa att talet a b utgör kvadratroten av talet ab.

1) Produkten a b är icke-negativ eftersom faktorerna a och b enligt definitionen för en kvadratrot är

icke-negativa.

2) Vi beräknar kvadraten av talet a b .

(

a b

)2 = ( a )2 ( b )2 = ab

( a ) = a och ( b ) 2

2

=b

Eftersom talet a b satisfierar båda villkoren för definitionen av en kvadratrot är ab = a b .

3) Kvadratroten av en kvot

Detta bevisar vi i uppgift 6.22. ☐

6 R ä k n e r e g l e r f ö r k va dr at r ö t t e r

45

Du lär dig använda räknereglerna för kvadratrötter.

E X E M PEL 1

CAS

Förenkla utan räknare. a) 16 ⋅ 49 b) 2

1 c) 2 ⋅ 8 d) 2 4 98

LÖSNING a)

16 ⋅ 49 = 16 · 49

b)

1 2= 4

ab = a b

= 4 · 7 = 28 9 = 4

9 = 3 4 2

a = b

a b

c) Vi kan använda formeln ab = a b även från höger till vänster.

2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 a = b

d) Vi kan använda formeln

2 = 98

2 (2 = 98

SVAR a) 28

46

POTENSFUNK TION

b)

3

2

1 = 49

a b = ab

a även från höger till vänster. b

1 1 = 49 7

c) 4

d)

1 7

a = b

a b

Du lär dig förenkla uttryck som innehåller flera kvadratrötter.

E X EM P EL 2

CAS

Förenkla utan räknare.

(

a) 18 + 12 − 50 + 48 b) 3 5 3 + 2

)

LÖSNING OBSERVERA Vi kan underlätta letandet efter en lämplig produkt genom att göra en lista på kvadraterna av heltal: 4, 9, 16, 25, ... .

Vi skriver radikanderna som produkter där kvadratroten av den ena faktorn utgör ett så stort heltal som möjligt.

a) 18 + 12 − 50 + 48

= 9 · 2 + 4 · 3 − 25 · 2 + 16 · 3

= 9 2 + 4 3 − 25 2 + 16 3

= 3 2 +2 3 −5 2 +4 3

= −2 2 + 6 3

b)

(

3 5 3+ 2

Vi sammanslår de likformiga termerna.

)

Vi avlägsnar parentesen.

=5 3 3 + 3 2 =5

( 3)

2

ab = a b

a b = ab

( a)

+ 3·2

2

=a

= 5⋅3 + 6 = 15 + 6

SVAR a) −2 2 + 6 3

b) 15 + 6

6 R ä k n e r e g l e r f ö r k va dr at r ö t t e r

47

Du lär dig bestämma kvadratroten av kvadraten av ett tal.

E X E M PEL 3 Förenkla uttrycket a) x = 3 4

CAS

x 2 när

b) x = –7 c) x är negativt.

LÖSNING x2

a)

( 43 )

=

Vi sätter in x = 2

3 .

4

a2 = a

3 3 = 4 4

=

x2

b)

Vi sätter in x = –7.

= ( −7 )2

a2 = a

= −7 = 7 c) Fastän talet x är negativt är talet x2 positivt och talet

x 2 definierat.

x2 = x

Eftersom x < 0 så är x = − x .

Således är

SVAR a) 3 4 b) 7 c) –x

48

POTENSFUNK TION

x 2 = −x .

Absolutbeloppet av ett negativt tal x är dess motsatta tal –x.

Du repeterar definitionen av en kvadratrot och övar matematisk bevisföring.

E X EM P EL 4 Visa att

CAS

4 − 2 3 = 3 − 1.

LÖSNING Vår uppgift är att visa att kvadratroten av talet 4 − 2 3 är

3 − 1.

Enligt definitionen för en kvadratrot är kvadratroten av talet a lika med b, dvs. a = b, när 1) b ≥ 0 och 2) b 2 = a .

3 − 1 uppfyller villkoren.

Vi visar att talet 1) Eftersom 2)

(

3 −1

=

( 3)

3 > 1 är

3 −1 ≥ 0.

)

2

2

− 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 12

Villkoret b ≥ 0 uppfylls. (u – v)2 = u2 – 2uv + v2

= 3 − 2 3 +1 = 4−2 3

Villkoret b2 = a uppfylls.

Eftersom talet 3 − 1 satisfierar båda villkoren i definitionen för en kvadratrot är 4 − 2 3 = 3 − 1. 

6 R ä k n e r e g l e r f ö r k va dr at r ö t t e r

49

I

6.7

Du lär dig grunderna

6.1

Förenkla utan räknare.

CAS

a)

64 ⋅ 25

E1

b)

2 ⋅ 18

c)

5 ⋅ 20

6.2 CAS

CAS

Förenkla utan räknare. a) 4 25

CAS

6.9 CAS

21 4

c)

Förenkla utan räknare. a)

8 2

b)

12 3

c)

5 15 3

6.10 CAS

CAS

a) 3 5 + 2 3 − 5 + 3 3

E2

b) 2 3 − 2

(

3+ 2

2− 3

)

2

)

6.5

Förenkla utan räknare.

CAS

a)

6.11

CAS

a) 16 2 b) (−3)2 c) − 132

50

POTENSFUNK TION

Förläng uttrycket med den kvadratrot som finns i nämnaren och förenkla utan räknare. a) 6 3

c) 10 5 2

75

Förenkla utan räknare.

32

b) 5 5

8

6.6 E3

I en magisk kvadrat är produkterna av talen i vågrät, lodrät och diagonal riktning lika stora.

Komplettera den magiska kvadraten.

8 2

b) 32 c)

Beteckna och förenkla a) differensen mellan kvadratrötterna av talen 48 och 32 b) kvadratroten av differensen mellan talen 48 och 32.

4

Förenkla utan räknare.

(

Beteckna och förenkla a) summan av kvadratrötterna av talen 8, 18 och 50 b) kvadratroten av summan av talen 8, 18 och 50.

2

6.4

c)

6 − 2 5 = 5 − 1.

E4

6.8

b) 1 7 9

6.3

CAS

Visa att

Testa i vilken form CAS-räknaren ger svaret.

II

6.12 CAS

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

Förenkla utan räknare.

1 9

a)

b) 6 1 4

6.13

Förenkla utan räknare.

CAS

a) 4 12 3 b) 18 2

6.14

Förenkla utan räknare.

CAS

a)

6.15 CAS

Förenkla.

CAS

a) 3 2 + 8 2

c) 1 + 9 16

c) 6 3 2

6.21

(

(

5+ 2

)

2

)

6.16

Visa att

CAS

a)

3 3 + − 3 2 4

c)

50 + 72 4 8

6.22 Bevisa att

Anta att a = –3. Beräkna värdet av uttrycket när detta är möjligt. a) 3 a 2

b)

Förenkla uttrycket till en form där nämnaren saknar kvadratrötter.

1 b) 1 a) c) 2 3− 5 5+ 2 3 +1

CAS

18 + 32 − 6 ⋅ 2

b) 3 2 ⋅ 4 5 − 2 10 c)

6.20

b) 3a 2

c)

(

3a

)

2

CAS

b) a a

28 − 10 3 = 5 − 3

5a ⋅ 10a5 2a

c)

CAS

Bestäm kvadratroten av talet utan räknare när vi vet att 3 ⊕1,732 . a)

6.18 CAS

300

b) 30 000

6.24 Förenkla när a ≥ 0.

CAS

c) 0,03

I räknepyramiden nedan antecknas resultatet i rutan ovanför. Komplettera pyramiden.

Vilket tal står i den översta rutan?

a för alla a ≥ 0 och b > 0. b

6.23 Förenkla när a > 0. a) 12a ⋅ 3a

b) 5 − 2 6 = 3 − 2 .

6.17

a = b

a)

8a ⋅ 5a 2 ⋅ 10a 3

b)

20a 25a 2

Testa vad du kan 6

CAS

Förenkla utan räknare. : ·

3 5

6.19 CAS

:

20

· ·

16 49

a)

12

·

5 3

Beteckna och förenkla a) kvadratroten av kuben av talet 7 b) kvadratroten av åttonde potensen av talet 3 c) kvadratroten av femte potensen av talet 3.

b) 2 32 c) 7 2 + 2 − 5 2 d) 20 + 45 e) (−5)2 f)

(

−5

)

2

Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

6 R ä k n e r e g l e r f ö r k va dr at r ö t t e r

51

7

Det allmänna rotbegreppet Vi undersöker 1. Rita grafen till funktionen x3 med hjälp av ett geometriprogram.

a) Beskriv den symmetri du lägger märke till i grafen till funktionen.

b) Rita linjen y = 6 och grafen till funktionen x3 i samma koordinat­ system. Hur många lösningar har ekvationen x3 = 6?

Bestäm grafiskt närmevärden för lösningarna till ekvationen. c) Lös grafiskt ekvationen x3 = –5 på motsvarande sätt som i punkt b.

2. Rita grafen till funktionen x4. a) Beskriv den symmetri du lägger märke till i grafen till funktionen. b) Rita linjen y = 3 och grafen till funktionen x4 i samma koordinatsystem. Hur många lösningar har ekvationen x4 = 3?

Bestäm grafiskt närmevärden för lösningarna till ekvationen. c) Lös grafiskt ekvationen x4 = –1 på motsvarande sätt som i punkt b.

3. Hur beror antalet lösningar till ekvationen av värdet på talet a? a) x3 = a b) x4 = a

52

POTENSFUNK TION

Upphöjning till n:te potens och n:te roten är motsatta räkneoperationer DEFINITION

Potensfunktion En funktion vars uttryck vi kan skriva i formen xn, där n är ett positivt heltal, är en potensfunktion.

Graferna till de jämna potensfunktionerna x2, x4, x6, … är symmetriska med avseende på y-axeln. Det beror på att de jämna potenserna av ett tal och dess motsatta tal är lika stora positiva tal. Exempelvis är (-x)4 = x4 för alla värden på variabeln x.

Låt oss undersöka lösningarna till ekvationen x4 = a med hjälp av grafen till funktionen x4.

Det finns två tal som satisfierar ekvationen x4 = 3. Talen är ungefär 1,3 och –1,3. Vi kallar det positiva talet fjärde roten av talet 3 och betecknar det 4 3 . Det negativa talet − 4 3 utgör det motsatta talet till fjärde roten av talet 3.

Lösningarna till ekvationen x4 = 3 är alltså 4

4

x = 3 ≈ 1,3 och x = − 3 ≈ −1,3.

y 7 6

y = x4

5 4 3 2 1

I grafen kan vi också se att lösningen till ekvationen x4 = 0 är x = 0 och att ekvationen x4 = –1 saknar lösningar.

x –2 –1 –1,3 –1

1 2 1,3

7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t

53

Graferna till de udda potensfunktionerna x3, x5, x7, … är symmetriska med avseende på origo. Det beror på att de jämna potenserna av ett tal och dess motsatta tal är motsatta tal. Exempelvis är (–x)3 = –x3 för alla värden på variabeln x.

Låt oss undersöka lösningarna till ekvationen x3 med hjälp av grafen till funktionen x3 = a.

BENÄMNING Tredje roten kubikroten.

3

a kallar vi också

Det finns endast ett tal som satisfierar ekvationen x3 = –5. Talet är ungefär –1,7.

Vi kallar talet tredje roten av talet –5 och betecknar det 3 –5 .

Lösningen till ekvationen x3 = –5 är alltså x = 3 –5 ≈ −1,7 .

y 4 3

y = x3

2 1

x

–1,7 –2 –1

I grafen kan vi också se att lösningen till ekvationen x3 = 0 är x = 0 och att lösningen till ekvationen x3 = 4 är x = 3 4 ≈ 1,6 .

Roten n a

1 –1 –2 –3 –4 –5

DEFINITION

• När n är ett jämnt positivt heltal är n:te roten av talet a det icke-negativa tal vars n:te potens är a.

n

a är definierad när a ≥ 0.

• När n är ett udda positivt heltal är n:te roten av talet a det tal vars n:te potens är a.

Här är

n

a definierad för alla värden på talet a.

Vi kan skriva definitionen kortare så här: OBSERVERA För n:te roten gäller motsvarande räkneregler som för kvadratroten.

54

POTENSFUNK TION

• När n är ett jämnt positivt heltal n a = b, när 1) b ≥ 0 och 2) bn = a.

• När n är ett udda positivt heltal n a = b, när bn = a.

2

Du lär dig undersöka potensfunktioner och lösningar till en potens­ ekvation med hjälp av ett geometriprogram.

E X EM P EL 1 Rita grafen till funktionen x6 med hjälp av ett geometriprogram.

Utnyttja grafen och bestäm med noggrannheten av en tiondel a) funktionsvärdena f (–0,8) och f (0,8) b) de ställen där funktionen f antar värdet 2 c) sjätte roten av talet 2.

LÖSNING Vi ritar grafen till funktionen f (x) = x6. a) Vi ritar linjerna x = –0,8 och x = 0,8 samt grafen till funktionen i samma koordinatsystem. Sedan bestämmer vi skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och linjerna.

y

y = x6

2

(–0,8; 0,3)

Skärningspunkternas y-koordinater utgör de efterfrågade funktionsvärdena: f (–0,8) ≈ 0,3 och f (0,8) ≈ 0,3.

–2

(0,8; 0,3)

–1

1

x = –0,8

b) Vi ritar linjen y = 2 och grafen till (–1,1; 2) funktionen i samma koordinatsystem.

Sedan bestämmer vi skärningspunkterna y = 2 mellan grafen till funktionen och linjen.

Skärningspunkternas x-koordinater utgör de efterfrågade ställena: x ≈ –1,1 och x ≈ 1,1.

1

–2

x = 0,8

y

(1,1; 2)

2 1 –1

x

2

y = x6 1

x

2

c) Sjätte roten av talet 2 är det icke-negativa tal vars sjätte potens är 2.

På grafen till funktionen f ( x ) = x 6 finns punkten (1,1; 2) och då är 1,16 ≈ 2.

Eftersom 1,1 är ett positivt tal är

6

2 ⊕1,1.

SVAR a) f (–0,8) ≈ 0,3 och f (0,8) ≈ 0,3 b) x ≈ –1,1 och x ≈ 1,1 c)

6

2 ≈ 1,1

7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t

55

Du lär dig bestämma n:te roten utan räknare.

E X E M PEL 2

CAS

Skriv uttrycket och beräkna dess exakta värde utan räknare. a) tredje roten av talet –125 b) fjärde roten av talet 81 c) fjärde roten av talet –16

LÖSNING 3

a) Vi betecknar tredje roten av talet –125 med

Då (–5)3 = –125 är

3

−125 = −5 .

b) Vi betecknar fjärde roten av talet 81 med

Då 3 ≥ 0 och

34

= 81 är

4

4

POTENSFUNK TION

4

–16 .

Eftersom talet –16 är negativt är fjärde roten av talet inte definierad.

SVAR

56

81 .

81 = 3 .

c) Vi betecknar fjärde roten av talet –16 med

−125 .

a)

3

−125 = −5

b)

4

81 = 3

c)

4

–16 är inte definierad

Vi får lösningarna till potensekvationen xn = a med hjälp av n:te roten Att lösa en potensekvation

BENÄMNING

• När n är ett jämnt positivt heltal

Lösningarna till ekvationen kallas även ekvationens rötter.

Exempelvis är x3 = a .

3

När a ≥ 0 satisfieras ekvationen xn = a av n:te roten av talet a samt av det motsatta talet till n:te roten av talet a.

a roten till ekvationen

xn = a

4

På motsvarande sätt är a den positiva roten till ekvationen x 4 = a .

n

x =

a eller x = – n a

När a < 0 satisfierar inget reellt tal ekvationen xn = a.

• När n är ett udda positivt heltal Ekvationen xn = a satisfieras då av n:te roten av talet a. xn = a n

x =

a

Observera: När n är jämnt beror antalet lösningar till ekvationen xn = a av förtecknet hos talet a. När n är udda har ekvationen xn = a alltid en enda lösning oberoende av värdet av talet a.

Du lär dig lösa en potensekvation.

E X EM P EL 3

CAS

Lös ekvationen. a) x8 = 17 b) 4x5 + 128 = 0

LÖSNING a) x8 = 17

Ekvationen har två lösningar.

x = 8 17 eller x = - 8 17

b) 4x5 + 128 = 0 | –128

Rötternas exakta värden Vi löser först ut x5.

4x5 = -128 | : 4 x5 = -32

Ekvationen har en enda lösning.

x = 5 −32

(–2)5 = –32

x = -2

Rotens exakta värde

SVAR a) x = - 8 17 eller x = 8 17

b) x = -2

7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t

57

Du lär dig lösa en tillämpnings­ uppgift med hjälp av en potens­ ekvation.

E X E M PEL 4 När Sanna föds den första januari deponerar farfar 1 500 euro på ett konto med fast årsräntesats. Räntan läggs alltid till kapitalet vid årets slut.

När Sanna fyller 18 år får hon tillgång till sitt konto. Hur stor ska den årliga räntesatsen vara för att depositionens värde ska växa till 3 600 euro?

Du behöver inte beakta källskatten som betalas på räntan.

LÖSNING Vi betecknar den årliga räntefaktorn med bokstaven x.

Värdet av depositionen x-faldigas varje år.

När Sanna fyller ett år är värdet av depositionen x · 1500 €.

När Sanna fyller 2 år är värdet av depositionen x · x · 1500 = x2 · 1500 €.

När Sanna fyller 18 år är värdet av depositionen x18 · 1500 €.

Vi bildar en ekvation och löser ut x. x 18 ⋅ 1500 = 3600

Värdet av depositionen bör vara 3 600 euro. Vi löser ekvationen med CAS-räknaren.

x = −1,0498... ≈ −1,050 eller tai x = 1,0498... ≈ 1,050

Vi kan endast tolka den positiva lösningen som en räntefaktor. Värdet av depositionen 1,050-faldigas varje år. Värdet i slutet av året är alltså 105,0 % av värdet i slutet av föregående år.

Räntesatsen ska vara 5,0 %.

SVAR 5,0 %

58

POTENSFUNK TION

I

7.1 E1

7.2 CAS

Du lär dig grunderna

7.5

Rita grafen till funktionen f(x) = x3 med hjälp av ett geometriprogram. Utnyttja grafen och bestäm med en tiondels noggrannhet a) funktionsvärdena f (–2,5) och f (2,5) b) de ställen där funktionen f antar värdet 7 c) tredje roten av talet 7.

I figurerna 1 och 2 finns grafer till specifika potensfunktioner xn. Vilken graf passar in på påståendet? a) Exponenten är jämn. b) Exponenten är udda. c) Funktionen antar vart och ett av dess värden exakt en gång. d) Funktionen antar inga negativa värden. e) Funktionen antar vart och ett av dess positiva värden vid två ställen.

1)

2)

y

y

a) Bestäm 6 4096 . Vilka tal satisfierar ekvationen x 6 = 4096 ? b) Bestäm 6 −4096 . Vilka tal satisfierar ekvationen x 6 = –4096 ? c) Bestäm 7 128 . Vilka tal satisfierar ekvationen x 7 = 128 ? d) Bestäm 7 −128 . Vilka tal satisfierar ekvationen x 7 = −128 ?

7.6

Lös ekvationen. Ge exakt svar.

CAS

a) 7x 4 = 56

E3

b) x 7 − 28 = 0 c) 3 x 8 − 21 = 0 d) 10 x 3 + 170 = 0

7.7

Hur många lösningar har ekvationen?

CAS

a) x 8 = 5 b) x 11 = −4 c) x 6 = −15

x x

7.3 CAS

E2

7.4

Skriv uttrycket och beräkna dess exakta värde utan räknare. a) fjärde roten av talet 16 b) tredje roten av talet –27 c) femte roten av talet 32 d) sjätte roten av talet –64 Skriv uttrycket och beräkna dess närmevärde med tre decimalers noggrannhet. a) sjunde roten av talet –35 b) sjätte roten av talet 34 c) fjärde roten av talet –625 d) femte roten av talet 5

7.8 CAS

GG

Undersök graferna till funktionerna f ( x ) = x 4 och g ( x ) = x 3 med hjälp av appleten. Bestäm först med hjälp av appleten närmevärden med en decimal för ekvationens lösningar. Bestäm sedan via uträkningar de exakta värdena för ekvationernas lösningar. a) x 4 = 8 c) x 3 = 6

7.9 E4

7.10

b) x 4 + 6 = 0 d) 5 x 3 = −15

Vid början av ett år deponerar man Samhällelig 3 600 euro på ett bankkonto. Hur stor ska kompetens räntesatsen vara för att depositionens värde på sju år ska växa till 6 000 euro? Den källskatt som betalas på räntan behöver inte beaktas.

När en ny mobiltelefon kom ut på marknaden för sex månader sedan kostade den 422 euro.

Nu säljs telefonen för 211 euro. Hur många procent har priset i genomsnitt sjunkit per månad?

7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t

59

II

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

7.11

7.12 CAS

f (x ) = x 3

g (x ) = x 4

h( x ) = x 5

i( x ) = x 6

16 12 8 4

x

–2 –1

3)

2)

y

1 2 8 4

–2 –1 –4 –8

x 1 2

7.13 CAS

y

64 48 32 16

y

x

32 16 –2 –1 –16 –32

1 2

y x 1 2

7.14

Bestäm rotens närmevärde med en tusendels noggrannhet. a) fjärde roten av talet 64 b) femte roten av talet –32 768 c) tredje roten av talet 12 d) sjätte roten av talet –729

7.15

Hur många lösningar har ekvationen?

CAS

a) x 6 + 3 = 0 c) − x 7 + 20 = 0

60

POTENSFUNK TION

a) 16 x 4 = 32 b) 3 x 7 − 150 = 0 c) 6 x 5 + 42 = 0

7.17

Lös ekvationen.

CAS

a) ( x − 2)3 = 0 c) ( x − 2)3 = 5

Skriv uttrycket och beräkna dess exakta värde. a) kubikroten av talet 216 b) kubikroten av talet 625 c) åttonde roten av talet –4250 d) sjunde roten av talet –128

b) x 4 − 30 = 0

CAS

7.18 Enligt statistiken nedan sjufaldigades jordens

–2 –1

4)

Lös ekvationen. Ge exakt svar.

b) ( x − 2)3 = 27

Kombinera funktionen med rätt graf.

1)

Rita grafen till funktionen f (x) = x4 med hjälp av ett geometriprogram. Utnyttja grafen och bestäm med en tiondels noggrannhet a) funktionsvärdena f (–1,6) och f (1,6) b) de ställen där funktionen f antar värdet 9 c) fjärde roten av talet 9.

7.16

folkmängd på cirka två hundra år. Hur många procent ökade folkmängden i genomsnitt med mellan åren a) 1800 och 2020 b) 1960 och 2000 c) 2000 och 2020? År

Folkmängd (miljarder)

1800

0,98

1960

3,03

1980

4,46

2000

6,14

2020

7,79

Källa: Statistisk årsbok för Finland 2019.

7.19 FY

Efter kärnkraftsolyckan i Tjernobyl trans­ porterade vindarna en viss mängd av den radio­aktiva isotopen cesium-137 till Finland. År 1987 var aktiviteten av det radioaktiva nedfallet i Tavastland 78 kBq/m2. År 2006 hade denna aktivitet minskat till 51 kBq/m2.

Aktiviteten minskar varje år med lika många procent. Hur stor är nedfallets aktivitet år 2021?

7.20

Det geometriska medelvärdet av positiva tal definieras på följande sätt: Om antalet tal är n är deras geometriska medelvärde lika med den n:te roten av talens produkt. Beräkna det geometriska medelvärdet med en decimals noggrannhet av talen a) 4 och 5 b) 4, 5 och 6 c) 4, 5, 6 och 7.

Prypjats nöjespark, Ukraina. Nöjesparken övergavs efter kärnkraftsolyckan i Tjernobyl.

7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t

61

7.21

Det geometriska medelvärdet av två positiva tal a och b utgör det positiva tal som satisfierar ekvationen a = x . Lös ekvationen. x b

7.23 Visa att när

a) n är jämnt så är

7.22 a) Värdet av en aktie steg under årets första

Samhällelig kompetens

1)

n

an = a

2)

n

ab = n a n b för alla a, b ≥ 0 n

a för alla a ≥ 0, b > 0 b b) n är udda så är

kvartal med i genomsnitt 4,9 % per månad. Hur har talet 4,9 % beräknats?

Vilket slags medelvärde betyder ordet ”genomsnitt” i detta sammanhang? b) Med hur många procent steg eller sjönk värdet av aktien i genomsnitt under årets andra kvartal?

Tid

3)

n

a = b

1)

n

an = a

2)

n

ab = n a n b

3) n a = b

Förändring i aktiens värde

n

n n

a för alla b > 0. b

Första kvartalet

Januari

+10,7 %

Februari

+3,3 %

Mars

+1,0 %

Andra kvartalet

April

+2,3 %

Maj

+16,2 %

Juni

-18,5 %

Testa vad du kan 7

Lös ekvationen och ange exakt svar. a) 8 x 3 = 64 b) 3 x 4 − 30 = 0 c) 4 x 5 − 20 = 0 Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

62

POTENSFUNK TION

CAS

Repetera: Potensfunktion

Välj de rätta svarsalternativen. Det finns 1–3 rätta svarsalternativ i varje uppgift.

F1. Talet 3 + 6 kan förenklas till formen 25

a) 9 5 b) 1 4 5 c) 3 .

5

F2. Uttrycket

F5. Tredje roten av talet –8 är a) –2 b) 2 c) –2 och 2.

F6. Fjärde roten av talet 16 är

(

a) 1 b) 11 − 2 30

6− 5

)

2

kan förenklas till formen

a) –2 b) 2 c) –2 och 2.

F7. I figuren ser du grafen till en potensfunktion f(x).

Välj det påstående som passar in på grafen.

c) 2 30 + 1.

y

F3. För att bevisa påståendet 11 − 6 2 = 3 − 2 måste vi visa att

y = f(x) x

a) 3 − 2 ≥ 0

( ) = 3− 2 c) ( 3 − 2 ) = 11 − 6 b) 11 − 6 2

2

2 2.

F4. När a < 0 är a)

4 a 2 = 2a

b) 4 a 2 = −2a c)

4 a 2 inte definierad.

a) Funktionen antar alla dess värden exakt en gång. b) Funktionen är en jämn potensfunktion. c) Funktionen är en udda potensfunktion.

F8. Hur många lösningar har ekvationen 5 x 4 − 170 = 0 ? a) noll b) en c) två

63

Polynomfunktioner av första och andra graden lär du dig lösa ekvationer och olikheter av första och andra graden.

Det är nödvändiga grundfärdigheter i alla studier i matematik. i det här avsnittet

64

8

Polynomfunktioner av första graden Vi undersöker

GG

Grafen till en polynomfunktion av första graden f ( x ) = a x + b är en linje.

Undersök med hjälp av appleten hur koefficienterna a och b påverkar grafens utseende.

1. Bestäm sådana värden för koefficienterna a och b att grafen till funktionen f a) är en stigande linje som går genom punkten (0, 3) b) är en fallande linje som skär x-axeln vid x = −2 c) går genom punkterna (−1, 4) och (3, −4).

Finns det flera lösningar till uppgiften?

2. Hur påverkas utseendet av grafen till funktionen f när du ändrar koefficienten a?

3. Hur påverkas utseendet av grafen till funktionen f när du ändrar koefficienten b?

8 P o ly n o m f u n k t i o n e r av f ö r s ta g r a d e n

65

Grafen till en polynomfunktion av första graden är en linje I detta kapitel kompletterar vi med tidigare inlärda begrepp som har med funktioner att göra.

DEFINITION

Funktion

En funktion är en regel som för varje tal i definitionsmängden tillordnar (ger) exakt ett tal som kallas värdet för funktionen.

Ofta kan vi skriva regeln för en funktion i form av ett uttryck.

f(x) = 2x – 3 funktionens variabel funktionsnamn uttryck

Med hjälp av uttrycket för funktionen kan vi beräkna värdet av en funktion genom att sätta in ett visst tal på variabelns plats i uttrycket.

f(4) = 2 · 4 – 3 = 5 variabel- värde

funktionsvärde

Definitionsmängd för en funktion

DEFINITION

De tal (tillåtna variabelvärden) vi kan sätta in i funktionsuttrycket på variabelns plats bildar funktionens definitionsmängd.

Om vi anger en funktion bara genom att ge funktionsuttrycket så bildas definitionsmängden av alla de tal för vilka vi kan beräkna värdet för funktionen. När vi anger en funktion bör vi, förutom funktionsuttrycket, också ange funktionens definitionsmängd. De här två bestämmer entydigt en funktion.

DEFINITION

OBSERVERA

Polynomfunktion av första graden

Uttrycket för en polynom­funktion av första graden utgör ett polynom med gradtalet ett ( x = x 1 ).

En funktion, vars uttryck vi kan skriva i formen ax + b, där a ≠ 0, är en polynomfunktion av första graden.

En polynomfunktion är definierad för alla värden på variabeln.

Vid behov kan vi enligt situationen bestämma att definitionsmängden för en polynomfunktion är begränsad.

66

Funktionerna f ( x ) = 2 x − 3 , g ( x ) = − x + 2,7 och k( x ) = 3 x utgör exempel på polynomfunktioner av första graden.

Grafen till en polynomfunktion av första graden f ( x ) = ax + b är en linje. Koefficienten a i variabeltermen kallar vi linjens riktningskoefficient.

Riktningskoefficienten bestämmer linjens riktning. Den konstanta termen b anger vid vilket ställe linjen skär y-axeln.

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

SATS

Grafen till en polynomfunktion av första graden

Grafen till en polynomfunktion av första graden f ( x ) = ax + b • är en stigande linje när riktningskoefficienten a är positiv dvs. a > 0 • är en fallande linje när riktningskoefficienten a är negativ dvs. a < 0 • skär y-axeln i punkten (0, b).

OBSERVERA Grafen till en polynomfunktion av första graden f ( x ) = ax + b skär y-axeln i punkten (0, b) eftersom x-koordinaten är 0 på y-axeln och f (0) = a ⋅ 0 + b = b .

I funktionsuttrycket f ( x ) = 2 x − 3 är riktningskoefficienten a = 2 och den konstanta termen b = −3.

Grafen till funktionen är en stigande linje som skär y-axeln i punkten (0, −3).

y 1

y = f(x)

–1

1

2

3

x 4

–1 –2 –3

I funktionsuttrycket g ( x ) = − x + 2,7 är riktningskoefficienten a = −1 och den konstanta termen b = 2,7.

Grafen till funktionen är en fallande linje som skär y-axeln i punkten (0; 2,7).

(0, –3)

y 3

(0; 2,7)

2

y = g(x)

1

x

–1

1

2

3

4

–1

När riktningskoefficienten a = 0 är funktionsuttrycket av formen f ( x ) = b och då är det fråga om en konstant funktion, dvs. en polynomfunktion av nollte graden, vars graf utgör en vågrät linje.

Grafen till den konstanta funktionen h( x ) = −2 är en vågrät linje som skär y-axeln i punkten (0, –2).

y 1

x –1

1

2

–1 –2 –3

3

4

y = h(x) (0, –2)

De variabelvärden för en funktion för vilka funktionens värde är 0 kallas funktionens nollställen. Nollstället för funktionen f(x) är alltså det variabelvärde x vid vilket grafen y = f(x) till funktionen skär x-axeln.

Nollstället för funktionen f ( x ) = 2 x − 3 är x = 1,5 eftersom f (1,5) = 2 ⋅ 1,5 − 3 = 0 .

y 1

(1,5; 0) –1

1

2

3

x 4

–1 –2 –3

y = f(x)

8 P o ly n o m f u n k t i o n e r av f ö r s ta g r a d e n

67

Du repeterar hur du ritar en graf med hjälp av ett geometriprogram och hur du bestämmer funktionsvärden ur grafen.

E X E M PEL 1 Rita grafen till funktionen f ( x ) = − 1 x + 5 med hjälp av ett geometri­ 2 program. Bestäm med hjälp av grafen a) funktionsvärdet f (6) b) funktionsvärdet vid x = 0 c) funktionens nollställe.

LÖSNING

Vi ritar grafen till funktionen f ( x ) = − 1 x + 5 med hjälp av ett geometri2 program. a) Vid x = 6 är y-koordinaten för punkten på grafen lika med 2. Funktionsvärdet vid x = 6 är alltså 2:

f (6) = 2.

b) Vid x = 0 är y-koordinaten för punkten på grafen lika med 5. Funktionsvärdet vid x = 0 är alltså 5:

f (0) = 5.

c) Det variabelvärde för en funktion för vilka funktionens värde är 0 kallas funktionens nollställe. Funktionsvärdet är 0 i punkten (10, 0) på grafen.

Funktionens nollställe är alltså x = 10.

SVAR a) f (6) = 2 b) f (0) = 5 c) x = 10

68

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

5

y

4 3

(6, 2)

2 1

x

–1 –1

5

1 2

y

3

4

5

6

7

8

9 10 11

3

4

5

6

7

8

9 10 11

(0, 5)

4 3 2 1

x

–1 –1

5

1 2

y

4 3 2

(10, 0) x

1 –1 –1

1 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Du repeterar hur man löser en ekvation av första graden.

E X EM P EL 2

CAS

Anta att f ( x ) = −3 x + 12 och g ( x ) = 4 x − 7 .

2 För vilket värde på variabeln antar a) funktionen f värdet 99 b) funktionerna f och g samma värde?

LÖSNING a) Vi löser ut variabeln x ur ekvationen f ( x ) = 99.

f ( x ) = 99 −3 x + 12 = 99

− 12

Vi flyttar termen.

: (−3)

Vi dividerar båda leden i ekvationen med variabelns koefficient.

−3 x = 99 − 12 −3 x = 87 x = 87 −3 x = −29

b) Vi löser ut variabeln x ur ekvationen f ( x ) = g ( x ).

f (x ) = g (x ) −3 x + 12 = 4 x − 7 2 −6 x + 24 = 4 x − 7

⋅2 − 4x

−6 x − 4 x + 24 = −7

− 24

Vi avlägsnar nämnaren genom multiplikation.

Vi flyttar termen.

−6 x − 4 x = −7 − 24 −10 x = −31

: (−10)

x = −31 −10 x = 31 = 3 1 10 10

Vi dividerar båda leden i ekvationen med variabelns koefficient.

SVAR a) x = −29 b) x = 3 1 10

8 P o ly n o m f u n k t i o n e r av f ö r s ta g r a d e n

69

Du lär dig bilda en ekvation utifrån given information.

E X E M PEL 3 Anders, Maja och Lisa samåkte med taxi från en konstutställning till sina hem. De kom överens om att betala resan enligt förhållandet mellan längderna för avståndet till sina hem. Avstånden från respektive hem var 18 km för Anders, 6 km för Maja och 11 km för Lisa. Hur stor andel betalade var och en av resans pris när taxiresan kostade 42 euro?

LÖSNING Vi betecknar den del man betalar för en sträcka på en kilometer med bokstaven x.

Anders andel är 18x, Majas andel är 6x och Lisas andel är 11x.

Vi bildar och löser en ekvation.

18 x + 6 x + 11x = 42 x = 1,2

Det totala priset är 42 euro.

Vi löser ekvationen med CAS-räknaren.

Vi beräknar var och ens andel av resans pris.

Anders andel: 18 x = 18 ⋅ 1,2 = 21,60 (€) Majas andel: 6 x = 6 ⋅ 1,2 = 7,20 (€) Lisas andel: 11x = 11 ⋅ 1,2 = 13,20 (€)

SVAR Anders 21,60 euro, Maja 7,20 euro och Lisa 13,20 euro

Museet Louvren, Frankrike

70

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

I

8.1 E1

8.8

Du lär dig grunderna

Rita grafen till funktionen f ( x ) = 2 x − 4 3 med hjälp av ett geometriprogram. Bestäm funktionens nollställe och den punkt där grafen skär y-axeln.

8.2

Anta att f ( x ) = −5 x + 7 . a) Beräkna funktionens värde vid x = −1. b) Beräkna f (2). c) Rita grafen till funktionen med hjälp av ett geometriprogram och bestäm funktionens nollställe med en decimals noggrannhet.

8.3

Kombinera funktionen med rätt graf. f ( x ) = −2 x g (x ) = −x + 2 h( x ) = 3 x − 2 i( x ) = − 2 x − 2 3 y y 1) 2) 2

1 2

–2 –1 –1

3)

2

y

1 –2 –1 –1

8.4 CAS

E2

8.5 CAS

8.6 CAS

8.7 GG

–2

2

x

–2 –1 –1

b) 8 x − 3 − 1 = 3 x + 2 4 2

Lös ekvationen. a) 8( x − 3 ) = 4(2 x + 1 ) b) 12 x − 4 + 3 = 6 + 9 x 4 9 4 3

1 2

II

y

1

1 2

Lös ekvationen. a) 2 x − 1 = 3 − 4 x 6 3

8.11

–2

4)

8.10

x

–2 –1 –1

–2

Biluthyrningsfirman Bucklan debiterar 64 cent per körkilometer och därtill en dygnsavgift på 16,20 euro. a) Bilda en funktion f(x) som uttrycker dygnshyran i euro när man kör x kilometer. b) Vilka värden kan variabeln x anta? c) Hur många kilometer kan man köra för 50 euro?

CAS

1

x

8.9

CAS

2

1

E3

Syskonen Aron (9 år), Brita (12 år) och Cecilia (13 år) beslutar att dela ett glasspaket på en liter enligt förhållandet mellan sina åldrar.

Hur många deciliter glass får var och en?

8.12

Rita grafen till funktionen f ( x ) = − 3 x + 4 och 5 g(x) = x med hjälp av ett geometriprogram.

Bestäm med hjälp av grafen a) nollstället för funktionen f b) den punkt där graferna till funktionerna f och g skär varandra c) lösningen till ekvationen f (x) = x.

8.13

Kombinera funktionen med rätt graf. f ( x ) = x − 1 1 g(x) = −2x + 3 2

x 1 2

–2

Anta att g(x) = 6x − 19 och h( x ) = 7 + 5 x .

3 För vilket värde på variabeln x antar a) funktionen g värdet 5 b) funktionerna g och h samma värde?

Lös ekvationen. a) 3 x − 4 = 5 x + 6 b) 2( x − 3) = 4 x + 9 Bestäm funktionens nollställe. a) g ( x ) = 9 x + 27 b) h( x ) = − 2 x + 6 7 a) Bestäm med hjälp av appleten värdet av konstanten a så att nollstället för funktionen g ( x ) = ax + 9 är x = 3.

5 b) Beräkna det exakta värdet av konstanten a.

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

h(x) = −x + 3 1)

3)

3

i(x) = x + 3 2)

y

3

2

2

1

1

x

–1 –1

3

1 2

3

y

4)

3

2

2 1

x 1 2

3

x

–1 –1

1 –1 –1

y

–1 –1

1 2

3

1 2

3

y

x

8 P o ly n o m f u n k t i o n e r av f ö r s ta g r a d e n

71

8.14

Vilka av kurvorna 1−4 är inte grafer till en polynom­funktion av första graden? Varför?

1)

2

2)

y

1

3)

2

y

1

8.15 CAS

–2 –1 –1

x

–2 –1 –1

1 2

4)

2

1 2

1 2

–2 –1 –1

8.21 CAS

y

1

x

x 1 2

Lös ekvationen. a) 5 x − 6 = 7 x − 3 b) x + 2(4 x + 1) = 6 x + 2

8.16 a) Bestäm med hjälp av appleten och med GG

en decimals noggrannhet värdet av konstanten a så att nollstället för funktionen g ( x ) = ax + 7 är x = 5. b) Beräkna det exakta värdet av konstanten a.

8.17

En polynomfunktion g av första graden antar värdena g(12) = −3 och g(−2) = 4. Bestäm uttrycket för funktionen g.

8.18

Bestäm det största och det minsta värdet, ifall sådana existerar, för funktionen f ( x ) = 3 x − 5 när funktionens definitionsmängd är a) x ≥ 0 b) x ≤ 0 c) R d) −1 ≤ x ≤ 2 e) −1 ≤ x < 2.

8.19

72

CAS

y

1

x

–2 –1 –1

2

8.20

Du ska göra en brädfodring på en trappa och måste därför skaffa en 240 cm lång planka som du sedan sågar i tre delar. Du mäter delarnas längder så att följande del alltid blir 20 cm längre än föregående del. Beräkna längderna på delarna.

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Lös ekvationen.

3x − 1 5 x 3 + 2 x a) − = 2 6 3 x + 2 1 3 + 2 x b) − = 3 6 6 Lös ekvationen x + 3 − 4 x = 1 − 9 x .

3 5

Harjoitellaan suomeksikin!

8.22 Vaarilla on lämpömittari, joka näyttää lämpö­ tilan sekä celsius- että fahrenheitasteina.

Mittarin mukaan vesi sulaa lämpötilassa 32 °F ja kiehuu lämpötilassa 212 °F. a) Celcius- ja fahrenheitasteikkojen välinen riippuvuus on lineaarinen (suoraviivainen).

Muodosta funktio f, jonka ilmaisee fahrenheit­asteina lämpötilan x °C. b) Mitä fahrenheitasteikon lukemaa mittari näytti, kun vaarin tuvassa oli lämmintä 21 °C? c) Mitä celciusasteikon lukemaa mittari näytti, kun ulkona oli lämmintä 0 °F? d) Muodosta funktio c, joka ilmaisee celciusasteina lämpötilan y °F. e) Missä lämpötilassa mittari näyttää samaa lukemaa molemmilla asteikoilla?

8.23 Lös ekvationen för alla värden på parametern p.

CAS

a) 2( p − 3 x ) = ( p − 6)x b) 3 px − 9 = 6 + 12 x

Testa vad du kan 8

Anta att f ( x ) = 4 x + 6 och g ( x ) = 2( x − 5) + 1. a) Bestäm nollstället för funktionen f. b) För vilket värde på variabeln x antar funktionerna f och g samma värde?

Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

CAS

fi FY

9

Olikheter av första graden Vi undersöker 1. Vi studerar den sanna olikheten 4 < 8.

a) Subtrahera talet 6 från båda leden i olikheten. Är olikheten fortfarande sann?

b) Addera talet 3 till båda leden i olikheten. Är olikheten fortfarande sann?

c) Multiplicera båda leden i olikheten med talet 2. Är olikheten fortfarande sann? d) Dividera båda leden i olikheten med talet 4. Är olikheten fortfarande sann? e) Dividera båda leden i olikheten med talet −2. Vad observerar du?

Vad borde vi göra för att olikheten fortfarande ska vara sann? f) Multiplicera båda leden i olikheten med talet −1. Vad observerar du?

Vad borde vi göra för att olikheten fortfarande ska vara sann?

2. För vilka värden på variabeln x antar funktionen f ( x ) = 4 x − 12 positiva värden? Bilda en lämplig olikhet och lös olikheten.

3. För vilka värden på variabeln x antar funktionen f ( x ) = 4 x − 12 minst lika stora värden som funktionen g ( x ) = 7 x + 3 ? Bilda en lämplig olikhet och lös olikheten.

9 O l i k h e t e r av f ö r s ta g r a d e n

73

När vi multiplicerar eller dividerar båda leden med samma negativa tal byter olikhetstecknet riktning Mellan uttrycken i en olikhet finns ett olikhetstecken som anger storleks­ ordningen: <, >, ≤ eller ≥. I en olikhet av första graden är variabeln x upphöjd till potensen ett. −3 x + 12 < 0 och 2(4 − 3 x ) ≥ 7 x utgör exempel på olikheter av första graden.

När vi löser en olikhet söker vi sådana reella tal som gör att olikheten är sann. Mängden av reella tal kallas olikhetens lösningsmängd. Lösning av en olikhet av första graden grundar sig på följande observationer.

9 ≥ −6 OBSERVERA När vi redigerar en olikhet av första graden bör vi bevara dess sanningsvärde.

⋅ 2 (> 0)

18 ≥ −12 9 ≥ −6

sann sann

: 3 (> 0)

sann

3 ≥ −2

sann

9 ≥ −6

⋅ (−1) (< 0) sann

−9 ≤ 6 9 ≥ −6

sann : (−3) (< 0) sann

−3 ≤ 2

sann

När vi multiplicerar med ett positivt tal bevaras olikhetstecknets riktning.

När vi dividerar med ett positivt tal bevaras olikhetstecknets riktning.

När vi multiplicerar med ett negativt tal byter olikhetstecknet riktning.

När vi dividerar med ett negativt tal byter olikhetstecknet riktning.

Vi löser en olikhet av första graden i princip på samma sätt som vi löser en ekvation av första graden. Men när vi löser en olikhet av första graden måste vi minnas en sak. När vi multiplicerar eller dividerar båda leden med samma negativa tal byter olikhetstecknet riktning.

Lösning av en olikhet av första graden

SATS

När vi löser en olikhet av första graden använder vi följande principer.

Olikhetstecknets riktning bevaras när • vi adderar samma tal till båda leden i olikheten • vi subtraherar samma tal från båda leden i olikheten • vi multiplicerar eller dividerar båda leden i olikheten med samma positiva tal.

Olikhetstecknets riktning byts när • vi multiplicerar eller dividerar båda leden i olikheten med samma negativa tal.

74

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Du lär dig lösa en olikhet av första graden.

E X EM P EL 1

CAS

Lös olikheten och rita lösningsmängden på en tallinje. a) 3 x − 12 > 0 b) x − 2 x − 3 ≥ 9 + 5 x 7

LÖSNING a)

3 x − 12 > 0 3 x > 12 x>4

+ 12

Vi flyttar termen.

: 3 ( > 0)

När vi dividerar båda leden med samma positiva tal bevaras olikhetstecknets riktning.

Alla tal som är större än 4 satisfierar olikheten. x 3

4

5

6

7

8

x − 2x − 3 ≥ 9 + 5x 7

b)

⋅ 7 (> 0)

Vi avlägsnar nämnaren. När vi multiplicerar båda leden med samma positiva tal bevaras olikhetstecknets riktning.

Vi avlägsnar parentesen.

− 35 x

Vi flyttar termerna.

7 x − (2 x − 3) ≥ 63 + 35 x 7 x − 2 x + 3 ≥ 63 + 35 x 5 x + 3 ≥ 63 + 35 x −30 x + 3 ≥ 63

Talet 4 hör inte till lösningsmängden. Därför sätter vi en öppen ring vid talet 4 på tallinjen.

−3

−30 x ≥ 60

: (−30) (< 0) När vi dividerar båda leden

med samma negativa tal byter olikhets­tecknet riktning.

x ≤ −2

Alla tal som är mindre eller lika med talet −2 satisfierar olikheten. x –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

Talet −2 hör till lösnings­ mängden. Därför sätter vi en fylld ring vid talet −2 på tallinjen.

SVAR a) x > 4

b) x ≤ −2

9 O l i k h e t e r av f ö r s ta g r a d e n

75

Du lär dig lösa en olikhet som satisfieras av alla reella tal och en olikhet som inte satisfieras av ett enda tal.

E X E M PEL 2

CAS

Lös olikheten. a) 3 − x ≥ 5 − 2 x 3 6 b) 9 x − 3( x − 5) < 5 + 6 x

LÖSNING a)

x 5 − 2x ≥ 3 6 18 − 2 x ≥ 5 − 2 x 3−

⋅ 6 (> 0)

Olikhetstecknets riktning bevaras.

+ 2x

18 ≥ 5 sann OBSERVERA Alla olikheter i slutledningskedjan är sinsemellan ekvivalenta, dvs. de har samma lösningar.

Olikheten är alltid sann så olikheten satisfieras av alla tal. b) 9 x − 3( x − 5) < 5 + 6 x

Vi avlägsnar parentesen.

9 x − 3 x + 15 < 5 + 6 x

Eftersom den sista olikheten alltid är sann är också den första olikheten sann för alla reella värden på variabeln x.

6 x + 15 < 5 + 6 x

− 6x

15 < 5 falsk

Olikheten är alltid falsk så olikheten satisfieras inte av ett enda tal.

SVAR OBSERVERA När en olikhet satisfieras av alla värden på variabeln x kan vi beteckna svaret ”alla reella tal” kortare med beteckningen x ∈ R .

a) Olikheten satisfieras av alla tal. b) Olikheten satisfieras inte av ett enda tal.

När en olikhet inte satisfieras av ett enda tal kan vi kortare beteckna ”saknar lösningar”.

76

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Vi kan lösa ekvationer och olikheter med en CAS-räknare PROGRAM

Att lösa en olikhet med en CAS-räknare Med en CAS-räknare löser vi ekvationer och olikheter med samma kommando.

Vi får lösningen x > 4 till olikheten –3x + 12 < 0 med kommandot solve(–3x+12<0,x) Lös olikheten i exempel 3 med CAS-räknaren och säkerställ att du får ett korrekt resultat.

Du lär dig lösa en tillämpnings­uppgift med hjälp av en olikhet.

Samhällelig kompetens

E X EM P EL 3 Johan säljer vid en nätauktion farfars gamla mässingsmikroskop till Australien. Enligt prissättningen för kurirservicen WHL kostar ett paket till Australien 18,60 € per kilogram. Ytterligare debiterar man en avgift på 13,40 € för hantering av en söndrig vara. Kurirservicen FedUp debiterar 14,20 € per kilogram och 43,00 € i tillägg för hantering av en söndrig vara.

För hur tunga paket blir det förmånligare att utnyttja kurirservicen WHL?

LÖSNING Vi bildar uttryck för sändningsavgifterna hos båda kurirbolagen och betecknar vikten av det paket som ska skickas med bokstaven x (kg).

WHL pris i euro: w ( x ) = 18,60 x + 13,40 .

FedUp pris i euro: f ( x ) = 14,20 x + 43,00 .

Debitering enligt vikt 18,60 €/kg · x kg.

Tilläggsavgift för söndrig vara 13,40 €.

Debitering enligt vikt 14,20 €/kg · x kg.

Tilläggsavgift för söndrig vara 43,00 €.

Vi bestämmer för vilket variabelvärde w ( x ) < f ( x ). w(x ) < f (x ) 18,60 x + 13,40 < 14,20 x + 43,00 x < 6,7272...

Vi sätter in funktionsuttrycken.

Vi löser olikheten med CAS-räknaren.

WHL är billigare när det paket som ska skickas väger mindre än 6,73 kg.

SVAR mindre än 6,73 kg

9 O l i k h e t e r av f ö r s ta g r a d e n

77

Vi får lösningen till en dubbelolikhet genom att lösa två olikheter samtidigt (fördjupande kunskap) Du lär dig lösa en dubbelolikhet.

E X E M PEL 4

(fördjupande)

CAS

Lös dubbelolikheten. a) x − 2 < 2 x + 3 ≤ 9 − 4 x b) 7 < 5 − 2 x ≤ 9

LÖSNING a) Vi spjälker upp dubbelolikheten i två separata olikheter som ska vara sanna samtidigt.

x − 2 < 2x + 3 ≤ 9 − 4 x x − 2 < 2 x + 3 och 2x + 3 ≤ 9 − 4 x x − 2x < 3 + 2 och 2x + 4 x ≤ 9 − 3 6x ≤ 6 −x < 5 och och x > −5 x≤1

Vi förenar de erhållna lösningarna.

x > –5

x≤1

x

x > – 5 och x ≤ 1

–5

1

Lösningen till dubbelolikheten är −5 < x ≤ 1. b) Eftersom variabeln i dubbelolikheten endast finns i det mittersta uttrycket är det möjligt att lösa båda olikheterna samtidigt.

7 < 5 − 2x ≤ 9

−5

2 < − 2x ≤ 4

: ( −2) (< 0)

−1 > x ≥ −2 −2 ≤ x < −1

SVAR a) −5 < x ≤ 1 b) −2 ≤ x < −1

78

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Vi subtraherar talet 5 från varje uttryck (alla tre led).

När vi dividerar båda leden med samma negativa tal byter olikhetstecknet riktning.

Vi skriver lösningen i storleks­ ordning från det minsta talet till det största talet.

I

9.1 CAS

E1

9.2

9.3 CAS

9.4 CAS

E2

9.5 CAS

9.6 CAS

Du lär dig grunderna

Lös olikheten. Rita lösningsmängden på tallinjen. a) 6 x − 18 > 0 b) 3 x + 6 ≤ 22 − x Undersök: Vilka av följande tal a) 2 b) 3 c) −4 d) 694 satisfierar olikheten 4 − 7(3 x − 8) < x − 6 ?

2 Lös olikheten. a) 6( x + 4) ≥ 3(2 − x ) b) 3 − 2(3 x + 1) < 7 − 2 x Lös olikheten. a) 4 x + 3 ≥ 2 + x 4 3 b) 8 x + 2 < 4(2 x − 1)

Lös olikheten.

5(2 x + 3) x a) 9 + > 2 3 6 12 x − 5 b) 1 + 4 x > 3 Lös olikheten. a) x − x > x 2 3 4 3(5 + 2 x ) x b) ≤ +1 12 2 c)

9.7

9.8

9.9 E3

9.10 Lösningen till olikheten 6 p + 2 x ≥ 7 är x ≥ 3.

GG

II

9.11 CAS

9.12 CAS

9.13 CAS

2x − 2 ≥ 8x

Lös olikheten med CAS-räknaren och tolka ditt svar. a) 6( x + 4) > 24 x − 1 4 b) x − 2 ≥ 5 + 2 x + 1 3 6 Anta att f ( x ) = 3 x − 4 och g ( x ) = 8 − x .

3 Bilda en olikhet och bestäm de variabelvärden x för vilka funktionsvärdena för funktionen f a) är negativa b) är minst 5 c) är större än funktionsvärdena för funktionen g.

Aktiebolaget Hemdonits har av ett budbolag fått två offerter gällande hemtransport inom stadens centrumområde. I offert A debiteras en månadsavgift på 180 € samt en avgift på 3 € per transport. I offert B debiteras endast en avgift på 4,50 € per transport. Hur många transporter borde Hemdonits göra per månad för att offert A ska vara billigare?

9.14 CAS

a) Bestäm med hjälp av appleten värdet på konstanten p med två decimalers noggrannhet. b) Bestäm genom beräkningar det exakta värdet på konstanten p.

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

Lös olikheten. Rita lösningsmängden på tallinjen. a) 14 x − 6 ≥ 13 x − 7 b) 1 + x < 5 2 6 3 Lös olikheten. a) x − x − 1 ≤ x − 1 − x 3 2 3 2 x 1 b + ≥ 3( x − 1) 3 2 Undersök: Vilka av följande tal a) −1 b) 3 c) − 20 d) −2021 28 31 x x satisfierar olikheten − + 3 ≥ x ?

7 4 Lös olikheten. a) 1 + 4 x ≤ 2( 1 + x ) 2 4 b) 5 − 2(1 − 4 x ) ≤ 5(3 x − 1)

9.15 Lös olikheten.

CAS

a) x − 2 x − 5 < x 3 12 b) −2(7 + 3 x ) > 3(4 − 2 x )

9.16 Lös olikheten.

CAS

a) 2 3 x + 2 ≥ 3 x + 8 b) 3 + 8 x < 2 x + 3 2 c)

12 x − 27 ≥ 3 x 9 O l i k h e t e r av f ö r s ta g r a d e n

79

9.17 Lös olikheten.

CAS

9.18 Samhällelig kompetens

a)

x ( x − 2) > ( x − 1)2

b)

( x + 3)2

+ 3x

− 4 ≥ ( x + 1)( x − 1)

I en stad finns två uthyrningsfirmor som hyr ut flygbrädor. Firman Vind debiterar 2,40 € för varje påbörjad timme samt en 3 € startavgift. Firman Lä debiterar 1,80 € för varje påbörjad timme och en 5 € startavgift.

För vilken uthyrningstid a) är firman Lä förmånligare b) är firman Vind förmånligare c) är de fakturerade summorna hos båda firmorna lika stora?

9.19

För vilka värden på variabeln x befinner sig grafen till funktionen f ( x ) = 3 x − 4 nedanför 5 grafen till funktionen a) g ( x ) = 3 x − 7 8 4 b) h( x ) = 3 x − 25 ?

5

9.20

Lös dubbelolikheten. a) 2 − x < 3 x + 6 ≤ 16 − 2 x b) 5 < 3 − 2 x ≤ 9

CAS

E4

9.21 Lös dubbelolikheten.

CAS

a) 4 + 5 x < 2 x + 3 ≤ 6 x + 5 b) 2 + 4 x < 5 x + 5 < 7 x − 7

9.22 Visa att varje naturligt tal satisfierar olikheten CAS

80

12 + 2(4 x + a 2 ) ≥ 9 + 7 x för alla värden på konstanten a.

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

9.23 Lös olikheten CAS

a) ax ≥ 4 b) ax –1 > 2a – x för alla värden på parametern a.

9.24 Anta att talen a och b är positiva. Då är talens

aritmetiska medelvärde a + b , geometriska 2 medelvärde ab och harmoniska medelvärde 2 .

1+1 a b a) Visa att följande olikhetskedja alltid är sann: det aritmetiska medelvärdet ≥ det geometriska medelvärdet ≥ det harmoniska medelvärdet b) Hitta på ett villkor för när alla medelvärden är lika stora. Visa genom beräkningar att ditt villkor är korrekt.

Testa vad du kan 9

Lös olikheten. a) 3x – 5 > 7 b) x − x ≥ 1 + x 2 3 6 c) x + 4(2 x − 5) > 9( x − 2) Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

CAS

10

Polynomfunktioner av andra graden Vi undersöker

Samhällelig kompetens

GG

En vattenkälla är i en applet placerad i ett koordinatsystem så att vattenytan i bassängen är på x-axeln. Vattenstrålen utgår från punkten (0; 1,5) och går genom punkterna (1; 2,5) och (3,1). Vattenstrålens flygbana följer parabeln som utgör graf till funktionen f ( x ) = ax 2 + bx + c . Enheten på koordinat­ axlarna är en meter.

1. Bestäm koefficienterna a, b och c med hjälp av appleten.

2. Hur högt stiger vattenstrålen?

3. Hur långt når vattenstrålen?

10 P o ly n o m f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n

81

Grafen till en polynomfunktion av andra graden är en parabel DEFINITION

Polynomfunktion av andra graden

En funktion vars uttryck vi kan skriva i formen ax 2 + bx + c , där a ≠ 0, utgör en polynomfunktion av andra graden.

Grafen till en polynomfunktion av andra graden är en parabel. Parabeln har en topp i vilken dess riktning ändras. Parabeln är symmetrisk med avseende på en linje som är parallell med y-axeln och som löper genom parabelns topp.

SATS

Grafen till en polynomfunktion av andra graden Grafen till funktionen f ( x ) = ax 2 + bx + c är

• en parabel som öppnar sig uppåt om koefficienten a i andragradstermen är positiv, dvs. a > 0 • en parabel som öppnar sig nedåt om koefficienten a i andragradstermen är negativ, dvs. a < 0.

När grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig uppåt är y-koordinaten för parabelns topp lika med funktionens minsta värde.

När grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig nedåt är y-koordinaten för parabelns topp lika med funktionens största värde. y

y

4

4

3

3

2

2

1

topp

1

x 1 –1

2

3

topp

I funktionen f (x) = x 2 − 4 x + 3 är a = 1. Parabeln öppnar sig uppåt.

Toppen är i punkten (2, −1).

Funktionens minsta värde är f (2) = –1.

82

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

x 1

4

2

3

4

–1

I funktionen f (x) = − x 2 + 4 x är a = -1. Parabeln öppnar sig nedåt.

Toppen är i punkten (2,4).

Funktionens minsta värde är f (2) = 4.

Du lär dig rita grafen till en polynomfunktion av andra graden och bestämma toppen med hjälp av grafen.

E X EM P EL 1 Rita grafen till funktionen f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en decimals noggrannhet. a) Vilka är koordinaterna för parabelns topp? b) Har funktionen f ett största eller ett minsta värde?

LÖSNING OBSERVERA Du hittar parabelns topp i GeoGebra med verktyget Extremvärden.

a) Vi ritar grafen till funktionen f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 och bestämmer med hjälp av ett geometriprogram koordinaterna för parabelns topp.

Toppen är i punkten (−1,5; −3,25).

y = x2 + 3x – 1

b) Grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig uppåt så funktionens minsta värde är lika med y-koordinaten för parabelns topp. Minsta värdet är ungefär −3,3.

Funktionen saknar största värde.

y 1

–4 –3 –2 –1

x 1

–1 –2 –3

(–1,5; –3,25)

SVAR a) (−1,5; −3,3) b) minsta värdet är ungefär −3,3; största värde saknas

10 P o ly n o m f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n

83

En ekvation av andra graden har två, en eller inga lösningar Ekvation av andra graden

DEFINITION

En ekvation av andra graden är en ekvation som vi kan skriva i formen ax2 + bx + c = 0, där a ≠ 0.

Eftersom rötterna till en andragradsekvation ax2 + bx + c = 0 samtidigt utgör nollställena till funktionen f(x) = ax2 + bx + c, så har den här andragradsekvationen två, en eller inga lösningar.

Två lösningar

84

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

En lösning

Ingen lösning

Du lär dig bestämma nollställen för en funktion med hjälp av grafen.

E X EM P EL 2 Rita grafen till funktionen f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. a) Bestäm funktionens nollställen med en tiondels noggrannhet. b) Hur många lösningar har ekvationen x 2 + 3 x − 1 = 0 ?

Vilka är lösningarna? c) Vad har x-koordinaten för parabelns topp att göra med nollställena för funktionen f?

LÖSNING a) Vi hittar funktionens nollställen i grafen vid de ställen där funktionen antar värdet 0, dvs. vid de ställen där grafen skär x-axeln.

y = x2 + 3x – 1 (–3,3; 0) –4

–3

–2

y 1

x

(0,3; 0)

–1

1 –1 –2

Nollställena för funktionen f är x ≈ −3,3 och x ≈ 0,3.

–3

b) Ekvationen x 2 + 3 x − 1 = 0 satisfieras av de variabelvärden x för vilka värdet av funktionen f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 är 0. Därmed har ekvationen två lösningar och deras närmevärden är x ≈ −3,3 och x ≈ 0,3. c) Parabeln är symmetrisk med avseende på en med y-axeln parallell (–3,3; 0) lodrät linje genom parabelns –4 topp. Symmetriaxeln går genom mittpunkten för sträckan mellan nollställena. Toppens x-koordinat ligger alltså mitt emellan nollställena och vi får den genom att beräkna medelvärdet av nollställena.

x= OBSERVERA I uppgift 13.22 visar vi att x-koordinaten för toppen till parabeln y = ax 2 + bx + c är −b x= .

2a

y 1 –3

–2

–1

(0,3; 0) 1

x

2

–1 –2 –3

(–1,5; –3,25)

−3,3 + 0,3 = −1,5 2

SVAR a) x ≈ −3,3 och x ≈ 0,3 b) två lösningar, x ≈ −3,3 och x ≈ 0,3 c) Toppens x-koordinat utgör medelvärdet av nollställena.

10 P o ly n o m f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n

85

Vi kan med hjälp av grafen ta reda på funktionens förtecken Vi kan åskådliggöra enhetliga delar av tallinjen, dvs. intervall, genom att använda olikhetstecken eller specifika intervallbeteckningar. I följande tabell finns en sammanställning av beteckningarna.

Olikhetsbeteckning

Intervallbeteckning

a ″ x″ b

[a, b ]

a

b

a< x <b

]a, b [

a

b

a< x ≤b

]a, b ]

a

b

a≤ x <b

[a, b [

a

b

x ≥a

[a, ∞[

a

x >a

]a, ∞[

a

x″a

]–∞ , a ] ]–∞ , a[

x <a

Beteckning på tallinjen

a a

Hakparentesens riktning anger om ändpunkten tillhör intervallet eller inte.

Symbolen ∞ är en symbol för oändligheten (obegränsat intervall).

Exempelvis anger de synonyma beteckningarna ]1, 3[ och 1 < x < 3 de variabelvärden x som är större än 1 och mindre än 3. x

1

3

Ändpunkterna 1 och 3 tillhör inte detta intervall.

Beteckningarna [1, ∞[ och x ≥ 1 anger de variabelvärden x som är större eller lika med 1. x

1

86

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Ändpunkten 1 tillhör detta intervall.

Intervallet fortsätter obegränsat högerut.

Du lär dig tolka E X EM P EL 3 grafen till en polynom­funktion av Rita grafen till funktionen g ( x ) = −0,5 x 2 + x + 1,5 med ett geometri­ andra graden.

program. Bestäm med hjälp av grafen de variabelvärden x för vilka funktions­värdena är a) positiva b) negativa c) icke-negativa.

LÖSNING y

Vi ritar grafen till funktionen g ( x ) = −0,5 x 2 + x + 1,5 .

Vi bestämmer skärningspunkterna mellan grafen och x- axeln med ett geometriprogram.

2 1 –1

a) Värdet av funktionen vid stället x är lika med y-koordinaten för punkten på grafen.

Funktionsvärdet är positivt vid de variabelställen där funktionens graf finns ovanför x- axeln.

OBSERVERA Vi kan också svara med intervallbeteckning. a) inom intervallet ] −1, 3 [

3

y = g(x) y

1 –1

x

–1

1

2

3

1

2

3

Värdena för funktionen g är positiva när −1 < x < 3.

Värdena för funktionen g är negativa när x < −1 eller x > 3.

y 2 1 –1

c) Funktionsvärdet är icke-negativt vid de variabelställen där funktionens graf finns ovanför eller på x-axeln.

–1

2

2

b) Funktionsvärdet är negativt vid de variabelställen där funktionens graf finns nedanför x-axeln.

x 1

Värdena för funktionen g är icke-negativa när −1 ≤ x ≤ 3.

x

–1

y 2 1 –1

–1

x 1

2

3

SVAR a) −1< x < 3 b) x < −1 eller x > 3 c) −1 ≤ x ≤ 3

b) inom intervallen ] − ∞ , − 1[ och ] 3, ∞ [ c) inom intervallen [ −1, 3 ]

10 P o ly n o m f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n

87

I

10.1 E1

10.2

10.3

10.6

Du lär dig grunderna

Rita grafen till funktionen f ( x ) = − x 2 − 2 x + 3 med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en decimals noggrannhet. a) Vilka är koordinaterna för parabelns topp? b) Har funktionen f ett största eller ett minsta värde?

Rita grafen till funktionen f ( x ) = 0,5 x 2 − 2 x + 2 med ett geometri­ program och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en decimals noggrannhet. a) Vilka är koordinaterna för parabelns topp? b) Har funktionen f ett största eller ett minsta värde?

1)

2)

y x

y –1

–1

–2

–2

–3

2

3

y

3

3

2

2

1

1

x 1

–1

x 1

2

10.4

Rita grafen till funktionen a) f ( x ) = 3 x 2 − 2 x − 6

E2

b) f ( x ) = −21x 2 + 26 x + 187 med ett geometriprogram. Bestäm med hjälp av grafen nollställena för funktionen f med en decimals noggrannhet.

10.5

Rita grafen till funktionen a) f ( x ) = −2 x 2 + 12 x − 3 b) f ( x ) = 4 x 2 − 7 x + 5 med ett geometriprogram. Lös ekvationen f ( x ) = 0 med en decimals noggrannhet.

88

Funktionen f har nollställena −3 och 2. Grafen till funktionen utgör en parabel som öppnar sig nedåt. a) För vilka variabelvärden x antar funktionen positiva värden? b) För vilka variabelvärden x antar funktionen negativa värden? c) Bestäm x-koordinaten för parabelns topp.

10.9

4)

y

–2 –1

10.8

x 1

3)

Rita grafen till funktionen g ( x ) = x 2 − 4 x + 4 med ett geometriprogram. Avgör med hjälp av grafen de värden på variabeln x för vilka funktionsvärdet för funktionen g är a) negativt b) positivt c) icke-negativt.

i( x ) = x − 3

1 –3 –2 –1

10.7

CAS

Kombinera funktionen med rätt graf. f (x ) = −x 2 + 3 g ( x ) = x 2 + 3x h( x ) = −2 x + 3

E3

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Rita grafen till funktionen g ( x ) = 0,5 x 2 + x − 1,5 med ett geometri­ program. Avgör med hjälp av grafen de värden på variabeln x för vilka funktionsvärdena för funktionen g är a) negativa b) positiva c) icke-negativa.

Bestäm ett sådant värde för talet c att funktionen f ( x ) = − x 2 + c a) har två nollställen b) har ett nollställe c) saknar nollställen.

10.10 Undersök med hjälp av appleten GG

a) hur värdet av parametern a påverkar formen och öppningsriktningen för parabeln y = ax 2 b) hur värdet av parametern c påverkar parabeln y = x 2 + c c) om dina tidigare dragna slutsatser även gäller för parabeln y = ax 2 + c d) för vilka värden på parametrarna a och c parabelns topp finns i punkten (0, −3) och parabeln går genom punkten (2, −5).

II

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

10.11 Kombinera funktionen med rätt graf. f ( x ) = −x 2 − x + 3

g (x ) = x − x 2 h( x ) = 0,5 x 2 − 3 x + 4 y 4

1)

3)

3

10.15 Funktionen g har nollställena −5 och 1. Grafen CAS

till funktionen utgör en parabel som öppnar sig uppåt. a) För vilka variabelvärden x antar funktionen negativa värden? b) För vilka variabelvärden x antar funktionen icke-negativa värden? c) Antar funktionen g ett största eller ett minsta värde? Bestäm det ifall det existerar.

2 1 –2

2)

–1

x 1

2

3

4

5

10.12 Rita grafen till funktionen f ( x ) = − x 2 − 2 x + 5

med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en tiondels noggrannhet. a) Bestäm toppens koordinater för parabeln. b) Bestäm det största värdet för funktionen f. c) Bestäm det minsta värdet för funktionen f. d) Bestäm lösningarna till ekvationen −x 2 − 2x + 5 = 0 .

10.16 Det vinkelräta tvärsnittet av en vägtunnel

har formen av det område som begränsas av parabeln y = −0,5 x 2 + 5 och x-axeln när enheten på axlarna är en meter. a) Rita parabeln med ett geometriprogram och bestäm tunnelns höjd och bredd med 10 centimeters noggrannhet. b) Kan en lastbil vars bredd är 2,60 m och höjd 4,00 m köra genom tunneln?

10.13 Rita grafen till funktionen f ( x ) = 2 x 2 − x + 2

5 med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en tiondels noggrannhet. a) Bestäm toppens koordinater för parabeln. b) Bestäm lösningarna till ekvationen 2 x2 − x + 2 = 0 .

5 c) Bestäm lösningarna till ekvationen 2 x2 − x + 2 = 4 .

5

10.14 Rita grafen till funktionen f ( x ) = 4 x 2 + 12 x + 9 med ett geometriprogram. Avgör med hjälp av grafen de värden på variabeln x för vilka funktionsvärdet för funktionen f är a) positivt b) icke-negativt c) icke-positivt.

Laerdals tunnel, Norge, är världens längsta landsvägstunnel (24,5 km).

10 P o ly n o m f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n

89

10.17 Lös ekvationen.

CAS

a) x 2 = 25 b) ( x − 3)2 = 25 c) ( x + 4)2 = 25

10.22 Funktionerna f och g är polynomfunktioner av andra graden. Vi definierar summafunktionen f + g på följande sätt: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) . a) Vilket gradtal kan summafunktionen f + g ha? b) Hur många nollställen kan summa­ funktionen f + g ha? c) Hitta på exempelfunktioner f och g som motsvarar varje antal möjliga nollställen.

Motivera genom uträkningar att dina exempelfunktioner satisfierar de önskade villkoren.

10.18 Lös ekvationen.

CAS

a) (3 x − 1)2 = 0 b) (3 x − 1)2 = 4 c) (3 x − 1)2 = −4

10.19 Bestäm ett sådant värde på talet c att ekvationen 8 x 2 + c = 15 a) har två lösningar b) har en lösning c) saknar lösningar.

10.20 Bestäm ett sådant värde på talet k att funk-

tionerna f ( x ) = ( x − 3)2 och g ( x ) = −6 x + k antar samma funktionsvärde för endast ett variabelvärde x. Vilket är variabelvärdet?

10.21 Undersök med hjälp av appleten GG

90

a) hur värdet av parametern a påverkar formen och öppningsriktningen för parabeln y = ax 2 + 2 x + 1 b) hur värdet av parametern c påverkar parabeln y = x 2 + 2 x + c c) hur värdet av parametern b påverkar placeringen av toppen och nollställena för parabeln y = x 2 + bx d) hur värdet av parametrarna a och b påverkar placeringen av toppen och nollställena för parabeln y = ax 2 + bx .

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

Testa vad du kan 10

Rita grafen till funktionen f ( x ) = −3 x 2 − 6 x + 9 med ett geometriprogram och besvara följande frågor med hjälp av grafen. Ange svaren med en tiondels noggrannhet. a) Bestäm nollställena för funktionen f. b) För vilka variabelvärden x antar funktionen f positiva värden? c) För vilka variabelvärden x antar funktionen f högst värdet 9? d) Bestäm toppen för parabeln f.

Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

11

Lösningsformel för ekvationer av andra graden Vi kan lösa en ekvation av andra graden med en lösningsformel I det här kapitlet lär vi oss använda lösningsformeln för andragrads­ ekvationer. Med den kan vi lösa alla typer av andragradsekvationer.

I exemplen 1, 2 och 3 använder vi lösningsformeln i olika situationer.

Efter exemplen i slutet av kapitlet härleder vi lösningsformeln.

Lösningsformel för andragradsekvationer

SATS

Vi får lösningarna till andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0, där a ≠ 0, genom att sätta in koefficienterna a, b och c i formeln

Du lär dig lösa en andragradsekvation med lösnings­ formeln.

x=

−b ± b 2 − 4 ac .

2a

E X EM P EL 1

CAS

Lös ekvationen 3x2 - x - 10 = 0.

LÖSNING I ekvationen 3x2 - x - 10 = 0 är andragradstermen 3 · x2, förstagrads­ termen -1 · x och den konstanta termen -10. Koefficienterna i ekvationen är a = 3, b = -1 och c = -10.

3 x 2 − x − 10 = 0 Vi sätter in a = 3, b = -1 och −b ± b 2 − 4 ac

c = -10 i lösningsformeln.

2a

x= =

−( −1) ± ( −1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −10) 2⋅3

= 1 ± 121 = 1 ± 11 Vi förenklar lösningarna var för sig.

6 6 (2 x = 1 + 11 = 12 = 2 eller x = 1 − 11 = − 10 = − 5 6 6 6 6 3

SVAR x = − 5 eller x = 2 3

11 L ö s n i n g s f o r m e l f ö r e k vat i o n e r av a n d r a g r a d e n

91

Du lär dig lösa en ekvation av andra graden som inte är uttryckt i grundform.

E X E M PEL 2 Lös ekvationen.

CAS

b) x 2 + 2 = 2 x

a) 3(1 − x ) = x 2

LÖSNING a) 3(1 – x) = x2

OBSERVERA Innan vi kan använda lösnings­formeln måste vi skriva andragrads­ ekvationen i formen ax2 + bx + c = 0.

2

3 – 3x = x2 –x

–x2 – 3x + 3 = 0 · (–1)

x2 + 3x - 3 = 0

2 x = −b ± b − 4 ac 2a

=

x=

När vi multiplicerar ekvationen med talet –1 blir nämnaren 2a i lösningsformelns nämnare ett positivt tal.

Vi sätter in a = 1, b = 3 och c = -3 i lösningsformeln.

Vi förenklar lösningarna var för sig.

−3 + 21 −3 − 21 eller x = 2 2

b) x 2 + 2 = 2 x –2x

Vi flyttar termer så att vi får 0 i ekvationens ena led.

−3 ± 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −3) −3 ± 21 = 2 ⋅1 2

−3 ± 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −3) −3 ± 21 =

2 2 ⋅1

Vi börjar med att avlägsna parentesen.

x 2 − 2x + 2 = 0

Vi ordnar termerna.

Vi sätter in

2 a = 1, b = -2 och c = 2 i lösningsformeln. x = −b ± b − 4 ac 2a

−( −2) ± ( −2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ± −4 = = 2 ⋅1 2 −( −2) ± ( −2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ± −4 = = 2 ⋅1 2

Eftersom talet −4 inte är definierat saknar ekvationen lösningar.

BILD AV GRAFEN

SVAR

y

y = x2 – 2x + 2

2

x

a) x =

−3 − 21 eller x = −3 + 21 2 2

2

Funktionen

f (x ) = x 2 − 2x + 2

saknar nollställen.

92

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

b) Inga lösningar.

Du lär dig förenkla kvadratrotsuttryck som förekommer i lösningarna till en ekvation. Du bekantar dig också med att lösa en ekvation utan lösningsformel.

E X EM P EL 3

CAS

Lös ekvationen ( x − 3)2 = 8.

LÖSNING Metod 1. Vi kan lösa ekvationen med lösningsformeln.

2 ( x − 3) = 8

Vi avlägsnar parentesen. ( a – b )2 = a 2 – 2 ab + b 2

x 2 − 6 x + 9 = 8 –8

Vi flyttar termer så att vi får 0 i ekvationens högra led.

x 2 − 6x + 1 = 0

Koefficienterna i ekvationen är a = 1, b = -6 och c = 1.

x =

−( −6) ± ( −6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅1

=

6 ± 32 2

=

6 ± 16 ⋅ 2 2

=

6±4 2 2

Vi kan ännu förenkla lösningarna.

Vi faktoriserar täljaren via utbrytning och förkortar.

1

2 (3 ± 2 2 ) = 3± 2 2 = 2 1

x = 3 + 2 2 eller x = 3 − 2 2

De förenklade lösningarna till ekvationen.

Metod 2. Vi kan också ta reda på lösningarna till ekvationen utan lösningsformeln.

Ekvationen satisfieras när x - 3 är lika med kvadratroten ur 8 eller det motsatta talet till kvadratroten ur 8.

( x − 3)2 = 8 x −3= 8

eller x − 3 = − 8

Vi löser ut x.

x = 3 + 8 x = 3 − 8 Vi förenklar kvadratrötterna.

8 = 4 ⋅2 = 2 2

x = 3+ 2 2 x = 3− 2 2

SVAR x = 3 − 2 2 eller x = 3 + 2 2

11 L ö s n i n g s f o r m e l f ö r e k vat i o n e r av a n d r a g r a d e n

93

Vi härleder lösningsformeln med hjälp av en minnesregel Härledningen av lösningsformeln baserar sig på den idé vi använde i metod 2 i exempel 3: ( x − 3)2 = 8

Ekvationen satisfieras när x - 3 är lika med kvadrat­roten ur 8 eller det motsatta talet till kvadratroten ur 8.

x − 3 = 8 eller x − 3 = − 8

Vi får lösningsformeln när vi skriver om ekvationen ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, i formen (2ax + b )2 = b 2 − 4 ac och sedan bestämmer värdet av binomet 2ax + b. Till slut löser vi ut variabeln x. ax 2 + bx + c = 0

Vi subtraherar termen c från vartdera ledet.

ax 2 + bx = − c

Sedan multiplicerar vi ekvationen med 4a.

4 a 2 x 2 + 4 abx = −4 ac

4 a 2 x 2 = (2 ax )2 och 4 abx = 2 ⋅ 2 ax ⋅ b

(2ax )2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = −4 ac

Vi adderar termen b2 till båda leden i ekvationen.

(2ax )2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b + b 2 = b 2 − 4 ac

(2ax + b )2 = b 2 − 4 ac

I ekvationens vänstra led kan vi tillämpa minnesregeln u 2 + 2 uv + v 2 = ( u + v )2.

Ekvationens vänstra led utgör kvadraten på binomet 2ax + b.

Ekvationen satisfieras när 2ax + b är kvadrat­roten ur högra ledet eller det motsatta talet till kvadratroten ur högra ledet.

Det här är möjligt när b2 – 4ac ≥ 0.

2ax + b = b 2 − 4 ac eller 2ax + b = − b 2 − 4 ac

Vi löser ut x ur båda ekvationerna.

2ax = −b + b 2 − 4 ac eller 2ax = −b − b 2 − 4 ac : 2a (≠ 0) x=

−b + b 2 − 4 ac eller 2a

x=

−b − b 2 − 4 ac 2a

Vi kan förena rötterna till ett enda uttryck med hjälp av ± -tecknet. x=

94

−b ± b 2 − 4 ac ☐ 2a

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

I

Du lär dig grunderna

11.1

Lös ekvationen.

CAS

a) x 2 − 4 x + 3 = 0

E1

b) 5 x 2 + x − 4 = 0

11.2

Lös ekvationen.

CAS

a) x 2 + 3 = 5 x

E2

b) 3 x 2 + 2 x = −1

11.3

Lös ekvationen.

CAS

a) x 2 + 9 x = 0 b) 4 y 2 − 5 y + 1 = 1

11.4

Lös ekvationen.

CAS

a) ( x + 3)2 = 12 x b) ( x + 2)( x − 2) = 3 x

11.5

Johan löste ekvationen (2 x − 3)2 = 3 x men mellanstegen blev antecknade i fel ordning.

Hjälp Johan och ordna mellanstegen i en logiskt framskridande ordning.

A x = 15 ± 81 8 B 4 x 2 − 15 x + 9 = 0 ++ −− 9 9eller 99 C x x= =1515 taitaix x= =1515 88 88

−(−15) ± (−15)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 D x = 2⋅4

11.6 CAS

11.7 CAS

E3

11.8

Julle presenterade sin familj: ”Jag har två systrar. Deras åldrar satisfierar följande villkor: När åldern multipliceras med talet 14 och talet 33 subtraheras från produkten får man kvadraten på åldern.” Bestäm systrarnas åldrar.

Harjoitellaan suomeksikin! a) Tutki appletilla, millä vakion a arvoilla funktion f ( x ) = a x 2 + a 2 x + 18 arvo GG kohdassa –3 on 6. b) Ratkaise vakion a tarkat arvot laskemalla.

11.9

11.10

II

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

11.11 CAS

11.12 CAS

11.13 CAS

11.14

Bestäm nollställena för funktionen.

11.15

a) b)

g (x ) = 7x 2

− 2x +1

CAS

CAS

− 56

Lös ekvationen. a) ( x + 1)2 = 5 b) x 2 + 1 = 4 x

Lös ekvationen. a) x 2 + x − 6 = 0 b) 6 x 2 − x − 1 = 0 Lös ekvationen. a) 5 x 2 = − x b) x 2 + x = 2 − 2 x 2 Lös ekvationen. a) ( x − 3)2 = 3 b) x 2 = 1 − 2 x

E 4 x 2 − 12 x + 9 = 3 x 22 = = F xx 3= 3= eller tai tai xx 33

f ( x ) = −3 x 2

För vilket värde på konstanten a är talet 2 en lösning till ekvationen ( x − a )( x + 1) = 15 ?

Bestäm den andra lösningen till ekvationen.

11.16 CAS

För vilka värden på variabeln t är värdet av funktionen h(t ) = −t 2 + 10t lika med a) 0 b) 30 c) 25?

Lös ekvationen. a) x 2 − 2 x + 1 = 0 3 9 2 x x 3 − b) − =1 2 12 3 För vilka värden på variabeln x är värdena hos funktionerna f ( x ) = ( x − 4)2 och g ( x ) = (3 − x )(3 + x ) lika stora?

11 L ö s n i n g s f o r m e l f ö r e k vat i o n e r av a n d r a g r a d e n

95

fi

11.17

Anna presenterade sin familj: ”Jag har två bröder. Deras åldrar satisfierar följande villkor: När man adderar talet 14 till åldrarnas produkt får man åldern niofaldigad.” Bestäm brödernas åldrar.

11.18

Farfar berättade att han var född före vinterkriget och att hans födelseår utgör produkten av två på varandra följande udda tal. Vilket år var farfar född?

11.19

Det ena nollstället för funktionen f (t ) = 5(t + a )(t − 3) är –1. Bestäm med hjälp av appleten och en decimals noggrannhet a) värdet på konstanten a b) de ställen där funktionen f antar värdet 30. c) Bestäm genom uträkningar de exakta värdena i a- och b-uppgiften.

GG

11.20

De naturliga tal x, y och z som satisfierar ekvationen x 2 + y 2 = z 2 kallas Pythagoreiska tal. Bestäm alla på varandra följande naturliga tal som är Pythagoreiska tal.

Tölö sporthall, Helsingfors, blev färdig år 1935.

96

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

11.21

Bestäm ett sådant värde på konstanten a att nollstället till funktionen g ( x ) = 2 x 2 − ax − a 2 är −3. Vilket är då det andra nollstället för funktionen?

11.22

Visa att variabelvärdet x = −1 satisfierar ekvationen x 2 − (a 2 − 1)x − a 2 = 0 oberoende av värdet på konstanten a. För vilket värde på konstanten a är x = 2 den andra lösningen till ekvationen?

Testa vad du kan 11

Lös ekvationen. a) x 2 − 2 x − 8 = 0 b) 2 x 2 + 6 x = 0 c) 3 x 2 − 12 = 0 Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

CAS

12

Olikheter av andra graden Vi löser en andragradsolikhet med hjälp av nollställena och grafen I en olikhet av andra graden finns ett av olikhetstecknen <, >, ≤ eller ≥, och den term som har högsta graden har exponenten 2.

Följande olikheter utgör exempel på andragradsolikheter: 3 x 2 − 5 x + 2 > 0, x 2 ″ 1 och 3k 2 + 4 k ≥ 0 .

Vi löser en andragradsolikhet på följande sätt: 1) Vi skriver olikheten i en sådan form att vi i vänstra ledet har ett polynom av andra graden ax 2 + bx + c och i högra ledet 0.

2) Vi bestämmer nollställena för polynomfunktionen, dvs. parabeln, genom att lösa ekvationen ax 2 + bx + c = 0 .

3) Sedan skisserar vi grafen av parabeln y = ax 2 + bx + c genom att välja en lämplig skiss av alternativen här nedanför.

OBSERVERA • En polynomfunktion kan byta tecken endast vid dess nollställen.

• Funktionsvärdena är positiva när grafen är ovanför x-axeln.

• Funktionsvärdena är negativa när grafen är nedanför x-axeln.

Två nollställen a>0 parabel som öppnar sig uppåt a<0 parabel som öppnar sig nedåt

Ett nollställe

Inga nollställen

x

x

x

x

x

x

4) Till sist avgör vi svaret med hjälp av grafen.

12 O l i k h e t e r av a n d r a g r a d e n

97

Du lär dig lösa en andragradsolikhet.

E X E M PEL 1

CAS

Lös olikheten 2 x 2 + x − 3 < 0.

LÖSNING Vi ska bestämma de variabelvärden i vilka värdena för funktionen f ( x ) = x 2 + x − 3 är negativa. En polynomfunktion kan byta tecken endast vid dess nollställen. Vi bestämmer nollställena för funktionen f ( x ) = −2 x 2 + x − 3 .

2x 2 + x − 3 = 0 −1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) −1 ± 25 −1 ± 5 = = 2⋅2 4 4 −6 3 4 =− x = = 1 eller x = 4 4 2 x=

Vi skisserar grafen till funktionen f(x) = 2x2 + x – 3. Grafen är en parabel som öppnar sig uppåt eftersom koefficienten 2 i andragradstermen är positiv.

Parabeln skär x-axeln vid x = − 3 och x = 1 .

2

x 3 –– 2

Funktionsvärdet är negativt för de variabelvärden där grafen till funktionen är nedanför x- axeln.

Olikheten 2 x 2 + x − 3 < 0 satisfieras när − 3 < x < 1.

2

SVAR − 3 < x <1 2

98

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

1

Du lär dig lösa en andragradsolikhet vars högra led inte är 0.

EXEM P EL 2

CAS

Lös olikheten x 2 > 5.

LÖSNING x2 > 5

Vi skriver olikheten i en sådan form att högra ledet är 0.

x2 - 5 > 0 Vi ska bestämma när värdena för funktionen f (x) = x2 - 5 är positiva.

Vi bestämmer nollställena för funktionen f (x) = x2 - 5. x2 - 5 = 0 x2 =

Vi bestämmer nollställena.

5

x = 5 eller x = − 5 Vi skisserar grafen till funktionen f ( x ) = x 2 − 5 Grafen är en parabel som öppnar sig uppåt och som skär x-axeln vid x = − 5 och x = 5 . x – 5

5

Olikheten x 2 > 5 satisfieras när x < − 5 eller x > 5 .

SVAR x < − 5 eller x > 5

12 O l i k h e t e r av a n d r a g r a d e n

99

Du lär dig lösa en andragradsolikhet när det finns endast ett nollställe.

E X E M PEL 3

CAS

Lös olikheten 6x ≥ x2 + 9.

LÖSNING 6x ≥ x2 + 9

Vi skriver olikheten i en sådan form att högra ledet är 0.

-x2 + 6x - 9 ≥ 0

Vi ska bestämma när värdena för funktionen f (x) = -x2 + 6x - 9 är positiva eller lika med 0.

Vi bestämmer nollställena för funktionen f (x) = -x2 + 6x - 9.

-x2 + 6x - 9 = 0 x=

−6 ± 6 2 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ ( −9) −6 ± 36 − 36 −6 ± 0 − = 6 =3 = = −2 −2 −2 2 ⋅ ( −1)

Vi skisserar grafen till funktionen f ( x ) = − x 2 + 6 x − 9 . Grafen är en parabel som öppnar sig nedåt vars enda nollställe är x = 3.

3

x

Funktionen antar värdet 0 när x = 3. Funktionen f antar inte positiva värden för något variabelvärde x.

Olikheten − x 2 + 6 x − 9 ≥ 0 satisfieras när x = 3.

SVAR x=3

100

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

I

Du lär dig grunderna

12.8

12.1

Lös olikheten x 2 − 3 x − 4 > 0.

CAS

CAS

E1

12.2 CAS

12.3 CAS

12.4 CAS

E2

12.5 CAS

E3

12.6

För vilka värden på variabeln är funktions­ värdena för funktionen f ( x ) = 2 x 2 + 6 x negativa?

Lös olikheten. a) 2 x 2 + x − 3 ≥ 0 b) − x 2 + 9 x − 8 < 0

Visa att funktionen f ( x ) = 7 x − ( x + 2)2 antar endast negativa värden.

12.9

Bestäm de positiva heltal för vilka gäller att summan av talet och dess kvadrat är högst 30.

12.10

För vilka värden på variabeln är funktionen f definierad? a) f ( x ) = x 2 − 7 x b) f ( x ) = 10 − x (17 − 3 x )

12.11

Lös olikheten. a) x 2 ″ 9 b) 12 > 3 x 2

GG

Lös olikheten. a) x 2 + 4 > 4 x b) x ( x + 2) ≤ −1

II

Lasse ritade figurerna klara för att kunna lösa olikheterna men han glömde kombinera figurerna med de rätta olikheterna. Hjälp Lasse. a) −3 x 2 − 2 x + 3 ≥ 0 b) 5 x 2 + 9 ≤ 0 c) −4 x 2 + 4 x − 1 > 0 d) x 2 + 4 x < 0 1)

Du lär dig grunderna och fördjupar ditt kunnande

12.12 CAS

12.13 CAS

2) x

x

12.14

x

12.15

CAS

3)

x

4)

CAS

12.7

Lös olikheten.

CAS

a) ( x − 2)2 < 9 b) (2 x + 1)2 ≥ x 2

a) Bestäm med hjälp av appleten de värden på konstanten a för vilka olikheten ax 2 − 3 x + a < 0 satisfieras för alla värden på variabeln x. b) Bestäm genom uträkningar de exakta värdena på konstanten a.

Lös olikheten. a) 2 x 2 − 10 x + 12 ≥ 0 b) x 2 < − x Lös olikheten. a) x 2 < 1 4 b) x (6 − x ) ≤ 9 Lös olikheten. a) ( x − 5)2 > 3 − x 2 b) ( x − 1)2 ≤ 2 x − 3 Visa att funktionen f ( x ) = x ( x − 6) + 9 inte antar negativa värden.

12.16

Bestäm de positiva tal för vilka gäller att talets kvadrat är mindre än talet självt.

12.17

Bestäm de positiva tal för vilka gäller att differensen mellan talets kvadrat och talet självt är minst 20.

12 O l i k h e t e r av a n d r a g r a d e n

101

12.18

12.19 CAS

12.20

12.21

102

En boll kastas lodrätt uppåt. Bollens höjd i enheten meter efter t sekunder är 24t − 4,9t 2 .

Hur länge är bollen på en höjd över 5 m?

12.22 GG

Lös dubbelolikheten −1 < x 2 − 5 x + 5 < 1.

För vilka värden på variabeln är funktionen f definierad?

1 a) f ( x ) = 2 6 x + 11x − 10 1 b) f ( x ) = 2 x − 1 + 1− x2 Bestäm de värden på konstanten a för vilka värdena för funktionen g ( x ) = ax 2 + ax − 2 alltid är negativa.

P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N

a) Undersök med hjälp av appleten för vilka värden på konstanten a ekvationen x 2 − ax + a + 4 = 0 har två lösningar med samma förtecken. b) Bestäm genom uträkningar de exakta värdena på konstanten a.

Testa vad du kan 12

Lös olikheten. a) − x 2 + 2 x + 15 ≥ 0 b) 3 x 2 + 12 < 0 Med hjälp av testet kan du uppskatta om du lärt dig det centrala innehållet i kapitlet. Jämför dina egna lösningar med modellösningarna.

CAS

De mångsidiga kompetenserna i MAA2 Genom dina gymnasiestudier ska du utveckla en mångsidig kompetens. För det behöver du mer än rena ämneskunskaper. På det här uppslaget pekar vi på sex olika kompetenser och var i läromedlet de står i fokus.

Kompetenserna tas upp i olika former av innehåll: i själva huvudtexten och bilderna i läromedlet, i uppgifter, i arbetet med olika genrer och olika språk i tal och skrift, genom att du fördjupar dig i forskning och fakta och reflekterar kring andras erfarenheter och upplevelser. Vi tipsar också om hur du kan koppla till dina kunskaper i andra ämnen!

De här innehållstyperna använder vi i våra läromedel

Basinnehåll

Uppgifter

Flera genrer

Flera ämnen

Här får du jobba med mångsidig kompetens i läromedlets text- och bildmaterial.

Här får du jobba med mångsidig kompetens i uppgifter till basinnehållet.

Här får du jobba med andra genrer än lärobokstext.

Här får du tips på andra ämneskunskaper du kan använda.

Kompetens för välbefinnande

Kommunikativ kompetens

Tvärvetenskaplig och kreativ kompetens

Forskning och fakta Här får du ta del av forskning och fakta utanför lärobokstexten.

Erfarenhet och upplevelser

Flera språk Här möter du flera olika språk.

Här får du ta del av enskilda individers erfarenheter och upplevelser.

Samhällelig Etisk kompekompetens tens och miljökompetens

Global och kulturell kompetens

7 GE

Funktioner och ekvationer I

Räkneoperationer med polynom 1 Summan och differensen av polynom 2 Multiplikation av polynom 5 Faktorisering

6 6 HI 7 HI 9

21 fi 39 fi

Potensfunktion

61 FY

7 Det allmänna rotbegreppet

Polynomfunktioner av första och andra graden 8 Polynomfunktioner av första graden

E ko tisk m m ilj pe ök te om ns pe oc te h Gl ns ku ob ko ltu al m re o c pe ll h te ns

K vä om lb pe efi te nn ns an fö de r K ko om m m pe un te ik ns at iv T oc vär ko h ve m kre ten pe a s te tiv ka pl ns ig Sa ko m m hä pe lle te lig ns

HÄR HITTAR DU kompetenserna i läromedlet

72 fi

72 FY

9 Olikheter av första graden

59 62

77 80

10 Polynomfunktioner av andra graden 11 Lösningsformel för ekvationer av andra graden 14 Tillämpningar

Polynomfunktioner av högre grad

81 95 fi 114 fi

17 Samband mellan nollställen och faktorer

139 fi

20 Räkneoperationer med rationella uttryck

164 fi

Rationell funktion 21 Rationell ekvation

115 FY

112

168 FY

168

114

Rotfunktion

177 BI 188 FY

22 Rotfunktion 188 fi

23 Kvadratrotsekvation 24 Allmän rotekvation

194 FY 194

Repetition

201 FY

224 fi

Sakregister

Totalt

9

8

115 HI

9

2

4