Ma7 Kort blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma7

KORT Matematisk analys

y y=4–x2 4 3 2 2 a,4–a 22 = -11

) 1 = ( 1 Δy = -1-0 -3 -2 -1 k= Δx

1 2 3x

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka 7. Matemaattinen Analyysi Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Liisa Holm Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagans layout: Juho Niemelä Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Bilder: Shutterstock: 22 (Melody Sundberg), 38 (NMarty), 67 (927 Creation), 77 (nito), 80 (Vadim Sadovski), 103 (M Unal Ozmen), 118 (Quang Ho), 133 (Meesiri), 135 (Kwangmoozaa), 146–147 (Chones), 149 (Nanoops), 159 (Ziga Cetric), 161 (aarud), 178 (karn684), 183 (Boumen Japet), 192 (karn684) Rodeo Finnish RF: 89 (tannjuska) Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Första upplagan, 2019 © Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Maria Pirttimaa och Sanoma ProOy © 2018 Leif Österberg och Schildts & Söderströms ISBN: 978-951-52-4515-1

Innehåll 1 Repetition av polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Funktionens tecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Derivatan av en polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1 Förändringshastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 Derivatans värde och derivataekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Derivatans tecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Förloppet för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1 Växande och avtagande funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2 Extremvärden för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3 Största och minsta värde för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4 Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4 Tilläggsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.1 Linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.2 Identisk olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.3 Talintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Repetition: matematisk analys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Centrala begrepp i kursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.2 Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Till dig som använder boken Målsättningar En viktig uppgift för undervisningen i matematik och speciellt för en lärobok är att den studerande får en positiv inlärningsupplevelse av att arbeta med matematiken, lär sig att lita på sin egen förmåga, skicklighet och tänkande samt att den studerande uppmuntras att lära sig nya saker genom att pröva, undersöka och vara kreativ.

Läroplanen för den korta matematiken i gymnasiet ställer upp många mål för inlärningen i kort matematik. Den studerande ska till exempel kunna använda matematiken i sitt dagliga liv och som ett hjälpmedel i sin samhälleliga funktion. I en värld som förändras snabbt måste den enskilda individen kunna ta emot och analysera den information som erbjuds i matematisk form i olika medier och också kunna verifiera hur pålitlig informationen är.

En studerande i ett gymnasium måste skaffa sig sådan matematisk kunskap, färdighet och beredskap som ger en tillräcklig bas för fortsatta studier. Förutom matematisk kunskap och färdighet måste hen lära sig att använda tekniska hjälpmedel och olika informationskällor.

Enligt läroplanen är målet med kursen ”Matematisk analys” att den studerande ska ◗ kunna undersöka förändringshastigheten hos funktioner med grafiska och numeriska metoder ◗ förstå begreppet derivata som ett mått på förändringshastigheten ◗ kunna undersöka förloppet hos en polynomfunktion med hjälp av derivatan ◗ kunna fastställa det största och minsta värdet för en polynomfunktion i tillämpningar ◗ kunna använda tekniska hjälpmedel vid undersökning av en funktions förlopp och vid bestämning av en funktions derivata och extremvärden i ett slutet intervall i samband med tillämpningar.

Bokens uppbyggnad I serien Ma kort ingår många olika lösningar som stöder den studerande att uppnå de mål som ställs i läroplanen.

• I början av varje huvudkapitel finns ett schema med de centrala målen. Dessutom omnämns här vilka saker den studerande ska behärska utan tekniska hjälpmedel och vilka saker hen ska behärska med hjälp av tekniska hjälpmedel.

• V arje avsnitt börjar med en ”Fundera på”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap.

Fundera på

E1

• T ill varje exempel i boken hör en motsvarande övningsuppgift i uppgiftsdelen. Dessa uppgifter är tydligt utmärkta med en symbol. Detta underlättar också självständiga studier.

123.

• De mera krävande uppgifterna är utmärkta med bakgrundsfärg.

Tilläggsmaterial: Linjens ekvation s. 154

• Tilläggsmaterial som hör till kursen finns samlat i ett eget kapitel.

I teoridelen finns hänvisningar till detta kapitel.

• I studentprovet i matematik görs en del uppgifter utan tekniska hjälpmedel och en del med tekniska hjälpmedel. Med hjälp­medel avses här dator eller räknare. Denna indelning av uppgifter har även beaktats i kursboken. Några exempel och uppgifter ska lösas utan tekniska hjälpmedel och de är utmärkta med en egen symbol.

När du löser dessa uppgifter kan du använda de hjälpmedel som är tillåtna i A-delen av studentprovet i matematik. Bland dessa uppgifter kan det finnas sådana saker som hör till de grund­läggande kurserna som du på så detta sätt får repetera. Å andra sidan finns det också bland dessa uppgifter sådana som ska utveckla ditt matematiska tänkande och där du nödvändigtvis inte ens har nytta av några tekniska hjälpmedel.

• De exempel och uppgifter där det är meningen att du ska använda de tekniska hjälpmedel som är tillåtna i B-delen av studentprovet i matematik är utmärkta med en symbol.

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel.

I kapitlen finns anvisningar till olika möjligheter för användning av tekniska hjälpmedel. Dessa anvisningar innehåller till exempel information om vilka användbara funktioner du kan hitta på räknaren.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier Kvevlax xx.xx.2018 Författarna

Tidsplanering

75 min 45 min

1 Repetition av polynomfunktioner 1.1 Polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3

• Tilläggsmaterial: 4.1 Linjens ekvation 1.2 Funktionens tecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3

• Tilläggsmaterial: 4.2 Identisk olikhet 2 Derivatan av en polynomfunktion 2.1 Förändringshastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1

• Tilläggsmaterial: 4.3 Talintervall 2.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2–3 2.3 Derivatans värde och derivataekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3 2.4 Derivatans tecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1

3 Förloppet för en funktion 3.1 Växande och avtagande funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1

3.2 Extremvärden för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3 3.3 Största och minsta värde för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1

3.4 Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2–3 5 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2 2–3

Totalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–17 18–25

1

Repetition av polynomfunktioner M å let är at t

■

repetera linjens förlopp och linjens riktningskoefficient

■

repetera förloppet för en parabel

■

repetera hur du bestämmer nollställen för en funktion och skärningspunkter mellan grafer till funktioner

■

repetera hur du löser en olikhet av första graden

■

du ska lära dig att lösa en olikhet av andra graden.

◗ Hurdan är grafen till en polynom­ funktion av första graden?

– linjens riktningskoefficient och linjens riktning – skärningspunkter med koordinataxlarna – när är funktionsvärdena negativa och när är de positiva

◗ Vad kan vi göra med uttrycket för en funktion?

– att beräkna värden för funktionen – att bestämma värden för en variabel med hjälp av en ekvation

◗ Hurdan är grafen till en polynom­ funktion av andra graden?

– öppningsriktning – nollställen – topp – när är funktionsvärdena negativa och när är de positiva

◗ Hur ritar vi grafen till en funktion?

◗ Hur ska vi tolka grafen till en funktion?

– att bestämma funktionsvärden – att lösa en ekvation – att lösa en olikhet

◗ Hur kan vi tolka grafen till en funktion?

– att bestämma nollställen – att bestämma värden för funktionen – att lösa ett ekvation och en olikhet – att bestämma koordinaterna för parabelns topp

  7

1.1

Polynomfunktioner

Fundera på

Svara på följande frågor med hjälp av graferna i figuren.

y

g

4

f

3 2 1 −2

−1 −1

1

2

3

4

x

−2 −3 −4 −5

a) Vilken av graferna är grafen till en första gradens polynom­ funktion? b) I vilka punkter skär graferna till funktionerna f och g x-axeln? c) I vilka punkter skär graferna till funktionerna f och g y-axeln? d) För vilket variabelvärde är f(x) = 1? e) Bestäm g(2). f) För vilka variabelvärden är f(x) = g(x)? g) Kan vi bestämma ett största och ett minsta värde för funktionen f? Och hur är det med funktionen g?

8 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

Polynomfunktion av första graden I en polynomfunktion av första graden f (x) = ax + b är koefficienten för första gradens term a ≠ 0. Talet b kallas den konstanta termen.

Till exempel funktionerna f (x) = 3x − 1 och g(x) = −2x är polynom­ funktioner av första graden.

Grafen till en polynomfunktion av första graden är en linje och därför kallas funktionen f (x) = ax + b ofta för en linjär funktion. y

y

2

2

1 −1 −1 −2

f(x) = 3x – 1 1

2

3

1

x

−1 −1

−2

1

2

3

x

g(x) = –2x

1 Anta funktionen f ( x ) = − x − 1. Bestäm 2 a) funktionens värde när x = −4 b) för vilket variabelvärde f (x) = −4.

EXEMPEL 1

LÖSNING

a) Vi sätter in x = −4 i uttrycket för funktionen och beräknar funk­ tionens värde.

1 f ( −4 ) = − ⋅ ( −4 ) − 1 = 2 − 1 = 1 2

b) Vi bestämmer för vilket variabelvärde x funktionen antar värdet −4. f ( x ) = −4

Vi sätter in uttrycket för funktionen i ekvationen och löser ekvationen.

SVAR

1 − x − 1 = −4 2 1 − x = −3 2 x=6

a) f (−4) = 1

⋅ (−2)

Vi kan också bestämma värdet för variabeln x genom att dividera 1 båda leden med talet − .

2

b) x = 6

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

9

Grafen till en polynomfunktion av första graden f (x) = ax + b är en linje. Vi kan skriva linjens ekvation i löst form y = kx + b, där koefficienten k för variabeln x kallas riktningskoefficient. Med hjälp av riktningskoefficienten kan vi dra slutsatser om linjens riktning.

• Om k > 0 så är linjen stigande.

• Om k < 0 så är linjen fallande.

• Om k = 0 så är linjen parallell med x-axeln.

• Om riktningskoefficienten inte kan bestämmas så är linjen paral­ lell med y-axeln.

Den konstanta termen b i linjens ekvation y = kx + b anger var linjen skär y-axeln. Linjen går genom punkten (0, b).

Linjens ekvation

Linjens riktning

Graf

Skärningspunkten med y-axeln är (0, b)

y = 2x − 3

k=2>0

b = −3

y

Linjen är stigande.

(0, −3)

−1 −1

1

k=0

3

x

−2 −3

y=1

2

y = 2x + 3

b=1

(0, –3)

y

3

Linjen är parallell med x-axeln.

(0, 1)

2 1 −1

2 y=− x 3

2 k =− <0 3 Linjen är fallande.

b=0 (0, 0)

Linjen saknar riktnings­ koefficient.

Linjen är parallell med y-axeln.

10 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

1

2

−1

x

3 2

−3

1 −2

3

y

2 y =−2− x 3

−3

x=1

y=1

(0, 1)

(0, 0)

−1

1

x

y −1

Linjen skär inte y-axeln.

−2

2

−2

1

−3

−1 −1

x=1 1

2

x

Vi kan beräkna riktningskoefficienten k om vi känner till två punkter (x1, y1) och (x2, y2) på linjen.

Linjens riktningskoefficient

En linje går genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2).

Linjens riktningskoefficient är då ändring i y-koordinat ändring i x-koordinat ∆y y2 − y1 = = ∆x x2 − x1

y

k=

(x2, y2) y2 – y1

(x1, y1) x2 – x1

x

En linje går genom punkterna (−3, 2) och (1, −5). a) Beräkna linjens riktningskoefficient. b) Är linjen stigande eller fallande? c) Undersök med hjälp av riktningskoefficienten om punkten (−5, 5) ligger på linjen.

EXEMPEL 2

LÖSNING

a) Vi beräknar linjens riktningskoefficient genom att sätta in koor­ dinaterna för punkterna (−3, 2) och (1, −5) i formeln för linjens riktningskoefficient.

2 − (−5) 2 + 5 7 k= = =− −3 − 1 −4 4 7 b) Eftersom riktningskoefficienten k = − är negativ så är linjen 4 fallande. c) Vi beräknar riktningskoefficienten för den linje som går genom punkten (−5, 5) och någon av punkterna (−3, 2) eller (1, −5). Om den erhållna riktningskoefficienten är densamma som riktnings­ koefficienten som vi beräknade i a-fallet så ligger punkten (−5, 5) på linjen som går genom punkterna (−3, 2) och (1, −5).

Vi beräknar riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (−5, 5) och (−3, 2).

5−2 3 3 3 7 k= = = =− ≠− 2 4 −5 − (−3) −5 + 3 −2

Tilläggsmaterial: Linjens ekvation s. 154

Nej, punkten (−5, 5) ligger inte på linjen.

SVAR

7 a) k = − b) Linjen är fallande.

4 c) Punkten (−5, 5) ligger inte på linjen.

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

11

I skärningspunkten mellan grafen till funktionen och koordinat­ axlarna är antingen värdet för variabeln x lika med 0 eller värdet för funktionen f(x) lika med 0.

• I varje punkt på x-axeln är y-koordinaten 0. Det innebär att i skärningspunkten mellan grafen till funktionen och x-axeln är funktionens värde 0. Därför kallas också värdet för variabeln x i skärningspunkten mellan funktionens graf och x-axeln för funktionens nollställe.

nollställe y

f

x

• V i bestämmer funktionens nollställe genom att lösa ekvationen f (x) = 0. y = f (x) • I varje punkt på y-axeln är x-koordinaten noll. Det innebär att i skärningspunkten mellan grafen till funktionen och y-axeln antar variabeln x värdet 0.

funktionens värde när x = 0

• Vi beräknar skärningspunkten mellan grafen till funktionen och y-axeln genom att beräkna funktionens värde när x = 0 eller f (0).

EXEMPEL 3

I vilken punkt skär grafen till funktionen f (x) = 12x − 3 a) x-axeln b) y-axeln?

LÖSNING

a) I skärningspunkten mellan grafen till en funktion och x-axeln är funktionen värdet 0. Vi löser ekvationen f (x) = 0. f (x ) = 0 12 x − 3 = 0

12 x = 3

: 12

1

x= 1 Funktionens nollställe x = .

4

Det är fråga om en första gradens polynomfunktion vars graf är linjen y = 12x − 3.

Den konstanta termen −3 i linjens ekvation anger y-koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och y-axeln.

SVAR

12 1

3 12 4

1 x= 4 Skärningspunkten mellan grafen till funktionen och x-axeln är 1  På x-axeln är y-koordinaten alltid 0.  4 , 0 . y b) Vi får skärningspunkten mellan grafen till funk­ tionen och y-axeln genom att beräkna funktio­ nens värde när x = 0. f (0) = 12 ⋅ 0 − 3 = −3 Skärningspunkten mellan grafen och y-axeln är punkten (0, −3). 1  a)  , 0 4 

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

b) (0, −3)

2 1

−1

f

( 41 , 0 ) 1

−2 −3

(0, –3)

2

x

I skärningspunkten mellan graferna till två funktioner f (x) och g(x) är värdena för funktionerna f (x)) och g(x) desamma. Vi bestämmer skärningspunkten mellan graferna till två funktioner på följande sätt:

➊ Vi bestämmer först skärningspunktens x-koordinat.

• Vi bildar en ekvation genom att sätta uttrycken för funktio­ nerna lika och löser ut variabeln x ur ekvationen f (x) = g(x).

➋ Vi beräknar y-koordinaten för skärningspunkten.

• Vi sätter in det värde för variabeln x som vi löste ut ur ekva­ tionen i punkt 1 i uttrycket för den ena av funktionerna och beräknar funktionens värde.

• Eftersom båda funktionernas värde är detsamma i skärnings­ punkten så är det ingen skillnad i vilken funktion vi sätter in värdet på variabeln x. Vi kan också kontrollera lösningen genom att sätta in x-koordinaten i båda funktionsuttrycken.

EXEMPEL 4

Bestäm skärningspunkten mellan graferna till funktionerna f (x) = x + 2 och g(x) = −2x + 5.

LÖSNING

➊ Vi bestämmer x-koordinaten för skärningspunkten.

Graferna till funktionerna f (x) = x + 2 och g(x) = −2x + 5 skär var­ andra när f (x) = g(x). f (x ) = g (x )

x + 2 = −2 x + 5 3x = 3

:3

x =1

➋ Vi beräknar y-koordinaten för skärningspunkten.

Vi kan också sätta in värdet för skärnings­ punktens x-koordinat x = 1 i uttrycket för funktionen g.

Vi sätter in det erhållna värdet på variabeln x i den ena av funktionen.

g(1) = −2 ⋅ 1 + 5 = 3

Graferna till funktionerna skär varandra i punkten (1, 3).

y

5

f

g

4

f (1) = 1 + 2 = 3

(1, 3)

3 2 1 1

SVAR

2

3

x

(1, 3)

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

13

Polynomfunktion av andra graden I en polynomfunktion av andra graden f (x) = ax2 + bx + c är koef­ ficienten för andragradstermen a ≠ 0. Koefficienten för förstagrads­ termen b och den konstanta termen c kan vara 0.

Till exempel funktionerna f (x) = −x2 + 3x − 1, g(x) = 5x2 är polynom­ funktioner av andra graden. Grafen till en andra gradens polynom­ funktion är en parabel. y

y

y

4

4

2

3

3

1

2

2

1

1

h( x ) = 2 x 2 + 1 −2

−1

1

2

x

−1

g( x ) = 5 x 2 1

2

3

−1 x

f ( x ) = − x 2 + 3x − 1 1

2

3

4

x

−2

Parabeln öppnar sig uppåt eller neråt beroende på koefficienten a för andragradstermen.

• Parabeln öppnar sig uppåt när a > 0.

x

• Parabeln öppnar sig neråt när a < 0.

x

Grafen till en polynomfunktion av andra graden skär x-axeln i högst två punkter. I dessa punkter är funktionens värde 0. Vi bestämmer nollställena genom att lösa andragradsekvationen f (x) = 0. y

y

y

4

4

2

3

3

1

2

2

1

1

2

h( x ) = 2 x + 1 −2

−1

1

2

inget nollställe

14 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

x

−1

g( x ) = 5 x 2 1

2

3

ett nollställe

−1 x

f ( x ) = − x 2 + 3x − 1 1

2

3

4

−2

två nollställen

x

Grafen till en polynomfunktion av andra graden byter riktning i parabelns topp. Beroende på i vilken riktning parabeln öppnar sig så antar en polynomfunktion av andra graden sitt minsta värde eller sitt största värde i toppen. a<0

a>0

funktionens största värde

funktionens minsta värde

Till exempel har grafen till funktionen f i figuren sin topp i punkten (1, 3).

Eftersom grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig neråt så antar funktionen sitt största värde i x = 1.

y

3 2

f

1 −1 −1

Det största värdet för funktionen f är toppens y-koordinat, dvs. 3.

Senare i denna kurs ska vi se på metoder med vars hjälp vi kan bestämma parabelns topp också i sådana fall att funktionen saknar nollställen.

(1, 3)

1

2

3

x

Om en polynomfunktion av andra graden har nollställen så kan vi be­ räkna toppens x-koordinat med hjälp av nollställena. Parabelns topp ligger alltid mitt emellan nollställena. En lodrät linje som går genom toppen kallas parabelns symmetrilinje. Vi bestämmer ekvationen för symmetrilinjen med hjälp av toppens x-koordinat. nollställen

x=5

x=1

x

topp symmetriaxel

• Toppens x-koordinat: xt = • Symmetriaxeln: x = 3

1+ 5 =3 2

Toppens x-koordinat är medel­värdet av noll­ ställena, dvs. toppens x-koordinat ligger alltid mitt emellan nollställena.

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

15

Funktionen och i vilken riktning funktionens graf öppnar sig f (x) = 4x2 − 1 a=4>0 Parabeln öppnar sig uppåt.

Nollställen

Grafen

y

4x2 − 1= 0

f

3

4x2 = 1

2

1 x2 = 4

( 21 , 0 )

( − 21 , 0 ) 1 1 4

x=± x=±

Toppens koordinater

−2

−1 −1

1

x

2

y t = 4 ⋅ 02 − 1

1 2

= −1 toppen (0, −1)

två nollställen 1 1 1 1 x =x −= − tai eller x =x = tai 2 2 2 2 g(x) = −x2− x a = −1 < 0 Parabeln öppnar sig neråt.

y

− x2 − x = 0 (–1, 0)

− x ( x + 1) = 0 − x = 0 eller x + 1 = 0

−3

x = 0 eller x = –1

−2

a=

1 2 x 2

1 >0 2

Parabeln öppnar sig uppåt. i(x) = −3x2 − 1 a = −3 < 0 Parabeln öppnar sig neråt.

16 1

y

2

x =0

1 −2

ett nollställe x=0

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

−1 −1

xt = 0 h (0, 0) 1

2

x

1

2

x

y

−3 x 2 − 1 = 0

inga nollställen

2

 1  1 yt = −  −  −  −   2  2 1 1 1 =− + = 4 2 4  1 1 toppen  − ,   2 4

x2 = 0

1 3 lösning saknas

x

−3

3

x2 = −

(0, 0) 1

−1 + 0 2 1 =− 2

xt =

−2

g

1 2 x =0 2

−3 x 2 = 1

1

−1 −1

två nollställen x = 0 eller x = −1

h( x ) =

1  1 + −  2  2 xt = 2 0 = =0 2

−2

−1 −1 −2 −3 −4

i

1 y t = ⋅ 02 = 0 2 toppen (0, 0)

Vi kan inte bestämma toppen med hjälp av nollställena.

1 1 Anta funktionen f ( x ) = x 2 + x − 3 .

2 2 a) Bestäm funktionens nollställen. b) Bestäm koordinaterna för parabelns topp. c) Antar funktionen sitt största eller sitt minsta värde i toppen?

Motivera ditt svar.

EXEMPEL 5

LÖSNING

a) Vi bestämmer funktionens nollställen genom att lösa ekvationen f (x) = 0.

1 2 1 x + x −3= 0 2 2

⋅2

Vi multiplicerar ekvationen med 2 för att avlägsna nämnarna. Vi får då en andragradsekvation som endast innehåller heltal som koefficienter.

x2 + x − 6 = 0 −b ± b2 − 4ac x= 2a

−1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) 2 ⋅1 −1 ± 25 −1 ± 5 = x= 2 2 −1 + 5 4 −1 − 5 −6 x= = = 2 eller x = = = −3 2 2 2 2 x=

b) Toppens x-koordinat är densamma som medelvärdet av nollställena.

1 −1 −1 −2

2

1 1 1 2 24 25  1 1  1 1  1 =− f −  = ⋅−  + ⋅−  − 3 = − − 3 = − −  2 2  2 2  2 8 4 8 8 8 8

 1 25  Parabelns topp ligger i punkten  − , −  .  2 8

y

−2

2 + (−3) 1 =− 2 2

Vi bestämmer toppens y-koordinat genom att beräkna funktionens 1 värde när x = − .

2

Vi gör bråken liknämniga genom att förlänga.

−3

x=

1

2

x

f

−3

( − 21 , − 258 ) −4 SVAR

1 för andragradstermen i funktionsuttrycket är 2 positiv, vilket ger att grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig uppåt. Funktionen antar då sitt minsta värde i toppen.

c) Koefficient a =

 1 25  a) x = 2 och x = −3 b)  − , −   2 8 c) Funktionen antar sitt minsta värde i toppen.

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

17

Rita grafen till funktionen f (x) = −x2 − x + 6 och lös uppgifterna med hjälp av grafen. a) I vilken punkt skär grafen till funktionen y-axeln? b) Vilka är funktionens nollställen? c) Vilket är funktionens värde när x = −2,5? Ange svaret med en decimals noggrannhet. d) För vilket värde på variabeln x är funktionens värde 5? Ge svaret med en decimals noggrannhet. e) Vilket är funktionens största värde? Ge svaret med en decimals noggrannhet.

EXEMPEL 6

LÖSNING

Vi kan bestämma skärnings­ punkterna med koordinat­ axlarna till exempel genom att sätta till en punkt på grafen och alltid ändra den ena koordinaten till 0. Många räknare har också en grafisk funktion, till exempel ROOT för att bestämma skärningspunkter med x-axeln (nollställen) och Y-INTERCEPT för att bestämma skärningspunkten med y-axeln.

Vi kan lösa c, d och e-fallet med hjälp av TRACEfunktionen på räknaren.

Vi kan bestämma funktionens största värde genom att med räknarens program söka funktionens maximipunkt eller till exempel med hjälp av den grafiska funktionen MAX på räknaren.

SVAR

18 1

a) Grafen till funktionen skär y-axeln i punkten (0, 6).

y

6

(0, 6)

5

b) Funktionens nollställen är desamma som x-­koordinaterna för skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och x-axeln.

Grafen till funktionen skär x-axeln i punkter­ na (−3, 0) och (2, 0). Funktionens nollställen är då x = −3 och x = 2. c) Vi bestämmer den punkt på grafen där x-­ koordinaten är −2,5. Det sökta funktions­ värdet är detsamma som y-koordinaten för denna punkt. Funktionens värde när x = −2,5 är 2,3 givet med en decimals noggrannhet.

4

f

3 2

(–3, 0) −3

−2

1

−1

(2, 0) 1

2

x

y

6

(–1,6; 5)

5

(0,6; 5)

4

f

3

(–2,5; 2,3) 2

d) Funktionens värde är detsamma som y-­ koordinaten för en punkt på grafen. På grafen −3 −2 −1 till funktionen finns två punkter vars y-koor­ dinat är 5. Dessa punkters x-koordinater är x ≈ −1,6 och x ≈ 0,6 givet med en decimals noggrannhet. e) Grafen till funktionen är en parabel som öppnar sig neråt. Funktionens största värde är då detsamma som y-koordinaten för top­ pen. Funktionens största värde är 6,3.

(–0,5; 6,3)

1 1

2

x

2

x

y

6 5 4

f

3 2

a) (0, 6) b) x = −3 och x = 2 c) f (−2,5) ≈ 2,3 d) x ≈ −1,6 och x ≈ 0,6 e) Funktionens största värde är 6,3.

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

1 −3

−2

−1

1

◗A nvändning av en räknare eller andra tekniska hjälpmedel Funktionsuttryck Det lönar sig att lagra funktionsuttrycket i räknarens minne med hjälp av bokstaven för funktionen och variabeln. Då kan du använda funktionens beteckning till exempel för att beräkna funktionsvärden, för att lösa ekvationer och olikheter eller för att rita grafen till funktionen.

Tolkning av grafen till en funktion Med hjälp av olika grafiska funktioner på räknaren så kan vi ur den utritade grafen söka till exempel nollställen, undersöka funktionsvärden och lösa ekvationer.

Vi kan undersöka värden på funktionen och variabeln med hjälp av TRACE-funktionen eller genom att sätta in punkter på grafen vid de ställen vi vill undersöka. Vi kan oftast ändra koordinaterna för den punkt som vi har satt in i grafen. Med hjälp av denna metod kan vi söka funktionsvärden i olika punkter eller lösa ekvationer med hjälp av grafen.

Om vi känner till den ena koordinaten så kan vi med hjälp av vågräta och lodräta linjer också söka efter önskade punkter på grafen till funktionen.

Bestämning av skärningspunkter med koordinataxlarna Vi kan bestämma skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och x-axeln med hjälp av någon grafisk funktion för nollställen.

Vi kan ofta också bestämma skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och koordinataxlarna med hjälp av någon grafisk funktion för skärningspunkter.

Med hjälp av TRACE-funktionen eller genom att sätta in en punkt på grafen och sedan ändra koordinaterna så kan vi också bestämma skärningspunkterna med koordinataxlarna.

Att ändra inställningarna för grafvyn Ofta när vi ritar ut grafen till en funktion på räknaren så är vi tvungna att antingen förstora eller förminska grafvyn för att kunna se den del av grafen som vi är intresserade av. I programmet finns funktioner för att förstora eller förminska vyn. Dessutom kan vi vid behov ändra inställningarna för koordinataxlarna.

Koordinaterna för parabelns topp I de grafiska funktionerna på en räknare finns också funktioner för att bestämma maximipunkter och minimipunkter på grafer. Vi kan bestämma koordinaterna för parabelns topp med hjälp av dessa funktioner.

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

19

Uppgifter Polynomfunktion av första graden

1. Undersök grafen till polynomfunktio­ nen f. Bestäm med hjälp av grafen a) funktionsvärdena f (−2) och f (0) b) det variabelvärde för vilket f (x) = 1 c) lösningen till ekvationen f (x) = 0.

y

−2

−1

1

−1

2

3

4

x

3

4

x

−2

2. Undersök graferna till funktionerna f, g och h. Bestäm med hjälp av graferna a) funktionsvärdena f (0), g(0) och h(0) b) de variabelvärden för vilka funktionerna antar värdet 1 c) lösningen till ekvationen f (x) = g(x).

f

1

y

5 4

h

3

f

g

2 1 −2

−1

−1

1

2

−2

E1

3. Anta funktionen f (x) = −4x + 1. Bestäm

a) funktionens värde när x = −5 b) det variabelvärde för vilket funktionen antar värdet −3.

1 3

4. Anta funktionen g (x ) = x − 2 . Bestäm värdet för funktionen eller variabeln. a) g(−6)

b) g(4)

1 c) g ( x ) = d) g(x) = −4 3

5. Undersök om punkten (−4, 9) ligger på linjen. a) y = −2x − 1

1 19 b) y = x + 8 2

6. Vilken är linjens riktning? a) y = 7x + 19 d) y − 15x + 9 = 0

b) y + 12x = 8 e) x = 9

c) y = −5 f) y = πx

7. Bestäm linjens riktningskoefficient och riktning samt skärnings­ punkten med y-axeln. a) y = −2x + 1 b) y = 3x − 5 c) x = 3 d) y = −2

20 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

8. Bestäm linjens riktningskoefficient och riktning samt skärnings­ punkten med y-axeln.

1 a) f ( x ) = x − 2 4

3 b) g ( x ) = − x + 1 4

9. Besvara uppgifterna med hjälp av

graferna. a) I vilka punkter skär linjerna s, t, l och m y-axeln? b) Bestäm ekvationerna för linjerna s, t, l och m.

y

m

5 4

t

3 2 1 −2

−1

s

l 1

2

3

4

x

10. En linje går genom punkterna (5, 2) och (3, −6).

a) Beräkna linjens riktningskoefficient. b) Är linjen stigande eller fallande? c) Undersök med hjälp av riktningskoefficienten om punkten (6, 6) ligger på linjen.

11. Bestäm riktningskoefficienten för en linje som går genom punkterna (−2, 5) och (2, 7). Undersök med hjälp av riktningskoefficienten om punkten (4, 9) ligger på linjen.

12. Bestäm riktningskoefficienten för en linje som går genom punkterna a) (−3, 4) och (1, 2) b) (−1, 1) och (2, 2).

E3

13. I vilken punkt skär grafen till funktionen f (x) = 2x − 8 a) x-axeln b) y-axeln?

14. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och koor­ dinataxlarna. a) f (x) = −3x + 5

b) f (x) = −5x − 4

15. Bestäm nollställena för funktionen.

2 3 a) f ( x ) = − x − 6 b) g ( x ) = x + 4 7 5

E4

c) h(x) = 5

16. Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan graferna till funktionerna f (x) = 12x + 5 och g(x) = 8x − 3.

17. Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan graferna till

funktionerna f (x) = −2x − 4 och g(x) = 3x + 1. Går linjen y = −14x − 12 genom denna skärningspunkt?

18. För vilket variabelvärde antar funktionerna f (x) = 6x + 19 och g(x) = −4x + 13 samma värden? Vilket är detta värde?

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

21

19. Rita grafen till funktionen f (x) = 11x + 3 och bestäm med hjälp av

grafen a) funktionsvärdena f (−4) och f (6) b) för vilket variabelvärde f (x) = 36 c) lösningen till ekvationen f (x) = 0 med en decimals noggrannhet.

20. Rita grafen till funktionen f (x) = −25x + 350 och bestäm med hjälp av grafen a) funktionsvärdena f (−23) och f (23) b) för vilket variabelvärde f (x) = 200 c) lösningen till ekvationen f (x) = 0.

21. Anta att grafen till en funktion f är en linje som går genom punkterna

 4 1   0, 9  och  3 , 0 . a) Bestäm ett uttryck för funktionen f.   2 2    5 5  f (3−) 3ja och ) jaf f25 25 . b) Beräkna f f−7−7 , f,(−   9 9    3 3 

22. En linje går genom punkterna (2,35; 4,75) och (12,85; −0,50).

a) Beräkna linjens riktningskoefficient. b) Punkten A ligger på linjen. Bestäm x-koordinaten för punkten A om punktens y-koordinat är 0,40.

23. I ett vattentorn hittade man bakterier, vilket gjorde att man var

tvungen att tömma vattentornet helt och hållet. När man hittade bakterierna så var vattenmängden i tornet 450 m3. Det tog 3 dygn och 8 timmar att tömma vattentornet. Anta att vattentornet tömdes med jämn hastighet. a) Bilda en linjär funktion f(x) som beskriver den mängd vatten som finns kvar i tornet x timmar efter att man hade börjat tömma vattentornet. b) Hur mycket vatten fanns kvar i vattentornet ett dygn efter att man hade börjat tömma tornet? c) Efter hur lång tid hade mängden vatten i vattentornet minskat med 350 m3? Ge svaret i timmar och minuter.

Polynomfunktion av andra graden

24. Bestäm nollställena för funktionen g(x) = x2 + 2x − 15 och koordina­

terna för toppen i den parabel som utgör graf till funktionen. Antar funktionen sitt största eller sitt minsta värde i parabelns topp?

22 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r

E5

1 1 4 2 a) Bestäm funktionens nollställen. b) Bestäm koordinaterna för toppen i den parabel som utgör graf till funktionen. c) Antar funktionen sitt största eller sitt minsta värde i parabelns topp? Motivera ditt svar.

25. Anta funktionen f (x ) = − x 2 − x + 2 .

26. Bestäm i vilken riktning grafen till funktionen öppnar sig och funk­ tionens nollställen. Anta funktionen sitt största eller sitt minsta värde i toppen av den parabel som utgör graf till funktionen? b) f (x) = −5x2 + x a) g(x) = 3x2 + 9x

27. Bestäm nollställena för funktionen och koordinaterna för toppen i

den parabel som utgör graf till funktionen. Bestäm också ekvationen för parabelns symmetrilinje. b) g(x) = 4x2 + 4x − 3 a) f (x) = x2 + x − 2

28. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och koor­

dinataxlarna.

4 5 b) g(x) = −0,1x2 + 10 a) f ( x ) = x 2 − x 7 7 29. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till funktionen och koor­ dinataxlarna. b) g(x) = −x2 + 4x − 5 a) f (x) = 4x2 + 16

30. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till funktionen

f (x) = −7x2 + 6x − 5 och a) linjen y = −8x − 5 b) grafen till funktionen g(x) = x2 − 2x − 5.

E6

31. Rita grafen till funktionen f (x) = x2 − 4x − 21 och lös uppgifterna

med hjälp av grafen. a) I vilken punkt skär grafen till funktionen y-axeln? b) Vilka är funktionens nollställen? c) Vilket är funktionens värde när x = −1,5? Ge svar med en decimals noggrannhet d) För vilket värde på variabeln antar funktionen värdet 5? Ge svar med en decimals noggrannhet. e) Vilket är det minsta värdet för funktionen f?

32. Vi undersöker funktionen f (x) = −x2 − 8x − 7.

a) I vilka punkter skär grafen till funktionen koordinataxlarna? b) Antar funktionen sitt största eller sitt minsta värde i toppen av den parabel som utgör graf till funktionen? Bestäm detta värde. c) I vilka punkter skär grafen till funktionen f linjen y = x + 7?

1 . 1 P o ly n o m f u n k t i o n e r

23

33. Milla kastar en liten boll. Funktionen h(x) = −0,1x2 + x + 1,8 beskriver bollens höjd i meter x sekunder efter kastögonblicket. a) Vilken är bollens höjd när bollen lämnar Millas hand? b) Hur länge flyger bollen? Ge svar med en sekunds noggrannhet. c) Vilken är bollens höjd efter 1,5 sekunder? Ge svar med en deci­ mals noggrannhet. d) Vid vilken tidpunkt är bollens höjd 1,0 meter? Ge svar med en sekunds noggrannhet. e) Vilken är bollens högsta höjd? Ge svar med tiondels meters noggrannhet.

Blandat

34. Anta funktionerna f (x) = x2 − 8x − 5 och g(x) = 6x − 7. Bestäm a) de variabelvärden för vilka funktionerna antar värdet −12 b) funktionsvärdena f (−2) och g(−2).

1 3 4 35. En linje går genom punkterna  − , − 1 och  , −  .

  2 3  2 a) Bestäm linjens riktningskoefficient. b) Är linjen stigande eller fallande? c) Undersök med hjälp av riktningskoefficienten om punkten  2   − 3 , − 2 ligger på linjen.

36. I vilka punkter skär grafen till funktionen f (x) = 1,2x + 7,2 koordinat­ axlarna?

37. Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan graferna till funktionerna f (x) = −4x + 9 och g(x) = 7x + 31.

1 2 a) Bestäm funktionens nollställen. b) Bestäm koordinaterna för toppen i den parabel som utgör graf till funktionen. c) Antar funktionen sitt största eller sitt minsta värde i toppen?

Motivera ditt svar.

38. Anta funktionerna f (x ) = x 2 − 3x + 4 .

39. Rita grafen till funktionen f (x) = −x2 + 4x + 3 och besvara uppgifterna med hjälp av grafen. a) I vilka punkter skär grafen till funktionen f koordinataxlarna?

Ge svar med två decimalers noggrannhet. b) Vilket är funktionens värde när x = 4? c) För vilket värde på variabeln x antar funktionen värdet 4? Ge svar med två decimalers noggrannhet. d) Vilket är funktionens största värde?

24 1

R e p e t i t i o n av p o ly n o m f u n k t i o n e r