FYSIK
FY5
PERIODISK RÖRELSE OCH VÅGOR
Schildts & Söderströms
Heikki Lehto Jukka Maalampi Raimo Havukainen Janna Leskinen Jonas Waxlax
Schildts & Söderströms www.sets.fi
Schildts & Söderströms Första upplagan, 2018 ISBN: 978-951-52-4546-5
Redaktör för den finska upplagan: Johanna Patokoski Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grafisk Design: Sari Jeskanen Den finska upplagans ombrytning: Tarja Heikkilä / Cosmograf Den svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Illustrationer: Pertti Heikkilä / Cosmograf , Pekka Könönen / Pickman Oy, Eila Sinivuori Bildrättigheter: s.165 © Heikki Lehto, Jukka Maalampi, Raimo Havukainen, Jaana Leskinen, © Jonas Waxlax och Schildts & Söderströms
Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.
Förord Kursboken FY5 Periodisk rörelse och vågor följer kursinnehållet enligt den nya läroplanen GLP2016. Boken presenterar innehållet i den fjärde fördjupade kursen i fysik i gymnasiet. I boken behandlas rotation och likformig cirkelrörelse, svängnings rörelse, harmoniska krafter och gravitationsväxelverkan. Boken behandlar också vågrörelsers uppkomst och utbredning, olika vågfenomen samt ljudet som våg rörelse. Boken presenterar också olika tillämpningar av kursinnehållet inom medicin och musik. Fysik beskriver naturen och fenomen som sker i den. Det här belyser boken med begrepp, fenomen och storheter som vi också stöter på i vardagslivet. Vi vill betona att fysik är en experimentell vetenskap. I boken finns många exempel på under sökningar och laborationer som man kan utföra med enkel och billig utrustning. Kursboken innehåller också många räkneuppgifter av olika slag, som visar att vi kvantitativt kan förklara och förstå naturen. I fysikens inspirerande tecken. Helsingfors februari 2018 Författarna
3
Innehåll LIKFORMIG CIRKELRÖRELSE Jorden roterar – ”Eppur si muove”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Rotationsrörelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Likformig cirkelrörelse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Testa vad du kan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
G R AV I TAT I O N Gravitation är en fundamental växelverkan.. . . . . . 26 3 Gravitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Gravitationsfält. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Planet- och satellitrörelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Mekanisk energi i ett gravitationsfält. . . . . . . . . 52 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Testa vad du kan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
VÅGOR Det finns vågrörelse överallt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7 Harmonisk kraft.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8 Svängningsrörelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9 Mekanisk vågrörelse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Testa vad du kan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10 Reflexion och brytning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 11 Vågors samverkan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 12 Stående vågrörelse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Testa vad du kan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4
Mittaaminen ja mallintaminen
AKUSTIK Ljud .......................................................................118 13 Ljud är en vågrörelse. ................................. 120 14 Ljudets interferens..................................... 128 15 Ljudförnimmelse. . ...................................... 136 16 Ljudtillämpningar. ..................................... 144 Sammanfattning.. ....................................... 152 Testa vad du kan. . ....................................... 153
BILAGOR Repetitionsuppgifter.. ........................................ 154 Svar till uppgifterna. . .. ....................................... 162 Bildrättigheter............ ....................................... 165 Register.. ............................................................ 167
5
»
Likformig cirkelrörelse
Jorden roterar – ”Eppur si muove”
Drejskivan är ett av de äldsta föremål som har att göra med rotation som människan har konstruerat.
Både konståkaren och sambadansaren är bekanta med rotationsrörelse.
6
Likformig cirkelrörelse
Fjärran galaxer befinner sig i rotationsrörelse.
Vi är omgivna av rotationsrörelse. All rörelse där en kropps ställning ändras kallas rotation. Hemma hos dig finns det många kroppar som roterar kring sin egen axel. Exempel på sådana kroppar är underlaget i mikrovågsugnen, elvispens vispar och bordsfläkten. Ett cykelhjul, en person som gör en kullerbytta, en karusell, motorns hjulverk och väderkvarnens vingar roterar, ofta på stället, kring sina egna axlar. Alla himlakroppar är i rotationsrörelse. Jorden roterar kring sin egen axel hela tiden. Månen roterar kring sin axel samtidigt som den är i omloppsbana runt jorden. Systemet jorden- månen roterar kring sin gemensamma massmedelpunkt samtidigt som det en gång per år fullbordar ett varv runt solen. Solen och planeterna i vårt planetsystem roterar kring sina egna axlar. Vår galax, Vintergatan, roterar kring sitt centrum – och vårt planetsystem och vi roterar med den. Hela Vintergatan rör sig tillsammans med de andra galaxerna i Lokala gruppen. En kropp i rotation och en kropp i cirkelrörelse beskriver två olika rörelser. En kropp befinner sig i cirkelrörelse om den hela tiden rör sig längs en cirkelformad bana runt ett centrum. En person som sitter i en karusell och visarspetsarna på en klocka är exempel på kroppar i cirkelrörelse.
Vagnarna i pariserhjulet befinner sig i en icke- rätlinjig rörelse längs en cirkelformad bana.
Rullarna i pastamaskinen är i rotationsrörelse. Handen som håller i handtaget är i cirkelrörelse. Degen är i translationsrörelse.
Vindflöjeln roterar kring en axel medan flöjelns spets är i cirkelrörelse.
En eldkonstnär med sina facklor.
En kropp som roterar rör sig däremot kring en rotations axel och ändrar ställning. Alla punkter på en kropp som roterar är däremot i cirkelrörelse runt rotationsaxeln. Cirkelrörelsen utgör en av grundformerna för icke-rätlinjig rörelse. En kropp kan samtidigt vara i både cirkelrörelse och i rotation. Månen har en bunden rotation, vilket innebär att den alltid vänder samma sida mot jorden. Ett annat exempel på bunden rotation är släggkastarens slägga. Släggkastaren snurrar släggan i en nästan cirkelformad bana. Spännkraften i släggans vajer tvingar släggan mot cirkelrörelsens mittpunkt, vilket leder till att släggan hålls i sin cirkelbana. Då släggkastaren släpper taget flyger släggan rätlinjigt i väg i bantangentens riktning. Jorden är i omloppsbana runt solen på grund av gravitationen. Gravitationen är också orsaken till att månen är i omloppsbana runt jorden. De satelliter som vi skjutit upp befinner sig i nästan cirkelformade omloppsbanor runt jorden. Den dominerande kraften som tvingar satelliterna i omloppsbana är gravitationskraften från jorden. Gravitationskraften från solen och månen påverkar inte satelliterna lika mycket. Vagnarna i ett pariserhjul roterar inte kring en egen axel och är därför inte i rotationsrörelse. De rör sig translatoriskt längs en cirkelformad bana. Vid cirkelrörelse studerar man förändringen i kropparnas läge, inte i deras ställning. 7
1 Rotationsrörelse ! Centrala begrepp • varvfrekvens • vridningsvinkel • vinkelhastighet • likformig rotationsrörelse
U Undersök 1. Varvfrekvens Placera en cirkulär spaltskiva på en kullageraxel som du skruvar fast i ett stativ. Undersök skivans varvfrekvens med hjälp av ett datorbaserat mätsystem. 2. Likformig rotationsrörelse Utför undersökningen med hjälp av ett datorbaserat mätsystem. Placera en cirkulär spaltskiva på en kullageraxel som du skruvar fast i ett stativ. Sätt skivan i rotation. Upprepa försöket men sätt skivan i häftigare rotation. Låt mätprogrammet rita en graf i ett t, ϕ-koordinatsystem som beskriver rörelsen. Studera grafen.
På bilden ser du en meteorolog. Men vad föreställer bilden i bakgrunden?
8
Likformig cirkelrörelse
Vilken slutsats kan du dra om jordens rörelse då du studerar bilden?
Varvfrekvens
Rotationsrörelse är en av grundformerna för rörelse.
All rörelse där en kropps ställning förändras kallas rotation. En kropp roterar alltid kring någon axel. Den här axeln kallas rotationsaxel. Bladen på en vindmölla roterar kring den axel som de är fästa på. Ibland är rotationsaxeln inte något verkligt objekt. Ett exempel på det här är jordens rotationsaxel. En kropp kan vara i rotationsrörelse trots att den inte vrids ett helt varv kring sin rotationsaxel. Ett bra exempel på det här är en dörr som man öppnar; dörren är i rotationsrörelse kring en axel som går genom gångjärnen. Dansarens rotationsaxel kan ligga utanför kroppen.
[ n] = 1
1 s
Man kan beskriva en kropps rotation med avseende på en rotationsaxel genom att ange antalet varv som kroppen roterar under en bestämd tidsperiod. Den här storheten kallas varvfrekvens (eller rotationsfrekvens). Om spaltskivan i den första undersökningen roterar tio hela varv på 8,6 s är skivans varvfrekvens 10 ≈ 1,2 1 . 8,6 s s Varvfrekvens • Varvfrekvensen anger hur många varv en kropp roterar under en bestämd tidsperiod. • Varvfrekvensen beräknas n= N , ∆t där N är antalet varv och ∆t den förflutna tiden.
• Om tiden för ett varv, det vill säga omloppstiden, är T gäller n = 1. T
1 Rotationsrörelse 9
Många motorcyklar och bilar har en varvräknare. Vad anger mätaren på bilden för varvfrekvens?
På de flesta tvättmaskiner kan man välja olika centrifugeringshastigheter. Den högsta varvfrekvensen för den här tvättmaskinen är 1 200 varv per minut (rpm, revolutions per minute).
Enheten för varvfrekvens är 1/s. Ibland används även enheten r/s, där r står för varv (revolution). Vid en enhetskontroll (dimensionsanalys) ersätts r med 1. Motorers varvfrekvens anges ofta med enheten varv per minut (rpm). E Exempel 1 Ett cykelhjul roterar tio varv på 14 s. a) Beräkna hjulets varvfrekvens och dess omloppstid. b) Hur lång sträcka skulle hjulet röra sig om det rullade längs marken? Hjulets diameter är 0,66 m. Lösning N = 10, Δt = 14 s, d = 0,66 m, r = 0,33 m a) Hjulets varvfrekvens är 10 n= N = ≈ 0,71 1 14 s s ∆t och dess omloppstid är 1 = 14 s = 1, 4 s T = 1 = . 10 1 10 n 14 s b) Om hjulet rullade på marken skulle det för varje varv rör sig sträckan 2πr. Efter tio varv har då hjulet rört sig sträckan s = 10 · 2πr = 10 · 2π · 0,33 m ≈ 21 m. Svar 1 a) Varvfrekvensen är 0,71 och omloppstiden är 1,4 s. b) 21 m. s
10
Likformig cirkelrörelse
Vridningsvinkel Då spaltskivan i undersökningen roterade kring sin axel A rörde sig varje punkt på skivan längs en cirkelformad bana. Punkter som ligger längre från rotationsaxeln rör sig en längre sträcka (s1) än den sträcka som punkterna närmare rotationsaxeln rör sig (s2).
s1 s2 ϕ A
s1 > s2
s r
ϕ
Då en punkt som befinner sig på avståndet r från rotationsaxeln rör sig sträckan s = r är vridningsvinkeln 1 rad. Hur många grader är 1 rad?
Den storhet som anger storleken på vridningen vid en rotationsrörelse kallas vridningsvinkel ϕ (fi). Vridningsvinkeln definieras som kvoten av båglängden s och cirkelradien r: ϕ = s . Om vi studerar definitionen r på vridningsvinkeln, märker vi att storheten inte har någon enhet. Det här beror på att enheterna i täljaren och nämnaren förkortas bort. Enligt SI-systemet används ändå enheten radianer (rad) för att uttrycka att storheten anger en vinkel. Vid enhetskontroll beaktar man inte enheten rad och den behöver således inte skrivas ut. Vridningsvinkeln för ett varv är ϕ = sambandet 2π rad = 360°.
2πr = 2π rad. Av det här följer r
Vridningsvinkel Vridningsvinkeln ϕ definieras som kvoten av båglängden s och cirkelradien r: ϕ = s . r
[φ] = 1 rad
Vridningsvinkeln ϕ vid en rotationsrörelse motsvaras av läget s vid en translationsrörelse. Då vi tidigare betraktat rätlinjig rörelse har vi alltid fastslagit vilken riktning som motsvarar en positiv rörelseriktning (vi har till exempel valt framåt som positiv riktning och bakåt som negativ). Vid rotations rörelse måste vi på motsvarande sätt bestämma vilken riktning vi kallar för positiv rotationsriktning. Vanligtvis väljer man moturs som positiv rotationsriktning. Observera att rotationsriktningen beror på betraktelseriktningen: om du ser vindmöllans blad rotera moturs så ser en person som står bakom vindmöllan bladen rotera medurs.
En dj roterar skivan både i positiv och negativ rotationsriktning.
1 Rotationsrörelse 11
Vinkelhastighet I den andra undersökningen försattes spaltskivan i rotation och sedan mättes vridningsvinkeln vid olika tidpunkter. På bilden syns exempel på några mätresultat i ett t,ϕ-koordinatsystem.
Vridningsvinkel (rad)
2
ϕ = kt k = 7,516 rad/s
1
0
0,2 Tid (s) Enligt mätprogrammet är spaltskivans vinkelhastighet 7,5 rad/s.
[ ω] =
[∆ϕ ] [∆t ]
=
1 rad = 1 rad/s 1s
0
0,1
0,3
Riktningskoefficienten för grafen i t,ϕ-koordinatsystemet uttrycker ∆ϕ . Vridningsvinkelns vridningsvinkelns förändring per tidsenhet ∆t förändring per tidsenhet kallas vinkelhastighet och betecknas ω. Enheten för vinkelhastighet är rad/s. Vinkelhastigheten beskriver hur stor vridningsvinkelns förändring är per tidsenhet. Om förändringen i vridningsvinkel är lika stor under lika stora tidsintervall är vinkelhastigheten konstant. En sådan här rörelse kallas likformig rotationsrörelse. Vinkelhastigheten ω vid en rotationsrörelse motsvaras av hastigheten v vid en translationsrörelse.
! Jämför v =
∆x ∆t
Vinkelhastighet och likformig rotationsrörelse • • •
12
Likformig cirkelrörelse
∆ϕ , ∆t där ∆ϕ är förändringen i vridningsvinkel och ∆t tiden som förflutit. Enheten för vinkelhastighet är rad/s. Vid en likformig rotationsrörelse är vinkelhastigheten konstant. Vinkelhastigheten beskriver vridningsvinkelns förändring per tidsenhet.
• Vinkelhastigheten beräknas ω =
Vinkelhastighet och varvfrekvens Varvfrekvensen kan skrivas på följande sätt ∆ϕ ω ∆t ∆ϕ n = N = 2π = = = ω . ∆t ∆t 2π ∆t 2π 2π ∆t Sambandet mellan vinkelhastighet och varvfrekvens är således ω = 2πn. Vinkelhastighet och varvfrekvens Sambandet mellan vinkelhastighet omega och varvfrekvens n är ω = 2πn. E Exempel 2 Rotorbladen på en vindmölla roterar 58 varv på 4,5 minuter. Anta att det är fråga om likformig rotationsrörelse. a) Bestäm vridningsvinkeln under tidsperioden 4,5 minuter. Ange svaret i grader och radianer. b) Bestäm varvfrekvensen. c) Bestäm vinkelhastigheten. Lösning N = 58, Δt = 4,5 min = 270 s a) Ett varv motsvarar en vridning på 360°. Vridningsvinkeln är då 58 ⋅ 360° = 20 880° ≈ 21 000°. Eftersom ett varv motsvarar 2π rad är vridningsvinkeln 58 ⋅ 2π rad = 116π rad ≈ 360 rad. b) Varvfrekvensen är 58 n= N = = 0,214 815 1 ≈ 0,21 1 . s s ∆t 270 s c) Vinkelhastigheten är ω = 2πn = 2π ⋅ 0,214815 1 ≈ 1,3 rad . s s Svar a) 21 000° och 360 rad b) 0,21 1 c) 1,3 rad s s
Effekt (kW) 1400 1000 600
Eleffekten hos ett vindkraftverk beror på rotorbladens varvfrekvens. Varvfrekvensen beror i sin tur på vindhastigheten.
200 0
0
5
10 15 20 Vindhastighet (m/s)
25 1 Rotationsrörelse 13
UPPGIFTER 1-1. Hjulen på ett par rullskidor har diametern 8,5 cm. Uppskatta hur många varv hjulen roterar under ett 15 km träningspass.
1-6. En ivrig julfirare sågar ner en 15 m hög gran. Hur lång sträcka rör sig a) granens topp b) granens mitt då granen faller från stående till den vågräta marken? Anta att granen är en stel kropp. 1-7. En tallrik står på det roterande underlaget i en mikrovågsugn. Tallriken roterar i medeltal ett varv på 10,8 sekunder. Bestäm tallrikens a) varvfrekvens b) vridning under en 2,0 minuters upp värmning.
1-2. a) Omvandla 0,7 rad och 6,0 rad till grader. b) Omvandla 45° och 750° till radianer.
1-8. Rotorbladet i ett vindkraftverk är 13 m. En grupp studerande uppmätte att en rotation på 10 hela varv tog 11,1 s. Bestäm a) varvfrekvensen b) omloppstiden.
1-3. Ett cykelhjul roterar fem hela varv kring sin axel. Ange cykelhjulets vridningsvinkel i grader och radianer. 1-4. Den högsta varvfrekvensen för en motoraxel är 12 500 rpm. Hur många varv roterar axeln per sekund vid den här varvfrekvensen? 1-5. Tandläkarborren har en varvfrekvens på 14 000 rpm. Bestäm borrens omloppstid.
14
Likformig cirkelrörelse
1-9. Vridningsvinkeln för ventilen på ett cykelhjul förändrades 2 250 rad på 17,0 s. a) Hur många hela varv har ventilen roterat? b) Bestäm ventilens varvfrekvens.
1-10. Omloppstiden för en karusell är 7,0 s. Beräkna karusellens a) varvfrekvens b) vinkelhastighet. 1-11. I t,ϕ-koordinatsystemet visas graferna som beskriver rotationsrörelsen för kropp A och B. a) Är det fråga om likformig rotationsrörelse? b) Vilkendera kroppen har större vinkel hastighet? Bestäm den här vinkelhastig heten. c) Hur länge tar det för A och B att rotera tre hela varv?
1-13. Med vilken a) varvfrekvens b) vinkelhastighet färdas en person som står på ekvatorn kring jordens axel? Ange svaren med tre gällande siffror. 1-14. En konståkare har en i det närmaste konstant vinkelhastighet på 7,7 rad/s under en piruett. Beräkna vridningsvinkeln under 2,5 sekunder.
rad ϕ A
40
30
B
20
10
0
t 0
1
2
3
4
5
6
s
1-12. Medan en spaltskiva roterade mätte man upp vridningsvinkeln som en funktion av tiden. Mätresultaten är presenterade i tabellen.
φ (rad)
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
t (s)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
Bestäm vinkelhastigheten.
1 Rotationsrörelse 15
2 Likformig cirkelrörelse ! Centrala begrepp • cirkelrörelse • banhastighet • centripetalacceleration • likformig cirkelrörelse
U Undersök 1. Cirkelrörelse Tillverka en ring av till exempel styv kartong. Skär ut en liten öppning, stor nog för en kula, i ringens nedre del enligt bilden. Försätt en kula i cirkelformad rörelsebana inuti ringen och iaktta vad som händer då kulan lämnar sin bana. 2. Cirkelformad bana Fäst en liten vikt i en dynamometer. Fäst därefter ett snöre i dynamometern och snurra försiktigt på dynamometern längs horisontalplanet så att vikten kommer i cirkelrörelse. Ändra hastigheten på rörelsen och iaktta dynamometerns utslag.
Varför har avfarterna till en motorväg oftast en väldigt liten krökning?
16
Likformig cirkelrörelse
I en bergochdalbana åker man tidvis i en cirkelformad bana.
Cirkelrörelse
Barnen och karusellen är en kombination av cirkelrörelse och rotationsrörelse.
Man kan använda cirkelrörelse som modell då man studerar en kropps rörelse även om kroppen inte hela tiden rör sig längs en cirkelformad bana.
Man säger att en kropp är i cirkelrörelse om den rör sig längs en cirkel formad bana. En person i en karusell rör sig längs en cirkelformad bana. Om karusellen roterar med en konstant fart befinner sig personen i en likformig cirkelrörelse. Cirkelrörelsen utgör en av grundformerna för tvådimensionell icke-rätlinjig rörelse. Då en bil kör i en cirkelformad kurva med konstant fart visar bilens hastighetsmätare hela tiden samma värde. Trots det här är bilen i accelererad rörelse eftersom bilens hastighet inte är konstant då hastighetens riktning hela tiden ändras i kurvan. Vagnarna i ett pariserhjul rör sig längs en cirkelformad bana. Vagnarna befinner sig i translationsrörelse trots att själva pariserhjulet är i rotationsrörelse. Cirkelrörelsen beskriver förändringen i kropparnas läge, inte i deras ställning. I den första undersökningen kunde du konstatera att stödkraften som verkar på kulan från ringen är riktad mot banans mittpunkt. Det är den här stödkraften som tvingar in kulan i en cirkelformad bana. Då stödkraften slutade att verka på kulan såg du att kulan lämnade den cirkelformade banan och sedan fortsatte rätlinjigt i tangentens riktning.
Kulan lämnar den cirkelformade banan och fortsätter rätlinjigt i tangentens riktning. 2 Likformig cirkelrörelse 17
Likformig cirkelrörelse v2 v1 = v2
r v1
Storleken på hastigheten hos en kropp i likformig cirkelrörelse är hela tiden konstant trots att hastighetens riktning hela tiden förändras.
Om du kör skoter med konstant fart kommer storleken på ring ventilens hastighet inte att förändras. Ventilen befinner sig i likformig cirkelrörelse kring hjulets axel. Den storhet som beskriver storleken på hastigheten hos en kropp som rör sig längs en cirkelformad bana kallas banhastighet. Om en kropp befinner sig i likformig cirkelrörelse förändras inte kroppens banhastighet. Riktningen på kroppens hastighet förändras däremot hela tiden. Det här innebär att kroppen accelererar. Den här accelerationen kallas centripetalacceleration (eller normalacceleration). Centripetalaccelerationen an är alltid riktad mot cirkelbanans mittpunkt och vinkelrät mot hastighetsvektorn. Centripetalaccelerationen beskriver förändringshastigheten hos hastighetens riktning. I den andra undersökningen rörde sig vikten med konstant fart längs en cirkelformad bana. Dynamometerns utslag var hela tiden konstant. Trots att viktens fart i banan hela tiden är konstant har vikten en centripetalacceleration eftersom riktningen på viktens hastighet hela tiden förändras.
an r Fμ1 Fμ2 N2
N1 G
Det är friktionen som håller en bil på vägen i en kurva.
v
Det måste alltid finnas en kraft, eller krafter, för att en kropp ska kunna försättas i en cirkelrörelse. Den totalkraft som håller en masspunkt i likformig cirkelrörelse är riktad inåt mot cirkelbanans mittpunkt. Då en bil kör i en vågrät kurva är det vilofriktionen mellan däcken och väg ytan som orsakar en centripetalacceleration och förhindrar att bilen kör av vägen. Friktionen tvingar bilen, och därmed passagerarna i bilen, att röra sig i en cirkelrörelse. Om bilen kör av vägen i en kurva, beror det på att bilen strävar efter att fortsätta sin rätlinjiga rörelse då inte friktionen mera klarar av att tvinga in bilen i cirkelrörelse.
m r
an
Totalkraften ∑ F som verkar på en kropp i likformig cirkelrörelse och kroppens centripetalacceleration an är riktade mot cirkelbanans mittpunkt.
18
Likformig cirkelrörelse
Likformig cirkelrörelse och centripetalacceleration • En kropp i likformig cirkelrörelse har konstant banhastighet trots att hastighetens riktning hela tiden förändras. • En kropp i cirkelrörelse har en centripetalacceleration. • Centripetalaccelerationen an är alltid riktad mot cirkelbanans mittpunkt och dess storlek är
2 an = v , r där v är kroppens banhastighet och r banans radie. • Centripetalaccelerationen beskriver förändringshastigheten hos hastighetens riktning.
E Exempel 1 En stålkula med massan 55 g är fästad i ändan av ett snöre och rullas runt i en cirkelformad bana på ett vågrätt bord. Banans radie är 0,20 m. När snöret brister är kulans hastighet 15 m/s. Friktionen mellan kulan och bordet är mycket liten. a) Hur stor är spännkraften i snöret då det brister? b) I vilken riktning fortsätter kulan sin rörelse? Lösning m = 55 g = 0,055 kg, r = 0,20 m, v = 15 m/s a) Kulan hålls i sin cirkelformade bana på grund av spännkraften i snöret. Storleken på den sökta spännkraften är 2 (15 m/s)2 F = man = m v = 0,055 kg ⋅ ≈ 62 N. r 0,20 m b) Enligt tröghetslagen fortsätter kulan sin rörelse rätlinjigt i tangentens riktning då snöret brister. Svar a) 62 N b) Kulan fortsätter sin rörelse rätlinjigt i tangentens riktning.
E Exempel 2 Då en sparkstötting kommer in i en vågrät kurva på isen är dess ban hastighet 17 km/h. Kurvans krökningsradie är 45 m. Hur stor måste friktionskoefficienten (friktionstalet) åtminstone vara för att man ska klara sig genom kurvan utan att sparkstöttingen slirar åt sidan. Anta att luftmotståndet är litet. Lösning v = 17 km/h, r = 45 m, g = 9,81 m/s2 Fμ
O
N
r G
–
+
stödkraften N och tyngden G lika stora men motsatt riktade och tar därför ut varandra. Det är friktionskraften Fµ = µN = µmg som fungerar som centripetalkraft och tvingar sparkstöttingen i cirkelrörelse. Rörelseekvationen i vågrät riktning för sparkstöttingen ΣF = man blir då Fµ = man . Vi väljer riktningen mot krökningsmedelpunkten som v2 . Vi beräknar positiv och får skalärekvationen Fµ = man eller µmg = m r friktionskoefficienten
Sparkstöttingen sedd bakifrån.
r Fμ an
Sparkstöttingen sedd uppifrån.
Eftersom luftmotståndet är försumbart är totalkraften som verkar på sparkstöttingen ΣF = G + N + Fµ . Eftersom underlaget är vågrätt är
O
(
)
2
17 m/s 2 3, 6 µ= v = ≈ 0,051. rg 45 m ⋅ 9, 81m/s 2
Svar Friktionskoefficienten måste åtminstone vara 0,051. 2 Likformig cirkelrörelse 19
E Exempel 3 Ellen sitter i en karusell. Då karusellsitsen är 4,1 m från karusellens axel är hennes banhastighet 3,3 m/s. Ellens och karusellsitsens totala massa är 22 kg. Bestäm spännkraften i kedjan som sitsen är fäst i. Anta att motståndskrafterna är små. Lösning v = 3,3 m/s, r = 4,1 m, m = 22 kg, g = 9,81 m/s2 Vi ritar en kraftfigur. Eftersom banhastigheten är konstant utgörs Ellens acceleration enbart av centripetalaccelerationen. Då motståndskrafterna är små är totalkraften som verkar på Ellen och sitsen ΣF = G + T , där T är kedjans spännkraft och G tyngden. Rörelseekvationen för systemet bestående av Ellen och sitsen blir ΣF = man eller G + T = man .
T
Vektorerna G , GT , ja och T ma ja ma n n är sidor i en rätvinklig triangel. Vi kan beräkna spännkraften i repet med hjälp av Pythagoras sats:
an
T 2 = G 2 + ( man )2 , som kan skrivas G
2 = ( mg )2 + m vr
man
T
T = G 2 + ( man )2
α
G
2
= (22 kg ⋅ 9, 81m/s 2 )2 + 22 kg ⋅
(3,3 m/s)2 4,1m
2
≈ 220 N.
Spännkraftens T riktning fås ur (3,3 m/s)2 v2 4,1m man man an tanα = = = = r = ≈ 0,270754 , G mg g g 9, 81m/s 2
som ger α ≈ 15°. Svar Spännkraften i kedjan är 220 N. Vinkeln α i figuren är 15°.
20
Likformig cirkelrörelse
E Exempel 4 Hur högt uppe måste bergochdalbanans startpunkt vara, för att man under åkningen ska kunna åka i en loop med radien är 5,0 m? Friktion och luftmotstånd är försumbara. Lösning r = 5,0 m, g = 9,81 m/s2 Då friktionen och luftmotståndet är försumbara är totalkraften som verkar på vagnen i loopens översta läge ΣF = N + G , där N är stödkraften från banan och G tyngden som verkar på vagnen. Rörelseekvationen för vagnen i loopens översta läge är ΣF = man eller N + G = man . Vi väljer 2 nedåt som positiv riktning och får skalärekvationen N + mg = m v . r Så länge vagnen hålls på banan påverkas vagnen av stödkraften N . Om stödkraften försvinner hålls inte längre vagnen på banan. Det mest kritiska läget för vagnen är i loopens översta läge. Storleken 2 på stödkraften N = m v − mg är noll i loopens översta läge om r 2 m v = mg . Det här motsvarar en hastighet på v = gr . Om vagnens r hastighet är mindre än det här kommer vagnen inte längre att hållas på banan. Då vi utgår från att friktionen och luftmotståndet är försumbara kan vi använda oss av lagen om den mekaniska energins bevarande i loopens översta läge Ep,1 + Ek,1 = Ep,2 + Ek,2.
N an – +
G
Kraftfigur för vagnen i loopens översta läge.
!
I startögonblicket har vagnen endast potentiell energi och i loopens översta läge har vagnen både kinetisk och potentiell energi. Vi får ekvationen mgh = 1 mv 2 + mg ⋅ 2 r . 2
Observera att vagnen i exemplet inte är i likformig cirkelrörelse hela tiden. Man kan ändå momentant beskriva situationen som en likformig cirkelrörelse.
2r
Vi insätter uttrycket för hastigheten v = gr och får mgh = 1 m( gr )2 + mg ⋅ 2 r 2 mgh = 1 mgr + mg ⋅ 2 r : mg . 2 h
Höjden är då h = 1 r + 2 r = 5 r = 2 1 ⋅ 5, 0 m = 12,5 m. 2 2 2 Eftersom loopens diameter är 10,0 m måste vagnens startpunkt åtminstone vara 2,5 m högre upp än loopens översta läge för att vagnen ska ha en tillräckligt hög hastighet för att klara av loopen. Svar Startpunkten måste åtminstone vara 2,5 m högre upp än loopens översta läge. 2 Likformig cirkelrörelse 21
UPPGIFTER 2-1. I det här kapitlet har vi behandlat cirkel rörelse och i det föregående kapitlet rotations rörelse. Vad är skillnaden mellan de här olika rörelserna? 2-2. Stämmer följande påståenden? a) Centripetalaccelerationen är alltid riktad mot banans mittpunkt. b) Det är vilofriktionen mellan däcken och vägytan som orsakar bilens centripetal acceleration då bilen kör i en vågrät kurva. c) Då en bil minskar på banhastigheten i en kurva minskar också friktionen mellan däcken och vägytan. d) Friktionen mellan sätet och passageraren och stödkrafterna från säkerhetsbältet håller passageraren i samma krökta bana som bilen i en kurva. e) Totalkraften som verkar på en cyklist som cyklar med konstant fart i en kurva är riktad mot kurvans krökningsmedelpunkt. 2-3. För att tvinga en kropp i cirkelformad bana krävs alltid en kraft som är riktad mot banans mittpunkt. Vilken kraft håller följande kroppar i sin bana: a) jorden i sin omloppsbana runt solen b) ett barn som sitter i en karusell i lekparken c) en formel 1-bil som kör i en kurva? 2-4. En kropp rör sig i en cirkelformad bana. Vilka av följande påståenden stämmer och vilka gör det inte? Motivera svaret. a) Kroppens hastighetsvektor är vinkelrät mot radien. b) Kroppens acceleration kan vara noll. c) Kroppen har konstant acceleration när kroppen befinner sig i en likformigt accelererad rörelse i en cirkelformad bana.
22
Likformig cirkelrörelse
2-5. Bilden visar en s-formad kurva på en motorcykelbana. En motorcykel håller banhastig heten 75 km/h under sin färd. Kröknings radien för kurva A är r1 = 320 m och för kurva B r2 = 550 m. Jämför motorcykelns centripetalaccelerationer i kurva A och B.
A r1
B
r2
2-6. En bil, vars massa är 1 200 kg, svänger längs en cirkelformad bana (radien 22 m) runt ett vågrätt gathörn. Bilens banhastighet är 18 km/h. a) Hur stor kraft behövs för att bilen ska hållas på banan? b) Hålls bilen kvar på banan om friktionstalet är 0,20? 2-7. Enligt Bohrs atommodell rör sig väteatomens elektron med hastigheten 2,18 Mm/s i en cirkelformad bana vars radie är 52,8 pm. a) Hur stor är elektronens centripetal acceleration? b) Hur många varv rör sig elektronen runt banan per sekund?
2-8. En motorcyklist kör in i en vågrät kurva med krökningsradien 63 m. Hur stor får motor cykelns banhastighet högst vara för att centri petalaccelerationen inte ska överstiga 3g? 2-9. Ett leksaksflygplan är upphängt i ändan av ett 0,90 m långt snöre som är fästat i taket. Då flygplanets motor sätts igång rör sig flyg planet enligt bilden i en cirkelformad bana.
2-11. En pilot flyger i en lodrät cirkelformad loop. Loopens radie är 1,00 km och flygplanets banhastighet är 360 km/h. Pilotens massa är 85 kg. a) Rita de krafter som verkar på piloten i loopens översta (då flygplanet är uppochned) och nedersta läge. b) Med vilken kraft påverkar stolsitsen piloten i loopens nedersta läge?
2-12. En bil kör med banhastigheten 72 km/h i en isbelagd, slät kurva som har krökningsradien 150 m. Hur mycket måste vägen luta för att bilen utan dubbdäck ska hållas på vägen? Anta att motståndskrafterna är små. Ledning: Den cirkelformade banans radie är det vågräta avståndet från bilen till cirkelns mittpunkt (inte avståndet längs vägytan).
Banans diameter är 1,4 m och flygplanets massa 0,200 kg. a) Rita och namnge de krafter som verkar på flygplanet. b) Vilken banhastighet har flygplanet?
2-10. En freestyleåkare har banhastigheten 45 km/h då hen befinner sig i det nedersta läget i ett cirkelformat backavsnitt. Backens kröknings radie är 22 m. Freestyleåkarens massa inklusive utrustning är 82 kg. Med hur stor kraft verkar backen på åkaren?
2-13. Vid ett test av friktionsdäck kördes en person bil med maximal hastighet på en cirkulär isbana, som hade radien 30 m. a) Hur stort var vilofriktionstalet mellan däcken och isen, då omloppstiden som bäst var 33,5 s? b) Under ett av varven förlorade föraren kontrollen över bilen (massan 1 080 kg) och kolliderade med hastigheten 17 km/h mot en snöskoter (massan 380 kg) som stod i närheten. Hur lång sträcka gled bilen (med låsta bromsar) och snöskotern tillsammans? Glidfriktionstalet mellan däcken och isen var 0,090 och mellan snöskotern och isen 0,20.
2 Likformig cirkelrörelse 23
Sammanfattning Varvfrekvens • Varvfrekvensen anger hur många varv en kropp roterar under en bestämd tidsperiod. • Varvfrekvensen beräknas n = N , där N är antalet varv och ∆t ∆t den förflutna tiden. • Om tiden för ett varv, det vill säga omloppstiden, är T gäller n = 1 . T Vridningsvinkel • Vridningsvinkeln ϕ definieras som kvoten av båglängden s och cirkelradien r, ϕ = s . r • Oftast används enheten radian (rad) då man anger en vridnings vinkel.
s r ϕ
Likformig rotationsrörelse ∆ϕ • Vinkelhastigheten beräknas ω = , där ∆ϕ är förändringen i ∆t vridningsvinkel och ∆t tiden som förflutit. • Vid en likformig rotationsrörelse är vinkelhastigheten konstant. • Vinkelhastigheten beskriver vridningsvinkelns förändring per tidsenhet. • Sambandet mellan vinkelhastighet ω och varvfrekvens n är ω = 2πn.
ϕ
Δϕ
Δt
t
v m r
24
an
Likformig cirkelrörelse
Likformig cirkelrörelse och centripetalacceleration • En kropp i likformig cirkelrörelse har konstant banhastighet trots att hastighetens riktning hela tiden förändras. • Centripetalaccelerationen an är alltid riktad mot cirkelbanans mittv2 punkt och dess storlek är an = , där v är kroppens banhastighet r och r banans radie. • Centripetalaccelerationen beskriver förändringshastigheten hos hastighetens riktning.
T E S TA VA D D U K A N Det kan finnas ett eller flera rätta svarsalternativ. 1.
Då du trampar en konditionscykel är pedalen i a) cirkelrörelse b) translationsrörelse c) rotationsrörelse.
2.
Pedalen är fastsatt i ett nav. Navets rörelse då man trampar är en a) cirkelrörelse b) translationsrörelse c) rotationsrörelse.
3.
På en vinylspelare finns beteckningen 33,3 rpm. Det här betyder att vinylskivan på spelaren har en a) vinkelhastighet på 33,3 varv per minut b) varvfrekvens på 0,56 r/s c) omloppstid på 1,8 s.
4.
5.
Vilka av följande är exempel på roterande kroppar: a) frysdörren som öppnas b) flygplanspropellrarna då ett flyg lyfter c) ett barn som sitter i en karusell som rör sig? Vinkelhastigheten anger a) förändringshastigheten för kroppens ställning b) förändringshastigheten för kroppens läge c) den momentana hastigheten.
6.
En liten knapp för hastighetsmätaren är fastsatt på en av ekrarna i ett cykelhjul. Då man cyklar har knappen och ventilen på däcket a) samma vinkelhastighet b) samma banhastighet c) samma varvfrekvens.
7.
Vilka av följande påståenden är korrekta? a) En kropp befinner sig i cirkelrörelse om den rör sig längs en cirkelformad bana. b) Vid cirkelrörelse undersöker man förändringen i en kropps läge. c) Rörelsen hos vagnen i ett pariserhjul är en cirkelrörelse.
8.
En kropp som rör sig längs en cirkelformad bana har en banhastighet som a) beror på radien b) blir större om radien blir längre c) är vinkelrätt riktad mot radien.
9.
En kropp som befinner sig i likformig cirkelrörelse har desto större centripetal acceleration ju a) större banradien är b) mindre banradien är c) större kroppens banhastighet är.
10. En motorcykel som kör längs en cirkelformad bana har en acceleration då a) motorcykeln accelererar b) motorcykeln är i likformig cirkelrörelse c) motorcykeln bromsar. 11. Vid likformig cirkelrörelse a) är centripetalaccelerationen vinkelrätt riktad mot hastigheten b) är centripetalaccelerationen riktad mot cirkelbanans mittpunkt c) förändras inte kroppens banhastighet d) förändras riktningen hos kroppens hastighet. 2 Likformig cirkelrörelse 25
Gravitation
Gravitation är en fundamental
Gravitationen utgör en av de fyra fundamentala växelverkningarna som vi använder för att förklara världsalltets struktur. Då två kroppar är i gravitationsväxelverkan med varandra påverkas båda kropparna av lika stora med motsatt riktade gravitationskrafter. Gravitationskraften är en distanskraft som, enligt den kunskap vi har i dag, alltid är en attraktiv dragningskraft. Ibland kallas gravitation och gravitationskraft för tyngd. Isaac Newton (1642–1727) var den första som framställde en gravitationsteori. Enligt Newton dras alla kroppar med massa mot varandra. Jorden drar till sig äpplet och äpplet drar till sig jorden. Enligt sägnen kom Newton fram till sin gravitations lag då han såg ett äpple falla från ett träd. Då Newton år 1687 publicerade sitt verk Principia förändrades dåtidens uppfattning om rörelse och kraft. Verket är ett banbrytande vetenskapligt arbete. Principia innehåller bland annat en matematisk modell av gravitationen som hjälper oss att beräkna fallrörelse och himlakropparnas rörelser. Det är gravitationen som är orsaken till att ett löv faller till marken. Vi människor hålls på markytan tack vare gravitationen. Rörelsebanan för en boboll som slås i väg och vattenstrålen från en springbrunn kröks under inverkan av gravitationen. Jorden är i omloppsbana runt solen, och månen är i omloppsbana runt jorden, tack vare gravitationsväxelverkan. Satelliter rör sig i nästan cirkelformade omloppsbanor runt
26
Voima Gravitation
växelverkan
Jorden har många satelliter.
I ett krökt universum är de kortaste rörelsebanorna inte raka.
Plancksatelliten har uppmätt en temperaturkarta över den kosmiska bakgrundsstrålningen.
jorden. Den dominerande kraften som verkar på satelliterna är gravitationskraften från jorden – den här kraften påverkar satelliterna mycket mera än gravitationskraften från solen eller månen. Tidvattensfenomenet är en följd av gravitationsväxelverkan mellan jorden och månen. Vattenytan stiger vid de områden som befinner sig närmare månen. Det här beror på att gravitationskraften från månen där är större och det rörliga vattnet i jordens oceaner vill söka sig mot månen. Vattenytan stiger också på motstående sida om jorden. Det här beror på att gravitationskraften från månen inte är lika stor på båda sidorna av jorden, vilket leder till att jorden får en tillplattad form. Ett motsvarande, men dock betydligt mindre, tidvattensfenomen förorsakas också av solen. Då jorden, månen och solen står i samma linje förstärker de båda fenomenen varandra. Enligt Albert Einsteins (1879–1955) allmänna relativitets teori förorsakas gravitationen av att rummet är krökt. Den här krökningen är i sin tur orsakad av kroppars massa och energi. Einstein beskriver gravitationen som en geometrisk egenskap hos rum och tid, eller rumtid som det kallas. En kropp rör sig längs den kortaste vägen i rumtiden. I närheten av stora massor kommer kropparnas rörelsebana att krökas på grund av att rumtiden är krökt. Man har observerat att ljuset från andra stjärnor kröks då det passerar i närheten av solen. 27