Ma12 Lång blädderex by Schildts & Söderströms

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma12

bservera!

mpsons formel kallas också a för simpsons regel.

mas Simpson 0–1761) var en självlärd elsk matematiker som rungligen arbetade som are. Han blev dock profes matematik och medlem åde Storbritanniens na ella vetenskapsakademi al Society) och Kungliga nskapsakademien.

LÅNG Algoritmer i matematiken

5.3 Simpsons formel Basformen av Simpsons formel ger en approximation för arean Noggrannheten i den numeriska approximationen av en area beror av hur väl de delar av approximationens area som ligger utanför den egentliga arean kompenseras av de delar av den egentliga arean som ligger utanför approximationens area. Ibland ger rektangelmetoden en bättre approximation än trapetsformeln och ibland är det tvärtom. Rektangelmetoden ger en bättre approximation y

Trapetsformeln ger en bättre approximation y

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 12, Algoritmit matematiikassa Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe, Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman (den finska upplagan) och Jukka Iivarinen, Vitale (den svenska upplagan) Illustrationer: Marja Venäläinen

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52-4844-2

Till dig som använder boken Ma12 Lång

I kursen Algoritmer i matematiken studerar vi hur matematiska algoritmer fungerar. Målsättningen är att vi lär oss undersöka delbarhet för polynom och att numeriskt bestämma funktioners nollställen, derivator samt areor under kurvor och integraler.

Bokens uppbyggnad

Varje kapitel inleds med något att fundera på och som samtidigt leder till att studeranden får nya insikter. Den nya teorin framställs konkret och tydligt med definitioner och satser som bevisas. I exemplen kan vi tillämpa den inlärda kunskapen. Både teorin och exemplen är skrivna så att studeranden kan ta till sig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken även metoder som grundar sig på ett så kallat omvänt klassrum (flipped classroom). EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Vissa exempel i boken är avsedda att utföras utan räknare. I andra exempel ges direktiv om hur räknaren kan användas på ett ändamålsenligt sätt. I denna bok avser ordet räknare även andra tekniska hjälpmedel avsedda för symbolisk räkning. Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter och följer samma ordningsföljd som exemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mera utmanande uppgifter.

1. De uppgifter som är avsedda att lösas utan räknare är markerade med bakgrunds färg.

2. Räknare kan användas till hjälp, speciellt i tillämpade uppgifter. E1 Hänvisningar till exemplen underlättar då man räknar uppgifterna. De uppgifter som är försedda med den här ikonen är avsedda att lösas med ett geometriprogram.

Repetition

Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra avsnitt. Först gås kursens innehåll igenom, ordnat enligt rubrikerna för delavsnitten. Sedan följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B, som innehåller uppgifter från hela kursen. Med önskan om inspirerande studier. Solf 24.1.2019 Författarna

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

Innehåll 1 Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Polynomekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4

Divisionsalgoritmen för polynom………………………………………………………………………… Delbarhet för polynom…………………………………………………………………………………… Polynomekvationer av högre grad……………………………………………………………………… Komplexa tal (fördjupning)………………………………………………………………………………

3 Numerisk lösning av en ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

14 21 30 37

Lösningarnas existens och antal………………………………………………………………………… 52 Halveringsmetoden……………………………………………………………………………………… 61 Iteration…………………………………………………………………………………………………… 66 Newtons metod………………………………………………………………………………………… 75 Fixpunktsmetoden……………………………………………………………………………………… 87

4 Numerisk derivering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Numerisk integrering

100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1 Rektangelmetoden……………………………………………………………………………………… 5.2 Trapetsformeln…………………………………………………………………………………………… 5.3 Simpsons formel………………………………………………………………………………………… 5.4 Integral……………………………………………………………………………………………………

111 121 132 144

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

2 Polynomekvationer……………………………………………………………………………………… 3 Numerisk lösning av en ekvation………………………………………………………………………… 4 Numerisk derivering……………………………………………………………………………………… 5 Numerisk integrering…………………………………………………………………………………… Flervalsuppgifter……………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie A……………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………………

154 155 156 156 158 161 162

Facit …………………………………………………………………………………………………………… 163 Sakregister ……………………………………………………………………………………………………… 178

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min 75 min

1 Algoritm 1

2 Polynomekvationer 6

2.1 2.2 2.3 2.4

Divisionsalgoritmen för polynom 2 Delbarhet för polynom 2 Polynomekvationer av högre grad 2 Komplexa tal (fördjupning)

1 1 1

3 Numerisk lösning av en ekvation 8

3.1 Lösningarnas existens och antal 3.2 Halveringsmetoden 3.3 Iteration 3.4 Newtons metod 3.5 Fixpunktsmetoden

1 1 1 1 1

2 1 1 2 2

4 Numerisk derivering 2

5 Numerisk integrering 7

5.1 Rektangelmetoden 5.2 Trapetsformeln 5.3 Simpsons formel 5.4 Integral

2 2 2 1

1 1 1 1

Repetition 1

Totalt 25

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

Algoritm

Vi känner redan till många matematiska algoritmer. Multiplikation med uppställning som vi lärde oss i grundskolan och de metoder vi använder för att lösa ekvationer är exempel på algoritmer. I kurs 11 lärde vi oss bland annat Euklides algoritm för att bestämma den största gemensamma faktorn. I det här kapitlet studerar vi själva idén med en algoritm medan vi i kapitel 2 lär oss divisionsalgoritmen för polynom. I kapitlen 3–5 studerar vi numeriska algoritmer. VI UNDERSÖKER

Hitta någon i klassen vars födelsedatum du inte känner till. Ta reda på personens födelsedatum (månad och dag) genom att enbart ställa frågor som kan besvaras med ja eller nej. Försök komma på en metod som leder till rätt svar med så få frågor som möjligt.

En algoritm är en metod i flera steg En algoritm är en detaljerad beskrivning av en flerstegsmetod som används för att lösa en viss typ av problem. Exempel på algoritmer: •• de metoder vi lärde oss i grundskolan för att använda räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division med upp ställning •• de metoder vi använder för att lösa ekvationer •• att rita en bisektris till en vinkel i en triangel och en mitt punktsnormal med hjälp av passare och linjal •• deriverings- och integreringsreglerna Om algoritmen beskrivs tillräckligt noggrant, kan den utföras rutin mässigt. I många fall kan algoritmen kodas till ett datorprogram och då utföras automatiskt.

EXEMPEL 1

Elin och William spelade följande spel: Elin valde ett heltal x i intervallet [0, 20]. Williams uppgift var att lista ut vilket heltalet var genom att ställa frågor som Elin kunde besvara med enbart ett ja eller ett nej. William löste uppgiften genom att använda den så kallade halverings metoden, som kan beskrivas med processdiagrammet till höger. Elin hade valt talet 13. Hur många frågor blev William tvungen att ställa för att komma till rätt svar?

Sätt a = 0 och b = 20. Beräkna medelvärdet c av talen a och b. Tillhör talet x intervallet [a , c]? Ja

Nej Sätt b = c.

Sätt a = c.

Vet du vad talet x är? Ja

Nej

Sluta.

LÖSNING

Följande diskussion utspelade sig. William: Inledningsvis är ändpunkterna 0 och 20. Deras medelvärde är 10. Ligger talet i intervallet [0,10]? Elin:

William: Nu är ändpunkterna 10 och 20. Deras medelvärde är 15. Ligger talet i intervallet [10,15]? Elin:

a c b 10 12,5 15

12,5 15 13,75

12,5 13,75 13

Nej.

William: Nu är ändpunkterna 12,5 och 15. Deras medelvärde är 13,75. Ligger talet i intervallet [12,5;13,75]? Elin:

Ja.

William: Nu är ändpunkterna 10 och 15. Deras medelvärde är 12,5. Ligger talet i intervallet [10;12,5]? Elin:

acb

Nej.

Ja.

William: I intervallet [12,5;13,75] finns bara ett heltal. Talet är alltså 13. William hittade talet som Elin valt efter fyra frågor. SVAR

fyra frågor 1 Algoritm

I grundskolan lärde vi oss att beräkna olika räkneoperationer med heltal med uppställning. Med samma algoritmer kan vi även beräkna räkneoperationer med polynom.

EXEMPEL 2

Beräkna med uppställning. a) (4 x 3 + x − 3) − (3 x 2 − 5 x + 2) b) (4 x 3 + x − 3)(3 x 2 − 5 x + 2)

LÖSNING

Observera!

Om termen för något gradtal saknas, kan vi skriva in den med koefficienten 0 eller lämna ett tomt utrymme.

4 x 3 + 0x 2 + x − 3 − 3x 2 − 5 x + 2 4 x 3 − 3x 2 + 6 x − 5

3x 2 4x3 ⋅ − 9x 2 3x 3 − 5 x 2 12 x 5 − 20 x 4 + 8 x 3 12 x 5 − 20 x 4 + 11x 3 − 14 x 2

1. Vi placerar likformiga temer nedanför varandra. 2. Vi subtraherar den övre termen med den nedre.

− 5x + 2 + x −3 + 15 x − 6 + 2x

1. Vi multiplicerar polynomet på första raden med termen –3, termen x och termen 4x3.

+ 17 x − 6

2. Vi placerar likformiga termer nedanför varandra. 3. Vi adderar de likformiga termerna.

SVAR

a) 4 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 5 b) 12 x 5 − 20 x 4 + 11x 3 − 14 x 2 + 17 x − 6

1 ALGORITM

Under årens gång har många algoritmer skapats för att underlätta räkneoperationer med multiplikation. I följande exempel bekantar vi oss med en av dem.

EXEMPEL 3

Använd japansk multiplikation för att beräkna 21 · 13. LÖSNING

Tilläggsinformation Du hittar instruktionsvideor för exempel 3 genom att söka på orden japanese multiplication eller vedic multiplication.

Vi framställer talet 21 = 2 · 10 + 1 genom att rita 2 ”tiotalsstreck” och 1 ”entalsstreck” som stigande linjer.

Vi framställer talet 13 = 1 · 10 + 3 genom att rita 1 ”tiotalsstreck” och 3 ”entalsstreck” som vågräta linjer.

”Entalsstrecken” skär varandra i tre punkter. Produktens ental är alltså 3.

”Tiotals- och entalsstrecken” skär varandra i sju punkter. Produktens tiotal är alltså 7.

3 7

”Tiotalsstrecken” skär varandra i två punkter. Produktens hundratal är alltså 2.

3 2

Med andra ord är 21 · 13 = 273. SVAR

273

1 Algoritm

Det binära talsystemet har basen två (Fördjupning)

I vårt vanliga decimala talsystem (10-systemet) framställs talen med hjälp av potenser av talet 10. Exempelvis Potenser av talet 2 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 Då vi förvandlar talet 107 till ett binärt tal börjar vi från talet 64, eftersom det är den största potensen av talet 2 som är mindre än 107.

107 = 1 · 102 + 0 · 101 + 7 · 100.

Datorer använder det binära talsystemet, dvs. 2-systemet, där talen framställs med hjälp av potenser av talet 2. Till exempel kan vi om vandla det decimala talet 107 till det binära talsystemet på följande sätt:

107 = 64 + 32 + 8 + 2 + 1

= 26 + 25 + 23 + 21 + 20 = 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20,

dvs. talet 107 skrivs i 2-systemet som 1101011.

I det binära talsystemet finns endast siffrorna 0 och 1. Tal i 2-systemet

Samma tal i 10-systemet

0 1 10 11 100 101 110

0 · 20 = 0 1 · 20 = 1 1 · 21 + 0 · 20 = 2 1 · 21 + 1 · 20 = 3 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 4 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 6

Det går att utföra räkneoperationer med binära tal med uppställning så länge vi kommer ihåg att i 2-systemet är 1 + 1 = 10. Addition: 1 1

1 0 011 + 1 011 11110

Produkt: 100 10 100 0000 1001 10110 ⋅

1 1 1

Vi utför räkneoperationer med binära tal i uppgifterna 20–23. 10

1 ALGORITM

Uppgifter Serie

8. Beskriv med ord en algoritm som löser

andragradsekvationen ax 2 + bx = 0, där a ≠ 0 och b ≠ 0.

1. Den här uppgiften görs parvis. Den ena

E1 av er ska tänka på ett heltal i intervallet [0,100]. Den andra får i uppgift att ta reda på vilket talet är genom att använda sig av halveringsmetoden i exempel 1. Upprepa testet några gånger. Hur många frågor krävdes det i medeltal?

2. Den här uppgiften görs parvis. En av er ska välja ett av sökorden i sakregistret längst bak i boken. Den andra ska nu försöka komma på vilket ord som valts genom att ställa frågor som kan besvaras med ett ja eller ett nej. Försök lösa problemet med så få frågor som möjligt.

3. Räkna med uppställning.

9. I grundskolan har du övat på så kallad geo metrisk konstruktion, där de enda tillåtna verktygen är penna, passare och linjal. Linjalen används endast för att dra raka streck. Alla mätningar görs med passaren. Repetera hur man geometriskt konstruerar a) en mittpunktsnormal till en given sträcka b) en normal till en linje genom en given punkt på linjen c) en normal till en linje genom en given punkt utanför linjen.

10. Använd geometrisk konstruktion för att

a) 3908 – 452 b) 3908 · 452

4. Räkna med uppställning.

E2 a) (6 x 2 − x + 4)– (3 x − 5) b) (6 x 2 − x + 4) ⋅ (3 x − 5)

bestämma a) den punkt på linjen s som ligger på samma avstånd från punkterna A och B s A B

5. Ett heltal är delbart med talet 9 om och

endast om dess siffersumma är delbar med talet 9. Undersök om talet är delbart med talet 9. a) 134 523 b) 870 241 921

b) medelpunkten i cirkeln ABC. B C

6. Beräkna med japansk multiplikation som i E3 exempel 3. a) 71 · 12 b) 32 · 14 c) 46 · 52.

7. Beskriv med ord en algoritm som löser

förstagradsekvationen ax + b = cx + d , där a ≠ 0 och c ≠ 0.

1 Algoritm

Serie

11. Den här uppgiften görs parvis. En av er

väljer en sida i den här boken. Den andra ska nu försöka komma på vilken sida som valts genom att ställa frågor som kan be svaras med ett ja eller ett nej. Försök lösa problemet med så få frågor som möjligt.

12. Räkna med uppställning.

a) ( x 3 − 4 x 2 − 6)– ( x 2 − 2 x + 7) b) ( x 3 − 4 x 2 − 6) ⋅ ( x 2 − 2 x + 7)

13. Beräkna med japansk multiplikation som i exempel 3. a) 34 · 21 b) 321 · 17 c) 63 · 214

14. Ett heltal är delbart med talet 3 om och

endast om dess siffersumma är delbar med talet 3. Ett heltal är delbart med talet 6 om och endast om det är delbart med talet 2 och 3. Undersök om talet är delbart med talet 6. a) 489 b) 27 612 c) 905 284

15. Bestäm den största gemensamma faktorn

för talen 124 och 90 genom att använda a) Euklides algoritm b) primtalsfaktorisering. Observera: Den här uppgiften kräver kun skap från kurs 11.

16. Beskriv med ord en algoritm som löser olikheten a) ax + b > 0, där a ≠ 0 b) ax 2 + bx + c > 0, där a ≠ 0.

1 ALGORITM

17. I grundskolan har du övat på så kallad geo metrisk konstruktion, där de enda tillåtna verktygen är penna, passare och linjal. Linjalen används endast för att dra raka streck. Alla mätningar görs med passaren. Repetera hur man geometriskt konstruerar a) en bisektris till en given vinkel b) en inskriven cirkel till en given triangel.

18. Konstruera geometriskt

a) en liksidig triangel b) en regelbunden sexhörning.

19. Ta reda på hur man geometriskt konstrue rar en regelbunden femhörning.

Det binära talsystemet har basen två

I uppgifterna 20–23 studerar vi det binära talsystemet, vars grunder vi gick igenom på sidan 10.

20. Förvandla det binära talet till 10-systemet. a) 111 b) 1001 c) 1110

21. a) Beräkna med uppställning summan och

produkten av de binära talen 10101 och 1101. b) Kontrollera räkneoperationerna i a-fallet genom att förvandla talen till det deci mala talsystemet.

22. Förvandla de decimala talen 63 och 51 till binära tal och beräkna deras summa och produkt med uppställning.

23. Ett tal i 2-systemet kan förvandlas till ett

tal i 2k-systemet genom att gruppera talets siffror i grupper med k siffror i varje och förvandla de talen till det nya talsystemet. Exempelvis är 2-systemets tal 1011110 = 1 01 11 10 samma som talet 1132 i 4-syste met. Förvandla det binära talet 111001001 till ett tal i a) 4-systemet b) 8-systemet.

1 Algoritm

Polynomekvationer

I det här kapitlet lär vi oss att faktorisera polynom med hjälp av division med trappan och att lösa polynomekvationer av högre grad genom att använda nollregeln för en produkt.

2.1 Divisionsalgoritmen för polynom VI UNDERSÖKER

CAS

1) Vi betraktar divisionen 20 : 5. a) Hur många gånger går talet 5 i talet 20? b) Hur mycket av talet 20 blir över? c) Vad är divisionens kvot och vad är resten? 2) Vi betraktar divisionen 23 : 5. a) Hur många gånger går talet 5 i talet 23? b) Hur mycket av talet 23 blir över? c) Vad är divisionens kvot och vad är resten? 3) Vi betraktar divisionen ( x 2 - 9) : ( x + 3).

Vad är divisionens kvot och vad är resten?

Vi börjar med att repetera olika begrepp relaterade till polynom beräkningar. Uttrycket a x n är ett monom i variabeln x då a ≠ 0 är ett reellt tal och n > 0 är ett heltal. Exponenten n anger monomets gradtal. Ett reellt tal, dvs. en konstant c, är ett monom av nollte graden. Bland annat är -3 x 5, 2 x och 13 exempel på monom. 5 En summa av monom kallas polynom. Polynomets gradtal bestäms enligt det största gradtalet av de monom som ingår i polynomet.

Exempelvis är •• -3 x 5 + 2 x + 13 ett femtegradspolynom i variabeln x 5 2 •• x + 13 ett förstagradspolynom i variabeln x 5 •• 13 ett nolltegradspolynom, dvs. ett konstant polynom.

Polynomet P(x) är delbart med polynomet B(x) om det existerar ett polynom Q(x) så att

P(x) = B(x)Q(x).

Polynomen B(x) och Q(x) utgör då faktorer i polynomet P(x). Exempelvis är polynomet 3 x 3 + 6 x delbart med polynomet x 2 + 2 eftersom 3 x 3 + 6 x = ( x 2 + 2) ⋅ 3 x . Polynomen x 2 + 2 och 3 x är alltså faktorer i polynomet 3x 3 + 6 x . Observera!

P( x ) B( x ) är definierat endast då B ( x ) ≠ 0. Uttrycket

Om polynomet B(x) är en faktor i polynomet P(x), kan det rationella P( x ) förenklas till ett polynom. uttrycket B( x )

3 ( x 2 + 2) ⋅ 3 x = 3 x för alla x. Exempelvis gäller 3 x 2 + 6 x = x +2 x2 + 2

2 . 1 D i v i s i o n s a lg o r i t m e n f ö r p o ly n o m

Vi utför några divisioner med trappan. Vi börjar med heltal och ser efter det på polynom. Vi utför divisionen 364 : 14.

1. Talet 14 går noll gånger i talet 3. Talet 14 går två gånger i 36 eftersom 2 ·14 = 28 < 36 och 3 ·14 = 42 > 36. 2. Vi skriver in talet 28 nedanför talet 36 och beräknar differensen 36 − 28 = 8.

4. Talet 14 går sex gånger i talet 84 eftersom 6·14 = 84.

026 364 −2 8 84 −8 4 0

3. Vi flyttar ner följande lediga tal, dvs. talet 4, så att den kommer bredvid talet 8.

Divisionen 364 : 14 går jämnt ut. Kvoten är 26 och resten är 0. Med andra ord är 367 = 26. 14

2 POLYNOME K VATIONER

5. Vi skriver in talet 84 nedanför talet 84 och beräknar differensen 84 − 84 = 0. 6. Resten är 0, dvs. divisionen går jämnt ut.

Vi utför divisionen 367 : 14. 1. Talet 14 går noll gånger i talet 3. Talet 14 går två gånger i 36 eftersom 2 ·14 = 28 < 36 och 3 ·14 = 42 > 36. 2. Vi skriver in talet 28 nedanför talet 36 och beräknar differensen 36 − 28 = 8.

4. Talet 14 går sex gånger i talet 87 eftersom 6·14 = 84 < 87 och 7·14 = 98 > 87.

026 14 3 6 7 −2 8 87 −8 4 3

3. Vi flyttar ner följande lediga tal, dvs. talet 7, så att den kommer bredvid talet 8.

Divisionen 367 : 14 går inte jämnt ut.

5. Vi skriver in talet 84 nedanför talet 87 och beräknar differensen 87 − 84 = 3. 6. Talet 3 < 14, dvs. vi avslutar divisionsalgoritmen (om vi inte vill ha ett närmevärde i formen av ett decimaltal). Resten är alltså 3 och divisionen går inte jämnt ut.

Kvoten är 26 och resten är 3.

367 = 26 + 3 = 26 3 14 14 14

Divisionens resultat kan också framställas som en så kallad delnings ekvation.

367 = 26 · 14 + 3 dividend = kvot · divisor + rest

2 . 1 D i v i s i o n s a lg o r i t m e n f ö r p o ly n o m

CAS

EXEMPEL 1 2 Använd trappan för att beräkna 6 x + 5 x - 4 , där x ≠ 1 . 2 2x - 1 LÖSNING

1. Placera dividenden under trappan och divisorn utanför till vänster. Ordna termerna enligt sjunkande gradtal. Om det i dividenden saknas någon term av ett visst gradtal, kan man antingen skriva in termen med en nolla som koefficient eller helt enkelt lämna ett tomrum på den platsen. Upprepa stegen 2–4 tills det på nedersta raden blir kvar ett polynom vars gradtal är mindre än divisorns gradtal. 2. Dividera den term i dividenden som har högst gradtal med den term i divisorn som har högst gradtal. 6x2 3x −−− = 3x 2x 2

+ 4 2x − 1 6x + 5x − 4 3. Multiplicera − 6x 2 − 3x divisorn med termen 3x. 8x − 4 3x(2x − 1) = 6x2 − 3x. − 8x − 4 4. Subtrahera polynomet 0 6x2 + 5x − 4 med polynomet 6x2 − 3x. Skriv differensen på en ny rad.

5. Dividera den term i differensen som har högst gradtal med den term i divisorn som har högst gradtal. 8x = 4 −−− 2x 6. Multiplicera divisorn med termen 4. 4(2x − 1) = 8x − 4. 7. Subtrahera polynomet 8x − 4 med polynomet 8x − 4.

8. Resten är 0. Divisionen går jämnt ut.

6 x62x+2 5+x5-x 4- = 4 3=x3+x 4, 1 .1 kun + 4, kunx ≠x ≠ Vi får alltså att då 2 x2-x1- 1 2 2 SVAR

3x + 4

2 P O LY N O M E K VAT I O N E R

CAS

EXEMPEL 2

a) Undersök med hjälp av trappan om polynomet P ( x ) = x 5 - 3 x 3 + x - 4 är delbart med polynomet B( x ) = x 2 + x + 2 . b) Vad är resultatet av divisionen? LÖSNING

a) Vi delar polynomet P med polynomet Q med hjälp av trappan. x3 - x2 x 2 + x + 2 x5 - x5 + x 4 - x4 - - x4 -

+ -

4x + 6 3 3x 2x 3 5x 3 x3 4 x 3 + 2x 2 4x3 - 4x 2 6x 2 - 6x 2

Observera!

+ x - 4

5 1. x 2 = x 3 x

+ x - 4

4 2. - x2 = - x 2 x

+ + +

x 8x 9x 6x 3x

- 4 - 4 + 12 - 16

Polynomet P är delbart med polynomet B exakt då resten i divisionen P är 0. B

-4x3 = -4x x2

2 4. 6 x2 = 6 x

5. Gradtalet för polynomet 3x - 16 är mindre än grad talet för divisorn, dvs. vi avslutar divisionsalgoritmen.

Resten är 3x - 16, vilket inte alltid är noll. Med andra ord är polynomet P inte delbart med polynomet B. b) Resultatet av divisionen är

P( x ) = x 3 - x 2 - 4 x + 6 + 32 x - 16 . B( x ) x +x+2

SVAR

a) inte delbart b)

P( x ) = x 3 - x 2 - 4 x + 6 + 32 x - 16 B( x ) x +x+2

Resultatet av divisionen i exempel 2 kan också framställas som en delningsekvation för polynom.

P ( x ) = ( x 3 - x 2 - 4 x + 6) ⋅ ( x 2 + x + 2) + 3 x - 16

dividend = kvot · divisor + rest

2 . 1 D i v i s i o n s a lg o r i t m e n f ö r p o ly n o m

Uppgifter Serie

24. Utför divisionen med trappan. Vad är resten? a) 621 b) 629 23 23

25. Använd trappan för att bestämma E1

6x 2

- 11x - 10 , då x ≠ - 2 . 3 3x + 2

26. Använd trappan för att bestämma 3 x 3 + 7 x 2 + x - 2 , då x ≠ -2. x+2

27. Använd trappan för att dividera polynomet 6 x 5 - 10 x 4 + 14 x 3 - 18 x 2 + 30 x - 42 med polynomet 3 x 2 - 5 x + 7.

28. Undersök med hjälp av trappan om

E2 polynomet x 4 + 14 x 2 + 45 är delbart med polynomet a) x 2 + 5 b) x 2 + 2 x - 5.

29. Är polynomet 3t 4 - 5t 2 + 9 delbart med polynomet t + 2?

30. Anta att P ( x ) = 5 x 3 - 2 x 2 + 7 , Q ( x ) = x + 1 och T ( x ) = x - 1. Är polynomet P delbart med polynomet a) Q b) T ?

31. Använd trappan för att bestämma 72 x - 27 x 2 + 135 x 4 . 4 + 3x 2 + x

32. Bestäm konstanten a så att polynomet P ( x ) = 6 x 3 - 12 x 2 + a är delbart med polynomet a) 2x + 8 b) 3 x - 6 .

33. Förenkla uttrycket med hjälp av trappan och beräkna sedan gränsvärdet. 6 2 a) lim x - 21 b) lim 3 x +26 x - 24 x →1 1 - x x →2 x -4

2 P O LY N O M E K VAT I O N E R

Serie

34. Använd trappan för att bestämma 6 x 3 - 5 x 2 - 14 x + 12 . 2x - 3

35. Undersök med hjälp av trappan om poly

nomet 6 x 5 - 2 x 3 + x 2 - 5 är delbart med polynomet a) 2 x 3 + 5 b) x - 1 c) 6.

36. Använd trappan för att bestämma

3 5 3 a) x - 5 x + 4 b) 8 x - 26 x + 9 . 2-x 2x - 5

37. Då polynomet P delas med polynomet

x 2 + 2 får vi kvoten 7 x 2 - 8 och resten 19. Bestäm polynomet P.

38. Bestäm konstanten a så att divisionen 42 x 3 + ax 2 + 23 x - 3 går jämnt ut. 7x - 1

39. Polynomet P (t ) = t 2017 + t + 1 delas med polynomet t 2 - 1. Vad är resten?

40. Bestäm konstanterna a och b så att divisio

4 3 2 nen 8 x - 2 x 2 + 8 x + ax + b går jämnt ut. 4x - x + 2

41. Använd trappan för att bestämma 15 x 2 - 14 y 2 - 29 xy + 3 x - 7 y . 3x - 7 y

42. Bestäm gränsvärdet.

3 2 a) lim 6 x + 18 x - 10 x - 30 +6 2 x x →-3

4 x 3 + 3x 2 b) lim 7 x + 10 x →-1 x2 + x

43. Bestäm konstanten a så att gränsvärdet existerar. Vad är då gränsvärdet? 4 3 a) lim 6 x2 - a b) lim 12 x2 + ax x →2 x - 4 x →3 x - 9