Ma13 Lång Blädderex

EXEMPEL 3 SCHILDTS & SĂ–DERSTRĂ–MS

Bestäm funktionens nollställen och rita grafen till funktionen. a) f (x, y) = x2 + y2 - 4x - 5 b) g (x, y) = sin( y - 2 x )

Ma13 LĂ–SNING

LĂ…NG

a) Vi skriver ekvationenf (x, y) = 0 iFortsättningskurs en südan form att vi kan i se den punktmängd ekvationen bestämmer i xy­planet.

differential- och integralkalkyl

f (x, y) = 0

x2 + y2 - 4x - 5 = 0

en av

Vi kvadratkompletterar fÜr att se om det är früga om ekvationen fÜr en cirkel.

x2 - 4x + y2 = 5

unkt är sü är

x 2 - 4 x + 22 +

r2.

y2

= 5 + 22

Vi kan även kvadratkomplettera med räknaren.

(x - 2)2 + (y - 0)2 = 9

Mängden av nollställen fÜr funktionen f är den cirkel i xy­planet som har medelpunkten (2, 0) och radien 9 = 3.

a mellan och

Vi ritar grafen till funktionen f. z

z = f(x, y) 1 1

1

y

1

y

x

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 13, Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe, Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman (den finska upplagan) och Jukka Iivarinen, Vitale (den svenska upplagan) Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2019 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2019 Jan-Anders Salenius och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4848-0

Till dig som använder boken Ma13 Lång Under fortsättningskursen i differential- och integralkalkyl fördjupar vi grunderna ur kurserna 6–9 i derivering och integralkalkyl. Vi lär oss undersöka gränsvärden i oändligheten för funktioner och talföljder, samt komplettera våra färdigheter i integralkalkyl. Vi bekantar oss också med begreppen invers funktion och funktioner med två variabler.

Bokens uppbyggnad Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som motiveras och samlas till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

EXEMPEL 1

CAS

I boken finns exempel som är avsedda att lösas utan symbolisk räknare, kalkyl­ program eller geometriprogram.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda olika tekniska hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter, som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. De uppgifter som är avsedda att lösas utan symbolisk räknare, kalkylprogram eller geometriprogram är markerade med bakgrundsfärg.

2. De uppgifter där alla tekniska hjälpmedel är tillåtna saknar bakgrundsfärg.

E1 Hänvisningarna till exemplen hjälper dig när du räknar.

De uppgifter som är försedda med en geometriikon löser du med hjälp av geometriprogram.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar: först går du genom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna och efter det följer flervalsuppgifter samt uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Helsingfors 1.6.2019 Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Kontinuitet och deriverbarhet 1.1 Gränsvärde och kontinuitet hos funktioner…………………………………………………… 6 1.2 Deriverbarhet hos funktioner………………………………………………………………… 17 1.3 Invers funktion………………………………………………………………………………… 30

2 Generaliserade integraler 2.1 Gränsvärden i oändligheten…………………………………………………………………… 44 2.2 Generaliserad integral………………………………………………………………………… 64 2.3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning…………………………………………………………… 77

3 Talföljder och serier 3.1 Talföljd………………………………………………………………………………………… 90 3.2 Gränsvärde för en talföljd……………………………………………………………………… 98 3.3 Serie…………………………………………………………………………………………… 108 3.4 Geometrisk serie……………………………………………………………………………… 119

4 Funktioner med två variabler 4.1 Funktioner med två variabler………………………………………………………………… 130 4.2 Partiell derivata………………………………………………………………………………… 140

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

1 Kontinuitet och deriverbarhet………………………………………………………………… 150 2 Generaliserade integraler……………………………………………………………………… 151 3 Talföljder och serier…………………………………………………………………………… 152 4 Funktioner med två variabler………………………………………………………………… 154 Flervalsuppgifter…………………………………………………………………………………… 155 Uppgiftsserie A…………………………………………………………………………………… 158 Uppgiftsserie B…………………………………………………………………………………… 159 Facit…………………………………………………………………………………………………… 160 Sakregister…………………………………………………………………………………………… 183

4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell 45 min

75 min

1 Kontinuitet och deriverbarhet

8

5

1.1 Gränsvärde och kontinuitet hos funktioner 1.2 Deriverbarhet hos funktioner 1.3 Invers funktion

2 3 3

1 2 2

2 Generaliserade integraler

8

5

2.1 Gränsvärden i oändligheten 2.2 Generaliserad integral 2.3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning

3 3 2

2 2 1

3 Talföljder och serier

6

4

3.1 Talföljd 3.2 Gränsvärde för en talföljd 3.3 Serie 3.4 Geometrisk serie

1 2 1 2

1 1 1 1

4 Funktioner med två variabler

4

2

4.1 Funktioner med två variabler 4.2 Partiell derivata

2 2

1 1

Repetition

2 1

Totalt

28

17

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Kontinuitet och deriverbarhet I detta kapitel repeterar och kompletterar vi begrepp som har att göra med gränsvärde, kontinuitet och deriverbarhet för en funktion. Vi bekantar oss också med det nya begreppet invers funktion.

1.1 Gränsvärde och kontinuitet hos funktioner VI UNDERSÖKER

Besvara frågorna med hjälp av graferna. a) Vilket värde har funktionen f för x = 2? b) Har funktionen f ett gränsvärde för x = 3? c) Är funktionen f kontinuerlig för x = 3?

1) 2) y

y

y = f(x)

1

x

y = f(x)

1

x 1

1

3) 4) y y = f(x)

y

y = f(x) 1

x 1

6

1

x 1

Vi kan undersöka kontinuiteten med hjälp av en graf Vi repeterar begrepp från kurs 6 som har att göra med gränsvärde och kontinuitet.

Anta att funktionen f är definierad i en omgivning av stället a.

I punkterna 1–3 repeterar vi när en funktion har ett gränsvärde för x = a.

1) Funktionen f har ett vänstergränsvärde b för x = a om funktions­ värdet närmar sig b när variabelvärdet närmar sig a från vänster.

Då betecknar vi

lim f ( x ) = b.

x →a -

2) Funktionen f har ett högergränsvärde b för x = a om funktions­ värdet närmar sig b när variabelvärdet närmar sig a från höger.

Då betecknar vi

Observera!

Närmandet bör vara sådant att funktionsvärdet kan fås så nära b som möjligt bara man väljer variabelvärdet tillräckligt nära talet a.

lim f ( x ) = b.

x →a +

3) Funktionen f har ett gränsvärde b om funktionsvärdet närmar sig b när variabelvärdet närmar sig a från båda sidorna, dvs. när de ensidiga gränsvärdena är lika stora.

lim f ( x ) = b ⇔

x →a

lim f ( x ) = lim f ( x ) = b

x →a -

x →a +

På bilden bredvid gäller

y

•• lim f ( x ) = 1

y = f(x)

x →2-

•• lim f ( x ) = 1 x → 2+

1

x

•• lim f ( x ) = 1.

1

x →2

På bilden bredvid gäller

y

y = f(x)

•• lim f ( x ) = 3 x →2-

•• lim f ( x ) = 1 x → 2+

•• funktionen f saknar gränsvärde för x = 2.

1

x 1

1.1 G r ä n s vä r d e o c h k o n t i n u i t e t h o s f u n k t i o n e r

7

I punkterna 4–6 repeterar vi när en funktion är kontinuerlig för x = a.

4) Funktionen f är kontinuerlig från vänster för x = a om funktio­ nens vänstergränsvärde är lika med funktionens värde, dvs. om

lim f ( x ) = f (a ).

x →a -

5) Funktionen f är kontinuerlig från höger för x = a om funktio­ nens högergränsvärde är lika med funktionens värde, dvs. om

lim f ( x ) = f (a ).

x →a +

6) Funktionen f är kontinuerlig för x = a om funktionens gräns­ värde för x = a är lika med funktionens värde för x = a, dvs.

Observera!

Om funktionen är kontinuerlig för x = a så är dess graf sam­ manhängande vid detta ställe.

I punkterna 7–9 repeterar vi när en funktion är kontinuerlig i en mängd.

lim f ( x ) = f (a ).

x →a

För funktionen på bilden bredvid gäller •• kontinuerlig från vänster för x = 2 •• kontinuerlig från höger för x = 2 •• kontinuerlig för x = 2.

y

y = f(x)

1

x 1

7) En funktion är kontinuerlig i intervallet I om den är kontinuerlig i varje inre punkt i intervallet och ensidigt kontinuerlig vid ändpunkterna till intervallet I. 8) En funktion är kontinuerlig överallt om den är kontinuerlig i hela den reella talmängden R.

Observera!

Beteckningen f : R → R betyder att •• definitionsmängden för funktionen f är hela den reella talmängden R •• målmängden för funktionen f är hela den reella talmäng­ den R, dvs. värdemängden för funktionen f är en delmängd av den reella talmängden.

8

9) En funktion är kontinuerlig om den är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd. y

På bilden bredvid består grafen till funktionen f : R → R av två strålar.

Funktionen är

y = f(x)

1

x 1

•• kontinuerlig från vänster för x = 2 •• kontinuerlig i intervallet ]-∞, 2] dvs. när x ≤ 2 •• kontinuerlig i intervallet ]2, ∞[ dvs. när x > 2.

Observera att funktionen f inte är kontinuerlig i intervallet [2, ∞[, eftersom den inte är kontinuerlig från höger för x = 2.

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

EXEMPEL 1

Observera!

Beteckningen f : ]-2, 4] → R betyder att •• definitionsmängden för funktionen f är intervallet ]-2, 4] •• värdemängden för funktio­ nen f är en delmängd av den reella talmängden.

På bilden bredvid finns grafen till funktionen f : ]-2, 4] → R. Avgör utifrån grafen

y

y = f(x)

a) om funktionen har ett vänstergränsvärde, högergränsvärde eller gränsvärde för x = 1

1

b) om funktionen är kontinuerlig från vänster, kontinuerlig från höger eller kontinuerlig för x = 1

x 1

c) om funktionen är kontinuerlig i intervallet ]-2, 1[, i intervallet [1, 4] eller i intervallet ]-2, 4].

LÖSNING

a) Funktionens vänstergränsvärde för x = 1 är lim f ( x ) = 2. x →1-

Funktionens högergränsvärde för x = 1 är lim f ( x ) = 3.

Eftersom de ensidiga gränsvärdena är olika har funktionen inget gränsvärde för x = 1.

x →1+

b) Funktionen är inte kontinuerlig från vänster för x = 1 eftersom lim f ( x ) = 2 men f (1) = 3. x →1-

Funktionen är kontinuerlig från höger för x = 1 eftersom lim f ( x ) = 3 och f (1) = 3.

Funktionen är inte kontinuerlig för x = 1 eftersom funktionen inte har ett gränsvärde för x = 1.

x →1+

c) Funktionen är kontinuerlig i intervallet ]-2, 1[ eftersom den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet.

y

y = f(x) 1

x 1

]−2, 1[

[1, 4]

Funktionen är kontinuerlig i intervallet [1, 4], eftersom den är kontinuerlig i varje inre punkt i intervallet samt ensidigt kontinuerlig i intervallets ändpunkter 1 och 4.

Funktionen är inte kontinuerlig i intervallet ]-2, 4] eftersom den inte är kontinuerlig för x = 1.

SVAR

a) har vänster- och högergränsvärde för x = 1 b) är kontinuerlig från höger för x = 1 c) är kontinuerlig i intervallen ]-2, 1[ och [1, 4]

1.1 G r ä n s vä r d e o c h k o n t i n u i t e t h o s f u n k t i o n e r

9

EXEMPEL 2

Rita grafen till funktionen. Bestäm de (bredaste) intervallen på talaxeln i vilka funktionen är kontinuerlig.

2 a) f ( x ) = 6 - 2 x b) f ( x ) = x - 2 x 3x - 6 LÖSNING

Observera!

Under tidigare kurser har vi konstaterat att •• potensfunktioner •• polynomfunktioner •• rationella funktioner •• rotfunktioner •• exponentialfunktioner •• logaritmfunktioner •• absolutbeloppsfunktioner •• trigonometriska funktioner samt funktioner som är kom­ binationer av ovan nämnda funktioner är kontinuerliga i sin definitionsmängd.

a) Vi ritar grafen till funktionen f ( x ) = 6 - 2 x med räknaren.

Funktionen är definierad när

6 - 2x ≥ 0

x ≤ 3.

1

y 1

x

Funktionen är inte definierad när 3x - 6 = 0 x = 2.

Funktionen är kontinuerlig i intervallen ]-∞, 2[ och ]2, ∞[.

y = f(x)

1

Observera att grafen har ett hål vid x = 2 fastän detta inte syns i räknaren. y

y = f(x)

1

x 1

SVAR

a) ]-∞, 3]

10

x 1

Funktionen är kontinuerlig i intervallet ]-∞, 3].

För alla övriga värden på x är funktionen definierad.

y = f(x)

Kvadratroten är definierad för icke-negativa tal

b) Vi ritar grafen till funktionen 2 f ( x ) = x - 2 x med räknaren.

3x - 6

y

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

b) ]-∞, 2[ och ]2, ∞[

Kontinuiteten motiveras med hjälp av gränsvärdet Även om vi grafiskt kan undersöka egenskaper hos funktioner bör vi minnas att motivera egenskaperna med stöd av definitioner.

CAS

EXEMPEL 3

Visa att funktionen f ( x ) = är kontinuerlig för x = 2.

x + 1, när x < 2 1 − x + 4, när x ≥ 2 2

LÖSNING

Definition Funktionen f är kontinuerlig för x = a om lim f ( x ) = f ( a ) x →a

dvs. om lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a ).

x →a -

x →a+

Vi bör visa att vänstergränsvärdet för x = 2 hos funktionen är lika med funktionsvärdet för x = 2.

1) När x = 2 är funktionens uttryck f ( x ) = - 1 x + 4.

2 Då är f (2) = - 1 ⋅ 2 + 4 = 3.

2 2) Till vänster om x = 2 är f ( x ) = x + 1.

Då är lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 2 + 1 = 3. x →2-

x →2-

3) Till höger om x = 2 är f ( x ) = - 1 x + 4.

2 1 Då är lim f ( x ) = lim ( - x + 4) = - 1 ⋅ 2 + 4 = 3.

2 2 x → 2+ x → 2+ Eftersom de ensidiga gränsvärdena för x = 2 är lika stora som funktionsvärdet för x = 2 är funktionen f kontinuerlig för x = 2. ☐

1.1 G r ä n s vä r d e o c h k o n t i n u i t e t h o s f u n k t i o n e r

11

CAS

EXEMPEL 4

x2 - 9 Bestäm gränsvärdet för funktionen f ( x ) = för x -3 a) -3 b) 3.

Observera!

LÖSNING

Funktionen f är en samman­ satt funktion av kontinuerliga funktioner så den är kontinuer­ lig för de variabelvärden som ingår i dess definitionsmängd.

Nollstället för nämnaren x - 3 är x = 3. Funktionen är definierad och kontinuerlig när x ≠ 3.

Definition av absolutbelopp

b) Funktionen f är inte definierad för x = 3 så vi måste undersöka de ensidiga gränsvärdena.

a =

a, när a ≥ 0 − a , när a < 0

a) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x = -3. ( -3)2 - 9 Då är gränsvärdet lim f ( x ) = f ( -3) = = 0 = 0.

-3 - 3 -6 x →-3

När x → 3 - så är x 2 < 9 dvs. x 2 - 9 < 0.

Då är x 2 - 9 = -( x 2 - 9).

Vi beräknar vänstergränsvärdet för funktionen f. x2 - 9 x →3 - x - 3 -( x 2 - 9) = lim x -3 x →3 -( x + 3) ( x - 3) = lim x →3 ( x - 3)

(a2 - b2) = (a + b)(a - b)

= lim ( - x - 3) = -3 - 3 = -6

Vänstergränsvärdet är -6.

lim

x →3 -

12

1 KONTINUITET OCH DERIVER B A RHET

När x → 3 + så är x 2 > 9 dvs. x 2 - 9 > 0. Då är x 2 - 9 = x 2 - 9 .

Vi beräknar högergränsvärdet för funktionen f. x2 - 9 x →3+ x - 3 2 = lim x - 9 x →3+ x - 3 ( x + 3) ( x - 3) = lim x →3+ ( x - 3)

(a2 - b2) = (a + b)(a - b)

= lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6

Högergränsvärdet är 6.

lim

x →3+

Eftersom de ensidiga gränsvärdena är olika stora saknar funktionen gränsvärde för x = 3.

SVAR

a)

lim f ( x ) = 0 b) gränsvärdet lim f ( x ) saknas

x →-3

x →3

Grafisk kontroll y

y = f(x)

Vi kan rita grafen till funktionen med räknaren.

3

x 3

1.1 G r ä n s vä r d e o c h k o n t i n u i t e t h o s f u n k t i o n e r

13

Uppgifter Serie

3. På bilden ser du grafen till funktionen

I

1. Repetera teorin om gränsvärde på sidan 7. Har funktionen på bilden ett vänster­ gränsvärde eller gränsvärde för x = 1? a) y y = f(x)

1

x 1

b)

y y = g(x)

E1 f : [-2, 3[ → R. Besvara frågorna utifrån grafen. a) Har funktionen ett vänstergränsvärde, högergränsvärde eller gränsvärde för x = 1? b) Är funktionen kontinuerlig från vänster, kontinuerlig från höger eller kontinuer­ lig för x = 1? c) Är funktionen kontinuerlig i intervallet [-2, 1], i intervallet ]1, 3[ eller i inter­ vallet [-2, 3[. y y = f(x)

1

x 1

1

c)

x 1

y

y = h(x) 1

x 1

d)

y

1

y = i(x) x 1

4. Rita grafen till funktionen f. Bestäm de

E2 (bredaste) intervallen på talaxeln i vilka funktionen är kontinuerlig. a) f ( x ) = x + 1 b) f ( x ) = x 2 + 1 c) f ( x ) = 2 d) f ( x ) = 2 x + 2 x +1 x +1

5. Bestäm definitionsmängden för funktionen f. Är funktionen kontinuerlig? Är den ändå kontinuerlig överallt?

1 , när x ≠ 0 a) f ( x ) = 1 b) f ( x ) = x x 3, när x = 0

2. Repetera teorin om kontinuitet på sidan

8. Vi undersöker fortfarande graferna i uppgift 1. Är funktionen kontinuerlig från vänster, kontinuerlig från höger eller konti­ nuerlig för x = 1? a) f (x) b) g (x) c) h(x) d) i(x)

14

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

6. Visa att funktionen E3

x 2 + 3, när x < 0 −5 x + 3, när x ≥ 0 är kontinuerlig för x = 0. f (x ) =

7. Undersök om funktionen f är kontinuerlig för x = –1. Motivera.

4 x + 5, när x < −1 a) f ( x ) = − x 2 + 2, när x ≥ −1 b) f ( x ) =

Serie

II

11. På bilden ser du grafen till en funktion

f : R → R och grafen består av två strålar, en sträcka och en punkt. Har funktionen ett gränsvärde för och är den kontinuerlig för a) 0 b) 2 c) 4?

4 x + 5, när x < −1 − x 2 + 2, när x > −1

8. Funktionen f : R → R är definierad med

y

2 uttrycket f ( x ) = x - 16 , när x ≠ 4 . x-4 Bestäm f (4) så att funktionen blir kontinuerlig överallt.

y = f(x) 1

9. Undersök om funktionen har ett gräns­

x 1

E3 värde för x = 0.

E4

a) f ( x ) = x b) f ( x ) =

x x

2 c) f ( x ) = x x

10. Bestäm gränsvärdet hos funktionen f (x ) =

x 2 - 6x för a) 0 b) 6. x -6

12. Studera funktionen i uppgift 11.

Är funktionen a) kontinuerlig från vänster för x = 4 b) kontinuerlig från höger för x = 4 c) kontinuerlig i intervallet ]2, 4[ d) kontinuerlig i intervallet ]2, 4] e) kontinuerlig i intervallet ]-∞, 2[ f) kontinuerlig i intervallet [4, ∞[?

13. Rita grafen till funktionen f. Bestäm de

(bredaste) intervallen på talaxeln i vilka funktionen är kontinuerlig. a) f ( x ) = 1 b) f ( x ) = 23 x +3 x +1 1 c) f ( x ) = 3 x - 1 d) f ( x ) = 3x - 1

14. Visa att funktionen

x 2 − 1 , när x ≠ −1 f (x ) = x + 1 −2, när x = −1 är kontinuerlig för x = -1.

1.1 G r ä n s vä r d e o c h k o n t i n u i t e t h o s f u n k t i o n e r

15

15. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen x + 2, när x ≤ −1 2 f ( x ) = ax + bx , när −1 < x ≤ 8 10, när x > 8 är kontinuerlig.

16. En funktions diskontinuitetsställen är

variabelvärden för vilka funktionen är defi­ nierad men i vilka den inte är kontinuerlig.

Har funktionen f några diskontinuitets­ ställen? Motivera. a) f ( x ) = 2 x − 5, när x < 3 − x + 2, när x > 3 b) f ( x ) =

2 x − 5, när x < 3 − x + 2, när x ≥ 3

c) f ( x ) =

2 x − 5, när x < 3 − x + 4, när x ≥ 3

17. Ge ett exempel på en funktion f : [0, 2] → R som har ett diskontinuitetsställe och som a) är strängt växande b) saknar största värde.

16

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

18. Bestäm gränsvärdet hos funktionen f (x ) =

x2 - 4 för a) -2 b) 2. x+2

19. Bestäm lim

x →0

x2 -1 -1 x

. [SE H-1982 lång]

20. Anta att funktionen f : R → R är

x sin 1 , när x ≠ 0 x 0, när x = 0.

Rita grafen till funktionen. Är funktionen kontinuerlig för x = 0? Motivera. f (x ) =

21. För funktionen f : R\{0}→ R gäller att

f (x) f (-x) = -1 för alla x ≠ 0. a) Visa att funktionen f saknar gränsvärde för x = 0. b) Ge ett exempel på en sådan funktion.

22. För funktionen f : R → R gäller att

f (a + b) = f (a) + f (b) för alla a och b. a) Visa att f (0) = 0. b) Visa: Om funktionen är kontinuerlig för x = 0 så är den kontinuerlig överallt. c) Ge ett exempel på en sådan funktion.

1.2 Deriverbarhet hos funktioner VI UNDERSÖKER

1) Rita grafen till funktionen f ( x ) = ( x - 2)2 . a) Sätt ut en rörlig punkt på grafen och rita en tangent till grafen genom punkten. Bestäm tangentens riktningskoefficient.

y

y = f(x) 1

1

x

1

b) Undersök vad som händer med tangentens riktningskoefficient när punkten närmar sig x = 2. c) Förstora grafen till funktionen vid x = 2 om och om igen. Vad händer med grafen? y

2) Undersök på motsvarande sätt grafen till funktionen g ( x ) = x - 2

för x = 2.

y = g(x)

1

x 1

3) Undersök på motsvarande sätt grafen 3

till funktionen h( x ) = x - 2

för x = 2.

y

y = h(x)

1

x 1

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

17

Vi undersöker deriverbarheten med hjälp av differenskvoten Tangent till en graf Tangenten till grafen för x = a är en linje som tangerar grafen i punkten (a, f (a)).

Vi repeterar först begreppet derivata med hjälp av grafer.

Derivatan för funktionen f för x = a är lika med riktningskoefficienten för tangenten till grafen i x = a och den betecknas f ′(a ) .

y

f(a)

(a, f(a)) x

Funktionen är deriverbar för x = a (alternativt uttryckssätt: ”i punkten a”) om derivatan i x = a för funktionen existerar.

a

Funktionen f på bilden bredvid är deriverbar för x = 3 och

y

y = f(x)

k=2

f ′(3) = 2 .

1

1

x

1

Funktionen g på bilden bredvid har en spets vid x = 3 och därmed kan vi inte rita in en entydig tangent till grafen vid detta ställe.

Funktionen är alltså inte deriverbar för x = 3.

y

y = g(x)

1

x 1

Hos funktionen h på bilden bredvid är tangenten till grafen för x = 3 lodrät. Lodräta tangenter saknar riktningskoefficient.

Funktionen är därför inte deriverbar för x = 3.

18

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

y 1

y = h(x) 1

x

EXEMPEL 1

Observera!

Beteckningen f : R\{3} → R betyder att •• definitionsmängden för funktionen f är de reella talens mängd förutom talet 3 •• funktionsvärdena för funk­ tionen f är reella tal

På bilden ser vi grafen till en funktion f : R\{3} → R. Avgör utifrån grafen om funktionen är deriverbar för a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7.

y

y = f(x)

1

x 1

LÖSNING

y

a) Vi kan rita en tangent till grafen för x = 1 på ett entydigt sätt.

y = f(x)

Funktionen f är deriverbar för x = 1.

1

x 1 y

b) Vi kan rita en tangent till grafen för x = 2 på ett entydigt sätt.

y = f(x)

Funktionen f är deriverbar för x = 2.

1

x 1

c) Funktionen är inte definierad för x = 3 så vi kan alltså inte rita en tangent till grafen för x = 3.

Funktionen f är därför inte deriverbar för x = 3.

Observera!

När vi studerar graferna får vi en uppfattning om att ifall en funktion är deriverbar för ett visst variabelvärde så är den även kontinuerlig för detta värde. Vi bevisar på sidan 22 att slutsatsen är korrekt.

d) Funktionen har en spets vid x = 4 och därmed kan vi inte rita in en entydig tangent till grafen vid detta ställe.

Funktionen är inte deriverbar för x = 4. e) Funktionen f är diskontinuerlig för x = 7 och därmed kan vi inte rita in en entydig tangent till grafen vid detta ställe.

Funktionen är inte deriverbar för x = 7.

SVAR

a) deriverbar

b) deriverbar

d) inte deriverbar

e) inte deriverbar

c) inte deriverbar

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

19

Vi repeterar nu den exakta definitionen av begreppet derivata.

Definitionen kan skrivas på två alternativa sätt och du kan fritt välja vilket sätt du använder när du gör uträkningar.

Derivatan för funktionen f i x = a är f (a + h ) - f (a ) f ′(a ) = lim ,

h h→ 0 ifall detta gränsvärde existerar.

y

(a + h, f(a + h))

(a, f(a))

h a

Vi kan även ange definitionen i formen f ( x ) - f (a ) f ′(a ) = lim .

x -a x →a

y

x

a+h

(x, f(x))

(a, f(a))

x−a a

x

x

f (a + h ) - f (a ) f ( x ) - f (a ) och kallar vi x -a h differenskvoten för funktionen f i x = a.

Uttrycken

Följande begrepp har att göra med derivatan: •• En funktion är deriverbar överallt om den är deriverbar för alla reella tal i mängden R. •• En funktion är deriverbar om den är deriverbar i hela sin definitions­mängd.

20

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

CAS

EXEMPEL 2

Bestäm derivatan för funktion f ( x ) = x 2 med hjälp av derivatans definition.

LÖSNING

Vi kan fritt välja formen för derivatans definition.

Metod 1 Vi bildar differenskvoten för funktionen f ( x ) = x 2 i x = 5.

Definition f ′ ( a ) = lim

h→0

f ( a + h) - f ( a ) h

f (a + h ) − f (a ) f (5 + h) − f (5) = h h (5 + h )2 − 5 2 25 + 10h + h 2 − 25 = = h h 2 h (10 h ) + = 10h + h = h h = 10 + h , när h ≠ 0

a = 5 och f (x) = x2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Vi beräknar differenskvotens gränsvärde. f ′(5) = lim (10 + h ) = 10 h→ 0

Metod 2 Vi bildar differenskvoten för funktionen f ( x ) = x 2 i x = 5.

Definition f ( x ) - f (a) f ′ ( a ) = lim x-a x →a

f ( x ) − f (a ) f ( x ) − f (5) = x −a x −5 2 2 ( x + 5) ( x − 5) = x −5 = x −5 ( x − 5)

a = 5 och f (x) = x2 a2 - b2 = (a + b)(a - b)

= x + 5, när x ≠ 5

Vi beräknar differenskvotens gränsvärde. f ′(5) = lim ( x + 5) = 10 x →5

SVAR

f ′(5) = 10

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

21

Sats

En deriverbar funktion är kontinuerlig

Om en funktion är deriverbar i x = a så är den kontinuerlig för x = a.

BEVIS

Definition Funktionen f är kontinuerlig för x = a om lim f ( x ) = f ( a ).

Om funktionen f är deriverbar för x = a så existerar gränsvärdet f ( x ) - f (a ) f ′(a ) = lim .

x -a x →a Vi bör visa att det av detta följer att lim f ( x ) = f (a ). x →a

x →a

Anta att x ≠ a . Då är

f ( x ) - f (a ) =

och vi får

f (x ) =

f ( x ) - f (a ) ⋅ ( x - a ), x -a

Observera att x - a = 1. x -a

f ( x ) - f (a ) ⋅ ( x - a ) + f (a ). x -a

Vi beräknar funktionens gränsvärde för x = a.

lim f ( x ) = lim

x →a

x →a

( f (xx) -- af (a) ⋅(x - a) + f (a))

= f ′(a ) ⋅ (a - a ) + f (a ) = f ′(a ) ⋅ 0 + f (a ) = f (a )

Eftersom lim f ( x ) = f (a ) så är funktionen kontinuerlig för x = a. ☐ x →a

Av detta bevis följer den omvända satsen: Kontinuitet är en förutsättning för deriverbarhet

Om en funktion inte är kontinuerlig för x = a så är den inte heller deriverbar i x = a.

Vi bevisar satsen i övningsuppgift 41.

22

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

Sats

En funktion är deriverbar när de ensidiga derivatorna är lika stora Exempelvis om uttrycket för en funktion ändras vid x = a så bestämmer vi derivatan för funktionen i x = a med hjälp av de ensidiga gränsvärdena för differenskvoten. y

y

x

x

x a a+h

a

Vänsterderivatan i x = a är f -′ (a ) = lim

h→ 0 -

eller

f (a + h ) - f (a ) h

f ( x ) - f (a ) f -′ (a ) = lim . x -a x →a -

x a+h

Högerderivatan i x = a är

f +′ (a ) = lim

h→ 0 +

eller f +′ (a ) = lim

x →a +

f (a + h ) - f (a ) h f ( x ) - f (a ) . x -a

Funktionen f är deriverbar för x = a om de ensidiga derivatorna är lika stora. Då är f ′(a ) = f -′ (a ) = f +′ (a ).

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

23

EXEMPEL 3

2 x + 2, när x ≤ 1 4 x , när x > 1 är deriverbar i x = 1. Motivera och rita grafen till funktionen f.

Undersök om funktionen f ( x ) =

LÖSNING

1) Vi undersöker om funktionen f är kontinuerlig för x = 1.

Observera!

Ifall det skulle framgå att funk­ tionen f inte är kontinuerlig för x = 1 skulle vi veta att den inte är deriverbar i x = 1.

f (1) = 2 ⋅1 + 2 = 4

f ( x ) = 2 x + 2, när x = 1

lim f ( x ) = lim (2 x + 2) = 4

f ( x ) = 2 x + 2, när x < 1

lim f ( x ) = lim 4 x = 4

f ( x ) = 4 x , när x > 1

x →1-

x →1-

x →1+

x →1+

Eftersom f (1) = lim f ( x ) = lim f ( x ) så är funktionen f x →1-

x →1+

kontinuerlig för x = 1 och då kan den vara deriverbar i x = 1.

2) Vi undersöker om funktionen f är deriverbar i x = 1. Eftersom funktionsuttrycket ändras vid x = 1 bör vi bestämma värdet av de ensidiga derivatorna.

Vi beräknar vänsterderivatan i x = 1 för funktionen f. f ( x ) - f (1) x -1 = lim 2 x + 2 - 4 x -1 x →1= lim 2 x - 2 x →1- x - 1 2 ⋅ ( x - 1) = lim x →1x -1 = lim 2

f -′ (1) = lim

x →1-

x →1-

=2

24

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

f ( x ) = 2 x + 2, när x < 1 f (1) = 4 Vi kan även beräkna gränsvärdet med räknaren.

Vi beräknar högerderivatan i x = 1 för funktionen f.

Observera!

Funktionsvärdet f (1) = 4 beror inte av det ensidiga gränsvärde vi bestämmer.

f ( x ) - f (1) x -1 4 x -4 = lim x -1 x →1+

f ( x ) = 4 x , när x > 1 f (1) = 4

f +′ (1) = lim

x →1+

Vi kan även beräkna gränsvärdet med räknaren.

x + 1)

4( x - 1) x -1 x →1+ 4( x - 1)( x + 1) = lim x →1+ ( x - 1)( x + 1) = lim

4 ( x - 1)

= lim

( x - 1) ( x + 1)

x →1+

= lim

x →1+

= =2

(a - b)(a + b) = a2 - b2

4 1 +1

4 x +1

Eftersom de ensidiga derivatorna är lika stora så är f ′(1) = 2 .

Funktionen f är alltså deriverbar i x = 1.

3) Vi ritar grafen till funktionen f. y

Eftersom funktionen är deriverbar i x = 1 fogas grafens delar samman i x = 1 utan spets.

y = f(x) 1

Observera!

I uppgifterna 47–50 härleder vi en annan metod med vars hjälp vi kan undersöka deri­ verbarheten hos en styckvis definierad funktion. Metoden grundar sig på differential­ kalkylens medelvärdessats.

Denna sats ingår inte i gymna­ siets läroplan.

x 1

SVAR

Funktionen är deriverbar i x = 1.

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

25

EXEMPEL 4

Låt f vara en funktion som är kontinuerlig i origo. Bestäm derivatan av funktionen g ( x ) = x f ( x ) i origo med hjälp av en differenskvot.

Kan resultatet tillämpas på funktionen f ( x ) = x + 1 ?

[SE V-2005 lång] LÖSNING

Eftersom funktionen f är kontinuerlig i origo så är funktionsvärdet f (0) definierat och lim f ( x ) = f (0).

x →0

Vi beräknar värdet av funktionen g ( x ) = x f ( x ) i origo. g (0) = 0 ⋅ f (0) = 0 f (0) är definierat

Vi beräknar derivatan i origo för funktionen g. g (0 + h ) - g (0) h

g (0) = 0

= lim

g (h ) - 0 h

g( x ) = x f ( x )

= lim

h f (h ) h

g ′(0) = lim

h→ 0 h→ 0

h→ 0

= lim f (h ) h→ 0

lim f ( x ) = f (0)

x →0

= f (0) Observera!

I uppgiften frågas inte efter detta men om f ( x ) = x + 1, så är g( x ) = x x + x och g ′ (0) = f (0) = 1.

26

Eftersom funktionen f ( x ) = x + 1 är kontinuerlig i origo så kan vi tillämpa resultatet ovan på funktionen.

SVAR

g ′(0) = f (0)

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

Uppgifter Serie

En funktion är deriverbar när de ensidiga derivatorna är lika stora

I

Vi undersöker deriverbarheten med hjälp av differenskvoten

23. På bilden ser du grafen till en funktion

E1 f : R\{5} → R. Avgör utifrån grafen om funktionen är deriverbar i a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5 e) x = 7. y

y = f(x)

1

30. Undersök och motivera: Är funktionen x 2 + 2, när x ≤ 1 2 x + 1, när x > 1 deriverbar i x = 1? Rita grafen till funktionen f.

x

24. Rita grafen till funktionen f ( x ) = x 2 - 4 x . a) Bestäm derivatorna f ′(2) och f ′(3) genom att rita tangenter till grafen. b) Förstora grafen om och om igen vid x = 2 och x = 2. Vad märker du? c) Förstora grafen om och om igen vid x = 4. Vad märker du?

25. Bestäm derivatan för funktionen f ( x ) = x 2 E2 i x = 3 med hjälp av derivatans definition.

26. Bestäm derivatan för funktionen

f ( x ) = x 2 + 3 x i x = 0 med hjälp av derivatans definition.

27. Bestäm derivatan för funktionen

f ( x ) = 2 x i x = 1 med hjälp av derivatans f ( x ) - f (a ) . definition f ′(a ) = lim x -a x →a

28. Vi känner till att för en funktion f gäller

f (2 + h ) - f (2) = 0. Vilken slutsats h kan vi dra angående kontinuiteten och deriverbarheten för funktionen f? Kan vi säga något om funktionsvärdet eller värdet av derivatan för funktionen f? lim

E3 funktionen 2 f ( x ) = 5 − x , när x < 2 3 − x , när x ≥ 2 i x = 2. Är funktionen f deriverbar i x = 2?

f (x ) =

1

h→ 0

29. Bestäm de ensidiga derivatorna för

31. Undersök och motivera: Är funktionen 3 x + 1, när x < −1 x3 , när x ≥ −1 deriverbar i x = –1? f (x ) =

32. För värdena av funktionen g (x) gäller

E4 -20 ≤ g ( x ) ≤ 16 för varje x ∈R. Visa att funktionen f ( x ) = x 2 g ( x ) är deriverbar i punkten x = 0. [SE V-2016 lång]

33. Bilda en funktion som är kontinuerlig för

x = 3 men inte deriverbar i x = 3. Motivera kontinuiteten och förklara varför funktio­ nen inte är deriverbar i x = 3.

34. Anta att f är en funktion med följande

egenskaper: f (x + y) = f (x) + f (y) för alla reella tal x och y, f (0) = 0 och f är deriver­ bar i x = 3. a) Visa med hjälp av differenskvoten att f är deriverbar överallt och att f ′( x ) = f ′(0). b) Ge ett exempel på en funktion f som uppfyller dessa villkor.

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

27

Serie

41. Bevisa: Om en funktion inte är kontinuer­

II

Vi undersöker deriverbarheten med hjälp av differenskvoten

35. På bilden ser du grafen till en funktion f : R → R. För vilka variabelvärden är funktionen a) inte kontinuerlig b) inte deriverbar c) kontinuerlig men inte deriverbar d) deriverbar men inte kontinuerlig? y

y = f(x)

lig för x = a så är den inte heller deriverbar i x = a.

En funktion är deriverbar när de ensidiga derivatorna är lika stora

42. På bilden ser du grafen till en funktion

f : R → R. a) Bestäm vänsterderivatan för funktionen f i x = 2. b) Motivera med hjälp av differenskvoten varför funktionen inte har någon höger­ derivata i x = 2. y

y = f(x) 1

x

1

1

36. Bestäm, ifall det är möjligt, derivatan för funktionen f ( x ) = x - 2 i x-4 a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 4.

37. Bestäm derivatan för funktionen f ( x ) = x1 i x = 2 med hjälp av derivatans definition.

38. Bestäm derivatan för funktionen

f ( x ) = x x i x = 0 med hjälp av derivatans definition.

39. Bestäm derivatan för funktionen

f ( x ) = x i a > 0 med hjälp av derivatans definition. Vilket är uttrycket för derivata­ funktionen f ′( x ) ?

40. Bilda en funktion f : R → R som är konti­

nuerlig överallt och som saknar derivata i exakt en punkt. Motivera kontinuiteten och förklara varför funktionen inte är deriver­ bar i denna punkt.

28

1 KONTINUITET OCH DERIVERBARHET

x 1

43. Undersök och motivera: Är funktionen x 2 − 3, när x < 1 2 x − 4, när x ≥ 1 deriverbar i x = 2? Rita grafen till funktionen f. f (x ) =

44. a) Visa genom att undersöka en differens­ x 1+ x är deriverbar i punkten x = 0. b) Anta att g ( x ) = f ′( x ), när x ∈R. Visa genom att undersöka en differenskvot att funktionen g (x) inte är deriverbar i punkten x = 0. [SE V-2015 lång]

kvot att funktionen f ( x ) =

45. Låt f vara en funktion med följande egen­

skaper: f (x + y) = f (x) f (y) för alla reella tal x och y, f (0) = 1 och f är deriverbar när va­ riabelns värde är noll. Bevisa med hjälp av differenskvoten att f är deriverbar överallt och att f ′( x ) = f ′(0) f ( x ). Ge ett exempel på en funktion som uppfyller dessa villkor.

[SE V-2007 lång]

46. Funktionen f (x) definieras med formeln

p( x )cos( 1x ), när x > 0 f (x ) = ln(1 − x ), när x ≤ 0, 2 där p( x ) = ax + c är ett polynom av andra graden. Existerar det sådana koefficienter a och c så att f (x) är deriverbar?

[SE V-2018 lång]

Differentialkalkylens medelvärdessats (Fördjupade kunskaper) Uppgifterna 47–50 bildar en helhet som inte ingår i gymnasiets läroplan.

47. Differentialkalkylens medelvärdessats:

Anta att funktionen f är kontinuerlig i inter­vallet [a, b] och deriverbar i inter­vallet ]a, b[. Då finns det ett tal c i intervallet f (b ) - f ( a ) ]a, b[ sådant att f ′(c ) = (*). b-a Åskådliggör medelvärdessatsen genom att undersöka funktionen f ( x ) = x 3 - x + 2 i intervallet [-1, 2]. a) Ta reda på det ställe i intervallet ]-1, 2[ som satisfierar ekvationen (*). b) Vi kan tolka det vänstra och det högra ledet i ekvationen (*) som riktnings­ koefficienter för två olika linjer. Rita dessa linjer och grafen till funktionen f i samma bild.

48. Anta att f ( x ) = 2 x - x 2. Visa att det finns

49. Använd medelvärdessatsen för att bevisa följande sats: Anta att funktionen f är deriverbar i intervallet x < a och intervallet x > a samt att f är kontinuerlig för x = a.

Om lim f ′( x ) = b, så är f deriverbar x →a

i x = a och f ′(a ) = b .

50. Om funktionen f är deriverbar i intervallet

x < a och intervallet x > a och f samt om f är kontinuerlig för x = a så kan vi ta reda på f ′(a ) på följande sätt: 1) Vi säkerställer att funktionen f är kontinuerlig för x = a.

2) Vi bestämmer f ′( x ) i intervallen x < a och x > a.

3) Vi beräknar lim f ′( x ) och lim f ′( x ). x →a -

x →a +

Ifall dessa ensidiga gränsvärden är lika stora så är detta gränsvärde lika med f ′(a ).

Bestäm med denna metod derivatan för funktionen f i x = 2, ifall det är möjligt.

1 x, när x ≤ 2 a) f ( x ) = 2 x − 1 , när x > 2 b) f ( x ) =

x 2 , när x ≤ 2 2 x , när x > 2

c) f ( x ) =

1 x 2 , när x ≤ 2 8 ln x , när x > 2

ett ställe i intervallet ]0, 1[ i vilket derivatan för funktionen f är noll.

1 . 2 D e r i v e r ba r h e t h o s f u n k t i o n e r

29