Logaritmin määritelmän mukaan
SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS i määritellään eksponenttiyhtälön log a x1 = y1avulla, ⇔ logaritmi x1 = a y ja log a x 2 = y 2 ⇔ x 2 = a y . mankaltaisia ominaisuuksia kuin eksponenttifunktiolla. 1
2
oitetaan, että logaritmifunktio f (x) = loga x on aidos Jos a > 1, niin kantaluku a > 1. x1 < x 2 loga xa2y. < a y 1) = loga x1 ja f (x2) =⇔
Ma8 1
äritelmän mukaan
1
⇔
LÅNG
2
<
y1
y2
x1 = a y 1 ja x 2 = a y 2
a y on aidosti kasvava, kun a > 1
= log a x1 ja y 2 = log a x 2 Rot- ochy1logaritmfunktioner
⇔ log x < log x ⇔ x1 = a y ja log a x 2 =a y12 ⇔ ax 22= a y . ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ). 1
<
x2
< <
ay y2
2
Siis, kun x1 =aa>y 1,janiin x 2 =xa1y< x2 ⇔ f (x1) < f (x2). Siis funktio x on aidosti kasvava, kun a > 1. f(x) = log y a 1
2
a on aidosti kasvava, kun a > 1
2
y1 = log a x1 ja y 2 = log a x 2
< log a x 2
< f ( x 2 ).
Vastaavasti voidaan osoittaa, että logaritmifunktio on aidosti vähene vä, kun 0 < a < 1. y
niin x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2). Siis funktio n aidosti kasvava, kun a > 1. y = 2x
1
y
y = 0,5x
x
1 daan osoittaa, että logaritmifunktio on aidosti vähene < 1.
y = log2 x
y=x
y
1
x 1
y=x
y = log0,5 x
Funktioiden a x ja loga x kuvaajat ovat symmetrisia suoran y = x suhteen. y = 0,5x
x
1
x 1