Ma8 Lång blädderex by Schildts & Söderströms

Logaritmin määritelmän mukaan

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS i määritellään eksponenttiyhtälön log a x1 = y1avulla, ⇔ logaritmi x1 = a y ja log a x 2 = y 2 ⇔ x 2 = a y . mankaltaisia ominaisuuksia kuin eksponenttifunktiolla. 1

oitetaan, että logaritmifunktio f (x) = loga x on aidos Jos a > 1, niin kantaluku a > 1. x1 < x 2 loga xa2y. < a y 1) = loga x1 ja f (x2) =⇔

Ma8 1

äritelmän mukaan

⇔

LÅNG

x1 = a y 1 ja x 2 = a y 2

a y on aidosti kasvava, kun a > 1

= log a x1 ja y 2 = log a x 2 Rot- ochy1logaritmfunktioner

⇔ log x < log x ⇔ x1 = a y ja log a x 2 =a y12 ⇔ ax 22= a y . ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ). 1

< <

ay y2

Siis, kun x1 =aa>y 1,janiin x 2 =xa1y< x2 ⇔ f (x1) < f (x2). Siis funktio x on aidosti kasvava, kun a > 1. f(x) = log y a 1

a on aidosti kasvava, kun a > 1

y1 = log a x1 ja y 2 = log a x 2

< log a x 2

< f ( x 2 ).

Vastaavasti voidaan osoittaa, että logaritmifunktio on aidosti vähene vä, kun 0 < a < 1. y

niin x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2). Siis funktio n aidosti kasvava, kun a > 1. y = 2x

y = 0,5x

1 daan osoittaa, että logaritmifunktio on aidosti vähene < 1.

y = log2 x

y=x

x 1

y=x

y = log0,5 x

Funktioiden a x ja loga x kuvaajat ovat symmetrisia suoran y = x suhteen. y = 0,5x

x 1

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 8, Juuri- ja logaritmifunktiot Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktörer: Anita Kokkila och Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52-4475-8

Till dig som använder boken Ma8 Lång

Ma8 Lång är en lärobok för kurs 8, rot- och logaritmfunktioner, i den långa läro kursen i matematik i gymnasiet. På kursen bekantar vi oss med egenskaperna hos rot-, exponential- och logaritmfunktioner. Kursens mål är att den studerande ska lära sig att lösa ekvationer som innehåller dessa funktioner och att undersöka funktionerna med hjälp av derivatan. Kurs 8 hör till en helhet som bildas av kurserna 6−9.

Bokens uppbyggnad

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som vi motiverar och samlar till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom. I boken finns exempel som är avsedda att lösas utan symbolisk räknare, kalkyl program eller geometriprogram. I övriga exempel visar vi hur du kan använda olika tekniska hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt. Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter, som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan symbolisk räknare, kalkylprogram eller geometriprogram har markerats med bakgrundsfärg.

2. Uppgifter där du kan använda alla tekniska hjälpmedel saknar bakgrundsfärg. E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar. Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram. I boken finns ett antal gamla studentuppgifter. Studentprovens tidpunkt och årtal samt om det är fråga om korta eller långa lärokursen är angivet inom klammer i slutet av uppgiften. Till exempel [SE H-2011 lång] betyder att uppgiften ingick i den långa lärokursens studentskrivning hösten 2011.

Repetition

Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar. Först går du genom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna och efter det följer flervalsuppgifter samt uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen. Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier. Kvevlax och Helsingfors 10.1.2018 Författarna

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

Innehåll 1 Allmän potensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Rotfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Rotfunktion……………………………………………………………………………………………… 16 2.2 Rotekvation……………………………………………………………………………………………… 25 2.3 Derivatan av en rotfunktion……………………………………………………………………………… 37

3 Exponential- och logaritmfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 Exponentialfunktion……………………………………………………………………………………… 50 3.2 Logaritmfunktion………………………………………………………………………………………… 58

4 Exponential- och logaritmekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Räkneregler för logaritmer……………………………………………………………………………… 68 4.2 Logaritmekvation………………………………………………………………………………………… 76 4.3 Exponentialekvation……………………………………………………………………………………… 82

5 Derivatan av exponential- och logaritmfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 5.4

Nepers tal………………………………………………………………………………………………… Derivatan av en exponentialfunktion…………………………………………………………………… Derivatan av en logaritmfunktion……………………………………………………………………… Extremvärden för exponential- och logaritmfunktioner…………………………………………………

94 94 103 110 117

6 Tillämpningar med extremvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

1 Allmän potensfunktion…………………………………………………………………………………… 2 Rotfunktion……………………………………………………………………………………………… 3 Exponential- och logaritmfunktion……………………………………………………………………… 4 Exponential- och logaritmekvation……………………………………………………………………… 5 Derivatan av exponential- och logaritmfunktioner……………………………………………………… Flervalsuppgifter……………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie A……………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………………

135 135 136 137 138 139 141 142

Facit …………………………………………………………………………………………………………… 143 Sakregister……………………………………………………………………………………………………… 158

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell 45 min 75 min

1 Allmän potensfunktion

2 Rotfunktion

2.1 Rotfunktion 2.2 Rotekvation 2.3 Derivatan av en rotfunktion

2 2 3

1 1 2

3 Exponential- och logaritmfunktion

3.1 Exponentialfunktion 3.2 Logaritmfunktion

1 2

1 1

4 Exponential- och logaritmekvation

4.1 Räkneregler för logaritmer 4.2 Logaritmekvation 4.3 Exponentialekvation

2 2 2

1 1 2

5 Derivatan av exponential- och logaritmfunktioner 7

5.1 Nepers tal 5.2 Derivatan av en exponentialfunktion 5.3 Derivatan av en logaritmfunktion 5.4 Extremvärden för exponential- och logaritmfunktioner

1 2 2 2

1 1 1 1

6 Tillämpningar med extremvärden

Repetition 1 1 totalt

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

Allmän potensfunktion I kurs 1 definierade vi potenser där exponenten är ett heltal och övade på räknereglerna för potenser. I det här kapitlet ska vi ge en sådan definition för potenser med rationell exponent att de kända räknereglerna för potenser hålls oförändrade. Vi ska också undersöka potenser där exponenten är ett irrationellt tal.

VI UNDERSÖKER

Vi ska undersöka hur vi kan tolka det rationella talet i exponenten till en potens. 1

1) Bestäm med hjälp av räknaren 9 2 och 100 2 . Dra slutsatser om 1

värdet av potensen 36 2 . 1

2) Dra slutsatser om värdet av potenserna 8 3 , 125 3 och 1000 3 . Du kan kontrollera din slutsats med hjälp av räknaren. 1

3) Vilket tal avses med beteckningen 7 2 ? Vad avses med 7 3 ? Motivera din slutsats med hjälp av formeln (am )n = am ⋅n . 1

4) Hur skulle vi kunna definiera potensen a n där a är ett positivt reellt tal och n är ett positivt heltal?

Heltalsexponent Vi repeterar kort det som vi lärde oss i kurs 1. Observera! Vi definierar inte värdet av uttrycket 00 för att undvika problem när vi ska göra gränsvärdesberäkningar. Om de positiva funktionerna f(x) och g(x) båda närmar sig värdet 0 så kan gränsvärdet för uttrycket f(x)g(x) vara vilket som helst positivt reellt tal eller så behöver gränsvärdet inte alls existera, helt beroende av funktionerna f(x) och g(x). Ibland definierar man 00 = 1, men då måste vi komma ihåg att denna definition inte fungerar vid gränsvärdes beräkningar.

Definition

Exempel

Anta att a är ett reellt tal och att n är ett positivt heltal. 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81

a n = a ⋅ a ⋅… ⋅ a n stycken

Om a ≠ 0 så är

30 = 1

a 0 = 1,

3 -2 = 12 = 1 9 3

a - n = 1n och a

( 43 ) = ( 43 ) -2

()

n a -n = 1 . a

= 4 ⋅ 4 = 16 3 3 9

Följande räkneregler för potenser gäller alltid när uttrycken är definierade. Räkneregler

Exempel

Potensen av en produkt (ab )n = an bn

( -2 x )3 = ( -2)3 x 3 = -8 x 3

Potensen av en kvot

( ba )

( x3 )

n = an b

Produkten av potenser med samma bas am an

Kvoten av potenser med samma bas

Potensen av en potens (am )n

am ⋅ n

4 4 = x4 = x 81 3

x 5 x = x 5 x1 = x 5 +1 = x 6

am + n

am = am - n an

x 5 = x 5 - 3 = x 2 , när x ≠ 0 x3

( x 4 )5 = x 4 ⋅ 5 = x 20

1 Allmän potensfunktion

Potenser med rationell exponent Vi ska definiera potenser där exponenten är ett rationellt tal (bråk) på så sätt att alla tidigare kända räkneregler för potenser gäller. Vi ska undersöka hur vi med hjälp av räknereglerna kan tolka 1

potensen a n (a > 0 och n ∈ Z+). Observera!

(n a )

1 ⋅n

(a n )n = a n

= a1 = a 1

Den n:te potensen av talet a n är alltså a. Vi lärde oss i kurs 2 att också den n:te potensen av talet n a är a. Vi kan då tänka oss att exponenten 1 avser den n:te roten av basen. n

an = n a

Utifrån observationerna ovan så är följande definition motiverad. Definition

Potensen a n

Anta att n är ett positivt heltal och att a är ett positivt reellt tal. Då är 1

an = n a.

CAS

EXEMPEL 1

Uttryck potensen som ett rotuttryck och beräkna dess värde. 1

a) 27 3

b) 49 2

LÖSNING

a) 27 3 = 3 27 = 3 a n = n a b) 49 2 = 2 49 = 49 = 7 a 2 = 2 a = a SVAR

a) 3 b) 7

1 ALLMÄN POTENSFUNKTION

Vi ska nu undersöka hur vi kan tolka potensen a n (a > 0 och m, n ∈ Z+).

an =a

m⋅ 1 n

= (am ) n = n am

Talet a n är alltså detsamma som den n:te roten av talet a upphöjt till m. Vi kan också räkna på följande sätt:

1 m ⋅

a n = an

= (a n )m = ( n a )m m

Vi kan med andra ord också tolka talet a n som den n:te roten av talet a som sedan upphöjs till m.

Potensen a

m n

Definition

Anta att m och n är positiva heltal och att a är ett positivt reellt tal. Då är m

a n = n am .

Vi kunde också ha definierat Observera! I definitionen av en potens med rationell exponent kräver vi att basen a > 0 för att definitionen inte ska vara beroende av exponentens förtecken.

an =

(n a )

Vi kan generalisera definitionen till negativa exponenter på följande sätt:

-m n

= 1m , när a > 0. an

Alla räknereglerna för potenser gäller också för potenser med rationell exponent.

1 Allmän potensfunktion

CAS

EXEMPEL 2

Anta att x > 0. Skriv potenserna som rotuttryck. a)

x 15

b) x

-2 3

c) x 1,2

LÖSNING

Observera!

4 a) x 15

Vi kunde också ha skrivit 4 x 15

( x) . 15

b) x

2 3

= x5

SVAR

1 ALLMÄN POTENSFUNKTION

-m n

m n

= n am

= 1m an

= n am

1,2 = 12 = 6 10 5

x 1,2

= x6

m n

= 12 x3 = 1 3 2 x

x 4 b)

1 c) x2

m n

= n am

CAS

EXEMPEL 3

Skriv rotuttrycken som potenser med basen 7. a)

75 b)

1 49

c) 7 7

LÖSNING

75 n a m = a n 5

= 76

b) 5 1 49 1 = 5 2 7

m n

-2 5

c) 7 7

am = a

m 1 = a- n = 12 m an 75

a =2a 1

n =727 a =an 1 am ⋅ an = am + n = 71 ⋅ 7 2

1+ 1 2

= 72 SVAR

a) 7 6 b) 7

2 5

c) 7 2

1 Allmän potensfunktion

Potenser med rationell exponent ger oss ett enkelt sätt att förenkla rotuttryck. Vi skriver först rotuttrycket som en potens med rationell exponent och förenklar sedan uttrycket med hjälp av räknereglerna för potenser.

CAS

EXEMPEL 4

Förenkla. a)

3 3

8 b)6

k k , när missä , missä k >k 0> 0 k6 k

LÖSNING 1

8 = 23 = 86

1 ( a m )n = a m ⋅ n = (23 ) 6

3 = 26

a =an

= 22

a2 = a

= 2 3 1 k n a =an b) 6 k 1 3 k am = am - n = 1 an k6 1-1 Vi gör bråken liknämniga. = k3 6 2-1 6

= k6 1

= k6

an =na

=6k SVAR

2 b)

1 ALLMÄN POTENSFUNKTION

Potenser med irrationell exponent Definition •• Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas i bråkform m , där m, n ∈Z och n ≠ 0. n •• Ett irrationellt tal är ett tal som inte kan skrivas i bråkform.

Observera!

I föregående avsnitt lärde vi oss vad som avses med potensen ax där exponenten x är ett rationellt tal och a > 0. När exponenten x är ett irrationellt tal och a > 0 så kan vi beräkna ett närmevärde för potensen ax genom att ersätta exponenten med ett rationellt tal. Ju bättre närmevärde vi använder för exponenten desto exaktare är närmevärdet för potensen ax. På vissa räknare kan man direkt använda det irrationella talet som exponent. Vi undersöker närmevärden för potensen 5

•• 2 är ett irrationellt tal. •• Ett irrationellt tal skrivet i decimalform är alltid oavslutat och operiodiskt. •• Alla tal som kan skrivas som ett avslutat eller ett periodiskt decimaltal är rationella tal.

51,41 51,414 51,4142 51,41421

= 9,67269... = 9,73517... = 9,73830... = 9,73846...

. 2 = 1, 4142135...

Värdet av potensen 5 2 är det tal som de allt exaktare närmevärdena närmar sig. Med två decimalers noggrannhet är 5 2 ≈ 9,74. Vi kan visa att de allt exaktare närmevärdena för potenser med irrationell exponent alltid närmar sig ett gränsvärde när a > 0. Potensen ax är med andra ord definierad för alla reella tal x när basen a > 0.

1 Allmän potensfunktion

Uppgifter Serie

6. Skriv talet som en potens med basen 3.

1. Skriv potensen som ett rotuttryck och E1 beräkna värdet. 1

a) 16 4 b) 25 2 c) 8 3

7. Förenkla.

2. Skriv rotuttrycket som en potens med rationell exponent. a) 5 b) 3 2 c)

3. Anta att a > 0. Skriv potensen som ett E2 rotuttryck. 2

1 a 5

4 a 5

a) a 3 b) a 2 c)

a) 3 3 b) 9 3 c) 1 d) 1 27 3 37

4. Anta att a > 0. Skriv talet som en potens med basen a. a) 1 b) 13 a a c) a d) 1 a

E4 a) 6 25 b) 5 5 c) 6 5 ⋅ 3 5 d) 12 5

( )

8. Vilka av uttrycken är desamma som k 2 när k > 0? a) k k b) k 5 c) 5 k 2 5 d) k e) k 2 k

( )

9. I pyramiden skriver vi resultatet av

räkneoperationen som ett rotuttryck i rutan ovanför. Vilket blir talet i översta rutan? Talet a är positivt.

: ·

5. Skriv talet som en tiopotens. E3 a) 3 10 2

b) 105

c) 5 100 d) 12 1 000 000

1 A LLMÄN POTENSFUNKTION

· :

10. Bestäm

a) kvoten b) den tredje termen c) de nionde termen i den geometriska talföljden 2 , 2, ... .

Serie

17. I den magiska kvadraten blir produkten

i varje vågrät rad, varje lodrät rad och varje diagonal detsamma talet när a > 0. Komplettera kvadraten.

11. Anta att a > 0. Skriv potensen som ett rotuttryck. a) c)

1 a 12 1 a 2

d) a3,5

18. Den första termen i en geometrisk talföljd

rationell exponent. a) 5 2 b) 8 35 c) 1 d) 1 6 3 31 6

13. Skriv talet som en potens med basen 5. 4 3 5

25 c) 41 d) 6 1 5 125

tre första termerna i en geometrisk talföljd.

när k > 0?

(3 k )

k 7 c)

e) k 2 3 k

15. Förenkla. a) c)

6 b) 6

4 5 3

12 6 ⋅ 4 16

är a1 = 2 och den fjärde termen är a4 = 6. Bestäm talföljdens a) kvot q b) andra term a2 c) tredje term a3.

19. Visa att talen 3 2 , 2 och 6 16 kan vara de

14. Vilka av uttrycken är desamma som k 3 a) k 3 k b)

1 a

4 a9

12. Skriv rotuttrycket som en potens med

b) Skriv potenserna ( -8) 3 och ( -8) 6 som rotuttryck och beräkna deras värde. Vilken konflikt upptäcker du? Hitta på andra motsvarande konflikter.

16. I den här uppgiften ska vi undersöka varför vi i definitionen av potensen a r måste kräva att basen a > 0. a) Skriv potensen 0-2 som ett bråk och försök beräkna dess värde. Vilket problem uppstår?

20. Bestäm ett exakt värde för uttrycket 5 3 3 a - a 3 när a 6 = 3.

21. Det irrationella talet

3 = 1,732 050 807 568 877 293 ... är i decimalform oavslutat och operiodiskt. Vi bestämmer ett närmevärde för potensen 2 3 genom att undersöka talföljden 21,7, 21,73, 21,732, ... . Undersök genom att testa vilken term i ordningen som är densamma som det närmevärde som din räknare ger för potensen 2 3 .

22. Visa att n am = ( n a ) där m och n är m

positiva heltal och a > 0.

1 Allmän potensfunktion

Rotfunktion I kurs 2 lärde du dig hur man definierar en kvadratrot och hur man definierar rötter av högre grad. I det här avsnittet bekantar vi oss med rotfunktionens egenskaper, löser rotekvationer och undersöker rotfunktionens förlopp med hjälp av derivatan.

2.1 Rotfunktion VI UNDERSÖKER

1) Rita grafen av potensfunktionen f ( x ) = x 3 och besvara frågorna utifrån grafen. a) För vilka värden på variabeln x är funktionen f definierad? b) Vilka värden kan funktionen f anta? c) Vi vet att funktionen f antar värdet −64. Hur kan du beräkna för vilket variabelvärde x som funktionen f antar detta funktionsvärde? d) Vi vet att funktionen f antar värdet y. Finns det några begränsningar för värdet på y? Är det möjligt att bilda ett entydigt uttryck med vars hjälp du kan beräkna det variabel värde x för vilket funktionen f antar värdet y? 2) Rita grafen av potensfunktionen g ( x ) = x 4 och besvara frågorna utifrån grafen. a) För vilka värden på variabeln x är funktionen g definierad? b) Vilka värden kan funktionen g anta? c) Vi vet att funktionen g antar värdet 256. Hur kan du beräkna för vilket variabelvärde x som funktionen g antar detta funktionsvärde? d) Vi vet att funktionen g antar värdet y. Finns det några begränsningar för värdet på y? Är det möjligt att bilda ett entydigt uttryck med vars hjälp du kan beräkna det variabel värde x för vilket funktionen g antar värdet y? 16

Udda rotfunktion Definition En udda rot n a , där n = 3, 5, 7, ..., är ett tal som uppfyller villkoret ( n a ) n = a.

I kurs 2 har vi bekantat oss med definitionen av den allmänna roten i samband med potensfunktionen. Vi ska nu generalisera de slutsatser vi kom till då, och definiera den allmänna rotfunktionen. Funktionen n x , där talet n ≥ 2 är ett heltal, kallas en rotfunktion. Vi ska först studera den udda rotfunktionen f ( x ) = n x , där n = 3, 5, 7, ... .

Anmärkning Vi behandlar inte fallet n = 1 eftersom 1 x = x.

Vi ritar grafen av den udda rotfunktionen i fallen n = 3 och n = 5. y

1 3

y=√ x

Observera! Graferna till funktionerna x3 och 3 x är symmetriska i förhållande till linjen y = x. y

y = x3 1

y=x 3

y=√ x x 1

x 1

y=√ x

Graferna understöder det som vi tidigare observerat för den udda roten: värdena för den udda roten n x växer obegränsat när värde na för variabeln x växer obegränsat och vi kan beräkna värdet för roten n x för alla värden på variabeln x. Den udda rotfunktionen f ( x ) = n x är alltså strängt växande och definierad för alla reella tal. Man kan också visa att den udda rotfunktionen är kontinuerlig överallt. Utifrån dessa observationer kan vi visa att följande egenskaper gäller för alla udda rotfunktioner. Definition

Egenskaper för den udda rotfunktionen

Anta att f ( x ) = n x , där n = 3, 5, 7, ... . För funktionen f gäller följande egenskaper: 1) Definitionsmängden är R.

2) Värdemängden är R. 3) Funktionen är strängt växande (överallt).

1 x 3

y=√ x

4) Funktionen är kontinuerlig överallt.

2.1 Rotfunktion

EXEMPEL 1

CAS

Bestäm funktionens definitionsmängd och beräkna funktionens värde när x = −1. a) f ( x ) = 3 6 + 7 x b) g ( x ) = 5 3 x + 5 x +3 LÖSNING

a) En udda rotfunktion är definierad för alla reella tal, vilket ger att definitionsmängden för funktionen f är R.

Grafisk kontroll y 3

y = 6 + 7x

x 1

Funktionens värde när x = −1 är

f ( -1) = 3 6 + 7 ⋅ ( -1) = 3 6 - 7 = 3 -1 = -1.

b) En udda rotfunktion är definierad för alla reella tal men radikanden är inte definierad i nämnarens nollställe x = −3. Definitionsmängden för funktionen g är då R\{-3}.

Grafisk kontroll y

5 3x + 5 y = −−−−− x+3

x 1

Funktionens värde när x = −1 är

g( -1) = 5

3 ⋅ ( -1) + 5 5 -3 + 5 5 = = 1 = 1. -1 + 3 2

SVAR

a) definitionsmängden R, f ( -1) = -1 b) definitionsmängden R \ { -3}, g( -1) = 1

2 ROTFUNKTION

Jämn rotfunktion Vi ska nu undersöka den jämna rotfunktionen f ( x ) = n x , där n = 2, 4, 6, ... .

Definition En jämn rot n a , där n = 2, 4, 6, ..., är ett tal som satisfierar villkoret

Vi vet sedan tidigare att värdet av en jämn rot alltid är ett icke- negativt tal, vilket ger att den jämna rotfunktionen endast kan anta icke-negativa värden. Vi vet också att vi endast kan beräkna värdet på en jämn rot när radikanden är icke-negativ. Då gäller också att den jämna rotfunktionen endast är definierad när x ≥ 0.

1) a ≥ 0 och 2) ( n a ) n = a .

Vi ritar grafen av den jämna rotfunktionen i fallen n = 2 och n = 4. y

y=√ x

Observera! Graferna till funktionerna x 2 ,, när kunxx ≥≥00och x , är symmetriska i förhållande till linjen y = x. y

y = x2

y=x y=√ x

Graferna understöder det som vi tidigare har observerat för den jämna roten: värdet för den jämna roten n x växer obegränsat när värdet på variabeln x växer obegränsat och vi kan beräkna värdet för den jämna roten n x för alla icke-negativa värden på variabeln x. Den jämna rotfunktionen f ( x ) = n x är med andra ord strängt växan de och definierad för alla icke-negativa reella tal. Man kan också visa att den jämna rotfunktionen är kontinuerlig (i sin definitionsmängd). Utifrån dessa observationer kan vi visa att följande egenskaper gäller för alla jämna rotfunktioner.

Definition

Egenskaper för den jämna rotfunktionen

Anta att f ( x ) = n x , där n = 2, 4, 6, ... . För funktionen f gäller följande egenskaper: 1) Definitionsmängden är intervallet [0, ∞[. 2) Värdemängden är intervallet [0, ∞[. 3) Funktionen är strängt växande. 4) Funktionen är kontinuerlig (i sin definitionsmängd).

y 4

y=√ x

x 1

2.1 Rotfunktion

CAS

EXEMPEL 2

Bestäm funktionens definitionsmängd och beräkna funktionens värde när x = −2. a) f ( x ) = 6 9 + 4 x

2 b) g ( x ) = 4 -8 x - 40 x 3

LÖSNING

a) En jämn rotfunktion är definierad när radikanden är icke-negativ.

Grafisk kontroll y

y = 9 + 4x

x 1

Grafisk kontroll

9 + 4x ≥ 0 4 x ≥ -9 x≥-9 4

: 4 ( > 0)

Definitionsmängden för funktionen f är intervallet [ - 9 , ∞[ eller 4 intervallet [ -2 1 , ∞[. 4 Funktionens värde när x = −2 är f ( -2) = 6 9 + 4 ⋅ ( -2) = 6 1 = 1.

b) En jämn rotfunktion är definierad när radikanden är icke-negativ. y

4 −8x2 − 40x y = −−−−−−−−− 3

-8 x 2 - 40 x ≥ 0 3 -8 x 2 - 40 x ≥ 0

⋅ 3 ( > 0)

–1

Vi bestämmer nollställena för funktionen -8 x 2 - 40 x och skissar funktionens graf.

Olikheten -8 x 2 - 40 x ≥ 0 är sann när −5 ≤ x ≤ 0. Definitionsmängden för funktionen g är intervallet [ -5, 0] .

Funktionens värde när x = −2 är

g( -2) = 4

a) definitionsmängd [ - 9 , ∞[ , f ( -2) = 1 4 b) definitionsmängd [ -5,0] , g( -2) = 2 2 ROTFUNKTION

x –5

-8 ⋅ ( -2)2 - 40 ⋅ ( -2) 4 = 16 = 2. 3

SVAR

y = −8x2 − 40x

-8 x 2 - 40 x = 0 -8 x ( x + 5) = 0 x = 0 eller x = −5

Definition 1 an

= na

och m

Vi kan skriva en rotfunktion som en potensfunktion med rationell exponent. Det här underlättar förenklingen av uttrycken speciellt i de fall där det finns flera olika typer av rötter i samma uttryck.

a n = am , när m och n är positiva heltal och a > 0.

CAS

EXEMPEL 3

x2 ⋅ 3 x

Anta att f ( x ) =

, där x > 0. x2 a) Förenkla uttrycket för funktionen f. 3

b) Beräkna funktionens värde när x = 2. LÖSNING

a) Eftersom alla radikander i uttrycket är positiva så kan vi skriva funktionsuttrycket som en potensfunktion med rationell exponent. f (x ) =

x2 ⋅ 3 x 3

a n = n a och a

m n

= am

1 1

x 2 ⋅(x 2 ) 3

( a n ) m = a n⋅m

2 x3

2 6 = x ⋅2x x3

a n ⋅ a m = a n+ m

2+ 1

6 6 = x 2 = x2 x3 x3

=x Observera!

13 - 2 6 3

13 - 4 6 6

= x6 = x2 = x

Eftersom funktionen från början var given som en rot så ska vi också ge det förenklade uttrycket som en rot.

a n = a n-m am

1+ 1 2

= x1x 2

a n+ m = a n ⋅ a m 1

an = a

=x x

b) f (2) = 2 2 SVAR

a) f ( x ) = x x , där x > 0

b) f (2) = 2 2 2.1 Rotfunktion

CAS

EXEMPEL 4

Bestäm gränsvärdet för funktionen f ( x ) = 3 - 3 x för x = 1. x -1 LÖSNING

Täljarens gränsvärde är lim(3 - 3 x ) = 3 - 3 ⋅1 = 0.

Observera! I kurs 6 lärde vi oss att ett bråkuttryck kan ha ett gränsvärde om gränsvärdena för både täljaren och nämnaren är 0.

x →1

Nämnarens gränsvärde är lim( x - 1) = 1 - 1 = 1 - 1 = 0. x →1

Eftersom gränsvärdet för både täljaren och nämnaren är 0 så har de en gemensam faktor och bråkuttrycket ska förenklas innan vi beräknar gränsvärdet. lim

x +1

x →1

)

3 - 3x x -1

= lim

(3 - 3 x )( x + 1) x - 1)( x + 1)

= lim

(3 - 3 x )( x + 1) ( x )2 - 12

x →1 (

Grafisk kontroll 1

y x 1

x →1

(3 - 3 x )( x + 1) x -1 x →1

= lim

3 − 3x f(x) = −−−−− √ x − 1

= lim

-3 ⋅ ( x - 1) ( x + 1) x -1

x →1

(

= lim -3( x + 1) x →1

= -3 ⋅ ( 1 + 1) = -3 ⋅ 2 = -6 SVAR

lim f ( x ) = -6

x →1

2 ROTFUNKTION

)

Vi avlägsnar roten i nämnaren genom att förlänga differensen x - 1 med motsvarande summa x + 1 och utnyttja konjugatregeln. ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2

Vi bryter ut den gemensamma Erotetaan faktorn. yhteinen tekijä. 3 - 3 x = -3( -1+ x ) = -3( x - 1)

Uppgifter Serie

28. Bestäm funktionens definitionsvillkor.

a) f ( x ) = 1 x

23. Kombinera funktionsuttryck och graf. f ( x ) = 3 x g ( x ) = 4 x

b) g ( x ) = 5 2 + 3 - x

h( x ) = x + 1 i ( x ) = x + 1 y

1 y x

x 1

24. Lös ekvationen.

a) x 5 = 8 b) x 5 = -8 c) x 4 = 8 d) x 4 = -8

25. Bestäm funktionens definitionsmängd och E1 beräkna funktionens värde när x = 0. 2 a) f ( x ) = 5 1 - x 2 b) g ( x ) = 9 2x x -1

26. Hur skiljer sig graferna för funktionerna 1 x3

2 x +1

och 3 x från varandra?

27. Bestäm funktionens definitionsmängd och E2 beräkna funktionens värde när x = -6. a) f ( x ) = 4 - 2 x b) g ( x ) = 6 - x 2 - 6 x

4 3 29. Anta att f ( x ) = x 6 x x , där x > 0.

x8 a) Förenkla uttrycket för funktionen f. b) Vilkendera är större, f (1) eller f (16)?

30. Anta att f ( x ) = 3 4 x - 8 och

g ( x ) = 2 x + 2. Bilda den sammansatta funktionen f  g och beräkna funktionens värde när x = 1.

31. Bestäm gränsvärdet för funktionen E4 f ( x ) = 3 x - 12 för x = 4. 6-3 x

32. Bestäm gränsvärdet. a) lim

x →0 +

2- 4+x 2 x b) lim x x →0 x- x

33. Bestäm det största värdet för funktionen f ( x ) = 2 3 18 x - 3 x 2 .

34. Bestäm värdet på konstanten b så att funktionen h( x ) = x 2 + bx + 4 är definierad för alla värden på variabeln x.

2.1 Rotfunktion

Serie

40. Bestäm gränsvärdet.

35. Kombinera funktionsuttryck och graf. f ( x ) = x + 2 g ( x ) = 3 x + 2

7 4 x 2 - 8x + 4 x -1 x →1+

b) lim

h( x ) = 2 - x i ( x ) = 3 2 - x

41. Anta att f ( x ) = x - 1 och g ( x ) = 1 - x 2.

x 1

och beräkna funktionens värde i - 5 . 2 3 a) f ( x ) = x + 4 - 2 x 1

b) g ( x ) =

x2 2 x -4 6

x . 3 2 x a) Bestäm definitionsvillkoret för funktionen f. b) Förenkla uttrycket för funktionen f. c) Vilkendera är större, f (8) eller f (9)?

37. Anta att f ( x ) =

38. Anta att f ( x ) = 4 x - 1 och g ( x ) = 3 x 2 + 1. Bilda den sammansatta funktionen f  g och beräkna funktionens värde när x = -64.

39. Bestäm gränsvärdet för funktionen f (x ) =

a) Bilda den sammansatta funktionen f  g . b) Bilda den sammansatta funktionen g  f . c) Är funktionerna f  g och g  f samma funktion?

42. Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen f ( x ) = 4 16 x - x 2 .

36. Bestäm definitionsvillkoret för funktionen

3 x2 + 4 - 6 x x →0

a) lim

4 x - x3 för x = 4. 2- x

2 ROTFUNKTION

43. Den allmänna termen i talföljden

1 . Visa att 2n talföljden är strängt avtagande. Bestäm den 18:e termen i talföljden.

a1, a2, a3, ... är an =

44. Bestäm definitionsmängden för funktionen g ( x ) = 3 8 + 361 - x 2 . 2 45. Anta att f ( x ) = 1 - 5 x - x + 1 , när x ≠ 0.

3x Är det möjligt att bestämma funktions värdet f (0) så att funktionen f är kontinuerlig överallt?

46. Visa att funktionen f : [0, ∞[→ R , f (x ) = x 2 + x - x 4 x ⋅ x 2 + x + x 4 x är en linjär funktion och rita dess graf. [SE H-1997 lång]