Ma9 Lång blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma9 42. Kirjoita integraalien avulla lauseke, joka ilmaisee varjostetun alueen pinta-alan. y a) y = f (x)

46. Määritä pinta-alan avulla integraalin 4 2

∫

( 32 - x 2 - 4)d x tarkka arvo.

0

a) Muodosta pinta-alan avulla lauseke

x

integraalin

1

y

t

2

∫ ( 3 x + 2)d x

arvolle.

0

b) Derivoi saamasi lauseke muuttujan t suhteen. Mitä havaitset? y = g(x)

48. Määrätty integraali voidaan laskea myös

1

x 1

c)

Integralkalkyl

47. Olkoon t > 0 reaaliluku.

1

b)

LÅNG

y

useille epäjatkuville funktioille, kunhan epäjatkuvuuskohtia ei ole liian paljon.

Oletetaan, että suljetulla välillä [a, b] määritelty funktio f on rajoitettu (eli sen arvot eivät suurene tai pienene rajatta) ja sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia.

Tällöin määrätty integraali

b

∫a f ( x )d x

saa-

daan laskemalla yhteen integraalien arvot

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 9, Integraalilaskenta Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktörer: Anita Kokkila och Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe, Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2018 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2018 Jan-Anders Salenius, Leif Österberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4478-9

Till dig som använder boken Ma9 Lång

I kursen Integralkalkyl blir den studerande bekant med två grundbegrepp inom matematisk analys: primitiv funktion och integral. Målsättningen är att den studerande lär sig bestämma den primitiva funktionen för de elementära funktionerna och hur areor och volymer bestäms med hjälp av integraler.

Bokens uppbyggnad

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som motiveras och samlas till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

I boken finns exempel som är avsedda att lösas utan symbolisk räknare, kalkyl­ program eller geometriprogram.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda olika tekniska hjälpmedel på ett ända­målsenligt sätt.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter, som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan symbolisk räknare, kalkylprogram eller geometriprogram har markerats med bakgrundsfärg.

2. Uppgifter där du kan använda alla tekniska hjälpmedel saknar bakgrundsfärg.

E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar.

Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram.

I boken finns ett antal gamla studentuppgifter. Studentprovens tidpunkt, årtal samt om det är fråga om korta eller långa lärokursen är angivet inom klammer i slutet av uppgiften. Till exempel [SE H-2011 lång] betyder att uppgiften ingick i långa lärokursens studentskrivning hösten 2011.

Repetition

Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar: först går du genom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna och efter det följer flervalsuppgifter samt uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Helsingfors och Kvevlax 7.11.2018

Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1 Areaberäkning med hjälp av rektanglar………………………………………………………………… 7 1.2 Begreppet integral……………………………………………………………………………………… 20

2 Primitiv funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1 Begreppet primitiv funktion…………………………………………………………………………… 34 2.2 Integrering av en polynomfunktion…………………………………………………………………… 42

3 Integralkalkylens huvudsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4 Integreringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.1 4.2 4.3 4.4

Integrering av en sammansatt funktion…………………………………………………………………

Integrering av en exponentialfunktion…………………………………………………………………

Integrering av en trigonometrisk funktion………………………………………………………………

Integrering av en rationell funktion………………………………………………………………………

5 Areaberäkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 73 80 87

96

5.1 Området mellan grafen till en funktion och koordinataxlarna………………………………………… 96 5.2 Området mellan graferna till två funktioner…………………………………………………………… 109

6 Volymberäkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

6.1 Volymen av en rotationskropp………………………………………………………………………… 118 6.2 Övriga volymberäkningar……………………………………………………………………………… 134

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

1 Integral……………………………………………………………………………………………………

2 Primitiv funktion…………………………………………………………………………………………

3 Integralkalkylens huvudsats……………………………………………………………………………

4 Integreringsregler…………………………………………………………………………………………

5 Areaberäkning……………………………………………………………………………………………

6 Volymberäkning…………………………………………………………………………………………

Flervalsuppgifter………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie A………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………………

Facit ……………………………………………………………………………………………………………

Sakregister………………………………………………………………………………………………………

144 146 146 146 148 150 151 156 157 158 175

4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min 75 min

1 Integral 3

2

1.1 Areaberäkning med hjälp av rektanglar 1 1.2 Begreppet integral 2

1 1

2 Primitiv funktion 3

2

2.1 Begreppet primitiv funktion 1 2.2 Integrering av en polynomfunktion 2

1 1

3 Integralkalkylens huvudsats 2

1

4 Integreringsregler 8

5

4.1 4.2 4.3 4.4

2 1 1 1

Integrering av en sammansatt funktion Integrering av en exponentialfunktion Integrering av en trigonometrisk funktion Integrering av en rationell funktion

3 2 1 2

5 Areaberäkning 5

3

5.1 Området mellan grafen till en funktion och koordinataxlarna 3 5.2 Området mellan graferna till två funktioner 2

2 1

6 Volymberäkning 5

3

6.1 Volymen av en rotationskropp 3 6.2 Övriga volymberäkningar 2

2 1

Repetition 2

1

17

Totalt 28

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Integral

I det här avsnittet lär vi oss bland annat att uppskatta arean av det område som begränsas av en parabel och x-axeln. Dessutom bekantar vi oss med begreppet integral.

Introduktion Det fanns redan tidigt i matematikens historia två huvudproblem inom det område som senare fick namnet integralkalkylen. Det första är hur man ska bestämma arean av ett område som begränsas av en kurva och hur man ska bestämma volymen av en kropp som begränsas av en yta. Man sökte länge efter en lösning. Redan Arkimedes (c. 287–212 f.Kr.) kunde bland annat beräkna arean av de områden som ligger inne i en parabel och volymen av vissa tre­ dimensionella kroppar med hjälp av idéer som vi ska presentera i denna kurs. De som anses ha hittat lösningen på problemet är Isaac Newton (1642–1716) och Gottfried Leibniz (1646–1716). Båda utvecklade, oberoende av varandra, grundteorin för derivering och integrering. Den exakta lösningen till problemet är begreppet integral som infördes av Bernhard Riemann (1826–1866).

Det andra huvudproblemet är hur man ska kunna bestämma en funktion f om man känner till dess derivatafunktion f ’. Vi kan ofta lösa problemet genom att använda deriveringsregler i omvänd riktning. Den funktion som vi får då kallas primitiv funktion.

När man först ser på dessa två huvudproblem så ser det ut som om de inte skulle ha något med varandra att göra. Integralkalkylens huvud­sats, som är en av de viktigaste satserna inom matematiken, säger att integral och primitiv funktion är kopplade till varandra. Det här ger oss en möjlighet att beräkna komplicerade områdens areor och komplicerade kroppars volymer.

Integralkalkylen tillämpas på många områden inom matematiken och inom vetenskapsområden som använder matematiken som ett verktyg. Till exempel i gymnasiet grundar sig många av fysikens formler i fysikkurserna och olika hjälpmedel för att beräkna sann­ olikheter i sannolikhetsläran på just integralkalkylen.

6

1.1 Areaberäkning med hjälp av rektanglar VI UNDERSÖKER

y

1) Figuren visar ett markerat område som begränsas av grafen till funktio­ nen f och x-axeln i intervallet [0, 5].

Vi betecknar det exakta värdet för arean av området med bokstaven A.

y = f(x)

A 1

x 1

y a) Figuren visar ett antal rek­ 6 tanglar med bredden 1. De y = f (x) blåa rektanglarna är placera­ 5 de nedanför grafen till funk­ 4 tionen f (rektanglarna är 3 ”inskrivna” i området med arean A) och de röda rek­ 2 tanglarna är placerade ovan­ 1 för grafen till funktionen f x (rektanglarna ”omskriver” 1 2 3 4 5 området). Beräkna arean av de röda rektanglarna och arean av de blå rektanglarna. Mellan vilka två värden ligger arean A av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln?

b) Figuren visar ett antal rek­ tanglar med bredden 0,5. De blåa rektanglarna är placerade nedanför grafen till funktionen f och de röda ovanför grafen till funktionen f. Uppskatta med hjälp av rektanglarna mellan vilka två värden som arean A av det område som begränsas av grafen till funk­ tionen f och x-axeln ligger.

y

6 5 4 3 2 1 x 1

2

3

4

5

2) Fundera på hur du kunde bestämma ett ännu exaktare värde för områdets area.

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

7

Observera!

Med hjälp av geometrins areaformler kan vi beräkna exakta värden för bland annat arean av delar av en månghörning eller en cirkel.

Vi undersöker det område som begränsas av grafen till funktionen f ( x ) = - x 2 + 5 x och x-axeln i intervallet [0, 5]. Vi kan inte beräkna ett exakt värde för områdets area med hjälp av geometrins area­ formler men vi kan uppskatta områdets area med hjälp av till exempel rektanglar.

Vi delar in intervallet [0, 5] i lika breda delintervall. Om antalet delintervall är n så är bredden av ett delintervall d = 5-0 = 5. n n

y

y = f (x)

1

5 x

Vi gör först en nedre uppskattning av områdets area. I varje del­ intervall ritar vi in en rektangel vars höjd är funktionens minsta värde i delintervallet. När vi ökar antalet delintervall så minskar rektanglarnas bredd. Då närmar sig summan av rektanglarnas areor det undersökta områdets area. y

1

5x

x0

y

y = f(x)

x1

x2

x3

1 x0

n = 3, d = 5 3

Observera!

•• Varje rektangel har bredden d.

•• Höjden av rektangeln i delintervall k är mk .

8

1 INTEGRAL

y

y = f(x)

5x x1 x2 x3 x4

x5

y = f(x)

1

5x x0 x1 x3 x5 x7 x9 x10 x2 x4 x6 x8

n = 10, d = 1 2

n = 5, d = 1

Arean av det undersökta området är åtminstone lika stor som summan av dessa rektanglars areor. Om funktionens minsta värde i intervall k är mk så kan vi uppskatta arean med undersumman sn =

m1d arean av 1:a rektangeln

+

m2 d arean av 2:a rektangeln

+

+

mn d

n

= ∑ mk d .

arean av den sista k =1 rektangeln

Vi gör sedan en övre uppskattning av områdets area. I varje del­ intervall ritar vi in en rektangel vars höjd är funktionens största värde i delintervallet. När vi ökar antalet delintervall så minskar rektanglarnas bredd. Då närmar sig summan av rektanglarnas areor det undersökta områdets area. y

1

5x

x0

y

y = f(x)

x1

x3

x2

1

5x x1 x2 x3 x4

x0

n = 3, d3 = 5 3

y

y = f(x)

x5

y = f(x)

1

5x x0 x1 x3 x5 x7 x9 x10 x2 x4 x6 x8

n = 10, d10 = 1 2

n = 5, d5 = 1

Arean av det undersökta området är högst lika stor som summan av dessa rektanglars areor. Om funktionens största värde i intervall k är Mk så kan vi uppskatta arean med översumman

Observera!

•• Varje rektangel har bredden d.

•• Höjden av rektangeln i delintervall k är Mk .

Sn =

M1d arean av 1:a rektangeln

+

M2d arean av 2:a rektangeln

+

+

Mn d arean av den sista rektangeln

n

= ∑ Mkd . k =1

Om en funktion f är icke-negativ i intervallet [a, b] så ger under- och översumman en uppskattning av arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [a, b]. Under- och översummorna ger en exaktare uppskattning av arean om antalet delintervall ökar.

Undersumma och översumma

y

y = f (x) Mk

mk a

d

x b

Definition

Anta att f är en funktion som är kontinuerlig i intervallet [a, b].

Vi delar in intervallet i n lika breda delintervall, vilket ger att varje delintervall har bredden d = b - a . n Vi betecknar det minsta värdet för funktionen f i delintervall k med mk och det största värdet med Mk .

Då är undersumman för funktionen f i intervallet [a, b] n

sn = ∑ mk d = m1d + m2 d + ... + mn d k =1

och översumman för funktionen f i intervallet [a, b] n

Sn = ∑ M k d = M1d + M 2 d + ... + Mn d . k =1

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

9

CAS

EXEMPEL 1

Beräkna

y

a) undersumman b) översumman för funktionen f ( x ) = 2 x i intervallet [–2, 2] om vi delar in intervallet i fyra delintervall.

y = f(x)

1

x 1

LÖSNING

Observera!

Om vi delar in intervallet [a, b] i n lika breda delintervall så är bredden av varje delintervall d = b-a. n

a) Längden av intervallet [–2, 2] är 2–(–2) = 4. Om vi delar in intervallet i fyra delintervall så är bredden av ett delintervall d = 4 = 1. Vi ritar en figur.

4 y

y = f(x)

(1, f(1)) (1, f(0)) (−1, f (−1)) (−2, f (−2))

1 x 1

10

1 INTEGRAL

Vi beräknar undersumman.

s 4 = ∑ mk d

= f (-2)d + f (-1)d + f (0)d + f (1)d

= 2–2 · 1 + 2–1 · 1 + 20 · 1 + 21 · 1

= 3,75

4

k =1

Vi bestämmer funktionens minsta värde i varje del­intervall med hjälp av grafen. Vi får rektangelns höjd med hjälp av punktens y-­koordinat som är densamma som funktionens värde för punktens x-koordinat.

Funktionen f (x) = 2x.

Rektangelns bredd är d = 1.

b) Vi ritar en figur och beräknar översumman. y

y = f(x) (2, f(2))

(1, f(1)) (1, f(0)) (−1, f (−1))

1

x 1

4

Vi bestämmer funktionens största värde i varje delintervall med hjälp av grafen. Vi får rektangelns höjd med hjälp av punktens y-koordinat som är densamma som funktionens värde för punktens x-koordinat.

S4 = ∑ M k d

= f (-1)d + f (0)d + f (1)d + f (2)d

= 2-1 · 1 + 20 · 1 + 21 · 1 + 22 · 1

= 7,5

k =1

Funktionen f (x) = 2x.

Rektangelns bredd är d = 1.

SVAR

a) 3,75

b) 7,5

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

11

Om värdena för funktionen f är negativa i intervallet [a, b] så är också funktionens minsta och största värde i delintervallen negativa.

Då blir värdena för undersumman och översumman negativa.

Under- och översumman ger i dessa fall en uppskattning av det motsatta talet till arean av området som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [a, b] (dvs. ”–arean”).

Undersumman

y

a

y = f(x)

b

Översumman x

y

a

b

x

y = f (x)

Om funktionen antar både positiva och negativa värden i intervallet [a, b] så ger undersumman och översumman ingen direkt uppskatt­ ning av någon area. Vi återkommer till det här i nästa kapitel.

12

1 INTEGR A L

CAS

EXEMPEL 2

Anta funktionen f ( x ) = -2 x + 1. a) Beräkna undersumman och översumman för funktionen f i intervallet [1, 7] om vi delar in intervallet i tre delintervall.

y

x 1

−2

A

b) Vi kan uppskatta arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i inter­ vallet [1, 7] med hjälp av a-fallet.

Mellan vilka heltal ligger arean A av det aktuella området?

y = f (x)

LÖSNING

a) Om vi delar in intervallet [1, 7] i tre delintervall så är bredden av ett delintervall d = 7 - 1 = 2. Vi beräknar undersumman och 3 översumman.

Undersumman Översumman y −2

y

x 1

−2

x 1

y = f(x)

3

s3 = ∑ mk d k =1

Observera!

Vi kan också beräkna det exakta värdet för arean med hjälp av geometrins areaformler. Då får vi värdet A = 42.

y = f(x)

3

S3 = ∑ M k d k =1

= f (3)d + f (5)d + f (7)d = f (1)d + f (3)d + f (5)d = -5 · 2 + (-9) · 2 + (-13) · 2 = -1 · 2 + (-5) · 2 + (-9) · 2 = -54 = -30 b) Värdena för funktionen f är negativa i intervallet [1, 7]. Då ger undersumman och översumman en uppskattning av det mot­ satta talet till arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln. De motsatta talen till arean A ligger mellan talen –54 och –30 vilket ger att arean A ligger mellan talen 30 och 54, dvs. 30 < A < 54.

SVAR

a) s3 = -54 och S3 = -30

b) mellan talen 30 och 54

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

13

Uppskattningarna av arean A blir bättre och bättre ju mindre bred­ den är på de rektanglar som används i uppskattningarna. Då ökar antalet delintervall och det blir arbetsamt att beräkna undersummorna och översummorna med alla delsteg. Vi kan använda ett geometri­ program som hjälpmedel.

Undersumman och översumman med ett geometriprogram

Vi kan beräkna undersummorna och översummorna med ett geometriprogram. Kommandona kan till exempel ha följande form Undersumma[funktion,a,b,n] och Översumma[funktion,a,b,n], där a är intervallets vänstra ändpunkt, b är intervallets högra ändpunkt och n är antalet delintervall. Om vi vill undersöka undersummorna och översummorna för olika antal delintervall n så kan vi sätta in en glidare för variabeln n.

EXEMPEL 3

Anta funktionen f ( x ) = - 1 x 2 + 2 .

2 a) Bestäm med två decimalers noggrannhet undersumman och översumman för funktionen f i intervallet [–2, 2] om antalet delintervall är 10. Använd ett geometriprogram som hjälp.

Ge med en decimals noggrannhet en undre och en övre upp­ skattning av arean A av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–2, 2]. b) Upprepa beräkningarna i a-fallet om antalet delintervall är 30 och 100.

LÖSNING

a) Vi ritar grafen av funktionen f ( x ) = - 1 x 2 + 2 och bestämmer 2 med hjälp av ett geometriprogram undersumman och över­ summan när antalet delintervall är 10.

Undersumman y

Observera!

Uppskattningarna av arean avrundas alltid ”utåt”. Till exempel avrundas värdet 4,48 för undersumman till talet 4,4 och inte till talet 4,5 eftersom det exakta värdet för arean A kan vara mindre än 4,5.

14

1 INTEGRAL

Översumman y

y = f (x)

−2

y = f (x)

2

s = 4,48

Undersumman s10 = 4,48.

x

−2

2

S = 6,08

Översumman S10 = 6,08.

x

Enligt resultaten ligger värdet för arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–2, 2] mellan talen 4,4 och 6,1, dvs. 4,4 < A < 6,1. b) Vi beräknar undersumman och översumman när antalet delintervall är 30.

Undersumman

Översumman

y

y

y = f (x)

−2

y = f (x)

2

x

−2

2

s = 5,06074

S = 5,59407

s30 ≈ 5,06 Observera!

Att bestämma arean av en planfigur är ett av de problem som man ofta stöter på inom matematiken. Metoden som vi använder för att bestämma arean grundar sig på att täcka över figuren med allt mindre rektanglar.

S30 ≈ 5,59

Enligt resultaten ligger värdet för arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–2, 2] mellan talen 5,0 och 5,6, dvs. 5,0 < A < 5,6.

Vi beräknar undersumman och översumman när antalet delintervall är 100.

Undersumman

Översumman

y

y

y = f (x)

−2

y = f (x)

2

x

−2

2

s = 5,2528

s100 ≈ 5,25 Observera!

Det exakta värdet för arean är A = 5 1 = 5,333… .

3 Den mest exakta av upp­ skattningarna är den där antalet delintervall är störst.

En ytterligare ökning av antalet delintervall till 150 skulle ha gett att den undre och den övre uppskattningen för arean A är 5,3, dvs. exakta värdet för arean A avrundat till en decimal.

x

x

S = 5,4128

S100 ≈ 5,41

Enligt resultaten ligger värdet för arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–2, 2] mellan talen 5,2 och 5,5, dvs. 5,2 < A < 5,5.

SVAR

a) s10 = 4,48 och S10 = 6,08, arean 4,4 < A < 6,1 b) s30 ≈ 5,06 och S30 ≈ 5,59, arean 5,0 < A < 5,6; s100 ≈ 5,25 och S100 ≈ 5,41, arean 5,2 < A < 5,5

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

15

Uppgifter Serie

4. a) Bestäm med två deci­

I

1. Beräkna a) undersumman b) översumman för E1 funktionen f (x) = -x + 5 i intervallet [0, 4] om vi delar intervallet i fyra delintervall. y

y = f (x)

1

x 1

2. Beräkna a) undersumman b) översumman för funktionen f (x) = 6x – x2 i intervallet [0, 6] om vi delar in intervallet i tre delintervall. y

y = f (x)

2

x 1

3. a) Beräkna undersumman och över­

summan för funktionen f (x) = 2x + 7 i intervallet [–2, 4] om vi delar in inter­ vallet i sex delintervall. b) Mellan vilka heltal ligger arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–2, 4] enligt a-fallet?

E2

y

y = f (x)

2

x 1

16

1 INTEGRAL

y

x

malers noggrannhet 1 undersumman och −2 y = f(x) översumman för funktionen f (x) = -ex i intervallet [0 2] om vi delar in intervallet i fyra delintervall. b) Uppskatta utifrån a-fallet mellan vilka tal arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [0, 2] ligger. Ge svar med en decimals noggrannhet.

5. a) Bestäm med två decimalers noggrannhet undersumman och översumman för funktionen f (x) = ln x2 i intervallet [1, 7] när antalet delintervall är 30. b) Ange med hjälp av a-fallet en undre och en övre uppskattning av arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [1, 7]. Ge svaren med en decimals noggrannhet.

E3

6. Bestäm med två decimalers noggrannhet

undersumman och översumman för funk­ tionen f ( x ) = sin πx + cos πx i intervallet [0, 2] när antalet delintervall är a) 20 b) 100. c) Området som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [0, 2] bildas av tre delområden. Dra slut­ satser, utgående från resultaten i a- och b-fallet, om förhållandet mellan areorna för de områden som ligger ovanför respektive nedanför x-axeln.

7. Bestäm, genom att beräkna under­summor

och översummor med ett geometri­ program, ett närmevärde för arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f ( x ) = 1 x 2 - 3 x och x-axeln i 2 intervallet [0, 6]. Avrunda svaret till heltal.

10. Hastigheten (m/s) för en kropp som

rör sig rätlinjigt beskrivs av funktionen v(t) = -0,4t2 + 5,2t, där 0 ≤ t ≤ 13 är tiden i sekunder. Bestäm med 10 meters nog­ grannhet den sträcka som kroppen rör sig i tidsintervallet a) [5, 10] b) [0, 13]. v(m/s)

8. Uppskatta med hjälp av undersummor och

översummor arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f (x) = sin x och x-axeln i intervallet [0, 2π].

Ge svar med en decimals noggrannhet.

9. Inom sannolikhetskalkylen använder man

ofta begreppet normalfördelning som hör 1 - x2 ihop med funktionen f ( x ) = 1 e 2 .

2π Grafen till funktionen f kallas klockkurvan eftersom den har formen av en kyrkklocka.

Bestäm, genom att beräkna undersummor och översummor med ett geometri­program, arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i inter­

vallet [–10, 10]. Ge svar med en decimals noggrannhet.

5

v = v(t)

t(s) 1

Den sträcka som en kropp rör sig i tids­ intervallet [t1, t2] är densamma som arean av det område som begränsas av grafen till funktionen v och t-axeln i tidsintervallet [t1, t2].

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

17

Serie

14. Bestäm med två decimalers noggrannhet

II

11. Beräkna undersumman och översumman

för funktionen f (x) = -x2 – 3x i intervallet [–3, 0] om vi delar in intervallet i tre delintervall. y

y = f (x) 1

x

−1

15. I hur många delintervall ska vi dela inter­

12. a) Bestäm med två decimalers noggrann­

het undersumman och översumman för funktionen f ( x ) = x + 12 i intervallet x [2,6] om vi delar in intervallet i fyra delintervall. b) Ange med hjälp av a-fallet en undre och en övre uppskattning av arean för det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [2, 6]. Ge svaren med en decimals noggrannhet. y

y = f (x)

1

x 1

13. Bestäm med en decimals noggrannhet

undersumman och översumman för funktionen f ( x ) = cos 2 x i intervallet [0, 4π] när antalet delintervall är a) 10 b) 40. c) Ange med hjälp av b-fallet en undre och en övre uppskattning av arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [0, 4π]. Ge svaren som heltal.

18

1 INTEGRAL

undersumman och översumman för funk­ tionen f ( x ) = 25 - x 2 + 3 i intervallet [–5, 5] när antalet delintervall är a) 20 b) 200. c) Beräkna ett exakt värde för arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [–5, 5].

vallet [2, 6] för att differensen mellan undersumman och översumman för funk­ tionen f ( x ) = 1 ska vara mindre än 0,01? x

16. I hur många delintervall ska vi dela inter­

vallet [1, 10] för att differensen mellan undersumman och översumman för funk­ tionen f (x) = ln x ska vara mindre än 1 ?

10

17. a) Bestäm med hjälp av undersumman

och översumman närmevärden med tre decimalers noggrannhet för arean av den övre halvan av enhetscirkeln x2 + y2 = 1. Dela in intervallet [−1, 1] i åtta del­intervall. b) Hur många procent avviker dessa närme­ värden från det exakta värdet för arean? c) Beräkna medelvärdet för under- och översumman i a-fallet. Hur många procent avviker detta medelvärde från det exakta värdet för arean?

18. Hastigheten (m/s) vid tidpunkten t

sekunder för en kropp som rör sig rät­ linjigt beskrivs av funktionen a) v(t) = 2t b) v (t ) = - 1 t 2 + 2t + 5.

4 Bestäm med 10 meters noggrannhet den sträcka som kroppen rör sig i tids­intervallet [0, 10].

19. När ett influensavirus börjar sprida sig

i en skola vid tidpunkten t = 0 beskrivs förändrings­hastigheten vid tidpunkten t ≥ 0 för antalet studerande som insjuknar av funktionen f (t ) =

11175e

1 - t 2

, 1 - t (149e 2 + 1)2 där t är tiden i dygn. Antalet studerande som insjuknar i tidsintervallet [t0, t1] be­ skrivs av arean av det område som begrän­ sas av grafen till funktionen f och t-axeln i intervallet [t0, t1]. Uppskatta, genom att beräkna undersumman med ett geometri­ program, hur många studerande som insjuknar a) under den första veckan b) under de tre första veckorna efter att smittan har börjat sprida sig.

Ge svaren med 10 studerandes noggrannhet.

23. Värdena för en kontinuerlig funktion f

som är definierad i intervallet [0, 10] är icke-negativa. Funktionen f är växande i intervallen [0, 2] och [6, 9] och avtagande i intervallen [2, 6] och [9, 10]. Dessutom vet vi att f (0) = 0, f (2) = 5, f (6) = 1 och f (9) = 8. a) Vilka är de bästa möjliga undre och övre uppskattningarna av arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [0, 10] om vi vet att f (10) = 6? b) Vad kan vi säga om värdet av f(10) om vi vet att arean av det område som be­ gränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i intervallet [0, 10] ligger i inter­ vallet [9, 62]?

20. Bestäm en undre och en övre uppskattning av arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f (x) = x 2, när 0 ≤ x ≤ 4, och y-axeln. Dela in intervallet längs y-axeln i åtta delintervall. Ge upp­ skattningarna med ett heltals noggrannhet.

21. a) Rita graferna till funktionerna f (x) = 2 x

och g ( x ) = log 2 x . Vad upptäcker du? b) Uppskatta, genom att beräkna under­ summor och översummor med ett geo­ metriprogram, arean av det område som begränsas av grafen till funktionen f och y-axeln när 0 ≤ x ≤ 3. Ge svaret med en decimals noggrannhet.

22. Grafen till funktionen f ( x ) = 25 - x 2 - 3, där –5 ≤ x ≤ 5, beskriver den övre halvan av cirkeln x2 + (y + 3)2 = 25. Beräkna arean av det tredelade område som begränsas av grafen till funktionen f och x-axeln i inter­ vallet [–5, 5]. Ge svar med en hundradels noggrannhet.

1 . 1 A r e a b e r ä k n i n g m e d h j ä l p av r e k ta n g l a r

19