Pi7 blädderex

matematik

– Matematik för åk 7–9

Stoffet i Pi 7 är indelat i

• Från tal till bokstäver.

matematik

Facit ingår.

ISBN 978-951-50-1986-8 P51

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

• Från punkter till figurer och kroppar

Heinonen Luoma Mannila Tikka Lindgrén Mitts Söderback

• Siffror och tal

Förord www.sets.fi Första upplagan, fjärde tryckningen 2017 Grafisk planering och omslag:

Jan Myller och Venla Koski Omlagsbild: Lehtikuva/Les Cunliffe Teckningar: Marcus Lindén Fotografier: se s. 312 Ombrytning: Venla Koski, Emma Virtasalo och Vitale/Jukka Iivarinen Redaktion: Mare Herlevi och Margareta Teir Det finska originalet: Pii 7 Matematiikka, utgiven av Förlagsaktiebolaget Otava © Martti Heinonen, Markus Luoma, Leena Mannila, Tommi Tikka och Förlagsaktiebolaget Otava © 2010 Henrik Lindgrén, Harry Mitts, Camilla Söderback och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konst­samfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Gruppen har även stött författarna med stipendium.

Villkor för kopiering Detta verk är en lärobok och är skyddat med stöd av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att ta kopior av verket om inte fotokopieringstill­ stånd anskaffats. Vänligen kontrollera om er läroinrättning har ett gällande fotokopieringstillstånd. Närmare upp­ gifter om tillstånden och vad de inne­ fattar ges av upphovsrättsföreningen Kopiosto ry, www.kopiosto.fi.

Det är absolut förbjudet att på digital väg kopiera eller modifiera verket eller delar av detta.

ISBN 978-951-50-1986-8

Pi är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grund­ skolan. Serien består av fyra böcker, Pi 7, Pi 8, Pi 9 samt Pi Statistik och sannolikhet.

Läroböckerna Pi 7, Pi 8 och Pi 9 har planerats för tre årsvecko­ timmar. Varje bok är indelad i tre delar och varje del motsvarar en årsveckotimme, dvs. en kurs om undervisningen är kursformad.

Boken Pi Statistik och sannolikhet omfattar stoff för en årsvecko­ timme och den är inte bunden till någon speciell årskurs utan kan användas flexibelt i enlighet med skolans läroplan.

Den här boken, Pi 7, är avsedd för årskurs 7. Varje del i boken har 14 kapitel, varav 12 kapitel behandlar nytt stoff och 2 kapitel innehåller repetitionsuppgifter. Repetitions­kapitlen hittar du i mitten och i slutet av varje del.

Kapitlen innehåller teori och exempel och rikligt med övnings­ uppgifter av olika svårighetsgrad. De många exemplen hjälper dig att tillämpa den nya kunskapen i uppgifterna och ger dig samtidigt modeller för ditt arbete i häftet. Övningsuppgifterna är indelade i tre svårighetsgrader: basuppgifter, fördjupande uppgifter och tillämpningsuppgifter. Kapitlen avslutas med uppgifter som kan användas som hemuppgifter. Facit finns till alla uppgifter.

Lycka till med dina matematikstudier!

Henrik Lindgrén

Harry Mitts

Camilla Söderback

1 Från siffror till tal 1.1 Talens uppbyggnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Multipler och delbarhet . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Faktorisering och primtal . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Absolutbelopp och motsatt tal . . . . . . . 28 1.6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Summa och differens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.8 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.9 Produkt och kvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.10 Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.11 Räknesättens ordningsföljd . . . . . . . . . . . 60 1.12 Decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.13 Beräkningar med närmevärden . . . . . . . 72 1.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2 Från punkter till figurer och kroppar 2.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Cirklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.4 Linjer och vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.7 Månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Speciella trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Fyrhörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11 Enheter och avrundning . . . . . . . . . . . . . .

2.12 Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13 Från plan till rymd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 140 148 156 164 172 180 190

3 Från tal till bokstäver 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Bokstavsuttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Värdet av ett uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Addition av termer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Multiplikation och division . . . . . . . . . . 224 Addition och subtraktion . . . . . . . . . . . . 230 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3.8 Bevara jämvikten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 3.9 Ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.10 Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 3.11 Division och multiplikation av

en ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 3.12 Flyttning av termer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.13 Tillämpningar med ekvationer . . . . . . 266 3.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

4

1 Från siffror till tal

T A N K E N Ö T Placera in talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 och 8 i rutmönstret så att två tal som följer på varandra inte finns i rutor som ligger bredvid varandra eller i rutor som har ett gemensamt hörn .

5

1 Från siffror till tal 1.1 Talens uppbyggnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Naturliga tal • Positionssystemet • Romerska siffror • Hieroglyfer

1.2 Multipler och delbarhet . . . . . . . . . . . . . . . 12 Delbarhet • Delbarhetsregler • Minsta gemensamma multipel

1.3 Faktorisering och primtal . . . . . . . . . . . . . 18 Faktorer i ett tal • Primtal • Primfaktorer • Största gemensamma faktor

1.4 Heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Positiva och negativa tal • Heltal • Modeller för heltal • Skillnad i storlek mellan tal • Jämförelse av tal

1.5 Absolutbelopp och motsatt tal . . . . . . . 28 Absolutbelopp • Motsatt tal

1.6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7 Summa och differens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Addition • Subtraktion • Addition och subtraktion på tallinjen

1.8 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Förenklingsmetoder • Avståndet mellan två tal

1.9 Produkt och kvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Multiplikation • Division

1.10 Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ett tals kvadrat och kub • Negativ bas • Parentes och exponent

1.11 Räknesättens ordningsföljd . . . . . . . . . . . 60 Uttryck med parenteser • Huvudräkningsmetoder

1.12 Decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Addition och subtraktion • Multiplikation och division

1.13 Beräkningar med närmevärden . . . . . . . 72 Avrundning • Negativa decimaltal• Prisjämförelse• Uppskattning och beräkning

1.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6

1.1 Talens uppbyggnad Ett tal anger storlek eller antal. Ett tal är en beteckning som består av siffror. I vårt land använder vi arabiska siffror, som araberna tog med sig till Europa från Indien för ungefär tusen år sedan. De arabiska siffrorna trängde så småningom undan de romerska sifferbeteckningarna.

De arabiska siffrorna är 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

1

EXEMPEL

I lagret hos en nätbutik finns det 57 mp3-spelare.

Talet 57, som består av siffrorna 5 och 7, anger antalet.

Naturliga tal

Vi anger antal med hjälp av de naturliga talen. Det minsta naturliga talet är 0, alltså noll, som betyder ”ingenting alls”.

2

EXEMPEL

Vi kan åskådliggöra naturliga tal med till exempel pilar. tal 0 1 2 3 4 5

modell

Det naturliga tal som följer efter ett givet naturligt tal får vi genom att addera det givna talet med 1. Eftersom vi kan upprepa detta för varje naturligt tal finns det inget största naturliga tal, utan det finns oändligt många naturliga tal. Oändligheten är inget tal, men den har ändå en egen beteckning, nämligen ∞.

De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, ...

3

Tre punkter betyder att uppräkningen fortsätter utan slut.

EXEMPEL

Det följande naturliga talet efter talet 7 är 8, eftersom 7 + 1 = 8.

UPPGIFTERNA

1–14

1.1 Talens uppbyggnad

Positionssystemet

I ett naturligt tal bestämmer en siffras plats, positionen, dess värde.

Därför talar vi om positionssystemet.

4

EXEMPEL

I talet 1 052 379 har siffrorna följande platsvärde: 1 052 379

ental

Stora tal skrivs i grupper om tre siffror räknat från höger.

tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal

Talet 1 052 379 kan vi beskriva så här: 1 052 379 = 1 000 000 + 50 000 + 2 000 + 300 + 70 + 9

= 1 ∙ 1 000 000 + 0 ∙ 100 000 + 5 ∙ 10 000 + 2 ∙ 1 000 + 3 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 9 Då vi skriver talet med ord får vi en miljon femtiotvåtusen trehundrasjuttionio.

1 10 100 1 000 10 000 100 000

5

ett tio hundra tusen tiotusen hundratusen

1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000

miljon tio miljoner hundra miljoner miljard biljon triljon

EXEMPEL

Talet 12 098 203 skriver vi med ord som tolv miljoner nittioåttatusen tvåhundratre.

6

EXEMPEL

Vad anger siffran 7 i talet a) 172 b) 70 543 c) 100 627?

Lösning

a) tiotal b) tiotusental c) ental

UPPGIFTERNA

15–25

7

8

Romerska siffror Huvud­ tecken

I

X

1

C

10

100

Hjälp­ tecken

M 1 000

V

L

D

5

50

500

Ett tal som är skrivet med romerska siffror utläser vi så här: Om två likadana siffror står bredvid varandra eller om en större siffra står framför en mindre, adderas siffrorna. Om en mindre siffra står framför en större siffra, subtraheras den mindre siffran från den större.

Då ett tal skrivs med romerska siffror kan det stå högst tre likadana huvudtecken efter varandra. Detta gäller emellertid inte tecknet M. Ett hjälptecken kan inte stå före eller efter ett annat likadant hjälptecken och inte före ett huvudtecken som har större värde.

7

EXEMPEL

Skriv talet med arabiska siffror. a) XXVIII b) XLIV c) MCMLXXXIX Lösning

a) X XVIII

b) X L I V

10+10+5+1+1+1 = 28

8

c) M C M L X X X I X

(50−10)+(5−1) = 44

1 000+(1 000−100)+50+10+10+10+(10–1) = 1 989

EXEMPEL

Skriv talet med romerska siffror. a) 19 b) 1 479 c) 4 065 Lösning

a) 19

b) 1 479

= 10 + (10 – 1)

XIX

c) 4 065

= 1 000 + (500 – 100) + 50 + 10 + 10 + (10 – 1)

MCDLXXIX

= 4 000 + 50 + 10 + 5

MMMMLXV

Hieroglyfer

De tidigaste talbeteckningarna var bilder. Bilderna förenklades småningom till symboler som visade antal. Så använde till exempel egyptierna för 5 000 år sedan hieroglyfer som beteckning för tal.

Hieroglyftecken

1

9

10

100

1 000

10 000

100 000

en miljon eller oändlighet

EXEMPEL

a) Talet 7 betecknas

Tecknets position inverkar inte på talets storlek.

.

b) Talet 3 002 betecknas till exempel c) Talet 112 betecknas till exempel

eller eller

. eller

.

UPPGIFTERNA

26–31

1.

Vilket tal visar pilarna? a) b) c)

10. Bilda ett fyrsiffrigt naturligt tal som innehåller siffrorna 4, 6, 2 och 7 så att talet är a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt c) så nära 3 000 som möjligt.

2. I en skola går det 77 elever i årskurs 7, 92 elever i årskurs 8 och 86 elever i årskurs 9. Hur många elever har skolan sammanlagt?

11. Beräkna talets siffersumma (dvs. summan av siffrorna). a) 520 b) 1 458 c) 3 067 d) 65 432

3. Till invigningen av en butik hade man beställt 430 ballonger. Den första dagen delade man ut 387 av dem. Hur många ballonger fanns då kvar?

12. a) Vilket är det minsta naturliga talet? b) Vilket är det största naturliga talet?

4. Vilka siffror finns det i följande tal? a) 8 b) 37 c) 209 d) 1 543 5. Vilka siffror finns det i följande tal? a) 9 b) 77 c) 8 226 d) 30 212 6. Förklara skillnaden mellan tal och siffra.

7. Vilket tal följer efter talet? a) 2 b) 19 c) 100 d) 1 999 999 8. Beräkna summan av talen. a) 56 och 41 b) 45 och 97 c) 678 och 328 d) 1 785 och 25 548 9. Beräkna diffe­rensen av talen. a) 745 och 532 b) 1 977 och 254 c) 5 678 och 1 291 d) 100 528 och 65 891

13. a) Fundera på vad som menas med det tal som föregår ett naturligt tal. b) Vilket tal föregår 100? c) Är det tal som föregår ett naturligt tal alltid ett naturligt tal?

14. Rita av den magiska triangeln i ditt häfte.

Placera in talen 1–9 i triangeln så att talens summa är 21 på 3 varje sida. Använd varje tal bara en gång. Hitta åtminstone två olika 8 7 lösningar.

15. I talet 7 640 512 anger siffran 7 miljontal.

Vilket platsvärde har siffran a) 6 b) 4 c) 0 d) 5 e) 1 f) 2?

16. Vad anger siffran 4 i talet a) 145 b) 34 507 c) 115 402 d) 742 350?

17. Skriv talet med siffror. a) sjutusen b) trehundrafyrtiofem c) sexhundratvå d) ettusen ett

9 ÖVNINGSUPPGIF TER

1.1 Talens uppbyggnad

ÖVNINGSUPPGIF TER

10

18. Skriv talet med siffror. a) trettiotusen femtioåtta b) en miljon trehundrasex c) fem miljarder etthundrafem miljoner d) tjugonio miljoner etthundrasextiotvåtusen fem

24. Ett naturligt tal kan betecknas med bokstaven n. Det betyder att bokstaven kan bytas ut mot vilket naturligt tal som helst. Hur kan man beteckna a) det tal som följer efter talet n b) det tal som föregår talet n?

19. Skriv talet med ord. a) 3 754 b) 11 000 c) 3 000 000 d) 250 908

25. Vilken siffra motsvarar de olika bokstäverna i uträkningen? Det kan finnas flera lösningar.

20. Talet 3 402 kan skrivas så här: 3 402 = 3 ∙ 1 000 + 4 ∙ 100 + 2.

Skriv talet a) 552 b) 12 345 c) 5 408 030

på motsvarande sätt.

21. Vilket tal är det frågan om? a) 3 · 10 000 + 1 · 1 000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 5 b) 5 ∙ 100 000 + 1 ∙ 10 000 + 9 ∙ 100 + 7 c) 2 ∙ 1 000 000 + 3 ∙ 1 000 + 2 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 8 22. Skriv talet 18 som a) summan av två naturliga tal b) differensen av två naturliga tal c) produkten av två naturliga tal d) kvoten av två naturliga tal.

23. Hur många små kuber är konstruktionen uppbyggd av? a) b)

c)

d)

B L Å + G U L G R Ö N

26. Skriv talet med arabiska siffror. a) XVI b) XXII c) XXXVIII d) CMLI 27. Skriv talet med romerska siffror. a) 3 b) 15 c) 30 d) 64 28. a) I ett medicinrecept anges antalet tabletter som CCL. Hur många tabletter har läkaren skrivit ut? b) I slutet av en film angavs produktionsåret som MCMXCVIII. Vilket år var filmen gjord?

29. Skriv årtalen med romerska siffror. a) 1950 b) 1975 c) 2000 d) 2025.

30. Skriv ditt eget och dina familje­ medlemmars födelseår med romerska siffror.

31. Skriv om de egyptiska hieroglyferna med arabiska siffror. b) a) c) d) e) f)

32. Vilka siffror finns det i följande tal? a) 270 b) 207 c) 10 011 33. Beräkna summan av talen. a) 32 och 27 b) 69 och 108 c) 314 och 895 d) 7 314 och 21 900 34. Beräkna differensen av talen. a) 879 och 439 b) 2 013 och 211 c) 9 108 och 8 992 d) 60 520 och 56 101 35. Bilda ett fyrsiffrigt naturligt tal som innehåller siffrorna 0, 1, 5 och 9 så att talet är a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt.

36. Bilda ett så stort femsiffrigt naturligt tal som möjligt genom att använda varje given siffra åtminstone en gång. a) 6, 0, 3, 7 och 1 b) 1, 9, 2 och 7 c) 3 och 8

37. Skriv talet med siffror. a) tvåtusen trehundra b) trehundrasjutusen fyrahundrafemtioett c) fem miljoner niohundratjugotusen sextiosju 38. Skriv talet med ord. a) 12 506 b) 1 002 321 c) 10 223 110 39. Vad anger a) siffran 7 i talet 3 702 b) siffran 5 i talet 532 674 c) siffran 9 i talet 21 693 d) siffran 0 i talet 345 280?

40. Vi kan skriva talet 782 så här: 782 = 7 ∙ 100 + 8 · 10 + 2.

Skriv talet a) 1 534 b) 30 257 c) 245 506

på motsvarande sätt.

41. Vilken siffra motsvarar var och en av bokstäverna?

A = B =

T A N K E N Ö T Två plus tre är åtta. Den uträkningen stämmer naturligtvis inte. Men genom att flytta på tändstickorna kan du i alla fall visa att du med två stickor och tre stickor får resultatet åtta. Hur?

C = D = E =

A+B=C B+B=A D+E=C A · B = DE

HEMUPPGIFTER

11

12

1.2 Multipler och delbarhet Multiplikationstabellen för ett tal byggs upp av talets multipler.

En multipel får vi då vi multiplicerar ett tal med ett naturligt tal.

Talet 27 är t.ex. en multipel av 9 eftersom 27 = 3 · 9.

1

EXEMPEL

a) Multiplerna av talet 7 är 7, 14, 21, 28, ... b) Multiplerna av talet 11 är 11, 22, 33, 44, ...

Delbarhet

Multiplerna av talet 7 ger sjuans tabell: 1∙7=7 2 ∙ 7 = 14 3 ∙ 7 = 21 4 ∙ 7 = 28 5 ∙ 7 = 35

6 ∙ 7 = 42 7 ∙ 7 = 49 8 ∙ 7 = 56 9 ∙ 7 = 63 10 ∙ 7 = 70

Ett naturligt tal är delbart med ett annat naturligt tal om talens kvot är ett naturligt tal, dvs. om divisionen går jämnt upp.

2

EXEMPEL

Modell:

a) 12 : 4 = 3 Divisionen går jämnt upp.

Eftersom kvoten av divisionen 12 : 4 är ett naturligt tal är talet 12 delbart med talet 4.

Modell:

b) 13 : 4 = 3 rest 1 Divisionen går inte jämnt upp.

Eftersom kvoten av divisionen 13 : 4 inte är ett naturligt tal är talet 13 inte delbart med talet 4.

Endast multiplerna av ett tal är delbara med talet.

Ett tal är jämnt om det är delbart med talet 2. Annars är talet udda.

Av de naturliga talen är vartannat jämnt och vartannat udda.

3

EXEMPEL

a) 4 : 2 = 2 Talet 4 är jämnt, eftersom

det är delbart med två. b) 9 : 2 = 4 rest 1 Talet 9 är udda,

eftersom det inte är

delbart med två.

UPPGIFTERNA

42–56

1.2 Multipler och delbarhet

Delbarhetsregler

Vi kan i vissa fall bestämma delbarheten hos ett naturligt tal utgående från siffrorna i talet.

Ett naturligt tal är delbart med talet

2, om sista siffran är 0, 2, 4, 6 eller 8

5, om sista siffran är 0 eller 5

10, om sista siffran är 0

3, om siffersumman är en multipel av 3 (3, 6, 9, ...)

9, om siffersumman är en multipel av 9 (9, 18, 27, ...).

4

EXEMPEL

Med vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 är det givna talet delbart? a) 2 206 b) 4 500 Lösning

a) Den sista siffran i talet 2 206 är 6. Därför är talet delbart med 2, men inte med 5 eller 10. Siffersumman är 2 + 2 + 0 + 6 = 10, som inte är en multipel av 3 eller 9.

Därför är talet inte heller delbart med 3 eller 9. b) Den sista siffran i talet 4 500 är 0. Därför är talet delbart med 2, 5 och 10.

Siffersumman är 4 + 5 + 0 + 0 = 9. Därför är talet också delbart med 3 och 9.

Minsta gemensamma multipel

Den minsta gemensamma multipeln (mgm) av två tal är det minsta tal som är delbart med båda talen.

5

EXEMPEL

Sök den minsta gemensamma multipeln av talen 5 och 7.

Lösning

Multiplerna av talet 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, …

Multiplerna av talet 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, …

Den minsta gemensamma multipeln är 35.

6

EXEMPEL

Vilket är det minsta antal lerkrukor som kan delas jämnt mellan tre, fyra och sex personer?

Lösning

Den minsta gemensamma multipeln av 3, 4 och 6 är 12. Det minsta möjliga antalet lerkrukor är alltså 12.

3, 6, 9, 12, 15, ...

4, 8, 12, 16, ...

6, 12, 18, 24, ....

UPPGIFTERNA

57–75

13

ÖVNINGSUPPGIF TER

14

42. Skriv ut de sju första multiplerna av talet. a) 2 b) 4 c) 8 d) 9 43. Med vilket tal ska du multiplicera talet 7 för att få följande tal? a) 42 b) 56 c) 77 d) 105

49. Här ser du multipler av ett tal.

Vilket är talet? a) …, 12, 16, 20, … b) …, 21, 24, 27, … c) …, 42, 48, 54, … d) …, 91, 98, 105, …

44. Är talet jämnt eller udda? a) 8 b) 9 c) 24 d) 103

50. En restaurang har bord för sex personer.

Hur många personer får rum i restaurangen om antalet bord är a) fyra b) nio c) tjugo?

45. Hur många personer kan dela jämnt på a) 12 äpplen b) 40 kort?

Skriv ut alla möjligheter.

51. Hur många 3 euros godispåsar kan du köpa för a) 6 euro b) 12 euro c) 16 euro?

46. Med vilka av talen 2, 3, 4 och 5 är talet delbart? a) 21 b) 24 c) 30 d) 63

52. Hur många kort blir över då 42 spelkort fördelas jämnt mellan a) 3 b) 8 c) 9 spelare?

47. Är talet delbart med 7?

Motivera ditt svar. a) 28 b) 33 c) 45 d) 70

53. Är det möjligt att dela in en klass med 28 elever i grupper om a) två b) tre c) fyra d) fem e) sex f) sju elever?

48. Vilket tal ska stå i rutan? a) …, 21, 28, , 42, 49, … b) …, 27, 30, , 36, 39, … c) …, 22, 33, , 55, 66, … d) …, 24, 36, , 60, 72, …

54. Den 1 april är en fredag. a) Vilka datum har de övriga fredagarna i april? b) Vilken veckodag är den 25 april?

55. Vilket tal uppfyller följande villkor?

– Talet är tvåsiffrigt.

– Talet är udda.

– Entalssiffran är mindre än tiotalssiffran.

– Talet är delbart med nio.

– Den första siffran är delbar med tre.

56. Undersök om påståendet är sant eller falskt. Motivera. Om påståendet är falskt räcker det som motivering att hitta ett motexempel (ett exempel som strider mot påståendet). a) udda + udda = udda b) jämn + jämn = udda c) jämn + udda = udda d) jämn ∙ udda = jämn 57. Undersök om talet 51 är delbart med talet a) 2 b) 3 c) 5 d) 10.

Motivera.

58. Undersök om talet 3 540 är delbart med talet a) 2 b) 3 c) 5 d) 9.

Motivera.

64. Vilka är talens gemensamma multipler?

Vilken av multiplerna är minst? a) 3 och 4 b) 6 och 9 c) 8 och 10 65. Vilken är den minsta gemensamma multipeln av talen? a) 2 och 3 b) 5 och 10 c) 6 och 8 66. Vilken är den minsta gemensamma multipeln av talen? a) 2, 3 och 4 b) 2, 3 och 5 c) 3, 4 och 6 67. Vilket är det minsta antal pennor som kan delas jämnt mellan grupper om a) tre och fem elever b) tre, fyra, fem och sex elever c) tre, fem och sju elever?

59. Undersök om talet är delbart med 3. a) 18 b) 56 c) 123 d) 5 077 60. Med vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 är talet a) 12 b) 23 c) 45 d) 180 delbart och varför?

61. Vilken siffra kan vara ental i talet 3_, då talet är delbart med a) två b) tre c) fem d) sju e) nio f) tio?

62. Undersök om talet 628 395 är delbart med a) två b) tre c) fem d) nio e) tio.

Kontrollera med miniräknare.

63. Skriv två tal som är delbara med a) 2 och 5 b) 4 och 6 c) 2, 3 och 5.

68. Karamellerna i en godisask kan delas jämnt mellan tre, fyra och fem barn.

Hur många karameller finns det i asken?

69. I Finland ordnas kommunalval vart fjärde år och presidentval vart sjätte år. År 2012 ordnas både kommunalval och presidentval. Vilket år ordnas följande gång både kommunalval och president­ val?

15 ÖVNINGSUPPGIF TER

1.2 Multipler och delbarhet

ÖVNINGSUPPGIF TER

16

70. a) Vilket villkor ska de två sista siffrorna i ett tal uppfylla för att talet ska vara delbart med 4? b) Varför påverkar inte de siffror som står före de två sista siffrorna talets delbarhet med 4?

71. I sovvagnen på ett tåg är sängarna numrerade från 1 och uppåt. Vagnen är indelad i kupéer, som alla har tre sängar ovanpå varandra. Sängarna är numrerade nerifrån upp. Hur är en säng placerad i kupén om den har nummer a) 6 b) 10 c) 20 d) 25?

72. Hur kan du utifrån de sista siffrorna i ett tal avgöra om talet är delbart med a) 20 b) 50 c) 100?

73. Skottår är de årtal som är delbara med fyra. Undantag är jämna århundraden, som är skottår endast om årtalet är delbart med 400. Åren 1900, 2100 och 2300 är alltså inte skottår, medan åren 2000 och 2400 är skottår. Undersök om följande år är skottår: a) 1996 b) 2005 c) 2010 d) 2020 e) 2075 f) 2248.

74. Den 1 januari 2010 var en fredag.

Vilken veckodag är den 1 januari a) 2011 b) 2012 c) 2013 d) 2014?

75. Den 15 augusti 2007 var en onsdag.

Bestäm a) vilken veckodag b) vilket datum

det var efter att 1 001 nätter passerat.

T A N K E N Ö T

Placera 30 tändstickor i rutorna så att det i varje vågrät rad, varje lodrät rad och vardera diagonalen finns ett jämnt antal stickor. I varje ruta kan det finnas högst en sticka.

76. Skriv ut de tio första multiplerna av talet. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 77. Talföljderna är multipler av ett visst tal.

Vilket är talet? a) ..., 35, 42, 49, 56, ... b) ..., 130, 140, 150, 160, ... c) ..., 90, 120, 150, 180, ...

78. Vilka av talen på bilden är a) jämna b) delbara med talet 7?

42 35 10 27 30 24 23 6 15

79. I en turnering har varje lag 12 spelare.

Hur många sovplatser måste arrangörerna reservera då antalet gästande lag som deltar i turneringen är a) 5 b) 10 c) 12?

80. Mellan hur många barn kan man jämnt fördela 24 flaskor läsk?

Hur många flaskor får varje barn då?

81. Undersök med vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 talet är delbart. a) 25 b) 27 c) 37 d) 45 e) 60 f) 90

82. Vilken siffra kan stå i stället för X om talet 63 8X5 är delbart med a) tre b) fem c) nio d) tio?

83. Vilket är det minsta tal som är delbart med både a) 5 och 9 b) 10 och 20 c) 12 och 18?

84. Bestäm talens minsta gemensamma multipel. a) 2, 3 och 4 b) 3, 4 och 5 c) 4, 5 och 6 d) 5, 6 och 8 85. Är talet delbart med 25? a) 100 b) 375 c) 936 d) 23 000 Motivera.

86. Bestäm det minsta och det största tresiffriga tal som är delbart med både tre och fem.

87. Deltagarna på en kurs kan delas jämnt i grupper om tre, fem och sex personer.

Hur många personer går på kursen?

88. Då eleverna i en klass delar upp sig i grupper om två blir en elev över. Samma sak händer om klassen delar upp sig i grupper om tre och grupper om fem.

Hur många elever har klassen?

HEMUPPGIFTER

17

18

1.3 Faktorisering och primtal Faktorer i ett tal

Ett tals faktorer är de tal med vilka talet är delbart.

Vi kan skriva ett tal som en produkt av sina faktorer.

1

EXEMPEL

En lärare har 20 pennor. Pennorna kan delas jämnt mellan 1, 2, 4, 5, 10 och 20 elever: 20 : 1 = 20 20 : 5 = 4 20 : 2 = 10 20 : 10 = 2 20 : 4 = 5 20 : 20 = 1.

Talet 20 är alltså delbart med talen 1, 2, 4, 5, 10 och 20.

Talet 20 har faktorerna 1, 2, 4, 5, 10 och 20.

2

EXEMPEL

a) Talet 60 kan skrivas som en produkt av två faktorer på följande sätt: 60 = 10 ∙ 6 60 = 1 ∙ 60 = 12 ∙ 5 = 2 ∙ 30 = 15 ∙ 4 = 3 ∙ 20 = 20 ∙ 3 = 4 ∙ 15 = 30 ∙ 2 = 5 ∙ 12 = 60 ∙ 1 = 6 ∙ 10 Talet 60 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60. b) Talet 60 kan skrivas som en produkt av UPPGIFTERNA tre faktorer, till exempel 60 = 2 · 5 · 6.

89–98

Primtal

Vissa naturliga tal har exakt två faktorer, talet 1 och talet självt.

Ett sådant tal kallar vi ett primtal. Talet 1 räknas inte till primtalen.

Ett primtal är ett naturligt tal större än 1 som är delbart endast med 1 och sig självt.

3

EXEMPEL

De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. De är delbara bara med 1 och sig själva.

1.3 Faktorisering och primtal

Primfaktorer

Vi delar upp ett tal i primfaktorer då vi skriver det som en produkt av primtal.

4

EXEMPEL

Dela upp talet 45 i primfaktorer. Vilka är primfaktorerna i talet 45?

Lösning Metod 1

45 = 9 ∙ 5 =3∙3∙5

Vi delar upp ett tal i primfaktorer då vi skriver det som en produkt av primtal.

Metod 2 Vi kan dela upp talet 45 i primfaktorer med hjälp av ett träddiagram.

Talet 45 uppdelat i primfaktorer är 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5.

Primfaktorerna i talet 45 är 3 och 5.

45

9 3

5 3

Största gemensamma faktor

Två tals största gemensamma faktor (sgf) är det största tal med vilket båda talen är delbara. Den största gemensamma faktorn får vi också genom att dela upp talen i sina primtalsfaktorer.

5

EXEMPEL

Bestäm den största gemensamma faktorn i talen a) 24 och 30 b) 72 och 90.

Lösning Metod 1

a) Faktorerna i talet 24 är 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.

Faktorerna i talet 30 är 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 och 30.

Den största gemensamma faktorn är 6. b) Faktorerna i talet 72 är 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 och 72.

Faktorerna i talet 90 är 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 och 90.

Den största gemensamma faktorn är 18.

Metod 2

a) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 30 = 2 · 3 · 5 Gemensamma primtalsfaktorer i båda talen är 2 och 3 och deras produkt är 6.

Den största gemensamma faktorn i 24 och 30 är 6. b) 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5 Gemensamma primtalsfaktorer i båda talen är 2, 3 och 3 och deras UPPGIFTERNA produkt är 18. Den största gemensamma faktorn i 72 och 90 är 18.

99–113

19

ÖVNINGSUPPGIF TER

20

89. Hur många personer kan dela a) 6 äpplen b) 15 bananer c) 24 karameller

jämnt mellan sig?

90. Hur många torn av samma höjd kan du bygga med a) 4 b) 13 c) 18

klossar?

91. Skriv talet som en produkt av två tal. a) 24 b) 100 c) 17 92. Skriv talet som en produkt av tre tal. a) 48 b) 200 c) 680 93. Vilka är talets faktorer? a) 6 b) 10 c) 12 94. Är talet 3 en faktor i talet a) 6 b) 14 c) 42 Motivera.

d) 16 d) 53?

95. Hitta på ett tal som har faktorerna a) 2 och 6 b) 3 och 5 c) 2, 3 och 7.

96. Eleverna i en klass säljer godis för att samla pengar till en klassresa. De delar upp försäljningen på en gata så att Tina säljer i alla hus vars nummer är delbart med tre, Pelle i alla hus vars nummer är delbart med fyra och Ville i alla hus vars nummer är delbart med fem. På gatan finns 24 hus. a) Besöker de alla hus? b) Besöker de alla hus om Pelle säljer i hus vars nummer är delbart med två?

97. Räkna upp talens faktorer. Vilken är den största gemensamma faktorn? a) 12 och 60 b) 56 och 32 c) 75 och 30

98. Ett perfekt tal är summan av alla sina faktorer, förutom talet självt. Talet 6 är perfekt. Dess faktorer är 1, 2, 3 och 6 och dessutom är 1 + 2 + 3 = 6.

Undersök om följande tal är perfekta: a) 15 b) 28 c) 72 99. Skriv upp de sju första primtalen.

100. Skriv upp primfaktorerna. a) 12 b) 42 c) 60 101. Är talet ett primtal? Motivera. a) 12 b) 13 c) 1 102. Är talet ett primtal? Motivera. a) 155 b) 234 c) 4 617 103. Dela upp talet i primfaktorer.

Vilka är primfaktorerna? a) 6 b) 15 c) 21 d) 23 e) 24 f) 27 104. Dela upp talet i primfaktorer. a) 66 b) 78 c) 140 d) 234 105. a) Vilket tal är primfaktor i varje jämnt tal? b) Vilket tal är primfaktor i varje tal som är delbart med tre? c) Vilka tal är primfaktorer i varje tal som är delbart med tio?

106. Bestäm den största gemensamma faktorn till talen a) 12 och 18 b) 25 och 30 c) 48 och 72.

107. Talen har gemensamma faktorer.

Vilken är störst av dem? a) 2, 6 och 30 b) 12, 28 och 36 c) 36, 60 och 132

109. Dela upp talet 111 111 i primfaktorer med hjälp av en miniräknare.

110. Skriv talet som en summa av två primtal. a) 11 b) 17 c) 18 d) 24 e) 25 f) 36 111. Varför är alla primtal förutom talet 2 udda tal?

114. Hur många personer kan dela a) 8 isglassar b) 22 häften c) 51 karameller

jämnt mellan sig?

115. Vilka är talets faktorer? a) 8 b) 15 c) 24 116. Vilka är talets faktorer? a) 35 b) 96 c) 100 117. Skriv talet som en produkt av två faktorer. a) 16 b) 75 c) 130

T A N K E N Ö T En köpman har en balansvåg på vilken han väger kundernas varor med ett kilograms noggrannhet.

Han använder bara tre vikter för att väga alla varor från ett till tio kilogram. Vilka vikter har köpmannen?

112. Är påståendet sant? Motivera. a) Summan av två primtal kan vara ett primtal. b) Produkten av två primtal kan vara ett primtal.

113. a) Hur kan man utgående från ett tals primfaktorer bestämma med vilka tal talet är delbart? b) Dela upp talet 120 i primfaktorer.

Med vilka tal är talet delbart?

118. Är talet a) 3 b) 5 c) 7

en faktor i talet 120?

119. Bestäm alla primtal i intervallet 10–30.

120. Dela upp talet i primfaktorer. a) 42 b) 45 c) 60 d) 84 121. Vilka av talen 5, 6, 10, 13, 17, 21, 23 och 27 är primtal? Motivera.

122. Vilken är den största gemensamma faktorn till talen a) 6 och 9 b) 25 och 70 c) 42 och 63 ?

123. Undersök med hjälp av en miniräknare om talet är ett primtal. Med vilka tal lönar det sig att undersöka delbarheten? a) 177 b) 179 c) 181 d) 221

ÖVNINGSUPPGIF TER

108. Vilka är primfaktorerna i talen 84 och 210? Hur kan du med hjälp av primfaktorerna bestämma den största gemensamma faktorn?

21

HEMUPPGIFTER

1.3 Faktorisering och primtal