matematik
8
Stoffet i Pi 8 är indelat i • Tal och procent • Räkning med bokstäver • Figurer och deras egenskaper.
matematik
Facit ingår.
ISBN 978-951-52-3195-6 P51
Heinonen Luoma Mannila Tikka Lindgrén Mitts Söderback
– Matematik för åk 7–9
SCHILDTS & söderströms
8
Förord www.sets.fi Första upplagan, tredje tryckningen 2017 Grafisk planering och omslag:
Jan Myller och Venla Koski Omlagsbild: Lehtikuva/Age Fotostock/ Dinodia Teckningar: Marcus Lindén Fotografier och kartor: se s. 342 Ombrytning: Venla Koski, Elina Heiskanen och Vitale/Jukka Iivarinen Redaktion: Mare Herlevi och Margareta Teir Det finska originalet: Pii 8 Matematiikka, utgiven av Förlagsaktiebolaget Otava © Martti Heinonen, Markus Luoma, Leena Mannila, Tommi Tikka och Förlagsaktiebolaget Otava © 2011 Henrik Lindgrén, Harry Mitts, Camilla Söderback och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska folkskolans vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat författarna stipendium för arbetet med detta läromedel. Villkor för kopiering Detta verk är en lärobok och är skyddat med stöd av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att ta kopior av verket om inte fotokopieringstill stånd anskaffats. Vänligen kontrollera om er läroinrättning har ett gällande fotokopieringstillstånd. Närmare upp gifter om tillstånden och vad de inne fattar ges av upphovsrättsföreningen Kopiosto ry, www.kopiosto.fi. Det är absolut förbjudet att på digital väg kopiera eller modifiera verket eller delar av detta. ISBN 978-951-52-3195-6
Pi är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grundskolan. Serien består av fyra böcker, Pi 7, Pi 8, Pi 9 samt Pi Statistik och sannolikhet. Läroböckerna Pi 7, Pi 8 och Pi 9 har planerats för tre årsveckotimmar. Varje bok är indelad i tre delar och varje del motsvarar en årsveckotimme, dvs. en kurs om undervisningen är kursformad. Boken Pi Statistik och sannolikhet omfattar stoff för en årsveckotimme och den är inte bunden till någon speciell årskurs utan kan användas flexibelt i enlighet med skolans läroplan. Varje del i läroboken Pi 8 har 12 kapitel som behandlar nytt stoff. Utöver dessa finns det två repetitionsavsnitt, ett i mitten och ett i slutet av varje del. Kapitlen innehåller teori med belysande exempel och rikligt med övningsuppgifter av olika svårighetsgrad. De många exemplen hjälper dig att tillämpa den nya kunskapen i upp gifterna och ger dig samtidigt modeller för arbetet i häftet. Övningsuppgifterna är indelade i tre svårighetsgrader: basuppgifter, fördjupande uppgifter och tillämpningsuppgifter. Kapitlen avslutas med uppgifter som kan användas som hemuppgifter. Facit finns till alla uppgifter. Lycka till med dina matematikstudier! Henrik Lindgrén
Harry Mitts
Camilla Söderback
1 Tal och procent 1.1 Rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Addition och subtraktion av bråk . . . . . 14 1.3 Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8 Procent och andel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.9 Procentberäkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.10 Höjning och sänkning . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.11 Utgångsvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.12 Procentuell förändring och procentuell jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.13 Tillämpningar med procent . . . . . . . . . . . 78 1.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Räkning med bokstäver 2.1 Multiplikation av potenser med samma bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.2 Division av potenser med samma bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3 Stora och små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.4 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.5 Addition och subtraktion av polynom . . 120 2.6 Multiplikation av polynom . . . . . . . . . . 128 2.7 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.8 Ekvationer med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.9 Förhållande och analogi . . . . . . . . . . . . . 142 2.10 Direkt proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . 150 2.11 Omvänd proportionalitet . . . . . . . . . . . 156 2.12 Linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.13 Olika linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3 Figurer och deras egenskaper 3.1 Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3.2 Symmetri kring en linje . . . . . . . . . . . . . . 194 3.3 Symmetri kring en punkt . . . . . . . . . . . . 202 3.4 Parallellförskjutning och vridning kring en punkt . . . . . . . . . . . . . 208 3.5 Likformighet och skala . . . . . . . . . . . . . . 216 3.6 Tillämpningar med likformighet . . . . 228 3.7 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.8 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 3.9 Rätvinklig triangel och Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3.10 Tillämpningar med Pythagoras sats . 258 3.11 En cirkels omkrets och en båges längd . 266 3.12 En cirkels och en sektors area . . . . . . . . 274 3.13 Vinklar i en cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 3.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4
1 Tal och procent
T A N K E N Ö T Christa, Lukas och Lydia hade gemensamt tjänat en summa pengar. Först fick Christa en tredjedel av pengarna, Lukas en fjärdedel och Lydia en sjättedel. Efter detta återstod 45 euro som de fördelade jämnt mellan sig. Hur mycket pengar fick var och en?
5
1.1 Rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Addition och subtraktion av bråk . . . . . .
14
1.3 Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4 Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.5 Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.6 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.7 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.8 Procent och andel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.9 Procentberäkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.10 Höjning och sänkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.11 Utgångsvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1.12 Procentuell förändring och procentuell jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1.13 Tillämpningar med procent . . . . . . . . . . . . . .
78
1.14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Rationella tal • Bråk • Det hela och delar • Förlängning • Förkortning • Att jämföra storleken av bråk • Sambandet mellan bråk och decimaltal Addition av liknämniga bråk • Subtraktion av liknämniga bråk • Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare
Multiplikation av bråk med heltal • Produkten av bråk • Att beräkna en andel av ett tal • Potenser med bråk som bas Inverterat tal • Division av bråk • Multiplikation och division som motsatta räkneoperationer • Division av två bråk • Egyptiska bråk Bråkberäkningar med miniräknare • Tidsberäkningar
Sambandet mellan procentform och decimalform • Ett helt som procent Andel i procentform • Att beräkna en viss andel Mer än hundra procent Förändringsfaktor
Beräkning av utgångsvärdet ur det nya värdet
Procentuell förändring • Procentuell jämförelse Ränteberäkningar • Procentenheter • Blandningsberäkningar
6
1.1 Rationella tal Då vi delar ett visst antal i ett givet antal delar går delningen inte alltid jämnt ut. Då är kvoten, dvs. resultatet av divisionen, inte ett heltal. 1
EXEMPEL
Sex magdansöser skaffar fingercymbaler. Hur många fingercymbaler får varje dansös då det totala antalet fingerscymbaler är a) 24 b) 27 c) 25? Lösning
a)
24 =4 6
b)
27 = 4, rest jää 33 6
c)
25 = 4, rest jää 11 6
Då vi räknar divisionerna i exemplet med uppställning eller med miniräknare får vi antingen ett heltal eller ett decimaltal. 2
EXEMPEL
a) 24 = 4 6
b) 27 = 4, 5 6
c) 25 = 4, 166666... 6
Rationella tal
Då vi dividerar ett heltal med ett annat heltal är resultatet något av följande: – ett heltal, till exempel 18 : 3 = 6 eller –12 : 4 = –3 – ett ändligt decimaltal, till exempel 7 : 14 = 0,5 eller 23 : 8 = 2,875 – ett oändligt periodiskt decimaltal, till exempel 2 : 9 = 0,222... eller 48 : 11 = 4,3636... Ett tal som är kvoten av två heltal kallar vi ett rationellt tal. Rationella tal är sådana tal som vi får då vi dividerar ett heltal med ett annat heltal.
1.1 Rationella tal
3
EXEMPEL
6 12 −60 eller 6 = eller 6 = . 1 2 −10 3 9 b) Talet 0,3 är ett rationellt tal eftersom t.ex. 0, 3 = eller 0, 3 = eller 0, 3 = 10 30 −5 −30 c) Talet –5 är ett rationellt tal eftersom t.ex. −5 = eller −5 = eller −5 = 1 6 a) Talet 6 är ett rationellt tal eftersom t.ex. 6 =
−12 . −40 45 . −9
d) Talet π = 3,1415... är ett oändligt decimaltal med icke-periodisk decimalutveckling. Vi kan inte skriva talet som en kvot av två heltal. Talet är alltså inte ett rationellt tal.
Bråk
5 är ett bråk. Talet ovanför 8 bråkstrecket kallar vi täljare och talet under bråkstrecket kallar vi nämnare.
Ett rationellt tal är antingen ett heltal eller ett bråk. Talet
5 8
täljare nämnare
bråkstreck
Om täljaren är större än nämnaren kan vi skriva bråket i blandad form. Det består då av 1 en heltalsdel och en bråkdel. Talet 4 är skrivet i blandad form. Vi får det då vi dividerar 6 25 med 6. blandad form 1 25 =4 6 6 heltalsdel 4
bråkdel
EXEMPEL
3 11 a) är i blandad form 2 , eftersom 11 : 4 = 2 rest 3. 4 4 2 17 b) är i blandad form 3 , eftersom 17 : 5 = 3 rest 2. 5 5 1 25 c) är i blandad form 4 , eftersom 25 : 6 = 4 rest 1. 6 6
Divisionen ger en heltalsdel och en rest. Resten är täljare i bråkdelen och divisionens nämnare är också nämnare i bråkdelen.
7
8
Det hela och delar
Som en modell för bråk använder vi ofta en rektangel eller en cirkel som är indelad i flera lika stora delar. Antalet färgade delar motsvarar bråkets täljare och det totala antalet delar motsvarar bråkets nämnare. En helt färgad rektangel eller cirkel motsvarar ett helt. Beteckningar för bråk har hittats i skrifter som är över 4 000 år gamla. 5
EXEMPEL
a)
1 5
Modell:
en av fem, alltså en femtedel
b)
6 7
Modell:
sex av sju, alltså sex sjundedelar
c) 2
6
1 3
två hela och en tredjedel, alltså sju tredjedelar
Modell:
EXEMPEL
Av instrumenten på bilden är
4 blåsinstrument, 11
5 2 slaginstrument. stränginstrument och 11 11
7
EXEMPEL
En resa tog tre och en halv timme. Det kan vi skriva i bråkform som 3
1 h. 2
UPPGIFTERNA
1–14
Förlängning
Då vi förlänger ett bråk multiplicerar vi både täljaren och nämnaren med samma tal. Bråkets värde förändras inte vid förlängningen. 8
EXEMPEL 3)
3 9 = 4 12
Modell:
Vi kan skriva ett bråk på oändligt många sätt.
Vi kan skriva heltal som bråk och förlänga dem på samma sätt som andra bråk.
1.1 Rationella tal
9
EXEMPEL
3 24 . Förlänger vi till åttondelar får vi . 1 8 −4 −16 b) Talet –4 skriver vi i bråkform som . Förlänger vi till fjärdedelar får vi . 1 4 1 3 c) Talet 1 skriver vi i bråkform som . Förlänger vi till tredjedelar får vi . 1 3 a) Talet 3 skriver vi i bråkform som
Förkortning
Vi försöker skriva varje bråk så enkelt som möjligt, antingen som ett bråk eller som ett heltal. Då vi förkortar ett bråk dividerar vi både täljaren och nämnaren med samma tal. Bråkets värde förändras inte vid förkortning. 10 EXEMPEL (4
8 2 = 20 5
Vi får det enklaste bråket då vi dividerar täljaren och nämnaren med deras största gemensamma faktor.
Modell:
Att jämföra storleken av bråk
Vi kan jämföra storleken av olika bråk genom att förlänga dem så att de blir liknämniga. Då är bråkens nämnare lika stora. 11 EXEMPEL
Vilket av talen är störst? 5 4 3 5 5 4 a) eller b) eller c) eller 7 7 4 8 7 5 Lösning
a) b)
5 4 är större än . 7 7 2)
3 6 = 4 8
3 5 är större än . 4 8 c)
5)
7)
5 25 = 7 35
4 28 = 5 35 4 5 är större än . 5 7
Modell:
Modell:
Om två bråk har samma nämnare är det bråk som har större täljare störst. 3 så att det får 4 samma nämnare som bråket 5 har. 8 Vi förlänger bråket
Vi gör bråken liknämniga genom att förlänga vartdera bråket med det andra bråkets nämnare.
9
10
Sambandet mellan bråk och decimaltal
Vi kan omvandla ett decimaltal till ett bråk genom att tolka decimalerna som tiondelar, hundradelar, tusendelar och så vidare. 12
EXEMPEL
7 a) 0, 7 = 10 98 (2 49 b) 0, 98 = = 100 50 (4 4 1 =3 c) 3, 004 = 3 1 000 250
0,7 kan utläsas 7 tiondelar 0,98 kan utläsas 98 hundradelar 3,004 kan utläsas 3 hela och 4 tusendelar
Vi omvandlar ett bråk till ett decimaltal genom att dividera med uppställning eller med miniräknare. Då kan vi få ett decimaltal där samma siffror upprepas gång på gång. Siffrorna som upprepas kallas en period. 13
EXEMPEL
1 a) = 0, 25 4 4 b) = 0, 363636... 11 3 c) 5 = 5, 375 8
Med miniräknare: 1 ÷ 4 = eller 1 ab/c 4 = ab/c Med miniräknare: 4 ÷ 1 1 = eller 4 ab/c 1
1 = ab/c
Talet 0,363636... har perioden 36.
Med miniräknare: 5 + 3 ÷ 8 = eller 5 ab/c 3 ab/c 8 = ab/c
Ibland kan vi omvandla ett bråk till ett decimaltal genom att förlänga det till tiondelar, hundradelar, tusendelar och så vidare. 14
EXEMPEL
a) b)
2)
2 4 = = 0, 4 5 10
25)
1 25 = = 0, 25 4 100
125)
c)
7 875 = = 0, 875 8 1 000
2 kan inte omvandlas till 3 ett decimaltal genom förlängning,
d) Bråket
utan vi måste utföra divisionen: 2 = 0, 666... 3
Ett bråk kan inte alltid omvandlas till ett decimaltal genom förlängning. UPPGIFTERNA
15–27
1. Hur stor del av figuren är färgad? a) b) c)
6. Åskådliggör talen med cirklar och sektorer. 1 1 3 1 a) b) c) 1 d) 2 4 8 2 4
2. Hur stor del av figuren är färgad? a) b)
7. Rita av rutmönstret och färglägg 5 3 1 12 a) b) c) d) . 12 4 3 12
c)
d)
3. Hur stor del av figuren är ofärgad? a) b) c)
d)
4. Fyll i tabellen. Tal
Täljare
Nämnare
2 3
8. Hur stor del av personerna på bilden är a) mörkhåriga b) rödhåriga c) skalliga? 9. Undersök med miniräknare om resultatet av divisionen är ett heltal, ett ändligt decimaltal eller ett oändligt periodiskt decimaltal.
4 7
15 3 −56 d) 7 a)
1 8
10. Skriv i blandad form.
5. Fyll i tabellen. Tal
1
2 3
12
2 5
1 8 7
Heltalsdel
4 18 c) 5 4 −26 21 e) f) 9 −8
b)
a)
Bråkdel
23 4
b)
16 37 65 c) d) 7 6 9
11. Vid vilket bråk står bokstäverna A–F?
E
B
A
F C D
–2 –1 0 1 2
12. Rotorn på ett vindkraftverk snurrar 1 ungefär varv per sekund. 2 Hur lång tid tar det för rotorn att snurra a) 10
b) 30
c) 60 varv?
11 ÖVNINGSUPPGIF TER
1.1 Rationella tal
ÖVNINGSUPPGIF TER
12
13. Ett pariserhjul snurrar 6 varv på 24 minuter. Hur lång tid tar det för hjulet att snurra a) 12 b) 3 c) 15 varv? 14. Omvandla bråket till ett decimaltal med miniräknare. Vilken period har decimaltalet? 7 62 203 355 c) d) a) b) 9 99 1 111 113 15. Hur stor del av figuren är färgad? Ge svaret i bråkform. Förkorta så långt som möjligt. a) b) c)
16. Förläng a) 2
17. Förkorta. 2 5 a) b) 8 25
c)
4 10
d) 9.
d)
3 21
18. Skriv i bråkform. a) 0,9 b) 0,04 c) 0,49 d) 2,25 19. Skriv i decimalform. 3 3 7 a) b) c) 10 5 25
22. Vilket av talen är störst? 2 3 a) eller 3 4 1 2 b) eller 2 5 2 1 c) eller 7 3 1 2 b) c) 1 d) 0 2 3 som sjättedelar.
23. Skriv a)
24. Förkorta om det är möjligt. 48 11 a) b) 60 121 6 61 c) d) 17 97
d)
2 med talet 7 b) 5 c) 7
21. Förläng så att bråken blir liknämniga. 1 1 2 3 a) och b) och 3 2 3 4 2 1 2 1 3 c) och d) , och 5 3 3 2 4
d)
3 50
3 20. Talet 3 kan vi skriva som bråket . 1 Skriv talet 3 som a) tvåondelar b) tredjedelar c) femtedelar d) tiondelar.
25. Hitta ett bråk vars värde ligger mellan de givna bråken. 1 4 a) och 5 5 1 1 b) och 3 2 3 2 c) och 4 5 2 5 4 6 1 3 , , , , och 5 2 5 4 10 5 i storleksordning. Börja med det minsta talet.
26. Skriv talen
1 1 1 27. Skriv talen 0,5; , 0,3; , och 0,1 3 5 10 i storleksordning. Börja med det minsta talet.
28. Rita av figuren och färglägg 1 1 2 5 a) b) c) d) . 2 4 3 6
29. Åskådliggör talen med cirklar och sektorer. 1 1 1 5 a) b) c) d) 3 4 2 8 4 30. Vilket bråk visar mätaren? a) b)
c)
2 32. Vilka av talen 2; 0,3; –5; ; –1,6 och 3 4 −2 är 7 a) heltal b) decimaltal c) bråk d) rationella tal?
33. Doakören till ett band består av fem kvinnor och två män. Av kvinnorna är tre mezzosopraner och två kontraaltar. Av männen är en bas och en tenor. Hur stor del a) av sångarna är män b) av kvinnorna är kontraaltar c) av sångarna är basar? 34. Skriv i decimalform. 1 11 13 2 a) b) c) d) 10 50 100 5 3 med talet 5 a) 2 b) 5 c) 8 d) 10.
35. Förläng talet 31. En lärare delar ut notblad till sina 15 elever. Hur många notblad får varje elev, då läraren har a) 30 b) 40 c) 50 notblad?
T A N K E N Ö T Av de träd som växer i en skogsdunge är hälften tallar. Av de övriga träden är hälften granar och resten är björkar. Hur många tallar och granar finns det sammanlagt i skogsdungen då det finns 24 björkar?
36. Vilket tal passar in i rutan? 3 1 3 6 a) = b) = c) = 6 9 3 21 7 37. Förkorta om det är möjligt. 9 11 7 36 a) b) c) d) 15 33 20 60 38. Skriv i bråkform. a) 0,7 b) 0,4 c) 0,17 d) 0,05 2 3 eller ? 3 5 Motivera ditt svar utan att omvandla bråken till decimaltal. 5 8 b) Visa med hjälp av bråk att < . 6 9
39. a) Vilket av bråken är störst,
HEMUPPGIFTER
13
14
1.2 Addition och subtraktion av bråk Bråk är liknämniga om deras nämnare är lika stora. 1
EXEMPEL
3 5 och är liknämniga. 8 8 2 1 b) Talen 4 och 3 är liknämniga. 3 3 7 7 c) Bråken och är inte liknämniga. 12 8 a) Bråken
Då vi adderar eller subtraherar bråk gör vi först bråken liknämniga.
Addition av liknämniga bråk
Då vi adderar liknämniga bråk adderar vi täljarna, medan nämnaren förblir oförändrad. 2
EXEMPEL
a)
1 1 1+1 2 + = = 3 3 3 3
Modell: + = (2
b) 1 + 7 = 1 + 7 = 8 = 4 10 10 10 10 5
Modell: + = Vi förkortar svaret om det är möjligt.
Om täljaren är större än nämnaren kan vi skriva bråket i blandad form. På motsvarande sätt kan vi omvandla ett tal i blandad form till bråkform genom att tolka talet som en summa av heltalsdelen och bråkdelen. 3
EXEMPEL
1 9 8 +1 8 1 = = + =2 4 4 4 4 4 1 1 6 1 6 +1 7 b) 2 = 2 + = + = = 3 3 3 3 3 3
a)
Vanligtvis gör vi omvandlingen så här: 1 3⋅2 +1 7 2 = = 3 3 3
1.2 Addition och subtraktion av bråk
4
EXEMPEL Modell: + = 1 4 2 4+2 6 + = = =1 5 5 5 5 5 Vi skriver svaret i blandad form om 3 3 b) 2 + = 2 det är möjligt. 4 4 Vi kan addera heltalsdelarna för sig 4 4 4 c) 3 + 2 = 3 + 2 + = 5 och bråkdelarna för sig. 5 5 5 2 2 2 2 2 2 4 1 1 d) 1 + 3 = 1 + + 3 + = 1 + 3 + + = 4 + = 4 + 1 = 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a)
Subtraktion av liknämniga bråk
Då vi subtraherar liknämniga bråk subtraherar vi täljarna, medan nämnaren förblir oförändrad. 5
EXEMPEL
5 3 5−3 2 − = = 7 7 7 7 9 6 9−6 3 b) − = = 11 11 11 11 a)
6
Modell: – =
EXEMPEL
4 21 4 21 − 4 17 3 = − = = =2 7 7 7 7 7 7 1 12 7 12 − 7 5 2 b) 4 − 2 = − = = =1 3 3 3 3 3 3 1 3 21 18 21 − 18 3 c) 4 − 3 = − = = 5 5 5 5 5 5
a) 3 −
Det lönar sig att först skriva heltalen i bråkform innan vi subtraherar.
I samma uttryck kan det finnas både additioner och subtraktioner. Då vi adderar och subtraherar täljarna följer vi räknereglerna för heltal. 7
EXEMPEL
1 5 3 1+5 − 3 3 + − = = 8 8 8 8 8 UPPGIFTERNA
40–52
15
16
Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare
När vi ska addera eller subtrahera bråk med olika nämnare förlänger vi först bråken så att de får samma nämnare. Sedan adderar eller subtraherar vi de liknämniga bråken. 8
EXEMPEL 3)
3 4 9 4 9 + 4 13 Den minsta gemensamma nämnaren + = + = = är densamma som nämnarnas minsta 5 15 15 15 15 15 5) 8) gemensamma multipel. 3 1 15 8 15 + 8 23 b) + = + = = 8 5 40 40 40 40 2) 5) 9 3 18 15 18 − 15 3 c) − = − = = 10 4 20 20 20 20 3) 2) 4) (3 3 5 1 9 10 4 9 + 10 − 4 15 5 d) + − = + − = = = 8 12 6 24 24 24 24 24 8 a)
9
EXEMPEL
2)
5)
1 1 7 11 11 22 55 22 + 55 77 a) 2 + 5 = + = + = = =7 5 2 5 2 10 10 10 10 10 3) 4 14 13 19 29 57 29 57 − 29 28 b) 3 − 1 = − = − = = =1 5 15 5 15 15 15 15 15 15
Det lönar sig i allmänhet att skriva alla termer i bråkform innan vi adderar eller subtraherar.
10 EXEMPEL
Av dygnets timmar tillbringar Karolina en fjärdedel i skolan, en tolftedel med fritidsaktiviteter och en åttondel på nätet. Hon sover en tredjedel av dygnet. Hur många timmar använder Karolina till annan verksamhet? Lösning Metod 1 6)
1−
Modell: 2)
3)
8)
1 5 1 1 1 24 6 2 3 8 − − − = − − − − = 4 12 8 3 24 24 24 24 24 24
5 av dygnet är 5 timmar. 24 Metod 2
annat
sömn
skola fritidsaktiviteter nätet
En fjärdedel av dygnet är 24 h = 6 h , en tolftedel är 24 h = 2 h , 4 12 en åttondel är 24 h = 3 h och en tredjedel är 24 h = 8 h. 8 3 24 h − 6 h − 2 h − 3 h − 8 h = 5 h Karolina använder 5 timmar till annan verksamhet.
UPPGIFTERNA
53–63
40. Är bråken liknämniga? 1 3 2 a) och b) och 5 5 3 5 1 1 c) och d) och 6 10 3 Beräkna. 1 3 41. a) + 7 7 1 2 c) + 5 5
2 9 3 4
5 2 + 9 9 3 4 d) + 10 10 b)
5 3 3 2 − b) − 7 7 5 5 6 1 7 5 c) − d) − 11 11 9 9
42. a)
1 1 1 3 + b) + 6 6 4 4 3 1 5 1 c) − d) + 10 10 8 8
43. a)
4 1 − 5 5 7 3 c) − 8 8
44. a)
3 3 − 8 8 5 2 c) − 9 9
45. a)
2 + 3 3 d) + 4
b)
2 3 3 4
4 3 + 7 7 5 1 d) − 6 6
b)
Beräkna. 4 1 48. a) 1 − 1 7 7 5 4 c) 2 + 2 9 9
3 3 −2 4 4 1 3 d) 2 − 4 4 b) 5
3 4 2 3 5 4 49. a) 4 + − 1 b) 1 − + 3 5 5 5 7 7 7 2 1 2 3 7 5 c) 6 − 2 − 2 d) 1 + − 3 3 3 8 8 8 2 4 2 3 5 − b) 3 − 1 + 5 5 7 7 7 4 2 2 4 7 1 c) + 2 − 1 d) 2 + 1 − 2 9 9 9 9 9 9
50. a) 2 −
51. Otto, Isak och Valter delade en choklad 3 kaka så att Otto och Isak vardera fick . 8 Hur stor del av chokladkakan fick Valter? 52. En kanna rymmer en och en halv liter. 1 Först häller Anna liter saft i kannan, 10 3 sedan häller Henna liter saft i 10 7 kannan och sist häller Heidi liter saft i 10 kannan. Hur mycket saft ryms det ytterligare i kannan efter detta?
46. Skriv talen i bråkform. 2 1 9 2 a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 3 7 11 15
53. Gör bråken liknämniga. 1 3 1 a) b) och och 2 8 3 5 1 2 c) och d) och 6 3 3
Beräkna. 2 47. a) 1 + 3 1 c) 4 − 5
Beräkna. 3 1 54. a) + 4 8 4 3 c) + 5 15
3 4 2 d) 5 − 1 3
b) 7 +
2 2 + 9 3 2 1 d) + 3 4
b)
6 9 9 15
17 ÖVNINGSUPPGIF TER
1.2 Addition och subtraktion av bråk
ÖVNINGSUPPGIF TER
18
Beräkna. 7 1 55. a) − 8 4 9 7 c) − 10 20
9 3 − 10 5 8 2 d) − 9 3
5 2 56. a) + 6 5 4 1 c) − 9 6
3 1 + 8 6 4 1 d) − 5 2
1 1 57. a) 7 + 3 6 2 2 c) 5 + 1 3 9
1 7 b)1 − 2 8 1 3 d) 2 − 2 4
1 5 58. a)1 + 2 5 6 4 1 c) 7 − 1 5 4
1 7 b)12 + 5 3 9 4 1 d) 6 − 4 9 6
b)
b)
59. Erik bakar mockarutor. Han gör en dubbel sats. Hur mycket behöver han av varje ingrediens? Mockarutor Glasyr 2 ägg 3 ½ dl pudersocker 3 dl socker 4 msk smält smör 4 ½ dl vetemjöl 4 msk kaffe 2 ¼ tsk bakpulver 1 msk kakaopulver 2 tsk vaniljsocker 1 msk vaniljsocker 2 msk kakaopulver 1 ½ dl mjölk 150 g smält smör
4 3 2 4 2 3 60. a) 3 + 2 − b) 3 − 1 + 2 7 8 7 5 3 5 3 2 13 1 3 2 c) 5 − 2 − 2 d) 3 − 1 + 2 4 5 20 2 4 3
61. Pia komponerade ett musikstycke i trefjärdedels takt. Hon använde halvnoter, fjärdedelsnoter och åttondelsnoter. I varje takt ska det sammanlagt vara tre fjärdedelsnoter. Vilka noter kan hon ytterligare foga till i en takt där hon redan använt a) en halvnot b) en åttondelsnot c) en fjärdedels- och en åttondelsnot? 62. Matias, Sebastian och Jonathan tänker 1 dela på 180 € så att Matias får , 1 1 2 Sebastian och Jonathan av 3 4 pengarna. Är det möjligt att dela pengarna på det viset? 2 63. Av eleverna i en klass sysslar med 3 3 musik och med idrott. Finns det elever 5 i klassen som både musicerar och idrottar?
Beräkna.
64. a)
1 1 + 3 3
b)
1 2 + 4 4
c)
2 2 + 5 5
65. a)
1 2 + 3 3
b)
3 2 − 4 4
c)
5 4 + 7 7
5 2 66. a) + 6 6
67. a)
2 1 b) − 3 3
8 2 6 2 + b) − 11 11 7 7
68. a) 1 +
1 2
b) 3 −
2 5
8 7 c) + 9 9 c)
3 1 + 4 4
c) 2 −
3 4
1 2 4 2 69. a)1 + b) 2 + 1 3 3 5 5 3 1 1 3 c) 3 − 2 d) 1 − 4 4 4 4 2 4 1 70. a) 1 − + 7 7 7 5 1 4 c) 1 − − 1 9 9 9
5 1 1 b) 2 − 1 + 6 6 6 9 4 3 d) 2 + − 1 11 11 11
71. Daniela, Henrietta och Sara har bakat 18 1 bullar. De ger av dem till sin mamma. 6 Resten delar flickorna jämnt mellan sig. Hur många bullar var får flickorna? Beräkna.
72. a)
2 3 + 5 10
b)
1 1 − 2 4
c)
3 1 + 8 4
73. a)
5 2 − 6 3
b)
7 3 − 8 4
c)
11 5 + 12 6
74. a)
2 5 + 3 6
b)
5 3 + 8 4
c)
7 3 − 10 5
75. a)
3 1 − 4 6
b)
1 1 + 2 3
c)
3 2 − 4 3
2 4 1 2 76. a) 1 − b) 2 − 5 5 4 3 1 3 1 3 c) 3 + 2 d) 2 + 5 4 3 4 1 1 2 3 5 1 77. a) 3 + 2 − 1 b) 4 − + 2 3 2 3 4 6 3 4 1 7 3 2 3 c) 2 + 1 − d) 5 − 1 − 3 5 2 10 4 5 10 1 av eleverna en skolväg 3 1 som är kortare än 5 kilometer, har en 4 1 skolväg som är 5–10 kilometer och 5 har en skolväg som är 10–20 kilometer.
78. I en skola har
T A N K E N Ö T Vi klipper ett 1 meter långt band i tre delar så att den längsta delen är en fjärdedel längre än den näst längsta delen och den kortaste delen är en femtedel av den längsta delen. Hur långa är delarna?
Hur stor del av eleverna har en skolväg som är längre än 20 kilometer?
HEMUPPGIFTER
19