Pi9 blädderex

matematik

9

Stoffet i Pi 9 är indelat i • Grafer och ekvationer • Figurer och kroppar • Från delar till helheter.

matematik

Facit ingår.

ISBN 978-951-52-2963-2 P51

Heinonen Luoma Mannila Tikka Lindgrén Mitts Söderback

– Matematik för åk 7–9

SCHILDTS & söderströms

9

Förord www.sets.fi Första upplagan, tredje tryckningen 2017 Grafisk planering och omslag:

Jan Myller och Venla Koski Omslagsbild: Lehtikuva / Age fotostock / Mario Beauregard Teckningar: Marcus Lindén Fotografier: s. 362 Ombrytning: Eeva Lehtonen, Marcus Lindén och Vitale/Jukka Iivarinen Redaktion: Mare Harlevi, Johanna Mynttinen och Magdalena Lindberg Det finska originalet: Pii 9 Matematiikka, utgivet av Förlagsaktiebolaget Otava © 2008 Martti Leinonen, Markus Luoma, Leena Mannila, Tommi Tikka och Förlagsaktiebolaget Otava, Helsingfors © 2012 Henrik Lindgrén, Harry Mitts, Camilla Söderback och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp, som består av Svenska kulturfonden, Svenska folkskolans vänner, Föreningen Konstsam­fundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd, har beviljat författarna stipendium för arbetet med detta läromedel.

Villkor för kopiering Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

För att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det krävs rättighets­ havarens tillstånd. Kopiosto beviljar licenser för partiell kopiering av verk.

Kontrollera era giltiga licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto r.f. www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-2963-2

Pi är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grundskolan. Serien består av fyra delar, Pi 7, Pi 8, Pi 9 samt Pi Statistik och sannolikhet.

Läroböckerna Pi 7, Pi 8 och Pi 9 har planerats för tre årsveckotimmar. Varje bok är indelad i tre delar och varje del motsvarar en årsveckotimme, dvs. en kurs om undervisningen är kursformad. Boken Pi Statistik och sannolikhet omfattar stoff för en årsveckotimme och den är inte bunden till någon speciell årskurs utan kan användes flexibelt i enlighet med skolans läroplan.

Varje del i boken har 12 kapitel som behandlar nytt stoff.

Utöver dessa finns det 2 repetitionsavsnitt, ett i mitten och ett i slutet av varje del.

Kapitlen innehåller teori med belysande exempel samt rikligt med övningsuppgifter av olika svårighetsgrad. De många exemplen hjälper dig att tillämpa den nya kunskapen i uppgifterna och ger dig samtidigt modeller för ditt arbete i häftet. Övningsuppgifterna är indelade i tre svårighetsgrader: basuppgifter, fördjupande uppgifter och tillämpningsuppgifter.

Varje kapitel avslutas dessutom med uppgifter som kan användas som hemuppgifter. Facit finns till alla uppgifter.

Lycka till med dina matematikstudier! Översättarna Henrik Lindgrén

Harry Mitts

Camilla Söderback

1 Grafer och ekvationer 1.1 Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Samband i koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Linjens ekvation i allmän form . . . . . . . . . . 30 1.5 Olika samband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6 Att rita och tolka grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.8 Olika ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.9 Ekvationer i textuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.10 Två ekvationer och två obekanta. . . . . . . . 78 1.11 Ekvationssystem – grafisk lösning. . . . . . . 86 1.12 Ekvationssystem – algebraisk lösning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.13 Tillämpningar med ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.14 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2 Figurer och kroppar 2.1 Likformiga rätvinkliga trianglar. . . . . . . 116 2.2 Tangens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.3 Tillämpningar med tangens . . . . . . . . . . . 134 2.4 Sinus och cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2.5 Tillämpningar med trigonometriska funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.6 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.7 Kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.8 Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.9 Cirkulär cylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.10 Kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.11 Cirkulär kon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2.12 Klot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 2.13 Sammansatta kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 2.14 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3 Från delar till helheter 3.1 Potensuttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.2 Räkna med polynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.3 Förenkla polynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 3.4 Division av polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.5 Bråk och rationella uttryck. . . . . . . . . . . . 250 3.6 Proportionalitet i ekvationer. . . . . . . . . . 258 3.7 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 3.8 Arbete och maskiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 3.9 Personlig ekonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

3.10 3.11 3.12 3.13 3.14

Byggnadsarbete och miljövård . . . . . . . . 282 På land och till havs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Fritid och intressen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Hemma och i skolan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 I Finland och utomlands. . . . . . . . . . . . . . . 306

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Värden för trigonometriska funktioner . . . . . 363 Sakregister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

1 Grafer och ekvationer

T A N K E N Ö T Peters far tänkte hämta Peter från skolan kl. 15.00. Den dagen slutade skolan undantagsvis redan klockan 14.00. Peter beslöt då att börja promenera hemåt. Då Peter mött sin far promenerade de båda hem tillsammans.

På det här sättet kom Peter hem en halv timme tidigare än om han hade stannat i skolan och väntat på sin far. När mötte Peter fadern?

5

1.1 Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktionsmaskin • En funktions värde • Skriv uttrycket för en funktion

1.2 Samband i koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . 14 Grafen till en funktion • Linjär funktion • Parabel

1.3 Linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Riktningskoefficient • Parallella linjer • Konstantterm • Beräkna riktningskoefficienten • Linjer som är parallella med koordinataxlarna • Bestäm en linjes ekvation eller rita en linje

1.4 Linjens ekvation i allmän form. . . . . . . . . . . 30 En punkt på en linje • En linjes nollställe • Undersök en linje

1.5 Olika samband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Direkt proportionalitet • Omvänd proportionalitet • Linjärt samband

1.6 Att rita och tolka grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Att rita en graf • Bestäm en funktions och en variabels värden grafiskt • En funktions extremvärden och nollställen • Växande och avtagande funktion

1.7 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.8 Olika ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Ekvationer med nämnare • Speciella ekvationer

1.9 Ekvationer i textuppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Ekvationer med proportionalitet

1.10 Två ekvationer och två obekanta. . . . . . . . 78 Två vågar som modell för ekvationssystem • Lös ekvationssystem genom resonemang • Talpar som lösning till ekvationssystem

1.11 Ekvationssystem – grafisk lösning. . . . . . . 86 Närmevärde för lösningen • Parallella linjer

1.12 Ekvationssystem – algebraisk lösning. . . 94 Insättningsmetoden • Additionsmetoden

1.13 Tillämpningar med ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Grafisk lösning • Linjär optimering

1.14 Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6

1.1 Funktion Två storheter kan bero av varandra, så att då vi vet den ena storhetens värde kan vi beräkna värdet av den andra storheten. Ett sådant samband mellan två storheter kallas för en funktion. Till exempel är priset som man betalar för en vara beroende av hur stor mängd man köper av varan, dvs. priset är en funktion av varumängden.

1

EXEMPEL

Priset på ett mobilsamtal beror på samtalets längd i minuter, dvs. priset är en funktion av tiden. Om minutpriset är 8,0 cent så kostar ett 10 minuters samtal 8,0 · 10 cent = 80 cent.

På motsvarande sätt kostar ett 25 minuters samtal 8,0 · 25 cent = 200 cent = 2,00 euro.

En funktion är en regel som förenar varje värde på en variabel med ett bestämt värde på en annan variabel, funktionsvärdet. Regeln kan uttryckas med ord, med ett talpar (variabelvärde, funktionsvärde), med ett matematiskt uttryck, med en ekvation eller med hjälp av en graf.

Regeln måste uppfylla villkoret att för varje variabelvärde finns endast ett funktionsvärde.

2

EXEMPEL

Bränslepriset är 1,50 euro/liter. Kostnaden för en tankning får vi genom att multiplicera antalet liter med talet 1,50. Kostnaden för bränslet uttryckt i euro beror av mängden i liter på följande sätt: kostnad = 1,50 · mängd Bränslemängderna är variabelns värden och deras motsvarande pris är funktionens värden.

Om variabelns värde t.ex. är 18 liter så är funktionens värde 1,50 · 18 euro = 24,00 euro.

Om variabelns värde är 52 liter så är funktionens värde 1,50 · 52 euro = 78,00 euro.

1.1 Funktion

Funktionsmaskin

Funktioner kan åskådliggöras med hjälp av en funktionsmaskin. Då funktionsmaskinen matas med något tal, räknar maskinen ut ett funktionsvärde enligt en given regel.

3

EXEMPEL

Funktionsmaskinen följer regeln f som är att addera det inmatade talet med 3.

Modell:

Då maskinen matas med talet 5 ger maskinen funktionsvärdet 5 + 3 = 8.

Vi betecknar detta f (5) = 8.

Modell:

f () =  + 3

5 f (5) = 5 + 3 = 8 8

Då maskinen matas med talet –2 ger maskinen funktionsvärdet –2 + 3 = 1.

Vi betecknar detta f (–2) = 1.

Modell:

-2 f (-2) = -2 + 3 = 1

1

Då maskinen matas med talet x ger maskinen funktionsvärdet x + 3.

Vi betecknar detta f (x) = x + 3.

Modell:

x f (x) = x + 3 x+3

Det tal som matas in i funktionsmaskinen är variabelns värde medan det tal som funktions­maskinen matar ut är funktionens värde. Funktionen betecknas vanligen med bokstaven f och variabeln med bokstaven x.

Det uttryck som definierar (beskriver) funktionen f (x) innehåller variabeln x, som kan anta olika värden. Beteckningen f (x) visar att funktionens värde beror av variabeln x:s värde. f (x) = x + 3 variabel

funktionsuttryck

7

8

En funktions värde

En funktions värde beror av variabelns värde. Funktionens värde får vi genom att i uttrycket för funktionen f (x) byta ut variabeln x mot variabelns värde och sedan beräkna uttryckets värde. f (x) = x + 3 f (5) = 5 + 3 = 8 variabelns värde funktionens värde 4

EXEMPEL

Funktionsmaskinen följer regeln att multiplicera det inmatade talet med 3 och att addera produkten med 1. Beräkna a) f (0) b) f (1) c) f (−2) d) f (10). e) Vilket är uttrycket f (x) för funktionen f?

Lösning

a) f (0) = 3 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 b) f (1) = 3 · 1 + 1 = 3 + 1 = 4 c) f (−2) = 3 · (−2) + 1 = −6 + 1 = −5 d) f (10) = 3 · 10 + 1 = 30 + 1 = 31 e) f (x) = 3x + 1 5

f () = 3 ·  + 1

EXEMPEL

Funktionsregeln för funktionen f är f (x) = 2x – 3. Beräkna a) f (0) b) f (1) c) f (4) d) f (−2).

Lösning

a) f (0) = 2 · 0 − 3 = 0 − 3 = −3 b) f (1) = 2 · 1 − 3 = 2 − 3 = −1 c) f (4) = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5 d) f (−2) = 2 · (−2) − 3 = −4 − 3 = −7 6

Funktionsvärdet beräknas så att det givna variabelvärdet sätts in i stället för x i uttrycket 2x – 3.

EXEMPEL

Beräkna f (–3) då a) f (x) = −3x2 + 2x + 6

b) f (x) = x2 - 5

c) f (x ) = 2x + 10 .

Lösning

a) f (−3) = −3 · (−3)2 + 2 · (−3) + 6 = −3 · 9 + 2 · (−3) + 6 = −27 − 6 + 6 = −27 b) f (−3) = (−3)2 − 5 = 9 − 5 = 4 c) f (−3) = 2 ⋅ (−3) + 10 = −6 + 10 = 4 = 2

UPPGIFTERNA

1–15

1.1 Funktion

Skriv uttrycket för en funktion

Vi kan ofta resonera oss till uttrycket för funktionen om vi känner tillräckligt många variabelvärden och motsvarande funktionsvärden.

7

EXEMPEL

Skriv med ord och som ett uttryck hur vi får funktionens värde f (x) utgående från variabelns värde x. b) a)

Lösning

a) Funktionsvärdet f (x) får vi genom att multiplicera variabelvärdet x med talet 3, dvs. f (x) = 3x.

8

b) Funktionsvärdet f (x) får vi genom att multiplicera variabelvärdet x med talet 2 och subtrahera produkten med talet 1, dvs. f (x) = 2x – 1.

EXEMPEL

Fyll i de tal som saknas i tabellen och skriv ut funktionsuttrycket. a)

x

f (x)

1 2 5 8 15

4 8 20 32

b)

x

f (x)

0 1 3 10 20

−5 −3 1 15

120

99

Lösning

a)

x

f (x)

1 2 5 8 15 30

4 8 20 32 60 120

Funktionsvärdet f (x) får vi genom att multiplicera variabelvärdet x med talet 4.

Uttrycket för funktionen: f (x) = 4x.

b)

x

f (x)

0 1 3 10 20 52

−5 −3 1 15 35 99

Funktionsvärdet f (x) får vi genom att multiplicera variabel­ värdet x med talet 2 och subtrahera produkten med talet 5.

Uttrycket för funktionen: f (x) = 2x − 5.

UPPGIFTERNA

16–31

9

ÖVNINGSUPPGIF TER

10

1.

Finns det ett samband mellan storheterna? a) antalet äpplen och priset för dem b) längden av en elevs skolväg och antalet syskon c) årstiden och ett barns kön d) utetemperaturen och snömängden

9. Beräkna det värde som funktions­ maskinen ger då a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = −3.

2.

Bananer kostar 1,40 €/kg. Hur mycket kostar a) 1,3 kg bananer b) 0,4 kg bananer?

10. Beräkna värdet av uttrycket –2x – 3 då a) x = 3 b) x = 1 c) x = 0 d) x = −2. e) För vilket värde på variabeln x får uttrycket värdet 5?

3.

Ett telefonsamtal kostar 9 cent per minut.

Hur mycket kostar ett samtal som varar a) 24 min b) 45 min c) 72 min d) 20 min?

11. Beräkna f (3) då a) f (x) = −5x + 6 b) f (x) = 2x2 − 3 c) f (x) = −x2 + 3x d) f (x) = 3x2 + 2x − 1.

x f (x) = 3x - 2

4.

Beräkna värdet av uttrycket 2x – 10 då a) x = 10 b) x = 5 c) x = 0 d) x = −2.

12. Funktionen f har regeln f (x) = 2x – 6.

För vilket värde på variabeln x gäller att a) f (x) = 0 b) f (x) = 6 c) f (x) = −2 d) f (x) = 10?

5.

Beräkna värdet av uttrycket 3x + 2 då a) x = 10 b) x = 3 c) x = 0 d) x = −2.

13. Uttrycket för en funktion är x2 – 4x + 3.

Beräkna a) f (0) b) f (1) c) f (2) d) f (5).

6.

Regeln f för en funktionsmaskin är att multiplicera det inmatade talet med 5.

Vilket tal matar maskinen ut om man matar in talet a) 4 b) 1 c) 0 d) −2?

14. Kostnaden f (x) i euro för hemtransport av möbler beror av sträckans längd x i kilometer enligt formeln f (x) = 5x + 30.

Beräkna a) f (1) b) f (5) c) f (10) d) f (25).

Tolka resultatet i ord.

7. Uttrycket för en funktion är f (x) = 3x – 2. Beräkna a) f (4) b) f (1) c) f (0) d) f (−2).

8. Uttrycket för en funktion är f (x) = –2x + 5. Beräkna a) f (5) b) f (2) c) f (0) d) f (−3).

15. Temperatur mätt i kelvin (K) förvandlas till celsiusgrader (°C) med hjälp av formeln C = K – 273. Beräkna hur många celsiusgrader följande värden i kelvin motsvarar a) 290 K b) 325 K c) 190 K d) 0 K.

16. Rita en figur enligt modellen och rita pilar mellan tal som hör ihop. a) f (x) = x + 3

b) f (x) = −x + 6

19. Vilket värde saknas och vilket är uttrycket för funktionen? b) a)

20. Vilket är uttrycket för funktionen? b) x a) x f (x) f (x) −2 0 2 3

17. Skriv med ord och i form av ett uttryck hur du får funktionens värden med hjälp av variabelns värden. a)

−6 0 6 9

1 5 9 13

21. Rita av tabellen och fyll i de tal som saknas. Vilket är uttrycket för funktionen? b) x a) x f (x) f (x) 1 2 5 8

2 4 10 30

b)

0 1 2 3

24

0 1 3 10 20 30

60

1 4 10 31

100

22. Skriv funktionen med ord och i form av ett uttryck. b) x f (x) = a) x f (x) = 18. Beräkna funktionens f (x) = 5x – 12 värde då x får värdet a) 10 b) 5 c) 0 d) −2.

0 3 4 9

2 5 6 11

0 −1 −2 5

0 4 8 −20

11 ÖVNINGSUPPGIF TER

1.1 Funktion

ÖVNINGSUPPGIF TER

12

23. Skriv funktionen med ord och i form av ett uttryck. b) x f (x) = a) x f (x) = 0 1 3 6

1 3 7 13

1 2 3 5

1 3 5 9

24. Beräkna funktionsvärdet då x får värdena 0, 1 och 2. Gör uträkningen i en tabell. a) f (x) = x + 5 b) f (x) = 3x c) f (x) = −x + 2 25. Beräkna funktionsvärdet f (x) = 0,2x då x får värdet a) 10 b) 100 c) 250 d) 1 000.

26. Skriv uttrycket för funktionen. b) x f (x) = a) x f (x) = 0 2 4 6

0 6 12 18

−1 0 1 2

4 5 6 7

28. Funktionen f är framställd i tabellform x −3 −2 −1 0 1 2 3

f (x) = −8 −5 −2 1 4 7 10

Avläs ur tabellen a) f (0) b) f (3) c) f (−2). d) Vilket är uttrycket för funktionen? e) Beräkna funktionens värde då x har värdet 10.

29. Vilket är uttrycket för funktionen f om talparen (x, f (x)) ingår i den? a) (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (4, −1) och (5, −2) b) (−1, −3), (0, −1), (1, 1), (2, 3), (3, 5) och (4, 7).

30. Formulera en regel som anger hur många tändstickor som finns i figur nummer n. figur 1

figur 2

figur 3

27. Skriv uttrycket för funktionen. b) x f (x) = a) x f (x) = 2 3 4 5

4 6 8 10

−3 −1 1 3

3 1 −1 −3

figur 4

31. Hur många kuber finns det i figur nummer a) 5 b) 10 c) n?

T A N K E N Ö T figur 1

Vilket tal saknas i talföljden 77, 49, 36, 18, ?

figur 2

figur 3

figur 4

32. Äpplen kostar 2,10 euro per kilogram.

Hur mycket kostar a) 0,7 kg b) 1,2 kg äpplen?

33. Beräkna värdet av uttrycket x – 5 då a) x = 10 b) x = 5 c) x = 0 d) x = −5.

34. Beräkna funktionsvärdet då f (x) = –3x + 1. a) f (2) b) f (1) c) f (0) 35. Beräkna f (–1) då a) f (x) = 4x + 2 c) f (x) = −x2 + 2

d) f (−1)

b) f (x) = x2 − 3x d) f (x) = x2 + 3x + 2.

36. Uttrycket för funktionen f är f (x) = x2 – 2x + 1.

Beräkna funktionens värde då x är a) 2 b) 1 c) 0 d) −2.

37. Hur många tändstickor behövs i figur nummer a) 4 b) 6 c) 9 d) n? figur 3 figur 2 figur 1

38. Rita en figur enligt modellen och rita pilar mellan de tal som hör ihop. a) f (x) = x − 2 b) f (x) = 2x + 3

39. Beräkna funktionsvärdet f (x) = –2x + 3 då x får värdet a) 5 b) 2 c) 0 d) −2.

40. Beräkna funktionsvärdet då x får värdena 0, 1, 2 och 3. Gör uträkningen i en tabell. a) f (x) = 2x + 3 b) f (x) = −3x + 1 c) f (x) = x − 6 d) f (x) = −x - 3 41. Skriv uttrycket för funktionen. a) x f (x) = b) x f (x) = 0 1 2 5 10

3 5 7 13 23

-2 -1 0 1 2

3 4 5 6 7

42. Beräkna funktionsvärdet då x får värdena –2, 0, 1, 3 och 5. Gör uträkningen i en tabell. a) f (x) = 5x + 3 b) f (x) = −4x + 5 43. En transportfirma debiterar för varutransporter ett pris i euro som bestäms av ekvationen f (x) = 1,8x +195, där x anger transportsträckan i kilometer. a) Hur mycket kostar en transport om transportsträckan är 75 km? b) Hur mycket kostar en transport om transportsträckan är 250 km? c) Hur lång är transportsträckan om priset för transporten är 1 500 euro?

HEMUPPGIFTER

13

14

1.2 Samband i koordinatsystem Vi betecknar ofta funktionsvärdet med variabeln y. I stället för att tala om funktionsuttrycket talar vi om ekvationen för sambandet mellan variablerna x och y.

Funktionsvärde

Sambandet mellan variablerna kan åskådliggöras i ett koordinatsystem. Då märker vi ut värdena för variabeln x utgående från x-axeln och motsvarande funktionsvärden utgående från y-axeln.

1

Variabelvärde

EXEMPEL

Beräkna y-värdena i ekvationen y = 2x + 1 då x får värdena –2, –1, 0, 1, 2 och 3. Märk ut talparen (x, y) i ett koordinatsystem. Hur ligger punkterna i förhållande till varandra?

Lösning x −2 −1 0 1 2 3

y = 2x + 1 2 · (−2) + 1 = −3 2 · (−1) + 1 = −1 2·0+1=1 2·1+1=3 2·2+1=5 2·3+1=7

(x, y) (−2, −3) (−1, −1) (0, 1) (1, 3) (2, 5) (3, 7)

Vi gör uträkningarna i en tabell.

Vi märker ut talparen (x, y) i koordinatsystemet.

Punkterna ligger på samma linje.

1.2 Samband i koordinatsystem

Grafen till en funktion

Ekvationen med variablerna x och y anger vad funktionsvärdet y är för variabelvärdet x.

Mot varje x-värde svarar då ett y-värde. Då vi prickar in alla de här talparen (x, y) i ett koordinatsystem får vi funktionens graf.

2

EXEMPEL

En funktion definieras med hjälp av ekvationen y = –2x + 3. Vi ritar funktionens graf då x får alla reella värden.

Vi ger variabeln x några värden och beräknar motsvarande värden för y. x −1 0 1 2

y = −2x + 3 −2 · (−1) + 3 = 5 −2 · 0 + 3 = 3 −2 · 1 + 3 = 1 −2 · 2 + 3 = −1

Vi prickar in talparen (x, y) i ett koordinatsystem och då märker vi att alla punkter ligger på samma linje. Om vi räknar ut fler punkter som satisfierar ekvationen y = –2x + 3 så placerar de sig också på linjen som är graf till funktionen y = –2x + 3. Grafen får vi genom att rita linjen genom punkterna.

Linjen fortsätter obegränsat i båda riktningarna.

UPPGIFTERNA

44–58

15

16

Linjär funktion

Grafen till funktionen y = –2x + 3 är en linje. Talen –2 och 3 kan bytas ut mot vilka tal som helst, och grafen är ändå alltid en linje. En sådan funktion kallas för en linjär funktion.

En linjär funktion kan allmänt skrivas y = kx + b. För att rita en linje räcker det med att bestämma koordinaterna för minst två punkter på linjen.

3

EXEMPEL

Rita linjen i ett koordinatsystem.

1 a) y = 3x − 4 b) y = x − 2 2 Lösning

a)

b)

y = 3x − 4 3 · 0 − 4 = −4 3 · 1 − 4 = −1 3·2−4=2

x 0 1 2

0 2

För att rita linjen räcker det med att bestämma två punkter, men det är bra att för kontrollens skull beräkna också en tredje punkt.

−3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

4

4

y=

1 x−2 2

1 ⋅ 0 − 2 = −2 2 1 ⋅ 2 − 2 = −1 2 1 ⋅4 − 2 = 0 2

Vi väljer sådana x-värden som gör att y-värdena är lätta att beräkna.

x−4

a) y=3

y 4 3 2 1

x

b) 1 2 3 2 1–x − y= 2

Vi prickar in talparen (x, y) i koordinatsystemet och ritar linjen genom punkterna.

EXEMPEL

Linjen y = 2x + 3 har ritats i koordinat­ systemet. Avläs ur grafen a) y:s värde då x = 1 b) y:s värde då x = 0 c) x:s värde då y = –1 d) x:s värde då y = 0.

Lösning

a) y = 5 b) y = 3 c) x = −2 d) x = −1,5

UPPGIFTERNA

59–72

17

Parabel

Grafen till en funktion i formen y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, där bokstäverna a, b och c står för tal, beskriver en kurva som kallas parabel. Funktionen är en polynomfunktion av andra graden.

5

EXEMPEL

Vi ritar grafen till funktionen y = x2 i ett koordinatsystem. y = x2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

x −3 −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3

Vi ger variabeln x tillräckligt många värden och beräknar motsvarande y-värden.

Vi prickar in punkterna i koordinatsystemet.

Då vi ökar antalet punkter får vi funktionens graf.

Grafen till funktionen y = x2 kallas grundparabel.

6

EXEMPEL

Ekvationen för en funktion är y = x2 – 2x – 3. Rita funktionens graf.

Lösning

Vi ger x värdena –2; –1; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 3 och 4 och räknar ut motsvarande y-värden.

Talparen (x, y) prickar vi in i ett koordinatsystem. x −2 −1 0 0,5 1 1,5 2 3 4

y = x2 − 2x − 3 5 0 −3 −3,75 −4 −3,75 −3 0 5

Då antalet punkter utökas och punkterna förenas får vi funktionens graf, en parabel som öppnar sig uppåt. Funktionen får sitt minsta värde då x har värdet 1.

Funktionens minsta värde är –4.

Enklaste sättet att rita grafen till en funktion av den här typen är att använda en grafisk kalkylator eller en dator.

UPPGIFTERNA

73–76

ÖVNINGSUPPGIF TER

18

44. Sambandet mellan variabeln x och funktionsvärdet visas i ett koordinat­ system. På vilken axel, x-axeln eller y-axeln, hittar vi a) variabelns värde b) funktionens värde?

45. Rita av tabellen i ditt häfte och beräkna y-värdena. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. x 0 1 2 3

y = −2x + 5

(x, y)

46. Rita av tabellen i ditt häfte och beräkna de y-värden som svarar mot de givna x-värdena. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. x 0 1 2 3

y = 3x − 2

(x, y)

47. Rita av tabellen i ditt häfte och beräkna de y-värden som svarar mot de givna x-värdena. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. x 0 1 2 3

y = −2x + 6

48. Beräkna y-värdena utgående från ekvationen y = –x + 3 då x får värdena –2, –1, 0, 1 och 2. Märk ut talparen (x, y) i ett koordinatsystem.

49. Beräkna y-värdena utgående från ekvationen y = 2x – 1 då x får värdena –2, –1, 0, 1 och 2. Märk ut talparen (x, y) i ett koordinatsystem.

50. Beräkna y-värdena utgående från ekvationen y = 2x – 3 då x får värdena –2, –1, 0, 1 och 2. Märk ut talparen (x, y) i ett koordinatsystem. Vad märker du?

51. Pricka in punkterna (–3, –2) och (2, 3) i ett koordinatsystem och rita en linje genom dem. I vilka punkter skär linjen koordinataxlarna?

52. Rita av tabellen i ditt häfte och beräkna y-värdena. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. Hur ligger punkterna i förhållande till varandra? x −3 −1 0 2

y=x+3

53. Rita av tabellen i ditt häfte och beräkna de y-värden som svarar mot de givna x-värdena. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. Rita en linje genom punkterna. x 0 1 2 3

y=x+2

54. En funktion har ekvationen y = 3x – 4.

Rita funktionens graf då x får alla reella värden.

55. Resonera dig till hur vi får y-värdena utgående från x-värdena och skriv ekvationen för sambandet mellan x och y. b) a)

56. Pricka in punkterna (–2, –3), (–1, –1), (0, 1) och (1, 3) i ett koordinatsystem.

Vilken är ekvationen för sambandet mellan x och y?

57. Pricka in punkterna (x, y) i ett koordinat­ system. Vilken är ekvationen för sambandet mellan x och y? x 0 1 2 3 4 5

y= −4 −1 2 5 8 11

(x, y) (0, −4) (1, −1) (2, 2) (3, 5) (4, 8) (5, 11)

58. Beräkna y:s värden i ekvationen y = 2x2 – 3x – 4 då x är –1, 0, 1, 2 och 3.

Pricka in talparen (x, y) i ett koordinat­ system och undersök om punkterna ligger på samma linje.

T A N K E N Ö T

59. Pricka in punkterna (–2, –3), (–1, –1), (0, 1), (1, 3) och (2, 5) i ett koordinat­ system. Rita en linje genom punkterna.

60. Beräkna motsvarande y-värden till de givna x-värdena i ekvationen y = 2x – 3 och pricka in talparen i ett koordinat­ system. Rita en linje genom punkterna. x 0 1 2 3

y = 2x − 3

61. Beräkna y-värdena ur ekvationen y = –2x + 4 och pricka in talparen i ett koordinatsystem. Rita en linje genom punkterna. x −1 0 1 2

y = −2x + 4

62. En funktion har ekvationen y = 2x + 3.

Gör en tabell och beräkna y-värdena för de givna x-värdena. Pricka in talparen i ett koordinatsystem och rita en linje genom punkterna. x 0 1 2 3

y = 2x + 3

63. En funktion har ekvationen y = 4x – 5.

Rita funktionens graf.

2 SIX 2 64. En funktion har ekvationen y = 3x – 2. = eftersom 6 dividerat med 9 är .

NINE 3 3 Rita funktionens graf.

Ge bokstäverna S, I, X, N och E sådana talvärden att likhetstecknet gäller också för de här talvärdena.

19 ÖVNINGSUPPGIF TER

1.2 Samband i koordinatsystem

ÖVNINGSUPPGIF TER

20

65. Vilken är ekvationen för sambandet mellan x och y? x 0 1 2 3

y= -1 1 3 5

66. Rita linjen y = 2x – 4. I vilken punkt skär linjen a) x-axeln b) y-axeln?

67. Pricka in punkterna (–2, 3), (0, 2) och (4, 0) i ett koordinatsystem. Rita en linje genom punkterna. Komplettera talparet så att punkten ligger på linjen. a) (2, ) b) (6, ) c) (3, ) d) ( ; 1,5) 68. Rita i samma koordinatsystem.

2 1 a) y = x − 2 b) y = − x + 3 3 3 69. Avläs y:s värde ur grafen då a) x = −2 b) x = 0 c) x = 1.

71. Avläs ur grafen a) f (−3) b) f (0) c) f (1). d) För vilket x-värde gäller f (x) = 4?

2 72. Rita linjen y = − x + 2 i ett koordinat­ 3 system. I vilka punkter skär linjen koordinataxlarna?

73. Räkna ut y-värdet i ekvationen y = –2x2 + 4x + 3 då x har värdet –1, 0, 1 och 2. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem. Ligger punkterna på samma linje?

74. Räkna ut y-värdet i ekvationen y = x2 – 2x då x har värdet –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 och 3. Placera in punkterna (x, y) i ett koordinat­system och rita funktionens graf.

Vad märker du?

75. En funktion har ekvationen y = x2 – 2x + 1. Rita funktionens graf.

I vilken punkt skär grafen y-axeln?

70. Avläs x:s värde ur grafen i föregående uppgift då a) y = −1 b) y = 5 c) y = −4.

76. Rita linjen y = –x + 2 och parabeln y = x2 i samma koordinatsystem.

Vilka är koordinaterna för linjens och parabelns skärningspunkter?

77. Räkna ut y-värdet i ekvationen y = 2x – 4 då x har värdet 1, 2, 3 och 4. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinatsystem.

78. Pricka in talparen (x, y) i ett koordinat­system.

Skriv ekvationen för sambandet mellan x och y.

x 0 1 2 3

y 0 3 6 9

79. Rita av tabellen i ditt häfte och räkna ut y-värdena. Pricka in punkterna (x, y) i ett koordinatsystem. Hur ligger punkterna i förhållande till varandra? x −2 0 1 3

y = 2x − 1

80. Rita av tabellen och räkna ut y-värdena.

Pricka in punkterna (x, y) i ett koordinat­ system. Hur ligger punkterna i förhållande till varandra? x 0 1 2 3

y = −3x + 6

81. Rita av tabellen och räkna ut de y-värden som motsvarar de givna x-värdena.

Pricka in talparen (x, y) i ett koordinat­ system. Hur ligger punkterna i förhållande till varandra? x −1 0 1 2

y=x+2

82. Räkna ut y-värdena för de givna x-värdena och pricka in punkterna (x, y) i ett koordinatsystem. Rita linjen som går genom punkterna. x 0 1 2 3

y = 3x - 5

83. Rita i samma koordinatsystem. a) y = x + 3 b) y = 2x − 4 c) y = −2x + 3 d) y = x + 1 84. Besvara följande frågor med hjälp av grafen. Vilket är y 5 a) y:s värde då x = 1 4 b) y:s värde då x = 0 3 c) x:s värde då y = 2 2 1 d) x:s värde då y = 0? −3 −2 −1 −1 −2 −3

1 2 3 x

85. Rita i samma koordinatsystem. a) y = 3x + 1 b) y = −2x + 1,5 c) y = 0,4x + 1 86. Räkna ut y-värdena för de givna x-värdena och pricka in punkterna (x, y) i ett koordinat­system. Rita linjen som går genom punkterna. Beräkna arean i rutor av den triangel som begränsas av linjen och koordinataxlarna. x −4 0 2

1 y = − x+3 2

HEMUPPGIFTER

21