Tangent C by Schildts & Söderströms

TANGENT M

TANGENT är en finlandssvensk serie i matematik

för åk 7–9 skriven av Tora Smeds. Linda Mannila står för programmeringsdelen. Serien består av tre läroböcker Tangent A, B och C som kan svara mot var sin årskurs eller användas över årskurserna enligt den lokala läroplanen och timfördelningen. För varje lärobok finns ett materialpaket för läraren.

TANGENT C

Tangent innehåller överskådlig teori, konkretiserar genom tydliga exempel och har uppgifter på två nivåer: bas och avancerad. Dessutom erbjuder Tangent en mängd elevaktiviteter, till exempel aktiverande uppgifter, olika spel, digitala övningar och extra arbetsblad, som eleverna kan göra enskilt eller tillsammans. Aktiviteterna är utmärkta med en symbol i läroboken och materialet till dem finns i lärarens materialpaket. Programmering med Linda Mannila

ISBN 978-951-52-xxxx-x

9 789515 247711

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

TANGENT

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Programmering med Linda Mannila

Schildts & Söderströms www.sets.fi Redaktör: Siv Fogelholm Omslag, grafisk formgivning och illustrationer: Linnéa Sjöholm Inlagans ombrytning: Jukka Iivarinen/Vitale Ay © 2021 Tora Smeds, Linda Mannila, Liselotte Risberg, Anders Johansson, Sofia Fröman och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Utgiven med stöd av Finlandssvensk Bokkultur. Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. Första upplagan 2021 ISBN 978-951-52-4963-0

Innehåll 1

Repetition och ekvationslösning

Procenträkning, sannolikhet och statistik

1.1 Räknestrategier och variabeluttryck 1.2 Beräkningar med längd, area och volym 1.3 Grundpotensform och högre prefix 1.4 Ekvationslösning 1.5 Ekvationer med fler än en nämnare 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Repetition av procenträkning Beräkna grundvärdet Procent i ekonomi och samhälle Diagram Medelvärde och median

Variabeluttryck

3.1 Variabler i potensform 3.2 Förenkling med likformiga termer 3.3 Räknesättens ordningsföljd vid förenkling

1.6 Specialfall av ekvationer 1.7 Korsvis multiplikation 1.8 Direkt och omvänd proportionalitet 1.9 Mer om direkt proportionalitet 1.10 Sammanfattning Repetitionsuppgifter 2.6 Kombinatorik 2.7 Sannolikhet 2.8 Mer om sannolikhet 2.9 Sammanfattning Repetitionsuppgifter 3.4 Binom multiplicerat med ett polynom 3.5 Faktorisering av uttryck 3.6 Sammanfattning Repetitionsuppgifter

4 Ekvationer av andra graden och trigonometri 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Det reella talområdet Utbrytning Ekvationer av andra graden Problemlösning Likformiga trianglar

5 Funktioner

5.1 En funktion är ett samband 5.2 Linjära funktioner och trappstegsmetoden 5.3 Praktisk tillämpning av funktioner 5.4 Funktioner av andra graden 5.5 Sambandet mellan funktion och ekvation

Programmering

6.1 Repetition 6.2 Programmering inom matematik 6.3 Hantera information och data

Facit

4.6 Att göra beräkningar med hjälp av sinus och cosinus 4.7 Tangensfunktionen 4.8 Sammanfattning Repetitionsuppgifter 5.6 Grafisk och algebraisk lösning av ekvationssystem 5.7 Problemlösning 5.8 Olikheter 5.9 Sammanfattning Repetitionsuppgifter

6.4 Att arbeta med större program 6.5 Sammanfattning Repetitionsuppgifter

Guide till Tangent-serien Läroboken Tangent innehåller överskådlig teori med tydliga exempel och uppgifter på två nivåer, bas och avancerad. Uppgifterna löper innehållsmässigt parallellt, så att eleverna kan välja uppgifter på den nivå som passar dem. I slutet av varje kapitel finns en sammanfattning och repetitionsuppgifter. I repetitions uppgifterna är a-uppgiften lättast och d-uppgiften svårast. Programmeringskapitlet längst bak i boken ser lite annorlunda ut, uppgifterna finns i mindre block genast efter teorin och exemplen. Programmeringskapitlet innehåller också en sammanfattning, en begreppslista och repetitionsuppgifter, där de avancerade uppgifterna är stjärnmarkerade. Facit till programmeringsuppgifterna finns i det digitala materialpaketets modellkod. Facit till bokens övriga uppgifter finns i slutet av boken. Dessutom finns det en mängd elevaktiviteter av olika slag i lärarens digitala materialpaket. Det finns hänvisningar till dem i boken med olika symboler för olika typers elevaktiviteter:

Spel Tärningen symboliserar olika spel, till exempel brädspel, läggspel och bingo. Med den finns en QR-kod som leder till spelets instruktioner.

Aktivitet Kugghjulen visar på en aktiverande uppgift, som till exempel att mäta eller bygga något, eller att ta reda på och sedan diskutera.

Digital uppgift Datorn symboliserar en digitalövning som görs på en dator, surfplatta eller mobiltelefon.

Arbetsblad Pappersarken visar på att det finns extra arbetsblad som kan skrivas ut.

1 Repetition och ekvationslösning 1.1

Räknestrategier och variabeluttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2

Beräkningar med längd, area och volym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Grundpotensform och högre prefix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5

Ekvationer med fler än en nämnare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6

Specialfall av ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7

Korsvis multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8

Direkt och omvänd proportionalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9

Mer om direkt proportionalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Målet med kapitlet är att du • repeterar alla räknesätt och räknestrategier • repeterar enhetsbyten och area- och volymberäkning • repeterar och fördjupar kunskapen om tiopotenser, prefix och grundpotenser • utvidgar din kunskap om ekvationslösning • övar direkt och omvänd proportionalitet • lär dig i vilka situationer du har nytta av att ställa upp en analogi.

1.4 Ekvationslösning En ekvation är en likhet. Uttrycken i vänster och höger led är lika mycket värda. Vår uppgift är att ta reda på värdet för det obekanta, här x. Vid ekvationslösning strävar vi efter att få variabeltermerna i det ena ledet och konstanttermerna i det andra. Vårt hjälpmedel är "väggen". Bakom väggen skriver vi hur vi förändrar de båda leden i följande steg av ekvationslösningen. Boxarna i exemplen visar hur balansen bibehålls i ekvationen. EXEMPEL

Lös ekvationen 9x + 28 = 3x + 25. 9x + 28 = 3x + 25 | −28 9x + 28 − 28 = 3x + 25 − 28 9x = 3x − 3 | −3x 9x − 3x = 3x − 3x − 3 6x = 6x 6 = x =

Båda leden innehåller en variabelterm och en konstantterm. Med hjälp av motsatt räknesätt bortskaffar vi termer. Vi skriver in bakom “väggen” vad vi lägger till eller tar bort i de båda leden. Balansen ska bibehållas.

− 3 | :6 −3 6 Till slut dividerar vi båda leden −0,5 med faktorn framför x.

Då kvarstår x i vänstra ledet och värdet för x i högra ledet.

EXEMPEL

x 14x − 3 = 7 b) −1=6 7 3 I båda ekvationerna har x-termen en nämnare. Vi löser ekvationen på samma sätt som tidigare, men multiplicerar båda leden med x-termens nämnare. Lös ekvationen. a)

− 3 = 7

|+3

14x x | ∙7 = 10 3 = 7 7 3 ∙ 14x 7 ∙ x = 3 ∙ 7 = 7 ∙ 10 3 7 x = 70 14x = 21

14x − 1 = 6 3

| +1 | ∙3 | :14

21 14x = 14 14 x = 1,5

1.4 Ekvationslösning

Ekvationer som måste förenklas Ibland har en ekvation fler än en variabelterm och/eller konstantterm i leden. Då är det enklast att förenkla ekvationen i vartdera ledet innan vi bortskaffar termer. Sedan löser vi ekvationen som tidigare. EXEMPEL

Lös ekvationen 7,5x + 8 − 5 − 5x = 0,5x − 10 + 3,5 − x + 2. Vi förenklar så att det finns endast en variabelterm och en konstantterm per led. 7,5x + 8 − 5 − 5x = 0,5x − 10 + 3,5 − x + 2 2,5x + 3 = −0,5x − 4,5

| −3

2,5x = −0,5x − 7,5

| + 0,5x

3x = −7,5

| :3

−7,5 3

x =

x = −2,5

Ekvationer med parenteser I ekvationer med parenteser utvecklar vi först alla parenteser. Sedan förenklar vi i vartdera ledet och löser ekvationen som vanligt. EXEMPEL

Lös ekvationen 12x − 3(3x + 2) = 5(4 − x) + 6x − 19.

12x − 3(3x + 2) = 5(4 − x) + 6x − 19

Först utvecklar vi alla parenteser.

12x − 9x − 6 = 20 − 5x + 6x − 19

1.4 Ekvationslösning

3x − 6 = x + 1

| + 6

3x = x + 7

| − x

2x = 7

| : 2

7 2

Sedan kan vi addera likformiga termer i båda leden. I följande skede använder vi motsatt räknesätt för att bortskaffa termer.

x =

x = 3,5 Till slut dividerar vi.

Problemlösning med hjälp av ekvation Ett matematiskt problem i textform löser vi ofta med hjälp av ekvation.

1. Vi betecknar det obekanta med x.

2. Vi uttrycker de andra obekanta värdena med hjälp av x.

3. Vi ställer upp ekvationen och löser den.

4. Vi besvarar frågan och beräknar de svar som behövs. EXEMPEL

Rufus farmor är 2 år yngre än sju gånger så gammal som Rufus. Deras sammanlagda ålder är 94 år. Beräkna Rufus och farmors ålder. Rufus x år Vi betecknar Rufus ålder med x. Farmor (7x – 2) år Vi uttrycker farmors ålder med hjälp av x. Sammanlagd ålder 94 år x + 7x – 2 = 94 8x – 2 = 94 | +2 | : 8 8x = 96 96 x = 8 x = 12

Vi ställer upp ekvationen som summan av deras åldrar.

Ekvationens lösning är Rufus ålder.

Vi kan beräkna farmors ålder på två olika sätt:

med hjälp av insättning av x = 12 i uttrycket (7x – 2) år 7 ∙ 12 – 2 = 82 genom att subtrahera den sammanlagda åldern med Rufus ålder 94 – 12 = 82 Svar: Rufus är 12 år och farmor är 82 år.

EXEMPEL

Tre kompisar jobbade sammanlagt 69 timmar under tre dagar. Albin jobbade fulla dagar. Vilma jobbade alla dagar men försov sig tre timmar den sista dagen. Mirjam jobbade två fulla dagar. Hur många timmar var en arbetsdag?

x timmar för en full arbetsdag Vi betecknar antalet timmar Albin: 3x h per dag med x. Vilma: (3x − 3) h Vi uttrycker de enskilda Miljam: 2x h kompisarnas arbetsinsats.

3x + 3x − 3 + 2x = 69 8x − 3 = 69 | + 3 8x = 72 | : 8 72 x = 8 x = 9 Svar: En arbetsdag är 9 h. 24

Vi ställer upp ekvationen som en summa av allas arbetsinsats. Summan är 69. Vi löser ekvationen och besvarar frågan. 1.4 Ekvationslösning

EXEMPEL

En triangel har arean 56,8 cm2. Basen är 9,8 cm. Beräkna triangelns höjd. b ∙ h b ∙ h Triangelns area beräknas enligt A = eller =A 2 2 h = x cm Höjden är obekant och betecknas med x. 9,8 ∙ x = 56,8 | ∙2 2 9,8x = 113,6 | : 9,8 113,6 x = 9,8 x ≈ 11,6

Vi bygger upp ekvationen enligt formeln för triangelns area.

Vi multiplicerar först båda leden med 2 och dividerar sedan båda leden med 9,8.

Svar: Höjden är 11,6 cm.

EXEMPEL

I två nätabonnemang ingår 3 GB data i grundavgiften. I nätabonnemang A är månadsavgiften 4 € och det kostar 1,2 €/GB för extra data. I nät abonnemang B är grundavgiften 2 € och det kostar 1,6 €/ GB för extra data. För hur många GB data är nätabonnemangen lika förmånliga? Extra data: x GB A: (1,2x + 4) € B: (1,6x + 2) €

1,6x + 2 = 1,2x + 4 ... x = 5

| −2

I grundavgiften ingår 3 GB som vi adderar till x-värdet 5 GB.

Svar: För 8 GB data kostar abonnemangen lika mycket.

EXEMPEL

Jag har tio nötter fler i min vänstra hand än i min högra. Om jag flyttar tre nötter från min högra hand till min vänstra har jag tre gånger så många nötter i min vänstra hand som i min högra. Hur många nötter hade jag i vardera handen från början? vänstra

högra

före

(x + 10) st

efter

(x + 13) st

x st (x − 3) st

x + 13 = 3(x − 3) ... x = 11

Vi betecknar mängden nötter i höger hand med x och visar i en tabell vad som gäller före och efter. Vi bildar ekvationen enligt vad som gäller efteråt när den vänstra handen innehåller tre gånger så många nötter som den högra handen.

Svar: 11 nötter och 21 nötter

1.4 Ekvationslösning

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös följande ekvationer.

143. a) 7x − 3 = 11 + 5x b) 6x + 2 = 4x − 6 c) 9x − 12 = 5x + 4 d) −5x + 8 = −7x − 6

150. a) 1,4x − 4 = 12 − 0,2x b) 4,4x − 13,2 = −2,2x + 6,6 1 1 c) 4,5 − 1,5x = 2 x − 1 4 3 1 2 1 5 d) 2 x − 2 = 2 x − 2 4 3 8 8

144. a) 5 − 3x = 13x − 3 b) −12x + 6 = −15x + 9 c) x + 7 = 3x + 1 d) 1,5x − 6 = 3,5x + 10 145. a) 100x = 355 b) 15x + 120 = −85x − 80 c) 2x + 3x + 5x + 2 = 17 d) 5x + 3 − 8x + 2 = 4x − 6 − 5x + 1 146. a) 1,5 − 4x + x = −4,5x − 6 b) 1,5x + x − 5 = −0,5x + 2,5 c) 9x − 15 + 30x + 8 = 56 + 42x − 10x + 7 d) 11x − 33 + 4,5x = 7x − 51 + 28 + 6x 6x 5x 147. a) − 1 = 5 b) + 7 = 8 5 9 3x 9x c) + 3 = 6 d) − 4 = 5 2 7 148. a) 5(x − 2) = 25 b) 2(x + 6) = 4x + 4 c) 3(x + 2) = 5x − 15 + 5x d) 3x + 4(x − 4) = 2(x + 6) − 3 149. a) 8x − 4(x − 3) = −2(x + 3) b) −2(6x + 1) − 2 = 4(2x + 2) + 4x c) 3(2 − x) − 4x = 6x − 2(3x + 4) d) 5(x + 2) − 2(2x + 3) = 3(x + 1) − 1

151. a) 7,6x − 3,2 + 1,4x = 6,5x − 10,7 b) 3x − 8x + 14 = 12 − 3(3x + 2) c) 2x − 15 + 3x = 2(5x − 8) + 1 − 6x d) 1,2x − 4x + 4,7 = −3,6x − 1,5(2x + 7) 152. a) 0,5(0,6x + 1,1) = 0,85x + 3,3 b) (−3)2 x −3(2x + 1) = −42 x −(−x) + 3 c) −5(3x + 5) = 6x − 5x − 25 d) 2(3x + 2) = 2 ∙ 4x + 6x + 2 ∙ 5x 7x 6x 153. a) − 16 = −2 b) 54 = + 2 4 9 2x 1,1x c) −4 + = 0 d) 0,5 + =6 13 5,2 7x + 2 12x 22 − = 154. a) 2 2 3 30x + 20 1,5x 18 b) 10(2x − 3) + = + 10 0,5 1,5 c) 0,1 ∙ (7 + x) + 0,9x + 0,3 = 0 d) 4 +

9x − 11= 11(x − 0,1) + 4 4,5

155. a) 100(10 − x + 100) = −10[x −(x + 100)] b) 3x −[4x + 8(5x − 7) + 3x] − 17x = 33 − [18 − 7(x + 4)] 156. Sätt in uttrycket för y på y:ets plats i ekvationen. Lös ekvationen. a) y = 6x − 8 2x − 5y + 28 = −20x − 2y b) y = −2,5x + 0,1 7,5x − y + 0,45 = 1,2x − 0,4y

1.4 Ekvationslösning

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös med hjälp av ekvation.

157. Juni har fyra gånger så mycket pengar som Sara. Sammanlagt har de 75 euro. Hur mycket har var och en?

166. Freja diskar och bär ut soporna varje dag. Hon får tre gånger så mycket för diskandet som för att bära ut soporna. Sammanlagt tjänar hon 8,40 € under en vecka. Vad får hon per gång för att diska och bära ut soporna?

158. Bruno tränar dubbelt så ofta som Elmer. Sammanlagt har de tränat 243 gånger under ett år. Hur många gånger har vardera tränat under året? 159. My har 12 € mer än Mette. Sammanlagt har de 54 €. Hur mycket har var och en? 160. Vanessa räknar att hon och mamma har 19 par skor sammanlagt. Mamma har två par färre än dubbelt så många par skor som Vanessa. Hur många par har var och en? 161. Jesper är dubbelt så gammal som sin lillebror Sebastian. Mamma är 22 år äldre än Jesper. Tillsammans är de 42 år. Hur gamla är de? 162. En sandlådas längd är dubbelt så lång som den är bred. Omkretsen är 12 m. Hur långa är sidorna? 163. En likbent triangel har omkretsen 60 cm. Hur långa är sidorna då benen är dubbelt så långa som basen? 164. Magnus, Sebastian och Ronja jämför hur mycket de cyklat under sommaren. Magnus har cyklat 180 km kortare än tre gånger det som Sebastian cyklat. Ronja har cyklat 180 km längre än dubbelt så långt som Sebastian. Sammanlagt cyklade ungdomarna 2100 km. Vem cyklade längst och hur långt? 165. En plansch med ram kostar 32 euro. Ramen kostar 20 euro mer än planschen. Hur mycket kostar planschen?

1.4 Ekvationslösning

167. Adam och Robin har sammanlagt 26 €. Robin har 18 € mer än Adam. Hur mycket har var och en? 168. Om Anna skulle få 13 € till skulle hon ha tre gånger så mycket pengar som Laura. Sammanlagt har de 98,20 €. Hur mycket har var och en? 169. Fiona har tre gånger så mycket pengar som Siri. Annika har hälften av Fionas summa. Sammanlagt har de 33 euro. Hur mycket har var och en? 170. En trädgård är rektangulär och långsidan är 50 cm kortare än fyra gånger så lång som kortsidan. Omkretsen är 23 m. Vilka mått har trädgården? 171. Alfons bygger en terrass som är 2,5 gånger så lång som den är bred. Staketet som går runt hela terrassen är 35 m. Bestäm terrassens längd och bredd. 172. En likbent triangel har omkretsen 90 cm. Hur långa är sidorna a) om basen är 6 cm längre än benen b) om basen är 6 cm kortare än benen? 173. I ett spel får Misa 18 poäng mindre än tre gånger Noras poäng. Bibbi får 22 poäng mer än hälften av Misas poäng. Sammanlagt får alla 369 poäng. Hur mycket får var och en? 174. En flaska lemonad med innehåll kostar 1,20 euro. Innehållet kostar 1 euro mer än flaskan. Hur mycket kostar innehållet respektive flaskan? 27

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös med hjälp av ekvation.

175. a) En rektangel har arean 540 m2. Den ena sidan är 18 m lång. Hur lång är den andra sidan? b) Ett rektangelformat område har arean 4 ha. Den ena sidan är 80 m. Hur lång är den andra sidan?

183. a) Ett rektangulärt område är 450 ha. En sida är 0,9 km. Hur lång är den andra? b) En romb har omkretsen 64 cm. Arean är 160 cm2. Beräkna rombens höjd.

176. a) En triangel har arean 17,6 cm2 och basen 3,20 cm. Beräkna höjden. b) En triangel har arean 1,57 dm2 och höjden 5,6 dm. Beräkna basens längd. 177. a) En cirkel har periferin 78,5 cm. Beräkna cirkelns diameter. b) En cirkel har periferin 191 cm. Beräkna cirkelns radie. 178. Nina ska köpa en låda med färgtuber till ett konstprojekt. Butik A tar 7 €/ tub och ger lådan på köpet. Butik B tar 5 €/tub men 8 € för lådan. För vilket antal tuber är erbjudandena lika förmånliga? 179. Max har 25 € och sparar 10 €/vecka. Johan har 43 € och sparar 7 €/vecka. Om hur många veckor har de lika mycket? 180. Nadja har dubbelt så mycket pengar som Laura. Om Nadja ger två euro till Laura har de lika mycket. Hur mycket pengar hade flickorna från början? 181. Emilia har tre gånger så mycket pengar som Annika. Om Emilia ger 1,80 euro åt Annika har de lika mycket. Hur mycket pengar hade flickorna från början? 182. Alexandra och Martina har lika många pennor. Om Martina ger 4 av sina pennor till Alexandra har Alexandra dubbelt så många pennor. Hur många pennor hade flickorna från början?

184. a) En liksidig triangel har arean 877 cm2 och höjden 39,0 cm. Beräkna triangelns omkrets. b) En likbent triangel har arean 316 cm2, omkretsen 81,6 cm och benen 28,5 cm. Bestäm triangelns bas och höjd. 185. a) En cirkelsektor med vinkeln 120° har båglängden 40,8 cm. Beräkna radien. b) En radian (rad) är den vinkel där båglängden är lika lång som radien. En cirkelsektor med vinkeln 1 rad har omkretsen 36 cm. Beräkna hur stort vinkelmåttet 1 rad är i grader. 186. Moa har 15 € och sparar 5 €/dag. Felix börjar från noll och sparar 12 €/dag. Om hur många dagar har Felix sparat dubbelt så mycket som Moa? 187. Susannes mamma är i dag tre gånger så gammal som Susanne. Om 15 år är mamma bara dubbelt så gammal som Susanne. Hur gamla är de i dag? 188. Noa och Roni har sammanlagt 15 bio biljetter. Noa ger Roni en av sina biljetter. Nu har Noa dubbelt så många biljetter som Roni. Hur många hade vardera från början? 189. När Noel föddes var morfar 2,5 gånger så gammal som mamma. När Noel fyllde 12 år var morfar endast dubbelt så gammal som mamma. Vilken är åldersskillnaden mellan Noel och morfar? 190. I sin ungdom byggde farfar en båt. I dag är båten dubbelt så gammal som farfar var när han byggde båten. Farfar är 60 år. I vilken ålder byggde han båten?

1.4 Ekvationslösning

1.5 Ekvationer med fler än en nämnare Vi kan skriva om en ekvation så länge likheten består. Det är arbetsamt att räkna ekvationer som innehåller bråkuttryck. Därför multiplicerar vi båda leden för att kunna jobba med heltal. 12 ∙

12 ∙ x + 4 = 1 3 4 12 3

Metoden går ut på att multiplicera varje term i ekvationen med nämnarnas minsta gemensamma multipel, mgm. I praktiken har mgm samma värde som mgn (minsta gemensamma nämnare).

12 ∙ 7 12 ∙ x + 12 ∙ 4 = 4 12 1

x + 48 = 21

Efter förkortning har vi en ekvation med samma lösning men som är lättare att hantera.

EXEMPEL

Lös ekvationen

Ett tal utan nämnare har den osynliga nämnaren 1.

+4=

. Nämnarna 2 och 3 har den minsta gemensamma multipeln (mgm) 6, så vi multiplicerar varje term med 6.

+ 4 = | ∙6 2 3

6∙x 6 ∙ x + 6 ∙ 4 = 3 2 1

Inom varje term kan vi förkorta så att nämnaren blir 1. Om termen saknar nämnare multiplicerar vi bara.

| −24 2x + 24 = 3x 2x = 3x − 24 | −3x −x = 24 | ∙(−1) x = −24

Sedan löser vi ekvationen som vanligt.

EXEMPEL

3x 1 4x 1 − . + = 5 2 15 6 3x 1 4x 1 5 + 2 = 15 − 6 | ∙30

Lös ekvationen 6

30 ∙ 3x 30 ∙ 1 30 ∙ 4x 30 ∙ 1 + − = 15 6 5 2 1

6 ∙ 3x + 15 ∙ 1 = 2 ∙ 4x − 5 ∙ 1 | − 8x − 15 18x + 15 = 8x − 5 10x = −20 | : 10 x = −2

1.5 Ekvationer med fler än en nämnare

mgm = 30 Vi multiplicerar varje term med 30. Inom varje term kan vi förkorta så att nämnaren blir 1. Sedan löser vi ekvationen som vanligt.

En term som innehåller ett bråk i blandad form skriver vi först i ren bråkform.

EXEMPEL

2x 3 1 Lös ekvationen 1 x − 2 = −3 . 3 5 5 1 2x 4 x − 2 = 1 −3 5 3 5 2x 19 6 x − 2 = − |∙15 3 5 5 3

Vi omskriver alla termer i blandad form till ren bråkform.

15 ∙ 2x 15 ∙ 19 15 ∙ 6 − x − 15 ∙ 2 = 5 3 5 1

18x − 30 = 10x − 57 | −10x + 30 8x = −27 | : 8 27 x = − 8 3 x = −3 8

Varje term multipliceras med 15, vilket är ekvationens mgm.

Motsvarande metod används även när täljaren innehåller ett uttryck. När vi multiplicerar det rationella uttrycket (bråkuttrycket) med multipeln, skriver vi uttrycket inom parentes. Det lönar sig att inte genast multiplicera med varje term i parentesen, utan vi utför förkortningen först.

EXEMPEL

x + 1 x − 2 − = −1. 3 2 x + 1 x − 2 − = −1 | ∙6 2 3

Lös ekvationen

mgm = 6

6 ∙ (x + 1) 6 ∙ (x − 2) − = 6 ∙ (−1) 2 3 1

2(x + 1) − 3(x − 2) = −6 2x + 2 − 3x + 6 = −6 −x + 8 = −6 | −8 −x = −14 | ∙(−1) x = 14

Hela täljaren multipliceras och placeras därför inom parentes. Det lönar sig att förkorta faktorerna innan vi multiplicerar in faktorn i parentesen.

1.5 Ekvationer med fler än en nämnare

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös ekvationerna.

4 x 191. a) + 3 = b) 5 5 2x 1 c) = 2 d) 3 3

x + 4 = 3 1 6 2 1 7x = 3 2 3

x 5 2 192. a) + = 2 2 3 3 1 3x 3 b) − = 4 8 2 8 2x 7 c) + 2,3 = 5 10 −3x 3 1 + = 4 d) 4 8 8 3x 2x 1 = + 5 2 5 2 1 2x 5x b) − 2 = 10 5 2 x 5x c) −7= 2 3 3x 5x d) + 1 = − 2 6

193. a)

x + 1 2x + 8 = 2 7 x+1 x−1 = b) 3 4

194. a)

x+1 x−1 + = 1,5 3 2 x+3 x+4 b) − =4 2 5

195. a)

2x 4x + 5 25 + = 1 4 7 28 8x + 3 9x − =1 b) 5 3

4 x −x 198. a) 1 1 x = 2 b) = 1 − 5 5 2 5 4 10 x 1 3x 2 = x + 2 d) c) = 3x − 1 3 4 7 3 −5x 1 x = 6 + 4 3 3 1 3x 1 b) 1 x + = 4 3 4 6 1 1 c) x − 9 = 4 x 2 6 6x 1 d) − 3 = x 11 2

199. a)

−5x 3x 1 1 + − 4 = − 4 4 2 3 1 3x 3 b) 2 x − 1 = 2 + 4 4 4 1 3x 3 c) 1 x − x = 4 + 2 5 4 1 1 d) 2 x − 3 = 2 + x 7 3

200. a)

5x − 2 4x + 1 = 2 12 −2x + 7 5x − 16 b) = 3 −7

201. a)

2x − 5 4x + 3 10x − = −2 − 7 3 21 x − 5 3x + 3 1,1x + 5 b) − =− 0,1 0,2 0,1

202. a)

196. a)

1 5 203. a) 2 x + 2 = 2 2 + 2 1 x 4 8 3 8 7x 9x 5 3 b) + = − 5 + 3 4 2 6 4

197. Ställ upp ekvationen och lös ut x. a) Talet 7 subtraherat med kvoten av x och 2 har lika stort värde som kvoten av x och 5. b) Kvoten av talet x och 3 har lika stort värde som kvoten av talet x och 4, adderat med 0,5.

204. Ställ upp ekvationen och lös ut x. 1 a) Talet 12 subtraherat med kvoten av 2 x och 8 har lika stort värde som den kvot som består av produkten av 11 och x dividerat med 12. b) Summan av 7x och 3 dividerat med 2 har lika stort värde som differensen mellan 5x och 1 dividerat med 14, subtraherat med 2.

1.5 Ekvationer med fler än en nämnare

1.6 Specialfall av ekvationer För det mesta har en ekvation av första graden en och endast en lösning, men inte alltid. Här presenteras de båda specialfallen för ekvationer av första graden.

Alla tal är lösningar En ekvation som ger likheten 0x = 0 har oändligt många lösningar. Vilket reellt tal som helst kan ersätta x i ekvationen. Efter att vi löst ekvationen och konstaterat att alla tal är lösningar, skriver vi i svaret att alla reella tal är lösningar till ekvationen. Det kan också betecknas x ∈ R (x tillhör mängden reella tal). EXEMPEL

Lös ekvationen 2x + 1 + x + 4 = 3 + 3x + 2. 2x + 1 + x + 4 = 3 + 3x + 2 3x + 5 = 3x + 5 3x = 3x 0x = 0

| −5 |−3x

Kontroll med x = −2:

Vi kan kontrollera lösningen 2x + 1 + x + 4 = 3 + 3x + 2 genom att ersätta x med olika 2 ∙ (−2) + 1 + (−2) + 4 3 + 3 ∙ (−2) + 2 värden. Oberoende av vilket värde − 4 + 1 − 2 + 4 3 + (−6) + 2 vi väljer så stämmer likheten. −1 −1 Svar: Alla reella tal är lösningar till ekvationen.

Det finns ekvationer som påminner om 3x = 3 | :3 3x = 0 | :3 specialfallen, men som är helt vanliga x= 3 x= 0 3 3 ekvationer med endast en lösning: x=1 x=0

Ekvationen saknar lösning

En ekvation som ger en falsk likhet saknar lösning. Det finns inget tal som kan ersätta x och ge en likhet. Efter att vi löst ekvationen och ser att ekvationen saknar lösning, skriver vi i svaret att ekvationen saknar lösning. Det kan också betecknas x ∈ ∅ (x tillhör tomma mängden). EXEMPEL

Lös ekvationen 3x + 2 + x + 3 = 2x + 4 + 2x + 3.

Symbolen ≠ kan användas för att symbolisera "är inte lika med". 32

3x + 2 + x + 3 = 2x + 4 + 2x + 3 4x + 5 = 4x + 7 4x = 4x + 2 0x ≠ 2

|−5 |−4x

Svar: Ekvationen saknar lösning.

1.6 Specialfall av ekvationer

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös ekvationen.

205. a) 3x + 2x + 4 = 5x + 2 b) 6x + 7 − 3 = 2x + 5 + 4x − 1 c) 4x + 4 = 2x + 3x + 4

212. a) 3(x + 3) + 5 = 2(x + 5) + 4 b) 3(x + 3) + 5 = x + 2(x + 5) + 4 c) 3(x + 3) + 5 = x + 2(x + 5)

206. a) 2(x + 3) − 5 = 2x + 1 b) 5(x − 1) + 3 = 2(x + 3) + 1 c) −2(3x − 1) + 5 = −8x + 7 − 2x

1 1 213. a) x + 8 = x + 9 2 3 1 1 b) x + 9 = x + 9 3 2 1 1 c) x + 9 = x + 9 3 3

207. a) 13x − 3 + 2x = 2(7x − 1) − 1 b) x + 12 = −5x + 5 + 6x + 7 c) −2(6x + 11) + 2 = 4(2x + 1) + 4x

x 2x 208. a) + 1 = 2 4 x + 1 4x + 1 1 b) = + 3 12 4 7x + 3 3x − 1 + =3 c) 5 2 209. Kombinera ekvationerna a−d med rätt påståenden I−IV. a) 2x + 5x = 7 b) 2x + 5x = 7x c) 2x + 5x = 6x d) 2x + 5x = 7x + 1 I. alla tal är lösningar II. lösning saknas III. endast x = 0 gäller IV. endast x = 1 gäller 210. Lös med hjälp av ekvation. a) Lisa har dubbelt så mycket pengar som Klaus. Hanna har tre gånger så mycket pengar som Klaus, vilket är lika mycket som Lisa och Klaus har tillsammans. Hur mycket har var och en? b) Tina har 20 € mer än Ulf. Zack har 30 € mer än Tina. Sammanlagt har de 70 €. Hur mycket har Ulf? 211. Lös ekvationen. a) 0,2x − 5 = −1,7x + 1,2 + 1,4 b) 9x + 14 = −4 + 4,5x + 18 c) −1,2x − 1,5x + 8 = −3x + 0,3x + 5,6

1.6 Specialfall av ekvationer

214. a) 5(5x + 1) = 4(5x + 2) + 5x − 3 4x − 2 8x − 1 1 b) = − 3 6 2 c) −3x − 18(3 − 2x) = 3(11x + 4) 1 1 215. a) 2 x + 5 = 8x + 2 − 5 x + 3 2 4 1 1 1 b) 4x + 5 = 3x + 2 − + 3 4 8 8 4x + 1 1 c) + = 2x − 1 8 2 216. Kombinera ekvationerna a−d med rätt påståenden I−IV. a) 15x + 2x = 17x b) 15x − 2x = 17x c) 15x + 2 = 17x d) 15x + 2x = 17x + 1 I. alla tal är lösningar II. lösning saknas III. endast x = 0 gäller IV. endast x = 1 gäller 217. Lös med hjälp av ekvation. a) Milla har dubbelt så mycket pengar som Jon. Gry har 15 € mer än tre gånger så mycket pengar som Jon. Gry har lika mycket som Milla och Jon tillsammans. Hur mycket har var och en? b) Boel har dubbelt så mycket pengar som Cara. Om Cara ger hälften av sina pengar till Boel har de lika mycket. Hur mycket har var och en? 218. Lös ekvationen. a) 0,3x + 0,55x = −0,85x + 3,4 b) 1,2x + 5,8x − 6,2 = −2,7 + 7(x − 0,5) x+1 c) 5,2x − 5,1x − 0,1 = 10 33

Fördjupning: geometri och ekvationslösning För att lösa uppgifterna behöver du ta reda på och repetera följande: kvadratrot, Pythagoras sats, cylinderns volym, konens area och volym samt klotets volym.

UPPGIFTER

219. En geostationär satellit roterar kring ekvatorn på 35 786 km höjd och håller samma rotationshastighet som jorden. Jordens radie vid ekvatorn är 6378 km. Beräkna satellitens hastighet i sin omloppsbana. 220. Det har regnat 8,0 mm under natten. En oval bricka är fylld med vatten. Brickans form består av en kvadrat med sidan 16,0 cm med halvcirklar i vardera ändan. Vattnet på brickan hälls över i en cylinderformad kanna. Vattnet stiger 10,0 cm i kannan. Beräkna kannans radie. 221. Jordklotets medelradie är 6 371 km. Jorden väger 5,972 6 ∙ 1024 kg. Beräkna jordklotets medeldensitet. Lös med hjälp av ekvation. 222. Hanna sätter in 540 euro på sitt konto. Hon har sammanlagt 21 sedlar, både 20- och 50-eurosedlar. Hur många sedlar har hon av varje sort? 223. Alexandra kastar pil sammanlagt 30 gånger. För varje fullträff får hon 1 €. För varje miss betalar hon 20 c. Hur många fullträffar bör hon få för att a) förtjänsten ska vara 7,20 € b) förlusten ska vara 1,20 € c) hon säkert ska gå på vinst? 224. På en hårddisk finns två mappar. I den ena mappen finns en fjärdedel så många gråskalebilder på 8 MB / st. som det finns RGB-bilder på 24 MB / st. I den andra mappen finns 10 högupplösta RGB-bilder på 128 MB/ st. och resten är högupplösta gråskalebilder på 72 MB/ st. Båda mapparna tar upp lika mycket minne och det finns fyra gånger så många bilder i den första mappen som i den andra. Hur många högupplösta RGB‑bilder finns det i den andra mappen? 225. En cirkulär kon har den totala arean 471 cm2. Radien är 7,50 cm. Beräkna konens övriga mått och sedan konens volym. 226. Ett klot packas in i en kubformad förpackning som omsluter klotet på alla sidor. Förpackningens totala area är 2 900 cm2. Hur många procent av kubens volym upptar klotet?

1.6 Specialfall av ekvationer

1.7 Korsvis multiplikation Ekvationer som är uppbyggda som en likhet mellan två rationella uttryck (bråkuttryck) kan lösas med en metod som kallas korsvis multiplikation. 3 9 Vi undersöker sambandet: = 4 12 Vi multiplicerar korsvis så här: Vi konstaterar att likheten bibehålls vid korsvis multiplikation:

9 3 = 4 12

3 ∙ 12 = 4 ∙ 9 36 = 36

EXEMPEL

2x 4 = . 3 5 Ekvationen kan lösas på två olika sätt:

Lös ekvationen

Korsvis multiplikation 2x 4 3 = 5 2x ∙ 5 = 3 ∙ 4 10x = 12 12 x = 10 1 x = 1 5

Vanlig ekvationslösning mgm = 15 2x 4 | ∙ 15 = 5 3 5

| : 10

15 ∙ 2x 15 ∙ 4 = 5 3 1

5 ∙ 2x = 3 ∙ 4 | : 10 12 x = 10 1 x = 1 5

När ett bråk står i blandad form skriver vi det först i ren bråkform.

EXEMPEL

Lös ekvationen

3x 1 = 1 . 4 2

3x 1 4 = 1 2 3x 3 4 = 2 3x ∙ 2 = 4 ∙ 3 6x = 12 | : 6 x = 2

1.7 Korsvis multiplikation

Bråk i blandad form skriver vi först i ren bråkform. Sedan löser vi ekvationen med korsvis multiplikation.

Uttryck i täljaren eller nämnaren Om täljaren eller nämnaren i något av uttrycken består av flera termer, skriver vi uttrycket inom parentes när vi multiplicerar korsvis eftersom vi multiplicerar med hela uttrycket.

EXEMPEL

x + 1 x − 3 = . 6 8 x + 1 x − 3 8 = 6 8(x − 3) = 6(x + 1) 8x − 24 = 6x + 6 | −6x +24 | : 2 2x = 30 x = 15 Lös ekvationen

Ekvationen består av två bråk uttryck. När vi utför den korsvisa multiplikationen, skriver vi täljarna inom parentes.

När korsvis multiplikation inte fungerar Om det i någotdera ledet av ekvationen finns fler än en term kan vi inte använda korsvis multiplikation. Vi löser uppgiften som tidigare ekvationer med fler än en nämnare. Vi multiplicerar hela ekvationen med minsta gemensamma multipel, mgm.

EXEMPEL

Lös ekvationen

7x + 3 x 3x + 1 − = . 2 3 2

7x 3 x 3x 1 2 2 3 3 3 2 6 7 x 3 6 x 6 3 x 1 2 3 2 1 1 1

∙6

21 x 9 2x 9 x 3 19 x 9 9 x 3 10 x 6

Ekvationen innehåller tre bråkuttryck. Vi söker nämnarnas minsta gemensamma multipel, här är mgm = 6, och multiplicerar alla termer med multipeln.

9 9x : 10

x 0, 6

1.7 Korsvis multiplikation

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Lös följande ekvationer.

Lös följande ekvationer. 5 x 2 6 236. a) = b) 6 = 5 x 72 1,8 x 5 x c) = = d) 0,03 0,1 0,4 8

x 1 x 8 227. a) = b) = 6 2 3 24 x 6 4 2 c) = d) = 5 15 x 3 3x 1 80 2 = b) = 12 8 2x 3 5 1 3 1 = d) = c) 2x 10 2x 12

228. a)

2x 4 1 2 229. a) = b) = 5 5 6x 3 8 5 2x 2 c) = d) = 9 3x 9 3 5x 5 4 8 b) = = 7 0,7 0,9 x 0,4 0,4 1,6 1 = d) c) = 1 x 3 x 3

230. a)

x+2 x 3 x−1 = b) = 3 4 2 4 x+1 5 x−4 x c) = d) = 3 5 3 6

231. a)

8 38 5 12 =1 237. a) = b) 11 x 7 x 11 9x 1 1 c) =3 = 4 d) 7x 5 7 5 1 2 8x 8 = = b) 4x 3 3 15 5 15 5 10 c) = d) = 3x 24 18 −0,3x

238. a)

239. a)

165

= 15 b) 0 = 2 −

4 8 1 2x 3 1 c) = d) 1 x = + 2x + 5 10 5 5 2

x−1 x+1 x+2 x−1 = b) = 6 10 5 2 2x − 3 1 − 2x 3x 2 − 3x c) d) = − = 2x 5 3 4 6

240. a)

232. a)

241. Omskriv ekvationen så att du kan använda korsvis multiplikation. 1 1 1 a) 2 x + 1 = 3 x 2 8 4 4x 1 5x 2 b) − = − 3 2 4 9

2x + 3 x − 3 2x + 2 2x − 3 b) 233. a) = = 4 3 5 2 2x 3x 1 5x 3 x c) = 2 − d) = − 3 4 2 8 4 4

242. Lös ekvationen på valfritt sätt. x 3 19 a) + = − 0,3x 5 5 20 2(5x + 4) 3x − 1 b) − (2x − 4)= −2 4 4

Ställ upp ekvationen och lös ut x.

6x + 1 25 x+1 x−1 = b) = 4 2 3 4 3x − 4 x − 1 2x + 7 3x d) c) = = 5 5 4 2

234. Uttrycket 3x dividerat med 12 är lika mycket värt som differensen av x och 1 dividerat med 2. 235. Summan av 2x och 8 dividerat med 5 är lika mycket värd som 2x dividerat med 3.

1.7 Korsvis multiplikation

243. Två tal står i förhållandet 3 : 4, de är alltså 3x och 4x. Om man adderar 2 till båda talen står de nya talen i förhållandet 4 : 5. Bestäm de två ursprungliga talen. 244. a) Två tal står i förhållandet 2 : 5. Om man adderar 2 till det första talet och 5 till det andra talet står de i samma förhållande 2 : 5. Bestäm de två talen. a) Två tal står i förhållandet 2 : 5. Om man adderar 1 till vartdera talet står de i samma förhållande 2 : 5. Bestäm de två talen. 37

1.8 Direkt och omvänd proportionalitet Analogi, en lösningsmetod för proportionella storheter En proportionalitet kan vara direkt eller omvänd. Analogi är en lösningsmetod som grundar sig på proportionalitet och består av en likhet mellan två förhållanden som har samma värde. En analogi byggs upp kring tre storheter, till exempel tid, timlön och förtjänst. Två av storheterna förändras i proportion till varandra och den tredje hålls konstant. Den tredje storheten behöver inte nämnas eller beräknas, men den finns ändå i bakgrunden.

En storhet är en egenskap som kan mätas.

Direkt proportionalitet mellan tid och förtjänst innebär att när arbetstiden ökar, ökar också förtjänsten. Amanda förtjänar enligt följande: 3 h 15 € ∙ 4 12 h 60 €

Skolans festsal töms på stolar: ∙ 4

Här hålls Amandas timlön konstant men vi behöver inte känna till den för att kunna göra beräkningar. Vi får analogin i den här direkta proportionaliteten genom att bilda en likhet av förhållandet mellan antalet arbetstimmar och förhållandet mellan förtjänsterna: 3 15 = 12 60

Direkt proportionalitet visas med pilar i samma riktning.

∙ 4

1 bärare 2 h 4 bärare 0,5 h

∙ 4

Antalet stolar i festsalen är konstant, men vi behöver inte känna till antalet. Vi får analogin i en omvänd proportionalitet genom att vända om, alltså byta plats på täljare och nämnare i det ena uttrycket. En annan metod är att direkt multiplicera de värden som bildar ett par. 1 = 0,5 4 2 ∙ 4 ∙ 4 1 ∙ 2 = 4 ∙ 0,5 Omvänd proportionalitet visas med pilar i omvänd riktning.

0,5

100

350

1 000

5 000

1 2 3 0,5 1 6 0,25

Träna proportionalitet

Omvänd proportionalitet mellan hastighet och tid innebär att när hastigheten ökar, minskar tiden som krävs för arbetet.

4 6 8

1.8 Direkt och omvänd proportionalitet

Direkt proportionella storheter När två storheter som är beroende av varandra förändras i samma förhållande säger man att de är direkt proportionella. Om värdet på den ena storheten fördubblas kommer värdet på den andra också att fördubblas. På motsvarande sätt kan värdet på den ena storheten halveras och då halveras också värdet på den andra. EXEMPEL

En 42-tums tv är 93 cm bred. Proportionerna mellan bredd och höjd är 16:9. Hur hög är tv:n?

modell 16 l.e.

tv 93 cm

9 l.e.

x cm

x cm 93 cm

Vi kan visa proportionaliteten med pilar. Vi ritar en pil mot det större värdet i kolumnen. Vid en direkt proportionalitet har pilarna samma riktning. 16 = 93 Vi ställer upp analogin och löser 9 x den med korsvis multiplikation. 16x = 9 ∙ 93 | : 16 x = 9 ∙ 93 16 x ≈ 52,3 Svar: Tv:n är 52 cm hög.

EXEMPEL

0,5 liter jordgubbar väger ungefär 280 g. Kevin har plockat 3,2 kg jordgubbar. Hur många liter motsvarar det? Här är massan och volymen direkt proportionella. Storheterna är rubriker för värdena i kolumnerna.

massa 0,28 kg

volym 0,5 l

3,2 kg

0,28 = 0,5 3,2 x 0,28x = 3,2 ∙ 0,5 | : 0,28 x = 3,2 ∙ 0,5 0,28 x ≈ 5,7

Inom samma kolumn ska värdena vara skrivna i samma enhet. 280 g = 0,28 kg Vi ställer upp analogin och löser den med korsvis multiplikation.

Svar: 3,2 kg jordgubbar motsvarar 5,7 l.

1.8 Direkt och omvänd proportionalitet

Omvänt proportionella storheter När två storheter som är beroende av varandra förändras i omvänt förhållande säger man att de är omvänt proportionella. Om värdet på den ena storheten fördubblas kommer värdet på den andra att halveras och tvärtom. EXEMPEL

Mamma plockar 1,8 l blåbär per timme och Valter plockar 1,2 l/h. Mamma fyller ensam ett ämbar på 3,5 h. a) Hur lång tid tar det för Valter att fylla ett lika stort ämbar?

hastighet 1,8 l/h

tid 3,5 h

1,2 l/h

1,8 = x 1,2 3,5 1,2x = 1,8 ∙ 3,5 | : 1,2 1,8 ∙ 3,5 x = 1,2 x = 5,25 Svar: ca 5 h 15 min

Hastigheten är omvänt proportionell till tiden det tar att plocka. Vi ritar pilar mot det större värdet i kolumnen. Pilarna går i omvänd riktning. Vi får analogin genom att vända om, alltså byta plats, på täljare och nämnare i det ena uttrycket när vi skriver in värdena i ekvationen. Omvandling av decimaltimmar till minuter: 0,25∙60 min = 15 min

b) Hur lång tid tar det för dem att gemensamt fylla ett lika stort ämbar?

Vi kan addera hastigheterna när bären fyller samma ämbar. hastighet 1,8 l/h

tid 3,5 h

3,0 l/h

3y = 1,8 ∙ 3,5 y = 1,8 ∙ 3,5 3 y = 2,1

| : 1,2

Vi ser att vi vid omvänd proportionalitet likaväl direkt kan multiplicera de värden som står bredvid varandra i tabellen. Omvandling av decimaltimmar till minuter: 0,1 ∙ 60 min = 6 min

Svar: ca 2 h 6 min

EXEMPEL

Var uppmärksam på när det går att addera hastigheter.

När mamma plockar jordgubbar fyller hon en skål på 20 min. För Valter tar det 30 min. Hur lång tid tar det att fylla samma skål gemensamt? Här är hastigheterna inte givna för Mamma Valter samma tid utan för samma mängd. 3) 2) 1 skål 1 skål Vi förlänger så att hastigheterna 20 min 30 min gäller samma tid. Då kan vi addera 3 skålar 2 skålar 60 min 60 min hastigheterna. 60 min Gemensamt fyller de 5 skålar under en timme: = 12 min 5 Svar: En skål fylls på 12 minuter. 1.8 Direkt och omvänd proportionalitet

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

245. En bildskärm har förhållandet 4 : 3. Vilka av följande bilder har samma förhållande? A. 160 cm : 120 cm 4 B. 300 m : 40 m 3 C. 50 mm : 37,5 mm D. 800 km : 700 km E. 100 cm : 75 cm F. 125 cm : 100 cm

250. En bildskärm har förhållandet 16 : 9. Vilka bilder passar in på bildskärmen? A. 900 cm : 160 cm B. 9 m : 4 m C. 480 mm :270 mm D. 6,4 cm : 3,6 cm E. 3,2 m : 18 dm F. 8 mm : 4,5 cm

246. Priset vi betalar för en produkt är direkt proportionellt till produktens massa. Rita av tabellen i häftet och fyll i de värden som saknas. Enhetspriset är konstant.

massa 50 g 100 g 300 g

251. Priset vi betalar för en produkt är direkt proportionellt till massan. Rita av tabellen i häftet och fyll i de värden som saknas. Enhetspriset är konstant.

massa 25 g 100 g 3 hg

247. Antalet artiklar vi får är direkt proportionellt till det pris vi är beredda att betala. Rita av tabellen i häftet och fyll i de värden som saknas. Enhetspriset är konstant.

pris

252. Mängden vi får är direkt proportionell till det pris vi är beredda att betala. Rita av tabellen i häftet och fyll i de värden som saknas. Enhetspriset är konstant.

pris 0,18 €

248. Hastigheten och tiden är omvänt proportionella. Vilken storhet är konstant? Beräkna de värden som saknas i tabellen.

1,50 € 2,50 €

700 g 6,00 € 2 kg

6€ 12 €

antal 4 st 16 st 20 st

21 € 40 st 75 € hastighet tid 3 km/h 80 min 6 km/h 20 min 20 km/h 12 min 6 min

249. Beräkna de värden som saknas. a) Enhetspriset är pris konstant. Beräkna 1,62 € värdet för x. x€ b) Hastigheten är konstant. Beräkna värdet för y.

pris

sträcka 30 km y km

1.8 Direkt och omvänd proportionalitet

massa 0,560 kg 1,14 kg tid 0,6 h 1,3 h

253. Hastigheten och tiden är omvänt proportionella. Vilken storhet är konstant?

pris

4,20 € 7,70 €

0,8 kg 5,60 € 2,2 kg

5,40 €

mängd 1,6 cl 2,4 dl 3,6 l 52 dl

10,50 € 72 l hastighet tid 20 km/h 72 min 30 km/h 20 min 100 km/h 12 min

254. Beräkna de värden som saknas i tabellen. a) Förhållandet massa volym mellan massa 480 g 3806 cm3 och volym 11,97 kg x dm3 är konstant. Beräkna värdet för x. b) Förhållandet mellan sträcka tid sträcka och tid är 2,8 km 7 min konstant. Beräkna 28,8 km yh värdet för y. Svara i decimalform av timmar.

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Ställ upp en analogi och beräkna.

255. Måns har 8 liter färg. Han beräknar att 3 liter täcker 18 m2. Hur stor yta kan han måla?

264. Jannika har 17 liter färg. Hon beräknar att 3 liter täcker 18 m2. Hon ska måla ett hus med arean 58 m2 och helst också ett annat hus. Hur stor area av nästa hus kan hon måla?

256. En provbit för en stickad tröja har 24 maskor på 8 cm. Hur många maskor ska Carita lägga upp för att tröjan ska bli 57 cm bred? 257. Anton och Arthur monterar sex elmätare på två dagar. Hur många dagar tar det för dem att montera trettio mätare? 258. En tv-skärm har förhållandet 16:9 mellan bredd och höjd. a) En tv-skärm är 70 cm hög. Hur bred är den? b) En tv-skärm är 70 cm bred. Hur hög är den? 259. Monica har en bild som är 450 × 680 pixlar. Hon ska förminska den så att den längre sidan är 325 pixlar. Hur många pixlar blir den kortare sidan? 260. a) Vad kostar 300 g vindruvor om 2,4 kg kostar 8,40 €? b) Hur mycket nötter får man för 5,90 € om 70 g kostar 1,20 €? Beräkna med hjälp av omvänd proportionalitet. 261. Två målare målar ett hus på 15 dagar. Hur länge skulle det ta för tre målare att måla samma hus? 262. Anette köper mat som ska räcka 28 dagar för 18 arbetare. Det kommer tre arbetare fler än beräknat. Hur länge räcker maten då? 263. Det tar tre timmar att köra en bestämd sträcka med medelhastigheten 60 km/h. Hur lång tid tar det att köra samma sträcka med medelhastigheten 90 km/h?

265. En stickad tröja har masktätheten 17 maskor/10 cm. Hur många maskor går det på 54 cm? 266. En lottovinst på 2,8 miljoner euro ska delas i förhållandet 3:5, så att den ena vinnaren får 3 delar och den andra vinnaren får 5 delar av vinsten. Hur mycket får var och en? 267. Max och Sam monterar åtta elmätare på 12 timmar. Hur många sju timmars arbetsdagar tar det för dem att montera 42 mätare? 268. Annika köper mat som ska räcka 23 dagar för 14 arbetare. Det kommer tre arbetare färre än beräknat. Hur länge räcker maten då? 269. Det tar en och en halv timme att köra en bestämd sträcka med medelhastigheten 75 km/h. Hur lång tid tar det att köra samma sträcka med medelhastigheten 90 km/h? Svara i timmar och minuter. 270. Två snickare bygger ett staket på 10 dagar. Hur länge skulle det ta för fem snickare att bygga samma staket? 271. Tre pumpar tömmer en vattenbassäng på 160 h. Hur många pumpar krävs för att tömma bassängen på 60 h? 272. Vita duken på en biograf är 158 m2 stor. Dukens bredd och höjd har förhållandet 2,35:1. Bestäm den vita dukens mått.

1.8 Direkt och omvänd proportionalitet

1.9 Mer om direkt proportionalitet Skala för kartor och modeller När vi avbildar något så att proportionerna i sträckorna bibehålls, talar vi om en likformighet. När avbildningen är gjord i samma storlek talar vi om kongruens. Proportionen för en förstoring eller förminskning anges med en skala. Skalan beskriver förhållandet mellan en sträcka i bilden, och motsvarande sträcka i verkligheten. En karta kan till exempel ha skalan 1:5 000. Då är en sträcka på 1 kartan förminskad till endast av motsvarande sträcka i 5 000 verkligheten. Det betyder att sträckan i verkligheten är 5 000 gånger så lång som motsvarande sträcka på kartan. En skala betecknas vanligen så att det ena värdet är 1, men vi kan använda andra heltal, till exempel 2:15, för att undvika decimaltal. Förhållandet mellan sträckorna på avbildningen och i verkligheten kan vara tusental eller miljontal. Därför behöver vi kunna omvandla längdenheter.

Skalan betecknas förminskning

1:XX XXX

kongruens

1:1

förstoring

XX XXX:1

km hm dam m

dm cm mm

När vi använder analogi för att räkna med skalor kan vi använda rubrikerna bild och verklighet. Det är alltid fråga om direkt proportionalitet.

EXEMPEL

Anna ska på cykelsemester till Åland och planerar färden på en karta med skalan 1:250 000. På kartan mäter hon körsträckan till 56 cm. Hur lång är cykelfärden? Körsträckan i verkligheten: x km Körsträckan på kartan: 56 cm Skala: 1:250 000

1 cm på kartan motsvarar 250 000 cm = 2,5 km i verkligheten. bild 1 56 cm

verklighet 250 000

x cm

56 cm ∙ 250 000 = 14 000 000 cm = 140 000 m = 140 km

Vi ställer upp en analogi: 1 250 000 = 56 x x = 56 ∙ 250 000 x = 14 000 000 (centimeter) Alternativt kan vi direkt multiplicera sträckan på kartan med 250 000.

Svar: Annas färd är 140 km lång.

1.9 Mer om direkt proportionalitet

När skalan anger att bilden är en förstoring står det större talet först. Vi räknar på motsvarande sätt som vid en förminskning. EXEMPEL

Bibi arbetar på ett laboratorium. Hon studerar bilder av bakterier fotograferade med elektronmikroskop i skalan 30 000:1. Bakterierna är 5,1 cm långa på fotografiet. Hur långa är bakterierna i verkligheten? Bakteriens längd i verkligheten: x cm Bakteriens längd på mikroskopbilden: 5,1 cm Skala: 30 000:1

bild 30 000 5,1 cm

verklighet 30 000 cm på bilden motsvarar 1 1 cm i verkligheten. x cm

30 000 = 1 x 5,1 30 000x = 5,1 | : 30 000 5,1 x = 30 000 x = 0,000 17 (centimeter)

0,000 17 cm = 1,7 ∙ 10−4 cm = 1,7 ∙ 10−6 m

Svar: Bakterierna är 1,7 μm långa.

När vi beräknar skalan vid en förminskning låter vi bilden ha längdenheten 1 och längden heterna för verkligheten är x. Förhållandet mellan sträckan på kartan och i verkligheten ger oss värdet. EXEMPEL

Mats studerar sin cykelkarta. En sträcka som han vet att är 2,35 km i verkligheten mäter 2,6 cm på kartan. Vilken skala har kartan? Sträckan i verkligheten: 2,35 km Sträckan på kartan: 2,6 cm Skala: 1:x bild verklighet Vi skriver sträckorna i samma enhet: km mcm 1 x 2,35 km = 235 000 cm 2,6 cm 235 000 cm

1 = x 2,6 235 000

2,6x = 235 000 | : 2,6 235 000 x = 2,6 x = 90384,6...

En skala är ofta given med ett par gällande siffror så vi avrundar lämpligt.

Svar: Cykelkartan har skalan 1:90 000.

1.9 Mer om direkt proportionalitet

Blandningar och proportioner För blandningar eller lösningar kan vi ange proportionaliteten på olika sätt. Vi kan ange beståndsdelarnas förhållande till varandra eller beståndsdelarnas förhållande till hela blandningen. Om en lösning innehåller 15 % socker, innehåller lösningen 15 delar socker i förhållande till 100 delar färdig lösning. Resten av lösningen är oftast vatten, i det här fallet 85 %, alltså 85 delar. Då är förhållandet mellan socker och vatten 15:85. Det kan förkortas till 3:17. Förhållandet socker:lösning är då 3:20 och vatten:lösning är 17:20. socker 15 delar

vatten 85 delar

lösning 100 delar

3 delar

17 delar

20 delar

Vi ställer upp analogin med de delar som är intressanta för frågeställningen och utelämnar det som inte är av intresse.

EXEMPEL

Lily blandar saft och använder saftkoncentrat som ska spädas i förhållandet 1:5 (i förhållandet 1 till 5). Hur mycket saftkoncentrat ska hon använda för att få 2,0 liter färdig saft? 1:5 innebär 1 del saftkoncentrat och 5 delar vatten, alltså 6 delar färdig saft. På flaskan står det ofta 1 + 5.

koncentrat 1 del

vatten 5 delar

färdig saft 6 delar 2l

1 = 6 x 2 6x = 1 ∙ 2 | : 6 2 x = 6 x ≈ 0,33 (liter)

Det är fråga om direkt proportionalitet.

Vi bygger upp analogin kring mängden koncentrat i förhållande till den färdiga saften. Vi lämnar mängden vatten utanför analogin.

Svar: 3,3 dl saftkoncentrat

1.9 Mer om direkt proportionalitet

En blandning kan bestå av fler än två beståndsdelar. Vi ställer upp förhållandena i en tabell och använder sedan de delar som är relevanta. Det behövs en beräkning för varje obekant. EXEMPEL

Miro ska tillreda en sommarbål som innehåller citronläsk, apelsin juice och ananassaft i proportionerna 5:3:1. Miro har 1,5 liter läsk. Hur mycket behöver han av de övriga ingredienserna?

citronläsk 5 delar

apelsinjuice 3 delar

1,5 l

ananassaft sommarbål 1 del 9 delar

5 = 3 1,5 x 5 ∙ x = 3 ∙ 1,5 x = 3 ∙ 1,5 5 x = 0,9 (liter)

| : 5

5 = 1 1,5 y 5 ∙ y = 1 ∙ 1,5 y = 1 ∙ 1,5 5 y = 0,3 (liter)

| : 5

Svar: 9 dl apelsinjuice och 3 dl ananassaft

När halten i en blandning anges i procent är hela blandningen 100 %. EXEMPEL

Elvira hittar farfars gamla Tunturi-moped. Farfar berättar att bensinen måste blandas så att den består av 3 % olja och resten bensin. I flaskan finns 0,6 dl olja. Hur mycket bensin kan Elvira tillsätta? 3 3 % olja innebär olja. 100 Hela blandningen är 100 %. För 3 delar olja behövs det 97 delar bensin.

olja 3

bensin 97

0,6 dl

x dl

blandning 100

3 = 97 0,6 x 3 x = 97 ∙ 0,6 | : 3 97 ∙ 0,6 x = 3 x = 19,4 (deciliter)

Svar: ungefär 1,9 l bensin

1.9 Mer om direkt proportionalitet

Basuppgifter 273. Skalan är 1:200. Rita av tabellen i ditt häfte och räkna i huvudet ut sträckorna i verkligheten. Svara i lämplig enhet.

Avancerade uppgifter bild 1 5 cm 20 cm 1m 1,5 m 5m

verklighet 200

280. Skalan är 500:1. Rita av tabellen i ditt häfte och räkna i huvudet ut sträckorna i verkligheten. Svara i lämplig enhet.

bild 500 5m 1m 20 cm 5 cm 4 mm

verklighet 1

274. Uttryck skalan. a) Längdmåtten är i verkligheten 200 gånger så långa som på kartan. b) Längdmåtten i en staty är tre gånger så långa som i verkligheten.

281. Uttryck skalan med heltal. a) Längdmåttet i verkligheten är 2,5 gånger så långt som på ritningen. b) Längdmåtten i en modell är 6,25 gånger så långa som i verkligheten.

275. a) En leksakslastbil är 0,4 m lång. Den är en kopia i skalan 1:25. Hur lång är lastbilen i verkligheten? b) En orienterare mäter sträckan mellan två kontroller till 3,0 cm på kartan. Skalan är 1:20 000. Hur långt är avståndet i verkligheten?

282. a) Ett modellflygplan är gjort i skalan 1:230. Hjulets diameter är 6,5 mm. Vilken diameter har hjulet i verkligheten? b) En orienterare mäter sträckan från kontroll 1 till 2 till 2,3 cm på kartan och sträckan från kontroll 2 till 3 till 3,8 cm. Skalan är 1:25 000. Hur långt är avståndet från kontroll 1 till 3 i verkligheten?

276. Elin tittar på en droppe som har diametern 3,0 mm genom ett förstoringsglas med skalan 8:1. Hur lång ser diametern ut att vara i förstoringsglaset? 277. a) En karta har skalan 1:30 000. Hur lång blir en 900 m lång vägsträcka på kartan? b) Skalan på en karta är 1:45 000. Hur lång blir en 2,25 km lång vägsträcka på kartan? 278. a) Sträckan 2,0 cm på en karta motsvarar 80 cm i verkligheten. Vilken är skalan? b) Sträckan 4,0 cm på en karta motsvaras av 1,2 km i verkligheten. Vilken är skalan? 279. En karta har skalan 1:20 000. a) Vilka är måtten för en 40 m bred och 100 m lång ishall på kartan? b) Beräkna arean av ishallen på kartan.

1.9 Mer om direkt proportionalitet

283. En bakterietyp mäter 2,1 cm på en förstoring i skalan 30 000 :1. Hur lång är bakterien i verkligheten? 284. a) Vilken är skalan då 6,7 cm på kartan motsvaras av 33,5 km i verkligheten? b) Moa cyklar till sitt sommarjobb. Moa mäter avståndet till 20,7 cm på en karta och hennes avståndsmätare visar 6,2 km. Vilken är kartans skala? 285. En detalj i ett färdigt frimärke är 1,5 mm lång. I ritningen till frimärket är samma detalj 2,25 cm lång. Vilken är skalan? 286. På en karta i skalan 1:20 000 har en rektangelformad idrottshall måtten 6,2 mm respektive 4,1 mm. a) Vilka är de verkliga måtten? b) Beräkna arean för hallen i verkligheten och på kartan.

Basuppgifter

Avancerade uppgifter

Ställ upp en analogi och beräkna.

287. Robin använder saftkoncentrat som ska spädas i förhållandet 1:9. Han vill ha 2 liter färdig saft. Hur mycket saftkoncentrat ska han använda?

294. Saftkoncentrat ska spädas med vatten i förhållandet 1:7. Hur många liter vatten ska man sätta till och hur många liter färdig saft får man av 0,75 l koncentrat?

288. Saftkoncentratet ska spädas i förhållandet 1:4. Hur många liter färdig saft ger 0,75 l koncentrat?

295. Båtbränsle blandades tidigare av olja och bensin i proportionerna 1 : 24. Hur mycket olja och hur mycket bensin behövde man för en tank som rymde 30 l?

289. Båtbränsle blandades tidigare av olja och bensin i förhållandet 1:19. a) Hur mycket bensin behövdes för 1,8 dl olja? b) Hur mycket olja skulle det vara i 5,5 l färdig blandning? 290. Jerker blandar bål av äppelsaft och mineralvatten i förhållandet 5 : 3. Hur mycket av vardera vätskan ska han använda för att få 2,8 l bål? 291. För att blanda vatten till ett akvarium använder man ett speciellt salt som innehåller olika spårämnen. Man blandar ungefär 4 dl av saltet per 10 liter vatten. Hur stor mängd specialsalt behöver man för 45 l kranvatten? 292. Myntlegeringen Nordic Gold används i 10-, 20- och 50-centsmynt och består av tenn, aluminium, zink och koppar i förhållandena 1 : 5 : 5 : 89. a) Hur mycket koppar innehåller ett 10-centsmynt som väger 4,10 g? b) Hur mycket väger ett 50-centsmynt som innehåller 0,39 g aluminium? 293. Ett smycke som har guldhalten 18 karat innehåller 2,5 g annan metall och 7,5 g rent guld. a) Bestäm ringens guldhalt. Svara i bråkform och i procentform. b) Hur många karat motsvarar 100 % guld?

296. Paulina blandar bål av jordgubbssaft, citronläsk och mineralvatten i proportionerna 2:11:7. Hon har 3 l citronläsk. Hur mycket behöver hon av de övriga ingredienserna? 297. Saltsockerlösning som ges vid diarré, består av 1 liter kokat vatten som blandats med 0,5 tsk salt och 2 msk socker. Hur mycket salt och socker behövs för 25 l vatten? Svara i deciliter. 3 tsk = 1 msk = 15 ml 298. Amiralitetsmässing är en legering som används för marina ändamål, alltså på sjön. Sammansättningen är koppar : zink : tenn : aluminium : järn 130 : 60 : 4 : 3 : 3. Ett beslag väger 77,3 g. Hur mycket koppar respektive zink innehåller det? 299. En bit mässing väger 96 g och består av 62,4 g koppar och resten zink. Beräkna förhållandet mellan koppar och zink i vanlig mässing. Skriv som ett förhållande och förkorta. 300. I årskurs 9 går det 51 brunögda, 69 blåögda och 30 grönögda elever. Bestäm förhållandet mellan de olika ögonfärgerna. Skriv som ett förhållande och förkorta.

1.9 Mer om direkt proportionalitet

Fördjupning: area- och volymskala Det är oftast fråga om en längdskala om inget annat nämns. En areaskala ger förhållandet mellan areorna i bild och verklighet. En volymskala ger förhållandet mellan volymerna. Skala

Förhållande

Längdskala

Exempel 1 : 2

1 : 3

1 : 10

Areaskala

(längdskala)2

1 : 4

1 : 9

1 : 100

Volymskala

(längdskala)3

1 : 8

1 : 27

1 : 1 000

UPPGIFTER

301. a) Ett fält har arean 70 cm2 på en karta i skalan 1:500. Hur stort är fältet? b) Finlands area är 338 000 km2. Vilken area har Finland på en karta i skalan I. 1:500 000 II. 1:2 000 000? 302. Byggklossen Duplo är en förstoring av en Legobit i skalan 2:1. a) Hur många Legobitar behövs för att bygga en Duplokloss med samma volym? Rita en skiss. b) En Duplokloss har fyra knoppar. Hur många knoppar finns på ett lika stort område uppbyggt av Legobitar? 303. Leonora har en segelbåt som är 10,2 m lång. Hon bygger en modell av den som är 5,1 dm lång. a) Storseglet har arean 32 m2. Vilken area har seglet på modellen? b) Vattentanken rymmer 80 l. Hur stor är tanken på modellen? 304. Roy bygger en bastu. När han målar ytterväggarna går det åt 7,5 l färg. Han bygger en modell av bastun i samma material och målar den med samma målfärg. Färgåtgången är nu 52 ml. a) I vilken längdskala är modellen av bastun byggd? b) Taket i modellbygganden är 14 dm2 stort. Hur många kvadratmeter takfilt går åt till den riktiga bastun? 305. En modelljärnväg är byggd i skalan 1:120. a) En godsvagn rymmer i verkligheten 113 m3. Hur mycket rymmer motsvarande godsvagn i modellen? b) Avståndet mellan Helsingfors och Uleåborg är 680 km. Tänk dig att du bygger en modelljärnväg i skalan 1:120 mellan Helsingfors och Uleåborg. Hur lång räls skulle du behöva? 306. Ulrika Eleonorakyrkan stod på Senatstorget i Helsingfors. Den revs år 1827. Den var 45 alnar lång i nord-sydlig riktning och 41 alnar lång i ost-västlig riktning. En aln är 59,4 cm. År 1997 byggdes en modell av kyrkan i snö. Snökyrkans sidlängder var 11 m och 10 m och den var 13 m hög. a) Bestäm längd- och volymskalan för snökyrkan. b) Hur många alnar hög var den ursprungliga kyrkan?

1.9 Mer om direkt proportionalitet

1.10 Sammanfattning Ekvationslösning I en ekvation (likhet) beräknar vi värdet på det obekanta, x. Därför strävar vi efter att isolera x på den ena sidan om likhetstecknet. 12x − 3(3x + 2) = 5(4 − x) + 6x − 19

Vi multiplicerar eventulla faktorer med parenteserna. Vi förenklar genom att sammanslå likformiga termer i båda leden.

12x − 9x − 6 = 20 − 5x + 6x − 19 3x − 6 = x + 1 3x = x + 7 2x = 7 7 x = 2 x = 3,5

| + 6 | − x | : 2

Vi bortskaffar konstanta termer och variabeltermer genom motsatt räknesätt. Vi dividerar med faktorn framför x.

Problemlösning med ekvation Ett matematiskt problem i textform löser vi ofta med hjälp av ekvation.

1. Vi betecknar det obekanta med x.

2. Vi uttrycker de andra obekanta värdena med hjälp av x.

3. Vi ställer upp ekvationen och löser den.

4. Vi besvarar frågan och beräknar de svar som behövs.

Ekvationer med fler än en nämnare x + 1 3x − 2 3 − 2 = −1

Varje term multipliceras med ekvationens minsta gemensamma multipel, mgm = 6.

|∙6

6 ∙ (x + 1) 6 ∙(3x − 2) − = 6 ∙ (−1) 3 2 1

Om täljaren består av ett uttryck skriver vi den inom en parentes.

2(x + 1) − 3(3x − 2) = −6 2x + 2 − 9x + 6 = −6 −7x + 8 = −6 −7x = −14 x = 2

Det lönar sig att förkorta faktorerna innan vi multiplicerar in faktorn i parentesen. |−8 |∙(−7)

Vi löser ekvationen som tidigare.

Specialfall av ekvationer

– Om sista raden i ekvationen lyder 0x = 0 så har ekvationen oändligt många lösningar.

– Om sista raden ger en falsk utsaga saknar ekvationen lösning.

1.10 Sammanfattning av Repetition och ekvationslösning

Korsvis multiplikation Vi kan multiplicera korsvis när ekvationen består av två bråkuttryck. 3x + 1 1 Vi skriver bråk i blandad form i ren bråkform. 4 =2 5 3x + 1 11 När vi multiplicerar korsvis skriver vi uttryck inom 4 = 5 parentes och multiplicerar. 5(3x + 1) = 4 ∙ 11 Sedan löser vi ekvationen som tidigare. 15x + 5 = 44 |−5 15x = 39 | : 15 39 x = 15 x = 2 3 5

Analogi Analogi är en uppställningsmetod som byggs upp av en likhet mellan två förhållanden.

Direkt proportionalitet

Omvänd proportionalitet

massa 0,52 kg

pris 7,50 €

hastighet 15 km/h

tid yh

2,5 kg

x€

45 km/h

0,5 h

0,52 = 7,5 2,5 x 0,52∙x = 7,5∙2,5

15 = 0,5 45 y 15∙y = 45∙0,5

Skala Skala bygger på direkt proportionalitet. Sträckorna ska stå i samma enhet. skala 1:60 000 bild verklighet

Skalan betecknas förminskning

1:XX XXX

kongruens

1:1

förstoring

XX XXX:1

60 000

2 600 m

Blandningar För blandningar kan vi ge proportionaliteten på olika sätt. Vi kan ange beståndsdelarnas förhållande till varandra eller beståndsdelarna i förhållande till hela blandningen.

ämne 1 2 delar

ämne 2 5 delar

blandning 7 delar

3,5 dl

x dl

y dl

2 = 5 3,5 x

Förhållandet ämne 1:ämne 2 är 2:5. Förhållandet ämne 1:blandning är 2:7. Förhållandet ämne 2:blandning är 5:7.

2 = 7 3,5 y

1.10 Sammanfattning av Repetition och ekvationslösning

Repetitionsuppgifter I repetitionsuppgifterna är a-uppgiften lättast och d-uppgiften svårast. Beräkna. 307. a) 32 + 5 ∙ (‒80) b) 6 ∙ 308. a) 4

110 20 − (3 − 11) −5400 (−15) ∙ 22 (−700) ∙ 8 – 5 c) − d) – 53 + 2 3 + (−7) 7 − (− 2) 1,1 14

5 2 8 7 15 2 1 1 6 + 3 − 1 b) ∙ − c) 7 − 7 6 3 9 6 28 3 6 5 25

d) 7

1 6 1 (2 ∙ 3 ) 5 11 7

309. Förenkla. a) 5x + 2 ∙ 3x − 5x + 2 ∙ 3x b) – 2(13a + 5b) – 10a 4 c) 4x − 2(5x + 3y) − 4(3x + 2y) d) 0,5(1,4x – 2,2y + 3) – 1,5(0,8x – 2y) 16 310. Förenkla först och bestäm sedan värdet då x = 3 och y = –2. 30x 12x − 6y 36y + b) a) –8x + 2(4x + 5y) − 3 10 6 52x − 48y c) 3x – 2y – (4x + 16y) +5y d) –3x – [2,5y + 8(4x – 1,5y) – 17x] − 4 311. Skriv i enheten inom parentesen a) I. 57 000 m2 (ha) II. 2,3 dm2 (cm2) b) I. 0,07 m3 (dm3) II. 900 cm3 (dm3) c) I. 0,12 km2 (ha) II. 635 mm2 (dm2) d) I. 0,08 m3 (cm3) II. 70 000 mm3 (dm3) 312. Skriv med rätt prefix. a) 5 ∙ 106 m b) 7 ∙ 10–6 g c) 8,2 ∙ 1010 m d) 0,87 ∙ 10–4 g 313. Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta. a) 2,7 ∙ 106; 5,8 ∙ 105; 1,9 ∙ 108 b) −3,2 ∙ 103; −2,0 ∙ 104; 6,7 ∙ 102 c) 1,5 ∙ 102; 7,0 ∙ 10−1; 5,5 ∙ 10−3 d) −1,2 ∙ 10−5; 1,2 ∙ 10−5; 1,2 ∙ 105; −1,2 ∙ 105; Beräkna och skriv svaret i grundpotensform. 314. a) 3 ∙ 103 ∙1,5 ∙ 104 c) 4,2 ∙ 1011 ∙5 ∙ 1014

b) 1,2 ∙1014 ∙3 ∙10–8 d) 5 ∙10–15 ∙2,2 ∙1011

7 6 4 315. a) 6,9 ∙ 109 b) 9 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 10 5 3 ∙ 10 6 ∙ 10 12 19 5 ∙ 1,3 ∙ 10−14 d) 7,2 ∙ 10 −12 c) 1,5 ∙ 10 ∙ 2,5 ∙ 10 18 7,5 ∙ 10 5,2 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 106

316. a) I Finland använder en person 0,5 ∙ 104 liter vatten på ett år. Hur mycket vatten förbrukar hela Finlands befolkning under ett år, när Finlands invånarantal är ungefär 5,5∙106 personer? b) Jordklotet väger 5,972 ∙ 1024 kg. En blåval väger 1,5 ∙ 105 kg. Hur många blåvalar behövs för att väga upp vårt jordklot? c) En järnatom väger 55,9349 u. 1 u är en atoms massenhet som motsvarar 1,66 · 10−27 kg. Beräkna järnatomens massa i enheterna kilogram och gram. d) En elektrons massa är ungefär 9,109 · 10−31 kg. Hur många elektroner behövs det för att uppväga en blyatom som väger 1,44 · 10−25 kg? Lös ekvationen. 317. a) 8x + 3 – 2x = 7 – 3x + 5 b) 3x + 8x + 14 = 12 – 3(3x + 2) c) 2x – 15 + 3x = 2(5x – 8) + 1 – 5x d) 3x – 4(x + 4) = –2(x + 6) – 4 52

1 Repetition och ekvationslösning – Repetitionsuppgifter

Lös ekvationen. 318. a) 5(x – 2) = 25 c) –3(x + 2) = –5x – 6 – 3x

b) 2(x + 6) = 4x + 4 d) 4x + 4(3x – 7,5) = –2(9 + 10,5x) + 2x − 2

x 2 1 7x 11 3x 7 3x 2x 11 1 5 319. a) + 1 = b) − = d) 2 x − 2 = 2 x − 2 = c) − 6 3 4 5 5 15 5 6 5 10 8 8 x 5x 320. a) + 7 = 2 3 x − 3 x + 7 (23 − x) c) = − 2 2 4

5x x −8= + 4 3 3 2x − 3 3x + 7 4(x − 2,5) − = d) 2 4 8 b)

Lös med hjälp av ekvation. 321. a) Ann, Bea och Castor ska dela 151 € så att Ann får 19 € mera än Bea, och Castor får 3 € mindre än Bea. Hur mycket får var och en? b) För att trycka upp planscher tar tryckeri A en grundavgift på 100 € och därefter 10 €/plansch. Tryckeri B tar en grundavgift på 150 € och därefter 8 €/plansch. Beräkna för vilket antal planscher som erbjudandena är lika förmånliga. c) Noa får 4 poäng mindre än tre gånger så många poäng som Minea. David får 3 poäng mer än hälften så många poäng som Noa. Tillsammans får de 261 poäng. Hur många får var och en? d) Frans och Niklas har sammanlagt 32 kuponger. Efter att Frans gett tre av sina kuponger till Niklas, har Niklas tre gånger så många kuponger som Frans. Hur många kuponger hade Niklas från början? 322. a) Sanna, Karin och Jenna delar på 88 euro. Sanna får dubbelt så mycket som Karin. Jenna får lika mycket som Sanna och dessutom 3 euro. Hur mycket får var och en? b) Ett årskort till en tennisplan kostar 150 € och därefter 5 €/h för användning. Ett sommarkort kostar 42 € och därefter 9 €/h för användning. För hur många timmar är kortena lika förmånliga? c) Nätabonnemang A har grundavgiften 6 € och där ingår 4 GB nät, nätanvändning som överstiger det kostar 1,50 €/GB. Abonnemang B har en grundavgift på 3 € utan att något nät ingår och sedan kostar nätanvändningen 1,20 €/GB. För hur många GB kostar avtalen lika mycket? d) Topelius var Runebergs elev. Topelius var 14 år yngre än sin lärare. År 1825 var Runeberg tre gånger så gammal som sin elev. Vilka år föddes herrarna? 323. Rita en skiss och beräkna. a) En cirkel har periferin 75,4 cm. Beräkna cirkelns diameter. b) Ett hjul som roterar 20 varv rör sig sträckan 89 m. Beräkna hjulets radie. c) En cirkelsektor med radien 45,5 cm har arean 2 380 cm2. I. Beräkna medelpunktsvinkeln. II. Beräkna cirkelbågens längd. d) Linus bygger en utepool med formen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln 120°. Poolens hela omkrets är 70,4 m. Beräkna poolens radie. 324. a) En parallellogram har arean 31,1 m2. Höjden är 3,7 cm. Beräkna basens längd. b) En romb har omkretsen 12,0 cm och arean 96 cm2. Beräkna rombens höjd. c) I en likbent triangeln är benen dubbelt så långa som basen. Omkretsen är 80 cm. Triangelns area är 248 cm2. Beräkna triangelns höjd. d) En parallellogram har arean 2190 cm2 och omkretsen 232 cm. Sidlängden s är 35,0 cm. Beräkna höjden h som står vinkelrätt mot parallellogrammens bas b.

1 Repetition och ekvationslösning – Repetitionsuppgifter

Lös ekvationen. 7x 14 x 20 x+1 x−1 x + 1 2x + 8 = d) = c) 325. a) = b) = 2 11 3 15 3 2 4 7 326. a)

3x + 1 8 1 5x + 7 5x 5 7x + 3 x 3x + 1 − = = c) 4 = = b) d) x+7 7 4 6 4 8 2 3 2

Ställ upp en analogi och beräkna. 327. a) Tomas bil drar 5,8 liter bränsle på 92 km. Hur långt kan han köra med 34,8 liter bränsle om förhållandena är de samma? b) Eva målar. På burken står det att 2,7 liter färg räcker till 22 m2. Eva räknar ut att väggen hon ska måla är 58 m2. Hur mycket färg behöver Eva? c) Hur mycket kostar 1,38 kg plommon då 580 g kostar 4,00 €? d) Elevkåren ska handla choklad och räknar ut att de har råd att köpa 96 stänger för priset 68 cent per stång. Glädjande är att priset har sjunkit till 62 cent. Hur mycket choklad kan de köpa nu? 328. a) Joel jobbar i ett kök och skalar vanligen 20 kg potatis på 85 minuter. En gång får han hjälp av Rymy och Robin som är lika snabba. Hur länge tar det för alla tre att skala samma mängd potatis? b) Ronja springer sin vanliga runda med medelhastigheten 8,5 km/h på 52 minuter. Tillsammans med Cilla springer de samma runda med medelhastigheten 10,5 km/h. Hur lång tid tar det dem? c) Pernilla bygger staket så att hon ställer plankorna lodrätt sida vid sida. Hon behöver 128 plankor som är 12 cm breda. I trävaruaffären finns det enbart 9,0 cm breda plankor. Hur många sådana plankor måste Pernilla köpa för att kunna bygga sitt staket? d) En kran A tappar vatten med hastigheten 8 liter/minut. En annan kran B tappar vatten med hastigheten 12 liter/minut. Det tar 3,6 minuter att fylla ett ämbar med kran A. I. Hur lång tid tar det att fylla samma ämbar med bara kran B? II. Hur lång tid tar det att fylla samma ämbar med både kran A och kran B? 329. a) En kikare förstorar en bild 8 gånger. Hur uttrycks skalan? b) Ett foto av Ebbas hund är i skalan 2:9. Hundens mankhöjd är 12,7 cm på fotot. Vilken är hundens mankhöjd i verkligheten? c) En satellitbild visar Marias hus i skalan 1:500. På satellitbilden är huset 2,5 cm långt. På en ritning är huset 20,8 cm långt. I vilken skala är ritningen gjord? d) Ett cirkelrunt område har diametern 5,4 km. På en karta är diametern 9,0 cm. I. Vilken är skalan? II. Vilket är förhållandet mellan areorna, alltså areaskalan? 330. a) Blandsaft späds ut i förhållandet 1:4, alltså 1 del saftkoncentrat och 4 delar vatten. Pelle har 1,25 dl saftkoncentrat. I. Hur mycket vatten ska han sätta till? II. Hur mycket blandsaft får han? b) Silverföremål innehåller silver och koppar i proportionerna 37:3. En sked väger 11,2 g. Hur mycket silver och hur mycket koppar innehåller den? c) Vitguld innehåller guld, silver och palladium i förhållandet 15:2:3. För en ring i vitguld används 3,7 g rent guld. Hur mycket väger ringen? d) Woods metall är en spännande legering eftersom smältpunkten är mycket lägre för legeringen än för de grundämnen den består av. Metallerna vismut, bly, tenn och kadmium ingår i förhållandet 4:2:1:1. En bit Woods metall innehåller 450 g bly. I. Hur mycket av de andra metallerna ingår? II. Hur mycket väger hela metallbiten? 54

1 Repetition och ekvationslösning – Repetitionsuppgifter