movimiento oscilatorio

Movimiento oscilatorio 25th August 2008 El movimiento de cualquier sistema oscilatorio se puede modelar como el de un sistema masa-resorte. Teniendo un sistema masa-resorte, debemos aplicar leyes de newton para hallar la ecuación que describa su movimiento, de esta forma:

La sumatoria de fuerzas en el eje x es : P Fx = F = ma P Fx = −kx = ma Como la aceleración es la segunda derivada con respecto al tiempo del desplazamiento, entonces se obtiene que: 2

−kx − m ddt2x = 0 Dividiendo toda la ecuacion por −m : 2 d2 x + ω0 x = 0 (1) dt2 q k donde ω0 = m . Se dice que (1) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado.

De la ecuación (1) el desplazamiento en función del tiempo puede ser hallado utilizando varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales.

1

Método I: La ecuación (1) es una ecuación diferencial lineal homogenea de segundo orden con coeficientes constantes. La segunda derivada de x con respecto al tiempo se puede plantear asi: d2 x dt2

=

dv dt

=

dv dx dx dt

dv = v dx

Por tanto, remplazando el resultado anterior en la ecuación (1): 2

dv + ω0 x = 0 v dx

Aplicando el método de separación de variables: 2

dv = −ω0 x v dx 2

v dv = −ω0 x dx 1 v kv0 v dv 2

2

v 2

2

= −ω0 kxx0 x dx

−

v0 2

2

2

2

= −ω0 ( x2 −

x0 2

)

2

v02 ω02

)

2

v 2 + x2 ω0 = ω0 (x20 + v2

Donde (x20 + ω02 )es una constante que se conoce como amplitud y que denotare0

mos como A2 . Entonces: q v = ± ω02 (A2 − x2 ) dx dt

= ±ω0

p (A2 − x2 )

Llevando a integrales para hallar la solución : 2 x kx0

√

dx (A2 −x2 )

= ±ω0 kt0 dt

La integral de la izquierda tiene dos soluciones:

x

−1 −1 −1

x x

) = sin ( A ) − sin ( xA0 ) = ω0 t

sin ( A x0

−1

La cantidad sin ( xA0 ) es una constante, que se conoce como φ, ángulo de fase y tiene por dimensiones radianes y depende de x0 , v0 y ω0 . Tomando todos los resultados obtenidos, concluimos que: x(t) = Asin(ω0 t + φ) 1 kv y v0 2 kx y x0

kx x0 denotan la integral definida de v0 a v y de x0 a x respectivamente kt0 denotan la integral definida de x0 a x y de 0 a t respectivamente

2

Metodo II Otro método para resolver la ecuación (1) es proponiendo una solución a esta ecuación de forma exponencial: x = emt entonces

d2 x dt2

= m2 emt de modo que la ecuación (1) se transforma en : emt (m2 + ω02 ) = 0

como el factor emt nunca es cero para valores reales de t, la única forma en que se satisfaga la ecuación diferencial es eligiendo a m de tal forma que: m2 + ω02 = 0 La solución de esta ecuación auxiliar son los números complejos m1 = ω0 i, m2 = −ω0 i.

Entonces nuestra solución general está dada por una combinación lineal de senos y cosenos, asi: x = C1 em1 t + C2 em2 t em1 t = eiω0 t = cos(ω0 t) + isen(ω0 t) y em2 t = e−iω0 t = cos(ω0 t) − isen(ω0 t) Entonces: x = C1 [cos(ω0 t) + isen(ω0 t)] + C2 [cos(ω0 t) − isen(ω0 t)] x = (C1 − C2 ) cos(ω0 t) + [i(C1 − C2 )] sen(ω0 t) Luego: x(t) = C1 cos(ω0 t) + C2 sen(ω0 t)

(2)

si C1 y C2 son diferentes de cero, la amplitud A de las vibraciones libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuación (2). Por lo que, a menudo conviene pasar una solución de la forma (2) a la forma más simple x(t) = Asin(ω0 t + φ) p donde A = C12 + C22 y φ es un ángulo de fase definido por sinφ =

C1 A

, cosφ =

Entonces: tanφ =

C1 C2

Luego, 1 φ = tan−1 ( C C2 )

3

C2 A

(3)

Para comprobarlo, desarrollamos la ecuación (3) aplicando la fórmula del seno de la suma:

A sinω0 t cosφ + A cosω0 t sinφ = (A cosφ) sinω0 t + (A sinφ) cosω0 t

Según la figura tenemos que si definimos φ mediante sinφ = √

C1 C12 +C22

=

C1 A

, cosφ = √

C2 C12 +C22

=

C2 A

la ecuación (4) se transforma en A CA1 cosω0 t + A CA2 sinω0 t = C1 cosω0 t + C2 senω0 t = x(t) De este modo verificamos que el ángulo de fase φse puede calcular como: −1

φ = sin ( xA0 ) −1 ω0 x0 1 φ = tan−1 ( C ( v0 ) ó φ = tan−1 (− ω0v0x0 ) C2 ) = tan

4

(4)