Geometria plana
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Posições de retas no espaço Quando posicionamos as formas no espaço posições: horizontal, vertical e oblíqua.
temos
A superfície das águas de um lago é horizontal. em repouso é horizontal.
A verticalidade
da torre.
por referência
três
A superficie dos líquidos
Se encheres um copo com água a superfície do líquido mantém-se horizontal mesmo quando inclinas o copo.
Posição vertical Uma reta vertical é perpendicular à horizontal. A linha do fio de prumo tem a direção vertical. A reta vertical é visualmente mais dinãmica do que uma reta horizontal. Desde sempre o Homem tem utilizado elementos lineares verticais para assinalar ou marcar lugares importantes no espaço. São exemplos disto um menir pré-histórico ou um obelisco no meio de uma praça. Em edifícios de arquitetura, uma torre tem, muitas vezes, a mesma função - assinalar, marcar um local.
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Obliquidade Todas as retas que não são horizontais nem verticais são oblíquas. A reta oblíqua é visualmente muito dinâmica. Ela provoca uma sensação de instabilidade e de perda de equilíbrio. Exprime movimento.
Posição relativa de duas retas
a
Duas retas que existam no mesmo plano podem ser concorrentes ou
paralelas.
As retas a e b são concorrentes no ponto P.
Retas concorrentes Duas retas que se cruzam num ponto são concorrentes. Dois segmentos de reta são convergentes se estiverem contidos em retas concorrentes.
Na fotografia podemos ver os segmentos dos carris de ferro que, prolongados, se encontram no ponto P. São segmentos convergentes.
Retas paralelas Duas retas são paralelas se mantiverem sempre a mesma distância entre si.
Duas retas concorrentes que formam entre si ângulos retos são perpendiculares ou ortogonais. As linhas num papel quadricúlado formam uma malha ortogonal.
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Ângulos
Reta
Agudo
Obtuso
Raso
Um ângulo é a porção de plano compreendido entre duas semirretas com a mesma origem (vértice do ângulo). A unidade normalmente utilizada para medir a amplitude de um ângulo é o grau (O). Se dividirmos o ângulo reto em 90partes iguais, cada um dos ângulos obtidos tem 1° de amplitude.
Giro
B
Traçado da bissetriz Dado
- O ângulo de vértice V.
v, ~A
Construção
Com centro em V e uma abertura qualquer do compasso, desenhar o arco AB. Com centro em A, e depois em B, traçar dois arcos que se cru- . zam [basta uma abertura para o compasso superior a metade do arco .....--.. ,
ABI.
Divisão do ãngulo reto em três partes iguais Dado
- O ângulo reto de vértice V. Construção
Fazendo centro em Ve com abertura qual.....--.. quer de compasso, desenhar o arco AB. Com centro em A e abertura do compasso AV, determinar o ponto 1. Com centro em B e a abertura do compasso BV, determinar o ponto 2. Unindo V com 1 e 2 ficamos com o ângulo dividido em três partes iguais.
-
•
95
Reta tangente à circunferência Tangente - reta que toca a circunferência
Tangente
à circunferência
num só ponto.
t
num ponto.
Dados
- O raio da 0. - O ponto P [ponto de tangênciaJ. Construção
Desenhar a 0 de centro O. raçar o raio da 0 no ponto P e prolongá-lo. Com centro em P e raio PO, traçar o arco OA. mediatriz do segmento OA é a tangente à 0 no ponto P.
Circunferências tangent~s
Duas ou mais circunferências são tangentes quando se tocam num só ponto - ponto de tangência. As circunferências podem ser tangentes internas ou externas.
Circunferências tangentes externas Dados
- O raio da 0 de centro - O raio da 0 de centro
o. c.
Construção
Desenhar a 0 de centro O e marcar sobre ela o ponto P. Unir o centro O com o ponto P e prolongar. A partir de P, marcar o raio da outra 0 determinando o centro C. Desenhar a 0 fazendo centro em C e abertura do compasso CP.
Circunferências tangentes internas
- O raio da 0 de centro O. - O raio da 0 de centro C. Construção
Desenhar a 0 de centro O e marcar sobre ela o ponto P. Unir O com P. A partir de P determinar o centro C, sendo CP o raio da outra 0 pedida. Desenhar a 0 com centro em C e abertura CP.
o
linhas concordantes A palavra concordância vem do latim "concordentie" e significa harmonia, consonância. Uma linha concordante é constituída por duas ou mais linhas tangentes entre si. A passagem de uma linha para outra é sempre feita suavemente. A partir de duas circunferências tangentes podemos obter uma linha concordante se, ao desenharmos a semitangente de um arco de circunferência, ela se prolongar na semitangente do outro arco de circunferência.
Alguns traçados de linhas concordantes Dados - A reta r. - O ponto T. - Centros das circunferências
X
construtivas.
Construção Desenhar a reta r e sobre ela marcar o ponto T. A partir de T, para a esquerda e para a direita, marcar os centros 01, O2 e 03; C1, C2 e C3 a espaços iguais. Construir as circunferências auxiliares com centro nos pontos dados e tangentes em T. Realçar os arcos pretendidos.
c~
Linhas concordantes num edifício projetado por Antoni Gaudí [1852-1926l.
Dados - Segmento PA. - Centro das circunferências
construtivas.
Construção Desenhar o segmento PA. Traçar as perpendiculares em P e em A. Nas perpendiculares a partir de P e de A, marcar os centros C1, C2 e C3, 01, O2 e 03 com espaços iguais. Desenhar as circunferências auxiliares com centros nos pontos dados e tangentes em P e em A, respetivamente. Realçar os arcos pretendidos.
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Dados - A distância entre as retas - Os pontos T e T,.
x
a e b.
Construção Desenhar as retas a e b paralelas entre si à distância dada e marcar os pontos T e T,. ~ir T com T, e determinar o ponto M, ponto médio do segmento TI,. Traçar a reta r que é a mediatriz do segmento MT. Traçar a reta r, que é a rnediatriz do segmento MT,. Por T e T, desenhar duas retas perpendiculares a a e b. Estas perpendiculares cruzam-se com r e r, e determinam os pontos O e C, respetivamente. '---'" Com centro em O e C desenhar as duas circunferências tangentes no ponto M. Realçar a linha concordante pretendida. Dados - As retas a e b concorrente - O raio r da 0. Z(;lM
oblíquas
no ponto A.
\.
a,
Construção Desenhar as retas a e b concorrentes no ponto A. Desenhar as duas retas auxiliares a, e b, paralelas a a e b, respetivamente, e distando destas a medida do raio r. As retas a, e b, intersetam-se no ponto O. Pelo ponto O traçar duas retas perpendiculares a a e b, de forma a determinar os pontos T e T" pontos de tangência das retas dadas com a 0 de centro o. Com centro em O desenhar a 0 de raio r. Realçar a linha concordante pretendida. Dados - As retas a e b concorrentes - O raio r da 0.
ortogonais.
b b A
a
a,
Construção Desenhar as retas a e b perpendiculares entre si e concorrentes no ponto A. Desenhar as duas retas auxiliares a, e b, paralelas a a e b, respetivamente, e distando destas a medida do raio r. As retas a, e b, intersetam-se no ponto O, centro da 0, e determinam sobre a e b os pontos de concordância T e T" respetivamente. Com centro O desenhar a 0 de raio r. Realçar a linha concordante pretendida.
o
b,
b
T,
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Espirais Espiral bicêntrica Dado - A distância entre os centros.
c
B
Construção Desenhar a reta r e marcar os centros 1 e 2. Com centro em 1 e abertura do compasso 12 desenhar
o arco
2A desenhar
o arco
2.6:.
Com centro
As.
em 2 e abertura
do compasso
Voltar a centrar o compasso no ponto 1 e, com abertura desenhar o arco BC, e assim sucessivamente. Espiral tricêntrica Dado - A medida do lado do triângulo
até B,
construtivo.
Construção Desenhar o triângulo equilátero de vértices 1,2 e 3. Prolongar os lados do triângulo como mostra a figura. Com centro no ponto 1 e abertura do ....--.. compasso igual à medida do lado do triângulo desenhar o arco 3A. Com centro no ponto 2 e abertura 2A desenhar o arco Com centro no ponto 3 e abertura 3B desenhar o arco BC. Voltando a centrar....--.. o compasso no ponto 1 e com abertura 1C, desenhar o arco CO, e assim sucessivamente.
As.
D
Espiral quadricêntrica Dado - A medida do lado do quadrado
E
D
B
c
construtivo.
Construção Com o auxílio da régua e do esquadro, desenhar um quadrado de vértices 1, 2, 3 e 4. Prolongar os lados do quadrado como mostra a figura. Com centro em 1 e abertura 14 desenhar o arco ....--.. Com centro em 2 e abertura -2A desenhar o arco ....--.. AB. Com centro em 3 e abertura 3B desenhar o arco BC. ....--.. Com centro em 4 e abertura 4C desenhar o arco CO. Voltamos a centrar no ponto 1. e com abertura 10, ....--.. o compasso desenhar o arco DE, e assim sucessivamente.
4A.
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Oval e óvulo Oval dado o eixo maior Dado
-AB. Construção Desenhar o segmento [AB]. Traçar a perpendicular ao meio de [AB] que determina O. Determinar os pontos 1 e 2, respetivamente os pontos médios dos segmentos [AO] e [OB]. Com centro em O e abertura do compasso correspondente à distância 01 , traçar a circunferência que determina os pontos 3 e 4. Unir 3 a 1 e prolongar. Unir 4 a 1 e prolongar. Unir 4 a 2 e prolongar. Unir 3- a 2 e prolongar. ••......... Com centro em 1 e abertura lA tracar o arco OC. -' ••......... Com centro em 2 e abertura -' 2B tracar o arco ••......... EF. Com centro em 4 e abertura 4C traçar o arco CE. Com ••......... centro em 3 e a mesma abertura do compasso, tracar o ' arco DF.
B
Oval dado o eixo menor Dado -COo Construção Desenhar a 0 de diâmetro [CO] e centro O. Traçar a perpendicular ao meio do diâmetro [COl. determinando os pontos A e B sobre a 0. Unir C com B e prolongar. Unir O com B e prolongar. Unir C com A e prolongar. Unir O com A e prolongar. ••......... Com centro em C e abertura do compasso CO traçar o arco ~ Com centro em O e abertura do compasso OC traçar o arco ~H. Com centro em A e abertura do compasso AE traçar o arco ~. Com centro em B e abertura do compasso BF traçar o arco FH.
D
c
Óvulo dado o eixo menor Dado -COo Construção A parte inicial desta construção é semelhante à da anterior. Depois de unir C a B e prolongar, fazer centro em C e abertura do ••......... compasso CO para desenhar o arco DE. ••......... Com centro em O e abertura do compasso OC desenhar o arco CF. Com centro em B e abertura do compasso BE desenhar o arco EF.
D
A
c
100
Arcos (
A forma do arco representa um avanço tecnológico muito grande em relação ao trílito, uma vez que ele permite um vão com maiores dimensões. A viga horizontal é substituída por várias pedras talhadas de forma a encaixarem umas nas outras de acordo com a forma do arco. À altura do arco chama-se flecha. Os arcos podem ter variadas formas.
~ vão
Trílito
Um arco é uma estrutura arquitetónica, cuja função é a de suporte. A estrutura de suporte anterior ao arco e com a mesma função, é o trílito que, por sua vez, é uma estrutura semelhante ao dólmen. Ambos são constituídos por duas pedras verticais pilares - que assentam no solo e suportam uma terceira pedra horizontal - viga. As limitações do trílito são evidentes. A amplitude do vão (espaço entre os pilares) é limitada quer pelo comprimento da viga, quer pelo peso que tem de suportar.
Arco de volta inteira ou romano Dado - O vão AB. Construção Desenhar o segmento AB. Tracar a perpendicular ao , ..---...meio de AB determinando Com centro em D e raio DA desenhar o arco.
D.
Arco em ogiva perfeita Dado - O vão AB. Construção Desenhar o segmento AB. ..---.....---... Com raio igual a AB, traçar os arcos AC e BC, com centros, respetivamente, em B e em A.
A
D
c
A
B
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Arco em ogiva Dados - O vão AB. - A flecha CO.
Arco em ogiva alongado.
Construção
Desenhar a reta r e marcar o vão AB. Construir a perpendicular ao meio de AB e marcar a flecha CO. Unir o ponto C com A. Traçar a perpendicular ao meio do segmento AC, determinando o ponto 1 sobre a reta r. Com centro em O e abertura do compasso 01 marcar sobre a reta r, para o lado oposto, o ponto 2. .....---Com centro em 1 e raio lA desenhar o arco AC. ......-.... Com centro em 2 e raio 2B desenhar o arco BC.
2
B
Arco abatido Dados
- O vão AB. - A flecha CO.
Arco em ogiva encurtado.
Construção
Desenhar
o vão AB.
Traçar a perpendicular
ao meio de AB e marcar a flecha CO.
UnirAaC. Com centro ponto E.
em O e abertura
Com centro em C e abertura o segmento AC o ponto F. Traçar r, perpendicular os pontos 1 e 2.
do compasso do compasso
Desenhar r1 unindo 2 com 3. Com centro em 1 e raio igual a lA desenhar o arco A<3. Com centro em 2 e raio igual a 2G desenhar o arco GH. Com centro 3H desenhar
CE determinar
ao meio do segmento
Com centro em O e raio 01 marcar para o lado oposto, sobre o vão, o ponto 3.
em 3 e.....---raio igual a o arco HB.
DA determinar
sobre
AF, determinando
o
102
Arco contracurvado ou em quilha Este arco, também quência
designado
em Portugal,
circunferências
por arco de querena,
no período
tangentes
É formado
manuelino.
que formam
aparece com frepor várias
duas linhas distintas
concor-
dantes.
Dados - O vão AB.
Construção Desenhar Traçar
o vão AB.
a perpendicular
ao meio do segmento
AB determinando
o
ponto M. Com centro em M e raio MAdesenhar
o arco
M.
raio, ...--.. e fazendo ...--.. centro em A e em B, desenhar, respetivamente, os arcos ME e MF. ...--.. ...--.. Ainda com o mesmo raio desenhar os arcos HG e IG, respetivaCom o mesmo
mente, com centros
em E e F.
Com centro desenhar
em G, ...--.. e mantendo ...--.. os arcos EH e FI .
Com o mesmo respetivamente,
raio, e fazendo os arcos
a abertura centro
FG e ro.
do compasso
igual a
ÁM,
em I e depois em H, desenhar,
" Observa e experimenta Projeto para um portão em ferro forjado Os portões e varandas em ferro forjado existentes nos edifícios urbanos, são muitas vezes constituídos por formas lineares geométricas: curvas e retas. O esquema junto representa um muro com uma abertura para um portão.
t1' \V f2\
\V
Fundação Anastácio Gonçalves, Lisboa.
Na folha A4 de papel cavalinho, desenha um esquema semelhante ao da figura, mantendo a mesma proporção. Imagina e desenha um portão, que deverá conter, as seguintes linhas geométricas: espiral, arco de volta perfeita e outras linhas geométricas que te pareçam adequadas ao teu projeto. Passa a marcador preto as linhas do portão. Completa livremente o desenho imaginando elementos que possam existir no muro, no chão ou ao fundo por detrás do portão.
103
71 Observa e experimenta Encontrar linhas geométricas Observa a imagem do pinguim e o esquema geométrico ponde.
que lhe corres-
Repara como a maior parte das linhas, deste esquema, são curvas formadas a partir de circunferências secantes.
r:j'\ \.V ~
\.!:.)
Numa revista, ou na internet procura uma imagem onde possas identificar e reconhecer linhas geométricas, curvas ou retas: o corpo de animal ou apenas o focinho, uma flor, uma nuvem bem recortada no céu, etc.
À mão livre e com auxilio de papel vegetal, descobre as linhas essenciais.
Onde estão os centros das circunferências?
Onde
estão os pontos de tangência?
f3\
\V
f4\ ~
Em folha A4 e com os materiais de desenho geométrico adequados, faz o desenho esquemático da forma, aplicando as construções geométricas que estudaste. Acentua as linhas mais importantes que pertencem aos contornos da forma e deixa a traço fino as restantes linhas de construcão. Cola na folha de desenho o recorte' da imagem a que corresponde o esquema geométrico que realizaste.