Mathabilmente frazioni promo by Silvano Rubert

Federica Brembati Roberta Donini

MATHabilmente Risorse per una didattica personalizzata, integrata e inclusiva della matematica

SPECIMEN

Ambiente educativo Digitale

LIBRO MISTO

E-BOOK

CONTENUTI INTEGRATIVI

ZONA MATEMATICA

IN CLASSE

Federica Brembati Roberta Donini

MATHabilmente Risorse per una didattica personalizzata, integrata e inclusiva della matematica

SPECIMEN Il percorso è riservato alle classi che hanno in adozione un corso di Matematica per la Scuola Secondaria di Primo Grado appartenente a un marchio De Agostini Scuola. Nello specimen sono riprodotte, a titolo esemplificativo, le pagine introduttive e l'Unità sulle frazioni.

mathabilmente

Indice Aritmetica 1 1. Le espressioni numeriche 2. La potenza 3. Multipli e divisori 4. Le frazioni 5. Le operazioni con le frazioni

Geometria 1 1. I poligoni e le proprietà dei poligoni 2. I triangoli 3. I quadrilateri 4. La circonferenza e le sue proprietà

Aritmetica 2 1. I numeri decimali 2. Rapporti e proporzioni

Geometria 2 1. Le aree delle figure piane 2. Il teorema di Pitagora

Algebra 3 1. I numeri relativi 2. Il piano cartesiano e le funzioni matematiche

Geometria 3 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 2. I poliedri 3. I solidi di rotazione

mathabilmente

Dal programma di matematica alla programmazione personalizzata L’insegnamento della matematica comporta meraviglie e difficoltà che tre frasi di tre grandi “maestri” presentano: I numeri governano il mondo (Platone) La matematica quando si ama, si ama incondizionatamente, così come incondizionatamente, precocemente e per eredità genitoriale si odia, senza prove e possibilità di appello. Il matematico è come un cieco vestito di nero che cerca in una stanza buia un gatto nero che non c’è (Charles Darwin) Quando sono presenti difficoltà in matematica è comune da un lato vedere la propria situazione come immodificabile e sentirsi impotente, dall’altro vivere come impossibile ed inutile ogni proposta didattica. Non preoccuparti delle tue difficoltà in matematica: ti assicuro che le mie sono maggiori (Albert Einstein)

Una frase, verso la quale vorremmo ci si orientasse, che porta, invece, a riflettere sulla possibilità di migliorare e di mettersi in gioco nonostante ostacoli o inciampi.

In sintesi, quando uno studente si appresta a frequentare la scuola secondaria, porta già molto spesso con sé idee rigide sulle proprie capacità in matematica e difficoltà già ben radicate. La matematica, inoltre, è intrinsecamente caratterizzata da un progredire di un programma a spirale, per il quale lacune precedenti problematizzano l’acquisizione di nuove conoscenze. Questi aspetti rendono complesso identificare il livello dei propri studenti, i loro punti di forza e di debolezza e individuare le strategie da proporre per offrire le massime opportunità di miglioramento.

Personalizzazione La mission di fondo che dovrebbe accompagnare ogni scelta è l’assoluto rispetto per le differenze individuali e per la personalizzazione delle proposte didattiche. Se crediamo che ogni alunno abbia esigenze peculiari, diventa assolutamente sequenziale il pensare che sia necessario stendere per lui un progetto che non è mera applicazione di indicazioni compensative e dispensative. Il rischio, altrimenti, è addirittura quello di profondere considerevoli sforzi e fornire ai nostri ragazzi schede, materiali, formulari, tabelle… non funzionali alle loro caratteristiche. Per esempio, un ragazzo con difficoltà visuo-spaziali è molto penalizzato da “semplificazioni” di un concetto con rappresentazioni grafiche ritenute, magari, più immediate; e ancora, un alunno dislessico con difficoltà di accesso lessicale fatica a fruire positivamente di dense mappe concettuali. E un discalculico? Siamo certi che l’uso della calcolatrice possa essere risolutivo di tutti i suoi problemi? Alla luce di queste considerazioni, abbiamo cercato di strutturare una sorta di “navigatore” che evidenzi per ogni argomento previsto dal programma scolastico, le possibili strategie per fronteggiare diverse difficoltà.

Integrazione La riflessione che ha guidato la scelta di impostazione di Mathabilmente è molto semplice: il testo adottato per la classe ha già gli elementi utili per la predisposizione di piani didattici personalizzati e, al fine di favorire al massimo l’appartenenza al programma comune, è importante che tutti gli alunni (a meno di particolari esigenze di differenziazione) familiarizzino con esso, ne conoscano l’organizzazione, sappiano orientarsi, ritrovare argomenti, esempi e definizioni. L’approccio al testo dovrebbe essere, pertanto, non di sostituzione, ma di integrazione con altre proposte e di modificazione delle stesso attraverso l’individuazione delle definizioni e degli esercizi fondamentali, della modalità di semplificazione e di gradualità di presentazione e di adattamento formale degli esercizi (spaziatura, carattere, lunghezza…). © 2014 De Agostini Scuola SpA Novara

mathabilmente A questo punto, che cosa dovrebbero fornire di aggiuntivo queste nostre proposte, per non cadere in una duplicazione semplificata e generalizzata del libro di testo? Abbiamo scelto di fornire una serie di esemplificazioni degli argomenti chiave del percorso di apprendimento che tenessero conto delle difficoltà e delle risorse di ogni singolo alunno, mettendo a disposizione strumenti per calibrare l’esercizio e per verificarne l’efficacia.

Obiettivi minimi L’altro punto che riteniamo fondamentale è l’individuazione per ogni argomento di quelli che sono gli obiettivi minimi, intesi non solo come riduzione, ma come veicolo per poter proseguire nel programma e sentirsi attivi. Gli obiettivi minimi, in sintesi, dovrebbero rispondere a queste domande: ▶ ▶

Che cosa è realmente necessario sapere? Che cosa realmente è fondamentale per procedere nel programma?

Per esempio, è fondamentale aver capito perfettamente il concetto altamente astratto di punto (che c’è, ma non c’è, che lo vedi, ma non lo vedi, che è su un piano che non c’è, ma è infinito, …)? Se la risposta è sì, temiamo di dover dedicare tutto il testo a quest’argomento! Ogni Unità/argomento propone la seguente struttura: 1 uno schema riassuntivo che analizza le criticità in relazione ai diversi profili di difficoltà: (discalculia in un quadro di buone competenze cognitive, discalculia in un quadro di fragilità cognitiva, disgrafia, difficoltà visuo-spaziali, dislessia, difficoltà di accesso lessicale, difficoltà attentive, fragilità cognitiva, difficoltà di problem-solving); 2 l’indicazione degli obiettivi minimi; 3 una selezione delle definizioni e modalità di presentazioni più efficaci per ogni obiettivo; 4 una verifica per obiettivi minimi; 5 una scheda personale di ogni alunno – destinata al docente – di identificazione degli obiettivi raggiunti; 6 una scheda personale – per l’alunno – per la costruzione di un formulario. Le esemplificazioni pratiche personalizzabili dovrebbero costituire proprio la “storia matematica” di ogni ragazzo con difficoltà. Federica Brembati Pedagogista Clinico-Psicologa

Roberta Donini Psicologa – Psicoterapeuta

Le frazioni

Conoscere, riconoscere e operare con le frazioni Premessa Partiamo da un’amara consapevolezza: negli anni di lavoro clinico di valutazione delle difficoltà di apprendimento, abbiamo imparato a non dare per scontata l’acquisizione del concetto di frazione, neanche nei ragazzi della Secondaria di secondo grado. Perché anche aspetti apparentemente semplici e appartenenti anche alla quotidianità non matematica, come pensare a un paio di jeans il cui prezzo è scontato di un terzo, diventano così ostici? La sensazione che abbiamo è che ci sia un chiaro scollamento fra l’esperienza quotidiana dei ragazzi e le loro conoscenze matematiche e che tali conoscenze siano acquisite passivamente, senza entrare a far parte di un bagaglio proprio, riutilizzabile e generalizzabile ad altri ambiti. La conferma di questo aspetto è evidente quando, somministrando test di matematica a ragazzi adolescenti, gli stessi, di fronte a problemi con le frazioni risolvono la difficoltà nell’affrontarli, con una secca ipergiustificazione del tipo: “Ma queste cose le abbiamo fatte quando eravamo più piccoli! Chi se le ricorda!” Il paradosso è evidente: sembrano essere così facili da poter essere affrontate dai 9 anni , ma sono state veramente capite?

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

unità 4

Unità 4 Le frazioni

Nel presentarle agli alunni è importante, pertanto, seguire due regole fondamentali: 1 non ritenere assimilati concetti basilari e non ritenere troppo semplici le esemplificazioni pratiche (dalla pizza divisa in fette alla piccola somma vinta alla lotteria della scuola); 2 strutturare esercizi e riflessioni che portino i ragazzi a rievocare ed elaborare attivamente concetti e definizioni, portandoli anche a esplicitare le strategie proprie che hanno messo in atto (per esempio: “Che trucco avete escogitato per ricordare numeratore e denominatore?”). Sovraordinate a ogni proposta sono, inoltre, due riflessioni da porsi prima di presentare ogni argomento: 1 per quale dei miei alunni e perché potrebbe essere difficile lo studio delle frazioni? 2 quali argomenti è fondamentale aver acquisito per poter andare avanti? Come posso delinearne l’obiettivo minimo?

Mathabilmente

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

Per chi e perché può essere difficile lo studio delle frazioni?

Tipo di difficoltà Esercizi che risultano maggiormente difficili Discalculia Possono incontrare difficoltà nei calcoli. Nella semplificazione di frazioni fanno fatica a capire qual è il comun divisore a causa della mancata automatizzazione delle tabelline. Se c’è una compromissione degli aspetti semantici del numero potrebbero incontrare difficoltà nei confronti tra frazioni e nell’individuare correttamente frazioni proprie e improprie. Sono facilitati dall’utilizzo di numeri bassi. • difficoltà Incontrano difficoltà nel visualizzare le visuo-spaziali frazioni e nell’individuare graficamente le parti sull’intero. Fanno fatica a confrontare due frazioni rappresentate graficamente. Il canale visivo non li facilita. Faticano nel disegnare l’intero e nell’individuare le parti che lo compongono. Sono sensibili all’impostazione grafica dell’esercizio, necessitano di spazi adeguati per scrivere e di chiara demarcazione tra un esercizio e l’altro. • difficoltà cognitive Incontrano difficoltà nell’astrazione e nella comprensione del concetto di frazione, a causa delle difficoltà di astrazione e categorizzazione. Incontrano difficoltà nel problem solving, fanno fatica a capire che due problemi sono simili e quindi risolvibili in modo analogo. Dislessia Come per i ragazzi discalculici, spesso si assiste a una mancata automatizzazione delle tabelline con conseguente difficoltà nell’individuare il comun divisore e nella semplificazione delle frazioni. Incontrano difficoltà nel memorizzare i termini “numeratore”, “denominatore”, frazioni “proprie” “improprie” “apparenti”, quindi è opportuno dedicare risorse e attenzione a questo apprendimento. Per questi ragazzi spesso è faticoso esporre i concetti teorici. • disgrafia Le difficoltà possono ripercuotersi negativamente sulla rappresentazione grafica delle frazioni. Per alcuni può essere difficile scrivere correttamente le frazioni rispettando gli spazi, soprattutto se le frazioni sono scritte vicino ad altri numeri.

Punti di forza Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni. Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti. Risolvere semplici problemi con le frazioni. Conoscere la proprietà fondamentale delle frazioni.

Acquisizione dei concetti teorici. Semplificazione delle frazioni. Svolgimento dei problemi, che non prevedono la rappresentazione grafica o la sua interpretazione. Concetti di frazione propria impropria e apparente.

Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni. Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti. Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni. Svolgimento degli esercizi proposti con l’ausilio del formulario. Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni. Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti. Riconoscere le frazioni proprie, improprie e apparenti. Risolvere semplici problemi con le frazioni. Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni.

Acquisizione dei concetti teorici. Svolgimento dei problemi. Semplificazione di frazioni Riconoscere le frazioni proprie, improprie e apparenti. Risolvere semplici problemi con le frazioni. Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni. Sono solitamente facilitati dalla verifica orale delle competenze.

• difficoltà attentive

Incontrano difficoltà negli esercizi lunghi che prevedono molti passaggi. Tendono a perseverare nell’impostazione iniziale, possono commettere errori banali o basati su indicatori superficiali (per esempio, invertire numeratore e denominatore).

Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni. Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti. Riconoscere le frazioni proprie, improprie e apparenti. Risolvere semplici problemi con le frazioni. Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni.

Che cosa è indispensabile sapere? Obiettivi minimi

Declinazione degli obiettivi

Esemplificazione

Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni.

1. Sapere definire una frazione.

Che cosa rappresenta una frazione?

Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti e saperle riconoscere. (Aspetti metodologici: i concetti presentati in questo paragrafo risultano particolarmente complessi per i ragazzi con DSA o con disturbo di linguaggio che presentano una difficoltà di accesso lessicale, per questo motivo sono stati proposti esercizi che rinforzano l’associazione tra la tipologia di frazione presentata e il suo nome)

5 2. Sapere individuare numeratore e denominatore 4 di una frazione data. In una frazione che cosa indica il 3. Comprendere la funzione numeratore? del numeratore e del Che cosa indica il denominatore? denominatore. 4 Nella frazione : in quante parti 7 è diviso l’intero? Quante parti dobbiamo considerare? Quale tipologia di frazione indica 4. Definire le caratteristiche una parte dell’intero? delle frazioni proprie, Quale tipologia di frazione indica improprie, apparenti. più di un intero? Quale tipologia di frazione indica uno o più interi?

5. Associare la rappresentazione grafica con la tipologia di frazione che potrebbe rappresentarla.

Quale tipo di frazione utilizzeresti per rappresentare queste quantità? Frazione propria? Impropria? Apparente?

6. Riconoscere una frazione propria, impropria e apparente.

Date le seguenti frazioni, scrivi se sono proprie, improprie o apparenti e spiega il perché. 3 12 4 24 12 12 24 24 8 7

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Unità 4 Le frazioni

perché perché perché

Mathabilmente

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

Risolvere semplici problemi con le frazioni. (Aspetti metodologici: il calcolo delle frazioni equivalenti può essere complesso per i ragazzi che hanno una discalculia con difficoltà nell’acquisizione delle procedure, per questo motivo si è posta particolare attenzione alla corretta applicazione della procedura, garantendo un numero abbastanza ampio d i esercizi così da consentire l’automatizzazione della stessa. Gli studenti con DSA che non hanno automatizzato le tabelline e i criteri di divisibilità incontrano significative difficoltà nell’individuare il comun divisore, quindi gli esercizi sono stati guidati; nel capitolo successivo vengono ripresi e riproposti questi argomenti)

Il professore di matematica ha 7. Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare assegnato 10 esercizi. Francesca una frazione dell’intero. ha svolto i 3 dei compiti 5 assegnati. Quanti esercizi ha svolto?

8. Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare una frazione dell’intero e che sottendono il concetto di frazione complementare.

Marta deve iniziare la scuola e ha ordinato 15 libri. La cartolaia gliene ha procurati i 4 . 5 Quanti libri mancano ancora a Marta?

9. Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare un intero partendo dalla frazione.

Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni.

Luca deve studiare per la verifica di storia e ha studiato 12 pagine che corrispondono ai 3 delle pagine assegnate 4 dall’insegnante. Quante pagine aveva assegnato il professore? Che cosa dice la proprietà 10. Definire la proprietà fondamentale delle frazioni. fondamentale delle frazioni? Fai due esempi di applicazione 11. Saper applicare la della proprietà fondamentale. proprietà fondamentale Applicando la proprietà delle frazioni. fondamentale delle frazioni calcola tre frazioni equivalenti di 3 . 4 Applicando la proprietà fondamentale delle frazioni riduci ai minimi termini la frazione 8 . 4

Aspetti metodologici Nella sezione destinata agli studenti vengono presentate le frazioni in modo semplice ed essenziale, utilizzando un linguaggio facilmente accessibile e comprensibile anche per i ragazzi con difficoltà nel linguaggio espressivo e ricettivo. È costantemente presente il rimando all’esperienza concreta dei ragazzi sia per facilitare la comprensione sia per consentire una rappresentazione astratta del concetto di frazione a tutti gli studenti con disturbo visuo-spaziale che non vengono facilitati dalle classiche rappresentazioni grafiche del concetto. Nel predisporre la Verifica del raggiungimento degli obiettivi minimi si è cercato di analizzare ogni concetto da diversi punti di vista, concreto, teorico e applicativo, per consentire a ogni studente di esprimere i concetti acquisiti. La spaziatura e l’impostazione grafica risultano adeguati sia per studenti con difficoltà visuospaziali sia per studenti disgrafici. Nonostante vengano proposti calcoli semplici potrebbe essere necessario fornire la calcolatrice agli studenti che non conoscono le tabelline e che hanno difficoltà di calcolo. La richiesta delle definizioni e dei concetti teorici viene sempre accompagnata dalla richiesta di esemplificazione, così da mediarne l’accesso, e la domanda è posta in modo da facilitare la rievocazione del contenuto.

Le frazioni

Ti presento le frazioni! Ricorderai di sicuro che tu e le frazioni avete già fatto conoscenza alla scuola primaria: magari allora non ti erano sembrate né particolarmente simpatiche né particolarmente semplici da comprendere, ma adesso le cose potrebbero andare diversamente. Devi, infatti, sapere che ogni giorno nella tua vita utilizzi le frazioni e che, quindi, sai già molte delle cose che ti presenteremo in questo capitolo. Facciamo un esempio: quando tagli una torta in tante fette uguali e decidi di mangiarne alcune hai operato con le frazioni. Se hai tagliato 12 fette uguali e ne hai mangiate 5, si dice che hai mangiato i cinque dodicesimi della torta e si scrive così:

5 . 12

La torta è l’intero; il numero di fette che hai mangiato si chiama numeratore e il numero di fette che hai tagliato si chiama denominatore. esempio esempio

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

unità 4

5 numeratore denominatore 12

Che cosa devi ricordarti per definire correttamente una frazione? definizione La frazione è la parte di un intero e indica quante parti uguali dell’in-

tero ho considerato.

(Non dimenticarti che le parti devono essere uguali fra loro!) Numeratore (numero sopra la linea di frazione): indica il numero delle parti che hai. ▶ Denominatore (numero sotto la linea di frazione): indica il numero delle parti uguali nelle quali è diviso l’intero. ▶

Quale trucco pensi di utilizzare per ricordarti quale è il numeratore e quale il denominatore? Riportalo qui:

unità 4 le frazioni

Obiettivo: conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni mathabilmente – studente – Aritmetica 1

Saper definire una frazione Completa le frasi con le seguenti parole (una sola non ti serve): intero, uguali, parti, diverse, parte. La frazione è una Indica in quante Non hai usato la parola (Non dimenticarlo mai!).

dell’

è diviso l’intero. perché le parti devono essere uguali fra loro

Saper individuare numeratore e denominatore di una frazione data Qual è il numeratore della frazione rappresentata a lato?

È una classe di

studenti. Qual è il denominatore?

1 Esercizio svolto Scrivi una frazione che abbia 5 come numeratore e 7 come denominatore. Un aiuto per procedere: il denominatore indica le parti in cui viene diviso l’intero e si scrive sotto la linea di frazione, mentre il numeratore indica le parti che devi considerare e si scrive sopra. Quindi scriviamo la frazione in questo modo:

5 . 7

2 Esercizio in autonomia Scrivi una frazione che abbia come denominatore il numero 13 e come numeratore il numero 6.

unità 4 le frazioni

Comprendere la funzione del numeratore e del denominatore 2

a. prendo una torta b. la taglio in sette parti uguali c. ne prendo due parti

di una tavoletta di cioccolato. Quanto 4 Esercizio guidato Marco mangia i 8 cioccolato mangia Marco? Per trovare quanto cioccolato mangia Marco dividi la tavoletta in 8 parti uguali e colorane 2.

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

3 Esercizio svolto Prendere i di una torta significa dividere la torta in 7 parti 7 uguali e prenderne 2.

5 Esercizio in autonomia Lucia ha poco appetito e mangia solo colora

1 della pizza che ha comprato. Individua e 3

1 della pizza rappresentata qui a lato. 3

Obiettivo: saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti e saperle riconoscere Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti e saperle rappresentare graficamente Tutte quelle che vedi qui sotto riportate sono frazioni:

3 4

8 5

6 6

1 9

Queste frazioni sono diverse tra loro. Cerchiamo di scoprire qual è la loro principale differenza. Frazioni proprie Nella frazione

3 il numeratore è minore del denominatore cioè le parti che abbiamo 4

deciso di considerare sono minori dell’intero stesso.

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

unità 4 le frazioni

Pensiamo a una pizza, la dividiamo in 4 parti e ne mangiamo 3 . Dunque è avanzata 1 fetta e la parte consumata è minore dell’intera pizza, cioè dell’intero. In questo caso si dice che la frazione è propria, perché è avanzata una fetta. Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denomidefinizione natore. 6 Esercizio guidato Scrivi 5 frazioni proprie ricordando che il numeratore (cioè il numero sopra la linea di frazione) deve essere minore del denominatore (cioè del numero sotto la linea di frazione).

7 Esercizio in autonomia Scrivi 5 frazioni proprie.

Frazioni apparenti Prendiamo la frazioni

6 e ragioniamo 6

tornando alla nostra buonissima pizza: la dobbiamo dividere in 6 parti e le mangiamo tutte! Non avanza nulla. In questo caso la frazione si dice apparente perché di fatto indica un intero, in questo caso 1, cioè tutta la pizza. Una frazione si dice apparente quando il numeratore è uguale al denodefinizione minatore o è un suo multiplo. esempio

6 6

8 8

15 15

1098 1098

111 111

8 Esercizio guidato Scrivi 5 frazioni apparenti ricordando che il numeratore e il denominatore sono uguali.

9 Esercizio in autonomia Scrivi 5 frazioni apparenti. 14

unità 4 le frazioni

Frazioni improprie

8 il numeratore è maggiore del denominatore cioè le parti che abbia5

mo deciso di considerare sono tutte insieme maggiori dell’intero stesso. Pensiamo alla nostra gustosissima pizza; in questo caso l’abbiamo divisa in 5 fette, ma ne mangiamo 8 cioè mangiamo tutta la nostra pizza composta di 5 fette e ne rubiamo 3 uguali al nostro vicino. Abbiamo mangiato più di una pizza! Nelle frazioni improprie viene indicata, infatti, una quantità o un numero che è maggiore dell’intero.

Nelle frazioni improprie il numeratore è maggiore del denominatore. definizione esempio

3 2

67 56

7 3

45 6

8 7

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

Nella frazione

10 Esercizio guidato Scrivi 5 frazioni improprie ricordando che il numeratore (cioè il numero sopra la linea di frazione) è maggiore del denominatore (cioè il numero sotto la linea di frazione).

11 Esercizio in autonomia Scrivi 5 frazioni improprie.

Saper riconoscere le frazioni proprie, improprie e apparenti 12 Esercizio guidato Tra le seguenti frazioni cerchia quelle proprie (quelle in cui il numeratore è minore del denominatore). 7 6 97 12 7 17 6 67 12 9 13 Esercizio guidato Tra le seguenti frazioni cerchia quelle improprie (quelle in cui il numeratore è maggiore del denominatore). 3 4 32 6 8 9 12 135 7 4 15 7 8 18 7 450 14 Esercizio guidato Tra le seguenti frazioni cerchia quelle apparenti (quelle in cui il numeratore e il denominatore sono uguali). 7 84 15 14 9 13 12 2 5 8 15 15 9 12 7 7 © 2014 De Agostini Scuola SpA Novara

unità 4 le frazioni

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

15 Esercizio in autonomia Scrivi a lato di ogni frazione se si tratta di una frazione propria, impropria o apparente e scrivi la motivazione. esempio

3 frazione propria perché il numeratore è minore del denominatore 4

6 7

perché

19 15

perché

9 9

perché

5 3

perché

2 8

perché

Obiettivo: risolvere semplici problemi con le frazioni Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare una frazione dell’intero 3

16 Esercizio svolto Marta ha risparmiato 20 euro e decide di spenderne i per 5 acquistare un astuccio. Quanto spende Marta? Dividiamo i risparmi di Marta in 5 parti uguali…

20 : 5 = 4

… e scopriamo che ogni parte è uguale a 4 euro. Prendiamone 2 parti…

4×2=8

… e scopriamo che Marta spende 8 euro.

17 Esercizio in autonomia Sofia ha ricevuto 300,00 euro di mance per la

sua Cresima, e decide di spendere vestiti. Quanto spende Sofia?

2 di quello che ha ricevuto per acquistare nuovi 3

unità 4 le frazioni

18 Esercizio svolto Il signor Rossi ha vinto 500 000 euro alla lotteria e ha deciso di dare in beneficienza 3 della vincita e di tenere il resto per sé.

Quanti soldi dà in beneficenza il signor Rossi? Quanti soldi tiene per sé?

Rispondiamo insieme alla prima domanda: il signor Rossi ha vinto 500 000 euro e ne dà in beneficienza tre parti su cinque. Quindi dividiamo la somma per cinque in modo da calcolare il valore di una parte.

500.000 : 5 = 100.000 euro

Poiché dà in beneficienza tre parti della sua vincita, moltiplichiamo per tre il valore di una parte:

100.000 × 3 = 300.000 euro Il signor Rossi ha vinto 500.000 euro e ha dato in beneficienza 300.000 euro. Per calcolare quanti soldi gli rimangono dalla vincita, cioè 500.000 euro, togliamo la somma che ha dato in beneficienza, cioè 300.000 euro. Otteniamo: 500.000 – 300.000 = 200.000 euro

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare una frazione dell’intero e che sottendono il concetto di frazione complementare

19 Esercizio in autonomia Luca desidera acquistare con i suoi risparmi un paio di scarpe da calcio che costa 60,00 euro, e i genitori si offrono di pa

gare

1 del costo. Quanti soldi danno i genitori a Luca? Quanto dovrà pagare Luca 3

con i suoi risparmi?

Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare un intero partendo dalla frazione 20 Esercizio svolto Marco ha svolto 18 esercizi di matematica che corrispondono

ai 3 del totale degli esercizi assegnati. Quanti esercizi erano stati assegnati a Marco?

Se consideriamo il numero degli esercizi assegnati dall’insegnante come l’intero, dobbiamo pensare di dividerli in 5 parti uguali. Marco ha svolto 3 di queste parti che corrispondono a 18 esercizi. Adesso dobbiamo calcolare il valore di una parte: se tre parti equivalgono a 18 esercizi, quanto vale una parte?

18 : 3 = 6

Dal risultato della divisione scopriamo che una parte corrisponde a 6 esercizi. Poiché l’intero è composto da 5 parti, moltiplichiamo il valore di una parte per il totale delle parti e scopriamo il valore dell’intero, cioè quanti sono tutti gli esercizi che erano stati assegnati.

6 × 5 = 30

unità 4 le frazioni

21 Esercizio in autonomia Lucia ha mangiato 4 pasticcini che corrispondono ai

2 13

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

dei pasticcini che erano sul vassoio. Quanti pasticcini c’erano sul vassoio? In quante parti sono stati divisi i pasticcini?

Quante parti ha mangiato Lucia?

Calcola il valore di una parte dei pasticcini.

Calcola il valore dell’intero (che corrisponde a 13 parti).

Obiettivo: conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni Definire la proprietà fondamentale delle frazioni Per rendere la matematica e lo studio delle frazioni un poco più piacevole partiamo da un esempio molto gustoso. Ti sarà capitato di mangiare due piccole fette di torta o di pizza e di pensare che erano così piccole che equivalevano a una fetta normale… Non ti sbagliavi, era proprio così!

Ci possono essere frazioni apparentemente diverse che però indicano la stessa quantità: sono frazioni equivalenti esempio

Come facciamo a sapere se due frazioni sono equivalenti, cioè se indicano la stessa quantità? Applichiamo una semplicissima regola matematica che dice così: Se moltiplichiamo o dividiamo il numeratore e il denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero (cioè 1, 2, 3, 4, 5, …) otteniamo una frazione uguale a quella data.

unità 4 le frazioni

Saper applicare la proprietà fondamentale delle frazioni 7 . 8

7 e moltiplichiamo sia il numeratore sia il denominatore per un 8 numero naturale diverso da zero, per esempio il numero 3. 7 × 3 = 21 e 8 × 3 = 24 21 che è equivalente a quella data. Abbiamo ottenuto la frazione 24 Consideriamo la frazione

23 Esercizio in autonomia Adesso prova tu ma fai attenzione! Sia il numeratore sia il denominatore devono essere moltiplicati per lo stesso numero. Per ogni frazione data calcola tre frazioni equivalenti moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero (diverso da zero).

3 5

1 6

2 9

5 7

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

22 Esercizio svolto Calcola una frazione equivalente a

Riprendiamo la regola matematica che abbiamo analizzato prima e soffermiamoci sulla parola evidenziata in grassetto. Se moltiplichiamo o dividiamo sia il numeratore sia il denominatore per definizione uno stesso numero naturale diverso da zero (cioè 1, 2, 3, 4, 5, …) otteniamo una frazione uguale a quella data. Prima abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per lo stesso numero (naturale e diverso da zero) e ora proviamo a ottenere una frazione equivalente dividendo sia il numeratore che il denominatore per un numero naturale diverso da zero.

dividendo il numera 24 Esercizio svolto Calcola una frazione equivalente di 42 tore e il denominatore per 7.

21 : 7 = 3 42 : 7 = 6

La frazione equivalente è

3 . 6

Nome

Classe

Data

Uso il linguaggio matematico 1. Facendo riferimento alla frazione data, rispondi alle domande.

7 numeratore 8 denominatore

Immaginiamo di mangiare i

il denominatore 8 che cosa indica?

il numeratore 7 che cosa indica?

7 di una pizza: 8

2. Che cosa indica il numeratore di una frazione?

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

verifica

le frazioni

3. Che cosa indica il denominatore di una frazione?

Applico i procedimenti 4. Come è possibile ottenere una frazione equivalente a una frazione data?

Fai un esempio: come si ottiene una frazione equivalente a

25 ? 15

5. Calcola una frazione equivalente per ognuna delle seguenti frazioni.

6 5

30 50

2 12

3 11

6. Scrivi 5 frazioni proprie: 7. Qual è la caratteristica delle frazioni proprie?

verifica 8. Scrivi 5 frazioni improprie: 9. Qual è la caratteristica delle frazioni improprie?

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

10. Scrivi 5 frazioni apparenti: 11. Qual è la caratteristica delle frazioni apparenti?

Risolvo i problemi 12. Gli studenti di una classe hanno raccolto 105 euro per organizzare la festa di Natale.

Hanno deciso di spendere

1 dei soldi per acquistare delle decorazioni da appendere 5

in classe. Quanti soldi spendono per le decorazioni?

13. Marta ha preparato 15 torte per una vendita di beneficienza.

2 sono torte al 3

cioccolato e le restanti sono torte alle mele. Quante sono le torte al cioccolato? Quante sono le torte alle mele?

14. Un fruttivendolo ha sulla sua bancarella 200 kg di frutta, una grandinata improvvisa rovina

1 della sua merce. Quanti kilogrammi di frutta vengono danneggiati? 4

Quanti kilogrammi di frutta rimangono intatti?

Se il fruttivendolo vende a 1,50 euro ogni kilogrammo di frutta non danneggiata, quanto ricava?

profilo dell'alunno Nome

Conoscenza delle frazioni Obiettivi minimi

Declinazione degli obiettivi

Conoscere il linguaggio e la simbologia delle frazioni.

Saper definire una frazione.

1 2 3

Saper individuare numeratore e denominatore in una frazione data.

1 2 3

Comprendere la funzione del numeratore e del denominatore.

1 2 3

frazioni proprie, improprie e apparenti e saperle rappresentare graficamente.

Risolvere semplici problemi con le frazioni.

Conoscere e applicare la proprietà fondamentale delle frazioni.

4-5 Saper definire le caratteristiche delle

Saper definire le caratteristiche delle frazioni proprie, improprie e apparenti e saperle riconoscere.

1 obiettivo non raggiunto

Livello*

1 2 3

Saper riconoscere le frazioni proprie, improprie e apparenti.

1 2 3

Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare una frazione dall’intero.

1 2 3

Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare una frazione dall’intero e che sottendono il concetto di frazione complementare.

1 2 3

Saper risolvere problemi che richiedono di calcolare un intero partendo dalla frazione.

1 2 3

Definire la proprietà fondamentale delle frazioni.

1 2 3

Saper applicare la proprietà fondamentale delle frazioni.

1 2 3

2 obiettivo non completamente raggiunto

mathabilmente – docente – Aritmetica 1

Classe

3 obiettivo raggiunto

formulario dello studente Nome

Classe

5 numeratore 12 denominatore

Frazioni proprie: le frazioni proprie rappresentano la parte di un intero; in questo caso il numeratore è più piccolo del denominatore.

mathabilmente – studente – Aritmetica 1

❍

unità 4 le frazioni

Aritmetica 1 – Unità 4 Le frazioni

3 5

Frazioni improprie: le frazioni improprie rappresentano più di un intero; in questo caso il numeratore è più grande del denominatore.

5 3

Frazioni apparenti: le frazioni apparenti rappresentano un intero o un suo multiplo; in questo caso il numeratore è uguale al numeratore o è un suo multiplo.

10 5

Proprietà fondamentali delle frazioni Se si moltiplicano o si dividono il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da zero (cioè 1, 2, 3, 4, 5, …) otteniamo una frazione uguale a quella data.

4 4 :2 2 = = 6 6 :2 3

3 3× 2 6 = = 8 8 × 2 16