Teoria dos Jogos na História, nas Estórias, na Vida Real by SitiodoLivro.pt

Brena Paula Magno Fernandez C

BRENA PAULA MAGNO FERNANDEZ

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Possui graduação em Economia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ); especialização em Filosofia econômica pela Fundação Getúlio Vargas – Rio de Janeiro (FGV-RJ); especialização em Lógica, Filosofia Prática e Filosofia económica pela Johann Wolfgang von Goethe Universität Frankfurt, Alemanha; mestrado em Filosofia e doutorado em Ciências Humanas pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC); Pós-Doutorado em Filosofia da Ciência pela Universidade de São Paulo (USP) e Pós-Doutorado em Filosofia da Ação pela Universidade do Porto (U. PORTO), Portugal. Atualmente, é professora do departamento de Economia e Relações Internacionais da Universidade Federal de Santa Catarina.

A teoria dos jogos nasce na década de quarenta do século passado, quando J. Von Neumann em colaboração com O. Morgenstern publicam a obra canónica “Theory of games and economic behavior” (1943). O nosso objetivo neste livro não é o de apresentar uma síntese desta teoria, mas sim o de dar uma ideia das suas múltiplas aplicações práticas, lançando mão de exercícios detalhadamente resolvidos, que modelam situações de natureza variada, começando por acontecimentos históricos, passando por episódios clássicos da ficção, seja do teatro, do cinema, da televisão ou da ópera, chegando finalmente a situações absolutamente quotidianas, como uma briga da namorados, por exemplo.

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Teoria dos Jogos na História, nas Estórias, na Vida Real: 100 exercícios resolvidos

BRENA PAULA MAGNO FERNANDEZ

Teoria dos Jogos na História, nas Estórias, na Vida Real 100 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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FICHA TÉCNICA EDIÇÃO:

edições Ex-Libris ® (Chancela Sítio do Livro) dos Jogos na História, nas Estórias, na Vida Real: 100 exercícios resolvidos AUTORA: Brena Paula Magno Fernandez TÍTULO: Teoria

CAPA:

Ângela Espinha Alda Teixeira

PAGINAÇÃO:

1.ª Edição Lisboa, abril 2018 ISBN:

978-989-8867-20-9 DEPÓSITO LEGAL: 434883/17 © BRENA PAULA MAGNO FERNANDEZ

PUBLICAÇÃO E COMERCIALIZAÇÃO:

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Apoio:

Esta publicação foi financiada com fundos da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) para estágio de pesquisa no Departamento de Filosofia da Universidade do Porto (Processo n° 002627/2015-09).

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ÍNDICE Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 1 – TEORIA DOS JOGOS NA HISTÓRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Jogos de Crises, Disputas, Guerras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Queimar as Naves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Guerra Fria (Forma Estendida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Guerra Fria (Forma Normal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Tortura Nunca Mais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Bomba H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Batalha do Mar de Bismark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7. Crise dos Mísseis de Cuba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8. Tragédia dos Comuns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9. Corrida Armamentista na Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10. Guerra Civil na Líbia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.11. Guerra Civil nos Estados Unidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12. Pilotos de Caça e Bombardeiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.13. Dilema da Zona do Euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.14. Embraer versus Bombardier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15. Processo Antitruste contra Alcoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 16 18 19 22 23 27 29 30 32 39 41 44 46 48

1.2. Jogos de Relatos da História Bíblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Decisão de Salomão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Sansão e Dalila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53

CAPÍTULO 2 – TEORIA DOS JOGOS NAS ESTÓRIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Jogos de Contos, Fábulas, Lendas, Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. O Sapo e o Escorpião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. O Tigre e o Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. O Leão, o Gato e o Rato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. O Gato e o Rato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ulisses e as Sereias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Caça ao Bisonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Sherlock Holmes persegue o Professor Moriarty . . . . . . . . . . . 2.1.8. Lord Stanley e Richard III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9. Tragédia dos Macbeth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 57 59 60 62 64 67 71 74

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2.1.10. Hamlet versus Claudius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Jogos de Cinema, Televisão, Ópera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Indiana Jones e o Cálice Sagrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. James Dean joga o Jogo do Covarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Dr. Strangelove e a Máquina do Fim do Mundo . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Simpsons jogam Pedra, Papel, Tesoura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Tosca e Scarpia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 78 81 82 84 88

CAPÍTULO 3 – TEORIA DOS JOGOS NA VIDA REAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Jogos de Economia/Concorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Aumentando as Vendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Produção de Suco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Sociedade entre Amigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Liquidação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Duopólio do Cimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Padrão Tecnológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Concorrência no Ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. Empréstimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9. Concorrência Imperfeita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10. Coca-Cola versus Guaraná . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.11. Duopólio das Pizzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.12. Monopólio Ameaçado I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.13. Monopólio Ameaçado II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.14. Concorrência Gelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.15. Entrada no Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.16. Duopólio do Petróleo (Irã x Iraque) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.17. Minimax para Redes de Televisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.18. Batalha das Discotecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.19. Comércio Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.20. Cotas da OPEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 92 93 96 97 99 101 102 104 106 107 111 113 116 118 119 121 122 124 125

3.2. Jogos de Comportamento/Relacionamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Eu da Noite versus Eu da Manhã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Viajando Sentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Cruzamento de Trânsito I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Cruzamento de Trânsito II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Casamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Utimatum com o Pacote de Biscoitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2.7. 3.2.8. 3.2.9. 3.2.10. 3.2.11. 3.2.12. 3.2.13. 3.2.14. 3.2.15. 3.2.16. 3.2.17. 3.2.18. 3.2.19. 3.2.20.

Centopeia entre Irmãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arrumando o Quarto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Guerra dos Sexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Promessa ao Filho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briga de Namorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilema do Restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilema do Prisioneiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quando Chegar em Casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecânico de Automóveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiscal de Estacionamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerente e Funcionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sete e Meio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expulsão do Vizinho Malquisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tragédia dos Comuns nos Dias de Hoje . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 143 143 147 148 149 150 153 154 156 159 161 162 165

3.3. Jogos de Racionalidade animal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Presa-predador I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Presa-predador II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Zebra e Crocodilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Guepardo caça Antílope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Pomba e Falcão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Macacos no Coqueiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4 Jogos de Políticas Públicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Mudança Climática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Sistema de Saúde Pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Auditor Fiscal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Política Tributária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Campanha de Vacinação Pública. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5 Jogos de Esportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.5.1. Pênaltis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.5.2. Decisão do U.S. Open . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

CAPÍTULO 4 – EXERCÍCIOS TEÓRICO-CONCEITUAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Jogos Estáticos e Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilíbrios de Nash e Perfeito de Subjogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ameaça Vazia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ameaça Crível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.5. Equilíbrio de Nash e Maximin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Possibilidade de Cooperação no Dilema do Prisioneiro. . . . . . . . . . . . . 4.7. Equilíbrio de Nash com Estratégias Mistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Equilíbrios Críveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Ótimo de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Tit-for-tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Tit-for-tat no Dilema do Prisioneiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Princípio da Dominância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Equilíbrio de Nash com Estratégias Puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Reputação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Jogos Cooperativos e Não-Cooperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Glossário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

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PREFÁCIO A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática com aplicações na análise da tomada de decisão em interações de diferentes tipos, sejam elas competitivas, estritamente competitivas ou cooperativas, sociais, políticas, econômicas ou interpessoais. Ela se volta à modelagem e à resolução de algumas situações (metaforicamente denominadas “jogos”), nas quais interagem duas ou mais partes – que podem ser pessoas, governos, países, partidos políticos, times de futebol, ou até mesmo animais – (denominadas “jogadores”), cada qual tentando escolher entre dois ou mais cursos de ação possíveis (denominados “estratégias”), sendo que a escolha de cada curso de ação por parte de um jogador influencia e é influenciada pela escolha do curso de ação disponível para o(s) outro(s) jogador(es). Além disso, os possíveis resultados de um jogo (denominados “recompensas” ou payoffs) dependem das escolhas feitas por todos os envolvidos: isso é o que se denomina, no jargão da teoria, de “situação estratégica”. Por se tratar de um conceito abstrato e teórico, um “jogo” pode ser modelado e utilizado para interpretar situações tão diversas como conflitos entre países, grupos sociais ou étnicos; políticas de preço ou de expansão de mercado, flutuações no mercado financeiro; políticas de impostos e taxas; políticas sociais e de saúde; campanhas eleitorais e outras disputas de poder entre facções políticas; práticas esportivas; leilões e barganhas; dinâmica do comportamento animal (como a interação entre presas e predadores), ou até mesmo problemas absolutamente corriqueiros, relacionados às nossas preocupações do dia-a-dia, como uma briga de namorados, por exemplo. O mínimo denominador comum que subjaz a todas essas aplicações é a suposição básica de que os decisores – no caso, os nossos “jogadores” – são racionais, no sentido de sempre buscarem os melhores meios (cursos de ação/estratégias) de que dispõem, a fim de conseguirem o melhor resultado (ou a máxima recompensa) possível para si. Nos jogos 2 x 2, dois jogadores com duas estratégias cada, há combinações de estratégias para os jogadores que são, em certo sentido,

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estáveis. Esta estabilidade ocorrerá quando nenhum dos jogadores poderá afastar-se unilateralmente da sua estratégia e com isso obter melhor resultado do que aquele já alcançado. Essa circunstância é conhecida como Equilíbrio de Nash em homenagem a John Nash, o matemático que recebeu o prêmio Nobel de Economia em 1994 por seu trabalho canônico sobre a Teoria dos Jogos. Felizmente, não é necessário um doutoramento em economia ou em matemática para que se entenda como funciona a modelagem da Teoria dos Jogos em circunstâncias reais. O objetivo deste livro é justamente este: apresentar exemplos que utilizem os insights e o instrumental analítico da Teoria dos Jogos em contextos encontráveis no dia-a-dia. Não se trata entretanto de um livro para quem deseje dar os seus primeiros passos na disciplina, mas sim de um material para quem já tenha uma noção geral, seja dos principais conceitos e instrumentos analíticos da teoria, seja das diversas técnicas de resolução dos jogos propriamente ditos, dependendo do tipo de cada jogo – eliminação iterativa das estratégias estritamente dominadas, identificação das melhores respostas de cada jogador ou ainda a indução reversa (backward induction). Nesse sentido, destina-se a um público amplo, que vai de estudantes de nível de graduação de áreas como as ciências políticas, a economia, a história e as relações internacionais, passando pela literatura e alcançando também o leitor culto já formado em outras áreas das ciências sociais ou humanas que já possua os conhecimentos rudimentares de Teoria dos Jogos. O título do livro, Teoria dos Jogos na História, nas estórias, na vida real: 100 exercícios resolvidos, já encerra a sua proposta. Ele objetiva oferecer, sob a forma de exercícios – elaborados com variados graus de dificuldade – e de suas respectivas respostas detalhadamente comentadas, diversos exemplos da Teoria dos Jogos na vida, quer sejam eles relacionados a acontecimentos da História – disputas, contendas e crises políticas/ econômicas, quer a estórias, casos fictícios da literatura, televisão, cinema, ópera ou teatro, quer sejam ainda relacionados a situações absolutamente cotidianas. Estes exercícios começaram a ser elaborados a partir do trabalho iniciado em 2013, quando da redação do livro Teoria dos Jogos: crenças, desejos, escolhas (2014), em que fui coautora com o Professor Duilio de Ávila Bêrni. Para além dos exemplos elaborados para a utilização naquele livro e dos exercícios-extra que foram desenvolvidos, à época, a pedido da Editora Saraiva, os restantes foram sendo criados, traduzidos e/ou

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adaptados de diversos artigos científicos, livros e sites de Teoria dos Jogos – a maior parte dos quais de língua inglesa –, ao longo dos últimos quatro anos. Notas de pé de página indicam os textos originais (ou os links das páginas da internet) onde os exemplos que inspiraram a formulação dos exercícios podem ser encontrados, quando for este o caso. A lista completa das referências utilizadas encontra-se no final do livro. Nos demais casos, trata-se de exercícios elaborados por mim ou então exercícios que são, por assim dizer, clássicos, tendo em vista que se encontram replicados em praticamente todos os livros de Teoria dos Jogos. Em boa medida, a proposta do presente livro vem em resposta a uma necessidade identificada por três dos expoentes da Teoria dos Jogos: Robert Aumann, Roger Myerson e Eric Maskin, sendo o primeiro e os dois últimos respectivamente laureados com os Prêmios Nobel de economia de 2005 e 2007. Durante um Congresso exclusivamente dedicado ao tema (Games 2008: Third World Congress of the Game Theory Society), quando indagados sobre como a Teoria dos Jogos precisaria ainda desenvolver-se, a resposta dos três foi unânime: não havia uma lacuna importante na parte teórica da Teoria dos Jogos, tendo em vista que não existia nenhum problema relevante cuja solução estivesse pendente. Não obstante, os três assinalaram que o grande desafio da atualidade seria transformar a Teoria dos Jogos em um instrumento mais conhecido e disseminado – leia-se, acessível – a um público mais amplo do que o seu público habitual, formado tradicionalmente por matemáticos e economistas. Ou seja, o maior desafio da Teoria dos Jogos seria justamente a sua tradução para as situações pragmáticas! É, portanto, a esse propósito que a presente obra pretende prestar uma contribuição. Chegamos finalmente à parte mais espinhosa da tarefa de apresentação de um livro, que são os agradecimentos. É espinhosa porque o risco de cometermos alguma ingratidão (e o que é pior: por puro esquecimento...) é altíssimo. Mais da metade do material deste livro foi preparada e redigida durante o meu período de pós-doutoramento (agosto de 2015 a fevereiro de 2016), junto ao Instituto de Filosofia da Universidade do Porto. Agradeço imensamente a hospitalidade e a generosidade dos Professores Sofia Miguens – líder do MLAG (Mind, Language, Action Group), grupo de pesquisa que me acolheu – e João Alberto Pinto, com os quais tanto aprendi. Sou também muito grata à amizade, ao convívio e ao trabalho conjunto com os colegas do MLAG, especialmente Luís Veríssimo, Diana Couto e Pedro Borges de Araújo.

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Igualmente importantes para esse projeto foram a liberação para o meu afastamento por parte do Departamento de Economia e Relações Internacionais da UFSC, bem como o apoio financeiro da CAPES para estágio de pesquisa no exterior (Processo n° 002627/2015-09), sem os quais essa obra dificilmente poderia ter sido finalizada dentro do período em que efetivamente foi. Fica aqui registrada também a minha gratidão a todos os meus alunos da disciplina de Teoria dos Jogos, da Graduação e da Pós-graduação de Economia e de Relações Internacionais da UFSC. Last but not least, um agradecimento muito especial ao Professor Duilio de Ávila Bêrni, por intermédio de quem todo o meu envolvimento com a Teoria dos Jogos começou.

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CAPÍTULO 1

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1.1. Jogos de Crises, Disputas, Guerras 1.1.1. Queimar as Naves1. Em 28 de setembro de 1066, William I, duque da Normandia, conhecido como William, o Conquistador, invadiu a ilha onde hoje se localiza a Inglaterra. A reivindicação de William I ao trono inglês devia-se à sua relação familiar com o rei anglo-saxão Eduard, o Confessor, o seu primo de primeiro grau que, não tendo deixado descendência, supostamente teria encorajado-o a assumir o trono. Após a morte de Eduard, William organizou uma grande frota. Ele e os sete mil homens sob o seu comando aportaram os 600 barcos da armada normanda nas praias de Sussex. A primeira árvore decisória, abaixo, retrata o embate com a sua configuração original. Normandos Desembarcam Saxões Fugir

Normandos Fugir

{ 1;2}

Lutar

{ 2;1}

Lutar

Normandos Fugir

{ 1;2}

Lutar

{ 0;0}

Como se pode inferir dos payoffs apresentados, o resultado esperado do iminente confronto não era nada favorável aos interesses do comandante normando. Por isso, ele optou por uma estratégia 1

Exercício elaborado a partir de exemplo apresentado em Bêrni; Fernandez (2013:

172).

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drástica e inusitada, que viria a mudar completamente o curso dos acontecimentos futuros. Ele mandou queimar os seus próprios navios, situação esta representada pela estratégia que aparece como o ramo esquerdo da segunda árvore decisória do jogo, a seguir: Normandos Queimam

Não queimam

Saxões Fugir

Saxões Lutar

Fugir

Normandos

Lutar

{ 2;1}

{ 0;0}

Normandos Fugir { 1;2}

Lutar { 2;1}

Lutar

Normandos Fugir { 1;2}

Lutar { 0;0}

Pede-se: a) Interprete a primeira árvore decisória, procurando explicar o significado das recompensas atribuídas a cada uma das estratégias. b) Utilizando a técnica da indução reversa, explique a conclusão a que William I chegou, bem como a sua decisão de mandar queimar as suas naves. c) Interprete a segunda árvore decisória, em especial o significado das novas recompensas, que aparecem ao pé do seu ramo esquerdo. d) Explique o que são estratégias de compromisso e como elas funcionam, em geral, e no caso particular do jogo Queimar as naves. Resolução: a) William já aportara, os saxões sabiam disso, pois podiam ver as centenas de navios na praia, e precisavam decidir entre duas das estratégias militares da Idade Média: lutar ou fugir. As recompensas eram as seguintes: se ambos os exércitos decidissem lutar, haveria muito derramamento de sangue e todos sairiam feridos, restando a recompensa de 0 para cada um. Se os saxões lutassem e os normandos fugissem, os primeiros ficariam com 2, porque manteriam o domínio das suas terras com certa facilidade, e os combatentes de William ficariam com 1, uma vez que, apesar de derrotados, pelo menos ainda estariam vivos. Se os saxões fugissem,

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obviamente os normandos ficariam e lutariam, porque é muito fácil lutar contra quem está fugindo. Esta situação acarretaria uma recompensa de 2 para os normandos e de 1 para os saxões. Caso saxões e normandos fugissem, os saxões ficariam em melhor situação, com 2, pois manteriam o domínio das suas terras sem ter de lutar, ao passo que os normandos seriam atormentados pela covardia da fuga, mas manteriam uma recompensa de 1 por terem conseguido escapar ilesos. b) Usando a indução reversa, devemos iniciar o raciocínio pelo final da árvore decisória para saber qual será a decisão do último jogador a jogar. Sabendo disso, o primeiro jogador (no caso, William) pode inferir qual será a melhor estratégia para ele próprio. Ao fazer isso, constatamos que o conquistador estava com sérios problemas porque, caso os saxões resolvessem lutar, ele sabia que os seus exércitos fugiriam, pois a recompensa de 1 que receberiam por Fugir era maior do que a recompensa de 0 que ganhariam por ficar e Lutar. E essa não era uma situação confortável para um comandante junto à sua tropa. William imaginou a possibilidade de uma estratégia drástica, que antes não existia e que, caso fosse adotada, faria com que a estratégia indesejável da fuga dos seus comandados, que até aquele momento parecia inevitável, fosse eliminada. c) No ramo esquerdo da segunda árvore decisória, temos a representação da nova alternativa que William I criou. Agora, o ramo direito da árvore representa a alternativa de não queimar os seus próprios navios, mesmo sabendo que os saxões atacariam e que os seus exércitos fugiriam ou, então, queimar seus próprios navios! Se optasse por queimá-los, seguindo o ramo esquerdo da árvore, o jogo se tornaria diferente. Os saxões ainda poderiam escolher entre Lutar ou Fugir, mas os normandos não possuiriam mais nenhuma alternativa: teriam de ficar e Lutar, tendo em vista que voltar para casa a nado estava fora de questão. A partir do momento em que os saxões tivessem notícia de que os normandos tinham queimado as suas naves, eles saberiam que William ficaria e lutaria, isso implicando que eles próprios (os saxões) ganhariam 0 se resolvessem adotar a estratégia Lutar e 1, caso optassem por Fugir. Logo, o pleno uso da racionalidade os levaria a fugir. Já os normandos, sabendo que os saxões fugiriam, lutariam e ganhariam a recompensa de 2. Foi por isso que William optou por queimar as suas naves. d) As chamadas “estratégias de compromisso” são diversos tipos de expedientes que podem ser criados por um jogador para obrigar ou constranger o(s) seu(s) oponente(s) a fazer(em) aquilo que ele quer.

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Em geral, o que as caracteriza não é tanto o fato de elas mudarem o comportamento do próprio agente (obrigando os normandos a lutarem, por exemplo), mas principalmente o fato de mudarem o comportamento da outra parte (os saxões). Estratégias de compromisso não funcionam se o oponente delas não tomar conhecimento. E esta é a razão pela qual os navios tinham de ser queimados. Naquele caso, não bastava que os navios não estivessem mais disponíveis: o imprescindível era que os saxões vissem centenas de grandes fogueiras na praia para saberem que não havia mais a possibilidade de fuga por parte dos normandos e que, com isso, eles próprios tinham sido colocados em uma situação de franca desvantagem. 1.1.2. Guerra Fria (forma estendida). O período histórico compreendido entre o final da Segunda Guerra Mundial (1945) e a extinção da antiga União Soviética (1991) testemunhou um tenso conflito entre as duas superpotências políticas e militares da época, os Estados Unidos e a União Soviética. Este conflito, devido às suas peculiaridades (em especial ao fato de nunca ter havido um confronto armado entre os dois blocos), tornou-se mundialmente conhecido como “Guerra Fria”. Considere então o Jogo Guerra Fria na forma estendida, a partir da seguinte árvore decisória:

União Soviética Mantém o status quo

{ 0;0 }

Não responde

{ 100 ; -20 }

Invade Europa Ocidental

Estados Unidos Usa armas convencionais

{ 50 ; 40 }

Usa armas nucleares

{ -100 ; -100 }

E faça o que se pede: a) Interprete a árvore de decisão, discorrendo sobre os possíveis movimentos do Jogador 1 (União Soviética) e do Jogador 2 (Estados Unidos) em cada um dos nós de decisão.

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b) Mostre como uma ameaça dos Estados Unidos à União Soviética poderia alterar o resultado de equilíbrio do jogo, desenhando outra árvore que represente essa situação alternativa. Resolução: a) Se a União Soviética invadisse a Europa Ocidental, os Estados Unidos sofreriam uma perda de prestígio se não respondessem e aceitassem o fato consumado. Porém, se resolvessem responder com armas convencionais, sofreriam uma derrota militar, graves baixas e, quiçá, uma perda de prestígio ainda maior. Por isso, dadas as circunstâncias expressas no jogo, a resposta que causa menos prejuízo aos Estados Unidos é abandonar a Europa Ocidental à sua própria sorte, perfazendo recompensas de { 100 ; –20 } para os russos e os norteamericanos, respectivamente. Ocorre que esta alternativa estava fora de questão. Era necessário assumir uma mudança drástica de estratégia – lançando mão de uma ameaça crível –, que é representada, no jogo, com a eliminação de algum(ns) ramo(s) da árvore decisória. b) Os Estados Unidos mudariam o jogo, ameaçando a União Soviética nos seguintes termos: caso ela invadisse a Europa, eles iriam retaliar com armas nucleares. Sendo assim, caso a União Soviética entendesse tal ameaça como crível, desapareceriam do jogo os ramos correspondentes às estratégias Não Responde e Armas convencionais, conforme representado abaixo na nova árvore decisória. União SoviéƟca Mantém o status quo

{ 0;0 }

Invade Europa Ocidental

Estados Unidos Usa armas nucleares

{ -100 ; -100 }

Neste segundo caso, os soviéticos obteriam o resultado de –100, caso resolvessem invadir a Europa. Sendo assim, eles optariam por não invadir, aceitando o status quo que garante a ambos os países as recompensas de { 0 ; 0 }, pelo menos.

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1.1.3. Guerra Fria (forma normal). Dois países, EUA e URSS, com arsenais nucleares em número suficiente para se destruírem mutuamente várias vezes, vivem uma situação de confronto político/ militar. Cada um dos países possui duas estratégias para tentar conseguir concessões políticas do seu adversário: Ameaçar ou Não ameaçar usar as suas armas nucleares. Esta descrição também retrata de perto a situação que ficou conhecida como a “Guerra Fria”. Observe a Matriz de recompensas abaixo e faça o que se pede: Jogadores e estratégias

EUA

Ameaça Não ameaça

URSS Ameaça

Não ameaça

-100 ; -100 -10 ; 10

10 ; -10 0;0

a) Analise a matriz, interpretando os payoffs que aparecem em cada um dos quatro quadrantes. b) Elenque os perfis de estratégias preferíveis para cada um dos jogadores. c) Utilizando a técnica dos sublinhados para identificar as melhores respostas de cada um dos jogadores, encontre o(s) Equilíbrio(s) de Nash com estratégia(s) pura(s), caso haja algum. d) Com qual jogo clássico (Dilema dos Prisioneiros, Caça ao Cervo, Guerra dos Sexos ou Jogo do Covarde) a estrutura estratégica do Jogo Guerra Fria se assemelha? Resolução: a) Nesse jogo, caso nenhum dos dois países ameace o outro, a situação internacional permanece estável, sem nenhum ganho ou perda para os EUA ou a URSS (situação retratada no quarto quadrante, abaixo e à direita da matriz de recompensas). Se um dos países ameaça o outro com as suas armas nucleares, enquanto o outro não o imita, o país que adotou a postura ofensiva consegue exercer uma pressão política eficaz, o que se traduz numa recompensa positiva de 10, ao passo que o país que adotou a postura pacífica perde a capacidade de defender os seus interesses na política internacional (ficando um pouco desmoralizado, por assim dizer), o que se traduz na recompensa negativa de -10. As situações deste tipo estão retratadas no segundo e no terceiro quadrantes da matriz de recompensas. Por fim, se ambos ameaçarem

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utilizar os seus arsenais nucleares, o clima de tensão internacional torna-se tão pesado, que bastaria um leve incidente para deflagrar uma guerra termonuclear, com aniquilamento mútuo. Simbolicamente, esta situação dramática está retratada no primeiro quadrante da matriz de recompensas, com payoffs de { -100 ; -100 }, para ambos os jogadores. b) Sendo um país racional, os EUA devem preferir a solução do segundo quadrante à do quarto, a do quarto à do terceiro, e a do terceiro à do primeiro quadrante, que viria em último lugar. Utilizando A para abreviar Ameaça e N para Não ameaça, ordenamos a hierarquia das preferências dos EUA como AN NN NA AA, onde o símbolo “ ” significa “é preferível a”. Já para a URSS, temos que ela prefere a solução do terceiro quadrante à do quarto, a do quarto à do segundo, e a do segundo à do primeiro quadrante, que viria em último lugar. Ordenamos a hierarquia das preferências da URSS também como AN NN NA AA, mas não é difícil entender que diferentes jogos terão as preferências de cada jogador ordenadas de acordo com a magnitude das recompensas que cada estratégia proporcionará, dadas as escolhas do oponente. c) Com o auxílio da técnica dos sublinhados para identificar as melhores respostas de cada jogador, encontramos o seguinte resultado:

Jogadores e estratégias Ameaça EUA

Não ameaça

URSS Ameaça

Não ameaça

-100 ; -100

10 ; -10

-10 ; 10

0;0

O jogo apresenta dois Equilíbrios de Nash com estratégias puras, nomeadamente: { Ameaça ; Não ameaça } e { Não ameaça ; Ameaça }, com payoffs de { 10 ; -10 } e { -10 ; 10 } para EUA e URSS, respectivamente. d) A estrutura estratégica do Jogo Guerra Fria é idêntica àquela do Jogo do Covarde (ou Chicken Game). 1.1.4. Tortura Nunca mais. Assim como Giordano Bruno, Galileu Galilei foi também defensor da teoria heliocêntrica, também conhecida como o “paradigma copernicano”, segundo o qual seria a Terra a mover-se ao redor de um sol estático, e não o inverso, como

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supunha o paradigma ptolomaico (este sim consoante os textos das Sagradas Escrituras). Por conta disso, Galileu foi levado ao Tribunal da Santa Inquisição sob a acusação de heresia (um pecado cometido contra os ensinamentos da Igreja Católica). Considere o Jogo Tortura nunca mais, que representa esta situação histórica, ocorrida em 1633. Observe a árvore decisória apresentada a seguir e faça o que se pede levando em consideração que, no jogo, a ordem das recompensas refere-se ao Papa Urbano VIII, a Galileu Galilei e ao Inquisidor, respectivamente. (Dica: como são três jogadores a jogar, monte duas matrizes de recompensas, com o Inquisidor escolhendo as matrizes, Urbano VIII escolhendo as linhas e Galileu escolhendo as colunas). Urbano Não cita

Cita

{ 3;5;3 }

Galileu Confessa

Não confessa

Inquisidor

{ 5;3; 4}

Tortura

Galileu

Não tortura

{ 2; 4; 2}

Confessa

Não confessa

{ 4; 1;5}

{ 1;2;1}

Pede-se: a) Monte as matrizes de recompensas para a forma normal do jogo. b) Encontre todos os Equilíbrios de Nash com estratégias puras com o auxílio da técnica dos sublinhados para identificar as melhores respostas de cada um dos jogadores. c) Encontre todos os Equilíbrios de Nash perfeitos de subjogos. Resolução: Respostas para a) e b): As matrizes de recompensa do jogo, bem como os Equilíbrios de Nash encontrados são apresentados abaixo:

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Inquisidor: Tortura Jogadores e estratégias Urbano VIII

Galileu Confessa/

Confessa/

NãoConfessa/

Confessa

Não Confessa

Confessa

Não Confessa

Não cita

3;5;3

Cita

5;3;4

4;1;5

1;2;1

Inquisidor: Não tortura Jogadores e Estratégias Urbano VIII

Galileu Confessa/

Confessa/

Não Confessa/

NãoConfessa/

Confessa

Não Confessa

Confessa

Não Confessa

Não cita

3;5;3

Cita

5;3;4

4;1;5

1;2;1

Os Equilíbrios de Nash são: { Não cita ; Não confessa/Não confessa ; Tortura }, { Cita ; Confessa/ Confessa ; Tortura }, { Cita ; Confessa/Não confessa ; Tortura } e { Não cita ; Não confessa/Confessa ; Não tortura }, { Não cita ; Não confessa/ Não confessa ; Não tortura }. c) Em seu último nó de decisão (aquele associado à sequência de decisões Cita→Não confessa→Tortura), Galileu escolhe a estratégia Não confessa. Dada sua escolha, por indução reversa, o Inquisidor decide pela estratégia Não tortura (pois, sendo racional, preferirá a recompensa de 4 que colherá não torturando, que será maior do que a recompensa de 2, que ganharia torturando). No primeiro nó associado a Urbano VIII, quando este escolhe Cita, Galileu escolhe Não confessa. Finalmente, usando este resultado, Urbano VIII prefere não citar, uma vez que a sua recompensa de 3 será maior do que a de 2, caso optasse por citar Galileu. Assim, o único Equilíbrio de Nash perfeito de subjogo é { Não cita ; Não confessa/Confessa ; Não tortura }. d) Existem quatro Equilíbrios de Nash que não são Equilíbrios de Nash perfeitos de subjogo. Nos Equilíbrios de Nash { Não cita ; Não confessa/Não confessa ; Tortura } e { Cita ; Confessa/Não confessa ; Tortura }, o Inquisidor está fazendo uma escolha subótima ao torturar Galileu, tendo em vista que Galileu jogou Não confessa no seu último nó de decisão. Nos Equilíbrios de Nash {Cita ; Confessa/Confessa ; Tortura }

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e { Não cita ; Não confessa/Confessa ; Não tortura} é Galileu quem está tomando a decisão subótima. No seu último nó de decisão, ele deveria jogar Não confessa em vez de Confessa, já que 2 > 1. 1.1.5. Bomba H. Vejamos aqui mais um jogo que modela uma situação estratégica vivida no contexto histórico da Guerra Fria: duas nações rivais, Estados Unidos e União Soviética, precisam decidir se construirão ou não um arsenal de bombas de hidrogênio. Construir um arsenal termonuclear demora anos e pode ser feito em segredo. Cada nação precisa tomar a sua decisão sem conhecer a decisão da outra. Cada nação prefere ser a mais forte, o que ocorrerá se ela construir o arsenal e a outra não. Inversamente, cada uma teme ser a mais fraca, o que ocorrerá se ela não construir o arsenal e a outra o fizer. Não há grande ganho, caso as duas nações optem por construir a Bomba H: cada uma delas ficará mais pobre do que seria o caso se não tivesse construído a bomba. Pior, uma vez construída, há o risco de que a bomba seja de fato usada. Por isso, ninguém mais poderá dormir tranquilo. Neste último caso, as armas que foram construídas para aumentar a segurança provocariam justamente o efeito oposto. Com este cenário em mente, faça o que se pede: a) Elabore uma possível matriz de recompensas para o jogo, atribuindo as recompensas em conformidade com a situação descrita acima. b) Existe alguma estratégia dominante neste jogo? Com o auxílio da técnica dos sublinhados, encontre o seu Equilíbrio de Nash com estratégias puras, caso haja algum. c) Com qual jogo clássico (Dilema do Prisioneiro, Caça ao Cervo, Guerra dos Sexos e Jogo do Covarde) este se parece? Por quê? Resolução: a) A matriz de recompensas para este jogo poderia ser, por exemplo, esta: Jogadores e estratégias Não constrói Bomba H EUA Constrói Bomba H

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URSS Não constrói Bomba H Constrói Bomba H 1;1

-1 ; 2

2 ; -1

0;0

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b) Construir a Bomba H é uma estratégia estritamente dominante, tanto para os EUA quanto para a URSS. Com a ajuda da técnica dos sublinhados, destacamos as melhores respostas de cada jogador, face as possíveis escolhas do seu oponente. Temos então que o Equilíbrio de Nash dar-se-á com as estratégias { Constói; Constrói }, com payoffs de { 0 ; 0 } para cada uma das superpotências, como podemos observar abaixo: Jogadores e estratégias Não constrói Bomba H EUA Constrói Bomba H

URSS Não constrói Bomba H Constrói Bomba H 1; 1

-1 ; 2

2 ; -1

0;0

c) No Jogo Bomba H, ambos os jogadores, ao tentarem maximizar os seus interesses próprios, acabarão numa situação pior do que aquela que estariam caso não o tivessem feito. Tal como acontece no clássico Jogo Dilema do Prisioneiro, aqui também o Equilíbrio de Nash dá-se numa situação que é subótima (ou “Pareto-dominada”). 1.1.6. Batalha no Mar de Bismark. Vejamos um jogo nomeado em função da massa de água no sudoeste do Oceano Pacífico perto de Papua – Nova Guiné. Trata-se de um famoso conflito naval ocorrido em dezembro de 1942, durante a Segunda Guerra Mundial. Naquela ocasião, um almirante japonês foi encarregado do transporte de 100.000 soldados de postos da China ocupada e do Japão para a Nova Guiné, a fim de reforçar as suas tropas naquela localidade. A manobra completa demoraria 3 dias. Um dado importante da situação era o fato de que o comboio japonês dispunha de duas rotas alternativas: a rota sul, que apresentava tempo bom e excelente visibilidade e a rota norte, que apresentava mau tempo e neblina, com baixa visibilidade. A força aérea dos Estados Unidos não sabia qual rota os japoneses iriam escolher. Os norte-americanos tinham então que enviar aviões de reconhecimento, mas dispunham de recursos suficientes para explorar apenas uma rota de cada vez. Se o comboio japonês estivesse na rota que os norte-americanos escolhessem para explorar em primeiro lugar, os EUA poderiam enviar bombardeiros imediatamente; se não, um dia de bombardeio teria sido perdido pelos americanos. Os aliados também sabiam que, caso os japoneses tivessem escolhido a rota sul e fossem localizados de imediato, o bom tempo permitiria três dias

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de bombardeios. Porém, caso os japoneses tivessem escolhido a rota norte, mesmo que os aliados conseguissem localizá-los no primeiro dia de buscas, o mau tempo permitiria apenas dois dias de bombardeios. Com essa situação em tela, resolva os exercícios propostos: a) Explique que tipo de jogo é este. Elabore a sua matriz de recompensas com base na informação acerca do número de dias de bombardeio, para cada uma das quatro situações possíveis. b) Explicite quais as melhores e as piores situações, para aliados e japoneses. c) Encontre o Equilíbrio de Nash do jogo por meio da eliminação das estratégias dominadas. Discorra sobre os problemas envolvidos neste método, em geral, e para este jogo em particular. d) Utilizando as regras minimax e maximin, resolva o jogo. Aponte qual é o seu equilíbrio em ponto de sela. Resolução: a) Os japoneses tinham de escolher o seu percurso sem saber qual direção os americanos iriam tomar, e os americanos tiveram de escolher a direção do seu reconhecimento inicial sem saber por qual rota os japoneses tinham seguido. Por isso, sabemos que este é um jogo simultâneo. Utilizando as informações acima, ele pode ser representado por meio da seguinte matriz de recompensas, onde os payoffs para ambos os jogadores expressam dias de bombardeio (realizados ou sofridos): Jogadores e estratégias Norte-americanos

Sul Norte

Japoneses Sul Norte 3 ; -3 1 ; -1 2 ; -2 2 ; -2

Dadas as características apresentadas no enunciado, podemos também inferir que se trata de um jogo estritamente competitivo, também chamado de jogo de soma zero. Neste tipo de jogo, aquilo que um jogador ganha será exatamente igual àquilo que o outro perde. Como os valores absolutos das recompensas do jogador da linha e do jogador da coluna se repetem nos jogos de soma zero, é usual representá-los com o auxílio de matrizes onde apenas o valor positivo das recompensas é apresentado em cada quadrante, como se vê abaixo:

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Jogadores e estratégias Norte-americanos

Sul Norte

Japoneses Sul Norte 3 1 2 2

b) Para os Aliados: • A melhor situação para as forças aliadas ocorreria caso elas

enviassem os seus aviões para a rota sul e os japoneses tivessem de fato seguido por essa rota, o que lhes garantiria 3 dias de bombardeio. • A pior situação para as forças aliadas, por sua vez, aconteceria caso os japoneses tivessem seguido pela rota norte e os seus próprios aviões de reconhecimento fossem enviados no primeiro dia para a rota sul: os aliados perderiam um dia por terem enviado os aviões para a rota errada e mais outro dia pelo mau tempo na rota norte. Para os japoneses: • A pior situação para os japoneses equivale à melhor situação

dos aliados: caso eles tivessem seguido pela rota sul e os aviões de reconhecimento fossem enviados no primeiro dia também para a mesma direção. • A melhor situação: a rota norte seria a melhor escolha para os japoneses, caso os aliados escolhessem o sul e seria uma opção tão boa quanto a rota sul, caso os aliados escolhessem seguir pelo norte. c) Neste jogo, os norte-americanos não possuem uma estratégia dominante, mas os japoneses têm uma estratégia fracamente dominante disponível, que é ir para o norte (os payoffs que receberão são melhores caso os aliados sigam pela rota sul, e tão bons quanto receberiam caso tivessem seguido pela rota sul, caso os aliados sigam pela rota norte). Uma vez que apenas um dos jogadores tem uma estratégia dominante, não há equilíbrio com estratégia dominante. Devemos então prosseguir eliminando a estratégia dominada. Como já mencionado anteriormente, a estratégia japonesa Norte domina fracamente a estratégia Sul. Portanto, podemos eliminar a estratégia Sul para os japoneses.

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Jogadores e estratégias Norte-americanos

Sul Norte

Japoneses Sul

Norte

3 ; -3 2 ; -2

1 ; -1 2 ; -2

Agora que nós consideramos que os japoneses seguirão pelo Norte, percebemos claramente que a estratégia Norte dos aliados tornou-se uma estratégia estritamente dominante sobre a estratégia Sul, que também deverá ser eliminada. Jogadores e estratégias Norte-americanos

Sul Norte

Japoneses Sul Norte 3 ; -3 1 ; -1 2 ; -2 2 ; -2

Deste modo, temos que { Norte ; Norte} é o equilíbrio de dominância fraca, com recompensas de { 2 ; -2 } para as forças aliadas e para os japoneses, respectivamente. O principal problema que envolve a técnica da eliminação iterada de estratégias dominadas (especificamente, a eliminação de estratégias fracamente dominadas) é que algum Equilíbrio de Nash pode ser inadvertidamente eliminado. No caso do jogo ora em pauta, tal não ocorreu. Porém, pode-se perceber que, com esse tipo de resolução, o jogo perdeu a sua natureza estratégica. d) Resolução do Jogo para o jogador da coluna (pela regra Minimax): Examinamos agora as maiores recompensas em cada coluna, considerando todas as linhas. Temos então que: • Na primeira coluna: { Sul ; Sul } = 3 e • Na segunda coluna:{ Norte ; Norte } = 2. Japoneses

Jogadores e estratégias Norte-americanos

Sul Norte

Sul

Norte

3 2

1 2

O passo seguinte é encontrar a menor entre essas duas recompensas. Com os valores acima, é fácil concluir que se trata de 2. A recompensa

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de 2, que corresponde à combinação de estratégias em que os norteamericanos iniciam a busca pelo norte no primeiro dia e o comboio japonês escolhe a rota norte, é o valor Minimax do jogo da Batalha do Mar de Bismarck: é o valor que representa o mínimo dano que o comboio japonês pode garantir para si, dadas as suas opções e as opções dos aliados. Resolução do Jogo para o jogador da linha (pela regra Maximin): Examinamos agora as menores recompensas em cada linha, considerando todas as colunas. Temos então que: • Na primeira linha: { Sul ; Norte } = 1 e • Na segunda linha: { Norte ; Sul } ou { Norte ; Norte } = 2. Precisamos encontrar a maior dentre essas recompensas, i.e. devemos identificar o valor máximo entre os mínimos, ou valor Maximin. Trata-se, naturalmente, do valor de recompensa que se encontra { Norte ; Sul } ou { Norte ; Norte } = 2. A recompensa de 2, que corresponde tanto à combinação de estratégias em que os aliados iniciam a busca pelo norte e o comboio japonês escolhe o sul, quanto à combinação de estratégias em que os aliados e o comboio escolhem o norte, é o valor maximin do jogo da Batalha do Mar de Bismarck. É o valor que representa o máximo dano que os aliados podem garantir, dadas as suas opções e as opções da marinha japonesa. Quando as escolhas baseadas nesses critérios de segurança coincidem, ou seja, quando a combinação de estratégias para as quais o máximo entre os mínimos que o jogador nas linhas pode obter for a mesma para a qual o jogador nas colunas obtém o mínimo entre os máximos; temos o equilíbrio em ponto de sela do jogo, que também é um Equilíbrio de Nash. No caso do jogo da Batalha do Mar de Bismarck, o equilíbrio em ponto de sela ocorrerá no quarto quadrante, com o perfil de estratégias { Norte ; Norte } e recompensas de { 2 ; -2 } para os Estados Unidos e os japoneses, respectivamente. 1.1.7. Crise dos Mísseis de Cuba. O conflito modelado por este jogo ocorreu em outubro de 1962, envolvendo os Estados Unidos e a então União Soviética, e levou o mundo à beira de um holocausto nuclear. A crise foi precipitada pela descoberta de plataformas de mísseis nucleares soviéticos em Cuba. As duas principais estratégias consideradas pelos Estados Unidos eram montar um Bloqueio naval à ilha ou então lançar um Ataque aéreo para destruir os mísseis. Já

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os líderes soviéticos, por sua vez, podiam optar entre as estratégias de Retirar de lá ou então de Manter os seus mísseis aonde estavavam. No evento histórico real, os Estados Unidos escolheram o Bloqueio naval e a União Soviética escolheu Retirar os seus mísseis. Em 28 de Outubro 1962, a crise terminou e o perigo imediato de uma guerra termonuclear foi evitado. Considere a seguinte matriz de recompensas, que representa a situação referida. Jogadores e estratégias Estados Bloqueio Unidos Ataque

Cuba Retirar 3;3 4;2

Manter 2;4 -5 ; -5

E responda as questões abaixo: a) Com o auxílio da técnica dos sublinhados para identificar as melhores respostas de cada jogador frente as estratégias do seu oponente, resolva o jogo apontando o seu Equilíbrio de Nash com estratégias puras. Compare esse resultado com o desfecho histórico da crise. Com qual jogo clássico (Dilema do Prisioneiro, Caça ao Cervo, Jogo do Covarde, Guerra dos Sexos) este jogo se parece? Comente a sua resposta. b) Para além desta situação de conflito bélico, aponte algum outro caso (no mundo dos negócios, por exemplo), em que a mesma estrutura estratégica poderia ser utilizada. Resolução: a) Utilizando a técnica dos sublinhados para destacar as melhores respostas de cada jogador frente às opções do adversário, temos o seguinte: Jogadores e estratégias Estados Bloqueio Unidos Ataque

Cuba Retirar 3;3 4;2

Manter 2;4 -5 ; -5

Existem dois Equilíbrios de Nash com estratégias puras para esse jogo, nomeadamente: { Ataque ; Retirar } e { Bloqueio ; Manter }, com recompensas de { 4 ; 2 } e { 2 ; 4 } para Estados Unidos e Cuba, respectivamente. A solução histórica factual do conflito ocorreu em um dos

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Equilíbrios de Nash possíveis. Não obstante, algo poderia ter dado errado e ambos os jogadores poderiam terminar na pior situação possível para ambos, com recompensas de { -5 ; -5 }. De fato, não há solução racional completamente convincente para tais disputas, ou para outras interações estratégicas do tipo representado pelo Jogo do Covarde, como é o caso do jogo Crise dos Mísseis de Cuba. b) Essa mesma estrutura estratégica está subjacente, por exemplo, a muitas disputas industriais em que qualquer falha de gestão pode conduzir a um resultado péssimo para ambos os lados, como as falências das empresas (situação essa representada no quarto quadrante da matriz de recompensas, como vimos). 1.1.8. Tragédia dos Comuns (Tragedy of the Commons). Nas aldeias medievais, era comum a posse coletiva da terra (a expressão commons é usada no sentido de “público”). Assim, diversos pastores que viviam em alguma aldeia próxima a campos relvados criavam os seus animais nessas terras comunitárias. Se um ou dois criadores aumentassem os seus rebanhos em um ou dois animais, as terras comuns poderiam acolhê-los, sem maiores riscos de superpopulação. Todavia, se todos os outros campônios decidissem também expandir os seus pequenos rebanhos, a recuperação natural das pastagens relvadas não ocorria a contento, criando problemas de alimentação para todos os animais da aldeia. Analise a matriz de recompensas do jogo e resolva o exercício a seguir: Jogadores e estratégias

Pastor1

Colocar +1 Não colocar +1

Todos os demais pastores Colocar +1 Não colocar +1 3;3 10 ; 2 2 ; 10 5;5

Pede-se: a) Determine o Equilíbrio de Nash do jogo com o auxílio da técnica dos sublinhados para a identificação das melhores respostas. Comente o resultado a que chegou explicitando qual situação estratégica clássica é retratada por este jogo. b) Quais outras situações atuais poderiam ser modeladas por esta estrutura de jogo?

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Resolução: a) O único Equilíbrio de Nash com estratégias puras é o perfil de estratégias { Colocar +1; Colocar +1 }, com payoffs de { 3 ; 3 } para o Pastor 1 e todos os demais pastores, respectivamente.

Jogadores e estratégias

Pastor1

Colocar +1 Não colocar +1

Todos os demais pastores Colocar +1 Não colocar +1 3;3 10 ; 2 2 ; 10 5;5

A pastagem é ligeiramente degradada por cada animal adicional. Individualmente, o pastor ganha todas as vantagens de colocar um animal a mais para pastar, mas as desvantagens são compartilhados entre todos que utilizam a pastagem. Vários jogos compartilham esta mesma característica ou esta mesma situação estratégica, que se tornou clássica com o jogo Dilema do Prisioneiro. Trata-se dos casos em que o comportamento racional, egoísta e maximizador da utilidade, adotado por cada um dos jogadores individualmente acaba por acarretar resultados menos favoráveis coletivamente. No Dilema do Prisioneiro, o único Equilíbrio de Nash é conseguido quando ambos os jogadores optam pela estratégia Desertar, ao passo que o melhor seria se eles pudessem cooperar entre si. Já na Tragédia dos Comuns, o único Equilíbrio de Nash é { Colocar +1 ; Colocar +1 }, ao passo que, para todos os camponeses envolvidos, seria melhor se eles concordassem em não colocar mais ovelhas para pastar no relvado. b) Outros exemplos de situações que poderiam ser modeladas com a mesma estrutura do jogo: pode-se considerar a atmosfera, os oceanos, os rios, os parques nacionais como exemplos de bens comuns contemporâneos. Usar estes recursos de forma indiscriminada é equivalente a uma tragédia dos comuns nos dias de hoje. 1.1.9. Corrida Armamentista na Antiguidade. As chamadas Guerras Púnicas consistiram de uma série de conflitos bélicos pela hegemonia econômica, política e militar sobre o Mediterrâneo ocidental, que opuseram Roma e a República de Cartago no período compreendido entre 264 a.C. e 146 a.C.. Depois de quase um século de lutas, ao fim das Guerras Púnicas, Cartago foi totalmente destruída e

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Roma passou a dominar o mar Mediterrâneo. Observe a matriz de recompensas abaixo e faça o que se pede: Jogadores e estratégias Roma

Arma-se Desarma-se

Cartago Arma-se Desarma-se 1;1 3;0 0;3 2;2

Responda as questões: a) Ordene os perfis de estratégias com relação à preferência dos jogadores. b) Existe alguma estratégia dominante no jogo Corrida Armamentista na Antiguidade? Encontre o Equilíbrio de Nash com estratégias puras para o jogo. Analise o resultado e comente a sua resposta. Resolução: a) Estando diante de um jogo simétrico, a ordenação dos quadrantes quanto às preferências dos litigantes é a mesma. Sendo as estratégias Arma-se, A, ou Desarma-se, D, temos a ordenação das estratégias preferíveis tanto para Roma quanto para Cartago dadas por AD DD AA DA. b) Assim como no jogo Corrida Armamentista original, também na Corrida Armamentista na Antiguidade existe uma estratégia dominante para cada um dos jogadores, nomeadamente a estratégia Arma-se. Sendo assim, ambos os jogadores irão preferir armar-se, independentemente daquilo que o seu oponente escolher. Com o auxílio da técnica dos sublinhados para a identificação das melhores respostas de cada jogador, vemos que o Equilíbrio de Nash se dará no primeiro quadrante, com recompensas de { 1 ; 1 }, tanto para Roma quanto para Cartago. Jogadores e estratégias Roma

Arma-se Desarma-se

Cartago Arma-se Desarma-se 1;1 3;0 0;3 2;2

Observando a estrutura estratégica do jogo, percebemos que se trata também aqui de uma situação do mesmo tipo daquela retratada no jogo Dilema do Prisioneiro, na qual a impossibilidade de cooperar acaba por aprisionar os jogadores em uma situação subótima.

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1.1.10. Guerra Civil na Líbia2. Este jogo trata do conflito ocorrido na Líbia entre 2011 e 2014. Os protestos da oposição tiveram início no leste do país, onde a popularidade do ditador Muammar Gaddafi é historicamente mais baixa. As cidades de Benghazi, Toro e Derma foram tomadas pelos oposicionistas. Também outras cidades mais próximas à capital, Trípoli, como Minsratah e Zawiya ficaram sob o controle dos rebeldes. A dura repressão às manifestações provocou milhares de mortes e a situação evoluiu para uma conjuntura que pode ser caracterizada como uma guerra civil. Liderados pelos EUA, diversos países começaram a protestar e a exigir a saída imediata de Gaddafi do poder, o que desencadeou a intervenção militar das Nações Unidas sobre a Líbia, culminando com a derrubada do governo de Muammar Gaddafi. A árvore decisória abaixo delineia um jogo que representa as linhas gerais da guerra (sendo que a variável c representa o custo da guerra). Analise-a cuidadosamente e resolva os exercícios propostos na sequência: Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Perdoar

Punir

{ 0;1}

{ -1 ; 2 }

Rebeldes Renderem-se

Manterem-se firmes

Guerra

Gaddafi Perdoar

Punir

{ 1;0}

{ 2 ; -1 }

0,5

Rebeldes

Gaddafi

Perdo

{ 1- c ; 0 }

0,5

Punir

Perdoar

Punir

{ 2 -c ; 1 }

{ 0 ; 1- c }

{ -1 ; 1- c }

Exercício elaborado a partir de exemplo apresentado por Spaniel (2011).

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Faça o que se pede: a) Interprete os ramos decisórios da árvore, bem como os payoffs relacionados a cada estratégia possível, para cada um dos jogadores. b) Encontre o Equilíbrio de Nash do jogo com o auxílio da técnica da indução reversa. Caso necessário, redesenhe a árvore decisória para fins de maior clareza da resposta. c) Comente as consequências políticas do resultado de equilíbrio encontrado. Resolução: a) Primeiro movimento do jogo: Gaddafi é o primeiro a se movimentar no jogo e pode optar entre as estratégias Render-se aos rebeldes ou Manter-se firme. Segundo movimento do jogo: • Caso Gaddafi se renda: É a vez dos rebeldes, que podem escolher entre as estratégias Punir (e, no pior dos casos, matar) ou então Perdoar Gaddafi. • Caso Gaddafi mantenha-se firme: Nesse caso, os rebeldes podem Render-se ou então também Manterem-se firmes, insistindo em continuar o conflito. Terceiro Movimento do jogo: Gaddafi volta a jogar: • Caso os rebeldes se rendam: Gaddafi pode perdoá-los ou puni-los (o que provavelmente significaria a sua execução). • Caso os rebeldes mantenham-se firmes: Se ambos os jogadores mantiverem-se firmes, optando por continuar o conflito (seguindo pelos ramos decisórios que se encontram mais à direita da árvore), teremos como resultado uma GUERRA, com probabilidades de vitória de 50 por cento para cada uma das partes. Assumimos que existe um “custo de guerra” (c) para o vencedor, independentemente de qual lado ganhe a batalha. Isto porque qualquer situação bélica envolve de fato custos como, por exemplo, o de formar e treinar soldados, comprar armamentos, munições, etc. Para simplificar, fazemos c=1. Calculando os payoffs do lado direito da árvore, temos a seguinte situação:

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Gaddafi

Guerra

Perdoar

Punir

{ 1;0}

{ 2 ; -1 }

0,5

0,5 Rebeldes

Gaddafi

Perdoar

{ 0;0}

Punir

Perdoar

{ 1 ; -1 }

{ 0;0}

Punir

{ -1 ; 1}

b) A fim de solucionar o jogo por meio da técnica da indução reversa, precisamos, por assim dizer, começar pelo seu ”fim”, analisando as recompensas dos últimos jogadores de cada ramo da árvore. Começando a nossa análise pelo lado esquerdo da árvore, que representa a circunstância segundo a qual Gaddafi opta pela estratégia Render-se, vemos claramente que os rebeldes optarão pela estratégia Punir, pois o payoff de 2 que eles colhem ao fazê-lo é maior do que o de 1, caso resolvessem perdoá-lo. Para fins de simplificação e maior clareza na visualização do resultado, podemos eliminar esse ramo da árvore decisória, já que constatamos que esse caminho não será seguido. Mantemos apenas o ramo da árvore que representa a estratégia Punir, aquela que prevalecerá, e que fica registrada no gráfico reformulado abaixo: Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

Rebeldes Renderem-se

{ -1 ; 2 }

Gaddafi Perdoar

Punir

{ 1;0}

{ 2 ; -1 }

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Manterem-se firmes

Guerra 0,5

0,5

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Analisemos agora o lado direito da árvore, ou seja, quando Gaddafi opta pela estratégia Manter-se firme e quando os rebeldes, em seguida, escolhem a estratégia Renderem-se, seguindo o ramo à esquerda da árvore. Nesse caso, na rodada seguinte, Gaddafi pode Perdoar ou Punir. Observando os payoffs, chegamos à conclusão que o ditador líbio inequivocamente optará por punir os rebeldes, tendo em vista que 2 > 1, sendo 1 a recompensa que ele obteria caso resolvesse perdoá-los. Podemos então uma vez mais suprimir o ramo da árvore que representa a estratégia Perdoar e teremos agora a seguinte árvore simplificada: Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

Rebeldes Renderem-se

{ -1 ; 2 }

Gaddafi Punir

Manterem-se firmes

Guerra 0,5

0,5

{ 2 ; -1 }

Seguindo agora pelo ramo direito, aquele que representa a alternativa estratégica segundo a qual os rebeldes resolvem Manterem-se firmes quando Gaddafi escolhe Manter-se firme, temos como consequência a Guerra Civil, com chances de vitória de 50 por cento para cada lado. Começando novamente pelo lado esquerdo desse subjogo, ou seja, pelo ramo que representa a circunstância na qual Gaddafi vence a guerra e em seguida tem a opção de Perdoar ou Punir os revoltosos, vemos que ele novamente optará pela estratégia Punir, pois comparando as recompensas entre Punir e Perdoar, temos que 1 > 0.

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Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

Rebeldes Renderem-se

{ -1 ; 2 }

Manterem-se firmes

Gaddafi

Guerra

Punir

0,5

{ 2 ; -1 }

0,5

Gaddafi

Perdoar

Rebeldes Punir

{ 0;0}

{ 1 ; -1 }

Apagamos então também este ramo referente à estratégia Perdoar da árvore decisória, ficando com a seguinte situação:

Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

{ -1 ; 2 }

Rebeldes Renderem-se

Manterem-se firmes

Gaddafi Punir

{ 2 ; -1 }

Guerra 0,5

Gaddafi

0,5

Rebeldes

Punir { 1 ; -1 }

Vejamos agora o último subjogo da árvore decisória, nomeadamente aquele que representa o caso em que os Rebeldes vencem a guerra e precisam decidir entre as estratégias Perdoar ou Punir Gaddafi.

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Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes

Punir

Renderem-se

{ -1 ; 2 }

Manterem-se firmes

Gaddafi

Guerra

Punir

0,5

{ 2 ; -1 }

0,5

Gaddafi

Rebeldes

Punir

Perdoar

Punir

{ 0;0}

{ -1 ; 1 }

{ 1 ; -1 }

Fica claro que, para o jogador da vez, a estratégia Perdoar é sempre dominada pela estratégia Punir, tendo em vista que também aqui as recompensas são de 1 para Punir e de 0 para Perdoar. Por isso, os Rebeldes optarão por Punir Gaddafi. Eliminando mais esse ramo Perdoar da árvore decisória, temos a seguinte versão simplificada da figura: Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

{ -1 ; 2 }

Rebeldes Renderem-se

Manterem-se firmes

Gaddafi

Guerra

Punir

{ 2 ; -1 }

0,5

Gaddafi

Punir { 1 ; -1 }

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0,5

Rebeldes Punir { -1 ; 1 }

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Agora precisamos calcular as reais recompensas tanto para Gaddafi quanto para os Rebeldes no caso de Guerra. Para isso, basta multiplicar os payoffs de cada jogador pelas probabilidades de vitória atribuídas a cada um. • Para Gadaffi, teremos (0,5 x 1) + (0,5 x -1) = 0 • Para os Rebeldes, do mesmo modo, teremos (0,5 x -1) + (0,5 x 1) =0 Utilizando o raciocínio da backward induction, precisamos começar analisando os payoffs que aparecem no final da árvore. Isso porque o primeiro jogador, no caso Gadaffi, precisa discernir qual será a ação escolhida pelo seu oponente para que ele próprio possa calcular qual será a sua melhor escolha possível. Analisando as recompensas dos Rebeldes, no caso em que ambos os jogadores tenham optado por Manterem-se firmes, verificamos que eles obtêm a recompensa de 0. Caso os Rebeldes resolvam Renderem-se, no entanto, o seu payoff será de -1. Como 0 > -1, os Rebeldes obviamente decidirão por Manterem-se firmes. Sabendo disso, Gaddafi compara a recompensa que ele próprio colherá caso também opte pela estratégia Manter-se firme (que também será de 0) com aquela que obteria caso resolvesse Render-se, ou seja. -1. Novamente, como 0 > -1, Gaddafi também decidirá pela estratégia Manter-se firme. Logo, segundo as regras da indução reversa, o caminho que será efetivamente percorrido por Gaddafi e pelos Rebeldes aparece frisado na árvore decisória que foi apresentada abaixo: Gadaffi Render-se

Manter-se firme

Rebeldes Punir

Rebeldes Renderem-se

{ -1 ; 2 }

Gaddafi

Manterem-se firmes

[ 0;0}

Punir

{ 2 ; -1 }

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Esse caminho desemboca no Equilíbrio de Nash do jogo, que será aquele representado pelo perfil de estratégias { Manter-se firme ; Manterem-se firmes }, com payoffs de { 0 ; 0 } para ambos, Gaddafi e os Rebeldes. c) Algumas lições e consequências políticas que podemos tirar deste jogo são as seguintes: c.1) O vencedor não se pode comprometer a não punir o derrotado, pois as recompensas do jogo não apontam para essa possibilidade. Se ele assim o fizesse, seria o caso de uma promessa não crível (conversa fiada). Por isso, um acordo de paz dificilmente poderá ser selado em circunstâncias como estas. c.2) Como consequência da impossibilidade apontada em c.1), de modo similar à maioria das Guerras Civis, a Guerra da Líbia provavelmente não acabará enquanto uma das partes não tiver sido completamente derrotada do ponto de vista militar. c.3) Por estes motivos apontados, esse tipo de conflito em geral tende a estender-se por um longo período de tempo. 1.1.11. Guerra Civil nos Estados Unidos3. O conflito entre a União e a Confederação que ocorreu nos Estados Unidos da América em 1861 e que precedeu a guerra civil naquele país pode ser modelado como um jogo 2x2 e representado pela matriz de recompensas que apresentamos a seguir. A principal questão da contenda era a manutenção ou não da escravidão nos Estados Unidos. Por isso, cada parte poderia optar por uma das estratégias Comprometer-se ou Não se comprometer com a manutenção do regime escravocrata, sendo que o sentido mais sutil da adoção de cada estratégia por cada um dos jogadores era o seguinte: 1. Para a União: Comprometer-se significava permitir à Confederação a manutenção da escravidão e negociar a sua permissão em outros territórios, ao passo que a estratégia Não se comprometer significava exigir a imediata abolição da escravatura. 2. Para a Confederação: Comprometer-se significava aceitar restrições à escravatura fora do Sul, ao passo que Não se comprometer significava reivindicar o direito de manter escravos nos Estados

Exercício elaborado a partir de exemplo apresentado em Brams (2012: 201-3).

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