Mate 8

82

17

26

3 Pendulum 7 45

35-

5

π

7 361 8

9

4

8º 1+3 7

4 4 2 2 97

9 Develando 9 7 laRealidad 7 6 3 1

4

π

5 1 1

4

7

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_

_

5

3

SIWÖ EDITORIAL

B

6

Título: Pendulum 8°: Develando la realidad Diseño de portada: Jason Mora Jiménez Diagramación: Dilcia Muñoz Vargas.

Departamento de Investigación y Producción Siwö Editorial Autor: Mauricio José Ramírez Herrera Editora: Adriana Ramírez Ramírez Coeditor: Gerardo Masis Fallas 510.7 R-173-p Ramírez Herrera, Mauricio José.

VIII Pendulum 8° : develando la realidad / Mauricio Ramírez. – 1ª ed. – San José, C. R. : Siwö Editorial, 2015.

168 p. : 8.5X11 cm.

ISBN 1.

2.

978-9968-694-50-6

MATEMÁTICAS – ESTUDIO Y ENSEÑANZA MATEMÁTICAS – LIBROS DE TEXTO I. Título

Impreso por Cóndor Editores Cartago, Costa Rica Primera edición, 5000 ejemplares Reservados todos los derechos. No se permite reproducir, almacenar en sistemas de recuperación de este texto ni transmitir la totalidad o alguna parte de esta publicación, cualquiera que sea el medio empleado -electrónico, mecánico, fotocopia, grabación, etc.-, sin el permiso por escrito de los titulares de los derechos de la propiedad intelectual.

Tabla de contenidos Unidad 1 NÚMEROS RACIONALES ............4 Números Racionales, un poco de historia .........5 Problema Inicial 1 .............................................6 Números Racionales..........................................7 Repaso de Conceptos.......................................7 Simplificación de las fracciones.........................8 Representación de las fracciones.....................9 Números Racionales.......................................11

Unidad 2 GEOMETRÍA ...............................30 Geometría, un poco de historia........................31 Problema Inicial 2 ...........................................32 Transformaciones Geométricas.......................33 Semejanza de Triángulos................................36 Criterios de Semejanza....................................38 Criterio Lado Lado Lado (L.L.L).......................38

La recta numérica en los números racionales..11

Criterio Ángulo Ángulo Ángulo (A.A.A)............40

Relaciones de orden en Q...............................11

Criterio Lado Ángulo Lado L.A.L......................41

Operaciones con Números Racionales..........14

Resolución de Triángulos Semejantes.............43

Suma o Resta de Números Racionales..........14

Congruencia de Triángulos .............................54

Multiplicación de Números Racionales...........15

Criterios de congruencia..................................54

División de Números Racionales....................16

Criterio Lado Lado Lado (L.L.L.)......................54

Potencias en los Números Racionales...........17 Leyes

de

Potencias

para

los

Números

Racionales.......................................................18 Potencias en los Números Racionales............19 Radicación de un Número Racional................24 Operaciones

Combinadas

con

números

racionales........................................................26

Criterio Lado Ángulo Lado L.A.L......................55 Criterio Ángulo Lado Ángulo A.L.A..................56 Resolución de Triángulos aplicando Congruencia....................................................59 Teorema de Thales..........................................62 Teorema — Segundo Teorema de Thales.......65

de

Sólidos Geométricos........................................68

agrupación......................................................27

Pirámides.........................................................69

Operaciones

combinadas

con

signos

Secciones Planas............................................70

Unidad 3 ÁLGEBRA ...................................72 Álgebra, un poco de historia.............................73 Problema inicial 3............................................74 Función Lineal.................................................75 Representación de una función lineal.............77 Representación Algebraica .............................77 Representación Tabular...................................77 Representación Gráfica...................................77 Álgebra............................................................79 Conceptos básicos..........................................79 Potencias en álgebra.......................................80 Valor Numérico................................................82 Clasificación de las expresiones algebraicas...86 Monomio .........................................................86 Binomio ..........................................................86 Trinomio ..........................................................86 Polinomio ........................................................87 Grado de un monomio.....................................88 Grado de un polinomio....................................88 Monomios Semejantes....................................89 Operaciones con Monomios y Polinomios.......91 Suma o resta de monomios semejantes.........91 Suma o Resta de Polinomios..........................94 Multiplicación de Monomios............................98 Multiplicación de un polinomio por un monomio.............................................100 Multiplicación de Polinomios..........................103 Productos Notables........................................105 División de monomios....................................110 División de Polinomio entre Monomio............112 Ecuaciones....................................................122 Ecuaciones de primer grado con una incógnita con signos de agrupación..............................129 Ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes fraccionarios..............................132 Aplicaciones de las Ecuaciones....................139 Enunciados Matemáticos...............................139 Problemas con Ecuaciones de primer grado..142

Unidad 4 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ...................................................152 Estadística, un poco de historia ........................153 Problema inicial 4 .........................................154 Estadística.....................................................155 Elementos Estadísticos.................................156 Distribución de Frecuencias...........................159 Gráfico de bastones, gráfico de barras y gráfico circular...........................................................160 Gráfico de barras verticales...........................160 Gráfico de barras horizontales......................161 Gráfico de bastones......................................161 Gráfico circular..............................................161 Gráficos bivariados.......................................162 El azar ..........................................................164 Conceptos básicos de probabilidad..............166 Eventos.........................................................167 Reglas básicas de probabilidad.....................169 Medidas de Posición o Tendencia Central.....172

Ejercicios finales de reforzamientos de los procesos lógicos......................................174

01

Números Racionales HABILIDADES POR DESARROLLAR

CONOCIMIENTOS PREVIOS Números Racionales • Concepto de número racional • Representaciones • Relaciones de orden

Operaciones, cálculos y estimaciones • Suma • Resta • Multiplicación • División • Potencias • Raíces • Combinación de operaciones

1. Identificar números racionales en diversos contextos.

2. Realizar aproximaciones decimales de números racionales.

3. Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódico.

4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional.

5. Comparar y ordenar números racionales en notación decimal, fraccionaria y mixta.

6. Representar números racionales en la recta numérica, en cualquiera de sus representaciones.

7. Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos.

8. Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos.

9. Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales.

10. Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.

11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero.

12. Calcular raíces n-ésimas de un número racional.

13. Calcular resultados de operaciones con números racionales de expresiones donde haya combinación de ellas con paréntesis o sin ellos.

14. Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales.

15. Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado.

5

Números Racionales Un poco de historia:

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

Leonardo de Pisa

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

Al estudiar la operación de multiplicar en los números enteros, se observa que la operación inversa, la división, no es siempre posible. Por ejemplo, 4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema de los números enteros, a un nuevo sistema en el que tengan sentido tales operaciones.

Este nuevo sistema recibio el nombre de sistema de los números racionales, y que se simboliza con la letra .

Simon Stevin

6

Problema Inicial 1 Considere la siguiente lista de ingredientes para una receta de cocina.

Ana manifiesta que no comprende la forma en que aparece la información pues no está descrita en la forma tradicional. ¿De qué forma se puede ayudar a Ana para que comprenda los datos de la receta?

Estrategia de solución

Pastel de limón Ingredientes 2 1/4 tazas de harina

Respuestas

1 2/4 taza de jugo de limón.

2 1/8 cucharadita de sal Relleno 2 3/4 tazas de azúcar 1 5/4 taza de fécula de maíz 3 1/2 tazas de agua 4 yemas de huevo batidos 4 3/4 cucharadas de margarina derretida 6 1/8 cucharadas de juga de naranja 2 1/4 de cucharada de ralladura de limón Merengue 1 8/6 de taza de claras de huevo 5 8/5 cucharadas de azúcar

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Números Racionales a recibe el nombre del numerador, b recibe el nombre del denominador y la línea entre ellos recibe el nombre de línea fraccionaria.

Al estudiar las operaciones con números enteros, vimos que al sumar, restar o multiplicar dos números enteros, el resultado siempre será otro número entero. Pero, resolvamos las siguientes divisiones y veamos que ocurre con la división de enteros:

Definición 1.3 — Definición de Fracción común. Se define la fracción común como aquella en la cual tanto el numerador como denominador son números enteros, bajo la restricción de la definición.

Ejemplo 1.1 — División de Números Enteros.

Realice las siguientes operaciones con enteros

Ejemplo 1.2 — Ejemplos de Fracciones Comunes.

Las siguientes son fracciones comunes

, En esta última operación, se evidencia que no siempre que dividamos dos números enteros el resultado será otro número entero. Por tanto, es necesario definir otro conjunto de números en el que podamos dividir sin problemas, es decir, un conjunto de números que incluya números que no son enteros. Este conjunto, es el conjunto de los números racionales:

Definición 1.4 — Definición de Fracción compleja.

Una fracción compleja es aquella en la cual el numerador y el denominador corresponden a fracciones.

Definición 1.1 — Definición del Conjunto de los yb donde b≠0, Números Racionales. Para a se define

Ejemplo 1.3 — Ejemplos de Fracciones Complejas. Las siguientes son fracciones complejas

La importancia de se evidencia también en la necesidad de medir magnitudes continuas tales como longitudes, áreas, volúmenes, pesos y tiempos, las cuales obligaron a los matemáticos antiguos, alrededor del año 2000 A.C., a fraccionar la unidad, es decir, a trabajar con números que no son enteros.

Definición 1.5 — Definición de Fracción unitaria.

Una fracción unitaria es aquella que el numerador es la unidad (uno) y el denominador son iguales.

Ejemplo 1.4 — Ejemplos de Fracciones Unitarias. Las siguientes son fracciones unitarias

Repaso de Conceptos Definición 1.2 — Concepto de Fracción.

Se define la fracción como el cociente indicado (división que no se realiza) de dos números enteros, en el cual el primer número recibe el nombre de numerador y representa le dividendo (cantidad de partes iguales que se han de tomar de la unidad) y el segundo número recibe el nombre de denominador y representa el divisor (cantidad de partes iguales en las que se ha de dividir la unidad), este ultimo número nunca podrá ser igual a cero. Mas formalmente

2 2

7 7

12 12

Definición 1.6 — Definición de Fracción Nula. Una fracción nula es aquella en la cual el numerador es igual a cero.

Ejemplo 1.5 — Ejemplos de Fracciones Nulas. Las siguientes son fracciones nulas

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Definición 1.7 — Definición de Fracción Propia.

Una fracción propia es aquella en la cual él número que corresponde al numerador es menor que el número que corresponde al denominador.

Definición 1.11 — Definición de Fracción Mixta.

Una fracción mixta es aquella la cual esta formada por un número entero y una fracción propia, a este número entero se le llama parte entera.

Ejemplo 1.6 — Ejemplos de Fracciones Propias.

Las siguientes son fracciones propias

Ejemplo 1.10 — Ejemplos de Fracciones Mixta.

Las siguientes son fracciones mixtas

Definición 1.8 — Definición de Fracción Impropia.

Una fracción impropia es aquella en la cual el número que corresponde al numerador es mayor que el número que corresponde al denominador.

Definición 1.12 — Definición de Fracción Canónica. Una fracción canónica es aquella en la cual el numerador y el denominador son primos relativos, es decir no poseen ningún factor común, salvo la unidad.

Ejemplo 1.7 — Ejemplos de Fracciones Impropias.

Las siguientes son fracciones impropias

Ejemplo 1.11 — Ejemplos de Fracciones Canónicas. Las siguientes son fracciones canónicas

Definición 1.9 — Definición de Fracción Entera.

Una fracción entera es aquella en la cual el numerador es un múltiplo del denominador, es decir, al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número entero.

Simplificación de las fracciones Es el procedimiento que consiste en llevar una fracción a su forma canónica y para ello se debe de dividir el numerador y el denominador por los factores comunes, esto es si vamos a dividir al numerador por 2 el denominador también debe ser dividido por 2, de la misma forma si vamos a dividir por 3,5,7 y así sucesivamente, de lo contrario no se puede simplificar.

Ejemplo 1.8 — Ejemplos de Fracciones Entera.

Las siguientes son fracciones enteras

Definición 1.10— Definición de Fracción Unitaria: es aquella en la cual el numerador es igual al denominador, razón por la cual al dividir el numerador entre el denominador resultado es la unidad.

Ejercicio de Movilización 1.1 Simplifique al máximo las siguientes fracciones y determine la fracción canónica.

Ejemplo 1.9 — Ejemplos de Fracciones Equivalente a la Unidad. Las siguientes son equivalentes a la unidad

9

¿Cómo representar un número decimal en su notación de fracción?

Representación de las fracciones

Ejercicio de Movilización 1.2

Para poder representa un número decimal en la notación de fracción, debemos determinar si su periodo es cero o si este es diferente de cero.

Periodo es igual a cero 2 cuando el número o secuencia de ellos que se repiten a la derecha de la coma es el cero, el cual no se escribe normalmente.

Para convertir un decimal finito a su notación fraccionaria se escribe en el numerador la expansión decimal dada, y en el denominador se escribe la unidad (1) seguida de tantos ceros como cifras decimales existan.

Represente gráficamente las siguientes fracciones.

Ejercicio de Movilización 1.4

Una fracción se puede representar de diferentes formas (notaciones), las cuales analizamos a continuación Grafícamente1 Para representar una fracción gráficamente debemos recordar que el numerador indica el número de partes iguales que se han de tomar de la unidad y el denominador el número de partes iguales en las que se dividió la unidad.

Represente los siguientes números decimales de periodo cero en su notación de fracción. , , , ,

,

, ,

,

,

Decimal (como un número decimal): Para poder representar una fracción como un número decimal se debe de dividir el numerador entre el denominador.

Periodo es diferente de cero cuando el número o secuencia de ellos que se repiten a la derecha de la coma, no son todos iguales al cero.

Ejercicio de Movilización 1.3

Para convertir un decimal periódico a su notación fraccionaria se escribe en el numerador la expansión decimal dada restándole la parte entera y en el denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el período.

Represente las siguientes fracciones como un número decimal (use de ser posible cuatro decimales)

,

, ,

,

, ,

, , 1

,

,

,

Si la fracción es impropia se deben graficar cuantas unidades sean necesarias de manera que al dividirlas se puedan tomar la cantidad de partes requeridas por el numerador 2 El periodo es aquel número o secuencia de ellos que en un número, representado en su forma decimal, se repite indefinidamente, se representa colocando un guión en el sobre el número o números que se repiten, estudiares los números de periodo igual a cero (2.5 = 2.5000000000 = 2.50) y de periodo diferente de cero (0.33333333 = 0.3. 1.2222222222 = 1.22)

10

Ejercicios de Movilizaciรณn 1.5

Ejercicios de Movilizaciรณn 1.8

Represente los siguientes nรบmeros decimales de periodo diferente de cero en su notaciรณn de fracciรณn.

1. Represente las siguientes fracciones grรกficamente.

,

, ,

, ,

,

,

,

, ,

,

,

2. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, enteras, unitaria, nulas o mixtas.

Notaciรณn Mixta - Impropia Para poder representar una fracciรณn mixta en su notaciรณn impropia se debe multiplicar la parte entera por el denominador y a este producto sumarle el numerador para obtener el numerador de la fracciรณn impropia y el denominador de la fracciรณn impropia es el mismo denominador de la fracciรณn mixta, es decir, se conservar el denominador.

Ejercicios de Movilizaciรณn 1.6 Represente las siguientes fracciones mixtas como fracciones impropias.

3. Simplifique al mรกximo cada una de las siguientes fracciones.

Notaciรณn Impropia - Mixta Para representar una fracciรณn impropia en su notaciรณn mixta

debemos

de efectuar la divisiรณn euclidiana del numerador entre el denominador, tomando en cuenta que el cociente

4. Represente los siguientes nรบmeros decimales en notaciรณn de fracciรณn.

C serรก la parte entera, el residuo d el numerador y el divisor b el denominador de la fracciรณn en su notaciรณn mixta.

,

De otra manera tenemos

,

Ejercicios de Movilizaciรณn 1.7

,

Represente las siguientes fracciones impropias como fracciones mixtas.

, , , ,

, , ,

11

, ,

Este libro fue elaborado de acuerdo con los nuevos programas estipulados por el MEP. Llevamos nuestros textos hasta su institución.

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