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Develando la Realidad Diseño de portada: Jason Mora Jiménez Diagramación: José Carlos Chaves Torres
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3 Título: Pendulum 7° AÑO
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Departamento de Investigación y Producción Siwö Editorial Coeditor: Gerardo Masis Fallas Coeditora: Adriana Ramírez Ramírez Impreso por Cóndor Editores Cartago, Costa Rica
Reservados todos los derechos. No se permite reproducir, almacenar en sistemas de recuperación de este texto ni transmitir la totalidad o alguna parte de esta publicación, cualquiera que sea el medio empleado - electrónico, mecánico, fotocopia, grabación, etc.-, sin el permiso por escrito de los titulares de los derechos de la propiedad intelectual.
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ÍNDICE UNIDAD 01 Números
UNIDAD
Naturales........................................05
1.1.1 Potencias de Números Naturales..........06 1.1.2 Operaciones Combinadas con Números Naturales ....................................................09
02
2.1 Conceptos Primitivos ..............................83 2.1.1 Punto ..........................................................83
1.2 Teoría de Números..................................14
2.1.2 Recta ..........................................................84 2.1.3 Plano ...........................................................84
1.2.1 Algoritmo de la división...............................15 1.2.2 Criterios de divisibilidad...............................18 1.2.3 Factores, Divisores y Múltiplos.....................22 1.2.4 Números Primos y Compuestos.................25 1.2.5 Descomposición Prima................................27 1.2.6 Mínimo Común Múltiplo...............................31 1.2.7 Máximo común divisor ................................34
2.2
Conceptos Fundamentales....................84
2.2.1 Puntos Colineales.....................................84 2.2.2 Puntos Coplanares...................................84 2.2.4 Segmento de Recta...................................85 2.2.5 Segmento de Recta Congruentes............85
1.3 Números Enteros....................................37
2.2.6 Punto Medio de un Segmento..................85
1.3.1 Orden en los Números Enteros ..............43 1.3.2 Recta numérica ..........................................43 1.3.3 Los símbolos ...........................................46 1.3.4 Valor Absoluto de un número entero........54 1.3.5 Opuesto de un Número Entero ...........56
2.2.7 Semiplano.........................................85
1.4
2.2.12 Rectas Concurrentes ................................86
2.2.8 Rayo..................................................85 2.2.9 Semirrecta.........................................86 2.2.10 Rectas Paralelas .......................................86 2.2.11 Rectas Perpendiculares ...........................86
Operaciones con Números Enteros ....58
2.2.13 Postulados.........................................87
1.4.1 Adición de números enteros ....................59 1.4.2 Sustracción de números enteros ...........62 1.4.3 Multiplicación de números enteros .........63 1.4.4 Propiedades de la Adición y la Multiplicación................................................67 1.4.5 Potencias de un Número Entero.................68 1.4.6 Radical de un número entero ....................76 1.4.7 Ley de signos para un radical ....................78 1.4.8 Operaciones Combinadas ........................79
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Desarrolle los siguientes problemas aplicando la definición de potencias. 1. Si Marta divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Si este procedimiento lo repite cuatro veces. ¿Cuántos pedazos de papel tendrá luego de los cuatro cortes?
2. La señora Verónica tuvo tres hijos y cada uno tuvo a su vez tres hijos. ¿Cuántos nietos tiene la señora Verónica?
3. ¿Cuál es el volumen de una caja cúbica de lado 40 cm, si para obtener el resultado se debe desarrollar 403?
4. Si un decámetro tiene 10 metros, un metro tiene 10 decímetros, un decímetro tiene 10 centímetros y un centímetro tiene 10 milímetros. ¿Cuantos milímetros tiene un decámetro?
5. En un juego de ruleta hay tres tipos de ficha: las rojas, las verdes que equivalen a 10 rojas y las amarillas que equivalen a 10 verdes. ¿ A cuántas rojas equivale una amarilla?
POTENCIAS Es importante La potencia representa una multiplicación abreviada.
Recuerde En la potencia an, a se llama base y n se llama exponente.
No hay que olvidar
¡Finalmente!
Al desarrollar la potencia
Por ejemplo,
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1.1.2 Operaciones Combinadas con Números Naturales En ocasiones las operaciones se presentan individualmente, es decir, solo hay que realizar unaoperación. Sin embargo, es común encontrar situaciones matemáticas donde se presentan dos o más operaciones y es necesario tener claro cuál se debe realizar primero que las demás. A esto se le conoce como Prioridad en el Orden de las operaciones. A continuación vamos a estudiarla.
PRIORIDAD EN EL ORDEN DE LAS OPERACIONES Primero se desarrollan las Potencias. Segundo se resuelven las operaciones que se encuentran entre Signos de Agrupación, pueden ser 1- ( ), 2- [ ] o 3- { }. Tercero se resuelvan las multiplicaciones y divisiones, según aparezcan de izquierda a derecha. Finalmente, las sumas y restas de igual manera conforme aparezcan de izquierda a derecha.
Ejemplo 1.3 – Operaciones Combinadas en N
Ejemplo 1.4 – Operaciones Combinadas en N Resuelva la operación 23 - 5 • (7 - 4)+6 • (5 - 2)
Encuentre el resultado de la operación
5 • 4 ‒ 8 + 30 ÷ 5
Solución
Solución
En este caso la operación no tiene potencias ni signos de agrupación. Entonces, se procede a resolver las multiplicaciones y divisiones. Finalmente se realizan las sumas y restas.
La operación no tiene potencias, por tanto se inicia con los paréntesis. Al presentarse dos signos de agrupación se realizan de izquierda a derecha. Una vez realizado este paso se procede a las multiplicaciones y finalmente la resta y la suma.
Procedimiento
Solución
Procedimiento
Al resolver 5 • 4 - 8 + 30 ÷ 5 el resultado es 18.
Solución
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Al resolver 23 - 5 • (7 - 4)+6 • (5 - 2) el resultado es 26.
Ejercicio de Profundización 1.2 A continuación se le presentan operaciones combinadas con números naturales, realice cada una de acuerdo a lo que se le solicita.
Realice las siguientes operaciones combinadas. En cada caso aplique la prioridad en el orden de las operaciones.
) ) ) Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas, aplicando en cada caso la prioridad en el orden de las operaciones. 1. Magdalena repartió todos los globos que había en su fiesta. A cada una de las 15 mujeres le dio 2 globos, a cada uno de los 20 hombres 1 globo, y a cada uno de los 8 niños le dio la mitad de lo que ya se había repartido. ¿Cuántos globos había en la fiesta de Magdalena? 2. La maestra Cecilia repartió lápices entre los 6 niños de su grupo y las otras 3 maestras del kinder. Cada maestra recibió 5 lápices y los niños recibieron el doble de lo que recibió cada maestra. ¿Cuántos lápices se repartieron en total? 3. El lunes, Rafael le regaló a cada uno de sus 2 amigos 3 bolitas. El martes les regaló 2 veces la cantidad de bolitas que el día anterior y el miércoles les dio la sexta parte que el martes. ¿Cuántas bolitas le regaló Rafael a sus 2 amigos? 4. El domingo, cada uno de los 5 niños de la familia Gutiérrez comió 2 panes al almuerzo y 1 en la cena. Si el lunes los 5 consumieron el doble de lo que comieron el domingo, ¿cuántos panes comieron en total los 5 niños entre el domingo y el lunes? 5. Jorge pedaleó 20 kilómetros en bicicleta el domingo. El lunes, anduvo la mitad de esa distancia y el martes, 3 veces lo del día anterior. ¿Cuántos kilómetros anduvo Jorge en bicicleta entre esos 3 días?
OPERACIONES COMBINADAS Es importante
Recuerde
La prioridad en el orden de las operaciones es: 1. Potencias 2. Signos de agrupación 3. Multiplicación y División 4. Suma y resta
Los signos de agrupación pueden ser
1- ( ), 2- [ ] y 3- { }
No hay que olvidar Cuando aparecen multiplicaciones y divisiones se procede a resolver primero la que aparezca de izquierda a derecha.
¡Finalmente! Lo mismo sucede con las sumas y restas, se realiza la primera que aparezca de izquierda a derecha.
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Ejercicio de Movilizaci贸n 1.3 Realice en cada caso las operaciones indicadas con n煤meros naturales.
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Proyecto de Investigación “COMPARANDO LOS PRECIOS QUE PAGAMOS”
OBJETIVOS TRANSVERSALES El alumno adquirirá habilidades para:
Este proyecto se entrelaza directamente con el concepto de antecesor y sucesor, así como con la suma, resta y orden en el conjunto de los números naturales. La comparación de los precios le da sentido y utilidad a las operaciones de suma y resta de cantidades, de ahí, su inclusión en este libro.
1. Organizarse y trabajar en grupos. 2. Codificar una información relativa al tema del proyecto. 3. Organizar salidas a terrenos. 4. Presentar resultados.
El proyecto procura que se organice un trabajo de investigación que relacione los lugares donde habitualmente los educandos, así como sus grupos familiares, hacen sus compras. De este modo, se responde a los intereses cercanos del grupo, porque se recurre a la vida cotidiana de cada localidad. Su informe final podría ser públicado en un mural de la institución por la importancia del tema.
PROPUESTA
PARA
LA
REALIZACIÓN
DEL
PROYECTO Los pasos sugeridos podrán ser ajustados por cada liceo según sus propias necesidades y posibilidades de ejecución. 1. Cada grupo decide qué rubro considerará en su
El proyecto se relaciona, en lo esencial, con la Unidad “Estadistica y Probabilidad”.
proyecto:comida, muebles, ropa, otros; se organiza
DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO
considerarán:marcas, lugares, cantidades, otros.
El desarrollo de este proyecto consistirá en recolectar, procesar y presentar información cuantitativa sobre los precios cobrados por artículos de consumo masivo, según: marca, lugar y forma de pago.
para realizar la investigación (encuestas, entrevistas,
en grupos de no más de 6 personas. 2. El grupo decide qué aspectos de esos rubros se 3. Luego diseña, prepara y aplica los instrumentos salidas a terrenos, entre). 4. El grupo ordenará los datos en tablas y gráficos. 5. Es el momento de interpretar los resultados y
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
proponer alternativas de solución.
El alumno adquirirá conocimientos y desarrollará habilidades para: 1. Formular preguntas de intención matemática. 2. Recolectar datos sobre precios de algunos artículos. 3. Comparar precios de acuerdo a marcas, forma de pago y lugar de compra. 4. Tabular y graficar datos obtenidos en la investigación. 5. Graficar en diferentes maneras los resultados de la investigación. 6. Calcular e interpretar porcentajes.
educativa, puesto que es un tema de interés.
6. Se organizará una exposición para la comunidad
Sugerencias para quienes trabajen en este proyecto. . . Si un grupo de estudiantes decide conocer el precio de un producto de línea blanca, según marcas y según el sector donde se ubica la tienda, pueden elegir el refrigerador. Consultarán el precio, modelo en 4 marcas diferentes y en 3 tiendas distintas.
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Los datos que obtengan pueden ser parecidos a los siguientes:
Maden Altas Frigoder Guirpul
Los precios están indicados en miles de colones.
Gullo
Casa Gris
Casa Feliz
¢120 ¢140 ¢155 ¢185
¢120 ¢130 ¢145 ¢180
¢118 ¢120 ¢135 No disponible
TABLA DE DESEMPEÑO PARA LA EVALUACIÓN DEL PROYECTO Competencia Habilidad para recolectar, comparar, seleccionar, ordenar e interpretar los datos de la realidad encontrados en el proceso de
Desempeño Mínimo
Desempeño Intermedio
Desempeño Aceptable
Desempeño Óptimo
El estudiante recolecta datos, pero no sabe cómo relacionarlos.
El estudiante recolecta y ordena datos que provienen de la investigación, pero no obtiene información nueva.
El estudiante construye gráficos, puede calcular porcentajes y/o promedios, pero necesita ayuda para interpretar estos datos.
El estudiante es capaz de comparar, seleccionar, ordenar, interpretar, proyectar y socializar los resultados de los problemas a partir de los datos obtenidos en la investigación
Este resultado puede expresarse en gráficos de barras. Anotaciones para desarrollar el proyecto Escriba aquí cualquier dato importante para el desarrollo de este proyecto. ________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________
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1.2 Teoría de Números Problema Inicial Don Rodrigo va a poner losetas de cerámica en el piso de una habitación que mide 4 metros por 3 metros, las losetas miden 30cm por 15cm. Se van a colocar de forma análoga a lo que se ve en la figura, con el lado mayor de la loseta paralela al lado mayor de la habitación. Las losetas pueden cortarse para que encajen en los extremos de cada fila de ellas. Don Rodrigo le dio las dimensiones a su hijo y éste compró 135 losetas. Si no se quiebra ninguna, ۞ ¿Le alcanzarán estas losetas a don Manuel?, ۞ ¿Le sobrarán?, si es así, ¿Cuántas? ۞ ¿Cuántas filas de losetas habrá que colocar?, ۞ ¿Cuántas losetas por fila? ۞ Exponga al resto de la clase las estrategias utilizadas para resolver este problema. La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia el comportamiento de los conjuntos numéricos. Su principal aplicación tiene que ver con la criptografía y el diseño de algoritmos aleatorios. La aleatoriedad de estos algoritmos han permitido la construcción de la informática como la conocemos hoy. La mayor parte de esta teoría se basa en aspectos como la divisibilidad de un número entre otro y determinar si un número es primo o no. En la teoría de números, en ocasiones llamada “aritmética superior” los números primos y la descomposición en factores primos son especialmente importantes.
Criptografía
Historia
Es la ciencia que resguarda documentos y datos que actúa a través del uso de las cifras o códigos para escribir algo secreto en documentos y datos
Gauss, conocido comúnmente como el “ príncipe de las matemáticas”, llamó a las matemáticas la “reina de las ciencias” y consideró la Teoría de Números la “reina de las matemáticas”.
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
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10. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 11.
LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 12. EL PASTOR Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo? 13. LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?
14. EL TORNEO DE AJEDREZ. En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador? 15. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo? 16. Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partio. ¿De que color es el oso? 17. ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales? 18. Si 5 gatos cazan 5 ratones en 5 minutos, ¿Cuantos gatos cazaran 100 ratones en 100 minutos? 19. ¿Cómo hacemos para que a veinte, agregándole uno nos dé diecinueve?
20.
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La mitad de dos mas dos ¿son tres?