pendulum Pendulum
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Develando laRealidad
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SIWร EDITORIAL
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Título: Pendulum 11°: Develando la realidad Diseño de portada: Jason Mora Jiménez. Diagramación: Dilcia Muñoz Vargas.
Edición y diseño: Heriberto Ordóñez D.
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Departamento de Investigación y Producción Coautor: Alejandro Vásquez Loría
Coautor: Oscar Mario Castrillo Duarte Editor: Oscar Mario Castrillo Duarte
7 8 1 4 a 1. 2.
Impreso por Cóndor Editores Cartago, Costa Rica
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510.7 R-173-p Vásquez Loría, Alejandro Castrillo Duarte, Oscar Mario XI Pendulum 11° : develado la realidad / Mauricio Ramírez. – 1ª ed. – San José, C. R. : Siwö Editorial, 2015. 160 p. : 8.5X11 cm. . ISBN
978-9968-694-53-7
MATEMÁTICAS – ESTUDIO Y ENSEÑANZA MATEMÁTICAS – LIBROS DE TEXTO I. Título
Primera edición, 3000 ejemplares Reservados todos los derechos. No se permite reproducir, almacenar en sistemas de recuperación de este texto ni
transmitir la totalidad o alguna parte de esta publicación, cualquiera que sea el medio empleado -electrónico, mecánico, fotocopia, grabación, etc.-, sin el permiso por escrito de los titulares de los derechos de la propiedad intelectual.
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Índice Unidad 3 Estadística................................89
Indicaciones Generales .............3 Unidad 1 Geometría Analítica....................5
Medidas de variabilidad.......................................90 Cálculos estadísticos con ayuda de la calculadora
Simetría.................................................................7
............................................................................96
Simetría Axial......................................................10
Diagrama de cajas...............................................99
Transformaciones en el plano..............................13
Medidas relativas..............................................104
Cono circular recto..............................................27
PRÁCTICA ADICIONAL PARA BACHILLERATO....................107
Unidad 2 Relaciones y Álgebra................34
Práctica #1........................................................107 Práctica #2........................................................133
Función inversa...................................................36
Práctica #3: Cuadrática, Exponencial y Logarítmica
Función inversa para la forma f(x)=mx+b ...........39
..........................................................................140
Calculo de Imágenes y Preimágenes una función
Práctica #4: Geometría......................................146
inversa................................................................39
Práctica #5: Funciones......................................153
Función Inversa...................................................44
Fórmulas y Símbolos............156
Función raíz cuadrada........................................46 Función exponencial...........................................55 Ecuación exponencial.........................................60
Anexo para docentes:sugerencias
Función logarítmica.............................................67
metodológicas...........................158
Ecuaciónes logarítmicas.....................................71 Funciones y modelización...................................78
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Relaciones y Álgebra En décimo año se estudió el tema de funciones y las características de dos tipos de funciones particulares: La función lineal y la función cuadrática. Como ya sabemos, las funciones modelan diversas situaciones del mundo real, sus aplicaciones van desde la comprensión de la naturaleza hasta modelos y proyecciones económicas, inclusive, existen situaciones más cercanas a nuestro entorno que pueden modelarse o representarse mediante diferentes funciones. Las imágenes de la izquierda presentan situaciones cotidianas que se pueden representar mediante funciones. La primera imagen muestra una rampa de patinaje, la cuál muestra un ascenso modelable mediante una función exponencial, la segunda imagen muestra dos flores que tienen similitud con un modelo de función logarítmica. En este año, se ampliarán los tipos de funciones conocidas estudiando la función raíz cuadrada, la función logarítmica y la función exponencial. Además se estudiarán la función inversa y se profundizará la modelización de situaciones con funciones.
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El concepto de función fue desarrollado a través de la historia, naciendo en la necesidad de comprender y modelar diversas situaciones como determinar la posición de los barcos, comprender el movimiento de un objeto en caída libre y comprender el movimiento realizado por los proyectiles. En base a esta necesidad por comprender diversas situaciones nace el concepto de función, aunque en sus inicios, las distintas funciones que hoy conocemos fueron estudiadas como curvas, es decir, de manera gráfica. Un punto histórico importante a destacar es la aparición de los logaritmos, los cuáles se estudiarán en este capítulo. La evolución de los logaritmos fue compleja, y nace ante la necesidad de simplificar cálculos astronómicos en los siglos XVI y XVII. Varios matemáticos habían notado una relación, entre dos sucesiones comunes: Sucesión 1 = 0,1,2,3,4,5,… Sucesión 2 = 1, a, a2, a3, a4, …con Dicha relación consiste en que la multiplicación de dos términos de las sucesión 2 da como resultado un término cuyo exponente equivale a la suma de los términos correspondientes en la sucesión 1, y además, el cociente de dos términos de las sucesión 2 da como resultado un término cuyo exponente equivale a la resta de los términos correspondientes en la sucesión 1. A pesar de que varios matemáticos conocían esta relación, se le atribuye a JhonNapier (1550 – 1617) la elaboración de lo que hoy conocemos como logaritmos, utilizando la relación anteriormente mencionada. Durante muchos años, los logaritmos se trabajan mediante tablas que indicaban el valor del logaritmo de distintos números, dichas tablas fueron trascendentes durante muchos años en el quehacer matemático hasta la aparición de elementos tecnológicos de fácil acceso como las calculadoras que traen integradas estas tablas de logaritmos en una tecla, lo cuál permite y facilita las operaciones con logaritmos.
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FUNCIÓN INVERSA Conocimientos previos: • Concepto de una función y gráfica de una función. • Inyectividad. • Resolución de ecuaciones. • Simetría axial. Habilidades previas: • Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una función. • Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Determinar ejes de simetría en figuras. Habilidades por desarrollar: • Identificar las condiciones para que una función tenga inversa. • Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa. • Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa. Determinar y graficar la inversa de
PROBLEMA INICIAL Se sabe que después de los primeros 200Kwh de consumo eléctrico el costo al mes de la energía eléctrica en función de los “x” kilowatts adicionales consumidos esta dado aproximadamente por la fórmula Costo(x) = 13600 + 125x Represente de manera tabular el costo mensual del consumo de energía para los primeros 10 kilowatts de consumo adicional.(Puede ayudarse con programas computacionales como geogebra o excel) a) ¿Cuál es el límite de consumo si se desea que el costo del mes no exceda los ¢14600? b) ¿Cuál es el límite de consumo si se desea que el costo del mes no exceda los ¢26100?(Puede ayudarse con programas computacionales como geogebra o excel) c) ¿El valor de consumo obtenido en el punto anterior es único o existen varios valores de consumo que generen el mismo costo? Justifique su respuesta.
d) Determine una función que exprese los kilowatts adicionales consumidos en función del costo.
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SOLUCIÓN
a.
De la tabla obtenida en el punto anterior se observa que la tarifa eléctrica alcanza los ¢14600 cuando se utilizan 8 kilowatts adicionales, por lo tanto el límite de consumo para no exceder los ¢14600 es de 208 kilowatts.
c)
El estudiante podrá “probar valores” hasta obtener ¢26100, o podría continuar la tabla:
De lo cual se evidencia que esta tarifa se alcanza con 100 kilowatts adicionales, por lo que el límite de consumo serían 300 kilowatts. También podría utilizar la función tomando el valor de la imagen como 26100 y determinar su preimagen respectiva.
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e) El estudiante deberá notar que este es una función lineal, la cual es una función inyectiva, y por ser inyectiva cada preimagen se asocia a una única imagen, es decir, cada valor de consumo genera un único costo. Para esto el estudiante deberá despejar la variable independiente de la función:
Así, expresamos los kilowatts adicionales consumidos en función del costo pagado mediante la función:
. . . e u q s a í b sa
cia para a importan m u s e d s e illo. de energía estro bols u o n m u ia s c n fi o e c n be en el hogares y además El ahorro n nuestros ambiente e io ía d e rg e m n l e e ar conservar para ahorr ndaciones e m o c re s os y horno Alguna e sus disc u g a p a y te , sus son: ra constan esta forma tu e ra D e . p to m le te p Cocine a ta por com • residual. ida esté lis m o c la e rá el calor u a q h ndo c e e d v s ro te p an esté siguie nya ie rá a d a m n e o u d q n e a u no s orro. televisor c alimentos ábito de ah conecte su h s e te d n y le e e u c g x o no ne Apa • no desea onstituye u a c y to o s d E n . a n u c ació e sonido la program o equipo d io d ra e u g enor Apa • onsumen m C . s . ta o c a rl p a m uch tienen una scentes co puede esc scentes y aras fluore e p d n m a lá c e in c s li lo Uti • los bombil ergía que n e e d l.4 d a d canti ión natura c a in m u il r. l máximo la vida mayo proveche a a , ía d l e Durante •
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FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo 2
Si f es lineal y biyectiva, tal que f(6)= 8 y f -1 (4)=2, encuentre el criterio de f -1(x).
Sea
una función biyectiva tal que, se
define su función inversa denotada por f -1
que f :B (b,a)
A . Así si (a,b)
-1
tal
Se toma los pares ordenados de f -1(4)=2 y para encontrar la pendiente f(6)= 8 (4,2) (8,6).
entonces
f -1
El procedimiento para determinar la inversa de una función dada consiste en expresar la variable independiente en función de su variable dependiente.
Se encuentra valor de m
el
Se sustituye el valor de m y uno de los puntos
b=2 - 1 ∙ 4=-2 R/ Entonces el criterio de la ecuación sería:
Función inversa para la forma f(x)=mx+b
-2 Sea una función biyectiva, A decimos que la función inversa de es -1:B A si se cumple que:
Calculo de Imágenes y Preimágenes una función inversa
Calculo del criterio de una función inversa
Para calcular una imagen o una preimagen en una función inversa, se debe igualar el valor de la función dada.
Sea -1
Sea
Ejemplo 1
(x).
talque
, halle
Como f (x)=y despeja x
Se iguala el criterio de la función a y..
talque f(x)= 3x+s , halle f -1 (-4). f-1(y)=x
y se
Se despeja la incógnita x del criterio.
Se cambia la x por
-1
R/ Entonces imagen de -4 en la función inversa
(x) , la y se
es:
cambia por x
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Fuente:http://www.jasec.co.cr/index.php/residenciales-servicios/ayuda-y-soporte/recomendaciones-de-ahorro
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En los ejercicios de profundización se le solicitará a los estudiantes que investiguen sobre el concepto de biyectividad.
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Este libro fue elaborado de acuerdo con los nuevos programas estipulados por el MEP. Llevamos nuestros textos hasta su institución. Llámenos a los teléfonos
8374-8392 / 8715-0335 o al 2292-6027