Альперіна т д

Управління освіти Миколаївської міської ради Науково-методичний центр Миколаївський морський ліцей імені професора М.Александрова

Формування самоосвітньої компетентності учнів на уроках математики Альперіна Т.Д., Заслужений вчитель України

4

1) Специфіка рівнів мислення за класифікацією Б. Блума............................4 2) Навчання учнів аналітико-синтетичному підходу до розв’язування задач..............................................................................................................14 3) Навчання учнів пошуку розв’язання задач і встановленню математичної залежності між об’єктами .................................................15 1) діагностика навичок застосування аналітико-синтетичного методу для пошуку розв’язання задачі...........................................15 2) досвід укрупнення одиниць для навчання пошуку розв’язання задач...................................................................................................17 3) місце обернених задач при навчанні встановленню математичної залежності між об’єктами ...............................................................18 4) розвиток навичок встановлення математичної залежності між об’єктами ..........................................................................................19 5) розвиток вмінь самостійно скласти умову задачі, якщо вказано, яку величину необхідно знайти.......................................................22 6) застосування методу допоміжної задачі.........................................23 7) прогнозування можливих помилок в розв’язуванні задачі із вказанням їх причин.........................................................................24 8) прогнозування як передбачення результатів пошуку розв’язку задачі..................................................................................................25 9) комбінація різних методів пошуку розв’язку задачі ....................26 10)

методи елементарних і неелементарних

задач .............................28 2) Формування самоосвітньої компетентності через поєднання повторення і вивчення нового матеріалу .................................................29 3) Висновки......................................................................................................36

5

На

прикладі

теми

«Декартові

координати

на

площині»

я

розглядаю формування в учнів 9 класу навичок мислення високого рівня, а

саме: застосування, аналізу і синтезу.

Надаю специфіку цих рівнів за класифікацією Бенжеміна Блума — американського психолога, який у 1956р розробив класифікацію вмінь мислення. Застосування — це ключові

використання

понять в

нових ситуаціях. Для спонукання

учнів

використовуються

терміни: застосуйте, обчисліть, дослідіть, класифікуйте, сплануйте, використовуйте.

Аналіз — це розбиття інформації на взаємозв'язані частини. Для

спонукання учнів використовуються ключові терміни: проаналізуйте, згрупуйте, оцініть, порівняйте,

поясніть, обчисліть, приставте, диференціюйте.

Синтез — це компіляція інформації. Для

спонукання

учнів

використовуються

ключові

терміни:

згрупуйте, зберіть, створіть, скомбінуйте, сплануйте, підготовте, запропонуйте, замініть. Пошук розв'язку задачі здійснюється найчастіше за допомогою аналітико-синтетичного методу, який в даному випадку носить цілеспрямований характер, а саме: аналіз задачі полягає в тому, що ми вважаємо її вже розв'язаною і знаходимо різні наслідки цього. Потім в залежності від виду цих наслідків намагаються знайти шлях пошуку

розв'язку

синтетичного

цієї

задачі.

Маємо

3

етапи

аналітично-

підходу:

1) Вважаємо, що задача розв'язана; 2) Подивимось, які з цього будуть наслідки; 3) Співставляємо отримані висновки (синтез), намагаємось знайти спосіб розв'язування задачі. Тема «Декартові координати на площині» (18 годин) При розгляді окремих питань цієї теми подаю різні види завдань, запитань,

за

допомогою

яких

розвиваю

навички

аналітико-

синтетичного методу мислення. Прямокутна система координат. Координати середини відрізку. Відстань між двома точками.

6

1) Які особливості розміщення точок А і В на координатній площині, як що: а)

У них абсциси однакові, а ординати різні;

б) У них абсциси різні за знаком, а ординати дорівнюють нулю; в)

Абсциси від'ємні і різні, а ординати однакові.

2)

Радіус кола R. Які координати точок А, В, С, D.

A C

B

D

3) Чи правильні твердження: а) Якщо точки А і В однаково віддалені від осі X, то у них рівні ординати? б) Якщо точки А і В однаково віддалені від осі У, то у них рівні ординати? в) Якщо точки А і В мають рівні абсциси, то вони однаково віддалені від осі У? Диктант 1) Точка

А(-3;у)

не

лежить

на

осі

У,

бо

...

Вона може лежати на осі X за умови ... Залежно від знака У точка А може знаходитися у таких чвертях...

2) Якщо дано точки В(4;0) і С(0;-3), - то відстань між ними дорівнює ..., а точка М — середина відрізка ВС має такі координати: ... Точка М знаходиться у ... чверті, тому що ...

3)

Якщо дві сусідні вершини квадрата, розміщеного у І чверті, знаходяться у точках (1;3) (1;9), то координати

двох інших вершин такі: ...

7

Приклад застосування аналітико-синтетичного методу для пошуку методу розв'язання задачі. Задача: Точки А(1;1), В(3;4), С(6;4) і D (7;1) є вершинами трапеції. Знайдіть координати точки перетину діагоналей.

1) Згадайте означення трапеції.

.

2) Виконайте схематичний рис.

3) Що потрібно знати, щоб відповісти на питання задачі?

4) Чи м ожна з умови зробити висновок, де основи трапеції?

5) Як в цьому можна впевнитись?

6) Що застосувати для обчислення даного відношення?

7) Яка ознака подібності трикутників?

8) Чи знаємо ми довжини відповідних відрізків?

9) Яку формулу застосувати для цього? Запропонувати учням розробити ланцюжок розв'язання з початку до кінця.

Рівняння фігури на площині. Рівняння кола. Визначте за рівнянням кола координати його центра і радіус: 1) ( x −1) 2 + ( y − 5) 2 2)

( x + 1) 2 + ( y − 3) 2

3)

x 2 + y 2 = 15

= 16

=1

Знайдіть рівняння кола, зображеного на мал.

8

R=3 .C 0

0 C A(0;-6)

(-3;4)

.C(4;3) 0

0

Диктант Дано коло ( x − 4) 2 + ( y + 1) 2

= 25

1) Радіус кола дорівнює.... а координати центра...

2) Коло перетинає вісь У в точках, координати яких можна знайти

так: 3) Точки М(0;2) і К(4;4) лежать на даному к о л і , т о м у щ о . . .

4)

Координати

середини

відрізка

МК

такі...

Ця

т о ч к а (середина

М К ) н е належить колу тому, що...

Приклад застосування аналітично-синтетичного методу до пошук у метода розв'язування задачі.

Задача: Складіть рівняння кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС, якщо кут А=90°, В(4;0), С(-2;-8) .

9

1) Згадати положення центра описаного кола навколо довільного

трикутника.

2) З'ясувати положення центра для прямокутного трикутника.

3) Встановити, що центр кола - це середина відповідного відрізка, згадати формулу координат середини відрізка.

4) Визначитись, що є радіусом цього кола. Вказати всі шляхи для обчислення радіуса даного кола. Запропонувати: учням самостійно розробити ланцюжок послідовних дій для розв’язання такої задачі. Приклад задачі, в якій необхідні від учнів як застосування знань, так і аналіз і синтез. Задача: Дано коло ( x −1) 2 + ( y −1) 2

=4.

Складіть

рівняння

кола

з

центром

О 1 (4;-3), яке дотикається до даного кола.

Наводжу зразок дій вчителя для допомоги учням в розв'язанні цієї задачі.

1) Що нам відомо про перше коло?

2) Що нам відомо про коло, рівняння якого необхідно скласти?

3) Що залишається тільки відшукати в такому разі?

4) 3’ясувати зміст слів: кола дотикаються

(але дотик може бути як зовнішній, т ак і внутрішній) 5)

Запропонувати виконати схематичний

малюнок до

умови даної задачі

6) Визначитись, чи в даній ситуації може бути дотик 2-х

видів

(нагадати, що точка дотику завжди

лежить на прямій, яка з'єднує центри цих кіл.)

7) Отже, радіус шуканого кола може бути О 1 К або О 1 Р

10

O1 K = O2 O1 − O2 K O1 P = O1O2 + O2 P

О

2

К = О 2 Р = 2( це радіус першого кола)

Після цього учні самостійно розробляють ланцюжок послідовних дій для розв'язання цієї задачі. Рівняння прямої 1) Що спільне і що відмінне у графіків рівнянь у=3х і у=Зх- 2?

2) Чи перетинаються у точці А(0;1) прямі 2х+у -1=0 і Зх-2у+2=0?

3) Вказати рівняння прямої на кожному із рисунків .

A(3;2)

A(-3;2)

0

0

0

0 A(1;-1)

Вказати рівняння прямих на рис.

11

30 0

0

45 -2

2

3

45

45

0

0

Диктант 1).....................

3

прямих

х-2у+1=0,

Зх+у+1=0,

у-2=0

через

точку Е(-1;2) проходять…

2)

3 графіків рівнянь у=-3х, у=-

3 x

, у=3-х, у=3х 2 прямими лініями є... З цих прямих через початок координат

проходять....

3)

Рівняння прямої, яка проходить через точку М(3;4) і паралельна осі у, таке…

4)

Пряма 2х-3у-6=0 перетинає вісь X у точці з координатами.... а вісь У - у точці з координатами...

5)

Пряма y =

3 x +1 утворює з віссю абсцис кут, який дорівнює..., тому що...

Розв'язування задач методом координат Перед тим, як розпочати розв'язування зад ач

із застосуванням методу координат, є

необхідність повторити теоретичний матеріал по темі на прикладі розв'язування задачі - комплексу.

Наводжу приклад однієї з таких задач: 12

Дано: А(-3;1), В(-1;4) Знайти : 1) координати середини відрізка АВ ; 2)

довжину АВ;

3)

рівняння кола (А: R=АВ);

4)

рівняння прямої АВ;

5)

під

яким

кутом(

гострим,

тупим)

перетинає

пряма

АВ

додатню піввісь абсцис;

6)

рівняння паралельної їй прямої;

7)

рівняння перпендикулярної до неї прямої.

Запропонувати учням розв'язати задачу: Три сторони квадрата лежать на прямих Зх+у+1=0, Зх+у-9=0, х-3y-3=0. Скласти рівняння прямої, на якій лежить четверта сторона. Скільки розв'язків має задача.

Роздуми: можна зробити мал.

A1 0

x-3y-3=0

3

-1 A 3x+y-9=0 3x+y+1=0

Висновок: четверта сторона лежить на прямій, яка паралельна прямій

x −3y −3 =0

Положень такої сторони - два. М ожна

обчислити довжину сторони квадрата.

a = 10 (гіпотенуза прямокутного

трикутника)

Рівняння шуканої прямої х-3у+с=0 Точки А і А , віддалені 1

від т (3;0) на

10 . В загальному вигляді координати точки А(х, 9-Зх)

13

10 =

( x − 3) 2 + ( 9 − 3 x − 0 ) 2

10 = x 2 − 6 x + 9 + 81 − 54 + 9 x 2 10 x 2 − 50 x + 80 = 0 x 2 − 6x + 8 = 0 x1 = 4 x2 = 2

Отже, маємо: A(4;-3), A ,(2.3) Тоді рівняння прямих: 1) 4+9+c=0

2) 2-9+c=0

c=-13

c=7

x-3y-13=0

x-3y+7=0

Розв'язання задачі вимагає відповіді на багато питань, які учні повинні самі поставити, досліджуючи розв'язування.

1. (якщо без рисунка) Які сторони у даного квадрата протилежні, на яких прямих вони лежать (згадати умову паралельності двох прямих) 2. Чи можна розв'язати задачу, не обчислюючи довжини сторони квадрата?

3. Для пошуку необхідного рівняння 4ої сторони що необхідно знати?

4)Найскладніше :

як

знайти

точку,

через

яку

проходить

4-а

сторона?

Чи обов'язково вона лежить на прямій Зх+у-9=0 ? Вміння учня розв'язати таку задачу свідчить про розвиток в нього вмінь мислення високого рівня.

Приклади задач, розв'язування яких вимагає свідомої роз умової діяльності учнів: 1) 3найдіть відстань між двома прямими Зх+4у=8 і Зх+4у=-12 2) 3апишіть рівняння кіл радіуса 1, які дотикаються до прямих Зх-4у=1 і 4х-3у=-1

3) 3найдіть рівняння спільних дотичних до кіл

х 2 + у 2 = 6у

4) Радіус кола, описаного навколо трикутника

ABC, дорівнює

АВ Знайти S

позначено

точку

Д

так,

∆ ABC, якщо кут АВС =60°

14

що

АД=2ДВ,

2 3 . На стороні СД=

2 2

.

Які ж методи найбільш сприяють розвитку вмінь мислення високого рівня? (до чого треба спонукати учнів)

1) Домогтися від всіх учнів чіткого розуміння умови задачі.

2) При необхідності для кращого розуміння цього можна виконувати рисунок.

3) Чітка система запитань вчителя, напрямлених на з'ясування зайвих даних, необхідних даних.

4) Вміння виділити тип задачі, тематику знань, які необхідні д ля

її

розв'язання.

5) Відібрати інформацію з кожного даного в умові.

6) На що впливає зміна хоч одного даного?

7)

3акінчувати роботу встановленням ланцюжка розв'язку задачі.

8) При необхідності вчитель може застосовувати провокативні запитання.

Досвід формування навичок мислення високого рівня у учнів 9 класу

свідчить

про те, що це дуже складний процес; залишається ще багато проблем, але поступово мислення учнів розвивається, вони намагаються розумові запитання ставити самі, з цікавістю шукають відповіді на запитання. Все це сприяє підвищенню рівня навчальних досягнень, свідомому засвоєнню знань.

15

Навчання учнів пошуку розв’язання задач і встановленню математичної залежності між об’єктами. Вступ В своїй діяльності людина ні з чим так часто не зустрічається і ні в чому так сильно не відчуває потреби, як в здатності ставити перед собою і розв’язувати задачі різних типів і різного ступеня складності. Задачі і їх розв’язування мають саме безпосереднє відношення до діяльності людини. Треба пам’ятати, що навіть самі авторитетні факти науки колись зародилися у вигляді нових, дуже складних задач. Розв’язування задач є найбільш поширеним проявом розумової діяльності учнів. Процес засвоєння знань не може здійснюватися без висунення перед учнями яких-небудь задач, тут не можна обійтися ілюстративно-послідовною навчальною інформацією, яка іде від вчителя до учнів. Навчання учнів пошуку розв’язання задач – це дуже складний процес, він тісно пов'язаний із вмінням встановлювати математичну залежність між об’єктами , це один з важливих аспектів самоосвітньої компетентності учнів. На прикладі навчального матеріалу курсу 9-10 класів буде розглянуто основні шляхи формування цих навичок. Пошук розв’язання задачі здійснюється в основному за допомогою аналітико-синтетичного методу, який носить цілеспрямований характер. Для діагностики наявності в учнів навичок цього типу можна запропонувати наступні завдання. Отже, діагностика навичок застосування аналітико-синтетичного методу для пошуку розв’язання задачі.

1) Функція задана формулою

y=

1 2 x + 3x .

2

встановити проміжок її спадання?

16

Чи можна без побудови графіка

2) Чи досить знати, що

a ≥0 ,

щоб встановити, яке з рівнянь не має

розв’язків: x + 3 = −2 ;

−5 = x + 2 ;

x = ( − 2)

2

;

3) Відомо, що а>3. Чи можна тоді стверджувати, що рівняння x 2 − ax + 5 = 0 має два корені однакового знаку?

4) Якщо а<0, то квадратний тричлен 3x 2 + 5 x + 2a можна розкласти на лінійні множники?

5) Сторони трикутника 11 см, 15 см і х см, де х – натуральне число. Для знаходження можливих значень х досить врахувати, що х<26?

6) Задано нерівність: ( a −1) x > 5 . Що треба врахувати, щоб знайти x ? ( a ≠ 1 , a > 1 , a < 1, 0 < a < 1 , a ≠ 0 ) 7) Замість побудови графіка функції функції

y = x +2.

y=

( x + 2 ) 2 учень будує графік

В якому випадку він не допускає помилки?

8) З вершини трикутника проведено висоту. Чи можна вважати, що сума довжин відрізків, на які висота поділила третю сторону, дорівнює довжині цієї сторони?

9) В трикутниках АВС і МРN

АВ=МР, ВС=РN, ∠C = ∠N . Чи можна

стверджувати, що ці трикутники рівновеликі?

10)

Чи можна замість рівняння

x + 3 ( x + 8) =

x +3 ⋅2

розв’язувати

рівняння x + 8 = 2 ?

11)

Вкажіть алгоритм знаходження нулів функції:

12)

Відомо, що графік функції

y = ax 2 + ( a − 4 ) x − 4,5

y=

x 2 − 3x + 2 ; x −1

має з віссю абсцис

одну спільну точку. Чи означає це, що дискримінант відповідного квадратного тричлена дорівнює нулю?

13)

Чи можна вважати, що різниця арифметичної прогресії дорівнює

-0,2, якщо задано послідовність 2; 1,8; 1,6; …; -2,6; … ?

14)

Точка А належить площині α . Скільки існує прямих, які

проходять через точку А і паралельні площині α ? Чи досить для

17

знаходження правильної відповіді застосувати тільки означення паралельності прямої і площини?

15)

При розв’язуванні рівняння

що воно має тільки один корінь

x=

3 x −1 =1 −3 x

можна зразу вказати,

1 ?

3

Досвід укрупнення одиниць для навчання пошуку розв’язання задач. Досвід навчання на основі укрупнення одиниць засвоєння показав, що основною формою вправ повинно стати багатокомпонентне завдання, наприклад: 1) розв’язування звичайної «готової» задачі; 2) складання оберненої задачі і її розв’язування; 3) складання аналогічної задачі за даною формулою або рівнянням і розв’язування її; 4) складання задачі по деяких елементах, схожих з даною задачею; 5) розв’язування або складання задачі, узагальненої по тих або інших параметрах даної задачі. При цьому дуже важливими є суміщення елементів укрупненого знання як в просторі, так і в часі. Це має психологічну причину. Згідно сучасним науковим даним вся інформація, яку сприймає людина, циркулює в так званій оперативній пам’яті протягом 15-20 хвилин, після чого «уходить» на зберігання в довготермінову пам'ять. Фаза оперативної пам’яті найбільш оптимальна для перетворення знань, для перекодування інформації. Тому так важливі технологічні деталі, щоб пряма і обернена задачі були записані в двох паралельних стовпчиках, щоб доведення взаємно-обернених теорем фіксувалися поруч, а графіки споріднених функцій були зображені на одному рисунку.

18

Наведемо приклад такого укрупненого завдання, яке виконується на одному уроці як єдине ціле (якщо на уроці не вдалося повністю його виконати, учні повинні закінчити його самостійно в домашній роботі). Розв’язати задачу складанням рівняння: 1) Майстер та учень можуть виконати деяку роботу за 12 год. За скільки годин може виконати цю роботу майстер, якщо учневі для цього потрібно 28 год.?

2) Скласти умову аналогічної задачі за її рівнянням:

1 1 1 = + ; 6 x x −2

3) Скласти і розв’язати задачу рівнянням з однією змінною на основі рівності: 1 1 1 = + 4 12 6

;

4) Скласти і розв’язати задачу за допомогою системи рівнянь з двома невідомими:

x− y = 6  1 1 1 x+ y = 4  Тут на прикладі однієї задачі ми бачимо 4 взаємопов’язані складові. Дуже цінним буде, якщо хтось з учнів самостійно складе комплект таких завдань для однієї задачі. Місце обернених задач при навчанні встановленню математичної залежності між об’єктами. Цей метод означає, що роботу над задачею не закінчують після отримання відповіді до неї. Необхідно скласти і розв’язати задачу, обернену по відношенню до даної. Це можливо тільки за умови, що будуть досліджені всі

19

можливі співвідношення між об’єктами даної задачі. В заданій задачі необхідно розрізняти 3 елементи: 1) Сюжетну складову (наприклад, задача на рух) 2) Числові дані 3) Математичні залежності і дії, за допомогою яких розв’язується задача. Тип задачі найбільш залежіть від останнього елемента. Розв’язуючи обернену задачу, учні самостійно оволодівають на практиці як новими зв’язками між відомими величинами, так і новими формами суджень. Найбільш

цінним

є

сам

пізнавальний

елемент,

коли

одна

задача

перетворюється в іншу. Приклади: 1а) Рівняння 5 x − 2a = ax − 3 має розв’язки: 2 < x < 8 . Треба визначити область значень параметра a .

1б) (обернена задача) В рівнянні 5 x − 2a = ax − 3 параметр a змінюється на проміжку

3,25 < a < 4,3 .

2а) Відомо, що числа що тоді числа

Знайти відповідну область зміни x . a2 ,b2 , c2

утворюють арифметичну прогресію. Довести,

1 1 1 , , b+c c+a a+b

теж утворюють арифметичну прогресію (

a > 0, b > 0, c > 0 )

2б) (обернена задача) Якщо прогресію, то числа

a2 ,b2 , c2

1 1 1 , , b+c c+a a+b

утворюють арифметичну

теж утворюють арифметичну прогресію.

Цей метод можна з успіхом застосовувати в геометрії, розглядаючи взаємнообернені теореми. Розвиток навичок встановлення математичної залежності між об’єктами. Вміння розв’язувати шкільні задачі і вміння складати умови задачі – це різні вміння. З першого не випливає друге, але лише друге повністю розкриває 20

можливості пізнання першого. Вправи на складання задач необхідно ввести в практику навчання як рівноправні з іншими вправами (якщо не більш цінні!). З власного досвіду пропонується наступне: в умові задачі змінюється одне дане. Зробити висновок відносно методу розв’язання.

1)

В

∆ABC , ∠C = 90°. CK ⊥ AB, CK = 5 см.

∠B = α

Знайти

S ∆ABC

Заміна: замість ∠B задано BC = 13 см. Знайти S ∆ABC

При розв’язуванні такої задачі застосовуються наступні математичні факти: 1) Теорема Піфагора.

2) Середні величини в прямокутному трикутнику.

3) Розв’язування прямокутних трикутників.

4) Формула площі прямокутного трикутника.

5) Співвідношення між тригонометричними функціями доповняльних кутів.

2) Знайти множину розв’язків нерівності:

(x

2

+ 6 x + 5)( x 2 − 3 x ) ≥ 0

Заміна: замість

(x

2

−3x )

записати

x 2 −3 x

методу інтервалів).

3) Побудуйте графік функції: Заміна:

y = 3 x −5

.

y =3 x −5

4) Розв’язати рівняння: 3 x −5 + x − 2 = 0

Заміна:

3 x −5 ⋅ x − 2 = 0

або

3x −5 − x − 2 = 0

або

3x −5 =0 x −2

5) Знайти область визначення функції: 21

. (з’ясовується свідоме засвоєння

y=

x −2 + 3 x −1

Заміна:

y=

( x −2 )(3 x −1)

Останній приклад дає змогу вчителю визначитись про свідоме розуміння учнями змісту виразу

D( y ) .

Умова задачі не змінюється, учні повинні перелічити всі елементи, величини, які можна визначити з даної умови.

1)

В прямокутному трикутнику відомі обидва катети. Визначити:

∠C , ∠B, ∠A, RÎÏ , rÂÏ , mc , hc , lc , S ∆ABC

Це задача-комплекс. Стверджуючи, що якусь величину можна визначити з даної умови, учні повинні одночасно знати математичні залежності між даними величинами і даними умови.

2) Задано рівняння: bx 2 + ( 2b −1) x + b = 0

Можна визначити: 1) За яких умов воно квадратне.

2) За яких умов дане рівняння має один корінь.

3) Розв’язати рівняння в залежності від значень b .

4) За яких умов корені додатні, від’ємні, різних знаків.

5) Визначити b , якщо один корінь відомий. Для яких значень b один корінь протилежний іншому. Розв’язання всіх цих завдань дозволяє повністю повторити всю теорію розв’язування квадратних рівнянь.

3)

З точки до площини побудовано дві похилі AB і AD , проекції яких на площину дорівнюють 7 см і 18 см. Довжини похилих відносяться як 5:6.

Знайти: 22

1) Довжини похилих.

2) Відстань від точки до даної площини.

3) Кути нахилу похилих до площини.

4) Площі ∆ABO і ∆ADO .

5) Проекції відрізка AO на кожну з похилих. Також дуже корисним є: вказати величину, даних для знаходження якої недостатньо. Так, в останній задачі неможливо визначити довжину відрізка BD , а також кут BAD, ∠BOD, S ∆ABD .

4) Розв’яжіть рівняння: sin 2 x + sin 6 x = 3 cos 2 x Додаткові можливі завдання: 1) Кількість коренів на [0;2π] 2) Найменший додатній корінь.

3) Найбільший відмінний корінь.

4) Всі способи розв’язування.

5) Замінити в умові sin 2 x і sin 6 x відповідно на cos 2 x і cos 6 x і дати відповідь на ті ж питання. Розвиток вмінь самостійно скласти умову задачі, якщо вказано, яку величину необхідно знайти. Орієнтований перелік можливих завдань: 1) Необхідно обчислити довжини діагоналей паралелограма (вчитель може запропонувати свій варіант умови, а учні повинні встановити, чи достатньо цих даних, а можливо, серед них є зайві) 2) Обчислити кут між проекціями двох похилих до однієї площини з однієї точки (вчитель задає тільки одну величину – відстань від даної точки до площини)

23

3) Необхідно обчислити найбільше значення квадратичної функції (мета завдання: учні повинні знати, які умови треба врахувати для задання такої функції) 4) Обчислити відстань від деякої точки до всіх вершин рівнобедреного трикутника.

5) Встановити, чи деяке число є членом заданої арифметичної прогресії.

6) Задати три тригонометричні нерівності таким чином, щоб одна з них не мала розв’язків, інша мала тільки один розв’язок, а третя виконувалась для всіх значень змінної.

7) Задати аналітично тригонометричну функцію, щоб областю визначення її були окремі точки (їх кількість – необмежена) 8) Скласти систему двох рівнянь з двома невідомими, щоб вона була рівносильна сукупності двох систем.

9) Задати квадратичну нерівність, щоб вона мала своїм розв’язком тільки одне число. Застосування методу допоміжної задачі. Метод допоміжної задачі дозволяє учням знайти ключовий факт, основну ланку в ланцюжку умовиводів, якщо вони самостійно не можуть знайти шлях до розв’язання задачі.

1) Вказати область значень функції не

мають

y = −( x −1)

2

найбільшого

y = 2 x 2 − 3 x +1

значення:

(які з наступних функцій

y = 2x 2 ;

y = −2x 2 ;

)

2) Не будуючи графіка функції

y = 3x 2 − x − 3 ,

вказати

проміжки її зростання і спадання (за даним ескізом графіка функції встановити проміжок її спадання).

24

y = ( x −1)

2

;

3) Розв’язати

систему

рівнянь

 3x 2 − xy − 2 y 2 = 0  2 2  x + y = 5 x:

(які з наступних рівнянь є квадратними відносно змінної x 2 − 4 xy + x 3 = 0 ; 2 x 2 − 5 xy + y 2 = 0 ; x + 4 y 2 = 0

)

4) Знайти кут між діагоналлю куба і площиною однієї з бічних граней. (поняття ортогональної проекції відрізка на площину) 5) Розв’язати тригонометричне рівняння: 2 sin 2 x − 5 sin x ⋅ cos x + 3 cos 2 x = 1 (розв’язати рівняння: 2a 2 − 5ab + 3b 2 = 0 6) Знайти відстань між мимобіжними ребрами правильного тетраедра.

( Побудувати площину, яка

проходить через ребро AB перпендикулярно до ребра CD ).

Прогнозування можливих помилок в розв’язуванні задачі із вказанням їх причин.

1. В кубі ABCDA1B1C1D1 побудовано переріз площиною (ADC1). Обчислити під яким кутом він нахилений до площини (ABC). (можлива помилка – перерізом є трикутник ADC1.Причина – незнання означення поняття перерізу).

2. Знайти нулі функції: y=

x 2 − 3x + 2 x −1

(Не враховується область визначення функції. Причина – незнання означення поняття нуля функції).

3. Знайти область визначення функції y = ( x −2)( 2 x −1)

25

4. Площина

проходить

через

катет

рівнобедреного

прямокутного

трикутника під кутом 30° до його площини. (Невміння показати відповідний лінійний кут пов’язане з нерозумінням його означення і недостатніми

навичками

в

застосуванні

теореми

про

3

перпендикуляри.)

5. Побудувати графік функції : y=

x −2 6

( x − 2) 6

+3

(Помилкова заміна: Не засвоєно :

2k

y=

x 2k = x

x −2 +3. x −2

.)

6. Застосувати необхідні перетворення для побудови графіка функції: π  y = sin  2 x +  3   

π 

( y = sin x → y = sin 2 x → y = sin 2 x + 3  При

побудові

перенесення на

останнього π 3

, замість

π 6

графіка

застосовують

паралельне

).

7. Розв’язати нерівність: ( x − 2) 2 ⋅ ( x 2 − 7 x +12) ≤ 0

(у відповіді вказано тільки область [3;4] . Не вказано точку x = 2 , т.я. ( x − 2) 2

≥0)

Прогнозування як передбачення результатів пошуку розв’язку задачі. В сучасній психології вважають, що людина знаходить розв’язок задачі на основі

безперервного

отриманого

результату

прогнозування, в

процесі

26

тобто

аналізу,

деякого синтезу

і

передбачення узагальнення.

Формування вміння прогнозувати є важливим компонентом розвитку мислення учнів. Приклад: довести тотожність: 1 + 2 cos 7 x = Якщо розглянути вид аргументів 10,5 x = 7 x +3,5 x ,

а

sin 10,5 x sin 3,5 x

10,5 x

і

3,5 x

. , то можна підмітити, що

7 x = 2 ⋅ 3,5 x

Тому маємо шлях доведення: sin 10,5 x = sin ( 7 x + 3,5 x ) = sin 7 x ⋅ cos 3,5 x + cos 7 x ⋅ sin 3,5 x ; sin 7 x ⋅ cos 3,5 x + cos 7 x ⋅ sin 3,5 x 2 cos 2 3,5 x ⋅ sin 3,5 x + cos 7 x ⋅ sin 3,5 x = = sin 3,5 x sin 3,5 x

Тоді

2 cos 2 3,5 x + cos 7 x = 1 + cos 7 x + cos 7 x = 1+ 2 cos 7 x

Тотожність доведено. Можна простежити на уроці за результатами використання прогнозування при виконанні завдання: 1 + cos 2α

Обчислити ctg α − tg α , якщо cos α + sin α = m .

2

2

До вміння прогнозувати можна підготувати учнів методом елементарних задач. Комбінація різних методів пошуку розв’язку задачі Щоб полегшити учням вибір методів пошуку, можна запропонувати таблицю. До неї учні звертаються тільки в тих випадках, коли відчувають затруднення.

27

Зміст таблиці: Вказівки 1. Ознайомитись з умовою

Додаткові вказівки А) Виконати рисунок; Б) виділити умову і запитання; В) проаналізувати дані, виявити зв’язки між

1.

ними. Пошук розв’язку Пересуватись від даних А) використати всі дані;

величин до шуканих, і

Б) отримати наслідки з них;

навпаки, шукати зв’язки

В) розглянути часткові випадки.

між ними.

2. Переформулювати задачу

А) Тимчасово врахувати тільки частину даних; Б) розв’язати задачу для часткового випадку.

3. Застосувати аналогію

А) Згадати задачу, яка аналогічна даній.

Б) скористатись методом її розв’язування. Слід відмітити, що часто зустрічаються задачі, пошук розв’язку яких знайти нелегко. Тоді вчитель може повідомити цей спосіб у готовому вигляді: Наприклад: 1. Знайти область значеннь функції

y = 2 cos x + 3 sin x ;

2. обчислити: cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80° ; 3. розв’язати рівняння: cos x ⋅ cos 3x = 1 . Після вказівки вчителя необхідно впевнитись, що учні не тільки зрозуміли метод, а й зможуть його застосувати в інших ситуаціях (запропонувати перелік завдань, серед яких знайдуться ті, для котрих ці методи знадобляться). Методи елементарних і неелементарних задач.

28

Неелементарна задача зводиться до декількох елементарних, і на деякому етапі навчання сама може стати для учня «елементом» розв’язування більш складних задач. Метод елементарних задач полягає в тому, що на основі найпростіших вправ формуються навички застосування окремих вправ, теорем. А метод неелементарних задач формує в учнів одночасно вміння розв’язувати ці задачі і навпаки виконання проміжних операцій. Висновки Навчання учнів пошуку розв’язання задач тісно пов’язано як із зовнішніми умовами, так і з внутрішніми процесами. Зовнішні умови – це характер вправ,

їх

послідовність,

організаційні

прийоми.

Внутрішні

процеси

відбуваються в свідомості учнів, їх увазі, розумовій діяльності. Знаючи ці закономірності, методику їх застосування, вчитель може цілеспрямовано керувати процесами мислення учнів, змінюючи зовнішні умови, в яких відбуваються ці процеси.

29

Формування самоосвітньої компетентності учнів через поєднання повторення і вивчення нового матеріалу (з досвіду викладання поглибленого курсу математики в 11 класі) Ліцейська

програма

формування

самоосвітньої

компетентності

передбачає для учнів 11 класу вміння самостійно планувати свою навчальну та самоосвітню діяльність, відбирати раціональні способи її виконання; розвивати думку, відповідаючи на запитання, ставити зустрічні запитання, виконувати завдання відтворювально-творчого характеру, користуватися різними прийомами аналізу та синтезу, володіти прийомами доведень. Учні повинні застосовувати різні види та форми порівняння, самокритично оцінювати результати своєї роботи, коригувати свою діяльність на основі самоконтролю, критично сприймати своє і чуже мовлення, зв’язно викладати тему, мету, гіпотезу, хід і результати проведеної пошукової та дослідницької роботи. У випадку, коли учні 11 класу мають суттєві прогалини в знаннях за попередні роки, перед вчителем постає відповідальна задача: розробляючи завдання на кожний урок, плануючи свою роботу і роботу учнів, органічно поєднати повторення навчального матеріалу і вивчення нового, розвиваючи і формуючи при цьому самоосвітню компетентність вихованців. З цією метою надалі було запропоновано завдання по курсу алгебри і геометрії 11 класу. Алгебра Тема «Границя та неперервність функції» Повторення: числові послідовності, розкладання квадратного тричлена на лінійні множники, графіки елементарних функцій. Завдання №1. Серед вказаних послідовностей вказати зростаючі: (10 клас) x

n

=2n −1

;

1 a = n n +1 ;

b =2n 2 −n +1 n

;

30

y

n

=2 n

2

(учні повинні пояснити, чи досить для відповіді зосередитись на декількох прикладах, або необхідне доведення в загальному вигляді) Завдання №2. Знайти границю (10 клас) 2 2 5 lim (1 + ) ; lim n + 1 ; lim (3 − ); 3n n→∞ n→∞ n → ∞ n2 n2 lim n→∞

2 − 7n3 n3

lim ( 1 + n − 2 − n ) n →∞

;

(необхідно пояснити, в якому завданні метод обчислення границі відрізняється від методу в інших завданнях) Завдання №3. (11 клас) Чи можна без обґрунтування встановити, чи має функція f границю в точці х0, побудувавши графік функції f: f ( x ) =2 x +1, x

1) 2)

f ( x) =

3)

f ( x) =

0

=1

;

x 2 −9 , x = −1 ; 0 x +3

x −1 x −1

,x

0

=1 .

Завдання №4. В яких прикладах (11 клас) необхідно застосувати розкладання квадратного тричлена на лінійні множники для обчислення границі функції в точці: а) г)

x 2 − 2x − 3 lim ; x → 3 x 2 − 5x + 6 x 4 − 3x + 2 lim x →1 x5 − 4x + 3

б)

; д)

lim x →2

x 3 − 3x − 2 ; x3 − 8

в)

lim x →∞

(1 + x ) 4 − (1 + 4 x ) x2 + x4

;

2 x −4   lim  +  2 2 x → 3 2 x − 5 x + 2 3( x − 3 x + 2) 

Завдання №5. (11 клас і 10 клас) Розташувати завдання за зростанням ступеню складності їх виконання. Запропоновані думки окремими учнями можуть бути оскаржені іншими: а)

2 − x −3 lim x → 7 x 2 − 49

г)

lim x → −2

ж)

; б)

3 x−6 +2 x3 + 8

; д)

2+ x lim x → −2 1 − x 2 − 3

; з)

6 − x −1 lim ; 3 − 4+ x x →5 3 x −1 lim ; x →1 x −1

x −1 lim x → 11 − x

е)

в)

x lim ; 3 x → 0 x +1 −1

lim x →0

.

31

x2 + 4 − 2 x

;

Завдання №6. (11 клас і 10 клас) Знайти горизонтальні асимптоти графіка функції, побудувати їх в прямокутній системі координат. y=

3x + 5 ; 4 x −1

y=

x 2 −1 ; 2 x 2 + x −1

y=

x2 ; x −1

y=

x −1 x2

(перед учнями ставиться завдання обґрунтованості факту існування цих асимптот) Завдання №7. (11 клас, 8 клас) Знайти похилі асимптоти графіка функції. f ( x) = x +

1 ; x

f ( x) =

x 2 + 3x x −1

;

f ( x) =

( 2 −x ) ( x −3)

3 2 ;

f ( x) =

x 4 −8 ( x +1) 4

(З 8 класу необхідно застосувати вміння «ділення куточком») Дати відповідь на запитання: в якому із запропонованих завдань доцільніше знаходити похилі асимптоти методом границь або методом «ділення куточком». Висновок: в запропонованих завданнях по цій темі поєднання повторення і вивчення нового дозволяє поглибити свідомість набуття знань, вдало поєднувати аналіз, порівняння і логічні висновки. Тема: «Похідна та її застосування» Завдання №1. (11 клас) Самостійно ознайомитись із задачами, які ведуть до поняття похідної. Зрозуміти зміст понять «приріст аргументу і приріст функції». Зрозуміти етапи здійснення алгоритму обчислення похідної за означенням. Повторення:

формули

скороченого

множення,

звільнення

ірраціональності в знаменнику дробу. Завдання №2 (після вивчення теорем про обчислення похідних) Розв’язати нерівність f ( x) =

2x 1−x

;

f ' ( x) > 0 ,

якщо:

f ( x) = ( x +2) 2 ( x −3)

; 32

f ( x) = cos 2 x

від

Повторення:

розв’язування

тригонометричних

нерівностей,

розв’язування алгебраїчних нерівностей методом інтервалів. Завдання №3. (після вивчення теорем про застосування похідної) а) Знайти точки екстремуму функції: f ( x) = cos 2 x − x 3

б) Подайте число 8 у вигляді суми двох невід’ємних чисел так, щоб добуток куба одного з них на друге число був найбільшим. в) Знайти площу трикутника, обмеженого віссю ОХ, прямою х=4 і дотичною до графіка функції

f ( x ) = x 2 −2 x + 4

у точці з абсцисою х0=4 .

Повторення: розв’язування тригонометричних рівнянь, побудова графіка лінійної функції, застосування обчислювальних навичок. Тема: «Показникова і логарифмічна функції» Завдання №1. Якому проміжків належать корені рівняння 2 lg x=lg (x+7) а) (-∞; -2)

в) (1; 3]

б) [0; 5]

г) (3; 7)

д) [7; +∞)

Повторення: розв’язування квадратних рівнянь; розв’язування лінійних нерівностей. Завдання №2. Виписати нерівності, які розв’язуються однаковими способами:

( ) sin

π x − 0,5 > 2; 6

2 x − 21 − x ≤ 1

;

1 62x − 1 − 6 x − 4 ≤ 0 ; 3 5 x − 0,04 ≥0 ; 5−x 3 2 x − 4 ⋅ 3 x − 45 > 0

Повторення: властивості степенів з однаковими основами; розв’язування квадратних нерівностей.

33

Завдання №3. Скільки коренів має кожне з рівнянь: (обґрунтувати доцільність застосування того чи іншого способу)

()

1 x = log x ; 2 2

log

3

x =4 −x

1 log x = ; 2 x

;

log

log

x = −x

3

3

;

x =−x 2

log

1 3

;

x =− x +3

Повторення: область значень функції; графіки елементарних функцій. Завдання №4. Систематизувати нерівності за способом їх розв’язування: log

1 6

x >−3

;

log

0,4

lg 2 x +3 lg x −4 < 0

;

x −log

;

2 log

5

x

5 ≤1

(x 2 −3) < log 0,4 ( x +3) ; x

log x + 2 3 ≥ 27

log

2

log

3

log

; 1 2

log

x(

6 −x ) ≥ 2

;

x ≥0

2 ⋅ 5 x −1 > 5 x − 2

Повторення: розв’язування ірраціональних нерівностей; потенціювання алгебраїчних виразів; системи ірраціональних нерівностей. Геометрія Тема: «Координати і вектори у просторі» Завдання №1. Дано координати вершин чотирикутника А(-1;2;3), В(1;3;1), С(-1;7;3),D(-1;6;5). З’ясувати вид чотирикутника АВСD. а) квадрат; б) трапеція; в) ромб, але не квадрат; г) прямокутник, але не квадрат; д) паралелограм, але не ромб і не прямокутник. Повторення: означення і властивості, а також ознаки опуклих чотирикутників (8 клас). Завдання №2. Дано куб ABCDA1B1C1D1 , точка M – середина ребра CC1 , N – середина A1B1. Знайти косинус кута між прямими DA і MN: а)

6 3

; б)

3 3

; в)

1 3

; г)

6 6

4 д)

3 2

34

.

Повторення: дії над векторами, обчислення складного добутку векторів, знаходження довжини вектора. Завдання №3. Дано точки А(1;5;8), В(5;2;9), С(7;4;7), D(8;3;0). Як довести, що пряма АВ перпендикулярна до площини ВСD? Повторення: означення перпендикулярної прямої і площини (10 клас), умова належності прямої площині (10 клас). Завдання визначає вміння проведення аналізу умови, синтезу необхідних властивостей і ознак, складання плану реалізації думок. Завдання №4. Знайдіть множину точок К(x;y;z) таку, що містить точку M(2;3;-1), і пряма, яка проходить через точки A(2;-6;4) і B(6;-3;5), перпендикулярна до кожної прямої, яка проходить через точку М. Завдання вимагає вміння розділення вимоги на складові частини, реалізації кожного етапу розв’язання. Повторення: умови перпендикулярності двох прямих, двох векторів, умова належності точки даній прямій. Тема: «Многогранники» Завдання №1. Діагональ куба

3 3 5

дм. Знайдіть відстань від прямої, що

містить діагональ куба, до вершини, яка їй не належить: а)

6 5

дм; б) 0,3 дм; в)

3 6 10

дм; г)

3 3 10

дм д)

2 6 5

дм.

Повторення: відстань від точки до прямої (10 клас), співвідношення між елементами прямокутного трикутника (8 клас). Завдання №2. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 діагоналі АС і BD грані ABCD перетинаються в точці N, точка М – середина ребра CC1.. Пряма MN утворює із площиною АВС кут α, а з площиною AA1B1 – кут β. Знайти усі можливі значення кута α, якщо β=2 α. а) 45°; 90°; б) 45°; 60°; в) 30°; 60°; 35

г) 0°; 30°; д) 0°; 60° Завдання вимагає застосування навичок дослідження. Повторення: поняття кута між прямою і площиною, обмеження для значень усіх кутів, тригонометричні функції гострого кута. Завдання №3. Основою піраміди є трапеція, у якої бічні сторони дорівнюють меншій основі, більша основа – 6 см, а тупий кут – 120°. Усі бічні ребра піраміди утворюють із площиною основи кут 60°. Знайти об’єм піраміди. Повторення: знаходження радіуса кола, описаного навколо трапеції. Завдання вимагає вміння проводити серйозний аналіз. Тема: «Тіла обертання» Завдання №1. У конус вписано півкулю так, що її плоска грань розміщена на основі конуса, а сферична поверхня дотикається до бічної

поверхні конуса. Об’єм конуса в

1 1 3

рази більший за об’єм півкулі.

Визначте кут між висотою і твірною конуса. а) arcsin

π 3

;

б)

π 3

або

arcsin

13 −1 ; 4

в)

13 4

arcsin

;

г)

π 4

;

д)

π 6

або

13 −1 .

4

Повторення:

властивість

дотичної

до

кола,

співвідношення

в

прямокутному трикутнику. Завдання№2. Збільшення довжини радіуса кулі на 2см призвело до збільшення об’єму її кульового сектора на 16π см 3. Знайдіть початковий радіус кулі, якщо кут осьового перерізу сектора дорівнює 120°. а)

33 − 3 3

; б)

6 −3 ; 3

в)

3 3

; г) 36

3 −1 ; 3

д)

33 −1 .

3

Повторення: площа кругового сектора, довжина дуги кола. Завдання вимагає вміння просторові уявлення реалізувати на площині, вміння порівнювати величини, які є функцією іншої величини. Наведені завдання орієнтовані на перевірку сформованості тих чи інших якостей самоосвітньої компетентності при навчанні математики в 11 класі. Вдале поєднання з повторенням програмного матеріалу дозволяє вчителю застосувати ці завдання в кінці вивчення кожного розділу теми для відслідковування сформованості самоосвітньої компетентності учнів.

37