Intervallets vĂŚsen om absolut og relativt
Det Springende Punkt
.
Ordnet.dk: Logaritme. Substantiv, fælleskøn [logɑˈʁidmə] af nylatin logarithmus, dannet af J. Napier (1550-1617) af græsk logos 'forhold' og arithmos 'tal'
Nicholas Fabers orgel i Halberstadt i Sachsen-Anhalt blev bygget i 1361 og udvidet i 1495. Illustrationen ovenfor er fra Michael Praetorius' Syntagma Musicum fra 1619 og er interessant af mindst to grunde: – –
Den viser, at der flere måder at udlægge en oktav på et klaviatur. Fra venstre til højre ses det 75-mønster, vi anvender i dag, derefter to forskellige 7-4-mønstre, som ikke benyttes længere. Det er de ældste kendte klaviaturer af disse typer, altså hvor hver oktavs tangenter er ordnet i samme mønster og i samme dimensioner.
Der knytter sig en meget vigtig pointe til det sidste punkt: Ethvert klaviaturs mønster af denne type er et logaritmisk mønster! Man kan med samme fingergreb spænde over en oktav, uanset om det er i den lave eller den høje ende, altså uanset om man i absolutte frekvenstal spænder over et relativt lille eller relativt stor frekvensspring. Se hvorledes på eksemplet med et moderne klaviatur. Til forskel herfra skal man på en fløjte eller en guitar i den høje ende spænde over små afstande, i den dybe ende over større.
Logaritmer fik man en gryende forståelse af først i 1600-tallet. I forbindelse med indsamling af materiale til skriftet 'Rundt om oktaven', blev min opmærksomhed i særlig grad henledt til dele af René Descartes' arbejde, som de færreste først og fremmest kender ham for, men som har været mindst ligeså banebrydende som de filosofiske bidrag, han er mere kendt for. Oktaven er universel. Kloden rundt danner den ramme om skalaer. Mænd og kvinder synger i oktavafstand, når de – som vi siger – synger enstemmigt sammen. Den kommer til udtryk i (bølge-) længde- og frekvensproportionen 1:2. Derudover slår den bro mellem det, som kan måles og det, som vi oplever som noget indre, noget sjæleligt.
Descartes var den første, som i et matematisk sprog beskrev den logaritmiske spiral:
Og han var også den første som inddelte en oktav i et cirkulært logaritmisk diagram. Det vil sige, at intervaller af samme størrelse overalt i diagrammet spænder over samme størrelse vinkel:
Det er faktisk enestående i sig selv. Mit nævnte skrift beskæftiger sig med et historisk perspektiv af oktaven gengivet visuelt som en spiral. Den første kendte oktavspiral ligger imidlertid 250 år senere end Descartes' arbejde med spiral og tonecirkel. Værdierne 540-486-480-432-405-384-360-324-320-288 (-270) skal helt klassisk tolkes som strengelængder på et monochord. Det giver et sæt velkendte værdier i en ren stemning med to versioner af hhv. stor sekund og stor sekst: 1-10/9-9/8-5/4-4/3-45/32-3/2-5/3-27/16-15/8 (-2). Descartes lancerer altså en logaritmisk anskuelse, som tydeliggør alle intervallers relative størrelse inden for oktavens cirkulære ramme. Og han illustrerer det korrekt og præcist. Illustrationerne er noget senere end nævnte årstal. Læs mere (på engelsk) her!
Et eksempel Ordnet.dk: Logaritme. Betydninger. 1. Tal som angiver hvor mange gange man skal gange et andet tal, logaritmefunktionens grundtal, med sig selv for at få et givet tal som resultat. Et eksempel: logaritmen til 1000 er 3 ved grundtal 10, idet 10 skal ganges 3 gange med sig selv for at give 1000 som resultat. Lad os tage et eksempel med et interval fra Descartes' oktavcirkel, heltonen 9:8, som findes fire steder i systemet, mellem værdierne 288:324, 320:360, 360:405 og 480:540 Den store sekund, heltonen, som kendes fra pythagoræisk og ren stemning mellem frekvensværdierne c'=256 Hz og d'=288 Hz har den relative værdi 8:9 (otte til ni). Intervallet optræder i naturtonerækken. Det er i sagens natur springet fra deltone 8 til deltone 9. (Bølge-) længdeværder er reciprokke til frekvensværdier. Hvis der er tale om en streng, vil man kunne nå frem til oplevelsen af intervallet ved at spille de relative værdier som absolutte længder, fx 72cm (8x9 cm) efterfulgt af 64cm (8x8cm). Samme interval findes mellem mange andre længdeforhold, bl.a. mellem 144cm og 128cm. Selvom første interval kommer til udtryk ved en forskel på 72-64=8cm og det andet ved 144-128=16cm, er det samme oplevelse. Vi bliver altså nødt til at finde et sprog, hvor det ikke blot er et udtryk for forskelle mellem absolutte værdier (længder og frekvenser) men viser forskellen mellem relative forhold.
9:8= 1,125. Med andre ord øges frekvensen med denne faktor, når man springer fra 8 til 9, fra c' til d'. I ligedelt oktav, er alle halvtoneintervaller lige store. En stigende halvtone er et udtryk for en frekvensforøgelse, hvor man ganger med værdien 12. rod af 2, som skrives 12√2 eller 21/12 Med tre decimaler er værdien 1,059, og en ligedelt heltone får vi ved at gange denne værdi med sig selv: 21/6=1,122 Den store sekund fra c' til d' i pythagoræisk og ren stemning er altså noget større end heltonen i ligedelt oktav: 1,125>1,122 Men nu er vi begyndt at sammenligne relative forhold, og akkurat dette har man udviklet logaritmer til. Intervallet mellem to frekvensværdier, a og b kan udtrykkes i centværdien 1.200 x log(a/b) : log2 I Alexander Ellis' centsystem, som man kloden rundt bruger til at sammenligne intervaller, sættes oktavens 1:2proportion til 1.200 cent. Den matematisk ligedelte halvtone sættes til 100 cent. Se illustration på følgende side. Vi finder centværdien til heltonen 9:8 efter ovenstående: 1.200 x log(9/8) : log2 = 203,91 cent. Den naturlige heltoneværdi er altså knapt 4 cent – en femogtyvendedel halvtone – større end den ligedelte oktavs heltoneværdi på 200 cent.
Alexander Ellis (1814-1890)
Man ser oftest centværdier gengivet lineært. Her skal man være opmærksom på, at illustrationen viser noget grundlæggende forskelligt fra den med strengelængder. Her handler det om intervallernes størrelser, og de spejler sig i forskellige længder, afhængigt af toneleje.
Den ligedelte oktav, hvor hver halvtone udgør 100 cent.
Med Descartes' revolutionerende anskueliggørelse af oktaven, kan vi opstille et cirkulært billede. Man omregner fra cent til vinkelgrader ved at gange med 0,3 eller ved 360 x log(a/b) : log2. Akkurat den ligedelte oktav har dog nogle meget problematiske sider. Visuelt er det jo besnærende med det cirkulære billede med tolv akser., som vi kender dey fra urskiver. Ørets sans for musikalsk renhed har dog dybere rødder i naturtonerækken, hvis akser slet ikke er sammenfaldende med ovenstående.
Erv Wilsons oktavspiral fra 1965. Den naturlige store sekund ses som vinklen fra deltone 8 til 9.
Det, vi har mistet med den ligedelte oktavs dominerende stilling de seneste par hundrede år, er i forhold til de rene intervaller primært oplevelsen af tertser og sekster. Derudover mistes forbindelsen til baggrunden for de altafgørende mekanismer for tonalitetens nuancer, det grundlæggende sprog for intervallers harmoniske opløsning: - Store og forstørrede intervaller har en iboende udvidende tendens – disse intervaller opløses spredt. - Små og formindskede intervaller har en iboende sammentrækkende tendens – disse intervaller opløses samlet. Når alle halvtoneintervaller jævnes ud, uden tanke for, hvad der skabte det karakteristiske mønster af små og store intervaller, som stadig fremgår af klaverets sort-hvide 7-5-mønster, amputerer man egentlig hele tonalitetens væsen, og der er ikke noget at sige til, at den bryder sammen i stedet for naturligt at bevæge sig til højere ordener. Tonaliteternes orden sættes af de to primære intervaller: Oktaven udgør rammen. Kvinten er generator og udfylder rammen med små (nedenfor: blå) og store (orange) intervalenheder. I det kulørte diagram indgår den rene heltoneværdi, proportionen 9:8, med afrundet centværdi 204. Lovmæssighederne for spillet mellem oktav og kvint er herhjemme i dybden blevet udforsket af Frede Schandorf og væsentlige dele af hans værk formidles af hans elev Knud Brant Nielsen på hjemmesiden www.tolvtonalitet.dk Centrale diagrammer er gengivet på forsiden af dette hæfte og nedenfor: