Lars Pryn: Kunst og Virkelighed by Skye Løfvander

”Kunst og Virkelighed”

Nogle indledende betragtninger over Johann Sebastian Bach: ”Das Wohltemperierte Klavier”

Lars Pryn, 2009

”Kunst og Virkelighed” Nogle indledende betragtninger over Johann Sebastian Bach: ”Das Wohltemperierte Klavier” ©Lars Pryn, 2009 Kontakt: Lars Pryn Kovangen 603 3480 Fredensborg Tlf. 48 48 25 94 e-mail: larspryn@hotmail.com

Indhold

Indledning

Temperaturproblemet

Perspektiver

Illustrationer, tabeller mv.

Indledning

Temperaturproblemet

Das Wohltemperierte Klavier af Johann

I 1722 færdiggjorde Johann Sebastian

Sebastian Bach (1685 – 1750) er ikke

Bach den samling præludier og fugaer,

alene et af den vestlige verdens betyde-

der almindeligvis går under betegnelsen

ligste kunstværker. Det er også et værk,

”Das Wohltemperierte Klavier I”. Auto-

som i ganske særlig grad sætter fokus på

grafens smukt kalligraferede titelblad er

selve fundamentet for flere hundrede års

gengivet på Fig. I og Fig II. Ved ”Præludia,

europæisk musikkultur: et tonesystem og

und Fugen durch alle Tone und Semitonia,

en stemning, som muliggør flerstemmig

So wohl tertiam majorem oder Ut Re Mi

musik i dur og mol med ubegrænset tonal

anlangend, als auch tertiam minorem oder

bevægelsesfrihed. Et sådant tonesystem

Re Mi Fa betreffend” forstås præludier og

kan sammenlignes med cirkelens kvadra-

fugaer i såvel dur som mol med grund-

tur. Matematisk set er begge dele umu-

tone på hver af den kromatiske skalas 12

lige. Ikke desto mindre har Das Wohltem-

halvtonetrin; med andre ord: præludier og

perierte Klavier i snart 300 år været en

fugaer i C-dur og c-mol, Cis-dur og cis-

kunstnerisk realitet. Om dette paradoks

mol, D-dur og d-mol osv. sluttende med

og nogle perspektiver heri handler det

H-dur og h-mol.

følgende. Fremstillingen tager udgangs-

En snes år senere færdiggjorde han en

punkt i en række illustrationer, tabeller

tilsvarende samling. Den bevarede auto-

mv. (Fig. I – XXVIII), som jeg i tidens løb

graf, som næppe repræsenterer den ende-

har udarbejdet til undervisningsbrug.

lige version af værket, er ufuldstændig og

For en bredere introduktion samt ana-

har intet titelblad. Der findes imidlertid

lyse af de enkelte satser henvises til

en afskrift af en anden og formentlig se-

Alfred Dürr: Johann Sebastian Bach: Das

nere version. Denne afskrift er dateret

Wohltemperierte Klavier, Bärenreiter 1998.

1744 og er foretaget af Bachs elev og se-

Heri findes også en omfattende litteratur-

nere svigersøn Johann Christoph Altnickol

liste.

(1719 – 1759). Titelbladet til denne afskrift

er gengivet på Fig. III og Fig. IV. På baggrund heraf må det antages at være i overensstemmelse med Bachs intentioner, når denne samling almindeligvis kaldes ”Das Wohltemperierte Klavier II”.

karakte-

i tallet 60. Det gør tallene 10, 12, 15, 20,

riserer ikke alene Das Wohltemperierte

30 og 60 også, og mens 1., 2., 3., 4., 5. og

Klavier, men næsten hele den vestlige

verdens musik, stiller særlige krav til

danner 10., 12., 15., 20., 30. og 60.

tonesystemet,

partialtone moltreklangen. Se Fig. VI.

Den

flerstemmighed,

krav

som

konsonerende

partial-tone

danner

durtreklangen,

samklange, om harmonier. I 1558, dvs.

Der skal i denne forbindelse erindres

mere end 100 år før Bachs fødsel, havde

om, at tallet 60 var grundtallet i det baby-

den

musik-

loniske talsystem, som stadig anvendes i

teoretiker Gioseffo Zarlino (1517 – 1590)

forbindelse med tid og rum. En time deles

udgivet en bog med titlen ”Le Istitutioni

i 60 minutter à 60 sekunder, og cirklen

Harmoniche”, hvori han argumenterede

deles i 360 grader. 360 er lig med 60

for et tonesystem, der bygger på tre-

gange 6 eller, om man vil: 60 gange

klangen: durtreklangen, som har stor

”senario”.1

italienske

komponist

Mens Zarlino således så en aritmetisk

terts og ren kvint, og moltreklangen, som har lille terts og ren kvint. Grundlaget

mol-

nomen Johannes Kepler (1571 – 1630) en

treklangen er partialtonerækken, hvoraf

geometrisk forklaring i cirklens deling,

et udsnit med udgangspunkt i tonen c er

som han jævnførte med delingen af en

vist

streng.

på

for

Fig.

både

forklaring på tonesystemet, søgte astro-

dur-

lodrette

streger

Den

enkleste

form

dur-

forestiller en streng, der er vist såvel i sin

treklangen dannes af 3., 4. og 5. partial-

helhed som delt i 2, 3, 4, 5, 6 osv. lige

tone svarende til 1/3, 1/4 og 1/5 af

store dele. Derved fremkommer de toner,

strengen 2. En cirkel kan netop deles i 3,

som er angivet på klaviaturet øverst på

4 og 5 lige store dele ved at indskrive hen-

siden. Læg mærke til det reciprokke

holdsvis en ligesidet trekant, et kvadrat

forhold mellem de relative svingningstal

og en regulær femkant i cirklen som vist

og de relative strengelængder.

på Fig. VII. Moltreklangen dannes i sin

Til grund for sit tonesystem lagde Zarlino

begreb,

som

han

kaldte

”senario”. På latin betyder ”senarius” noget, ”som består af seks”, og de første seks

partialtoner

danner

netop

dur-

treklangen. Tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 har endvidere det til fælles, at de alle ”går op”

Tallet 6 har i øvrigt stor symbolsk betydning. I henhold til Første Mosebog var Gud netop 6 dage om at skabe verden, hvilket kan hænge sammen med den omstændighed, at 6 er det første ”perfekte tal”, dvs. et tal, som er lig med summen af sine faktorer (1 medregnet, men naturligvis ikke tallet selv). De ”perfekte tal” vokser meget hurtigt i størrelse: 6, 28, 496, 8128, 33550336 osv., og der kendes kun få. 2 Tallene 3, 4 og 5 udgør endvidere det enkleste pythagoræiske talsæt, idet 32 + 42 = 52. En trekant med sidelængderne 3, 4 og 5 vil altså være en retvinklet trekant.

enkleste form af 10., 12. og 15. partial-

og ikosaeder, idet dodekaederet har 12

tone svarende til 1/10, 1/12 og 1/15 af

flader og 20 hjørner, mens ikosaederet

strengen. Også disse brøkdele af cirklens

har 20 flader og 12 hjørner.

omkreds fremkommer, når den ligesidede

vedværk ”Harmonices Mundi” fra 1619

trekant, kvadratet og den regulære fem-

har Kepler demonstreret, hvorledes et

kant indskrives i en og samme cirkel som

heksaeder følgelig indeholder et oktaeder

vist på Fig. VIII.

og omvendt, samt hvorledes et dode-

I sit ho-

Disse tre regulære polygoner danner

kaeder indeholder et ikosaeder og om-

sidefladerne i de fem regulære polyedre:

vendt. En side fra ”Harmonices Mundi”,

tetraeder, oktaeder og ikosaeder, som be-

hvor disse og andre relationer de regulære

står af henholdsvis 4, 8 og 20 kongruente

polyedre imellem er illustreret, er gengivet

ligesidede trekanter, heksaeder (eller ter-

på Fig. XI.

ning), som består af 6 kongruente kvadra-

Den dybe fascination af geometri i

ter, og dodekaeder, som består af 12 kon-

almindelighed og de regulære polyedre i

gruente regulære femkanter. Se Fig. IX.

særdeleshed er baggrunden for illustra-

Den schweiziske matematiker Leonhard

tionen på Fig. XII, som stammer fra

Euler (1707 – 1783) har påvist, at der i

Keplers ungdomsværk ”Mysterium Cosmo-

polyedre hersker et konstant forhold mel-

graphicum” fra 1596. Heri forestillede han

lem antallet af flader, hjørner og kanter.

sig, at planeterne bevæger sig i sfærer,

Eulers polyedersætning kan formuleres

hvis indbyrdes afstand er bestemt af

således:

indskrevne henholdsvis omskrevne regulære polyedre. Senere opdagede han imid-

flader + hjørner – kanter = 2. For de fem regulære polyedres vedkommende er tallene anført i tabellen på Fig. X. Læg mærke til, at samtlige tal svarer til partialtoner, som indgår i dur-

lertid, at planeterne bevæger sig i elliptiske og ikke i cirkulære baner, og derfor måtte han forlade den opfattelse, han havde

udtryk

for

”Mysterium

Cosmographicum”. Med ovenstående fremstilling har jeg

og moltreklangene. Læg endvidere mærke til, at heksaeder og oktaeder er inverse

givet

forsøgt at antyde nogle af de quadriviale 3

forstået på den måde, at heksaederet har 6 flader og 8 hjørner, mens oktaederet har 8 flader og 6 hjørner. Tilsvarende gælder for forholdet mellem dodekaeder

Quadrivium (”Firvejen”) er middelalderens og renæssancens sammenlignende studium af fagene aritmetik, geometri, astronomi og musik. Det er tankevækkende, at musik har været opfattet som et naturvidenskabeligt fag!

forestillinger om en altomfattende har-

bestående af tonerne c, e og g tonika, den

moni, som er en vigtig forudsætning for

nederste treklang bestående af tonerne f,

det tonesystem, der danner grundlag for

a og c er subdominant, og den øverste

Das Wohltemperierte Klavier. Det skulle

treklang bestående af tonerne g, h og d er

gerne fremgå, at disse forestillinger har

dominant. Den smukke symmetri under-

en vis om end begrænset gyldighed. På

streges yderligere af den omstændighed,

lignende måde viser det sig, at også

at mens tonika altid er en ren treklang,

tonesystemet

får såvel subdominant- som dominant-

kun

lader

sig

realisere

matematisk eksakt i begrænset omfang.

treklangen ofte tilføjet en fjerde tone. For subdominantens vedkommende er det

De grundlæggende regler for akkorders

den store sekst, her tonen d, som sam-

relationer er

tidigt er dominantens kvint. For domi-

beskrevet af Jean Philippe Rameau (1683

nantens vedkommende er det den lille

–

septim, her tonen f, som samtidigt er sub-

opbygning

1764),

”Traité

hvis

indbyrdes

første

l’Harmonie

teoretiske réduite

værk à

ses

dominantens grundtone. Der består således en stærk affinitet

Principes naturels” udkom i 1722. På Fig. XIV er vist en opstilling, der

mellem akkorderne i forbindelsen: tonika

illustrerer dur- og moltreklangenes ind-

–

byrdes forhold. Hvor tre toner kan for-

dominantseptimakkord – tonika, og med

bindes til en trekant, der peger mod højre

netop denne forbindelse indleder Bach –

– f.eks. tonerne c, e og g – fremkommer

næsten som en programerklæring – C-dur

en durtreklang. Hvor tre toner kan for-

præludiet i første bind af Das Wohl-

bindes til en trekant, der peger mod

temperierte

venstre – f.eks. tonerne e, g og h –

værket.

fremkommer en moltreklang.

Allerede

få

Tre durtreklange i indbyrdes kvint-

subdominant

med

Klavier

tilføjet

sekst

dermed

nodeeksempel takter senere

–

hele

Fig.

XIII.

opstår

der

imidlertid problemer. For at anskuelig-

alle

gøre dette er det nødvendigt at vende

tonerne i en durskala, ligesom tre mol-

tilbage til ”senario” og se nærmere på de

treklange i indbyrdes kvintafstand til-

intervaller, der findes mellem de første

sammen indeholder alle tonerne i en ren

seks partialtoner. Se Fig. XVI.

afstand

indeholder

tilsammen

molskala. Dette forhold er demonstreret

Intervallet mellem 1. og 2. partialtone er

på Fig. XV, hvor C-dur er anvendt som

en oktav. Oktavens relative svingningstal

eksempel. Her er den midterste treklang

er følgelig 2/1. Relative svingningstal er

forholdstal og derfor komplicerede at

En analyse af Fig. XIV, XVII og XVIII

regne med: man kan ikke lægge sammen

afslører problemerne i tonesystemet. Læg

og trække fra, men kun gange og dividere.

mærke til, at den samme tone, f.eks.

For overskuelighedens skyld omregner

tonen c, står flere steder på Fig. XIV. Af

man derfor de relative svingningstal til

Fig. XVII og XVIII fremgår det imidlertid,

cent. En cent er en logaritmisk tolv-

hundrededel af en oktav. Man kan altså

ningstal og forskellig centværdi alt efter,

sige, at oktaven ”måler” 1200 cent.

hvor på siden den står. Læg endvidere

den

har forskelligt

relativt

sving-

Intervallet mellem 2. og 3. partialtone er

mærke til, at enharmoniske toner, f.eks.

en kvint. Kvintens relative svingningstal

tonerne gis og as, ligeledes er forskellige.

er således 3/2, hvilket man omregner til

På Fig. XIX, XX, XXI og XXII uddybes

cent ved at gange logaritmen til 3/2 med

problemerne:

en faktor, der hedder 1200 divideret med

Fig. XIX: Med udgangspunkt i tonen c

logaritmen til 2. Resultatet er 701,955…

bevæger vi os 4 kvinter opad: til g, d, a og

cent, hvilket for overskuelighedens skyld

e. Dette e vil vi også nå, hvis vi – stadig

kan afrundes til nærmeste hele tal: 702

med udgangspunkt i tonen c – i stedet

cent. Mellem 3. og 4. partialtone er der en

bevæger os 2 oktaver + 1 stor terts opad.

kvart, som på tilsvarende måde ”måler”

Problemet består i, at 4 kvinter ”måler” 4

498,045… ≈ 498 cent, mellem 4. og 5.

gange 702 cent = 2808 cent, mens 2

partialtone en stor terts, som ”måler”

oktaver + 1 stor terts ”måler” 1200 cent +

386,31371… ≈ 386 cent og mellem 5. og

1200 cent + 386 cent = 2786 cent.

6. partialtone en lille terts, som ”måler”

Differencen på 22 cent (mere præcist:

315,64129… ≈ 316 cent.

21,506289 cent svarende til et relativt

Tabellerne på Fig. XVII og Fig. XVIII viser henholdsvis de relative svingningstal

svingningstal

på

81/80)

kaldes

syntonisk komma.

og centværdierne for de toner, der er

Fig. XX: Med udgangspunkt i tonen as

anført i opstillingen på Fig. XIV. Tonen c i

bevæger vi os 12 kvinter opad: til es, b, f,

midtersøjlen på Fig. XIV har det relative

c, g, d, a, e, h, fis, cis og gis. Tonen gis er

svingningstal 1 på Fig. XVII og cent-

enharmonisk med as, og dette as vil vi

værdien 0 på Fig. XVIII. Tonerne er i

også nå, hvis vi – med samme udgangs-

fornødent omfang oktaveret op eller ned,

punkt – i stedet bevæger os 7 oktaver op-

så de alle ligger inden for samme oktav.

ad. 12 kvinter ”måler” 12 gange 702 cent = 8424 cent. 7 oktaver ”måler” imidlertid

gange

1200

cent

8400

cent.

Det

syntoniske

komma,

det

pytha-

Differencen på 24 cent (mere præcist:

goræiske komma, den lille diesis og den

23,46001 cent svarende til et relativt

store diesis vil skabe problemer uanset,

svingningsstal

hvordan

på

531441/524288)

kaldes et pythagoræisk komma.

man

forsøger

stemme

klaveret.

Fig. XXI: På lignende måde er 3 store tertser 42 cent (mere præcist: 41,058859

På Fig. XXIII, XXIV og XXV er vist en

cent svarende til et relativt svingningstal

oversigt

på 128/125) mindre end 1 oktav. Denne

treklange på klaveret i forskellige stem-

difference kaldes den lille diesis.

ninger. Treklangene er ordnet kvintvis:

Fig. XXII: 4 små tertser er 64 cent (mere præcist: 62,565147 cent svarende til et

over

samtlige

dur-

mol-

øverst durtreklange (med stort bogstav), nederst moltreklange (med lille bogstav).

relativt svingningstal på 648/625) større

I pythagoræisk stemning (se Fig. XXIII)

end en oktav. Denne difference kaldes

tilstræbes rene kvinter (ca. 702 cent).

den store diesis.

Dem kan der højst være 11 af, idet den

Her vender vi tilbage til C-dur præludiet

12. kvint, som vi har set på Fig. XX, må

i første bind af Das Wohltemperierte

reduceres med et pythagoræisk komma,

Klavier. Se Fig. XIII. Det fremgår af Fig.

hvis oktaverne skal være rene, og det er

XIV, XVII og XVIII, at såfremt tonika-

et ufravigeligt krav. De 11 rene kvinter

treklangen (tonerne c, e og g), sub-

har imidlertid til følge, at tertsen bliver et

dominanttreklangen (tonerne f, a og c)

syntonisk komma (ca. 22 cent) for stor i

samt dominanttreklangen (tonerne g, h og

de fleste af durtreklangene. Omvendt

d) udelukkende består af akustisk rene

bliver tertsen et syntonisk komma for lille

intervaller, dvs. intervaller i overens-

i de fleste af moltreklangene.

stemmelse med de relative svingningstal

Disse tertser blev ikke opfattet som ac-

og centværdier, der fremgår af Fig. XVI,

ceptable for øret, og derfor opstod i løbet

så er kvinten d – a ikke ren, men et

af renæssancen en anden fremgangs-

syntonisk komma for lille, og dermed kan

måde, kaldet middeltonestemning (Fig.

præludiets 6. takt ikke klinge rent, med

XXIII), som første gang er beskrevet af

mindre vi vil operere med forskellige

Pietro Aaron († 1545) i ”Thoscanello de la

værdier for samme tone.

Musica”, 1523. I middeltonestemning prioriteres de rene store tertser højest. Det indebærer, at 11 kvinter må reduceres

med hver 1/4 syntonisk komma (ca. 5

I Kirnberger III er kvinterne c – g, g – d,

cent). Jævnfør Fig. XIX. Den 12. kvint

d – a og a – e reduceret med hver 1/4

”måler” til gengæld hele 738 cent og klin-

syntonisk komma. Desuden er kvinten fis

ger så urent, at den kaldes ”ulvekvinten”.

– cis reduceret med et schisma (ca. 2

Middeltonestemning klinger meget smukt

cent), som er differencen mellem et pytha-

i de rigtige tonearter, men begrænser i høj

goræisk og et syntonisk komma. I Kirn-

grad

bevægelsesfrihed,

berger III er der 1 helt ren stor terts,

eftersom hele 4 durtreklange og 4 mol-

nemlig tertsen c – e. I øvrigt gælder som i

treklange er uanvendelige.

Werckmeister III: jo færre fortegn, jo

komponisternes

Den ekspansive dynamik, som er dur/

bedre; jo flere fortegn, jo værre.

mol-tonaliteten iboende, gjorde denne be-

Et bemærkelsesværdigt forslag er pu-

grænsning uacceptabel, og man forsøgte

bliceret af John Charles Francis i artiklen

på forskellige måder at gøre alle tonearter

”Das

anvendelige. Et par eksempler skal an-

Tuning and Temperament Design”, 2005 4.

føres: I ”Musikalische Temperatur” fra

I forlængelse af teorier fremsat af Andreas

1691

Werckmeister

Sparschuh og Michael Zapf anser Francis

(1645 – 1706) en række forskellige tempe-

ornamentet øverst på titelbladet til første

raturer. En af dem, kaldet Werckmeister

bind af Das Wohltemperierte Klavier (se

III, er vist på Fig. XXIV.

Fig. I) for at være Bachs anvisning på,

foreslog

Andreas

Wohltemperirte

Clavier

–

Pitch,

I Werckmeister III er kvinterne c – g, g –

hvorledes klaveret skulle stemmes. Orna-

d, d – a og h – fis reduceret med hver 1/4

mentet består af 11 ”sløjfer”. De første 3

pythagoræisk komma (ca. 6 cent). Derved

har hver 1 ”knude”, de næste 3 har ingen

opnås ganske vist ingen helt rene tertser,

”knuder”, og de resterende 5 har hver 2

men dog nogle, der er tæt på. Der er imid-

”knuder”. Ifølge Francis repræsenterer de

lertid stor forskel på treklangene: jo færre

11 ”sløjfer” kvarterne c – f, f – b, b – es, es

fortegn, jo bedre; jo flere fortegn, jo værre.

– as/gis, gis – cis, cis – fis, fis – h, h – e, e

Også Bach-eleven Johann Philipp Kirn-

– a, a – d og d – g. ”Knuderne” repræsen-

berger (1721 – 1783) har bidraget til kla-

terer svævninger pr. sekund.

verstemningens historie. Hans 3. forslag,

En svævning er et akustisk fænomen,

kaldet Kirnberger III fra 1779 (de 2 første,

der opstår, når 2 toner med næsten

Kirnberger I og Kirnberger II, er fra

samme frekvens, f.eks. 440 Hz og 441 Hz,

henholdsvis 1766 og 1771) er ligeledes vist på Fig. XXIV.

På web-adressen:

www.bach-cantatas.com/Articles/Das_Wohltemperirte_Clavier.htm#Topx

klinger samtidigt. Svingningerne vil i så

øges med 2/3 Hz. Endelig kan man med

fald være i fase 1 gang pr. sekund og i

meget stor nøjagtighed nå tilbage til

modfase 1 gang pr. sekund. Det vil lyde,

udgangspunktet ved at stemme g – c, så

som om tonen forstærkes og svækkes 1

der fremkommer 1 svævning pr. sekund.

gang pr. sekund.

En analyse af denne stemning viser, at

I kvarten c – f vil c’ets 4. partialtone

den bl.a. adskiller sig fra Werckmeister III

falde sammen med f’ets 3. partialtone, og

og Kirnberger III ved, at det er tertsen g –

så vil disse partialtoner danne svævning,

h, der er den bedste store terts, mens h –

såfremt de ikke har samme frekvens:

d er den bedste lille terts. Den mest radikale løsning på pro-

1 2 3 4 c d e f g a h c d e f g a h c

blemerne er imidlertid den såkaldt ligesvævende temperatur, der deler oktaven i

1 2 3 f g a h c d e f g a h c

12 lige store halvtonetrin à 100 cent. Derved bliver størrelsen på alle kvinter 700

Med udgangspunkt i tonen c = 249 Hz

cent, dvs. de er ca. 2 cent for små, alle

stemmes tonen f. Kvartens relative sving-

store tertser 400 cent, dvs. ca. 14 cent for

ningstal er 4/3 (se Fig. XVI), og 4/3 gange

store og alle små tertser 300 cent, dvs.

249 Hz er 332 Hz. Kvarten c – f skal

ca. 16 cent for små. Se Fig. XXVI.

imidlertid øges, så den svæver 1 gang pr.

Den ligesvævende temperatur har – fra

sekund. Da det er f’ets 3. partialtone, der

Bachs tid til i dag – givet anledning til

giver sammenstødet, og ikke tonen f selv,

megen uforsonlig strid mellem tilhængere

skal der kun lægges 1/3 Hz til. Således

og modstandere. I en tankevækkende

stemmes f = 332,33333… Hz. Se Fig.

artikel, ”The Hänfling/Bümler Tempera-

XXV.

ment a Trigger for Bach’s Well-Tempered

På tilsvarende måde stemmes kvarten f

Clavier?” 5, har Thomas Braatz gengivet

– b. Den næste kvart, b – es, overskrider

en monochord-inddeling for ligesvævende

oktaven i forhold til udgangspunktet c.

temperatur offentliggjort i Johann Mat-

Derfor stemmes i stedet en kvint ned, en

thesons (1681 – 1764) tidsskrift ”Critica

procedure, der gentages hver gang, ok-

Musica” i juni 1722! På Fig. XXVII er

taven overskrides. De næste 3 kvarter er

gengivet

rene, hvorefter der følger 5 kvarter, som

Braatz’ artikel. Beregningerne er meget

illustration

fra

Thomas

skal svæve 2 gange pr. sekund. For deres vedkommende

skal

frekvensen

derfor

På web-adressen: http://www.bach-cantatas.com/Articles/EqTemp1722.pdf

nøjagtige med én undtagelse: For kvarten

temperiren, daß alle Tonarten schön und

(her kaldet ”Quarta min.”) er anført tallet

gefällig klangen. Er wußte, von keinen

2963,28 svarende til 519,37 cent. Et rig-

Tonarten, die man, wegen unreiner Stim-

tigere

mung, hätte vermeiden müssen.”

tal

2996,6141

svarende

til

Dette

bringer ikke megen klarhed, men ude-

500,00003 cent. Afslutningsvis skal det anføres, at der

lukker dog middeltonestemning.

på Fig. XIV, XVII og XVIII findes en ret

Mere oplysende er følgende citat fra

nøjagtig tilnærmelse til kvarten i den lige-

”Versuch über die musikalische Tempe-

svævende temperatur. Fra tonen c i

ratur”, 1776 af Friedrich Wilhelm Mar-

midtersøjlen på Fig. XIV går vi 7 kvinter

purg (1718 – 1795): ”Der Hr. Kirnberger

og 1 stor terts opad og når derved tonen

selbst hat mir und andern mehrmahl er-

eis, som er enharmonisk med tonen f. Af

zählet, wie der berühmte Joh. Seb. Bach

Fig. XVII og XVIII fremgår det, at tonens

ihm, währen der Zeit seines von dem-

relative

selben

svingningstal

oktavering)

(efter

10935/8192

fornøden og

cent-

genoßnen

musikalischen

Unter-

richts, die Stimmung seines Claviers über-

værdien 499,99872. Hvis man i stedet fra

tragen,

tonen c bevæger sig 7 kvinter og 1 stor

drücklich von ihm verlanget, alle großen

terts nedad, nås tonen ases, som er

Terzen etwas scharf zu machen. In einer

enharmonisk med tonen g. Det relative

Temperatur, wo alle großen Terzen etwas

svingningstal vil her (ligeledes efter for-

scharf, d. i. wo sie alle über sich schweben

nøden

16384/10935

sollen, kann unmöglich eine reine große

svarende til 700,00128 cent. Se Fig.

Terz statt finden, und sobald keine reine

XXVIII.

große Terz statt findet, so ist auch keine

oktavering)

være

und

um 81 : 80

wie

dieser

Meister

aus-

erhöhte große Terz möglich.

Det er desværre ikke muligt at afgøre,

Der Hr. Capellmeister Joh. Seb. Bach,

nøjagtigt hvilken stemning Bach sigtede

welcher nicht ein durch einen bösen Calcul

til med titlen ”Das Wohltemperirte Cla-

verdorbnes Ohr hatte, mußte also emp-

vier”. Kilderne er ikke entydige. I nekro-

funden haben, daß eine um 81 : 80

logen

erhöhte

skriver

sønnen

Carl

Philipp

Emanuel Bach (1714 – 1788) og eleven

große

Intervall ist.”

Terz

ein

abscheuliches

Johann Friedrich Agricola (1720 – 1774) følgende: ”Die Clavicymbale wußte er, in der Stimmung, so rein und richtig zu

Bach-Dokumente III/666 Dvs. en terts, som er et syntonisk komma for stor. Jævnfør Fig. XIX. 8 Bach-Dokumente III/815 7

Marpurgs oplysninger er imidlertid pro-

dekorative formål. Men også her kan

blematiske. For det første er de i åbenlys

rejses indvendinger. For det første for-

modsætning til oplysningerne i et brev fra

udsætter et vellykket resultat, at ud-

Carl Philipp Emanuel Bach til forfatteren

gangspunktet, tonen c, stemmes i nøj-

Johann

agtigt 249 Hz, hvilket formentlig har væ-

Nikolaus Forkel (1749 – 1818). I dette

ret vanskeligt i 1722. For det andet må

brev, som er fra 1774, skriver Carl Philipp

man spørge, hvorfor Bach skulle have be-

Emanuel Bach: ”Das reine stimmen seiner

skrevet sin stemning så hemmeligheds-

Instrumente so wohl, als des ganzen Or-

fuldt, at hverken hans sønner eller elever

chestres war sein vornehmstes Augen-

øjensynligt har kendt til den. I betragt-

merck. Niemand konnte ihm seine Instru-

ning af den centrale plads, Das Wohl-

mente zu Dancke stimmen u. bekielen. Er

temperierte Klavier indtager blandt Bachs

For det andet er det

værker, forekommer det meget besynder-

den

første

that alles selbst.”

Bach-biografi,

notorisk forkert, at ”sobald keine reine

ligt.

große Terz statt findet, so ist auch keine

Med til billedet hører også en be-

um 81 : 80 erhöhte große Terz möglich.”

mærkning af Forkel i hans ”Vorlesungen”

Werckmeister III er et eksempel på, at det

fra 1772 og 1777: ”Selbst der in der

udmærket kan lade sig gøre. Se Fig.

Mathematik so gelehrte Johann Sebastian

XXIV.

Bach habe sich in diesen Fragen nach der

Det er en nærliggende antagelse, at

Natur, nicht nach der Regel gerichtet, und

Kirnberger III repræsenterer den auten-

die ganze Mathematisirerei habe noch

tiske Bach-stemning, eftersom Kirnberger

nicht einmal den Erfolg gehabt, die Durch-

jo var elev af Bach. Det rejser imidlertid

führung einer einwandfreien Temperatur

spørgsmålet om, hvorfor Kirnberger så

zu gewährleisten.”

først offentliggjorde den i 1779 – efter

stemmelse hermed skriver Carl Philipp

Kirnberger I og II (fra henholdsvis 1766 og

Emanuel Bach d. 13. januar 1775 om sin

1771), som er væsentligt ringere.

far i et brev til Forkel: ”Der seelige war,

I fuld overens-

Den stemning, som er beskrevet på Fig.

wie ich u. alle eigentlichen Musici, kein

XXV, må også tages i betragtning. Dels er

Liebhaber, von trocknem mathematischen

det en god stemning, dels forekommer det

Zeuge.” 11

usandsynligt, at ornamentet øverst på autografens titelblad udelukkende tjener 10 9

Bach-Dokumente III/801.

Bach-Dokumente III/772. Bach-Dokumente III/803.

Spørgsmålet om den ligesvævende tem-

Perspektiver

peraturs berettigelse i forbindelse med Das Wohltemperierte

Klavier

hænger

nøje

sammen med spørgsmålet om, hvorvidt karakteren af de forskellige satser kan antages at afspejle en objektiv forskel i de forskellige tonearters væsen forårsaget af forskelle i intervalstørrelsen de forskellige tonearter imellem, således som det bl.a. er tilfældet i de stemninger, der er beskrevet på Fig. XXIV og XXV. Et entydigt svar herpå kan

næppe

gives;

men

det

må

ikke

glemmes, at Bach i flere tilfælde har transponeret allerede eksisterende satser med henblik på at få alle tonearter repræsenteret. Vi må således affinde os med, at spørgsmålet om den autentiske Bach-stemning er uafklaret og vil vedblive at være det, medmindre hidtil ukendt kildemateriale dukker

Das Wohltemperierte Klavier forudsætter en stemning, der giver ubegrænset tonal bevægelsesfrihed. Selvom der på klaveret rent fysisk kun er 12 forskellige toner inden for oktaven, fungerer og noteres de i Das Wohltemperierte Klavier som mere end dobbelt så mange: fra dobbelt b’er til dobbelt krydser. Prisen herfor er urene intervaller, hvilket betyder, at det, vi i kunstnerisk sammenhæng accepterer som f.eks. en stor terts eller en ren kvint, i virkeligheden er et andet interval, som nok ligner, men ikke er en stor terts eller en ren kvint. Det rejser et spørgsmål, der er lige så foruroligende, som det er fundamentalt: Hviler Das Wohltemperierte Klavier og hele den musikkultur, der bygger på de samme præmisser, dybest set på et bedrag, på en illusion?

op. Én ting må man imidlertid til stadighed være opmærksom på: uanset hvordan man stemmer et klaver, vil den samlede afvigelse fra rene intervaller være konstant. Hvis oktaverne skal være rene, må 12 på hinanden følgende kvinter sammenlagt reduceres med et pythagoræisk komma, 3 på hinanden følgende store tertser sammenlagt øges med en lille diesis og 4 på hinanden følgende små tertser sammenlagt reduceres med en stor diesis. Det drejer sig altså

Spørgsmålet giver anledning til overvejelser, som rækker langt ud over det musikalske i snæver forstand: overvejelser over forholdet mellem kunst og virkelighed eller mere præcist formuleret: forholdet mellem – på den ene side – vores bevidsthed med dens drømme, længsler, visioner, som de udtrykkes kunstnerisk, og – på den anden side – den tvingende matematiske logik, de nøgne kendsgerninger, ”la dure nécessité, mâitresse des hommes et des dieux”.12

udelukkende om, hvordan afvigelserne skal fordeles og ikke om, hvor store de er. 12

”den hårde nødvendighed, menneskers og guders herskerinde.” Karen Blixen: Den afrikanske Farm, Det Danske Sprog- og Litteraturselskab 2007, s. 186 med note s. 383.

En helt særlig betydning får denne pro-

og Mnemosyne (dvs. Erindringen) – og til

blemstilling i forbindelse med oplevelsen

at formulere og dermed fastholde den

af tab, som er så fundamentalt et livs-

kærlighed til det tabte, som sorgen er

vilkår: kærestesorg, skilsmisse, sygdom,

udtryk for. Men hvis det skal lykkes,

ulykke, død.

uden at man låser sig selv fast i fortiden

På Bachs tid var døden en hyppig gæst,

og derved afskriver de muligheder, som

som han meget tidligt stiftede bekendt-

fremtiden

skab med: begge hans forældre døde, før

ganske særlige krav til kunsten og dens

han fyldte 10 år. Af hans i alt 20 børn

forhold til virkeligheden.

levede kun halvdelen, til de blev voksne,

kunne

bringe,

stilles

der

Netop dette forhold er et centralt tema i

og en af dem, Johann Gottfried Bernhard,

Karen

Blixens

forfatterskab.

Ligesom

døde endda før sin far kun 24 år gammel.

Bach stiftede hun tidligt bekendtskab

I sommeren 1720 fik han ved hjem-

med døden: hendes elskede og beundrede

komsten fra en rejse til Carlsbad med

far hængte sig kort før hendes 10 års

fyrst Leopold meddelelse om, at hans

fødselsdag. ”Det var blevet sagt at han var

elskede hustru, Maria Barbara, var død –

syg. En af de voksne kom ind i stuen, og

og begravet.

Tanne (Karen Blixens kælenavn) spurgte:

Man siger, at ”tiden læger alle sår”, men

”Hvordan har Fader det?” og fik svaret at

i den udstrækning det er rigtigt, betyder

han var død. Lidt efter sagde hendes

det blot, at tabet er fuldstændigt. Er såret

søster Ea til en af de voksne: ”Tanne

lægt og sorgen og smerten glemt, er der

ryster sådan.”

intet tilbage. I fortællingen ”Ib og Ade-

Denne traumatiske oplevelse var kun

laide” lader Karen Blixen (1885 – 1962)

den første af en lang række. I 1937 ud-

Ibs svigtede og forladte elskerinde sige:

kom et af hendes hovedværker, ”Den

”Der kommer en Aften, hvor jeg siger til

afrikanske Farm”, som karakteristisk nok

mig selv: ”Hele denne Dag har jeg ikke

begynder med sætningen: ”Jeg havde en

tænkt paa Ib.” Og det bliver den værste

Farm i Afrika ved Foden af Bjerget Ngong.”

Elendighed af det hele.”

(Min fremhævelse). I Afrika mistede hun

Kunst har ofte været anvendt som et

sit helbred, sit ægteskab, venner, sin

middel til at undgå denne ”værste Elen-

elsker Denys Finch-Hatton, som faldt ned

dighed” – de ni muser er jo døtre af Zeus

med sin flyvemaskine og blev dræbt, og

Karen Blixen: ”Sidste Fortællinger”, Gyldendal 1957, s. 259.

Frans Lasson og Clara Svendsen: Karen Blixen, En digterskæbne i billeder, Gyldendal 1969, s. 43.

sidst, men ikke mindst, farmen, en kaffe-

stærke smerter og jamrede. I sin rådvild-

plantage i Kenya, som hun gennem 17 år

hed gjorde Karen Blixen et desperat

forgæves prøvede at gøre rentabel. Med

forsøg. I lommen havde hun et brev fra

farmen mistede hun hele den verden og

kongen, Christian den 10., som havde

alle de mennesker, som betød selve livet

skrevet og takket hende for et løveskind,

for hende. I 1931, kort efter Denys Finch-

hun havde sendt ham. Hun sagde til

Hattons død, måtte hun vende hjem til

Kitau, at hun havde noget, der kunne

Danmark, syg, ruineret – hendes bror

lindre hans frygtelige smerter:

måtte sende hende penge til hjemrejsen –

”Jeg har noget mzuri sana – ganske ud-

og i en alder af 46 år flytte ind hos sin

mærket godt – jeg har et Barua a Soldani –

gamle mor på Rungstedlund.

et Brev fra Kongen hjemme i mit eget Land.

Det er imidlertid ikke kun i ”Den

Og det ved alle Mennesker at et Brev fra en

afrikanske Farm”, Karen Blixen har be-

Konge, mokone yake, – i hans egen Haand –

handlet de år i Afrika, som hun be-

det tager alle Smerter bort, hvor slemme de

tragtede som sit egentlige liv. I den sidste

saa er.” Jeg tog Kongens Brev op, lagde det

bog, hun udgav, ”Skygger paa Græsset”, som udkom i 1960, vendte hun tilbage hertil. Bogen indeholder et kapitel, som har særlig interesse i forbindelse med forholdet mellem kunst og virkelighed. Det drejer sig om ”BARUA A SOLDANI” – ”Kongens Brev”. Historien handler kort fortalt om en ung kikuyu ved navn Kitau, der var kom-

paa hans krampagtigt stønnende Bryst og stemmede min Haand imod det. Jeg tror at jeg – herude i Skoven hvor Kitau og jeg var saa at sige alene – prøvede at samle al den Kraft jeg havde i mig, i min højre Haand. Det var underligt for mig selv at se, at mine Ord og min Bevægelse næsten med det samme sendte en Virkning gennem ham. Hans fortrukne Ansigt glattedes ud og blev stille,

han

lukkede

Øjnene.

Lidt

efter

met alvorligt til skade i forbindelse med

aabnede han dem igen og saa paa mig og

rydning af et stykke skov. Han blev ramt

hans Blik var da saa ganske et lille Barns

af et faldende træ og hans ene ben knust

Blik, inden det endnu har lært sig at sige

under det. Karen Blixen sendte folkene

noget, at jeg blev næsten overrasket da han

tilbage til farmen efter en bil, så de kunne

talte til mig. ”Ja,” sagde han, ”det er mzuri

køre den kvæstede til hospitalet i Nairobi.

sana,” igen lidt efter: ”Ja, det er mzuri

Men der var langt til farmen, og det

sana,” og igen: ”Bliv ved at holde det fast

varede længe, før de kom med bilen. I

paa mig, Msabu.” 15

mellemtiden lå den stakkels mand med

Karen Blixen: Skygger paa Græsset, Gyldendal 1960, s. 67.

Langt om længe kom de med bilen, og

Karen Blixen døde i 1962, og flere år

hele vejen til hospitalet i Nairobi og ind på

senere blev kongens brev, som er dateret

operationsstuen

den

holdt

Karen

Blixen

23.

december

1930, lå

sammen

på

kongens brev mod Kitaus bryst. Rygtet

Rungstedlund:

om brevet med de magiske egenskaber

andre breve fra Afrika-årene i en støvet

spredtes blandt de indfødte på farmen, og

æske oven på et skab og havde øjensynligt

hver gang en af dem var kommet til skade

ikke været rørt i lange tider.

eller blevet syg, bad de om at låne det.

”Det

fundet

med

Min første tanke var, at det måtte være

Hen mod slutningen af historien skriver

et andet brev end det, der er omtalt i

Karen Blixen: ”Jeg har endnu Kongens

BARUA A SOLDANI. For dette var helt glat

Brev. Men nu er det ulæseligt, Skriften er

og uden pletter af nogen art, fuldstændig

udvisket og Papiret brunt og stift af

velbevaret efter fyrretyve års ophold i den

Til

hvide konvolut, hvori det var blevet sendt

med

til Afrika. Men indholdet bortjog enhver

gammelt, størknet Blod og Materie.” sidst

sammenligner

hun

brevet

Christian den 4.s blodplettede tøj fra

tvivl – det var Kongens brev!”

slaget på Kolberger Heide.

1959,

mens

hun

arbejdede

Karen Blixens vellykkede forsøg på at

”Skygger

paa

lindre Kitaus smerter med kongens brev

aldrende

er ikke i sig selv kunst i egentlig forstand;

Blixen til USA, hvor hun i løbet af tre en

men hendes handling refererer direkte til

halv måned gennemførte et program, der

en ældgammel forestilling om det sakrale

var så anstrengende, at det nær havde

kongedømme, en forestilling, hvis fort-

taget livet af hende. Hun optrådte bl.a.

satte betydning er baggrunden for, at mo-

flere gange i TV. I programmet ”Writers of

narkiet stadig eksisterer. Dermed rakte

Today”

hun ned i den urgrund af mytisk stof og

forholdet mellem kunst og virkelighed og

arketypiske

sagde: ”I think you may say that art is the

forestillinger,

som

også

kunsten har sine rødder i.

Græsset”,

rejste

på

sygdomssvækkede

udtalte

truth about facts”.

hun

sig

den Karen

netop

Men: er selve hændelsen overhovedet inden for det muliges grænser? Kan et brev fra en konge fjerne smerterne fra et knust ben?

Op. Cit. s. 73.

Frans Lasson: Lucifers barn. Efterskrift i Thorkild Bjørnvig: Pagten, Gyldendal 1974, s. 165. 18 Det pågældende klip fra udsendelsen kan ses i Anna von Lowzows og Marcus Mandals film ”Karen Blixen – en fantastisk skæbne.” Nordisk Film TV 2005.

Udtalelsen er – givetvis helt bevidst –

samme Fornemmelse, man har, naar man

paradoksal. Almindeligvis antages det jo,

står ved en Bæk, det Sted, man staar ved,

at kendsgerninger er sandheden, der der-

er et Led i et Hele, og det rummer i sig

med betragtes som en objektivt veri-

baade Kilden og Havet og alle Steder

ficerbar størrelse, noget kvantitativt, der

langs Bækken. Der skal ikke jages efter

kan måles og vejes, og hvorom der kan

Idéer, Idéer er uden Betydning imod dette

herske

konsensus. Når Karen Blixen

at kunne føre en Ting igennem fra Be-

bruger udtrykket ”the truth about facts” –

gyndelsen til Enden, saa at hver Del af

”sandheden om kendsgerninger” flyttes

den taler om Begyndelse og Ende…” Senere i interviewet siger han: ”Goethe

vægten fra kendsgerningerne selv til en dem.

fortæller i ”Wilhelm Meister” om et ganske

Dermed får sandheden et subjektivt ele-

mærkeligt, fintfølende Menneske, én, som

ment. I

ingen af Bogens Personer kan forstaa, han

fortolkning eller en

tydning

stedet for noget kvantitativt

fokuseres på noget kvalitativt.

er Sufflør for Skuespillertrupen, og det

Udtalelsen kan suppleres af to andre

hænder Gang paa Gang, at dette føl-

citater – af to andre kunstnere – som på

somme Menneske giver sig til at græde

hver sin måde kaster lys over emnet.

under Spillet, men aldrig paa de Steder,

Carl Nielsen (født 1865) døde lørdag d.

hvor Skuespillerne synes, det passer, eller

3. oktober 1931. Dagen efter bragte dag-

hvor Forfatterens Ord almindeligvis griber,

bladet Politiken det sidste interview med

og da de irriterede spørger, hvad han

komponisten, et interview, som havde

græder for netop paa de Steder, som ingen

fundet sted mindre end fjorten dage

tillægger Betydning,

tidligere. Heri siger Carl Nielsen bl.a.:

græder dèr, hvor Poesien selv rinder”.

”Det er ofte blevet sagt om mig, at jeg var

Hvor er det dybt og rigtigt! Dèr, hvor

haardhjertet i min Kunst. Stemningen har

Poesien selv rinder, dèr er det store

nemlig aldrig faaet afgørende Betydning i,

Kunstværk, Formens og Følelsens ube-

hvad jeg har frembragt. Stemningen er jo

gribelige og skønne Sammensmelten!”

svarer han:

”Jeg

en personlig Følelse, og Kunsten, det er en kosmisk Følelse, en mærkelig Tilstand, hævet over Vilje og Indtryk, og hvor alle Følelser er ægte. Kun i denne Tilstand naas det inderste og dybeste i al Kunst. Man skal over for et Kunstværk have den

Citeret efter ”Carl Nielsen til sin samtid” udgivet af John Fellow, Gyldendal 1999, s. 614 – 615.

Den schweiziske pianist, Edwin Fischer

Men hertil kommer endnu dette: ogsaa

(1886 – 1960), der i midten af 1930erne

din egen Verden fører du med dig herhen.

som den første indspillede hele Das Wohl-

Eengang en ung Forelskelses Stormvejr,

temperierte Klavier, har skrevet en lille

eengang Sorgen over et alt for tidligt

bog om Johann Sebastian Bach. Heri

Dødsfald, – i Dag Menneskeforagt og For-

sammenligner han Bachs musik med

tvivlelse, – i Morgen en indre Tros Lys.

store

”Man

Dette har forenet sig med Naturindtrykket,

drager en Dag over Gotthard. Det er Sen-

og i dig er efterladt et Billed, hvori begge

sommer, i lysende Farver staar Væksterne

Dele indgaar. Din Lilleverden har du føjet

mod Klippevæggen; alt er i Bevægelse, en

til Naturens tidløse Mægtighed, og den

Føhn udfolder hvide Skyfaner over en

tillader det og laaner sig gerne til dit Brug,

knaldblaa Himmel. Alt er saa nær, at man

til Stof og til Symbol for alt, for hver

tror at kunne gribe det. Saa indgaar det i

Stemning og Livssituation.

landskaber og

fortsætter:

Saaledes nærmer vi os ogsaa tidløse

Sindet og bliver til en Oplevelse: Dette er

Værker, og jo større de er, jo mere ligner

Gotthard. I et Foraar, der tøver og tøver og ikke vil

deres Væsen Sfinxen. Et saadant Værk

blive til noget, gaar Rejsen atter derhen.

har hver Gang et forandret Mæle: det er i

Men hvorledes – ? Er det det samme Land-

Dag i Samklang med Stormene i vort Liv og

skab? Graat i graat; Taage og matte Sne-

lader sig i Morgen anskue logisk; kræver

flader højere oppe, uden Liv, Træer og

du Farver af det, saa har det dem; vil du

Planter stadig uden Liv og Bevægelse,

rene, arkitektonisk Former, saa finder du

alting saa fugtigt og koldt: ogsaa det er

dem, og forundret stirrer du mod den

Gotthard.

gaadefulde Hemmelighed i disse Værker,

Og saa: en klar Vinterdag, da Mimoserne

hvori en Mangfoldighed er saa sammen-

allerede blomstrer i Italien, nærmer man

trængt nærværende, og som har saa

sig Bjerglandskabet. Majestætisk, strengt

mange Ansigter…”

tegner sig alting, Luften rører sig ikke; saa kolossalt, saa ubegribeligt, utilnærmeligt, som var det lige udkastet af Guds Haand; Sjælen fyldes af en barnligt-ærefrygtig Forfærdelse,

man

begriber

knapt

Vidunderet – men det er dog stadig det samme stykke af Verden.

Edwin Fischer: ”Johann Sebastian Bach – En Studie” oversat af Jacob Paludan, Wilhelm Hansen Forlag 1948, s. 29 – 31.

Det er ikke svært at se et vist modsætningsforhold mellem de to citater; men ikke desto mindre forekommer de mig nok så relevante som Goethes (1749 – 1832) ofte citerede bemærkning, da han havde

hørt

organisten

Bad

Berka,

Johann Heinrich Friedrich Schütz, spille Das Wohltemperierte Klavier: ”Ich sprach mir’s aus: als wenn die ewige Harmonie sich mit sich selbst unterhielte, wie sich’s etwa in Gottes Busen, kurz vor der Weltschöpfung, möchte zugetragen haben, so bewegte sich’s auch in meinem Innern, und es war mir, als wenn ich weder Ohren, am wenigsten Augen und weiter keine

übrigen

brauchte.”

Sinne

besäße

noch

Sammenfattende kan det siges, at stor kunst formår at forene refleksion over virkeligheden – herunder ikke mindst tabets virkelighed – med vision om et altomfattende,

sammenhængende

hele,

en harmoni. Harmoni er ikke en ophævelse af alle modsætninger. Tværtimod: harmoni er netop livets modsætninger – glæde og sorg, lyst og smerte, fødsel og død – føjet sammen til en helhed. Ordet ”harmoni” er afledt af det græske verbum ΄αρµόζω, som betyder ”sammenføjer”. Det hedder på latin ”compono”. 21

I brev til Carl Friedrich Zelter d. 21. juni 1827.

Illustrationer, tabeller mv.

Fig. I

Fig. II

Das Wohltemperirte Clavier. oder

Præludia,

und

Fugen durch alle Tone und Semitonia, So wohl tertiam majorem oder Ut Re Mi anlangend, als auch tertiam minorem oder Re Mi Fa betreffend. Zum Nutzen und Gebrauch der Lehr-begierigen Musicalischen Jugend, als auch derer in diesem studio schon habil seyenden besonderem ZeitVertreib auffgesetzet und verfertiget von Johann Sebastian Bach. p. t: HochFürstlich AnhaltCöthenischen CapelMeistern und Directore derer Cammer Musiquen. Anno 1722

Fig. III

Fig. IV

Des Wohltemperirten Claviers Zweyter Theil, bestehend in

Præludien und Fugen durch alle

Tone

und Semitonien verfertiget von

Johann Sebastian Bach, Königlich Pohlnisch und Churfürstl. Sächs. Hoff Compositeur, Capelmeister und Directore Chori Musici In Leipzig.

Fig. V

Fig. VI

60 = 1 2 3 4 5 6

1 c

2 c

3 g

4 c

5 e

6 g

x x x x x x

60 30 20 15 12 10

10 12 15 20 30 60 e g h e h h

Fig. VII

1/1 c

1/2 c

1/3 g

1/4 c

1/5 e

1/6 g

Fig. VIII

h: g: e:

2/5 – 1/3 = 1/15 1/3 – 1/4 = 1/12 2/4 – 2/5 = 1/10

Fig. IX

Fig. X

Eulers polyedersĂŚtning

Flader

Tetraeder: Heksaeder: Oktaeder: Dodekaeder: Ikosaeder:

HjĂ¸rner 4 6 8 12 20

+ + + + +

Kanter 4 8 6 20 12

= -

2 6 12 12 30 30

= = = = =

2 2 2 2 2

Fig. XI

Fig. XII

Fig. XIII

Fig. XIV disis his gis e c

eis cis

a f

cisis ais

fis d

fisis dis

h g

his gis

e c

eis cis

a f

des

ais fis

d b

ges

dis h

g es

gis e

ces as fes

cis a

f des

bes

fis d

b ges

eses

h g

ases

as fes

e c

ces

deses

gisis

Fig. XV

Subdominant

Tonika

d h

Dominant d h

h g

g e

e c

c a

Subdominant med tilfĂ¸jet sekst d

Dominantseptimakkord d h

h g

g e c

e c

a f

Fig. XVI

Intervaller 1 2 3 4 5 6 c d e f g a h c d e f g a h c d e f g Oktav: Kvint: Kvart: Stor terts: Lille terts:

relativt svingningstal: cent: relativt svingningstal: cent: log 3/2 x (1200 : relativt svingningstal: cent: log 4/3 x (1200 : relativt svingningstal: cent: log 5/4 x (1200 : relativt svingningstal: cent: log 6/5 x (1200 :

log 2)= log 2) = log 2) = log 2) =

2/1 1200 3/2 701,955 4/3 498,045 5/4 386,31371 6/5 315,64129

≈ 702 ≈ 498 ≈ 386 ≈ 316

Fig. XVII 164025 131072 32805 32768 6561 4096 10935 8192

6561 5120 6561 6400

2187 2048 2187 1280

2187 1600

18225 16384 3645 2048

729 512

729 400

6075 4096 1215 1024

729 640 243 128 243 160 243 200

2025 1024 405 256

81 64 81 80

675 512 135 128

27 16

81 50 27 20 27 25

225 128 45 32

9 8 9 5

75 64 15 8

3 2

36 25 6 5

25 16 5 4

48 25 8 5

25 24 5 3

4 3

32 25 16 15 128 75

25 18 10 9

16 9 64 45

256 225

50 27 40 27

32 27

1024 675

128 81 512 405

100 81 160 81

256 135

2048 2025

54675 32768

Fig. XVIII 388,26743 1,9537203 815,64001 429,32629 43,01258

499,99872 113,68501

927,37129 541,05758

184,35743 998,04372

611,73001 225,41629

1039,1026

682,40243 296,08872

1109,775 723,46129

337,14758

1180,4474 794,13372

407,82 21,506289

835,19258

478,49243 92,178716

905,865 519,55129

133,23757

976,53743 590,22372

203,91 1017,5963

631,28257

274,58243 1088,2687

701,955 315,64129

772,62743 386,31371

1129,3276 813,68629 427,37257

70,672426 884,35871

498,045 111,73129

925,41757

568,71743 182,40371

996,09 609,77628

223,46257

1066,7624 680,44871

294,135

721,50757

792,18 405,86628

364,80742 1178,4937

1107,8213

19,552568

886,31243

Fig. XIX

Syntonisk komma

c 702

g +

c 1200

702

c +

d +

702

1200

a +

e 702

c e +386

(81/80 = 21,506289 cent)

2808

2786 22

Fig. XX

PythagorĂŚisk komma

as es b f c g d a e h fis cis gis 702+702+702+702+702+702+702+702+702+702+702+702

8424

as as as as as as as as 1200 + 1200 + 1200 + 1200 + 1200 + 1200 + 1200

8400 24

(531441/524288 = 23,46001 cent)

Fig. XXI

Lille diesis

as 1200

as 386

c +

386

e +

1200

1158 42

gis 386

(128/125 = 41,058859 cent)

Fig. XXII

Store diesis

gis h d f as 316 + 316 + 316 + 316

gis

1264

1200 64

gis 1200

(648/625 = 62,565147 cent)

Fig. XXIII

PythagorĂŚisk stemning

Middeltonestemning

Terts:

Kvint:

Terts:

Kvint:

Es B F C G D A E H Fis Cis As

408 408 408 408 408 408 408 408 384 384 384 384

(+22) (+22) (+22) (+22) (+22) (+22) (+22) (+22) (- 2) (- 2) (- 2) (- 2)

702 702 702 702 702 702 702 702 702 702 702 678 (-24)

386 386 386 386 386 386 386 386 427 427 427 427

(+41) (+41) (+41) (+41)

697 697 697 697 697 697 697 697 697 697 697 738

(- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (+36)

c g d a e h fis cis gis es/dis b f

294 294 294 294 294 294 294 294 294 318 318 318

(-22) (-22) (-22) (-229 (-22) (-22) (-22) (-22) (-22) (+ 2) (+ 2) (+ 2)

702 702 702 702 702 702 702 702 678 (-24) 702 702 702

310 310 310 310 310 310 310 310 310 269 269 269

(- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (- 6) (-47) (-47) (-47)

697 697 697 697 697 697 697 697 738 697 697 697

(- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (- 5) (+36) (- 5) (- 5) (- 5)

Fig. XXIV

Werckmeister III

Kirnberger III

Terts:

Kvint:

402 397 392 386 392 397 400 406 406 406 408 408

(+ 6) (+11) (+14) (+20) (+20) (+20) (+22) (+22)

702 702 702 697 697 697 697 702 702 700 702 702

294 300 305 310 310 305 300 296 296 296 294 294

(-22) (-16) (-11) (- 6) (- 6) (-11) (-16) (-20) (-20) (-20) (-22) (-22)

697 697 697 697 702 702 700 702 702 702 702 702

Kvint:

Es B F C G D A E H Fis Cis As

402 396 390 390 396 396 402 402 402 408 408 408

(+16) (+10) (+ 4) (+ 4) (+10) (+10) (+16) (+16) (+16) (+22) (+22) (+22)

702 702 702 696 696 696 702 702 696 702 702 702

c g d a e h fis cis gis es/dis b f

294 300 306 312 306 300 300 300 300 294 294 294

(-22) (-16) (-10) (- 4) (-10) (-16) (-16) (-16) (-16) (-22) (-22) (-22)

696 696 696 702 702 696 702 702 702 702 702 702

(- 6) (- 6) (- 6)

(- 6)

(- 6) (- 6) (- 6)

(- 6)

(+16) (+11) (+ 6)

((((-

5) 5) 5) 5)

(- 2)

((((-

5) 5) 5) 5)

(- 2)

Fig. XXV Sparschuh/Zapf/Francis c f b es gis cis fis h e a d g c

((((((((((((-

c cis d es e f fis g gis a b h

x x x x x x x x x x x x

4/3) 4/3) 2/3) 4/3) 2/3) 4/3) 4/3) 2/3) 4/3) 2/3) 4/3) 2/3)

249,00000 332,33333 443,44444 295,96296 394,61728 263,07819 350,77092 468,36123 312,90748 417,87664 279,25110 373,00146 249,00097

+ 1/3 = + 1/3 = + 1/3 = = = = + 2/3 = + 2/3 = + 2/3 = + 2/3 = + 2/3 = + 1/3 =

o 95,215088 198,50067 299,12507 395,50848 499,7823 593,26009 699,64264 797,17007 896,31764 999,12914 1093,7711

cent cent cent cent cent cent cent cent cent cent cent cent

Terts:

Kvint:

Es B F C G D A E H Fis Cis As

401 399 397 396 394 395 399 402 405 406 405 403

(+15) (+13) (+11) (+10) (+ 8) (+ 9) (+13) (+16) (+19) (+20) (+19) (+17)

700 701 700 700 699 698 699 698 699 702 702 702

(((((((((-

2) 1) 2) 2) 3) 4) 3) 4) 3)

c g d a e h fis cis gis es/dis b f

299 299 301 304 304 305 303 300 297 294 296 297

(-17) (-17) (-15) (-12) (-12) (-11) (-13) (-16) (-19) (-22) (-20) (-19)

700 699 698 699 698 699 702 702 702 700 701 700

((((((-

2) 3) 4) 3) 4) 3)

(- 2) (- 1) (- 2)

Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz

Fig. XXVI

LigesvĂŚvende temperatur Terts:

Kvint:

Alle durtreklange:

400

(+14)

700

(- 2)

Alle moltreklange:

300

(-16)

700

(- 2)

Fig. XXVII

2996,6141 = 500,00003 Cents

Fig. XXVIII

”Ligesvævende kvart”: 10935/8192 = 499,99872 cent

”Ligesvævende kvint”: 16384/10935 = 700,00128 cent