Platoniske forhold
En prĂŚsentation fra Det Springende Punkt
.
Velkommen i aritmetikkens helligdom! Vi er rejst 500/ 1.500/ 2.500 år (Gregor Reisch/ Böethius/ Pythagoras) tilbage i tiden. Træsnittet stammer fra Margarita Philosophica (Filosofiens perle) fra 1503 af Gregor Reisch. Her møder vi Boëthius til venstre og Pythagoras til højre. Der er kogt rigeligt med suppe på tolkningen af billedets indhold som et opgør mellem regnebræt (til højre) og arabertal (til venstre). Ærlig talt: På en illustration med to mænd og én kvinde tilmed en muse eller gudinde - hvem er så mest interessant!?
... ja, det er næsten for let; hun er jo netop den centrale skikkelse!! Men hvad skal man så lægge mærke til? Det er ikke nødvendigvis bare en plathed at påpege, at man ikke skal fæstne sig ved, hvad der løber gennem kvindens hoved (der står 'Typys arithmeticae'), og hendes hænder spejler også blot disse to måder at operere med tal. Næ, hvad der er interessant ved kvinder og gudinder, er det, som udspringer fra deres skød, det frugtbare, det livgivende! Den slags kan en Karteuser-prior i en stor brydningstid også have sans for! Gregor Reisch fødtes omkring 1467, døde 1525 og var aktiv i det sydlige Tyskland og Schweiz.
Vi skal under bæltestedet for at finde aritmetikkens perle; de to talrækker 1-2-4-8 og 1-3-9-27, som vælder frem fra gudindens skød. Vi noterer bl.a. at 1+2+3+4+8+9=27 For en musikalsk betragtning er rækkerne hhv. de tre oktaver (proportionen 1:2) fra 1 til 8 og en proces af rene kvinter (duodecimer, proportionen 1:3). Rødderne til denne skabelsesmatrice rækker i hvert fald tilbage til Platon, og det er værd at betænke, at der overalt i hans værker henvises til musikalsk symbolik. Når han eksempelvis i Staten udnævner 729 til 'tyrannens tal' hænger det sammen med, at denne værdi, som ligger i forlængelse af 3-rækken (729 = 36), danner det stærkt dissonerende tritonus-interval. Musikkens sprog VAR tallene. En egentlig notation kender man først fra den efterfølgende periode.
... og her er så Platons skabelsesberetning animeret og sat i musik! For en god ordens skyld skal det nævnes, at de gamle grækere ville have tolket de to talrækker som strengelængder, og således ville være kommet frem til en tonerække hvis intervaller er inverse af disse, hvor vi har tilladt at udlægge værdierne som frekvenser. Imidlertid går det nogenlunde lige op med, at grækerne oplevede musikken som strømmende oppefra og ned - fra oktav til prim - hvor vi jo omvendt går fra prim til oktav!
Hvad angår det geometriske aspekt af talrækken, skal man holde sig for øje, at man på Platons tid heller ikke havde udviklet et stringent og entydigt matematisk sprog og notation. Det er oplagt, at man har betragtet tallene musikalsk og geometrisk. De to rækker har man således anskuet som det første hhv. lige og ulige tal og deres respektive kvadrattal (anden potens) og kubiktal (tredje potens). I den pythagoræiske forståelse, som Platon refererede til, var 1 ikke et egentlig tal, men enheden. At overvejelser om kvadrat- og kubiktal kan være frugtbart, når man betragter verdensaltet, tid og rum, er Keplers (1571-1630) tredje planetlov et eksempel på: "Kvadratet på afstanden er proportionalt med kuben på omløbstiden." 'Otteren' (23) er såmænd en oplagt illustration af det, man i computernes binære (totalssystem) sprog kalder en byte. Den består af otte bit (informationsenheder).
Her er, hvad der er tilbage af Platons Akademi i Athen.
I denne dialog fra omkring 360 fvt. fremgår det, at da verdensbygmesteren, demiurgen, skabte verden, skete det ud fra tre komponenter, tre former for væren:
... og her er et centralt udsnit af Rafaels (1483-1520) Skolen i Athen fra 1511, hvor Platon malet med Leonardo da Vinci som model - peger op mod ideernes rene verden og bærer sit pythagoræisk prægede kosmologiske værk Timaios under armen.
- Den udelelige og altid ens væren - Den delelige væren som har legemlig natur - Den tredje slags væren som en blanding mellem de to Dette materiale blev tvunget sammen til en enhed, som derefter deltes:
”(…) og da han havde lavet en enhed af de tre, delte han igen dette hele i så mange dele, som var passende, så at hver af dem var en blanding af det samme, det forskellige og væren. Han begyndte delingen sådan: Først tog han én (1) portion af det det hele; dernæst en anden, der var dobbelt så stor (2); den tredje gjorde han igen halvanden gang så stor som den anden og tre gange så stor som den første (3); den fjerde dobbelt så stor som den anden (4); den femte tre gange så stor som den tredje (9); den sjette otte gange så stor som den første (8), og den syvende 27 gange så stor som den første.” (parenteser med tal indføjet af DSP)
Illustrationen er et Platonisk lambda-diagram fra Franchinus Gaffurius' (1451-1522) værk, Theorica Musica, fra 1492, måske lige så banebrydende som Columbus' opdagelse samme år ...
... og det indeholder i hvert fald mysterier, som stikker dybere end de florerende om koder i da Vincis malerier. Her er et af slagsen, som man formoder, netop er et portrÌt af Franchinus Gaffurius med nodepapir, malet omkring 1490. Franchinus og Leonardo mødtes i Milano, hvor Franchinus var Maestro di Capella i domkirken. Se, lyt og lÌs mere i da Vincis Musikmysterium
Her er et træsnit, som viser Franchinus med tolv (tonale) elever, som det næppe er søgt at associere til en vis fresko, som Leonardo skabte i et refektorium (spisesal i kloster) lige rundt om hjørnet. Med orgelpiber, tal og passer bør der ikke herske tvivl om, at tal, musik og geometri kan mødes!
Kan du dine mellemproportionaler på fingrene? Fortvivl ej, begrebet er gledet ud af dagligt sprogbrug, men de gamle pythagoræere, platonikere og aristoltelikere dyrkede de tre- og firleddede proportioner som vigtige anskuelser af, hvordan verden blev skabt og bundet sammen. Franchinus' tal, 3-4-6, er et eksempel på tallet 4 som harmonisk mellemproportional mellem 3 og 6. Men lad os tage det fra bunden og iøvrigt bruge den simplere betegnelse mellemled:
De geometriske treleddede proportioner - fx 2:4:8 og 3:9:27 - har den egenskab, at det mindste led, a, forholder sig til mellemleddet, b, på samme måde, som mellemleddet forholder sig til det store led, c. Eller mere matematisk: a:b::b:c.
Med andre ord: man finder det geometriske mellemled, b, mellem yderpunkterne, a og c, ved: b =√ac Eksempel: 4 = √(2x8). 4 er altså det geometriske mellemled mellem 2 og 8. De gamle grækere kaldte denne proportion for logos, og Platon lægger den til grund for verdens skabelse! Hvad det i øvrigt kan afspejle, kan du læse mere om; ikke i begyndelsen af denne præsentation men i slutningen! ;-) Den gyldne proportion er et særtilfælde inden for de geometriske delinger, hvor a:b= b:(a+b). Her er det store led, c, altså lig summen af de to mindre. Franchino viser som nævnt hen til det harmoniske mellemled 4 inden for rammen af oktaven 3:6: b = 2ac : (a+c). 4 = 2x3x6 : (3+6) Dette svarer til sekvensen 6:8:12
De mest kendte i tre-leddede proportioner er 'den aritmetiske’, ’den harmoniske’ og ’ den geometriske’, her anskueliggjort som længder inden for oktaven 6:12
Endelig er sekvensen 6:9:12 et eksempel på det aritmetiske mellemled: b = (a+c) : 2, da 9 = (6+12) : 2
Ved at parre Platons Lambda med en anden pythagoræisk struktur, tetraktyssen, kan man gøre mønsteret 'færdigt' og bl.a. få anskueliggjort de tre primære tre-leddede proportioner.
Hvis du vil videre til de fir-leddede størrelser, kan du starte med at vurdere værdien af følgende: mand:kvinde::hund:kat (mand forholder sig til kvinde på samme måde som hund forholder sig til kat!). Forståelsen af de platoniske perspektiver fik et opsving i renæssancens Italien efter at Cosimo de Medici (1389-1464, ill. th.) gav Marsilio Ficino (1433-99, ill. tv.) opbakning til oprettelse af et platonisk akademi i Firenze. Nu har vi rejst tilbage i tiden på sviptur, hvor vi har snuset til Schweiz, Italien og Platons Athen, så lad os nu tage en rejse gennem dimensionerne i en nærmest tidløs sekvens
Før-dimensionalt, punktet: Ét geometrisk grundelement
Første dimension, linien: To (ende-) punkter og Ên linje mellem dem. I alt 2 + 1 = 3 geometriske grundelementer.
To dimensioner, kvadratet: Fire (hjørne-) punkter, mellem dem indrammer de fire linier Ên flade. I alt 4 + 4 + 1 = 9 geometriske grundelementer.
Tre dimensioner, kuben: Otte hjørnepunkter, mellem dem indrammer de tolv linier seks flader, som tilsammen afgrÌnser Êt rum. I alt 8 + 12 + 6 + 1 = 27 geometriske grundelementer.
Fire dimensioner, hyperkubus: Når figuren - som her - gengives i to dimensioner, må man tage højde for, at det er 'skyggen af en skygge' af den egentlige figur. Seksten punkter, toogtredive linier, fireogtyve flader, otte rum og ét hyperrum. I alt 16+32+24+8+1=81 geometriske grundelementer.
... stadig to dimensioner, men med en tilføjet tids-dimension: animationen hjÌlper til at danne et indtryk af de skjulte dimensioner. Det er sikkert en helt normal reaktion, hvis en blanding af fryd, svimmelhed og kvalme melder sig!
Platons lambda-matrice har flere facetter, primært et afsæt til forståelse af musikkens grundstruktur, men der henvises ikke meget til den mere. Her henledes opmærksomheden på de to sidste kolonners tal og den påviste sammenhæng mellem dimensionalitet og antallet af geometriske elementer, der så vidt vides er en opdagelse af Det Springende Punkt med mindelser om Eulers Polyedersætning. Som det fremgår, kan man drive progressionen videre frem til fjerde dimension (og videre endnu), mens lovmæssigheden bevares. Denne progression gennem geometriske grundfigurer er naturligvis blot én af flere mulige; i stedet kunne vi for hhv. to og tre dimensioner have rejst gennem trigon og tetraeder til et hyper-tetraeder, hvilket ville have givet et andet resultat. Det væsentlige er at se, der eksisterer en direkte og meget fundamental kobling mellem tal, geometri og musik; processer i tid og rum.… og at det måske slet ikke var så tosset af pythagoræerne, at betragte verdens tilblivelse som et resultat af mødet mellem det første 'kvindelige' og det første 'mandlige' tal, 2 og 3.
Det er fristende at vende tilbage aritmetikkens helligdom, som netop er præget af det trigonale og det kvadratiske (hhv. 3 og 2x2), men det kneb for kunstneren med perspektivet. Så vi bruger i stedet Rafael igen, som beherskede det, bl.a. fordi han var arkitekt. Også her spiller moderskødet en fremtrædende rolle, Den Ubesmittede Undfangelses lår er kompositionens midtpunkt. Fra åndens højder, trigonen, bærer hun det levende Guds ord ind i materiens kvadrat flankeret af den hellige Sixtus og Barbara. Trigonens grundflade hviler på kvadratets midtpunkt. Den sixtinske madonna viser hen til Johannes-evangeliets første strofer: "I begyndelsen var Ordet, og Ordet var hos Gud, og Ordet var Gud. Han var i begyndelsen hos Gud. Alt blev til ved ham, og uden ham blev intet til af det, som er. I ham var liv, og livet var menneskers lys. Og lyset skinner i mørket, og mørket greb det ikke (...) Og Ordet blev kød og tog bolig iblandt os, og vi så hans herlighed, en herlighed, som den Enbårne har den fra Faderen, fuld af nåde og sandhed."
... og disse strofer viser for deres del hen til Guds skaberord fra det gamle testamente: FIAT LUX! ("der skal være lys!")
"Efter at have gennemtrængt universet med en del af mig selv, forbliver jeg mig selv." (Krishna i Bhagavad Gita, X, 42)
Illustrationen er af Robert Fludd (1574-1637).
'Ordet', som var i Johannes-evangeliets begyndelse, er det græske LOGOS, som man har lånt fra den platoniske tradition. Det bærer med sig betydningen ratio, proportion, mellemled. Om det i længden, bredden og højden er holdbart at at tildele et kødeligt væsen den slags attributter er nok et springende punkt, men nu er ærindet i første omgang hverken at anfægte eller drive mission for andres religion, men at slutte ringen og kaste strejflys! I øvrigt kan man finde passager med beslægtet klang i andre religiøse traditioner.