MEHANIKA I STATIKA
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI Beograd, 2010. god.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Циљ теме је упознати се са:
1
Спрегом сила
2
Еквивалентношћу спрегова сила
3
Слагањем спрегова сила који делују у истој равни
4
Условима равнотеже спрегова
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Нека је круто тело А и В изложено дејству утачкама паралелних сила F и F ', истог интензитета а супротних смерова, чије су нападне линије на растојању d, као на слици.
Векторски збир тих сила јесте нула, али то не значи да ј то уравнотежен систем сила. Да је Д би б те силе биле б у равнотежи, поред тога што су истог интензитета и супротних смерова, смерова према аксиоми 1, 1 морају да имају и заједничку нападну линију. Ове силе немају резултанту, али круто тело неће бити у равнотежи, већ ће те силе тежити да га обрну у равни њиховог дејства. Такав систем сила назива се спрег сила.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Раван у којој се налазе нападне линије сила које чине спрег назива се раван дејства спрега. Растојање између нападних а а линија ја сила, с а растојању рас оја d назива d, аз а се крак ра спрега. с ре а Дејство спрега сила на круто тело своди се на обртни ефекат који зависи од: ефекат, интензитета сила које чине спрег и од његовог крака; положаја равни дејства спрега; и смера обртања у тој равни.
Момент спрега сила назива се величина, узета с одговарајућим знаком, која је једнака производу из интензитета једне од сила и крака спрега.
M F d
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Момент има знак + (позитиван је) када тежи да обрне тело у смеру супротном од обртања казаљки на часовнику, а знак з а – (негативан ( еа а је) када а а тежи е да а обр обрне е тело е о у смеру с ер обртања казаљки на часовнику. Момент спрега као и момент силе за тачку мери се јединицом Nm , kNm или неком другом погодном јединицом, зависно од проблема који се проучава. Момент спрега једнак је моменту једне од сила које чине спрег за нападну тачку друге силе: F B
MM M
F' A
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Теорема: Алгебарска сума момената свих сила које чине спрег, а за било коју тачку која лежи у равни дејства спрега, не зависи од избора б те тачке и јједнака јје моменту спрега сила.
Доказ ове теореме изводи се на следећи Нека је начин: круто тело изложено дејству спрега сила F и F ' , с нападним тачкама А и В, а на растојању d.
Изабере се произвољна тачка О, која лежи у равни дејства спрега и налази се нарастојању а од нападне ' . Момент силе линије силе F F за тачку О је F a d , а момент силе F ' за тачку О је F ' a F a . Њихов алгебарски збир биће: M F M F = F a d F a F d M '
O
O
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Теорема о еквивалентности два спрега: спрег сила који делује на круто тело може се заменити другим спрегом сила ако делује у истојј равни као предходни, има исти смер и исти момент, а да се при томе не мења утицај дејства на тело.
Доказ ове теореме изводи се на следећи начин: на Нека круто тело делује спрега сила M , који чине силе F и F ' , с нападним тачкама А и В, а на растојању ј у d.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Разлагањем силе F на правце АВ и АС добијају се ' на правце ВА и ВD силе F1 и F2 , а разлагањем силе F ' ' и ' . Очигледно је да су силе добијају се силе F1 F1 F F 2 ' 1 ' и F F . Значи силе F и F су замењене својим 2 2 компонентама и прецртане су једном цртицом. Пошто уравнотежен систем сила, могу у силе F и F ' чине јједан ур 2 2 да се уклоне а да се дејство на тело не мења, па су зато прецртане с две цртице.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
У крајњем резултату спрег сила M , који чине силе F и F ' , на растојању d, замењен је спрегом сила M1, који чине силе F1 и F1' с краком d1. Како су силе клизећи вектор, то силе F1 и F ' могу да се премештају у било коју 1 тачку дуж својих нападних линија, нека то буду тачке С и D То значи да се спрег сила F1 и F ' налази било где у D. 1 равни свога дејства.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Треба јошдоказати да су моменти тих спрегова исти. Како је сила F резултанта сила F1 и F2 , може на њих да се примени Варињонова теорема. Ако се за моментну тачку изабере тачка В, онда је: F1 B
F B
F2 B
M F d; M F1 d1 и M F B
F1 B
F2 B
F2 0 0
M M M F d F1 d1 0
тј. M = M1
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Из наведене теореме произилазе следеће особине спрега сила: дати спрег може се премештати било како у равни свог дејства; и у случају датог спрега сила може се мењати интензитет сила, или крак спрега тако да се при томе не мења момент спрега.
Све то наводи на закључак да је дејство спрега сила на круто тело окарактерисано његовом равни дејства и његовим моментом (интензитетом ( и смером), ) па је ј за дефинисање спрега сила у једној равни довољно дати његов момент. момент Због тога се спрег сила у датој равни приказује усмереним кружним луком, који показује смер његовог дејства, како је приказано на слици.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Нека на круто тело делују три спрега сила, чији су моменти M1 , M2 и M3 , а који имају исту раван дејства, а на слици су приказани усмереним кружним луковима.
Они могу да се прдставе са по пар паралелних сила супротних у р смерова, р , које ј д делују ују на заједничком ј д растојању р ј у d. Интензитети тих сила су:
M1 M2 M3 и F3 F1 ; F2 d d d
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI
Довођењем сила F1 ,F2 и F3 у заједничку нападну тачку А, а сила F1' , F2' и F ' у заједничку нападну тачку В, 3 добијају се два колинеарна система сила, један у тачки А а други у тачки В. Ако се сложе сила, добијају се њихове два система сила та резултанте Fr и F ' , које чине спрег сила величине r момента Mr Fr d , који ј замењује уј д дејство ј сва три р спрега на круто тело.
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Момент резултујућег спрега једнак је алгебарском збиру ру момената компонентних спрегова р сила.
Mr M1 M2 M3 ... Mi Круто тело на које делују спрегови чије је дејство у јједној д јр равни биће у р равнотежи ако јје р резултујући у ују спрег р једнак нули, а тај услов биће испуњен када је момент резултујућег спрега једнак нули, тј.
Mr M1 M2 M3 ... 0 односно када је:
M
i
0
SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVA U RAVNI
SPREGOVI Резиме
спрег сила је дејство на круто тело двеју паралелних сила истог интензитета а супротних смерова. обртно дејство карактерише момент спрега, спрега чија величина не зависи од избора тачке за коју се момент срачунава. момент спрега може да се премешта у равни свога дејства.
да би тело на које делују спрегови било у равнотежи алгебарски збир момената тих спрегова мора да буде једнак нули.