2012/12/13
自然科學教學動機
自然科學導讀經驗分享 金國興
• 動機 – 為何而戰？ – 為何要學習自然科學？ – 自然科學的基礎：數學。
平鎮市義興國小學生家長 gking_vit@yahoo.com.tw
為何要學習數學
為何要學習數學 • 數學專家：勞委會網站
• 英國智庫研究發現青年的英文及數學能 力影響就業力。 教育部電子報 494期 2012-01-05 – 在2011年的六月到八月之間，英國十六歲到二十四歲年 輕人的未就業人數已經達到了歷史的新高點，總人數為 99萬1,000人。 – 日前公布的最新調查報告結果，發現英國青年的失業率 和他們的英文和數學成績有相關，學生英文與數學能力 的不足，已經成為阻礙他們順利找到工作，進入就業市 場的障礙。
為何要學習數學 • 九把刀，「那些年，我們一起追的女孩」。 – 柯騰「我跟你保證，十年後我不知道log是什麼， 我也可以活得好好的。 」 – 沈佳宜「人生本來就有很多事，是徒勞無功的 啊。」 – http://www.youtube.com/watch?v=4vz_k54ZIUA
為何要學習數學 • log 與其他數學函數的應用之一 – Google 關鍵字 “那些年 log” 。
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– 這段對白影響力不低 • 竹科某上市公司總經理引述這些觀念。
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣 (Magic Square) – 共有 33 = 9 個格子。 – 將 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填入9 個格子。 – 每一行，每一列，每一對角線數字總和相同。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 100-2 二年四班(鄧老師)晨間導讀。 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 • 從最簡單的填空格開始。 2
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 如果33 魔術方陣有解： – 33 方陣數字總和 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 = 45 。 – 33 方陣共有三行(或三列)，每一行(列)總和必 為 15 ( 45 3 15 ) 。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 數學史 – 高斯。 – 高斯 9 歲時利用很短的時間就計算出了小學老 師提出的問題：1 + 2 + 3 + … + 99 + 100。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 33 魔術方陣。 – 證明每一行(每一列，每一對角線 )和為 15 。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 計算 S = 1 + 2 + 3+ … + 8 + 9 。 S 1 2 3 ... 8 9 S 9 8 7 ... 2 1 2 S (1 9) (2 8) (3 7) ... (8 2) (9 1) 10 10 ... 10 10 9 90 S 90 2 45
有趣的數學問題：魔術方陣 • 證明最中間那個格子必定是 5 。 – 給小朋友們一週時間思考。 – 小朋友腦力激盪。 – 至少加深對問題的印象。 – 大幅提升解題能力。 5
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 證明最中間的格子必定是 5 。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 證明最中間那個格子 X 必定是 5 。
– 我的證明方法。
– 中間的格子有 4 條線經過，其他各格子恰有 1 條線 經過。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友 (100-2 二年四班) 的證明方法。
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• 如果 9 放中間， 則 8,7,6 沒有地方放！
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 7 放中間， 則 9, 8 沒有地方放！＋
a
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c
d
X
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g
h
a b c d e f g h 4 X 15 4 60 (a b c d e f g h X ) 3 X 60 45 3 X 60 X 5
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 8 放中間， 則 9, 7 沒有地方放！
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 6 放中間， 則 9 沒有地方放!
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有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 1 放中間，則 2,3,4 沒有地方放!
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 2 放中間，則 1,3 沒有地方放!
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
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• 如果 3 放中間，則 1,2 沒有地方放!
• 如果 4 放中間， 則 1 沒有地方放!
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。
有趣的數學問題：魔術方陣 • 某位小朋友的證明方法。 – 從大量的練習與試誤(trial and error)中學習。
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• 至少加深對問題的印象。 • 大幅提升解題能力。
– 頭腦越動越靈活，思維越練越開闊。 – 學習數學的方法之一。 – 演算法式(algorithmic)數學太過機械化。
• 中間只能放 5 (因為 9,8,7,6,1,2,3,4 放中間都 出現矛盾的情形) 。
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有趣的數學問題：魔術方陣
有趣的數學問題：魔術方陣
• 還有一個問題尚待小朋友們解決。 – 共有八組解。 2
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數學：乘法算術練習 • 100-2 二年四班晨間導讀。 • 小朋友宣稱能將乘法表背誦至 19 19 361。 • 問小朋友們 1111 ? – 111 ? – 22 ? – 33 ? – 44 ? – 沒有人答對。
數學：乘法算術練習 • 11 11
(10 1) (10 1) 10 10 10 1 1 10 1 1 100 10 10 1 121
數學：乘法算術練習 • 1111 ? – 11 位小朋友每人有 11 元。 – 每位小朋友先拿出 10 元，共有 110 元。 – 每位小朋友再拿出 1 元，共有 11 元。 – 110 元 + 11 元 = 121 元。
1111 121 11 (10 1) 1110 111 110 11 121
數學：乘法算術練習 • 一年級小朋友算術練習。 • 兩位數乘法。 – 建構式數學。 • 桃園縣平鎮市愛堡貝幼稚園張秀蘭老師。
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數學：乘法算術練習
數學：乘法算術練習
一年級小朋友算術練習
79 64 (70 9) (60 4) 70 60 70 4 9 60 9 4 4200 280 540 36 5056
數學：貨幣乘數
數學：貨幣乘數
• 100-2 二年四班冠瑋媽媽提出的數學問題 ： • 1 元可以買 1 顆糖果， 3 張糖果紙可換 1 顆 糖果。15元最多可以換得幾顆糖果？
• 1 元可以買 1 顆糖果， 3張糖果紙可換 1 顆 糖果。15元最多可以換得幾顆糖果？
數學：貨幣乘數
數學：面積
• 1 元可以買 1 顆糖果， 3張糖果紙可換 1 顆 糖果。N 元最多可以換得幾顆糖果？ – 寫程式 (基礎程式設計) 。 – 練習寫程式可以讓思路更清晰。 – 晨間導讀時間對高年級小朋友做測試。
– 15元買15顆糖果，吃掉糖果後剩 15 張糖果紙。 – 15張糖果紙換 5 顆糖果； 吃掉糖果後，剩 5 張 糖果紙。 – 5 張糖果紙換 1 顆糖果，並剩 2 張糖果紙； 吃 掉糖果後，還剩 1 張糖果紙，共剩 3 張糖果紙。 – 3 張糖果紙以換 1 顆糖果，並剩 1 張糖果紙。 答案： 15+5+1+1=22 顆
• 101-1 三年五班（洪老師）晨間導讀。 • 面積。 – 面積的定義。
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數學：面積 • 正方形面積公式由來。
數學：面積 • 長方形面積公式由來。
– 面積的定義。
長
1 1單位 × 1單位 1 = 1 平方單位
寬
數學：面積 • 平行四邊形面積公式由來。 – 平行四邊形面積 = 底 × 高。
數學：面積 • 三角形面積公式由來。 – 三角形面積 = 底 × 高÷ 2。
高
高 底
底
數學：面積 • 梯形面積公式由來。
數學：面積 • 哪個面積大?
– 梯形面積 =(上 底 + 下底) × 高÷ 2。
上底
高 下底
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數學：面積 • 哪個面積大?
數學：面積 • 面積與九九乘法表(100-2二年四班晨間導讀)
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數學：面積 • 面積與九九乘法表(100-2二年四班晨間導讀) 3×5=15
數學：乘法 • • • • • • • • • •
9 × 1 = 09 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 9 × 4 = 36 9 × 5 = 45 9 × 6 = 54 9 × 7 = 63 9 × 8 = 72 9 × 9 = 81 9 × 10 = 90
數學：乘法 • • • • • • • • •
9×1= 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 9 × 4 = 36 9 × 5 = 45 9 × 6 = 54 9 × 7 = 63 9 × 8 = 72 9 × 9 = 81
數學：一條線連接所有點？ • 101-1 三年五班晨間導讀內容 • 一條線連結所有的點？ 可以向上 、下、 左、 右連線， 走過的點不能再走， 不可以跳過空格， 能否用一條線連結左圖 24 個點？
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數學：一條線連接所有點？ 11 個 13 個
數學：邏輯 如果下雨，則帶傘出門! 如果帶傘出門，則下雨? 上述兩個命題是否意義相同(等價)? No!
不可能一筆畫畫完全部的點！ Why？
數學：邏輯 下面的兩個命題意義相同(等價)！ 如果下雨，則帶傘出門。 如果不帶傘出門， 則不下雨。 作文，寫報告，前後文邏輯一致。 語文能力與數學能力正相關！
數學：質數 • 101-1 某國小六年級數學
數學：邏輯 • 如果 2n-1 是質數, 則 n 也是質數。 – 直接證明非常困難。
• 若將命題改為：如果 n 不是質數, 則 2n-1 也 不是質數。 – 證明方法為因式分解。
數學：質數 • 質數用在哪裡 ？
– 101 是否為質數 ？ – 1001 是否為質數 ？ – 36 的正因數有哪些？ – 36 與 66 的最大公因數與最小公倍數？
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數學：質數 • 質數可以應用在加解密與電子簽章技術。
數學：質數 • 加密技術與電子簽章。 – IC 金融卡。 – 悠遊卡。
RSA: example • • • • • • •
Randomly select two primes: p=7, q=17 Calculate n=pq=7×17=119 Calculate (n)=(p-1)(q-1)=96 Randomly select e=5, since gcd(e,(n))=1 Calculate d=e-1 mod (n)=77 Public key: KU=(5, 119) Private key: KR=(77, 119)
數學：質數 • 質數可以應用在加解密與電子簽章技術。
RSA public-key system Key generation algorithm: Input: k; 1. Randomly generate two primes p and q of length k/2 bits; 2. Compute n=pq; (n is k-bit long) 3. Randomly select e, 2e(n)-1, with gcd(e, (n))=1; (Note: (n)=(p-1)(q-1)) 4. Compute d=e-1 mod (n); 5. KU=(e, n), KR=(d, n) (Note: (1) p, q are not needed any more; (2) e and d are symmetric, ie. e=d-1 mod n)
RSA: example • Public key: KU=(5, 119) – Before sending message 66 – Encrypt 66 : 665 mod 119 = 19 – Send 19 via the public channel
• Private key: KR=(77, 119) – Receive 19 – Decrypt 19: 1977 mod 119 = 66
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結論 • RSA-129= 1143816257578888676692357799761466120102 1829672124236256256184293570693524573389 7830597123563958705058989075147599290026 879543541 • p=34905295108476509491478496199038981334 17764638493387843990820577 • q=32769132993266709549961988190834461413 177642967992942539798288533
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• 晨間導讀非正課時段，較不易構成小朋友 們壓力，試著讓小朋友們多思考能力範圍 內較具深度的數學問題。 • 盡量保持小朋友們對數學與自然科學的強 烈好奇心與學習動機，讓小朋友們能產生 強烈的求知慾望。 • 小朋友潛力無窮，應該給予他們適當的刺 激與鼓勵，不要只侷限在特定型態的問題。
問題與討論 • 問題與討論。 • 感謝您的聆聽！
– http://www.cb.idv.tw
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