Geometría y trigonometría by eseté editorial

José Dzul Xuluc • José Peraza Perera • David serrano de Rejil

Geometría y trigonometría

Bachillerato tecnológico Por competencias

Incluye Secuencias didácticas e instrumentos de evaluación

José dzul xuluc • josé peraza perera • david serrano de rejil

Geometría y trigonometría

Bachillerato tecnológico Por competencias

geometría y trigonometría

Dzul Xuluc, José Geometría y trigonometría / José Dzul Xuluc, José Peraza Perea, David Serrano de Rejil ; ilustraciones Milagro Trejos y Diana Flores. –Primera edición. –- México: ST Editorial : ST Distribución, 2012. 208 páginas : ilustraciones ; 27 cm. –- (Bachillerato tecnológico por competencias) Bibliografía: página 207 Incluye Guía para el maestro ISBN 978-607-508-095-6 ISBN 978-607-508-110-6 (e-book) 1. Geometría – Estudio y enseñanza (Superior). 2. Trigonometría – Estudio y enseñanza (Superior). I. Peraza Perea, José. II. Serrano de Rejil, David. III. Trejos, Milagro, ilustrador. IV. Flores, Diana, ilustrador. V. título. VI. Serie. 516.24-scdd21

Biblioteca Nacional de México

ST Distribución, S.A. de C.V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342. © Derechos reservados 2012 Primera edición: Distrito Federal, diciembre de 2012 © 2012, José Dzul Xuluc, José Peraza Perera, David Serrano de Rejil ISBN: 978 607 508 095 6 ISBN ebook: 978 607 508 110 6

Presidente: Alonso Trejos Director general: Joaquín Trejos Publisher: Giorgos Katsavavakis Coordinadora editorial: Marina Rodríguez Editor: Alfredo López Asistente editorial: Daniel Rendón Director de arte: Miguel Cabrera Coordinadora de producción: Daniela Hernández Diseñadora: Alicia Pedral Ilustrador de portada: Monfa Ilustraciones y gráficos: Milagro Trejos y Diana Flores Fotografías: Stockxchange, Wikimedia, CGtexture y archivo ST Editorial Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico. Iconografía realizada por los diseñadores: Andrew J. Young (p.76), Giogia Guriano (p.91), Travis Junis (p.160), Torehan Sharman, Marco Acri (p.161), United Nations ocha (p. 163), Iconathon (p.167), Nathan Driskellm, Benoit Champy, aatiraghu (p.169), colaboradores en The Noun Project (http://thenounproject.com), bajo licencia Creative Commons. Imágenes de mapas por: © Colaboradores de OpenStreetMap (p. 37 y 97).

Geometría y trigonometría, de José Dzul Xuluc, José Peraza Perera, David Serrano de Rejil, se terminó de imprimir en diciembre de 2012 en los talleres de Javic, con domicilio en Poniente 140, #671, colonia Industrial Vallejo, Delegación Azcapotzalco, México, df.

muestras digitales por el ambiente

issuu.com/steditorial

También encuéntranos en:

Presentación El conocimiento y la ciencia apoyada en las matemáticas, aportan importantes beneficios a la humanidad, cuyo origen se basa en observaciones y mediciones de los fenómenos de la naturaleza. Actualmente las matemáticas se emplean en diferentes áreas de estudio como son: las ciencias naturales y sociales, tecnológicas, administrativas, etc. En especial la geometría, como una de sus ramas, contribuye a la formación del pensamiento lógico, a la capacidad de hacer representaciones espaciales, la visualización y la generalización para resolver problemas. La metodología de este libro consiste en abordar los temas con situaciones reales utilizando la teoría y su análisis para resolver problemas cotidianos; el objetivo es propiciar en el estudiante de bachillerato el desarrollo de las habilidades cognitivas y de comunicación entre sus semejantes, relacionando los conocimientos previos con los conocimientos significativos y habilidades para que pueda utilizarlos en su vida. En cada una de las siete unidades que conforman este libro, hemos incluido elementos como: “Actividad de apertura”, la cual sirve para conocer los conocimientos previos de los estudiantes; “En la web” con enlaces interesantes para profundizar los temas tratados; “Aplícalo” que muestra la utilidad de lo aprendido; así como cuadros, gráficas y figuras, que apoyan la comprensión de los temas; todo ello, para contribuir al desarrollo de las competencias genéricas y competencias disciplinares de los alumnos, cumpliendo los objetivos de la Dirección General de Bachillerato (dgb) y el programa de estudio matemáticas II de la Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico (COSDAC). Formar un pensamiento con claridad, fomentar la reflexión y contribuir al aprendizaje de las matemáticas, en especial la geometría y la trigonometría, es parte de nuestro trabajo educativo que hoy plasmamos en este libro. De antemano, se agradece cualquier comentario o sugerencia por parte de los lectores que sirva para mejorar esta obra; se pueden enviar al autor a la siguiente dirección electrónica: comentarios@st-editorial.com

contenido Unidad 1

Unidad 3

Historia y conceptos básicos de la geometría

triángulos 54 12

Actividad de apertura

Tema 1. Antecedentes históricos de la geometría 16 La geometría antes de los griegos La geometría en la época de los griegos

16 17

Tema 2. Elementos básicos de la geometría

Partes de una recta

Tema 3. Proposiciones geométricas y métodos de razonamiento

Proposiciones geométricas Métodos de razonamiento

22 23

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

26 27

Unidad 2

ángulos 28 Actividad de apertura Tema 1. Definición y notación de ángulos

30 32

Definición 32

Tema 2. Sistemas de medida de los ángulos Medidas de ángulos

Tema 3. Clasificación de ángulos Clasificación de los ángulos por su medida Clasificación de los ángulos por parejas

Tema 4. Rectas paralelas cortadas por una transversal y teoremas importantes Rectas que intersecan o cortan a las rectas paralelas Teoremas sobre los ángulos alternos, correspondientes y colaterales

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

34 34

37 39 39

43 43 44

51 53

Actividad de apertura

Tema 1. Definición y notación de triángulos

Ángulos externos de un triángulo

Tema 2. Propiedades de los triángulos

Tema 3. Clasificación de triángulos

Tema 4. Congruencia de triángulos

Tema 5. Semejanza de triángulos

Definición de triángulos semejantes Dos teoremas importantes en la semejanza y proporcionalidad Teorema de Tales

Tema 6. Puntos y rectas notables del triángulo Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

73 74 75

79 83 87

Unidad 4

Polígonos 88 Actividad de apertura

Tema 1. Notación y clasificación

Definición y elementos del polígono Clasificación de los polígonos

92 93

Tema 2. Ángulos de un polígono regular

Ángulos interno, externo y central

Tema 3. Diagonales en un polígono

Número de diagonales

Tema 4 Cuadriláteros 101 Clasificación de los cuadriláteros Propiedades de los paralelogramos

101 102

Tema 5. Perímetros y áreas de polígonos Cálculo de perímetros y áreas Área de polígonos irregulares

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

105

Tema 3. Aplicación de los triángulos rectángulos 160

105 108

Tema 4. Ley de senos y cosenos

112 117

Ley de senos Ley de cosenos

164 164 165

Tema 5. Aplicación de triángulos oblicuángulos 167 Tema 6. Identidades fundamentales

Unidad 5

circunferencia 118 Actividad de apertura

120

Tema 1. Definición y notación de la circunferencia y el círculo

122

Tema 2. Elementos principales de una circunferencia

124

Tema 3. Ángulos en una circunferencia

127

Tema 4. Perímetro de una circunferencia y área de un círculo Perímetro de una circunferencia Área de un círculo

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

135 136 136

141 145

Unidad 6

trigonometría 146 Actividad de apertura

148

Tema 1. Antecedentes históricos

150

Tema 2. Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas Valores exactos de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60° Cálculo del ángulo correspondiente al valor de una función trigonométrica Signos de las funciones trigonométricas Gráficas de las funciones trigonométricas

152 152 155 156 157 158

171

Clasificación de las funciones trigonométricas 171 Demostración de identidades trigonométricas 172

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

174 177

Unidad 7

Ecuaciones de funciones trascendentales

178

Actividad de apertura

180

Tema 1. Ecuaciones trigonométricas

181

Tema 2. Introducción a los logaritmos y los exponenciales

184

Gráficas de funciones logarítmicas Función logarítmica común Función logarítmo natural Propiedades de los logaritmos

186 187 187 187

Tema 3. Ecuaciones logarítmicas

191

Tema 4. Ecuaciones exponenciales

193

Tema 5. Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

195

Interés compuesto Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional Desintegración radioactiva

195

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

200 201

Proyecto integrador Evaluación final Fuentes consultadas

202 204 208

196 197

Conoce Tu libro entrada de unidad Indica el título de la unidad que se va a estudiar.

Introducción Texto que incluye una breve explicación de lo que se estudiará a lo largo de la unidad, así como los conceptos subsidiarios.

mapa conceptual Permite visualizar de manera sintética los temas más importantes de la unidad.

Actividad de apertura Se incluyen al inicio de cada una de las unidades con el fin de que el alumno se interese en los temas.

Temas Incluyen el desarrollo de cada uno de los temas que conforman cada una de las unidades.

Figuras Imágenes que refuerzan la información, ilustran y hacen más llamativo el texto.

Actividades de desarrollo Corresponden a diversas actividades intercaladas en el desarrollo de los temas, las cuales favorecen la adquisición de competencias.

En la web Recomendación de sitios web relacionados con los temas de la materia.

¡AplÍcalo! En esta sección se plantean situaciones de la vida cotidiana en las que los alumnos podrán aplicar los conocimientos que adquirieron.

InfogrÁficos Permiten visualizar información trascendente de la materia, con imágenes y elementos gráficos adicionales que fortalecen el aprendizaje.

lecturas Ayudan a plantear, con la información que brindan, hechos sociales desde los cuales se construyen las secuencias didácticas.

actividades de cierre Series de ejercicios que tienen la finalidad de evaluar el conocimiento adquirido en cada unidad.

instrumentos de evaluación Integran listas de cotejo y rúbricas útiles para detectar cuáles fueron las competencias que los alumnos adquirieron durante el estudio de cada unidad.

Articulación entre las competencias disciplinares y las competencias genéricas

Competencias disciplinares del área de matemáticas e interpreta modey resuelve e interpreta 1Construye 2Formula 3Explica los matemáticos mediante la problemas matemáticos, los resultados aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

aplicando diferentes enfoques.

la solución 4Argumenta obtenida de un problema,

obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la Tecnología de la Información y la Comunicación.

Competencias Genéricas 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

5 7 8 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.

2 3 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

1 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.

5 Participa en prácticas relacionadas con el arte.

Enseguida presentamos las competencias disciplinares del área de matemáticas, numeradas del 1 al 8, y su interrelación con las competencias genéricas y sus respectivos atributos.

6 Cuantifica, representa y

las relaciones 5 Analiza entre dos o más

contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.

variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

7Elige un enfoque determi- 8Interpreta tablas, nista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

1 2 1

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

8 1

Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

8 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.

4 Maneja las Tecnologías de la Información y la Comunicación para obtener información y expresar ideas.

gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

4 5 6 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.

Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

1 3 5 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

7 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

3 4 5

Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

1 8 Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar información.

Articulación entre las competencias disciplinares y las competencias genéricas

aplicando diferentes enfoques.

obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

la solución 4Argumenta obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la Tecnología de la Información y la Comunicación.

Competencias Genéricas 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

3 7

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

3 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

1 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

3 4 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.

5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.

1 4 5 8 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente.

Enseguida presentamos las competencias disciplinares del área de matemáticas, numeradas del 1 al 8, y su interrelación con las competencias genéricas y sus respectivos atributos.

las relaciones 5 Analiza entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6 Cuantifica, representa y

contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.

7Elige un enfoque determi- 8Interpreta tablas, nista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.

4 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.

2 4 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.

6 8 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente.

8 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.

gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Historia y conceptos bĂĄsicos de la geometrĂa

Todas las civilizaciones tienen características únicas que las hacen individuales y que han influido unas en otras a lo largo de la historia. Las más antiguas, como la mesopotámica, la egipcia y la griega, han transmitido al mundo importantes conocimientos matemáticos. De las aportaciones de una se han enriquecido otras y de estas múltiples contribuciones se ha establecido la geometría, que además de formar parte de las matemáticas, aborda los conocimientos sobre trazos, propiedades de las figuras

planas –como los cuadrados, triángulos y el círculo– y las aplicaciones de estas, que hacen la vida del ser humano más cómoda. En esta unidad abordaremos el origen de la geometría, las aportaciones que se han hecho desde los babilonios hasta los griegos y su generalización. También se estudiará la formulación de los conceptos fundamentales de la geometría y el orden de las principales proposiciones o enunciados en los que se fundamenta la geometría euclidiana.

Tema integrador: Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue

HISTORIA Y CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA se analizan

antecedentes históricos

elementos básicos

proposiciones geométricas

métodos de razonamiento

como

que son

antes de los griegos

punto

axioma

método inductivo

línea

postulado

método deductivo

plano

teorema

hasta

después de los griegos

lema

Actividad de apertura

I. Realiza lo que se te pide. 1. Escribe al lado de cada símbolo su significado. a. = b. ≥ c. ∑ d. π 2. Subraya los sistemas de numeración que has empleado. b. romano c. maya d. binario a. decimal II. Contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Cuál es el lenguaje de las matemáticas?

2. Las matemáticas tienen diferentes áreas: álgebra, geometría, estadística, entre otras. Con tus propias palabras define qué es la geometría.

III. Relaciona las columnas de los nombres de matemáticos y sus aportaciones. 1. ( ) Calculó el valor de π aproximadamente a 3.14163. a. Christoph Rudolff 2. ( ) Introdujo la raíz cuadrada con el símbolo . b. Arquímedes de Siracusa 3. ( ) Establece la relación de los lados de un triángulo c. Johann Widman rectángulo c2 = a2 + b2. d. Tales de Mileto 4. ( ) Inventó los símbolos + y - para sustituir las pala- e. Pitágoras de Samos bras italianas plus (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta. 5. ( ) Logró medir distancias inaccesibles y generalizar el procedimiento. IV. Observa a tu alrededor: en el aula, los pasillos de tu escuela o sus construcciones. Nombra cuatro objetos y las características geométricas que describe cada uno. No.

Objeto

Características geométricas

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V. Se tiene un plano con tres puntos marcados. C

1. Traza por el punto C un segmento paralelo al segmento AB. 2. Selecciona un punto sobre el segmento trazado y nómbralo D. 3. Por el punto D, traza un segmento perpendicular al segmento AB. 4. Por el punto A, traza un segmento perpendicular al segmento AB. 5. ¿Cuál es el nombre de la figura geométrica que se formó?

VI. Escribe en la línea la conclusión para cada pareja de enunciados. 1. Todo ser humano es racional. Verónica es ser humano. Conclusión: 2. Todos los griegos eran grandes filósofos. Platón era griego. Conclusión: 3. Algunas figuras geométricas tienen vértices. Los cuadriláteros tienen vértices. Conclusión:

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Tema 1

Antecedentes históricos de la geometría

Desde las primeras civilizaciones, el ser humano tenía necesidades diferentes y estableció formas distintas de concebir el mundo, entre las que se encuentra el asentamiento de antecedentes matemáticos basados en la observación y en la experiencia. Los primeros conocimientos geométricos consistían en un conjunto de reglas prácticas, actualmente estas se conservan en formas definidas y estructuradas de acuerdo a su contexto y todas juntas formalizan la geometría. Para que esta fuera considerada como ciencia pasaron muchos siglos hasta llegar a los griegos, quienes ordenaron los conocimientos empíricos conservados por la humanidad al sustituirlos por métodos racionales y cuyas aplicaciones en las construcciones –habitaciones, puentes, herramientas de trabajo– hicieron la vida más cómoda.

La geometría antes de los griegos

Figura 1. En el papiro de Rhind del año 1650 a. C., escrito por un sacerdote egipcio de nombre Ahmesy, se plantean problemas de geometría.

Cuadro 1. Aportaciones importantes de otras civilizaciones Mesopotamia China Área del cuadra- Problemas sobre do, del círculo. distancias y semejanzas de cuerpos. Semejanza de figuras.

Sumeria Primeras construcciones de ladrillos. Dividieron la semana en 7 días. Inventaron el sistema sexagesimal. Describieron el movimiento del sol, la luna y de 5 planetas.

La palabra geometría, etimológicamente, deriva de dos vocablos griegos: geo, tierra y metría, medir o medida, por lo cual significa “medir la tierra”. Se atribuye a los babilonios –hace 6 000 años– la invención de la rueda, el interés y la aplicación de reglas para calcular áreas de rectángulos, triángulos, trapezoides y el círculo. Ellos también dividieron la circunferencia en 360 grados y establecieron la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro tomando el valor de 3 para π. El origen de la geometría se remonta también a la Antigüedad (aproximadamente al año 3000 a. C.), en particular a la civilización del antiguo Egipto (figura 1). En siglos posteriores se fueron sumado aportaciones hasta llegar a un momento (600 a. C.) muy importante con los griegos. El filósofo griego Eudemo de Rodas (siglo iv a. C.), otorgó el descubrimiento de la geometría a la necesidad de los egipcios de hacer y rehacer las divisiones y mediciones de las tierras debido a las crecientes del río Nilo y calcular cuánto debían pagar por concepto de impuesto por cultivar la tierra otorgada por el rey. Las mediciones no fueron la única necesidad que motivó el estudio de las matemáticas; también la construcción de canales y edificios con figuras decorativas, los movimientos planetarios y la aplicación de la geometría en la construcción de las pirámides. Por ejemplo, la construcción de la gran pirámide de Keops (hacia 2600 a. C.-2515 a. C.), una obra de enorme magnitud y precisión, por sus proporciones y dimensiones, fue un factor que impulsó el desarrollo de la geometría. Los egipcios no solo calcularon áreas y volúmenes, sino que también establecieron que el área del círculo tenía un valor aproximado de π = 3.16. Otras civilizaciones de este periodo histórico también realizaron diversas aportaciones para el desarrollo de la geometría (cuadro 1).

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geometría y trigonometría

La geometría en la época de los griegos Los griegos tomaron los conocimientos empíricos de sus antecesores, establecieron explicaciones con base en un razonamiento lógico y dieron origen a una geometría deductiva. Es importante, antes de emprender un estudio a fondo de la geometría, conocer algunas de las figuras más importantes de esta etapa. Observa el infográfico de la siguiente página acerca de la geometría antes y después de Euclides (330-275 a. C.). Fueron los árabes en el siglo vii quienes rescataron los escritos griegos y los tradujeron a su idioma. Contribuyeron al desarrollo de la geometría al conservar estos conocimientos científicos, que tiempo después introdujeron en Europa, principalmente a través de España. Gracias a un conjunto de culturas y civilizaciones que ayudaron al avance de la geometría, en la actualidad podemos afirmar que es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades del espacio como: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, por ello es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores y para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este es incompleto. El matemático alemán David Hilbert (1862-1943) fue quien propuso a principios del siglo xx un sistema axiomático completo. La geometría euclidiana es conocida como geometría plana; existen también la geometría analítica, la geometría del matemático ruso Nikolái Lobatchevsky (1792-1856), la del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), entre otras.

EN LA WEB Si quieres ampliar la información sobre los orígenes de la geometría, visita la página st-editorial.com/enlaweb/ geometria y accesa al link número 01

Geometría y experiencia “¿Cómo se explica que las matemáticas, siendo un producto de la mente humana, independiente de la existencia, estén tan admirablemente adaptadas a la realidad?”, se preguntó en su magnífico ensayo Geometría y experiencia (1921) el gran físico teórico Albert Einstein, creador de una de las más revolucionarias teorías acerca de las leyes que gobiernan nuestro universo y uno de los grandes genios de la humanidad. Einstein no fue el único ser humano que tuvo esta duda, ni mucho menos el primero, ni tampoco alguien que diera una respuesta definitiva al respecto. Esto porque muchas veces resulta asombroso ver cómo, partiendo de un conjunto de principios definidos bajo ciertas reglas, se llegan a conclusiones que ni se pensaron cuando estos se construyeron, o para lo que se construyeron; descubriendo nuevas propiedades y teoremas; o encontrar que en la naturaleza existen singulares fenómenos que al parecer siguen un orden estricto (y tener formas geométricas propias que al ser estudiadas y valoradas como lo hicieron los babilonios y los egipcios, nos permiten tener avances en el descubrimiento del universo, esto es al emplear la geometría y relacionarlo con la física, química y otros) y en cualquier circunstancia, cual máquina programada para realizar un trabajo, estos fenómenos se repiten rígidamente como manejados por una mano invisible. Remontémonos cuando Platón formuló su teoría de las ideas (…) explicaba la realidad diciendo que lo que nosotros percibíamos eran sombras, producto de moldes o figuras ideales que existían detrás de todo lo que veíamos a nuestro

alrededor. Ya en ese entonces existía curiosidad por conocer “el mundo de las ideas” que habitaba detrás “del mundo de los sentidos” que era el que nosotros percibíamos (…). Los griegos pensaban que este conocimiento seguro lo proporcionaban las matemáticas, porque según ellos, las relaciones matemáticas jamás cambiaban. Incluso para poder aprender de filosofía había que saber antes matemáticas, esto se deduce del cartel fijado en la entrada del centro intelectual de esa época, la prestigiosa Academia de Platón (…). Es precisamente a partir de esta rama de las matemáticas, cuando Euclides formuló los principios de su geometría en el libro Los elementos, y se comenzó a pensar que se había encontrado la verdad absoluta de la creación, las leyes que Dios había inventado para que gobernaran la naturaleza, transformándose este descubrimiento en una de las piedras angulares del pensamiento humano desde los primeros griegos hasta el siglo xix. Teoremas ciertos sobre líneas y triángulos, círculos y cuadrados, se seguían con lógica impecable a partir de hipótesis claramente establecidas las cuales se conocen con el nombre de axiomas. Euclides extrajo sus ideas sobre las verdades geométricas dibujando figuras en la arena y examinando las relaciones entre longitudes, ángulos y formas (…). La característica más singular de la geometría euclidiana es el V postulado, el que dice que “las líneas paralelas nunca se encuentran”. Esta verdad parece evidente. Todos los intentos realizados a lo largo de los siglos para derivarla como consecuencia de las otras hipótesis básicas aceptadas por Euclides han fracasado. Fuente: Alipso. En: http://goo.gl/XZySC

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u1 Historia y conceptos básicos de la geometría INFOGRÁFICO

Asombra al mundo dando solución a problemas no resueltos como la altura de la pirámide de Keops empleando triángulos semejantes. Tales estudió también la igualdad de los ángulos en un triángulo isósceles. Esto se considera el inicio de la geometría como ciencia racional.

Pitágoras de Samos Fue discípulo de Tales de Mileto. A él se debe el teorema: “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.”

ca. 428 a. C. - 347 a. C.

Tales de Mileto

580-501 a. C.

640-548 a. C.

La geometría antes y después de Euclides

Platón Platón dividió a la geometría en dos partes: •Elemental: comprende los problemas que se resuelven únicamente con regla y compás. •Superior: estudia los tres problemas más famosos de la geometría antigua no resolubles con regla y compás: la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo.

Actividad de desarrollo I. Reunidos en equipos, respondan las siguientes interrogantes en torno a la lectura. 1. Platón escribió: “Nadie ingrese aquí si ignora la geometría” ¿Qué entiendes con esta frase?

2. ¿Cuál es la importancia de la geometría en la naturaleza, en las construcciones y en su relación con otras ciencias?

Actividad de desarrollo

I. Responde las siguientes preguntas. 1. En las primeras civilizaciones el ser humano estableció reglas geométricas, ¿cuáles fueron las bases de estas reglas?

2. ¿Cuál es el origen etimológico de la palabra geometría?

3. ¿Cuáles son las características principales de las etapas de la geometría: antes, durante y después de los griegos? Descríbelas. APLÍCALO Investiga cuáles son las construcciones importantes de tu localidad (casas o lugares públicos). Anota dos que sean representativas y describe las figuras geométricas que poseen en su estructura.

a. Antes de los griegos b. Durante los griegos

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Se le atribuye al cálculo más próximo de π, descubrió varias formas de medir la superficie de figuras como la elipse, el volumen del cono, de la esfera y otros. Estudió una curva muy famosa llamada la espiral de Arquímedes que sirve para resolver la trisección del ángulo.

apolonio de perga Geómetra griego, famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Las aportaciones de Apolonio facilitaron los descubrimientos de J. Kepler en las trayectorias de los planetas y otros; ayudaron a la invención de la geometría analítica varios siglos después por Descartes. Se le atribuye la invención del reloj solar y es uno de los precursores de los descubrimientos astronómicos.

Siglo ii

Se le llama el “padre de la geometría”. Organizó los conocimientos de sus antecesores en su obra Elementos, que consta de un orden lógico y está construida con definiciones, axiomas y postulados, con base en ellos se demuestran teoremas, que a su vez sirven para validar otros; esta organización geométrica predomina hasta nuestros días.

arquímides de siracusa

260 a. C. - 200 a. C.

euclides de alejandría

287 a. C. - 212 a. C.

330-275 a. C.

Antes

Después

geometría y trigonometría

herón de alejandría Pasó a la historia por la fórmula que lleva su nombre y sirve para calcular el área de un triángulo dada las medidas de sus tres lados. Fue además uno de los inventores más grandes de la Antigüedad: creó la primera máquina expendedora de la historia.

π c. Después de los griegos

4. ¿Qué estudia la geometría como ciencia?

5. ¿Qué enuncia cada uno de los cinco postulados de Euclides?

II. Proporciona dos ejemplos que correspondan a la geometría elemental y a la geometría superior, según la división realizada por Platón.

III. Reunidos en equipos de trabajo empleen las tic para realizar las siguientes actividades. 1. Investiguen información complementaria referente al origen de la geometría. 2. Construyan un mapa conceptual acerca del origen de la geometría. 3. Redacten en media cuartilla las conclusiones a las que llegaron sobre el origen y el desarrollo de la geometría y su relación con la naturaleza. st-editorial.com

EN LA WEB Para conocer más acerca de la historia de la geometría, visita la página st-editorial.com/ enlaweb/geometria y accesa al link número 02

Tema 2

Elementos básicos de la geometría

Figura 2. Puente sobre el río Ebro en la ciudad de Logroño, España.

Recta

Curva

C S

T U

Poligonal

En nuestro alrededor hay diversas construcciones que presentan características geométricas como monumentos, puentes, edificios, carreteras, etc. En la casa también tenemos varios objetos con formas geométricas: mesas, lámparas, puertas, utensilios de cocina, cuadros decorativos, etc. En la figura 2 se reflejan las aplicaciones de la geometría en la estética. En la construcción del puente se emplearon curvas y tirantes de diversos tamaños que sostienen la estructura de dos carriles en ambos sentidos y un área para peatones y ciclistas. En las construcciones arquitectónicas y en fabricación de objetos y muebles, al igual que en toda la geometría, se involucran tres conceptos fundamentales no definidos: el punto, la línea y el plano. Los tres conceptos fundamentales los podemos describir como: Punto. Posee solo posición, carece de longitud y anchura. Línea. Posee longitud, carece de anchura y espesor. Plano. Posee longitud y anchura, carece de espesor.

V Mixta

Las líneas pueden ser de cuatro tipos (figura 3): Recta. Se genera entre dos puntos cualesquiera con la misma distancia. Curva. Se genera por un punto que se mueve cambiando su dirección continuamente. Poligonal. Se genera por segmentos de rectas. Mixta. Se genera con la combinación de segmento de rectas y curvas.

Figura 3. Formas de la línea.

Partes de una recta

Figura 4. Semirrecta.

A Figura 5. Segmento.

La representación de una recta se hace mediante un trazo y su designación es a través de dos letras mayúsculas correspondientes a dos puntos. Semirrecta. Es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto (figura 4). Se forman dos semirectas y se representan por PA y PB . Segmento. Parte de una recta comprendida entre dos de todos los puntos de ella. Se representa por AB y se lee “segmento AB” o “segmento BA” (figura 5).

Actividad de desarrollo

I. Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas. 1. ¿Qué es una línea? 2. ¿Qué es un plano?

Al relacionar los conceptos: punto, línea y plano, obtenemos los elementos básicos ángulo, polígono, punto medio y circunferencia, los cuales se definen y se representan en el cuadro 2. 20

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geometría y trigonometría Cuadro 2. Conceptos básicos Nombre

Definición

Representación gráfica

Ángulo Abertura generada al cortarse dos segmentos de recta o dos líneas rectas en un punto. El punto de corte se denomina vértice.

Polígono Superficie plana y cerrada por segmentos de rectas llamados lados.

Circunferencia Curva cerrada en la que todos los puntos están en el mismo plano y son equidistantes de un punto fijo llamado centro.

A O

Punto medio Punto que divide a un segmento en dos partes iguales.

C A

Por otra parte, dos rectas en el mismo plano pueden ser: paralelas, intersecantes o perpendiculares (cuadro 3): Cuadro 3. Rectas EN EL MISMO PLANO Nombre Definición

Representación gráfica

Paralelas Rectas que no se intersecan aunque que se prolonguen.

B A

C D

Intersecantes Perpendiculares Son dos o más rectas que Rectas que se intersecan se intersecan o cortan en el formando un ángulo recmismo punto. En el ejemplo to, es decir, de 90°. se cortan en el punto P.

C 90˚

D D

Actividad de desarrollo I. Observa los objetos que se encuentran en la imagen; identifica los elementos que se indican.

1. Punto 2. Línea 3. Plano 4. Ángulo 5. Polígono 6. Rectas paralelas 7. Rectas perpendiculares II. En diversos lugares encontramos objetos o construcciones diferentes. Dibuja en tu cuaderno cuatro de ellos y describe los elementos geométricos que identifiques en cada uno. st-editorial.com

Tema 3

Proposiciones geométricas y métodos de razonamiento

La estructura de la geometría se basa en oraciones o proposiciones que no son matemáticamente conocidas por todas las personas, pero que de una u otra manera se relacionan con su saber cotidiano y así, de esta forma, resuelven diversas situaciones de su vida. Una proposición es un enunciado o una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas.

Proposiciones geométricas

En geometría, las principales proposiciones geométricas se clasifican en: axioma, postulado, teorema, corolario, lema, escolio y problema, y se relacionan unas con otras. El cuadro 4 contiene las definiciones y ejemplos de cada una. Cuadro 4. Proposiciones geométricas Proposición geométrica Axioma

Definición

Ejemplo

Proposición que, siendo evidente, no requiere demostración. Proposición no tan evidente como un axioma que también se admite sin demostración.

• Todo número es igual a sí mismo. • Entre dos puntos pasa una única recta. • Por dos puntos cualesquiera puede trazarse una y solo una línea recta. • Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.

Teorema

Proposición que puede ser demostrada. Consta de dos partes: hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis, que es lo que se quiere demostrar.

• La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir, 180°.

Corolario

Proposición que se deduce como consecuencia de un teorema.

• La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.

Lema

Proposición que sirve de base en la demostración de un teorema. Es como un teorema preliminar a otro que se considera más importante.

• Una pirámide triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes.

Escolio

Observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.

• Después de demostrar el teorema, se dice: si tenemos una circunferencia con dos cuerdas, mayor y menor, a mayor cuerda le corresponde mayor arco.

Problema

Proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas condiciones (problemas gráficos), o bien calcular el valor de alguna magnitud geométrica (problemas numéricos).

• Calcular al área de polígono de cinco lados, cuyo lado mide 10 cm y su apotema 5 cm.

Postulado

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geometría y trigonometría Hipótesis y tesis de un teorema

Ejemplo 1 La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos. Hipótesis

Tesis

La suma de los ángulos interiores de todo triángulo

Es igual a dos rectos

EN LA WEB Para conocer más acerca de las proposiciones matemáticas, visita la página st-editorial. com/enlaweb/geometria y consulta el link número 03

El recíproco de una proposición se forma al intercambiar la hipótesis por la tesis, y se expresa de la forma: Si… entonces…

Ejemplo 2

Una recta puede prolongarse en ambos sentidos. Si puede prolongarse en ambos sentidos, entonces es una recta.

Actividad de desarrollo I. Relaciona las columnas. 1. ( ) Axioma a. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 2. ( ) Postulado b. La suma de 4 + 8 es igual a la suma de 8 + 4. 3. ( ) Teorema c. Por el punto exterior de una recta puede trazarse una y solo una paralela a esta. II. Subraya la hipótesis y encierra con un óvalo la tesis de los siguientes teoremas. 1. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. 2. La suma de los tres ángulos externos de todo triángulo es igual a 360°. 3. Las rectas perpendiculares forman ángulos rectos. III. Escribe el recíproco de los teoremas anteriores. 1. 2. 3.

Métodos de razonamiento

Un día en el salón de clases, los alumnos comentan que el maestro que imparte inglés asignó tarea extraescolar, el que imparte lectura y redacción igual, la maestra de química y el de tic también. Que todos los maestros dejen tareas extraescolares al mismo tiempo no siempre ocurre, entonces solo en alguna ocasión será una premisa verdadera y en otra, falsa. A veces suponemos, desde la primera sesión de clase, que todos los maestros llegarán tarde al salón; al terminar la jornada observamos que uno de ellos llegó tarde y los demás puntuales, entonces nuestra suposición no fue certera ya que algunos maestros no cumplieron con esta regla. Como notaste, todo trabajo intelectual requiere de un razonamiento o del uso de algún método y/o procedimiento que lo conduzca al conocimiento y establecer su veracidad o falsedad. El razonamiento es la capacidad que posee el ser humano de asociar en forma debida diversas ideas, observaciones o hechos, para obtener conclusiones correctas. Todo proceso st-editorial.com

u1 Historia y conceptos básicos de la geometría de pensamiento surge de algunos datos (hipótesis). Estos, mediante una correcta asociación de ideas, observaciones o hechos (razonamiento), conducen a establecer una nueva proposición (conclusión). El razonamiento se utiliza en las matemáticas para establecer la verdad de una proposición. La palabra método deriva de los vocablos griegos meta, que significa al lado, y odos, camino, por lo que la traducción sería: “al lado del camino”, y se refiere al medio utilizado para llegar a un fin.

Actividad de desarrollo

Reunidos en equipos de trabajo realicen las actividades propuestas. 1. Observen las cosas que comúnmente ocurren en la escuela o en la casa, y escriban, en su cuaderno, un ejemplo que se repita varias veces; luego, establezcan una regla. 2. De lo que observan en su comunidad, busquen como ejemplo un hecho o acción que todos realizan. Analícenlo con detalle e indiquen si es una regla de acuerdo a la opinión de los compañeros del grupo. Revisemos el método inductivo y el método deductivo. Método inductivo El método inductivo consiste en un razonamiento que inicia con una parte y termina con un todo, es decir, un modo de razonar que parte del análisis de premisas particulares para establecer una conclusión general. Una forma para desarrollar el método inductivo es proponer, a partir de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma naturaleza, una conclusión para todos ellos.

Ejemplo 3

Armando siempre compra cacahuates cuando va al beisbol. Armando fue hoy al beisbol. Armando compró hoy cacahuates. Método deductivo (o analítico) El método deductivo consiste en un razonamiento que inicia con un todo y termina con una parte, es decir, un modo de razonar que va del análisis de un caso general hasta establecer casos particulares. El razonamiento deductivo fue descrito por los filósofos de la antigua Grecia, entre ellos Aristóteles. El sustantivo deducción viene del verbo deducir, que significa sacar consecuencias de un principio o de una proposición de algo supuesto. En la ciencia y sobre todo en la geometría, el método deductivo es primordial, ya que se basa en encadenar conocimientos que se establecen o se suponen verdaderos y a partir de estos obtener nuevos conocimientos; es decir, es el método que combina los principios necesarios y simples para deducir nuevas proposiciones.

Ejemplo 4 EN LA WEB Para conocer más acerca del razonamiento deductivo e inductivo, visita la página, st-editorial.com/enlaweb/ geometria y consulta los links 04 y 05

Todos los sábados Enrique juega beisbol. Hoy es sábado. Por lo tanto, hoy Enrique juega beisbol.

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geometría y trigonometría Actividad de desarrollo Reunidos en equipos de trabajo realicen lo que se les pide. 1. Determinen si los ejemplos planteados en la actividad anterior son inductivos o deductivos. 2. Indiquen el método empleado en los siguientes ejemplos. a. Todos los perros ladran. b. (1 + 1)2 = 22 = 4 Tobías es un perro. (2 + 1)2 = 32 = 9 Entonces, Tobías ladra. (3 + 1)2 = 42 = 16 (4 + 1)2 = 52 = 25 Entonces, la regla es: (n + 1)2 Método: c. Las personas prudentes nunca compran televisores de $800.00 David es prudente. Por lo tanto, David nunca comprará un televisor de $800.00. Método:

Método: d. Si se eleva al cuadrado un número positivo, se obtendrá un número positivo. El número 6 es positivo. Por lo tanto 62 es un número positivo. Método:

3. Escriban en el siguiente cuadro, las diferencias o semejanzas de los métodos inductivo y deductivo. Método inductivo

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Método deductivo

Actividad de cierre

I. Escribe la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. ( ) El primer matemático en utilizar el método axiomático fue: a. Euclides b. Tales de Mileto c. Pitágoras d. Arquímedes 2. ( ) Fueron quienes difundieron los conocimientos geométricos en Europa en el siglo vii: a. griegos b. franceses c. árabes d. babilonios 3. ( ) La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos: a. axioma b. postulado c. teorema d. lema 4. ( ) La suma de 6 + 7 es igual a la suma de 7 + 6: a. axioma b. postulado c. teorema

d. lema

5. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos: a. axioma b. postulado c. teorema

d. lema

II. Relaciona las columnas 1. ( ) Dividió a la geometría en dos partes, así como también estudió tres problemas que en ese tiempo no tenían solución. 2. ( ) Inicia el estudio de la geometría como ciencia racional. 3. ( ) Escribió un teorema. Matemáticamente se representa: c2 = a2 + b2. 4. ( ) Calculó el valor aproximado de π. 5. ( ) Escribió la obra cumbre de la geometría, denominada Los elementos.

a. Pitágoras b. Arquímedes c. Euclides d. Platón e. Tales de Mileto

III. Escribe la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. ( ) Del teorema: “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”, indica cuál es la hipótesis y cuál es la tesis. a. Hipótesis: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tesis: las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. b. Hipótesis: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tesis: es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. c. Hipótesis: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo. Tesis: es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. d. Hipótesis: El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tesis: es la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. IV. Imagina que hay tres personas que practican futbol de las cuales tú eres una de ellas. 1. Escribe dos proposiciones relacionadas al futbol.

2. En el futbol ¿qué es más importante: anotar goles o el respeto íntegro a los jugadores? ¿Por qué?

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instrumentos de evaluación

La siguiente lista de cotejo es útil para evaluar tus competencias desarrolladas en esta unidad. Alumno:

Grupo:

Profesor:

Semestre:

Institución:

Fecha de aplicación:

Producto a evaluar:

• Planteamiento: relaciona las aportaciones de los matemáticos a la geometría. Identifica las partes de un teorema. • Procedimiento: desarrolla el razonamiento lógico-deductivo. • Solución: el resultado y su interpretación son correctos. Cumple Ejecución No. Indicador Observación Sí No Pond. Cal. 1 Identifica el autor del primer sistema axiomático. 1 2 Desarrolla el razonamiento lógico-deductivo. 2 3 Establece la relación correcta de las aportaciones 2 matemáticas con su respectivo autor. 4 Identifica la hipótesis y la tesis de un teorema. 2 5 Clasifica e interpreta una proposición en un 3 axioma, postulado o teorema y lo relaciona en su vida cotidiana. Calificación total: 10 Evaluador: Calificación final:

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Geometría y trigonometría

Bachillerato tecnológico Por competencias

Sobre los autores

José Dzul Xuluc Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas por la Universidad Autónoma de Yucatán. Por más de 11 años, se ha desempeñado como profesor de asignaturas como matemáticas, geometría, cálculo, probabilidad y estadística, así como de otras del campo de las matemáticas.

Los libros que conforman esta colección se enfocan en desarrollar los contenidos de los programas para Bachillerato Tecnológico surgidos de la riems, basados en el enfoque de competencias. Presentan un diseño completamente renovado que facilita la localización de las secciones y los recursos didácticos mediante identificadores gráficos. De igual forma, esta colección se centra en un enfoque teórico-práctico, apegándose por completo a los nuevos programas de estudio.

Secciones

Aplícalo Se plantean las situaciones de la vida cotidiana en las que los alumnos pueden poner en práctica los conocimientos adquiridos.

EN LA WEB Se ofrecen ligas a Internet que contienen información útil relacionada con los temas.

José Peraza Perera Ingeniero Químico graduado en la Universidad Autónoma de Yucatán y maestro en Matemática Educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del ipn. Tiene más de 40 años de experiencia docente en educación media, media superior y superior. Ha dirigido numerosos proyectos de investigación relacionados con las matemáticas, y ha participado en diversos comités académicos para la revisión de los planes de estudios, para educación media y media superior.

ACTIVIDADES Se presentan actividades de apertura, desarrollo y cierre. Se plantean con base en los temas integradores.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Se proponen guías de observación y listas de cotejo por unidad.

PROYECTO INTEGRADOR David Serrano de Rejil Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas por la Universidad Autónoma de Yucatán; maestro en Matemática Educativa por la Universidad Autónoma del Estado de Morelos y especialista en Competencias Docentes para la Educación Media Superior. Tiene más de 12 años de experiencia docente en materias como álgebra y matemáticas en bachillerato.

ISBN 978 607 508 095 6

9 786075 080956

Al final del libro se propone un proyecto integrador, cuyo desarrollo requiere la aplicación de los conocimientos adquiridos durante el curso.

Guía para el maestro Este valor agregado consiste en una útil herramienta didáctica para apoyar la labor del docente. Se encuentra disponible en un práctico folleto impreso.