Funzioni Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi
Materia: Matematica
Autore: Mario De Leo
Definizioni Una quantità il cui valore può essere cambiato continuamente, anche in modo arbitrario, è detta variabile. Una quantità il cui valore è sempre uguale è detta costante. Definiremo, in un primo momento, funzione una “legge che lega due variabili in modo tale che al variare dei valori della prima variabile cambiano anche i valori della seconda” (se ad ogni valore della prima variabile corrisponde uno ed un solo valore della seconda si dirà funzione ad un solo valore; in caso contrario si dirà a più valori). La variabile i cui valori cambiano arbitrariamente è detta indipendente, l’altra, i cui valori cambiano in funzione di quelli assegnati alla prima, è detta dipendente. Quando tali variabili sono rappresentate per mezzo di lettere [ad esempio x alla indipendente e y alla dipendente] e sono legate tramite una uguaglianza si dirà che la seconda è funzione della prima e si scrive:
y = f(x)
[si legge y uguale effe di x]
Le funzioni possono essere: • empiriche: nel caso si ottengano per mezzo di rilevamenti successivi (ad esempio la temperatura giornaliera rilevata ogni ora); • matematiche: quando esiste una formula (relazione, uguaglianza) che permette di ottenere, con calcoli più o meno semplici, il valore di y una volta assegnato quello di x. Ad esempio l’area di un quadrato cambia in funzione della lunghezza del suo lato: l = x ; A = y Þ y = x2
Definizione di funzione matematica (Dirichlet): “Dati due insieme non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione di A in B una relazione che fa corrispondere ad ogni elemento x Î A uno ed un solo elemento yÎB ”
Dominio e codominio L’insieme A è detto insieme di esistenza o di definizione (oppure campo di esistenza), o anche dominio della funzione stessa, e si indica con D (oppure C.E.); è l’insieme dei valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente x affinché si ottenga un valore reale della y. L’insieme B è detto codominio (oppure insieme delle immagini) della funzione e si indica con f(A) o con C; è l’insieme dei valori assunti dalla y. Condizione di appartenenza: Un punto P appartiene a una funzione se sostituite le sue coordinate x e y nell’uguaglianza essa risulta verificata. ESEMPIO: y = 2x+3 A (+1;+4) + 4 = 2(+1) + 3 Þ
+4=+4
(il punto appartiene alla rappresentazione grafica della funzione)
Rappresentazione grafica Le funzioni possono essere rappresentate nel piano per mezzo di un sistema di assi cartesiani unendo i punti dati dalle coppie ordinate di valori che hanno come ascissa i valori della variabile indipendente e come ordinata i valori della variabile dipendente. Ciò potrà essere ottenuto per mezzo di una tabella. Esempio: y = 2x+3 x
y
-3
-3
f (-3) = 2(-3)+3 = -6 +3 = -3
-1
+1
f (-1) = 2(-1)+3 = -2 +3 = +1
0
+3
f (0) = 2(0)+3 = 0 +3 = +3
+2
+7
f (+2) = 2(+2)+3 = +4 +3 = +7
+5
+13
f (+5) = 2(+5)+3 = +10 +3 = +13
Classificazione
(funzioni algebriche)
Razionali intere (hanno la x solo al numeratore): 1) y = x - 7 x + 6
3 2 2) y = x - x + 5 x - 1 ; 5
;
2
3
3x 2 - 5 x + 2 3) y = 3
Il loro campo di esistenza (dominio) è dato da tutti i valori reali della x. Scriveremo per tutte:
["x Î R]
oppure
[R ]
oppure
[tutti i valori di x ]
Razionali fratte (hanno la x anche, o solo, al denominatore):
x 2 - 3x + 2 1) y = x -5
2) y =
;
3x + 2 x 2 - 3x + 2
;
3) y =
3x + 2 x2 + 1
Poiché il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da zero, il loro campo di esistenza (dominio) è dato da tutti i valori reali della x tranne quelli, se ve ne sono, che annullano il denominatore. Scriveremo: 1) x - 5 ¹ 0 ® x ¹ 5 oppure R - { 5 } 2)
[
x - 3x + 2 ¹ 0 2
3) x + 1 ¹ 0 2
®
]
[
]
[x ¹ 1 Ù x ¹ 2] oppure [R - {1; 2 }] ["x Î R] (perché in questo caso il denominatore è sempre ¹ 0) ®
Irrazionali (hanno la x anche, o solo, sotto radice): Distingueremo due casi: a) La x è sotto una radice di indice pari:
1) y = 3 - x
2 ) y = x 2 - 3x + 2
3 ) y = x2 +1
4)y =
x+3 x-2
Poiché il contenuto di una radice di indice pari deve essere sempre maggiore o uguale a zero, il loro dominio si trova ponendo il radicando ≥ 0 e risolvendo la disequazione così ottenuta. Scriveremo:
1 ) 3 - x ³ 0 ® - x ³ -3 ®
[x £ 3]
2 ) x 2 - 3 x + 2 ³ 0 essendo x1 = +1 e x2 = +2 ®
[x £ +1 Ú
x ³ +2]
3 ) x 2 + 1 ³ 0 essendo sempre x 2 + 1 maggiore di 0 scriveremo ["x Î R ] x+3 4) ³ 0 analizzando separatamente i segni del numeratore ( positivo x-2 per x ³ -3 ) e del deno min atore ( positivo per x > +2 ) e confron tan doli in un grafico scopriremo che la frazione è complessivamente ³ 0 per [x £ -3 Ú x > +2]
b) La x è sotto una radice di indice dispari:
1) y = 3 3 - x
2) y = 3 x 2 - 3 x + 2
3) y = 3
x+3 x-2
Poiché una radice di indice dispari si può sempre calcolare, anche se il valore al suo interno è negativo, tratteremo tali funzioni, per calcolarne il dominio, come le funzioni razionali. Scriveremo:
1) ["x Î R ]
2) ["x Î R ]
3) x - 2 ¹ 0 ®
[x ¹ +2]
Classificazione
(funzioni trascendenti)
Ci limiteremo a classificarle e a fare dei semplici esempi. Esponenziali (hanno la x all’esponente): y = a x con a numero reale positivo (a > 0) Il loro dominio sarà sempre "x Î R
[
]
Logaritmiche (hanno la x nell’argomento del logaritmo): y = log a x con a numero reale positivo e diverso da 1 ( a > 0 Ù a ¹ 1 ) Poiché anche l’argomento deve essere positivo il loro campo di esistenza si otterrà ponendolo > 0 e risolvendo la disequazione così ottenuta:
y = Log ( x + 2) ® x + 2 > 0 ®
[x > -2]
Goniometriche: Il loro campo di esistenza dipenderà dal tipo di funzione:
1) y = sen x
["x Î R ]
p é ù 3) y = tg x ê x ¹ + kp ú 2 ë û
2) y = cos x
["x Î R ]
.......... .......... .......... .......
Esempi di grafici
Esercizi Trova il dominio D (C.E.) delle seguenti funzioni: 1) y = 2 x + x - 4 x - 1 3
2
x-7 5+ x x 2 - 5x + 6 7) y = 2 x - 3x + 2 x 2 - 7 x - 12 10) y = 2 x - 7 x + 12 4) y =
13) y = 3 x - 11x + 6 2
3x2 + 5x + 2 3) y = 5 x-2 6) y = 2 3x + 5x + 2 x 2 - 5x + 6 9) y = 3 2 x - 5x 2 + x + 2
11) y = 5 - 8 x
12) y = x 2 + 5 x - 6
14) y = 8 x - 5 - 3x
2
15) y =
x 2 + 5x - 6 3x - 2
17) y =
x 2 + 3x + 4 x2 - x - 2
x2 -1 18) y = 5x + 7 - 2 x 2
19) y = 3 x 2 - 9 x - 10
20) y = 3
2 x + 11 4- x
21) y =
x2 + 4x + 4 22) y = x -5
23) y = 7 - 2 x - 2 x - 1
16) y =
x 2 + 3x + 2 x2 - x - 2
5 3 5 2) y = - x 2 + x 3 2 4 2 x + 11 5) y = 4 - 2x 2x + 5 8) y = 2 x +1
3 - 2x 5x + 7
24) y = x 2 - 3x + 2 + x + 3
Soluzioni 1) " x Î R
5)
2) " x Î R
x¹+ 2
9)
5 8
11)
x£+
14)
+ 1£ x £ +
17)
x £-1 Ú
20)
x¹+ 4
23)
+
x ¹ -1 Ù
6)
8) " x Î R
3) " x Î R
x¹-
12)
5 3
1 2
Ù
x£+
24)
x¹+ 2
13)
3 2
Ù
x¹-
x >+
x£-
2 3
x¹+3 Ù
19)
22)
x ³+ 2
2 3
Ú
16)
7 2
7 5
- 3£ x £ + 1 Ú
x¹+ 2
10)
x³+1
+ 1£ x < +
18)
x¹ +1 Ù
7)
- 3£ x £ - 2 Ú
x³+ 2
21)
2 3
x¹ +1 Ù
x£-6 Ú
15)
1 7 £ x £+ 2 2
x¹-
x¹-5
4)
x³+ 3
x£- 2 Ú
" xÎ R
x>+5
x¹+ 4
x>+ 2