Disequazioni fratte Definizioni Risoluzione Esercizi
Materia: Matematica
Autore: Mario De Leo
Definizioni Una disequazione è fratta se contiene l’incognita anche, o solo, al denominatore. Può essere data nella forma: A (x ) >0 B(x )
oppure
A (x ) <0 B(x )
dove A(x) e B(x) sono polinomi con lâ&#x20AC;&#x2122;incognita (variabile) x.
Risoluzione Si risolvono riconducendole sempre nella forma A (x ) A (x ) >0 oppure <0 B( x ) B(x ) Poiché una frazione è > 0 (positiva) quando i segni del numeratore e del denominatore sono concordi: − + oppure − +
ed è < 0 (negativa) quando i segni del numeratore e del denominatore sono discordi: − + oppure + −
si determina il segno del numeratore e del denominatore (ponendoli entrambi sempre > 0) per trovare, confrontando tali segni, gli intervalli positivi e negativi e verificando così in quali la disequazione è soddisfatta.
2 x − 4 x − 12 Esempio: <0 3 − 3x 2 N : x − 4 x − 12 > 0
x 2 − 4 x − 12 = 0 → x1 2 =
[x < −2
∨ x > 6]
(accetterà i valori negativi)
+ 4 ± 16 + 48 4 ± 8 = → x1 = −2 ∧ x2 = 6 2 2
D : 3 − 3 x > 0 → − 3 x > −3 → 3 x < 3 → x <
3 → 3
rappresentazione delle soluzioni:
lettura delle soluzioni: − 2 < x < 1 ∨ x > 6
[x < 1]
Note: 1) Se la disequazione ha più frazioni opererò prima per portarla nella forma standard 11 5 11 5 11⋅ (2 − x ) − 5 ⋅ (2 x + 3) <0 → < → − <0 → (2 x + 3)⋅ (2 − x) 2x + 3 2 − x 2x + 3 2 − x − 21x + 7 22 − 11x − 10x − 15 21x − 7 → < 0 → >0 2x2 − x − 6 2x2 − x − 6 2x2 − x − 6
2) Se la disequazione ha il simbolo ≥ o ≤ lo riporterò solo al numeratore (ricordiamo che il denominatore deve essere sempre ≠ 0)
3x 2 − 5 x + 2 ≤0 3x 2 + 4 x − 4 N : 3 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ..................................... D : 3 x 2 + 4 x − 4 > 0 .....................................
Esercizi 1)
2x − 5 >0 x+4
2)
x−5 <0 2− x
x 2 − 3 x − 10 ≤0 3) 2 x 2 − 13x + 6 3x 2 + 5 x + 2 ≥0 4) 2 x 2 − 11x + 12
5)
3x − 5 ≥0 8 + 2x − x2
x2 + x − 6 6) 2 ≤0 x − 7 x + 10
5 < − ∨ > x 4 x 2
[x < 2
∨ x > 5]
1 − ≤ < ∨ ≤ < 5 6 2 x x 2 2 3 ≤ − ∨ − ≤ < ∨ > 4 x 1 x x 3 2 5 < − 2 ∨ ≤ < 4 x x 3
[− 3 ≤ x > 5
∧ x ≠ 2]