Monomi Calcolo letterale Definizioni Operazioni Esercizi Materia: Matematica
Autore: Mario De Leo
Calcolo letterale Una espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere è detta letterale. Per calcolare il valore di una espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta. ESEMPIO: Data l’espressione
a 3 - 2b - 2 a × (+ b ) = 3a + b
calcolane il valore con a = -2 e b = +3
(- 2)3 - 2× (+ 3) - 2× (- 2) × (+ 3) = -8 - 6 + 4× (+ 3) = -14 +12= 14 +12= 14+ 36 = + 50 3× (- 2) + (+ 3) -6+3 -3 3 3 3 Se i valori delle lettere non sono conosciuti si deve operare con quello che è detto propriamente calcolo letterale.
Definizioni Una espressione letterale in cui non figurano le operazioni di addizione e sottrazione è detta monomio. In -
2 3 5 abc 3
-
2 è il coefficiente del monomio a 3b 5c è la parte letterale 3
Se le lettere non figurano al denominatore il monomio è detto intero altrimenti è detto frazionario. Il grado di un monomio è dato dalle somme dei gradi delle singole lettere: In
-
2 3 5 a b c 3
a è di terzo grado, b è di quinto grado, c è di primo grado,
il monomio è di nono grado (3+5+1= 9).
Operazioni Somma algebrica di monomi: La somma di due monomi è possibile se e solo i monomi hanno identica parte letterale; tali monomi sono detti simili. “La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e per parte letterale la stessa parte letterale”. ESEMPI:
1) 5a 2b 3 - 7 a 2b 3 = -2a 2b 3 2)
2 2 7 1 1 1 æ2 7 1ö x y - x 2 y + xy 2 + x 2 y = ç - + ÷ x 2 y + xy 2 = 3 6 2 4 2 è3 6 4ø 8 - 14 + 3 2 1 3 1 1 1 = x y + xy 2 = - x 2 y + xy 2 = - x 2 y + xy 2 12 2 12 2 4 2
3) 5 x 2 y - 2 xy 2 + 7 xy 2 - 9 x 2 y = 5 xy 2 - 4 x 2 y
Prodotto di monomi: Calcolare il prodotto di due o più monomi è sempre possibile. “Il prodotto di due o più monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali”. (alla parte letterale si applica la proprietà del prodotto delle potenze che hanno la stessa base) ESEMPIO:
(+ 5a b )× (- 3ab c ) = -15a b c 2
3
2
3
3
5 3
“Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti” 5+ 2
3 ×3 = 3 5
2
=3
7
Quoziente di monomi: Calcolare il quoziente di due monomi è sempre possibile. “Il quoziente di due monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali”. (alla parte letterale si applica la proprietà del quoziente delle potenze che hanno la stessa base) ESEMPIO:
(+ 6a b c ): (- 3ab c ) = -2a b 5 3
2
4
Casi particolari: 5 a) i coefficienti non sono divisibili: 5a 3 b 2 : (- 2ab ) = - a 2 b 2 b) la parte letterale del divisore ha esponente maggiore di quella del dividendo: 4
(+6a b c): (-3ab c ) = -2a b c 5 3
4 3
4 -1 -2
æ 2a ö ççoppure = - 2 ÷÷ bc ø è
“Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponentiâ€? 5- 2
3 :3 = 3 5
2
=3
3
Elevamento a potenza di monomi: “La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale”. (alla parte letterale si applica la proprietà della potenza di potenza) ESEMPIO:
(- 6a b c) 5 3
2
= +36a 10 b 6 c 2
“La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti” 5´ 2
(3 ) = 3 5 2
=3
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Esercizi [- x - 10a]
1) - 3x + (- 7a ) - (- 2 x ) + (+ 5a ) - (+ 8a ) =
æ 3 2 3 ö æ 10 ö æ5 ö æ2 ö a bc ÷ × ç + abc 2 ÷ - ç a 3 c ÷ × ç b 2 c 4 ÷ = è 4 ø è 9 ø è8 ø è5 ø
é 13 3 2 5 ù êë - 12 a b c úû
æ 1 3 3 3ö æ 1 3 2 ö x y z ÷ : ç- x y z÷ = 3 è ø è 4 ø
é 4 2ù ê + 3 yz ú ë û
2) ç -
3) ç -
(
)
(
) (
)
4) 12x3 y 2 : - 4xy2 - 2xy × - 3xy3 + 15x 2 y : (3y) - 6x 2 y 4 = 3
2
æ 1 2 3ö æ 3 3 2ö 5) ç - ab c ÷ : ç - ab c ÷ = è 2 ø è 2 ø 3 2 2 4 1 æ ö æ ö 2 6) 2 x 4 : ç - x ÷ + x 3 y 2 : ç - xy ÷ + (- 2 xy ) : (xy 2 ) = 3 è 3 ø è 3 ø 7)
3
2 2 é 1 2 ö ù 3 2 4 3 æ 1 ö é1 3 2 3 3ù 2 3 æ ê 2 a b × - 2ab c ú : ê- 8a c × ç - 2 ab c ÷ ú - 4 a b c : ç - 2 ab ÷ = ë û êë è ø úû è ø
(
)
2
[+ 2x ] 2
é 1 5ù êë- 18 ac úû é 37 ù êë+ 4 x úû
[- 5b c ] 2 3