Prodotti notevoli Definizione Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Quadrato di binomio e di trinomio Cubo di binomio Potenza di binomio Esercizi Materia: Matematica
Autore: Mario De Leo
Definizione Nel calcolo letterale, a volte, si incontrano prodotti tra polinomi che sono inquadrabili in forme ben precise e per essi esistono delle regole che ne abbreviano il calcolo. Tali prodotti per questo motivo sono studiati a parte e sono detti “prodotti notevoli�. Si ricorda che possono essere svolti, comunque, seguendo la normale regola del prodotto tra polinomi.
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Se eseguiamo il prodotto (a + b ) × (a - b ) ci accorgiamo che i due termini intermedi sono monomi simili che si annullano e che rimane come risultato la differenza dei due quadrati, ne deduciamo quindi che: “Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza dei quadrati dei due monomi”.
(a + b) × (a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
® (a + b) × (a - b) = a 2 - b2
ESEMPI:
1) (2 x + 3 y ) × (2 x - 3 y ) = 4 x 2 - 9 y 2 5 ö æ3 5 ö 9 25 æ3 2) ç a 2 - b 3 ÷ × ç a 2 + b 3 ÷ = a 4 - b 6 3 ø è2 3 ø 4 9 è2
Quadrato di binomio Svolgendo, come nel caso precedente, il prodotto otterremo che: “Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio del prodotto dei due monomi, più il quadrato del secondo monomio”.
(a + b )2 = (a + b ) × (a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2 ® (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ESEMPI:
1) 2)
(2 x + 3 y )2 = (2 x )2 + 2 × (2 x )× (3 y ) + (3 y )2 = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 (2 x - 3 y )2 = 4 x 2 - 12 xy + 9 y 2
5 ö 9 25 æ3 3) ç a 2 + b 3 ÷ = a 4 + 5a 2b 3 + b 6 3 ø 4 9 è2
Quadrato di trinomio Svolgendo, come nel caso precedente, il prodotto otterremo che: “Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre monomi, più i tre doppi prodotti dati dalla combinazione dei monomi presi due alla volta”.
(a + b + c)2 = (a + b + c)× (a + b + c) = a2 + ab+ ac+ ab+ b2 +bc+ ac+ bc+ c2 = 2 a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ® (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ESEMPIO:
(2 x - 3 y + z )2
= 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 - 12 xy + 4 xz - 6 yz
Tale procedimento si può estendere a tutti i quadrati di polinomi ottenendo tanti quadrati quanti sono i monomi e tutti i possibili doppi prodotti tra i monomi stessi.
Cubo di binomio Svolgendo, come nei casi precedenti, il prodotto otterremo che: “Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio, più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo monomio”.
(a + b )3 = (a + b )× (a + b ) × (a + b ) = (a 2 + ab + ab + b 2 )× (a + b ) =
a 3 + a 2b + a 2b + ab 2 + a 2b + ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 ®
(a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
ESEMPI:
1) (a + 2b) = (a ) + 3 × (a ) × (2b) + 3 × (a) × (2b) + (2b) = a3 + 6a 2b + 12ab2 + b3 3
2
2
2) (2x - 3 y ) = 8x3 - 36x 2 y + 54xy2 - 27 y 3 3
3
æ1 2 2 ö 1 6 1 4 2 2 2 8 3 3) ç x + y ÷ = x + x y + x y + y 3 ø 8 2 3 27 è2
3
Potenza di binomio “La potenza del binomio (a + b ) è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si possono ottenere col triangolo di Tartaglia”. n
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6 .......... ..
1 1 1 1 1 1
2 3
4 5
6
1
3 6
10 15
1 1 4 10
20
1 5
15
1 6
1
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..
ESEMPIO:
(a + b )5
= a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5
Esercizi [3x + 2z - 2xy-2yz]
1) ( x + y) ×( x - y) + (x - z) + (x - y + z) = 2
2
2
[x -3xy+ y ]
2) (x - 2y) + (x -3y) × (x +3y) -(x + 2y) × (x -3y) = 2
(
)(
)(
)(
) ( 3
2
2
[a -2]
)
2
3) a2 -1 × a2 +1 × a2 + 2 - a2 -1 - 2a2 -1 =
4
2
é1 ù é æ1 öù 4) ê x2 - (x - 2y)× ( x + 2y) -3y2 ú - êx ×ç x - y÷ú - y × x3 + y3 = ë2 û ë è2 øû 2
2
(
)
[ -2x y ] 2 2