Dr.sc. Mira Pešić-Andrijić
MATEMATIKA ZA EKONOMISTE
SYNOPSIS, Zagreb-Sarajevo, 2013.
PREDGOVOR Savremena ekonomska nauka i istraživanja ekonomskih veličina i procesa, zahtijeva korištenje matematike, matematičkih relacija i metoda. Preciznije, ekonomska istraživanja su danas nemoguća, površna i neupotrebljiva, bez matematičkih modela i metoda. Kvantifikacija ekonomskih veličina i njihova međuovisnost osigurava njihovo precizno iskazivanje, programiranje i planiranje, analizu i procjenu vrijednosti u budućnosti. Ova knjiga, na specifičan način, obrađuje područja matematike koja su bitna i nužno potrebna za studij ekonomije. Sadržaj je određen programom nastavnog predmeta koji se izučava na prvoj godini studija fakulteta ekonomske struke. Obrađena područja, sva poglavlja udžbenika, su pisana tako što se počinje s kratkim teorijskim uvodom koji sadrži osnovne pojmove i konačne relacije bez dokaza. Zatim slijede primjeri sa izrađenim rješenjima i zadaci za samostalan rad. U svakom poglavlju obrađuju se ekonomske veličine i procesi koji se mogu iskazati matematičkim sadržajima tog poglavlja. Ovakav pristup obrade i prezentacije, smatram prihvatljivim i dovoljnim za studente ekonomije. Naime, za studij ekonomije i buduće ekonomiste potrebna su znanja o temeljnim matematičkim relacijama i načinu korištenja matematike; nisu potrebna, suvišna su, dublja teorijska znanja iskazana detaljnim definicijama, aksiomima, teoremama i dokazima.U nastojanjima da olakšam studentima ekonomije stjecanje potrebnih matematičkih znanja i uspješno polaganje nastavnog predmeta Matematika za ekonomiste, odabran je ovakav koncept ovog udžbenika. Korisne primjedbe i sugestije učinili su mi univerzitetski profesori dr. sc. Dževad Zečić, dr.sc. Stanko Stanić i dr. sc. Marinko Pejić. Imala sam sreću da su prihvatili recenziju rukopisa doktor matematike koji izvodi nastavu matematike na ekonomskom fakultetu, doktor ekonomije koji izvodi nastavu kvantitativnih ekonomskih predmeta i doktor matematike koji izvodi nastavu metodike. Ugodna mi je dužnost njima izraziti duboku zahvalnost za iskazanu ljubaznost i učinjeni trud preuzimajući ovaj zahtjevan i nadasve odgovoran posao u procesu stvaranja udžbenika. Mira Pešić-Andrijić
5
SADRŽAJ
1.
OSNOVNE LINEARNE ALGEBRE...................................................11
1.1.
DETERMINANTE...........................................................................................11
1.2.
MATRICE....................................................................................................... 15
1.3.
SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA............................................................. 35
1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.2.1. 1.2.2.2. 1.2.2.3. 1.2.2.4. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.4.1. 1.2.5. 1.2.6. 1.2.6.1. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.2.1. 1.3.2.2. 1.3.2.3. 1.3.3.
6
Determinante drugog reda..........................................................................11 Determinante trećeg i višeg reda................................................................12 Osobine determinanata...............................................................................15
Pojam matrice i vrste matrica.....................................................................15 Operacije sa matricama..............................................................................19 Sabiranje i oduzimanje matrica.................................................................19 Množenje matrice skalarom.......................................................................20 Množenje matrica.......................................................................................21 Potencija kvadratnih matrica.....................................................................23 Adjungovana matrica..................................................................................23 Inverzna matrica ........................................................................................25 Izračunavanja inverzne matrice.................................................................25 Matrične jednačine.....................................................................................29 Rang matrice...............................................................................................32 Praktično određivanje ranga matrice........................................................32 Osnovni pojmovi........................................................................................35 Nehomogen sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih ..................35 Kramerova metoda rješavanja sistema......................................................35 Matrična metoda........................................................................................37 Gausova metoda.........................................................................................37 Nehomogen sistem od m jednačina sa n nepoznatih .................................41
1.3.4. Homogen sistem linearnih jednačina ........................................................42 1.3.4.1. Homogen sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.......................43 1.3.4.2. Homogen sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih......................45 1.4.
PRIMJENA U EKONOMIJI........................................................................... 47
2.
FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE...............................51
2.1.
POJAM FUNKCIJE........................................................................................ 51
2.2.
DEFINICIONO PODRUČJE, NULE, ZNAK I PARNOST FUNKCIJE..................................................................... 53
2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4.
Definiciono područje funkcije....................................................................53 Nule funkcije..............................................................................................54 Znak funkcije..............................................................................................56 Parnost funkcije..........................................................................................58
2.3.
GRANIČNE VRIJEDNOSTI ......................................................................... 59 2.3.1. Graične vrijednosti niza.............................................................................59 2.3.1.1. Operacije sa graničnim vrijednostima nizova...........................................61 2.3.2. Granične vrijednosti funkcija.....................................................................62 2.4.
ASIMPTOTE FUNKCIJE............................................................................... 63
2.5.
IZVOD FUNKCIJE......................................................................................... 67
2.4.1. 2.4.2. 2.4.3.
Horizontalna asimptota............................................................................. 64 Vertikalna asimptota...................................................................................65 Kosa asimptota...........................................................................................66
2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.3.1. 2.5.3.2. 2.5.3.3. 2.5.3.4. 2.5.4. 2.5.5.
Pojam priraštaja i izvoda funkcije..............................................................67 Geometrijska interpretacija prvog izvoda..................................................69 Pravila za traženje izvoda i izvodi elementarnih funkcija.........................70 Izvodi složenih funkcija..............................................................................72 Izvodi višeg reda.........................................................................................73 Diferencijal funkcije...................................................................................76 Lopitalovo pravilo......................................................................................77 Lokalni ekstrem i monotonost funkcije......................................................78 Prevojne tačke funkcije, konveksnost i konkavnost...................................81
2.6.
GRAFIK FUNKCIJE...................................................................................... 83
2.7.
PRIMJENA U EKONOMIJI........................................................................... 86
7
2.7.1. 2.7.2. 2.7.3. 2.7.5. 2.7.6.
Funkcija ponude i potražnje i uslov ravnoteže...........................................86 Funkcija troškova........................................................................................91 Funkcija prihoda.........................................................................................93 Funkcija dobiti............................................................................................94 Elastičnost ekonomskih veličina................................................................95
3.
FUNKCIJA DVIJE I VIŠE REALNIH PROMJENLJIVIH................................................ 99
3.1.
OSNOVNI POJMOVI..................................................................................... 99
3.2.
PARCIJALNI IZVODI PRVOG I DRUGOG REDA.....................................101
3.2.1.
Parcijalni i totalni diferencijal prvog i drugog reda.................................104
3.3.
EKSTREM FUNKCIJE
3.4. 3.5.
USLOVNI EKSTREM FUNKCIJE.............................................................. 107 PRIMJENA U EKONOMIJI..........................................................................110
4.
INTEGRALNI RAČUN..................................................................... 117
4.1.
POJAM NEODREĐENOG INTEGRALA....................................................117
4.2.
METODE INTEGRACIJE............................................................................ 120
4.3.
ODREĐENI INTEGRAL..............................................................................131
4.4. 4.4.1. 4.4.2.
NESVOJSTVEN (NEPRAVI) INTEGRAL................................................. 140 Intrgral sa beskonačnim granicama.........................................................140 Integral neograničene funkcija.................................................................142
5.
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE.....................................................145
4.1.1. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.4.1. 4.3.4.2. 4.3.5.
8
z = f ( x, y ) .........................................................105
Osnovna svojstva neodređenog integrala................................................. 118
Metoda smjene za izračunavanje neodređenog integrala.........................121 Metoda parcijalne integracije...................................................................124 Integracija racionalnih funkcija................................................................125 Geometrijska interpretacija Rimanovog integrala...................................132 Osobine određenog integrala....................................................................133 Njutn-Laibnicova Formula.......................................................................134 Metode integracije u određenom integralu..............................................134 Metoda smjene..........................................................................................134 Metoda parcijalne integracije..................................................................135 Primjena određenog integrala..................................................................136
5.1.
POJAM DIFERENCIJALNE JEDNAČINE..................................................145
5.2.
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA SA RAZDVOJENIM (SEPARIRANIM) PROMJENLJIVIM..................... 146
5.3.
HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA................................................................................................149
5.4.
LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA............................................................................................... 152
5.4.1.
Dinamika tržišta jednog proizvoda..........................................................154
5.5.
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE................................... 156
5.5.1. 5.5.2. 5.5.3.
Bernuli-eva diferencijalna jednačina.......................................................156 Kler-ova diferencijalna jednačina.............................................................160 Lagranž-ova diferencijalna jednačina...................................................... 161
5.6.
JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM I OJLEROV MULTIPLIKATOR...................................................................163
5.7.
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE DRUGOG REDA..................................167
5.7.1. 5.7.2. 5.7.3. 5.7.4.
Homogene diferencijalne jednačine drugog reda.....................................173 Homogene diferencijalne jednačine drugog reda s konstantnim koeficijentima................................................................... 175 Nehomogene diferencijalne jednačine drugog reda.................................179 Nehomogene diferencijalne jednačine drugog reda s konstantnim koeficijentima....................................................................181
6.
OSNOVE PRIVREDNE MATEMATIKE.........................................193
6.1.
PROCENTNI RAČUN.................................................................................. 193
6.2.
KAMATNI RAČUN..................................................................................... 196
6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4.
Izračunavanje procentnog prinosa............................................................194 Izračunavanje temeljnog iznosa...............................................................194 Izračunavanje procenta.............................................................................195 Izračunavanje uvećanog i umanjenog iznosa...........................................195 Izračunavanje kamata...............................................................................196 Izračunavanje glavnice.............................................................................198 Izračunavanje kamatne stope...................................................................198 Izračunavanje vremena.............................................................................199
9
6.3.
6.3.1. 6.3.2.
RAČUN ESKONTA...................................................................................... 200
6.3.3. 6.3.4. 6.3.5.
Opći pojmovi........................................................................................... 200 Izračunavanje sadašnje vrijednosti mjenice i čistog iznosa eskonta............................................................................. 200 Izračunavanje nominalne vrijednosti mjenice.........................................201 Izračunavanje kamatne (eskontne) stope .................................................202 Izračunavanje roka mjenice i dana eskontovanja.....................................202
6.4.
RAČUN LOMBARDA................................................................................. 202
6.5.
PLEMENITI METALI.................................................................................. 205
6.4.1. 6.4.2. 6.4.3. 6.4.4. 6.5.1. 6.5.2. 6.5.3.
Izračunavanje čistog iznosa zajma...........................................................203 Izračunavanje vrijednosti zaloga..............................................................203 Izračunavanje kamatne stope.................................................................. 204 Izračunavanje roka zajma........................................................................ 204 O zlatu i srebru.........................................................................................205 Finoća.......................................................................................................205 Kupovina i prodaja plemenitih metala.....................................................206
6.6. DEVIZE......................................................................................................... 207
6.6.1. 6.6.2. 6.6.3. 6.6.4.
Pojam i postanak deviza...........................................................................207 Kurs deviza i notiranje.............................................................................207 Kupovina i prodaja deviza........................................................................208 Arbitraža deviza.......................................................................................208
LITERATURA.................................................................................................. 211
10