Matematika 9 by Szolnoki Műszaki Szakközép- és Szakiskola

Régi kínai mondások A tízezer mérföldes út is egyetlen lépéssel kezdődik. Türelemmel hamarabb célba érhetünk, mint szorgalommal.

Matematika

Raktári szám: FI-503010901 ISBN 978-963-682-774-8

Aki kérdez, az öt percig buta, aki nem kérdez, az egész életében buta marad. Annak ellenére, hogy úgy tűnik, minden változik, a lényeg változatlan marad. Amit tudok, elfelejtem, amit láttam, arra emlékszem, amit csináltam, azt most is tudom.

Matematika E l s ő k ö tet

9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI-rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9–12. évfolyama számára 3.2.04 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9–12. évfolyama számára 6.2.03 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 20., 35., 80., 82., 91., 96., 132., 149. FLICKR: 4., 5., 8., 23., 47., 48., 51., 53., 56., 58., 59., 60., 68., 69., 77., 87., 98., 99., 100., 110., 111., 112., 113., 117., 122., 131., 139., 143., 144., 150., 153., 154., 158., 160., 162., 165., 166., 169., 170., 171. WIKIPEDIA: 12., 13., 27., 8., 31., 32., 36., 39., 42., 44., 45., 64., 66., 67., 72., 73., 75., 99., 111., 113., 114., 119., 136. SK: 33., 34., 36., 37., 38., 40., 41., 48., 50., 52., 58., 61., 69., 108. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-774-8 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010901 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem: 22,66 (A/5 ív), tömeg: 515 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2012. Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. 1. kiadás, 2014 Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma: 0000.49.01

(/ŉ6=Ð Kedves kilencedik osztályos!

Kedves tanár kolléga!

Újfajta matematikakönyvet tartasz a kezedben. Száz leckét találsz a két idei kötetben, minden órára egyet. Igyekeztünk úgy válogatni, hogy sok újdonság, de régről ismert probléma is legyen benne. Szeretnénk megmutatni, hogy a „valóság” és a „tananyag”, a hétköznapi tapasztalat és matematikai szabály szoros kapcsolatban áll egymással. Segítünk abban, hogy más szemmel nézz szét a környezetedben és a világban; olyan kérdéseket tegyél fel, amelyek a matematikához tartoznak és amelyekre egy kis gondolkodás után magad is megadhatod a választ. Reméljük, hamar megszereted így ezt a tárgyat még akkor is, ha eddig hadilábon álltál vele. Mit találsz a 100 leckében? Mindenekelőtt egy sereg érdekes, gyakorlati problémát, g amelyek többségével a mindennapokban is találkozhatsz. H Á Z I F E L A DAT O K AT , köztük sok könnyűt és szóVáltozatoss rakoztatót. Kérjük, mindig a füzetedben dolgozz, hogy az utánad érkező évfolyamok is használhassák a könyvet! RÁADÁS címen gyűjtöttünk össze számos olyan érdekességet, amelyet nem kérdeznek ugyan az érettségi vizsgán, de hasznodra válik, gazdagítja a műveltségedet. K I E G É S Z Í T Ő A N YAG O T is találsz, ezeket azoknak ajánljuk elsősorban, akik mélyebben érdeklődnek a matematika iránt: nélkülözhetetlen fogalmak, néhány nehezebb feladat, illetve a fontos matematikai tételek és bizonyításaik is kerültek ide. Könyvünk lapjait végigkíséri egy háttértörténet, megismerkedhetsz a tíztagú Arany családdal, tankönyvünk állandó szereplőivel. Arany Bence veled együtt kilencedik osztályos, a nővére, Hajni tizedikes, kishúguk, Csilla még óvodás. Bence szülei, nagyszülei minduntalan olyan problémákkal szembesülnek, amelyek megoldásához matematikai ismeretekre is szükségük van. Bence a testvéreivel és barátaival részt vesz ezek megoldásában. Az év során számítunk kreativitásodra, hogy minél ötletesebben oldj meg egy-egy kitűzött problémát. Sokszor szükség lesz együttműködési készségedre is, hogy a csoportos munkára kijelölt feladatokat sikeresen tudjátok közösen megoldani.A legfontosabb azonban, hogy legyen benned kíváncsiság, hogy meg akard ismerni a világot, és ezért szívesen dolgozz is.

A könyv Dr. Marosvári Péter, Dr. Korányi Erzsébet, Dömel András és Környei László tankönyvének átdolgozása. Köszönjük munkájukat és támogató segítségüket. Igyekeztünk olyan könyvet írni, amely illeszkedik napjaink kihívásaihoz, ennek megfelelően szemléletében, tartalmában, kivitelében kissé formabontó is. Könyvünk készítésekor fontos szempont volt számunkra, hogy a tanári munkához is a lehető legtöbb segítséget adjuk, hogy a diákok zöme esetében eredményesen tanítható mennyiségű, ugyanakkor szakmai szempontból igényes tananyagot állítsunk össze. Nem számítunk különleges matematikai előképzettségű diákokra; szinte mindent átismétlünk, amit az általános iskolában már tanultak. Tapasztalataink szerint a száz lecke mindegyike feldolgozható egy-egy tanítási órán. Mindegyik lecke egy-egy lehetséges tanári óravázlat, együttesük akár tanmenet is lehet egyben. Úgy gondoljuk, hogy ha a tanár a könyv leckéi szerint halad, akkor – heti legalább 3 tanórával számolva – a tanév végére biztosan befejezi az anyagot, és semmi sem marad ki abból, ami az érettségin előkerülhet. A könyv nagy szerepet szán a szövegértés fejlesztésére. Tudatosan törekedtünk arra, hogy ne a matematikai problémához találjunk ki mesterkélt feladatot, hanem fordítva, a hétköznapi tapasztatból kiindulva irányítsuk rá a figyelmet sok olyan problémára, amelyek matematikai eszközökkel már középiskolás szinten is megoldhatók. Sok feladathoz a számítógépes feldolgozást is ajánljuk. Tankönyvünkben a hagyományostól eltérő szemléletű, a tanulói kompetenciák bővebb halmazát igénylő g y feladatokat jelzéssel láttuk el. BEVEZETŐ Könyvünkben y veti fel a lecke témáját, majd PÉLDA vezet el az újj gondolatokhoz. g Újszerű a könyvben, hogy a F E L A DAT O K nemcsak egyéni, de páros vagy csoportos munkára is alkalmasak. Ezekhez szükség lesz a tanár és a diák kreativitására, együttműködésére egyaránt. CSOPORTMUNKÁ A -ra szánt feladatokat külön megjelöltük, és sok segítséget is adunk hozzájuk. Kérjük, hívják fel diákjaik j figyelmét, gy hogy a tankönyv tartós, ne írjanak bele! ELMÉLET címszóval foglaltuk össze a problémák megoldásából levont következtetéseket, amelyeket a középszintű érettségihez tudni kell. A közös munka sikerében bízva sok örömöt kívánnak a SZERZŐK.

Sok örömöt és kitartást kívánnak a SZERZŐK.

Előszó

MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE?

BEVEZETŐ Nézd meg könyvedben a száz lecke címét! Ugye mennyi minden ismerős? Ilyen lesz a tanév is: sok-sok régi baráttal találkozunk a matematikaórákon. A matematikai problémákkal is az a helyzet, mint az emberekkel; minél többször látjuk egymást, annál alaposabb képet formálhatunk a kedves ismerősökről. Talán már most is meg tudjuk oldani azokat a feladatokat, amelyek a hónapok során majd elénk kerülnek. Tegyünk egy próbát!

8. LECKE

15. LECKE

A cukrásziskola vizsgájára előkészítettek 2,5 kg ma1 zsolát. Ennek részét Klári dolgozza fel, majd 12 3 Andi kapja a maradék részét. Ami még ezután 11 1 maradt, annak az részét Zsolt használja fel, amit 4 2 ő hagyott, annak a része kell Emese tortáihoz. 3 Hányadrésze maradt meg a mazsolának?

Első módszer Számold ki, melyik tanuló hány dkg mazsolát dolgoz fel, és mennyi marad! Ez hányadrésze a 2,5 kg-nak? Második módszer Számolj törtekkel! Hányadrésze maradt meg a mazsolának, 3 része? amikor Klári elvitte a részét? Ennek mennyi a 11 Hányadrész marad, ha Andi ezt elviszi? … és így tovább. Harmadik módszer Gondolatban oszd el a mazsolát 12 bögrébe egyenlően. Mennyit visz el Klári? Mennyi marad? Mennyi a maradék 3 része? Mennyi marad? 11 … és így tovább. Negyedik módszer Kitalálsz egyet?

Az iskola kosárlabdaedzéseire az idén 25%-kal több lány jár, mint tavaly. Az edző úgy döntött, hogy jövőre csak annyi lánnyal akar dolgozni, mint tavaly. Hány százalékosos csökkenés lesz ez az idei évhez képest?

Első módszer Szemléltesd téglalappal a tavalyi, az idei és a jövő évi létszámot! Az első téglalapot látod az ábrán. A harmadik téglalap is ugyanekkora. Hányadrészét kell hozzáadnunk, hogy megkapjuk a másodikat? Hányadrészével kell csökkentenünk a második téglalapot, hogy megkapjuk a harmadikat? Ez hány százalékos csökkenés? Második módszer Tételezzük fel, hogy tavaly N lány kosárlabdázott az iskolában. Akkor az idén hányan voltak? Mennyivel kell ezt a számot megszorozni, hogy a jövő évi létszámra újra N-et kapjunk? Ez hány százalékos csökkenést jelent?

52. LECKE

kőkerítés

Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni 12 m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen?

Kísérletezz! Válaszd a falra merőleges oldal hosszát ½, 1, 2, 3, 4, … méternek, számítsd ki a másik oldal hosszát és a baromfiudvar területét! Mekkora lehet a falra merőleges oldal hossza? Készíts táblázatot a füzetedben!

kőkerítés a a

a (méterben) b (méterben) 2a + b (méterben) Terület (négyzetméterben)

…

Mekkora a legnagyobb terület?

73. LECKE

94. LECKE

Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek. 6 év múlva az életkoruk aránya 2 : 3 : 7 lesz. Hány éves a két fiú?

Első módszer Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Oszd fel ezt a számot 2 : 3 : 7 arányban! (2 rész + 3 rész + + 7 rész = 12 rész, ebből 2 rész jut Máténak, 3 Balázsnak, 7 az édesapjuknak). Melyikük hány éves lesz 6 év múlva? Hány éves most Máté? Hány éves most Balázs?

Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! Hány megoldása van a feladatnak?

A e B

Második módszer Fogalmazd meg a feladatot egyenlettel! Ha 6 év múlva Máté 2x éves lesz, akkor Balázs … éves, az édesapjuk … éves lesz. Összesen hány évesek lesznek? Most összesen 78 évesek. Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Írd fel az egyenletet, és oldd meg! Hogyan kapod meg az x-ből Máté mostani életkorát?

Legyen a derékszögű csúcs először az A, azután a B. Ezeket a háromszögeket könnyű megszerkeszteni, mert hiszen az AB szakasz az egyik befogójuk.

Harmadik módszer Kitalálsz egyet?

Mire eljutunk a 94. leckéhez, már nem kell kísérletezned, egyszerű módszert fogsz ismerni e feladat megoldására.

1 . l e c ke

MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE?

Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek a C pont a derékszögű csúcsa? Van, mégpedig kettő! Ezeknek a C csúcsát kísérletezéssel keresd meg az egyenesen!

H Á Z I F E L A DAT Válassz hármat a következő feladatok közül, és oldd meg őket!

Számold össze, hány ismeretlen szót találsz a Tartalomjegyzékben!

Oldd meg a 76. lecke 1. házi feladatát!

Oldd meg a 82. lecke 1. házi feladatát!

Oldd meg a 99. lecke 1. feladatát!

25°

A B l

millió forint

6 5 összköltség

3 2 1 –1 0

egyéb költség

előállítási költség 1

8 9 10 11 12 mennyiség (ezer kg)

5 –2

–1

Az Arany család

1 . l e c ke

MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE?

HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?

BEVEZETŐ Születésnapján a család tagjai felköszöntik a dédmamát. Először Teri mama, majd Gyula papa. Ezután az Arany család öt tagja következik (Anya, Apa, Hajni, Bence és Csilla). Hányféle sorrendben köszönthetik fel ők a dédmamát, ha Csilla akar az első lenni a virágcsokor átadásával?

Bence egy gráf segítségével lerajzolta az összes lehetőséget és megállapította, hogy 24 különböző sorrendben követhetik Csillát.

Ap An

Hajni is ugyanerre az eredményre jutott, de ő így okoskodott: Csilla az első; Csilla után 4-féleképpen választhatjuk ki, hogy ki a második; A 3. helyen álló ünneplőt már csak 3-féleképpen, mert 2 ember már szerepelt; mind a 4 korábbi kiválasztást folytathatjuk 3-féleképpen, ez eddig összesen 4 ∙ 3 lehetőség; A 4. helyen állót már csak 2-féleképpenválaszthatjuk, ez 4 ∙ 3 ∙ 2 lehetőség; s az utolsó felköszöntő pedig már egyértelmű.

Csilla: 1-féle 1 1.

4-féle 4 2.

3-féle 3 3.

Összesen: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

2-féle 2 4.

1-féle 1 5.

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT

Hányféle sorrendben köszöntheti fel az Arany család öt tagja a dédmamát, ha közülük a virágcsokrot átadó első köszöntő nem csak Csilla lehet?

Hányféle felköszöntési sorrend lehetséges, ha a hét köszöntő családtag bármely sorrendben követheti egymást?

a) Mennyi az ábrán látható tízszög szögeinek összege? b) Hány átlója van az ábrán látható tízszögnek?

P É L DA

Egy 10-tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt?

Megoldás a) Az egyik csúcsból meghúzott 7 átlóval 8 háromszögre bontottuk fel a tízszöget. A nyolc háromszög szögeinek összege éppen a tízszög szögeinek összegét adja meg, ami tehát 8 ∙ 180° = 1440°. b) Minden egyes csúcsból 7 átló indul ki, mert önmagához és a két szomszédos csúcshoz nem vezet átló. A 10 csúcsból ez összesen 10 ∙ 7 = 70 átló lenne, de mivel minden átlót két csúcsnál is figyelembe vettünk, ennek a fele a megoldás. A tízszögnek tehát 35 átlója van összesen.

Megoldás Emese 9-szer nyújtotta a kezét, ugyanígy a többiek is. Ez összesen 90 kéznyújtás. Egy kézfogás 2 kéznyújtás eredménye, ezért minden kézfogást kétszer számoltunk. A kézfogások száma tehát 90 : 2 = 45.

F E L A DAT

a) Mennyi egy konvex négyszög, illetve egy konvex ötszög szögeinek összege? b) Mennyi a 4. feladat ábráján látható nyolcszög belső szögeinek összege?

2 . l e c ke

HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?

Hány átlója van összesen az ábrán látható nyolcszögnek? (Az egyik csúcsba futó átlókat már berajzoltuk.)

ELMÉLET n(n − 3) átlója van. 2 Az n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n – 2) ∙ 180º.

Az n-oldalú konvex sokszögnek összesen

A konvex sokszög valamely szögének a mellékszögét a sokszög külső szögének nevezzük. A külső szögek összege minden konvex sokszög esetében 360º. A külső szögekhez viszonyítva a sokszög szögeit sokszor belső szögeknek nevezzük.

F E L A DAT

Öt nagyvárost közvetlen repülőjáratok kötnek össze, azaz bármelyikből bármelyikbe egyetlen repülőúttal el lehet jutni. Hány repülőjárat van összesen az öt város között?

Töltsd ki az alábbi táblázatot a füzetedben! Szabályos sokszög oldalainak száma Ennyi átlója van a sokszögnek összesen A szabályos sokszög egy belső szöge ennyi fokos

3 0 60

4 2 90

8 20 135

10 35

H Á Z I F E L A DAT

Az Arany család autóba ül. Elöl ül anya és apa, hátul a három gyerek. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kocsiban, ha anyának és apának is van jogosítványa?

A születésnapi ebédnél a család nyolc tagja egy asztal köré ült. Hány különböző módon ülhettek le, ha dédmama az asztalfőn foglalt helyet, jobbján Csilla, balján pedig Hajni ült?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

a) Hány átló húzható egy konvex 16-szögben? b) Mennyi a konvex 16-szög belső szögeinek öszszege? És mennyi a külső szögeinek az összege? c) Hány fokos a szabályos 16-szög egy belső szöge?

Hat település mindegyikéből pontosan három másik településre lehet eljutni közvetlen, egyenes műúton. Hány közvetlen út vezet a települések között? Rajzolj egy lehetséges esetet!

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Bizonyítsuk be a konvex sokszögek néhány tulajdonságát!

II. Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 360º.

I. Minden n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n – 2) ∙ 180º. Bizonyítás Legyen az n a 2-nél nagyobb egész szám. Egy n-oldalú konvex sokszögben egy csúcsból (n – 3) átló húzható, mert átlót kapunk, ha a kiválasztott csúcsot nem önmagával vagy a szomszédos csúcsokkal kötjük össze.

Bizonyítás Egy külső szög és a hozzá tartozó belső szög összege 180º, ezért az n-oldalú konvex sokszögben az n belső és külső szög összege n ∙ 180º, ebből a belső szögekre jut (n – 2) ∙ 180º, tehát a külső szögek összege 2 ∙ 180º = 360º. III. Minden n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: Ezek az átlók felbontják a sokszöget (n – 2) háromszögre. E háromszögek szögeinek összege adja meg a sokszög szögeinek az összegét. Ezért az n-oldalú konvex sokszög szögeinek az összege: (n – 2) ∙ 180º.

n(n − 3) . 2 Bizonyítás Egy n-oldalú konvex sokszög mindegyik csúcsából meghúzzuk az (n – 3) átlót. Mivel mindegyik átló két csúcshoz tartozik, ezért mindegyik átlót kétszer húztuk meg. Így az összes átló száma:

2 . l e c ke

HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?

n(n − 3) . 2

SZÁMZÁRAK

BEVEZETŐ (Csoportmunka 3-4 fős csoportokban; mindegyik csoport mind a három feladatot megoldja, vagy kooperatív módszerrel, például szakértői csoportok* létrehozásával dolgozzák fel.)

A számzáras lakat négy kereke egymástól függetlenül elforgatható. Mindegyik keréken 10 számjegy van 0-tól 9-ig. a) Hány különböző számnégyes állítható be ezen a záron? b) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben mind a négy számjegy különböző? c) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben három számjegy egyforma? d) Hány olyan számnégyes állítható be, ami egyben egy négyjegyű természetes szám? Egy széfet elektronikus számzárral védenek. A számzáron beállítható számkombináció 6, 7, 8, 9 vagy 10 számjegyből állhat. a) X úr babonás, ezért csak a szerencseszámai, a 3-as és a 7-es számjegyek fordulhatnak elő az ő kódjában, ráadásul a kód is csak 7 számjegyű lehet. Hány lehetősége van?

b) Hány tízjegyű kód állítható be a záron, ha mind a 10 számjegyet felhasználjuk a kód elkészítéséhez? c) Összesen hányféle kód állítható be az elektronikus záron?

Az elektronikus számzárat biztonsági megoldásokkal is fel lehet vértezni az illetéktelen behatolással szemben. Egy ilyen megoldás a reteszelés, ami azt jelenti, hogy ha rossz kóddal próbálkoznak, akkor az elektronika bizonyos ideig nem enged újabb számbevitelt. Egy elektronikus számzár használati útmutatójából való a következő részlet. „Amennyiben 3 egymás utáni esetben rossz kódot adott meg, 1 perces reteszelési idő lép életbe (piros LED villog). Minden további hibás kódbevitel esetén duplázódik a reteszelés ideje (max. 16 perc). Amenynyiben a reteszelési idő lejárt, a helyes kóddal a szokott módon nyitható a széf.” Legalább mennyi ideig tartana véletlenszerű próbálkozással egy 3 számjegyű kóddal védett széfet kinyitni, ha csak az utolsó próbálkozás lenne sikeres?

* Szakértői csoport létrehozása és működése: – Minden csoportban A, B, C, D betűjelek kiosztása. – Az azonos betűjelűek ugyanazt a feladatot kapják. Mindenki elolvassa a saját feladatát. – Az azonos betűjelűek egy-egy „szakértői” csoportba gyűlnek, és a feladatukat közösen megoldják. A megoldásból a szakértői csoport mindegyik tagja vázlatot készít. – Mindenki visszamegy az eredeti csoportjába, és megtanítja a többieknek a saját feladatát.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

H Á Z I F E L A DAT

Az 5 éves Csilla is szeretne jelszót készíteni, amit Bencének kell kitalálnia. Csilla csak az A és a B betűt ismeri fel biztonságosan, ezért a következő négy betűkártyát használja:

A A B B a) Hányféle jelszót készíthet Csilla, ha a színek is számítanak, illetve ha csak a betűk sorrendje számít? b) Bence azt mondja, hogy a jelszó BABA. Mekkora az esélye annak, hogy eltalálta a betűk sorrendjét? (Azt kell kiszámítanod, hogy az összes lehetséges eset hányadrészében találja meg Bence a jelszót.)

Kerékpárunkat számzáras védelemmel láttuk el. Biztonságban van-e a kerékpár, ha 3 órán keresztül őrizetlenül hagyjuk, tudván azt, hogy egy gyakorlott zárfeltörő percenként kb. 50 lehetőséget is meg tud vizsgálni?

Egy megadott jelszót egy bizonyos rendszer 16 biten tárol (egy bit értéke 0 vagy 1 lehet). Pl. ez egy jelszó:

0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 a) Hány különböző jelszó adható meg ebben a rendszerben? b) Egy gyors kódfeltörő program másodpercenként 600 000 próbálkozást végez. Legfeljebb mennyi idő kell a programnak a jelszó feltöréséhez (ha „tudja”, hogy 16 bites a jelszó)? c) Egy interneten is elérhető film megnézéséhez jelszó szükséges. A megadott jelszó 40 bites. Mennyi idő alatt tudná ezt a kódot egy olyan kódvisszafejtő program feltörni, amely másodpercenként 900 000 próbálkozást hajt végre (ha „tudja”, hogy 40 bites a jelszó)?

RÁADÁS Egy PISA-mérés feladata nyomán Pizzás feladat Egy pizzériában az alappizzát kétféle feltéttel kínálják: sajttal és paradicsommal. Ezenkívül összeállíthatjuk saját pizzánkat extra feltétekből. Négy különböző extra feltétből választhatunk: olajbogyó, sonka, gomba és szalámi. Gabi kétféle extra feltétet szeretne rendelni a pizzájára. Hány különböző kombináció közül választhat Gabi?

3 . l e c ke

SZÁMZÁRAK

FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST

BEVEZETŐ Bence új jelszót állít be a számítógépén. Szereti az érthetetlen, szerinte mások által megjegyezhetetlen jelszavakat. Kitalálta, hogy most az f, h, j, l betűkből és a 3-as számból fog állni a jelszava.

Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de ezen kívül úgy gondolja, hogy a számjegy vagy a jelszó közepére, vagy a végére kerüljön?

Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de nem akar számjeggyel kezdeni?

Most két jól elkülönülő csoportra lehet szétválasztani a lehetséges jelszavakat. Nagyon fontos, hogy olyan csoportokat keressünk, amelyekben egy jelszó csak egyszer fordul elő, de mindegyik benne van valamelyik csoportban. Mindkét csoport elemeit külön összeszámoljuk, s az eredményeket összeadjuk. Az egyik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy a középső, és a többi 4 betűt helyezem el a maradék 4 helyre. Ezt az elrendezést megtehetem 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24-féleképpen. A másik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy az utolsó. Ilyen jelszó is 24-féle lehet,, ekkor az első 4 helyre kell besorolni a 4 betűt. Összesen 24 + 24 = 48 lehetőség van.

Bence azt gondolta végig, hány olyan eset van, melyre NEM teljesül az állítás, s ezt vonta ki az összes eset számából. Összesen az 5 karaktert 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120-féleképpen állíthatjuk sorba. Ezek közül a hármas számjeggyel kezdődő jelszavak száma: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, mert a hármas után 4-féleképpen, majd utána 3-féleképpen, majd utána 2-féleképpen, majd végül 1-féleképpen folytathatjuk a jelszót. Azoknak az eseteknek a száma tehát, amelyek NEM hármassal kezdődnek: 120 – 24 = 96. Hajni úgy gondolkodott, hogy : az 1. karakter 4-féle

a 2. karakter 4-féle

a 3. karakter 3-féle

a 4. karakter 2-féle

az 5. karakter 1-féle

lehet, ezért az összes lehetőség száma: 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 96.

F E L A DAT

Hajnit születésnapján felköszöntik a barátai. Heten jönnek el a születésnapi vendégségbe: Klári, Detti, Luca, Pali, Jocó, Isti és Ádám. a) Hányféle sorrendben köszönthetik fel Hajnit, ha Luca nem akar első lenni a sorban? b) Hányféle lehet a sorrend, ha Luca ragaszkodik hozzá, hogy ő legyen a negyedik? c) Hányféle lehet a sorrend akkor, ha Luca inkább úgy dönt, hogy vagy negyedik, vagy utolsó? d) S úgy hányféle sorrend van, ha Luca ahhoz ragaszkodik, hogy ő következzen Detti után?

a) Hány darab hatjegyű természetes szám van? b) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, melynek minden számjegye különböző? c) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben nem szerepel az 5-ös számjegy? d) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amely 10-zel osztható? e) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek minden számjegye páratlan? f) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben 7-es az első vagy az utolsó számjegy (lehet mindkettő is hetes)?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

g) Hány olyan természetes szám van, amely legföljebb hatjegyű?

Egy társasjáték egyik szerencsekártyáján ez olvasható: „Dobj újra! Ha egyest dobsz, nyertél egy aranyat. Ha kettest, vesztettél egy aranyat. Ha hármast, nyertél három aranyat. Ha négyest vagy ötöst vagy hatost, akkor dobj újra addig, amíg végül egyest, kettest vagy hármast nem dobsz!” Hajninak háromszor kellett dobnia. Mit dobhatott elsőre és másodikra? Bencének négyszer kellett dobnia, s végül vesztett egy aranyat. Hányféle dobássorozata lehetett? Csilla is kihúzta ezt a szerencsekártyát. Ő csak háromszor dobott, végül nyert. Hányféle dobássorozata lehetett?

Egy társasjáték táblája úthálózatot ábrázol, a csomópontok egy-egy kisvárost jelentenek. Az a feladat, hogy mindenki húz öt különböző várost, és a kiinduló helyéről tetszőleges sorrendben mind az öt városba el kell jutnia a játék folyamán. Bencének nagy szerencséje van, mert az egyik város szomszédos az indulási helyével. Van ezen kívül még két másik, amelyik szomszédos egymással. Ezért elhatározza, hogy elsőként az indulási helyével szomszédos városba lép, s a másik két szomszédost pedig majd a játék folyamán egymás után fogja teljesíteni. Így hányféle sorrendben járhatja be az általa húzott öt várost?

Négy számkártya van az asztalon. Az egyiken egyes, a másikon hármas, a harmadikon hatos, a negyediken hetes szerepel. Csilla egy négyjegyű számot rakott ki a négy kártyával.

1 3 6 7 a) Hány különböző négyjegyű számot tud kirakni? b) Vajon hány olyan szám van ezek között, amelyik nyolccal osztható? c) Felírta egy papírra az összes így kapott számot. Mennyi ezeknek a számoknak az összege? Keress többféle ötletet, hogyan lehetne ezt kiszámolni!

H Á Z I F E L A DAT

Bence és két barátja egy csocsóbajnokságon mérik össze ügyességüket. Hányféle végeredmény alakulhatott ki, ha tudjuk, hogy nincs holtverseny, és nem Bence lett az első? Hány mérkőzésre került sor, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott?

Csupa páratlan számjegyből szeretnénk négyjegyű számokat alkotni. Hány különböző számot alkothatunk? Ezek közül hány olyan van, amely nem osztható öttel? S hány olyan van, amely nem osztható öttel, és amelynek minden számjegye különböző?

„Hadd legyek én az első vagy az utolsó!” – ez volt Hajni kérése, amikor az iskolai fogászatra vártak. Ha figyelembe vették Hajni kérését, hányféle sorrendben mehetett be a rendelőbe az ott várakozó kilenc gyerek?

4 . l e c ke

F O LY TATJ U K A Z Ö S S Z E S Z Á M L Á L Á S T

HALMAZOK

BEVEZETŐ Néhány egyszerű, már ismert fogalom

Akkor mondjuk, hogy megadtunk egy halmazt, ha minden dologról pontosan el lehet dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e (eleme-e), vagy nem.

Például a természetes számok halmazt alkotnak, osztályod tanulói halmazt alkotnak, a Nap bolygói halmazt alkotnak. De: a szép őszi napok nem alkotnak halmazt, a nagy számok nem alkotnak halmazt (mert nem lehet egyértelműen eldönteni, melyik őszi nap szép vagy melyik szám nagy).

A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük.

Jele: Ø vagy { }.

Egy halmazt véges halmaznak mondunk, ha van olyan szám, amelynél nincs több eleme. Az üres halmaz is véges halmaz.

Például – egy téglalap csúcsainak a halmaza véges (4-elemű) halmaz.

Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen halmaznak nevezzük.

Például – egy körvonal pontjainak a halmaza végtelen halmaz.

Halmaz megadása történhet a halmaz elemeinek felsorolásával (véges halmaz esetén). Megadhatjuk szavakkal vagy jelekkel, hogy mely elemek tartoznak a halmazba. Szemléltehetjük a halmazt Venn-diagrammal.

Halmaz megadása az elemek felsorolásával: {Anikó, Kriszti, Béla, Zsombor, Dóri}. Szemléltetés halmazábrával:

Péterék kerékpárjainak a halmaza (4-elemű halmaz) Sanyiék kerékpárjainak a halmaza (0-elemű halmaz)

Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik. Üres halmazból egy van – bár sokféle módon megadható.

Például az egyjegyű prímszámok halmaza egyenlő a {2; 3; 5; 7} halmazzal.

Ha egy halmaz mindegyik eleme benne van egy másik halmazban, akkor ezt a halmazt a másik halmaz részhalmazának nevezzük. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Például a Békés megyei városok halmaza részhalmaza az európai városok halmazának; a prímszámok halmaza részhalmaza az egész számok halmazának; az osztályod tanulóinak halmaza részhalmaza az U V iskolád tanulóiból álló halmaznak. Jelölés: V halmaz részhalmaza U-nak: V ⊂ U.

Ha egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, de A ≠ B, akkor A-t a B valódi részhalmazának mondjuk.

Például a prímszámok halmaza valódi részhalmaza az egész számok halmazának; a {2; 3; 5; 7} nem valódi részhalmaza az egyjegyű prímszámok halmazának (egyenlő a két halmaz).

egész számok 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …, prímszámok 2, 3, 5, 7, –201… 11, 13…

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

P É L DA

Olvassuk le az ábráról, melyik betűk az U halmaz elemei, és melyik betűk a V halmaz elemei! a) U V b

Megoldás a) Az U elemei: a, b, c, d, e, g, h; a V elemei: c, d, f; b) az U elemei: h, k, m, n, y, z; a V elemei: k, m, z.

A b) esetben a V mindegyik eleme benne van az U-ban is, tehát a V részhalmaza az U-nak: V ⊂ U.

m h

V z y

Az U halmaznak azok az elemei, amelyek nincsenek benne a V-ben, alkotják a V-nek az U-ra vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát. Ez a b) feladatban a {h; n; y} halmaz.

F E L A DAT

Legyen A = {h, a; j; n; i}. Ennek a halmaznak hány kételemű részhalmaza van? Hány háromelemű részhalmaza van? Milyen kapcsolatot fedezel fel a háromelemű és a kételemű részhalmazok között?

Melyik véges, melyik végtelen halmaz? a) A tanteremben lévő vízmolekulák halmaza. b) Az egész számok halmaza.

c) A Föld 8950 méternél magasabban fekvő hegycsúcsainak halmaza. d) A 100-zal osztható pozitív egész számok halmaza. e) A 0 és az 1 közötti számok halmaza (beleértve a 0-t és az 1-et is). f) A Naprendszer összes bolygójának halmaza. g) Azoknak az embereknek a halmaza, akik a 2008. évi pekingi olimpia 100 méteres férfi gyorsúszás döntőjét televízión keresztül, elejétől a végéig látták.

P É L DA

Soroljuk fel az {a; b; c; d} halmaz részhalmazait!

Megoldás 1-elemű részhalmazok: {a}, {b}, {c}, {d} (4 db). 2-elemű részhalmazok: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d} (6 db). 3-elemű részhalmazok: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d} (4 db). 4-elemű részhalmaz: {a; b; c; d} (1 db).

5 . l e c ke

HALMAZOK

Ez 15 részhalmaz. Rajtuk kívül még az üres halmaz is részhalmaza az adott halmaznak, vagyis van még egy 0-elemű részhalmaz is: { } (1 db). Tehát az {a; b; c; d} halmaznak 16 részhalmaza van.

F E L A DAT

Szotyi kutyát sétáltatni kell. Ez a feladat Hajnira, Bencére és apára vár. Ha nagyon csúnya az idő, akkor persze Szotyi otthon marad. Van úgy, hogy mindhárman együtt sétálnak Szotyival, van, hogy ketten, és van, hogy egyetlen sétáltatója van csak. Hányféleképpen alakulhat a sétáltatók csapata? Add meg az összes lehetőséget!

Van-e olyan halmaz, és ha igen , hány elemű az a halmaz, amelynek a) 1; b) 2; c) 3; d) 4 részhalmaza van?

Az egyjegyű prímszámok is és az egyjegyű összetett számok is halmazt alkotnak. Sorold fel mindkét halmaznak a 3-elemű és a 4-elemű részhalmazait!

Rajzolj egy koordináta-rendszert! a) Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől 4 egység távolságra vannak! b) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek az y tengelytől 4 egység távolságra vannak! c) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek mindkét tengelytől 4 egység távolságra vannak! d) Melyik ponthalmaz véges és melyik végtelen?

H Á Z I F E L A DAT

Halmazt adunk-e meg a következő meghatározásokkal? a) Az idei iskolai szünnapok. b) A múlt év legszebb hónapja. c) Az Arany család tagjainak születésnapja. d) Az idei holdtölték napja. Egy gazdaság 128-féle terméke közül 74-félét kizárólag hazai fogyasztásra gyárt. 32-féle terméket szállítanak Horvátországba, 33-félét Szlovákiába. Más országokkal nem állnak üzleti kapcsolatban. Hányféle árut szállítanak Horvátországba is és Szlovákiába is?

ELMÉLET Kiegészítő halmaz A egy halmaz, és H ennek egy részhalmaza. Azoknak az A-beli elemeknek a halmazát, amelyek nem elemei a H-nak, a H halmaz A-ra vonatkozó kiegészítő vagy komplementer halmazának nevezzük.

Például az {1; 2; 4; 5; 7} halmaznak a {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} halmazra vonatkozó kiegészítő halmaza a {0; 3; 6} halmaz; a páros számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő halmaza a páratlan számok halmaza.

Itt az A halmazt alaphalmaznak is mondjuk. H

kiegészítő halmaz

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

RÁADÁS Állítsuk párba a pozitív egész számok halmazának az elemeit és a pozitív páros számok halmazának az elemeit! A pozitív egész számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, a pozitív páros számok: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, … . Az egymás alatti számokból alkotjuk a párokat: (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10), (6; 12), (7; 14), (8; 16), (9; 18), (10; 20), (11; 22), … . Érdekes: azt gondolnánk, hogy kétszer annyi pozitív egész szám van, mint ahány pozitív páros szám, mégis párba állíthatók a két halmaz elemei. Ilyesmi csak végtelen halmazoknál lehetséges, végeseknél nem.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

A-val jelöljük a kétjegyű pozitív egész számok halmazát, B-vel a 65-nél nagyobb egész számok halmazát, C-vel a 150-nél kisebb pozitív egész számok halmazát. Hány olyan szám van, amely a) A-nak is, B-nek is és C-nek is eleme;

b) A, B, C közül legalább az egyikben benne van; c) A-ban és C-ben benne van, de B-ben nincs benne; d) A-ban benne van, de B-ben és C-ben nincs benne?

ELMÉLET Ekvivalens halmazok Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha elemeik párba állíthatók. Úgy is szokták definiálni a végtelen halmazt, hogy ekvivalens valamely valódi részhalmazával.

Állítsd párba a pozitív egész számokat és a pozitív négyzetszámokat!

Helytálló-e az alábbi okoskodás?

A kilencjegyű számokból pont annyi van, mint a tízjegyűekből. Állítsuk ugyanis párba őket a következő módon: 100 000 000 – 1 000 000 000 100 000 001 – 1 000 000 001 100 000 002 – 1 000 000 002 … 999 999 999 – 9 999 999 999

5 . l e c ke

HALMAZOK

Lehet-e egy körlemez és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz?

Lehet-e egy körvonal és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz?

Meglepő, de az is bizonyítható, hogy az egész számok halmaza ekvivalens a pozitív egész számok halmazával. Hogyan kellene „sorba rakni” az egész számokat és a pozitív egész számokat, hogy az állítás igazsága látható legyen?

HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE

BEVEZETŐ Anya és Csilla Identikit társasjátékot játszanak. A játék lényege, hogy a játékosok a megadott 24 személy tulajdonságaira kérdeznek rá egymástól, így próbálják egyre szűkíteni a kört, és végül kitalálni, hogy melyik személyre gondolt a másik játékos. Az nyer, akinek ez kevesebb kérdésből sikerül. Csilla már jó sokat kérdezett, és így csak hét személy maradt, de most már türelmetlen, és egyszerre két kérdést is feltesz: – Férfi? Fekete a haja? – Igen, férfi, és igen, fekete a haja, de egyszerre csak egyet szabad kérdezni! Vajon kire gondolt Anya és vajon számít-e, hogy melyik kérdést teszi fel először Csilla? Rendezzük csoportokba (halmazokba) a még szóba jöhető személyeket: férfiak

Mária

Dániel

fekete hajúak

Lenke

János

között: János, és egyetlen fekete hajú van a férfiak között: ugyancsak János. Úgy is mondhatjuk, hogy a fekete hajúak és a férfiak halmazának metszetében egyetlen elem található. Vajon ha a kitalálandó személy férfi, de nem fekete a haja, akkor is egyértelmű lenne, hogy kiről van szó? Ebben az esetben a férfiak halmazának (pöttyös) és a nem fekete hajúak halmazának (zöld) a metszetében már három elem áll, ezért nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy kire gondolt Anya. férfiak

Mária

Péter

Dániel

fekete hajúak Gábor

Anna

Lenke

Láthatóan mindegy, hogy először a fekete hajúakat „karikázzuk be” és aztán a férfiakat, vagy fordítva, az eredmény mindenképpen ugyanaz. Egyetlen férfi van a fekete hajúak

Péter

János Gábor

Anna

F E L A DAT

Kitalálható-e, hogy ki a keresett személy, ha azt tudjuk, hogy: a) fekete hajú, de nem férfi; b) nem fekete hajú, és nem is férfi?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

ELMÉLET Halmazműveletek Két halmaz metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Egy A és egy B halmaz metszetének a jele: A ∩ B.

Például ha A = {1; 3; 5; 7; 9} és B = {1; 2; 3; 4}, akkor A ∩ B = {1; 3} (zölddel színezve). A

9 7

Két halmaz uniója (egyesítése) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Egy A és egy B halmaz uniójának a jele: A ∪ B.

Például ha A = {1; 3; 5; 7; 9} és B = {1; 2; 3; 4}, akkor A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9} (zölddel színezve). A

9 7

Az A és a B halmaz különbséghalmazának nevezzük azoknak a dolgoknak a halmazát, amelyek az A-nak elemei, de a B-nek nem elemei. Az A és a B különbséghalmazának a jele: A \ B.

4 3

Például ha A = {1; 3; 5; 7; 9} és B = {1; 2; 3; 4}, akkor A \ B = {5; 7; 9} (zölddel színezve) és B \ A = {2; 4}. A

9 7

4 3

F E L A DAT

Hajni szoknyát vásárol. A kedvenc boltjában nagy a választék. Tetszik neki a zöld szín sötét árnyalata, ilyen szoknyából az ő méretében 20 darab is van az üzletben. Szeretné, ha kedvére való rövid szoknyát találna. Rövid szoknyából 34 darab jöhet számításba, ezek között 8 olyan zöld szoknya van, amelyik tetszik Hajninak. a) Szemléltesd halmazábrával a Hajninak megfelelő szoknyaválasztékot! b) Hány szoknya közül választhat Hajni, ha csak azok a szoknyák érdeklik, amelyek zöldek vagy rövidek? c) Hajni végül egy hosszú zöld szoknyát vett meg. Hány hosszú szoknya közül választotta ki a neki megfelelőt?

6 . l e c ke

H A L M A Z O K U N I Ó JA , M E T S Z E T E , K Ü L Ö N B S É G E

Egy osztályban 31 tanuló van. Közöttük 9 szőke és 13 kék szemű, a kék szeműek között 9 szőke. Legyen az osztály tanulóinak halmaza U, az osztály szőke tanulóinak halmaza S, a kék szeműeké pedig K. a) Készíts halmazábrát az U, S, K halmazokról! b) Hány eleműek a következő halmazok? S ∪ K; K ∩ S; K \ S; S \ K; U ∩ K; U \ S; K \ U. c) Fogalmazd meg, kik tartoznak a K halmaz U halmazra vonatkozó komplementer halmazába!

Anna néni színházba hívta két unokáját, Sárit és Dórit a barátnőikkel együtt. Sári 2 barátnőjét, Dóri pedig 3 barátnőjét hívta meg.

Hányan mentek színházba, ha a meghívottak mindannyian elfogadták a meghívást?

ELMÉLET Ugye emlékszel? N a természetes számok halmaza, Z az egész számok halmaza, Q a racionális számok halmaza, Q* az irracionális számok halmaza, R a valós számok halmaza.

Q Z N

Ezek mind végtelen halmazok. A halmazábra mutatja, hogy melyik számhalmaz melyiknek részhalmaza. F E L A DAT

Melyik halmaz véges, melyik végtelen? Amelyik véges, annak hány eleme van? Z \ N; N \ Z; N \ Q; Z \ Q*.

Mely számok alkotják a) a természetes számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát;

b) a racionális számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát; c) az irracionális számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó komplementer halmazát; d) a valós számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó komplementer halmazát?

H Á Z I F E L A DAT

A = {a; k; á; c}, B = {r; a; k; á; s}. a) Add meg elemeik felsorolásával a következő halmazokat! A ∩ B; B \ A; A \ B; A ∪ B; (A ∪ B) \ (A ∩ B); (A ∩ B) \ (A ∪ B). b) Add meg a B \ A halmaznak a B halmazra vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát!

a) Rajzold meg egy derékszögű koordináta-rendszerben az ABC és DEF háromszögeket, ha A(0; 0), B(5; 0), C(2; 4), D(2; 6); E(–3; 2) és F(2; 2)! b) Színezd a két háromszöglap unióját és metszetét, add meg e két ponthalmaz határoló sokszögének csúcsait a koordinátáikkal!

Igaz vagy hamis minden A és B halmaz esetén? Válaszodat szemléltesd halmazábrával!

a) A ∪ B ⊂ A b) A ∩ B ⊂ B

c) A ∪ B ⊂ B d) A ∩ B ⊂ A

Milyen legyen a kakaó? Mindenféle van kikészítve az étterem reggelizőasztalára. Van forró és langyos, van cukorral és cukor nélkül is. Írd le halmazműveletekkel az egyes óhajoknak megfelelő kakaók halmazát! Legyen az összes kikészített kakaó halmaza T, a forró kakaók halmaza F, a cukorral édesítetteké pedig C. a) Cukorral, de ne legyen meleg! b) Ne legyen benne cukor! c) Nekem mindegy, csak gyorsan megkapjam! d) Forrón és cukorral kérem! e) Csak forró ne legyen! f) Ki nem állhatom a langyos kakaót! g) Forrón és keserűn kérem! h) Cukor nélkül és langyosan a legjobb a kakaó!

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

RÁADÁS

Könyvespolcok

Egy asztalosnak egy könyvespolc elkészítéséhez a következő dolgokra van szüksége: – 4 db hosszú bútorlap, – 6 db rövid bútorlap, – 12 db kisméretű kapocs, – 2 db nagyméretű kapocs és – 14 db csavar. Az asztalosnál 26 db hosszú bútorlap, 33 db rövid bútorlap, 200 db kisméretű kapocs, 20 db nagyméretű kapocs és 510 db csavar van raktáron. Hány könyvespolcot tud ezekből készíteni?

Gördeszka

Erik nagy gördeszkarajongó. Elmegy a DESZKÁS nevű boltba, hogy táÁrucikk Ár (zedben) jékozódjon az árakról. Kész gördeszka 82 vagy 84 A boltban lehet kész gördeszkát kapni, vagy magunk is összeállíthatjuk Deszka 40, 60 vagy 65 saját gördeszkánkat úgy, hogy megveszünk egy deszkát, egy négydaraEgy négydarabos kerékkészlet 14 vagy 36 bos kerékkészletet, egy kétdarabos tengelykészletet és a tartozékcsomaEgy kétdarabos tengelykészlet 16 got. A boltban kapható cikkek ára a táblázatban látható. Tartozékcsomag (golyós csapágyak, 10 vagy 20 Erik maga szeretné összeállítani a gördeszkáját. gumi alátétek, csavarok és anyák) a) Ebben a boltban mi az a minimum-, illetve maximumár, amennyiért egy gördeszkát össze lehet állítani? b) A boltban három különböző típusú deszka, két különböző fajta kerékkészlet és két különböző tartozékcsomag kapható. Tengelykészletből csak egyfélét tartanak. Hányféle különböző gördeszkát állíthat össze Erik? c) Erik 120 zedet költhet, és a lehető legdrágább gördeszkát szeretné megvenni, amit még ki tud fizetni. Mennyi pénzt költhet Erika gördeszka egyes részeire? Másold át a füzetedbe a megA gördeszka részei Összeg (zedben) adott táblázatot, és írd bele a válaszodat! Deszka Kerekek Tengelyek Tartozékok

6 . l e c ke

H A L M A Z O K U N I Ó JA , M E T S Z E T E , K Ü L Ö N B S É G E

INTERVALLUMOK

BEVEZETŐ A számegyenes Mindegyik valós számnak megvan a helye a számegyenesen, és a számegyenes minden pontjának megfelel egy valós szám. –3

–2

–1

2 5

2 Például a 3 helyét így kapjuk meg: a 3 és a 4 közötti szakaszt 5 egyenlő részre bontjuk, és a 3-at jelölő ponttól a második 5 osztópontot választjuk.

ELMÉLET Számok abszolút értéke Minden pozitív szám abszolút értéke önmaga, a 0 abszolút értéke önmaga, minden negatív szám abszolút értéke a szám ellentettje.

a =

a, ha a ≥ 0 –a, ha a < 0

F E L A DAT

Hány olyan egész szám van, amelynek az abszolút értéke a) 12; c) nagyobb, mint 12; b) kisebb, mint 12; d) egyjegyű prímszám?

Melyik egész számot jelölheti a c betű, ha a) c − 5 = 0; b) c − 5 = –2; c) c − 5 = 2?

P É L DA

Jelöljük meg a számegyeneseken azokat a számokat, amelyek abszolút értéke a) 3; b) kisebb 3-nál; c) nem nagyobb 2-nél; d) nagyobb 2-nél;

e) 2 és 3 közötti szám!

Megoldás a) b) c) d) e)

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–3

–2

–1

Megoldás: {–3; 3}. Megoldás: a ]–3; 3[ nyílt intervallum. Megoldás: [–2; 2] zárt intervallum. Megoldás: R \ [–2; 2]. Megoldás: a ]–3; –2[ és a ]2; 3[ intervallum uniója.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

ELMÉLET Intervallumok Ha a < b, akkor a közöttük lévő számok halmazát a, b nyílt intervallumnak nevezzük. Jele: ]a; b[. Ha ehhez az a-t és a b-t is hozzávesszük, akkor ezt a halmazt a, b zárt intervallumnak nevezzük. Jele: [a; b]. Ha az [a; b]-ből elhagyjuk az a-t, illetve a b-t, akkor az ]a; b] -vel jelölt balról nyílt, jobbról zárt intervallumot, illetve az [a; b[-vel jelölt balról zárt, jobbról nyílt intervallumot kapjuk. Példa Az alábbi ábrán a [–3; 0] zárt intervallumot és az [1; 4[ balról zárt, jobbról nyílt intervallumot szemléltettük. –4

–3

–2

–1

Az intervallumok számhalmazok, ezért uniójuk, metszetük, különbségük értelmezhető. Példa a számegyenesen megjelölt számhalmazt többféle módon leírhatjuk, megadunk két leírást: [ 2; 7 ] \ { 5 } –1

= [2;5[ 1

∪ ]5;7]

F E L A DAT

Jelöld meg egy számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek az abszolút értéke a) 2 és 5 közötti szám; b) kisebb, mint 4; c) nagyobb, mint 12! Melyik halmaz véges és melyik végtelen? Melyik halmazt tudod felírni intervallum alakjában?

Ábrázold számegyenesen, s írd fel intervallum alakban az összes olyan x valós szám halmazát, amelyekre igaz, hogy a) –1 < x ≤ 3 8 2 b) − ≤ x ≤ − 3 5

A számegyenesen megjelölt halmazt add meg intervallumokkal! Keress többféle leírást! a)

c) d)

7. l e c ke

–3

–2

–3 – 7 –2 3

–1 –0,5 0

– 5 –1 – 1 2 4

0 1 3

5 2 2

–3

–2

–1

–3

–2

–1

I N T E RVA L L U M O K

P É L DA

A cukorkászacskón ez áll: tömege 100 g ±2 g. Ha a cukorka tömege x gramm, akkor az alábbi kijelentések közül melyik fejezi ki matematikai formában ugyanezt az információt? a) 98 ≤ x ≤ 102 c) |x| ≤ 102 b) x ≥ 98 d) |x – 100| ≤ 2

Megoldás A cukorkászacskó felirata azt fejezi ki, hogy a cukorka tömege legalább 98 gramm, de legfeljebb 102

gramm. Más szavakkal kifejezve: a cukorka tömegének a 100 grammtól való eltérése legfeljebb 2 gramm lehet. Az a) kijelentés és a d) kijelentés is pontosan ezt jelenti, a b) és a c) kijelentés nem. A b) kijelentés ugyanis azt mondja, hogy a cukorka tömege legalább 98 gramm, azaz akár 260 gramm is lehetne; a c) kijelentés pedig azt állítja, hogy a cukorka tömege –102 gramm és 102 gramm között van, tehát akár 0 gramm is lehetne.

F E L A DAT

Az osztály mind a 30 tanulója mérőszalaggal megmérte a tanterem szélességét. A legkisebb mérési eredmény 523 cm, a legnagyobb 531 cm volt. Ha a tanterem valódi szélessége s cm (és ez a két fenti mérési eredmény közé esik), akkor hogyan lehetne matematikai formába önteni a tanulók mérésének eredményét egyenlőtlenség, illetve abszolút érték segítségével?

H Á Z I F E L A DAT

Melyik kijelentés igaz és melyik hamis? a) Minden természetes szám egész szám. b) A nulla természetes szám. c) A –6,4 racionális szám. d) Van olyan irracionális szám, amelyik felírható két egész szám hányadosaként is. e) Minden egész szám felírható két egész szám hányadosaként is. Az elkészült csapszegeket dobozokba csomagolták, és ezt írták a dobozra: átmérő 2,5 mm ± 0,03 mm. Írd fel ennek a kijelentésnek a matematikai meg-

felelőjét egyenlőtlenségek, illetve az abszolút érték használatával! A csapszeg átmérőjét jelöld d-vel!

A számegyenesen megjelölt halmazt add meg intervallumokkal! a) –3 –2,3

–1

–3

–2

–1

–2

–1

1,2

b) –4

c) –3

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Kösd össze azokat, amelyek ugyanazt fejezik ki! Melyik a kakukktojás? –7 ≤ x ≤ 7 –5 ≤ x ≤ 9 0 ≤ x ≤ 14 7 ≤ x ≤ 14 20 ≤ x ≤ 34

|x – 7| ≤ 7 |x – 2| ≤ 7 |x| ≤ 7 |x – 27| ≤ 7

a) Hány megoldása van az |x – 3| = 2 egyenletnek a természetes számok halmazán, az egész számok halmazán, illetve a racionális számok halmazán? b) Hány megoldása van az |x – 3| ≤ 2 egyenlőtlenségnek a természetes számok halmazán, az egész számok halmazán, illetve a racionális számok halmazán?

RÁADÁS A modern halmazelmélet egyik megalapítója és kidolgozója Georg Cantor (1845–1918) német tudós volt. Ő így jellemezte a végtelen halmazokat: van olyan valódi részhalmazuk, amellyel azonos a számosságuk. Ezen azt értette, hogy a halmaz és a részhalmaz elemei párba állíthatók. Erre már mi is láttunk példát a 19. oldalon, a RÁADÁS-ban. Cantor azt a nagyon érdekes dolgot is megmutatta, hogy az N és a Q halmaz elemeit is párba tudja állítani, vagyis ezeknek is egyenlő a számosságuk. De, amint kimutatta, a Q és a Q* elemei között már lehetetlen ilyen párosítást létrehozni. Vagyis a racionális számok halmaza és az irracionális számok halmaza nem azonos számosságú.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Figyeljük meg a következő halmazokat! A legyen a 25-nél nagyobb egész számok halmaza, B legyen a 25-nél kisebb egész számok halmaza, K legyen a (–10)-nél nagyobb egész számok halmaza, L legyen a (–10)-nél kisebb egész számok halmaza, N a természetes számok halmaza, Z az egész számok halmaza. a) Melyik halmaz véges, melyik végtelen? b) Melyik halmazok között van részhalmazkapcsolat? c) Vannak-e köztük olyan halmazok, amelyeknek a metszete véges halmaz? Ha vannak, akkor melyik metszet hány elemű? d) Vannak-e köztük olyan halmazok, amelyeknek az uniója véges halmaz? Ha vannak, akkor melyik unió hány elemű?

7. l e c ke

I N T E RVA L L U M O K

Mik az elemei a következő halmazoknak? (A halmazokat az 1. feladatban adtuk meg.) a) A ∪ B, A ∩ B b) N ∩ K, N ∩ B c) N \ A, N \ B, N \ K, N \ L d) Z \ A, Z \ B, Z \ K, Z \ L, Z \ N e) N ∩ (A ∪ B), N \ (A ∪ B) f) Z ∩ (A ∪ B), Z \ (A ∪ B), Z ∩ (K ∪ L), Z \ (K ∪ L)

Szemléltesd számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldásainak halmazát, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! Írd fel a megoldáshalmazt intervallumok segítségével! a) |x| ≤ 2 b) |x – 3| ≤ 2 c) |x + 3| ≤ 2

MŰVELETEK SZÁMHALMAZOKBAN

F E L A DAT

Helyezd el a színes halmazábrán a következő számokat! A füzetedben dolgozz! 2 a) –6, , 19 928, 3 0, π, –0,775

R Q*

Q N

2 5 9 b) –6 ⋅ , + , 3 7 7 28 : (–4), 0 ∙ π, –21 : (–7)

Melyik tört tizedes tört alakja véges, melyiké végtelen? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) , , , , , , , , , 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b) , , , , , , , , , 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 4 4 4 4 4 4 4 c) , , , , , , , , 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 6 7 8 9 10 d) , , , , , , , , 5 5 5 5 5 5 5 5 5

P É L DA

Egy 30-as létszámú osztály mindegyik tanulója vásárolt egy 520 forintos történelemkönyvet, egy 860 forintos matematikakönyvet és egy 1140 forintos irodalomkönyvet. 12 tanuló vett 1100 forintos angoltankönyvet és 900 forintos angolszótárt. a) Mennyibe került a 12 angoltankönyv és -szótár? b) Mennyit fizetett a 30 tanuló a történelem-, matematika- és irodalomkönyvekért?

Megoldás a) Összeadjuk az 1100 ∙ 12 és a 900 ∙ 12 számot, vagy kiszámítjuk, hogy 1 tanuló könyve és szótára 1100 + 900 = 2000 forintba kerül, 12 tanulóé 12-szer ennyibe: 2000 ∙ 12 = 24 000 forintba. Most a második módszer sokkal egyszerűbb. b) A 30 tanuló 90 könyvének az ára: (520 + 860 + 1140) ∙ 30 forint. Ha észrevesszük, hogy 860 + 1140 = 2000, akkor fejben is elvégezhetjük az összeadást. Tehát a 90 könyv ára összesen (520 + 860 + 1140) ∙ 30 = 2520 ∙ 30 = 75 600 (forint).

ELMÉLET Az alapműveletek műveleti azonosságai Ha a, b és c valós számok, akkor a+b = b+a

a∙b = b∙a

felcserélhetőség (kommutativitás)

(a + b) + c = a + (b + c)

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

csoportosíthatóság (asszociativitás)

(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

széttagolhatóság (disztributivitás)

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

P É L DA

Aranyék dédmamája egy ebédküldő szolgálatnál fizet be. Hetenként megkapja az étlapot, onnan választ kedve szerint. Holnap kell befizetni a jövő hétre. Dédmama felírja, miket akar rendelni: Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek

Nyugdíjas menü (húsleves, szilvalekváros gombóc) Zöldborsófőzelék vagdalt hússal Nyugdíjas menü (zöldségleves, magyaros csirkemell tarhonyával) Babgulyás Somlói galuska Kanászpecsenye párolt rizzsel

495 Ft 510 Ft 495 Ft 325 Ft 270 Ft 595 Ft

Bence meglátta a somlói galuskát, ebből ő is szeretne. Apa pedig észrevette, hogy sztrapacska is van az étlapon (535 Ft/adag), ezt nem akarja kihagyni. Anya tehát nem egy, hanem három somlói galuskát rendel, és felír még három sztrapacskát is. Mennyit kell fizetni ezen a héten az ebédrendelésért? Megoldás Anya a legjobb fejszámoló, ő szereti kitölteni a megrendelőlapot. Így jegyzi fel az árakat: 500 – 5 500 + 10 270 ∙ 3 + 535 ∙ 3 = (270 + 535) ∙ 3 = 805 ∙ 3 = 2415; 500 – 5 300 + 25 600 – 5 2420 + 2415 = 4835 (Ft). 2400 + 20 = 2420. Tehát a heti ebédrendelés összege 4835 forint.

ELMÉLET Zárójelek felbontása, elhagyása Csak összeadás és kivonás szerepel a műveletek között 12 + (7 – 9 – 16) = 12 + 7 – 9 – 16 = 19 – 25 = – 6; 12 – (7 – 9 – 16) = 12 – 7 + 9 + 16 = 37 – 7 = 30. Csak szorzás és osztás szerepel a műveletek között 64 ∙ (7 : 32 ∙ 10) = 64 ∙ 7 : 32 ∙ 10 = 64 : 32 ∙ 7 ∙ 10 = 2 ∙ 7 ∙ 10 = 14 ∙ 10 = 140; 64 : (10 ∙ 32 : 7) = 64 : 10 : 32 ∙ 7 = 64 : 32 ∙ 7 : 10 = 2 ∙ 7 : 10 = 14 : 10 = 1,4.

8 . l e c ke

MŰVELETEK SZÁMHALMAZOKBAN

F E L A DAT

Számolj fejben! Írd le zárójelek használatával, milyen sorrendben végezted el a műveleteket! a) 19,7 + 2,3 + 5,8 b) 19,7 + 2,9 + 5,4 c) 19,7 + 6,8 – 2,7

Az alapműveletek azonosságait használva könnyen kiszámolható az eredmény! Írd le zárójelek használatával, hogyan! a) 72 + 93 + 28 b) 25 ∙ 63 ∙ 4 c) 67 ∙ 24 + 33 ∙ 24

Írd le az elvégzendő műveleteket zárójelek használatával és anélkül is úgy, hogy a törtvonalak helyett mindenütt az osztás jelét használod! Add meg az eredményt is! 5 a) –9 ⋅ 3 3 b) –9 : 5 15 3 c) : 22 11

Bontsd fel a zárójeleket, majd csoportosítsd újra a műveleteket úgy, hogy fejben is könnyen kiszámítható legyen az eredmény! 3 a) 128 ⋅ : 64 4 2 b) 128 : ⋅ 64 5 11 22 c) : :7 9 7

Külföldi utunkról visszatérve szeretnénk megmaradt külföldi pénzünket forintra visszaváltani. Egy zorgért 335 forintot, egy gorzért pedig 25 forintot kapunk. a) Hány forintot kapunk, ha 28 zorgot és 28 gorzot váltunk vissza? b) Hány forintot kapunk, ha 57 zorgot és 110 gorzot váltunk vissza? c) 3600 forintot kaptunk, mert ugyanannyi zorgot váltottunk vissza, mint ahány gorzot. Hány zorgot váltottunk be?

Ügyesen számolj! a) 27,8 + 39,7 + 22,2 + 10,3 b) 32,8 ∙ 44,9 + 32,8 ∙ 55,1 c) 24 : (17 ∙ 8) ∙ (34 : 3)

Vettem a piacon 2,5 kg krumplit, kilóját 120 forintért, 1,5 kg narancsot, amelynek szintén 120 Ft volt kilója, és vettem még 2 kg hagymát is, ennek is 120 Ft/kg volt az egységára. Mennyit fizettem öszszesen? Hogy lehet a leggyorsabban kiszámolni fejben?

H Á Z I F E L A DAT

Külföldi útra készülve pénzt váltunk be. Zorg és gorz kell nekünk. Egy zorg 353 forintba kerül, egy gorz pedig 27 forintba. a) Mennyit fizetünk, ha 520 zorgot és 520 gorzot veszünk? b) Mennyit fizetünk, ha 430 zorgot és 1300 gorzot veszünk?

A cukrásziskola vizsgájára előkészítettek 2,5 kg 1 mazsolát. Ennek részét Klári dolgozza fel, majd 12 3 Andi kapja a maradék részét. Ami még ezután 11 1 maradt, annak az részét Zsolt használja fel, amit 4 2 ő hagyott, annak a része kell Emese tortáihoz. 3 Hányadrésze maradt meg a mazsolának?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Számold ki ügyesen, majd ellenőrizd számológéppel, hogy jól számoltál-e! 2 a) (49,5 + 50,5) : 3 11 : (54,2 – 32,2) b) 5 c) 157,2 : (0,6 · 52,4)

Ékszer készítéséhez 0,8 cm3 aranyat és 0,4 cm3 ezüstöt használtak fel. Mekkora lett az ékszer tög , az mege és sűrűsége? Az arany sűrűsége 19,3 cm3 g ezüsté pedig 10,5 . A térfogatváltozástól eltecm3 kinthetsz a számolás során.

RÁADÁS A számok írása A ma használatos arab számírás indiai eredetű, Európába Spanyolországon át került a X. század folyamán perzsa, majd arab közvetítéssel (innen ered az elnevezése). Elterjedésének nagy lendületet adott a XV. században a könyvnyomtatás feltalálása, első magyarországi felbukkanása is erre az időszakra tehető. A korábban elterjedt római számokkal szemben újdonság volt a 0 önálló számként való megjelenése és a helyi értékek használata, ami lehetővé tette, hogy összesen tíz jel (0, 1, 2, …, 9) használatával gyakorlatilag bármelyik természetes számot ábrázolni lehessen. A helyi értékes írásmód a műveletek elvégzését is jelentősen egyszerűsítette. Valutaárfolyam Mei Ling megtudta, hogy a szingapúri dollár és a dél-afrikai rand közötti átváltási arány a következő: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei Ling 3000 szingapúri dollárt váltott dél-afrikai randra ezen a valutaárfolyamon. a) Mennyi pénzt kapott Mei Ling dél-afrikai randban? Amikor Mei Ling 3 hónap után visszatért Szingapúrba, még maradt 3900 ZAR-ja. Ezt visszaváltotta szingapúri dollárra és észrevette, hogy a valutaárfolyam megváltozott: 1 SGD = 4,0 ZAR. b) Mennyi pénzt kapott Mei Ling szingapúri dollárban? c) Kedvezett-e Mei Lingnek, hogy a valutaárfolyam 4,2 ZAR helyett 4,0 ZAR lett, amikor visszaváltotta dél-afrikai randját szingapúri dollárra? Válaszodat indokold!

8 . l e c ke

MŰVELETEK SZÁMHALMAZOKBAN

KIT CSAPNAK BE A SZÁMOK?

BEVEZETŐ

Az iskolai konyhára egy megbízható gazdától vásároltunk burgonyát. 15 zsákkal vettünk, zsákonként 30 kg-ot. Bevezették a raktárkönyvbe: „450 kg burgonya”. A raktáros ellenőrizni akarta a mennyiséget, megmérte együtt a 15 zsákot. A mérleg 456 kg-ot mutatott. Vajon a gazda tévedett a zsákok mérésénél?

Legalább 29,5 kg ∙ 15 = 442,5 kg, és legfeljebb 30,5 kg ∙ 15 = 457,5 kg. 29,5 kg

30,5 kg

1 zsák 442,5 kg

457,5 kg 15 zsák

Megoldás A mérési eredmények közelítő értékek. Ha nem közlik a mérés pontosságát, akkor a 30 kg-ot tekinthetjük kerekített értéknek, ami azt jelenti, hogy a tömeg 29,5 kg és 30,5 kg közötti érték. Mennyi tehát a 15 zsák együttes tömege?

Ha a 15 zsák burgonya tömege 442,5 kg és 457,5 kg közötti érték, akkor lehetséges, hogy mindegyik zsáknak 30 kg a (kg-okra kerekített) tömege. Nem a gazda tévedett, hanem az, aki azt hitte, hogy a 15 zsák együtt pontosan 450 kg-ot nyom!

Egy körnek megmértük az átmérőjét, ez 48 mm. Mekkora a kör kerülete? Attila számolása: k = 2 r π = 48π ≈ ≈ 48 ∙ 3,14 ≈ 150,72 (mm). Jancsi számolása: k = 2 r π = 48π ≈ ≈ 48 ∙ 3,14159 ≈ 150,79623 (mm). Kinek van igaza?

Megoldás Egyiküknek sincs! Nem vették figyelembe, hogy a π-nek kerekített értékét használták, és azt sem, hogy a 48 mm mérési eredmény.

48 mm

A kör átmérőjéről valójában csak azt tudjuk, hogy 47,5 mm és 48,5 mm közötti érték. A π sem 3,14, hanem egy 3,141 és 3,142 közötti érték. Mekkora tehát a szorzatuk? Legalább 47,5 ∙ 3,141 = 149,1975 és legfeljebb 48,5 ∙ 3,142 = 152,387. A 149,1975-nek és a 152,387-nek a tízesekre kerekített értéke megegyezik, ez 150. Tehát mondhatjuk, hogy a kör kerülete (tízesekre kerekítve) 150 mm. Hiába ír valaki a szám után tizedeket, századokat, annak semmi értelme sincs.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT Használd a saját számológépedet!

Megmértük a lakás egyik szobájának a hosszát: 435 cm, és a szélességét: 405 cm. Hány m2 lehet a szoba alapterülete, ha a) a méréshez mérőszalagot használtunk, így a hosszmérésnél ± 2 cm körüli hibát követhettünk el? b) a méréshez iskolai vonalzót használtunk (30 cm-es hosszúságú), így a mérésnél ± 5 cm hibát követhettünk el?

Eladó lakás egyik szobájának méretei a hirdetés szerint 5,2 m × 4,5 m. A lakás négyzetméterét 250 ezer forintért kínálják. „Mennyit érhet” ez a szoba, ha a vételárat csak tízezer forintra kerekítve van értelme megadni?

Hajni kerékpározik. A kerékpárra szerelt digitális óra szerint a megtett távolság 3,8 km, az átlagsebeskm ség pedig 16,8 volt. (A digitális óra a távolságot h a biciklikerék kerületéből számolja; ezt a kerületet a kerékpárosnak kell megmérnie, majd beírnia az óra setup [beállító] programjában. A sebességet a megtett útból és az eltelt időből számítja ki az óra.) a) Hány percig tartott Hajni útja? b) Bence számológéppel gyorsan kiszámította, hogy Hajni 814,2857143 másodperc alatt tette meg a 3,8 km-es távolságot. Mit gondolsz erről a kijelentésről?

Öten beültek egy autóba. a) Éppen a napokban mérte meg mindegyikük a saját tömegét, és mindegyikük 80 kg-nak találta azt. Hány kilogramm az öt ember együttes tömege, ha tudjuk, hogy a szobamérlegek mérési pontossága ± 5%? b) Egy másik ötös csoportban ketten is gondosan ügyelnek a súlyukra, és naprakészen tudják is azt. Egyikük szerint az ő „súlya” (tömege) 67,8 kg, másikuk szerint az ő saját „súlya” (tömege) 73,4 kg, a többi három szerint az ő tömegük pontosan 79,3 kg. Mit mondhatunk az öt ember együttes tömegéről, ha a tömegméréshez használt mérlegek mérési pontossága ± 1%?

Fizikaórán egy fémkocka sűrűségét kellett kiszámíkg tani és azt egységben megadni. Bence a kocka m3 élét 15 mm-nek, a kocka tömegét pedig 9 grammnak mérte. A távolság mérésekor ± 0,5 mm lehetett a hiba, a tömegmérésnél ± 0,1 gramm. A számolást Bence számológéppel végezte. Mit írhat mérési eredményként a jegyzőkönyvébe?

ELMÉLET Számok kerekítése Ha az első elhagyott számjegy 5 vagy 5-nél nagyobb, akkor felfelé kerekítünk, ha 5-nél kisebb, akkor lefelé. A 7289 tízesekre kerekítve 7290, százasokra kerekítve 7300, ezresekre kerekítve 7000, tízezresekre kerekítve 10 000. A 3,1506 ezredekre kerekítve 3,151, századokra kerekítve 3,15, tizedekre kerekítve 3,2, egyesekre kerekítve 3, tízesekre kerekítve 0. A 0,007 935 százezredekre kerekítve 0,00794, tízezredekre kerekítve 0,0079, ezredekre kerekítve 0,008, századokra kerekítve 0,01, tizedekre kerekítve 0.

9 . l e c ke

KIT CSAPNAK BE A SZÁMOK?

H Á Z I F E L A DAT

Márianosztra központjában állsz, kezedben egy turistatérképpel. A térkép hálójában a négyzetek oldala a valóságban 1 km hosszú. Megszólít egy idegen és azt kérdezi, milyen messze van Kóspallag. Mit válaszolsz, a) ha az idegen egy gyalogos turista, akinek a piros turistaútvonalat javaslod? b) ha az idegen egy személyautó vezetője, aki a betonúton szeretne Kóspallagra eljutni? c) ha az idegen az álruhás matektanárod (akit persze azonnal felismersz), és azt szeretné tudni, hogy légvonalban mekkora távolságra van Kóspallag? Melyik hosszúságegységet használtad az egyes távolságok megadásakor, és miért azt választottad?

Digitális fogyasztásmérő és költségellenőrző készülék leírásából való az alábbi részlet. „Üzemi feszültség 230 V ±10%; hatásos teljesítmény mérési tartomány: 10–3000 W között, pontosság ± 5%.” a) Mekkora az a legkisebb, illetve legnagyobb üzemi feszültség, amelyen a készülék üzemeltethető? b) A készülék azt jelzi, hogy a pillanatnyi teljesítmény 1480 W (watt). Hány watt lehet a teljesítmény valódi értéke a leírás szerinti pontossággal számolva?

A kerékpár digitális órája azt jelzi, hogy Hajni 1 óra 27 percet kerékpározott és 18,7 km/h volt az átlagsebessége. Mindkét érték utolsó számjegye kerekített. Számold ki, hány km a legkevesebb, illetve legtöbb, amelyet Hajni megtehetett a kerékpárjával!

Márianosztra

Kóspallag P

Melyiket tartod természetesnek és melyiket komikusnak? Amelyik komikus, azt hogyan módosítanád? a) A nagypapám 57 éves. b) Nagymama most éppen 54,06 éves. c) A rajzfilm 17,892 percig tartott. d) Kóspallag és Márianosztra távolsága légvonalban 4778,92 méter. e) A 100 méteres gyorsúszás döntőjét 1 perc 2,04 másodperccel nyerték. f) Megmértem a terem hosszát és szélességét, majd kiszámítottam a terem alapterületét: 48,8518 négyzetmétert kaptam eredményül. g) Vettem 2 kg krumplit és 1 kg hagymát, így 3000 grammot kell hazacipelnem. kg h) Az alumínium sűrűsége 2700 . m3

RÁADÁS Kerekített számok összeadásakor először elvégezzük az összeadást, majd az összeget a legnagyobb helyi értékű kerekített számjegynek megfelelően kerekítjük. Ha például a következő összeg tagjai mérési eredmények vagy kerekített számok, akkor így végezzük el az összeadást: 42,769 + 108,2 + 0,219 + 0,8983 = 152,0863 ≈ 152,1. A tagok között a 108,2-ben volt a legnagyobb helyi értékű kerekített számjegy, ezért az összeget ehhez „igazítottuk”.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Pontosság A magyar nyelvben a pontosság szót többféle értelemben használjuk. Van, amikor egyértelmű, de van, amikor nem egyértelmű, mire is gondolunk. Néhány példa: – A terem szélessége 425 cm, a mérés pontossága ± 2 cm. – Ez egyértelmű: a terem valódi szélessége legalább 423 cm, legfeljebb 427 cm. (Így is mondjuk: a mérés hibája legfeljebb 2 cm.) – Bence egy test sűrűségét 8% pontossággal adta meg. – Ez is egyértelmű: a test valódi sűrűsége a megadott értéknek legalább 92%-a, legfeljebb 108%-a lehet. Így is írják: ± 8% lehet az eltérés. – A (képen látható) táramérleg egy tizedesjegy pontossággal jelzi ki a tömeget. – Ez már nem egyértelmű. Jelentheti azt, hogy a kijelzett 10,5 g egy kerekített szám, tehát a mért tömeg valódi értéke 10,5 g ± 0,05 g (azaz a mért tömeg 10,45 g és 10,55 g között van). De jelentheti azt is, hogy az egy tized helyi értéken álló számjegy bizonytalan, a tömeg valódi értéke 10,5 g ± 0,1 g (azaz a valódi tömeg 10,4 g és 10,6 g között van). – A mérési adatokat 4 értékes jegy pontossággal kell felírni. – Ez is egyértelmű. Például az analitikai mérlegen mutatott 10,4978 gramm négy értékes jegyre kerekítve: 10,50 gramm (és ehelyett nem írható 10,5 gramm, mert az csak 3 értékes jegyet tartalmaz). – Hajni nagy pontossággal határozta meg a folyadék térfogatát. – Nem egyértelmű. Jelentése körülbelül ez: a térfogat valódi értékétől csak nagyon kevéssel eltérő eredményre jutott Hajni.

P É L DA

Egy téglalap alakú telek egyik oldalát 13,2 m-nek, másik oldalát 24,5 m-nek mértük. Mekkora lehet a téglalap valódi területe? (Tegyük fel, hogy a telek valóban téglalap alakú!)

Megoldás A hosszúságokat méréssel kaptuk. Mivel nem közölte a feladat szövege, hogy mekkora lehetett a mérési pontatlanság, ezért azt gondolhatjuk, hogy a 13,2 és a 24,5 is kerekített számok. A téglalap valódi területe tehát 13,15 ∙ 24,45 ≈ 321,5 (m2) és 13,25 ∙ 24,55 ≈ 325,3 (m2) között lehet. 323,4 m 2 321,5 m 2

325,3 m2

A két „szélső” érték között 3,8 m2 különbség van. Ebből adódóan most sincs értelme azt mondani: a téglalap valódi területe biztosan 13,2 ∙ 24,5 = 323,4 (m2). Mit tehetünk ebben az esetben? Ha nem akarjuk a fentebb részletezett számításokat elvégezni, akkor is biztosak lehetünk abban, hogy a tized négyzetméterek megadása teljesen felesleges. Ezért fogalmazhatunk így: a téglalap területe közelítőleg 323 m2. Ha pedig a fenti számításokat is elvégezzük, akkor így fogalmazhatunk: a téglalap valódi területe 323,4 ± 1,9 (m2).

9 . l e c ke

KIT CSAPNAK BE A SZÁMOK?

Egy téglalap egyik oldalát 13,20 m-nek, másik oldalát 24,50 m-nek mértük. Mekkora lehet a téglalap valódi területe, ha mindkét hosszúság mérésekor előfordulhatott egy kis mérési pontatlanság, ami legfeljebb 2 cm-es?

Megoldás A mért hosszúságokkal a téglalap területe: 13,2 ∙ 24,5 = 323,4 (m2). Ha mindkét hossz mérésénél a legnagyobb pontatlanságot követtük el, akkor a legkisebb területre 13,18 ∙ 24,48 ≈ 322,6 (m2), a legnagyobb lehetséges területre 13,22 ∙ 24,52 ≈ 324,2 (m2) adódik. 323,4 m 2 322,6 m 2

324,2 m2

Mondhatjuk tehát, hogy a mérés alapján a téglalap valódi területe 323,4 ± 0,8 (m2). Figyeljük meg: azt nem mondhatjuk, hogy a téglalap valódi területe biztosan 323,4 m2.

SEGÍT A SZÁMOLÓGÉP

BEVEZETŐ Arany Bence az interneten nézegette, mit is írnak az egyiptomi piramisokról. Azt látta, hogy az ókor hét csodája közül az egyiptomi Kheopsz-piramis az egyetlen, amely még ma is áll. E piramis olyan, négyzet alapú gúla, amelynek eredetileg 230,37 m-esek voltak az alapélei, a magassága pedig 146,73 m volt. Nekiállt, hogy kiszámítsa, hány köbméter lehetett valaha a2 ⋅ h a Kheopsz-piramis térfogata. A V = képletet használta, ahol a az alapél hosszát, h a gúla magasságát jelöli. 3 Így számolt Bence:

A végeredmény tehát 2 595 670,177 779 m3. Persze az adatok pontatlansága miatt nincs értelme ilyen sok tizedesjegyre megadni a végeredményt. Bence végül elmondta nővérének, Hajninak, hogy a piramis teljes térfogata kb. 2 600 000 m3. Hajni csak a fejét csóválta, amikor meglátta Bence számítását. Elővette a számológépét, és ezeket ütötte be sorban egymás után: 230,37 x2 × 146,73 ÷ 3 = Az eredmény nála 2 595 670,178 lett. Azért ennyi, mert a legtöbb számológép csak 10 jegy hosszúságú számokat tud kezelni, beleértve a tizedesjegyeket is, a többi jegyet lekerekíti.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT A) Mekkora a lakás alapterülete egész m2-re kerekítve, ha a mért értékeket pontosnak fogadjuk el? B) Mekkora a lakás alapterülete egész m2-re kerekítve, ha a hosszúságmérések során ± 3 cmes eltérések lehetnek a valódi értékektől?

Összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás Használd a saját számológépedet!

Végezd el a kijelölt műveleteket saját zsebszámológépeddel! a) 6250 + 258 . 120 = b) 625 – 258 : 120 = c) 25,4 2 = d) 2 12 = a) Egy négyzet alakú telek oldalának hossza 32,2 m. Mekkora a telek legkisebb és legnagyobb lehetséges területe egész négyzetméterre kerekítve, ha a hosszmérések pontossága ± 0,2 m? b) Egy lakásban 2 szoba, előszoba, konyha, fürdőszoba és WC van. Az előszoba L alakú, alapterülete 4,5 m2. A többi helyiség „téglalap alakú”. A szobák mérete (méterben megadva): 5,3 × 3,7 és 4 × 3,2, a fürdőszoba 1,7 × 1,5, a konyha 2,4 × 2,7, a WC pedig 1,1 × 0,9.

Négy tanórai alapszabály a számológépekhez 1. LEGYEN számológéped! 2. Legyen ITT a számológéped! 3. ISMERD a számológépedet (olvasd el a használati útmutatóját)! 4. HASZNÁLD a számológépedet!

P É L DA

Zárójelek használata

Mutasd meg a számológéped segítségével, hogy a) 52,8 . 37,5 + 27,2 . 37,5 = (52,8 + 27,2) . 37,5

( )

b) 25

= 215

93 9 = 3 4 4 d) 78,4 – (38,9 – 104,3) = 78,4 – 38,9 + 104,3 e) 38 : (19 : 7) = 38 : 19 . 7 c)

Második módszer (folyamatosan írunk a számológépbe, és csak a végeredményt jelenítjük meg) Használjunk törtet! 27 000 000 . Ezt a zsebszámológépekbe a 150 + 175 + 107 + 101 + 92 legtöbb esetben csak zárójel használatával lehet beírni: 27 000 000 : (150 + 175 + 107 + 101 + 92). (Vannak olyan zsebszámológépek, amelyek kezelik a tört alakot is, tehát a kijelzőn függőleges irányban lépve lehet a tört számlálójából a nevezőjébe jutni és viszont.)

Év végi jutalmazásra 27 millió forint jut egy cég költségvetésében. A dolgozók öt telephelyen végzik a munkájukat; az egyes telephelyek létszáma 150, 175, 107, 101, illetve 92 fő. Átlagosan hány forint jut egyegy dolgozóra?

Megoldás Első módszer 150 + 175 + 107 + 101 + 92 = 625, tehát az egy főre 27 000 000 = 43 200 forint. jutó összeg 625

1 0 . l e c ke

SEGÍT A SZÁMOLÓGÉP

Harmadik módszer Használjuk a „reciprok” billentyűt (egyes gépeken a megfe1 lelő billentyű felirata , más gépeknél x – 1)! x (150 + 175 + 107 + 101 + 92) : 27 000 000 = x – 1 =

F E L A DAT

Zsebszámológéppel számítsd ki! 25 a) 25 : 16 + 4 = c) = 16 + 4 25 b) 25 : (16 + 4) = d) +4= 16

Mutasd meg számológéppel, hogy a) (43,8 + 9,6) 2 ≠ 43,8 2 + 9,6 2; b) (43,8 + 9,6) 2 = 43,8 2 + 9,6 2 + 2 . 43,8 . 9,6;

c) (5,6 – 10,9) 2 ≠ 5,6 2 – 10,9 2; d) (5,6 – 10,9) 2 = 5,6 2 + 10,9 2 – 2 . 5,6 . 10,9; 5 5 5 e) ≠ + ; 10,4 + 5,6 10,4 5,6 10,4 + 5,6 10,4 5,6 f) = + ; 5 5 5 g) (3,8 + 6,2) 3 ≠ 3,8 3 + 6,2 3; h) (3,8 + 6,2) 3 = = 3,8 3 + 6,23 3 + 3 . 3,8 . 6,2 . (3,8 + 6,2)!

P É L DA Négyzetgyök

Mekkora az 1024 m2 területű négyzet oldala?

Megoldás A négyzet oldala 1024 méter. A legtöbb számológépen szerepel a négyzetgyök kiszámítására szolgáló gomb. Az egyes gépek különbözhetnek abban, hogy mikor kell megnyomni a billentyűt. Az egyszerűbb, többnyire egysoros kijelzővel ellátott gépeken így kell beírni:

1024 , a kijelzőn megjelenik a 32. A négyzet oldala tehát 32 m. A többsoros kijelzővel rendelkező gépeken először a billentyűt kell megnyomni, azután begépelni az 1024-et. Egyes gépeken a négyzetgyök alatti számot zárójelbe is kell tenni.

Mekkora a lengésideje a 70 cm hosszú fonálon függő l kicsiny nehezéknek, ha a lengésidőt a T = 2 ⋅ π ⋅ g képlet alapján másodpercben kapjuk? A képletben l a fonál hosszát jelöli méterben mérve, g ≈ 9,81. Adjuk meg a lengésidőt tized másodpercre kerekítve!

Megoldás A tudományos zsebszámológépeken szerepel egy π jelű gomb, amelyet megnyomva a π-nek sok tizedesjegyre kerekített értéke (esetleg maga a π szimbólum) jelenik meg, tehát nem kell bebillentyűzni a π-nek 3 vagy több jegyre kerekített értékét. A négyzetgyökjel alatt szereplő törtet tegyük zárójelbe, vagy előbb számítsuk ki a tört értékét, és a kapott számnak vegyük a négyzetgyökét: az első esetben így számolhatunk: 2.π. (0,7 : 9,81) = , 0,7 míg a második esetben így: = .2.π. = . 9,81 A kijelzőn 1,678395802… jelenik meg. A lengésidő tized másodpercre kerekített értéke 1,7 másodperc.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek a területe a) 7056 cm2; b) ugyanakkora, mint annak a téglalapnak, amelynek szomszédos oldalai 48 m és 75 m hosszúak?

Mekkora annak az ingának a lengésideje, amelynek hossza a) 0,5 m; b) 1 m; c) 2 m; d) 4 m?

Mutasd meg a számológéped segítségével, hogy

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki zsebszámológéppel! a) 5 4 : (2 7 : 5 3) . 214 c) 2 5 + 3 5 + 4 5 b)

1 0,0054

282 + 452

Egy vállalkozó négyzet alapú gúla alakú, tömör fém dísztárgyakat gyárt. Egy kis gúla alapéle 3,6 cm, magassága pedig 2,7 cm. Legalább hány cm3 anyagot kell beszereznie 1500 db gúla elkészítéséhez? (Használd a lecke bevezetőjében megadott képletet!)

27 ⋅ 75 =

27 = 75

27 ; 75

165 =

( 16 ) ;

122 + 882 ≠ 12 + 88;

27 ⋅ 75;

1 1 1 ≠ + ! 27 + 73 27 63

RÁADÁS Adattárolás 60 évvel ezelőtt…

ENIAC

Mágnesszalagok

Neumann János

Az IBM feltalálta a mágnesszalagos tárolást, amely új korszakot nyitott az információfeldolgozásban. A vállalat 1952 májusában mutatta be a Model 726 szalagos meghajtót, amelyre összesen 1,4 megabájt adat fért rá. A szalag egy 30 centiméteres átmérőjű (!) filmorsóra volt felcsévélve.

1 0 . l e c ke

SEGÍT A SZÁMOLÓGÉP

ARÁNYOSSÁG

BEVEZETŐ A villanyóra felirata szerint 1 kilowattóra elektromos energia elfogyasztása esetén a mérőóra korongja 600-szor fordul körbe.

a) Hányszor fordul körbe a korong egy hónap alatt, ha a villanyszámla szerint 192 kWh (kilowattóra) volt az elektromosenergia-fogyasztás? b) Mekkora elektromosenergia-fogyasztás tartozik a korong 1,5 millió fordulatához? Megoldás a) 192-szer annyi energia elfogyasztásához 192-szer annyi fordulat tartozik, tehát 192 ∙ 600 = 115 200 fordulat. 1 500 000 = 2500-szorosa a 600 b) Az 1,5 millió fordulat 600 fordulatnak. Ezért 2500-szor annyi energiafogyasztás tartozik hozzá, mint a 600 fordulathoz, azaz 2500 kWh.

F E L A DAT

A bevezető fogyasztásmérőjén leolvasható az óra beszerelése óta elfogyasztott energia. A fehér számjegyek mutatják az egész kilowattórákat, az óra jobb felső sarkában látható kis korongon olvashatók le a tized és század kilowattóra számjegyei. a) Hány kWh fogyasztást mért eddig az óra? b) Hányszor fordult körbe a mérőóra korongja a mérőóra beszerelése óta?

Egyik energiatakarékos izzónk naponta átlagosan 4,5 órán keresztül működik, eközben 36 Wh (wattóra) energiát fogyaszt. a) Ha csak ez az egy izzó működik, akkor hányat fordul a mérőóra korongja a 4,5 óra alatt? b) Mennyi az izzó fogyasztása 24 órai működés során?

ELMÉLET Egyenes arányosság Akkor mondjuk, hogy két mennyiség egyenesen arányos, ha teljesül, hogy ahányszorosára változik az egyik mennyiség, ugyanannyiszorosára változik a másik. Egyenesen arányos mennyiségeknél az egymáshoz tartozó számok hányadosa (aránya) egyenlő. Például a bevezetőben a fordulatok száma egyenesen arányos a fogyasztott energiával. Itt, ha a fogyasztott energiát kWhfordulatok száma = 600. ban mérjük, akkor: fogyasztott energia

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

P É L DA

Egy újságcikkből vett idézet: „…az úgynevezett előfizetéses, vagy más néven mágneskártyás gázóra. Ennek az a lényege, hogy a fogyasztó előre kifizetne egy bizonyos összeget, amelyet egy mágneskártyán írna jóvá a szolgáltató. Amikor elfogy a kártyán lévő összeg, akkor megszűnik a szolgáltatás. Éppúgy, mint a kártyás telefonok esetében…” Ha a gáz köbmétere 200 tallér, akkor a „gázkártya” 140 köbméter gáz felhasználását engedi meg. Hány köbméter gázt használhatnánk fel ugyanezzel a kártyával 250 talléros köbméterenkénti ár mellett?

Megoldás A gázkártya értéke az elfogyasztható gázmennyiség és a gáz egységárának szorzata (28 000 tallér). Ez a feladat szövege szerint nem változott meg, 250 140 ezért ha a gáz ára = 112 köb= 1,25-szorosára nőtt, akkor csak 200 1,25 méter gázt tudunk felhasználni.

F E L A DAT

Egy család költségvetésében mindig ugyanakkora összeg szerepel a havi benzinköltség mellett. A benzin literje eddig 30 tallér volt, így 135 litert tudtak egy hónapban megvenni. Árváltozás miatt a benzin ára a) 27; b) 33 tallér lett. Hány liter benzint vehet a család a havi benzinpénzből az árváltozás után?

Ha a tervezett üdülés napi költsége 7500 forint, akkor a félretett pénzünkből hat napig pihenhetünk. Hány napos üdülésre elegendő ugyanennyi pénz, ha a napi költség 11 250 forint?

ELMÉLET Fordított arányosság Akkor mondjuk, hogy két mennyiség fordítottan arányos, ha teljesül, hogy ahányszorosára nő az egyik mennyiség, annyiad részére csökken a másik; ahányad részére csökken az egyik, annyiszorosára nő a másik. Fordítottan arányos mennyiségeknél az egymáshoz tartozó számok szorzata egyenlő. A példában a gáz egységára és az elfogyasztható gáz mennyisége fordítottan arányos a „gázkártya” állandó értéke esetén. Itt az egymáshoz tartozó számok szorzata 28 000 (tallér).

1 1 . l e c ke

A R Á N YO S S Á G

P É L DA Arányos osztás

Arany úr két nagyobb gyerekével a nagyszülőkhöz utazott, hogy segítsenek a veteményeskert talajmunkáiban. A kert egy kisebb részét Ilka mama és Vili papa már felásta. A megmaradt 150 négyszögöl területet Apa, Hajni és Bence felosztotta egymás között. Úgy tervezték, hogy mindhárman ugyanannyi ideig dolgozzanak. Fél óra alatt Bence másfélszer akkora résszel végez, mint Hajni, Apa pedig akkora területet ás fel, mint a két gyerek együttvéve. Kire hány négyszögölnyi terület jutott?

Megoldás A fél óra alatt felásott területek:

Hajni: 2 rész

Bence: 3 rész

Apa: 5 rész

Aranyéknak a 150 négyszögölet kellett felosztaniuk 2 : 3 : 5 arányban: 2 + 3 + 5 = 10, ezért a 150 négyszögölet 10 egyenlő részre osztották, 2 részt kapott Hajni, 3 részt Bence, 5 részt Apa. 150 : 10 = 15, ezért

Hajni része: Bence része: Apa része:

2 ∙ 15 négyszögöl = 30 négyszögöl, 3 ∙ 15 négyszögöl = 45 négyszögöl, 5 ∙ 15 négyszögöl = 75 négyszögöl.

ELMÉLET Arányos osztás Ha egy A mennyiséget adott arányok szerint kell több személy között szétosztanunk, akkor az A mennyiséget elosztjuk az arányszámok összegével, így megkapunk egy részt; mindegyik személy annyi részt kap, amennyit az ő arányszáma mutat. Például a 2 : 3 : 5 esetben az arányszámok összege 2 + 3 + 5 = 10.

F E L A DAT

H Á Z I F E L A DAT

Az elkészült nyerstészta tömege 1,8 kg. A liszt, a zsiradék, valamint az egyéb adalékanyagok tömegének aránya 6 : 2 : 1. Mennyi lisztet, zsiradékot és egyéb összetevőt tartalmaz a tészta?

Olvasd le a vízóráról, hány m3 víz folyt át rajta a bekötése óta! Mekkora „pontossággal” lehet leolvasni a fogyasztott víz menynyiségét ? Mennyibe kerül ennyi víz, ha egy köbméter ára 120 tallér?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

A vízórán átfolyik 600 liter víz. Hány fordulatot tesznek meg a piros színű mutatók ezalatt? (A 4 piros mutató rendre 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 m3 víz átfolyása esetén mozdul el egy egységnyit, az előző feladat ábráján látható vízórán eddig 1 055 099,5 dl víz folyt át. A leolvasás pontatlansága miatt az utolsó számjegy kerekítettnek tekintendő.) Mi a véleményed erről az okoskodásról? Ha a benzin ára 20%-kal csökkenne, akkor 20%-kal több benzint vehetnénk, mint eddig, persze ugyanannyi pénzért.

Egy család havi nettó bevétele 276 ezer forint. Az étkezésre, lakhatási költségekre, számlákra, valamint egyéb kiadásokra fordítható összegek aránya rendre 10 : 4 : 3 : 6. Hány forintot lehet költeni az egyes kiadási tételekre?

Van-e egyenes vagy fordított arányosság a következő esetekben az egyes mennyiségek között: a) a lakásban lévő izzók (villanykörték) száma és a havi villanyszámla összege; b) a piac egyik árusától vásárolt krumpli tömege és az érte fizetett pénz; c) az internetezésre fordított idő és a megszerzett tudás?

Egyenes arányosság van-e a) a négyzet oldalhossza és átlóinak hossza között; b) a négyzet oldalhossza és kerülete között; c) a négyzet oldalhossza és területe között; d) a négyzet kerülete és területe között; e) a kör sugara és kerülete között; f) a sokszög oldalainak és átlóinak száma között; g) az ember életkora és testmagassága között?

km átlagsebességgel tervezzük az utunkat h a nyaralás helyszínére, akkor 12 órát kell autózHa 75

nunk. Mennyi ideig tartana az utazás, ha sikerülne km 90 átlagsebességgel megtenni az utat? h

b) amely darabjának ára csak háromnegyede az X típusú darab árának?

Energiatakarékos izzókat szeretnénk vásárolni. Többféle is van a kiválasztott teljesítményűek között. Az X típusból 9 darabot vehetünk a vásárlásra szánt összegből. Hány darabot vehetünk ugyanekkora összegért abból a típusból, a) amelynek darabja 1,5-szer annyiba kerül, mint az X típusú;

RÁADÁS Két szám hányadosát más szóval a két szám arányának is mondjuk.

Az = jel melletti számok a belső tagok, a másik kettő a két külső tag.

Például a 30 és a 45 aránya e két szám hányadosa: 30 : 45, vagy tört30 2 ben felírva: = . 45 3 Itt a törtet 15-tel egyszerűsítettük. Azt látjuk, hogy a 30

Például a 30 : 45 = 2 : 3 egy aránypár. Így olvassuk: a 30 úgy aránylik a 45-höz, mint a 2 a 3-hoz. Itt a 45 és a 2 a belső tagok, a 30 és a 3 a külső tagok.

és a 45 aránya ugyanannyi, mint a 2 és a 3 aránya, vagyis 30 : 45 = 2 : 3.

Az aránypárban a két belső tag szorzata ugyanannyi, mint a két külső tag szorzata.

Ha két egyenlő arányt az = jellel kötünk össze, aránypárt kapunk.

1 1 . l e c ke

A R Á N YO S S Á G

Például a 30 : 45 = 2 : 3 aránypár esetében a két belső tag szorzata: 45 ∙ 2 = 90, a két külső tag szorzata: 30 ∙ 3 = 90.

ARÁNYOSSÁGOK A KERÉKPÁR KÖRÜL

BEVEZETŐ Ma már szinte minden kerékpáron „szériatartozék” a sebességváltó. De hogyan is működik valójában, és hány „sebességes” egy átlagos bicikli? A kerékpár haladási sebessége adott méretű keréknél attól függ, hogy hányat fordul a kereke 1 másodperc alatt. Ha nem csúsznak a kerekek, akkor az első kerék ugyanannyit fordul, mint a hátsó. só. A hátsó kerék pedig annyit fordul, ahányat az a hátsó fogask fogaskerék, amelyen a biciklilánc fut éppen. A hátsó fogaskerék fogaske fordulatszáma pedig attól függ, hogy hány fog van az a első (hajtó) és hány a hátsó (hajtott) fogaskeréken. Ha például példá a lánc olyan első fogaskeréken fut, amelynek 24 foga van, akkor a fogaskerék egy körülfordítása alatt a lánc 24 szemet halad. Ha ez a lánc egy 24 fogú hátsó fogaskeréken fut, akkor a 24 láncszem azon is pontosan egyet fordít.

P É L DA 27"-os (27 colos; 1 col kb. 2,54 cm) kerekű kerékpáron ülve másodpercenként 1 teljes fordulatot tekerünk a pedállal, azaz az első fogaskerék másodpercenként egy teljes fordulatot végez. A lánc a 24 fogú első és az ugyancsak 24 fogú hátsó fogaskeréken fut. Mekkora sebességgel haladunk? Megoldás Mivel a két fogaskerék egyforma nagy, a pedál egy körülfordítása alatt a hátsó kerék is egyet fordul. Így a kerékpár 1 másodperc alatt akkora utat tesz meg, amekkora a 27" átmérőjű kerék kerülete, azaz 27" ∙ π ≈ 215 cm-t. A kerékpár sebessége tehát m km km 2,15 = 2,15 ⋅ 3,6 ≈ 7,7 . s h h A kerékpár sebessége attól függ, hányat fordul a hátsó fogaskereke másodpercenként. Hogyan lehetne növelni a bicikli sebességét, miközben a pedálozás tempója állandó marad?

Első módszer Szereljünk előre nagyobb fogaskereket! Ha pl. a hajtó fogaskeréknek nem 24, hanem 48 foga volna, akkor egy fordulatra 48 szemet hajtana a láncon, ez viszont a 24 fogú hátsó kereket pont kétszer fordítaná meg ugyanannyi idő alatt. Első (hajtó) fogaskerék fogszáma

24 fogú hátsó fogaskerék fordulatainak száma egy „pedáltekerés” alatt

24 48

1 2 1 2

12 36

3 2

A táblázatban az összetartozó értékpárok hányadosa állan24 48 12 36 dó: = = = = … = 24. 1 3 2 1 2 2 Ha a hátsó fogaskerék fogainak száma változatlan, akkor a bicikli sebessége egyenesen arányos az első (hajtó) fogaskerék fogainak számával!

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Második módszer Ugyanezt a hatást úgy is elérhetjük, ha hátulra kisebb fogaskereket szerelünk. Ha pl. az első fogaskerék fogainak száma 24, a hátsóé viszont csak 12, akkor az első kerék egy fordulata (24 láncszem) a hátsón kettőt fordítana. Ebben a táblázatban az összetartozó értékpárok szorzata állandó: 3 24 ⋅ 1 = 12 ⋅ 2 = 8 ⋅ 3 = 16 ⋅ = … = 24. 2

Hátsó fogaskerék fogszáma

Hátsó fogaskerék fordulatainak száma a 24 fogú első fogaskerék egyszeri körülfordítása alatt

24 12 8

1 2 3 3 2

Ha az első fogaskerék fogainak száma változatlan, akkor a bicikli sebessége fordítottan arányos a hátsó (hajtott) fogaskerék fogainak számával! Mindkét módszerrel ugyanarra az eredményre jutunk: az első fogaskerék egyszeri körülfordítása alatt a hátsó fogaskerék annyit fordul, ahányszor annyi foga van az első fogaskeréknek, mint a hátsónak, vagyis amíg egyet tekerünk a pedállal, addig első fogaskerék fogainak száma . a hátsó biciklikerék fordulatainak száma = hátsó fogaskerék fogainak száma Látható, hogy a fogaskerekek fogszámának változtatásával tudjuk változtatni a bicikli hátsó kerekének fordulatszámát – és így végső soron a kerékpár sebességét.

F E L A DAT

27"-os kerekű kerékpáron ülve 1 másodpercenként 1 teljes fordulatot tekerünk a pedállal. A lánc a 48 fogú első és a 14 fogú hátsó fogaskeréken fut. Mekkora sebességgel haladunk? (1" ≈ 2,54 cm)

Az egyik legelterjedtebb sebességváltórendszer esetében a pedállal hajtott ten3,43 gelyen három fogaskerék van (fogszá3,00 muk 28-38-48), a hátsó tengelyen pedig 2,67 48 hat (fogszámuk 14-16-18-21-24-28). Az 2,29 ilyen bicikliket általában „18-sebességes2,00 1,71 ként” reklámozzák, de vajon tényleg eny2,71 nyi különböző sebességfokozatuk van? 2,38 Számítsuk ki a hátsó tengely fordulatainak számát egy pedáltekerés alatt 2,11 38 (mialatt az első fogaskerék egyet fordul) az összes lehetséges esetben, és 1,81 1,58 foglaljuk táblázatba ezeket az értékeket! 1,36 A táblázatban pirossal jelölt kapcsolásokat nem javasolt használni, ezek2,00 ben az esetekben ugyanis a lánc „keresztben” fut a szélső fogaskerékpárok 1,75 között. 1,56 28 Az összekapcsolt értékek elég közel vannak egymáshoz (különösen a sárga 1,33 1,17 vonallal összekötöttek), így a táblázat alapján megállapítható, hogy valójá1,00 ban csak kb. 10 lényegesen különböző sebességfokozat van. Azt a – gyakorlatból jól ismert – tényt is megerősíti a táblázat, hogy átlagos biciklizéshez nagyjából elég a három első fogaskerék közül a középsőt használni. A legkisebb fogszámú első fogaskerékre (lassú fokozatra) „leváltani” csak a hátsó fogaskoszorú két legnagyobb fogszámú fogaskerekének használatához van értelme (pl. hegyre feljutáshoz). A legnagyobb fogszámú első fogaskerékre (gyors fokozatra) „felváltásnak” csak a hátsó fogaskoszorú két legkisebb fogszámú fogaskerekének használatához van értelme (pl. sík országúti kerékpározáshoz). Fogak száma elöl

1 2 . l e c ke

Fogak száma hátul 14 16 18 21 24 28 14 16 18 21 24 28 14 16 18 21 24 28

Fordulatszám

A R Á N YO S S Á G O K A K E R É K P Á R K Ö R Ü L

FELADAT (párm u n k a )

Van-e egyenes vagy fordított arányosság (és ha van, milyen) a következő mennyiségek között? a) A biciklikerék fordulatszáma – a bicikli által adott idő alatt megtett út. b) A biciklikerék fordulatszáma – a kerék sugara. c) A bicikli sebessége – a bicikli által adott idő alatt megtett út. d) A biciklikerék sugara – a bicikli sebessége (adott fordulatszám mellett). e) A sebességfokozatok száma – adott típusú bicikli ára.

A biciklik sebessége a kerekek fordulatszámán kívül a kerékátmérőtől is függ (logikus: nagyobb kerék egy-egy fordulattal többet halad előre). Hányszorosára nő az egy fordulattal megtett út hossza, ha a kerékátmérőt 1,2-szeresére növeljük?

24"-os (24 colos – 1 col kb. 2,54 cm) kerékátmérőjű biciklinkről áttettük a sebességmérőt egy 27"-os kerekű gépre. Meglepődve tapasztaljuk, hogy – km habár a műszer végig 20 -s sebességet jelzett, h mégis – több mint 20 km-t tettünk meg egy óra alatt. Mennyivel többet? (Pontosan emiatt kell a sebességmérőket mindig az adott kerékpárhoz beállítani.)

Létezik 30-42-52 fogszámú első lánckerék is. Az első fogaskerék 1-et fordul. Másold be a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki a hiányzó mezőit a füzetedben! (A „keresztbe váltás”-nak megfelelő esetek nem szerepelnek a táblázatban.)

A házunktól az iskoláig általában 30 percig tart az út biciklin. Ma azonban késve indultunk, 20 perc alatt oda kell érnünk. A megszokottnál hányszor nagyobb sebességgel kell bicikliznünk?

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki, hányat fordul a hátsó kerék egy perc alatt az alábbi esetekben! a) Az első fogaskerék fogainak száma 48, a hátsóé 21, és az első fogaskerék másodpercenként 1-et fordul. b) Az első fogaskerék fogainak száma 48, a hátsóé 21, és az első fogaskerék másodpercenként 1,5et fordul. c) Az első fogaskerék fogainak száma 38, a hátsóé 28, és az első fogaskerék másodpercenként 2-t fordul.

Első fogaskerék fogszáma

Mekkora a 20"-os, a 26"-os és a 28"-os kerék kerülete? (1" ≈ 2,54 cm) Mekkora sebességgel halad a 20"-os, a 26"-os, illetve a 28"-os kerékpár, ha mindegyik kerék kettőt fordul másodpercenként? Igaz-e, hogy a sebességük aránya 10 : 13 : 14?

Hátsó fogaskerék fordulatainak száma

3,71

3,25

14 18

Hátsó fogaskerék fogszáma

21 42

2,89

16 2,48

18 24

2,17

2,00

1,50

1,07

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

RÁADÁS A π szám története A π szám története, vagyis a kör kerületének és átmérőjének arányára vonatkozó számítás több ezer éves múltra tekint vissza. – Már az egyik legrégebbi matematikai iratban, az egyiptomi Rhind-papiruszban is szó esik róla egy henger térfogatának 2 16 kiszámítása kapcsán. Eszerint kb. 3600 évvel ezelőtt az egyiptomiak a π-t (mai írásmóddal) -ként adták meg. Ez kö9 zelítőleg 3,16, ami a ma ismert értéktől 0,02-nál kevesebbel tért el. 1 10 – Kr. e. 240 táján Arkhimédész a szabályos sokszögek és a kör vizsgálata során a 3 > π > 3 becslést állította fel. Ez 7 71 a becslés már két tizedesjegy „pontosságú”, azaz az első két tizedesjegy megegyezik π első két tizedesjegyével. 355 – A Kr. u. V. században élt kínai matematikusok a π értékét -ban határozták meg. Ez tizedes tört alakban 3,14159292…, ami 113 első 6 tizedesjegyében megegyezik a ma ismert értékkel. – 1579-ben François Viète francia matematikus Arkhimédész módszerét felhasználva 393 216-oldalú szabályos sokszöggel közelítette a kört, ezzel a π értékét 9 tizedesjegy pontossággal adta meg. (1593-ban egy akkoriban újnak számító módszerrel, ún. végtelen sorokkal is próbálta közelíteni a π-t.) – 1610-ben Ludolph van Ceulen (Lüdolf fan Kölen) olyan szabályos sokszöget használt a közelítéshez, melynek 262 oldala volt, ezzel a π első 35 tizedesjegyét pontosan ki tudta számítani. Felfedezésére annyira büszke volt, hogy ezt a számot vésette a síremlékére. Tiszteletére a π-t „Ludolph-féle szám”-ként is emlegetik. – A XVII. században a matematika a differenciál- és integrálszámítással új fordulatot vett. Az új módszerekkel John Machin angol matematikus 1706-ban már a π első 100 tizedesjegyét is megadta. – 1761-ben Johann Heinrich Lambert bebizonyította, hogy a π irracionális, vagyis tizedes tört alakja végtelen és nem ismétlődő. 1885-ben Ferdinand Lindemann kimutatta, hogy a π transzcendens szám (ezért körzővel és vonalzóval nem szerkeszthető π hosszúságú szakasz, véget vetve ezzel a kör négyszögesítésével kapcsolatos két évezredes vitának). – 1873-ban, 15 év munka után, William Shanks 707 jegy pontossággal közölte π értékét, ámbár később kiderült, hogy csak az első 527 jegy volt helyes. – 1947-ben Neumann János a π kiszámítását javasolta a világ első számítógépe, az ENIAC tesztelése céljából. A gép 70 óra munkával 2037 tizedesjegyet számított ki. – A számítógépek fejlődésével a π ismert tizedesjegyeinek száma is rohamosan nőtt: 1961-ben 100 000, 1973-ban 1 000 000 jegyet ismertünk. 2002-ben Jaszumasza Kanada professzor szuperszámítógépek segítségével 1 241 100 000 000 tizedesjegy pontosságig adta meg a π értékét. π ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 0974944592307816406286208998628… A π jegyeinek memorizálására régóta használatosak az ún. „pí-versek”, melyekben az egyes szavak betűinek száma rendre a π soron következő számjegyeit adják. Magyar nyelven az egyik legismertebb „pí-vers” Szász Páltól (1901–1978, matematikaprofesszor) származik. Nem

régi

durva

közelítés

szótól

szóig

így

kijön

betűiket

számlálva.

Ludolph

eredménye

már,

itt

végezzük

húsz

jegyen.

rendre

kijő

még

tíz

pontosan

azt

bízvást

ígérhetem.

1 2 . l e c ke

A R Á N YO S S Á G O K A K E R É K P Á R K Ö R Ü L

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

BEVEZETŐ A százalékszámítás nagyon régóta az egyik legfontosabb „hétköznapi matematikai tevékenység”. Ennek bemutatására ebben a leckében jórészt olyan feladatok szerepelnek, amelyek az 1920-as évek hangulatát idézik fel. Bár a nyelvezet és a pénznem kissé idegen, a problémák szinte ugyanazok, mint napjainkban.

P É L DA

Egy bádogos ajánlatot nyújt be egy hirdetett munkára. Bánatpénzül 8,5%-ot kell az ajánlathoz mellékelnie. Mennyi ez a bánatpénz, ha a vállalt összeg 3130 pengő?

Megoldás A 3130 pengő 1%-a (egy századrésze) 31,3 pengő, ezért a 3130 pengő 8,5%-a a 31,3-nek a 8,5-szerese: 31,3 ∙ 8,5 = 266,05 pengő. A bádogosnak tehát 266,05 pengő bánatpénzt kellett az ajánlatához mellékelnie.

ELMÉLET A 129-nek az 1%-a: 129 : 100 = 1,29.

Egy számnak az 1%-a az egy századrészét jelenti.

Ha egy A számnak keressük a p%-át, akkor az A-t alapnak, a p-t százaléklábnak, az eredményt (s) százalékértéknek nevezzük.

P É L DA

Egy ipari vállalat, mely 24 600 pengő befektetéssel dolgozik, az üzleti év végén 4182 pengő nyereséget mutat ki. Hány százalék ez a nyereség?

Megoldás Az 1%-os nyereség 24 600 : 100 = 246 pengő lenne. Azt kell tehát megállapítanunk, hogy a 4182 pengő hányszorosa a 246 pengőnek. 4182 : 246 = 17, tehát a vállalat 17%-os nyereséget ért el.

Az 5%-ra kihelyezett tőke 1 év alatt 160 pengő kamatot hoz. Mekkora ez a kihelyezett tőke?

Megoldás (A használatba adott pénzt tőkének nevezzük, a használatért járó díjat pedig kamatnak. A pénz használatáért járó díj megadásakor a százalékláb helyett a kamatláb kifejezés is gyakori.) A kihelyezett tőke 5%-a 160 pengő, ezért a tőke 1%-a 160 = 32 pengő. A kihelyezett tőke ennek a 100-szorosa, 5 azaz 3200 pengő.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT

Mennyi kamatot kell fizetnünk, ha 18 ezer forintot kértünk kölcsön egy évre, és a kamat évi a) 12%; c) 8%; b) 10%; d) 6,5%?

Kölcsönkértünk egy évre 25 ezer forintot. Mennyi a kamatláb, ha az év végén a) 2250; c) 2750; b) 1625; d) 1250 forint kamatot kell fizetnünk?

Mekkora összeget kértünk kölcsön, ha a) a kamatláb 12, és egy évre 3600 forint a kamat; b) a kamatláb 8,5, és egy évre 11 900 forint a kamat; c) a kamatláb 12, és fél évre 2160 forint a kamat; d) a kamatláb 9,5, és fél évre 4750 forint a kamat?

volt volt volt volt

H Á Z I F E L A DAT

Egy alkusz (mai szóval: ingatlanközvetítő) 76 500 pengőért adott el egy birtokot, amiért 0,35% alkuszdíjat kapott. Mennyi ez a díj?

A cukorrépából 5% nyerscukrot nyernek. Mennyi cukorrépa szükséges 1 vagon (10 tonna) nyerscukor előállításához?

Egy kereskedő 250 pengőért vett áruját 300 pengőért adta el. Hány pengő és hány százalékos a nyeresége?

Mennyi volt a vételár, ha a 4% engedmény leszámítása után 816 pengőt fizettünk?

Egy malom elad 1 vagon (10 tonna) lisztet, tonnánként 512 pengőért. A bizományos (forgalmazó) a vételárból levon 28,5 pengő költséget, 0,1% alkuszdíjat és 0,75% jutalékot. Mennyi pénzt küld az eladónak?

Egy ács munkát vállalt 739,5 pengőért; úgy gondolja, hogy 12% haszna lesz a munkán. Mennyi haszonra számít? (A vállalt összeg tartalmazza a tervezett hasznot.)

A 6450 pengő értékű árut készpénzben fizettük ki, ezért csak 6256,50 pengőt kellett fizetnünk.. Hány % engedményt kaptunk az eredeti árból?

ÁTLAGOS TÁPÉRTÉK 1 almában (125 g)

RÁADÁS A százalékszámításnál használható képletek A ⋅ p. 100 s Százalékláb kiszámítása: p = ⋅ 100. A s Alap kiszámítása: A = ⋅ 100. p Százalékérték kiszámítása: s =

Fehérje Szénhidrát Zsír Elemi rost

%RDAX* 0g 0% 17 g 6% 0g 0% 3 g 12%

A-vitamin C-vitamin Vas

1% 10% 1%

* Napi ajánlott bevitel

1 3 . l e c ke

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

SZÁMOL A CSALÁD

F E L A DAT Péntek estére az Arany család több tagjának is akadt egy kis „számolnivalója”. Amikor a családtagok elkészülnek a saját számításaikkal, akkor összeülnek, mindenki elmondja a saját problémáját, majd megvitatják, hogy jól számoltak-e.

Osztályában Bence a tantárgyfelelős matematikából. a) A legutolsó matekdolgozat összpontszáma 80 pont volt. Jelest kapott, aki elérte az összpontszám 85%-át, négyest, aki elérte az összpontszám 70%-át, közepest, aki elérte az 55%-ot és elégségest, aki elérte a 40%-ot. Bence táblázatba foglalta, legalább hány pontot kellett elérni az egyes osztályzatokhoz. Készítsd el te is a füzetedbe a táblázatot! b) A dolgozatok között 5 jeles, 7 négyes, 8 közepes, 3 elégséges és 2 elégtelen volt. Bence kiszámolta, hogy az összes megírt dolgozat hány százaléka lett jeles, jó, közepes, elégséges, illetve elégtelen. Számításainak eredményét táblázatban rögzítette. Készítsd el te is a füzetedbe a táblázatot! c) Kiszámította a dolgozatok átlagosztályzatát is, majd megállapította, hogy a dolgozatokra kapott osztályzatoknak hány százaléka lett jobb az átlagosztályzatnál. Lehet-e ez 50%-nál kevesebb?

Aranyék családi vállalkozása új laptopot szeretne beszerezni, ezért Hajnit megbízzák, hogy keressen egy kedvező ajánlatot. Az interneten böngészve Hajni ezt találja: Eredeti ár: 136 890 Ft. Akciós ár: 126 890 Ft. a) Először kiszámította, hány százalékos engedménnyel árulják a gépet. b) A vállalkozás számára szükség van a laptop nettó árára is.

A 126 890 Ft-os bruttó ár a nettó árnak a 120%-a. Hány forint a nettó ár, és mennyi a nettó árra rakódó forgalmi adó (áfa)?

Apa az adóhivataltól olyan értesítést kapott, amelyben adategyeztetésre kérik fel. Arra gondol, talán elszámolt valamit a múlt évi adóbevallásában, ezért most újra kiszámítja, mennyi jövedelemadót kellett befizetnie. Megnézi az adóköteles éves jövedelmét, ez 3 003 402 Ft volt. 3 003 402

25.

Ezután elolvassa az adózási útmutatóban az adó kiszámításának szabályát. Adótábla Szja. tv. 30. § A 2007. évi jövedelmekre érvényes adókulcsok és adósávok Az adó mértéke

A jövedelem nagysága 0–1 700 000 Ft-ig

18%

1 700 001 Ft-tól 306 000 Ft és az 1 700 000 Ft-on felüli rész

36%-a

Példa a számított adó kiszámítására: Az adózó összevont adóalapja … Az adó kiszámítása: 1 700 000 Ft adója……… 260 000 Ft (1 960 000 – 1 700 000) 36 %-a 1 960 000 Ft adója………

1 960 000 Ft 306 000 Ft 93 600 Ft 399 600 Ft

a) Apa adóbevallásában 938 449 Ft szerepelt fizetendő adóként. Jól számolt-e? b) Apa egész évi (bruttó) jövedelmének hány százalékát teszi ki a személyi jövedelemadó?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Anya az egészséges étkezésre is gondot fordít, ezért figyeli az élelmiszerek zsírtartalmát. A család kedveli a sajtokat, az egyik kedvenc fajta a csomagoláson szereplő felirat szerint félkemény, 40%-os zsírtartalmú. Dédmama azon zsörtölődik, hogy ez nagyon sok, hiszen akkor 30 dekagramm sajtban 12 dekagramm zsír van. Anya elmagyarázza dédmamának, hogy a zsírtartalmat nem a sajt teljes tömegéhez, hanem csak a sajt szárazanyag-tartalmához viszonyítják. a) A szóban forgó sajt szárazanyag-tartalma 56% (a többi pedig víz). Hány dekagramm zsírt tartalmaz 30 dekagramm sajt?

b) Mennyi lenne a zsírtartalma a 30 dekás sajtdarabnak, ha a 18%-os, csökkentett zsírtartalmú light (ejtsd lájt, azaz „könnyű”) változatát vették volna meg? c) A hűtőben van 30 dekagramm friss sajt is, amelynek szárazanyag-tartalma 35% és zsírtartalma 25%. Hány gramm zsiradékot tartalmaz ez a sajt?

Vili papa egy bank akciós ajánlatát böngészi. A reklám szerint ez a bank az évi 6%-os betéti kamat helyett most érdekes, szokatlan kamatozású betéti lehetőséget kínál. Eszerint a betét első 100 000 forintja után évi 4%-os kamatot, a 100 000 forinton felüli részre pedig évi 8%-ot fizetnek. Az akciós betétek esetén azonban az év végén, a kamat jóváírása után, a kamattal megnövelt összeg 1%-át levonják kezelési költségként. a) Hány forint lenne Vili papa akciós betéti számláján egy év után, ha most 300 000 forintot helyezne el rajta? b) Hány százalék tényleges kamatot fog hozni ez a 300 000 forint egy év alatt (azaz hány százalékkal nőtt meg a 300 000 forint)?

Egy laptop vásárlásakor kapott számlának csak két sora maradt meg (az ábrán látható).

H Á Z I F E L A DAT

Az emberi testnek körülbelül 70%-a víz, a többi „szárazanyag”. Számítsd ki, mekkora tömegű vizet tartalmaz a tested! a) Mennyi víz van abban az agyvelőben, amelynek 1,5 kg a tömege? b) Keress adatokat arra, hány kilogramm vizet tartalmaz az átlagos méretű emberi máj! Fog Csont Porc Vörösvértest Máj Izomszövet

1 4 . l e c ke

10,0% 13,0% 55,0% 68,7% 71,5% 75,0%

SZÁMOL A CSALÁD

Tüdő Agy Epe Vérsavó Vér Nyirok

80,0% 80,5% 86,0% 90,0% 90,7% 94,0%

Áfa összesen:

23 183,00

Számla bruttó végösszege:

139 100,00

a) Mennyi volt a készülék nettó ára? b) A nettó ár hány százaléka az áfa? c) A bruttó ár hány százaléka az áfa?

Melyik sajtféle tartalmaz több zsiradékot? A 30 dkg tömegű, 40% szárazanyag-tartalmú, 45% zsírtartalmú (mozzarella) sajt, vagy az ugyancsak 30 dkg tömegű, 55% szárazanyag-tartalmú, 30% zsírtartalmú (edami) sajt?

A 30%-os árleszállítás után 10 500 forintba kerül egy kabát. Mennyi volt az ára az árleszállítás előtt?

SZÁZALÉK MINDENÜTT

BEVEZETŐ Százalékos megoszlás Magyarország népessége 1999-ben kereken 10 millió, a népesség megoszlása pedig a következő volt: 0–14 éves: 20%, 15–39 éves: 35%, 40–59 éves: 25%, 60 év fölötti: 20%. a) Ábrázoljuk a kor szerinti százalékos megoszlást diagramon! b) Hány fő tartozott az egyes korcsoportokhoz? Megoldás a)

0–14

Sávdiagram

15–39

40–59

Kördiagram

60 és fölötte

20%

40%

60%

80%

0–14

30 20

40–59

Oszlopdiagram

% 40

15–39

100%

életkor 0–14

15–39

40–59

60 és fölötte

(év)

b) Az egyes korcsoportok népessége rendre a következő: 2 millió, 3,5 millió, 2,5 millió és 2 millió. M Megfelelő táblázatkezelő programmal is megjeleníthetők az ábrákon látható diagramok.

F E L A DAT

a) Hány forint volt a gáz köbméterének ára az egyes áremelések előtt? b) Hány százalékkal kerül többe egy köbméter gáz az októberi áremelés után, mint a januári áremelés előtt?

Mennyi a mosógép nettó ára (azaz áfa nélküli ára)?

A receptrészlet a szárított sárgarépa készítéséről szól.

A közüzemi lakossági földgázárak átlagosan 6,55 százalékkal emelkednek október 1-jén. Az idén ez a negyedik gázáremelés. Legutóbb a közüzemi lakossági földgázárak átlagosan 9,9 százalékkal emelkedtek 2008. július 1-jén. Április elsejétől a lakosság számára 5,8 százalékkal emelkedett a földgáz végfogyasztói ára. Január elsejétől a lakossági földgázár 5 százalékkal nőtt.

2008-ban, januárban 5%-kal, áprilisban 5,8%-kal, júliusban 9,9%-kal, októberben 6,55%-kal drágult a lakossági földgáz. Október elsejétől az áremelés után 1 m3 gáz ára 131,3 forint lett.

A sárgarépát megtisztítjuk, lemossuk, s legfeljebb 3-4 milliméteres karikákra vagy hasonló nagyságú csíkokra, kockákra vágjuk. 10%-os sóoldatot forralunk, és a zöldségdarabokat 1-2 percre a 90 oC-os lébe mártjuk, majd azonnal lehűtjük hideg vízzel, s lecsorgatjuk. Rácson szétterítjük. 70-75 oC-on kezdjük a szárítást, 55-60 fokon fejezzük be. (Egy kg tisztított répából cca. 6 dkg szárított lesz.)

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

a) Hány gramm só kell 1,5 liter (≈ 1,5 kg) sóoldathoz? b) Hány százaléka a szárított répa tömege a felhasznált nyers répa tömegének?

Az 1999-es statisztikai adatok szerint Magyarországon az ipar szerkezeti megoszlása a következő volt: nehézipar 64%, könnyűipar 21% és élelmiszeripar 15%. Ábrázold oszlopdiagramon és kördiagramon az eloszlást!

H Á Z I F E L A DAT

Egy 15 000 Ft-os kabát árát először 10%-kal csökkentették, majd az új árból még 20%-os engedményt adtak. a) Mennyibe került a kabát az egyes árcsökkentések után? b) Hány forinttal lett olcsóbb a kabát az eredeti árhoz képest a második árleszállítás után? c) Hány százalékkal lett olcsóbb a kabát az eredeti árhoz képest a második árleszállítás után?

Hány gramm só és hány gramm víz kell 250 gramm 8%-os sóoldat elkészítéséhez?

Az iskola kosárlabdaedzéseire az idén 25%-kal több lány jár, mint tavaly. Az edző úgy döntött, hogy jövőre csak annyi lánnyal akar dolgozni, mint tavaly. Hány %-os csökkenés lesz ez az idei évhez képest?

Egy utazási iroda felemelte az árait 20%-kal. A forgalomcsökkenés miatt egy év múlva ismét az eredeti árakhoz tért vissza. Hány százalékot kellett engednie a felemelt árakból?

Egykonténernyi narancs bruttó tömege 3200 kg. Hány kg a narancs nettó tömege, ha a tára (a csomagolás tömege) a) a bruttó tömeg 20%-a, (bruttó tömeg = nettó tömeg + tára) b) a nettó tömeg 15%-a?

Egy vállalkozó megkapja az elvégzett munka díját és még 20% áfát. a) Mekkora összegről állít ki számlát a vállalkozó, ha az elvégzett munka díja 150 000 Ft? b) Mennyi az elvégzett munka díja, ha a kiállított számla 105 000 végösszegű?

RÁADÁS

Egy tévériporter a mellékelt diagramot mutatva a következőket mondta: „A diagram szerint a betörések száma óriásit nőtt 1999-ben 1998-hoz képest.”

Mit gondolsz, helyesen értelmezte a riporter a diagramot? Válaszodat indokold is meg!

1 5 . l e c ke

SZÁZALÉK MINDENÜTT

Betörések száma évenként

Betörések 520 515 510 505

KAMAT ÉS KAMATOS KAMAT

BEVEZETŐ A hétköznapok során az egyik leggyakoribb pénzügyi művelet a betét elhelyezése (befektetés), illetve a hitel (kölcsön) igénybevétele. Más pénzének használatáért használati díjat kell fizetni. Ha mi adjuk használatba másnak a pénzünket (például bankbetétben helyezzük el, vagy értékpapírt vásárolunk), akkor mi kapunk használati díjat. Ha mi használjuk más pénzét (hitelt veszünk igénybe, kölcsönt veszünk fel), akkor mi fizetünk használati díjat.

ELMÉLET A használatba adott pénzt tőkének nevezzük, a használatért járó díjat pedig kamatnak. A kamatot általában a tőke százalékában kifejezve adjuk meg. Ilyen feladatokban a százaléklábat kamatlábnak nevezzük.

P É L DA

Beteszünk a bankba 200 ezer forintot, évi 6%-os kamatra. Bármikor kivehetjük a pénzünket, a kamat arányos részét megkapjuk. Mennyi kamat jár a pénzünk után a) egy év múlva; b) két hónap múlva; c) öt hónap múlva; d) fél év múlva?

Megoldás a) A bank az egyéves pénzhasználatért 6% kamatot fizet, azaz 200 000 ∙ 0,06 = 12 000 forintot. b) Két hónap után az éves kamat hatodrésze jár, tehát a tőke 1%-a, ami 2000 forint. 5 c) Öt hónap után az éves kamat része jár, ami a tőke 12 2,5%-a, vagyis 5000 forint. d) Fél év után az éves kamat fele, 3% jár, vagyis 6000 forint.

Hitelre vásároltunk egy új hifitornyot. Három hónap múlva kell fizetnünk, mégpedig a kamattal együtt 84 800 forintot. Az igénybe vett hitel (a hifitorony vé-

telára, amit a bank fizet ki helyettünk az eladónak) éves kamata 24%. Mennyibe került volna a hifitorony, ha készpénzzel fizetünk? Áruvásárlási hitel igénylésekor (nagyon leegyszerűsítve) a következők történnek. – Szeretnénk megvenni valamit, de nincs rá pénzünk. Ezért egy pénzintézettől (pl. banktól) kérjük, hogy fizesse ki helyettünk az áru vételárát. – A pénzintézet kifizeti az eladónak a vételárat, ami gyakorlatilag azt jelenti, hogy kölcsönadott nekünk annyi pénzt, amennyibe az áru került. – Mi használjuk tehát más pénzét, ezért a vételárnál többet kell visszafizetnünk, mégpedig a kamattal megnövelt vételárat. A kamat nagyságát előzetes megállapodásban rögzíti a pénzintézet és a hitelt igénybe vevő (hitelszerződést kötnek).

Megoldás Ha az éves kamat 24%, akkor 3 hónapra ennek a negyedrésze, 6% jár. A kölcsönvett összeg 100%, a kamat 6%, ez összesen 106%. Az áru vételára tehát 84 800 : 1,06 = 80 000. Tehát a hifitorony készpénzes fizetés esetén 80 000 forintba került volna. Ennek az összegnek a háromhavi használatáért mi 4800 forint kamatot fizettünk.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT

Classic betétben szeretnénk elhelyezni 300 000 forintot. Mekkora összeg lesz a számlánkon a) b) c) d) e)

1 hónapos lekötés esetén, 1 hónap után; 2 hónapos lekötés esetén, 2 hónap után; 3 hónapos lekötés esetén, 3 hónap után; 6 hónapos lekötés esetén, 6 hónap után; 12 hónapos lekötés esetén, 12 hónap után,

ha a mellékelt táblázat szerint lehetséges lekötési idők közül választunk?

Könnyen lehet hitelhez jutni, csak egy kattintás az egyik online kölcsönigénylést kínáló cég honlapján, és már szinte a zsebünkben érezhetjük a kívánt összeget. Nem árt azonban óvatosnak lenni! A kölcsön futamideje 54 hét (azaz gyakorlatilag 1 év). Összesen mekkora összeget kellett fizetnünk a 200 000 forint használatáért, és ez hány százaléka a tőkének?

Gyors kölcsön Példa és igénylés Igényeljen kölcsönt most, gyorsan és egyszerűen, mindössze két lépésben:

Nem akciós lekötött betéti kamatok CLASSIC BETÉT Lekötési idő 1 hónap 2 hónap 3 hónap 6 hónap 12 hónap

1 millió forint alatti betét éves kamata 6,50% 6,75% 7,00% 7,00% 7,50%

1. Kattintson a Kölcsönigénylés gombra, és töltse ki igénylőlapunkat! 2. Munkatársunk felhívja Önt a megadott telefonszámon, és egyezteti Önnel a kölcsönfelvételi lehetőségeket.

Példák a kölcsönkonstrukcióra 1. Otthoni szolgáltatás igénybevétele esetén A kölcsön összege:

200 000 Ft

A kölcsön futamideje:

54 hét

Heti törlesztőrészlet:

6800 Ft

Online kölcsönigénylés Igényeljen kölcsönt most, gyorsan és egyszerűen, mindössze két lépésben!

P É L DA

Antal bácsi takarékkönyvben helyezett el 160 ezer forintot. Az éves kamat 7%. Azt reméli, hogy négy év múlva legalább 200 ezer forintot kap vissza. Teljesül-e a reménye?

Megoldás Egy év alatt 7%-kal nő Antal bácsi pénze. Ezért az első év végén a felnövekedett összeg az eredeti 160 000 forint 1,07-szorosa lesz: 160 000 ∙ 1,07 forint (171 200 Ft). A következő év elején a felnövekedett összeg lesz a tőke, amely 7%-kal nő az év végére. Foglaljuk táblázatba a négyéves folyamatot! Az első év végén 160 000 ∙ 1,07, a második év végén 160 000 ∙ 1,07 2, a harmadik év végén 160 000 ∙ 1,07 3, a negyedik év végén pedig 160 000 ∙ 1,07 4 forint lesz

1 6 . l e c ke

K A M AT É S K A M AT O S K A M AT

Antal bácsi takarékkönyvében. Tehát Antal bácsi pénze jól megszaporodott, több lett 200 ezer forintnál.

1. évben 2. évben 3. évben 4. évben

Tőke az év elején (Ft) 160 000 171 200 183 184 196 007

Kamattal megnövelt összeg az év végén (Ft) 160 000 ∙ 1,07 = 171 200 171 200 ∙ 1,07 = 183 184 183 184 ∙ 1,07 ≈ 196 007 196 007 ∙ 1,07 ≈ 209 727

A most bemutatott és megoldott feladatban több évig kamatozott a bankba tett pénz. Közben egyszer sem vették fel az éves kamatot, hanem azt minden év végén hozzátették az összeghez. Így a következő évben már a felnövekedett összeg kamatozott tovább. Ez kamatoskamat-számítási feladat volt.

ELMÉLET Általánosan:

p forintra nő. 100 Akkor is használhatjuk ezt a képletet, ha nem n évről, hanem n olyan negyedévről, hónapról vagy más időtartamról van szó, amelyben ugyanaz a kamatláb.

Az A forint kezdeti tőke p%-os kamat mellett n év alatt A ⋅ 1 +

A kamatoskamat-számítási feladatok közé soroljuk a gépek értékcsökkenésével kapcsolatos feladatokat is. Ekkor természetesen nem nő, hanem csökken az érték, az indulóösszeget mindig 1-nél kisebb számmal kell megszorozni.

P É L DA

Az új autók gyorsan veszítenek az értékükből, évente 20%-ot is elérhet a veszteség. Mennyit ér 3 évvel a vásárlás után a 3 500 000 forintért vett autó, ha értéke évente 16%-kal csökken az előző évi értékéhez képest?

Megoldás Az első év végén az új ár 84%-át éri az autó, azaz 3 500 000 ∙ 0,84 forintot. A második év végén ennek az összegnek a 84%-a, azaz 3 500 000 ∙ 0,842, a harmadik év végén pedig 3 500 000 ∙ 0,84 3 ≈ 2 074 000 forint lesz az autó értéke (ami az új autó árának mintegy 60%-a csupán).

ELMÉLET Általánosan: Egy A forint árú gép értéke évi p%-os értékcsökkenés esetén n év alatt A ⋅ 1 −

p 100

forintra csökken.

F E L A DAT

A használt autók értékcsökkenési folyamata lassúbb, mint az új autóké, általában 7–15% az éves csökkenés mértéke. A 3 éves, jelenleg 2 074 000 forint értékű autó évente 10%-ot veszít az értékéből.

a) Mennyi lesz az autó értéke 3 év múlva, 6 éves korában? b) A 3,5 millió forintos újkori értékének hány százalékát veszítette el az autó 6 év alatt?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

H Á Z I F E L A DAT

Egy erdő faállománya most 10 000 m3, évente 0,8%-kal nő. Hányszorosára nő a) 1 év; b) 2 év; c) 5 év; d) 10 év alatt?

Egy erdő faállománya 2 évvel ezelőtt 20 000 m3 volt. Most 20 483 m3. Mindkét évben ugyanannyi százalékkal nőtt a faállomány. Hány százalék volt ez a növekedés?

Egy gyár termelése évente 5%-kal nő. Hányszorosára nő a) 1 év; b) 2 év; c) 5 év; d) 10 év alatt?

Kölcsönkértünk egy évre 120 ezer forintot. Mennyi a kamat és mennyi a kamatláb, ha az év végén a kamattal együtt a) 130 200; c) 138 000; b) 132 000; d) 125 400 forintot kell fizetnünk?

Beteszünk a bankba 1 millió forintot, évi 7,2%-os kamattal, 3 hónapos folyamatos lekötéssel. Ez azt jelenti, hogy 3 havonta kiszámítják a kamatot, hozzáadják a pénzünkhöz, és ez a felnövekedett összeg kamatozik tovább újabb 3 hónapig, és így tovább. Mennyi pénzt kapunk, ha a) három hónap múlva; c) egy év múlva; b) fél év múlva; d) másfél év múlva vesszük ki a pénzünket?

Betesszük a bankba 250 ezer forintunkat 2 évre. Mi a jobb, ha 3 hónapos folyamatos lekötést választunk 7%-os kamattal, vagy ha 6 hónapos folyamatos lekötést választunk 7,4%-os kamattal? (A folyamatos lekötés fogalmáról az előző feladat szövegében olvashatsz.)

Egy új autó értéke 3 millió forint. Az értéke évente 14%-kal csökken. a) Mennyi lesz az értéke 2 év múlva? b) Mennyi lesz az értéke 4 év múlva?

RÁADÁS A bankok betét- és hitelhirdetéseiben gyakran láthatók az EBKM és THM rejtélyes rövidítések. A betűszavak az egységesített betéti kamatlábmutató, illetve a teljes hiteldíjmutató rövidítései; de valójában mi is rejlik mögöttük? Az EBKM-et a különböző futamidejű betétek összehasonlíthatóságának érdekében vezették be. Minden betétre – futamidőtől függetlenül – az éves kamatláb mértékét jelzi. Pl. ha egy három hónapra lekötött betét a futamidő alatt 2,5%-ot kamatozik, egy hat hónapos lekötés pedig 4%-ot, akkor hiába több a 4%, mint a 2,5%, egy év alatt négyszer három hónapra 4 · 2,5 = 10 százalékot fizetne az első betét, de két félévre csak 2 · 4 = 8 százalékot a második. A 10% és a 8% EBKM megadása viszont egyértelműen jelzi, hogy melyik választás a kedvezőbb. A fenti példából már látszik is az EBKM kiszámításának módja: a futamidő alatt elérhető kamatlábat meg kell szorozni anynyival, ahányszor a futamidő „belefér” egy évbe. A THM hasonló módon a hitelek összehasonlítását segíti. A hitel teljes költségét mutatja meg ugyancsak egy év időtartamra, beleértve a hitel kamatait és a kezelési költséget is. Ha például egy év alatt a felvett összeg kamata 17%, a kezelési költség pedig 3%, akkor a THM: 17% + 3% = 20%. Az EBKM-től eltérően azonban a THM számításakor nem egyszerű arányosságot használnak, hanem a kamatos kamat korábban már alkalmazott képletét. Ezért a THM kiszámítása – elsősorban az általában havi bontásban jelentkező költségek miatt – komoly matematikai feladat.

1 6 . l e c ke

K A M AT É S K A M AT O S K A M AT

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

Az osztály kirándulást tervez. Az úti cél lehet Keszthely vagy Tapolca, a közlekedési eszköz lehet vonat vagy kerékpár, a szállás kemping vagy kollégium. a) Hányféle terv készíthető, ha csak ezeket a szempontokat veszik figyelembe? Ábrázold gráf segítségével! b) Hogyan változik a lehetséges tervek száma, ha az első nap délutánjára városnézés vagy gyalogtúra vagy játékos vetélkedő jöhet szóba programként? c) A kirándulásra összegyűjtött pénzt egy számzáras páncélszekrényben őrzik. A kód 10 jegyű, csak az 5 és a 7 számjegy szerepel benne, mindkettő legalább egyszer. Hányféle lehet ez a kód? a) A(–1; –1), B(2; –1), C(2; 2), D(–1; 2). Jelölje K az ABCD négyzetlemez pontjainak halmazát. Színezd a halmaz pontjait kékkel! b) E(1; –2), F(4; –2), G(4; 1), H(1; 1). Jelölje L az EFGH négyzetlemez pontjainak halmazát. Színezd a halmaz pontjait zölddel! c) Mekkora területűek a következő ponthalmazok? L; K ∪ L; K ∩ L; K \ L. Bence többször is megmérte egy fémkocka élhosszát. A legkisebb mérési eredménye 4,95 cm, a legnagyobb pedig 5,02 cm volt. A kocka tömegét is többször megmérte, a legkisebb mérési eredménye 974 g, a legnagyobb pedig 976 g volt. kg a) Hány 3 volt a legkisebb, illetm ve legnagyobb érték, amelyet

c) Jelölje a kocka anyagának sűrűségét ρ. Egyenlőtlenséggel, illetve abszolút érték segítségével is add meg, milyen következtetést vonhat le Bence a mérési eredményei alapján a fémkocka kg -ben mért sűrűségére nézve! m3

a) Ábrázold számegyenesen a [–1; 2] zárt intervallumot! Add meg ennek az intervallumnak 3 negatív és 3 pozitív elemét! b) Színezd a derékszögű koordináta-rendszerben mindazokat a pontokat, amelyeknek első koordinátájára (x) igaz, hogy x ∈ [–1; 2]!

A kerékpár első fogaskerekeit kicseréltük, így az eddigi legnagyobb fogaskeréknek 52 foga lett a régi 48 helyett. A pedál egy fordulata alatt hány százalékkal fordul többet a hátsó kerék, ha a lánc az 52 fogú keréken fut (a régi 48 fogú helyett), és a hátsó fogaskerekek nem változtak?

Egyiptom területe 1 001 449 km2. A megművelt és a beépített terület együttesen 35 580 km2, a többi terület sivatag. a) A teljes területnek hány százaléka sivatag? b) Milyen eredményt kapunk, ha az adatokat a számítás előtt 1000 km2-ekre kerekítjük?

Bence a kocka anyagának sűrűségére kaphatott a mérései alapján? b) Mekkora a fémkocka felszíne?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Egy gazdaságban 250 állat van, az állatok 98%-a sertés. Eladják a sertések egy részét. Hány sertést adtak el, ha a megmaradt állatok 96%-a továbbra is sertés maradt?

Hány százalék az éves kamat annál a befektetésnél, ahol 4 hónap múlva 250 ezer forint helyett 257 ezer forintot kaptunk?

TUDÁSPRÓBA

A rendőrség egy 11 tagból álló bűnszövetkezet tagjai közötti kapcsolatokat vizsgálja (egy kapcsolatnak azt tekintik, ha két ember kölcsönösen ismeri egymást). a) Elméletileg hány kapcsolat lehetséges a banda tagjai között? b) Eddig 38 kapcsolatot sikerült feltérképezni. Hány százaléka ez az összes lehetséges kapcsolatnak? Bence megfigyelte, hogy amikor a piacon egy kg-ot kér a 250 Ft/kg-os gyümölcsből, a mérleg szinte soha nem pontosan 100 dkg-ot mutat. Többszöri vásárlás után úgy találta, hogy a mért érték maximum 4 dkgmal több vagy kevesebb, mint amit kért, fizetni viszont 1 kg-ért fizetett. Igaz ugyan, hogy az árusok sem tudtak mindig pontosan visszaadni, volt hogy 5 Ft-tal kevesebbet fizetett a kelleténél, de olyan is előfordult, hogy ő legyintett rá, amikor az eladó nem tudott 5 Ft-ot visszaadni. a) Figyelembe véve, hogy néha tehát kevesebb gyümölcsért többet fizetett, máskor meg több gyümölcsért kevesebbet, mi lehetett a legkisebb és a legnagyobb tényleges Ft/kg egységár (egész forintra kerekítve), amennyiért a gyümölcsöt vette? b) Abszolút értékben mekkora lehetett a legnagyobb eltérés az eredeti ártól? c) Százalékban kifejezve mekkora lehetett így a legnagyobb eltérés az eredeti ártól? a) Egy koordináta-rendszerben megadjuk a következő pontokat: A(–1; 4), B(3; 4), C(3; –3) és D(–1; 1). Ábrázold ezeket a pontokat, majd kösd össze őket ábécésorrendben! Színezd pirosra az ABCD négyszög határvonalát és belső pontjait! b) Színezd kékre a koordináta-rendszer azon pontjait, amelyek x koordinátájának abszolút értéke nem nagyobb 6-nál, és y koordinátájukra igaz, hogy 1 ≤ y ≤ 5!

17. l e c ke

GYA KO R L Á S ; T U D Á S P R Ó B A

c) Mekkora a két síkrész metszetének területe? d) Mekkora a két síkrész uniójának területe?

Bontsd fel a zárójeleket, majd csoportosítsd újra a műveleteket úgy, hogy fejben is könnyen kiszámítható legyen az eredmény! 2 a) 66 ⋅ : 11 3 b) 1,7 – (4,2 – 0,3) + 1,2

A képen egy benzinkút ún. „totemoszlop”-a látható, amely a kút árairól tájékoztat.

a) Hány százalékkal drágább a jobb minőségű, 98-es oktánszámú benzin az egyszerű 95-ösnél? b) Hányszor annyiba kerülne a 98-assal teletankolni az autónkat, mint ha 95-öst tankolnánk? c) Ugyanannyi pénzért hányszor annyi benzint vehetünk a 98-asból, mint a 95-ösből?

PITAGORASZ TÉTELE

BEVEZETŐ

Be lehet-e tolni egy 15-ször 20 cm-es, téglalap alakú levélrekeszbe összehajtás nélkül egy 25 cm széles borítékot?

A tévékészülékek képernyőméretét a képátló hoszszával szokták megadni. Figyelembe véve, hogy a hagyományos készülékek képernyőjének szélesség–magasság aránya 4 : 3, mekkora az a képernyő, amelyet 55 cm-esként hirdetnek?

Megoldás Nyilván a legnagyobb hely átlósan van, ezért így próbáljuk berakni a borítékot. A tapasztalat azt mutatja, hogy ez éppen sikerül. A 25 cm-es boríték még pontosan belefér a rekeszbe, de ha egy kicsit is szélesebb lenne, már meg kellene hajlítani.

Milyen összefüggés áll fenn az előző feladatbeli három szám között?

Megoldás 15 2 + 20 2 = 25 2. Ez az összefüggés áll fenn a 3 cm, 4 cm és 5 cm oldalú háromszögek oldalai között is.

Megoldás

5x =

4 3

Itt azt tudjuk, hogy sz = 4 x, m = 3 x, tehát ha ez így van, akkor a képátló 5 x = 55. Ezt a területek alapján felállított képlettel is ellenőrizhetjük: Ez a háromszög derékszögű. 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2. Az 5-12-13 számhármasra is igaz hasonló összefüggés. 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2. Ez az összefüggés minden derékszögű háromszög oldalai között fennáll: a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

(3 x) 2 + (4 x) 2 = 55 2 9 x 2 + 16 x 2 = 3025 25 x 2 = 3025 x 2 = 121 x = 11 x = 11, tehát a magasság 3 x = 3 ∙ 11 = 33 (cm), a szélesség 4 x = 4 ∙ 11 = 44 (cm).

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET Az előző feladatok megoldása során Pitagorasz tételét (és annak megfordítását) használtuk. Ez a sok ezer éves matematikának a leghíresebb tétele. Mit is mond ki? Szóban A derékszögű háromszög két befogójának négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

γ = 90°

c a

⇓ g

a2 + b2 = c2

A Pitagorasz-tétel megfordítása: g

a +b = c

Szóban Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor ez a háromszög derékszögű. A derékszög a leghosszabb oldallal van szemben.

⇓ γ = 90°

P É L DA

56 m

90 m

Mekkora a derékszögű háromszög befogója?

Megoldás A Pitagorasz-tétel szerint: a 2 + 24 2 = 74 2 a 2 = 74 2 – 24 2 a 2 = 4900 a = 4900 a = 70 24

1 8 . l e c ke

Derékszögűek-e a háromszögek? a) b) 6,5 cm 5,6

22,

Megoldás A Pitagorasz-tétel szerint: c 2 = 54 2 + 22,5 2 c 2 = 3422,25 c = 3422,25 c = 58,5

Mekkora a derékszögű háromszög átfogója?

3,3

P I TAG O R A S Z T É T E L E

Megoldás a) 5,6 2 + 3,3 2 = 6,5 2 31,36 + 10,89 = 42,25 42,25 = 42,25 Ez igaz állítás, tehát (a Pitagorasz-tétel megfordítása szerint) a háromszög derékszögű. b) 56 2 + 90 2 = 104 2 3136 + 8100 = 10 816 11 236 = 10 816 Ez hamis állítás, tehát (a Pitagorasz-tétel szerint) a háromszög nem derékszögű.

F E L A DAT

7,5

50 m

a) Mekkora a derékszögű háromszög területe? b) Mekkora a háromszög átfogója (c)? c) Mekkora a háromszög átfogóhoz tartozó magassága (m)? d) Mekkora szakaszokra bontja az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót (mekkora p és q)? e) Igaz-e, hogy m = p ⋅ q ?

66 m

Számítsd ki a telek ismeretlen oldalhosszát és a telek területét!

120 m

Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög területét!

Egy háromszög oldalainak hossza a) 12, 15 és 11; b) 40, 41 és 9. Derékszögű-e a háromszög?

H Á Z I F E L A DAT

5,8 cm

60 cm

5 cm

Számítsd ki a téglalapok ismeretlen oldalhosszát és területét! a) b)

Egy hajó nyugat felé indult, és irányváltoztatás nélkül 3 km-t haladt. Ezután délnek fordult, és irányváltoztatás nélkül újabb 5 km-t tett meg. Mekkora távolságra került a kiindulási helyétől?

Egy téglalapot és egy egyenlő szárú háromszöget rajzoltunk. Melyik kijelentés igaz, melyik hamis? a) b)

5 cm

Melyik téglalap átlója hosszabb?

4 cm

c a

a2 + b2 = c2 a2 + c2 = b2 a+c = b b2 + c2 = a2 b2 – c2 = a2

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

m e

e f

d2 + d2 = f 2 m2 – e2 = d2 e2 + m2 = d2 e+e = f f2 m2 + = d2 4

Geometriai mérések, számítások

10 cm

Áron azt a feladatot kapta, hogy egy 55 cm hosszú, 29 cm széles téglalap alakú kartonlapból vágjon ki 10 db egyforma „házikót” az ábra szerinti méretekkel. a) Számítással mutasd meg, hogy megoldható Áron feladata! b) Számítsd ki, hány százalék hulladék keletkezett!

10 cm

RÁADÁS Az ókori Egyiptom földmérői és építészei derékszögek szerkesztéséhez a következő eljárást használták: egy kötélre azonos távolságokban 13 csomót kötöttek, majd az első és a 13. csomót összefogva a kötelet úgy feszítették ki háromszög alakban, hogy az oldalak 3, 4 és 5 csomóköz hosszúak legyenek. Az így kapott háromszög rövidebb oldalai között mérhető szög pontosan 90°, hiszen Pitagorasz tételének megfordítása értelmében az ilyen háromszög derékszögű. Pitagoraszi számhármasok Ha három pozitív egész szám közül kettő négyzetének összege egyenlő a harmadiknak a négyzetével, akkor ezekre azt mondjuk, hogy pitagoraszi számhármast alkotnak. Végtelen sok pitagoraszi számhármas van. Például 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17; Az ilyen oldalhosszúságú háromszögek derékszögűek.

9, 40, 41;

33, 56, 65;

48, 55, 73;

39, 80, 89.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Bemutatunk Pitagorasz tételére egy majdnem ezeréves hindu bizonyítást. Mindkét, a + b oldalú négyzetben 4-szer szerepel a mi derékszögű háromszögünk. Ha ezeket elvesszük, a bal oldali négyzetben egy a 2 és egy b 2 területű négyzet marad, a jobb oldaliban pedig egy c 2 területű négyzet. a

α + β = 90°

90° b

a a

a b

90°

90° b

b 90°

F E L A DAT

a b

a a

90°

P I TAG O R A S Z T É T E L E

Legyen k és l két relatív prím pozitív egész szám. Igazold, hogy 2 kl, k 2 – l 2 és k 2 + l 2 pitagoraszi számhármast alkotnak!

Adj meg olyan pitagoraszi számhármasokat, amelyek egyik tagja 20!

b a

Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, egyenlők maradnak, ezért a 2 + b 2 = c 2.

1 8 . l e c ke

KÜLÖNLEGES DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK

BEVEZETŐ

Írószerboltokban kapható olyan derékszögű háromszögvonalzó, amelynek a két befogója egyenlő hoszszú. A skálát rendszerint az egyik befogóra teszik, de ennél hosszabb vonalat is húzhatunk vele, az átfogója mentén. Milyen hosszút?

Megoldás Legyen a vonalzó befogója pl. 1 dm, az átfogója x dm. Ekkor, Pitagorasz tétele alapján: x2 = 12 + 12 x2 = 1 + 1 x2 = 2 x = 2 ≈ 1,41.

Próbáljuk meg egy átlagos, 20 cm-es befogójú vonalzóval is: x 2 = 20 2 + 20 2 = 20 2 ∙ 2 x =

202 ⋅ 2

x =

202 ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 ≈ 28,3 (cm).

Tapasztalatunk szerint tehát az átfogó 2-ször olyan hoszszú, mint a befogók.

ELMÉLET Ez minden egyenlő szárú derékszögű háromszögre igaz: ha a befogók hossza a, akkor az átfogóé: a 2. Ugyanígy igaz: minden négyzet átlója 2-ször akkora, mint az oldala.

60°

1 2

h2 = 1 −

1 3 = 4 4

1 cm

h cm

1 cm 2

h 2 = 12 −

Megoldás Az anyacsavar elölnézetének körvonala szabályos hatszög alakú. Ez a hatszög a középpontjából kiindulva szabályos háromszögekre bontható. Az ilyen háromszögek oldala éppen a hatszög 1 cm-es oldala, a kere-

1 cm

sett kulcsnyílás pedig a szabályos háromszögek magasságának kétszerese. A szabályos háromszöget a magassága két derékszögű háromszögre bontja, alkalmazzuk ezekre Pitagorasz tételét:

x=?

A villáskulcs mekkora nyílása szükséges egy olyan anyacsavar meghúzásához, amelyiknek az oldallapja 1 cm széles?

3 2

A keresett kulcsnyílás ennek duplája, azaz x = 3 ≈ 1,73 (cm).

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET

30° b

Sok probléma vezet olyan háromszöghöz, amely egy szabályos háromszög fele. Ennek az egyik szöge derékszög, a másik 30°-os, a harmadik 60°-os. Ha a kisebbik befogója a, akkor a nagyobbiknak a hossza a 3, az átfogóé pedig 2a. Ugyanígy igaz: a b oldalú szabályos háromszög magassága b 3 hosszúságú. 2

a 3 60°

b 3 2

90° a

F E L A DAT

Számítsd ki a töröttvonal hosszát!

Számítsd ki az ismeretlen hosszúságokat! h

1 cm 1,5 cm

2 cm

2,5 cm

3 cm

10,2 dm

60°

Számítsd ki az ismeretlen hosszúságokat! 3,8 m 12

60°

z y

3,8

60°

30° 8,4 cm

30° z

1 9 . l e c ke

K Ü L Ö N L E G E S D E R É K S Z Ö G Ű H Á RO M S Z Ö G E K

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki az ismeretlen hosszúságokat (két szabályos hatszöget és két négyzetet látsz az ábrákon, a szaggatott vonalak oldalfelező pontokat, illetve csúcsokat kötnek össze)! 4,8 cm

A belső égésű motorok egyik fajtája a Wankelmotor (fotó). A motor „dugattyújának” alakja a hagyományos henger alaktól eltérően inkább az úgynevezett Reuleaux-háromszögre hasonlít (ejtsd: röló háromszög).

z v y

0,8 cm

Milyen magas a torony (h), milyen hosszúak a tartókötelek (x és y), és milyen messze van a toronylábtól a távolabbi rögzítőpont a talajon, ha a közelebbi 25 m-re van?

y x

30°

45°

25 m

Az „elsőbbségadás kötelező” tábla magassága 70 cm, a szélén levő piros sáv 8 cm széles. 8 cm

a) Mekkora a belső, fehéren hagyott szabályos háromszög oldala? (Útmutatás: először a fehér szabályos háromszög magasságát célszerű kiszámítani, majd ennek ismeretében a háromszög oldalát.) b) Hány százaléka a tábla teljes területének a piros sáv területe?

Ezt a „háromszöget” úgy kaphatjuk, ha egy szabályos háromszög mindegyik csúcsa körül írunk egy-egy olyan kört, amelynek sugara a háromszög oldalhosszával egyenlő. a) Számítsd ki annak a Reuleaux-háromszögnek a kerületét és területét, amelynek a kiindulási háromszöge egy 4,2 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög!

b) Hány százalékkal nagyobb a Reuleaux-háromszög kerülete, illetve területe a származtatásához felhasznált szabályos háromszögénél? (Az r sugarú kör kerülete 2 r π, területe r 2 π.)

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

RÁADÁS Pitagorasz nagy tekintélyű görög filozófus volt, a Kr. e. VI. században élt. Tanítványai, a pitagoreusok a számoknak mágikus erőt tulajdonítottak, azt képzelték, hogy a számokból ered az élet harmóniája.A számok törvényszerűségeit feltárva próbálták megismerni magát a világot. A Pitagorasz nevéhez fűződő tételt nem ő alkotta, nem is a tanítványai. Írásos emlékek bizonyítják, hogy ezt a tételt már 4000 évvel ezelőtt ismerték Mezopotámiában, innen került Egyiptomba, Kínába és a görögökhöz is. Pitagorasz bizonyítást adott a tételre, és nagy szerepe volt az elterjesztésében.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG A Pitagorasz-tétel megfordításának bizonyítása Tudjuk, hogy a 2 + b 2 = c 2.

γ a

Bizonyítsuk be, hogy γ = 90°! c

Rajzoljunk egy a, b befogójú derékszögű háromszöget, az átfogója hosszát jelöljük d-vel:

d b

Pitagorasz tétele szerint a 2 + b 2 = d 2. Ez azt jelenti, hogy d 2 = c 2, vagyis d = c.

90° a

Mit látunk? Mindkét háromszög oldalai: a, b, c! Tehát ez a két háromszög egybevágó. Az egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők, ezért a c-vel szemközti szög is derékszög.

F E L A DAT

Egy háromszög oldalainak hossza 2, 3 és 1. Igaz-e, hogy a háromszög derékszögű?

Mekkorák a háromszög oldalai, ha a kocka éle egységnyi hosszúságú?

1 9 . l e c ke

K Ü L Ö N L E G E S D E R É K S Z Ö G Ű H Á RO M S Z Ö G E K

a) Mekkora a háromszög területe, ha a kocka élei 6 cm-esek? b) Készítsd el a kockából levágott gúla hálóját, ha a kocka élei 6 cm-esek! Mekkora ennek a gúlának a felszíne és a térfogata (lásd 25. lecke Elmélet)?

A SÍK GEOMETRIÁJA

ELMÉLET A bennünket körülvevő tárgyakat felületek határolják. A szekrény oldala, az asztal teteje síklap, a virágcserép, a vizesüveg külseje görbe felület. A lapok vonalakban csatlakoznak egymáshoz. Egy székláb szomszédos lapjai egyenes vonalban, a vizesüveg alja és oldala görbe vonalban metszik egymást. A vonalak is, a lapok is pontokból állnak. A valóságos dolgok alapján megalkotott geometriai alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík. Ezeket térelemeknek nevezzük. csúcs Az egyenes és a sík részei: szár

nes félegye

félsík szögtartomány

szögtartomány

ár

félsík

akasz

sík

Ha az α nullszög,

(konvex) szögek

A szögek mérése A szögmérés egysége az egyenesszög 180-ad része. Ezt 1°-os szögnek mondjuk. A táblázat mutatja, hány fokosak a különféle szögek.

(konkáv) szögek

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

akkor α = 0°.

az α hegyesszög,

0° < α < 90°.

az α derékszög,

α = 90°.

az α tompaszög,

90° < α < 180°.

az α egyenesszög,

α = 180°.

az α homorú (konkáv) szög,

180° < α < 360°.

az α teljesszög,

α = 360°.

Geometriai mérések, számítások

P É L DA

Egy egyenesszög három részének aránya 2 : 3 : 7. Mekkorák ezek a szögek?

2 + 3 + 7 = 12. Az egyenesszög egytizenketted része 180° : 12 = 15°. A sárga rész: 2 ∙ 15° = 30°, a zöld rész: 3 ∙ 15° = 45°, a rózsaszín rész: 7 ∙ 15° = 105°.

Az α szög 16°-kal nagyobb a mellékszögénél. Mekkora a csúcsszöge?

Első (sablonos) megoldás, egyenlettel Az α szög mellékszöge α – 16°, a két szög összege egy egyenesszög: a α + α – 16° = 180° 2α – 16° = 180° 2α = 196° α = 98°, és természetesen a csúcsszöge is ugyanekkora. Második (egyszerű) megoldás, okoskodással Ha két mellékszög különbsége 16°, akkor az egyik 8°-kal nagyobb a 90°-nál, a másik pedig 8°-kal kisebb nála. Tehát a nagyobbik szög 98°-os. Természetesen ugyanekkora a csúcsszöge is.

ELMÉLET Egy síkban két egyenes VAGY párhuzamos (nincs közös pontjuk) VAGY metszi egymást. Ha két egyenes metszi egymást, de nem merőleges egymásra, akkor a keletkező hegyesszöget nevezzük az egyenesek szögének. Ábránkon: α és γ csúcsszögek, β és δ csúcsszögek, b g a α és β mellékszögek, γ és δ mellékszögek. d A csúcsszögek egyenlők, a mellékszögek összege egy egyenesszög.

A téglalap alakú biliárdasztalon meglökött A golyó hatszori visszaverődés után találta el a B biliárdgolyót. a) Számítsd ki a megjelölt szögeket (minden visszaverődés tökéletesen rugalmasnak vehető)! b) A megadottak közül válassz ki további párhuzamos szárú szögeket: egyállású szögeket, váltószögeket és társszögeket!

A S Í K G E O M E T R I Á JA

B l

2 0 . l e c ke

25°

F E L A DAT

ELMÉLET Merőleges szárú szögek A merőleges szárú hegyesszögek egyenlők, a merőleges szárú tompaszögek egyenlők. Ha az egyik hegyesszög, a másik tompaszög, akkor 180°-ra egészítik ki egymást.

F E L A DAT

Az ABC háromszög C-nél derékszögű. Keress az ábrán merőleges szárú szögeket!

B b

j e

H Á Z I F E L A DAT Hány fokos szöget alkotnak az óramutatók a) 5 órakor, b) 3 óra 20 perckor, c) 12 óra 30 perckor?

Egy egyenesszöget négy részre bontunk úgy, hogy a szomszédos szögek különbsége 10° legyen. Mekkorák lehetnek ezek a szögek?

Mekkora az a szög, amely a) a mellékszögének a hetedrésze; b) a társszögével egyenlő; c) a váltószögével együtt 128°-ot tesz ki?

Az ábrán egy biliárdasztalt látunk. Keress párhuzamos szárú szögeket! Vannak-e a) egyállású derékszögek (az asztalt határoló egyeneseket is figyelve); b) 30°-os váltószögek; c) egyenlő társszögek; d) nem egyenlő társszögek; e) tompaszögű váltószögek? 200 cm

Rajzold meg a füzetedbe az α, a β, a γ és a δ szögfelezőjét! a) Hány egyenest kaptál? b) Mekkora ezeknek az egyeneseknek a szöge?

d g a b

150 cm

a = 30° 50 cm

Számítsd ki, mekkora utat tesz meg a biliárdgolyó, amíg az A-ból a P pontba jut! Az A egyenlő távolságra van az asztal két hosszabb oldalától.

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

RÁADÁS

A francia forradalom után történtek kísérletek a szögmérés „metricizálására”, ennek eredménye a gradian (újfok), amely a kört 400 részre osztja, így a derékszög mértéke éppen 100 fok. Mivel a geometriában gyakran használatos 30° és 60° nehézkesen fejezhetők ki, a gradian nem lett népszerű, bár a legtöbb zsebszámológép alkalmas a vele való számolásra (GRAD-üzemmód). A 10-es számrendszer bűvöletében élő reformereknek egyébként nem ez volt az egyetlen elképzelése, ami nem vert gyökeret: elbukott például a 10 napos hét és a 10 órára osztott nap ötlete is.

Egy másik, a matematikában és a fia r 1 zikában nagyon hasznosnak bizonyult szögmérési módszer a radián, a 1 amely a szöget az egységnyi sugarú körben hozzá tartozó körív hoszszával méri. Ebben a számítási rendszerben a teljesszög például 2π mértékű (mértékegység nélkül), hiszen a teljes körív, a kör kerülete, az egységnyi sugarú körben éppen 2 ∙ 1 ∙ π.

ián ad

A teljes kör 360 részre osztása babiloni örökség. Kialakulásában valószínűleg közrejátszott az a csillagászati megfigyelés, hogy az égbolt csillagképei nagyjából 360 nap alatt fordulnak teljesen körbe, s így 1 fok megfelel a napról napra észlelhető elfordulás mértékének. A fejlett csillagászati ismeretekkel rendelkező babiloniak valószínűleg tudatában voltak, hogy egy év nem pontosan 360 napból áll, azonban ez a szám jól illeszkedett az általuk használt 60-as számrendszerhez. (A 60-as számrendszer hatása máig érezhető: 1 óra = 60 perc, 1 perc = 60 másodperc.)

A tengeri navigáció a kör alakú látóhatárt a főbb földrajzi, illetve szélirányok szerint osztotta fel először 4, majd 8, 16, végül 32 részre. Ilyen felosztás látható a hagyományos ún. szélrózsákon. A magyar nyelvben – némi kavarodást okozva – ez a felosztás is fok néven szerepel („Kormányos! Két fokkal balra!”).

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Egy négyzetes oszlop felületén bejelöltük az α és β hegyesszöget. Az α szög AE szára merőleges a β szög AC szárára, és az α szög AH szára merőleges a β szög AB szárára. Tehát α = β. Helyes ez a következtetés? Miért?

Az ábrán egy biliárdasztalt látunk. Megválasztható-e az x értéke úgy, hogy a P pontból való visszapattanás után a biliárdgolyó ismét áthaladjon a kiindulási helyén (A)? Az A egyenlő távolságra van az asztal hoszszabb oldalaitól. 200 cm

H E

150 cm

a A

D b B

2 0 . l e c ke

4 cm

a = 30° x cm

P C

A S Í K G E O M E T R I Á JA

MEKKORA A TÁVOLSÁGUK?

BEVEZETÕ A vasúti sínek távolsága (az úgynevezett „nyomtáv”) Magyarországon 1435 mm. Egy ház az autóúttól 100 méter távolságra áll. A dobáshoz felugró kosárlabda-játékos akár 40-50 centiméterre is elemelkedhet a talajtól. Ezek a megállapítások a távolság fogalmán alapulnak, de mit is értünk alakzatok távolságán?

P É L DA

Mindenki tudja, hogy „két pont között a legrövidebb út az egyenes”. De mi a legrövidebb út egy pont és egy egyenes között?

30 m 14 m

10 m

Megoldás 300 m A bevezetőben említett ház és autó100 m út között akár 200 vagy 300 métert is 200 m sétálhatunk, csak megfelelő irányba kell indulni! Jól kiválasztott irányba indulva akármilyen hosszan gyalogolhatunk a háztól az útig, de csak egyetlen olyan irány van, amely a lehető legrövidebb távon vezet. Ez az irány a háztól (adott ponttól) az útra (adott egyenesre) merőlegesen fut. Gondoljunk csak bele, egy derékszögű háromszög befogója mindig rövidebb az átfogójánál!

…és mi a legrövidebb út két egyenes között? (A két egyenes ugyanabban a síkban van.)

Megoldás Egymást metsző egyenesek esetén nulla, hiszen a metszéspontjuk mindkét egyenesen rajta van. Párhuzamos egyenesek – pl. az út két széle – között a legrövidebb út a merőleges irányú lesz (már a kicsi gyerekeknek is azt tanítják, hogy az úttesten „keresztben” kell átkelni). Párhuzamos egyenesek távolságán az egy-egy pontjukat összekötő, mindkét egyenesre merőleges szakasz hosszát értjük.

ELMÉLET Két ponthalmaz távolsága Két pont távolsága az általuk meghatározott szakasz hossza. Ez, a választott mértékegységnek P megfelelően, egy pozitív szám. Ha mm a mértékegység, akkor a két pont (P és Q) távolsága 240, ha cm, akkor 24, ha dm, akkor 2,4.

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

24 cm

Geometriai mérések, számítások

Ha két ponthalmaznak van közös pontja, akkor a távolságuk 0. Ha nincs közös pontjuk, akkor a pontjaik közötti távolságok közül a legkisebbet nevezzük a két ponthalmaz távolságának. Jele gyakran: d.

pont és egyenes

két párhuzamos egyenes

pont és sík

két párhuzamos sík

A legrövidebb szakasz mindig a merőleges egyenesen található.

Távolsággal megadható ponthalmazok egy síkban egy ponttól adott távolságra lévő pontok:

egy egyenestől adott távolságra lévő pontok:

körvonal

két párhuzamos egyenes

egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok:

két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok:

két metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok:

a szakasz felezőmerőleges egyenese

a két egyenes felező párhuzamosa

a két szögfelező egyenes

A körvonal térbeli megfelelője a gömbfelület.

RÁADÁS Időszámításunk kezdete előtt 300 évvel az egyiptomi Alexandriában Ptolemaiosz, a tudományokat támogató uralkodó létrehozta a Muzeiont (a múzsák menedékét), az ókor legnevezetesebb tudományos központját. Itt írta meg Eukleidész nevezetes művét, a 13 részből álló Elemeket, amelyben a matematika addigi eredményeit rendszerezte. Máig a geometria tudományának kiindulópontját képezi Eukleidész 5 axiómája és 5 posztulátuma, amelyeket a szemléletből nyilvánvalónak fogadott el, de belőlük már logikai okoskodásokkal vezetett le minden további geometriai ismeretet. Így alakult ki az euklideszi geometria. Nézz utána, mit olvashatsz az interneten Eukleidészről!

2 1 . l e c ke

M E K KO R A A T Á VO L S Á G U K ?

P É L DA

Mekkora a kocka éleinek a távolsága a) a C ponttól; b) az AB egyenestől; H

c) a BCGF síktól?

F D

2 cm

Megoldás Mérjük a távolságokat cm-ben! A C ponttól

0 távolságra van

2 távolságra van

2 2 távolságra van

3 él (BC, CD, CG)

6 él (AB, AD, DH, FG, BF, HG)

3 él (AE, EF, EH)

Az AB egyenestől

5 él (AB, AE, AD, BF, BC)

6 él (CD, EF, FG, EH, CG, DH)

1 él (GH)

A BCGF síktól

8 él

4 él (AD, AE, DH, HE)

0 él

Egy díszgyertyát szeretnénk két vízszintes polc közé beállítani, de a polcok távolsága csak 11 cm. A díszgyertya szabályos négyoldalú gúla alakú, mindegyik alapéle 8 cm, az oldalélek 12 cm hosszúak. Elfér-e a gyertya a két polc között?

Megoldás A matematika nyelvére lefordítva azt kellene tudnunk, hogy mekkora távolságra van a gúla csúcsa az alaplapjának síkjától. A gúla csúcsának az alapsíktól való távolságát, d-t kell kiszámítanunk. Ezt a kék derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel kapjuk meg. A háromszög átfogója 12 cm hosszú. Ismerjük az egyik befogó hosszát is, hiszen ez a 8 cm oldalú 8 2 ABCD négyzet átlójának a fele: = 4 2 (cm) hosszúságú. 2 A d hosszú befogóra tehát fennáll:

polc

cm d C

)

(

d 2 = 122 − 4 2

= 144 − 32 = 112;

d = 112 ≈ 10,6 (cm). Tehát a gyertyát be tudjuk állítani a két polc közé.

8 cm

polc

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki a P pont és az e egyenes távolságát, majd a P és K pontok távolságát is! P a)

150°

135° K

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

Milyen messze van Gutaháza a vasútvonaltól? Valójában mekkora utat tesz meg az, aki a Gyanógeregyén és Szentléránton keresztül vezető úton jut el a vasútvonalhoz? (Mennyire lehetnek pontosak az eredményeid?)

Alsófalu és Felsőfalu közös vasútállomást szeretne a vasútvonal mellé úgy, hogy egyenlő távolságra legyen a két helységtől. Szerkeszd meg a vasútállomás helyét a füzetedben!

Sorkifalud va

Gutaháza

l na tvo sú

Gyanógeregye Szentléránt Alsófalu

2 km

Felsőfalu

Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek középpontja a K pont, és érinti mindkét egyenest (a-t és b-t)? Mekkora távolságra van a K pont ezektől az egyenesektől? K

Egy szabályos négyoldalú gúla (lásd a 4. példát) alapéle 10 cm, oldaléle 12 cm, egy másik szabályos négyoldalú gúla alapéle 12 cm, oldaléle pedig 10 cm. Melyik gúla magasabb? Mennyivel?

173

Mekkora a távolság az Északi-sark és a Déli-sark között, a) matematikai értelemben használva a távolság fogalmát; b) ha a távolságukon annak a legrövidebb útnak a hosszát értjük, amennyit a Föld felszínén meg kell tennünk ahhoz, hogy egyik helyről a másikra eljussunk? A Föld sugara kb. 6370 km.

60°

60° a

RÁADÁS A távolságmérés térképen viszonylag könnyű feladatnak látszik. Csak összekötjük a keresett pontokat, megmérjük vonalzóval az összekötő szakasz hosszát, és megszorozzuk a térkép méretarányával (pl. 1 : 25 000 léptékű térképen egy 5 cm-es távolság a valóságban 5 ∙ 25 000 = 125 000 centiméter, azaz 1250 méter vagy 1,25 km lenne). Nagyobb földrajzi távolságoknál azonban jelentős eltérést okoz, hogy a Föld felszíne nem lapos, hanem többé-kevésbé gömbfelület. A gömbölyű földfelszínen két pont távolságát már nem egyenes, hanem körív mentén kell mérnünk, mégpedig olyan kör ívén, amely áthalad a két ponton, középpontja a Föld középpontja, és így sugara a Föld sugarával egyenlő.

2 1 . l e c ke

M E K KO R A A T Á VO L S Á G U K ?

HÁROMSZÖGEK KERÜLETE ÉS TERÜLETE

BEVEZETŐ Egyes országok (pl. Solomon-szigetek, Bhután, Namíbia vagy a Tanzánia) nemzeti lobogójának alapja az átlósan kettéosztott téglalap.

P É L DA hogy ugyanannyi kék és piros anyag kell, mégpedig mindkettőből éppen a lobogó teljes területének fele: 50 ⋅ 80 T = = 2000 (cm 2). 2

Megoldás a) A piros és a kék háromszög egybevágó, hiszen mindkettő derékszögű háromszög azonos hosszúságú befogókkal. Ezért nyilván mindkettőre azonos hoszszúságú szegély kell. A szegély hossza a háromszög oldalainak összege, azaz a háromszög kerülete. A befogók itt adottak, az átfogót pedig Pitagorasz tételével kiszámíthatjuk, ez kb. 94 cm. A háromszögek kerülete: 50 cm + 80 cm + 94 cm = 224 cm, ennyi tehát az egyes darabokhoz szükséges szegély hossza. b) Mivel a két háromszög egybevágó, nyilvánvaló,

Mennyi piros színű anyag kellene az ábrán látható lobogó elkészítéséhez? 50 cm

Az ábrán látható lobogó kék és piros darabját öszszevarrás előtt szeretnénk beszegni. 80 cm a) Milyen hosszú szegélyt vegyünk egy-egy háromszögre? b) Mennyi piros és mennyi kék anyagra lenne szükségünk, hogy az ábra szerinti lobogót elkészíthessük? 50 cm

Megoldás Vágjuk szét a lobogót – a rajz 80 cm szerint – két részre: Mindkét piros darab a megfelelő lobogórész területének fele, ezért az egyesítésük is a lobogó teljes területének fele lesz. Továbbra is igaz tehát, hogy 50 ⋅ 80 T = = 2000 (cm 2). 2 Ebben az esetben az eredeti téglalap egyik oldala a háromszög egyik oldalával, míg a téglalap másik oldala a háromszög magasságával egyezik meg.

ELMÉLET A háromszög területe: c

bármely oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele: a ⋅ ma b ⋅ mb c ⋅ mc t= = = . 2 2 2

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

Például 1 a2 t = ⋅a⋅a = . 2 2 Az a befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög a2 területe: . 2

1 a 3 a2 3 ⋅a⋅ = . 2 2 4 Az a oldalú szabályos háromszög területe: a2 3 . 4 t=

a 3 2

F E L A DAT

12 cm

a) Mekkora távolságra van a K pont a PL szakasz egyenesétől, illetve a P pont a KL szakasz egyenesétől? b) Számítsd ki a KPL háromszög területét! P c) Mekkora a KPL háromszög kerülete ? m

Számítsd ki a háromszögek területét!

12 cm

120° 16 m

K d

12 m

P É L DA

10 m × 8 m-es téglalap alapra 3,5 m magas tetőt készítettek. Hány m2-t kell cseréppel befedni?

Megoldás Az egyenlő szárú oldallapháromszögek (egyik) magasságát Pitagorasz-tétellel kapjuk: x 2 = 3,52 + 52 ⇒ x = 37,25 ≈ 6,1 (m); y 2 = 3,52 + 4 2 ⇒ y =

28,25 ≈ 5,3 (m).

8x = 4x ≈ 24,4 (m2). 2 10y = 5y ≈ 26,5 (m2). A másik oldallap területe: 2 A cseréppel burkolandó felület: 2 ∙ 24,4 + 2 ∙ 26,5 = 101,8, azaz körülbelül 102 m2.

3,5 m

Az egyik oldallap területe:

4m 5m

2 2 . l e c ke

H Á RO M S Z Ö G E K K E R Ü L E T E É S T E R Ü L E T E

4m 4m

H Á Z I F E L A DAT

A tortát két vágással négyfelé vágtuk. Mind a négyen egy-egy részt kaptunk. Igazságos volt-e az osztozkodás?

Két párhuzamos egyenesen vannak a háromszögek csúcsai, és a jelzett oldaluk egyenlő hosszú (x). Melyik állítás igaz a területükre? x

A minta minden háromszöge szabályos háromszög vagy egyenlő szárú derékszögű háromszög.

A) t1 = t2 = t3 B) t1 > t2 > t3

a) Számítsd ki a határoló nyolcszög kerületét és a területét! b) Igaz-e, hogy a mintát határoló konkáv nyolcszög belső szögeinek összege ugyanannyi, mint a szabályos nyolcszögé?

8 m × 8 m-es négyzet alapra 3 m magas tetőt készítettek (a tető szabályos gúla alakú). Hány m2-t kell cseréppel befedni?

A mellékelt ábrán látható, „kereszt alakú” lemezből egy 10 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla hálóját vágjuk ki. Melyik állítás igaz a gúla 10 cm felszínére? A) 100 cm2 és 500 cm2 között bármennyi lehet. B) Több mint 200 cm2, de legfeljebb 300 cm2. C) Lehet 400 cm2. D) Nem lehet 290 cm2. E) Lehet készíteni olyan gúlát, amelynek a felszíne 200 cm2 vagy ennél kisebb. 10 cm

10 cm

C) t1 < t2 < t3 D) t2 = t1 > t3

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Bizonyítsuk be a háromszög területképletét! 1. A derékszögű háromszög területe Az a, b befogójú derékszögű háromszög területe mert ez egy a, b oldalú téglalap fele.

ab , 2 a

2. A hegyesszögű és a tompaszögű háromszög területe a) A magasság a háromszög belsejében van. A háromszögünk két derékszögű háromszögre bomlik. x ⋅ ma y ⋅ ma (x + y) ⋅ ma a ⋅ ma t= + = = 2 2 2 2

ma y

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

x a

Geometriai mérések, számítások

b) A magasság a háromszögön kívül halad. A háromszögünkhöz hozzátoldunk egy derékszögű háromszöget. (a + x) ⋅ ma x ⋅ ma a ⋅ ma t= − = 2 2 2

c ma

b x

Más képletek a háromszög területére 1. Héron képlete Ha a háromszög kerületét 2s-sel jelöljük, bizonyítható, hogy területe így

2s = a + b + c

is kiszámítható: s(s − a)(s − b)(s − c). a

Példa Egy háromszög oldalhosszúságai mm-ben: 13, 20 és 21. Ekkor a kerülete 2s = 54, tehát s = 27, a háromszög területe pedig: t=

27 ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ 6 =

22 ⋅ 34 ⋅ 7 2 = 2 ⋅ 9 ⋅ 7 = 126 (mm 2 ).

2. Ha a háromszög kerületét 2s-sel, a beleírt kör sugarát r-rel jelöljük, akkor a háromszög területe így is kiszámítható: t = r ∙ s.

Bizonyítás Kössük össze a piros kör középpontját a háromszög csúcsaival! Így az ABC háromszöget 3 háromszögre bontottuk. E háromszögek egy-egy oldala a, b, illetve c, a hozzájuk tartozó magasság r, és a területük összege megadja az eredeti háromszög területét: a⋅r b ⋅r c ⋅r r r t= + + = ⋅ (a + b + c) = ⋅ 2s = r ⋅ s. 2 2 2 2 2 Példa Az előző példánkban szereplő 13, 20, 21 oldalú háromszögbe írt kör sugat 126 14 = (mm). ra így könnyen kiszámítható: r = = s 27 3

2s = a + b + c

r B

a A

r B

F E L A DAT A minta minden háromszöge szabályos háromszög, vagy egyenlő szárú derékszögű háromszög. a) Mutasd meg, hogy a határoló szakaszok között vannak párhuzamosak!

2 2 . l e c ke

H Á RO M S Z Ö G E K K E R Ü L E T E É S T E R Ü L E T E

b) Két egybevágó példányt vágunk ki egy téglalapból. Legalább hány százalék hulladék keletkezik?

NEVEZETES NÉGYSZÖGEK TERÜLETE

BEVEZETŐ A képen egy előszoba padlójának szokatlan, de érdekes mintájú burkolatát látjuk. A térbeli hatást különböző színű és állású rombuszok lerakásával érték el. Ezek a rombuszok mind egybevágók, szögeik 60, illetve 120 fokosak.

Megváltoztathatjuk a térhatást különböző rombuszok ügyes alkalmazásával, például így.

Ha egy „szokásos”, téglalap alakú helyiséget akarunk így burkolni, akkor tisztában kell lennünk a rombuszok oldalainak, átlóinak, magasságának és területének viszonyaival.

P É L DA Egy rombusz alakú járólap átlóinak hossza: 16 cm és 30 cm. A hulladékot nem számítva kb. hány ilyen járólap kell egy 6 m2-es fürdőszobapadló burkolásához? a

15 cm

A mintától függően az is lehet, hogy a helyiség szélessége az egy sorban álló rombuszok magasságának összege. Számítsuk ki az előző feladatban szereplő rombusz magasságát!

Megoldás Először számítsuk ki a rombusz oldalát! A Pitagorasz-tétel értelmében: a2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289 = 17 2, tehát a rombusz oldala: a = 17 (cm).

8 cm

15 cm

8 cm

a m m

Megoldás Először számítsuk ki egy rombusz területét! Tudjuk, hogy a rombusz átlói merőlegesek egymásra, és kölcsönösen felezik egymást. 15 ⋅ 8 = 240 (cm 2 ). Ezért a rombusz területe: T = 4 ⋅ 2 A 6 m2-es (60 000 cm2) fürdőszobához hulladék nélkül 60 000 = 250 darab járólapra lesz szükség. 240

17 cm

A rombusz területét az oldal · magasság képlettel is kiszámíthatjuk: T = a∙m 240 = 17 ∙ m, ebből a magasság m = 240 : 17 ≈ 14,12 (cm), ezt kell tehát figyelembe venni, amikor az egymás mellé elhelyezhető járólapok számát kalkuláljuk.

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET Tekintsük át a nevezetes négyszögek területéről tanultakat! paralelogramma

trapéz

deltoid

rombusz a

f ma

b a

T = a ⋅ ma

b a

(a + c) ⋅ m 2

T =

e⋅ f 2

T = a⋅m =

e⋅ f 2

F E L A DAT

Számítsd ki a trapéz, a paralelogramma és a deltoid területét! 45°

Két szomszédos telek határvonalát az ábra szerint módosítani kellett. Hány m2-rel változott a telkek területe? (Szaggatott vonallal az eredeti, folytonossal az új határvonalat jelöli az ábra.)

25 m

60° 9,8 cm

0,5 m

,14

0,5 m 20 m

15°

Egy rombusz kerülete 48 cm. Lehet-e a területe a) 48 cm2; c) 0,1 cm2; b) 150 cm2; d) 144 cm2? Ha lehet, akkor mekkora a rombusz magassága?

2 3 . l e c ke

N E V E Z E T E S N É GY S Z Ö G E K T E R Ü L E T E

0,5

15°

39 m

30 dm

37 m

150°

60°

120° 20 m

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki a négyszögek területét!

Egy 60 cm-es és egy 40 cm-es nádszál felhasználásával deltoid alakú papírsárkányt készítünk. (A nádszálak a deltoid átlói.) a) Mekkora lesz a sárkány területe? b) Mekkora lesz a sárkány kerülete, ha a nádszálak felezik egymást? c) Mekkora a sárkány kerülete, ha a 40 cm-es nádszál felezőpontja a 60 cm-es nádszálat 2 : 1 arányban osztja két részre?

A fürdőszobában 3,6 m2-es részt szeretnénk mozaiklapokkal burkolni. Erre még 5%-ot rá kell számítanunk a darabolások, törések és anyaghiba miatt. a) Hány m2-re kell burkolóanyagot beszerezni? b) 10 cm oldalú, rombusz alakú mozaiklapokat veszünk. Hány darabra van szükségünk? (A rombusz hegyesszöge 60°-os.)

120 m

73 m

27 cm 27 cm

45 m

60 m

73 m

Egy (egyenes hasáb formájú) bádog virágláda keresztmetszete húrtrapéz. A láda hossza 1,2 m. 50 cm

30 c

m 30 c 30 cm

a) Hány m2 a virágláda külső felszíne? b) Hány m2 anyagot kellett felhasználni a készítéséhez, ha a gyártás során a rendelkezésre álló bádog 20%-a hulladék lett?

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

RÁADÁS Fizikusok kedvelt módszere bizonyos mennyiségek értékének megállapítására, hogy az adott jelenséget leíró függvény grafikonja alatti területet vizsgálják. Például egyenletes (állandó sebességű) mozgás esetén egy bizonyos t időpontig vizsgálódva, a görbe alatti terület mérőszáma megegyezik a megtett út nagyságának mérőszámával. A gondolatmenet kiterjeszthető olyan mozgásokra is, ahol a sebesség változik, ennek elméleti hátterével és gyakorlati módszereivel az integrálszámítás foglalkozik. Egyenletes gyorsulásnál a sebesség nagysága egyenletesen változik, ilyenkor a görbe alatti terület trapéz. A grafikonon bemutatott mozgás esetén pl. a trapéz „alapjai” 4 és 9 4+9 ⋅ 10 = 65, a megtett út hosszúak, „magassága” 10, ezek alapján a terület pedig T = 2 tehát ebben az esetben 65 m.

sebesség v s = v. t t

idő

sebesség (m/s) 9 4 10

idő (s)

sebesség

Trapézokkal közelíthető tetszőleges „görbe alatti” terület. Minél több trapézt használunk, annál pontosabban tudjuk becsülni a tényleges területet.

idő

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG

40 m

120°

4,6 m

A következő feladatokban használd Héron képletét! a) Egy paralelogramma oldalai 24 cm és 18 cm hoszszúak, egyik átlója 12 cm. Számítsd ki a területét! b) Egy paralelogramma átlói 24 cm és 18 cm hoszszúak, egyik oldala 12 cm. Számítsd ki a területét!

N E V E Z E T E S N É GY S Z Ö G E K T E R Ü L E T E

37 c

m 40 cm

50 cm

37 c

m 10 cm

Megoldás Az ábra szerint húzzunk párhuzamost az egyik szárral! Ez a trapézt egy paralelogrammára és egy háromszögre bontja. Mivel a háromszög mindhárom oldalát ismerjük, területe Héron képletével kiszámítható: TΔ = 45 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 32 = 240 (cm 2). Ebből a háromszög magassága, amely egyben a trapéz magassága is, T m = Δ = 12 (cm). 20 10 + 50 Tehát a trapéz területe: T = ⋅ 12 = 360 (cm 2 ). 2

2 3 . l e c ke

Egy trapéz alapjai 50 cm és 10 cm, szárai 37 cm és 13 cm hosszúak. Mekkora a területe? 10 cm

120°

13 c

Két szomszédos telek határvonalát az ábra szerint módosítani kellett. Hogyan változott a telkek területe? (Szaggatott vonallal az eredeti, folytonossal az új határvonalat jelöli az ábra.)

32 m

Egy szimmetrikus trapéz (húrtrapéz) hosszabbik alapja 44 cm, szárai 17 cm-esek, átlói 39 cm-esek. Mekkora a területe?

SZABÁLYOS SOKSZÖGEK TERÜLETE, KERÜLETE

BEVEZETŐ Egy 50 cm oldalú, négyzet alakú lemezből szeretnénk kivágni az ábrán látható STOP táblát.

Hogyan vágjuk le a lemez sarkait, hogy a tábla szabályos nyolcszög alakú legyen? 4x

Megoldás x 1,4x x Vágjunk le a négyzet mindegyik sarkáról egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget! Ezzel elérjük, hogy a nyolcszög mindegyik szöge egyenlő, 135°-os legyen. A szabályos nyolcszögnek minden oldala egyenlő hoszszú, ezért a négy levágott kis háromszögnek egybevágónak kell lennie. Ha befogóik x cm hosszúak, akkor átfogóik Pitagorasz tétele szerint közelítőleg 1,4 ∙ x cm-esek (pontosabban 2 ⋅ x cm hosszúságúak). Ez egyben a szabályos nyolcszög oldalának hossza is. A négyzet oldala tehát: x + 1,4 x + x ≈ 50, ebből pedig x ≈ 14,7 (cm). A lemez sarkait a csúcsoktól számítva 14,7 cm távolságban, 45°-os szögben kell levágni, hogy szabályos nyolcszög alakú táblát kapjunk. E nyolcszög oldalai 1,4 ∙ 14,7 ≈ 20,7 cm hosszúak.

Mekkora a STOP tábla területe?

Első módszer A lemez teljes területe 50 2 = 2500 (cm2). Egy levágott sax ⋅ x 14,7 2 ≈ ≈ 108 (cm 2 ). 2 2 A tábla területe: T ≈ 2500 – 4 ∙ 108 = 2068 (cm2). rokháromszög területe TΔ =

Második módszer A nyolcszög alakú táblát a középpontjából kiinduló „sugarakkal” bontsuk fel nyolc egybevágó egyenlő szárú háromszögre! Egy-egy ilyen háromszög alapja a nyolcszög egy oldala, magassága a lemez 50 cm-es magasságának a fele. 20,7 ⋅ 25 ⋅ 8 = 2070 (cm 2). A tábla területe: T ≈ 2 Ez közel azonos az előző módszerrel kapott eredménnyel, az eltérés a kerekítésből adódik (az eltérés mértéke ≈ 0,1%).

ELMÉLET Ha egy konvex sokszög mindegyik oldala egyenlő és mindegyik szöge egyenlő, akkor azt szabályos sokszögnek nevezzük. Minden szabályos sokszögnek – van beírt köre, – van körülírt köre, – annyi szimmetriatengelye van, ahány oldala.

A GeoGebra program segítségével könnyen megjeleníthetők és vizsgálhatók a szabályos sokszögek.

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

P É L DA

Megjelöltük egy szabályos háromszög és egy szabályos négyszög (négyzet) oldalának harmadolópontjait. Az ábra szerint ezeket összekötöttük. Szabályosak-e a kapott sokszögek?

0°

135

Megoldás A hatszög mindegyik szöge 120°-os, és egyenlő hosszúak az oldalai. Ez tehát egy szabályos hatszög. A nyolcszög mindegyik szöge 135°-os. Az oldalai azonban nem egyenlő hosszúak (két szomszédos oldal hosszának aránya 1 : 2), ezért a nyolcszög nem szabályos.

F E L A DAT

Melyik állítás igaz? A) A négyzet alakúból ugyanannyi kell, mint a szabályos nyolcszög alakúból. B) A négyzet alakúból kétszer annyi kell, mint a szabályos nyolcszög alakúból. C) A négyzet alakúból négyszer annyi kell, mint a szabályos nyolcszög alakúból.

Csempézni szeretnénk a fürdőszobában, és már a mintát is kiválasztottuk. Még azt kellene eldöntenünk, hogy melyik csempefajtából kell több.

Mutass példát olyan hatszögre, amelynek a) egyenlő hosszúak az oldalai, b) egyenlőek a szögei, mégsem szabályos!

P É L DA

Megoldás Négy kis négyzet középpontját az ábra szerint megjelölve egy nagyobb négyzetet kapunk. Ennek egy oldala egy kis négyzet oldala plusz egy kis négyzet átlója: 10 + 10 2 ≈ 24,14 (cm); területe: ≈ 24,14 2 ≈ 582,8 (cm2).

2 4 . l e c ke

A négy kis négyzetből pontosan 100 cm2 tartozik a nagy négyzethez, a többit a nyolcszög fedi le, tehát a nyolcszög területe ≈ 482,8 cm2. 24,14 cm

S Z A B Á LYO S S O K S Z Ö G E K T E R Ü L E T E , K E R Ü L E T E

24,14 cm

Az 1. feladatban szereplő csempemintában legyen egy négyzet oldala 10 cm. Egy négyzet területe 100 cm2, de mennyi egy szabályos nyolcszögé?

24,14 cm

10 cm 24,14 cm

A következő táblázatról leolvashatjuk, milyen kapcsolat van egyes szabályos sokszögek alkotórészei között (a sokszög oldalhosszát a-val jelöljük): Oldalszám

Szögek

Köré írt kör sugara (cm-ben)

Beírt kör sugara (cm-ben)

Kerület (cm-ben)

Terület (cm2-ben)

108°

0,8507 a

0,688 a

1,7205 a 2

120°

0,8660 a

2,5981 a 2

135°

1,3066 a

1,2071 a

4,8284 a 2

144°

1,6180 a

1,5388 a

10 a

7,6942 a 2

150°

1,9319 a

1,8660 a

12 a

11,1962 a 2

162°

3,1962 a

3,1569 a

20 a

32,5688 a 2

Például a 10 cm oldalú szabályos nyolcszög területe a táblázat alapján: ≈ 4,8284 ∙ 10 2 = 482,84 (cm2), ahogyan azt a példában is láttuk már.

F E L A DAT Szabályos ötoldalú gúla alapélei 8 cm, oldalélei 16 cm hosszúak. Számítsd ki a gúla felszínét! Használd az előbb megadott táblázat szabályos ötszögre vonatkozó részét!

8 cm

16 c

8 cm

H Á Z I F E L A DAT

a) Számítsd ki a 15 cm oldalú szabályos tízszög területét, körülírt körének sugarát és beírt körének sugarát a lecke táblázata segítségével! b) Egy szabályos húszszög köré 79,9 cm sugarú kör írható. Mekkora a kerülete és mekkora a területe? (Használd a leckében megadott táblázatot!) c) Egy szabályos ötszög területe 43 m2. Mekkora egy oldala és mekkora a beírt körének sugara? (Használd a leckében megadott táblázatot!)

a) Mekkora egy-egy lapocska területe? (Használhatod a leckében megadott táblázatot!) b) Egy több m2-es terület burkolásához melyik fajtából kell több darab? Hányszor annyi kell? c) Hány lapocska kell az egyes fajtákból, ha egy körülbelül 6 m2-es részt szeretnénk csempézni?

Egy nyolcoldalú szabályos gúla alapterülete 309 cm2, oldalélei 14 cm hosszúak. Mekkora a gúla felszíne?

12 cm oldalú szabályos háromszög, illetve szabályos tizenkétszög lapokkal csempézünk.

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

RÁADÁS Hogyan szerkeszthetünk szabályos ötszöget?

Az aranymetszés Az AB szakaszt a P pont az aranymetszés szerint osztja fel, ha a : b = b : (a + b). b a

1. Pitagorasz tétele segítségével megszerkesztjük a 5 + 1 cm hosszúságú szakaszt.

2 36° b

2. Olyan egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk, amelynek az alapja 2 cm, a szárai 5 + 1 cm hosszúságúak. 3. Kiegészítjük 2 cm-es oldalú szabályos ötszöggé.

a+b b 72°

a 72°

b a b

5 +1

A szabályos ötszög két átlója is éppen ilyen felbontást ad. A keletkező hegyesszögek mind 36°-osak vagy 72°-osak. Kiszámítható, hogy ha az ötszög oldalhosszúsága 2, akkor az átló hossza 5 + 1, a részeinek hossza pedig 2 és 5 − 1.

5 +1

Itt a szögfelező a háromszög szárát az aranymetszés szerint osztja két részre.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG

Csempemintát készítettünk 10 cm oldalú szabályos sokszögekből: háromszögekből, négyzetekből és hatszögekből.

a) Mekkora egy-egy lapocska területe? b) Egy helyiség burkolásához a szabályos hatszöglapokból körülbelül 500 darabra van szükség. Hány darab kell a négyzet- és a háromszöglapokból? Mekkora területet burkoltak a csempékkel?

2 4 . l e c ke

Igazold, hogy ha a 5 + 1 cm hosszúságú szakaszt 2 cm és 5 − 1 cm hosszúságú részekre bontjuk, akkor valóban az aranymetszés szerint osztottuk két részre!

S Z A B Á LYO S S O K S Z Ö G E K T E R Ü L E T E , K E R Ü L E T E

FELSZÍN- ÉS TÉRFOGATSZÁMÍTÁS

BEVEZETŐ

Mekkora darabot vágjunk le egy ív csomagolópapírból, ha egy 40 × 30 × 20 cm-es dobozt akarunk belecsomagolni?

Ha nem akarjuk összevissza hajtogatni a csomagolópapírt próbálgatás közben, akkor tegyük a következőt: hengergessük végig a dobozt a papíron egyik oldaláról a másikra billentve. Ezzel létrehozunk egy képzeletbeli „hálót”. A csomagolópapírt úgy kell vágni, hogy ez a háló kiférjen rá.

Minimum mennyi csomagolópapír kell a fenti doboz becsomagolásához?

2 · (20 · 30) + 2 · (20 · 40) + 2 · (30 · 40) = 5200 (cm2), ez éppen a doboz felszíne.

Ezek szerint be lehetne csomagolni a dobozt pl. egy 50 cm széles és 104 cm hosszú csomagolópapírba is?

Bár 50 · 104 = 5200, ami éppen a doboz felszíne, a háló sosem tökéletes téglalap alakú. Ez a magyarázata, hogy a csomagolásnál mindig keletkezik némi hulladék. Ennyi papír tehát biztosan nem lenne elég, ennek ellenére egy 50 cm széles (120 cm hosszú) ív papírba mégis be lehet csomagolni a dobozt! Hogyan?

… és mennyi holmit lehet egy ilyen dobozba berakni?

A választ a doboz térfogata adja: 20 · 30 · 40 = 24 000 (cm3), vagy 24 dm3, ami egyébként éppen 24 liter.

ELMÉLET Ha egy testet síklapok határolnak, akkor a lapok területének az összegét nevezzük a test felszínének. Egy hasáb felszíne az alaplap, a fedőlap és az oldallapok területének az összege,

A = 2 · Talap + Tpalást

térfogata az alapterület és a magasság szorzata.

V = Talap · m

Egy gúla felszíne az alaplap és az oldallapok területének az összege, térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze.

A = Talap + Tpalást m T

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Talap ⋅ m 3

Geometriai mérések, számítások

P É L DA Négyoldalú szabályos gúla alapéle 12 cm, oldaléle 15 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Megoldás Készítsük el a gúla hálóját! 15 cm

12 c

cm 12 cm

Az oldallapok magasságát Pitagorasz-tétellel kapjuk: cm

15 c

h 2 = 15 2 – 6 2 = 189, h = 189 ≈ 13,7 (cm). 12 ⋅ 13,7 A gúla palástjának területe: Tp ≈ ⋅ 4 ≈ 329 (cm2). 2 A gúla alaplapjának területe: Ta = 12 2 = 144 (cm2). 6 cm 6 cm A gúla felszíne: A = Ta + Tp ≈ 144 + 329 = 473 (cm2). A gúla térfogatának kiszámításához meg kell határoznunk a gúla magasságát. Ismét Pitagorasz-tétellel: m 2 = h 2 – 6 2 = 189 – 36 = 153. h

6 cm

m = 153 ≈ 12,4 (cm). T ⋅ m 144 ⋅ 12,4 A gúla térfogata: V = a ≈ ≈ 595 (cm3). 3 3 Van olyan térgeometriai program, amely alkalmas hasábok és gúlák testhálójának megjelenítésére is („kinyithaV tók” a testek). tó

F E L A DAT Egy kockacukor éle 8 mm. Hány darab fér el egy 16 cm × 8 cm × 5 cm-es dobozban? (A cukor nem törhető szét.)

Egy 1 literes tejesdoboz alapterülete 60 cm2. Mekkora a magassága?

Szabályos négyoldalú gúla alapéle 18 cm, a gúla magassága 12 cm. Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát!

12 cm

m 8c

18 cm

2 5 . l e c ke

F E L S Z Í N - É S T É R F O G AT S Z Á M Í T Á S

18 cm

ELMÉLET A forgáshengert és a forgáskúpot görbe felület is határolja, de ez síkba teríthető. A forgáshenger felszíne a háló területe,

m m 2rp

térfogata az alapterület és a magasság szorzata.

V = Talap · m V = r2π · m

A forgáskúp felszíne a háló területe, vagyis az alaplap és a palást területének összege,

térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze.

A = 2 · Talap + Tpalást A = 2r 2 π + 2rπm vagy A = 2rπ(r + m)

A = Talap + Tpalást A = r 2 π + rπ · a vagy A = rπ(r + a)

2rp

Ha egy gömb sugara r, akkor a gömb felszíne 4-szer akkora, mint az r sugarú kör területe,

Talap ⋅ m

3 r 2π ⋅ m V= 3

A = 4r 2 π r

4 a gömb térfogata r 3π. 3

V =

4 3 rπ 3

F E L A DAT

Egy forgáshenger és egy forgáskúp alapja 4 cm sugarú kör, mindkettő magassága 3 cm. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket is!

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

H Á Z I F E L A DAT

Egy lakás alapterülete 62 m2, belmagassága 265 cm. Hány köbméter a lakás térfogata?

Fagyasztóban jéggömböket készítünk. A gömbök sugara 1,2 cm. Körülbelül hány deciliter víz kell 20 db jéggömbhöz? (Pontosabb számításhoz szükséged van a jég és a víz sűrűségére is.)

Egy úszómedence 50 m hosszú, 15 m széles és 2,2 m mély. a) Hány m3 víz kell a medence teljes megtöltéséhez? b) Mennyi ideig lenne elegendő a medencében elférő víz egy négytagú család számára, ha a család havi vízfogyasztása átlagosan 12 m3?

Szabályos hatoldalú gúla alakú torony alapéle 1,6 m, a torony magassága 4,3 m. a) Hány m3 a torony térfogata? b) Hány m2-t kell színesfémmel befedni a torony külső díszburkolatának elkészítésekor?

Fagyis tölcsér alkotójának hossza 16 cm, alapköre 1,5 cm sugarú. a) Hány cm3 a tölcsér térfogata? b) Hány cm2 fóliával burkolható be a tölcsér palástja?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG A focilabdát sokáig szabályos öt- és hatszög alakú fekete és fehér darabokból varrták össze. Az így kapott alakzat neve csonka ikozaéder, és eléggé hasonlít a gömbhöz (hálója az ábrán látható). A szabályos, gömbölyűre felfújt labda „kerülete” 68-70 cm, azaz a sugara kb. 11 cm, felszíne tehát kb. 4r 2 π = 4 · 11 2 π ≈ 1520 (cm2). Milyen hosszúak az egyes lapok közti varrások? A labda hálója nélkül ki tudnád találni, hány öt- és hatszög alkotja, ha összesen 32 darabból áll? Mennyi egy gumilabda térfogata? Hogyan határozza meg a választ a matematikus, a fizikus és a mérnök? Matematikus: Megméri az átmérőt, és a gömb térfogatképletével kiszámolja... Fizikus: Lenyomja víz alá, s a kiszorított víz tömegéből kiszámolja annak térfogatát... Mérnök: Megkeresi az interneten, hogy mennyi az adott típusú gumilabda szabványos térfogata...

2 5 . l e c ke

F E L S Z Í N - É S T É R F O G AT S Z Á M Í T Á S

KERÜLET, TERÜLET, FELSZÍN, TÉRFOGAT

BEVEZETŐ (4 csoportban) Az Arany család nagy izgalomban van: Gyula papáék új lakásba költöznek. Maguk tervezték meg a lakás beosztását, mégpedig így: 470

520

280

Szoba 1

440

180

140

100

Nappali

120

Konyha

290

310

20 90

Háztartási helyiség

Fürdőszoba

140

250

Szoba 2

400

100

190

220

A méretek cm-ben vannak megadva, a belső falak vastagsága mindenhol 10 cm, a helyiségek magassága 265 cm. Teri mama meghívta lányát, vejét, három unokáját ebédre. Amíg az ebéd készül, kiszámítják, – mennyi parketta és szegélyléc, – mennyi járólap, – mennyi festék kell a felújításhoz. Szerencsére csak az alapanyagokat kell beszerezni, mert Gyula papa ezermester, és apa is sokféle szakmunkához ért. A gyerekek közül csak Bence akar számolni, Hajni és Csilla az ebédfőzésnél szorgoskodik. Bár mi nem kapunk a jó ebédből, csatlakozzunk valamelyik családtaghoz, segítsünk a számolásban!

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

CSOPORTMUNKA Parkettázás (ezt Apa vállalta)

A két hálószobába egyforma, világos színű laminált parkettát szeretnének lerakni. a) Mekkora a lefedendő terület? b) Egy csomag parkettából 2,24 m2-t lehet lefedni. Hány csomagot vegyenek, ha 5% hulladékkal számolnak? c) A világos parketta ára 2100 Ft/csomag. Mennyit fognak fizetni? A nappalit sötétebb színű parkettával szeretnék burkolni. Ez 1,96 m2/csomag kiszerelésben kapható. a) Mennyit vegyenek, ha itt is 5% hulladékkal kell számolni? b) A sötétebb parketta csomagja 2600 Ft. Mennyibe fog kerülni ez a fajta parketta? A parketta és a falak találkozását szegélyléccel szokták letakarni. a) Hány m szegélylécet vegyenek a két szobához és a nappalihoz összesen? (Vigyázat! Az ajtóküszöböknél és a járólapozott részeken nem kell szegélyléc!) b) 290 Ft/m áron számítva ez mennyibe kerül?

Járólapok (ezzel Gyula papa és Bence foglalkozik)

A háztartási helyiségbe és a konyhapult köré járólapot terveznek.

a) Hány m2 járólapra lesz szükség? b) A járólapok 33 × 33 cm-esek és 9 db van belőlük egy csomagban, így minden csomag 1 m2 terület burkolására alkalmas. Egy csomag, tehát 1 m2 járólap ára 2900 Ft, de a csomagokat nem lehet megbontani. Hány csomagra lesz szükség, és mennyit kell majd fizetni értük?

2 6 . l e c ke

K E R Ü L E T, T E R Ü L E T, F E L S Z Í N , T É R F O G AT

c) Egy burkolómester azt javasolta, hogy néhány lapot vágjanak szét 4 egyforma széles csíkra, és építsenek belőle „lábazatot”, azaz ragasszák fel körben a burkolt terület szegélye mentén a falra. Hány plusz lapra lesz ehhez szükség?

Azt is ki kell számítani, hogy ugyanilyen módon (lábazattal) burkolva a fürdőszobát és a WC-t, oda hány csomag járólapra lesz szükség. Egy csomag járólap 1 m2 lefedésére elég, és az ára 3200 Ft.

Festés (ezzel Anya foglalkozik)

A két hálószobát szeretnék egyforma színűre festeni. Az ajtók 1,8 m2, az ablakok pedig egyenként 1,3 m2 felületűek. Mekkora falfelületet kell összesen befesteni?

A két szobában a mennyezeten körbe gipsz díszlécet szeretnének felrakni. Hány darab 2 m hosszú díszlécet kell venniük?

A mellékhelyiségeket is kifestik, de oda nem tesznek díszléceket. Hány m2-es falfelülettel számoljanak?

A nappalival most nem foglalkoznak. Úgy döntöttek, azt szakemberrel fogják tapétáztatni.

A festéket 30 cm magas, 20 cm átmérőjű, henger alakú vödrökben hozzák forgalomba. 1 m2-re kb. 0,1 liter festék kell. Hány vödör festéket kell venniük?

10 .

Egy vödör festék 830 Ft, egy szál (2 m) díszléc 1230 Ft. Mennyibe fog kerülni a festőmunka öszszesen?

Árak (Hajni végül legalább ezt elvállalta)

11 .

Összesen kb. mennyi lesz majd a fenti munkák anyagköltsége?

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

Egyik vásárláskor vettem egy kiló fehérkenyeret, 25 deka gépsonkát, 3 doboz (kb. 40 dkg) kefírt, 2 kiló krumplit, egy 1,3 kilós csirkét és 1,5 kiló szőlőt. A táblázat segítségével számítsd ki, hogy hány kiló vizet „vásároltam” meg!

Az egyliteres friss, illetve egyliteres tartós tej csomagolására ugyanabból az anyagból készíttet dobozt a tejforgalmazó cég. A friss tej doboza 7 cm × 7 cm × 21 cm-es, míg a tartós tejé 6 cm × 9 cm × 19,5 cm-es téglatest alakú doboz. Melyik tejesdoboz kerül többe?

A repülőgép az A és a B irányjelzőtől is 15 km távolságban volt az R1 helyen, amikor gyorsan süllyedni kezdett. Amikor az R2 helyre ért, a B irányjelzőtől ismét 15 km távolságra volt. (Az ábra mutatja a repülő fedélzeti számítógépe által kiszámított szögeket is.) (Az A, B, R1 és R2 pontok ugyanabban a függőleges síkban vannak.)

Élelmiszerek víztartalma Kenyerek, tésztafélék: Fehérkenyér 38% Graham-kenyér 31% Zsemle, 1 db 17% Száraztészta, 4 tojásos 7,6% Tejtermékek, zsiradékok Kefir 87% Tejföl 72% Trappista sajt 38% Vaj, margarin 16%

„…Az északi-tengeri Brent könnyűolaj ára 7,4%kal csökkent, és így 60,48 dolláron végzett a londoni tőzsdén.” Hány dollár volt a könnyűolaj ára a csökkenés előtt? Pénzkölcsönzéssel foglalkozó cég 150 000 forintot 24 hónapra ad kölcsön, havi 9000 Ft törlesztés mellett. A kölcsönvett pénz hány százalékát fizeti vissza az adós? A 28 fős 11. A osztályban minden diák tanul idegen nyelvet, mégpedig angolt vagy spanyolt. 22-en tanulnak angolul, 17-en spanyolul. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

60°

„…A cég árbevétele ebben a negyedévben 12,6 milliárd euróra zsugorodott a tavalyi harmadik negyedévi 14 milliárd euróról.” Hány százalékos volt a csökkenés a tavalyi árbevételhez képest?

Húsok, húskészítmények Csirkehús 72% Sertéscomb 70% Gépsonka 66%

Zöldség- és gyümölcsfélék Szőlő 79% Görögdinnye 91% Burgonya 77% Fejes saláta 95% Uborka 96%

km h2

a) Mekkora magasságban (h1) volt a repülőgép az R1 helyen? b) Mekkora távolságra (x) van R2 az R1 helytől? c) Hány km-t süllyedt a repülő, amíg R2-be ért? d) Mekkora szöget zár be a vízszintessel az R1R2 egyenes?

Mennyibe kerül egy félgömb alakú kupola befedése, ha az átmérője 7,8 m, és 1 m2 költsége 32 ezer Ft?

H O S S Z Ú S Á G , T E R Ü L E T, T É R F O G AT

Geometriai mérések, számítások

10 .

Az Amenemhat-piramis eredetileg közel szabályos négyoldalú gúla alakú volt. A gúla magassága 55 méter, az alapél hossza pedig 84 méter lehetett. a) Mekkora egy ilyen gúla térfogata és felszíne? b) Mekkora lehet egy családi ház, illetve egy lakótelepi tízemeletes, egy lépcsőházas épület térfogata? Hány százaléka ez a piramis térfogatának? Egy síkban van a P pont és 3 párhuzamos egyenes, az e, az f és a g. P és e távolsága 2 cm, P és f távolsága 6 cm, P és g távolsága 7 cm. Mekkora lehet az egyenesek távolsága?

11 .

a) Mekkora az α? 135°

135

105°

5°

135°

b) Egy nyolcszögnek 6 szöge 140°-os, a hetedik és a nyolcadik szöge egyenlő egymással. Mekkorák ezek a szögek?

12 .

Bemutatkozáskor a 9. osztály minden tanulója kezet fogott egymással. Hány kézfogás történt, ha az osztálylétszám 30 fő?

TUDÁSPRÓBA

Egy gimnázium elküldte a legjobb atlétáit és a legjobb úszóit a megyei versenyre. Összesen 12 fiú volt a csoportban. Hány lehetett közülük atléta és hány az úszó, ha 9-en mindkét versenyen indultak? Tóbiás úgy ad kölcsön 200 ezer forintot, hogy öt hét múlva 250 ezret kér vissza. Elemér pedig úgy, hogy 60 ezer forint helyett két hónap múlva 75 ezret kér vissza. Melyikük a nagyobb uzsorás?

Mekkora szöget alkot egy egyenlő szárú derékszögű háromszög két szögfelezője?

Milyen magas a városháza tornya? Azt tudjuk, hogy amikor a Nap sugarai 30°-os szögben érik a talajt, akkor a torony árnyéka 42 méter.

Misi edzés után mindig elegyengeti a salakpályát. Egyszeri körbefordulással hány m2-es területet simít el a hengerrel?

a) Mekkora az α? b) Összesen hány átlója van ennek a sokszögnek? °

117

117°

135°

27. l e c ke

135°

GYA KO R L Á S ; T U D Á S P R Ó B A

A 10 HATVÁNYAI

BEVEZETŐ

Egy befektető 50 milliárd forintból lakóparkot akar építeni. A költség 40%-át a tereprendezésre, a közművek kiépítésére fordítják, a megmaradt összegből átlagosan 12,5 millió önköltségű lakásokat alakítanak ki. Hány lakást építhetnek?

Lakásokra fordítják az 50 milliárd forint 60%-át, ez 50 milliárd ∙ 0,6 = 30 milliárd forint. Hányszorosa a 30 milliárd forint a 12,5 milliónak? Első módszer 1 milliárd = 1000 millió, 30 milliárd = 30 ∙ 1000 millió = 30 000 millió. A lakások száma tehát 30 000 millió : 12,5 millió = 30 000 : 12,5 = 2400. Második módszer 1 millió = 10 6; 12,5 millió = 12,5 ∙ 10 6; 1 milliárd = 1000 millió = 1000 ∙ 10 6; 30 milliárd = 30 000 millió = 30 000 ∙ 10 6. A lakások száma: (30 000 ∙ 10 6) : (12,5 ∙ 10 6) = (30 000 : 12,5) ∙ (10 6 : 10 6) = 2400 ∙ 1 = 2400. Az első számításunk azért volt egyszerű, mert nem írtuk ki a milliókat jelölő sok nullát. A 30 000 millió : 12,5 millió osztás részletesen kiírva ilyen lenne: 30 000 000 000 : 12 500 000, ami nagyon nehezen áttekinthető. A második számításunkban az 1 millió hatványalakját használtuk fel, ezzel tettük áttekinthetővé a munkát. A 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, … számok mind a 10 hatványai. tíz: 10 = 10 1; száz: 100 = 10 ∙ 10 = 10 2; ezer: 1000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 3; tízezer: 10 000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 4; százezer: 100 000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 5; egymillió: 1 000 000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 6; tízmillió: 10 000 000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 7. Ha egy pozitív egész szám első számjegye 1, a többi számjegy pedig 0, akkor ez a szám a 10 hatványa (annyiadik hatvány, ahány 0 van a számban az 1 után).

Hányadik hatványa a 10-nek a) tízezer ∙ tízmillió; b) tízmillió : tízezer?

Megoldás a) tízezer ∙ tízmillió = 10 4 ∙ 10 7 = (10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) ∙ (10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) = 10 11, mert ez 4 + 7 = 11 darab 10 tényező szorzata. b) tízmillió = 10 7 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = (10 ∙ 10 ∙ 10) ∙ (10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) = 10 3 ∙ tízezer, ezért tízmillió : tízezer = 10 7 : 10 4 = 10 3. Észrevehetjük: a tízmillió hatványalakjában 3-mal több 10 tényező van, mint a tízezer hatványalakjában.

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

Számolási szabályok

Példák

ha az m és az n pozitív egész szám, akkor 10 m ∙ 10 n = 10 m + n;

10 3 ∙ 10 11 = 10 14; 10 8 ∙ 10 6 = 10 14; 10 26 ∙ 10 = 10 26 ∙ 10 1 = 10 27;

ha az m és az n pozitív egész szám, és m > n, akkor 10 m : 10 n = 10 m – n.

10 15 : 10 9 = 10 6; 10 23 : 10 4 = 10 19; 10 17 : 10 16 = 10 1 = 10.

F E L A DAT

Hányadik hatványa a 10-nek a) az 1 milliárd, ami 1000 millió; b) az 1 billió, ami 1 millió millió (ezer milliárd); c) az 1 trillió, ami 1 millió billió; d) az 1 kvadrillió, ami 1 millió trillió?

Írd fel az újságcikkben szereplő földgáztérfogatokat a 10 hatványai segítségével!

Óriás vezetéket épít a Gazprom Nyilas Gergely, Moszkva

Tíz év késéssel, ám annál nagyobb felhajtással vágott szerdán a Gazprom annak a gázvezetéknek az építésébe, amely a következő évtizedek legnagyobb orosz gázmezőjét köti össze a kül- és belföldi fogyasztókkal. Az északoroszországi Jamal-félszigeten fekvő, a tervek szerint 2011-ben beinduló Bovonyenkovo mező 2020-tól évi 220 milliárd köbméter földgázt biztosítana. Ez a Gazprom teljes jelenlegi földgázexportjával egyenlő. Az Uhta-Bovonyenkovo szakasz első összehegesztését ünnepélyesen levezénylő Alekszej Miller, a Gazprom elnöke és Viktor Zubkov első kormányfőhelyettes (a gázipari óriás igazgatótanácsának elnöke) szerint a „gigantikus megaprojekt” nem szenved halasztást az energia-

hordozók világpiaci árának csökkenése ellenére sem. – Amíg ilyen fizetésünk lesz, nem panaszkodunk – vallotta meg az ünnepi csőszelet közelében álldogáló munkás. A hegesztő szerint a munkák alatt havi 40-70 ezer rubelt (1 rubel 7,5 forint) keresnek a dolgozók. – Jó helyet találtak az ünnepségre, távolabb már mocsaras

”

Bovonyenkovo az első és legnagyobb állomása a becslések szerint 50, bizonyítottan 38 trillió köbméter földgázt rejtő Jamalfélszigeti kitermelésnek.

a vidék, nem is lesz könnyű építeni, de fél kilométert már így is összeraktunk – mondja a férfi az 1100 kilométerre fekvő végcél felé nézve. A munkások nem tartanak elbocsátásoktól, a régióban a Gazprom a legnagyobb munkáltató – legfeljebb azt sajnálják, hogy a gázvezetékekre sok belföldi fogyasztó nem tud csatlakozni. – 50 ezer rubel lenne a bekötés, a többségnek ez megfizethetetlen. A cső csak elfut mellettünk – vonja meg a vállát az egyik munkás. Eközben az uhtai sajtótájékoztatón Miller kijelentette, hogy a jövőben a belföldi piac egyre fontosabb lesz, párhuzamosan azzal, ahogy emelkedik a gáz belföldi ára. Hét éve 13, idén 64 dollárt ér 1000 köbméter földgáz, két év múlva pedig a dupláját. – A külföldi felhasználók legnagyobb konkurenciája a belföldi piac lesz –

mondta a 445 ezer embert foglalkoztató gázipari óriás elnöke, aki szerint a vállalat önerőből esetleg állami költségvetési pénz bevonásával képes lesz megvalósítani a projektet. 2009 végéig a Gazprom nyolcmilliárd dollárt költ az épülő gázvezetékre és az ahhoz kötődő vasútra. Igaz, eközben a Gazprom adóssága ma már 60 milliárd dollár felett jár, elérve a cég éves forgalmának kétharmadát (2001-ben 13 milliárd volt). Bovonyenkovo az első és legnagyobb állomása a becslések szerint 50, bizonyítottan 38 trillió köbméter földgázt rejtő Jamal-félszigeti kitermelésnek. A csúcsot 25 év múlva érheti el évi 360 milliárd köbméterrel, amire égető szüksége van az exportot növelni szándékozó és a saját gázfogyasztását egyre nagyobb arányban Közép-Ázsiából fedező Oroszországnak.

„Az Egyesült Államok védelmi költségvetése a 2008. évre 548,9 milliárd dollár, a GDP 3,9%-a. Ez az egész világ fegyverkezésre és védelemre költött összegének 45%-a, többszöröse minden más államénak.” (GDP: bruttó hazai termék, termelés.) a) Hány dollár az Egyesült Államok GDP-je? b) Hány dollárt költ a világ fegyverkezésre és védelemre 2008-ban? c) Mennyi az x, ha 548,9 milliárd = 5,489 ∙ 10 x? d) Magyarország 2008. évi GDP-je kb. 105 milliárd euró. Hány százaléka ez az Egyesült Államok GDP-jének, ha 1 euró kb. 1,4 dollárt ér? e) Add meg az a) és b) feladat eredményét forintban kifejezve, ha 1 dollár kb. 180 forintot ért 2008-ban!

2 8 . l e c ke

A 1 0 H AT V Á N YA I

P É L DA Hány gramm egy vasatom tömege? Megoldás A vas atomsúlya 56. Ismert természeti törvény, hogy 56 gramm vas közelítőleg 600 ezer trillió atomot tartalmaz. (Ezt a számot Avogadro-számnak is nevezik.) Tehát egy atom tömegét megkapjuk, ha az 56-ot elosztjuk az Avogadro-számmal. De hogyan írhatjuk le ezt az osztást? Fejezzük ki először magát az Avogadro-számot a 10 hatványaival: 1 trillió = 10 18, 600 000 trillió = 6 ∙ 100 000 ∙ 10 18 = 6 ∙ 10 5 ∙ 10 18 = = 6 ∙ 10 5 + 18 = 6 ∙ 10 23. Eszerint egy vasatom tömege (grammban kifejezve): 56 1 56 : 6 ⋅ 1023 = ≈ 9,33 ⋅ 23 . 6 ⋅ 1023 10 1 Az 23 számot így szoktuk jelölni: 10 – 23. 10

(

)

Ezt az új jelölést használva egy vasatom tömege közelítőleg 9,33 ∙ 10 – 23 gramm. 1 Ha az n pozitív egész szám, akkor az n számot így is 10 jelöljük: 10 – n. Például 1 1 = 10−7 ; 10−12 = 12 . 107 10 A 10 negatív egész kitevőjű hatványaival ugyanúgy számolhatunk, mint a pozitív egész kitevőjű hatványokkal. Például 10 – 4 ∙ 10 6 = 10 – 4 + 6 = 10 2; 10 – 4 : 10 6 = 10 – 4 – 6 = 10 – 10; 10 6 : 10 – 4 = 10 6 – (– 4) = 10 10.

F E L A DAT

Írd fel 10 hatványaként az eredményeket! a) 10–7 ∙ 10–4

(

)

(

)

−2

b) 10−3 10−5 10−7 d) 10−3 c)

Az 1958-as brüsszeli világkiállítás szimbóluma a képen látható Atomium épülete volt, amely a vas ún. „tércentrált köbös” kristályrácsának egy részletét modellezi 165 milliárdszoros nagyításban. Az épület teljes magassága 102 méter, a gömbök sugara 9 méter, a legalsó gömb egy kb. 2 m magas talapzaton áll. a) Pitagorasz tétele szerint a kocka testátlójának hosszát megkapjuk, ha a kocka oldalélének hosszát 3-mal megszorozzuk. Ennek segítségével számítsd ki, hogy kb. mekkora az Atomium-kocka élhossza! b) Számítsd ki, hogy a valóságban kb. mekkora a vaskristály egy „kockájának” élhossza!

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

H Á Z I F E L A DAT

Mennyi az x, ha a) 100 millió = 10 x; b) 25 milliárd = 2,5 ∙ 10 x; c) 10,9 billió = 1,09 ∙ 10 x?

Mennyi az x, ha a) 100 ezred = 10 x; b) 25 milliomod = 2,5 ∙ 10 x; c) 10,9 tízezred = 1,09 ∙ 10 x?

a) Hány kg lehet 6,5 milliárd ember együttes tömege? C) ≈ 6,5 ∙ 10 10 A) ≈ 4 milliárd B) ≈ 4 ∙ 10 11 D) 6500 milliárd 24 b) A Föld tömege 6 ∙ 10 kg. Hány trillió ember tömegével egyenlő ez, ha egy ember tömegét 60 kg-nak vesszük?

A kén atomsúlya 32. Hány gramm egy kénatom tömege?

Egy 40 cm × 20 cm-es téglalap alapú akváriumot 12 cm magasságig feltöltenek vízzel. Amikor egy követ helyeznek az akváriumba, a víz szintje 0,4 cm-t emelkedik (a víz teljesen ellepi a követ). Mekkora a kő térfogata? a) 0,32 ∙ 10 3 cm3 b) 96 000 ∙ 10 – 1 cm3 c) 2000 ∙ 10 –3 cm3 d) 9,92 ∙ 10 3 cm3

RÁADÁS 10 nagyobb hatványai között némi félreértésre ad alkalmat, hogy angol nyelvterületeken és még néhány más országban (pl. Franciaország vagy Brazília) az ezer millió (10 9) jelentésű milliárd szó helyett a „billiót” használják, míg ugyanezt a szót a legtöbb nem angol anyanyelvű országban, például hazánkban is, az ezer milliárd (10 12) elnevezésére használják.

F E L A DAT

A következő adatok közül melyik felelhet meg egy átlagos felnőtt ember tömegének? a) 7,5 ∙ 10 5 g b) 750 ∙ 10 –3 tonna c) 7 500 000 ∙ 10 –3 dkg d) 7,5 ∙ 10 8 mg

2 8 . l e c ke

A 1 0 H AT V Á N YA I

SZÁMOLÁS HATVÁNYOKKAL I.

BEVEZETŐ

Táptalajba 200 sejtet oltanak. A sejtek száma 30 percenként megkétszereződik. a) Hányszorosára változik a sejtek száma 12 óra elteltével? b) Körülbelül hány sejt lesz 12 óra múlva, ha közben a sejtpusztulás elhanyagolható mértékű? A) ≈ 336 millió C) ≈ 33,6 milliárd 9 B) ≈ 3,36 ∙ 10 D) 0,336 ∙ 10 6

Bankba tett pénzünk évi 8,45%-os kamatos kamat mellett 5 év alatt 1,5 millió forintra szaporodott. Hány forint volt a bankban elhelyezett tőke?

Megoldás A kamatos kamatra használt képlet szerint (millió forintban számolva):

Megoldás a) Félóránként duplázódik a sejtek száma, ezért 12 óra alatt 24-szer kétszereződött a sejtszám. A sejtek száma tehát 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 2 24-szeresére (számológéppel: 16 777 216-szorosára) változott. b) A sejtek száma 200 ∙ 2 24 = 3 355 443 200, azaz kb. 3,36 milliárd lesz. Ezért a B) válasz a helyes.

A⋅ 1+

8,45 100

= 1,5, ebből osztással kapjuk meg az A ér-

1,5 ≈ 1,0. 1,08455 A bankban elhelyezett tőke tehát kb. 1 millió forint volt. tékét: A =

Megjegyzés: A sejtek száma óránként 4-szeresre változik, 12 óra alatt tehát 4 12-szeresre. Ezért 2 24 = 4 12.

Megjegyzés: Negatív kitevőjű hatványalak alkalmazásával: 1,5 = 1,5 ⋅ 1,0845−5 . 1,08455

ELMÉLET Pozitív és negatív számok egész kitevőjű hatványai: ha az a egy pozitív vagy egy negatív számot jelöl, az n pedig pozitív egész szám, akkor n 1 1 a− n = n = . a n = a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a (n tényező); a 0 = 1; a a Például 3 4 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81; 2 5

−3

= 1:

2 5

= 1:

3 0 = 1;

3−4 =

1 1 = 4 3 3

1 ; 81

8 125 125 vagy másképp: = 1⋅ = 125 8 8

2 5

2 5 −3

5 2

2 2 2 8 ⋅ ⋅ = ; 5 5 5 125

= 3

2 5

= 1;

5 5 5 125 ⋅ ⋅ = . 2 2 2 8

A 0-nak minden pozitív egész kitevőjű hatványa 0, nem értelmezzük sem a nulladik, sem negatív kitevőjű hatványát (0 0 nincs értelmezve, és 0 –3 sincs értelmezve).

100

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

Számolási szabályok ha a és b is valós szám, egyik sem 0, az m és az n pedig egész szám, akkor am ∙ an = am + n a :a = a m

(a )

m n

m–n

2 3 ∙ 2 7 = 2 10; 0,65 7 ∙ 0,65 2 = 0,65 9; (–5) 12 ∙ (–5) 13 = (–5) 25 2 3 : 2 7 = 2 –4; 0,65 7 : 0,65 –2 = 0,65 9; (–5) 12 : (–5) 13 = (–5) –1

(2 )

5 3

(ab) n = a n ∙ b n a b

Példák

an bn

= 215 ;

⎡⎣(−5)9 ⎤⎦

−3

(5 )

−4 2

(10 )

−3 −6

= 5−8 ;

= (−5)−27 ; ⎡⎣(−1)−5 ⎤⎦

−2

= 1018 ;

= (−1)10 = 1 4 5

(9 ∙ 7) –3 = 9 –3 ∙ 7 –3; 30 5 = 3 5 ∙ 10 5; 2 7

24 ; 74

−3 2

−6

2 −3

⋅

5 2

4 5 ⋅ 5 2

= 28

26 26 = 6; 6 (−3) 3

F E L A DAT

Egy téglatest éleinek hosszúsága 2 3, 2 4 és 2 5. Mekkora a téglatest a) felszíne; b) térfogata?

Egy négyzet oldalainak hossza 2 6 mm. 2-nek hányadik hatványa a) a négyzet kerülete (mm-ben mérve); b) a négyzet területe (mm2-ben mérve)?

Zsolt azt mondja, hogy (3 15 ∙ 3 7) : 3 10 kisebb, mint (3 19 : 3 13) 2. Klári szerint Zsolt téved. Kinek van igaza?

Egy négyzetes oszlop oldalélei 8-szor akkorák, mint az alapélek. Az alapélek hossza 2 10 mm. A 2-nek hányadik hatványával fejezhető ki a) az oldalél hossza (mm-ben mérve); b) az alaplap területe (mm2-ben mérve); c) egy oldallap területe (mm2-ben mérve); d) az oszlop térfogata (mm3-ben mérve)?

Írd fel két egész szám hányadosaként! Ne használj most zsebszámológépet! 2 –4 7 –3 1 –3 1 –3 2 –3 7 2 ; ; : ; : ; 3 4 3 2 7 3 1 –3 1 3 3 3 2 –3 7 –2 5 –3 : ; : ; : ; 3 3 5 5 2 2

Hányadik hatványa 1 a) 2-nek a 256, ill. az ; 64 1 1 -nek a 256, ill. az ? b) 2 64

Az idő múlásával az amortizáció miatt egy használati tárgy veszíthet az értékéből. Egy jó minőségű nyomdagép értéke minden évben a 9%-ával csökken. Ha eredetileg másfél millió forintért vette a cég, akkor mennyit fog érni 6 év múlva?

Melyik nagyobb? Használj számológépet! a) (–1,8) 4 vagy –1,8 4 c) 0,7 4 vagy 0,8 4 5 5 b) (–1,8) vagy –1,8 d) 0,7 4 vagy 0,7 6

Zsebszámológép használata nélkül írd fel két egész szám hányadosaként! 3 –2 3 3 7 –3 7 –2 5 3 2 –3 : ; : ; : ; 5 3 2 2 11 11

H Á Z I F E L A DAT

Írd fel a 6 egész kitevőjű hatványaként annak a kockának a felszínét (cm2-ben) és a térfogatát (cm3ben), amelynek élhossza a) 6 cm; b) 6 4 cm; c) 6 –2 cm! Használd a számológépedet! a) 1,25 10 c) 1,25 –10 e) 1,25 12 ∙ 0,8 12 b) 0,8 10 d) 0,8 –10 f) 1,25 –12 ∙ 0,8 –12

2 7

2 9 . l e c ke

S Z Á M O L Á S H AT V Á N YO K K A L I .

–2

3 2

–3

1 01

SZÁMOLÁS HATVÁNYOKKAL II.

P É L DA

Mennyi 0,01 2, 0,01 3 és 0,01 4?

Első módszer 0,01 2 = 0,01 ∙ 0,01 = 0,0001 (1 tízezred); 0,01 3 = 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 = 0,0001 ∙ 0,01 = 0,000 001 (1 milliomod); 4 0,01 = 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 = 0,000 001 ∙ 0,01 = 0,000 000 01 (1 százmilliomod). Második módszer 2 3 1 1 0,01 = = 2 = 10−2 , ezért 0,012 = 10−2 = 10−4 ; 0,013 = 10−2 = 10−6 ; 0,014 = 10−2 100 10 A második módszer könnyebben áttekinthető, mert csak a 10 hatványaival kell számolnunk.

(

)

(

)

(

)

= 10−8 .

A két módszert összehasonlítva látjuk: 0,0001 = 10 – 4; 0,000 001 = 10 – 6; 0,000 000 01 = 10 – 8. A szám hatványalakjából a kitevő segítségével megállapítható, hány 0 áll a szám tizedestört-alakjában az 1 előtt.

Televíziós vetélkedőben a játékosnak hat kérdést tesznek fel. Ha mindegyik kérdésre helyesen válaszol, akkor megnyeri a fődíjat, egyébként nem nyer. A játékszabály szerint az első három kérdésre két-két válasz (A vagy B) közül kell a játékosnak kiválasztania a helyeset, a következő három kérdésre már öt-öt válasz közül kell választania (A, B, C, D, E). a) A műsor készítőinek összesen hány választ kell előkészíteniük? b) A hat helyes válasz elhelyezésére hány különböző lehetőség van? c) Mekkora a fődíj elnyerésének az esélye, ha a játékos minden kérdésre véletlenszerűen választ a felkínált lehetőségek közül?

Megoldás a) Az első három kérdésre 6 választ kell előkészíteni, a következő három kérdésre pedig 15 választ. Összesen tehát 21 választ kell előkészíteni. b) Az első kérdésre 2, az első két kérdésre 2 ∙ 2, az első három kérdésre 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 3 különböző módon lehet elrendezni a helyes válaszokat. Ezt gráffal is könnyen szemléltethetjük. 1. kérdésre a helyes válasz

2. kérdésre a helyes válasz

3. kérdésre a helyes válasz

Az első négy kérdésre 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5, az első öt kérdésre 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5, végül a hat kérdésre 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 2 3 ∙ 5 3 különböző módon lehet elrendezni a helyes válaszokat. 2 3 ∙ 5 3 = (2 ∙ 5) ∙ (2 ∙ 5) ∙ (2 ∙ 5) = (2 ∙ 5) 3 = 10 3 = 1000, tehát 1000 különböző módon lehet előkészíteni a helyes válaszokat. c) A játékos az 1000 különböző lehetőség közül mindegyiket ugyanakkora eséllyel választja. Az 1000 lehetőség közül egyetlen olyan van, amely mind a 6 kérdésre a helyes választ adja meg, tehát 1 : 1000 a játékos esélye a nyerésre. Megjegyzés: Az

102

1 esélyt 0,001 valószínűségnek vagy „0,1%-os esély”-nek is szoktuk mondani. 1000

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

F E L A DAT

3. 4.

1 9 ⋅5 25 2 3−8 c) 35 = −18 3

Írd fel 10 egész kitevőjű hatványaként és tizedes tört alakban is! a) 0,001 2 b) 0,001 3 c) 0,001 4

b) 57 =

Számológép nélkül számítsd ki! a) 0,001 5 ∙ 0,1 3 b) 0,001 3 : 0,1 5 c) 0,1 –5 : 0,001 –3

d) 2 5 + 2 5 = 2 10 e) 2 6 – 2 5 = 2 5

Számológép nélkül számítsd ki! a) 2 5 ∙ 5 5 b) 5 6 ∙ 2 6

( )

7. c) 2 –4 ∙ 5 –4

Számológép nélkül számítsd ki! a) 48 5 : 4,8 5 b) 2,5 6 ∙ 4 6 c) 0,125 –4 ∙ 0,8 –4

Számológép nélkül számítsd ki! a) 6 –5 ∙ 6 7 b) 2 6 ∙ 2 –8 c) 0,8 8 ∙ 0,8 –6

Igaz vagy hamis? a) 5 7 = 25 ∙ 5 5

Számológép nélkül számítsd ki! a)

2 5

–2 3

3 4

2 –3

c) –

3 11

1 2

–3 –3

2 3

–2 –3

–2

H Á Z I F E L A DAT

Írd fel 10 egész kitevőjű hatványaként az eredményt! a) 0,001 ∙ 0,000 01 c) 0,0001 –2 b) 0,001 4 d) 100 –3 : 0,01 6 Igaz vagy hamis? a) 2 10 = 4 5 b) 4 –8 = 16 –4

Írd fel 10 egész kitevőjű hatványaként az eredményt! 28 ⋅ 59 25−1 ⋅ 8−4 a) 5 6 c) 2 ⋅5 53 ⋅ 2−7

( )

b) 43 ⋅ 257 ⋅ 23 ⋅ 5 c) 8 –7 = 4 –14 d) 27 9 = 3 27

Számológép nélkül add meg az eredményt! a) 10 7 ∙ 10 5 ∙ 10 3 ∙ 10 1 b) 10 7 + 10 5 + 10 3 + 10 1 c) 10 –6 + 10 –4 + 10 –1 + 10 0 d) 10 –6 ∙ 10 –4 ∙ 10 –1 ∙ 10 0 e) 0 5 + 0 4 + 0 2 f) 0 5 ∙ 0 4 ∙ 0 2

3 0 . l e c ke

S Z Á M O L Á S H AT V Á N YO K K A L I I .

(

d) 20−3

)

−2

⋅ 5−1 ⋅ 4 −2 ⋅ 125

500 ezer forint tőke 4 éven keresztül évi 6%-os kamatos kamattal növekedett, majd az így felnövekedett tőke további 4 éven keresztül évi 5%-os kamatos kamattal gyarapodott. a) Mekkora lesz a 8. év végén a felnövekedett tőke (ezer forintban)? A) 500 · 0,06 4 · 0,05 4 C) 500 · 1,6 4 · 1,5 4 B) 500 · 1,06 4 · 1,05 4 D) 500 · 0,11 4 b) Mekkora éves kamatos kamat esetén érhettünk volna el ugyanakkora növekedést 4 év alatt, mint amennyit a 8 év alatt elértünk? A) 11,3% C) 5,5% E) ≈ 17,4% B) 30% D) 11%

103

SZÁMOLÁS HATVÁNYOKKAL III.

BEVEZETŐ

Melyik a nagyobb? a) p = 68 725 vagy q = 102 001; b) v = 10 5 + 10 3 + 10 2 + 10 1 + 10 0 vagy w = 9 ∙ 10 4 + 9 ∙ 10 3 + 9 ∙ 10 2 + 5 ∙ 10 1 + 7 ∙ 10 0; c) r = 2 ∙ 10 –1 + 3 ∙ 10 –3 + 9 ∙ 10 –5 vagy s = 9 ∙ 10 –2 + 4 ∙ 10 –4; d) x = 10 5 + 8 ∙ 10 3 + 10 2 + 10 1 + 7 ∙ 10 0 vagy y = 8 ∙ 10 4 + 10 3 + 9 ∙ 10 2 + 5 ∙ 10 4.

Megoldás a) A helyi értékes írásmód nyilvánvalóvá teszi számunkra, hogy p < q, mert q-ban százezres helyi értékű számjegy is van, de p-ben nincs. b) A v szám egy darab százezres, meg egy ezres, meg egy százas, meg egy tízes, meg egy egyes összege, amit helyi értékes írásmóddal így szoktunk lejegyezni: v = 101 111. A w szám kilenc darab tízezres, meg kilenc ezres, meg kilenc százas, meg öt tízes és hét egyes összege. Helyi értékes írásmóddal: w = 99 957. Tehát w < v. c) r = 0,203 09 és s = 0,0904. Tehát s < r. d) x = 108 117 és y = 13 ∙ 10 4 + 10 3 + 9 ∙ 10 2 = 10 5 + 3 ∙ 10 4 + 10 3 + 9 ∙ 10 2 = 131 900, tehát x < y.

Számítsuk ki az

x3 y kifejezés értékét számológéppel, ha x = 2 ∙ 10 –13, y = 427 10 és z = 3,813 ∙ 10 –3! z5

Megoldás

( 2 ⋅10 ) ⋅ 427 ( 3,813 ⋅10 ) −13 3

Írjuk le, mit kell kiszámítanunk a számológéppel:

−3 5

Ha nem tesszük ki a zárójeleket, akkor hibás eredményt kapunk, mert ebben az esetben a gép a 2-t és a 3,813-at nem fogja hatványozni, jóllehet mindkettőt kell: a 2-t a 3. hatványra, a 3,813-at pedig az 5. hatványra kell emelni a szorzat hatványozási szabálya miatt. A helyes beírás után a számológép kijelzőjén a következő szám jelenik meg: 2,000 021 714 (géptől függően több vagy kevesebb számjegy is lehet). Tehát a kifejezés helyettesítési értéke ≈ 2.

F E L A DAT

104

Írd le helyi értékes alakban a számokat! a) 10 4 + 3 ∙ 10 5 b) 2 ∙ 10 –2 + 10 0 + 5 ∙ 10 –1 c) 7 + 8 ∙ 10 2 + 9 ∙ 10 –1

p5 q −2 kifejezés értér −4 két, ha p = –57,9, q = –5,347 ∙ 10 –3, r = 3,8499 ∙ 10 –3! Számológéppel számítsd ki a

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

Melyik a nagyobb? Számológép segítsége nélkül add meg a választ! a) 2 –9 vagy 2 –8; b) 0,75 10 vagy 0,75 11; c) 7,5 10 vagy 7,5 11; d) 157 ∙ 10 9 vagy 1,47 ∙ 10 11.

Számológép nélkül számítsd ki, mennyi 3−7 ⋅ 7 −3 3−9 ⋅ 7 −7 : ! 25 ⋅ 7 4 25

A tömegvonzás törvénye szerint, ha az m1 kg és az m2 kg tömegű testek távolsága r méter, akkor a két test között fellépő gravitációs vonzóerőt az k ⋅m1 ⋅m2 (newton) képlettel lehet kiszámítani. F= r2 Hány newton ez az erő a Föld és a Hold között, ha ebben az esetben m1 = 5,98 ∙ 10 24, m2 = 7,35 ∙ 10 22, r = 3,84 ∙ 10 6 és k = 6,67 ∙ 10 –11?

P É L DA Melyik igaz, melyik hamis? A hamis állításokat módosítsuk úgy, hogy igazak legyenek! a) (5 ∙ 7) 3 = 5 3 ∙ 7 3 b) (5 + 7) 3 = 5 3 + 7 3 c) (25 ∙ 4) –1 = 25 –1 ∙ 4 –1 d) (25 + 4) –1 = 25 –1 + 4 –1 Megoldás a) Igaz állítás, a szorzat hatványára vonatkozó szabály szerint. (Szorzat hatványa a tényezők ugyanolyan kitevőjű hatványának szorzatával egyenlő.) b) Egyszerű számolással meggyőződhetünk, hogy ez hamis állítás: (12 3 = 1728 ≠ 125 + 343). Az összeg hatványa nem egyenlő a tagok ugyanolyan kitevőjű hatványának összegével. Igaz állítás: (5 + 7) 3 = 12 3 = 1728 ≠ ≠ 5 3 + 7 3 = 125 + 343 = 468.

c) A szorzat hatványára vonatkozó szabály szerint ez igaz kijelentés, de ezt közvetlenül is beláthatjuk: 1 1 1 1 és 25−1 ⋅ 4 −1 = (25 ⋅ 4)−1 = 100−1 = ⋅ = . 100 25 4 100 (Szorzat reciproka egyenlő a tényezők reciprokának szorzatával.) 1 1 1 29 d) (25 + 4)−1 = 29−1 = és 25−1 + 4 −1 = + = . 29 25 4 100 1 4 4 29 Mivel = < < , ezért az állítás nyil29 116 100 100 ván hamis. Az összeg reciproka nem egyenlő a tagok reciprokának összegével. 1 Igaz kijelentések: (25 + 4)−1 = 29−1 = ≠ 29 1 1 29 ≠ 25−1 + 4 −1 = + = . 25 4 100

F E L A DAT

Melyik állítást szemlélteti az ábra? Melyik állítás igaz? a) (3 · 5) 2 = 3 2 · 5 2 b) 3 2 + 5 2 = (3 + 5) 2 c) 3 2 + 5 2 > (3 + 5) 2 d) 3 2 + 5 2 < (3 + 5) 2

31 . l e c ke

Válaszd ki az igaz kijelentéseket!

( ) = 3 ⋅2 (7 + 5 ) = 7 + 5 (7 + 5 ) = 7 + 5 (10 + 10 ) = 121 ⋅ 10

a) 34 ⋅ 25 8

b) c)

S Z Á M O L Á S H AT V Á N YO K K A L I I I .

3 2

4 2

105

H Á Z I F E L A DAT

a) Tudjuk, hogy 509,8 = 5 · 10 2 + 9 · 10 0 + 8 · 10 –1. Írd le az 5065,8-et és a 3,085-et hasonló alakban! b) Melyik a nagyobb: 8 · 10 –3 + 5 · 10 0 + 3 · 10 –1 vagy 2 · 10 –1 + 5 · 10 0 + 10 –2? 4 ⋅ π ⋅ r3 cm3. 3 Számold ki a gömb térfogatát, ha a) sugara 2 · 10 4 cm; b) sugara 1,5 · 10 –5 cm; c) sugara 6370 km (a Föld sugara)!

Az r cm sugarú gömb térfogata

Írd fel a lehető legegyszerűbb alakban a következő számokat! a)

5−3 ⋅ 7 −4 5−4 ⋅ 7 −3

Hány méter hosszú a [10 5; 10 6] intervallum, ha a számegyenesen a [0; 1] intervallum hossza 1 cm?

Mekkora annak a négyzetnek a területe, amelynek a számegyenes 5 · 10 –7 jelű pontja az egyik csúcsa, az ezzel szomszédos egyik csúcsa pedig a számegyenes 2 ∙ 10 –6 jelű pontja? A számegyenesen az egység hossza 1 cm.

Írd le hatványok segítségével az állításokat, és döntsd el, hogy igazak-e! a) Az 5 és a 10 szorzatának reciproka egyenlő az 5 és a 10 reciprokának szorzatával. b) Az 5 és a 10 összegének reciproka egyenlő az 5 és a 10 reciprokának összegével. c) Az 5 és a 10 szorzatának négyzete egyenlő az 5 és a 10 négyzetének szorzatával. d) Az 5 és a 10 összegének négyzete egyenlő az 5 és a 10 négyzetének összegével.

Állapítsd meg számológép használata nélkül, hogy melyik szám hány 0-ra végződik!

2−3 ⋅ 3−4 25 ⋅ 3−3 : 23 ⋅ 3−5 2−4 ⋅ 34

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG

Állítsd nagyság szerint sorba a következő számokat! 2 2 a) 22 2, 2 22, 22 , 2( ) ; 3

b) 33 , 3

c) 44 4, 4 44 d) 55 5, 5 55

( ) , ( 3 ) , 3( ) ; , ( 4 ) , 4( ) ; , (5 ) , 5( ) . 2

3 3

4 4

Melyik az a legkisebb és melyik az a legnagyobb szám, amelyet 4 kettes számjeggyel felírhatunk, ha csak a hatványozás műveletét használhatjuk? Tudjuk, hogy 8 = 2 3 és 1024 = 2 10.

( )

5 5

(

)

( ) ( ) + 2 ⋅5 ⋅7 ; ( 2 ⋅ 5) ⋅ 3 ⋅ 11 + ( 2 ⋅ 5 ) ⋅ (2 ⋅ 7) .

a) 24 ⋅ 37 ⋅ 52

2 4

Állítsd nagyság szerint sorba a következő számokat! Mennyi a szomszédos számok hányadosa?

( ) v = ( 0,5 ) : 0,5 w = ( 0,5 ⋅ 0,5 ) : ( 0,5 ) u = 0,524 ⋅ 0,57 : 0,515 7 7 7

7 7

3 2 Igaz-e, hogy ⎡ 83 ⎤ : ⎡ 1024 2 ⎤ = 2? ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎦⎥

106

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

ELMÉLET Bizonyítsuk be a hatványozás azonosságait pozitív egész kitevők esetére! Legyen az a és a b valós szám, de nem 0, az m és az n pedig pozitív egész szám. Állítás

Bizonyítás m db

I. a ∙ a = a m

n db

m db

am : an =

II. a m : a n = a m – n

a ⋅ a ⋅…⋅ a = a ⋅ a ⋅…⋅ a n db

a ⋅ a ⋅ … ⋅ a = am − n , ha m > n; 1 = a0 = am − n , ha m = n; 1 1 = = am − n , ha m < n a ⋅ a ⋅ … ⋅ a an − m

n db

III.

(a )

m n

(a )

m n

= amn

n db

= am ⋅ am ⋅ … ⋅ am = am + m + … + m = amn n db

IV. (ab) = a ∙ b n

n db

(ab) = (ab) ∙ (ab) ∙ (ab) ∙ … ∙ (ab) = (a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a) ∙ (b ∙ b ∙ b ∙ … ∙ b) = a n ∙ b n n

n db n

m + n db

a ∙ a = (a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a) = a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a = a m + n m

m+n

a ⎛ a⎞ = n ⎝ b⎠ b

a b

n db

a a a a ⋅ a ⋅ … ⋅ a an ⋅ ⋅…⋅ = = b b b b ⋅ b ⋅ … ⋅ b bn n db

F E L A DAT

Igazoljuk, hogy a m : a n = a m – n, ha a) a = 2; m = 4 és n = –6; b) a = 5; m = –2 és n = 3; c) a = 3; m = –5 és n = –1; d) a = 0,7; m = 0 és n = –5!

Megoldás 1 = 24 ⋅ 26 = 210 ; 26 = 24 + 6 = 210 ,

a) am : an = 24 : 2−6 = 24 : am − n = 24 − ( −6 )

tehát igaz az állítás. b) am : an = 5−2 : 53 = 1

1 3 1 1 :5 = 2 ⋅ 3 = 52 5 5

1 = 5−5 ; 5 55 am − n = 5−2 − 3 = 5−5 , tehát igaz az állítás. =

2+3

31 . l e c ke

S Z Á M O L Á S H AT V Á N YO K K A L I I I .

1 1 1 3 1 : = 5 ⋅3 = 5 = 4 ; 5 3 3 3 3 3 1 m−n −5 − ( −1) −5 + 1 −4 a =3 =3 =3 = 4, 3 tehát igaz az állítás.

c) am : an = 3−5 : 3−1 =

d) am : an = 0,70 : 0,7 −5 = 1 : 0,7 −5 = 1 = 1 ⋅ 0,75 = 0,75 ; 0,75 am − n = 0,7 0 − ( −5 ) = 0,70 + 5 = 0,75 , tehát igaz az állítás. = 1:

1 07

SZÁMOK NORMÁLALAKJA

BEVEZETŐ A hazai villamosenergia-termelés 2007-ben 144 000 000 000 000 000 J (joule) volt, ennek 36,8%-át atomerőműben állították elő. Hány joule energiát állítottak elő atomerőműben, és mennyit hagyományos úton?

Az eredményt úgy is felírhatjuk, hogy az első szám 1 és 10 közé essék: 0,52992 ∙ 10 17 = 5,2992 : 10 ∙ 10 17 = 5,2992 ∙ 10 16. Ez az eredménynek a normálalakja.

Gyorsan eljuthatunk a megoldáshoz, ha a sok nullával felírt helyi értékes alak helyett a normálalakot használjuk: 144 000 000 000 000 000 = 1,44 ∙ 10 17. Végezzük el a szorzást: 1,44 ∙ 10 17 ∙ 0,368 = (1,44 ∙ 0,368) ∙ 10 17 = = 0,52992 ∙ 10 17. Tehát az atomerőműben 0,52992 ∙ 10 17 J villamos energiát állítottak elő.

Számológéppel is könnyen kiszámolhatjuk a megoldást, csakhogy 18 jegyű számot nem lehet, vagy ha lehet is, nem szívesen billentyűzünk be a gépbe, ezért most is a normálalak használata célszerű. A 1,44 ∙ 10 17 ∙ 0,368 szorzást elvégezve a számológép kijelzőjén maga a normálalak jelenik meg, ebben a formában: 5,2992 16. Tehát az atomerőműben előállított villamos energia normálalakkal kifejezve 5,2992 ∙ 10 16 J, a hagyományos úton előállított villamos energia pedig 9,1008 ∙ 10 16 J.

Vigyázat! A kijelzőn megjelenő 5,2992 16 alak nem a 5,2992 16 hatványt jelenti, hanem az 5,2992 ∙ 10 16 normálalakot! Egyes gépek kijelzőjén az eredmény 5,2992 E16 alakban, más gépeken az 5,2992 × 10 16 alakban jelenik meg. (Az E betű az exponens = kitevő szó kezdőbetűjére utal.)

ELMÉLET Egy pozitív szám normálalakja olyan kéttényezős szorzat, amelynél 1 ≤ egyik tényező < 10, másik tényező: a 10-nek egy egész kitevőjű hatványa. Egy szám átalakításakor megnézzük, hány hellyel vittük arrébb a tizedesvesszőt. Ez mutatja, hogy a 10-nek hányadik hatványa lép fel a normálalakban.

Például A szám

A normálalakja

5,6 · 10

1 · 10

60 000

6 · 10 4

77 700 000

7,77 · 10 7

100 000

1 · 10 5

Sokszor megkönnyíti a számolást, ha a számokat normálalakban írjuk fel. Például 70 000 · 0,000 006 = 7 · 10 4 · 6 · 10 –6 = 42 · 10 –2 = 0,42. Nagyon kis számokkal például részecskék esetében, nagyon nagyokkal a csillagászatban találkozhatsz.

108

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

F E L A DAT

Fejezd ki mm-ben! a) 2,4 · 10 –2 méter; b) 2,4 · 10 –2 deciméter; c) 2,4 · 10 –2 centiméter!

Egy négyzet oldalainak hossza 5 · 10 –3 méter. a) Váltsd át az oldal hosszúságát milliméterbe! b) Számítsd ki a négyzet területét négyzetmilliméterben! c) Számítsd ki a négyzet területét négyzetméterben!

P É L DA A Thiomargarita namibiensis nevű baktérium igazi óriás, hiszen akár fél milliméter nagyságú is lehet, míg a legkisebb baktériumok (a Mycoplasma nemzetségbe tartozó fajok) mindössze 3 · 10 –4 milliméter méretűek. Hányszorosa a legnagyobb baktérium mérete a legkisebbének?

Második módszer 0,5 : ( 3 * 10 x – 4 ) = . A kijelzőn az előbb megadott eredmény jelenik meg. Vigyázzunk arra, hogy a 10 kitevőjében ne a kivonás műveleti jelét, hanem a negatív előjel billentyűjét használjuk. A 10 x billentyű használata helyett természetesen használható az x y billentyű is, de akkor a hatvány alapját (a 10-et) és a kitevőjét is be kell írnunk. Harmadik módszer Még zárójeleket sem kell írnunk, ha kihasználjuk a számológépnek azt a szolgáltatását, hogy a számokat normálalakban is beírhatjuk. Ehhez általában egy külön billentyűt kell használnunk, amelynek a legtöbbször EXP , EE , vagy egyszerűen ×10 x a felirata: 0,5 : 3 EXP – 4 = . Eredményül az előbbiekben megadott számot kapjuk. A számológép automatikusan egyetlen számként kezeli a 3 EXP – 4 jelsorozatot, mégpedig úgy, mintha

Megoldás

(

−4

)

A választ a 0,5 : 3 ⋅ 10 osztás eredménye adja meg. Számológép segítségével háromféleképpen is dolgozhatunk.

(

)

ezt írtuk volna: 3 ⋅ 10−4 . Ez nagyon kényelmessé teszi a számok normálalakjával végzett műveleteket.

Első módszer

10000 3 = 0,5 ⋅ ≈ 10000 3 ≈ 1666,67 osztást. Tehát az óriásbaktérium mintegy 1700-szoros méretű a legkisebbekhez képest. Elvégezzük a 0,5 : 0,0003 = 0,5 :

3 2 . l e c ke

S Z Á M O K N O R M Á L A L A K JA

109

F E L A DAT

Egy elektron tömege 9,11 ∙ 10 –31 kg, egy proton tömege pedig 1,67 ∙ 10 –27 kg. a) Hányszorosa a proton tömege az elektronénak? b) A Nap tömege kb. 2 ∙ 10 30 kg. Az elektron tömegének 10 60-szorosa több vagy kevesebb ennél?

Normálalakban is add meg az eredményeket! a) Egy téglalap oldalainak hossza 5 · 10 –4 cm és 4 · 10 2 cm. Mennyi a területe? b) Egy kocka éleinek hosszúsága 2 · 10 –3 méter. Mennyi a térfogata? c) Egy négyzetes oszlop alapéleinek hossza 2,5 · 10 –3 dm, az oldalélei 4-szer ekkorák. Mekkorák az oldalélek, mekkora az oszlop felszíne és térfogata?

H Á Z I F E L A DAT

110

Írd át a számokat normálalakba, és végezd el a számításokat először számológép nélkül! Ellenőrizd az eredményeidet számológéppel! a) 250 000 ∙ 0,000 08 b) 0,000 001 25 ∙ 4 000 000 c) 10 500 000 : 350 000 d) 0,000 000 105 : 0,000 0021

a) Mekkora annak a hengernek a térfogata, amelynek alapköre 3,7 · 10 –5 cm sugarú, magassága pedig 2 · 10 –5 cm? b) Egy mm3 vérben kb. 5 millió vörösvértest van; egy vörösvértest térfogata megegyezik az a)ban leírt henger térfogatával. Hány mm3 az 5 millió vörösvértest együttes térfogata?

Egy szénatom tömege 2 · 10 –23 g. Mennyi az 1 mól (6 · 10 23 atomot tartalmazó) szén tömege?

Az emberi petesejt tömege kb. 0,000 015 gramm, és ez a hímivarsejt tömegének mintegy 85 000-szerese. Mekkora egy hímivarsejt tömege? Számológéppel számolj, használd a normálalakot!

Mekkora tömege van az 1 mól (6 · 10 23 molekulát tartalmazó) hidrogéngázban az összes elektronnak? (1 mól hidrogéngáz tömege 2 gramm, egy elektron tömege 9,1 · 10 –28 gramm.) Ez hány százaléka a teljes tömegnek?

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

Újsághír: „A Nap sugárzó teljesítményének a Földet érő része körülbelül 173 000 000 000 000 000 W, amely több ezerszerese az emberiség jelenlegi energiaigényének. Évente olyan mennyiségű energia érkezik a Napból a Földre, amennyit 60 milliárd tonna kőolaj elégetésével nyernénk. Ha ennek csak egy százalékát hasznosítanánk, csupán ötszázalékos hatékonysággal, akkor a világon minden ember annyi energiát fogyaszthatna, mint ma egy amerikai állampolgár.” (Megjegyzés: az újsághír keveri a teljesítmény és az energia fogalmát.) a) 1 tonna kőolaj elégetésével hány „wattos évi teljesítmény” érhető el? b) Hány watt az a teljesítmény, amelyet a Nap sugárzó teljesítménye 1%-ának 5%-os hatásfokkal való hasznosításakor nyernénk? Ez hányszorosa a paksi atomerőmű teljesítményének (ami kb. 1 830 000 000 W)?

RÁADÁS Űrrepülés A Mir űrállomás 15 évig maradt a pályáján, és mintegy 86 500-szor kerülte meg a Földet az űrben töltött ideje alatt. Egy űrhajós leghosszabb tartózkodása a Miren körülbelül 680 nap volt. A Mir megközelítőleg 400 kilométer magasságban keringett a Föld körül. A Föld átmérője körülbelül 12 700 km, kerülete pedig körülbelül 40 000 km (12 700 π). a) Mekkora az az össztávolság, amit a Mir 86 500 körforgása alatt pályáján megtett? b) Kerekítsd a válaszodat 10 milliós nagyságrendre! c) Körülbelül hány km-t tett meg az űrállomás az említett űrhajóssal?

3 2 . l e c ke

S Z Á M O K N O R M Á L A L A K JA

111

SZÁMOLÁS NORMÁLALAKKAL

BEVEZETŐ

Gyorshír: 2007-01-05, 11.23 …A legsúlyosabb helyzet a Yucatán-félszigeten (Mexikó) van, ahol már 700 négyzetkilométeres területen észlelték a sáskajárást. A szakértők szerint a rovarok a szaporodási helyükre tartanak. Egy sáska kétszázezer utódot hoz a világra. Ugyanebben a térségben tavaly is pusztítottak a sáskák, akkor több száz hektárnyi ültetvényt zabáltak fel…

A sáskajárás idején az egy négyzetkilométeren található sáskák száma elérheti a 60 milliót. a) Megközelítőleg hány sáska lepte el a Yucatán-félszigetet, ha mintegy 17 négyzetkilométeres kiterjedésű lehetett a sáskaraj? b) Ha a sáskajárás idején a sáskák negyede a gyorshírben közölt maximális számú utódot hozott volna világra, akkor hány sáskával szaporodott volna az állomány, feltéve, hogy az egyedek pusztulása nem jelentős mértékű? Elképzelhető, hogy hiba csúszott a híradásba? c) Egy sáska tömege megközelítőleg 4 gramm. Hány kilogramm az egymilliárd sáska össztömege? Megoldás a) 17 ∙ 6 · 10 7 = 102 ∙ 10 7 = 1,02 ∙ 10 9, azaz kb. egymilliárd sáska lepte el a félszigetet. b) 0,25 ∙ 1,02 ∙ 10 9 ∙ 2 ∙ 10 5 = 5,1 ∙ 10 13, azaz 51 billió sáskával szaporodna az állomány. Ez elképesztően nagy szám, nézzük, mekkora területen férne el ennyi sáska! Ha egy sáska kb. egy 2 cm ∙ 2 cm-es négyzetben fér el, akkor 51 billió

( )

sáska kb. 4 ∙ 5,1 ∙ 10 13 = 2,04 ∙ 10 14 cm2 területen férne el. 1 km2 = 105

cm2 = 10 10 cm2, tehát 2,04 ∙ 10 14 : 10 10 =

= 2,04 ∙ 10 4 ≈ 20 000 km2, ami Magyarország területének több mint 20%-a. Ez meglehetősen valószínűtlen eredmény, tehát lehetséges, hogy a híradásba hiba csúszott (az látszik a legvalószínűbbnek, hogy a hírben szereplő kétszázezer utód helyett kétszáz–ezer utód állhatott eredetileg, ami megfelel a sáskák szaporodásáról szóló tanulmányoknak). c) Egymilliárd sáska tömege 4 ∙ 10 9 gramm, ami 4 ∙ 10 6 kg (= 4000 tonna).

P É L DA Mekkora utat tesz meg a fény 1 év alatt (azaz mekkora az 1 fényév távolság)? Megoldás A fény 1 s alatt 300 000 km-t tesz meg, ez normálalakban 3 ∙ 10 5 km. 1 fényév ≈ 9,46 ∙ 10 12 km, azaz (9 billió km). 1 év = 365 nap = 365 ∙ 24 óra = 365 ∙ 24 ∙ 3600 s = 3,1536 ∙ 10 7 s. Tehát a fény 1 év alatt 3 ∙ 10 5 ∙ 3,1536 ∙ 10 7 = 9,4608 ∙ 10 12 km-t (9,4608 billió km-t) tesz meg.

112

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

F E L A DAT

„Naprendszernek nevezzük azt a tartományt is, amelyben a Nap gravitációs tere dominál. Ez körülbelül 2 fényév sugarú gömb, amelynek határán a Nap vonzása már csak akkora nagyságrendű, mint a szomszédos csillagoké.” Hány km a Naprendszer sugara? 21

A Tejút átmérője kb. 10 m.

A hozzánk legközelebbi csillag (a Napot nem számítva) a Proxima Centauri, amelyről 4,2 év alatt ér a Földre a fény. Hány km a Földtől való távolsága, ha km a fény sebessége 3 ⋅ 105 ? s

„…2008. áprilisig összesen 63 db szélerőmű épült Magyarországon, melyeknek az összkapacitása 112 000 000 W.” a) Átlagosan mekkora teljesítményű egy szélerőmű az adatok alapján? Normálalakkal dolgozz, és az eredményt is normálalakban add meg! b) Hányszorosa a paksi atomerőmű teljesítménye a 63 szélerőmű együttes teljesítményének? (A paksi atomerőmű körülbelül 1 830 000 000 W teljesítményényű.)

a) Mennyi idő alatt tesz meg a fény ekkora távolm ságot, ha a fény sebessége kb. 3 ⋅ 108 ? s b) Melyik válasz helyes az a) kérdésre? A) 10 21 ∙ 3 ∙ 10 8 s = 3 ∙ 10 29 s. B) (10 21 : 3) : 10 8 s = 3,33 ∙ 10 12 s. C) 10 21 : 3 ∙ 10 8 m = 3,33 ∙ 10 28 s. D) (10 21 : 10 8) : 3 m = 3,33 ∙ 10 12 s.

Hányszorosa a Nap tömege a Föld tömegének? A Nap tömege 2 ∙ 10 27 tonna, a Föld tömege 6 ∙ 10 24 kg.

H Á Z I F E L A DAT

Végezd el a következő számításokat először úgy, hogy a 10 hatványait nem írhatod be a számológépbe! Ellenőrizd számológéppel a megoldásodat! a) (2,5 ∙ 10 –5) ∙ (6,4 ∙ 10 7) b) (4,8 ∙ 10 –5) : (1,6 ∙ 10 –7) c) (6,25 ∙ 10 –5) ∙ (3,2 ∙ 10 4) d) (1,28 ∙ 10 –4) : (5,12 ∙ 10 –6)

Gondolatban a Balatonba beleöntünk egy gramm (egygyűszűnyi) tintát, majd „jól elkeverjük”.

3 3 . l e c ke

SZÁMOLÁS NORMÁLALAKKAL

a) Hány tintamolekula lesz egy pohár (2 dl) vízben? b) A folyókba és a tavakba tonnaszámra kerül szennyező anyag. Alkoss véleményt a vizek tisztaságának védelméről, a „tiszta víz” fogalmáról az a) feladat eredményének ismeretében! A Balaton területe 596 km2, átlagos mélysége 3 méter, egygyűszűnyi tintában kb. 3 ∙ 10 22 „tintamolekula” van.

113

Bence kémia-röpdolgozatában szerepelt az alábbi tesztkérdés: „A 26-os rendszámú, 56-os tömegszámú elem milyen mennyisége tartalmaz 30 ∙ 10 23 db neutront? a) 1 g-ja d) 10 23 db atom b) 1 mólja e) 5 mólja” c) 6 ∙ 10 23 db atom Bence helyesen válaszolt, mert tudta, hogy a 26-os rendszámú, 56-os tömegszámú elem egy atomjában 56 – 26 = 30 neutron van. Mi volt Bence válasza?

Egy proton átmérője ≈ 10 –13 cm, egy hidrogénatom átmérője ≈ 10 –8 cm körüli. Bence azon gondolkodik, mekkora lenne a hidrogénatom ármérője abban a modellben, amelyben a hidrogénatommag – a proton – átmérője 1 cm. Mekkora?

A Naprendszerünkhöz legközelebbi extragalaxisok egyike az Androméda spirálgalaxis. Ez kb.

2,1 ∙ 10 19 km távolságra van. Mennyi idő alatt tesz meg ekkora utat a fény?

a) Hányszorosa a Nap térfogata a Föld térfogatának? A Nap sugara kb. 700 000 000 m, a Földé pedig 6 370 000 m. b) A Naprendszer olyan modelljében, amelyben a Föld focilabda méretű (kb. 20 cm átmérőjű), mekkora lenne a Nap átmérője és mekkora lenne a Föld–Nap-távolság (amely a valóságban körülbelül 8,3 fényperc)?

RÁADÁS

10 –20 m = 10 zm

10 –19 m = 100 zm

10 –18 m = 1 am

10 –17 m = 10 am

10 –16 m = 100 am

10 –15 m = 1 fm

10 –14 m = 10 fm

10 –13 m = 100 fm

10 –12 m = 1 pm

10 –10 m = 100 pm

10 –9 m = 1 nm

10 –8 m = 10 nm

10 –7 m = 100 nm

10 –6 m = 1 μm

10 –5 m = 10 μm

10 –4 m = 100 μm

10 –3 m = 1 mm

10 –2 m = 1 cm

10 –1 m = 1 dm

10 0 m = 1m

10 1 m = 1 dam

10 2 m = 1 hm

10 3 m = 1 km

10 4 m = 10 km

10 5 m = 100 km

10 6 m = 1 Mm

10 7 m = 10 Mm

10 8 m = 100 Mm

10 9 m = 1 Gm

egy átlagos atom sugara

átlagember, zsiráf

a legnagyobb állatok, átlagos házak, tornyok, piramisok magassága

nagyobb fák, nagyobb piramisok, tornyok, kisebb hegyek, felhőkarcolók

a kromoszómák mérete; a látható fény hullámhossza

gyalog megtehető távolságok, az átlagos hegyek, hegységek magassága

egy tipikus baktérium átmérője

helyi és helyközi közlekedés, az óceán legmélyebb pontja

egy selyemszál, egy emberi hajszál átmérője

vasúton, távolsági busszal megtehető távolságok

az atommag nagyságrendje

poratka, papucsállatka, petesejt

repülőgéppel megtehető távolságok, a Hold átmérője, a Nílus és a kínai nagy fal hossza

erdei vöröshangya

a Föld átmérője, a leghosszabb Föld körüli távolságok

egy hidrogénatom sugara

szúnyog, golflabda

kisebb emlősök, átlagos bokrok mérete

A Jupiter átmérője, egy fénymásodperc, a Hold távolsága a Földtől

a Nap átmérője

10 10 m = 10 Gm

10 11 m = 100 Gm

10 12 m = 1 Tm

10 13 m = 10 Tm

10 14 m = 100 Tm

10 15 m = 1 Pm

10 16 m = 10 Pm

10 17 m = 100 Pm

10 18 m = 1 Em

10 19 m = 10 Em

10 20 m = 100 Em

10 21 m = 1 Zm

10 22 m = 10 Zm

10 23 m = 100 Zm

10 24 m = 1 Ym

10 25 m = 10 Ym

10 26 m = 100 Ym

10 27 m

10 28 m

10 29 m

egy fényperc, Merkúr távolsága a Naptól

114

a DNS-hélix átmérője

egy proton mérete

10 –11 m = 10 zm

Vénusz, Föld, Mars, Jupiter távolsága a Naptól

a Tejút galaxistányérjának átmérője

egy fényóra; Szaturnusz, Neptunusz, Plútó távolsága a Naptól

az Andromédagalaxis távolsága

a Voyager–1, a legtávolabbi űreszköz távolsága a Földtől

a világegyetem eddig ismert legnagyobb objektumainak mérete

egy fényév

a legközelebbi csillag

egyes kvazárok becsült távolsága, a kozmikus háttérsugárzás által a Nagy Bumm óta megtett út

I G A Z O DJ U N K E L A „ N AGYO N N AGY ” É S A „ N AGYO N K I C S I ” S Z Á M O K K Ö Z Ö T T !

Hatványok

A hosszúság néhány mértékegysége: 1 ym = 1 joktométer = 10 –24 m; 1 zm = 1 zeptométer = 10 –21 m; 1 am = 1 attométer = 10 –18 m; 1 fm = 1 femtométer = 10 –15 m; 1 pm = 1 pikométer = 10 –12 m; 1 nm = 1 nanométer = 10 –9 m; 1 µm = 1 mikrométer = 10 –6 m;

1 Ym 1 Zm 1 Em 1 Pm 1 Tm 1 Gm 1 Mm

= = = = = = =

1 jottaméter = 10 24 m; 1 zettaméter = 10 21 m; 1 examéter = 10 18 m; 1 petaméter = 10 15 m; 1 teraméter = 10 12 m; 1 gigaméter = 10 9 m; 1 megaméter = 10 6 m.

F E L A DAT

2008. évi CII. törvény a Magyar Köztársaság 2009. évi költségvetéséről Az Országgyűlés a Magyar Köztársaság 2009. évi költségvetéséről az államháztartásról szóló 1992. évi XXXVIII. törvény (a továbbiakban: Áht.) 28. §-a alapján a következő törvényt alkotja: ELSŐ RÉSZ A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG 2009. ÉVI KÖZPONTI KÖLTSÉGVETÉSE Első fejezet A KÖZPONTI KÖLTSÉGVETÉS KIADÁSAINAK ÉS BEVÉTELEINEK FŐÖSSZEGE, A HIÁNY MÉRTÉKE ÉS FINANSZÍROZÁSÁNAK MÓDJA 1. § Az Országgyűlés a központi költségvetés 2009. évi a) bevételi főösszegét 8 457 930,6 millió forintban, b) kiadási főösszegét 9 231 267,1 millió forintban, c) hiányát 773 336,5 millió forintban állapítja meg. 2. § … 12. § (1) A felsőoktatásról szóló 2005. évi CXXXIX. törvény (a továbbiakban: Ftv.) 129. §-ának (3) bekezdése szerinti, egy főre megállapított hallgatói normatíva 119 000 Ft/év, a doktori képzésben részt vevők egy főre megállapított támogatási normatívája 1 116 000 Ft/év, a köztársasági ösztöndíjban részesülők normatívája 340 000 Ft/év, a diákotthoni elhelyezés normatívája 116 500 Ft/ év, a lakhatási támogatás normatívája 60 000 Ft/év, a tankönyv- és jegyzettámogatás, valamint a sport- és kulturális tevékenység normatívája 11 900 Ft/év. … a) Add meg normálalakban a 2009. évi bevételi és kiadási főösszeget és a hiányt! b) Ha 90 ezer felsőoktatásban részt vevő hallgatóval számolunk, akkor mekkora összeget tesz ki a támogatási normatívájuk egy évben, és ez hány százaléka a kiadási főösszegnek? c) Ha a hallgatók 35%-a diákotthoni elhelyezésben részesül, akkor mekkora az erre jutó éves normatíva? Ez hány százaléka a teljes kiadási főösszegnek?

3 3 . l e c ke

SZÁMOLÁS NORMÁLALAKKAL

115

TÁBLÁZATOK

BEVEZETŐ A matematika egyik fontos feladata, hogy nagy mennyiségű összegyűjtött adatból általános következtetéseket vonjon le, ezek segítségével tájékozódjon a jelenben, illetve megpróbálja jövőbeni események lefolyását megjósolni. Az adatok összegyűjtésével, rendszerezésével és elemzésével foglalkozik a statisztika.

P É L DA Egy rendőrségi traffipax (sebességmérő radar) az autópályán tíz perc alatt a következő sebességeket mérte (az adatok km/hban értendők): 130, 130, 128, 128, 120, 115, 130, 127, 127, 125, 130, 130, 132, 140, 132, 127, 125, 128, 130, 127, 130, 125, 128, 132, 130, 130, 127, 128, 162, 130, 135, 132, 130, 120, 125, 127, 130, 128, 132, 128, 127, 125, 130, 130, 128, 130, 125, 130, 132, 128, 128, 130, 140, 135, 130, 130, 120, 130, 130, 127. Mennyire jellemző az elhaladó autósokra a 130 km/h sebességhatár megszegése? Megoldás Az adatok így ömlesztve szinte áttekinthetetlenek. Foglaljuk őket olyan táblázatba, amely megmutatja, hogy bizonyos sebességgel hány autós közlekedett! A táblázat alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy 11 autó lépte túl a sebességhatárt. Más szavakkal: a mérések között a 130 km/h-t meghaladó sebességek gyakorisága 11 volt. Önmagában ez a szám nem sokat árul el arról, hogy az autósok általában betartják-e a szabályt, mert nem mindegy, hogy pl. 60 megmért sebesség között volt 11 szabálytalan, vagy mondjuk 22 megmért sebesség között találtak 11-et. Szemléletesebbé tehetjük a szabálysértések számát úgy, ha megadjuk, hogy a vizsgált esetek mekkora részében voltak szabálytalanok az autóvezetők. 11 A 11 a 60-nak a része, azaz kb. 18%-a. Ez az arány a 130 km/h-t átlépők számának relatív 60 gyakorisága a 60 mért sebesség között. A sebességhatárt jelentősen, azaz 10%-ot meghaladó mértékben túllépők gyakorisága 1, re1 latív gyakorisága pedig ≈ 0,017 (≈ 1,7%) volt. 60

116

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Sebesség (km/h)

Autók száma (gyakoriság)

115

120

125

127

128

130

132

135

140

162

Összesen:

Statisztika, függvénytan

ELMÉLET Ha egy kísérletet, megfigyelést n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg egy eredményt, akkor azt mondjuk, hogy k ennek az eredménynek a gyakorisága k, a relatív gyakorisága pedig . n Itt az n pozitív, a k nemnegatív egész szám és k ≤ n. A relatív gyakoriság jobban jellemzi az eseményt, mint a gyakoriság, mert azt mutatja meg, hogy az esetek hányadrészében kaptuk meg a vizsgált eredményt. Az olyan táblázatot, amely az egyes adatok előfordulásának arányát mutatja, relatív gyakorisági táblázatnak nevezzük. A relatív gyakoriságot a könnyebb érthetőség kedvéért sokszor százalékban adják meg.

P É L DA Egy cipőbolt eladói egy délután statisztikát készítettek a náluk vásárolt cipők méretéről. A táblázatban azt is feltüntették, hogy a vevők milyen arányban vásárolták az egyes méreteket. A táblázat alapján válaszoljunk a következő kérdésekre! a) Milyen méretű cipőből vettek a legtöbbet (melyik volt a leggyakoribb eladott méret)? b) Az összes eladott pár cipő hányadrésze volt 40-es (mekkora volt az eladott cipők között a 40-es méretűek relatív gyakorisága)? c) Az eladások között mekkora volt 42-es vagy annál kisebb méretű lábbeli eladásának gyakorisága?

Cipőméret

Vásárlók száma (gyakoriság)

Relatív gyakoriság Arány

2/60

3/60

6/60

8/60

11/60

13/60

9/60

8/60

Összesen:

60/60

100

Megoldás a) A táblázat alapján 43-asból. 6 b) 60 párból 6, azaz az eladott cipők része volt 40-es. 60 6 1 Megjegyzés: Mivel = = 0,1, válaszunkat így is megfogalmazhatjuk: az eladott cipők 0,1 része (10%-a) volt 40-es. 60 10 c) 2 + 3 + 6 + 8 + 11 = 30. A relatív gyakoriság kiszámítását táblázatkezelő programra is bízhatjuk.

3 4 . l e c ke

T Á B L Á Z AT O K

1 17

F E L A DAT

Egy osztály tanulói egy 20 pontos röpdolgozatra a következő pontszámokat kapták: 15, 16, 10, 15, 13, 12, 17, 15, 16, 20, 19, 15, 16, 13, 10, 6, 10, 19, 16, 13, 14, 17, 12, 17, 15, 14, 16, 19, 10, 12. Rendezd az adatokat gyakorisági táblázatba!

színházban. Töltsd ki az alábbi táblázatot te is! A füzetedben dolgozz! Gyakorisága

Relatív gyakorisága

Legfeljebb 0-szor Legfeljebb 1-szer Legfeljebb 2-szer Legfeljebb 3-szor

Megkérdeztek 25, harminc év alatti fiatalt, hogy 2008-ban hány alkalommal voltak színházban. A válaszok a következők voltak: 5, 3, 0, 4, 7, 5, 6, 2, 0, 4, 10, 4, 6, 8, 4 ,2, 0, 1, 5, 3, 6, 9, 3, 5, 0. a) Rendezd a válaszokat gyakorisági táblázatba, és add meg az egyes válaszok relatív gyakoriságát is! A füzetedben dolgozz! b) Az adatok feldolgozásakor megvizsgálták, mennyi a megkérdezettek között azoknak a relatív gyakorisága, akik legfeljebb egyszer, legfeljebb kétszer, …, legfeljebb 10-szer voltak

Legfeljebb 4-szer Legfeljebb 5-ször Legfeljebb 6-szor Legfeljebb 7-szer Legfeljebb 8-szor Legfeljebb 9-szer Legfeljebb 10-szer

A megoldáshoz használhatsz táblázatkezelő pprogramot is.

H Á Z I F E L A DAT

December

November

Október

Szeptember

Augusztus

Július

Június

Május

Április

Március

Hónap

Február

Egy autókereskedő hónapról hónapra feljegyezte az eladott autók számát:

Január

Eladott 14 16 20 19 11 12 12 18 20 17 11 18 autók száma

a) Összesen hány autót adott el a kereskedő az év során? b) Hány autót adott el az első negyedévben? c) Egészítsd ki a táblázatot egy harmadik sorral, amely azt mutatja, hogy az adott hónap végéig összesen hány autót adott el a kereskedő az év során összesen! Melyik hónapban lépte át az addig eladott autók száma a 100-at? d) Melyik hónap folyamán érte el az éves eladás 50%-át?

118

Egy főút mentén forgalomszámlálást végeztek 15 percen keresztül. Az eredmények nyers formában itt láthatók: Személyautó: Teherautó: Autóbusz: Motorbicikli: Egyéb jármű: a) Hány jármű haladt el az egyes fajtákból? b) Az elhaladó járművek hányadrésze volt teherautó, és mekkora volt az autóbuszok relatív gyakorisága? c) Készítsd el az adatok gyakorisági és a relatív gyakorisági táblázatát!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

A következő táblázat azt mutatja, hogyan sikerült a legutóbbi matematikafelmérő dolgozat egy gimnázium három kilencedikes osztályában: A dolgozatjegyek Osztály

9. A

9. B

gyakorisága

9. C

0,333

0,083

relatív gyakorisága

0,083

0,5

Mi kerül a táblázat üres helyeire? (A füzetedben dolgozz!)

Számológép nélkül hozd egyszerűbb alakra: 1 –3 3 5 3 –6 a) : : 3 4 2 5 –3 2 5 5 –6 b) : : 8 4 2 4 –2 –3 1 –6 c) : 3 2

RÁADÁS A legjobb autó Egy autósújság az új autók értékeléséhez egy pontrendszert használ, és az Év autója címet annak az autónak adja, amelyik a legtöbb pontot éri el. Öt új autót értékelnek, amelyeknek a pontszámait a mellékelt táblázatban láthatjuk. Autó

Biztonsági felszereltség (B)

Üzemanyagfelhasználás (Ü)

Külső megjelenés (K)

Belső felszereltség (F)

A pontszámok jelentése a következő: 3 pont = kitűnő; 2 pont = jó; 1 pont = közepes.

a) Egy autó összpontszámának kiszámításához az újság az alábbi szabályt használja, ami tulajdonképpen az egyes pontszámok súlyozott összesítése: összpontszám = (3 ∙ B) + Ü + K + F. Számítsd ki a „Ca” autó összpontszámát, és írd a választ a füzetedbe! b) A „Ca” autó gyártója úgy gondolja, hogy az összpontszám kiszámításának szabálya nem igazságos. Írj egy olyan számítási szabályt, ami alapján a „Ca” autó lenne a győztes! Az általad megadott szabályban szerepelnie kell mind a négy változónak. Úgy add meg a szabályt, hogy az alábbi egyenlet négy pontozott vonalára pozitív számokat írsz! A füzetedben dolgozz! Összpontszám = ................. ∙ B + ................. ∙ Ü + ................. ∙ K + ................. ∙ F.

3 4 . l e c ke

T Á B L Á Z AT O K

119

DIAGRAMOK

BEVEZETŐ

Két minőségellenőr vizsgál egy sok terméket tartalmazó szállítmányt. Több alkalommal választanak egy-egy terméket. Egyikük 4 alkalommal talált selejtes terméket, a másikuk pedig 6 alkalommal. Melyikük szerint lehet több selejtes termék a szállítmányban?

Megoldás A kérdés nem válaszolható meg, mert csak a selejtes minták gyakoriságát tudjuk, de azt nem, hogy hányszor vett mintát az egyik, illetve a másik minőségellenőr.

Két minőségellenőr vizsgál egy sok terméket tartalmazó szállítmányt. Egyikük 16 terméket ellenőrzött, és ezek között 4 selejteset talált. A másik ellenőr 30 terméket vizsgált meg, és ezek között 6 selejteset talált. Melyikük szerint lehet több selejtes termék a szállítmányban?

Megoldás

4 = 0,25 részét (25%-át) találta selejtesnek, a másik ellenőr pedig a megvizs16 6 gált termékek = 0,2 részét (20%-át) találta selejtesnek. Az első ellenőr szerint nagyobb lehet a selejtes termékek aránya 30 a vizsgált termékek között. 4 Az első ellenőr 16 elemű mintájában a selejtes termékek relatív gyakorisága = 0,25, 16 6 a második ellenőr 30 elemű mintájában a selejtes termékek relatív gyakorisága = 0,2. 30

Az első ellenőr a megvizsgált termékek

F E L A DAT

120

500 készüléket ellenőriznek úgy, hogy véletlenszerűen kiválasztanak közülük harmincat, és megszámolják, hogy hány hibás van közöttük. Ezt a vizsgálatot tízszer végzik el; a vizsgálatsorozat eredményét mutatja a táblázat. Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Hibás készülékek száma a mintában (db)

Gyakorisága

4 vagy több

Relatív gyakorisága

Teri mama szerencseszámai a 3, a 7 és a 13. A hatoslottón a 2000–2007 évek 426 húzási eredményét összesítve Bence azt látta, hogy ezeket a számokat rendre 59, 56, illetve 63 alkalommal húzták ki (a hatoslottón az első 45 pozitív egész szám közül húznak ki 6-ot). a) Számítsd ki Teri mama szerencseszámainak relatív gyakoriságát a 426 húzás alapján!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

c) Mennyi lenne az egyes lottószámok gyakorisága, illetve relatív gyakorisága a 426 húzás során, ha mindegyiket ugyanannyiszor (vagy legalábbis majdnem ugyanannyiszor) húzták volna ki? Ennek alapján valóban szerencseszámoknak nevezhetők-e Teri mama kedvenc számai?

b) Ugyanezt a 426 húzást vizsgálva látható, hogy a leggyakrabban kihúzott szám a 35 (69 alkalommal húzták ki), a legritkábban kihúzott pedig a 19 volt (42-szer húzták ki). Mekkora a 35 és a 19 relatív gyakorisága a vizsgált húzások során?

P É L DA Egy érmét 20-szor feldobva a következő sorozatot kaptuk: F, F, F, I, I, F, I, I, I, I, I, I, F, I, I, F, I, F, F, I. (Az F azt jelenti, hogy „fejet” dobtunk, az I pedig azt, hogy „írást”.) a) Mennyi a fejek és az írások relatív gyakorisága? b) Ábrázoljuk a relatív gyakoriságokat oszlopdiagramon és kördiagramon! c) Minden egyes dobás után adjuk meg az addigi dobások között a fejek gyakoriságát, és számítsuk ki a fejek relatív gyakoriságát! Az eredményeket foglaljuk táblázatba, majd ábrázoljuk vonaldiagramon a relatív gyakoriság változását!

0,7 0,6 0,5 fej 40%

0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

fej

írás

írás 60%

fejek relatív gyakorisága

relatív gyakoriság

Megoldás a) A 20 dobásból álló sorozatban a fejek gyakorisága 8, az írásoké pedig 12. A fejek relatív gyakorisága 8 12 = 0,4, az írásoké pedig = 0,6. 20 20 b) A kördiagram készítéséhez a 360°-ot fel kell osztani 0,4 : 0,6 arányban. 0,4 : 0,6 = 4 : 6, ezért a 360°-ot 4 + 6 = 10 egyenlő részre kell felosztani (1 rész = 36°), majd ezt az értéket 4-gyel, illetve 6-tal szorozni (144°, 216°).

Dobások száma

Fejek gyakorisága

Fejek relatív gyakorisága

0,75

0,60

0,67

0,57

0,50

0,44

0,40

0,36

0,33

0,38

0,36

0,33

0,38

0,35

0,39

0,42

0,40

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

16 18 20 dobások száma

A ábrázolás megoldható a Graph program segítAz sségével is.

3 5 . l e c ke

D I AG R A M O K

121

F E L A DAT

Ábrázold vonaldiagramon az írások relatív gyakoriságának változását az előző példában!

Egy iskola menzáján 270-en ebédelnek. Ezen a héten 150-en választották az A menüt és 120-an a B menüt. Számold ki a kétféle menü választásának relatív gyakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is!

Egy iskola menzáján 270-en ebédelnek. Ezen a héten 90-en választották az A menüt, 135-en a B menüt és 45-en a C menüt. Számold ki a háromféle

menü választásának relatív gyakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is!

H Á Z I F E L A DAT

Egy osztály tanulói körében a testvérek száma a táblázat szerinti gyakorisággal fordul elő. Testvérek száma

Gyakoriság

Egy érmét 25-ször feldobva a következő sorozatot kaptuk: I, I, F, F, I, F, I, F, I, I, I, F, F, F, I, F, F, I, I, F, F, F, I, F, F. a) Mennyi a fejek és az írások relatív gyakorisága? b) Ábrázold a relatív gyakoriságokat oszlopdiagramon és kördiagramon! c) Minden egyes dobás után add meg az addigi dobások között a fejek gyakoriságát, és számítsd ki a fejek relatív gyakoriságát! Az eredményeket foglald táblázatba, majd ábrázold vonaldiagramon a relatív gyakoriság változását!

Egy iskola menzáján 240-en ebédelnek, háromféle menü közül választhatnak. Az egyes menüket választók relatív gyakoriságát mutatja a táblázat.

Relatív gyakoriság

a) Add meg a testvérek számának relatív gyakoriságát százalékban! (A füzetedben dolgozz!) b) Készíts a relatív gyakoriságokról oszlopdiagramot!

Iskolai témahéten háromféle foglalkozásra jelentkezhettek a diákok (mindenki csak egy foglalkozásra jelentkezett): színjátszás a középkorban, természettudományok a középkorban, valamint sport a középkorban. A jelentkezők számát a táblázat mutatja. Jelentkezők száma Színjátszás Természettudományok Sport

Relatív gyakorisága

Relatív gyakorisága 0,55

158

„B” menü

0,3

„C” menü

0,15

105

a) Számold ki az egyes foglalkoztatásokra jelentkezettek számának relatív gyakoriságát! (A füzetedben dolgozz!) b) Ábrázold oszlopdiagramon és kördiagramon is a relatív gyakoriságokat!

122

A menüt választók száma „A” menü

a) Számold ki, hányan választották az egyes menüket! (A füzetedben dolgozz!) b) Ábrázold kördiagramon az egyes menüket választók gyakoriságát!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

A következő táblázat azt mutatja, hogyan sikerült a legutóbbi matematika felmérő dolgozat egy gimnázium négy kilencedikes osztályában: Az osztály jele

létszáma

A hiányzók száma

A dolgozatjegyek 5 7

gyakorisága 4 4

0,333

0,083

relatív gyakorisága 1

1 0,083

0,5

0 1

a) Mi kerül a táblázat üres helyeire? A füzetedben dolgozz! b) Ábrázold közös grafikonon más-más színnel a négy osztály jegyeinek relatív gyakoriságát! c) Készíts táblázatot arról, hányan kaptak az egyes osztályokban legalább egyest, legalább kettest, legalább hármast, legalább négyest, legalább ötöst! Számítsd ki a relatív gyakoriságokat is! Készíts grafikont! d) Mondj véleményt a négy osztály munkájáról az adatok és a grafikonok alapján!

RÁADÁS Egy kisvárosban népszavazást tartottak arról, hogy felépüljön-e a település mellett a tervezett akkumulátorfeldolgozó üzem. A lakosság elutasította az üzem építését. Egy év elteltével ugyanebben az ügyben megismételték a népszavazást. Ekkor az eredménynek köszönhetően megindulhatott az üzem építése. Az alábbi táblázat a két népszavazás adatait mutatja be. A népszavazás éve

2000

2001

„Igen” szavazatok aránya

44%

55%

„Nem” szavazatok aránya

56%

45%

A népszavazáson részt vevők száma

7925

10 500

A polgármester a második népszavazás után a következőket nyilatkozta:

3 5 . l e c ke

D I AG R A M O K

„Örömmel látom, hogy az újabb népszavazáson kevesebben utasították el az építkezést, vagyis az elmúlt évben sikerült meggyőznöm a korábbi ellenzők jó részét arról, hogy az építkezés hasznos, és ezért szavazzon igennel.” Szerinted hogyan értelmezte a polgármester a két népszavazás eredményét? A) Jól értelmezte, mert megszavazták az építkezést. B) Rosszul értelmezte, mert többen szavaztak nemmel 2001-ben, mint 2000-ben. C) Jól értelmezte, mert kevesebben szavaztak nemmel 2001-ben, mint 2000-ben. D) Rosszul értelmezte, mert a nemmel szavazók száma pontosan ugyanannyi volt 2001-ben, mint 2000-ben.

123

DIAGRAMOK ELEMZÉSE

BEVEZETŐ Foglaljuk táblázatba az oszlopdiagramon megjelenített adatokat! Egészítsük ki a táblázatot az érettségizők számának az előző évhez viszonyított változását szemléltető mezőkkel! érettségizettek száma

120 000 100 000 80 000

84 539

88 158

90 249

92 098

92 770

1995

1996

1997

1998

1999

98 000

68 604

60 000 40 000 20 000 1994

2000

év

Megoldás Az adatok leolvasását megkönnyíti, hogy az egyes oszlopokhoz megadták magukat az adatokat is, ezért a leolvasás pontosságával nem kell törődnünk. A táblázat: Év Érettségizők száma

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

68 604

84 539

88 158

90 249

92 098

92 770

98 000

–

123%

104%

102%

101%

106%

Előző év százalékában

Foglaljuk táblázatba az 1999-ben megjelent könyvek százalékos megoszlását a kördiagram alapján! CD

egyéb

9° tankönyv

szakkönyv 72°

94°

66° 105° szépirodalom ismeretterjesztő

Megoldás A középponti szögek és a százaléklábak egyenesen arányosak. Ezért a kördiagramon az 1%-nak a 360° századrésze felel meg, azaz 3,6°. A 94°-os középponti szögnek ezért A táblázat: Részesedése

124

94 105 ≈ 26 százalék felel meg, a 105°-osnak ≈ 29 százalék, és így tovább. 3,6 3,6

Tankönyv

Ismeretterjesztő

Szépirodalom

Szakkönyv

Egyéb

26%

29%

18%

20%

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

F E L A DAT

Az egyetemek, főiskolák nappali tagozatára jelentkezettek és felvettek számának alakulását mutatja a diagram.

65° 53° 86°

középiskola

fő 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

szakiskola

jelentkezők száma

felvettek száma

a) Készíts táblázatot a jelentkezettek és felvettek számáról! b) Egészítsd ki a táblázatot a felvettek és jelentkezettek arányával! c) Ábrázold oszlopdiagramon a felvettek és jelentkezettek arányának változását a megadott években! A kördiagram a 2007/2008-ban óvodai nevelésben, illetve iskolai oktatásban részesülők eloszlását szemlélteti.

133° általános iskola

a) Készíts táblázatot az egyes nevelési-oktatási fajtákban részesülők eloszlásáról! Az arányokat százalékban add meg! b) Egészítsd ki a táblázatot az egyes nevelési-oktatási fajtákban részesülők számával, ha az összlétszám 2,2 millió fő!

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 év

óvoda

felsőoktatás

Röviden elemezd, hogyan változik az év során a levegő virágportartalma (mennyiség, tartam, időpont, együttes előfordulás stb.)! A levegő virágportartalma (5 év átlaga)

II.

III.

IV.

V. VI. hónapok

VII.

fák füvek üröm parlagfű

VIII.

IX.

H Á Z I F E L A DAT

4 Bence megfigyelte a pozitív egész kitevős hat5 ványait. 4 1 4 3 = 0,8 = 0,512 5 5 4 2 4 4 = 0,64 = 0,4096 … 5 5 Kíváncsi volt, lesz-e ez a szám kisebb, mint 0,1. Vajon mit talált? És mit tapasztalt akkor, ha a negatív egész kitevős hatványokat vizsgálta? Egy 5500 lakosú település lakosságának megoszlását mutatja a kördiagram. a) Add meg a férfiak, a nők és a gyermekek százalékos eloszlását és létszámát is!

3 6 . l e c ke

D I AG R A M O K E L E M Z É S E

férfi nő 118°

b) Készíts sávdiagramot (lásd a 15. lecke bevezető feladatát az 52. oldalon) a lakosság eloszlásáról!

Egy tehenészetben 6000 szarvasmarha között 3600 tehén, 600 borjú, 300 tenyészbika van, a többi hízómarha. a) Add meg az egyes csoportok százalékos megoszlását! b) A megadott kördiagramok közül melyik ábrázolhatja a 6000-es szarvasmarha-állomány eloszlását? A) B) C) D)

gyermek 144°

125

Egy iskolában öt 17 fős diákcsoport ugyanazt a témazáró dolgozatot írta matematikából. Az egyes csoportok eredményét mutatják a diagramok. a) Készíts táblázatot az egyes csoportok érdemjegyeinek eloszlásáról (gyakoriságáról)! b) Egészítsd ki a táblázatot az egyes csoportok átlagosztályzatával! c) Készíts gyakorisági táblázatot a 85 tanuló osztályzatairól, és számítsd ki a témazáró dolgozatból elért átlagos osztályzatot! 1. csoport

12 10 8 6 4 2 0

3. csoport

12 10 8 6 4 2 0

4. csoport

12 10 8 6 4 2 2

2. csoport

12 10 8 6 4 2

1 5. csoport

12 10 8 6 4 2 2

RÁADÁS A diagramok fő célja, hogy segítségükkel könnyen értelmezhető, áttekinthető formába rendezzük az adatokat. Szemléletes, jó diagramot készíteni azonban sokszor nem is olyan egyszerű feladat.

Az adatok ábrázolásának egyik legnagyobb problémája a kiugró (a többi adathoz képest túl nagy vagy túl kicsi) értékek kezelése. Legyenek például az adataink: 1, 2, 1, 1000, 1.

Ha ezeket az adatokat oszlopdiagramon ábrázoljuk, akkor az 1000-es adat oszlopához képest a többi olyan kicsi, hogy nemhogy a köztük lévő különbségeket, de még magukat az oszlopokat sem látjuk. Ha akkora diagramot rajzolnánk, amelyiken már jól látható a kis adatok közti eltérés, akkor meg az 1000-es oszlop „lógna ki” az ábrából. Ennek a problémának egy lehetséges – bár nem túl elegáns – megoldása, hogy „megtörjük” a diagramot:

1000

1200

1000

1000 800 600 400 200 0

Ezen a diagramon jól megférnek egymással az adatok, csakhogy a figyelmetlen szemlélőnek könnyen úgy tűnhet, hogy a negyedik oszlop csak kb. 4 egység magas. Ezért különösen fontos, hogy a grafikon (és a függőleges tengely) megtörése nyilvánvaló és feltűnő legyen.

1 0

126

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

Problémát okoz a másik véglet is, amikor az adatok közötti különbségek túl kicsik. Az ilyen diagramokon minden oszlop egyformának tűnik, pont a lényeg – a különbségek – nem láthatók. Év

2004

2005

2006

2007

Munkanélküliek száma

996

998

1000

1009

Ezen a problémán sokan úgy próbálnak segíteni, hogy kivágják a diagram „tetejét”, azaz itt a függőleges tengely beosztása nem nulláról indul. Ez a megoldás viszont azért veszélyes, mert az eredmény könnyen megtévesztheti a felületes olvasót.

1000 800 600 400 200 0

2004 2005 2006 2007 „Városunkban a munkanélküliek száma nem változott jelentősen az elmúlt években.” 1010 1005 1000 995

2004 2005 2006 2007 „Városunkban a munkanélküliség az elmúlt években drasztikusan növekedett”

Ügyelnünk kell arra is, hogy egy túlzsúfolt grafikonról semmit nem lehet érdemben leolvasni. Nem szabad tehát rengeteg adatot belezsúfolni egyetlen ábrába! 1000 800 600 400 200 0

Az ilyen diagramok értelmezhetetlenek. Ha túl sok adatunk van, meg kell próbálnunk csoportokba (ún. osztályokba) sorolni őket.

Ma már a legegyszerűbb számítógépes adatkezelő programok is lehetőséget adnak látványos térbeli diagramok készítésére. A térbeli perspektíva azonban furcsa optikai csalódásokhoz vezethet! Az alábbi két, henger alakú grafikon ugyanaz a kördiagram, különböző szögekből nézve! Az értelmezés mégis teljesen különböző.

„Piaci részesedésünk alig töredéke a vezető cégek részesedésének”

3 6 . l e c ke

D I AG R A M O K E L E M Z É S E

„Piaci részesedésünk körülbelül a többi cégével azonos arányú”

1 27

SZÁMSOKASÁGOK STATISZTIKAI JELLEMZŐI

BEVEZETŐ Egy munkahelyen 20-an dolgoznak, 5-féle fizetést kapnak. Az igazgató 300 ezer forintot, 5 főmunkatárs 250 ezret, 5 tisztviselő 200 ezret, 6 adminisztrátor 120 ezret, 3 takarító 80 ezret keres havonta. Mit olvashatunk ki ezekből az adatokból? Megoldás A fizetések jegyzéke 20 adatot tartalmaz. Ezek az adatok (ezer forintokban kifejezve) a következők: 300, 250, 250, 250, 250, 250, 200, 200, 200, 200, 200, 120, 120, 120, 120, 120, 120, 80, 80, 80.

Legtöbbször a 120 fordul elő, ez a számsokaság módusza. A felsorolásban középen, a 9. és a 10. helyen 200 áll, ezeknek az átlaga, ami szintén 200, a számsokaság mediánja. Gyakorisági grafikonon (diagramon) is ábrázolhatjuk a fizetéseket. A legmagasabb oszlop a 120-hoz tartozik, a legalacsonyabb a 300hoz.

gyakoriság

Most fogyó sorrendben írtuk fel a számokat.

6 5 4 3 2 1 0

120

200 ezer Ft

250

300

A számsokaság terjedelme a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége: 300 – 80 = 220. A terjedelem a grafikon vízszintes tengelyén olvasható le. Számítsuk ki a fizetések átlagát! Az átlagot úgy kapjuk meg, hogy a 20 szám összegét elosztjuk 20-szal. A 20 szám összege 3510, a 20 szám átlaga ezért: 3510 : 20 = 175,5. A 20 dolgozó fizetésének átlaga 175 500 forint. 11-en ennél többet keresnek, 9-en ennél kevesebbet. Az átlagtól kevéssel tér el az 5 tisztviselő fizetése, de az igazgató és a takarítók fizetése nagyon messze van az átlagtól. Azt is mondhatjuk, hogy nagy a fizetések szóródása.

ELMÉLET Egy véges számsokaság legfőbb statisztikai jellemzői: Leírása

128

Átlag

a sokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával

Módusz

a legtöbbször előforduló elem

Medián

a nagyság szerinti felsorolásban középen álló szám, vagy a középen álló két szám átlaga

Terjedelem

a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

P É L DA Gyakorisági táblázattal adunk meg egy számsokaságot. Számok

Gyakoriság

a) Mik a számsokaság statisztikai jellemzői? b) Készítsünk gyakorisági diagramot!

Az átlag kiszámítása: a 65 szám összege: 8 · 1 + 20 · 2 + 1 · 5 + 7 · 6 + + 3 · 12 + 10 · 15 + 2 · 20 + 10 · 21 + 4 · 22 = 619. A 65 szám átlaga: 619 : 65 ≈ 9,52. b) A diagramot így készítjük: a vízszintes tengelyen jelöljük a számokat, a függőlegesen a gyakoriságokat. gyakoriságok

Megoldás a) A gyakoriságok összege 65, tehát ez a számsokaság 65 számból áll. Ha ezt a 65 számot növekedő sorrendbe írjuk, akkor a 33. szám lesz középen, ez a számsokaság mediánja. Melyik szám most a medián? Az 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, …, 2, 5, 6, 6, 6 számok vannak a medián előtt (32 szám). Mivel hétszer fordul elő a 6, ezért a középső szám is 6 lesz, vagyis ez a medián. A számsokaság módusza 2, mert a 2 fordul elő a legtöbbször, a számsokaság terjedelme: 22 – 1 = 21.

25 20 15 10 5 0

12 15 számok

A megoldáshoz használhatunk táblázatkezelő pprogramot is (diagram megjelenítése, átlag kiszámítása).

ELMÉLET Az átlag meghatározásához a számok súlyozott számtani középét számítottuk ki. A számokat megszoroztuk a gyakoriságukkal, ezeknek a szorzatoknak az összegét elosztottuk a gyakoriságok összegével.

F E L A DAT

Add meg a következő számsokaságok főbb statisztikai jellemzőit! a) 2, 2, 4, 9, 12, 3, 4, 2, 9, 3, 2, 9, 9, 5, 8, 9, 3, 5, 9, 4 b) 20, 20, 40, 90, 120, 30, 40, 20, 90, 30, 20, 90, 90, 50, 80, 90, 30, 50, 90, 40 c) 120, 320, 504, 900, 120, 320, 442, 600, 900, 120, 320, 440, 504, 900, 120

37. l e c ke

S Z Á M S O K A S Á G O K S TAT I S Z T I K A I J E L L E M Z Ő I

Egy általános iskolában 8 osztály van. Az osztálylétszámokat a táblázat mutatja: Osztály

Létszám

a) Mennyi az átlagos osztálylétszám A) az alsó tagozatban; B) a felső tagozatban; C) az iskolában? b) Mennyi a nyolc osztálylétszám mediánja és terjedelme?

129

H Á Z I F E L A DAT

Tizenegy tanuló olyan tesztdolgozatot írt, amelyben 100 pontot lehetett elérni. A tanulók elért pontszámai: 100; 100; 100; 63; 62; 60; 12; 12; 6; 2; 0. a) Add meg az élért pontszámok főbb statisztikai jellemzőit! b) Bence a csoport tantárgyfelelőse. A csoportban az a vélemény van többségben, hogy nehéz volt a teszt. Tud-e érvelni Bence a statisztikai mutatókra támaszkodva a többség véleménye mellett? Egy szabálytalan dobókockát egymás után 120szor feldobtunk, a dobott számokat sorban feljegyeztük: Pontszám Gyakoriság

a) Mennyi a dobott pontok átlaga? b) Mennyi a 120 számból álló számsokaság módusza, mediánja, terjedelme? c) Egészítsd ki a táblázatot a pontszámok relatív gyakoriságával! d) Készítsd el a pontszámok relatív gyakorisági diagramját a táblázat alapján! e) Melyik pontszám lehet a kockán a hármassal szemben? Miért?

130

2000 januárjában az egyik meteorológiai megfigyelőhelyen a táblázat szerinti napi középhőmérsékleteket mérték. Nap

Átlaghőmérséklet

Nap

Átlaghőmérséklet

Nap

Átlaghőmérséklet

–7

12.

–1

22.

–4

–5

13.

–5

23.

–4

–2

14.

–3

24.

–5

–2

15.

–1

25.

–7

–1

16.

–2

26.

–4

17.

27.

–3

18.

28.

–2

19.

29.

–2

20.

30.

10.

–1

21.

31.

11.

a) Melyik napon volt a leghidegebb, illetve a legmelegebb az átlaghőmérsékletek alapján ítélve? b) Add meg a napi középhőmérsékletek móduszát, terjedelmét és átlagát! c) Milyen módon mérnéd a „napi középhőmérsékletet”?

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

RÁADÁS Export Az alábbi diagramok Zedország exportjáról szolgálnak adatokkal. Zedországban zed a pénznem. Zedország teljes évi exportja millió zedben kifejezve, 1996–2000 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

37,9

20,4

1996

25,4

Zedország exportjának megoszlása 2000-ben 42,6

egyéb 21%

pamutszövet 26%

27,1 hús 14%

gyapjú 5% dohány 7% 1997

1998

1999

2000

év

gyümölcslé 9%

rizs 13%

tea 5%

a) Mennyi volt Zedország exportjának összértéke (millió zedben) 1998-ban? b) Milyen értékben exportált gyümölcslevet Zedország 2000-ben? A) 1,8 millió zed. B) 2,3 millió zed. C) 2,4 millió zed. D) 3,4 millió zed. E) 3,8 millió zed.

37. l e c ke

S Z Á M S O K A S Á G O K S TAT I S Z T I K A I J E L L E M Z Ő I

1 31

OSZTÁLYBA SOROLÁS, ÁTLAGOK ÁTLAGA

BEVEZETŐ A táblázatban ezresekre kerekítve megadták egy város lakóinak életkor és nem szerinti megoszlását. A város legidősebb embere 93 éves. Életkor

0–9

10–19

20–29

30–39

40–49

50–59

60–69

70–93

Nők (ezer fő)

Férfiak (ezer fő)

a) Hány nő és hány férfi él ebben a városban? b) Készítsünk az adatok alapján grafikont! c) Számítsuk ki a város lakosai életkorának átlagát! A táblázat életkoruk szerint nyolc osztályba sorolta a város lakosait. Az első osztály határai a 0 és a 9, a második osztály határai a 10 és a 19, végül a nyolcadik osztály határai a 70 és a város legidősebb lakosának életkora, azaz 93. (A hivatalos felmérésekben az ilyen típusú osztályba sorolás úgy történik, hogy – például – 9 éves az, akinek a felmérés évében van a tizedik születésnapja, 25 éves az, akinek a felmérés évében van a 26. születésnapja, és így tovább.)

Megoldás a) A nők száma 7 + 9 + 10 + … + 12 = 81 ezer, a férfiaké 8 + 10 + 11 + … + 7 = 71 ezer. b) A diagram vízszintes tengelyén az osztályokat, függőleges tengelyén az adott osztályba tartozó lakosok számát tüntetjük fel.

132

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

ezer fő 12

nők fériak

10 8 6 4 2 0

0–9

10–19

20–29

30–39 40–49 életkor (év)

50–59

60–69

70–93

c) Az átlag kiszámításánál gyakran használt (közelítő) módszer az, hogy az egyes emberek valódi életkora helyett az osztályközepekkel számolunk. Az osztályközép az adott osztály két határának a számtani közepe. Az átlag kiszámításához tehát ezt a gyakorisági táblázatot használjuk: Életkor

4,5

Lakosok száma (ezer fő)

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

81,5

Az életkorok súlyozott számtani közepe: 4,5 ⋅ 15 + 14,5 ⋅ 19 + 24,5 ⋅ 21 + 34,5 ⋅ 20 + 44,5 ⋅ 22 + 54,5 ⋅ 19 + 64,5 ⋅17 + 81,5 ⋅ 19 6207 = ≈ 40,8 (év). 15 + 19 + 21 + 20 + 22 + 19 + 17 + 19 152 A város lakosai életkorának átlaga tehát körülbelül 41 év. Megjegyzések 1. Feladatunkban egy város lakosságát osztályokba sorolták. Vegyük észre: minden lakos benne van az egyik osztályban, de egyik lakos sincs benne két különböző osztályban. 2. Az osztályba sorolt adatok átlagának kiszámítása természetesen nem feltétlenül adja ugyanazt, mintha minden egyes ember életkorát megkérdeztük volna, majd a 152 ezer szám összegét elosztottuk volna 152 ezerrel. A statisztika olykor megelégszik a kevésbé pontos értékekkel is, főleg ha – a pontos értékek meghatározása túlságosan időigényes (például azért, mert a 152 ezer számot be kell gépelni a számítógépbe), vagy – túl sokba kerül, és nem „térül meg” a pontossággal nyert többletinformáció.

F E L A DAT

Bence rendezte a bélyeggyűjteményét, és közben feljegyezte, milyen értékű bélyegei vannak. Az alábbi táblázatot készítette el.

Érték (Ft) Darab

500–1000

1000–1500

1500–2500

2500–5000

Az 1000 Ft értékű bélyegeket a második, az 1500 Ft értékűeket a harmadik, a 2500 Ft értékűeket a negyedik osztályba sorolta Bence. a) Hány bélyegből áll Bence gyűjteménye?

3 8 . l e c ke

O S Z T Á LY B A S O RO L Á S , Á T L AG O K Á T L AG A

b) Készíts oszlopdiagramot a bélyegek értékéről! c) Mennyit ér a bélyeggyűjtemény Bence szerint, ha az általa létrehozott osztályok osztályközepével számol? (Az osztályközép most is az osztály két határának számtani közepe.) d) Bence kiszámította a bélyegek értékének átlagát. Van-e olyan bélyeg a gyűjteményében, amelynek pontosan ennyi az értéke?

133

P É L DA Ki kellett volna számolnia az

Bence a bélyegek rendezgetése miatt időzavarba került, ezért „összecsapta” a matek házi feladatát. Az egyik feladatban ki kellett számítania az 5, 7, 2, 3, 4 számok átlagát. Bence jó fejszámoló, ezért így „gyorsította meg” a megoldást: 5+7 Az 5 és a 7 átlaga 6 (mert = 6), a 2, 3, 4 számok átlaga 2 2+3+4 pedig 3 (mert = 3). Tehát az 5, 7, 2, 3, 4 számok 3 6+3 átlaga 4,5 (mert a 6 és a 3 átlaga = 4,5). 2 Az iskolában meglepődve tapasztalta, hogy másoknak nem ugyanez „jött ki”. Jó-e Bence „gyors módszere”?

ami

21 = 4,2. 5

5+7+2+3+4 tört értékét, 5

5+7 2+3+4 + : 2. 3 2 Ezt közös nevezőre hozás után így írhatjuk: 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 54 9 = = = 4,5, 12 2 12 5+7+2+3+4 és ez nem egyenlő az törttel. 5 Bence az öt szám átlaga helyett az öt számból képzett két csoport átlagának átlagát számította ki, és hibás eredményt kapott. Az „átlagok átlaga” tehát ebben az esetben nem egyenlő az eredeti átlaggal. Ehelyett Bence ezt számolta ki:

Megoldás Bence gyors munkája sajnos hibás volt.

F E L A DAT

Bence arra gondolt, biztosan csak azért kapott hibás eredményt, mert rosszul csoportosította a számokat. Ezért megvizsgált más csoportosításokat is. Mindegyik esetben kiszámította a csoportok átlagának átlagát, abban reménykedve, hogy valamelyik éppen 4,2 lesz. Talált-e ilyet? a) Egyik csoport: 5, 3; másik csoport: 7, 2, 4. b) Egyik csoport: 5, 2; másik csoport: 7, 3, 4. c) Egyik csoport: 5, 7, 3; másik csoport: 2, 4. d) Egyik csoport: 5, 7; másik csoport: 2, 4, harmadik csoport: 3. e) Vizsgálj meg más csoportosításokat is! Bence nem adta fel a próbálkozást, és keresett olyan példát, amelyben az ő gyors módszere helyes eredményre 5+7+2+3+4+9 vezetett. Talált is ilyet: az 5, 7, 2, 3, 4, 9 számok esetén például a hat szám átlaga = 5; az 5, 7, 6 14 16 2 számok átlaga , a 3, 4, 9 számok átlaga . 3 3 30 14 16 E két átlag átlaga pedig: + :2 = : 2 = 10 : 2 = 5. 3 3 3 Keress más csoportosításokat is az 5, 7, 2, 3, 4, 9 számokhoz, amelyek esetén működik Bence „gyors módszere”, és olyanokat is, amelyekben továbbra is rossz eredményre vezet! Mit tapasztalsz?

Egy intézetben minden gyerek új cipőt kap. A méretek: Méret Gyakoriság

a) Van-e értelme osztályokba sorolni a cipőket, és az osztályközepek szerint vásárolni? b) Mennyi a cipőméretek átlaga? c) Jó-e valamire, ha tudjuk a cipőméretek átlagát?

134

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

H Á Z I F E L A DAT

Gyártósorról lekerült, kész izzók élettartamát vizsgálta a minőségellenőr. Mérési eredményeit táblázatban rögzítette. A véletlenszerűen kiválasztott és megvizsgált izzók osztályba sorolásakor az első osztályba azok kerültek, amelyeknek az élettartama elérte a 950 órát, de az 1000 órát már nem. A második osztályba azok az izzók kerültek, amelyeknek az élettartama elérte az 1000 órát, de az 1050 órát már nem, és így tovább. Élettartam

950– 1000

1000– 1050

1050– 1100

1100– 1150

1150– 1200

Gyakoriság

A megvizsgált izzók mindegyike legalább 950 órát világított, és nem volt olyan, amelynek az élettartama elérte volna az 1200 órát. a) Hány izzót vizsgált meg a minőségellenőr? b) Készíts gyakorisági diagramot a táblázathoz! c) Egészítsd ki a táblázatot a relatív gyakoriságokkal! A vizsgált izzók hány százaléka felelt meg a „legalább 1000 órás üzemidő” követelményének? d) Számítsd ki az izzók élettartamának átlagát az osztályközepek segítségével!

Egy kisvállalatnál hatan dolgoznak. A havi bruttó bérek ezer forintban kifejezve: 150, 150, 160, 165, 180, 200. a) Add meg a bruttó bérek terjedelmét, móduszát, mediánját és átlagát! b) Csoportosítsd a béreket (legalább 2, legfeljebb 5 csoportba) úgy, hogy a csoportok átlagának átlaga egyenlő legyen a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg! c) Csoportosítsd a béreket (legalább 2, legfeljebb 5 csoportba) úgy, hogy a csoportok átlagának átlaga ne legyen egyenlő a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg!

hármas, kettes és egyes is. Az ötös osztályzatok átlaga nyilván 5, a négyes osztályzatok átlaga nyilván 4, a hármasoké 3, a ketteseké 2, az egyeseké pedig 1. Ennek az öt számnak az átlaga adja az osztályát5 + 4 + 3 + 2 + 1 15 lagot, ami tehát = = 3. Látod, 5 3 Bence, be is tudtam bizonyítani az állításomat.” Bence egy kicsit meglepődött, de aztán így válaszolt Hajninak: „…Tehát van, amikor igaz, amit állítasz, de van, amikor nincs igazad.” Hogyan érvelnél Bence helyében?

Egy osztály 25 tanulójának testmagassága cm-ben mérve a következő: 151, 156, 158, 158, 164, 164, 164, 164, 164, 166, 166, 168, 168, 168, 170, 170, 171, 171, 171, 171, 172, 173, 174, 176, 182.

Hajni szeretné próbára tenni öccse, Bence tudását. Ezért a következőket mondja neki:

a) Mennyi a 25 adat módusza és mediánja? b) Végezd el a 25 adat osztályba sorolását! Legalább 4, legfeljebb 6 osztályt alkoss! c) Számold ki az osztályközepek segítségével a testmagasságok átlagát, majd számítsd ki a 25 szám átlagát is! Hasonlítsd össze a két számot!

„Alig van olyan matematikadolgozat, amely esetén az osztályátlag nem 3. A legtöbbször ugyanis a matematikadolgozatok között van ötös, négyes,

A házi feladat elkészítéséhez, ellenőrzéséhez használhatsz táblázatkezelő programot is. h

3 8 . l e c ke

O S Z T Á LY B A S O RO L Á S , Á T L AG O K Á T L AG A

135

MINDEN VÁLTOZIK

BEVEZETŐ A minket körülvevő világ állandóan mozgásban van, folyamatosan változik. Változik az időjárás, a hőmérséklet a nap folyamán, de éves periódusokban is, változik a boltok kínálata, az árak, változnak az ismerőseink és mi magunk is. Természetesen lehetetlen mindezt együttesen leírni, de bizonyos kiszemelt mennyiségek változását könnyen nyomon követhetjük.

F E L A DAT A tachográf (menetíró) olyan készülék, amely mozgó járművek – elsősorban buszok, teherautók – sebességadatait jegyzi későbbi ellenőrzés céljából.

páig. Ott olyan hirtelen állt meg, hogy elestem. A következő megállónál le is szálltam.” Az autóbusz-társaság bekérte a vezetőtől a busz tachográfját, amely a kérdéses időtartamról a következő grafikont rögzítette: sebesség (km/h)

80 70 60 50 40 30

Egy helyközi autóbuszjárat egyik utasa zúzódásos sérüléssel jelentkezett a városi kórházban. Állítása szerint a busz hirtelen fékezett, ő pedig elesett. A közlekedési vállalatnál jegyzőkönyvet vettek fel a panaszról, ebben az utas a következőképpen mesélte el a történteket: „A kövespusztai megálló után egy darabig még úgy 70-nel mehettünk az országúton, aztán a város szélén a busz 50-re lassított. 2-3 perc után a piros lámpánál a vezető fékezett, aztán megállt. A lámpa elég hamar zöldre váltott, mehettünk tovább az alsóvárosi megállóig, ami kb. negyedórányi út a kövespusztaitól számítva. Itt nem volt senki, így a vezető lassítás nélkül, 50nel ment tovább, egészen a következő jelzőlám-

136

20 10 0

10 12 14 16 18 20 22 24 idő (perc)

a) Azonosítsd a grafikonon az út szakaszait a panaszos utas beszámolója alapján! b) A beszámoló melyik részei igazak, és hol állított valótlant az utas? c) Mi történt valójában azon a szakaszon, amivel kapcsolatban nem mondott igazat az utas? d) Tudjuk, hogy a busz a kövespusztai megállótól indulva általában 7-8 perc alatt éri el a városhatárt. Ezt figyelembe véve, megszegte-e valahol a busz vezetője a sebességhatárokat? (Az autóbu-

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

szok számára megengedett maximális sebesség km km városban 50 , városon kívül 70 .) h h A grafikon a 95-ös benzin árváltozásait mutatja egy benzinkútnál a 2008-as év során.

dec.

nov.

okt.

szept.

aug.

júl.

jún.

ápr.

máj.

márc.

Benzinár alakulása 2008-ban

febr.

320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220

jan.

forint/liter

b) Foglald táblázatba a benzinárakat! A növekedést pozitív, a csökkenést negatív számokkal jelöld! A grafikon és a táblázat alapján válaszolj a következő kérdésekre! A) Mennyit csökkent a benzin ára a) január és december között; b) július és december között? B) Mennyi volt január és július között a) a legnagyobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi növekedés? C) Mennyi volt július és december között a) a legnagyobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi csökkenés? D) Megállapítható-e a grafikon alapján, hogy mennyibe került egy liter benzin május 17-én, november 20-án?

a) Röviden írd le, mi történt a benzinárakkal az év folyamán! Térj ki arra, hogy melyik időszakban milyen irányú és mértékű a változás, mennyit változott a benzin ára az egyes időszakokban, illetve összesen stb.!

A grafikon egy versenyautó sebességének változását mutatja, amikor egy 3 kilométeres vízszintes pálya második körét futja. a) Megközelítőleg mekkora a távolság a startvonal és a pálya leghosszabb egyenes szakaszának kezdőpontja között? A) 0,5 km C) 2,3 km 180 B) 1,5 km D) 2,6 km b) A pálya mely pontján mérték a legalacso- 160 140 nyabb sebességet a második körben? 120 A) a startvonalnál C) kb. 1,3 km-nél 100 B) kb. 0,8 km-nél D) a pálya felénél 80 c) Mit lehet mondani az autó sebességéről 60 a 2,6 km és a 2,8 km közötti szakaszon? 40 20 A) Az autó sebessége állandó. C) Az autó sebessége csökken. 0 B) Az autó sebessége növekszik.

D) Az autó sebességét nem lehet meghatározni a grafikon alapján. d) Az alábbi ábrán öt különböző pálya rajza látható. A korábban szereplő sebességgrafikon alapján állapítsd meg, melyik pályán haladt a versenyautó! sebesség (km/h)

0,5

1,5

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 pályán megtett távolság (km) startvonal

Start Start

Start

Start B

3 9 . l e c ke

M I N D E N V Á LT O Z I K

Start

1 37

ELMÉLET Derékszögű koordináta-rendszert kapunk, ha úgy helyezünk el egymásra merőlegesen két számegyenest, hogy a 0 jelzésű pontjuk közös legyen. Ezt a közös pontot origónak nevezzük.

ordinátatengely II.

I. 1

Rajzunkon a vízszintes számegyenes az első tengely (abszcisszatengely), a függőleges a második tengely (ordinátatengely). A rendszert természetesen el is forgathatjuk.

A két tengely a síkot négy negyedre vágja. Ezeknek a számozását az ábra mutatja.

III.

Ha egy síkban koordináta-rendszert veszünk fel, akkor e sík minden pontját egy rendezett számpárral (olyan számpárral, amelyben fontos a számok sorrendje is) jellemezzük.

abszcisszatengely IV.

(2) B

Például az ábránkon lévő A pontot a (3; 2) rendezett számpárral, a B pontot a (–2; 4) rendezett számpárral. A rendezett számpárok tagjait nevezzük a pontok koordinátáinak.

4 2

–2

Az első koordinátát abszcisszának, a második koordinátát ordinátának is nevezzük.

(1)

(2)

Az ábra mutatja az egyes síknegyedekben található pontok két koordinátájának előjelét. Az első koordináta abszolút értéke azt mutatja meg, mekkora távolságra van a pont a második tengelytől, a második koordináta abszolút értéke azt mutatja meg, mekkora távolságra van a pont az első tengelytől.

(–; +)

(+; +)

1 1

(–; –)

(+; –)

(1)

A koordinátatengelyek elnevezése Az abszcisszatengelyt szokás x-tengelynek, az ordinátatengelyt y-tengelynek nevezni. Ha ezt tesszük, akkor mindig ezt a szokást követjük.

H Á Z I F E L A DAT ezer Ft

138

A két grafikon egy cég várható kiadásait és bevételeit szemlélteti a legyártott termékek számának függvényében. (A vízszintes tengelyen 100 darab, a függőleges tengelyen ezer forint egységek vannak.) a) Mivel magyarázható, hogy kisszámú termék esetén a kiadások felülmúlják a bevételeket? b) Mi az a termékszám, aminél a cég nullszaldós, azaz a bevételek pont fedezik a kiadásokat? c) Készíts olyan grafikont, amely a cég által termelt profitot szemlélteti a legyártott termékek számának függvényében! (Veszteség esetén a profit negatív érték!)

bevétel

18 16 14

kiadás

12 10 8 6 4 2 0

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

14 100 darab

Statisztika, függvénytan

Egy üzletház parkolójában az első két óráért nem kell parkolási díjat fizetni, utána minden megkezdett óráért 100 forintot számolnak fel, de a maximális díj csak 400 forint lehet. a) Készítsd el a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki! Parkolási idő (óra)

Parkolási díj (Ft)

2,5

3,8

4,5

b) Melyik grafikon mutatja helyesen a parkolásért fizetendő öszszeget? × 100 Ft

× 100 Ft 5

óra

c) Miért helytelen a másik grafikon? Milyen körülmények között lenne az a helyes? A grafikon az acél világpiaci árának alakulását mutatja. Me× 100 lyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül? Válaszodat 7 6 indokold! 5 a) 2005-ben az acél ára év végén alacsonyabb volt, mint év ele4 jén. 3 b) Az acél ára 2005-ben folyamatosan csökkent. 2 c) 2004-ben folyamatosan nőtt az acél ára. 1 d) 2003-ban volt a legalacsonyabb az acél ára a vizsgált négy 0 2003 2004 évben. e) Az acél tonnánkénti ára mindvégig 500 USA-dollár fölött volt a vizsgált években. f) A 2004-es év nagyobbik részében 500 USA-dollár fölött volt az acél tonnánkénti ára. USA-dollár tonnánként

Egy üzletközpont parkolójában fizetendő díjak láthatók az ábrán. a) Mennyi a parkolásért fizetendő összeg, ha a parkolási idő A) 45 perc; B) 2,5 óra; C) 4 óra 20 perc; D) 8 és fél óra? b) Jelenítsd meg grafikonon a parkolásért fizetendő összeget a parkolási idő függvényében! c) Lehet-e a (megszakítás nélküli) parkolásért fizetendő öszszeg 1000 forint? d) Mennyi ideig parkolt (megszakítás nélkül) a jármű, ha a parkolásáért 1550 forintot kellett fizetni?

3 9 . l e c ke

M I N D E N V Á LT O Z I K

2005

2006

P Parkolási idő 0–1 óra 2. óra 3. óra 4. óra 5. óra minden további óra

Parkolási díj Ingyenes 200 Ft 200 Ft 250 Ft 300 Ft 300 Ft

139

GRAFIKONOK A MINDENNAPOKBAN

CSOPORTMUNKA

140

Egy felmérésben 1500-1500 véletlenszerűen kiválasztott 10 és 70 év közötti férfi és nő alvással töltött óráinak számát vizsgálták az életkoruk függvényében. Az eredményeket átlagolták, és így a következő grafikont kapták: a) Az alábbi állítások közül melyik mennyire alvással töltött idő naponta (óra) pontosan írja le a grafikonon látható jelen10,5 séget? – A nők többet alszanak, mint a férfiak. 10 – A nők kb. 60 éves korukig több órát töl9,5 tenek naponta alvással, mint a hasonló korú férfiak. 9 – A fiatal férfiak általában kevesebbet alfériak 8,5 szanak, mint a hasonló korú nők. nők – Az idősebb férfiak kevesebbet alszanak, 8 mint a fiatalok. 7,5 b) Magyarázd meg, hogyan jelentkezik a graéletkor (év) fikonon az a tény, hogy 40 és 60 éves koruk 0 között a férfiak nagyjából ugyanannyi időt 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 töltenek naponta alvással! c) Mivel tudnád alátámasztani a következő állítás igazságát? „A nők alvással töltött óráinak száma 10–15 éves korukban jóval erőteljesebben csökken, mint 20–25 éves korban.”

Magyarországon a személyi jövedelemadó 2004 mértéke 2011 előtt az éves jövedelem nagy0–800 000 Ft 18% ságától függően ún. többkulcsos rendszerben 800 001–1 500 000 Ft 144 000 Ft és a 800 000 Ft-on felüli rész 26%-a változott. Ez azt jelenti, hogy magasabb jöve1 500 001 Ft-tól 326 000 Ft és a 1 500 000 Ft-on felüli rész 38%-a delmek esetén az adóalap egyre nagyobb és nagyobb százalékát kellett adóként megfizetni. 2005 Az adókulcsok szerkezetét 2005-ben módosí0–1 500 000 Ft 18% tották jelentősen, ekkor tértek át a korábbi há1 500 001 Ft-tól 270 000 Ft és a 1 500 000 Ft-on felüli rész 38%-a rom jövedelmi sávról kettőre. a) 2005 elején Arany apuka így beszélgetett egy barátjával: Arany apuka: „Én jól jártam ezzel a váltással. Évente 1 200 000 forintot keresek, eddig 26%-ot adóztam, most majd csak 18-at fogok, a 8% ennél a fizetésnél 96 000 Ft megtakarítás.” A barátja: „Én bezzeg jól megjártam! 2004-ben 1 460 000-et kerestem egy évben, 2005-ben 1 520 000-et, ezzel pont átkerültem a 38%-os sávba. Mire levonják az adót, kevesebb marad, mint ha nem is emeltek volna.” Valójában egyiküknek sincs igaza. Számítsd ki, kinek mennyi adót kellett fizetnie 2004-ben és mennyit 2005-ben! b) Ábrázold grafikonon az egyes években a fizetendő adó mennyiségét az éves jövedelem függvényében! Hogyan olvasható le a grafikonról, hogy kik jártak jól a változással? c) Magyarázd meg a grafikon alapján, miért nem lehetséges az, hogy valakinek 2005-ben több adót kelljen fizetnie, mint 2004-ben, miközben a jövedelme változatlan maradt! d) Mekkora az az éves adóalap, amelynél a változás a legnagyobb különbséget okozta?

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

A grafikon egy bizonyos árufajta egységára és az áru iránti kereslet közötti kapcsolatot szemlélteti. egységár

mennyiség (kereslet)

Melyik kijelentés igaz, és melyik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor csökken az áru iránti kereslet. b) Nagyobb kereslethez alacsonyabb ár tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet egyenesen arányos. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet fordítottan arányos. e) Ha az áru ára növekszik a piacon, akkor a fogyasztók kevesebbet vesznek ebből a termékből.

H Á Z I F E L A DAT

A grafikon egy bizonyos árufajta egységára és az áru piaci kínálata közötti kapcsolatot szemlélteti. egységár

Alapanyagot gyártó cég vizsgálja a gyártás során felmerülő költségeket a gyártott mennyiség függvényében. 7

millió forint

6 5 összköltség

4 3 0

mennyiség (kínálat)

Melyik kijelentés igaz, és melyik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor nő az áru piacon felkínált mennyisége. b) Alacsonyabb árhoz nagyobb kínálat tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat egyenesen arányos. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat fordítottan arányos. e) Ha az áruért magasabb árat is hajlandók fizetni a fogyasztók, akkor a piacon nő a kínálat az adott áruból.

4 0 . l e c ke

G R A F I KO N O K A M I N D E N N A P O K B A N

2 1 0

egyéb költség

előállítási költség 1

8 9 10 11 12 mennyiség (ezer kg)

a) Hogyan változik az előállítási költség az előállított mennyiség növekedésével? b) Hogyan változik az egyéb költség az előállított mennyiség növekedésével? c) Mekkora előállított mennyiség esetén legalacsonyabb az összköltség, és mennyi ez? Mennyi ebben az esetben az előállítási költség és menynyi az egyéb költség? d) Mekkora gyártott mennyiség esetén lesz 4 millió forint az összköltség? Miből tevődik ez össze?

1 41

MI AZ ÖSSZEFÜGGÉS?

BEVEZETŐ A különböző mennyiségek megváltozásai között gyakran szoros – és nem is túlságosan bonyolult – összefüggések állnak fenn. A következő példákban ilyen egyszerűbb összefüggéseket próbálunk meg kitalálni.

Km-tábla

Megtett út (km)

Idő (mp)

120

178

242

303

360

417

481

Az eredményeket egy hevenyészett grafikonon is ábrázolta, amiből az derült ki, hogy a busz meglepően egyenletes tempóban haladt, az eltelt idő és a megtett út majdnem pontosan egyenesen arányos.

Mi az összefüggés az eltelt idő és a megtett kilométerek száma között? megtett út (km)

Egy hosszú és unalmas autóbuszos utazás során Arany Bence azt számolgatta, hogy milyen gyorsan mehet a busz. Egyszerre figyelve az órája másodpercmutatóját és az út mentén feltűnő kilométertáblákat, felírogatta az összetartozó értékpárokat, és ebből próbálta megállapítani a busz sebességét.

12 10 8 6 4 2 0

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 idő (s)

Megoldás A táblázatból és a grafikonról is az látható, hogy a busz kb. 60 másodpercenként, azaz nagyjából egypercenként tesz meg egy kilométert, azaz a megtett kilométerek száma nagyjából megegyezik az eltelt percek számával, vagy – másodpercekben számolva – az eltelt másodpercek szá1 mának -ad részével: 60 Másodpercek száma Kilométerek száma = . 60 Ha az eltelt másodpercek számát x-szel, a megtett kiloméx terek számát pedig y-nal jelöljük, akkor y = . 60

F E L A DAT

142

Az, hogy egy fazék víz mennyi idő alatt forr fel a tűzhelyen, alapvetően a víz menynyiségétől függ. Megmértük, hogy különböző nagyságú fazekakat megtöltve, az otthoni gáztűzhelyen meddig tart felforralni a bennük lévő vizet. Az adatokat a táblázat mutatja: a) Készítsünk grafikont a táblázat alapján! b) Írjunk fel összefüggést a víz mennyisége és a felforraláshoz szükséges idő között! c) Kb. mennyi ideig tartana ezen a tűzhelyen felforralni 1,5 liter vizet? d) Maximum mennyi vizet szabad a fazékba tölteni, ha 15 perc alatt fel kell forralnunk?

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Vízmennyiség (liter)

Idő (perc)

0,2

2,5

9,8

102

Statisztika, függvénytan

P É L DA Egy taxi utasa időnként oda-odapillantva a taxiórára a következő számokat látta a kijelzőn: Hogyan tudnánk összefügkm Viteldíj (Ft) gést találni a számpárok kö3 1020 zött? 6 1740 Ábrázoljuk az összetartozó 8 2220 értékeket grafikonon! 11 2940 3000 2700 2400 2100 1800 1500 1200 900 600 300 0

Milyen összefüggés áll fenn a sebesség és a fékút között? Ábrázoljuk az adatokat grafikonon! (Figyelem! Ez csak a fékezés utolsó szakasza! A biztonságos megálláshoz ennél hosszabb út kell, hiszen a kocsi azalatt is halad, amíg észleljük az akadályt és benyomjuk a fékpedált! Ezt a hosszabb utat nevezzük féktávolságnak.) Megoldás fékút (m)

viteldíj (Ft)

70 60 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 megtett út (km)

40 30 20

Megoldás A grafikon alapján a viteldíj egyenletesen növekszik. Vizsgáljuk meg, mi történik az első két adatpont között! 3 km-t tett meg a taxi, eközben az óra 720 Ft-ot ugrott. A grafikon által is megerősített egyenletes növekedést feltételezve, ez kilométerenként 240 Ft viteldíjat jelent. Csakhogy ha visszaszámolunk az utazás kezdetéig és levonjuk az első 3 km-re eső 720 Ft-ot (vagy képzeletben meghosszabbítjuk a grafikont), azt tapasztaljuk, hogy 300 Ft-ot akkor is fizetnünk kell, ha egyetlen km-t sem haladunk. Ez a taxivállalatoknál alkalmazott ún. alapdíj. Ezek alapján tehát a szabály a következő: Viteldíj = 300 + megtett km-ek száma · 240 (Ft). Ha a megtett kilométerek számát x-szel, a Ft-ban számított viteldíjat pedig y-nal jelöljük, akkor y = 300 + 240 x.

10 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 sebesség (km/h)

A grafikonon jól látható, hogy ez az összefüggés nem lineáris, azonban még így sem különösebben nehéz kitalálni: 2 Sebesség 2 Sebesség , Fékút = , vagy Fékút = 10 100 ahol a fékutat méterben, a sebességet pedig km/h-ban mérjük. Ha a sebességet v-vel, a fékutat s-sel jelöljük, akkor 2 v2 v vagy s = . s= 10 100

Nedves, csúszós úton különösen fontos a gépkocsik sebességének mérséklése, hiszen ilyenkor a gumikerekek kevésbé tapadnak Sebesség Fékút az aszfalton. A táblázat azt (km/h) (m) 30 9 mutatja, hogy ilyen körül40 16 mények között, különböző 50 25 sebességek mellett, körülbe60 36 lül milyen hosszú lesz a fékút 70 49 állóra fékezett – blokkolt – 80 64 kerekekkel.

41 . l e c ke

MI AZ ÖSSZEFÜGGÉS?

143

F E L A DAT

Egy nemzetközi telefonhívásokra specializálódott vállalkozás reklámjában az USAból Magyarországra irányuló hívásdíjakra a következő táblázatot találtuk: a) Ábrázold az adatokat grafikonon! b) Írd fel azt a képletet, amely megadja a fizetendő összeg nagyságát a beszélgetési idő függvényében! c) Mennyibe kerülne egy hétperces beszélgetés? d) Mennyi ideig lehetne három dollárért beszélgetni?

Beszélgetési idő (perc)

Díj ($)

1,70

2,00

2,40

2,90

3,70

H Á Z I F E L A DAT

Egy grafikon pontjait táblázattal adtuk meg. Rajzold meg derékszögű koordináta-rendszerben a pontokat, és keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! a) Pont neve A B C D

Első (x) koordinátája

–2

Második (y) koordinátája

Pont neve

Első (x) koordinátája

–2

–1

Második (y) koordinátája

Foglald táblázatba a grafikon pontjainak első és második koordinátáit! Válaszd ki, melyik kapcsolat áll fenn az első (x) koordináta és a második (y) koordináta között, és melyik nem! a) y = 4 x d) y = |x – 4| b) x = y – 4 e) x = |y – 4| c) y = 4 – x f) 5 – y = |x + 1|

Az 1. példában szereplő díjszabáshoz olyan grafikonvázlatot készítettünk, amelyik azt mutatja meg, hogy egy bizonyos összegből hány km-t utazhatunk taxival. Válaszd ki a megfelelő grafikont! Miért nem felel meg a többi vázlat? távolság (km)

összeg (Ft) távolság (km)

összeg (Ft)

távolság (km)

összeg (Ft) távolság (km)

összeg (Ft)

y 5 4 3 2 1 –1 0

144

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! y y a) b) c) y

–2

–1

–2

–1

–2

Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! y y a) b)

–2

–1

–2

–1

Bence írható DVD-lemezt szeretne venni, erre van 2400 Ft-ja. A közeli üzletben ötféle lemezt lehet kapni, ezek egységára 200 Ft, 300 Ft, 400 Ft, 600 Ft és 800 Ft. Melyik grafikon szemlélteti Bence lehetséges választásait, ha csak az egyik fajtából vásárol, és mind a 2400 forintját elkölti? a)

darabszám 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

41 . l e c ke

egységár 200

400

600

800

MI AZ ÖSSZEFÜGGÉS?

1000

darabszám 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

egységár 200

400

600

800

1000

145

A FÜGGVÉNY FOGALMA

BEVEZETŐ Rajzoljunk be a koordináta-rendszer síkjába 10 olyan pontot, amelynek a) a második koordinátája 3-mal nagyobb az elsőnél; b) a második koordinátája az első koordináta abszolút értéke. Válasszuk első koordinátának a –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 számokat. Töltsük ki a táblázatokat! a) Első koordináta (x) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Második koordináta (y)

–2

–1

7 y

Az alsó sorban lévő számok mind 3-mal nagyobbak a felettük lévő számnál. A megrajzolt 10 pont egy egyenesbe esik. Ha a pontok első koordinátáját x-szel, a második koordinátáját y-nal jelöljük, akkor itt minden pontnál: y = x + 3. Azt is szoktuk mondani, hogy a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése: x x + 3. Példánkban egy olyan függvény szerepel, amelynek az értelmezési tartománya a táblázat felső sorában álló számok halmaza, értékkészlete a táblázat alsó sorában álló számok halmaza, hozzárendelési szabálya: x x + 3. A 10 pont alkotja a függvény grafikonját. A grafikon egyenlete y = x + 3. b)

Első koordináta (x)

–5

–4

–3

–2

–1

Második koordináta (y)

7 6 5 4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

146

–2

A felső sorban lévő számok alá az abszolút értéküket írtuk. Az ábrán a 10 pont nem esik egy egyenesbe. Ha a pontok első koordinátáját x-szel, a második koordinátáját y-nal jelöljük, akkor itt minden pontnál y = | x |. Azt is szoktuk mondani, hogy a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése: x  | x |. Példánkban egy olyan függvény szerepel, amelynek az értelmezési tartománya a táblázat felső sorában álló számok halmaza, értékkészlete a táblázat alsó sorában álló számok halmaza, hozzárendelési szabálya: x  | x |. A 10 pont alkotja a függvény grafikonját. A grafikon egyenlete y = | x |.

–1 0 –1

y 6 5 4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

–1 0 –1 –2

Statisztika, függvénytan

ELMÉLET Ha egy halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy másik halmaznak egy elemét, akkor egy függvényt adunk meg. Az első halmaz a függvény értelmezési tartománya, a második halmaz a függvény egy képhalmaza. Az értelmezési tartomány elemeihez hozzárendelt dolgok is egy halmazt alkotnak, ez a függvény értékkészlete. értelmezési tartomány képhalmaz értékkészlet

A függvényeket gyakran egy-egy betűvel jelöljük. Egy f -fel jelölt függvény értelmezési tartományának a jele: Df , értékkészletének a jele: Rf . Ha egy f -fel jelölt függvény esetében x ∈ Df , akkor az x-hez hozzárendelt elemet a függvény x helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük, és így jelöljük: f (x). Megállapodás Ha egy függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), azt nem kötelező kiírni. Ha tehát egy függvény megadásakor csak a hozzárendelési szabályt látjuk, akkor ennek a függvénynek az értelmezési tartománya R. Példák 1. Jelöljük f -fel azt a függvényt, amely minden egész számhoz a nála 3-mal kisebb szám abszolút értékét rendeli hozzá! Ekkor D f = Z, R f = N, az f hozzárendelési szabálya: x  | x – 3|; az 1 helyhez tartozó helyettesítési érték f (1) = | 1 – 3| = 2, a 8 helyhez tartozó helyettesítési érték f (8) = | 8 – 3| = 5.

y 10 8 6 4 2 –8

2. Jelöljük g-vel azt a függvényt, amely minden pozitív és negatív számhoz a reciprokát rendeli hozzá! Ekkor Dg = R \ {0}, Rg = R \ {0}, 1 a g hozzárendelési szabálya: x ; x 1 az 5 helyhez tartozó helyettesítési érték g(5) = , 5 2 7 2 a − helyhez tartozó helyettesítési érték g − = − = −3,5. 7 2 7

–6

–2 0

–4

10 x

6 x

y 3 2 1 –3

–2

–1 0 –1

–2 –3

Pontsorok és képlettel megadott függvények megjelenítéséhez használható a Graph program is. P

4 2 . l e c ke

A F Ü G GV É N Y F O G A L M A

1 47

P É L DA Mit olvashatunk le a halmazábráról?

gitár

Megoldás Az ábrán egy függvényt adtunk meg. Jelöljük f -fel! Most D f = {Kati, Lajos, Béla, Andi}, R f = {zongora, gitár, dob}. A nyilak azt mutatják, hogy Andi zongorázik, Kati és Béla gitározik, Lajos pedig dobol. Táblázattal is szemléltethetjük a kapcsolatokat: Kati

Lajos

Béla

Andi

gitár

dob

gitár

zongora

Helyettesítési értékekkel leírva: f (Kati) = gitár;

f (Lajos) = dob;

dob

zongora

Kati Lajos

Béla Andi

f (Béla) = gitár;

f (Andi) = zongora.

Itt a függvényt megadhatjuk szavakkal, halmazábrával, a helyettesítési értékekkel vagy táblázattal is. Grafikont természetesen nem készíthetünk, mert nem számokról van szó.

F E L A DAT

Táblázatba foglaljuk, mennyibe kerül 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg, 7 kg, 8 kg, 9 kg, 10 kg savanyú káposzta: Tömeg (kg)

Ár (forint)

2 1

5 –2

390

Tömeg (kg)

a) Készítsd el a táblázatot a füzetedben, és töltsd ki! b) Ezzel a táblázattal megadtunk egy függvényt. Mi ennek az értelmezési tartománya, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont!

3 2 1

3 2 1 –2

–1 0 –1 –2 –3

–2

148

Mit olvashatsz le a grafikonokról? a) y

–3

–2

Ár (forint)

–1 0 –1

–1 0

Folytasd az előző feladatot! a) Melyik függvénynek mi az értelmezési tartománya? b) Melyik függvénynek mi az értékkészlete? c) Melyik függvénynek lehet képhalmaza a pozitív számok halmaza? d) Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza? e) Készíts a b) grafikon alapján táblázatot és halmazábrát!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

H Á Z I F E L A DAT

Add meg táblázattal is mindkét függvényt! y 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

Értelmezési tartomány

1 –2

–1 0 –1

–4

–6

András és Bence kedvenc szabadidős elfoglaltsága a zenehallgatás, Réka a számítógépes játékokkal szeret legjobban játszani, Nóra könyveket olvas, Erzsi pedig úszni szeret. Ábrázold halmazábrával azt a függvényt, amely mindenkihez a kedvenc szabadidős elfoglaltságát rendeli hozzá! Add meg a függvényt táblázattal is!

Kerékpárral állandó sebességgel tekersz. a) Töltsd ki a táblázatot arról, mekkora időre van szükséged az egyes távolságok megtételéhez! A füzetedben dolgozz!

–2

0 3

b) Rajzold meg a függvény grafikonját! c) Add meg az Rg halmazt!

–3

Megfelelő pont a koordinátarendszerben

–4

Értékkészlet

–2

–5

A g-vel jelölt függvény értelmezési tartománya a Dg = {4; 2; 0; –4; –6} halmaz, hozzárendelési szax bálya: x 3 − . 2 a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben!

Az f -fel jelölt függvény grafikonja 5 pontból áll. A pontok: (–4; 1), (5; 1), (0; –1), (1; 0), (–2; 1). a) Rajzold meg a függvény grafikonját! b) Add meg a D f és az R f halmazt! c) Mennyi f (5), és mennyi f (1)? d) Melyik helyhez tartozik az 1, és melyikhez a –1 helyettesítési érték? Foglald táblázatba, hány különböző módon lehet sorba állítani x tanulót, ha x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}! Mi az értékkészlete a táblázattal megadott függvénynek?

Távolság (m) Idő (s)

100

150

250

350

400

500

b) Ezzel a táblázattal megadtunk egy függvényt. Mi ennek az értelmezési tartománya, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont!

RÁADÁS Olyan rendezett párok nem üres halmazát, amelyeknek az első tagja mind különböző, függvénynek nevezzük. Az első tagok halmaza a függvény értelmezési tartománya, a második tagok halmaza a függvény értékkészlete.

4 2 . l e c ke

A F Ü G GV É N Y F O G A L M A

149

FÜGGVÉNYEKKEL KÖNNYEBB!

BEVEZETŐ Arany Csilla szeret gyöngyöt fűzni. Zacskókban tartja kisebb-nagyobb gyöngyeit, de ezek gyakran leesnek, szétgurulnak. Nővére, Hajni elhatározta, hogy egy tavalyi falinaptár szép, díszes lapjából készít Csillának egy jó kis dobozt. A lap 18 × 18 cm-es négyzet. Ha a sarkairól egyforma négyzeteket vágunk le, és a széleket felhajtjuk, felül nyitott doboz keletkezik. Mekkorák legyenek a levágott négyzetek?

x x x

18 - 2x

-2

Megoldás Ha a levágott négyzetek oldala túl kicsi, akkor nagyon lapos lesz a doboz, kieshetnek a gyöngyök. Ha túl nagy, akkor magas lesz a doboz, de túl kicsi az alapterület. Hajni számításokat végzett: ha a levágott négyzetek oldala x cm-es, akkor – a doboz magassága x cm, – alapéleinek hosszúsága (18 – 2 x) cm, – az alaplap területe (18 – 2 x) 2 cm2, – a doboz térfogata x (18 – 2 x) 2 cm3. a) Mekkora lehet az x? b) Hajni előkészített egy táblázatot. A felső sorba csak az egész cm-eket írta be. Készítsd el, és töltsd ki a táblázatot a füzetedben! x (cm)

(18 – 2 x) (cm)

(18 – 2 x) 2 (cm2)

324

256

túl lapos

nincs doboz

x (18 – 2 x)

(cm3)

Milyen a doboz?

nincs doboz

c) A táblázat alapján több függvényt is találsz: I. Az x mindegyik szóba jövő értékéhez hozzárendeljük a doboz alapélének hosszát. Jelöljük ezt a függvényt f-fel! II. Az x mindegyik szóba jövő értékéhez hozzárendeljük a doboz magasságát. Jelöljük ezt a függvényt g-vel! III. Az x mindegyik szóba jövő értékéhez hozzárendeljük a doboz alapterületét. Jelöljük ezt a függvényt h-val! IV. Az x mindegyik szóba jövő értékéhez hozzárendeljük a doboz térfogatát. Jelöljük ezt a függvényt k-val! V. Találj te is egy függvényt, ezt jelöld l-lel! Rajzold meg a táblázat értékei segítségével ezeknek a függvényeknek a grafikonját! Mindegyik grafikon mellé írd fel az egyenletét! Készítsd el a füzetedben a következő oldalon lévő táblázatot, majd töltsd ki!

150

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

Jele

Értelmezési tartománya

Értékkészlete

Hozzárendelési szabálya

Legnagyobb értéke

Legkisebb értéke

f g h k l

d) Hajni olyan dobozt keresett, amelynek a térfogata 400 cm3 körüli érték. Van-e ilyen a táblázat adatai szerint? Megfelel-e ez Csilla szempontjainak is? e) Csilla már szerette volna mielőbb megkapni a dobozát, kérte Hajnit, mutassa meg, milyen formájút akar neki készíteni. Hajni több lehetőséget is megmutatott. Csilla a 4 cm magasságú dobozt választotta. Mekkora ennek az alapéle, és mekkora a térfogata? f) Nézegesd még a grafikonjaidat! – Figyeld meg, hogyan változik az f , a g, a h és a k függvény, ha az x-et 0-tól kezdve egyre növeljük! – Melyiket neveznéd növekedő és melyiket fogyó függvénynek? – Mekkora x esetében lesz a doboz térfogata 350 cm3 és 450 cm3 közötti érték? Grafikonjuk alapján sok esetben könnyen áttekinthetjük a függvények növekedési viszonyait. Monoton függvények Növekedő függvények y

Ezek növekedő függvények, mert az értelmezési tartományukban található bármely két szám esetén igaz: a függvények a nagyobbik számhoz nagyobb számot vagy ugyanakkora számot rendelnek, mint a kisebbikhez. Fogyó (csökkenő) függvények y

Ezek fogyó (csökkenő) függvények, mert az értelmezési tartományukban található bármely két szám esetén igaz: a függvények a nagyobbik számhoz kisebb számot vagy ugyanakkora számot rendelnek, mint a kisebbikhez.

4 3 . l e c ke

F Ü G GV É N Y E K K E L K Ö N N Y E B B !

151

Nem monoton függvények Néhány példa nem monoton függvények grafikonjára

–3

–2

y 4

–1 0 –1

4 x

–3

–2

–1 0 –1

4 x

–3

–2

–1 0 –1

–2

–3

–4

–5

4 x

H Á Z I F E L A DAT

A(0; 7), B(7; 0), és a P pont az AB szakasz pontja.

Bence egy 15 × 15 cm-es rajzlapból a legnagyobb térfogatú felül nyitott dobozt szeretné elkészíteni. Ha 2 cm-es négyzeteket vágna le a rajzlap sarkainál, akkor a doboz térfogata 242 cm3 lenne. Hajni azt mondta, hogy ez biztosan nem a legnagyobb térfogatú, mert ő tudna ennél 1 cm3-rel nagyobb térfogatút is készíteni. a) Igaza van-e Hajninak? Miért? b) Igaz-e, hogy nem lehet 243 cm3-nél nagyobb térfogatú dobozt készíteni?

Melyik kijelentés igaz, melyik hamis? a) Ha egy függvény növekedő, akkor egyben szigorúan monoton növekedő is. b) A szigorúan monoton függvények mindanynyian monoton függvények. c) A szigorúan monoton csökkenő függvény egyben csökkenő függvény is. d) Minden függvény vagy növekedő, vagy csökkenő. e) Van olyan növekedő függvény, amely csökkenő függvény.

y 8 7

6 P

5 4 3 2 1 0

B 1

8 x

a) Ha P mindkét koordinátája egész szám, akkor melyik esetben lesz a színezett téglalap területe a lehető legnagyobb? Mekkora ez a terület? b) Melyek a P koordinátái, ha a színezett téglalap területe a lehető legnagyobb? Mekkora ez a terület?

152

Legyen N a növekedő, S pedig a szigorúan monoton növekedő függvények halmaza. Melyik állítás igaz? a) S = N c) S ⊂ N b) N ⊂ S d) S ∪ N = N

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

Az f függvényt táblázattal adtuk meg. Monoton-e ez a függvény? x

–2

–1

–3

f (x)

1,8

2,5

2,8

2,5

Grafikonja alapján állapítsd meg, melyik függvény monoton, és melyik nem az! A monoton függvények szigorúan monotonok-e? a) b)

d) y

f) y

x x

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Definíciók Egy függvényt növekedőnek mondunk, ha az értelmezési tartomány két eleme közül a nagyobbikhoz nagyobb vagy ugyanakkora számot rendel hozzá, mint a kisebbikhez. Egy függvényt fogyónak mondunk, ha az értelmezési tartomány két eleme közül a nagyobbikhoz kisebb vagy ugyanakkora számot rendel hozzá, mint a kisebbikhez. Ha egyenlő értékek sem fordulnak elő, akkor ezt a függvényt szigorúan monoton növekedő, illetve szigorúan monoton fogyó függvénynek mondjuk. (A „fogyó” helyett használatos a „csökkenő” elnevezés is.) A növekedő és a fogyó függvényeket közös néven monoton függvényeknek, a szigorúan monoton növekedő és a szigorúan monoton fogyó függvényeket pedig közös néven szigorúan monoton függvényeknek nevezzük.

4 3 . l e c ke

F Ü G GV É N Y E K K E L K Ö N N Y E B B !

153

KÖLCSÖNÖSEN EGYÉRTELMŰ LEKÉPEZÉSEK

BEVEZETŐ A hétköznapok során sok esetben van szükség azonosításra. Lássunk néhány példát! – Ki a szerencsés nyertes? Kiss István. – A kitüntetésre javasolt író személyi száma: 1 1920 0229 0135. – Melyik autó parkolt a tilosban? Az X-A 2703 rendszámú. – Kérem, mondja be a hibás nyomtató gyártási számát! Q5958A. A felsoroltakban (burkolt formában megadott) függvényekre látunk példákat. Minden Magyarországon élő emberhez hozzárendeljük a nevét, és mindenkihez tartozik egy személyi szám is; minden forgalomba kerülő gépkocsihoz hozzárendeljük (és rá is rögzítjük) a rendszámát; minden tartós fogyasztási cikknek van gyártási száma. A név, a személyi szám, a rendszám, a gyártási szám egyaránt az azonosíthatóságot szolgálja. Lényeges különbség van azonban a hozzárendelések között. Az igaz ugyan, hogy minden emberhez egy név tartozik, de a példabeli Kiss István nevet bizonyára több százan is viselik (vagy viselték) Magyarországon. Úgy mondjuk, hogy az ember és a neve közötti megfeleltetés nem kölcsönösen egyértelmű. Ezzel szemben a létező 13 jegyű személyi számok bármelyikéhez egyetlen személy tartozik. Tehát ha kiválasztunk egy létező személyi számot, akkor biztosak lehetünk benne, hogy egyetlen embert azonosítottunk ezzel a számmal. A személyi számok és a személyek közötti megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. Az emberek körében nem okoz különösebb fennakadást, ha két ember ugyanazt a nevet viseli (mert a néven kívül számos más azonosítóval igyekszünk egyértelművé tenni, hogy pl. melyik Kiss Istvánról van szó; ezért kérik a lakcímét, anyja nevét stb.), de képzeljük el, mekkora felfordulást okozna, ha egy bizonyos létező rendszámhoz két vagy több autó is tartozhatna! A forgalomba kerülő autók mindegyikéhez egy-egy rendszám tartozik, és minden egyes létező rendszámhoz egyetlen autó tartozik. Ez a kapcsolat (függvény) is kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

154

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

F E L A DAT

Bence az osztályának tanulóit azonosítóval szeretné ellátni úgy, hogy az kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés legyen. Melyik megfeleltetés lehet alkalmas erre a célra, és milyen feltételek mellett? a) Minden tanulóhoz hozzárendeli a születési dátumát. b) Minden tanulóhoz hozzárendeli a testvéreinek a számát.

c) Minden tanulóhoz hozzárendeli a diákigazolványának számát. d) Minden tanulóhoz hozzárendeli az édesanyja nevét. e) Minden tanulóhoz hozzárendeli a vezetéknevének első betűjét. f) Minden tanulóhoz hozzárendeli a tanuló nevét.

ELMÉLET y

Az ábrán látható, grafikonjával megadott függvény olyan, hogy az értelmezési tartománya mindegyik eleméhez más-más elem van hozzárendelve az értékkészletéből. Az ilyen függvényt kölcsönösen egyértelmű leképezésnek mondjuk. A 42. leckében olyan függvényt is láttunk, amely az értelmezési tartomány két különböző eleméhez (Kati; Béla) az értékkészletnek ugyanazt az elemét (gitár) rendeli hozzá. Ez nem kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ha egy függvény értelmezési tartománya és értékkészlete számhalmaz, akkor van grafikonja. Akárhol állítunk merőlegest a koordináta-rendszer első tengelyére, annak legfeljebb egy közös pontja van ezzel a grafikonnal. Ha egy függvény olyan, hogy grafikonjának a koordináta-rendszer második tengelyére állított merőlegesekkel is legfeljebb egy közös pontja van, akkor ez a függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés.

6 5 4 3 2 1 –4

–2

Kati

gitár dob zongora

y 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 y 5

1 1

5 x

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

kölcsönösen egyértelmű leképezés

4 4 . l e c ke

K Ö LC S Ö N Ö S E N E GY É R T E L M Ű L E K É P E Z É S E K

Lajos Béla Andi

y 5

–3 –2 –1 0 –1

1 2 3 4 5 6 7 8x

5 x

nem kölcsönösen egyértelmű leképezés

155

F E L A DAT

Az f függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, és értelmezési tartománya a {10; 20; 30; 40; 50} halmaz. Melyik halmaz lehet az f értékkészlete az alábbiak közül? a) {0; 1; 5; 11; 9} c) {–4; –3; 0; 2; 3} b) {m} d) {A; B; C; D}

Hány olyan függvény van, amelynek értelmezési tartománya az {1; 2; 3} halmaz, értékkészlete pedig az {A; B; C} halmaz? Add meg mindegyiket egyegy táblázattal! Közülük melyik kölcsönösen egyértelmű leképezés?

Hány olyan függvény van, amelynek értelmezési tartománya az {1; 2; 3} halmaz, értékkészlete pedig az {A; B} halmaz? Add meg mindegyiket egy-egy táblázattal vagy szemléltesd gráffal! Közülük melyik kölcsönösen egyértelmű leképezés?

Biztos-e, lehetséges-e, lehetetlen-e, hogy az f függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, ha a) Df is és Rf is 5-elemű halmaz; b) Df 10-elemű és Rf 7-elemű halmaz; c) Df is és Rf is végtelen halmaz?

Döntsd el, melyik állítás igaz, ha az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is számhalmaz! a) Ha az f szigorúan monoton függvény, akkor kölcsönösen egyértelmű leképezés. b) Ha az f kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor f szigorúan monoton függvény.

Az f függvény értelmezési tartománya az {1; 2; 3; 4} 1 halmaz, hozzárendelési szabálya pedig: x x. 2 Add meg f értékkészletét, és állapítsd meg, igazak-e az alábbi kijelentések! a) f monoton függvény. b) f szigorúan monoton növő függvény. c) f kölcsönösen egyértelmű leképezés.

Adj meg egy-egy olyan függvényt, amelynek a hozzárendelési szabálya x x , és a függvény a) kölcsönösen egyértelmű leképezés; b) nem kölcsönösen egyértelmű leképezés!

H Á Z I F E L A DAT

Válaszd ki a kölcsönösen egyértelmű leképezések grafikonját! a) c) y

–1 0

d) y

–2 –1 0 –1

156

2 x

–2 –1 0 –1

–2

–3

–4

–5

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET A függvény olyan rendezett párok (nem üres) halmaza, amelyeknek az első komponense mind különböző (l. 149. oldal). Ha egy függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor ebben a rendezett párok második komponense is mind különböző. Ebben az esetben akkor is függvényt kapunk, ha mindegyik rendezett párban felcseréljük az első és a második komponenst. Ez a függvény az eredetinek az inverze.

y 9 8 7 6 5 4

Például a {(0,5; 0,25); (1,5; 2,25); (2; 4); (2,5; 6,25); (3; 9)} függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, mert a rendezett párok első tagja is csupa különböző szám, és a második tagja is csupa különböző szám. Ennek a függvénynek az inverze: {(0,25; 0,5) (2,25; 1,5); (4; 2); (6,25; 2,5); (9; 3)}.

3 2 1 0

F E L A DAT

Adjunk meg olyan kölcsönösen egyértelmű leképezést, amelynek az értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, és értékkészlete az egész számok halmaza!

Megoldás Írjuk fel növekedő sorrendben a természetes számokat, alájuk pedig a 0-t és utána felváltva a pozitív és a negatív egész számokat, növekedő abszolút értékek szerint: 0

…

–1

–2

–3

–4

…

Ha mindegyik természetes számhoz hozzárendeljük azt az egész számot, amely a táblázatban alatta van, akkor megkapjuk feladatunknak egy lehetséges megoldását. Képlettel is felírhatjuk a hozzárendelési szabályt:

x − , ha x páros pozitív egész szám, 2 0, ha x = 0, x 1 + , ha x páratlan pozitív egész szám. 2 2

(–4)-et, ekkor másik függvényt kapunk, de ez is megfelel a feladatunk követelményeinek. Azzal azonban ne próbálkozzunk, hogy – a táblázat alsó sorában – először „felsoroljuk” az összes természetes számot és utánuk a negatív egész számokat!

Adj meg olyan kölcsönösen egyértelmű leképezést, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, és értékkészlete a) a negatív egész számok halmaza; b) a természetes számok halmaza; c) az 5-nél nagyobb egész számok halmaza!

Igaz-e, hogy ha egy függvény szigorúan monoton növekedő, akkor a) van inverze, b) az inverze is szigorúan monoton növekedő?

Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f függvényt és az inverzét, ha Df = {0; 1; 2; 3; 4; 5} és az f hozzárendelési szabálya: x  x 2! Mi az inverz függvény hozzárendelési szabálya?

Feladatunknak más megoldásait is előállíthatjuk. Cseréljük fel például a táblázat alsó sorában a 3-at és a

4 4 . l e c ke

K Ö LC S Ö N Ö S E N E GY É R T E L M Ű L E K É P E Z É S E K

1 57

AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG FÜGGVÉNYE

P É L DA

Magyarországon a gépkocsik üzemanyag-fogyasztását legtöbbször liter/100 km-ben adják meg. Az egyes autók fogyasztása így könnyen összehasonlítható, az üzemben tartás költségének kiszámításánál ez fontos tényező. Állandó fogyasztást feltételezve tapasztalataink alapján kijelenthetjük, hogy kétszer akkora hosszúságú úton kétszer annyi üzemanyag fogy, háromszor akkora hosszúságú úton háromszor annyi stb. Ez azt jelenti, hogy az elhasznált üzemanyag-mennyiség és a megtett út egyenesen arányos, hányadosuk állandó. Ez a hányados az arányossági tényező.

Vizsgáljuk táblázattal, képlettel és grafikonnal egy 6 liter/100 km jellemzőjű gépkocsi üzemanyag-fogyasztását! Megoldás Táblázattal: Megtett út (100 km) (x) Üzemanyag-fogyasztás (liter) (y)

0,5

fogyasztás (liter) 20

Képlettel: y = 6 x, ahol x jelöli a megtett út hosszát 100 km-ekben mérve, y pedig az x-hez tartozó, literben mért üzemanyag-mennyiséget. y Az y = 6 x egyenlet átírható = 6 alakba is. Itt olyan egyenes arányosságról van szó, amelynek x arányossági tényezője 6. A grafikont olyan pontok alkotják, amelyeknek második koordinátája a pont első koordinátájának éppen a 6-szorosa. Az ilyen tulajdonságú pontok egy origón átmenő egyenesre illeszkednek. Mivel a megtett út csak nemnegatív szám lehet, ezért a grafikon egy origó kezdőpontú félegyenes.

y = 6x

távolság (100 km) 0

Ez a félegyenes az x  6 x (x ≥ 0) függvény grafikonja.

158

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

F E L A DAT

A kék félegyenes azt szemlélteti, hány cm az x cm oldalú szabályos háromszög kerülete, a rózsaszínű félegyenes pedig azt, hogy hány cm az x cm oldalú négyzet kerülete. Olvasd le a grafikonról, a) mekkora az x, ha az x cm-es oldalú négyzet és háromszög kerületének a különbsége 1 cm; b) mennyivel nagyobb a háromszög oldala, mint a négyzeté, ha mindkettőnek 4 cm a kerülete; c) mit jelent az, hogy a (0,5; 1,5) pont rajta van a kék félegyenesen; d) mit jelent az, hogy a (0,5; 2) pont rajta van a rózsaszínű félegyenesen? Mindkét félegyenes egy-egy függvény grafikonja. Mindkét függvény egy egyenes arányosság. Mi ennek a két függvénynek az értelmezési tartománya és a hozzárendelési szabálya?

y 5 4,5

y = 4x

4 3,5

y = 3x

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

0,5

1,5

ELMÉLET Ha egy függvény értelmezési tartománya valós számokból áll, és a hozzárendelési szabálya x  ax alakba írható (a adott valós szám, de a ≠ 0), akkor ezt a függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Ha az egyenes arányosság értelmezési tartománya az R halmaz, akkor értékkészlete is az R halmaz, grafikonja pedig az origón átmenő egyenes. Az egyenes egyenlete: y = ax. Milyen tulajdonságai vannak az f egyenes arányosságnak, ha a > 0 vagy a < 0? Ha a > 0, akkor f szigorúan monoton növekedő, a grafikonját alkotó pontok egy emelkedő egyenesen helyezkednek el.

(Az egyenes arányosság értelmezési tartománya a valós számok halmazának részhalmaza, ezért a grafikonja nem feltétlenül egy teljes egyenes. Ezt szemlélteti a két ábra.) Ha a < 0, akkor f szigorúan monoton fogyó, a grafikonját alkotó pontok egy süllyedő egyenesen helyezkednek el.

4 5 . l e c ke

A Z E GY E N E S A R Á N YO S S Á G É S A F O R D Í T O T T A R Á N YO S S Á G F Ü G GV É N Y E

159

P É L DA

Az Egyesült Államokban máshogy számítják ki, mennyire takarékos egy autó. Ott az egy gallon (1 USA gallon = kb. 3,8 liter) üzemanyaggal megtehető mérföldek számát adják meg (1 mérföld = kb. 1,6 km).

Az alábbi táblázat néhány tipikus értékre megmutatja, hogy a mérföld/gallonban megadott fogyasztásérték minek felel meg liter/100 km-ben mérve: Fogyasztás

mérföld -ban (x) gallon

15 (SUV terepjárók)

18 (nagyobb amerikai városi kocsik)

23,7

39,5 (kisebb európai városi kocsik)

Fogyasztás

liter -ben (y) 100 km

23,7

15,8

13,17

Grafikonon ábrázolva: y 40

A táblázatból (különösen az első és az utolsó előtti oszlopból) arra következtethetünk, hogy itt az összetartozó értékpárok szorzata állandó, mindig 237. A két mennyiség között tehát fordított arányosság van, az arányossági tényező 237. A grafikont olyan pontok alkotják, amelynek első (x) és második (y) koordinátája között az x · y = 237 összefüggés áll fenn. A grafikon egyenlete írható 237 így is: y = . x

liter/100 km

35 30 25 20 15 10 5 0

mérföld/gallon 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ELMÉLET Ha egy függvény értelmezési tartománya 0-tól különböző valós számokból áll, és a hozzárendelési szabálya x alakba írható (a valós szám, de a ≠ 0), akkor ezt a függvényt fordított arányosságnak nevezzük.

a x

Ha a fordított arányosság értelmezési tartománya R \ {0}, akkor az értékkészlete is az R \ {0} halmaz; grafikonja pedig a egy hiperbola. A hiperbola egyenlete: y = . x y y Például 4

y = x4

1 –4 –3 –2 –1 0

1 1

6 x

–2

–3

–4

(az összetartozó értékek szorzata 4)

160

–4 –3 –2 –1 0

x 1

y = - x2

(az összetartozó értékek szorzata –2)

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

F E L A DAT

Ábrázold az 6 1 4 a) x ; b) x ; c) x − x x x fordított arányosságokat, ha az értelmezési tartomány mindegyik esetben R \ {0}! E Ellenőrizd a Graph program segítségével, hogy jók-e a grafikonjaid!

H Á Z I F E L A DAT 1 percig a konyhai csapot, kb. mennyi víz folyik ki! Készítsd el annak a folya2 matnak a grafikonját, amelynek során az előbbi állapotban nyitva hagyod a csapot 5 percig, majd elzárod!

Mérd meg, hogy ha nyitva hagyod

Mennyi az ábrázolt egyenes arányosságok arányossági tényezője? y 4

y 4

–2 –1 0 –1

–3 –2 –1 0 –1

0 –1

–2

–3

4 x

Fizikaórán egy elzárt levegőbuborék térfogatának (V) és a buborékban lévő levegő nyomásának (p) kapcsolatát vizsgálta Bence. Azt tapasztalta, hogy az összetartozó térfogat- és nyomásértékek szorzata nagyon jó közelítéssel minden esetben 3 lett (a mértékegységeket Bence nem jegyezte fel). a) Van-e egyenes vagy fordított arányosság az elzárt levegő nyomása és térfogata között? b) Melyik grafikont mellékelhette Bence a kísérletről írt jegyzőkönyvéhez? V

3 3

2 1

–3 –2 –1 0 –1

4 p

–2 0

–3

p 0

Ábrázold közös koordináta-rendszerben azokat az egyenes arányosságokat, amelyeknek értelmezési tartománya 1 1 3 a [0; 4] zárt intervallum, hozzárendelési szabályuk pedig x x, x x, x x és x x! 4 2 2

4 5 . l e c ke

A Z E GY E N E S A R Á N YO S S Á G É S A F O R D Í T O T T A R Á N YO S S Á G F Ü G GV É N Y E

1 61

EGYENESEK MEREDEKSÉGE

P É L DA

Egy robogó üzemanyag-fogyasztása 2 liter/100 km, egy nagyobb motorkerékpáré 3 liter/100 km. Ábrázoljuk a két jármű által felhasznált üzemanyag mennyiségét a megtett út függvényében (a távolságot 100 km-es egységekben, az elfogyasztott üzemanyag mennyiségét literben fejezzük ki)!

Megoldás 9

y (liter)

8 7 6

y = 2x y = 3x

A fogyasztást az x  2 x és az x  3 x (x ≥ 0) egyenes arányosságok írják le, grafikonjuk egyenlete tehát y = 2 x, illetve y = 3 x. Mindkét egyenes arányosság grafikonja félegyenes. Azt mondjuk, hogy az y = 3 x egyenletű egyenes meredeksége 3, az y = 2 x egyenes meredeksége pedig 2. A nagy motorkerékpár grafikonjának egyenese meredekebben emelkedik, mint a robogóé.

4 3 2 1 0

x (100 km) 1

F E L A DAT

162

Három izzó energiafogyasztását vizsgálták. Az egyik izzó másodpercenként 0,5 joule energiát fogyaszt, a második 1 joule energiát, a harmadik 1,5 joule energiát, és feltételezhető, hogy az energiafogyasztásuk az idővel egyenesen arányos. a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az izzók energiafogyasztását az idő függvényében! b) Írd fel a grafikonok egyenletét! c) Mekkora a grafikonok egyenesének meredeksége?

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

P É L DA

A két ábrán egyenes arányosságokat ábrázoltunk. A bal oldali ábrán látható piros (a) egyenes meredeksége 2, a kék (b) egyenesé 3 pedig − . 2 Adjuk meg a jobb oldali ábra c, d, e egyeneseinek meredekségét!

y 1

-3 2 b

7 6 5 4 3 2 1

y 7 4

6 5

2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x Megoldás c –1 Mit mutat egy egyenes meredeksége? Azt, hogy –2 1 2 –3 ha az egyenes valamelyik pontjából 1 egységet a –4 –3 megyünk az első tengellyel párhuzamosan pozitív –1 0 1 2 3 4 x –5 –1 irányba, akkor mennyit kell mennünk a második –6 tengellyel párhuzamosan, hogy újra az egyenes egy pontjához jussunk. A jobb oldali ábrán a kék (d) egyenes meredeksége 1, mert ha egy kék pontból 1 egységet megyünk „jobbra”, akkor 1 egységet kell „felfelé” haladnunk, hogy újra kék ponthoz érjünk.

Hasonlóan olvashatjuk le az ábráról, hogy a zöld egyenesnek (e-nek) a meredeksége 3. A piros (c) egyenesnél nem tudjuk pontosan leolvasni, mekkora az 1 egységnyi „jobbra” haladáshoz tartozó „emelkedés”, ezért itt járjunk el másképp. Látjuk, hogy a (3; 1) pont is és az origó is rajta van a piros egyenesen, tehát 3 egység „jobbra” 1 haladáshoz tartozik 1 egység „emelkedés”. Ez úgy lehetséges, hogy 1 egység „jobbra” haladáshoz egység „emelkedés” tar3 1 tozik. Tehát a piros egyenes meredeksége . 3

F E L A DAT

a) Add meg az ábrán látható három egyenes meredekségét! b) A három egyenes mindegyike egy-egy függvény képe. Melyik függvény hozzárendelési szabályát találod meg az alábbiak között? 1 1 1 x −x; x − x; x − x; x x; x −2x 2 4 4 c) Told el a három egyenest az y tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel! Melyik függvények grafikonja a három új egyenes?

4 6 . l e c ke

E GY E N E S E K M E R E D E K S É G E

y c b

4 3 2

–5

–4

1 –3

–2

–1 0 –1

–2

163

ELMÉLET Két egyenes meredekségét összehasonlítva könnyen látható, hogy az egyenesek párhuzamosak-e vagy sem. Ha két egyenes párhuzamos, akkor a két egyenes meredeksége egyenlő. Az előbbi állítás megfordítása is igaz. Ha két egyenes meredeksége egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos. y 10 9

–1

5 4

6 5 3

–1

–6 –5 –4 –3 –2

–1 0 –1

4 1

–2

–4

5 x

–5

–2

–6

–3

–7

–4

–8

- 21 5 x

–3

1 1

–1

–4 –3 –2 –1 0 –1

y 6

- 12

1 − meredekségű egyenesek 2

2 meredekségű egyenesek A meredekség jelentését vizsgálhatod a GeoGebra programmal is.

F E L A DAT

Állapítsd meg az ábrázolt egyenesek meredekségét! a) Vannak-e az egyenesek között párhuzamosak? b) Melyik egyenes meredeksége a legkisebb? c) Melyik a legkevésbé meredek egyenes?

y 7 6

5 c

4 3

2 e

–4 –3 –2 –1 0 –1

x 1

–2 –3

164

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

H Á Z I F E L A DAT

a) Ábrázold a következő egyenes arányosságokat 3 4 (x ∈ R): x −x, x − x, x − x! 2 3 b) Írd fel a grafikonok egyenletét! c) Add meg az egyenesek meredekségét!

Két kisebb edényben víz van. Addig hűtjük a vizet mindkét edényben, amíg a 0 °C hőmérsékletet el nem éri. A hőmérséklet változását az idő függvényében az ábra mutatja. y

(°C)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

a c egyenes az S(3; 6) ponton és a d egyenes a T(4; 0) ponton. a) Rajzold meg az egyeneseket egy koordinátarendszerben! b) Mekkora az egyenesek meredeksége?

Távirányítású játék autókat teszteltek. Egyenes pályán futtatták a kocsikat és azt mérték, mekkora utat tesznek meg akkor, amikor már elérték a végsebességüket. Mindegyik esetben 10 másodpercig tartott a mérés. y

(m)

1. e

én y

4. autó

10 9

dén y

3. autó

8 x (perc)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2. autó

6 5

a) A hűtés kezdetekor mekkora volt az egyes edényekben a víz hőmérséklete? b) Mennyi a grafikonok egyenesének meredeksége? c) Percenként hány fokot hűl az első, illetve a második edényben lévő víz? d) Hány perc alatt hűl 1 °C-ot az első, illetve a második edényben lévő víz? e) Melyik edényben gyorsabb a hűlési folyamat?

A P(1; 3) pont rajta van az a, b, c, d egyenesek mindegyikén. A P ponton kívül az a egyenes átmegy a Q(0; 1) ponton, a b egyenes az R(3; 5) ponton,

4 6 . l e c ke

E GY E N E S E K M E R E D E K S É G E

1. autó

4 3 2 1 0

10 11 x (sec)

a) Írd fel mindegyik grafikon egyenletét! b) Mennyi a grafikonok egyenesének meredeksége? m c) Mekkora az egyes autók végsebessége -ban, s km m km illetve -ban kifejezve (1 = 3,6 )? h s h

165

ELSŐFOKÚ FÜGGVÉNYEK

BEVEZETŐ

viteldíj (Ft)

1000

A 41. lecke első példájában a taxi viteldíjára a következő összefüggést kaptuk: Viteldíj = Megtett km-ek száma · 240 + 300 (Ft).

900 800 700

Jelöljük x-szel a megtett km-ek számát (x > 0), és f -fel azt a függvényt, amely a viteldíjat ennek függvényében adja meg! Ekkor: f (x) = 240 x + 300.

600 500 240

400

Láttuk, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy olyan félegyenes, melynek kezdőpontja az ordinátatengely 300 jelű pontja. A grafikon egyenesének meredeksége 240, hiszen minden egyes megtett kilométer 240 forinttal növeli a viteldíjat.

300

200 100

megtett út (km)

–1 0

F E L A DAT y (tallér) 4

Ábránkon a piros és a kék félegyenes azt mutatja, hogy a Kisgáz, illetve a 7 × 7 fuvarozócég taxijába ülve hány tallért kell fizetnünk a megtett út hosszától függően.

3 2

a) Melyik céggel érdemes taxizni? (Úgy képzeljük, hogy sehol sem kell megállnunk, csak a célállomáson.) b) Töltsd ki a füzetedben a táblázat üres mezőit a grafikon segítségével! Megtett út (km)

c) d) e) f)

166

A Kisgáznál fizetendő díj (tallér)

1,5

A 7 × 7-nél fizetendő díj (tallér)

2,25

gá Kis 7×7

1 x (km) 0

6 3

2,75

Az alapdíjon felül mekkora a megtett kilométerenként fizetendő díj az egyik, illetve a másik cég esetében? Mekkora a grafikonok meredeksége? Összesen hány tallért kell fizetnünk az egyik, illetve a másik cégnél, ha x km-t taxizunk? Add meg képlettel! Számítsd ki a képleteddel, hogy mennyit mutat a két cégnél a taxióra 0,8 km, 2,8 km, 4,8 km, 6,8 km megtétele után!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

g) Sári így oldotta meg a feladat f) részét: A megtett út (km-ben)

0,8

Mit mutat a taxióra (tallérban)?

2,8

4,8

6,8

a Kisgáznál

a+1

a+2

a+3

a 7×7-nél

b + 0,5

b+1

b + 1,5

Magyarázd meg Sári okoskodását! h) Olvasd le a grafikonról, hogy hány km-t taxizhatunk 4 tallérért az egyik, illetve a másik cégnél! i) Mindkét félegyenes egy függvény grafikonja. Melyiknek mi lehet az értelmezési tartománya, és mi a hozzárendelési szabálya?

ELMÉLET Egy függvényt elsőfokú függvénynek nevezünk, ha – értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és – hozzárendelési szabálya x ax + b alakú, ahol a és b adott szám, a ≠ 0. Az x ax + b hozzárendelési szabályú elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amely mindkét koordinátatengelyt metszi. Ennek az egyenesnek a meredeksége a, az ordinátatengelyt pedig a b jelű pontban metszi. Ha a koordináta-rendszer tengelyeit az x és az y betűvel jelöljük, akkor ennek a grafikonnak az egyenlete: y = ax + b. Például Az x 2 x + 4 elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek meredeksége 2, az ordinátatengelyt a 4 jelű pontban metszi. Az egyenes egyenlete: y = 2 x + 4.

y 6 5 4

3 y = 2x + 4

1 –3

–2

–1 0 –1 –2

Az x –0,5 x – 1 elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek meredeksége –0,5, az ordinátatengelyt a –1 jelű pontban metszi. Az egyenes egyenlete: y = –0,5 x – 1.

y = -0,5x - 1

–4

–3

–2

1 –1

–1 –2

A Az a és a b szerepét vizsgálhatod a GeoGebra programmal is.

F E L A DAT

2 Ábrázold közös koordináta-rendszerben az x 1,5 x + 2, az x –x + 2 és az x x + 2 elsőfokú függvé3 nyeket!

47. l e c ke

E L S Ő F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

167

H Á Z I F E L A DAT

2 2 Töltsd ki a füzetedben a táblázat üres mezőit, ha f (x) = − x és g(x) = − x + 4 (x ∈ R)! 3 3 Megfelelő pont a grafikonon

f (x)

2 − ⋅ (−6) = 4 3

–6 –3 2 − 3

g(x)

Megfelelő pont a grafikonon

(–6; 4)

(0; 4) 0

6 8

Az ábrákon megadott három egyenes egy-egy elsőfokú függvény grafikonja. Mi a függvények hozzárendelési szabálya?

A Spedor nevű fuvarozó cég a következő képlettel számítja ki a szállítási díjat egy teherautó igénybevétele esetén: f (x) = 2,5 x + 8. A képletben x jelöli a szállítás során megtett utat km-ben (x ≥ 0), f (x) pedig az érte fizetendő összeget tallérban. a) Hány tallérba kerül a szállítás 12 km távolságra [azaz mennyi az f (12)]? b) Mennyi a kiállási díj (amit a megrendelőnek akkor is meg kell fizetnie, ha végül nem veszi igénybe a szolgáltatást)? c) Hány km-t számlázott a Spedor, ha 53 tallért kellett fizetnünk? d) Ábrázold az f : x 2,5 x + 8, x ≥ 0 függvényt! e) A Padlógáz nevű konkurens szállító cég így adja meg az ajánlatát: egy teherautó igénybevétele esetén, ha x km a megtett út, akkor az érte fizetendő összeg 3x tallér. Mekkora távolságok esetén kedvezőbb a Padlógáz ajánlata?

a) Egy egyenes áthalad a (3; 1) ponton és az (5; 4) ponton is. Rajzold meg ezt az egyenest, és számold ki a meredekségét! b) Egy egyenes áthalad a (3; 1) ponton, és mere1 deksége . Rajzold meg ezt az egyenest, és ál2 lapítsd meg, hogy áthalad-e a (–7; –4) ponton!

y 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

–2 –3

y 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1 –2 –3

y 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

–2 –3

168

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

RÁADÁS Felnövekvő nemzedék (A fiatalok egyre magasabbak) A holland fiatalok (fiúk és lányok) átlagos testmagasságát mutatja 1998-ban a következő grafikon: testmagasság (cm) 190 A fiúk átlagos testmagassága 1998-ban

180

A lányok átlagos testmagassága 1998-ban

170

160

150

140

130

életkor (évek száma)

a) 1980 óta a 20 éves lányok átlagos magassága 2,3 cm-rel nőtt, és elérte a 170,6 cm-t. Mekkora volt a 20 éves lányok átlagos magassága 1980-ban? b) A grafikon alapján állapítsd meg, hogy a lányok átlagosan mely életkorban magasabbak az azonos korú fiúknál! c) Magyarázd meg, mi mutatja azt a grafikonon, hogy a lányok átlagos növekedése 12 éves kor után lelassul!

47. l e c ke

E L S Ő F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

169

LINEÁRIS KAPCSOLAT, LINEÁRIS FÜGGVÉNY

BEVEZETŐ

Van-e olyan elsőfokú függvény, amely a 2-höz 1-et, a 4-hez pedig 5-öt rendel?

Megoldás A függvény grafikonjából két pontot ismerünk: P(2; 1) és Q(4; 5). Ez a két pont egy egyenest határoz meg. Láttuk az előző órán, hogy az x ax + b hozzárendelési szabályú elsőfokú függvény grafikonja egyenes. Az egyenes meredeksége a, és az ordinátatengelyt b-nél metszi. 4 A PQ egyenes meredeksége = 2, az egyenes az ordinátatengelyt (–3)-nál metszi. 2 Az egyenes egyenlete ezért: y = 2 x – 3. Az x  2 x – 3 hozzárendelési szabályú elsőfokú függvény tehát megfelel a követelményeknek. (Ellenőrzés: 2 2 · 2 – 3 = 1 és 4 2 · 4 – 3 = 5.)

4 3

2 P

1 –1 0 –1

2 1

5 x

–2 –3 –4

F E L A DAT

Egy elsőfokú függvény grafikonjának két pontja: A(1; 2) és B(3; 3). Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!

Van-e olyan elsőfokú függvény, amely a 0-hoz 5-öt, a 3-hoz pedig (–1)-et rendel?

A GeoGebra program megadja a két adott ponton átmenő egyenes egyenletét. Ellenőrizd a megoldásaidat!

P É L DA A hőmérsékletet a legtöbb országban – így pl. Kanadában is – Celsius-fokban (°C) mérik. Az Egyesült Államokban és még néhány más országban azonban az úgynevezett Fahrenheit-fokot (°F) használják. Így aztán a kanadai időjárás-jelentésben egészen más számok hangzanak el, mint az egyesült államokbeliben, még akkor is, ha a határ két oldalán egymástól alig néhány km-re fekvő városokról van szó, ahol nyilvánvalóan ugyanolyan az idő.

170

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

Íme néhány példa: Kanada (°C)

–10

USA (°F)

a) Adjuk meg képlettel, milyen összefüggés áll fenn a Celsius- és a Fahrenheit-skála között! b) Mennyi Fahrenheit-fokban a jég olvadáspontja? c) A Fahrenheit-skála egyik alappontja eredetileg a 96 °F volt. Mi szolgálhatott alapul ehhez az értékhez? Mennyi Celsius-fokban a 96 °F? Megoldás a) Ábrázoljuk az adatokat koordináta-rendszerben: A pontok egy egyenesen vannak. Ha tehát egy kanadai hőmérőn x °C a hőmérséklet, és ugyanitt, ugyanekkor egy egyesült államokbeli hőmérő y °F-et mutat, akkor y = a · x + b. Az a meredekséget megállapíthatjuk pl. az első két pont alapján: 18 9 a= = , a b tengelymetszet pedig a táblázat alapján pontosan 32. 10 5 9 9 Így a keresett képlet: y = ⋅ x + 32, vagy „beszédes” formában: F = ⋅ C + 32. 5 5 9 b) A jég olvadáspontja: ⋅ 0 + 32 = 32 (°F). 5

y 80 70 60 50 40 30 20 10 –20

–10

30 x

9 5 ⋅ C + 32 egyenlet átrendezhető a C = ⋅ (F − 32) alakba is, így a két hő5 9 mérsékleti skála szerinti bármelyik értéket át tudjuk váltani a másikba. 5 A 96 °F értéke °C-ban: ⋅ (96 − 32) ≈ 36, ami körülbelül az emberi test hőmér9 séklete.

c) Az F =

Példánkban a kétféle hőmérsékleti skála kapcsolatát olyan képlet írja le, amelyhez a koordináta-rendszerben egyenes tartozik. Az egyenes latin neve linea. Ennek nyomán a kétféle hőmérsékleti skála közötti kapcsolatot lineárisnak nevezzük.

ELMÉLET Az olyan függvényeket, amelyeknek a grafikonja egy egyenes vagy annak egy részhalmaza, lineáris függvényeknek nevezzük.

4 8 . l e c ke

L I N E Á R I S K A P C S O L AT, L I N E Á R I S F Ü G GV É N Y

171

F E L A DAT

a) „Fahrenheit 451 fok – az a hőmérséklet, amelynél a könyvnyomó papír tüzet fog és elég. Ha vonalazott papírt tesznek eléd – másra írj.” (Juan Ramun Jiminez.) Az idézet Ray Bradbury Fahrenheit 451 című regényének bevezetője. Hány °C-on fog tüzet a könyvnyomó papír? b) Ha a kanadai időjárás-jelentésben az hangzik el, hogy a határ menti településeken 10 °C-kal (5 °C-kal, 1 °C-kal) csökken a hőmérséklet, akkor az USA-ban élők hány °F-os csökkenésre számíthatnak?

Van-e olyan hőmérséklet, amely °F-ben és °C-ban mérve is ugyanannyi?

Egy utazó vidámparkban a belépődíj 550 Ft, minden játékért 400 Ft-ot kell fizetni. a) Készíts táblázatot és grafikont arról, mennyit kell fizetni, ha 1, 2, 3, 5, 10 játékot próbálunk ki! b) Mi az a)-beli függvény értelmezési tartománya, értékkészlete és hozzárendelési szabálya? c) Igaz-e, hogy ez a függvény elsőfokú? d) Igaz-e, hogy ez a függvény lineáris? e) Igaz-e, hogy a fizetett összeg és a kipróbált játékok számának kapcsolata lineáris?

A grafikon egy bankszámlán lévő összeg alakulását mutatja az idő függvényében.

H Á Z I F E L A DAT

172

Add meg egy olyan lineáris függvény hozzárendelési szabályát, a) amely a 0-hoz 2,5-et, az 1-hez 4,5-et rendel; b) amely a 0-hoz (–2,5)-et, az 1-hez 0-t rendel; c) amely a 0-hoz 10-et, az 1-hez 8,5-et rendel; d) amely a 0-hoz 2-t, és az 5-höz is 2-t rendel! Egy elsőfokú függvény grafikonja átmegy a P és a Q ponton. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát, ha a) P(0; 0) és Q(–1; 2); b) P(–1; 5) és Q(0; 4); c) P(–3; 1) és Q(3; 5)! Egy vidámparkban különösen kedvelt a sárkányrepülő. Két cimbora közül az egyik 15 menetért és a belépőért fizetett összesen 1600 forintot, a másik 18 menetért és a belépőért összesen 1840 forintot. a) Mennyi egy menet ára, és mennyi a belépődíj? b) Add meg a menetszám–összköltség összefüggést! c) Mennyit kellene fizetnünk 8 menetért? d) Hány menetre lenne elég 2000 forint? e) Igaz-e, hogy a menetszám és az összköltség kapcsolata lineáris?

P (ezer Ft) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

t (hét)

a) Mekkora a hetenkénti növekedés az utolsó szakaszban? b) Mi az itt szereplő függvény értelmezési tartománya, értékkészlete és hozzárendelési szabálya? c) Lineáris-e a bankszámlán lévő összeg és a számlára helyezés óta eltelt idő kapcsolata?

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

Statisztika, függvénytan

RÁADÁS Halmazábrával így szemléltethetjük a lineáris függvények fajtáit: Lineáris függvények konstansfüggvények

elsőfokú függvények

egyenes arányosságok

Emeljük ki azokat a lineáris függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ezeknek a grafikonja egyenes. Táblázatunk megmutatja, mit érdemes megjegyeznünk ezekről a speciális esetekről: a és b változása A hozzárendelési szabály

a=0

a ≠ 0 és b = 0

a ≠ 0 és b ≠ 0

x b

x ax

x ax + b

Milyen függvény?

konstansfüggvény

elsőfokú függvény és egyenes arányosság is

elsőfokú függvény, nem egyenes arányosság

A grafikon egy egyenes, amely

merőleges az y tengelyre

átmegy az origón, de nem az x és nem az y tengely

metszi az x tengelyt is és az y tengelyt is

Igaz az is, hogy egy x–y koordináta-rendszer minden egyenese, amely nem merőleges az x tengelyre, egy elsőfokú vagy egy konstansfüggvénynek a grafikonja.

y 4

Az y tengely egyenese és a vele párhuzamos egyenesek nem függvénygrafikonok. Miért? Mert nem igaz rájuk, hogy mindegyik pontnak más szám az első koordinátája.

3 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

5 x

–2 –3

F E L A DAT Készíts olyan hozzárendelési szabályt, hogy ha hozzá értelmezési tartománynak a pozitív számok halmazát választjuk, akkor a) konstansfüggvényt kapjunk; d) elsőfokú függvényt kapjunk; b) egyenes arányosságot kapjunk; e) ez a hozzárendelés ne legyen függvény; c) lineáris függvényt kapjunk; f) ez a hozzárendelés függvény legyen, de nem lineáris függvény! Minden esetben rajzold is meg a hozzárendelésekhez tartozó grafikonokat!

4 8 . l e c ke

L I N E Á R I S K A P C S O L AT, L I N E Á R I S F Ü G GV É N Y

17 3

NÉHÁNY FELADAT VÉGEREDMÉNYE

2. lecke: 1. 120. 2. 5040. 3. a) 360°; 540°. b) 1080°. 4. 20. 5. 10. 4. lecke: 1. a) 4320. b) 720. c) 1440. d) 720. 2. a) 900 000. b) 136 080. c) 472 392. d) 90 000. e) 15 625. f) 190 000. g) 1 000 000. 3. a) 24. b) 4. c) 113 322. 4. Hajni: négyest vagy ötöst vagy hatost. Bence: 27. Csilla: 18. 6. lecke: 1. a) Igen, Lenke. b) Nem, Anna vagy Mária. 2. b) 46 db. c) 12 db. 3. b) 13; 9; 4; 0; 13; 22; 0. 4. Legalább hatan, legfeljebb nyolcan. 5. Végtelen; 0; 0; végtelen. 6. a) Negatív egész számok. b) Irracionális számok. c) Racionális számok. d) Nincs eleme. 7. lecke: 1. a) 2. b) 23. c) Végtelen sok. d) 8. 2. a) –5; 5. b) Nincs ilyen. c) –7; –3; 3; 7. 6. 523 ≤ s ≤ 531, |s – 527| ≤ 4. 8. lecke: 5. (2,5 + 1,5 + 2) ∙ 120. 6. a) –9 ∙ (5 : 3) = = –9 ∙ 5 : 3 = –15. b) –9 : (3 : 5) = –9 : 3 ∙ 5 = –15. c) 15 : 22 : (3 : 11) = 15 : 22 : 3 ∙ 11 = 2,5. 3 2 7. a) (128 : 64) ⋅ = 1,5. b) (128 : 64) : = 5. 4 5 22 11 c) ⋅7 : = 4,5. 9 7 9. lecke: 1. a) 17,6 m2 ± 0,2 m2. b) 17,6 m2 ± 0,4 m2. 2. 5 850 000 forint ± 120 000 forint. 3. a) ≈ 14 percig. 4. a) 400 kg ± 20 kg. b) 379,1 kg ± 3,8 kg, tehát a feladat szempontjából nincs értelme sem az egyes emberek, sem az öt ember együttes tömegét tizedkilogrammra kerekítve megadni; az össztömeg egész kilogrammra kerekítve 375 és 383 kg között lehet. 5. A kocka anyagának sűrűsége tíkg kg zesekre kerekítve legalább 2390 és legfeljebb 2980 3 m m3 lehet. 10. lecke: 1. a) 37 210. b) 622,85. c) 645,16. d) 4096. 2. a) 1024 m2; 1050 m2. bA) 47 m2. bB) Legkevesebb 46 m2, legtöbb 48 m2. 3. a) 3000. b) 32 768. c) 11,390625. d) 143,8. e) 14. 4. a) 5,5625. b) 1,25. c) 1,25. d) 5,5625. 5. a) 2851,56 ≠ 2010,6. b) 2851,56 = 2851,56. c) 28,09 ≠ ≠ –87,45. d) 28,09 = 28,09. e) 0,3125 ≠ 1,3736… . f) 3,2 = = 3,2. g) 1000 ≠ 293,2. h) 1000 = 1000. 6. a) 84 cm. b) 48 ⋅ 75 = 60 (m). 7. a) 1,4 s. b) 2 s. c) 2,8 s. d) 4 s. 11. lecke: 1. a) 1944,76 kWh és 1944,77 kWh közöttit. b) Tízesre kerekítve 1 166 860-szor. 2. a) ≈ 22-t. b) 192 Wh. 3. a) 150 l. b) 122,7 l. 4. 4 nap. 5. 1,2 kg; 0,4 kg; 0,2 kg. 9 2 m 12. lecke: 1. ≈ 7,4 ≈ 27 . s 13. lecke: 1. a) 2160 Ft. b) 1800 Ft. c) 1440 Ft. d) 1170 Ft.

174

2. a) 9. b) 6,5. c) 11. d) 5. 3. a) 30 000 Ft. b) 140 000 Ft. c) 36 000 Ft. d) 100 000 Ft. 15. lecke: 1. 77 212,5 Ft. 2. a) 123,2 Ft; 112,1 Ft; 106,0 Ft; 100,9 Ft. b) 30%-kal. 3. a) 150 gramm. b) 6%-a. 4. A középponti szögek rendre 230°, 76°, 54°. 16. lecke: 1. 301 625 Ft; 303 375 Ft; 305 250 Ft; 310 500 Ft; 322 500 Ft. 2. 367 200 Ft – 200 000 Ft = 167 200 Ft; 83,6%. 3. a) ≈ 1 512 000 forint. b) ≈ 57%-át. 17. lecke: 1. a) 8. b) 24. c) 1022. 3. b) ≈ 150 cm2. c) 7699 ≤ ≤ ρ ≤ 8047; |ρ – 7873 | ≤ 174. 5. 8,3%-kal. 6. a) 96,4. b) 96,4. 7. 125-öt. 8. 8,4. 18. lecke: 1. a) 37,5. b) 12,5. c) 6. d) 4,5 és 8. 3. 112 m; 6696 m2. 4. ≈ 19 m2. 19. lecke: 1. ≈ 13,5 cm. 2. h ≈ 3,3 m; x ≈ 10,4 cm; y = = 11,4 cm; z ≈ 9,9 cm. 3. h ≈ 11,8 m; x ≈ 27,7 km; y ≈ 4,85 cm; z ≈ 9,7 cm. 20. lecke: 1. a) α = λ = 130°; β = ε = 65°; γ = δ = φ = = 50°; σ = 25°. 21. lecke: ≈ 1 cm; ≈ 150 cm. 22. lecke: 1. 72 cm2; ≈ 62,4 m2; 16 dm2. 2. a) ≈ 13,9 m; ≈ 10,4 m. b) ≈ 83 m2. c) ≈ 52,3 m. 23. lecke: 1. ≈ 227 cm2; 750 dm2; ≈ 42 m2. 3. 0 m2; 18,5 m2; ≈ 13 m2. 24. lecke: 3. ≈ 420 cm2. 25. lecke: 1. 1200 db. 2. ≈ 17 cm. 3. 864 cm2; 1296 cm3. 4. ≈ 151 cm3; ≈ 50 cm3; ≈ 176 cm2; ≈ 113 cm2. 27. lecke: 1. ≈ 4,6 kg-ot. 2. 10%-os. 3. ≈ 65,31 $. 4. 144%át. 5. 11-en. 6. A tartós tejes. 7. a) ≈ 13 km. b) ≈ 21,2 km. c) ≈ 5,5 km. d) 15°. 8. ≈ 3,06 millió Ft. 9. a) ≈ 130 000 m3, ≈ 19 000 m2. 10. 4 esetet kell megvizsgálni. 11. a) 75°. b) 120°-osak. 12. 435. 28. lecke: 1. a) 9. b) 12. c) 18. d) 24. 2. 220 ∙ 10 9 = 2,2 ∙ 10 11; 38 ∙ 10 18 = 3,8 ∙ 10 19; 360 ∙ 10 9 = 3,6 ∙ 10 11. 3. a) ≈ 14,1 billió. b) ≈ 1,2 billió. c) 11. d) ≈ 1,0%. e) ≈ 2540 billió Ft; ≈ 216 billió Ft. 4. a) 10 –11. b) 10 –6. c) 10 2. d) 10 6. 5. a) ≈ 47 m. b) ≈ 2,9 ∙ 10 –10 m. 29. lecke: 1. a) 7 ∙ 2 8. b) 2 12. 2. a) 8. b) 12. 3. Klárinak. 4. a) 13. b) 20. c) 23. d) 33. 6. a) 8; –6. b) –8; 6. 7. ≈ 851 800 Ft. 30. lecke: 1. a) 10 –6. b) 10 –9. c) 10 –12. 2. a) 10 –18. b) 10 –4. c) 10 –4. 3. a) 10 5. b) 10 6. c) 10 –4. 4. a) 10 5. b) 10 6. c) 10 4. 5. a) 6 2 = 36. b) 2 –2 = 0,25. c) 0,8 2 = 0,64.

N É H Á N Y F E L A DAT V É G E R E D M É N Y E

31. lecke: 1. a) 310 000. b) 1,52. c) 807,9. 2. –5000. 4. 9. 5. ≈ 2 ∙ 10 24. 32. lecke: 1. a) 24. b) 2,4. c) 0,24. 2. a) 5. b) 25. c) 2,5 ∙ 10 –5. 3. a) ≈ 1830-szorosa. 4. a) 0,2 cm2. b) 8 ∙ 10 –9 m3. c) 10 –2 dm; 1,125 ∙ 10 –4 dm2; 6,25 ∙ 10 –8 dm3. 33. lecke: 1. a) ≈ 1,9 ∙ 10 13. 2. a) kb. 10 5 év. 3. ≈ 333 ezerszerese. 4. ≈ 4 ∙ 10 13 km. 5. a) ≈ 1,8 ∙ 10 6 W. b) kb. 16-szorosa. 35. lecke: 1. 0,1; 0,4; 0,3; 0,2; 0. 2. a) 0,138; 0,131; 0,148. b) 0,162; 0,099. c) ≈ 57; 0,133. 4. ≈ 55,6%; ≈ 44,4%; 200°; 160°. 5. ≈ 33,3%; 50%; ≈ 16,7%; 120°; 180°; 60°. 37. lecke: 1. a) Módusz: 9; medián: 4,5; terjedelem: 10; átlag: 5,65. b) Módusz: 90; medián: 45; terjedelem: 100; átlag:

N É H Á N Y F E L A DAT V É G E R E D M É N Y E

56,5. c) Módusz: 120; medián: 440; terjedelem: 780; átlag: 442. 2. aA) 24. aB) 16. aC) 20. b) 19; 11. 38. lecke: 1. a) 132. c) 188 500. d) ≈ 1428 Ft. 25 49 2. a) ≈ 4,167, nem jó. b) ≈ 4,083, nem jó. c) 4, nem 6 12 jó. d) 4, nem jó. 3. a) Nincs. b) 31,7. 39. lecke: 1. a) 7-én, + 3 °C. b) 14-én, –5 °C. c) Növekvő. d) 3-án és 10-én. 47. lecke: 1. c) 0,5; 0,25. d) 0,5; 0,25. e) y = 0,5 x + 1, illetve y = 0,25 x + 2. f) 1,4 és 2,2; 2,4 és 2,7; 3,4 és 3,2; 4,4 és 3,7. h) 6 km; 8 km. i) x 0,5 x + 1; x 0,25 x + 2. 1 3 48. lecke: 1. x x + . 2. x –2 x + 5. 3. a) ≈ 233 °C. 2 2 b) 18 °F; 9 °F; 1,8 °F. 4. –40.

17 5

TARTALOM

Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 Kerület, terület, felszín, térfogat . . . . . . . . . . . . .

1 Mit rejt könyvünk száz leckéje? . . . . . . . . . . . . .

27 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Hányféleképpen lehet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IGAZODJUNK EL A „NAGYON NAGY” ÉS A „NAGYON KICSI” SZÁMOK KÖZÖTT! Hatványok

3 Számzárak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 A 10 hatványai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Folytatjuk az összeszámlálást . . . . . . . . . . . . . . .

29 Számolás hatványokkal I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

5 Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 Számolás hatványokkal II. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

6 Halmazok uniója, metszete, különbsége . . . . . .

31 Számolás hatványokkal III. . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

7 Intervallumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 Számok normálalakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

8 Műveletek számhalmazokban . . . . . . . . . . . . . . .

33 Számolás normálalakkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

9 Kit csapnak be a számok? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Segít a számológép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KAPCSOLATOK, VÁLTOZÁSOK. BEPILLANTÁS A FÜGGVÉNYEK VILÁGÁBA Statisztika, függvénytan

12 Arányosságok a kerékpár körül . . . . . . . . . . . . . .

34 Táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

13 Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 Diagramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

14 Számol a család . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 Diagramok elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

15 Százalék mindenütt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 Számsokaságok statisztikai jellemzői . . . . . . . . .

128

16 Kamat és kamatos kamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 Osztályba sorolás, átlagok átlaga . . . . . . . . . . . .

132

17 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 Minden változik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

40 Grafikonok a mindennapokban . . . . . . . . . . . . .

140

41 Mi az összefüggés? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

42 A függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

43 Függvényekkel könnyebb! . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

44 Kölcsönösen egyértelmű leképezések . . . . . . . .

154 158

MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

HOSSZÚSÁG, TERÜLET, TÉRFOGAT Geometriai mérések, számítások

176

18 Pitagorasz tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Különleges derékszögű háromszögek . . . . . . . .

20 A sík geometriája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Mekkora a távolságuk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 Az egyenes arányosság és a fordított arányosság függvénye . . . . . . . . . .

22 Háromszögek kerülete és területe . . . . . . . . . . . .

46 Egyenesek meredeksége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

23 Nevezetes négyszögek területe . . . . . . . . . . . . . .

47 Elsőfokú függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

24 Szabályos sokszögek területe, kerülete . . . . . . . .

48 Lineáris kapcsolat, lineáris függvény . . . . . . . . .

170

25 Felszín- és térfogatszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . .

Néhány feladat végeredménye . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

Régi kínai mondások A tízezer mérföldes út is egyetlen lépéssel kezdődik. Türelemmel hamarabb célba érhetünk, mint szorgalommal.

Matematika

Raktári szám: FI-503010901 ISBN 978-963-682-774-8

MAT-TK_9_1-B-2014-06-30.indd 1

Matematika E l s ő k ö tet

9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

2014.06.30. 14:05:09