Matematika 9 by Szolnoki Műszaki Szakközép- és Szakiskola

googol A googol a 10100 szám neve, ami az 1-es számjegyből és az azt követő száz darab 0-ból áll. A szám nevét egy kilencéves fiú, Milton Sirotta – Edward Kasner amerikai matematikus unokaöccse – adta 1938ban. Kasner arra használta a számot, hogy bemutassa a különbséget a végtelen és egy elképzelhetetlenül nagy szám között, lévén a googol nagyobb, mint az ismert univerzum részecskéinek száma. A googolplex egy még nagyobb szám, amelyben az első 1-es számjegy után googol darab nulla áll.

Matematika

Raktári szám: FI-503010902 ISBN 978-963-682-775-5

Matematika második kötet

9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9–12. évfolyama számára 3.2.04 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9–12. évfolyama számára 6.2.03 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél Illusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 149. FLICKR: 4., 18., 35., 37., 38., 67., 75., 76., 77., 78., 83., 87., 89., 106., 108., 11., 113., 118., 124., 125., 134., 135., 137., 141., 146., 155., 156., 161., 175. WIKIPEDIA: 83., 88., 108., 142., 165. 123RF: 110. SK: 24., 42., 47., 99., 158., 176. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-775-5 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010902 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem: 22,66 (A/5 ív), tömeg: 515 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2013, Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. 1. kiadás, 2014 Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma: 0000.49.01

Az Arany csalรกd

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

BEVEZETŐ Szökőkutak kedvelt látványeleme a medence széléről vagy közepéről ferdén „fellőtt” vízsugár. A vízcseppek pályája, ez az érdekes görbe egy parabola. Foglalkozzunk olyan függvényekkel, amelyeknek ilyen görbe a grafikonja!

P É L DA

Hogy változik a négyzet területe, ha az oldalak hosszúságát egyre növeljük?

Megoldás Ha egy négyzet oldala x cm-es, akkor a terület x 2 cm2. Itt az x tetszőleges pozitív szám lehet. Tehát a változást az a függvény írja le, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza (R +), hozzárendelési szabálya pedig x x 2. Jelöljük ezt a függvényt f -fel! Adjunk az x-nek néhány értéket, készítsünk ehhez a függvényhez táblázatot: Oldalhosszúság (x cm) Terület (x

cm2)

0,5

1,5

2,5

3,5

0,25

2,25

6,25

12,25

Rajzoljuk meg annak a függvénynek a grafikonját, amely minden számhoz a négyzetét rendeli hozzá! Jelöljük ezt a függvényt g-vel!

y 13 12 11 10 9 8

7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0

5 x

y 13 12

Megoldás Azt a függvényt kell ábrázolnunk, amelynek az értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), hozzárendelési szabálya pedig x x 2. Ez egy másodfokú függvény. Az előző és a mostani függvény hozzárendelési szabálya ugyanaz, értelmezési tartományuk azonban különböző. Az előző feladatban már láttuk, milyen ennek a grafikonnak a pozitív számokhoz tartozó része. Készítsünk most olyan táblázatot, amelyben a 0 és néhány negatív szám szerepel! x g(x) = x

11 10 9 8

7 6 5 4

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–3

–3,5

0,25

2,25

6,25

12,25

2 1

A két táblázat alapján megrajzoljuk a grafikon 15 pontját. A pontokat összekötjük. Tengelyesen szimmetrikus görbét, egy parabolát kaptunk.

–4 –3 –2 –1 0

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

ELMÉLET A parabolának a szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Az előző feladat esetében a szimmetriatengely az ordinátatengely, a tengelypont pedig az origó. Az előző feladatban megrajzolt parabolát eltoljuk az y és az x tengely mentén 1, 3, –2 egységgel. Az ábrákról leolvashatjuk, mi az ábrázolt függvények hozzárendelési szabálya és mi a parabolák egyenlete. x  x 2 + 3; x  x 2 + 1; x  x 2; x  x 2 – 2

–5

–4

–3

–2

x  (x + 2) 2; x  x 2; x  (x – 1) 2; x  (x – 3) 2

–1 0 –1

–5

–4

–3

–2

–1 0 –1

–2

y = x 2 + 3; y = x 2 + 1; y = x 2; y = x 2 – 2

y = (x + 2) 2; y = x 2; y = (x – 1) 2; y = (x – 3) 2

Az itt ábrázolt függvények mind másodfokúak. Használhatod a függvények ábrázolásához a GeoGebra vagy a Graph programot is. H

F E L A DAT

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben a másodfokú függvények hozzárendelési szabályával! Függvény neve

Hozzárendelési szabálya

x

y m

5 f

3 2

2. 3.

Rajzold meg az x ∈ R, x

1 2 x függvény grafikonját! 4

1 Rajzold meg az x ∈ R, x − x 2 függvény grafikonját! 4

1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

–2 –3

–4

4 9 . l e c ke

M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

H Á Z I F E L A DAT

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben!

3 Rajzold meg az x − x 2 függvény grafikonját! 2

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben!

y h

6 m

2 1 –4

–3

–2

–1 0 –1

g h

–2 –3

–2

–1

Függvény neve

Hozzárendelési szabálya

x

–2

–3 –4

–5 –6

a) Melyik függvény hozzárendelési szabálya az 3 x x2 ? 2 b) Add meg a másik két másodfokú függvény hozzárendelési szabályát is! y

4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 0

–7

Függvény neve

Hozzárendelési szabálya

x

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Az 1., illetve a 2. példában megadott f , illetve g függvénynek ugyanaz a hozzárendelési szabálya, és Df ⊂ Dg. Érdekes a grafikonok kapcsolata is: az f grafikonja részhalmaza a g grafikonjának. E két függvényre azt mondjuk, hogy az f leszűkítése a g-nek, a g pedig kiterjesztése az f -nek.

ELMÉLET Definíció: Ha egy f -fel és egy g-vel jelölt függvény olyan, hogy Df ⊂ Dg , és a g a Df mindegyik eleméhez ugyanazt rendeli hozzá, mint az f , akkor az f -et a g leszűkítésének, a g-t pedig az f kiterjesztésének nevezzük.

F E L A DAT A következő táblázattal megadunk egy függvényt: x

–5

–3

–1

2,5

h(x) = | x |

2,5

a) Mi ennek a {–3; –1; 0; 3} halmazra való leszűkítése? b) Adjuk meg ennek a leszűkítésnek a Dh halmazra való háromféle kiterjesztését! Megoldás a) A{–3; –1; 0; 3} részhalmaza Dh-nak, ezért ez a leszűkítés létezik; jelöljük k-val! Táblázattal megadva: x

–3

–1

k(x) = |x|

Ha a h-t rendezett párok halmazának tekintjük, akkor ennek a halmaznak egy részhalmaza a most kapott k leszűkítés. b) A k egyik kiterjesztése maga a h függvény. A Dh halmazra való további kiterjesztéseit úgy kapjuk, hogy a következő táblázatba az üres helyekre bármilyen számokat (vagy akár más dolgokat) írunk. x

–5

kiterjesztés

–3

–1

2,5

Az újonnan beírt számok (dolgok) már természetesen nem (mind) abszolút értékei a felettük lévő számoknak. Például: x

–5

–3

–1

2,5

1. kiterjesztés

–5

–3

–1

2,5

2. kiterjesztés

alma

szék

Ha egy függvényt táblázattal adunk meg, akkor egy vagy több oszlop elhagyásával a függvénynek egy leszűkítését kapjuk. Természetesen nem szabad az összes oszlopot elhagynunk. Ha pedig újabb oszlopot vagy oszlopokat illesztünk az eredeti táblázathoz, akkor az eredeti függvénynek egy kiterjesztését hozzuk létre.

4 9 . l e c ke

M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

MELYIK A LEGNAGYOBB ÉS MELYIK A LEGKISEBB ÉRTÉK?

P É L DA

Három függvénynek, az f-nek, a g-nek és a h-nak ugyanaz a hozzárendelési szabálya, de más-más halmaz az értelmezési tartománya: Df = [–2; 2], Dg = [–2; 0], Dh = ]–2; 2]; f (x) = g(x) = h(x) = x 3. Van-e a függvények értékkészletének legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szám az?

Megoldás Nagyobb számnak nagyobb a köbe is, ezért az x  x 3 hozzárendelési szabályú függvények mind szigorúan monoton növekedők.

Legnagyobb érték

Legkisebb érték

–8

nincs

8 7 6 5 4 3 2 1

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 f –7 –8

y 1 1 2 3

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 g –7 –8

1 2

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 h –7 –8

1 2 3

Legyen és Df = Dg = Dh = [–1; 4[ és f (x) = x – 2, g(x) = 2 x – 2, h(x) = 0,5 x – 2. a) Rajzoljuk meg a függvények grafikonját, adjuk meg f , g és h legnagyobb és legkisebb értékét (ha van)!

Megoldás y 6 5 4 3 2 1

y 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

f 1 2 3 4 5

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4

y 2 1

g 1 2 3 4 5

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5

Legnagyobb érték nincs nincs nincs Legkisebb érték

–3

–4

–2,5

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

b) Rajzoljuk meg az f , g és a h függvény abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értékét! Megoldás Itt a függvények hozzárendelési szabálya: x | x – 2 |, x | 2 x – 2 |, x | 0,5 x – 2 |. Az új grafikonokat úgy kapjuk meg, hogy az eredeti grafikonok x tengely „alatti” részét tükrözzük az x tengelyre, a többi részt helyben hagyjuk. y 6 5 y

–1

|f |

|g|

|h|

Legnagyobb érték

nincs

2,5

Legkisebb érték

nincs

–1

A Az intervallumon értelmezett függvények ábrázolásához is használható a Graph program.

ELMÉLET Egy függvény abszolút értéke azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány mindegyik eleméhez az eredeti helyettesítési érték abszolút értékét rendeljük hozzá.

F E L A DAT

1. 2.

Legyen Df = [–3; 1], Dg = [–1; 2], Dh = ]–2; 3[; f (x) = g(x) = h(x) = x 3. Van-e a függvények értékkészletének legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szám az? 1 Legyen Df = Dg = Dh = [–1; 4[ és f (x) = – x + 2, g(x) = –2 x + 2, h(x) = − x + 2. 2 a) Rajzoljuk meg a függvények grafikonját, adjuk meg f , g és h legnagyobb és legkisebb értékét, ha van! b) Rajzoljuk meg az f , g és a h függvény abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értékét, ha van!

5 0 . l e c ke

M E LY I K A L E G N AGYO B B É S M E LY I K A L E G K I S E B B É R T É K ?

H Á Z I F E L A DAT

a) A grafikonokról olvasd le a függvények legnagyobb és legkisebb értékét, ha ezek léteznek! y 3

–3

–2

–1 0 –1

4 x

–3

–2

–1 0 –1

4 x

b) Vázold a – f , –g és –h függvények grafikonját, és állapítsd meg e három függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (A – f jelölés azt a függvényt adja meg, amely az f értelmezési tartományának mindegyik eleméhez az eredeti helyettesítési érték ellentettjét rendeli hozzá.) c) Mennyi az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értéke?

Legyen az f függvény értelmezési tartománya az [1; 3] zárt intervallum, és f (x) =

1 x − 4. 2

a) Számold ki az f (1), f (2,8) és f (3) függvényértékeket! b) Ábrázold az f függvényt! Állapítsd meg a legnagyobb és a legkisebb függvényértéket! 1 c) Rajzold le a g függvény grafikonját, ha Dg = [6; 10] és g(x) = x − 4 ! 2

Grafikonjával adtuk meg az f függvényt. a) Írd fel az f hozzárendelési szabályát! y b) Válaszd ki az | f |, a – f , a | – f | és a –| f | függvény grafikonját a megadottak közül! 4

–1 0 –1

–4

–2

–3

–4

–3 –2 –1 0

–5

–1 0 –1

–2 –3

–1 0

–3 –2 –1 0 –1

–1 0 –1

–2

–3

–4

–5

c) Írd fel legalább két ábrázolt függvény hozzárendelési szabályát!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

a) Rajzold meg az x  x 2 – 3 függvény grafikonját, ha az értelmezési tartománya a ]–1; 3] intervallum! Mekkora a legnagyobb és a legkisebb függvényérték? b) Tükrözd a függvény grafikonját az abszcisszatengelyre! Melyik függvény grafikonját kaptad meg így? Mennyi ennek a függvénynek a legnagyobb és a legkisebb értéke?

RÁADÁS Csökkenő CO2-szint

+11%

+10%

+13%

–4%

–16%

+15%

218 236 Hollandia

1209 1020 Németország

423 485 Ausztrália

4208 4041 612 692 Kanada

1213 1331 Japán

–35%

Kibocsátás 1990-ben (millió tonna CO2) Kibocsátás 1998-ban (millió tonna CO2)

EU összesen

A kibocsátás szintjének százalékos változása 1990 és 1998 között

Oroszország

USA

3040 1962

6049 6727

Sok tudós tart attól, hogy a légkörben megnövekedett CO2-gáz szintje klímaváltozást idézhet elő. Az alábbi ábra több ország (vagy régió) CO2-kibocsátásának szintjét mutatja 1990-ben, 1998-ban, és a kibocsátás szintjének százalékos változását 1990 és 1998 között (fekete nyilak).

+8%

a) Az ábráról leolvasható, hogy az USA-ban 11% volt a CO2-kibocsátás szintjének változása 1990 és 1998 között. Írd le számításaidat, amelyek bemutatják, honnan ered ez a 11%! b) Móni megvizsgálta az ábrát és azt állítja, hogy talált egy hibát a kibocsátási szint százalékainak változásában: „Németországban nagyobb a százalékos érték csökkenése (16%), mint az egész Európai Unió értéke (EU összesen 4%). Ez lehetetlen, hiszen Németország is az EU tagja.” Egyetértesz-e Móni állításával, amikor azt állítja, hogy ez nem lehetséges? Magyarázattal is támaszd alá a válaszodat! c) Móni és Norbi elbeszélgetett arról, hogy melyik országban (vagy régióban) volt a legnagyobb a CO2-kibocsátás növekedése. Mindketten különböző következtetéseket vontak le az ábra alapján. Adj két különböző „helyes” választ erre a kérdésre, és magyarázd meg, hogyan jutottál erre a megállapításra!

5 0 . l e c ke

M E LY I K A L E G N AGYO B B É S M E LY I K A L E G K I S E B B É R T É K ?

NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY, ZÉRUSHELY ÉS ÉRTÉKKÉSZLET

P É L DA

Ábrázoljuk azt a függvényt, amely az x m2 (x ≥ 0) területű négyzethez hozzárendeli a négyzet méterben mért oldalhosszát!

Megoldás Az x m2 területű négyzet oldala x méter hosszúságú, tehát az x Néhány esetben táblázatba foglaljuk az összetartozó számokat: x

0,25

2,25

0,5

1,5

(0; 0)

(0,25; 0,5)

(1; 1)

(2,25; 1,5)

(4; 2)

(9; 3)

x Pont a grafikonon

x (x ≥ 0) függvényt kell ábrázolnunk.

A grafikon: y 3

y = Öx

2 1

Szemléletünk és a grafikon is azt mutatja, hogy ez a függvény szigorúan monoton növekedő (két négyzet közül a nagyobb területűnek nagyobb az oldala).

ELMÉLET A nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x x hozzárendelési szabályú függvényt négyzetgyökfüggvénynek nevezzük. A négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton növekedő, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. A legkisebb függvényérték a 0, legnagyobb függvényérték nincs. A négyzetgyökfüggvény grafikonja egy olyan parabolának a fele, amelynek a tengelypontja az origó, tengelye pedig az abszcisszatengely.

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

F E L A DAT

a) A megadott pontok közül melyek vannak rajta a négyzetgyökfüggvény grafikonján? A(4; 16), B(25; 5), C(100; –10), D(0; 0), E(–64; – 8), F(3,5; 12,25), G(51,84; 7,2) b) Melyik nemnegatív számhoz rendel a négyzetgyökfüggvény 0-t, 2,8-et, 5,1-et, illetve 12-t? c) Melyik számot rendeli a négyzetgyökfüggvény a 0-hoz, a 2,8-hez, az 5,1-hez, illetve a 12-höz?

P É L DA

Melyik számok az f függvény zérushelyei, ha a függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabálya: x x 2 – 4? Adjuk meg az f értékkészletét is!

y 5 4 3

Megoldás Azt kell megvizsgálnunk, hogy melyik valós számhoz rendeli hozzá az f függvény a 0 értéket.

2 1 –3

f (x) = x 2 – 4 = 0, ha x 2 = 4, vagyis ha x = 2 vagy x = –2. Tehát az f függvénynek két zérushelye van: 2 és –2.

–2

–1 0 –1

6 x

–2 f

–3

Az f függvény értékkészletét a (–4)-nél nem kisebb számok alkotják. Ezt a számhalmazt így is jelöljük: [–4; +∞[.

–4

ELMÉLET

Egy függvény értelmezési tartományának azokat az elemeit, amelyekhez a 0 van hozzárendelve, a függvény zérushelyeinek nevezzük. A grafikonról könnyen leolvashatjuk egy függvény zérushelyeit: ezeket a grafikonnak az x tengelyen lévő pontjai mutatják meg.

2 1 –4

–3

–2

–1 0 –1

–2 –3

P É L DA

Állapítsuk meg az f függvény zérushelyeit, rajzoljuk meg a grafikonját, határozzuk meg az értékkészletét, ha f értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és f (x) = (x + 1) (x – 3)!

Megoldás f (x) = (x + 1) (x – 3) = 0, ha x + 1 = 0 vagy x – 3 = 0. x + 1 = 0, ha x = –1; x – 3 = 0, ha x = 3. A zérushelyek tehát a –1 és a 3.

5 1 . l e c ke

N É GY Z E T GY Ö K F Ü G GV É N Y, Z É R U S H E LY É S É R T É K K É S Z L E T

A grafikon megrajzolásához készítsünk táblázatot! x

–2

f (x)

5 (–2; 5)

Pont a grafikonon

–1

–3

–4

–3

(–1; 0)

(0; –3)

(1; –4)

(2; –3)

(3; 0)

(4; 5)

zérushely

A grafikon:

y 5 4

3 2 1 –2

–1 0 –1

–2

A függvény értékkészlete a (–4)-nél nem kisebb valós számok halmaza (jelölése: [–4; +∞[). A parabola szimmetriatengelye éppen a két zérushelyet jelző pont között középen metszi az x tengelyt.

–3 –4

F E L A DAT

Határozd meg a valós számok halmazán értelmezett f , g és h függvény zérushelyeit és értékkészletét, ha f (x) = x 2 – 9, g(x) = x 2 – 6,25 és h(x) = x 2 + 4!

Olvasd le a grafikonjukkal megadott függvények értelmezési tartományát, legnagyobb és legkisebb értékét (ha van!), értékkészletét, zérushelyeit! a) b) c) d) y

5 4 3 2

–4 –3 –2 –1 0 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4 5 6

–1 0 –2 –3 –4 –5

1 2 3

–1 0

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1 0

–2 –3 –4 –5

1 2

–2 –3 –4 –5

Állapítsd meg a g függvény zérushelyeit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és g(x) = x (x + 4)! Add meg a g értékkészletét is!

Állapítsd meg a g függvény zérushelyeit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és g(x) = x (3 – x)! Add meg a g értékkészletét is!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

H Á Z I F E L A DAT

Ábrázold a következő függgvényeket koordináta-rendszerben, majd olvasd le az értékkészletüket és a zérushelyeiket (ha vannak): a) Df = {0; 1; 4, 9} x  x 1 b) Dg = R \ {0} g(x) = x 3 c) Df = ]–4, 2] f(x)= – x – 3 2

Add meg a következő függvények zérushelyeit! a) Négyzetgyökfüggvény c) x 5 x + 12 b) x | x | d) x x 2

A Földön 9,81

e) x 9 – x 2 f) x (x + 2,8) (x – 4,8)

m m a gravitációs gyorsulás nagysága, de az IM nevű bolygón csak 2 2 . Kiszámították, hogy ha ezen 2 s s m a bolygón 6 sebességgel függőlegesen fellövünk egy lövedéket, és az x másodperc múlva y méter magasan lesz, s akkor y = 6 x – x 2. a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! x

2,5

3,5

y b) A táblázat alapján grafikont készítettünk a lövedék helyzetéről a [0; 6] intervallumban. Válaszd ki az alábbiak közül a megfelelőt! A) B) C) y

9 8 7 6 5 4 3 2

1 2 3 4 5 6 7

c) Mennyi idő alatt érkezik vissza a kilövés helyére a lövedék? d) Milyen magasra emelkedik a lövedék? e) A kilövéstől számítva mikor lesz 5 méter magasságban a lövedék?

5 1 . l e c ke

N É GY Z E T GY Ö K F Ü G GV É N Y, Z É R U S H E LY É S É R T É K K É S Z L E T

GYAKORLATI FELADATOK

P É L DA

Díszdoboz „alsó” részének elkészítéséhez egy 24 cm hosszú, 10 cm széles kartonlapból „vályút” készítünk úgy, hogy a két szélét derékszögben felhajtjuk. Milyen széles részt hajtsunk fel, hogy a vályú keresztmetszetének a területe a lehető legnagyobb legyen?

x cm

10 cm

10 – 2x cm

x cm

24 cm

m –2 xc 10

x cm

10 – 2x cm

Megoldás A keresztmetszet olyan téglalap, amelynek az oldalai x cm és (10 – 2 x) cm hosszúak, ezért a területe x(10 – 2 x) cm2. Az x az 5-nél kisebb pozitív szám lehet. y Ábrázoljuk az x ∈ R, x  x(10 – 2 x) függvényt, vizsgáljuk meg, hol veszi fel a ]0; 5[ intervallumon a legnagyobb értékét! 13 Ez egy másodfokú függvény (hiszen a hozzárendelési szabálya 12 2 11 x 10 x – 2 x alakban is megadható, és ez másodfokú kifejezés). A grafi10 konja lefelé nyitott parabola. Hol metszi a parabola az x tengelyt? 9 x (10 – 2 x) = 0, ha x = 0, illetve ha 10 – 2 x = 0, vagyis ha x = 5. 8 Azt látjuk, hogy a függvényünk zérushelyei 0 és 5, a parabola tengelye 7 6 ezek között középen, 2,5-nél metszi az x tengelyt. Éppen ez a szám a ten5 gelypont első koordinátája. Itt a legnagyobb a függvény értéke, vagyis 4 a vályú keresztmetszetének a területe. 3 2

Tehát a 10 cm-es oldalból kétfelől 2,5 cm-es darabot kell felhajtanunk, hogy a legnagyobb keresztmetszetű vályú keletkezzék. Mekkora ekkor a keresztmetszet területe? Ha x = 2,5, akkor 10 – 2 x = 10 – 5 = 5, a téglalap területe pedig 2,5 · 5 = 12,5 (cm2).

1 0 –1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

m -ban mért s terjedési sebesség, T pedig a levegő hőmérséklete Kelvin-fokban mérve (a Kelvin-fokban mért érték mindig 273-mal nagyobb, mint ugyanaz a hőmérséklet Celsius-fokban). m Mekkora hőmérsékleten lesz a hang terjedési sebessége 350 ? s

A hang terjedési sebessége a levegő hőmérsékletétől függ, durván a c = 20 T képlet alapján, ahol c a

Megoldás Elkészítjük az T 20 T (T ≥ 0) függvény grafikonját és leolvassuk, melyik számhoz tartozik a 350 helyettesítési érték. Ez kb. 305, tehát kb. 305 °K (azaz 32 °C) hőmérsékleten lesz m a hang terjedési sebessége 350 . s Feladatunkat algebrai úton is megoldhatjuk: 350 350 = 20 T , tehát T = = 17,5. 20 Egyetlen olyan szám van, amelynek a négyzetgyöke a 17,5, és ez a 17,5 2. Tehát T = 17,5 2 = 306,25. m Azaz kb. 306 °K (33 °C) hőmérsékleten terjed a hang 350 ses bességgel.

c 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 20

100 140 180 220 260 300 340

F E L A DAT

Ravaszdi úr alkalmi munkást keres egy munka elvégzésére. Okos Tóninak azt mondja, hogy ha x óra alatt sikerül elvégeznie a munkát, akkor (6 – 2 x) tallér órabért fizet neki (ha 3 óra alatt sem végez, akkor fizetség nélkül kell távoznia). a) Mennyi órabér és mekkora fizetség járna akkor, ha Tóni 0,5 óra alatt elvégezné a munkát? És ha 2 óra alatt végezné csak el? Okos Tóni egy kis ideig gondolkodott, majd rájött, hogyan lehet a lehető legnagyobb összeget felvenni a munka elvégzéséért. b) Mennyi idő alatt végzett Tóni, ha valóban a legnagyobb összeget vette fel? c) Mekkora összeget kapott ekkor?

5 2 . l e c ke

GYA KO R L AT I F E L A DAT O K

Szilveszter este az Arany család 5. emeleti erkélyéről (kb. 15 m magasból) kilőttek egy tűzijáték-rakétát. Hajni nagyon ért a fizikához, elmondja a családnak, hogy ha a kilövéstől számítva x másodperc telt el, és ekkor a rakéta az erkély szintjétől számítva y méter magasságban van, akkor y = 5 x (2 – x). a) A kilövéstől számítva mennyi idő alatt esik vissza a rakéta az erkély szintjére? b) Mekkora magasságig emelkedik a rakéta az erkély szintjéhez viszonyítva? c) A kilövéstől számítva mennyi idő múlva esik le a rakéta a földre?

H Á Z I F E L A DAT

Egy tartályban a töltőanyag mennyisége az időnek lineáris függvénye. Ha a gyártási folyamat kezdetétől eltelt idő x óra, akkor a töltőanyag menynyisége y kilogramm. A kettő közötti kapcsolat: y = 500 – 2,5 x. Jelenítsd meg koordináta-rendszerben a „kapcsolatot”! a) Hány kilogramm töltőanyag fogy óránként? b) Mennyi idő alatt ürül ki a tartály? c) A gyártási folyamat indulása után mennyi idővel lesz a tartályban levő töltőanyag mennyisége 150 kilogramm?

Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni 12 m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen?

Ha x méter hosszúságú vékony fonálra egy kisméretű (de elég „súlyos”) fémdarabot kötünk, és ezt az „ingát” lengésbe hozzuk, akkor egy teljes lengés ideje nagyon jó közelítéssel 2 x másodperc lesz.

(Egy teljes lengés történik például akkor, ha az inga a szélső helyzetéből ugyanebbe a szélső helyzetbe tér vissza.) a) Készítsd el az x 2 x (x ≥ 0) függvény grafikonját! b) Mekkora annak az ingának a hossza, amelynél egy teljes lengés 1 másodpercig (0,5 másodpercig, 2 másodpercig, 3 másodpercig) tart? c) Mekkora az 50 cm hosszú inga lengésideje? d) Bence azt mondja, hogy most már ő is tudja, hogyan lehet egy vékony fonál hosszát stopperórával megmérni. Te is tudod?

Az f másodfokú függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és f (x) = x (6 – x). a) Add meg a függvény zérushelyeit! b) Rajzold meg az f grafikonját! c) Add meg az f értékkészletét! d) Oldd meg az f grafikonjának felhasználásával az x (6 – x) = 8 egyenletet!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

RÁADÁS Postai díjszabás Zedországban a postai díjak a küldemények tömegétől függnek a mellékelt táblázat szerint: Tömeg (egész grammra kerekítve)

Díj

20 g-ig

0,46 zed

21 g–50 g

0,69 zed

51 g–100 g

1,02 zed

101 g–200 g

1,75 zed

201 g–350 g

2,13 zed

351 g–500 g

2,44 zed

501 g–1000 g

3,20 zed

1001 g–2000 g

4,27 zed

2001 g–3000 g

5,03 zed

a) Az alábbi grafikonok közül melyik mutatja legjobban a postai díjszabást Zedországban? (A vízszintes tengelyen a tömeg grammokban, a függőleges tengelyen a díj zedben van ábrázolva.) A) C) 6

1000

2000

3000

4000

2000

4000

3000

1000

2000

3000

4000

100

200

350

500

1000

2000

3000

b) Gyurka két levelet akar küldeni (Zedországból) egy barátjának; a levelek tömege 40 g, illetve 80 g. A zedországi postai díjszabás alapján döntsd el, melyik esetben kell kevesebbet fizetnie Gyurkának: ha egy borítékban adja postára a két levelet, vagy ha külön-külön adja postára őket! Számolással támaszd alá az állításodat! c) Az A) jelű grafikon pontjai illeszkednek-e az y = 0,1 ⋅ x egyenletű görbére (a vízszintes tengelyt x-szel, a függőlegeset y-nal jelölve)?

5 2 . l e c ke

GYA KO R L AT I F E L A DAT O K

ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK

P É L DA

Lajos kerékpárversenyző. Napi edzése részeként a 45-ös kilométertáblánál álló házától állandó km 30 sebességgel elkarikázik a megyeszékhelyig, h ahol a kilométertáblák számozása kezdődik, és ott rögtön visszafordulva ugyanakkora sebességgel hazahajt. A mellékelt grafikon megmutatja, hogy Lajos az edzése melyik pillanatában mekkora távolságra volt a megyeszékhelytől. Az időpontokat az x tengelyen, a távolságokat az y tengelyen olvashatjuk le. A grafikon egyenlete: y = | 30 x – 45 |.

(

)

Megjegyzés: grafikus úton megoldottuk az | 30 x – 45 | = 25 egyenletet. y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

1,5

2,5

a) Mikor hajt el Lajos a 25-ös kilométertábla mellett? b) Lajossal egy időben a barátja, Tibor is elindul egy kempingbiciklivel. Ő az 5-ös kilométertáblától indulva a megyeszékhellyel ellentétes irányban, km 10 sebességgel halad. Mikor és hol találkozik h Tibor Lajossal? Megoldás a) A második grafikonról leolvasható, hogy Lajos 20 2 odafelé = óránál (40 percnél), 30 3 25 7 visszafelé pedig 1,5 + = óránál (2 óra 20 percnél) 30 3 halad el a 25-ös tábla mellett.

1,5

2,5

b) Az alsó koordináta-rendszerben ábrázoltuk azt a függvényt is, amely a kempingkerékpár helyzetét írja le. Ennek a hozzárendelési szabálya: x  10 x + 5. A két grafikon két helyen metszi egymást, tehát kétszer fognak találkozni. Először, indulásuk után 1 órával (ekkor Lajos a városközpont felé halad), a 15ös táblánál, aztán pedig indulásuk után 2,5 órával, a 30-as táblánál (ekkor Lajos már hazafelé kerékpározik). Megjegyzés: grafikus úton megoldottuk az | 30 x – 45 | = 10 x + 5 egyenletet. y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

1,5

2,5

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

Melyik számot jelölheti az x, ha | 3 x + 2 | = 8?

y y=8

Megoldás Első (algebrai) módszer Két olyan szám van, amelynek 8 az abszolút értéke, a 8 és a –8. Ezért 3 x + 2 = 8 vagy 3 x + 2 = –8. Az első egyenletből 3 x = 6, vagyis x = 2, a második egyen10 1 letből 3 x = –10, vagyis x = − = −3 . 3 3 Tehát az x két különböző számot jelenthet, a 2-t vagy 1 a −3 -ot. 3 Második (grafikus) módszer Rajzoljuk meg az x |3 x + 2| függvény grafikonját, és olvassuk le, melyik számhoz rendeli ez a függvény a 8 értéket! Először az x 3 x + 2 elsőfokú függvényt ábrázoljuk: y 9 8

y = 3x + 2

7 6 5 4

y = |3x + 2|

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0

Az ábráról természetesen csak közelítőleg olvashatjuk le a 1 2 és a −3 számot. 3 Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, megkaptuk-e az egyenlet gyökeit. Ha x = 2, akkor | 3 x + 2 | = | 6 + 2 | = 8, tehát a 2 gyöke az adott egyenletnek. 1 Ha x = −3 , akkor | 3 x + 2 | = | –10 + 2 | = 8, tehát 3 1 a −3 is gyöke az adott egyenletnek. 3 A grafikon jól mutatja, hogy az x más számot nem jelölhet.

Oldjuk meg algebrai módszerrel az |x – 4| = 2x + 7 egyenletet!

1 –3 –2 –1 0 –1

–2

Ezután a grafikonnak az x tengely alatti részét az x tengelyre tükrözzük. Így kapjuk az x |3 x + 2| függvény grafikonját. Ez a kék, V betűhöz hasonlító ponthalmaz. Ugyanitt megrajzoltuk az x 8 függvény grafikonját, a piros egyenest. A két grafikon metszéspontjainak első koordinátái adják meg az |3 x + 2| = 8 egyenlet gyökeit.

Megoldás Ha x – 4 ≥ 0, vagyis x ≥ 4, akkor |x – 4| = x – 4, tehát az adott egyenlet x – 4 = 2x + 7 alakú, amiből x = –11. A (–11) kisebb a 4-nél, tehát nem találtunk megoldást a 4-nél nem kisebb számok között. Ha x – 4 < 0, vagyis x < 4, akkor |x – 4| = –(x – 4) = –x + 4, tehát az adott egyenlet –x + 4 = 2x + 7 alakú. Ebből x = –1. Ez valóban megoldása az eredeti egyenletnek. Más gyöke nem lehet, tehát a megoldáshalmaz: {–1}.

E Egyenlet megoldásához használhatók a függv vény-ábrázoló programok is.

F E L A DAT

Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket (x ∈ R)! a) | x + 2 | = 3 b) | x + 2 | = 2,3 c) | x + 2 | = 0

5 3 . l e c ke

A B S Z O L Ú T É R T É K E S E GY E N L E T E K

d) | x + 2 | = –1,8

P É L DA

Oldjuk meg grafikus úton az | 3 x + 2 | = 0,5 x – 1 és az | 3 x + 2 | = 0,5 x + 5 egyenletet (x ∈ R)!

y 11

y = |3x + 2|

Megoldás Az előző feladat megoldása során már megrajzoltuk az x | 3 x + 2 | függvény grafikonját. Most berajzoljuk ugyanabba a koordináta-rendszerbe az x 0,5 x – 1 és az x 0,5 x + 5 elsőfokú függvény grafikonját is. Az első egyenesnek nincs közös pontja az x | 3 x + 2 | függvény grafikonjával. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2 | = 0,5 x – 1 egyenletnek nincs gyöke.

9 8

,5x

0 y=

5 4 3

A második egyenesnek 2 közös pontja van az x | 3 x + 2 | függvény grafikonjával. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2| = 0,5x + 5 egyenletnek 2 gyöke van, e közös pontoknak az első koordinátája: –2 és 1,2. Az ábráról csak közelítőleg olvashatjuk le a metszéspontok első koordinátáit. Hogy pontosan ezek a gyökök, azt behelyettesítéssel ellenőrizhetjük: Ha x = –2, akkor | 3 x + 2 | = | –6 + 2 | = 4 és 0,5 x + 5 = –1 + 5 = 4, vagyis a –2 gyöke az egyenletnek; ha x = 1,2, akkor | 3 x + 2 | = | 3,6 + 2 | = 5,6 és 0,5 x + 5 = 0,6 + 5 = 5,6, vagyis az 1,2 is gyöke az egyenletnek. A grafikonról leolvashatjuk, hogy egyenletünknek több gyöke nem lehet.

,5x

0 y=

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

–2 –3

F E L A DAT

Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket (x ∈ R)! a) | 2 x – 6 | = 3

2 c) | 2 x – 6 | = − x + 6 5

b) | 2 x – 6 | = x

d) | 2 x – 6 | = x – 3

E Egyenlet megoldásához használhatók a függvényábrázoló programok is.

H Á Z I F E L A DAT

Írj fel egy-egy olyan egyenletet, amelynek a megoldása leolvasható a megadott grafikonokról! Behelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott számok valóban megoldások! a) b) c) y

–4 –3 –2 –1 0

4 x

–4 –3 –2 –1 0

4 x

–4 –3 –2 –1 0

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

4 x

F ü g g v é n ye k

Oldd meg a következő egyenleteket (x ∈ R)! a) | x – 2,7 | = 3,5 c) | 70,4 + 22 x | = 30,8 b) | 5,7 – 3 x | = 5,7 d) | 4 – x | + 9 = 0

Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket (x ∈ R)! a) | 2 x | = x + 2 c) | 2 x – 2 | = 3 – x 1 2 b) | 2 x | = 3 – x d) x−2 = − x+2 3 3

Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket (x ∈ R)! a) | x | = x 2 c) | x | = (x – 2) 2 b) | x | = x 2 – 2 d) | x | = – x 2 + 6 M Megoldásaidat ellenőrizheted függvényábrázoló pprogrammal is.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Vizsgáljuk meg, hogy az a értékének más-más megválasztása esetén hány gyöke van a |3 x + 2| = x + a egyenletnek! y 9 8

y=x+2 3

7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

Adjunk az a-nak több értéket! Ábrázoljuk az x  x + a elsőfokú függvényeket az x | 3 x + 2 | függvénnyel közös koordináta-rendszerben! Látjuk, hogy 2 ha a = , akkor az egyenesnek 1 közös pontja van az x | 3 x + 2 | 3 2 függvény grafikonjával, vagyis az 3x + 2 = x + egyenletnek egy 3 2 gyöke van, a − ; 3

2 , vagyis ha a piros egyenest „feljebb” toljuk, akkor az új egyenesnek 2 közös pontja van az x | 3 x + 2 | függ3 vény grafikonjával, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek két gyöke van; 2 ha a < , vagyis ha a piros egyenest „lejjebb” toljuk, akkor az új egyenesnek nincs közös pontja az x | 3 x + 2 | függvény 3 grafikonjával, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek nincs gyöke. ha a >

5 3 . l e c ke

A B S Z O L Ú T É R T É K E S E GY E N L E T E K

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

Hány 0-ra végződik a 2 7 · 3 12 · 5 8 + 4 3 · 6 2 · 15 6 szám?

a) Egy téglatest éleinek hosszúsága 3,6 · 10 8 cm, 7,5 · 10 6 dm és 5,8 · 10 5 m. Hány m3, hány dm3 és hány cm3 a téglatest térfogata?

Egy elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amely áthalad a (0; –3) ponton, és a meredeksége 2. Az alább felsoroltak közül melyik a függvény hozzárendelési szabálya? a) x –3 x + 2 c) x 2 x – 3 b) x 3 x – 3 d) x 2 x

Egy napilapban találtuk ezt a grafikont: Közvetlen családtagjain kívül hány olyan ismerőse van, akitől szükség esetén komolyabb segítséget kérhet? (1000 válasz alapján, százalékban kifejezve)

b) Egy csillag tömege 2 · 10 30 kg, ennek a tömegnek nagy része hidrogén. A csillag másodpercenként hatszázmilliárd kilogramm hidrogént éget el. Egymilliárd év alatt hány kg hidrogént éget el, és ez hány százaléka a tömegének? (Feltesszük, hogy a hidrogénégetés hevessége nem változik.)

20 15

2003. dec. 2008. dec.

25 20

15 11 6

10 8

3,8 2,5 átlag

Dobókockával dobtunk 50-szer, a következő eredményeket kaptuk: 6, 3, 2, 5, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 5, 6, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 6, 1, 5, 6, 2, 2, 3, 5, 2, 1, 6, 2, 5, 6, 2, 6, 1, 5, 4, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 3, 3, 5, 4, 1. a) Készíts gyakorisági táblázatot! b) Ábrázold a gyakoriságokat oszlop- és körgrafikonon! c) Melyik szám a módusz, és melyik a medián? (Válaszodat indokold meg!) d) Mennyi a módusz dobásának a relatív gyakorisága? e) Mennyi a dobott pontok átlaga?

egy

kettő három négy

öt

hat vagy több

a) Mit állapíthatsz meg ezekből az adatokból? b) Készíts másféle grafikont ehhez a problémához!

Ábrázold a következő függvényeket! Add meg az értékkészletüket, a zérushelyeiket, a legnagyobb és a legkisebb függvényértéküket, ha ezek léteznek! 3 a) x ∈ [0; 5], x x + 1 2 b) x ∈ ]–3; 4[, x  x 2 – 8 c) x ∈ [–1; +∞[, x  –2 x Közülük melyik elsőfokú függvény, melyik egyenes arányosság?

egy sincs

Az f függvény értelmezési tartománya a [–4; 6[ intervallum, hozzárendelési szabálya: x  2 x – 3. Rajzold meg az f grafikonját, sorold fel néhány tulajdonságát (legnagyobb függvényérték, legkisebb függvényérték, értékkészlet, zérushely, növekedő, csökkenő, monoton)!

K A P C S O L AT O K , V Á LT O Z Á S O K . B E P I L L A N T Á S A F Ü G GV É N Y E K V I L Á G Á B A

F ü g g v é n ye k

TUDÁSPRÓBA

A grafikon egy osztály matematikadolgozatának eredményeit szemlélteti. Mennyi lett a jegyek átlaga?

Egy kisebb folyó vízállását 24 órán keresztül folyamatosan mérték, grafikonon ábrázolták.

darabszám

4 2 1

3 érdemjegy

a) Rajzold le az x | x – 2 | függvény grafikonját! Mi a függvény zérushelye és értékkészlete? b) Oldd meg grafikusan az x 2 = |x – 2| egyenletet!

125

Kerékpár, motorkerékpár

Autó

425

Tömegközlekedés

375

a) Számítsd ki az adatok relatív gyakoriságát! b) Ábrázold a megoszlást kördiagramon!

–8

–6

–4

–2

–2 –3 –4 –5 –6

5 4 . l e c ke

GYA KO R L Á S ; T U D Á S P R Ó B A

x (óra)

Az újszülött koala kb. 2 cm hosszú, az ezt követő 4 év alatt havonta átlagosan 1,5 cm-t növekedve fejlődik ki teljesen. a) Add meg azt a függvényt, ami a koala hosszát írja le a születése óta eltelt hónapok számának függvényében! b) Milyen hosszú egy 1 éves koala? c) Mennyi idősen lesz 50 cm hosszú?

A különböző testek közötti gravitációs vonzóm ⋅m erő nagyságát (N-ban) az F = γ ⋅ 1 2 2 képlettel r számolhatjuk ki, ahol m1 és m2 az egymást vonzó testek tömege kg-ban, r a közöttük lévő távolság m-ben, γ pedig az ún. gravitációs állandó,

y 7 6 5 4 3 2 1

a) A megadott egyenesek közül melyiknek az egyen2 lete y = x + 2? 3 b) Melyik lehet egyenes arányosság grafikonja?

a) Ezen a folyón a harmadfokú árvízvédelmi készültséget akkor rendelik el, ha a vízállás eléri a 3,5 métert. Mikor rendelték el, és mikor szüntették meg a harmadfokú készültséget? b) Óránként hány méterrel nőtt a vízszint, amikor a növekedés sebessége a legnagyobb volt? c) Óránként hány méterrel változott a vízszint, amikor a változás (növekedés vagy csökkenés) a leggyorsabb volt?

Egy felmérés során 1000 véletlenszerűen kiválasztott embert kérdeztek meg arról, hogy milyen közlekedési eszközzel jár reggelente munkába. A válaszok számát a táblázat mutatja: Gyalog

5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

y (méter)

Nm 2 . kg 2 Számítsd ki számológép segítségével a Föld és a Nap egymásra gyakorolt vonzóerejének nagyságát, ha a Föld tömege: m1 ≈ 6 · 10 24 (kg), a Nap tömege: m2 ≈ 2 · 10 30 (kg), a Föld–Nap távolság pedig r ≈ 1,5 · 10 11 (m)! γ = 6,67 ⋅ 10−11

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

BEVEZETŐ Arany Csilla a mesekockáit rakosgatja: „Nézd, Anya, az előbb kiraktam úgy, hogy így 6 kocka volt, úgy meg 2, most meg erre 3 kocka van, arra meg 4! Most megint máshogy rakom ki!” Vajon sikerül-e Csillának máshogyan kirakni a kockákat úgy, hogy „tömör” téglatest alakot kapjon, és egymás „tetejére” ne tegyen kockákat? Megoldás Csilla a kockákat „sorokba” és „oszlopokba” rendezte, ezek számának szorzata mindig 12, hiszen Csilla most ennyi mesekockával játszik. A 12-t többféleképpen is felírhatjuk két természetes szám szorzataként, pl. a fentieknek megfelelően: 2 · 6 = 12, illetve 3 · 4 = 12. Ezeken kívül még az 1 és a 12 szorzataként, máshogy azonban nem. A felsorolt szorzatokban az 1, a 2, a 3, a 4, a 6 és a 12 szerepel. Ezek a számok a 12 osztói, a 12 pedig ezeknek a számoknak a többszöröse.

F E L A DAT

Csilla talált még egy kockát (az eredetileg 25 mesekockából álló készletből), így 13 kockát próbált „sorokba” és „oszlopokba” rendezni (egymás tetejére nem rakott kockákat). a) Sorold fel az összes különböző lehetőséget! b) Még legalább hány kockát kellene megtalálnia Csillának, hogy ugyanannyi lehetősége legyen, mint a 13 kockával?

Egy 5 cm × 6 cm-es téglalapot azonos méretű téglalapokra kell szétvágni úgy, hogy a téglalapok oldalainak hossza csak egész cm hosszúságú lehet. 6 cm

5 cm

a) Mekkora lehet egy téglalap területe, és hány téglalap keletkezhet? b) Sorold fel az összes különböző lehetőséget!

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

ELMÉLET Ismételjük át, amit korábban már tanultunk az oszthatóságról! Akkor mondjuk, hogy az a pozitív egész szám osztója a b pozitív egész számnak, ha van olyan pozitív egész szám, amellyel az a-t megszorozva a b-t kapjuk. Azt, hogy „a osztója b-nek” úgy is ki szoktuk fejezni, hogy „b osztható a-val”. Jelekkel: a | b. Ha a osztója b-nek, akkor a b többszöröse az a-nak. Például a 27 osztója a 81-nek (jelekkel: 27 | 81), mert van olyan pozitív egész szám, a 3, amellyel a 27-et megszorozva a 81-et kapjuk. Minden pozitív egész szám osztható 1-gyel és önmagával. Eszerint az 1-nek egyetlen osztója van, az 1, az 1-nél nagyobb egész számoknak legalább két osztójuk van. Közülük az 1-et és magát a számot nem valódi osztónak, a többit valódi osztónak nevezzük. Például a 12 nem valódi osztói: 1 és 12; valódi osztói: 2, 3, 4, 6; a 67 nem valódi osztói: 1 és 67; valódi osztója nincs. Ha egy pozitív egész számnak pontosan két pozitív osztója van, akkor ezt prímszámnak nevezzük. Bebizonyítható, hogy végtelen sok prímszám van. Prímszám például a 2, a 3, az 5, a 7, a 29, a 101, a 103, az 569, az 571, a 991, a 65 537. Ha egy pozitív egész számnak kettőnél több pozitív osztója van, akkor ezt összetett számnak nevezzük. Összetett szám például a 4, a 6, a 8, a 9, a 10, a 12, a 14, a 15, a 100, a 111, a 4866. Az 1 nem prímszám, és nem összetett szám. Ilyen tulajdonságú pozitív egész szám nincs több. A pozitív egész számok tehát a következők: 1 egyetlen osztója van prímszám pontosan két osztója van összetett szám kettőnél több osztója van

P É L DA

Bontsuk fel a 120-at prímszámok szorzatára!

Megoldás 120

Tehát 120 = 2 · 2 · 3 · 5 · 2 = 2 3 · 3 · 5.

Bontsuk fel a 630-at prímszámok szorzatára!

Megoldás A 630-at elosztjuk 2-vel, a hányados 315. A 315-öt elosztjuk 3-mal, a hányados 105. 105 : 3 = 35; 35 : 5 = 7; 7 : 7 = 1. A függőleges vonal jobb oldalán lévő prímszámok szorzata adja meg a 630-at: 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1 630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 2 · 5 · 7.

5 5 . l e c ke

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

F E L A DAT

Bence és osztálytársa a 20 570-et felbontotta prímszámok szorzatára. A felbontást Bence így kezdte: 20 570 = 2 · 10 285, és végül azt kapta, hogy 20 570 = 2 · 5 · 11 · 17 · 11. A barátjánál ez volt a kezdés: 20 570 = 50 · 415, és végül erre jutott: 20 570 = 5 · 2 · 5 · 5 · 83. Bence eltűnődött a kétféle eredményen. Szerette volna megállapítani, hogy az alábbi három lehetőség közül melyik biztosan igaz és melyik biztosan hamis, de nem volt számológépe, és egyik szorzást sem akarta elvégezni.

a) Mindkét felbontás rossz. b) Mindkét felbontás jó. c) Az egyik felbontás jó, a másik rossz. Mik lehettek Bence válaszai?

Bontsd fel prímszámok szorzatára a következő öszszetett számokat! a) 525 b) 990 c) 873 d) 1221

ELMÉLET Minden összetett szám felbontható prímszámok szorzatára, és ez a felbontás egyértelmű, ha a tényezők sorrendjét nem vesszük figyelembe. Ez a számelmélet alaptétele. Más szavakkal: egy összetett számot bárhogyan írunk is fel prímszámok szorzataként, mindegyik szorzatban ugyanazok a prímtényezők fordulnak elő, és mindegyik prím pontosan ugyanannyiszor szerepel az egyik felbontásban tényezőként, ahányszor a másik felbontásban. Csak a tényezők sorrendjében lehet tehát különbség! Például 18 = 2 · 3 2 = 3 · 2 · 3,

120 = 2 3 · 3 · 5 = 5 · 2 · 3 · 2 2,

222 = 2 · 3 · 37 = 3 · 37 · 2,

1024 = 2 10.

A számelmélet alaptételének egyszerű következménye: egy összetett szám bármelyik osztójának prímtényezős alakja csak olyan prímtényezőket tartalmazhat, amelyeket maga a szám is tartalmaz, és a prímtényezők mindegyike legfeljebb annyiszor fordulhat elő az osztóban, ahányszor az eredeti összetett számban. Tehát az összetett szám összes osztóját kiolvashatjuk a prímtényezős felbontásából. Például 18 = 3 · 2 · 3, ezért a 18 osztói: 1; 2; 3; 2 · 3; 3 · 3 és 2 · 3 · 3.

F E L A DAT

Bontsd fel prímtényezők szorzatára a 450-et! Sorold fel az osztóit prímtényezős alakban! Keresd meg mind a 18 osztóját!

H Á Z I F E L A DAT

Egy téglatest egyik éle 1 cm hosszú, térfogata 140 cm3. Hány különböző ilyen téglatest van, ha mindegyik éle egész cm hosszúságú?

Csilla talált egy 180 cm hosszú, 1 cm széles szalagot. Olyan 1 cm szélességű, egyforma téglalapokra akarja szétdarabolni, amelyek másik oldala is egész

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

cm hosszúságú. Sorold fel az összes lehetőséget (beleértve azt is, hogy Csilla mégsem darabolja fel a szalagot)! Bencének 7 darab egyforma, 6 cm3 térfogatú, téglatest alakú dobozt kell elhelyeznie egy nagyobb téglatest alakú dobozban úgy, hogy a nagyobb dobozt teljesen kitöltsék. A kisebb és a nagyobb dobozok élhossza is csak egész cm hosszúságú lehet. a) Add meg az összes lehetőséget! b) Megváltozik-e a lehetőségek száma, ha Bencének 6 db 7 cm3 térfogatú dobozt kell a feltétel-

nek megfelelően egy nagyobb dobozba elhelyeznie?

Bontsd fel prímszámok szorzatára az alábbi összetett számokat! a) 240 b) 231 c) 435 d) 10 000 e) 100 000 f) 1 000 000

RÁADÁS

Bontsuk fel a 211-et prímtényezők szorzatára!

Megoldás Ha nem akarunk véletlenszerűen találgatni, akkor 2-vel kezdve elkezdjük próbálgatni a prímszámokat, vajon melyik lesz osztója a 211-nek. 211 nem osztható 2-vel, 3-mal, 5-tel, 7-tel, 11-gyel, 13-mal… Felmerül a kérdés: meddig érdemes próbálkozni? Ha ugyanis a 211 prímszám, akkor úgysem találunk valódi osztót, hiába keressük. Kezdetnek vizsgáljunk egy kisebb összetett számot, a 72-t, hogy lássuk, milyen szabályosságokat találunk az osztói között! A 72-t két-két pozitív egész szám szorzatára bontjuk. Vegyük észre, hogy egy bizonyos ponttól kezdve kár is folytatni, hiszen a 8 · 9 után ugyanazokat a tényezőpárokat kapjuk, csak fordított sorrendben. Egyszerű a következő gondolat: ha két pozitív szám nagyobb (kisebb) a 72-nél, akkor a szorzatuk nagyobb (kisebb) a 72-nél. Tehát, ha egy pozitív egész számot két tényező szorzatára bontunk, akkor vagy mindkét tényező a szám négyzetgyöke (pl. 64 = 8 · 8), vagy az egyik nagyobb, a másik kisebb a négyzetgyökénél (pl. 72 = 6 · 12).

72 = 1 · 72 2 · 36 3 · 24 4 · 18 6 · 12 8·9 9·8 12 · 6 …

Térjünk vissza a kiinduló problémánkhoz, a 211 prímosztóinak kereséséhez! 211 ≈14,5. Mivel nem találtunk 14,5-nél kisebb prímosztót (2, 3, 5, 7, 11, 13 egyike sem volt osztója a 211-nek), ezért 14,5nél nagyobb prímosztót sem fogunk találni. A 211-nek tehát nincsenek valódi osztói, a 211 prímszám.

Mennyi a 39 375 osztóinak a száma?

Megoldás Megmutatunk egy érdekes módszert: 39 375 = 3 2 · 5 4 · 7. Ha a kitevőket 1-gyel megnöveljük, és a kapott számokat összeszorozzuk, megkapjuk az osztók számát: (2 + 1) (4 + 1) (1 + 1) = 30. A 39 375-nek 30 osztója van.

5 5 . l e c ke

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Az eratoszthenészi szita 2200 esztendővel ezelőtt Eratoszthenész alexandriai filozófus és csillagász érdekes módszerrel kereste meg a 100-nál kisebb prímszámokat. 10 × 10-es táblázatba foglalta 1-től 100-ig az egész számokat, és kihúzta („kiszitálta”) azokat, amelyekről tudta, hogy nem prímszámok. Az 1 nem prímszám, ezt kihúzta. A 2., 4., 6., 8. és 10. oszlopban vannak a páros számok, közülük 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 2 az egyetlen prímszám. Ezt bekarikázta, a többit kihúzta. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Az 5. oszlopban vannak az 5-re végződő számok, közöttük egyet21 22 23 24 25 26 27 28 29 len prímszám van, az 5. Ezt bekarikázta, a többit kihúzta. 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Észrevette, hogy a 3-mal osztható számok könnyen megtalál41 42 43 44 45 46 47 48 49 hatók. Közöttük egyetlen prímszám van, a 3. Ezt bekarikázta, 51 52 53 54 55 56 57 58 59 a többit a ferde zöld szakaszokkal kihúzta. 61 62 63 64 65 66 67 68 69 A következő szám, amely még nem volt kihúzva, a 7. Ez prímszám, 71 72 73 74 75 76 77 78 79 bekarikázta. A 7-nek a 7-szerese, a 11-szerese és a 13-szorosa sze81 82 83 84 85 86 87 88 89 repel még a táblázatban (49, 77, 91), ezeket kihúzta. 91 92 93 94 95 96 97 98 99 A legkisebb megmaradt szám most a 11, majd a 13, a 17, … következik. Ezek prímszámok, bekarikázta őket. E számok 100-nál kisebb többszöröseit már korábban „kiszitálta”. Amelyik számmal tehát eddig nem foglalkozott, azok mind prímszámok, Eratoszthenész bekarikázta őket. Így megkapta a száznál kisebb összes prímszámot. 25 van belőlük. Egy másik „szitálási” módszerhez 6-os sorokba rendezzük a 100-nál nem nagyobb pozitív egész számokat. Az 1 nem prímszám, kihúzzuk. A 2., 4. és a 6. oszlopban vannak a páros számok, közülük a 2 az egyetlen prímszám. Ezt bekarikázzuk, a többit kihúzzuk. A 3. oszlopban csupa 3-mal osztható szám van, közülük a 3 az egyetlen prímszám. Ezt bekarikázzuk, a többit kihúzzuk. Az 5-öt bekarikázzuk, azután az 1. és az 5. oszlopból kihúzzuk a többi 5-re végződő számot. A 7-et bekarikázzuk, és kihúzzuk a 7-szeresét, a 11-szeresét és a 13-szorosát (49, 77, 91). Ami megmaradt, az mind prímszám, bekarikázzuk őket. Így ismét megkaptuk a 25 száznál kisebb prímszámot.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

ELMÉLET Az oszthatóság két tulajdonsága 1. Ha a, b és c olyan pozitív egész számok, hogy a osztója b-nek, és b osztója c-nek, akkor a is osztója c-nek (az oszthatóság tranzitív). Például 45 | 180 és 180 | 3600, ezért 45 | 3600. 2. Ha az a pozitív egész szám osztója a b és a c (< b) pozitív egész számnak, akkor az a osztója a b + c és a b – c számnak is. Például 37 | 370 és 37 | 74, ezért 37 | (370 + 74) = 444 és 37 | (370 – 74) = 296. Az összetett számok második fajta „kiszitálásakor” tulajdonképpen ezt a 2. tulajdonságot is felhasználtuk. Ebből következik ugyanis, hogy egy 5-nél nagyobb prímszám nem adhat 6-tal osztva 2, 3 vagy 4 maradékot. Nincs tehát olyan k pozitív egész szám, amelyre 6 k, vagy 6 k + 2, vagy 6 k + 3, vagy 6 k + 4 prímszám lenne. Miért? Mert 6 k = 2 · 3 · k, 6 k + 2 = 2 · 3 · k + 2 és 6 k + 4 = 2 · 3 · k + 2 · 2 mindegyike osztható 2-vel, 6 k + 3 = 2 · 3 · k + 3 pedig 3-mal, ezért mindegyiknek van valódi osztója. A hat oszlop közül tehát a második, a harmadik, a negyedik és a hatodik oszlop mindegyikében összetett számok állnak, a 2 és a 3 kivételével. A megmaradó első és ötödik oszlop számai közül az 1-et és az 5-tel vagy 7-tel oszthatókat kell kihúzni, az 5 és a 7 kivételével. Ilyen módon az összes olyan összetett számot kihúztuk, amelynek van 10-nél nem nagyobb prímosztója. Az eddig ki nem húzott számok tehát vagy 10-nél nagyobb prímszámok, vagy csak 10-nél nagyobb prímosztójuk lehetne. A 100-nál nem nagyobb egészek között azonban egy sincs, amelynek két 10-nél nagyobb prímosztója is lenne, hiszen akkor ezek szorzata már 100-nál nagyobb volna. Ezért az összes eddig ki nem húzott szám csak prímszám lehet. (Mivel 11 · 11 = 121, ebből az is következik, hogy az ismertetett módszerrel 120-ig megtalálhatjuk az összes prímet, csupán a 2, a 3, az 5 és a 7 többszöröseinek kiszitálásával.) A 2. tulajdonság több összeadandó esetére is általánosítható: Ha az a pozitív egész szám osztója véges számú pozitív egész számnak, akkor a osztója e számok összegének is.

F E L A DAT Hajni egy olyan számítógépes programocskát írt Bencének, amely a szitamódszer segítségével kilistázza a kijelzőre a prímszámokat. Legfeljebb melyik pozitív egészig találja meg a program az összes prímszámot, ha csak azokat az összetett számokat szitálja ki, amelyeknek van 100-nál kisebb prímosztója?

5 5 . l e c ke

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS

BEVEZETŐ Egy 240 cm széles és 320 cm hosszú szobát akarunk kitapétázni. A tapétát azonos szélességű függőleges csíkokban szeretnénk feltenni minden falra. Maximum milyen széles csíkokat vágjunk, hogy minden falra pontosan egész számú tapétacsík férjen ki? Megoldás Olyan számot keresünk, amely a 240-nek és a 320-nak is osztója. Az ilyen számokat az alábbi listán bekarikáztuk: a 240 osztói: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 a 320 osztói: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320 Mint látható, a legnagyobb ilyen szám a 80. Tehát 80 cm széles csíkokat vágjunk.

ELMÉLET Ha az a pozitív egész szám osztója a b és a c pozitív egész számnak is, akkor ezt a b és a c közös osztójának nevezzük. Bármely két pozitív egész számnak van közös osztója, az 1, de természetesen lehet más közös osztójuk is. Két pozitív egész számnak nem lehet olyan közös osztója, amely nagyobb, mint a két szám bármelyike. Két vagy több pozitív egész szám közös osztói közül a legnagyobbat a számok legnagyobb közös osztójának nevezzük. Ha két pozitív egész számnak egyetlen közös osztója van (az 1), akkor ezeket relatív prím számoknak mondjuk. Például a 18 és a 120 a 22 és a 75

közös osztói: egyetlen közös osztója az 1;

1, 2, 3, 6; ezek tehát relatív prímek.

F E L A DAT

Bencének egy 84 cm × 126 cm-es téglalapot egyforma méretű négyzetekre kell felosztania úgy, hogy a négyzetek oldala is csak egész cm hosszúságú lehet. a) Add meg az összes felosztási lehetőséget! b) Mennyi a legtöbb és mennyi a legkevesebb négyzet, ami a felosztás során keletkezhet?

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

P É L DA Hajni iskolája rajzversenyt szervez. A beérkező anyagoktól függően majd 6, 8 vagy 10 kategóriában osztanak ki jutalmakat, mindegyik kategóriában ugyanakkora összeget. Az iskola alapítványától 100 ezer és 200 ezer forint közötti összegre pályázhatnak. Hajnira bízzák, számítsa ki, hány forintot kérjenek. Hajni kerek ezreseket szeretne adni az egyes kategóriák jutalmazására. Mekkora a legkisebb öszszeg, amelyet meg kell pályázniuk? Megoldás Az összes kategóriában kiosztott jutalom többszöröse a 6-nak, a 8-nak és a 10-nek is. A 6 és a 8 közös többszörösei: 24, 48, 72, 96, 120, 144, … . Közülük a 120 osztható 10-zel is, ez a 6, a 8 és a 10 legkisebb közös többszöröse. Tehát legalább 120 ezer forintot kell kérni az alapítványtól. Ekkor egy-egy kategória jutalmazására 6 kategória esetében 20 000 forint, 8 kategória esetében 15 000 forint, 10 kategória esetében 12 000 forint jut.

Hajni megmutatta számításait a rajztanárnőnek, aki rövid gondolkodás után rájött, hogy még nagyobb összeget is eloszthatnának a szabályoknak megfelelően, ha nem ragaszkodnak az „egész ezresekhez”, csak az egész forintokhoz. Mekkora lehet a megpályázható legnagyobb összeg, és mennyit kapnak ebben az esetben a díjazottak? Megoldás A legnagyobb összeg a 120-nak az a legnagyobb többszöröse, ami még belefér a megpályázható összegbe: 200 000 : 120 ≈ 1666,7, tehát 1666 · 120 = 199 920 forintot kell megpályázni. Ebben az esetben az egy kategóriára jutó összeg: 6 kategória esetében 199 920 : 6 = 33 320 forint, 8 kategória esetében 199 920 : 8 = 24 990 forint, 10 kategória esetében 199 920 : 10 = 19 992 forint.

ELMÉLET Ha az a pozitív egész szám többszöröse a b és a c pozitív egész számnak is, akkor ezt a b és a c közös többszörösének nevezzük. Bármely két pozitív egész számnak van közös többszöröse, például a két szám szorzata, de természetesen van sok más közös többszörösük is. Például a 18 és a 120 közös többszörösei: 360, 720, 1080, … ; a 22 és a 75 közös többszörösei: 1650, 3300, 4950, … . Két vagy több pozitív egész szám közös többszörösei közül a legkisebbet a számok legkisebb közös többszörösének nevezzük. Például A számok

A legnagyobb közös osztó

A legkisebb közös többszörös

4 és 15

8 és 24

24 és 36

24, 180 és 420

2520

5 6 . l e c ke

L E G N AGYO B B K Ö Z Ö S O S Z T Ó , L E G K I S E B B K Ö Z Ö S T Ö B B S Z Ö R Ö S

ELMÉLET Idézzük fel a korábban tanultakat! Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztóját így is meghatározhatjuk: a számokat felírjuk prímszámok szorzataként, és a közös prímtényezőket az előforduló legalacsonyabbik hatványon összeszorozzuk. Például 18 = 2 · 3 2, 60 = 2 2 · 3 · 5, 222 = 2 · 3 · 37, 512 = 2 9, ezért a 18 és a 60 legnagyobb közös osztója: 2 · 3 = 6; a 60 és az 512 legnagyobb közös osztója: 2 2 = 4; a 18, a 60, a 222 és az 512 legnagyobb közös osztója: 2. Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét így is meghatározhatjuk: a számokat felírjuk prímszámok szorzataként, és az összes szereplő prímtényezőt az előforduló legmagasabb hatványon összeszorozzuk. Például 18 = 2 · 3 2, 60 = 2 2 · 3 · 5, 222 = 2 · 3 · 37, 512 = 2 9, ezért a 18 és a 60 legkisebb közös többszöröse: 2 2 · 3 2 · 5 = 180; a 60 és az 512 legkisebb közös többszöröse: 2 9 · 3 · 5 = 7680; a 18, a 60, a 222 és az 512 legkisebb közös többszöröse: 2 9 · 3 2 · 5 · 37 = 852 480.

F E L A DAT

Bencének 84 cm × 126 cm-es téglalapokból egy négyzetet kell kiraknia úgy, hogy a téglalapok hoszszabb oldalai mind párhuzamosak legyenek. a) Mennyi a legkevesebb téglalap, amellyel megoldható a feladat? b) Mekkora a legkisebb kirakható négyzet oldala? c) Adj meg két másik lehetőséget is!

Prímtényezőkre bontás segítségével határozd meg az 1995 és a 3325 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!

Add meg n és m legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét, ha a) n = 3 4 és m = 3 7; b) n = 3 4 · 5 és m = 3 7 · 11; c) n = 3 4 · 5 3 és m = 3 7 · 5 2 · 11!

H Á Z I F E L A DAT

Egy 3,3 m × 4,2 m-es téglalap alakú helyiség padlóját azonos méretű, négyzet alakú járólapokkal szeretnénk burkolni úgy, hogy a lehető legkevesebb darab járólapra legyen szükség. Mekkorának válasszuk a járólap méreteit, ha az oldalhossza csak egész számú cm lehet? (A járólapok hézagtalanul illeszkednek egymáshoz.)

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Internetes aukciós oldalakon (mint pl. az eBay.com vagy a Vatera.hu) rendszerint megadhatjuk, hogy az egyes meghirdetett árucikkek mennyi ideig legyenek elérhetőek. Beállíthatjuk azt is, hogy ha a megadott időtartam alatt nem kel el a termék, akkor a rendszer újra meghirdeti azt, ugyanolyan időtartamra. Tegyük fel, hogy egyszerre hirdetjük meg a régi kenyérpirítónkat 8 napos ciklussal és a megunt számítógépes játékunkat 6 napos ciklussal. Legközelebb hány nap múlva indul egyszerre a két aukció, ha közben egyiket sem vették meg?

Adj meg egy olyan számot, amelynek a 24-gyel vett a) legnagyobb közös osztója 6; b) legkisebb közös többszöröse 72; c) legnagyobb közös osztója 8 és legkisebb közös többszöröse 48!

Magyarországon az országgyűlési képviselőket 1990 óta négyévente választják. A köztársasági elnököt ugyanettől az évtől ötévente.

a) Legközelebb mikor fogjuk mindkét választást ugyanabban az évben tartani? b) Az Európai Parlament képviselőit is öt évre választják meg, Magyarország először 2004-ben küldhetett képviselőket. Legközelebb mikor tartunk ugyanabban az évben magyar és európai parlamenti választásokat?

c) Ha nem történik változás, legközelebb mikor fogjuk ugyanabban az évben tartani mindhárom választást?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Lehetséges, hogy a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös meghatározásához nem kell ismernünk a számok prímtényezős felbontását. Ilyen eset például, ha a két pozitív egész szám egyike osztója a másiknak, vagy a két pozitív egész szám relatív prím.

ELMÉLET Ha a osztója b-nek, akkor a és b legnagyobb közös osztója az a szám, és legkisebb közös többszöröse a b szám. Például a 9 osztója a 36-nak, ezért e két szám legnagyobb közös osztója a 9, a legkisebb közös többszöröse a 36. Ha az a és a b relatív prím számok, akkor a és b legnagyobb közös osztója 1, és legkisebb közös többszöröse a · b. Például a 12 és a 25 relatív prímek, ezért a legnagyobb közös osztójuk 1, és legkisebb közös többszörösük 12 ∙ 25 = 300.

F E L A DAT Határozd meg az alábbi számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! a) 2 3 · 5 7 és 2 5 · 3 · 5 8 c) 2 3 · 5 7; 2 2 · 5 3; 2 4 · 5 8 e) 39 és 351 3 7 2 4 b) 2 · 5 és 3 · 11 · 19 d) 740 és 63 f) 12, 36 és 144

5 6 . l e c ke

L E G N AGYO B B K Ö Z Ö S O S Z T Ó , L E G K I S E B B K Ö Z Ö S T Ö B B S Z Ö R Ö S

OSZTHATÓSÁGI FELADATOK

ELMÉLET Néhány egyszerű oszthatósági szabályt már az általános iskolában megismertünk. Azok és csak azok a pozitív egész számok oszthatók 2-vel, amelyeknek az utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8. Ezeket a számokat, az ellentettjüket és a 0-t együtt páros számoknak, a nem páros egész számokat pedig páratlan számoknak nevezzük. Azok és csak azok a pozitív egész számok oszthatók – 3-mal, amelyekben a számjegyek összege osztható 3-mal; – 4-gyel, amelyekben az utolsó két jegyből álló szám egy természetes szám négyszerese; – 5-tel, amelyeknek az utolsó számjegye 0 vagy 5; – 6-tal, amelyek 2-vel is és 3-mal is oszthatók; – 8-cal, amelyekben az utolsó három jegyből álló szám egy természetes szám 8-szorosa; – 9-cel, amelyekben a számjegyek összege osztható 9-cel; – 10-zel, 100-zal, 1000-rel, … (10 n-nel), amelyeknek az utolsó 1, 2, 3, … (n) számjegye 0; – 25-tel, amelyekben az utolsó két számjegy 00, 25, 50 vagy 75. Például a 4356 osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 9-cel, de nem osztható 5-tel, 8-cal, 10-zel, 25-tel, 100-zal; a 72 000 osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 25-tel, 100-zal, 1000-rel.

CSOPORTMUNKA

Egy áruházlánc központi raktárában 5 × 15 × 20 cm méretű bonbonosdobozokat szeretnének nagy kartondobozokba csomagolni. Ezeket a bonbonosdobozoknak teljesen ki kell tölteniük, függetlenül attól, hogy melyik lapjukra állítva kezdték belerakni őket. Legalább mekkora legyen a kartondoboz hosszúsága, szélessége és magassága? Feltesszük, hogy mindegyik bonbonosdobozt ugyanolyan állásban helyezik el, mint a legelsőt.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Bontsd fel az 1260 számot prímtényezők szorzatára, és a prímtényezőkből állítsd össze az 1260 összes osztóját! Sikerült megtalálnod mind a 36 osztót?

Pierre Fermat francia jogász és matematikus 1636ban fogalmazta meg a később róla elnevezett „kis Fermat-tétel”-t: Ha p prímszám, a pedig tetszőleges pozitív egész, akkor az a p – a szám osztható p-vel. Ellenőrizd az állítás helyességét a következő esetekben! a = 2 és p = 3 a = 2 és p = 5 a = 3 és p = 3 a = 3 és p = 5 a = 4 és p = 3 a = 4 és p = 5 Számológéppel ellenőrizd az állítást néhány nagyobb számra is! a = 4 és p = 7 a = 5 és p = 13 a = 8 és p = 11

Egy hétvégi családi akadályverseny-sorozat első versenyére 144 család jelentkezett előzetesen, a másodikra csak 120, a harmadikra pedig 100. A szervezőknek olyan csoportokat kell alkotniuk, amelyek mindegyikében ugyanannyi család van, hogy egyik csoport se tartsa fel a többit egyetlen feladatnál sem. Mi legyen a maximális csoportméret, ha azt akarjuk, hogy egyetlen benevezett család se maradjon ki egyik hétvégén sem, akár 144, akár 120, akár 100 versenyző család indul?

57. l e c ke

O S Z T H AT Ó S Á G I F E L A DAT O K

Igazak-e az alábbi állítások? Válaszodat indokold! a) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor a négyzete is osztható 3-mal. b) Ha egy szám négyzete osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal. c) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor a négyzete osztható 9-cel. d) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor a négyzete is osztható 4-gyel. e) Ha egy szám négyzete osztható 4-gyel, akkor a szám is osztható 4-gyel. f) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor a négyzete osztható 16-tal. g) A 10 minden 1-nél nagyobb kitevőjű hatványa osztható 25-tel. h) Bármely három egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható 6-tal. i) Bármely öt egymást követő pozitív egész szám szorzata 0-ra végződik. j) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor az azt követő második legkisebb páros szám is osztható 4-gyel. k) Ha egy összetett szám osztható 3-mal, akkor azt tetszőleges módon két pozitív egész tag összegére bontva, e tagok is oszthatók lesznek 3-mal. l) Ha egy összetett szám osztható 3-mal, akkor azt tetszőleges módon két pozitív egész tényező szorzatára bontva, e tényezők is oszthatók lesznek 3-mal.

H Á Z I F E L A DAT

Páros vagy páratlan a) két páros szám összege; b) két páratlan szám összege; c) egy páros és egy páratlan szám összege; d) két páratlan szám szorzata; e) két páros szám szorzata; f) egy páratlan és egy páros szám szorzata?

Mekkora maradékot adnak a 2-vel, a 3-mal, a 4-gyel, az 5-tel, a 6-tal, illetve a 10-zel való osztásnál a következő számok? a) 630 b) 306 c) 968 d) 1395

Bence azt állítja, hogy egy legalább 2-jegyű pozitív egész szám ugyanannyi maradékot ad 3-mal osztva, mint a számjegyeinek összege. Hajni ezt el is hitte, és azt mondta, hogy ez a 9-re is igaz. Egyetértesz-e Bencével és Hajnival?

Hajni meghívta Mártit, Dórit, Annát és Barbarát is a születésnapjára. Hajni mindegyiküket ismeri, de azt nem tudja, hogy a négy meghívott lány ismeri-e egymást. Mely esetek lehetségesek a négy lányra vonatkozóan az alábbiak közül, és melyek nem? Indokold a válaszaidat (rajzolj gráfokat)! a) Márti csak Dórit ismeri, a többieknek egynél több ismerősük van. b) Márti három lányt ismer, a többieknek csak két-két ismerősük van. c) Ha összeadjuk az ismeretségek számát, akkor 12-t kapunk eredményül. d) Ha összeadjuk az ismeretségek számát, akkor 9-et kapunk eredményül.

Egy áruházlánc központi raktárában 4 × 16 × 20 (cm) méretű bonbonosdobozokat szeretnének nagy kartondobozokba csomagolni. A bonbonosdobozoknak teljesen ki kell tölteniük a kartondobozokat, függetlenül attól, hogy melyik lapjukra állítva kezdték berakni őket. Minden dobozt ugyanolyan állásban helyeztek el, mint a legelsőt. a) Legalább mekkora legyen a kartondoboz hoszszúsága, szélessége és magassága? b) Hány doboz fér el a legkisebb megfelelő dobozban? c) Ha valamiért mégsem a legkisebb megfelelő dobozt használják, akkor mekkora a következő „legkisebb méretű” megfelelő doboz, és ebben hány bonbonosdoboz fér el?

RÁADÁS

A 7-tel való oszthatóság ellenőrzése Háromjegyű számokhoz jó módszer a következő: hagyjuk el az egyesek helyén álló számjegyet, majd az így kapott kétjegyű számból vonjuk le az elhagyott számjegy kétszeresét. Ha az eredményül kapott szám egy egész szám 7-szerese, akkor az eredeti háromjegyű szám is az; ha nem, akkor az eredeti sem. E szabály alapján állapítsd meg, hogy a számok közül melyik osztható 7-tel! 352, 805, 959, 410

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Oszthatóság 11-gyel A következő számok mind oszthatók 11-gyel: 10 + 1, 100 – 1, 1000 + 1. a) Folytasd a megkezdett sorozatot, és ellenőrizd számológéppel, igaz marad-e a 11-gyel való oszthatóság! b) Melyik osztható 11-gyel: 10 4 + 1; 10 4 – 1; 10 5 + 1; 10 5 – 1; 10 9 + 1; 10 9 – 1? c) Ellenőrizd, hogy helyes-e a következő gondolatmenet! 247 = 2 · 10 2 + 4 · 10 1 + 7 = 2 · 99 + 2 + 4 · 11 – 4 + 7. Tehát 247 = 2 · 9 · 11 + 4 · 11 + 2 – 4 + 7 = 22 · 11 + (2 – 4 + 7). Mivel 2 – 4 + 7 = 5, ezért a 247-et 11-gyel elosztva 5 maradékot kapunk. A 247 tehát nem osztható 11-gyel. d) Vizsgáljuk az 572-t 11-gyel való oszthatóság szempontjából. Mivel 5 – 7 + 2 = 0, a c) feladat alapján azt gondolhatjuk, hogy 11 | 572. Mutasd meg, hogy helyes a sejtés (írd fel az 572-t úgy, ahogyan a c)-ben a 247-et)! e) Számológép és a 11-gyel való osztás elvégzése nélkül mutasd meg, hogy a következő számok mind oszthatók 11gyel! 352, 3190, 5599, 6391

Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 11-gyel, ha a számjegyeit váltakozó előjellel összeadva olyan számot kapunk, amely egy egész szám 11-szerese.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG

Igazoljuk, hogy 5 egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható 120-szal!

Megoldás 120 = 2 3 · 3 · 5, tehát az 5 egymást követő egész szám szorzatában legalább háromszor kell előfordulnia a 2, egyszer a 3 és egyszer az 5 prímtényezőnek. Minden ötödik pozitív egész szám osztható 5-tel, tehát az 5 egymást követő szám között az egyik éppen ilyen. Ebben megtalálható az 5 prímtényező. Minden harmadik pozitív egész szám osztható 3-mal, tehát az 5 egymást követő szám között legalább az egyik ilyen. Ebben megtalálható a 3 prímtényező. Minden második pozitív egész szám osztható 2-vel, és minden második páros szám osztható 4-gyel. Az 5 egymást követő szám között tehát legalább az egyik osztható 4-gyel, egy másik pedig 2-vel. Ebből a két számból kapunk három 2 prímtényezőt.

57. l e c ke

O S Z T H AT Ó S Á G I F E L A DAT O K

Legyen az n egy 1-nél nagyobb, 3-mal nem osztható páratlan szám. Keresd meg az n két szomszédját! Bizonyítsuk be, hogy ezeknek a szorzata osztható 24gyel!

Igazold, hogy bármely két pozitív egész szám szorzata ugyanannyi, mint a legnagyobb közös osztójuk és a legkisebb közös többszörösük szorzata!

Egy ötjegyű szám első számjegye nagyobb, mint az utolsó. Igazold, hogy ha ebből a számból kivonjuk a fordítottját, akkor 9-cel osztható számot kapunk!

Mely számok esetében igaz, hogy ha kivonjuk belőle a fordítottját, akkor 9-cel osztható számot kapunk?

SZÁMRENDSZEREK

BEVEZETŐ Bencéék osztálykiránduláson ellátogattak egy csokigyárba. Bencének nagyon tetszett egy automata csomagológép. Sokáig figyelte, hogyan működik. A gép 12 csokoládébonbont tett egy kisebb díszdobozba, majd 12 díszdobozt egy nagyobb kartondobozba. A gépen egy számláló jelezte, hogy hány bonbon érkezett (az előző munkafázis után) a csomagológépbe. Bence megfigyelte, hogy a kijelző azt mutatja, hogy 1347 szem bonbon került aznap reggel a csomagológépbe. Hány díszdoboz, és hány kartondoboz telt meg ezekkel a bonbonokkal? 12 bonbon tesz ki egy tucatot, 12 díszdoboz (egy karton) an. pedig egy nagytucatot. A nagytucatban 12 · 12 = 144 bonbon van. nt, és ma1347 : 12 = 112, tehát a gép 112 díszdobozba tett 12-12 bonbont, radt még 3 bonbon. 14 27 3 Hány kartondoboz telt meg a díszdobozokkal? 112 : 12 = 9, tehát megtelt 9 karton és maradt 4 díszdoboz. 4 Az 1347 bonbon kitett 9 kartont, 4 díszdobozt és 3 bonbont. Másképp: 1347 bonbon = 9 nagytucat + 4 tucat + 3 darab Bence egy táblázatba feljegyezte, hány kartondoboz lett tele, hány díszdoboz maradt, amely nem tett ki egy kartont, és hány bonbon maradt.

Kartondobozok száma

Díszdobozok száma, amelyek nem kerültek kartonba

Bonbonok száma, amelyek nem kerültek dobozba

A táblázat alapján Bence ezt írta fel a bonbonok számára: 94312. Miért? Bence a 12-es számrendszerben adta meg a bonbonok számát. A szám megadásakor jelezte a csoportosítás alapszámát: ez a 12. A 94312 tehát a következőt jelenti: 3 bonbon maradt, amely nem tett ki egy díszdobozt, a kartondobozokon kívüli díszdobozokban pedig 4 · 12 bonbon van. Egy kartondobozban összesen 12 · 12 = 12 2 bonbon van, a 9 kartonban összesen 9 · 12 2. Bence tehát a 9 ∙ 12 2 + 4 · 12 + 3 összeget írta fel így: 94312. A 10-es számrendszerben a bonbonok számát így írjuk le: 1347. Ezt mi így értjük: 1347 = 1 ∙ 10 3 + 3 ∙ 10 2 + 4 ∙ 10 1 + 7. Vagyis 7 egyes, 4 tízes, 3 százas és 1 ezres csomagban van összesen annyi bonbon, ami a gépbe eddig bekerült. Ennyi bonbont jelent a 94312 jelölés is, ezért 94312 = 1347.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

F E L A DAT

Egy másik fajta bonbonból 8 kerül egy díszdobozba, és 8 díszdoboz egy kartonba. Bence a bonbonok számát így adta meg: 7258.

Hány bonbont jelzett a számláló? A bonbonok számát add meg 10-es és 12-es számrendszerben is!

ELMÉLET A pozitív egész számokat helyi értékes rendszerben, a tízes számrendszer szerint szoktuk felírni. Ehhez 10 jelet használunk, a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeket. Mi a tízes számrendszer lényege? Ha sok megszámlálni való „dolog” van, akkor azokat tízesével csoportosítjuk, és feljegyezzük, hány darab maradt ki a csoportosításból. Például 66 = 6 · 10 + 6; 15 823 = 1 · 10 000 + 5 · 1000 + 8 · 100 + 2 · 10 + 3 = 1 · 10 4 + 5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 + 3.

Hasonló a többi számrendszer alapelve is. Minden számrendszerben annyi számjegyre van szükség, amennyi a számrendszer alapszáma. Például a kettes számrendszerben két számjegyre van szükség; ezek lehetnek a szokásos értelemben használt 0 és az 1 is; a nyolcas számrendszerben nyolc számjegyre van szükség; ezek lehetnek a szokásos értelemben használt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7. Ha egy számot a 10-estől eltérő számrendszerben írtunk fel, azt a számjegyek után alul, egy kisebb számmal jelöljük. Például 201234 azt jelenti, hogy itt egy 4-es számrendszerben felírt számról van szó. A kettes számrendszer tudományos alkalmazása Neumann János (1903–1957) világhírű matematikus nevéhez fűződik. Ő alkotta meg ennek segítségével a számítógépek alapjául szolgáló elméletet. Élete nagy részét Németországban és az Egyesült Államokban töltötte, de Budapesten doktorált. A matematika számos ágával foglalkozott kiemelkedő eredménnyel, tudásával a gyakorlati életet kívánta szolgálni.

5 8 . l e c ke

SZÁMRENDSZEREK

P É L DA Bence hozott kóstolót a csokoládéból, majd elmesélte otthon, hogyan működik a csomagológép, és hogyan írta fel a bonbonok számát. Csilla játékból utánozza a gépet, ő a dobókockáit csoportosítja. Kettesével képez nagyobb csoportokat. Két kockát egy párnak nevez, két párt egy kupacnak, két kupacot egy halomnak és két halmot egy csomónak. Végül, még Bence jelölését is utánozva, ezzel a jelsorozattal írja le a megtalált kockáinak számát: 101112. Megtalálta-e Csilla mind a 25 dobókockáját? Megoldás Készítsünk táblázatot! Hány kockából áll egy csoport?

Csomó 2 · 23 = 24

Halom 2 ∙ 22 = 23

Kupac 2 ∙ 2 = 22

Pár 2

Magányos 1

Hány van belőle?

Csilla tehát 1 csomó + 1 kupac + 1 pár + 1 magányos = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 kockát talált meg, vagyis összesen 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 darabot. Még két kocka hiányzik.

F E L A DAT

Csilla végül megtalálja mind a 25 dobókockáját. Hogyan írhatná fel a saját „kettes számrendszerét” használva a kockák számát?

Add meg 10-es számrendszerben a következő számokat! a) 102 e) 1002 i) 10002 b) 103 f) 1003 j) 10003 c) 108 g) 1008 k) 10008 d) 1025 h) 10025 l) 100025

Írd fel 4-es és 8-as számrendszerben is a 25-öt!

A legnagyobb „8-bites szám” az 111111112. Menynyi ez a 10-es számrendszerben felírva?

Végezd el a következő összeadásokat! Az eredményt ugyanabban a számrendszerben add meg, amelyben az összeadandók vannak megadva! a) 1112 + 12 = c) 5556 + 16 = b) 2223 + 13 = d) 999 + 1 =

H Á Z I F E L A DAT

A csomagológép különböző fajta bonbonokat különböző csoportosítás szerint dobozol. Hány bonbont csomagolt összesen, ha Bence így jegyezheti le: 10006 + 1008 + 1012? Igazak-e a következő kijelentések? a) 100 = 1448 b) 100 = 11001002 c) 100 = 8412

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

RÁADÁS Ha n az 1-nél nagyobb egész szám, akkor létezik n-es számrendszer. Ebben n jelet használunk. Ha n < 10, akkor általában a 0, 1, 2, 3, 4, …, n – 1 számjegyeket használjuk. Ha n > 10, akkor a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeken kívül még más jeleket is be kell vezetni. Például a 10-et A-val, a 11-et B-vel, a 12-t C-vel, … jelölhetjük. A számítástechnikában, informatikában az adatokat 1-ek és 0-k sorozataként kezelik. Erre azért van szükség, mert a számítógépek csak két állapotot ismernek fel: a „van jel” (1) és a „nincs jel” (0) állapotát. Az információ tárolása is ilyen módon történik; a lemez megfelelő szakasza vagy mágnesezett (1), vagy nem (0). A CD/DVD-lemez tükörfelülete vagy visszaveri a lézersugarat az érzékelőbe (1), vagy nem (0). Különböző számokat a kettes számrendszer segítségével tudunk 1-ek és 0-k sorozatára átírni. Mennyi az 100110102 szám a tízes számrendszerben felírva? Helyi érték

Alaki érték

Valódi érték

128

Ez a szám a tízes számrendszerben: 128 + 16 + 8 + 2 = 154. A kettes számrendszerben felírt számokkal az a legnagyobb probléma, hogy nagyon hosszúak. Írjunk fel egy olyan, viszonylag nem túl nagy számot, mint a 6700, a kettes számrendszerben! 6700 = 4096 + 2048 + 512 + 32 + 8 + 4. Helyiérték-táblázattal: Helyi érték Valódi érték Alaki érték

2 12

2 11

2 10

4096 2048 1

512

Tehát 6700 = 11010001011002. Ez 13 számjegy! Elterjedt ezért egy másik, a 16-os (hexadecimális) számrendszer használata is. Ebben a számrendszerben a hagyományos 10 számjegynél többre van szükség, így az ábécé betűit is segítségül hívták: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. 6700-at a 16 hatványaival felírva a következőt kapjuk: 6700 = 1 · 4096 + 10 · 256 + 2 · 16 + 12 · 1. Helyiérték-táblázattal: Helyi érték

16 3

16 2

16 1

Valódi érték

1 · 4096

10 · 256

2 · 16

12 · 1

Alaki érték

Tehát 670010 = 1A2C16. Ez mindössze 4 számjegy!

5 8 . l e c ke

SZÁMRENDSZEREK

CSOMAGOLUNK

P É L DA

Írjuk át a 201234 számot 10-es számrendszerben!

Megoldás Készítsünk helyiérték-táblázatot, ebbe írjuk be az adott számjegyeket! Helyi érték

2 2 · 4 = 512

Alaki érték 4

Valódi érték

2·4 = 8

0·4 = 0

1 · 4 = 16

Eszerint 201234 = 512 + 16 + 8 + 3 = 539.

Írjuk fel a 315-öt 6-os számrendszerben!

Megoldás Képzeljük el, hogy 315 golyót hatosával csoportosítunk. 6-6 golyót celofánba csomagolunk, 6-6 kis csomagot papírzacskókba teszünk, 6-6 zacskót pedig szatyrokba. Így egy zacskóban 6 2 = 36 golyó lesz, egy szatyorban pedig 6 3 = 216. Hány szatyor és hány zacskó telik meg? Első módszer 315 = 52 · 6 + 3, tehát 52 kis csomagunk, vagyis hatos csoportunk lesz, és kimarad 3 golyó. 52 = 8 · 6 + 4, tehát 8 zacskó telik meg, vagyis 8 harminchatos csoportunk lesz, és kimarad 4 kis csomag (hatos csoport). 8 = 1 · 6 + 2, tehát a 8 zacskóval 1 szatyrot tudunk megtölteni: 1 kétszáztizenhatos csoportunk lesz, és kimarad 2 zacskó (harminchatos csoport). 216-os

36-os

6-os

1-es

Tehát 315 = 1 · 216 + 2 · 36 + 4 · 6 + 3 = 1 · 6 3 + 2 · 6 2 + 4 · 6 + 3, vagy röviden: 315 = 12436. Második módszer Megtöltünk 1 szatyrot 216 golyóval, marad 315 – 216 = 99 golyó. 99 = 2 · 36 + 27, ezért a 99 golyóval 2 zacskót tölthetünk meg, és marad 27 golyó. 27 = 4 · 6 + 3, ezért 4 kis csomagot készíthetünk, és marad 3 golyó. A vastagon írt számokat egymás mellé helyezzük. Így kapjuk meg, hogy 315 = 12436.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

F E L A DAT

Írd fel a 20-nál nem nagyobb pozitív egész számokat kettes, hármas, négyes és ötös számrendszerben! Töltsd ki a táblázatot a füzetedben!

A 315 golyót másképp csomagoljuk. 8 golyóval egy kis csomagot, 8 kis csomaggal egy zacskót, 8 zacskóval egy dobozt töltünk meg. a) Hány golyó fér egy zacskóba, és mennyi egy dobozba? b) Melyikből mennyi lesz? c) Írd fel nyolcas számrendszerben a 315-öt!

a) Írd fel az 10111011112 számot 10-es számrendszerben! b) Írd fel a 491-et kettes számrendszerben!

Végezd el a szorzásokat! Az eredményt is kettes számrendszerben add meg! a) 1012 · 102 = c) 1012 · 10002 = b) 1012 · 1002 = d) 1012 · 1000002 =

A négyes számrendszerben melyik a legnagyobb négyjegyű szám? Számold át ezt tízes számrendszerbe és kettes számrendszerbe!

Egy 4-es számrendszerben felírt négyjegyű szám első számjegye 3, második számjegye 1. Milyen lehet ennek a számnak a tízes számrendszerbeli alakja?

Számrendszer alapszáma 10-es számrendszerben felírt szám

2 3 4 5

10 101

10 20

7 8

9 10

1010

101

110

13 14

1111

10000

100

17 18

200

19 20

110

H Á Z I F E L A DAT

A magyar kártya lapjainak száma 32. Írd fel ezt a számot kettes, négyes, nyolcas, tizenhatos és 32-es számrendszerben is!

A számítógép összeadásokat végez. Melyik két számot adta össze, és mi lett az összeadás eredménye? Jól számolt a gép? a) 100012 + 100102 = 1000112 b) 1010102 + 1001112 = 10100012

a) A 77 magyar népmese című könyvet lehetne-e ezzel a címmel is kiadni: 1407 magyar népmese?

5 9 . l e c ke

C S O M AG O L U N K

b) „A 145 kiskutya”. Melyik számrendszerben írták fel a kedves rajzfilm címét? c) Hány éjszaka az 1001 éjszaka, ha a felírt jelsorozat kettes számrendszerben értendő?

Írd fel a 813-at kettes számrendszerben!

Az ötös számrendszerben végezték el az alábbi szorzást. Sajnos az egyik számjegyet nem jól állították be, azt nem ismeri fel a számítógép, és # jelet ír helyette. Mi az ismeretlen számjegy? 4#205 ∙ 305 = 224#005

RÁADÁS A kettes számrendszerben felírt hosszú számok az emberek számára nehézkesen kezelhetők. Ezért is van nagy jelentősége annak, hogy ezeket a számokat meglehetősen könnyű a jóval kevesebb jegyű négyes, nyolcas vagy éppen 16-os számrendszerbe felírni. Ez utóbbit kedvelik a programozók is. Nézzük, hogyan lehetségesek az átváltások! Figyeljük meg a táblázatban mutatkozó szabályosságot!

Kettes

Négyes

1 3

Tehát 1100001112 = 120134. Négyes

Kettes

Négyes számrendszer

Kettes számrendszer

Hosszabb, kettes vagy négyes számrendszerben felírt számra is ugyanígy használható a módszer.

0 1

1 0

2 1

Tehát 30124 = 110001102. A nyolcas számrendszerre való átváltáshoz („hátulról kezdve”) hármasával kell csoportosítani a kettes számrendszerben felírt számot, a 16-os számrendszerhez pedig négyesével. Például írjuk fel az 11101111000101012 számot 8-as és 16os számrendszerben is!

2-es

8-as

2-es

6 1

16-os

7 0

2 0

5 0

Tehát 11101111000101012 = 1674258 = EF1516. (Itt E-vel a 14-et, F-fel a 15-öt jelöltük.) A módszer „visszafelé” is működik. Például:

A kettes számrendszerben felírt szám számjegyeit „hátulról” elindulva kettes csoportokba osztjuk. A kettes csoportban látható kétjegyű számnak a négyes számrendszerben 0, vagy 1, vagy 2, vagy 3 felel meg. Semmi mást nem kell tennünk a négyes számrendszerre való áttéréshez, mint ezeket a számjegyeket rendre egymás mellé írni: Kettes

Négyes

1 3

Tehát 10112 = 234. A módszer természetesen „visszafelé” is működik. Négyes Kettes

1 0

2 1

Tehát 124 = 1102 (a kezdő 0-t nem írtuk ki).

16-os 2-es

7 0

A 1

D 1

Tehát 7AD16 = 111101011012 (a kezdő nullát, nullákat nem írjuk le). (A = 10 és D = 13.) A kettes számrendszerben dolgozó számítógépek egyszerre csak két számot képesek összeadni, és ezt az összeadást úgy végzik, ahogyan mi a tízes számrendszerben papíron összeadunk: Az egyesek helyi értékén álló számjegyeket összeadjuk (az összeadás eredménye 0 és 18 között lehet), az eredmény utolsó számjegyét leírjuk. Ha elértük vagy átléptük a 10-et, akkor a következő oszlop összeadásának eredményéhez hozzáadunk 1-et (az összeg tehát 0 és 828 +253 19 között lehet). Az utolsó jegyet ismét leírjuk 1081 stb.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

A számítógép is így ad össze, csak kettes számrendszerben az összeadás meglepően gyorsan megy. Ha egy helyi értéken két 0-t kell összeadni, akkor az eredmény is 0. Ha egy 0-t és egy 1-et adunk össze, akkor az eredmény 1. Ha pedig két 1-est adunk össze, akkor az 2, ami a kettes számrendszerben az adott helyi értéken 0-t, az eggyel nagyobb helyi értéken pedig + 1-et jelent (akárcsak a 10 a tízes számrendszerben).

1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 (Ez az összeadás a tízes számrendszerbeli 108 + 42 = 150 műveletnek felel meg.)

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

A 12-es számrendszerben 12 számjegyre van szükség. Ezek a következők: a szokásos tíz számjegy 0-tól 9-ig (a szokásos jelentéssel), továbbá az A és a B a tíz és a tizenegy jelölésére. Írjuk fel a következő számokat 10-es számrendszerben! b) 4B712 c) BBB12 a) A512

Megoldás a) A512 = 10 · 12 + 5 = 125. b) 4B712 = 4 ∙ 12 2 + 11 ∙ 12 + 7 = = 576 + 132 + 7 = 715. c) Szokásos módszer: BBB12 = 11 ∙ 12 2 + 11 ∙ 12 + 11 = = 1584 + 132 + 11 = 1727.

Egy másik teremben lévő csomagológép 12-es csoportosítás szerint dolgozik. Bence így jegyezte fel a bonbonok számát: BAB12. a) Hány bonbon került a gépbe? b) Igaz-e, hogy BAB12 = 100012 – 1112?

Írd fel a 813-at 12-es számrendszerben!

Végezd el a szorzásokat! Az eredményt is hármas számrendszerben add meg! a) 213 · 103 = c) 213 · 10003 = b) 213 · 1003 = d) 213 · 100003 =

„Ügyes” módszer: BBB12 + 112 = 100012 = 12 3 = 1728, tehát BBB12 = 12 3 – 1 = 1727.

5 9 . l e c ke

C S O M AG O L U N K

RACIONÁLIS SZÁMOK

ELMÉLET Pontosítsuk a számokról korábban szerzett ismereteinket! Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. Az egész számok is racionális számok, mert felírhatók két egész szám hányadosaként: 5 = 15 : 3; 0 = 0 : 7 stb. 2 –7 16 35 A racionális számok felírhatók tört alakban is, például: , stb. , , 3 4 8 12

–8 = (–8) : 1,

Figyeljünk meg olyan törteket, amelyeknél a számláló is és a nevező is pozitív egész szám, és a számláló nagyobb a nevezőnél! Ezek átalakíthatók természetes számmá vagy vegyes számmá (egy egész szám és egy 1-nél kisebb pozitív tört összegévé). A vegyes számban az összeadás jelét nem írjuk ki. 7 4 3 3 3 16 35 24 11 11 11 Például = + = 1 + = 1 ; = 2; = + =2+ =2 . 4 4 4 4 4 8 12 12 12 12 12 A racionális számok halmazának a jele Q, a latin quotiens (ejtsd: kvóciens) szóból, ami hányadost jelent. A pozitív, illetve a negatív racionális számok halmazának a jele Q +, illetve Q –. Két racionális szám összege is, különbsége is, szorzata is racionális szám. Például 2 5 4 15 19 2 5 4 15 11 2 5 10 5 1 3 1 9 10 5 + = + = ; − = − =− ; ⋅ = = ; 5 + 3 = (5 + 3) + + =8+ =8 ; 9 6 18 18 18 9 6 18 18 18 9 6 54 27 12 4 12 12 12 6 1 3 1 9 8 2 1 1 3 61 15 915 305 1 5 − 3 = (5 − 3) + − = 2 − = 2 − = 1 ; 5 ⋅3 = ⋅ = = = 19 . 12 4 12 12 12 3 3 12 4 12 4 48 16 16 Két racionális szám hányadosa is racionális szám, ha az osztó nem 0. Például 2 5 2 6 12 4 : = ⋅ = = ; 9 6 9 5 45 15

1 3 61 15 61 4 61 ⋅ 4 61 61 16 :3 = : = ⋅ = = = =1 . 12 4 12 4 12 15 12 ⋅ 15 3 ⋅ 15 45 45

A 0-val való osztásnak nem adunk értelmet. A fenti számításokban a törtek egyszerűsítését és bővítését is többször alkalmaztuk. Ezt a következő órán fogjuk gyakorolni. Átalakítás tizedes törtté Foglalkozzunk olyan törtekkel, amelyeknek a számlálója is és a nevezője is pozitív egész szám! Ezek mind átalakíthatók egész számmá vagy tizedes törtté úgy, hogy a tört számlálóját elosztjuk a nevezőjével. – Ha a számláló többszöröse a nevezőnek, akkor egész számot kapunk; – ha nem többszöröse, akkor tizedes tört keletkezik. Ez lehet véges tizedes tört vagy szakaszos végtelen tizedes tört.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Például 48 7 = 48 : 6 = 8 (egész szám), = 7 : 4 = 1,75 (véges tizedes tört), 6 4 25 = 25 : 6 = 4,16666… = 4,16 (szakaszos végtelen tizedes tört; a szakasz 1-jegyű), 6 23 1 (szakaszos végtelen tizedes tört; a szakasz 3-jegyű). = 23 : 37 = 0,621621621… = 0, 62 37 A szakaszos végtelen tizedes törtek felírásakor az 1-jegyű szakasz fölé pontot teszünk. Ha több jegyből áll az ismétlődő szakasz, akkor annak az első és az utolsó jegye fölé teszünk pontot. Azok a törtek is átalakíthatók egész számmá vagy tizedes törtté, amelyeknek a számlálója vagy a nevezője (esetleg mindkettő) negatív szám. Például −25 −27 = 4,16, = −0, 7 29. −6 37

F E L A DAT

Melyik szám tizedestört-alakja véges, melyiké végtelen? 1 2 3 4 −5 7 8 9 10 ; ; ; ; ; ; ; a) ; 6 6 6 6 6 6 6 –6 6 44 23 39 −43 35 143 100 ; ; ; ; ; ; b) 6 25 15 125 20 −88 160 1 −5 7 2 2 5 ; 2 + ; 4 + ; 3 ; 105 c) ; 9 9 9 3 9 6

Igazak-e a következő állítások? a) Ha egy tört nevezője osztója az 1000-nek, akkor annak a törtnek a tizedestört-alakja véges. b) Ha egy tört tizedestört-alakja véges, akkor a nevezője osztója az 1000-nek. c) Ha egy tört nevezője osztója a 10 valamelyik hatványának, akkor annak a törtnek a tizedestört-alakja véges. d) Ha egy tört tizedestört-alakja véges, akkor annak a törtnek a nevezője osztója a 10 valamelyik hatványának.

Végezd el a kijelölt műveleteket! 2 a) + 0, 3 c) 1,3. – 0,6. 3 b) 0,6. + 0,1. d) 0,3. · 0,6.

H Á Z I F E L A DAT

Írd fel a következő racionális számok tizedestörtalakját! 3 3 a) c) 8 16 3 3 b) d) 40 80 Írd fel az alábbi számokat tört alakban! a) 1,03 c) 5,3. e) 0,1. . b) 24,07 d) 0,53 f) 0,6.

6 0 . l e c ke

R AC I O N Á L I S S Z Á M O K

e) 0,2. : 0,3.

Alakítsd át a törteket vegyes számmá, a vegyes számokat törtté! 27 27 27 27 27 27 ; ; ; ; ; a) 5 6 7 8 11 12 3 5 1 2 3 2 b) 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 4 6 3 9 7 5

MŰVELETEK TÖRTEKKEL

ELMÉLET Minden racionális számnak megvan a helye a számegyenesen, de ezek a számok nem töltik ki a teljes számegyenest. –1

-3 4

-3 12

1 1000

1 6

1 3

1 2

4 5

10 1 11

6 5

5 46

8 17 5 10

Tört egyszerűsítése

Tört bővítése

A tört számlálóját és nevezőjét egyszerre elosztjuk ugyanazzal a számmal.

Egy tört számlálóját és nevezőjét egyszerre megszorozzuk ugyanazzal a számmal, de nem a 0-val.

Például 10 5 (itt 2-vel egyszerűsítettünk); = 54 27 915 305 (itt 3-mal egyszerűsítettünk); = 48 16 61 ⋅ 4 61 (itt 4-gyel egyszerűsítettünk). = 12 ⋅ 15 3 ⋅ 15

Például 2 4 (itt 2-vel bővítettünk); = 9 18 5 15 (itt 3-mal bővítettünk). = 6 18

P É L DA

Egyszerűsítsük a

45 törtet! 120

Megoldás Első módszer A számláló és a nevező prímtényezős felbontásai: 45 = 3 2 · 5; 120 = 2 3 · 3 · 5. Ezért a legnagyobb közös osztójuk 3 · 5 = 15. 32 ⋅ 5 3 45 = 3 = . Ezek alapján: 120 2 ⋅ 3 ⋅ 5 8 Második módszer Felírjuk egymás mellé a 45-öt és a 120-at. Függőleges vonalat rajzolunk melléjük, ettől jobbra írjuk

45 15 3

120 3 40 5 8

a közös prímtényezőket, amelyekkel elosztjuk a két számot. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg a bal oldalon relatív prím számokat nem kapunk. A függőleges vonal jobb oldalán lévő számok szorzata (3 · 5 = 15) a 45 és a 120 legnagyobb közös osztója, amivel egyszerűsíthetjük a törtet. Az alul kapott 3 és 8 az egyszerűsített tört számlálója, illetve 45 3 nevezője. Tehát = . 120 8 Az egyszerűsítés jó szolgálatot tesz törtek szorzásakor. Ilyenkor elvileg össze kellene szorozni külön a számlálókat és külön a nevezőket, majd a kapott törtet egyszerűsíteni. A gyakorlatban azonban rendszerint „röptében”, azaz már menet közben egyszerűsítünk, hogy elkerüljük a nagy számokkal való műveleteket.

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Végezzük el a

72 60 szorzást, és egyszerűsítsük az ⋅ 120 45

Végezzük el a következő összeadást:

77 88 + ! 120 45

eredményt! Megoldás A formális módszer: 72 = 2 3 · 3 2, 120 = 2 3 · 3 · 5. 60 = 2 2 · 3 · 5, 45 = 3 2 · 5. 2 3 ⋅ 32 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 25 ⋅ 33 ⋅ 5 22 4 72 60 ⋅ = 3 ⋅ 2 = 3 3 2 = = . 5 120 45 2 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 5 2 ⋅3 ⋅5 A gyakorlatban azonban inkább „menet közben” egyszerűsítünk: 4 72 60 9 ⋅ 84 60 ⋅ = ⋅ = . 120 45 2 ⋅ 60 9 ⋅ 5 5

160 8 Végezzük el a : osztást! 99 9

Szokványos megoldás 160 8 160 9 20 ⋅ 8 9 20 : = ⋅ = ⋅ = 99 9 99 8 11 ⋅ 9 8 11 (8-cal és 9-cel egyszerűsítettünk). Ügyes megoldás Itt a 160 többszöröse a 8-nak, a 99 pedig a 9-nek, ezért az osztást úgy is elvégezhetjük, hogy a „számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel” elosztjuk: 160 8 20 : = . 99 9 11 A legkisebb közös többszöröst törtek bővítésére is használjuk. Erre leggyakrabban akkor van szükségünk, amikor törtek összeadása vagy kivonása kapcsán közös nevezőt szeretnénk találni.

61 . l e c ke

MŰVELETEK TÖRTEKKEL

Megoldás 120 = 2 3 · 3 · 5 és 45 = 3 2 · 5, ezért a nevezők legkisebb közös többszöröse 2 3 · 3 2 · 5 = 360 lesz. Mindkét törtet bővítjük, azaz mind a számlálót, mind a nevezőt megszorozzuk annyival, amennyi az adott nevezőből „hiányzik”: 77 ⋅ 3 88 ⋅ 8 231 704 935 + = + = . 120 ⋅ 3 45 ⋅ 8 360 360 360 Az eredményt lehet egyszerűsíteni: 935 187 43 = =2 . 360 72 72 Másik módszer a 120 és a 45 legkisebb közös többszörösének kiszámítására Ugyanazt a felbontást alkalmazzuk, mint a 50. oldal alján. Ha összeszorozzuk a függőleges vonal 45 120 3 jobb oldalán és az alsó sorban lévő szá15 40 5 mokat, megkapjuk a 120 és a 45 legki3 8 sebb közös többszörösét. Ez 3 · 5 · 3 · 8 = 360. Ugyanezt kapjuk akkor is, ha a 120-at megszorozzuk a 45 alatti utolsó számmal, a 3-mal, vagy ha a 45-öt szorozzuk meg a 120 alatti utolsó számmal, a 8-cal: 3 · 8 · 5 · 3 = 120 · 3 = 45 · 8 = 360. Ez a módszer azt is megmutatja, hogy a 120 nevezőjű törtet 3-mal, a 45 nevezőjűt pedig 8-cal kell bővíteni.

F E L A DAT

Van-e olyan egész szám, amellyel a következő törtek egyszerűsíthetők? Ha van, végezd el az egyszerűsítést! 605 252 230 ; ; 770 288 211

Végezd el a következő műveleteket, az eredményt egyszerűsítsd! 1650 63 110 55 1104 272 ⋅ ; : ; : 231 1100 81 27 640 560

Közös nevezőre hozás után végezd el a kijelölt műveleteket! Közös nevezőnek a nevezők legkisebb közös többszörösét válaszd! 5 4 a) − 27 45 40 5 b) + 231 154 72 32 − 2 c) 3 2 2 ⋅ 5 ⋅ 11 2 ⋅ 3 ⋅ 52

Végezd el a következő műveleteket! 13 35 495 74 c) 3 : e) a) ⋅ : 385 15 26 406 3 24 24 23 26 b) d) 1 : 2 : 75 25 25 35

Végezd el a következő műveleteket!

H Á Z I F E L A DAT

Egyszerűsítsd a törteket! Írd fel, melyik törtet mivel egyszerűsítetted! 75 ⋅ 114 ⋅ 292 29 d) a) 5 ⋅ 7 4 ⋅ 114 ⋅ 29 57 144 950 b) e) 480 38 144 c) 288 a) Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, 276 amellyel a tört egyszerűsíthető? 966 b) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyet 1 1 közös nevezőnek választhatunk az + 280 588 összeadás elvégzéséhez?

a) b)

4 17 28 − ⋅ 63 126 41

7 11 1 110 : 2 +4 −5 8 12 2 48

Egyszerűsíts úgy, hogy az egyszerűsített tört számlálója és nevezője relatív prím legyen! 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 2 80 − 10 a) 4 c) 3 2 ⋅3⋅5 80 + 10 132 80 ⋅ 10 ⋅ 36 b) d) 880 40 ⋅ 5 ⋅ 72 ⋅ 11

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

RÁADÁS Számolási szabályok törtekkel Egyenlő nevezőjű törtek összeadása 3 7 10 + = 8 8 8

a számlálókat összeadjuk, a nevező változatlan marad

Egyenlő nevezőjű törtek kivonása 12 3 9 − = 5 5 5

a kisebbítendő számlálójából kivonjuk a kivonandó számlálóját, a nevező változatlan marad

Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása 7 3 14 27 41 + = + = 9 2 18 18 18 13 7 3 14 27 − = − =− 18 9 2 18 18

először közös nevezőre hozzuk a törteket, azután már egyenlő nevezőjű törtekkel kell számolnunk

Tört szorzása egész számmal 3 15 ⋅5 = 4 4

a számlálót szorozzuk az egész számmal, a nevező változatlan marad

Tört osztása egész számmal 3 3 :5 = 20 4 7 35 :5 = 4 4

a nevezőt szorozzuk az egész számmal, a számláló változatlan marad VAGY (ha lehet) a számlálót elosztjuk az egész számmal, a nevező változatlan marad

Tört szorzása törttel 2 5 10 ⋅ = 7 3 21

a számlálót szorozzuk a számlálóval, a nevezőt szorozzuk a nevezővel

Osztás törttel 3 4 20 5: = 5⋅ = 4 3 3 6 2 5 2 3 : = ⋅ = 7 3 7 5 35

az osztó reciprokával szorozzuk az osztandót

61 . l e c ke

MŰVELETEK TÖRTEKKEL

IRRACIONÁLIS SZÁMOK, VALÓS SZÁMOK

BEVEZETŐ Elképzelhető-e olyan végtelen tizedes tört, amely nem szakaszos? Hogyne! Ilyen számot kapunk például, ha mindig eggyel több 0-t írunk az 1-ek után: 0,101 001 000 100 001 000 001 00…, vagy eggyel több 5-öst a 307 számcsoportok után: 447,307 530 755 307 555 307 555 530 755…, vagy ha a tizedesvessző után felsoroljuk növekedő sorrendben a természetes számokat: 6,012 345 678 910 111 213 141 516 171 819 202 122 23….

Ezek az újfajta számok nem lehetnek racionális számok, hiszen a racionális számok egész szám, véges tizedes tört vagy szakaszos végtelen tizedes tört alakban írhatók fel. A nem szakaszos végtelen tizedes törtek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

ELMÉLET A nem szakaszos végtelen tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok halmazának a jele: Q*. Mindegyik irracionális számnak megvan a helye a számegyenesen. Például a 447,307 530 755 307 555 307 555 530 755 … szám helye a 447 és a 448 között, a 447,3 és a 447,4 között, a 447,30 és a 447,31 között, a 447, 307 és a 447,308 között, … van. A racionális és az irracionális számok együtt ki is töltik a számegyenest. A 2 is irracionális szám, nem írható fel két egész szám hányadosaként, de ennek is van a számegyenesen helye, az 1,41 és az 1,42 között. Pontosan meg is lehet ezt a helyet szerkeszteni.

–3

–2

–1

1 414 213 562 371 . Ennek a törtnek a négyzete azonban kisebb 2-nél, 1 000 000 000 000 tehát ez a tört nem egyenlő a 2-vel. Az 1,414 213 562 371 szám az irracionális 2-nek egy racionális közelítő értéke. A számológép szerint 2 ≈ 1,414 213 562 371 =

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

Be lehet bizonyítani, hogy irracionális például a 3, a 5, a 21, a 102, de racionális például a 4 , a 49, a

49 . 100

Általánosan is igaz, hogy ha az a egy racionális szám négyzete, akkor a is racionális szám. 2

7 7 49 49 = , így = . 10 100 100 10 Minden más pozitív a szám esetében a irracionális szám. Ezeken kívül is végtelen sok irracionális szám van még. 1 Például a π, a π , a π 2, a π 7, az stb. is irracionális, és irracionális minden olyan szám is, amelyet bármely irracionális π számnak bármely racionális számmal (de nem a 0-val) való szorzásával kapunk. Például

A racionális és az irracionális számokat közös néven valós számoknak nevezzük. A valós számok halmazának a jele: R. Tehát R = Q ∪ Q*, ahol Q ∩ Q* = Ø. A pozitív valós halmazának a jele R +, a negatív valós számoké R –.

P É L DA

Szerkesszük meg egy számegyenesen a 9, a a 5 helyét!

25 és 16

Megoldás 1 1 25 5 = = 1 + = 1 . Ezek tehát racionális 4 4 4 16 számok, a helyüket könnyen megszerkeszthetjük a számegyenesen: 9 = 3 és

5 4

3 2

6 2 . l e c ke

a távolsága 22 + 12 = 5. A 0 pont körül ezzel a sugárral kört rajzolva a számegyenesen kijelölhetjük a 5 helyét.

Melyik valós szám helyét szerkesztettük meg a számegyenesen?

5 Az helyének szerkesztéséhez először az 1 és 2 közötti sza4 kasz felezőpontját szerkesztettük meg. Ez kijelöli a szám3 6 egyenesen a = helyét. 2 4 3 5 Az 1 és a közötti szakasz felezőpontja jelöli ki az helyét. 2 4 A 5 irracionális szám; helyét a Pitagorasz-tétel segítségével szerkeszthetjük meg. A szerkesztés leolvasható az ábráról:

A számegyenes 2 jelű pontjában merőlegest szerkesztünk a számegyenesre. Erre a 2 jelű pontból kiindulva felmérünk egy 1 hosszúságú szakaszt, ennek végpontja a P pont. A Pitagorasz-tétel szerint a számegyenes 0 pontjának és P-nek

–1

0 1

Megoldás A 2 oldalú szabályos háromszög magassága 3. Tehát a számegyenes 3 jelű pontját szerkesztettük meg. A 3 irracionális szám.

I R R AC I O N Á L I S S Z Á M O K , VA L Ó S S Z Á M O K

F E L A DAT

Szerkeszd meg a számegyenesen a következő valós számok helyét! a) −

25 4

10 és − 10

c) 1 + 2

Mely valós számok helyét szerkesztettük meg a számegyenesen? Ezek racionális vagy irracionális számok? a) b)

2 1

a 5

b –2

–1

H Á Z I F E L A DAT

A megadott számok közül a racionálisokat add meg két egész szám hányadosaként is! a)

6,282

54 27

b) 2 + 5

23 52

1 104

3,14 4 100

11,2 44,8

d) 2,5 ⋅

c) −

3 2

d) 3 ⋅ 2

Mely valós számok helyét szerkesztettük meg a számegyenesen? a) b)

π2

π2 2π

3 1

24 52

Szerkeszd meg a számegyenesen a következő valós számok helyét! a) –2,75

Melyik racionális a megadott számok közül? A racionálisokat add meg tizedes tört alakjában! a)

54 ⋅ 22

a 6

5 –2

–1

A T E R M É S Z E T E S S Z Á M O K T Ó L A VA L Ó S S Z Á M O K I G

Számok

RÁADÁS Mivel az irracionális számok tizedestört-alakja végtelen és nem szakaszos, ezért egyetlen véges tizedes tört vagy szakaszos végtelen tizedes tört sem lehet egyenlő egy irracionális számmal. Véges tizedes tört vagy szakaszos végtelen tizedes tört csak közelítő értéke lehet egy irracionális számnak. Például az 1,41 nem egyenlő a 2-vel, hanem a 2-nek két tizedesjegy pontossággal megadott közelítő értéke. Amint azonban az előző példákban láttuk, sok esetben szerkeszthető olyan szakasz, amelynek a hossza irracionális szám. Ha például szerkesztünk egy 1 oldalhosszúságú négyzetet, annak átlója éppen 2 hosszúságú lesz. Ez, és az ehhez hasonló problémák már az ókori görög matematikusoknak is sok fejtörést okoztak: egy nyilvánvalóan megszerkeszthető szakasz hosszúságát hogyhogy nem lehet pontosan lemérni? Az egész számokat és azok

hányadosait kedvelő görögök számára ez a kérdés megválaszolhatatlannak bizonyult. Más irracionális számokkal kapcsolatban még bonyolultabb a helyzet. Két évezreden át tartotta magát a kör négyszögesítésének problémája: hogyan lehet adott körrel megegyező területű négyzetet szerkeszteni? Ez a feladat visszavezethető arra, hogy hogyan lehet adott körrel egyenlő kerületű négyzetet szerkeszteni. Ha a kör sugara 2 egységnyi hosszú, akkor a kör kerülete 2 · 2 · π = 4 π, tehát a körrel egyenlő kerületű négyzet oldala éppen π hosszúságú. 1882-ben Ferdinand von Lindemann mutatta meg, hogy nincs olyan eljárás, amellyel adott egység esetében körző és egyenes vonalzó segítségével π hosszúságú szakaszt lehetne szerkeszteni. Ezért a kör négyszögesítésének problémájára nem létezik megoldás.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Bizonyítsuk be, hogy a 2 irracionális szám! A 2 valós szám, mert megvan a helye a számegyenesen. Vajon racionális vagy irracionális? Az biztos, hogy nem egész szám, mert a négyzete 2, de ilyen egész szám nincs. Ha tehát racionális szám, akkor csak olyan tört alakja lehet, amelynek a nevezője nem 1. Válasszuk az elképzelt tört egyp szerűsített alakját! A számlálót p-vel, a nevezőt q-val jelöljük: 2 = , p és q relatív prím számok (mert egyszerűsített q törtről van szó) és q ≠ 1. p2 p p Ha 2 = , akkor a 2 négyzete is egyenlő a négyzetével: 2 = 2 . q q q Ez azonban lehetetlen! Miért? A p és a q relatív prím számok, nincs közös prímtényezőjük, ezért a p 2-nek és a q 2-nek sem p2 lehet közös prímtényezője. Így nem lehet a 2 törtet egyszerűsíteni, nem lehet az értéke egész szám. q Ez azt jelenti, hogy a 2 irracionális szám. Ugyanígy igazolható, hogy a 3, a 5, a 98 is irracionális szám, sőt az is, hogy ha az n > 1 pozitív egész szám, de nem négyzetszám, akkor a n irracionális szám.

6 2 . l e c ke

I R R AC I O N Á L I S S Z Á M O K , VA L Ó S S Z Á M O K

BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN

BEVEZETŐ 119 000 forintot fizettünk ki 40 bankjeggyel, csak 2000 és 5000 forintosaink voltak. Hány 2000 és hány 5000 forintost használtunk fel? Megoldás Jelöljük a felhasznált 2000 forintosok számát x-szel, ekkor a kiadott 5000 forintosok száma: 40 – x volt. A feladat szerint 2000 x + 5000 (40 – x) = 119 000. Egy egyenletet kaptunk, ezt kell megoldanunk, hogy megkapjuk az x értékét. Használjuk a mérlegelvet!

/ : 1000 2000 x + 5000 (40 – x) = 119 000 2 x + 5 (40 – x) = 119 2 x + 200 – 5 x = 119 200 – 3 x = 119 / + 3 x – 119 81 = 3 x /:3 27 = x. Tehát 27 kétezer forintos bankjegyet használtunk fel és 40 – 27 = 13 ötezer forintosat. Ellenőrzés 2000 · 27 + 5000 · 13 = 54 000 + 65 000 = 119 000, tehát jól oldottuk meg a feladatot.

ELMÉLET Azzal, hogy bevezettünk egy betűt az egyik ismeretlen szám jelölésére, könnyen meg tudtuk oldani a fenti feladatot. Mikor használunk számok helyett betűket a matematikában? – A Pitagorasz-tételt betűkkel fogalmaztuk meg: a 2 + b 2 = c 2. Itt azért használunk betűket, mert ez az összefüggés sokféle oldalhosszúságú derékszögű háromszög esetén is igaz.

– Ha ki akarjuk számítani, melyik az a szám, amely 12,6-del kisebb a 3-szorosánál, akkor felírjuk az x = 3 x – 12,6 egyenletet, ennek segítségével oldjuk meg a feladatunkat. Itt egy ismeretlen szám jele az x betű. – Az összeadást és a szorzást összekapcsoló széttagolási tulajdonságot is betűkkel írjuk fel: (a + b) c = ac + bc. Ezzel jelezzük, hogy ez minden valós a, b, c szám esetében igaz. – A π irracionális számot azért jelöljük egy betűvel, mert így pontosan beszélhetünk róla, a kör kerületének és átmérőjének a hányadosáról, de számjegyekkel csak közelítő értékét írhatnánk fel. A most felsorolt eseteken kívül gondolatmenetünk könnyebb megvalósítása, számolásunk egyszerűbbé tétele és egyéb okok miatt is érdemes számok helyett betűket alkalmazni. Mindig tudnunk kell azonban, hogy a betűk számokat jelentenek, tehát ugyanúgy dolgozhatunk velük, mint a számjegyekkel leírt számokkal.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Mit jelentenek a betűk az egyes képletekben? Hol találkoztunk ezekkel a képletekkel ebben a tanévben? a ⋅ ma a⋅ 3 a) T = b) V = Ta ⋅ m c) m = 2 2

Melyik egyenlőség igaz minden esetben, ha a betűk bármely számot jelölhetik? Mondd el szavakkal is, mit fejez ki az, amelyik igaz! a) a + b = c + a c) a + b = b + a b) ac = cd d) cd = dc

( ) = (a )

c) a 4

2x x

3 4

Ha három szomszédos egész számot összeadok, akkor eredményül mindig a középső szám háromszorosát kapom. Ezt állítja Balázs. Az alábbiak közül melyik bizonyítja Balázs igazát? Indokold a választásodat! a) 5 + 6 + 7 = 18 = 3 · 6, tehát Balázsnak igaza van. b) n + n + n = 3 n, tehát Balázsnak igaza van. c) (n – 2) + n + (n + 2) = n – 2 + n + n + 2 = = 3n, tehát Balázsnak igaza van. d) (n – 1) + n + (n + 1) = n – 1 + n + n + 1 = = 3 n, tehát Balázsnak igaza van.

Ha 5 szomszédos egész számot összeadok, akkor… Vajon milyen állítást fogalmazhatott meg Balázs? Bizonyítani is tudnád?

Csilla 5 játékkockából „várat” épített (az 5 kockát „összeragasztotta”). a a) Mekkora a „vár” térfogata és felszíne, ha egy kocka a a élhossza 4 cm? b) Ha egy kocka éle a cm hosszú, akkor hány cm3 a „vár” térfogata: 5 · (3 a) vagy 5 a 3 vagy a 3 + 5? c) Ha egy kocka éle a cm hosszú, akkor hány cm2 a „vár” felszíne: 30 a 2 vagy 29 a 2 vagy 24 a 2 vagy 20 a 2?

b) Melyik egyenlőség tartozik a rajzhoz? A) (x + 6) + (x + 2) = x 2 + 8 x + 12 B) (x + 6) x + 2 = x 2 + 6 x + 2 x + 12 C) (x + 6) (x + 2) = x 2 + 8 x + 12 D) x + 6 (x + 2) = x 7 + 12

a) Mekkora a nagy téglalap és a négy kisebb téglalap területe, ha x = 4? x

Melyik egyenlőség igaz minden esetben, ha a betűk bármely számot jelölhetik? Mondd el szavakkal is, mit fejez ki az, amelyik igaz! a) a 5 · a 3 = a 15 d) a 2 + 5 2 = (a + 5) 2 b) a 5 · b 5 = (ab) 5 e) –a 2 = (–a) 2

H Á Z I F E L A DAT

Könnyen ellenőrizhető, hogy 19 – 20 – 21 + 22 = 0, –51 + 50 + 49 – 48 = 0. Igaz-e bármely négy egymást követő egész számra a megfigyelt szabály? Válaszodat indokold!

Könnyen látható, hogy (52 + 36) + (52 – 36) = 2 · 52 és (52 + 36) – (52 – 36) = 2 · 36. Fogalmazz meg hasonló állítást két tetszőleges egész szám összegére és különbségére, és igazold is az állításod helyességét!

6 3 . l e c ke

BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN

SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN

ELMÉLET Ha számokat és betűkkel jelölt számokat alapműveletekkel kapcsolunk össze, racionális kifejezést kapunk. Például 2x − 5y 15a − b . 1 + 4 x, , 9 · p 3 · q, x + 3y 2 b A racionális kifejezést egész kifejezésnek nevezzük, ha osztóként nem szerepel betű, ellenkező esetben ez tört kifejezés. Például 1 4 egész kifejezés: 1 + 4 x, 9 · p 3 · q, 2 a + 3, x+y− ; 2 3 2x − 5y 15a − b 2 1 4 tört kifejezés: . , + 3, +y− , x + 3y 2 b a 2x 3 Egytagú egész kifejezésben csak szorzás és számmal való osztás szerepelhet. Például 2 5 2 9 · p 3 · q, x 2 yx : 5, 4a 2b ⋅ ab3 ⋅ a. 3 8 3 A rendezett egytagúban egyetlen szám szerepel, mégpedig elöl, a betűk ábécérendben követik egymást, és egy betű csak egyszer fordulhat elő. A számtényezőt együtthatónak nevezzük. Az egytagú fokszáma a benne szereplő betűk kitevőinek összegével egyenlő. Két egytagú egynemű, ha rendezett alakjuk legfeljebb az együtthatóban különbözik. Például 10 10 • a x 3 y rendezett egytagú, az együtthatója , a fokszáma 4 (mert az x kitevője 3, az y kitevője 1, és 3 + 1 = 4); 3 3 • a 2 12 a 5 b 3 c 7 rendezett egytagú, az együtthatója 2 12, a fokszáma 5 + 3 + 7 = 15.

P É L DA

Végezzük el a kijelölt műveleteket! 2 a) 6a 4 x 3 ⋅ x 4 ab5 3

b) (3 x 5 – 4 x + x 2 – 8) + (15 + 6 x 2 – 8 x)

Megoldás együttható 2 2 a) 6a 4 x 3 ⋅ x 4 ab5 = 6 ⋅ a 4 + 1 x 3 + 4 b5 = 4a5b5 x 7 3 3 egytagú

egytagú

rendezett egytagú

Bármely két egytagú szorzata felírható rendezett egytagú alakjában.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

b) (3x 5 − 4x + x 2 − 8) + (15 + 6x 2 − 8x) = 3x 5 − 4x + x 2 − 8 + 15 + 6x 2 − 8x = 3x 5 + 7x 2 − 12x + 7 ötödfokú polinom

másodfokú polinom

ötödfokú polinom

az x fogyó hatványai szerint rendezett ötödfokú polinom

Az átalakítás során felhasználtuk, hogy x 2 + 6 x 2 = 7 x 2, –4 x – 8 x = –12 x, –8 + 15 = 7, vagyis azt a korábban tanult ismeretet, hogy az egynemű egytagúak összevonhatók.

ELMÉLET Véges számú rendezett egytagú összegét polinomnak nevezzük. A polinomok közé soroljuk az egytagúakat is. A rendezett polinom fokszáma a legmagasabb fokú tagjának a fokszámával egyenlő. Bármely két polinom összege, különbsége, szorzata polinommá alakítható.

F E L A DAT

Írd fel a kifejezéseket rendezett egytagúként! Állapítsd meg az egytagú együtthatóját és fokszámát! 2 5 a) 3 · x · x · x 3 c) a 2 ⋅ a 4 e) d 4 · (–1) d 5 2 2y 2 2x 3 y 2 b) d) d 7 f) ⋅y 7 3

P É L DA

Végezzük el a kijelölt műveleteket: (y 2 + 3 y) (y 2 + y – 2)!

Megoldás A számoknál tanult műveleti tulajdonságok most is érvényesek, hiszen a betűk számokat jelentenek. Alkalmazzuk a széttagolási (disztributív) tulajdonságot, a zárójel felbontási szabályait, továbbá az azonos alapú hatványok szorzásáról tanultakat! (y 2 + 3 y) (y 2 + y – 2) = y 2 (y 2 + y – 2) + 3 y (y 2 + y – 2) = (y 4 + y 3 – 2 y 2) + (3 y 3 + 3 y 2 – 6 y) = = y 4 + y 3 – 2 y 2 + 3 y 3 + 3 y 2 – 6 y. Az „eredményt” ismét rendezett polinom alakjában adjuk meg: (y 2 + 3 y) (y 2 + y – 2) = y 4 + 4y 3 + y 2 – 6 y. A kijelölt műveletek „eredménye” egy negyedfokú polinom.

F E L A DAT

Add meg a műveletek eredményét polinom alakjában! Állapítsd meg a polinom fokszámát! a) (5 – 3 x 2 + 8 x) + (–2 x 3 + x 2 – 9) b) 4 (5 + y) + 6 (2 – y – y 3)

6 4 . l e c ke

SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN

c) (n – 3) – (1 – 2 n) + 2 (n + 2) 3 5k 2 d) k 2 − 5k + k 2 + 8 − 2 − − 3k 2 2 4 4 e) p (p – 2) + p (1 – p )

P É L DA

400 m2

20 m 2

x2 m 2

Van más kiszámítási mód is a c) feladatra! (x + 2) 2 = (x + 2) (x + 2) = x · x + 2 · x + x · 2 + 2 · 2 = = x 2 + 4 x + 4, ezért (x + 2) 2 – x 2 = x 2 + 4 · x + 4 – x 2 = 4 · x + 4. A telek területe (4 x + 4) m2-rel növekedett. Ez egyszerűbb, mint az eredetileg felírt különbség.

20 m

2m 20 m

Megoldás a) 22 2 – 20 2 = 84, tehát a telek területe 84 m2-rel növekedett. 20 m

c) (x + 2) 2 – x 2 = (x + 2) (x + 2) – x 2, ennyi négyzetméterrel nőtt a telek területe. 2m

Az ellenőrzés kiderítette, hogy egy négyzet alakú telek határait hibásan jelölték ki. A helyes kijelölés után a telek alakja egy 2 méterrel nagyobb oldalhosszúságú négyzet lett. Hány m2-rel növekedett a telek területe, ha az oldalhossza eredetileg a) 20 m; b) 50 m; c) x m volt?

b) 52 – 50 = 204, tehát a telek területe 204 m2-rel növekedett.

A c) feladat megoldása mintegy feleslegessé teszi az a) és b) feladat megoldását, hiszen ha x helyébe 20-at írunk, akkor (4 x + 4) helyettesítési értéke 84 lesz, ha pedig az x helyébe 50-et írunk, akkor 204. Mondhatjuk, hogy a megfogalmazott problémára a c) feladat általános megoldást adott.

F E L A DAT

Végezd el a szorzásokat, és hozd polinom alakba a következő kifejezéseket! A füzetedben dolgozz! (a – 1)2 = (a + 1) (a – 1) = (a + 1)2 = 2 2 (a + 3) = (a – 3) = (a + 2) (a – 2) = (a + b)2 = (a – b)2 = (a + b) (a – b) =

ELMÉLET Figyelj! Két tag összegének a négyzete: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 két tag

három tag

Két tag különbségének a négyzete: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 két tag

három tag

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

H Á Z I F E L A DAT

Melyik egész kifejezés, és melyik tört kifejezés az alábbiak közül? 5x a 1 a) d) : 4 + 9a 2 + y2 − 3 7 2 5x b) e) 5 – 3 : x 4 + y2 − 5 3y c) 2 a 15 Írd fel a megadott egytagúakat rendezett alakban! Határozd meg a fokszámukat is! 1 2 3 2 a) 3 x 3 · xy · y 5 x : 6 c) 5p t ⋅ − p t 5 10a 2 c 3bc u3 4 2u b) d) ⋅ a ⋅ a ⋅ 3u 3 5 2

c) 5 (5 – 3 a – 2 a 3 + a 2) – 4 (7 + 2 a 2 – a 3 – a 4)

Végezd el a kijelölt műveleteket! Add meg az eredmény polinom alakját, és állapítsd meg a polinom fokszámát! a) x 2 (5 – 2 x + 3 x 2 – x 3) b) (a 2 + 2 a + 4) (a – 2) c) (b 3 + 3 b 2 + 3 b + 1) (b + 1) d) (x + y) (x + y)

Végezd el a kijelölt műveleteket! Add meg az eredmény polinom alakját! a) (2a + 3)(2a + 3) b) (x2 – 1)(x2 + 1) x x +5 +5 c) 2 2 2 2 d) x – –x 3 3

( )( ) ( )( )

Végezd el a kijelölt műveleteket! Add meg az eredmény polinom alakját, és állapítsd meg a polinom fokszámát! a) (x + 1) – 2 (x + 2) + 3 (x + 3) – 4 (x – 4) b) x (x + 1) – x 2 (x – 2) + x 3 (x – 3) – x 4 (x – 4)

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Ha egy racionális kifejezésben egy betű nem konkrét számot jelöl, akkor azt változónak nevezzük. Például az x 3 – 9 x egyváltozós, itt a változó az x; a 3 x + 5 xy 4 kifejezés kétváltozós, itt az x és az y a két változó. Az x változó valamely polinomjának a jelölésére gyakran a P(x), Q(x), … szimbólumokat szoktuk használni. Például P(x) = x 5 + 2 x 3 – 7 – 4 x 5 – 6 x + 3 x 5 az x változó polinomja. P(x) az egynemű egytagúak összevonásával egyszerűbb alakra hozható: 2 x 3 – 7 – 6 x. Ha a kapott alakban felcseréljük a második és a harmadik tagot, akkor megkapjuk a polinomnak az x fogyó hatványai szerint rendezett alakját: 2 x 3 – 7 – 6 x = 2 x 3 – 6 x – 7. Ugyanennek a polinomnak az x növekedő hatványai szerint rendezett alakja: –7 – 6 x + 2 x 3. Mindkét rendezett alak azt mutatja, hogy ez a polinom harmadfokú. A két- és többváltozós polinomok jelölése hasonló. Például a 3 x + 5 xy 4 kifejezést így jelölhetjük: P(x, y).

6 4 . l e c ke

SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN

F E L A DAT

P(x) = x 3 – 4 x, Q(x) = 1 – 2 x 2; R(x) = x 3 + 4 x. Írd fel rendezett polinom alakjában a következő racionális kifejezéseket, és add meg a kapott polinomok fokszámát! a) P(x) + Q(x); P(x) – Q(x); Q(x) – P(x); P(x) · Q(x) b) P(x) + R(x); P(x) – R(x); R(x) – P(x); P(x) · R(x)

Melyik állítás igaz, melyik hamis, és miért? a) Bármely két negyedfokú polinom összege is, különbsége is negyedfokú. b) Bármely két negyedfokú polinom szorzata negyedfokú. c) Egy harmadfokú és egy negyedfokú polinom öszszege biztosan negyedfokú. d) Egy harmadfokú és egy negyedfokú polinom szorzata biztosan hetedfokú.

NEVEZETES SZORZATOK

P É L DA Bence padszomszédja, Jutka azt mondta Bencének, hogy ha egy pozitív egész szám négyzetéből kivonja a nála 1-gyel kisebb szám négyzetét, akkor éppen a két szám összegét kapja meg. Például 9 2 – 8 2 = 81 – 64 = 17 = 9 + 8, 148 2 – 147 2 = 21 904 – 21 609 = 295 = 148 + 147. Bence nem hitte el, hogy ez minden esetben igaz. Otthon nekiállt, hogy megcáfolja, vagy ha igaz, akkor bebizonyítsa Jutka állítását. Vajon mire jutott? Megoldás Bence a kisebb számot n-nel jelölte. Ekkor Jutka állítása azt jelenti, hogy (n + 1) 2 – n 2 = (n + 1) + n = 2 n + 1, ha az n pozitív egész számot jelöl. Bence tudja, hogy egy szám négyzete az az önmagával való szorzata, és azt is, hogyan kell egy összeget egy másik összeggel megszorozni. Ezért így számolt: (n + 1) 2 = (n + 1) · (n + 1) = n · n + n · 1 + 1 · n + 1 · 1 = n 2 + 2 n + 1; (n + 1) 2 – n 2 = n 2 + 2 n + 1 – n 2 = 2 n + 1 = (n + 1) + n. Nagyon meglepődött, hogy Jutkának igaza volt. Sőt, akkor is igaza van Jutkának, ha az n bármelyik valós számot jelöli.

ELMÉLET A feladatok megoldása közben észrevehettük, hogy egyes nevezetes szorzatok polinomalakja milyen egyszerű. Akármelyik valós számot jelöli is az a és a b betű, igaz, hogy I. (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

IV. (a – b) 3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab 2 – b 3

II. (a – b) 2 = a 2 – 2 ab + b 2

V. (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2

III. (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

VI. (a – b) · (a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Ezek közül a számolási szabályok közül némelyiket érdemes szóban is megfogalmazni: I. Két szám összegének a négyzete egyenlő az első tag négyzetének, a két szám kétszeres szorzatának és a második tag négyzetének az összegével. III. Két szám összegének a köbe a következő négy szám összegével egyenlő: az első szám köbe, az első szám négyzete szorozva a második szám 3-szorosával, a második szám négyzete szorozva az első szám 3-szorosával, a második szám köbe. V. Két szám összegének és különbségének a szorzata egyenlő a két szám négyzetének különbségével. Ezeknek a nevezetes szorzatoknak a segítségével sok feladat megoldását könnyebbé tehetjük. Az V. és a VI. azonosságot gyakran használjuk szorzattá alakításra is.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Hány négyzetméterrel kisebb az x – 2 méter oldalú négyzet alakú telek területe, mint az x + 2 méter oldalú négyzet alakú teleké? a) Add meg a különbséget az x fogyó hatványai szerint rendezett polinom alakjában! b) Mennyi ez a különbség, ha x = 35?

Melyik igaz minden esetben, azaz bármely számot jelentsen is az a? Amelyik nem igaz minden esetben, az igaz-e az a valamely értéke esetén? a) (a + 3) 2 = a 2 + 6 a + 9 b) (a – 5) (a + 5) = a 2 – 25 c) (a – 4) 2 = a 2 – 4 a + 16

Alakítsd polinommá! a) (3x + 7)3 = c)

b) (3x – 7)3 =

( x3 + 7) = x d) ( – 7) = 3

Kocka alakú tartály élhossza x méter. a) Hány köbméter víz fér el a tartályban?

x+2

b) (3x – 7)2 =

( x3 + 7) = x d) ( – 7) = 3 c)

b) Még egy kocka alakú tartályt készítenek, ennek az élei x + 2 méteresek. Hány köbméterrel több víz fér el ebben a tartályban, mint az x méter élhosszúságúban? c) Add meg a különbséget az x fogyó hatványai szerint rendezett polinom alakjában! d) Mennyi ez a különbség, ha x = 3?

Alakítsd polinommá! a) (3x + 7)2 =

H Á Z I F E L A DAT

Bencének a bal oldalon álló kifejezéseket kellett volna polinom alakjában felírnia, de ő „összecsapta” a matek házi feladatát, és mindet elhibázta. Javítsd ki Bence hibáit! a) (x + y) 2 = x 2 + 2 xy b) (a + 4) 2 = a 2 + 16 c) (k + m) (k – m) = k 2 + (–m) 2 a) Egy téglalap alakú kert területe (15 + a) (15 – a) m2. Add meg a szorzat polinomalakját! Mekkora a terület, ha a = 8 (méter)? b) Található-e olyan valós szám, amelyet az x helyébe írva negatív számot kapunk az x 2 – 8 x + 16 polinom helyettesítési értékére? Válaszodat indokold! Melyik igaz minden esetben? Amelyik nem, azt javítsd úgy, hogy mindig igaz legyen! a) (3 + t) (3 + t) = t 2 + 6 t + 9

6 5 . l e c ke

N E V E Z E T E S S Z O R Z AT O K

b) (3 – t) (3 – t) = 9 – 6 t – t 2 c) (3 – t) (3 + t) = t 2 – 9

a) Hány m2 az (a + 4) m oldalú, négyzet alakú telek területe? Polinom alakjában is add meg a válaszodat! b) Hány méter annak a négyzet alakú kertnek az oldala, amelynek a területe (b 2 + 10 b + 25) m2? Mekkora a kert oldala, ha b = 15? És ha b = –15?

Alakítsd polinommá! a) (2x + 6)2 = b) (3x – 5)3 =

( x2 – 2) = x d) ( – 2) = 2

Add meg polinomalakban a műveletek eredményét! a) (1 + a + a 2) (1 – a) c) (x + 2) 3 b) (5 y – 2) (5 y + 2)

w −3 3

POLINOM SZORZATTÁ ALAKÍTÁSA

P É L DA

Arany Bence és barátai csak annyit tudnak egy számról, hogy a harmadik hatványa akkora, mint a 9-szerese. Kíváncsiak rá, melyik ez a szám.

Melyik szám tehát az, amelyiknek a harmadik hatványa akkora, mint a 9-szerese? Három ilyen szám van, a 0, a 3 és a –3.

Megoldás Bence gyorsan kijelenti, hogy ez a szám a 0, mert hiszen annak a harmadik hatványa is 0, és a 9-szerese is 0. Jutka egyenletet ír fel. Azt mondja, ha ez a szám x, akkor x 3 = 9 x. Elosztja az egyenlet mindkét oldalát x-szel, egy másik egyenletet kap: x 2 = 9. Ebből arra következtet, hogy x = 3. Attila kijavítja Jutkát. Szerinte az x lehet –3 is, mert annak a négyzete is 9. Tehát a három gyerek más-más eredményre jut. Segítségül hívják Bence nővérét, Hajnit, aki megmutatja, hogyan érdemes megoldani Jutka egyenletét, hogy valamennyi olyan számot megkapják, amelynek a harmadik hatványa akkora, mint a 9-szerese.

A polinom szorzattá alakítása segített abban, hogy Bencéék mind a három számot megkapják.

Az x 3 = 9 x egyenlet ilyen alakban is felírható: x 3 – 9 x = 0. Az egyenlet bal oldalán lévő polinom szorzattá alakítható: x 3 – 9 x = x (x 2 – 9), ezt szorzással ellenőrizhetjük. x (x 2 – 9) = x (x 2 – 3 2) = x (x + 3) (x – 3), az ismert nevezetes szorzat szerint. Tehát Hajni így írta fel az egyenletet: x (x + 3) (x – 3) = 0. Egy olyan szorzatot kapott, amely 0-val egyenlő. Hogy lehetséges ez? Úgy, hogy a szorzat valamelyik tényezője a 0! Tehát x = 0, vagy x + 3 = 0, ami azt jelenti, hogy x = –3, vagy x – 3 = 0, ami azt jelenti, hogy x = 3.

Alakítsuk szorzattá a következő polinomokat! a) 2 xy 3 + 5 x 2 y 2 b) 25 x 2 – 16

Megoldás a) Gondoljunk arra, hogyan szorzunk meg egy összeget egy számmal: (a + b) c = ac + bc. Ha ezt a szabályt ac + bc = c (a + b) alakba írjuk, akkor egy ügyes szorzattá alakítási módszert látunk, a kiemelést. Ez olyan összeg esetében alkalmazható, ha az összeadandóknak van közös tényezőjük (az ac + bc polinomban a c a közös tényező). A 2 xy 3 és az 5 x 2 y 2 egytagúknak az x közös tényezője, ezért az x-et kiemelhetjük: 2 xy 3 + 5 x 2 y 2 = x (2 y 3 + 5 xy 2). De közös tényezőjük az y 2 is, ezért az y 2-et is kiemelhetjük: 2 xy 3 + 5 x 2 y 2 = y 2 (2 xy + 5 x 2). Sőt közös tényezőjük az xy 2 is, ezért az xy 2-et is kiemelhetjük: 2 xy 3 + 5 x 2 y 2 = xy 2 (2 y + 5 x). Tehát háromféleképpen is szorzattá alakítottuk a 2 xy 3 + 5 x 2 y 2 polinomot. Hogy jól végeztük-e a kiemelést, azt fejben, beszorzással ellenőrizzük. b) 25 x 2 – 16 = (5x) 2 – 4 2, ezért most két szám négyzetének a különbségét kell szorzattá alakítanunk. Tudjuk, hogy ha a és b egy-egy számot jelöl, akkor a 2 – b 2 = (a + b) (a – b), ezért 25 x 2 – 16 = (5 x) 2 – 4 2 = (5 x + 4) (5 x – 4).

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Állapítsd meg az alábbi függvények zérushelyeit! a) x 5 – x c) x 5 x 2 – x 3 b) x 5 x – x 2 d) x 5 x 2 – x 4

B) 6

x+6

Állapítsd meg az alábbi függvények zérushelyeit! a) x 5 + x c) x 50 – 2 x 2 b) x 25 – x 2 d) x 25 x – x 3

Az alábbi ábrákon a kertek méreteit méterben adtuk meg; az x egy tetszőleges, 6-nál nagyobb számot jelöl. (A szomszédos oldalak mindenütt merőlegesek egymásra.)

x–2

Alakítsd szorzattá az alábbi polinomokat! a) 8 x + 24 c) 8 x 2 y + 24 xy b) 8 xy + 24 y d) 24 x 2 y 3 z + 8 x 2 y 3

x–6

x–6 x+3

a) Írd fel mindegyik kert területét polinom alakjában is! b) Rendezd nagyság szerint növekvő sorrendbe a területeket!

P É L DA

3 3 – 1 = 27 – 1 = 26 = 2 · 13 nem prímszám. 4 3 – 1 = 64 – 1 = 63 = 3 · 21 nem prímszám. 5 3 – 1 = 125 – 1 = 124 = 4 · 31 nem prímszám. Vajon minden pozitív egész számra igaz-e az az állítás, hogy a köbénél 1-gyel kisebb szám nem prímszám?

Megoldás Nem, hiszen 2 3 – 1 = 3, ami prímszám. De ha az n egész szám legalább 3, akkor igaz, és ezt a következőkben be is bizonyítjuk.

6 6 . l e c ke

P O L I N O M S Z O R Z AT T Á A L A K Í T Á S A

A 65. lecke VI. nevezetes szorzata szerint: n 3 – 1 = n 3 – 1 3 = (n – 1) · (n 2 + n + 1). Ha n ≥ 3, akkor n – 1 ≥ 2 és n 2 + n + 1 ≥ 13, tehát az (n – 1) · (n 2 + n + 1) szorzat mindkét tényezője nagyobb 1-nél. Ezért n 3 – 1 nem lehet prím. Igaz tehát, hogy ha bármelyik 2-nél nagyobb egész szám köbéből kivonunk 1-et, akkor a kapott szám nem lesz prímszám.

H Á Z I F E L A DAT Határozd meg az alábbi függvények zérushelyeit! a) x  4 x – 7 b) x  8 x 2 – 14 x c) x  16 x 2 – 49

Alakítsd szorzattá a következő polinomokat! a) 63 y – 9 b) 63 y 2 – 7 y c) 63 y 3 – 7 y 2 d) 63 y 3 – 7 y e) 63 y 3 z 2 – 7 y

x-2

x+3

x 5

Az ábrákon kertek méreteit adtuk meg méterben; az x egy tetszőleges, 7-nél nagyobb számot jelöl. (A szomszédos oldalak mindenütt merőlegesek egymásra.) A) 4

a) Írd fel mindegyik kert területét polinom alakjában is! b) Rendezd nagyság szerint növekvő sorrendbe a színezett területeket!

Keresd meg az összes olyan valós számot, amelyre igazak az alábbi kijelentések! a) 3 x – 192 = 0 c) 3 x 2 – 192 = 0 b) 3 x 2 – 192 x = 0 d) 3 x 3 + 192 x = 0

Keresd meg az összes olyan valós számot, amelyre igazak az alábbi kijelentések! a) 25 x = 9 d) 25 x 3 = 9 x 2 b) 25 x = 9 x e) 25 x 4 = 9 x 2 c) 25 x 2 = 9 x

Végezd el a következő szorzásokat! a) (a – b) (a + b) b) (a – b) (a 2 + ab + b 2) c) (a – b) (a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3) d) (a – b) (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4)

3 x

x-5

x+5

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Végezd el a következő szorzásokat! a) (a + b) (a – b) b) (a + b) (a 2 – ab + b 2) c) (a + b) (a 3 – a 2 b + ab 2 – b 3) d) (a + b) (a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4)

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

ELMÉLET I. tétel Ha a és b valós szám, és az n pozitív egész szám, akkor a n – b n = (a – b) (a n – 1 + a n – 2 b + … + ab n – 2 + b n – 1). Tanulság a n – b n osztható (a – b)-vel, bármelyik pozitív egész szám is az a, a b és az n, és a > b. Például 4095 = 8 4 – 1 osztható 7-tel, mert 8 4 – 1 4 = (8 – 1) (8 3 + 8 2 · 1 + 8 · 1 2 + 1 3) = 7 · (8 3 + 8 2 · 1 + 8 · 1 2 + 1 3). II. tétel Ha a és b valós szám, és a kitevő páros pozitív egész, azaz (2k)-alakú, akkor a2k – b2k = (a + b)(a2k – 1 – a2k – 2b + … – b2k – 1). III. tétel Ha a és b valós szám, és a kitevő páratlan pozitív egész, azaz (2k + 1)-alakú, akkor a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + … + b2k). Ezekkel az azonosságokkal sokszor megoldhatunk oszthatósági feladatokat. Például 84 – 1 osztható 7-tel, mert 84 – 1 = (8 – 1)(83 + 82 ∙ 1 + 8 ∙ 12 + 13) 84 – 1 osztható 9-cel, mert 84 – 1 = (8 + 1)(83 – 82 ∙ 1 + 8 ∙ 12 – 13) 83 + 1 osztható 9 -cel, mert 83 + 1 = (8 + 1)(82 – 8 ∙ 1 + 12)

F E L A DAT

Igazoljuk, hogy 2 60 + 7 30 osztható 13-mal!

Megoldás Két hatvány összegéről van szó, ezért a III. tétel juthat eszünkbe. De ott a két kitevő egyenlő és páratlan szám! Alakítsuk át a két tagot úgy, hogy a kitevők megfeleljenek a III. tétel feltételeinek! A 60 és a 30 legnagyobb páratlan közös osztója a 15.

( ) = (7 )

= 1615;

2 15

= 4915.

60 = 4 · 15,

260 = 24 ⋅ 15 = 24

30 = 2 · 15,

730 = 7 2 ⋅ 15

6 6 . l e c ke

P O L I N O M S Z O R Z AT T Á A L A K Í T Á S A

Tehát 2 60 + 7 30 = 16 15 + 49 15. Ez a szám a III. tétel szerint osztható (16 + 49)-cel, vagyis 65-tel. 65 = 5 · 13, ezért 2 60 + 7 30 osztható 13-mal is.

Bizonyítsd be, hogy 5 18 – 1 osztható 24-gyel is és 124-gyel is!

Bizonyítsd be, hogy 2 24 – 1 osztható 15-tel is és 17-tel is!

A SZORZATTÁ ALAKÍTÁS ALKALMAZÁSAI

BEVEZETŐ Hajni azzal dicsekedett, hogy bármely pozitív számot is mondjon Bence az x helyébe, azonnal megmondja, hogy x 2 + 6x + 9 mennyi az tört helyettesítési értéke. Mi lehet x +3 Hajni trükkje? Megoldás A tört számlálójában álló polinom szorzattá alakítható: x 2 + 6 x + 9 = (x + 3) 2 = (x + 3) (x + 3). A tört számlálójában és nevezőjében közös tényező az (x + 3) polinom, ezzel a tört egyszerűsíthető: x 2 + 6x + 9 (x + 3) ⋅ (x + 3) x + 3 = = = x + 3. 1 ⋅ (x + 3) 1 x+3 Tehát ha Bence mond egy pozitív számot, akkor Hajninak ahhoz csak hozzá kell adnia 3-at, és máris megkapta a tört kifejezés helyettesítési értékét. (Ha pl. Bence azt mondja, hogy 5,24, akkor Hajni válasza 8,24 lesz.)

F E L A DAT

Bence azt mondta, ilyen feladatokat ő is könnyen ki tud találni. Ezeket a törteket adta meg: x 2 + 14x + 49 x 2 − 49 a) c) x+7 x+7 2 100x − 20x + 1 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 b) d) 10x − 1 x +1 Mennyi ezeknek a helyettesítési értéke, ha x = 3, ha x = –6 és ha x = –2,8? Válaszodhoz ne használj számológépet! Bence egyik házi feladata az volt, hogy ábrázolja a pozitív számok halmazán az x

x 2 + 4x + 4 x+2

hozzárendelési szabállyal értelmezett függvényt. Jól oldotta-e meg ezt a feladatot, ha a mellékelt grafikont rajzolta? Válaszodat indokold! y 5 4 3 2 1 0

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Polinomok szorzattá alakításában segíthetnek a nevezetes szorzatok is (65. lecke, I–VI.)

Melyik nevezetes szorzatot ismered fel az alábbi polinomokban? A segítségükkel alakítsd át szorzattá mindegyik polinomot! a) x 2 + 10 x + 25 d) x 3 – 6 x 2 + 12 x – 8 2 2 b) 9 a – 12 ab + 4 b e) s 3 – 27 c)

y2 − 4z 2 4

Határozd meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre a) n 2 – 4 n + 4 prímszám; b) n 2 – 4 prímszám; c) n 3 – 8 prímszám!

Figyeld meg: –(x – 2) = –x + 2 = 2 – x Ugyanígy: –(a – b) = b – a ; és a – b = –(b – a) Ezt felhasználva alakítsd szorzattá a következő öszszegeket! a) (x – 1)2 + (1 – x2) b) (x – 1)3 + (1 – x2)

Számítsd ki a törtek helyettesítési értékét számoló2 gép nélkül, ha x = 11; x = –2,5 és x = – ! 3 x2  4x  4 a) 2x

Egy további módszer a szorzattá alakításhoz a csoportosítás. (Ez valójában a kiemelés „két- vagy többlépcsős” változata.) Például Alakítsuk szorzattá az x 2 + 3 x + xy + 3 y polinomot! x 2 + 3x + xy + 3y = x(x + 3) + y(x + 3) = (x + y)(x + 3)

Csoportosítással alakítsd szorzattá a polinomokat! a) x 2 – 5 x + xy – 5 y b) x 2 – 5 x – xy + 5 y c) 3 y – y 2 + 15 – 5 y

x 2  6x  9 9  3x

H Á Z I F E L A DAT

Számítsd ki a megadott törtek helyettesítési értékét számológép nélkül, ha y = 6, ha y = –2 és ha y = 14! y+4 y 2 − 100 a) 2 c) 2 y + 8y + 16 y + 20x + 100 2y + 8 5y − 50 b) 2 d) 2 y − 16 y − 100 Nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a polinomokat! a) p 2 – 64 e) 25 r 2 + 80 r + 64 3 b) p – 64 f) 27 r 3 + 108 r 2 + 144 r + 64 c) 25 q 2 – 64 g) 25 r 2 – 80 r + 64 3 d) 27 q – 64 h) 27 r 3 – 108 r 2 + 144 r – 64

6 7. l e c ke

A S Z O R Z AT T Á A L A K Í T Á S A L K A L M A Z Á S A I

Csoportosítással alakítsd szorzattá a polinomokat! a) 7 x 2 + 8 xy + 14 x + 16 y b) 7 x 2 – 8 xy – 14 x + 16 y c) 6 a 2 – 10 a – 5 + 3 a

Ábrázold a függvényeket! 9 − x2 , x > –1 3+x 2 b) g(x) = x – 2 x + 1, x ∈ [–1; 3] a) f (x) =

c) h(x) =

x 2 + 6x + 9 , x ∈ R+ 2x + 6

Számítsd ki a törtek helyettesítési értékét számoló1 gép nélkül, ha x = 9; x = –3 és x = – ! 4 4x 9  x2 a) 2 b) 2 x  6x  9 x  8 x  16

ALGEBRAI TÖRTEK

BEVEZETŐ

a 2 – a = a (a – 1) = 0, ha a = 0 vagy a = 1; 5 5 – 3 a = 0, ha a = . 3 3a + 1 : (5 − 3a) kifejezésből akkor kapunk egy Tehát a 2 a −a számot, ha olyan valós számot helyettesítünk az a betű 5 helyére, amely nem eleme a 0; 1; halmaznak. 3 3a + 1 : (5 − 3a) kifejeEz egyúttal azt is jelenti, hogy a 2 a −a

Melyik számok behelyettesítése esetén kapunk egy számot a következő kifejezésekből? 5a − 3 a) 12a + a+2 3a + 1 : (5 − 3a) b) 2 a −a

Megoldás a) Arra kell vigyáznunk, hogy 0-val nem lehet osztani. Ezért a + 2 nem lehet 0-val egyenlő, vagyis a ≠ –2. A –2 kivételével azonban bármely valós számot írjuk is be a kifejezésbe az a betű helyébe, mindig kapunk egy számot. Más elnevezéssel: 5a − 3 a 12a + kifejezés értelmezési tartománya az a+2 R \ {–2} halmaz. 3a + 1 : (5 − 3a) kifejezés esetében kell, hogy a neb) A 2 a −a vezőben lévő a 2 – a és az osztóként szereplő 5 – 3 a ne legyen 0.

{

}

{

zés értelmezési tartománya az R \ 0; 1;

Alakítsuk egyetlen törtté a 3x 2 +

}

5 halmaz. 3

5 − 3 kifejezést! x

Megoldás 5 3x 3 5 3x 3x 3 + 5 − 3x 3x 2 + − 3 = + − = x x x x x racionális tört kifejezés

algebrai tört

ELMÉLET Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük.

P É L DA

Alakítsuk algebrai törtté a következő kifejezéseket! 5 2a − b − 4a 3ab 2 a 7 + 2 b) 2 a −1 a − a a)

Megoldás 5 2a − b 2 − a) A kifejezésben szereplő két törtet közös 2 4a 3ab nevezőre hozzuk. A legegyszerűbb közös nevező a 12 ab 2.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Ez az első nevezőnek a 4-szerese, tehát az első törtet 4-gyel bővítjük. A 12 ab 2 a második nevezőnek a 3b 2-szerese, tehát a második törtet 3b 2-tel bővítjük: 5 4(2a − b 2 ) 5 ⋅ 3b 2 2a − b 2 − = − = 2 2 4a 4 ⋅ 3ab 3ab 4a ⋅ 3b 2 8a − 19b 2 8a − 4b 2 − 15b 2 = . = 12ab 2 12ab 2 a 7 + 2 b) Az 2 kifejezésben szereplő két törtet köa −1 a − a zös nevezőre hozzuk. A közös nevező lehetne akár a két nevező szorzata is, de ennél alacsonyabb fokú nevezőt is találhatunk.

Ehhez szorzattá alakítjuk a nevezőket: a 2 – 1 = (a + 1) (a – 1), a 2 – a = a (a – 1). Azt látjuk, hogy az a (a + 1) (a – 1) alkalmas közös nevező lenne. Ez az első nevezőnek az a-szorosa, a második nevezőnek az (a + 1)-szerese. Ezért a 7 a⋅a (a + 1) ⋅ 7 + = + = a 2 − 1 a 2 − a a(a + 1)(a − 1) a(a + 1)(a − 1) a 2 + 7a + 7 a 2 + 7a + 7 = . = a(a 2 − 1) a3 − a

ELMÉLET Minden racionális kifejezés átalakítható polinommá vagy algebrai törtté. Az átalakítás során ugyanazokat a szabályokat alkalmazzuk, mint a törtekkel való számolásnál.

F E L A DAT

Alakítsd algebrai törtté a kifejezéseket! 7 3 a) − 2y + y+4 y+4 2y 3 1 b) − + 5 y 5y

y−2 y 5y − + y2 − 4 y + 2 y − 2 y +1 5 2 − + d) 2 3y y y − 3y

P É L DA

Végezzük el a kijelölt műveleteket:

a 2 − 9 a 2 − 3a : ! a + 3 1− a

Megoldás Az adott törtek számlálóját és nevezőjét is szorzattá alakítjuk: a 2 − 9 a 2 − 3a (a − 3)(a + 3) a ⋅ (a − 3) : = : . 1 ⋅ (a + 3) 1−a a + 3 1−a (a − 3)(a + 3) Az tört egyszerűsíthető (a + 3)-mal. 1 ⋅ (a + 3)

6 8 . l e c ke

ALGEBRAI TÖRTEK

Ekkor az adott kifejezés ezt az alakot veszi fel: a ⋅ (a − 3) (a − 3) : . 1− a Most az osztandót megszorozzuk az osztó reciprokával: a ⋅ (a − 3) 1− a 1− a (a − 3) : = (a − 3) ⋅ = . 1− a a ⋅ (a − 3) a Az utolsó lépésben (a – 3)-mal egyszerűsítettünk. a 2 − 9 a 2 − 3a 1 − a Tehát : = . a a + 3 1−a

Hasonlítsuk össze az előző feladatban vizsgált a 2 − 9 a 2 − 3a kifejezés értelmezési tartományát : a + 3 1−a 1− a és a műveletek elvégzése után kapott kifejezés a értelmezési tartományát!

Megoldás 1− a Az esetében könnyű dolgunk van: a nevező akkor 0, a ha a = 0, tehát az értelmezési tartomány az R \ {0} halmaz. (a − 3)(a + 3) a ⋅ (a − 3) A másik kifejezésnek az alakját : 1−a 1 ⋅ (a + 3) érdemes vizsgálnunk. Sem a két nevező, sem az osztó nem lehet 0, vagyis a + 3 ≠ 0, tehát a ≠ –3;

1 – a ≠ 0, tehát a ≠ 1, a (a – 3) ≠ 0, tehát a ≠ 0 és a ≠ 3. E kifejezés értelmezési tartománya ezek szerint az R \ {–3; 0; 1; 3} halmaz. A 0 helyen egyik kifejezésnek sincs értelme, de más a helyzet a –3, az 1 és a 3 számokkal. Például ha a = 1, akkor az

1− a kifejezés értéke 0, de az eredeti a

a 2 − 9 a 2 − 3a kifejezés értelmetlen; : a + 3 1−a 1− a ha a = –3, akkor az kifejezés értéke a 1 − (−3) 4 4 = = − , de az eredeti kifejezés értelmetlen. −3 −3 3

ELMÉLET Ha egy kifejezés helyett a belőle műveletek elvégzése során keletkezett másik kifejezést akarunk használni, akkor a végső alakon nem látszik, hogy mi volt az eredetinek az értelmezési tartománya. Ilyenkor az eredeti értelmezési tartomány az érvényes.

F E L A DAT

Végezd el a műveleteket! Hasonlítsd össze az eredeti kifejezés és a műveletek elvégzése után kapott kifejezés értelmezési tartományát! a)

5a + 5a a − 1 ⋅ 2 15a a −1

b) x 4 : c)

x 4 − 4x 2 x 2 − 4x + 4 2 1 4y + 4 + 2 : y y 3y 3

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

H Á Z I F E L A DAT

Állapítsd meg az alábbi kifejezések értelmezési tartományát!

q + 1 q + 2 2q3 − 4q − 5 − 2 − q q 2q3 r +1 r+2 2r 2 − 3r − 5 − 2 − b) r − 1 r − 2r + 1 2(r − 1)2

5x 2 − 8 7 5x 2 − 8 b) 3 + 7x 5x 2 − 8 c) 3 + 2 7x − 21x a) 3 +

5x 2 − 8 d) 3 : (5 + x) + 2 7x − 14x + 7

Egyszerűsítsd a törteket! Hasonlítsd össze az eredeti és az egyszerűsített tört értelmezési tartományát! 3w 2 − 3w 2w 5x − 5 b) x −1 2q − 2 c) 3q 2 − 3q a)

6 8 . l e c ke

Alakítsd algebrai törtté az alábbi kifejezéseket! Add meg az értelmezési tartományukat is!

5x 4 + 10x 2 x2 + 2 r 2 + 2r e) 2 r −4

ALGEBRAI TÖRTEK

Végezd el a műveleteket! Hasonlítsd össze az eredeti kifejezés és a műveletek elvégzése után kapott kifejezés értelmezési tartományát! a) 15 x 2 : (x 3 – 9 x 2) b 2 − 2b + 1 4b ⋅ 4b 2 − 4b b 2 − 1 8 16 4 c) 1 + + 2 : 1 + x x x

EGYENLETEK

BEVEZETŐ Egy park közepére négyzet alakú virágágyat terveztek. A költségek túl magasak voltak, ezért az eredeti tervben szereplő helyett egy annál 2 m-rel kisebb oldalú négyzet mellett döntöttek. A virágos terület így 38 m2-rel csökkent az eredetileg tervezetthez képest. Hány méter lett végül a virágágy oldala? Megoldás A virágágy oldala x méter, területe x 2 m2 lett. Az eredetileg tervezett ágyás oldala x + 2 m, területe (x + 2) 2 m2 volt. A szöveg szerint: (x + 2) 2 – x 2 = 38. Egyismeretlenes egyenletet kaptunk. Feladatunk olyan pozitív számot találni az x helyébe, amely a szöveg feltételeinek megfelel, vagyis meg kell adnunk a felírt egyenlet pozitív megoldásait (gyökeit). A bal oldalon elvégezzük a négyzetre emelést és az összevonást: x 2 + 4 x + 4 – x 2 = 38 4 x + 4 = 38

Mérlegelvvel haladhatunk tovább (az egyenlet mindkét oldalából elveszünk 4-et, majd mindkét oldalt elosztjuk 4-gyel): 4 x = 34 x = 8,5 A virágágy tehát végül egy 8,5 m oldalú négyzet lett. Ellenőrzés Eredetileg 8,5 + 2 = 10,5 m oldalú, 110,25 m2 területű virágágy szerepelt a tervben. A 8,5 m oldalú virágágy területe (72,25 m2) ennél valóban 38 m2-rel kisebb.

ELMÉLET Már az általános iskolában is és az idei tanévben is sok egyenletet oldottunk meg. Ezek legtöbbször egyismeretlenes egyenletek voltak. Azokat a számokat kerestük, amelyeket az egyenletben szereplő betű helyébe írva fennáll az egyenlőség. Az egyenletek megoldása során eddig legtöbbször a mérlegelvet használtuk. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyökeinek a halmaza nem változik meg, ha az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezést (számot) – ugyanannyival növeljük vagy csökkentjük, – ugyanazzal a pozitív vagy negatív számmal megszorozzuk, – ugyanazzal a pozitív vagy negatív számmal elosztjuk. A mérlegelv segítségével sok egyenletből kaphatunk olyan egyszerűbb, másik egyenletet, amelynek a gyökei ugyanazok, mint az eredeti egyenlet gyökei. Az egyenlet rendezése során ügyelj az előjelekre, például ha zárójel vagy törtvonal előtt van a kivonás jele vagy egy negatív szorzótényező!

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Melyik számot írhatjuk az x helyébe, ha 2x − 7 4 − 5x − = x − 1,7? 6 10 Az egyenlet megoldása során alkalmazd a mérlegelvet!

Vajon hogyan gondolkozott Bence? Ellenőrizd Bence megoldását!

Egy futballcsapat egy idényben 32 mérkőzést játszott. Kettővel kevesebb meccset vesztettek, mint amennyit nyertek, és feleannyi döntetlent játszottak, mint ahány meccset vesztettek. Hány nyert, hány vesztett és hány döntetlen meccsük volt?

Egy használtautó-kereskedő egy hónap alatt 20 autót adott el. Hogy kicsit fellendítse a forgalmat, elhatározta, hogy a következő hónapban lemond a haszon egy részéről, minden egyes autót 20 000 Ft-tal olcsóbban ad. A következő hónapban 30 autót adott el, és így 200 000 Ft-tal több lett a bevétele, mint az előző hónapban. Mennyiért adott eredetileg 1-1 autót?

Oldd meg a mérlegelv alkalmazásával az alábbi egyenleteket! 5x 2 − 7x a) − = 3x − 13 4 5 b) (2 x − 3) 2 − (2 x − 5) 2 = 40 4x − 5 5x − 4 15 − 3x c) 3 + − = 5 15 10

Az automata mosógépek teljesítménye mosás közben nem állandó. Egy bizonyos mosógép esetében a víz melegítésekor 2000 W, egyéb műveleteknél (mosás, szivattyúzás, centrifugázás) pedig átlagosan 400 W az elektromos hálózatból fedezett teljesítmény. Mennyi ideig melegített vizet ez a mosógép, ha az egyórás mosóprogramjának lefutása során összesen 800 Wh elektromos energiát használt fel?

Oldd meg az egyenleteket! Figyelj az előjelekre! 6 x  4 5x  1 3  x   3 2 6 2 2 2x  5  x  3  2 x 1 b) x  2  2 a)













Egy üzletben az akciós DVD-kből vettünk kettőt és még egy harmadikat, ami nem volt akciós. Ez utóbbi 3990 Ft-ba került. Összesen 7830 Ft-ot fizettünk. Mennyi az akciós DVD-k eredeti ára, ha a kedvezmény mértéke a) 20%; b) 200 Ft? Bence az a) feladathoz az (x · 0,8) · 2 + 3990 = 7830, a b) feladathoz pedig az (x – 200) · 2 + 3990 = 7830 egyenletet állította fel. Szerinte az akciós DVD-k eredeti ára darabonként az a) esetben 2400 Ft, a b) esetben 2120 Ft volt.

H Á Z I F E L A DAT

Oldd meg a mérlegelv alkalmazásával az egyenleteket! a) (x + 4) (x – 4) = x 2 – 2 x b) 100 x – 100 (27 – x) = 1100 x +3 5−x 2 c) − = 12 12 3

Három könyvespolc közül a legalsón kétszer annyi könyv van, mint a legfelsőn, és 20%-kal több, mint a középsőn. A három polcon összesen 70 könyv van. Hány könyv van az egyes polcokon?

6 9 . l e c ke

E GY E N L E T E K

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

P É L DA

Hajni a piacon madáreledelt vett. Ennek 30%-a fénymag, ezt szeretné Hajni 50%-ra növelni. Mennyi fénymagot tegyen a piacon vásárolt 40 dkg magkeverékhez?

Megoldás Legyen a szükséges fénymag tömege x dkg. Ha ezt a piacon vásárolt madáreledelhez önti Hajni, akkor a keverék tömege (40 + x) dkg lesz, ennek a fele 0,5 (40 + x) dkg fénymag. A megvásárolt 40 dkg madáreledelben 40 · 0,3 = = 12 dkg fénymag volt, ehhez jött még x dkg. Ezért összesen (12 + x) dkg fénymag lesz a keverékben. Tehát 0,5 (40 + x) = 12 + x; 20 + 0,5 x = 12 + x. Oldjuk meg ezt az egyenletet! Első, algebrai módszer 20 + 0,5 x = 12 + x / –12 – 0,5 x 8 = 0,5 x /·2 16 = x Tehát 16 dkg fénymagot kell Hajninak a piacon vásárolt keverékhez öntenie. Ellenőrzés A 40 dkg-hoz 16 dkg fénymagot öntve 56 dkg magkeveréket kap Hajni. Ebben összesen 12 + 16 = 28 dkg fénymag van, és ez valóban 50%-a az 56 dkg-nak. Második, grafikus módszer Rajzoljuk meg közös koordináta-rendszerben az x  20 + 0,5 x és az x  12 + x függvény grafikonját! y

y = 12 + x

y = 20 + 0,5x

20 10

Ez a két grafikon a (16; 28) pontban metszi egymást. A metszéspont első koordinátája a 20 + 0,5 x = 12 + x egyenlet gyöke: x = 16. Ugyanazt az eredményt kaptuk, amit az első módszerrel.

Melyek azok a számok, amelyek esetében 1 1 a) x = x + 3; b) x < x + 3? 2 2

Megoldás Rajzoljuk

meg

közös koordináta-rendszerben 1 x x és az x x + 3 függvény grafikonját! 2

y 6

1 y = x +3 2

5 4

y = |x|

3 2 1 –4 –3 –2 –1 0

a) Az ábráról leolvashatjuk, hogy a két grafikon két pontban metszi egymást. Ennek a két pontnak az első koordinátája az adott egyenlet két gyöke. A jobb oldali metszéspont első koordinátája 6, a bal oldalié pedig –2. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy 1 1 6 = ⋅ 6 + 3 és −2 = ⋅ (−2) + 3 is igaz, tehát az 2 2 adott egyenletnek két gyöke van, a –2 és a 6. Az egyenlet megoldáshalmaza: {–2; 6}.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

1 x + 3 egyenlőtlenség megoldáshalma2 za a ]–2; 6[ intervallum. A felírt egyenlőtlenségnek tehát végtelen sok megoldása van.

Ezért az x <

b) Rajzunkról azt is leolvashatjuk, hogy ha –2 < x < 6, akkor az x x függvény értéke kisebb, mint az 1 1 x x + 3 függvényé, ezért itt x < x + 3. 2 2 Azt is látjuk, hogy ha x ∉ ]–2; 6[, akkor nem igaz, hogy 1 x < x + 3. 2

F E L A DAT

c) x 2 – 3 = x – 1 d) x 2 – 3 ≤ x – 1

Oldd meg grafikus módszerrel a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket! 1 a) x − 1 = − x + 5 2 1 b) x − 1 < − x + 5 2

E Egyenlőtlenség megoldásához használhatók a fü függvényábrázoló programok is.

P É L DA

Melyek azok a számok, amelyek esetében y = 6 – x és 3 y = x + 1 is igaz? 2

Megoldás Kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk. Olyan számokat kell találnunk, amelyeket az x és az y helyett az egyenletekbe írva mindkét esetben igaz kijelentést kapunk. Ismét grafikus úton oldjuk meg a feladatot. 3 Rajzoljuk meg az y = 6 – x és az y = x + 1 egyenletű 2 3 egyeneseket (amelyek az x  6 – x, illetve az x x + 1 2 elsőfokú függvények grafikonjai)! A két egyenes metszéspontja a (2; 4) pont. Ha az egyenletekben x helyébe 2-t, az y helyébe pedig 4-et helyettesítünk, akkor mindkét egyenletből egy-egy igaz ki3 jelentést kapunk (4 = 6 – 2 igaz, és 4 = ⋅ 2 + 1 = 3 + 1 is 2 igaz).

7 0 . l e c ke

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

y = 6−x kétismeretlenes egyenletrendszer megol3 x +1 2 dása a (2; 4) rendezett számpár.

y 7

y = 3 x +1 2

6 5

(2; 4)

y = 6 -x

3 2 1 0

E Egyenletrendszer megoldásához használhatók a fü függvényábrázoló programok is.

Egy sokszáz éves, híres feladat nyomán: Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, összesen 7 fejük és 20 lábuk van. Hány tyúk és hány nyúl van közöttük?

Első megoldás (egyenletekkel) Mondjuk, hogy x nyúl és y tyúk van közöttük. Összesen 7 fejük van, ez azt jelenti, hogy x + y = 7. Az x nyúlnak 4 x lába, az y tyúknak 2 y lába van. Összesen 20 lábuk van, ez azt jelenti, hogy 4 x + 2 y = 20, vagyis 2 x + y = 10. Az ábrán azt a két egyenest látjuk, amelyeknek az egyenlete x + y = 7, vagy másképp y = 7 – x (ez az x  7 – x függvény grafikonja); illetve 2 x + y = 10, vagy másképp y = 10 – 2 x (ez az x  10 – 2 x függvény grafikonja). y

Második megoldás (okoskodással) Rajzoljunk le 7 „testet”, mindegyikhez tegyünk két lábat. Ekkor felhasználtunk 14 lábat, maradt még 20 – 14 = 6. A 6 lábat kettesével odarajzoljuk 3 testhez, ez a 3 (négylá-

9 8

y = 10 - 2x

7 6 5

(3; 4)

y=7-x

3 2 1 0

bú) rajz szemlélteti a nyulakat, az a 4 test pedig, amelyiknél csak két láb maradt, szemlélteti a tyúkokat.

Ez a két egyenes a (3; 4) pontban metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy ha x = 3 és y = 4, akkor mindkét egyenletből igaz állítást kapunk. Másképp: az udvaron 3 nyúl és 4 tyúk van. Megjegyzés Eredményünket így is fogalmazhatjuk: Az

x +y =7 2x + y = 10

kétismeretlenes egyenletrendszer megol-

dása a (3; 4) rendezett számpár.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Oldd meg grafikus módszerrel az egyenletrendszereket! y=x+4

y = −2x + 1

Oldd meg okoskodással az alábbi feladatot! Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, összesen 24 fejük és 66 lábuk van. Hány tyúk és hány nyúl van közöttük?

Oldd meg grafikus módszerrel az egyenletrendszereket!

x+y = 0 x + 3y = 6

y = 2x − 5 2y = x − 4

H Á Z I F E L A DAT

Oldd meg grafikus módszerrel! a) 2 x + 3 = | x | b) 2 x + 3 ≥ | x |

Oldd meg grafikusan az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) 2 – 3 x = 4 – x b) 2 – 3 x ≥ 4 – x c) (x + 2) 2 = – | x | + 2 d) (x + 2) 2 ≤ – | x | + 2

7 0 . l e c ke

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

y = 2−x y = 0,5x − 1 y = 2x + 2 2y = −x − 4

x + 2y = 6 x − 2y = 2 2x + y + 1 = 0 x − 2y = 2

A vásárban 1 csikóért 2 malacot és 5 tallért kell fizetni, két csikóért viszont 1 malacot és 22 tallért. Hány tallérba kerül 1 csikó, és mennyibe 1 malac?

PROBLÉMAMEGOLDÁS EGYENLETEKKEL

P É L DA Vili papa megkérte Hajnit, hogy nyírja le a füvet a kertben. Bence erre így szólt: „Ez a kert körülbelül 600 m2. Ha egyedül csinálod Vili papa rozoga fűnyírójával, nem végzel sötétedésig sem. Segítek neked. Kölcsönkérjük a szomszéd szuper fűnyíróját is, így együtt megleszünk 1,5 óra alatt, hiszen a szuper fűnyíróval 2 óra alatt én egyedül is le tudnám nyírni az összes füvet.” Mennyi időbe telne a fűnyírás Hajninak egyedül? Megoldás Első módszer (egyenlettel) Foglaljuk táblázatba, mit tudunk Hajni és Bence fűnyírásáról!. Hajni

Bence

egyedül a 600 m -t ennyi óra alatt nyírja le

x óra

2 óra

1 óra alatt ennyi m2-t nyír le

600 x

600 = 300 2

600 1,5 ∙ x

1,5 ∙ 300 = 450

1,5 óra alatt ennyi m2-t nyír le

Hajni és Bence 1,5 óra alatt együtt lenyírják az egész kertet, azaz 600 m2-t. Írjuk fel egyenlettel, a táblázat utolsó sorának felhasználásával! 1, 5

600  450  600 /  450 x 600 1, 5  150 / x x 1, 5600  150 x 900  150 x / : 150 x6

Ketten együtt 150 + 450 = 600 m2-nyit vágnak le, azaz éppen végeznek a teljes kertben a fűnyírással. Második módszer (okoskodással) Bence egyedül 2 óra alatt nyírja le a kertet.

1 óra alatt a felét nyírja le.

1,5 óra alatt a 3/4-ét nyírja le.

Hajni ezt az ¼ kertet nyírta le 1,5 óra alatt.

Hajni egyedül 6 óra alatt nyírná le a füvet. Ellenőrzés Ha egyedül 6 óra alatt nyír le 600 m2 füvet Hajni, akkor 1,5 óra alatt éppen a kert egynegyedét nyírja le, azaz 150 m2-t. Bence, aki 1 óra alatt végez 300 m2-rel, 1,5 óra alatt ennek másfélszereséről, 450 m2-ről vágja le a füvet.

Hajninak a teljes kerthez egyedül 4-szer ennyi időre van szüksége, azaz 6 órára.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

F E L A DAT

Egy hosszú szöveg legépelésével bíznak meg egy kezdő gépírót. Segítségül hívja egyik gyakorlott kollégáját, aki egyedül 2 óra alatt tudná legépelni ezt a szöveget. Ketten együtt dolgozva 1 óra 12 perc alatt elkészülnek a munkával. Mennyi ideig tartott volna a kezdő gépírónak egyedül a hosszú szöveg legépelése? Oldd meg egyenlettel és „okoskodással” is a feladatot!

Egy ékszergyárban 100% aranytartalmú (24 karátos) és 25% aranytartalmú (6 karátos) „törtarany” összeolvasztásával 1 kg 75% aranytartalmú (18 karátos) aranyat kaptak. Hány kilogramm színaranyra nyra volt szükség? Oldd meg a feladatot egyenlettel és „okoskodással” is!

Egy liter (1000 gramm) 5%-os és egy liter 2%-os sóoldatunk van. a) Hány gramm só van az egyik, illetve a másik oldatban? b) Összeöntjük a két sóoldatot. Hány százalékos oldatot kapunk?

A boltban csak 100% és 12% „gyümölcstartalmú” narancslét lehet kapni, de a 100%-os nagyon tömény, a 12%-os meg túl vízízű, a kettő között lenne az igazi. Melyikből mennyit keverjünk össze egy kancsóban, hogy 1 liter 34%-os gyümölcstartalmú narancslevet kapjunk?

H Á Z I F E L A DAT

Egy nagy építkezésen dolgozó cölöpverő gép 5 óra alatt verné le az összes cölöpöt, egy másik gép egyedül dolgozva 3 óra alatt végezne ezzel a munkával. A két cölöpverő együttesen dolgozva mennyi idő alatt veri le az összes cölöpöt?

Bence 1 óra alatt 20 m2-t ás fel Vili papa kertjében, Hajni 1 óra alatt 16 m2-t. a) Két óra alatt hány m2-t ásnak fel ketten együtt dolgozva? b) Hány óra alatt ás fel 120 m2-t Bence egyedül, illetve Hajni egyedül? c) Hány óra alatt ásnak fel ketten együtt dolgozva 120 m2-t?

71 . l e c ke

P RO B L É M A M E G O L D Á S E GY E N L E T E K K E L

ALAPHALMAZ, ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, MEGOLDÁSHALMAZ

BEVEZETŐ Amikor egyismeretlenes egyenleteket oldunk meg, akkor olyan számokat keresünk, amelyeket az egyenletben szereplő betű helyébe írva fennáll az egyenlőség. 2x − 9 Ha például a = x egyenletbe az x helyébe 2-t írunk, 5 4−9 akkor azt kapjuk, hogy = 2; –1 = 2, ami nem igaz. 5 De ha az x helyébe (–3)-at írunk, akkor azt kapjuk, hogy −6 − 9 = −3; –3 = –3, ami igaz. 5 2x − 9 Akármelyik valós számot írjuk is be a = x egyen5 letbe az x helyébe, kapunk egy állítást, ami vagy igaz, vagy nem igaz. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy ennek az egyenletnek az értelmezési tartománya az R halmaz. Számításunk azt mutatja, hogy egyenletünknek a –3 gyöke (a –3 beírása igaz állítást eredményezett), a 2 pedig nem gyöke (a 2 beírása hamis állításra vezetett).

2x − 9 = −3 egyenlettel van dolgunk, ott is kipró5−x bálhatjuk, mit kapunk, ha az x helyébe valamilyen számot írunk. Ha a

Itt azonban nem választhatjuk bármelyik valós számot, mert ha az 5-öt választanánk, akkor 0-val kellene osztanunk, ami lehetetlen. Azt mondjuk, hogy ennek az egyenletnek az értelmezési tartománya az R \ {5} halmaz. Ennek a halmaznak már bármelyik elemét behelyettesíthetjük az egyenletbe. Mit tapasztalunk, ha 2-t vagy (–3)-at írunk az x helyébe? 2⋅2−9 −5 2 = −3; = −3; −1 = −3 → nem igaz, 5−2 3 3 −15 7 2 ⋅ (−3) − 9 = −3; = −3; −1 = −3 → nem igaz. 8 8 5 − (−3) 2x − 9 A = −3 egyenletnek sem a 2, sem a –3 nem 5−x gyöke.

P É L DA

2x − 9 = −3 egyenletbe az 5−x x helyébe, hogy igaz állítást kapjunk? Melyik számot írhatjuk a

Megoldás Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (5 – x)-szel! 2 x – 9 = –3 (5 – x) 2 x – 9 = –15 + 3 x / + 15 2x + 6 = 3x / – 2x 6=x

Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ha az eredeti egyenletbe az x helyére 6-ot írunk, akkor igaz állítás keletkezik: 2⋅6−9 3 = −3; = −3; −3 = − → igaz. 5−6 –1 A mérlegelvvel dolgoztunk, ezért a 6-on kívül más szám nem jöhet szóba. 2x − 9 Tehát a = −3 egyenletnek egy gyöke van, a 6. Az 5−x egyenlet megoldáshalmaza: {6}.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

ELMÉLET Egy egyismeretlenes egyenlet értelmezési tartománya az összes olyan valós számnak a halmaza, amelyeken az egyenletben szereplő valamennyi kifejezésnek értelme van. Egyenletek megoldásakor sokszor az a feladat, hogy az értelmezési tartomány összes eleme között keressük meg azokat, amelyeknek a behelyettesítésekor az egyenletből igaz állítást kapunk. Ezek a számok az egyenlet gyökei (megoldásai). Az egyenlet gyökei alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Gyakran előfordul, hogy az egyenlet mellé egy alaphalmazt is adunk, és ennek az elemei között keressük a gyököket. Ebben az esetben csak az értelmezési tartomány és az alaphalmaz közös részéből (metszetéből) kerülhetnek ki az egyenlet gyökei. Szöveges feladatok esetében az alaphalmazt a tartalom szabja meg.

alaphalmaz

értelmezési tartomány

csak itt lehetnek az egyenlet gyökei

Az egyenlet megoldásának megkezdése előtt célszerű megvizsgálni az egyenlet értelmezési tartományát. Ezzel a megoldás menete lerövidíthető, és a megoldások ellenőrzése is egyszerűbbé válhat.

P É L DA

Oldjuk meg az x 3 = 9 x egyenletet az alábbi alaphalmazokon: a) pozitív számok halmaza; b) nemnegatív számok halmaza; c) egész számok halmaza!

Megoldás A 66. órán Bence és barátai Hajni segítségével már megkeresték az összes olyan valós számot, amelynek a harmadik hatványa egyenlő a 9-szeresével. Ezek: a –3, a 0 és a 3. Közülük a 3 pozitív szám, a többi nem, ezért az a) feladatban egyelemű a megoldáshalmaz: {3}. A b) alaphalmazban a három szám közül kettő van benne, a 0 és a 3, tehát a b) feladatban a megoldáshalmaz: {0; 3}. A –3, a 0 és a 3 is egész szám, mindhárom benne van a c) feladat alaphalmazában, ezért itt a megoldáshalmaz: {–3; 0; 3}.

7 2 . l e c ke

Oldjuk meg az

3x x2 egyenletet a valós szá= x−3 x−3

mok halmazán! Megoldás Ennek az egyenletnek a szövegben megadott alaphalmaza R, értelmezési tartománya az R \ {3} halmaz. Ezért a megoldáshalmaz csak R \ {3} valamely részhalmaza lehet. Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (x – 3)mal: x 2 = 3 x. Mindkét oldalból kivonunk 3 x-et: x 2 – 3 x = 0, vagy másképp: x (x – 3) = 0. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha x = 0 vagy x = 3. A 3 nem gyöke az eredeti egyenletnek, hiszen nincs benne az értelmezési tartományban. Helyettesítsük be a 0-t! 0 3⋅0 0 02 = , vagyis = . 0−3 0−3 −3 −3 Ez igaz, tehát a 0 gyöke az egyenletnek. Más gyöke nem 3x x2 egyenlet megoldáshallehet, ezért az = x−3 x−3 maza: {0}.

A L A P H A L M A Z , É R T E L M E Z É S I TA R T O M Á N Y, M E G O L D Á S H A L M A Z

F E L A DAT

Bence és osztálytársa, Dönci meg akarja oldani az 5 x + 10 = x 2 + 2 x egyenletet. Azon vitatkoznak, hogy melyikük megoldása a helyes. a) Bence megoldása: 5 x + 10 = x 2 + 2 x 5 (x + 2) = x (x + 2) 0 = x (x + 2) – 5 (x + 2) 0 = (x + 2) (x – 5) x+2 = 0 vagy x–5 = 0 x = –2 vagy x=5 Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {–2; 5}. b) Dönci megoldása: 5 x + 10 = x 2 + 2 x 5 (x + 2) = x (x + 2) / : (x + 2) 5=x Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {5}.

Melyik megoldást tartod jónak, melyiket hibásnak, és miért?

5x 10 egyenlet megol= x−2 x−2 dása során is más eredményre jutott. a) Bence megoldása: 5x 10 = / ⋅ (x − 2) x−2 x−2 5x = 10 x=2 Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {2}. b) Dönci megoldása: 5x 10 = x−2 x−2 10 5x − =0 x−2 x−2 5x − 10 =0 x−2 5(x − 2) =0 x−2 5=0

Bence és Dönci az

Hamis kijelentést kaptunk, tehát az egyenletnek nincs megoldása. Melyik megoldást tartod jónak, melyiket hibásnak, és miért?

H Á Z I F E L A DAT

Oldd meg a valós egyenleteket! 3 − x 3 + 2x a) + 5 3 5(x + 4) b) −6 = 2x + 5 c) d)

számok halmazán a következő = 7− 7,5 2x + 5

Egy teremben csak négylábú és háromlábú asztalok állnak, és ezeknek összesen 43 lábuk van. a) Lehet-e 12 asztal a teremben? b) Lehet-e 10 asztal a teremben? c) Mennyi a legkevesebb, és mennyi a legtöbb asztal, ami a teremben lehet?

Bence a matematikaosztályzatainak átlagát számolgatja. Az osztályzatok összege 66. „Érdekes, ha az utolsó három osztályzatomat – egy hármast és két négyest – elhagynám, akkor ugyanannyi lenne a jegyeim átlaga, mint most.” Hány osztályzata lehet Bencének? Oldd meg okoskodással és egyenlettel is!

2x 15

(3x + 2)2 + 3x − 2 = 6x + 2 3x − 2 2

x − 7x =0 x2 Megoldásaidat ellenőrizheted a függvényábráM zzoló programok segítségével is.

Egy moziban a felnőtt belépőjegy 1180 Ft, a gyerekjegy 980 Ft. Egy filmre 43 jegyet adtak el, öszszesen 49 040 forintért. Melyik fajta jegyből hány darabot adtak el?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

RÁADÁS Az április tavaszi hónap A november tavaszi hónap

– ez egy igaz állítás, – ez egy hamis állítás.

Írjuk be valamelyik hónap nevét a következő „nyitott mondatba”, a kipontozott részbe: A … tavaszi hónap. Ha a márciust, az áprilist vagy a májust írjuk be, akkor igaz állítást kapunk, a többi hónap beírása esetében pedig hamisat. Most a vizsgált nyitott mondathoz a {január; február; március; április; május; június; július; augusztus; szeptember; október; november; december} halmazt választottuk alaphalmaznak. A nyitott mondat igazsághalmaza a {március; április; május} halmaz.

A logikában azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis, állításoknak, más szóval: kijelentéseknek nevezzük. Az állítások közé soroljuk azokat a kijelentő mondatokat is, amelyeknek a tartalmát a tapasztalatok alapján igaznak, illetve hamisnak fogadjuk el. Az igaz, illetve hamis szó az állítás logikai értéke.

Például A Föld nagyobb, mint a Nap. 12 · 13 = 156. Ma vasárnap van. Tilos a dohányzás! A legszebb virág a rózsa.

– hamis állítás – igaz állítás – igaz vagy hamis állítás, aszerint, hogy melyik napon hangzik el. – nem állítás, mert nem kijelentő mondat. – nem állítás, mert nem dönthető el egyértelműen, hogy a tartalma igaz-e (az emberek más-más virágot gondolnak a legszebbnek).

A logika fogalomkörébe beilleszthetők az egyenletek és az egyenlőtlenségek is.

Ha például az {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9} alaphalmazon keressük a 3 · … < 12;

3 · … = 12;

3 · … > 12

nyitott mondatok igazsághalmazát, akkor azt is mondhatjuk, hogy az {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} alaphalmazon meg akarjuk oldani a 3 x < 12 egyenlőtlenséget, a 3 x = 12 egyenletet és a 3 x > 12 egyenlőtlenséget. A 3 · … < 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x < 12 egyenlőtlenség megoldáshalmaza): {1; 2; 3}. A 3 · … = 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x = 12 egyenlet megoldáshalmaza): {4}. A 3 · … > 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x > 12 egyenlőtlenség megoldáshalmaza): {5; 6; 7; 8; 9}.

7 2 . l e c ke

A L A P H A L M A Z , É R T E L M E Z É S I TA R T O M Á N Y, M E G O L D Á S H A L M A Z

EGYENLETEK MEGOLDÁSA

CSOPORTMUNKA 1. csoport

a) Hány üzemóra után lehet azt mondani, hogy gazdaságosabb a 20 wattos izzó működtetése? Napi 4 órás üzemidőt feltételezve, hány nap alatt „térül meg” a drágább izzó vásárlása? b) A hagyományos izzó élettartama kb. 1000 óra, az energiatakarékosé pedig kb. 6000 óra. Hány forint a megtakarítás egy energiatakarékos izzó élettartama alatt? c) Mutassátok be grafikus úton is az energiatakarékos izzó előnyét!

Egy papírbolt ügyetlen eladója hasra esett két doboz húsvéti képeslappal, azok szétszóródtak és reménytelenül összekeveredtek.

A dobozokban összesen 1200 képeslap volt, de azt nem tudták, hogy melyikből mennyi. A drágább fajta 180 Ft, az olcsóbb 150 Ft lenne, de a boltvezető úgy határozott, hogy nem vacakolnak a szétválogatással, 180 + 150 eladják az egészet = 165 forintos „átlag2 áron”. Az összes képeslap eladása után kiderült, hogy így 1200 forinttal több bevételük lett, mint amennyit eredetileg vártak. a) Az olcsóbb vagy a drágább képeslapból volt több? b) Melyik fajtából hány képeslap borult össze? c) Eredetileg mennyi volt az 1200 képeslap darabonkénti átlagára?

A hagyományos, 100 wattos izzó ára 90 Ft, az azonos „fényerejű” 20 wattos energiatakarékos izzó 1050 Ftba kerül. 1 kilowattóra elektromos energia ára 40 Ft. (A 100 wattos izzó 10 óra üzemelés alatt éppen 1 kilowattóra elektromos energiát használ el.)

Testnevelésórán a diákok rövidtávfutás-idejét mérik. Minden körben ketten futnak a pályán, azonban a sípszónál az egyikük „kissé” beragadt, ezzel 2 értékes másodpercet vesztett. Hogy behozza a lemaradását, 5 m/s sebességgel futotta végig a távot, míg a másik diák csak 4,5 m/s-mal. Így egyszerre értek a célvonalhoz.

a) Melyik gyerek hány másodperc alatt futja le a távot? b) Milyen hosszú a futópálya?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

CSOPORTMUNKA 2. csoport

Egy parkolóórába összesen 13 húsz- és ötvenforintos érmét dobtunk be, hogy kifizessük a 440 forintos parkolási díjat. Melyik érméből hány darabot dobtunk be?

Egy befektető 2 500 000 forintot fektetett részvényekbe és kötvényekbe. Egy év alatt a részvények 9%-os nyereséget hoztak, a kötvények 7%-ot. Mennyit fektetett részvénybe, illetve kötvénybe, ha év végére öszszesen 211 000 forint nyereségre tett szert?

Reggelenként Bence kényelmes, 4 km/h-s tempóval sétál iskolába menet. Lemérte, hogy ha reggel negyed nyolckor indul otthonról, akkor éppen idejében érkezik az iskolába. Ma azonban elaludt, ezért fél nyolckor indult útnak. Így most 7 km/h-s tempót kell végig tartania, hogy a szokásos időpontban érkezzen meg. a) Általában mennyi idő alatt teszi meg Bence az iskolába vezető utat? b) Mekkora utat tesz meg Bence otthontól az iskoláig?

Diákok sífutóversenyén Anti egyenletes sebességgel síel. Öt perccel Anti indulása után indul Zsombor, aki percenként 90 méterrel többet tesz meg, így 20 perc múlva utoléri Antit.

H Á Z I F E L A DAT

Egy vállalkozó két édességboltot üzemeltet, a két bolt nyitvatartási rendje azonos. A városközpontban álló üzlet naponta átlagosan 12%-kal több bevételt hoz, mint a piactér melletti. Májusban karbantartási munkák miatt három napra be kellett zárni a városközpontban álló boltot; emiatt aztán mindkét boltban ugyanakkora lett a havi összbevétel. Hány napot tartottak nyitva az egyes boltok májusban?

Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek.

a) Mekkora volt Zsombor sebessége? b) Mennyit síelt Anti, amíg Zsombor utolérte?

6 év múlva az életkoruk aránya 2 : 3 : 7 lesz. Hány éves a két fiú?

7 3 . l e c ke

E GY E N L E T E K M E G O L D Á S A

Egy ellipszis alakú, 300 méter hosszúságú versenypályán üldözéses kerékpárverseny folyik. A pálya két ellentétes pontjáról indul ugyanabba az irányba Tóbiás és Döme. A sebességük állandó, Tóbiásé 8 m/s, Döméé 9,5 m/s. Mennyi idő múlva éri utol az egyik a másikat?

RÁADÁS

Arany Csilla nagymamájával, Teri mamával hazafelé tartott. Csilla mindjárt fel is akart szállni a villamosra, de az indulásig még 12 percet kellett volna várni. Teri mama rábeszélte unokáját, hogy a várakozás, majd 10 perces villamosozás helyett inkább sétáljanak el a másik végállomásig, hiszen a 4 km-es út csupán egy órácskát vesz igénybe a kellemes időben. a) Hány villamos haladt el mellettük, ha a villamosok a menetrend szerint 15 perces időközönként követik egymást? b) Hány szemből jövő villamossal találkozhattak, ha a másik végállomásról mindig akkor indul egy-egy villamos, amikor beérkezik egy ellenkező irányból jövő?

Megoldás A villamosok számára vonatkozó egyenletet nehéz felírni, viszont grafikonok segítségével meglepően egyszerű a megoldás. y 4 3,5

y= 4 x 60

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

A vízszintes tengelyen a percekben mért időt, a függőlegesen a km-ben mért megtett utat látjuk. A piros vonal Csilla és Teri mama mozgásgrafikonja. A metszéspontok azt jelzik, hogy 3 villamos hagyta el Teri mamáékat, és 5 szemből jövő villamost számolhattak meg.

Egy agár kerget egy nyulat. A távolságuk 50 méter. A nyúl sebessége 30 km/óra, az agár percenként 520 métert tesz meg. Utoléri-e az agár a nyulat? Ha igen, mennyi idő alatt?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Válasszuk meg a p-vel jelölt számot úgy, hogy a 3 (x + 2) = px + 4 egyenlet gyöke pozitív szám legyen!

Megoldás Próbálgatással könnyen találhatunk ilyen számokat, például ha p = 4, akkor x = 2, 2 ha p = 10, akkor x = . 7 A p összes megfelelő értékét is megkaphatjuk a mérlegelv segítségével: 3 (x + 2) = px + 4 3 x + 6 = px + 4 / – 3x – 4 2 = px – 3 x 2 = x (p – 3).

A jobb oldali szorzat 2-vel egyenlő, tehát pozitív. Az x tényezőnek (az egyenlet gyökének) pozitívnak kell lennie. Ez úgy lehetséges, hogy a másik tényező is pozitív: p – 3 > 0, vagyis p > 3. Tehát akkor pozitív az egyenlet gyöke, ha a p-t a 3-nál nagyobb számnak választjuk: 2 x= , ha p > 3. p−3 Okoskodásunkból az is következik (ami nem tartozik hozzá feladatunk megoldásához), hogy ha p < 3, akkor az egyenlet gyöke negatív szám; ha p = 3, akkor az egyenletnek egyáltalán nincs gyöke, mert a 2 = x · 0 azt jelentené, hogy 2 = 0.

ELMÉLET A most vizsgált egyenletben két betű szerepelt. A p-t úgy tekintettük, mintha adott szám lenne, az x-et pedig a p értékének megfelelően határoztuk meg. Az ilyen típusú egyenletet paraméteres egyenletnek nevezzük. Példánkban a p volt a paraméter. Egy egyenletben több paraméter is lehet.

Egy apa A éves, a lánya B éves. Hány év múlva lesz az apa 3-szor annyi idős, mint a lánya? (Legyen A ≥ 30 és B > 0.)

Megoldás Mondjuk, hogy x év múlva. Ekkor az apa életkora A + x, a leányé B + x év lesz. Azt tudjuk, hogy az apa életkora 3-szor akkora, mint a leányé, tehát A + x = 3 (B + x). Ebben az egyenletben x az ismeretlen, A és B pedig paraméter. Oldjuk meg az egyenletet a mérlegelv segítségével! A + x = 3B + 3x / – x – 3B A – 3B = 2x / :2 A − 3B x= 2

7 3 . l e c ke

E GY E N L E T E K M E G O L D Á S A

Ha például az apa 32 éves és a lánya 4 éves, akkor 32 − 12 x= = 10, 2 vagyis az apa 10 év múlva (42 évesen) lesz 3-szor annyi idős, mint a lánya, aki akkor 14 éves lesz. A szöveg a jövőben megvalósuló eseményről szól, ezért csak pozitív megoldást fogadhatunk el. Ennek feltétele az, hogy A > 3 B igaz legyen, vagyis az apa jelenlegi életkora több mint háromszorosa legyen a lánya életkorának.

EGYENLŐTLENSÉGEK

BEVEZETŐ Hány évesek lehetnek az ötös ikrek, ha tudjuk, hogy 12 év múlva sem éri el az életkoruk összege a 100-at? Megoldás Ha most x évesek, akkor 12 év múlva x + 12 évesek lesznek, az életkoruk összege pedig 5-ször ennyi lesz. A feladat szerint 5 (x + 12) < 100. Egy egyenlőtlenséget kaptunk, a mérlegelvvel oldjuk meg: 5 (x + 12) < 100 / :5 x + 12 < 20 / – 12 x < 8.

Eredményünk azt mutatja, hogy az ikrek még nem érték el a 8 évet. Ellenőrzés Ha most 8 évesek lennének, akkor 12 év múlva az életkoruk összege 5 · 20 = 100 lenne. Ha pedig már most 8 évesnél idősebbek lennének, akkor ez az összeg 100-nál nagyobb szám lenne.

ELMÉLET Az egyenlőtlenségek megoldására is használhatjuk a mérlegelvet. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldásainak a halmaza nem változik meg, ha a <, >, ≤, ≥ jel két oldalán álló kifejezést (számot) – ugyanannyival növeljük vagy csökkentjük, – ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk, – ugyanazzal a negatív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk, és ezzel egyszerre a <, >, ≤, illetve ≥ jelet az ellenkezőjére változtatjuk. Tehát a negatív számokkal való szorzás és osztás esetében különösen figyelnünk kell. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor meg kell fordítanunk a jelet, mert például 3 < 8, de –3 > –8, –5 < 1, de 5 > –1, –9 < –6, de 9 > 6, vagyis a (–1)-gyel való szorzás megfordítja a nagyságviszonyokat. Ugyanez a helyzet az osztással is.

F E L A DAT

Oldd meg a mérlegelv alkalmazásával az egyenlőtlenségeket! a) –23 – 8 x < –15 (–7 – 8 x)

b) 5 (x + 2) 2 – 8 x ≥ 5 x 2 + 12 x

3 − 5x 5 − 4x 7 − ≥− 5 10 20

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

P É L DA

A grafikon alapján döntsük el, melyik természetes számokra igaz, hogy 1 + x ≥ 3 x – 6! y 9

y = 3x - 6

8 7 6 5 4 3

A mérlegelvet használjuk: 1 + x ≥ 3x – 6 / – 3x – 1 –2 x ≥ –7 / : (–2) x ≤ 3,5. Az utolsó lépésnél a ≥ jelet ≤-re változtattuk. Azt kaptuk, hogy az x természetes számnak 3,5-nél kisebbnek kell lennie. Négy ilyen természetes szám van, a 0, az 1, a 2 és a 3.

2. y=1+x

Van-e olyan, legfeljebb 21 cm kerületű háromszög, amelynek oldalai (cm-ben mérve) x, x + 4 és x + 8 hosszúak?

2 1 –1 0 –1

5 x

Megoldás Olyan pontokat kell keresnünk az y = 1 + x egyenletű egyenesen, amelyeknek első koordinátája természetes szám, és amelyekhez legalább akkora második koordináta tartozik, mint az y = 3 x – 6 egyenes megfelelő pontjaihoz. Négy ilyen pont van: (0; 1), (1; 2), (2; 3) és (3; 4). Tehát az N alaphalmazon az 1 + x ≥ 3 x – 6 egyenlőtlenség megoldáshalmaza: {0; 1; 2; 3}.

Megoldás A kívánt tulajdonságú háromszög létezéséhez három feltételnek kell teljesülnie: x > 0 és x + (x + 4) + (x + 8) ≤ 21 (a kerület miatt) és x + 8 < x + (x + 4) (a háromszög-egyenlőtlenség miatt). Meg kell oldanunk a következő egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszert: x > 0 és 3 x + 12 ≤ 21 és x + 8 < 2 x + 4. A második egyenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva: x ≤ 3. A harmadik egyenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva: 4 < x. Olyan pozitív szám azonban nincs, amely 3-nál nem nagyobb, és ugyanakkor 4-nél nagyobb. Nincs tehát a szövegnek megfelelő háromszög.

Megjegyzés Az 1 + x ≥ 3 x – 6 egyenlőtlenséget algebrai úton is megoldhatjuk.

F E L A DAT

Hány olyan, legfeljebb 21 cm kerületű háromszög létezik, amelynek oldalai (cm-ben mérve) x, x + 2 és x + 4 hosszúak? Hány olyan van ezek között, amelyekre x ∈ N?

74 . l e c ke

E GY E N L Ő T L E N S É G E K

x + 4 cm

A grafikonok segítségével oldd meg az egyenlőtlenségeket a természetes számok halmazán, majd a valós számok halmazán is! −x − 1 c) 5 – 2 x > 3,5 – 0,5 x d) a) 0 ≤ 5 – 2 x b) x + 2 ≤ 5 – 2 x ≤ 5 − 2x 4 y

–1 0

–2 –1 0 1

3 x

–2

H Á Z I F E L A DAT

Hajninak biológiából öt osztályzata van, ezek átlaga 3,8. Hány ötöst kell szereznie, hogy az átlaga 4,3-nél nagyobb legyen? Oldd meg módszeres próbálkozással és egyenlőtlenséggel is!

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán a grafikonok segítségével! a) 0 ≥ 3 – 2 x c) 3 – 2 x > – 0,5 x y

1 –1 0

–1 0 1

1 –1 0 2

Oldd meg az egyenlőtlenség-rendszereket! a) 5 – x < 0 és x – 8 ≤ 0 x+3 b) 5 – 4 x ≥ 7 és ≥0 2 14 − 3x 4x + 5 c) < 1 és <x 4 9

4 x

x+6 ≤ 3 − 2x 2 y

Szociális segély igénylésekor a jogosultság egyik feltétele az egy főre jutó jövedelem. A család „létszámát” így határozzák meg: igénylő 1,2, igénylő házastársa 0,9, gyerekenként 0,8. (Tehát egy 3 fős család „létszáma”: 1,2 + 0,9 + 0,8 = 2,9.) Akkor részesülhet a család szociális segélyben, ha a család összjövedelmének és a család fentebb leírt módon kiszámított „létszámának” hányadosa nem haladja meg a 26 500 tallért. Az egyik igénylőnek és házastársának két gyermeke volt, és csak a harmadik gyermekük megszületése után váltak jogosulttá a szociális segélyre. Mennyi lehetett a család összjövedelme, ha az a harmadik gyermek megszületésekor, a gyermek után járó 13 000 tallér családi pótlékkal nőtt?

4 x

b) 3 – 2 x < 6 + x

–1 0

4 x

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Hány gyöke van a (c 2 – 9) x = c 3 + 27 egyenletnek a c paraméter különböző értékei esetén?

Megoldás Alakítsuk szorzattá a c 2 – 9 és a c 3 + 27 kifejezéseket! c 2 – 9 = (c + 3) (c – 3) és c 3 + 27 = (c + 3) (c 2 – 3 c + 9), ezért az adott egyenlet így is felírható: (c + 3) (c – 3) x = (c + 3) (c 2 – 3 c + 9). A mérlegelvet szeretnénk használni, osztanánk az x együtthatójával. Ezt azonban csak akkor tehetjük meg, ha az nem egyen(c + 3)(c 2 − 3c + 9) c 2 − 3c + 9 lő 0-val. Ebben az esetben x = = . (c + 3)(c − 3) c−3 52 − 3 ⋅ 5 + 9 19 Ha például c = 5, akkor az egyenlet gyöke = = 9,5. 2 5−3 Ha azonban (c + 3) (c – 3) = 0, akkor ez az osztás nem végezhető el. Ezt az esetet külön meg kell vizsgálnunk. (c + 3) (c – 3) = 0, ha c + 3 = 0, vagy c – 3 = 0, más esetekben (c + 3) (c – 3) ≠ 0. Ha c + 3 = 0,

akkor c = –3,

az egyenlet: 0 · x = 0,

megoldáshalmaza: R.

Ha c – 3 = 0,

akkor c = 3,

az egyenlet: 0 · x = 54,

megoldáshalmaza: Ø.

Tehát az adott egyenletnek nincs gyöke, ha c = 3, c 2 − 3c + 9 egy gyöke van (a ), ha c valós szám, de nem a 3 és nem a –3, c−3 végtelen sok gyöke van, ha c = –3.

Oldd meg a következő paraméteres egyenleteket (a p paraméter)! a) 2 px – 3 p = 2 – 5 px b) px + 5 x = p 2 + 10 p + 25 c) p 2 x – p 2 = 10 p + 25 (x + 1) d) (p + 3) (p – 3) x = p 2 x – 63

Hogyan kell megválasztanunk a 2. feladat részeiben a p paraméter értékét, ha azt akarjuk, hogy adott egyenletnek egy gyöke legyen, mégpedig egy 3-nál nagyobb szám?

74 . l e c ke

E GY E N L Ő T L E N S É G E K

A p paraméter megválasztásától függően hány gyökük van a következő egyenleteknek? (A megoldáshoz rajzold meg az x  | x | + | x – 5 | függvény grafikonját!) a) | x | + | x – 5 | = p b) | x | + | x – 5 | = px c) | x | + | x – 5 | = px + 10 d) | x | + | x – 5 | = –px + 10

KISEBB, NAGYOBB, EGYENLŐ

F E L A DAT Az Arany gyerekek nagymamája, Teri mama most megy nyugdíjba a Nagyhegyi Gyermekotthonból. Búcsúajándékot készít a 42 felső tagozatosnak. Mindenkinek szán egy 2800 forintos zsebszámológépet vagy egy 3500 forintos mobiltelefont, összesen legfeljebb 130 ezer forint értékben. A 14 nyolcadikosnak mindenképpen telefont akar venni. Hány zsebszámológép és hány mobil telik ki a 130 000 forintból?

a) Hajni ilyeneket írt egy cédulára: m + s = 42; m ≥ 14; 0 ≤ s ≤ 28; 3,5 m + 2,8 s ≤ 130. s

m = 14

42 m

s = 28

Hajninak és Bencének tetszik, hogy Teri mama segít a gyerekeknek. Nekiállnak kiszámolni, hány zsebszámológépet és hány mobilt vehetnek a 130 ezer forintból.

Bence próbálja megfejteni, miről is gondolkozott a nővére. Segíts neki! b) Bencének nem tetszik, hogy két ismeretlen is van. Így indul el: Ha m mobilt veszünk, akkor 42 – m zsebszámológépre lesz szükség. Írd fel, hogy ezek mennyibe kerülnek összesen! c) A teljes költség nem lehet több 130 ezer forintnál. Mennyi lehet ekkor az m? d) Hányféle megoldás jöhet szóba, ha az összes feltételt figyelembe veszed?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

P É L DA

Az állatkertben a „családi” jegy (két felnőtt és két gyerek részére) 5290 Ft. Minden további gyerek után 890 Ft-ot kell fizetni. Mekkora létszámú gyerekcsoportot vigyen két óvónő az állatkertbe, hogy (az óvónőket is beleértve) az egy főre jjutó jjegyár gy 1000 Ft-nál kevesebb legyen? gy

Megoldás egoldás Két óvónő és két gyerek bemehet a családi jeggyel. Jelöljük a további gyerekek számát x-szel. Ekkor a teljes fizetendő összeg 4 + x fő után 5290 + 890 x Ft. 5290 + 890x Az egy főre jutó rész: . Ennek kell 1000 Ft-nál 4+x kevesebbnek lennie.

7 5 . l e c ke

K I S E B B , N AGYO B B , E GY E N L Ő

5290 + 890x < 1000 egyenlőt4+x lenséget a természetes számok halmazán. Az x + 4 ebben az esetben pozitív, ezért nem fordul meg a relációs jel, ha megszorozzuk vele az egyenlőtlenség mindkét oldalát. 5290 + 890x / · (4 + x) < 1000 4+x 5290 + 890 x < 4000 + 1000 x / – 5290 890 x < –1290 + 1000 x / – 1000 x –110 x < –1290 / : (–110) x > 11,73 Tekintve, hogy a gyerekek száma természetes szám, a megoldás x ≥ 12, azaz összesen legalább 12 + 2 = 14 gyerekkel kell menni. Meg kell tehát oldanunk az

Ellenőrzés A 16 belépőért fizetett összeg 5290 + 12 · 890 = 15 970 Ft. Ez kevesebb 16 000 forintnál, így az egy főre jutó jegyár valóban kevesebb 1000 Ft-nál. Megjegyzés Ekkora csoportnak már érdemes csoportos belépőt rendelni. Ezt ugyan korábban kell elintézni, viszont jóval olcsóbb.

Oldjuk meg a valós számok halmazán (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenséget!

Kéttényezős szorzat pontosan akkor pozitív, ha mindkét tényező pozitív, vagy mindkettő negatív. Vizsgáljuk ezért mindkét tényező előjelét. Első megoldás Ábrázoljuk az x  x + 2 és x  4 – x elsőfokú függvényeket!

6 y=x+2

A 4-nél nagyobb számok esetén pedig az első függvény pozitív, a második negatív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok sem megoldásai az egyenlőtlenségnek. A –2 és 4 szintén nem megoldás, hiszen ezek bármelyikének behelyettesítésekor a 0 > 0 hamis kijelentést kapjuk az eredeti egyenlőtlenségből. Összefoglalva: az (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenségnek minden –2 és 4 közötti szám gyöke, és más gyöke nincs. Ezért az egyenlőtlenség megoldáshalmaza a ]–2; 4[ nyílt intervallum.

y y=4-x

A (–2)-nél nagyobb és 4-nél kisebb számok esetén mindkét függvény pozitív értékeket vesz fel, ezért ezek a számok mind megoldásai az egyenlőtlenségnek.

4 3 2 1 –3

–2

–1

A (–2)-nél kisebb számok esetén az első függvény negatív, a második pozitív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok nem megoldásai az egyenlőtlenségnek.

Második megoldás (x + 2 > 0 és 4 – x > 0) vagy (x + 2 < 0 és 4 – x < 0), (x > –2 és 4 > x) vagy (x < –2 és 4 < x). Az első zárójeles egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmaza a ]– 2; 4[ nyílt intervallum, a másodiké pedig az üres halmaz [nincs ugyanis olyan (–2)-nél kisebb szám, amely 4-nél nagyobb lenne]. Tehát az (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a ]–2; 4[ nyílt intervallum.

F E L A DAT

Egy alapítványi iskola bevétele az iskola tanulóinak létszámától is függ. Ha 100-nál több tanulója van az iskolának, akkor a helyi önkormányzattól 50 000 tallért és a 100-on felüli létszám után tanulónként még 800 tallér hozzájárulást kap az iskola. A támogatás feltétele az, hogy a teljes juttatás egy tanulóra jutó összege nagyobb legyen 550 tallérnál, de ne haladja meg a 600 tallért. Mekkora létszám esetén kaphatja meg az iskola az önkormányzati támogatást? Hány megoldása van a feladatnak?

Oldd meg a valós számok halmazán az x+2 a) > 0; 4−x x+2 b) ≤ 0; 4−x 4−x c) ≤0 x+2 egyenlőtlenséget! Megoldásaidat M ellenőrizheted a függvényábrázoló z programok segítségével is.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

H Á Z I F E L A DAT

Hány olyan P(x; y) pont van a koordináta-rendszer síkjában, amelynek mindkét koordinátája egész szám, továbbá: 1 x – 3 ≥ 0 és y – 6 ≤ 0 és y ≥ x + 2? 2

y 9 8

4 < 0 egyenlőtlenséget kellett megx oldania. Úgy gondolta, alkalmazza a mérlegelvet. Mindkét oldalt megszorozta x-szel: 4 < 0. Ez hamis kijelentés, tehát az egyenlőtlenségnek nincs megoldása – gondolta Bence. Mondj véleményt Bence megoldásáról, és érvelj a véleményed mellett! Bencének a

7 6 5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1

–2

Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! x+3 −x − 2 6 − 2x a) b) <0 ≥ 0 c) ≤0 x+5 −x 2x + 3 M Megoldásaidat ellenőrizheted a függvényábrázoló programok segítségével is.

7 5 . l e c ke

K I S E B B , N AGYO B B , E GY E N L Ő

Ha a három szabályos dobókockával dobott pon1 tok összege p, akkor számold ki a 2(9 − p) 5 − p 3 szorzatot! Ha ez a szorzat negatív, akkor nyerünk, egyébként veszítünk. Hányféle pontösszeg esetén nyerhetünk?

EGYENLETRENDSZEREK

P É L DA

Egy sok száz éves feladat: Egy öszvér és egy szamár nagy csomagokkal bandukol az úton. „Ha átadnál nekem 100 kg terhet, akkor éppen kétszer annyit cipelnék, mint te” – mondja a szamár. Az öszvér így felel: „Ha pedig te adnál át nekem 100 kg-ot, akkor az én csomagom háromszor akkora lenne, mint a tiéd.” Mekkora terhet visz a szamár, és mekkorát az öszvér?

Mindkét egyenletet átrendezzük: x = 2y − 300 y = 3x − 400 A 300 és a 400 miatt a grafikus megoldás meglehetősen kényelmetlen lenne, ezért más módszert keresünk. A második egyenletbe beírjuk az x helyébe a vele egyenlő (2y – 300)-at: y = 3 (2y – 300) – 400. A zárójelet felbontva: y = 6y – 900 – 400. Átrendezve: 1300 = 5y, y = 260. Mennyi az x? x = 2y – 300 = 2 · 260 – 300 = 520 – 300 = 220. A szamár tehát 220 kg, az öszvér 260 kg terhet cipelt.

Megoldás Mondjuk, hogy a szamár x kg, az öszvér y kg terhet visz a hátán. Az x és az y olyan pozitív számokat jelöl, amelyekre igaz, hogy x + 100 = 2 (y – 100) és y + 100 = 3 (x – 100). Mennyi az x, és mennyi az y? Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy meg kell oldanunk az x + 100 = 2( y − 100)

Ellenőrizzük ezt a szöveg alapján! Ha az öszvér adna át 100 kg-ot a szamárnak, akkor a szamár 320 kg, az öszvér pedig 160 kg-ot vinne, és a 320 kg valóban kétszerese a 160 kg-nak. Ha a szamár adna át 100 kg-ot az öszvérnek, akkor az öszvér 360 kg, a szamár pedig 120 kg-ot vinne, és a 360 kg valóban háromszorosa a 120 kg-nak. Tehát jól oldottuk meg a feladatot. Eredményünket úgy is kifejezhetjük, hogy az x + 100 = 2( y − 100) y + 100 = 3(x − 100) egyenletrendszer megoldása a (220; 260) rendezett számpár.

y + 100 = 3(x − 100) egyenletrendszert.

ELMÉLET Ha egyenlettel vagy egyenletrendszerrel oldunk meg egy problémát (feladatot), mindig a tartalomra ügyelve végezzük az ellenőrzést!

100

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

P É L DA

Általában két különbözőféle babkonzervet szoktunk vásárolni. Rendszerint fél évre elegendő mennyiséget veszünk. Az egyik konzerv darabja 360 forint, a másiké 200 forint. A félévi mennyiségért 6600 Ft-ot szoktunk fizetni. Most akciósan vettük, a drágábbat 25%-kal, az olcsóbbat 20%-kal kevesebbért, így öszszesen 1500 Ft-ot takarítottunk meg. Melyik fajtából mennyit szoktunk venni?

Megoldás A drágább konzervből x darabot, az olcsóbból y darabot szoktunk venni: 360 x + 200 y = 6600. Az akciós ár a drágább konzerv esetén konzervenként 90 Ft megtakarítást jelent, az olcsóbbnál 40 Ft a megtakarítás konzervenként: 90 x + 40 y = 1500. Meg kell oldanunk a 360x + 200y = 6600 90x + 40y = 1500 egyenletrendszert.

Célszerű mindkét egyenletet egyszerűbb alakra hozni. Az első egyenlet mindkét oldalát 40-nel, a második egyenlet mindkét oldalát 10-zel osztva (mérlegelv) a 9x + 5y = 165 9x + 4 y = 150 egyenletrendszert kapjuk. Az első egyenlet bal oldala y-nal nagyobb az alsó bal oldalánál, a jobb oldala pedig 15-tel, tehát y = 15. Most az első egyenletbe behelyettesítjük az y helyébe a 15-öt: 9 x + 5 · 15 = 165 9 x + 75 = 165 9 x = 90 x = 10. A drágább konzervből tehát 10-et, az olcsóbból 15-öt szoktunk venni. Ellenőrzés Általában 10 · 360 + 15 · 200 = 3600 + 3000 = 6600 Ft-ot szoktunk fizetni. Az akciós vásárlásnál 10 · 90 + 15 · 40 = = 900 + 600 = 1500 Ft-ot takarítottunk meg. Tehát a megoldásunk helyes.

F E L A DAT

Ha az egyik könyvespolcról 20 könyvet áttennénk a másikra, akkor ezen 4-szer annyi könyv lenne, mint amennyi az elsőn maradt. Ha azonban a második polcról tennénk át 20 könyvet az elsőre, akkor az elsőn annyi könyv lenne, mint amennyi a másodikon volt eredetileg. Hány könyv van a két polcon?

3 kg krumpli és 2 kg narancs 710 Ft-ba kerül, 2 kg krumpli és 3 kg narancs pedig 790 Ft-ba. Hány forintba kerül a krumpli, illetve a narancs kilója?

76 . l e c ke

E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

Egy diáknak könnyű, egymásba helyezhető műanyag székeket kell átvinnie a szomszédos terembe egy iskolai rendezvény nézői számára. Ha minden fordulóban eggyel több széket vinne, akkor 2-vel kevesebbszer kellene fordulnia. Ha viszont 1-gyel kevesebb széket vinne, mint most, akkor 4-gyel több fordulóban tudná csak elvinni a székeket. Hány széket kell átvinnie, és ez hány fordulóban sikerül?

1 01

H Á Z I F E L A DAT

Péternek a kávé-nagykereskedésben mindennap ugyanaz volt az egyik feladata: 3000 Ft-os és 4000 Ft-os kilónkénti árú kávéfajtákból 17,5 kg 3600 Ft-os kilónkénti árú kávékeveréket kellett készítenie. Hány kilót vegyen az egyik, illetve a másik fajtából?

Két négyzet területe között 72 m2 különbség van. Az egyik négyzet kerülete 16 m-rel nagyobb a másik négyzet kerületénél. Hány méter a négyzetek oldala?

Két szám összege 60, különbsége 5. Melyik ez a két szám?

Egy kis bolt vezetője szeretné fellendíteni a forgalmát, ezért árukészletének egy részét akciósan adná el. Ha a literenként eddig 250 Ft-ért árult tartós tejet 20%, a literenként 450 Ft-ért árult tejfölt 75 Ftos kedvezménnyel árulná, akkor a teljes készlet kiárusítása esetén 9750 Ft-tal lenne kevesebb e két cikkből a bevétele. Ha a tejet literenként 70 Ft-os kedvezménnyel, a tejfölt pedig 10% kedvezménynyel árulná, akkor 10 650 Ft-jába kerülne az akció. Mennyi tejet és mennyi tejfölt akar akciósan értékesíteni a boltvezető?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Az Arany gyerekeket Gyula nagypapa ausztriai kirándulásra vitte a tavaszi szünetben. Útközben emelkedők, lejtők km és vízszintes útszakaszok is előfordultak. Gyula papa óvatos vezető, az emelkedőkön átlagosan 60 , a lejtős utakon óra km km 120 sebességgel haladt. 140 km-nyi vízszintes szakasz is volt, ezen Gyula papa 80 sebességgel vezetett. Odafelé óra óra 3 óra 45 perc, visszafelé 4 óra alatt tették meg az utat. Hány km-re volt az úti céljuk? Első megoldás (egyenletrendszerrel) 140 km x km

y km

Vízszintes szakasz: 1 óra alatt 80 km-t tesznek meg. 140 : 80 = 1,75, ezért a 140 km-es úton a menetidő 1,75 óra = 1 óra 45 perc. Odafelé az emelkedőkre és a lejtőkre marad 3 óra 45 perc – 1 óra 45 perc = 2 óra, visszafelé pedig 4 óra – 1 óra 45 perc = 2 óra 15 perc = 2,25 óra. Egyenletes mozgást képzelünk, így jó közelítő eredményhez jutunk. Most tehát a megtett út egyenlő a sebesség és a menetidő szorzatával. A menetidőt megkapjuk, ha az út hosszát elosztjuk a sebességgel (persze ügyelnünk kell a mértékegységekre). km Odafelé az emelkedők együttes hossza x km, visszafelé pedig y km, a sebesség 60 , ezért a menetidő: óra x y óra, illetve óra. 60 60

102

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Odafelé a lejtős utak együttes hossza y km, visszafelé pedig x km, a sebesség 120 y x óra, illetve óra. 120 120 Számításaink alapján felírhatunk két egyenletet:

km , ezért a menetidő: óra

x x y y + = 2 és + = 2,25 (odafelé, illetve visszafelé ennyi a me60 120 120 60

netidő a vízszintes útszakaszokat leszámítva). Ez a két egyenlet egyenletrendszert alkot. Az egyenleteket a mérlegelv segítségével egyszerűbb alakra hozzuk: x x y y + = 2,25 / ⋅ 120 + =2 / ⋅ 120 120 60 60 120 x + 2 y = 270 2 x + y = 240 Most a

2x + y = 240 x + 2y = 270

egyszerű egyenletrendszerhez jutottunk. Ezt kell megoldanunk.

Az első egyenletből kifejezzük az y-t: y = 240 – 2 x. Most a 240 – 2 x kifejezést beírjuk a második egyenletbe az y helyébe: x + 2 (240 – 2 x) = 270. Egyismeretlenes egyenletet kaptunk, ezt a mérlegelv felhasználásával oldjuk meg: x + 480 – 4 x = 270; –3 x = –210; x = 70. Ha x = 70, akkor y = 240 – 2 x = 240 – 2 · 70 = 100. Számításunk eredménye azt mutatja, hogy Gyula papa odafelé 70 km-t vezetett 60

km km sebességgel és 100 km-t 120 óra óra

sebességgel, visszafelé pedig fordítva. Ellenőrzés 70 140 100 7 7 5 7 3 + + = + + = 2 + = 3 (óra), 60 80 120 6 4 6 4 4 100 140 70 5 7 7 20 + 21 + 7 48 visszafelé a teljes menetidő: + + = + + = = = 4 (óra), 60 80 120 3 4 12 12 12 tehát jól számoltunk.

Odafelé a teljes menetidő:

Hány km-re volt az úti céljuk? A teljes út: x + 140 + y = 70 + 140 + 100 = 310 kilométer. Második megoldás (egyenlettel) Az út odafelé annyit emelkedik, amennyit visszafelé lejt, és annyit lejt, amennyit visszafelé emelkedik. Tehát az oda-vissza úton ugyanannyit megyünk emelkedőn, mint lejtőn. Jelöljük ezt a hosszúságot, km-ben mérve, s-sel. (Az első megoldás során e hosszúság x + y volt.) Tehát az indulási hely és az úti cél távolsága s + 140 km. A teljes menetidő 7 óra 45 perc volt, ebből a vízszintes szakaszokra jutott 2-szer 1 óra 45 perc, vagyis 3 óra 30 perc, a 2 s km-re pedig 4 óra 15 perc. s s s km-nyi emelkedőt Gyula nagypapa megtett óra alatt, s km-nyi lejtőt pedig óra alatt. Ez összesen 4 óra 15 perc 60 120 s s 1 17 volt: + = 4 = . Ezt az egyenletet a mérlegelvvel könnyen megoldhatjuk. Először megszorozzuk az egyenlet 60 120 4 4 mindkét oldalán lévő kifejezést 120-szal: 2 s + s = 30 · 17; 3 s = 30 · 17; s = 170 (km), az indulási hely és az úti cél távolsága pedig s + 140 = 310 (km). Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy jól oldottuk-e meg a feladatunkat.

76 . l e c ke

E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

103

ALGEBRAI MÓDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSÁRA

P É L DA

Oldjuk meg az

5x + 7 y = 19 2x − 7 y = −12

egyenletrendszert!

Megoldás Az első egyenletben 7 y, a másodikban –7 y szerepel. Összeadjuk a két egyenlet bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldalon álló számokat. Ezek az összegek egyenlők: (5 x + 7 y) + (2 x – 7 y) = 19 + (–12). A zárójelek felbontása és összevonás után azt kapjuk, hogy 7 x = 7, vagyis x = 1. Ezt beírjuk valamelyik egyenletbe, például az elsőbe: 5 · 1 + 7 y = 19 7 y = 14 y=2 Tehát az

5x + 7 y = 19 2x − 7 y = −12

Ellenőrzés Ha x = 1 és y = 2, akkor 5 · 1 + 7 · 2 = 5 + 14 = 19 és 2 · 1 – 7 · 2 = 2 – 14 = –12. Azért volt ilyen egyszerű az egyenletrendszer megoldása, mert a két egyenletben az egyik ismeretlen együtthatójának ugyanaz volt az abszolút értéke. E megoldási módszer neve: az egyenlő együtthatók módszere.

Oldjuk meg a

Ellenőrzés 3 · 3 + 2 · 1 = 9 + 2 = 11, 2 · 3 + 3 · 1 = 6 + 3 = 9, tehát eredményünk mindkét egyenletnek megfelel. Eszerint az adott egyenletrendszer megoldása a (3; 1) rendezett számpár.

egyenletrendszer megoldása az

(1; 2) rendezett számpár.

Most a második egyenletbe az y helyébe beírjuk az 5,5 – 1,5 x kifejezést: 2 x + 3 (5,5 – 1,5 x) = 9. Így egyismeretlenes egyenletet kapunk, ebből kiszámítjuk az x-et: 2 x + 16,5 – 4,5 x = 9 –2,5 x = –7,5 x=3 Ha x = 3, akkor y = 5,5 – 1,5 x = 5,5 – 4,5 = 1.

3x + 2y = 11 2x + 3y = 9

egyenletrendszert!

Második, összehasonlító módszer Mindkét egyenletből kifejezzük valamelyik ismeretlent, például az y-t: Az első egyenletből y = 5,5 – 1,5 x, 2 a másodikból y = 3 − x. 3 2 Ha az y egyenlő az (5,5 – 1,5 x)-szel is és a 3 − x -szel is, 3 2 akkor ezek egymással is egyenlők: 5,5 − 1,5x = 3 − x, ami3 ből azt kapjuk, hogy x = 3. Ha x = 3, akkor y = 5,5 – 1,5 x = 1. Harmadik módszer (az egyenlő együtthatók módszere) Alakítsuk át az adott

Megoldás Első, behelyettesítő módszer Az első egyenletből kifejezzük valamelyik ismeretlent a másik segítségével: 3 x + 2 y = 11 2 y = 11 – 3 x y = (11 – 3 x) : 2 = 5,5 – 1,5 x

104

3x + 2y = 11 2x + 3y = 9

egyenletrendszert

úgy, hogy a megoldása ne változzék meg, de az egyik ismeretlen együtthatói egyenlők vagy egymás ellentettjei legyenek! 3x + 2y = 11

/ ⋅ (−2)

−6x − 4 y = −22

2x + 3y = 9

/ ⋅3

6x + 9y = 27

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Ha egy (x; y) rendezett számpár megoldása mindkét egyenletnek, akkor a bal, illetve a jobb oldalak összeadásával kapott új egyenletnek is megoldása lesz. –6 x – 4 y + 6 x + 9 y = –22 + 27. Ebből az 5 y = 5 egyenletet kapjuk, tehát y = 1. Például az első egyenletbe visszahelyettesítve: 3 x + 2 · 1 = 11, vagyis x = 3. Eredményül most is ugyanazt kaptuk, mint a másik két módszerrel.

1 1   5 x y egyenletrendszert! Oldjuk meg az  2 1   1  x y

Megoldás A feladat elején leolvashatjuk, hogy x ≠ 0, és y ≠ 0, hiszen 0 nem állhat a nevezőben. Ha az egyenletek két oldalán álló számokat megszorozzuk x-szel és y-nal, akkor már nem lesz tört egyik egyenletben sem, de elég bonyolult egyenletekhez jutunk. Tehát ez a kiindulás nem segít a megoldásban. Ehelyett gondoljunk az egyenletekre úgy, mintha nem x és y lenne az ismeretlen, hanem

1 1 és . x y

1 Vezessünk be új ismeretleneket: jelöljük -et a-val és x 1 -t b-vel . y

()

Ezzel a helyettesítéssel a következő egyenleteket kapjuk: a+b=5 * 2a – b = 1 Ezt oldjuk meg az eddig tanult módszerek közül valamelyikkel. Például az egyenlő együtthatók módszerével. Ha összeadjuk a két egyenlet bal, illetve jobb oldalán álló számokat, azt kapjuk, hogy: 3a = 6, és ebből a = 2. Ezt behelyettesítve az első egyenletbe: b = 3. De az eredeti feladat nem a-t és b-t kérdezte, hanem x-et és y-t. 1 1 1 a = , ebből x = = a 2 x 1 1 b = 1 , ebből y = = b 3 y Az egyenletrendszer megoldása tehát az

(12; 13) számpár.

Végezd el az ellenőrzést: helyettesítsd be az eredményt az eredeti egyenletekbe! Ezt a feladatot az új ismeretlenek bevezetésének módszerével oldottuk meg.

F E L A DAT

Oldd meg algebrai módszerrel az egyenletrendszereket! a)

7x − 5y = −1 7x + 5y = −41 x + 9y = 20 4x − 7 y = 37

12x + 35y = −5 8x − 5y = 8 2 7 + =2 x y

Az iskolai rendezvényre készülve a főszervező diák a székeket számolgatja: „Ez most 20 szék soronként. Ha áthelyeznénk a színpadot, akkor 3 sorral kevesebb lenne ugyan, de soronként 30 szék is elférne, és akkor 50-nel többen tudnának leülni.” Hány szék van most a teremben?

4 7 − = 10 x y

Melyik egyenletrendszernek hány megoldása van? a)

77. l e c ke

3x − 10y = 21 3x − 10y = 20

0,6x − 2y = 4 3x − 10y = 20

0,6x − 2y = 8 3x − 10y = 20

A L G E B R A I M Ó D S Z E R E K E GY E N L E T R E N D S Z E R E K M E G O L D Á S Á R A

105

H Á Z I F E L A DAT

Oldd meg algebrai módszerrel az egyenletrendszereket! 2x − 9y = 4

2y − 9x = 59 3x 5 2x

− +

4y 3 y 6

= 11

=−

1 3

2(5x − 4 y)− 3(2x − y) = −8 4(3y − 2x)+ 2(5x − y) = −4 3 2 = y x 2 3 + =1 x y

Egy nemzetközi expresszbusz a kedvező forgalmi viszonyok miatt 8 km/h-val nagyobb átlagsebességgel tudott haladni, mint amit a menetrend előír, így 48 perccel a kiírt időpont előtt érkezett meg. Egy másik alkalommal a csúszós utak miatt az előírt átlagsebességnél 12 km/h-val lassabban tudott csak haladni, így 1 óra 36 percet késett. Mennyi az előírt átlagsebesség? Mekkora utat kell megtennie a busznak a két végállomás között?

Egy kórház egyik új szárnyában összesen 16 kórterem kialakítását tervezik. A kórtermek kétágyasak vagy négyágyasak lehetnek. a) Az egyik terv szerint összesen 54 ágyat helyeznének el. Hány szoba lehetne kétágyas? b) Egy másik terv legalább 10 kétágyas szoba kialakítását javasolja. Hány ágyat tudnának elhelyezni? c) Az építési engedélyben az szerepel, hogy legfeljebb 8 kétágyas szoba alakítható ki. Hány ágyat tudnak elhelyezni?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Egy háromszög oldalainak hossza (mm-ben mérve) a, b és c. Tudjuk, hogy a + b = 27, a + c = 31 és b + c = 34. Mekkorák a háromszög oldalai? bm

c mm

Három ismeretlenünk van, és három egyenletünk. Ezek egy háromismeretlenes egyenletrendszert alkotnak. Első megoldás Arra törekszünk, hogy az egyik ismeretlent „kiküszöböljük”, és kétismeretlenes egyenletrendszerhez jussunk. Az első egyenletből kifejezzük az a-t, és a kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe az a helyébe: a = 27 – b, (27 – b) + c = 31, –b + c = 4.

106

Most a b és a c ismeretlenekre vonatkozó egyszerű egyenletrendszert kaptunk:

−b + c = 4 b + c = 34

A két egyenlet bal oldalának összege 2c, a jobb oldaluk öszszege 38, tehát 2c = 38, amiből c = 19. Most már könnyen megkapjuk az a és a b értékét is: b = 34 – c = 34 – 19 = 15 és a = 27 – b = 27 – 15 = 12. Tehát a vizsgált háromszög oldalainak hossza: 12 mm, 15 mm és 19 mm. Ellenőrzés Két-két oldal összege 27, 34, illetve 31 mm, és ilyen háromszög valóban létezik.

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Második megoldás Összeadjuk az

a + b = 27 a + c = 31 egyenletrendszer bal oldab + c = 34

lán lévő kifejezéseket és a jobb oldalukon lévő számokat. Azt kapjuk, hogy 2 a + 2 b + 2 c = 92, vagyis a + b + c = 46. Ha a háromszög kerülete 46 mm, és két oldalának az öszszegét ismerjük, akkor a harmadik oldal nagyságát azonnal megmondhatjuk: a + (b + c) = a + 34 = 46, tehát a = 12, b + (a + c) = b + 31 = 46, tehát b = 15, c + (a + b) = c + 27 = 46, tehát c = 19. Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az első megoldás esetében. 2x + y − z = 3

Oldjuk meg a

x − y + 2z = −1 háromismeretlenes 3x + 2y + z = 2

egyenletrendszert! Megoldás Először „kiküszöböljük” az egyik ismeretlent, például a z-t.

Az első egyenletből: z = 2 x + y – 3. A kapott kifejezést behelyettesítjük a második és a harmadik egyenletbe a z helyébe. Így két olyan egyenletet kapunk, amelyben csak az x és az y szerepel: x – y + 2 (2 x + y – 3) = –1; 5 x + y = 5; 3 x + 2 y + (2 x + y – 3) = 2; 5 x + 3y = 5. Most tehát az

5x + y = 5 5x − 3y = 5

egyenletrendszert kell meg-

oldanunk. Azonnal leolvashatjuk, hogy y = 0 és x = 1. Most már a z-t is könnyen kiszámíthatjuk: z = 2 x + y – 3 = 2 + 0 – 3 = –1. Ellenőrzés A kapott értékeket mindhárom egyenletbe behelyettesítjük: 2 x + y – z = 2 + 0 + 1 = 3; x – y + 2 z = 1 – 0 – 2 = –1; 3 x + 2 y + z = 3 + 0 – 1 = 2. A behelyettesítéssel csupa igaz állítást kaptunk, vagyis jól oldottuk meg a feladatot. Tehát az adott egyenletrendszernek egy megoldása van, az (1; 0, –1) rendezett számhármas.

ELMÉLET Három- vagy többismeretlenes egyenletrendszer esetében általában annyi egyenletre van szükségünk, ahány ismeretlen szerepel az egyenletrendszerben. Gyakran használt algebrai módszer az, hogy az ismeretlenek számát addig csökkentjük, amíg csak egy marad. A kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk, majd rendre a többi ismeretlent is meghatározzuk.

77. l e c ke

A L G E B R A I M Ó D S Z E R E K E GY E N L E T R E N D S Z E R E K M E G O L D Á S Á R A

1 07

RÉGI IDŐK MATEKJA

F E L A DAT

Egy lánytól megkérdezték, hány éves. Így felelt: Annyi vagyok, amennyi, Anyám kétszer ennyi, Apám öttel több, Összesen 100 évesek vagyunk. Hány éves volt ez a lány?

Egy apának öt fia volt, 4, 5, 8, 11 és 14 évesek. Megkérdezte tőle a barátja, hogy hány éves. Így felelt: Éppen annyi idős vagyok, mint az öt fiam együttvéve. De most te mondd meg nekem azt, hány év múlva leszek feleannyi idős, mint a fiaim összesen! Oldd meg te is ezt a feladatot!

Démokritosz görög bölcs körülbelül 2400 évvel ezelőtt élt. Vajon hány évesen halt meg? Mi derül ki ebből a versikéből? Hogy meddig élt Démokritosz harmadát mint férfiú, megtudod, ha kutatod. ki sokat gondol, mélyre lát. Életének ötödrészén És mikor hollófürtjeit gyermekmódra mulatott, aggkor hava födte be, negyedrészét életének tizenhárom évet élt még, friss ifjúként élte át, és úgy szállt a sírba le. (Megjegyzés: A versike téved, Démokritosz még a 90. születésnapját is megérte.)

108

A hagyomány szerint Ljubusa cseh fejedelemnő ahhoz a kérőjéhez ment férjhez, aki a leggyorsabban tudta megfejteni a következő rejtvényt: Hány szilva volt abban a kosárban, amelyből az első kérőjének adta a szilva felét és még 1-et, a második kérőjének a maradék felét és még 1-et, a harmadik kérőjének az újabb maradék felét és még 3-at, ha így a kosárban már egyetlen szem sem maradt?

Egy réges-régi feladat: Egy ember felfogadott egy munkást, ígért neki egy évre 12 aranyat és egy kaftánt. A munkás 7 hónap után elment, és a bérét kérte. Megkapta a kaftánt és még 5 aranyat. A gazda jól számolt, igazságosan adta ki a bért. Vajon hány aranyat ér a kaftán?

Két bokron összesen 25 veréb ült. Az egyik bokorról átrepült a másikra 5, onnan más tájékra szállt 7 veréb. Így a másodikon kétszer annyi veréb lett, mint az elsőn. Hány veréb volt eredetileg az egyik bokron, és hány a másikon?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Hány éves János, és hány éves Mihály, ha tudjuk, hogy amikor Mihály annyi idős lesz, mint János most, akkor együtt 35 évesek lesznek; most pedig János háromszor annyi idős, mint Mihály volt akkor, amikor János annyi idős volt, mint Mihály most?

Mátyás vitéz lovat és nyerget vásárolt magának és a szolgájának. Az egyik nyeregért 25 ezüstöt, a másikért 120 ezüstöt fizetett. A Ráró a drágább nyereggel háromszor annyiba került, mint a Pejkó az olcsó nyereggel. A Pejkó és a drágább nyereg ára együtt azonban csak feleannyi volt, mint a Ráróé az olcsóbb nyereggel. Mennyiért vette Mátyás vitéz a Rárót?

H Á Z I F E L A DAT

Egy régiségkereskedő egy festményt és egy értékes sakk-készletet vásárolt 270 ezüstért. A sakk-készletet 25%-kal drágábban adta el, mint amennyiért vette, a festményt pedig másfélszeres áron. Így ezen a két üzleten együtt 40%-ot nyert. Mennyiért vette a sakkot?

Két ember valamilyen árut akart vásárolni. Így 2 szólt egyik a másikhoz: „Add nekem a pénzed 3 részét, abból meg az én pénzemből kifizetem az egész árut.” „Add ide te – mondta a másik – a te pénzed felét, és akkor én fizetem ki az árut.” Az áru 120 ezüstbe került. Mennyi pénzük volt?

Két hordóban összesen 480 liter bor van. Ha az első hordóból átöntünk a másodikba annyit, amennyi a másodikban eredetileg volt, azután a másodikból az elsőbe visszaöntünk annyit, amennyi az elsőben maradt, akkor a két hordóban ugyanannyi bor lesz. Melyik hordóban hány liter bor volt eredetileg?

Egy csapat halász vízre szállt. Eltervezték, hogy ha naponta 6 tonna halat fognak, akkor még a várható vihar előtt kifogják a megrendelt mennyiséget. Jó volt a fogás, naponta 4 tonnával többet fogtak ki a tervezettnél. Így 3 nappal lerövidítették a halászat tervezett időszakát, és még 6 tonnával többet is fogtak, mint amennyit eredetileg akartak. Mennyi halat fogtak?

7 8 . l e c ke

R É G I I D Ő K M AT E K JA

109

GYAKORLATI PROBLÉMÁK

F E L A DAT

A táblázat egy hamburger és egy közepes adag sült krumpli fehérje-, illetve szénhidráttartalmát mutatja: Hamburger

Sült krumpli

Fehérje (g)

Szénhidrát (g)

a) Mennyi fehérjét és mennyi szénhidrátot jelent a szervezet számára két hamburger és egy sült krumpli? b) Hány hamburgert és hány adag sült krumplit kell megenni 59 g fehérje és 258 g szénhidrát beviteléhez? [Az irányadó napi beviteli érték (INBÉ) egy „átlagos gyerek” számára 75 g fehérje és 275 g szénhidrát. A megadott értékek egy gyorsétteremlánc honlapjáról származnak.]

Megjegyzés Annyi hamburgerben és krumpliban, amennyi a fenti fehérje- és szénhidrátértékeket szolgáltatja, a napi zsírszükséglet kb. másfélszerese, illetve a napi sószükséglet kb. kétszerese van.

110

A grafikon azt mutatja, hogy egy üzleti vállalkozás bizonyos összegű befektetés mellett mekkora haszonra számíthat. Ha például a befektetés 2,25 millió Ft, akkor a várható nyereség legalább 1,75 millió és legfeljebb 2,75 millió Ft. Várható nyereség (millió Ft)

1 Befektetés (millió Ft) 0

a) Mekkora a várható nyereség, ha a befektetés 1,5 millió Ft? b) Mekkora befektetett összeg esetén lehet a vállalkozásnak reménye arra, hogy legalább 2 millió Ft lesz a nyeresége? c) Mutasd meg, hogy van olyan befektetési összeg, amely várhatóan kétszeres nyereséget eredményez! Hogyan lehet az összes ilyen lehetőséget szemléltetni? d) Az alábbi egyenlőtlenségek közül válaszd ki azokat, amelyek együtt pontosan megadják a sötétkék ponthalmazt! 2 A) x ≤ 2,25 F) y ≥ x + 1,25 3 B) x > 2,25 x 2 C) 0,75 ≤ x ≤ 2,25 G) + 1 ≤ y ≤ x + 1,25 3 3 D) y ≤ 2,75 2 x E) 1,25 ≤ y ≤ 2,75 H) x + 1,25 ≤ y ≤ + 1 3 3 e) Hányszorosa lehet a várható nyereség a befektetett összegnek? Add meg a legkisebb és a legnagyobb hányadost! Hogyan lehet szemléltetni ezeket?

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Egy biobolt tulajdonosa 2200 Ft kilónkénti árú kesudiót és 1400 Ft/kg egységárú aszalt gyümölcsöt kevert össze, majd az így kapott keveréket kis csomagokban árulta. Összesen 10 kilót adott el 25%-os haszonnal, így 22 000 Ft bevételre tett szert. Mennyi kesudiót és mennyi aszalt gyümölcsöt használt fel?

H Á Z I F E L A DAT

A villanyszámla 2001-ben három részből tevődött össze egy háztartásban, ahol a vízmelegítésre és fűtésre éjszakai áramot is használtak: – alapdíj: ez a mindenkori fogyasztástól független készenléti díj, havonta 240 Ft; – nappali fogyasztás díja: 1 kWh fogyasztás esetén 19,80 Ft; – éjszakai fogyasztás díja: 1 kWh fogyasztás esetén 10,20 Ft. Ezeket az összegeket még 12%-os áfa terhelte. a) Számítsd ki, hogy mennyit fizettek a hó végén, ha 155 kWh nappali és 62 kWh éjszakai „áramot” (elektromos energiát) használtak! b) Hogyan függött a két típusú fogyasztástól a fizetendő összeg? (Jelölje pl. x a nappali, illetve y az éjszakai áramfogyasztást kWh-ban.) c) Mennyi volt a fogyasztásuk abban a hónapban, amelyben 12 350 Ft-ot fizettek, és az éjszakai energiafelhasználás a nappali felhasználásnak a 60%-a volt? Egy mosogatógépen háromféle program van. Az I. program egy mosogatáshoz 10%-kal kevesebb elektromos energiát, viszont 20%-kal több vizet használ fel, mint a II. program. A II. program 25%kal több elektromos energiát és 30%-kal kevesebb vizet használ, mint a III. program.

7 9 . l e c ke

GYA KO R L AT I P RO B L É M Á K

Az I. programmal alkalmanként 220 petákba, a II. programmal alkalmanként 200 petákba kerül a mosogatás. Mennyibe kerül a III. programmal egyegy mosogatás?

Sövény készítéséhez kétfajta cserjét vásárolnánk. Összesen 60 tőre van szükségünk. Az egyik cserje darabja 18 tallér, a másiké 25 tallér. a) Mennyibe kerülne a 60 darab cserje, ha az olcsóbból kétszer annyit vennénk, mint a másikból? b) Végül 1234 tallérért llérért vásároltuk vásárolltuk meg a 60 cserjét. Hány darabot vettünk az egyes faj-tákból?

111

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG

Egy 3000 méter kerületű, ellipszis alakú lovaspálya két szemközti pontjáról indul két lovas, Mari és Pali. A sebességük állandó. Ha egymással szembe lovagolnak, akkor p másodperc múlva találkoznak, ha ugyanabba az irányba indulnak, akkor Mari 15 p másodperc múlva utoléri Palit. Mekkora a sebességük?

Jelöljük Mari m/s-ban mért sebességét x-szel, Paliét pedig y-nal. A feladat szerint x > y. Amikor egymással szemben haladnak, akkor Mari px méter utat tesz meg a találkozásig, Pali pedig py métert. A két út öszszege 1500 méter, tehát px + py = 1500. Amikor azonos irányban indulnak el, akkor Mari 15 px méter megtétele után éri utol Palit, aki addig 15 py métert tett meg. Mari útja 1500 méterrel nagyobb, mint Palié: 15 px – 15 py = 1500, vagyis px – py = 100. px + py = 1500

A két lovas sebességét megkapjuk, ha megoldjuk a

px − py = 100

egyenletrendszert. Itt x és y a két ismeretlen, p pedig

egy pozitív paraméter. Első megoldás (behelyettesítő módszer) Az első egyenletből: px = 1500 – py, ezt behelyettesítjük a második egyenletbe: 1500 – py – py = 100; 2 py = 1400; py = 700. Ebből px = 1500 – py = 1500 – 700 = 800. A p-vel oszthatunk, mert az biztosan nem 0. 800 700 Tehát x = ; y= . p p Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy valóban ez a két lovas sebessége. Második megoldás (egyenlő együtthatók módszere) px + py = 1500 px − py = 100

2 px = 1600 800 x= p Tehát Mari sebessége

112

px + py = 1500 px − py = 100

/−

2 py = 1400 700 y= p 800 m 700 m és Pali sebessége . p s p s

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Oldjuk meg az x+a = 3a y x + 3a =a y

paraméteres egyenletrendszert!

Megoldás Az egyenletrendszer értelmezési tartománya azoknak az (x; y) rendezett pároknak a halmaza, amelyekre x ∈ R és y ∈ R \ {0}. Az első egyenletből x = 3 ay – a, ezt behelyettesítjük a második egyenletbe: 3ay − a + 3a 3 ay + 2 a = ay; 2 ay = –2 a. = a; y – Ha a = 0, akkor egyenletünk 0 = 0 alakú, az y értékétől függetlenül. Milyenek az eredeti egyenletek ebben az x = 0 alakot veszi fel. Ez akkor és y csakis akkor áll fenn, ha x = 0 és y ≠ 0. Tehát ebben az esetben végtelen sok megoldása van az adott egyenletrendszernek. – Ha a ≠ 0, akkor a 2 ay = –2 a egyenlet két oldalán álló kifejezéseket eloszthatjuk 2 a-val. Azt kapjuk, hogy y = –1. Ezt behelyettesítjük valamelyik, például az első egyenletbe:

x+a x+a = 3a; x + a = –3 a; x = –4 a. = 3a; y −1 Most egy megoldást kaptunk. Behelyettesítéssel igazolhatjuk is, hogy a (–4 a; –1) rendezett számpár megoldása egyenletrendszerünknek. Összefoglalva Ha a = 0, akkor végtelen sok megoldás van, azok az (x; y) rendezett számpárok, amelyekben x = 0 és y ∈ R \ {0}; ha a ≠ 0, akkor egy megoldás van, a (–4 a; –1) rendezett számpár.

Oldd meg az 5px − py = 10p 2 x + y = 2p

paraméteres egyenletrendszert!

esetben? Mindkettő az

7 9 . l e c ke

GYA KO R L AT I P RO B L É M Á K

Oldd meg a 2px + 3py = 13p 2 4 px − py = −2p 2

paraméteres egyenletrendszert!

113

GYAKORLÁS

F E L A DAT

Bence dolgozatírásra készül, nekiáll gyakorolni. Oldd meg ugyanezeket a feladatokat te is! a) Szorzattá alakít két egyszerű és két kevésbé egyszerűnek látszó kifejezést: A) x 2 – 2 xy; C) (x 2 – 2 xy) + (xy – 2 y 2); 2 B) xy – 2 y ; D) x 2 – xy – 2 y 2. b) Megoldja az x 3 – 3 x 2 – 4 x + 12 = 0 egyenletet. c) Megkeresi az összes olyan (x; y) rendezett számpárt, amelyekben egyjegyű pozitív egész számok szerepelnek, és amelyeket az x 3 – 3 x 2 y 2 – 4 xy + 12 y 3 = 0 egyenletbe behelyettesítve igaz állítást kap.

Aranyék ablakaiban és erkélyükön virágládák vannak, 8 nagy és 8 kicsi. A nagy láda méretei: 62 cm, 12 cm, 12 cm, a kis láda méretei: 40 cm, 12 cm, 12 cm. Dédmama szereti megtervezni a tavaszi palántázást, ezért összeírja a teendőket: – Mindegyik ládába 6–8 cm magasan friss földet teszünk. – Petúnia- és körömvirág-palántákat vásárolunk. – Ültetés: egy petúniapalánta számára 15 cm, egy körömvirág-palánta számára 12 cm hely kell. Ez azt jelenti, hogy egy nagy ládában elfér 4 petúniapalánta vagy 5 körömvirág-palánta, egy kis ládában pedig 3 körömvirág-palánta vagy (kicsit összeszorítva) 3 petúniapalánta. Költségvetés: – virágföld 20 literes csomagban 1000 Ft, 8 literes csomagban 450 Ft, – egy petúniapalánta ára 150 Ft, – egy körömvirág-palánta ára 80 Ft. a) Hajni segít a dédmamának megtervezni azt, hogy melyik palántából hányat vásároljanak, ha 10 000 forint áll rendelkezésre. Ebből nem akarnak spórolni, hanem minél több palántát szeretnének vásárolni.

114

A) Először kiszámítja, mennyibe kerül a virágföld, ha 8 cm mélységig tesznek a ládákba friss földet. B) A maradék pénzre vonatkozóan felír két összefüggést: Ha x petúniapalántát és y körömvirág-palántát vesznek, akkor ezeknek az ára (150 x + 80 y) forint, ez kisebb vagy egyenlő a földvásárlás után a 10 000 forintból megmaradt összeggel. A másik összefüggést onnan kapja, hogy a ládák 816 centiméteres összhosszúsága közelítőleg (15 x + 12 y)-nal egyenlő. A ≤ és a ≈ jelek helyett is egyenlőségjelet ír, így egy egyenletrendszerrel kell megbirkóznia. Hosszas számolás után arra jön rá, hogy ennek nincs megoldása. Igaza van-e Hajninak? C) Ezután Hajni megvizsgálja, mi a helyzet, ha csak 6 cm mélyen cserélik ki a földet. Nem babrál vele sokat, látja, hogy a földvásárlásra szánt pénznek a negyedét takarítják meg, ezt hozzáteszi a palántavásárlásra jutó összeghez. Így már kap megoldást! Vajon hány petúniapalántát és hány körömvirág-palántát vehet dédmama? D) Hajni kevesli a petúniákat. Bencével megbeszélik, hogy majd hozzátesznek a 10 000 forinthoz még 1400-at, így 20 körömvirág helyett 20 petúniát vehetnek. Azt látják, hogy így nem sokkal különbözik egymástól a kétféle palánta száma. Számolj tee is Hajnival! Azután tervezd ervezd meg, hogyan helyeznéd el ában a a 16 ládában sok palánntát!

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

b) Dédmama megköszöni a gyerekek fáradozását, elfogadja, hogy 6 cm-nyi legyen a friss föld, de azután a saját feje után megy. „Nem kell ide egyenletrendszer – mondja. – A nagy ládákba teszek 4-4 petúniát, a kicsikbe 4-4 körömvirágot. Mennyibe is kerül ez? Alig több 10 000 forintnál. A többletet majd lealkuszom a virágárusnál!” Mennyit fog lealkudni dédmama?

b) Egy magazinban olyan megoldást láttak, hogy alul egy bizonyos magasságig sötét színűek a csempék, felette világosak. Mindkét fajta csempéből 50 db van egy dobozban, a sötét csempe ára 3950 Ft/doboz, a világosé 2690 Ft/doboz. Melyik fajtából mennyit vettek, ha csak annyi doboz csempét vásároltak, amennyire okvetlenül szükség van, és a végén 52 030 Ft-ot fizettek a csempéért? A csempék mérete 15 cm × 15 cm. c) A mosdó és a mosógép bekötéséhez kellene még 3 zárócsap, egy 1790 Ft-os lefolyócső és egy 420 Ft-os műanyag közdarab. Zárócsapból sokfélét lehet kapni, de Arany úr szeretné, ha az öt alkatrész átlagára 1200 Ft alatt maradna. Legfeljebb mennyit engedhet meg így egy-egy zárócsapra?

Arany úr szeretné újracsempézni a fürdőszobát. A fürdőszoba falait 2,4 m magasságig akarja befedni. Az ajtó fölött beépített szekrény van, ott nem kell csempézni. A fürdőszoba alaprajzát az ábra mutatja.

180 cm

240 cm

120 cm

195 cm

a) A család négyzet alakú csempéket szeretne. Lehetséges-e ilyenekkel kicsempézni? Ha igen, mekkora a maximális csempeméret?

H Á Z I F E L A DAT

Oldd meg az egyenleteket! Hány elemű a megoldáshalmazuk? a) (2 x – 1) (5 x + 8) = 0 b) (2 x – 1) (5 y + 8) = 0 c) x 2 y + 6 xy + 9 y = 0

Add meg a kifejezés értelmezési tartományát, majd alakítsd algebrai törtté! 7 x+5 5c + 3 c + 10 + − a) c) 2 2 x c + c 2c + 2 x b)

3g − 5 7g − 6 − +2 6g 4g

d 2 − 9 d 2 + 4d + 4 ⋅ d 2 − 4 d 2 − 6d + 9

Állapítsd meg a polinom fokszámát, majd alakítsd elsőfokú polinomok szorzatává! a) wt 2 – 8 wt + 16 w c) 25 c 3 – 16 c b) 9 p 2 – 1 d) x 2 y + xy 2 – 4 xy

Oldd meg az egyenletrendszereket! a)

7x + 4 y = −10 8y − 9x = 210 3x − 7

5 3y − 7 5

8 0 . l e c ke

GYA KO R L Á S

+ +

4y + 5 15 4x + 5 15

c) =4

5 3 − = −4 x y 6 2 + = 6,4 x y

115

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Egy kis furfanggal nagyon bonyolultnak látszó egyenletrendszereket is meg tudunk oldani. Az alábbi kidolgozott feladatokat új ismeretlen bevezetésével oldottuk meg. F E L A DAT

Oldjuk meg a

3 + 5x = 7 x−y 5 + x = −3 x−y

egyenletrendszert!

Megoldás A nevezőben kétszer is szerepel az x – y, ezért egyszerűbb egyenleteket kapunk, ha az

1 helyébe egy új betűt írunk. x−y

Legyen ez a betű a k. Ekkor az adott egyenletrendszer ilyen alakba írható: 3k + 5x = 7 . 5k + x = −3 Ezt az egyenletrendszert most a behelyettesítő módszerrel oldjuk meg. A második egyenletből: x = –3 – 5 k. Az első egyenletbe az x helyébe beírjuk a –3 – 5 k kifejezést, és kiszámítjuk a k értékét: 3 k + 5 (–3 – 5 k) = 7; 3 k – 15 – 25 k = 7; –22 k = 22; k = –1. Ha k = –1, akkor x = –3 – 5 k = –3 – 5 · (–1) = 2. 1 1 Mit is jelöltünk k-val? Az számot. Most tudjuk, hogy = −1, vagyis x – y = –1, és azt is tudjuk, hogy x = 2. x−y x−y Mennyi az y?

x – y = –1;

2 – y = –1,

–y = –3,

y = 3.

Tehát x = 2 és y = 3. Helyettesítsük be ezeket a számokat az eredeti egyenletekbe: 3 + 5x = 7 x−y 5 + x = −3 x−y

;

3 + 5 ⋅ 2 = –3 + 10 = 7 2−3 5 + 2 = –5 + 2 = –3 2−3

A 2 és a 3 behelyettesítésével mindkét egyenletből igaz állítást kaptunk, tehát egyenletrendszerünknek van megoldása, a (2; 3) rendezett számpár. Számításunkból az is következik, hogy más megoldása nem lehet.

Melyik számot jelölheti az x és az y betű, ha 25 (x + y) 2 = (x + y) 4 és (x – y) 2 = 3 (x – y)?

Megoldás Írjunk az x + y és az x – y helyébe is egy-egy új betűt, például legyen x + y = c és x – y = d. Ekkor két egyismeretlenes egyenletet kapunk: 25 c 2 = c 4 d 2 = 3 d. E két egyenletet külön-külön megoldjuk: 25 c 2 – c 4 = 0 d2 – 3d = 0 c 2 (25 – c 2) = 0 d (d – 3) = 0 tehát d = 0 vagy d = 3. c 2 (5 + c) (5 – c) = 0 tehát c = 0, c = 5 vagy c = –5.

116

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

Párosítsuk össze a c és a d kapott értékeit! c: 0 5 –5 d: 0

Hat esetet kell tehát megvizsgálnunk. – Ha c = 0 és d = 0, vagyis x + y = 0 és x – y = 0, akkor az x+y=0 x−y =0

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azonnal megkapjuk, hogy x = 0 és y = 0. – Ha c = 0 és d = 3, vagyis x + y = 0 és x – y = 3, akkor az x+y=0 x−y =3

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azt kapjuk, hogy x = 1,5 és y = –1,5. – Ha c = 5 és d = 0, vagyis x + y = 5 és x – y = 0, akkor az x+y=5 x−y =0

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azt kapjuk, hogy x = 2,5 és y = 2,5. – Ha c = 5 és d = 3, vagyis x + y = 5 és x – y = 3, akkor az x+y=5 x−y =3

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 1. – Ha c = –5 és d = 0, vagyis x + y = –5 és x – y = 0, akkor az x + y = –5 x−y =0

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azt kapjuk, hogy x = –2,5 és y = –2,5. – Ha c = –5 és d = 3, vagyis x + y = –5 és x – y = 3, akkor az x + y = –5 x−y =3

egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenlő együtthatók módszerével azt kapjuk, hogy x = –1 és y = –4. Összesítve A

25(x + y)2 = (x + y)4 (x − y)2 = 3(x − y)

egyenletrendszernek 6 megoldása van, 6 rendezett számpár.

Az egyenletrendszer megoldáshalmaza: {(0; 0), (1,5; –1,5), (2,5; 2,5), (4; 1), (–2,5; –2,5); (–1; –4)}. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy mindegyik számpár megoldása mindkét egyenletnek. Okoskodásunkból az is következik, hogy nincs több megoldás.

8 0 . l e c ke

GYA KO R L Á S

1 17

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

Oldd meg az egész számok halmazán a következő egyenletet! (x + 3) 2 + (x + 2) 2 – (x – 3) 2 – (x – 2) 2 = 60.

Oldd meg az egyenletrendszereket!

2 5    17 x y a)   2 3     11  x y

3, 5x  4 y  5 b)  16 y  14 x  2

Két hordóban összesen 160 liter benzin volt. Mindkettőből kivettek 10 liternyit, így az első hordóban maradt benzin negyedrésze ugyanannyi lett, minta második hordóban maradt benzin harmadrésze. Mennyibenzinvolteredetilegaz első hordóban?

Egy folyó sebessége 2 km/óra. Folyásirányban („lefelé”) evezve óránként 10 km-t teszünk meg. Milyen messzire evezzünk, hogy az oda-vissza út összesen 4 óra hosszat tartson?

Egy tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. Ha a számlálójához hozzáadunk 29-et, a nevezőjéhez pedig 11-et, éppen a reciprokával egyenlő törtet kapunk. Melyik ez a tört?

Egy építtető gazda egy bizonyos munka elvégzésére felfogadott egy kőművest a következő feltételekkel: Minden nap, amikor dolgozik, 5 ezüstöt fizet a kőművesnek, de ha nem dolgozik, akkor arra a napra a kőműves tartozik fizetni 7 ezüstöt. Hány napot dolgozott, és hány napot pihent a kőműves, ha 48 nap alatt készült el a munkával, de egy garast sem keresett, igaz, nem is vesztett rajta?

Két különböző teljesítményű traktor 15 óra alatt a búzaföld hatodrészét szántotta fel. Ha az első traktor egyedül dolgozott volna 12 órát, azután pedig a második 20 órát, akkor a búzaföld ötödét szántották volna fel. Mennyi idő alatt tudja felszántani az egész búzaföldet egyedül az első traktor?

Színezd ki egy x–y koordináta-rendszer síkjában azokat a P(x; y) pontokat, amelyekre igaz, hogy (x – 4) (y + 1) > 0!

TUDÁSPRÓBA I.

118

Egy tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. 1 A tört értéke . Mekkora a számláló? 3

Mennyi

Oldd meg a negatív egész számok halmazán a következő egyenletet! (x + 5) 2 + (x + 5) (x – 5) – (x – 5) 2 = 20 x + 11.

Csupa 50 és 100 forintos érmével fizetünk ki 7850 forintot. Az érmék száma összesen 100. Hány 50 forintost használtunk fel?

(a + b)2 − (a − b)2 , 2a 3 5 ha a = 5 és b = −12 ? 4 11

H O GYA N S E G Í T A Z A L G E B R A A P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N ?

Algebra

TUDÁSPRÓBA II.

Egy negatív tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. A tört nem írható fel egész szám alakjában. Mi lehet a nevezője?

Benő nem nagyon szeret olvasni, de most muszáj a 266 oldalnyi kötelező olvasmányt legyűrnie. Minden nap olvasott valamennyit, hol pontosan 28 oldalt, hol meg pontosan 14-et. a) Legalább, illetve legfeljebb hány nap alatt olvashatja el Benő a könyvet? b) Ha 12 nap alatt akar a kötelező olvasmány végére jutni, akkor hány alkalommal kell 28 oldalt olvasnia? c) Benő minden nap végén ábrázolta, hogy hány oldalt kell még a kötelező olvasmányból elolvasnia. Melyik grafikon lehet az „igazi”? 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Oldd meg az egyenletrendszert! 3,7x − 8,4 y = 79 9,3x + 4,2y = 72

Két borkereskedő érkezik a határhoz. Az egyiknek 64, a másiknak 20 hordó bora van. A határon átvitt bor után vámot kell fizetni, de nincs elegendő készpénzük a kifizetéséhez. Ezért az első kereskedő odaad 5 hordó bort és még 40 ezüstöt, a másik odaad 2 hordó bort, és visszakap 40 ezüstöt. Így már bevihetik árujukat az országba. Mennyit ér egy hordó bor, és mennyi vámot kell utána fizetni?

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! 17 a) (5 – x) (2 x + 3) < 0 b) ≥0 x+7

Egészségügyi okok miatt nem tanácsos, hogy sportolás közben a pulzusszám túl magas legyen. Régebben azt javasolták, hogy a maximális pulzusszám ne haladja meg a következő képlet szerinti értéket: megengedett maximális pulzusszám = 220 – életkor. Az újabb kutatások alapján kissé módosították a képletet: megengedett maximális pulzusszám = 208 – (0,7 · életkor). a) Arany Bence 15 éves. Mekkora a megengedett maximális pulzusszáma a régebbi és az új képlet szerint? b) Hány éves korban lesz a javasolt maximális pulzusszám kisebb 170-nél az újabb képlet szerint? Ez az életkor magasabb vagy alacsonyabb, mint amennyi a régi képlet szerint adódik? c) Van-e olyan életkor, amelyhez a régi és az új képlet szerint is ugyanakkora a megengedett maximális pulzusszáma? Ha igen, akkor mekkora ez a pulzusszám, ha nem, akkor miért nem?

8 1 . l e c ke

GYA KO R L Á S

119

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A SÍKON

BEVEZETŐ A képen egy úgynevezett kaleidoszkópminta látható. Az ilyen mintákban a kép egy részlete ismétlődik a végtelenségig. Milyen módon tudnánk a pirossal kiemelt részletet átvinni a kép egy másik részére, hogy az ott is pontosan illeszkedjen? A különböző színű háromszögek mind ugyanazt a képrészletet ábrázolják. – Eltolás: A zöld háromszöget úgy kaptuk, hogy a pirosat egyszerűen odébb toltuk. – Elforgatás: A lila háromszöget úgy kaptuk, hogy a pirosat az egyik csúcsa körül elforgattuk. – Tükrözés: a narancssárga háromszöget a pirosnak a szaggatott vonallal jelzett tengelyre való tükrözésével kaptuk.

ELMÉLET Tanultuk, hogy a geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartománya is és értékkészlete is ponthalmaz. A transzformáció során egy ponthoz hozzárendelt pontot az eredeti pont képének mondtuk. Ha egy transzformáció távolságtartó, vagyis bármely két pont távolsága ugyanakkora, mint a képeiké, akkor ezt egybevágósági transzformációnak nevezzük. Egybevágósági transzformációk esetében egyenes képe egyenes, kör képe vele egyenlő sugarú kör, szög képe vele egyenlő szög. Ha két ponthalmazhoz van olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át, akkor ezeket a ponthalmazokat egybevágóknak mondjuk. Az egybevágósági transzformációk között fontosak a mozgások és a tükrözések. A matematikában egy ponthalmaz helyváltoztatását akkor nevezzük mozgásnak (mozgatásnak), ha a ponthalmaz minden egyes pontja egyformán változtat helyet. A mozgás során az alakzatok mérete és formája nem változik meg, minden mozgatás egybevágósági transzformáció. A mozgatással kapott ponthalmaz egybevágó az elmozdítottal. Tehát mozgásról van szó, ha egy széket felemelünk és máshol teszünk le, ha a ceruzánkat az asztalon elforgatjuk. Matematikai értelemben azonban nem mozgás, amikor a függönyt félrehúzzuk, a hajunkat felcsavarjuk, vagy egy 20 cm-es gumiszalagot kihúzunk 25 cm-esre.

120

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

A geometriai transzformációk tulajdonságai vizsgálhatók a GeoGebra programmal is. Mozgatások egy síkban 1. Pont körüli forgatás Megadunk egy síkban egy pontot, egy szöget és egy forgási irányt. A sík minden egyes pontját elforgatjuk az adott pont körül az adott szöggel, az adott irányba. Ha a forgatás szöge hegyes- vagy derékszög, akkor minden egyenes akkora szöget alkot az elforgatottjával, amekkora a forgatás szöge. A forgatás irányát pozitívnak mondjuk, ha az ellentétes az óramutató járásával, negatívnak mondjuk, ha az megegyezik az óramutató járásával. Ha a forgatás szöge mellé nem írunk előjelet, akkor azt pozitívnak gondoljuk. k¢ P

C¢

P a e¢

B O

80° O = O¢

80° 80° B¢

A jobb oldali ábrán a szerkesztés azt mutatja, mi történik a sík O pont körüli 80°-os elforgatásakor egy körrel és egy sokszöggel.

A¢

2. Középpontos tükrözés Megadunk egy síkban egy pontot. A sík minden egyes pontját elforgatjuk az adott pont körül 180°-kal. Ez a pont körüli forgatás egy különleges esete. Ha egy egyenes átmegy az adott ponton, akkor egybeesik a képével. Ha egy egyenes nem megy át az adott ponton, akkor a képe párhuzamos vele.

P e C

B 180°

K = K¢

k A K = K¢

e¢ A¢ P¢

A jobb oldali ábrán a szerkesztés azt mutatja, mi történik a sík K pontra való tükrözésénél egy körrel és egy sokszöggel.

8 2 . l e c ke

B¢

C¢

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A S Í KO N

k¢

121

3. Eltolás Megadunk egy síkban egy vektort. A sík minden egyes pontját elmozdítjuk az adott v vektorral. Ha egy egyenes egyállású az eltolás vektorával, akkor a képe önmaga, minden más esetben az egyenes és a képe párhuzamos egymással.

C v

e¢

R¢ P

B u

A¢

u C¢

g = g¢

B¢

k¢

A jobb oldali ábrán a szerkesztés azt mutatja, mi történik egy körrel és egy sokszöggel, ha a síkjukban egy adott u vektorral eltoljuk őket. Egy sík pontjainak mozgatása a síkból kilépve Egyenesre vonatkozó (tengelyes) tükrözés Megadunk egy síkon egy egyenest, ezt tengelynek nevezzük. Fordítsuk át a síkot a tengely körül (forgassuk el a síkot a tengely körül 180°-kal). Ekkor a sík elforgatottja az eredeti sík lesz, de csak a tengely pontjai maradnak helyben. A síknak azt a transzformációját, amely a sík pontjaihoz az átfordítás után kapott megfelelő pontokat rendeli, tengelyes tükrözésnek nevezzük. A sík egy P (illetve Q) pontjának és a tengelyes tükrözéssel kapott P’ (illetve Q’) képének elhelyezkedését a bal oldali ábrán láthatjuk. e

a P

P b

t = t¢

Q = Q¢ t = t¢

t = t¢

Q = Q¢

a¢

P¢

b¢

P¢

P¢ e¢

A tengely képe önmaga. Ha a sík egy egyenese merőleges a tengelyre, akkor egybeesik a képével, ha párhuzamos a tengellyel, akkor a képe is párhuzamos vele. Ha egy egyenes metszi a tengelyt, de nem merőleges rá, akkor a képét a tengelyen metszi. Az egyenes és a képe ugyanakkora szöget alkot a tengellyel.

Az alsó ábrán látható szerkesztés azt mutatja, hogy mi történik egy körrel és egy sokszöggel, ha a síkjuknak egy t egyenesére tükrözzük őket.

122

t = t¢

C¢ C k¢

P¢ P

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

F E L A DAT

Hajtsd végre a négyzetrács felhasználásával a transzformációkat az ötszögön és a körön a füzetedben! a) Tükrözés a t egyenesre. c) Forgatás a K pont körül + 90°-kal.

t K

b) Tükrözés a K pontra.

d) Eltolás a v vektorral.

H Á Z I F E L A DAT

Tükrözd a paralelogrammát az átló egyenesére! A füzetedben dolgozz!

Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek befogói 6 cm és 3 cm hosszúak! Forgasd el a háromszöget a) a derékszögű csúcsa körül; b) az átfogójának felezőpontja körül 90°-kal!

8 2 . l e c ke

Tükrözz egy háromszöget mindhárom oldalának a felezőpontjára! Mit alkot együtt a háromszög és a három képe?

Szerkesztéssel oldd meg a következő feladatokat! A füzetedben dolgozz! a) Told el az ABC háromszöget a v vektorral! b) Told el az ABC háromszöget a v vektor ellentettjével! B c) Hogy helyezkedik el v az ABC háromszög A és a két képe?

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A S Í KO N

123

VEKTOROK, SZERKESZTÉSEK

BEVEZETŐ Repülőgépek kötelékben repülnek. Az eseményről másodpercenként felvételt készítenek a földről. Mindegyik repülőhöz odarajzoltuk azt az elmozdulásvektort, amely a következő felvételhez tartozik. Látható, hogy két pilóta kicsit hibázott. Melyik kettő, és milyen hibát követett el? Megoldás A képen látható alsó két gép pilótája hibázott. A legalsó gép nem tartotta az irányt, a felette repülő gép tartotta az irányt, de kicsit nagyobb volt a sebessége, mint a többinek.

ELMÉLET A vektort alapfogalomnak tekintjük, nem adunk rá meghatározást, legfeljebb azt mondhatjuk rá (körülírásként), hogy ez egy irányított szakasz. A vektort az állása, az iránya és az abszolút értéke (hossza) jellemzi. – A vektor állása azt jelenti, hogy melyik egyenesekkel párhuzamos. – Egy álláson belül kétféle irány lehetséges, ezt mutatja a nyíl hegye. – A vektor hosszúságát a vektor abszolút értékének nevezzük. Ábránkon d b – az a, a b, a d és az e egyállású, a c nem egyállású velük. – Az a és az e egyirányú, a b és a d egyirányú, az a és az e a b-vel is és a d-vel ellentétes a c e irányú. – Az a, a d és az e abszolút értéke egyenlő; a b és a c abszolút értéke egyenlő. Ezek miatt az a és az e egyenlő vektorok, az a és a d ellentett vektorok, a d és az e ellentett vektorok, a többi vektor között ilyen kapcsolat nincs. Két vektort egyenlőnek mondunk, ha ugyanaz az állásuk is, irányuk is, abszolút értékük is. Egyenlő vektorok ugyanazt az eltolást hozzák létre. Két vektor egymás ellentettje, ha ugyanaz az állásuk és az abszolút értékük, az irányuk pedig ellentétes. Ha egy ponthalmazt eltolunk egy vektorral, utána pedig a képét az ellentett vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti ponthalmazhoz. Egy v-vel jelölt vektor ellentettjének a jele: –v. A –v vektor ellentettje a v. Tehát az ábra szerinti vektorok esetén például d = –a és a = –d.

124

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

F E L A DAT Szerkesztéssel oldd meg a következő feladatokat! Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

a) b) c) d)

Tükrözd a háromszöget a megadott oldalfelező merőlegesére, illetve a megadott szögfelező egyenesére! Színezd ki az eredeti és a tükrözött háromszöglemez metszetét! Milyen síkidomot kaptál az egyik, illetve a másik esetben?

Szerkessz olyan háromszöget, amelynek oldalhoszszúságai 36 mm, 48 mm és 60 mm, tükrözd a) a legkisebb oldal felezőpontjára; b) a legnagyobb oldal felezőpontjára! A háromszög és a tükörképe együtt egy négyszöget alkot. Sorold fel ennek a négyszögnek a tulajdonságait!

Forgasd el a P pontot a K pont körül +90°-kal! Tükrözd a P pontot a K pontra! Told el a P pontot a v vektorral! Tükrözd a P pontot a t egyenesre! t

F1 és F2 az ABCD paralelogramma oldalfelező pontjai. a) Tükrözd a paralelogrammát az F1F2 egyenesére! b) Tükrözd a paralelogrammát a K pontra! c) Told el a paralelogrammát az CF1 vektorral! d) Forgasd el a paralelogrammát az F2 pont körül +120°-kal! D

F1 F2

K A

8 3 . l e c ke

V E K T O RO K , S Z E R K E S Z T É S E K

125

A GeoGebra programmal ellenőrizheted a szerkesztéseid helyességét is. H Á Z I F E L A DAT b)

Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

Forgasd el a háromszöget a kör középpontja körül, negatív irányban, 45°-kal! a)

Keresd meg az egyenlő vektorokat és az ellentett vektorokat! a) b) r

h d

b f e

w z q

t s

4. 2.

126

Tükrözd a szabályos sokszöget a körülírt körének középpontjára! a)

Tolj el a síkjában egy 4 cm átmérőjű körvonalat egy 4 cm hosszú vektorral! Melyik állítás igaz, és melyik hamis? a) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma függ az eltolás irányától is. b) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak 0 lehet. c) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak 1 lehet. d) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma lehet 2 is.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG A 82. leckében olyan geometriai transzformációkkal foglalkoztunk, amelyek esetében az értelmezési tartomány és az értékkészlet ugyanaz a sík volt. (A sík ponthalmaz!) Láttuk, hogy közülük a pont körüli forgatás, a középpontos tükrözés és az eltolás síkbeli mozgás. A tengelyes tükrözés nem állítható elő a sík önmagában történő mozgatásával. Ez a transzformáció is származtatható azonban mozgással, de ehhez „ki kell lépnünk a síkból”. A megfelelő mozgás a síknak a tükrözés tengelye körüli 180°-os elforgatása. A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. Például – ha egy sík minden egyes pontjához hozzárendeljük önmagát, akkor egybevágósági transzformációt adunk meg; – ha egy számegyenes minden egyes pontjához hozzárendeljük az oda írt szám ellentettjét jelölő pontot, akkor egybevágósági transzformációt adunk meg;

–3

–2

–1

– ha a tér minden egyes pontját egy síkra merőlegesen úgy mozdítjuk el, hogy a síktól való távolsága a negyedére csökkenjen, akkor itt geometriai transzformációt adunk meg, de ez nem egybevágósági transzformáció (nem távolságtartó).

ELMÉLET Az egyenes körüli forgatás t

Megadunk egy egyenest, a forgástengelyt (t), egy teljesszögnél kisebb szöget (α) és egy forgatási irányt. Az ábra mutatja, hogyan mozdul el egy P pont a t körül: P-ből a t-re merőleges egyenest (a) és síkot (S) állítunk. Az a és a t metszéspontja A. A forgatás során a P az S síkban, az A középpontú, AP sugarú körön mozdul el, a megadott irány szerint úgy, hogy a PAPʹ szög az α-val legyen egyenlő. Ez a transzformáció mozgatás, tehát egybevágósági transzformáció.

S P

a A

F E L A DAT Egy szabályos 4-oldalú gúlát elforgatunk a magasságának egyenese körül 45°-kal. a) Melyik csúcs hová fordul el? b) Milyen test az eredeti és az elforgatott gúla közös része?

8 3 . l e c ke

V E K T O RO K , S Z E R K E S Z T É S E K

1 27

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A GYAKORLATBAN

CSOPORTMUNKA Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

Egy folyó két partján van két falu, A és B. Hová építsék a hidat, hogy a) az A-hoz legközelebb legyen; b) az A-ból a legrövidebb úton lehessen B-be jutni; c) az A-ból a legrövidebb úton lehessen B-be jutni, ha a hídépítés magas költsége miatt csak a folyópartra merőleges híd építése lehetséges?

Két kistelepülés (A és B) közelében egyenes országút vezet. a) A két települést összekötő utat építenek. Milyen hosszú ez az út, ha a lehető legrövidebbre tervezik? (A négyzetháló km-beosztású.) Az országút mentén megállót építenek a távolsági busz számára. Hol legyen a megálló, hogy b) a B településhez a legközelebb legyen? Mekkora ez a távolság? Mekkora távolságra van az A településtől a megálló ebben az esetben? c) az A-ból B-be vezető, a megállót is érintő út hossza a legrövidebb legyen? Mekkora ennek a legrövidebb útnak a hossza? I. eset

II. eset B

út zág ors

út zág ors A

128

Forgasd az ABC háromszöglemezt az O pont körül! (A füzetedben dolgozz!) Ha elég nagy a forgatás szöge, akkor forgatás közben a háromszöglemeznek több pontja is áthaladhat a megadott P ponton. a) Szerkeszd meg a háromszög egy olyan elforgatottját, amelynek a határvonalára illeszkedik a P pont! Hány megoldása van a feladatnak? b) Szerkeszd meg az ABC háromszöglemezen az öszszes olyan pontot, amelynek az O pont körüli elforgatottja lehet a P pont is!

P C O

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Egy gémeskút működésének három mozzanatát mutatják az ábrák.

dugattyú C2

úd hajtór

dugattyúhenger

mozdonykerék

3,5 m

A gőzmozdonyok kerekét csuklós szerkezettel hozzák forgásba. Ennek leegyszerűsített változata látható az ábrán. A C1 tengely a mozdonykerékhez van rögzítve, a C2 tengely pedig a dugattyúrúd végéhez. A merev hajtórúd a C1 és C2 tengely körül is elfordulhat (csuklós szerkezet). A mozdonytesthez rögzített hengerben a dugattyú csak „vízszintesen” mozoghat. a) Milyen mozgást végez a dugattyú, ha hatására a C1 pont (tengely) 360°-ot fordul az O körül? b) Szerkeszd meg a dugattyú két szélső helyzetét a hengerben! Mekkora a két szélső helyzet távolsága? (Segít az O, C1, C2 és D pontok megszerkesztése!) c) Szerkeszd meg a dugattyú helyzetét abban az esetben, amelyben az OC1 merőleges az OC2O re! Igaz-e, hogy a dugattyú ekkor éppen „félúton” van a két szélső helyzete között?

3,5 m

3,1 m

2,5 m

2,5 m V 1m

2,5 m

V 1,5 m

1,5 m

Az ágas a kút szélétől 1 m-re van a földbe állítva, ezen a gém (vízszintes) forgástengelye 2,5 m magasan van a földtől. A gémnek a kút fölé belógó része a forgástengelytől mérve 2 m hosszú, a kút 3 m-nél mélyebb, szélessége 1,5 m. a) Milyen magasan van a talajszint felett V az első helyzetben? b) Milyen mélyen van V a talajszint alatt a harmadik helyzetben? c) Szerkeszd meg a második ábrán azt a pályát, amelyen a V mozog, amíg az első helyzetből a harmadik helyzetbe jut!

8 4 . l e c ke

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A GYA KO R L AT B A N

129

H Á Z I F E L A DAT Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

Tükrözd a háromszöget az e egyenesre, majd a kapott tükörképet az e-vel párhuzamos f egyenesre! Milyen egyetlen egybevágósági transzformációval kapható meg az eredeti háromszögből a második tükrözés után kapott háromszög? Hogyan módosul a válaszod, ha a két egyenesre való tükrözés sorrendjét felcseréled?

A piros biliárdgolyóval kell eltalálni a feketét úgy, hogy a piros golyó más golyóhoz nem érhet hozzá, de a biliárdasztalnak a rajzon látható két fala is használható. Hány megoldása van ennek a problémának? Szerkeszd meg a C1 helyzetét, ha a dugattyú a két szélső helyzete között éppen félúton van!

C1 C2

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Középpontos tükrözés a térben Megadunk egy pontot (K). A tér minden egyes pontjához (P) hozzárendeljük a tér egy pontját (Pʹ) úgy, hogy a pont és a képe által meghatározott szakasz felezőpontja a K legyen. Ez nem mozgatás, de egybevágósági transzformáció.

P¢ K P

F E L A DAT

130

Egy gúla alaplapja négyzet, mindegyik oldallapja szabályos háromszög. Tükrözd ezt a gúlát az alaplap középpontjára! a) Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van annak a testnek, amelyet a gúla és a képe együttesen alkot? b) Milyen másféle transzformációval kaphatnánk a gúlának ugyanezt a képét?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

ELMÉLET P

A síkra való tükrözés Megadunk egy síkot (S). A tér minden egyes pontjához (P) hozzárendeljük a tér egy pontját (Pʹ) úgy, hogy a pont és a képe által meghatározott szakasz merőleges legyen S-re, és e szakasz felezőpontja S-re illeszkedjék. Ez nem mozgatás, de egybevágósági transzformáció. (Akkor mondjuk, hogy egy ponthalmaz illeszkedik egy másik ponthalmazra, ha az egyik részhalmaza a másiknak.)

P¢

F E L A DAT

Egy asztalra tett kockát tükrözünk a) a fedőlapjának a síkjára; b) az egyik oldallapjának a síkjára; c) az egyik átlós síkjára. Milyen testet alkot az eredeti kocka és a tükörkép együtt?

ELMÉLET P¢

Eltolás a térben

Megadunk egy vektort. A tér minden egyes pontját elmozdítjuk az adott vektorral. Ez a transzformáció mozgatás, tehát egybevágósági transzformáció.

P e¢ e

F E L A DAT

Egy kocka mindegyik lapjára építünk egy vele egybevágó kockát úgy, hogy ezek pontosan fedik az eredeti kocka lapjait. a) Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van a 7 kockából álló testnek? b) Melyik kockát milyen transzformációval állíthatjuk elő az eredeti kockából kiindulva?

8 4 . l e c ke

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A GYA KO R L AT B A N

1 31

A TRANSZFORMÁCIÓK TULAJDONSÁGAI

F E L A DAT Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a deltoid képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti deltoid és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási deltoidhoz?

Adott a kör két átmérője a végpontjaival.

Az ABCD húrtrapéz AC átlójának felezőpontja F. C

B A

Ezt a trapézt a) tükrözd az AC átló egyenesére; b) tükrözd az F pontra; c) forgasd el F körül (–30°)-kal; d) told el az FA vektorral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe!

132

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a trapéz képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti trapéz és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási trapézhoz?

C Az ABCD deltoid AC átlójának felezőpontja F. Ezt a deltoidot D B a) tükrözd az BD átló egyenesére; F b) tükrözd az F pontra; c) forgasd el F körül (–30°)-kal; d) told el az FC vekA torral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe!

C O

Ezt a kört és a négy átmérővégpontot a) tükrözd a BD átmérő egyenesére; b) tükrözd az O pontra; c) forgasd el O körül (–90°-kal); d) told el az OA vektorral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átmérő és a képe, valamint a BD átmérő és a képe!

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a kör képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti kör és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz úgy, hogy a kör pontjai is az eredeti helyükre kerülnek?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

ELMÉLET A példák alapján tekintsük át a tapasztalt tulajdonságokat! Melyik transzformáció esetén melyik pont képe egyezik meg az eredeti ponttal? Ilyen pontok – tengelyes tükrözés esetében a tengely pontjai; – középpontos tükrözés esetében csak maga a középpont; – pont körüli forgatás esetében csak maga a középpont, kivéve, ha a forgatás szöge a 360°-os szög többszöröse, mert akkor minden pont ilyen; – eltolás esetében nincs ilyen pont, hacsak nem 0 hosszúságú vektorral történik az „eltolás”. Ezeket a pontokat a transzformáció fixpontjainak nevezzük. Melyik transzformáció esetén melyik egyenes képe egyezik meg az eredeti egyenessel? Ilyen egyenesek – tengelyes tükrözés esetében a tengely és a rá merőleges egyenesek; – középpontos tükrözés esetében a középponton átmenő egyenesek; – pont körüli forgatás esetében, ha a forgatás szöge a 180°-os szög többszöröse, akkor a középponton átmenő egyenesek; más szög esetében nincs ilyen egyenes; – eltolás esetében az eltolás vektorával egyállású egyenesek. Ezeket az egyeneseket a transzformáció fixegyeneseinek nevezzük.

H Á Z I F E L A DAT

Melyik egyenesre kell tükröznünk az ábrán látható csillagot, hogy a) a zöld egyenes képe a piros egyenes legyen; b) a piros egyenes képe a zöld egyenes legyen; c) a piros egyenes képe önmaga legyen; d) a csillag önmagának a tengelyes tükörképe legyen?

Melyik pontra kell tükröznünk az ábrán látható csillagot, hogy a) a zöld egyenes képe a piros egyenes legyen; b) a piros egyenes képe a zöld egyenes legyen; c) a zöld egyenes képe önmaga legyen; d) a csillag önmagának a középpontos tükörképe legyen?

8 5 . l e c ke

A TRANSZFORMÁCIÓK TULAJDONSÁGAI

Melyik pont körül és mekkora szöggel forgathatjuk el az ábrán látható csillagot, ha azt akarjuk, hogy a) a képe önmaga legyen; b) minden pontjának a képe önmaga legyen?

Egy 5 cm oldalú négyzetet először 24 mm-rel balra, majd 45 mm-rel felfelé toltunk el. a) Szerkeszd meg az eredeti négyzetet és az eltolt képét! b) Rajzold be azt az egyetlen eltolásvektort, amivel a két lépés helyettesíthető! c) Milyen hosszú ez a vektor? Mérd meg, majd igazold az eredményt számítással is!

Válaszolj a kérdésekre! a) Melyik transzformáció esetén igaz, hogy minden pont képének a képe az eredeti pont? b) Melyik transzformáció esetén igaz, hogy minden egyenes képének a képe az eredeti egyenes?

133

SZIMMETRIÁK

F E L A DAT

A fotón egy hópihe nagyított ott képe látható. Sorolj fel olyan geometriai transzformációkat, amikkel a hópiheforma képe éppen önmaga lesz!

Egyes betűk, mint például az O vagy az A tengelyes tükrözéssel önmagukba vihetők át. a) Keress minél több ilyen betűt! b) Próbálj belőlük olyan szavakat összerakni, amelyek jobbról balra olvasva is pontosan ugyanazok, mint balról jobbra olvasva!

Többszörösen összehajtott papírlapokból érdekes „csipketerítő-mintákat” lehet kivágni. A képen látható mintát úgy készítették, hogy egy négyzet alakú lapot háromszor egymás után félbehajtottak, majd bevagdosták. Sorolj fel olyan geometriai transzformációkat, amelyekkel a minta önmagába átvihető!

Az alábbi ábrákba rajzolj be három olyan, más-más irányú vektort, amellyel való eltolás a mintákat önmagukba viszi át! A füzetedben dolgozz!

Milyen szimmetriákat találsz az alábbi virágokon?

Egy szabályos hatszöghöz hat olyan egyenes található, amelyre tükrözve önmagába megy át. Ezek a hatszög szimmetriatengelyei. A hat szimmetriatengely egy ponton megy át. Ha erre a pontra tükrözzük a hatszöget, ismét ugyanez a hatszög lesz a képe. Ezért azt mondjuk, hogy ez a pont a szabályos hatszög szimmetria-középpontja.

134

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

ELMÉLET Ha egy síkbeli ponthalmazhoz van olyan egyenes, illetve pont, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor ezt a ponthalmazt tengelyesen szimmetrikus, illetve középpontosan szimmetrikus ponthalmaznak mondjuk. A szóban forgó egyenes a ponthalmaz szimmetriatengelye, a pont pedig a szimmetria-középpontja.

60°

Ha egy szabályos hatszöget elforgatunk a középpontja körül 60°-kal, 120°-kal vagy a 60° más, egész számú többszörösével, akkor a képe az eredeti hatszög lesz. Ezt úgy szoktuk kifejezni, hogy a szabályos hatszög forgásszimmetrikus. Ha egy síkbeli ponthalmazhoz van olyan pont, amely körül egy bizonyos (a teljesszögnél kisebb) szöggel elforgatva önmagába megy át, akkor ezt forgásszimmetrikus ponthalmaznak nevezzük.

F E L A DAT

Válaszd ki az ezen az oldalon található ábrák közül azokat, amelyek a) tengelyesen szimmetrikusak; b) középpontosan szimmetrikusak; c) forgásszimmetrikusak!

Add meg az összes olyan, 0° és 360° közötti szöget, amellyel a virágot, illetve a mozaikmintát elforgatva önmagába megy át!

Melyik ábrának van szimmetria-középpontja?

Melyik ábrának hány szimmetriatengelye van, a) ha a színeket is figyelembe veszed; b) ha a színeket nem veszed figyelembe?

8 6 . l e c ke

SZIMMETRIÁK

135

H Á Z I F E L A DAT

Van-e olyan sokszög, amelynek az e és az f egyenes is szimmetriatengelye? Ha van, akkor rajzolj egyet a füzetedbe! a) b) e

c) e

e 45°

Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe egy szabályos háromszöget és egy szabályos hatszöget úgy, hogy legyen közös szimmetriatengelyük! a) Hány lényegesen különböző eset van? (Két esetet lényegesen különbözőnek nevezünk, ha nem vihetők át egymásba egybevágósági transzformációval.) b) Igaz-e, hogy mindkét szabályos sokszög forgásszimmetrikus? Indokold a válaszodat!

Szerkessz olyan szabályos nyolcszöget, amelynek a körülírt köre 3 cm sugarú!

Szerkessz 1,5 cm oldalú szabályos nyolcszöget! Rajzold meg az összes szimmetriatengelyét, és jelöld meg a szimmetria-középpontját!

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Középpontos szimmetria Ha egy testhez van olyan pont, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor ezt a testet középpontosan szimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó pont a test szimmetriaközéppontja. Például a téglatest középpontosan szimmetrikus, szimmetria-középpontja a testátlók metszéspontja.

136

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Síkszimmetria Ha egy testhez van olyan sík, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor ezt a testet síkszimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó sík a test szimmetriasíkja.

F E L A DAT

Keress a képeken szimmetriasíkokat!

Testek forgásszimmetriája Minden szabályos hasábnál és gúlánál létezik olyan egyenes, amely körül egy bizonyos konvex szöggel elforgatva a test önmagába megy át. Például a szabályos hatoldalú hasábnál és gúlánál ilyen konvex szög a 60°-os és a 120°-os.

Ha a szabályos hasáb, illetve gúla alaplapja n-oldalú sokszög (ahol az n valamely, a 360 2-nél nagyobb egész szám), akkor a megfelelő szögek a fokos szög egész számú n többszörösei.

Keress a képeken forgásszimmetriát!

8 6 . l e c ke

SZIMMETRIÁK

1 37

ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖGEK, SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK

BEVEZETŐ a¢

Idézzük fel, mit is kell tudnunk a háromszögek oldalairól és szögeiről!

c b¢

Akármilyen háromszöget vizsgálunk is, igaz, hogy

g¢

g a

bármely két oldal hosszúságának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal;

a + b > c; a + c > b; b + c > a

bármely két oldal hosszúságának a különbsége kisebb, mint a harmadik oldal;

| a – b | < c; | a – c | < b; | b – c | < a

mindegyik külső szög egyenlő a két, nem mellette fekvő belső szög összegével; αʹ = β + γ; βʹ = α + γ; γʹ = α + β a belső szögek összege 180°;

α + β + γ = 180°

a külső szögek összege 360°.

αʹ + βʹ + γʹ = 360°

Ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor ezeket a háromszög szárainak nevezzük, és azt mondjuk, hogy a háromszög egyenlő szárú.

ELMÉLET A tengelyesen szimmetrikus háromszögnek olyan tulajdonságai is vannak, amelyekkel más háromszögek nem rendelkeznek. Ezek közül a legfontosabbak: – a szimmetriatengely a háromszög egyik oldalának (a háromszög alapjának) felező merőleges egyenese, egyben a háromszög egyik magasságvonala és egyik szögfelezője is; – a szimmetrikusan elhelyezkedő két oldal (a két szár) egyenlő hosszú; – a szimmetrikusan elhelyezkedő két szög (a háromszög alapján fekvő két szög) egyenlő nagyságú. Az is igaz, hogy ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor az tengelyesen szimmetrikus. A három szimmetriatengellyel rendelkező háromszög mindegyik oldala egyenlő, vagyis ez egyenlő oldalú háromszög. A szimmetria miatt az egyenlő oldalú háromszög mindegyik szöge is egyenlő, 60°-os. Az egyenlő oldalú háromszöget szabályos háromszögnek nevezzük. A szabályos háromszög forgásszimmetrikus.

a 2

60°

bb 2 2 a

a b 2

b 2

a 2 a

a 2

a 2 60°

a 120° 120°

60° a 2

a 2

120° a

Olyan háromszög nincs, amelynek csak két szimmetriatengelye van.

138

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

P É L DA Az Arany család „Szedd magad” akcióban barackot szed. Két létrát is kaptak, ezek azonban nem egyforma hosszúak. Oda tudják-e mégis támasztani a fához két oldalról, hogy ugyanolyan magasra érjen fel mindkét létra? Megoldás A feladat természetesen könnyedén megoldható, mindössze annyi szükséges, hogy a hosszabb létrát (a > b) kisebb szögben támasszuk a fához, mint a rövidebb létrát (α > β).

ELMÉLET A nem szabályos háromszögekről szól a következő két tétel: ha a háromszögben két oldal nem egyenlő, akkor a nagyobb oldallal szemközti szög nagyobb, mint amelyik a kisebb oldallal van szemben;

és megfordítva: ha a háromszögben két szög nem egyenlő, akkor a nagyobb szöggel szemközti oldal nagyobb, mint amelyik a kisebb szöggel van szemben.

Tehát ha a > b, akkor α > β, és ha α > β, akkor a > b.

F E L A DAT

Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszögben AD = AC és BE = BC. a) Mekkorák a rajzon látható hegyesszögek? b) Igazold, hogy a CDE háromszög egyenlő szárú! c) Hány egyenlő szárú háromszög van ezen az ábrán?

D E

Egy egyenlő oldalú háromszög oldalai 18 mm-esek. Mekkorák a magasságai? Megjegyzés Gyorsabban számolhatunk, ha tudjuk, hogy a szabályos háromszög maa a 3 a 3 gassága mindig a háromszög oldalának -szerese, az egyenlő szárú de2 2 rékszögű háromszög átfogója pedig mindig a befogó 2-szerese. (A 19. a a 2 2 leckénél megtalálhatók a levezetések.)

2 a

a) Mekkora a szabályos háromszög oldala, ha a magassága 17,3 cm hosszú? b) Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója, ha az átfogója 14,1 cm hosszú?

87. l e c ke

Á LTA L Á N O S H Á RO M S Z Ö G E K , S Z I M M E T R I K U S H Á RO M S Z Ö G E K

139

H Á Z I F E L A DAT

Miért nincs középpontosan szimmetrikus háromszög?

Egy egyenlő szárú háromszög egyik alapszöge 43°kal kisebb, mint az egyik külső szöge. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei?

Egy derékszögű háromszög egyik szögfelezője 65°-os szöget alkot a szemközti oldallal. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei?

Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek az alapja 4 cm hosszú, és a) az alapjához tartozó magassága 3 cm hosszú; b) a szárához tartozó magassága 3 cm hosszú; c) az egyik szöge 90°-os; d) az egyik szöge 60°-os!

Az ABCD négyzetben AM = AB, és az MK szakasz merőleges az AC átlóra. a) Mekkorák a rajzon látható hegyesszögek? D

65° 65°

b) Igazold, hogy BK, a KM és az MC szakasz egyenlő hosszú!

RÁADÁS

Az egyik földrész területe Az ábrán az Antarktisz térképe látható. a) Mekkora a távolság a Menzies-hegy és a Déli-sark között? (A becsléshez használd a térkép méretarányát!) b) Becsüld meg az Antarktisz területét a térképen feltüntetett méretarány segítségével! Írd le a számításaidat és azt, hogyan végezted el a becslést!

140

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Háromszögek A négy háromszög közül melyik az az egy, amelyikre igazak a következő állítások? a) A PQR háromszög derékszögű, és a derékszög az R csúcsnál van. b) Az RQ oldal rövidebb, mint a PR oldal. c) M jelöli a PQ oldal felezőpontját, N pedig a QR oldal felezőpontját. d) S a háromszög egy belső pontja. e) Az MN szakasz hosszabb, mint az MS szakasz. P

S R

M S

87. l e c ke

Á LTA L Á N O S H Á RO M S Z Ö G E K , S Z I M M E T R I K U S H Á RO M S Z Ö G E K

1 41

A KÖR

BEVEZETŐ Hétköznapjaink egyik leggyakoribb formája a kör, vagy annak egy összefüggő része, a körív. Elég, ha közvetlen környezetünkben körülpillantunk, máris szemünkbe ötlik egy pohár, az óra számlapja, egy CD- vagy DVD-lemez, egy fémpénz, a nyomógombok és így tovább. Kedvelt díszítőelemek az építészetben a körívek, az érintkező és metsző körök. A rögzített tengely körül forgó testek pontjai körpályán mozognak.

ELMÉLET A körvonal (kör) azoknak a pontoknak a halmaza egy síkban, amelyek a sík egy pontjától ugyanakkora távolságra vannak. Ez a pont a kör középpontja, ez a távolság a kör sugara. körvonal

A síknak azok a pontjai, amelyek közelebb vannak a kör középpontjához, mint amekkora a sugár, nyílt körlemezt (körlapot) alkotnak. Ha ehhez hozzávesszük még a körvonalat is, akkor zárt körlemezhez (körlaphoz) jutunk. Ha csak egyszerűen körlemezt említünk, akkor a zárt körlemezre gondolunk.

sug ár középpont

körlemez

A körnek minden olyan egyenes szimmetriatengelye, amely benne van a síkjában, és átmegy a középpontján. A kört a középpontja körül bármekkora szöggel forgatjuk el, önmagába megy át. Egy síkban egy körvonalnak és egy egyenesnek 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet. A közös pontok száma attól függ, mekkora távolságra van az egyenes a kör középpontjától. Ha az egyenes és a kör középpontjának a távolsága – nagyobb a kör sugaránál, akkor nincs közös pontjuk; – egyenlő a kör sugarával, akkor 1 közös pont van; az egyenest a kör érintőjének nevezzük; – kisebb a kör sugaránál, akkor 2 közös pontjuk van; az egyenest a kör szelőjének nevezzük. érintési pont d>r

érintő

d=r d

d <r

r d

szelő

Az érintő merőleges az érintési pontba vezető sugárra.

Egy körhöz a síkjának a körön kívüli pontjából két érintő húzható. A két érintő szakasz egyenlő hosszúságú.

142

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

P É L DA

tehát ez egy szabályos háromszög fele. Ezért a harmadik oldal, az EP érintő szakasz hossza 2 3 cm. Ugyanekkora az FP érintő szakasz is.

A KP szakasz hossza 4 cm. A P-ből két érintőt húzunk a K középpontú, 2 cm sugarú körhöz, az érintési pontok E és F. a) Milyen hosszú az EP és az FP érintő szakasz? b) Mekkora az EF szakasz?

2c m

4 cm

Megoldás a) Az EKP háromszögnek az E csúcsnál derékszöge van, mert az érintő merőleges az érintési pontba vezető sugárra. Az átfogó kétszer akkora, mint az egyik befogó,

30°

b) Az EKP háromszög P csúcsnál lévő szöge 30°-os. Ugyanekkora a KPF szög is, tehát az EPF szög 60°-os. Az EFP háromszög két olE dala egyenlő, a közöttük lévő szög pedig 60°-os. Ez csak úgy lehetséges, ha ez a K P háromszög egyenlő oldalú, vagyis F EF = EP = 2 3 (cm).

A szelőnek a körlemezen lévő szakaszát a kör húrjának nevezzük. A kör középpontján átmenő húr neve átmérő; ez kétszer olyan hosszú, mint a sugár. Az átmérő a kör leghosszabb húrja.

át m ér õ

ELMÉLET

húr

F E L A DAT

Egy 6,5 cm sugarú kör egyik húrja 11,2 cm hoszszú. Mekkora távolságra van ez a húr a) a kör középpontjától; b) a rá merőleges átmérő két végpontjától?

Mit alkot az összes olyan pont, amelyből egy 3 cm sugarú körhöz 4 cm hosszúságú érintő szakasz húzható?

8 8 . l e c ke

A KÖR

Egy 7 mm sugarú és egy 25 mm sugarú körnek ugyanaz a középpontja (koncentrikus körök). Milyen hosszú a nagyobbik körnek az a húrja, amely érinti a kisebbik kört?

143

P É L DA

A C középpontú kör sugara 25 mm, a K középpontúé 12 mm. Az e egyenes átmegy a középpontjukon. A kisebbik kört mozgatjuk az e egyenes mentén. Hány közös pontja lehet a két körvonalnak?

Megoldás Könnyen látható, hogy ha CK > 25 + 12 = 37, akkor a két körvonalnak nincs közös pontja,

mm C

mm K e

mm 12

CK < 25 – 12 = 13, akkor a két körvonalnak nincs közös pontja,

K C

mm e

CK = 37, vagy CK = 13, akkor a két körvonalnak egy közös pontja van (érintik egymást),

13 < CK < 37, akkor a két körvonal metszi egymást, két közös pontjuk van.

mm K 25 mm C

Adott két 1 cm sugarú kör, amelyek középpontja 2,5 cm-re van egymástól. Szerkesztendő egy 1 cm sugarú harmadik kör, amely mindkettőt érinti.

Megoldás A szerkesztendő harmadik kör középpontja mindkét adott kör középpontjától 2 cm távolságra van. Tehát rajta van a K1K2 szakasz felezőmerőlegesén és a K2 körül 2 cm sugárral írt körön is. E körnek és a felezőmerőlegesnek a közös pontja lehet a szerkesztendő kör középpontja. Mindkét K1 K2 pont megfelel, azaz két 1 cm sugarú, érintő kör szerkeszthető.

H Á Z I F E L A DAT

144

Egy szabályos háromszög oldala 6 cm hosszú. Mekkora lehet annak a körnek a sugara, amelynek középpontja a háromszög középpontja, és a háromszög a) minden oldalával egy közös pontja van; b) minden oldalával két közös pontja van; c) oldalaival nincs közös pontja? Két acélgolyó átmérője 32 mm, illetve 18 mm. Legalább mekkora távolságra van a két golyó középpontja egymástól?

Egy 8 cm sugarú körben adott egy 9,6 cm hoszszú húr. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyik koncentrikus az adott körrel, és érinti az adott húrt?

Adott három 1 cm sugarú kör úgy, hogy a középpontjaik nincsenek egy egyenesen. Szerkessz egy kört, amelyik mindhárom adott kört érinti! A GeoGebra programmal ellenőrizheted a szerkesztéseid k helyességét is.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Definíció Adott kör síkjában azokat az egyeneseket nevezzük a kör érintőinek, amelyeknek egy közös pontjuk van a körrel. A közös pontot érintési pontnak nevezzük. I. tétel E

A kör érintője merőleges az érintési pontba vezető sugárra. Első bizonyítás Használjuk az ábra jelöléseit! Az érintő E pontja (az érintési pont) sugárnyi távolságra van a kör középpontjától, a többi pontja pedig ennél nagyobb távolságra. Egy pont és egy egyenes pontjai között a legkisebb távolság a merőlegesen mérhető, tehát az EK egyenes merőleges az érintőre.

P K

Második bizonyítás (Ebben a bizonyításban felhasználjuk, hogy ha a kör középpontjából merőleges egyenest állítunk a kör síkjának bármely egyenesére, akkor a merőleges közös szimmetriatengelye lesz a körnek és az egyenesnek.) Tükrözzük a kör középpontjából az érintőre állított merőleges egyenesre a kört és az érintőt! Ha az érintési pont nem lenne rajta a merőlegesen, akkor a tükörképe is közös pontja lenne a körnek és az érintőnek. Ez azonban lehetetlen, hiszen ezeknek csak egy közös pontjuk van. Tehát az érintési pont rajta van az érintőre állított merőlegesen, vagyis az érintési pontba vezető sugár valóban merőleges az érintőre. Ez a bizonyítás arra támaszkodik, hogy ha nem lenne igaz a merőlegesség, akkor ellentmondásba kerülnénk az eredeti feltétellel. Az ilyen okoskodás neve: indirekt bizonyítás. II. tétel Egy körhöz külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő. E

Első bizonyítás Használjuk az ábra jelöléseit! Az EKP derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint e 2 = c 2 – r 2, az FKP derékszögű háromszögben pedig f 2 = c 2 – r 2. Tehát e 2 = f 2, vagyis e = f .

r c

K r

P f

F Második bizonyítás Használjuk az ábra jelöléseit! Tükrözzük a KP egyenesre a kört és a PE érintő egyenesét! A tükrözés tulajdonságai miatt egy olyan, a P ponton átmenő egyenest kapunk, amely az E pont F tükörképében érinti a kört. A szimmetria miatt tehát a PE érintő szakasz hossza megegyezik a PF érintő szakasz hosszával.

8 8 . l e c ke

A KÖR

145

SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK

BEVEZETŐ Vannak-e szimmetrikusak az alábbi képeken felismerhető négyszögek között? Ha igen, milyen szimmetriákat találsz?

F E L A DAT Egy 5 cm sugarú kör két párhuzamos húrjának hossza 6 cm, illetve 8 cm. Sorban összekötjük a két húr négy végpontját. Milyen négyszöget kapunk? A húrok kétféleképpen helyezkedhetnek el a körben, ezért kétféle négyszög keletkezhet. Készítsd el az ábrákat a füzetedben! 6 cm

6 cm

Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 28 mm és 45 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük az átfogó egyenesére.

28 mm

m 8 cm

90°

8 cm

a) Van-e a két négyszögnek szimmetriatengelye? Ha van, akkor melyik egyenes? b) Mekkora távolságra van a két párhuzamos húr a kör középpontjától? c) Mekkora a két párhuzamos húr távolsága? d) Mekkorák a négyszög ismeretlen oldalai?

146

45 mm

a) Milyen tulajdonságai vannak a két háromszögből álló négyszögnek? b) Mekkora az adott háromszög átfogója? c) Mekkora a négyszög területe? d) Mekkorák a négyszög átlói?

Hányféle olyan négyszög van, amelynek két egymás melletti oldala 24 mm, a másik kettő pedig 35 mm hosszú?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

ELMÉLET A négyszögeket aszerint csoportosítjuk, hogy van-e az egyenesszögnél nagyobb szögük:

konvex négyszög (minden szöge kisebb egy egyenesszögnél)

konkáv négyszög (van olyan szöge, amelyik nagyobb egy egyenesszögnél)

Minden négyszögre igaz: a belső szögek összege 360°. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek

– – – – – – –

húrtrapéz két oldala párhuzamos, ezek az alapok; a másik kettő egyenlő, ezek a szárak; az egy alapon fekvő szögek egyenlők; az egy száron fekvő szögek összege 180°; a szemközti szögek összege 180°; az átlók egyenlők, a szimmetriatengelyen metszik egymást; van olyan kör, amelyik mindegyik csúcsán átmegy.

– – – –

deltoid két-két szomszédos oldala egyenlő; két szemközti szöge egyenlő; az átlói merőlegesek egymásra; a szimmetriatengelyen lévő átló felezi a másik átlót és a deltoid két szögét.

Egy háromszög oldalainak hossza 36 mm, 77 mm és 85 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük a leghosszabb oldal középpontjára. a) Mutasd meg, hogy a kiindulási háromszög derékszögű! b) Milyen tulajdonságai vannak a két háromszögből álló négyszögnek? c) Mekkora a négyszög területe? d) Mekkorák a négyszög átlói?

8 9 . l e c ke

S Z I M M E T R I K U S N É GY S Z Ö G E K

36 mm

F E L A DAT

77 mm

1 47

ELMÉLET Középpontosan szimmetrikus négyszög: paralelogramma. – – – –

két-két szemközti oldala egyenlő; két-két szemközti szöge egyenlő; a szomszédos szögek összege 180°; átlói felezik egymást.

A szimmetrikus négyszögek csoportosítása húrtrapézok

paralelogrammák

deltoidok

F E L A DAT

148

A szimmetrikus négyszögeket szemléltető ábra alapján döntsd el, melyek igazak az alábbi kijelentések közül! – Minden rombusz deltoid. – Minden téglalap rombusz. – Van olyan téglalap, amelyik rombusz. – Minden négyzet paralelogramma. – Minden tengelyesen szimmetrikus trapéz paralelogramma. – Ha egy négyszög középpontosan is és tengelyesen is szimmetrikus, akkor az téglalap. – Ha egy tengelyesen szimmetrikus trapéz középpontosan is szimmetrikus, akkor az téglalap. – Minden négyzet deltoid. – Van olyan téglalap, amely paralelogramma. – Van olyan deltoid, amely paralelogramma.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

H Á Z I F E L A DAT

a) Szerkessz húrtrapézt a füzetedben, ha a körülírt körének sugara 2,5 cm, hosszabbik alapja 4,5 cm, rövidebb alapja pedig 3 cm hosszú! Hány különböző (azaz nem egybevágó) trapéz szerkeszthető?

2,5

Egy konvex deltoidnak egyetlen derékszöge és egyetlen 60°-os szöge van. a) Mekkora a deltoid másik két szöge? b) Mekkora lehet a deltoid kerülete és területe, ha két oldala 18,4 cm hosszú?

4,5 cm

60°

b) Szerkessz konvex deltoidot a füzetedben, amelynek átlói 4 cm, illetve 6 cm hosszúak, egyik szöge 120°-os, a másik három szöge ettől különböző! Hány különböző (azaz nem egybevágó) deltoid szerkeszthető? Mekkora ezeknek a területe?

Egy húrtrapéz hosszabbik alapja és átlói is 6 cm hosszúak; az átlók merőlegesek egymásra. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Mekkorák a trapéz szögei, mekkora a kerülete és a területe?

6 cm

4 cm

6 cm

Egy rombusz rövidebb átlója 7,2 cm, hosszabb átlója 9,6 cm hosszú. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét!

7,2 cm 9,6

8 9 . l e c ke

S Z I M M E T R I K U S N É GY S Z Ö G E K

149

SZIMMETRIKUS SOKSZÖGEK

CSOPORTMUNKA 1. csoport

Figyeld meg a három sokszöget! A) B)

4. C)

Az ABCDE szabályos ötszöget két részre vágjuk az ábra szerint. Az F pont a B pontnak az AC egyenesre vonatkozó tükörképe. B

a) Melyik sokszögnek hány oldala van? b) Melyik sokszögnek hány szimmetriatengelye van? c) Melyik sokszögnek van szimmetria-középpontja? d) Melyik sokszög forgásszimmetrikus? Rakj össze öt egyforma négyzetből többféle tengelyesen szimmetrikus sokszöget! Melyiknek a) hány szimmetriatengelye van; b) mekkora a kerülete; c) mekkora a területe; d) van szimmetria-középpontja?

F D

a) Sorold fel az ABCF négyszög és az AFCDE ötszög tulajdonságait! b) Hány szimmetriatengelye van az eredeti ötszögnek és hány a két részének?

A rajzon látható szabályos nyolcszög alakú ablak üvegét egy olyan négyzet alakú üvegtáblából vágták ki, amelynek oldalai 70 cm-esek.

70 cm

150

Rakj össze többféleképpen az öt négyzetből olyan, tengelyesen szimmetrikus ponthalmazt, amely nem sokszög! Melyiknek hány szimmetriatengelye van?

a) Mekkorák a nyolcszög szögei? b) Legfeljebb mekkorák lehetnek a nyolcszög oldalai?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

2. csoport

Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk két átlóját az ábra szerint.

a) Hány egyenlő szárú háromszög keletkezett? b) Mekkorák a hegyesszögek? c) Milyen tulajdonságai vannak a rajzon keletkezett négyszögnek? Egy szabályos hatszöget az ábra szerint négy háromszögre bontottunk. Melyiknek a) mekkorák az oldalai; b) mekkorák a szögei; c) mekkora a területe?

Hat szabályos háromszög oldalai 25 mm-esek. Állíts össze belőlük olyan sokszöget, amely a) középpontosan is és tengelyesen is szimmetrikus; b) középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem; c) tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem; d) sem tengelyesen, sem középpontosan nem szimmetrikus!

Mekkora oldalhosszúságú négyzet alakú alumíniumlemezből lehet kivágni olyan szabályos nyolcszög alakú stoptáblát, amelynek minden oldala 20 cm hosszú?

24 mm

A négy rombuszt két-két szabályos háromszögből állítottuk össze. Az oldalak 32 mm-esek. Rakj össze belőlük olyan sokszöget, amely a) középpontosan is és tengelyesen is szimmetrikus; b) középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem; c) tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem; d) sem tengelyesen, sem középpontosan nem szimmetrikus! e) Melyik sokszögnek hány cm a kerülete? f) Melyik sokszögnek hány cm2 a területe?

24 m

Ki lehet-e vágni egy 80 × 75 cm-es farostlemezből egy 40 cm-es oldalhosszúságú szabályos hatszöget?

Egy szabályos hatszöget két részre vágunk az ábra szerint. A G pont a B pontnak az AC egyenesre vonatkozó tükörképe. E

a) Sorold fel a keletkezett négyszög és hatszög tulajdonságait! b) Hány szimmetriatengelye van az eredeti hatszögnek és hány a két részének?

9 0 . l e c ke

SZIMMETRIKUS SOKSZÖGEK

H Á Z I F E L A DAT

151

AZ ARANY CSALÁD NYARALNI INDUL…

F E L A DAT

Az Arany család nyaralni megy. Hajni és Bence már nagyon unja az autóutat, ezért kitaláltak egy játékot: olyan közlekedési jelzőtáblákat keresnek, amelyeket el lehet forgatni vagy tükrözni lehet úgy, hogy önmaguk maradjanak. Nézd meg figyelmesen az alábbi táblákat, és állapítsd meg, hogy melyik milyen transzformációval (akár többfélével is) vihető át önmagába! Van-e olyan tábla, amelyik tévedésből került a többi közé?

Megérkezve a család városnézésre indult. A térképen berajzoltuk, hogy merre mentek, és azt is, hogy mennyit. a) Keress a rajzon egyenlő és ellentett vektorokat! b) Keress olyan vektorokat, amelyek egyirányúak, de nem egyenlők! c) Keress olyan vektorokat, amelyek ellentétes irányúak, de nem ellentettek! d) Mekkora távolságra vannak Aranyék a kiindulási ponttól?

200 m

250 m

160 m

120 m

szálloda

350 m

D 350 m H

152

Egy kiránduláson Aranyék meglátogattak egy kis kápolnát. A kápolna alaprajza olyan sokszög, amelyet egy négyzet és a 45°-os elforgatottja határoz meg. a) Hány oldalú sokszög az alaprajz? b) Szerkeszd meg az alaprajzot, ha a kiindulásként használt négyzet oldala 10 cm! c) Méréssel becsüld meg, hogy mennyi a fal kerülete! d) Számítással ellenőrizd a becslés pontosságát!

A család egy alkalommal egy szabadtéri grillsütő sátorban ebédelt. A sátor alaprajza szabályos 12szög, oldalfalai nem voltak, csak teteje. A család tagjai azt számolgatták, hányféle szimmetriája van a sátornak. Vajon mennyi?

A szabályos 12-szöget később egy tér díszburkolatában is felfedezték. a) Milyen szimmetrikus sokszögeket ismersz fel C az ábrában? D b) Keress az ábB E rában olyan hatszöget, F A amelyik középponG tosan szim- L metrikus, de nem szabályos K H hatszög! J I

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

A hotel teraszán Bence talált néhány jópofa, szabályos hatszög alakú bárszéket. a) Mekkorák a méretei annak a téglalap alakú falemeznek, amelyből az ábra szerint kivágták a szék ülőlapját, ha ennek minden éle 15 cm hosszú? b) Hány százalék hulladék keletkezett így?

H Á Z I F E L A DAT

b) Az ábra szerint három részre bontottuk a paralelogrammát. Mekkorák a keletkezett háromszögek szögei és oldalai?

Egy négyzet alakú papírlapot kétszer összehajtottunk, majd az ábrán feketére színezett részeket kivágtuk belőle. Papírlap

2. hajtás után

1. hajtás után

60° 8 cm

8 cm

c) Mekkora a paralelogramma területe?

3. Milyen alakzathoz jutunk a papírlap széthajtása után? A) C)

Bence szobájában olyan a parketta, hogy három egyforma parkettadarabot az ábra szerint helyeznek el, majd az így kapott nagyobb „paralelogramma” ismétlődik. 8 cm 60°

16 cm

a) Megrajzoltuk az ábra szerinti paralelogramma átlóját. Mekkora az α és a β? Milyen hosszú a megrajzolt átló? b

60° 16 cm

91 . l e c ke

A Z A R A N Y C S A L Á D N YA R A L N I I N D U L …

Bence azon gondolkodik, hogy milyen egybevágósági transzformációval vihetők át egymásba a paralelogrammák. Adj meg olyan mozgást (vagy mozgássorozatot), amelyik a) az 1. jelűt a 2. jelűbe; b) az 1. jelűt a 3. jelűbe; c) a 3. jelűt a 2. jelűbe viszi át! Melyik esetben kell a térben átfordítani a paralelogrammát?

1. 3.

A 15 cm oldalú szabályos hatszög alakú ülőkelapot egy négyzetből vágják ki az ábra szerint. a) Mekkora a négyzet oldala és területe? b) Mekkora a hatszög területe? c) Hány százalék hulladék ke15 cm letkezik?

153

A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI I.

BEVEZETŐ A fotókon megjelenő zavaró árnyékok kiküszöbölésére a fényképészetben három fényforrással egyszerre világítják meg a lefényképezni kívánt tárgyat. Ennek az eljárásnak nagyon fontos eleme, hogy a tárgynak a három fényforrás mindegyikétől egyforma távolságra kell lennie. Pontosan hová helyezzük a tárgyat, ha adott a három fényforrás helye?

Megoldás Tudjuk, hogy egy síkban a sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont között húzott szakasz felezőmerőlegesén találhatók. Mivel a tárgynak bármely két lámpától egyforma messze kell lennie, ezért rajta lesz minden olyan szakasz felezőmerőlegesén, amelyet két-két lámpa közé húztunk, azaz az ilyen felezőmerőlegesek metszéspontjában kell lennie.

ELMÉLET A háromszög oldalának felezőmerőleges egyenesét a háromszög oldalfelező merőlegesének nevezzük. Minden háromszögnek három oldalfelező merőlegese van. Ezek – egy pontban metszik egymást, – ez a pont egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért – ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög köré írható kör középpontja hegyesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében az átfogó felezőpontjában, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van.

154

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

P É L DA Ez a fotó a párizsi Notre-Dame egyik ún. „rózsaablakáról” készült. Hogyan kell megszerkeszteni az ablak körének középpontját és sugarát, hogy az „illeszkedjék” a háromszögbe, azaz a háromszög oldalai éppen érintsék a kört? Megoldás Tudjuk, hogy egy konvex szögtartományban a szög két szárától egyenlő távolságra levő pontok a szögfelező félegyenesen találhatók. Mivel a kör középpontjának bármely két oldaltól egyforma messze kell lennie, ezért két szögfelezőn is rajta kell lennie, vagyis két szögfelező metszéspontjában van.

ELMÉLET A háromszög belső szögének szögfelező egyenesét a háromszög szögfelezőjének nevezzük. (Sokszor így nevezzük az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakaszát is.) Minden háromszögnek három szögfelezője van. Ezek – egy pontban metszik egymást, – ez a pont egyenlő távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől, ezért – ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A háromszög csúcsán átmenő és a szemközti oldal egyenesére merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. A magasságvonalnak a csúcs és az oldalegyenes közé eső szakaszát magasságszakasznak, ennek hosszát magasságnak nevezzük. Minden háromszögnek három magasságvonala van. Ezek egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

A háromszög magasságpontja hegyesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében a derékszögű csúcsban, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van.

9 2 . l e c ke

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I .

155

F E L A DAT

Szerkeszd meg egy 4 cm oldalú szabályos háromszög beírt és körülírt körét!

Egy háromszög két oldalának a hossza 25 mm, illetve 18 mm, az általuk bezárt szög α. Mekkora a 25 mm-es oldalhoz tartozó magasság, ha a) α = 30°; e) α = 120°; b) α = 45°; f) α = 135°; c) α = 60°; g) α = 150°? d) α = 90°;

Van-e olyan hely Mezőhegyesen, amelyik egyenlő távolságra van Újteleptől, a 81-es és a 46-os majortól?

a) Számítsd ki e körök sugarát! b) Milyen kapcsolat van e körök sugarai között?

81-es major

Árpádtelep

Újtelep

Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai 8 cm, 8,4 cm és 5,2 cm hosszúak! Szerkeszd meg a háromszög körülírt körét és beírt körét!

Komlósfecskéspuszta

Csatókamrás Kamaráspuszta

11-es major

Mezőhegyes

Belsőperegpuszta 46-os major

H Á Z I F E L A DAT

Szerkeszd meg egy hegyesszögű háromszög körülírt körét, beírt körét és magasságpontját a füzetedben!

Szerkessz egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek a körülírt köre 2,5 cm sugarú! Szerkeszd meg ennek a háromszögnek a beírt körét!

Egy díszítőelem négy egyenlő sugarú kör érintkezését mintázza. Egy kör sugara 25 cm. a) Számítsd ki két-két kör középpontjának távolságát! b) Mekkora területű a „lyukas” rész, amelyet a négy kör íve fog közre?

A GeoGebra programmal ellenőrizheted a gondolatmeneted d és a szerkesztéseid helyességét is.

156

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást!

Felhasznált ismeret A tengelyes tükrözés tulajdonságaiból következik, hogy egy síkban a sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese.

A háromszög AB oldalának a felezőmerőlegesén lévő pontok mind egyenlő távol vannak A-tól és B-től, a BC oldal felezőmerőlegesén lévő pontok mind egyenlő távol vannak B-től és C-től, ezért e két felezőmerőleges metszéspontja, a K, mindhárom csúcstól egyenlő távolágra van: KA = KB és KB = KC ⇒ KA = KC. A háromszög síkjának összes olyan pontja, amely egyenlő távol van A-tól és C-től, rajta van az AC szakasz felezőmerőlegesén, tehát ez az egyenes is átmegy a másik két felezőmerőleges metszéspontján.

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást!

Felhasznált ismeret A tengelyes tükrözés tulajdonságaiból következik, hogy egy konvex szögtartományban a szög két szárától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szögfelező félegyenes. A CAB szög szögfelezőjén lévő pontok mind egyenlő távol vannak az AB és az AC szögszártól, az ABC szög szögfelezőjén lévő pontok mind egyenlő távol vannak a BA és a BC szögszártól, ezért e két szögfelező metszéspontja, a K, a háromszög mindhárom oldalegyenesétől egyenlő távolságra van. Az ACB konvex szögtartomány összes olyan pontja, amely egyenlő távol van a CA és a CB szögszártól, rajta van az ACB szög szögfelezőjén, tehát ez az egyenes is átmegy a másik két szögfelező metszéspontján.

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást!

Felhasznált ismeret A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők.

C¢

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I .

B¢

Húzzunk az ABC háromszög mindegyik csúcsán át párhuzamost a szemközti oldallal! Így kapjuk az AʹBʹCʹ háromszöget. Az ábrán három paralelogrammát látunk, az ABCBʹ-t, az b ACBCʹ-t és az ACAʹB-t. Ezeknek a szemközti oldalai egyenlők, ezért a nagy háromszög mindegyik oldala kétszer akkora, mint a kis háromszögben vele szemben lévő oldal. Az A, B, C pontok éppen oldalfelező pontok a nagy háromszögben, a belőlük induló magasságvonalak pedig oldalfelező merőlegesek. Azt már tudjuk, hogy az oldalfelező merőlegesek minden háromszögben egy pontban metszik egymást, ez tehát igaz az ABC háromszög magasságvonalaira is.

9 2 . l e c ke

a c

A¢

1 57

A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI II.

BEVEZETŐ Vágj ki kartonpapírból egy tetszőleges háromszöget! Próbáld meg kiegyensúlyozni a vonalzód élén (sőt: akár a kinyújtott tenyered élén!) úgy, hogy az alátámasztás átmenjen az egyik csúcson! Hogyan kell igazítani a háromszöget? Most próbáld meg kiegyensúlyozni a háromszöget az ujjad hegyén! Hol legyen az alátámasztás?

ELMÉLET A

c 2

Minden háromszögnek három súlyvonala van. Ezek egy-egy csúcsot kötnek össze a szemközti oldal felezőpontjával, – egy pontban, a súlypontban metszik egymást, – a súlypont mindegyik súlyvonalat 2 : 1 arányú részekre bontja, a nagyobbik rész csatlakozik a csúcshoz.

c 2 B

a 2

A b 2

a 2

b 2 a 2

b 2

a 2

c 2

Minden háromszögnek három középvonala van. Ezek két-két oldal felezőpontját kötik össze, – párhuzamosak a háromszög egyik oldalával, és – fele olyan hosszúak, mint ez az oldal.

b 2

c 2 a 2

b 2 C

A GeoGebra programmal szemléltethető az állítások érvényessége minden háromszög esetére.

P É L DA Mekkora területű részekre osztja a 100 cm2 területű háromszöget egy a) súlyvonala; b) középvonala?

Megoldás a a) A két részháromszög egyik oldala ugyanakkora az ábrán , és egyenlő az ehhez 2 az oldalukhoz tartozó magasságuk is (m). A súlyvonal tehát felezi a háromszög területét, két 50 cm2 területű részre osztja a háromszöget.

(

158

)

m B

a 2

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

a 2

Síkmértan

b) Az FaFc középvonal felezi az ABFa háromszög területét, mert FaFc az ABFa háromszög egyik súlyvonala. Az a) részben láttuk, hogy az ABFa háromszög területe 50 cm2. Ezért a BFaFc háromszög területe ennek a fele: 25 cm2, ami negyede az ABC háromszög területének. Az ACFaFc trapéz területe 75 cm2, ami háromnegyede az ABC háromszög területének.

c 2

Fc c 2 B

a 2

F E L A DAT

Van-e olyan háromszög, a) amelynek egyik súlyvonala merőleges a felezett oldalra; b) amelynek egyik súlyvonala egyben szögfelező is; c) amelynek súlypontja egybeesik a körülírt kör középpontjával; d) amelynek súlypontja illeszkedik a háromszög egyik középvonalára?

A c 2

Mekkora az ABC háromszög területe?

Egy derékszögű háromszög átfogója 65 cm, egyik befogója pedig 56 cm hosszú. a) Számítsd ki a középvonalainak hosszát! b) Számítsd ki a súlyvonalainak hosszát! c) Mekkora területű részekre osztja a háromszöget a három középvonala?

c 4 4 cm 2 a 4

c 4

a 4

a 2

H Á Z I F E L A DAT

A derékszögű csúcsot összekötöttük az átfogó felezőpontjával, és összekötöttük 3 cm 3 cm a két befogó felezőpontját is. a) Mekkora ez a két szakasz? b) Mekkora a színezett háromszög területe, és mekkora a keletkezett két négyszög területe?

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 42 cm, szára 29 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög középvonalainak és súlyvonalainak hosszát!

Egy háromszög oldalainak hossza 4 cm, 7 cm, 7 cm. a) Szerkeszd meg a köré írt kör O középpontját, az M magasságpontot és az S súlypontot! b) Milyen kapcsolatot látsz az OS és az SM szakaszok hossza között?

2 cm

3 cm

9 3 . l e c ke

3 cm

7 cm

2 cm

Mekkorák a 4,8 cm oldalú szabályos háromszög középvonalai és súlyvonalai?

7 cm

4 cm

Oldd meg az előző feladatot egy olyan háromszög esetében, amelynek az oldalhosszúságai 6 cm, 8 cm és 9 cm!

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I I .

159

RÁADÁS

Érdekes kapcsolatot szemléltet az ábra: Egy háromszögbe berajzoltuk a középvonalait, aztán az így kapott háromszögbe ismét, és ezt folytatjuk a végtelenségig.

Euler-egy enes OF O

Feladat: Milyen pontot zárnak közre az egyre kisebb és kisebb háromszögek? Miért?

Ezt a kört a háromszög Feuerbach-körének, másképp: a kilenc pont körének nevezzük. A Feuerbach-kör középpontja az Euler-egyenesen van, középen a körülírt kör középpontja és a magasságpont között. A kör sugara feleakkora, mint a háromszög köré írt kör sugara. (K. W. Feuerbach 1800-tól 1834-ig élt, német gimnáziumi tanár volt. Nevét így ejtjük: fajerbah.)

Minden háromszögre igaz: A körülírt kör O középpontja, az M magasságpont és az S súlypont egy egyenesbe esik.

Rögzítsük az ABC háromszög AB oldalát, és mozgassuk a C csúcsot az AB-vel párhuzamos egyenesen! Nézzük, hogyan mozog eközben a háromszög magasságpontja! C

Euler-eg yenes O

M A

Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezzük. A súlypont van a másik két pont között, kétszer akkora távolságra M-től, mint O-tól. (L. Euler 1707-től 1783-ig élt, svájci születésű tudós volt. Nevét így ejtjük: ajler.) Megjegyzés: Szabályos háromszög esetében a három nevezetes pont egybeesik, ezért a tétel állítása ebben az esetben is igaz, ámde „semmitmondó”.

Minden háromszögre igaz: A három oldalfelező pont meghatároz egy kört. Ezen rajta van – a magasságvonalak és az oldalegyenesek három metszéspontja; – a magasságpont és a csúcsok közötti szakaszok felezőpontja.

M A

A teljes görbe végtelenbe nyúlik, amíg a C végigfut az egész e egyenesen. Be lehet bizonyítani, hogy ez a görbe egy parabola. C

M A

160

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Városnézéseink során könnyen felfedezhetünk olyan díszítőmotívumokat, amelyek érintkező körökből, körívekből épülnek fel.

Ezek közül kettőnek a szerkesztése olyan egyszerű, hogy matematikai ismeretek nélkül is könnyen adhatták tovább a mesteremberek tanítványaiknak. Tanulmányozd az ábrákat, és „fejtsd meg” a mesteremberek „titkát”! Hajtsd végre a szerkesztéseket!

Szerkesztése

Ha a „bűvös” Pitagorasz-tételt is ismerte a jó mesterember, akkor könnyen kiszámíthatta, hogy a bal oldali ábra legkisebb körének sugara pontosan harmada a legnagyobb kör sugarának, a jobb oldali ábra kis köreinek sugara pedig pontosan háromnyolcada a nagy körök sugarának. Lásd be, hogy jól okoskodtak! A 2., 3. és 4. feladat állításának általános érvén nyességét a GeoGebra programban is lehet szemléltetni.

9 3 . l e c ke

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I I .

1 61

FELADATMEGOLDÁS THALÉSZ TÉTELÉVEL

ELMÉLET C

Thalész tétele Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal egy harmadik pontjával, derékszögű háromszöget kapunk, a harmadik pont a derékszögű csúcs.

Másképp: Ha a C pont rajta van az AB átmérőjű körön, de nem esik egybe sem A-val, sem B-vel, akkor a C-ből az AB szakasz derékszögben látszik. B

Thalész tételének megfordítása A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontjában van. Másképp: Ha a C pontból az AB szakasz derékszögben látszik, akkor C rajta van az AB átmérőjű körön.

P É L DA

Hogyan állapítható meg egy kör középpontja, ha csak derékszögű vonalzónk van?

Megoldás Illesszük a derékszögű csúcsot a kör tetszőleges pontjához, húzzuk meg a két – egymásra merőleges – húrt, és kössük össze a másik végpontjaikat! Thalész tételének megfordítása értelmében az így kapott derékszögű háromszög átfogója éppen a kör egyik átmérője lesz. Ennek a felezőpontja a kör középpontja. A szakasz felezése helyett megismételhetjük az előző eljárást egy másik ponttal. A kör középpontja a két átmérő metszéspontja lesz.

ELMÉLET Milyen kapcsolatban van egymással egy tétel és a tétel megfordítása? Minden tétel két részből áll, a feltételből és az állításból. Ha a feltételt és az állítást felcseréljük, megkapjuk a tétel megfordítását. Némelyik tételnek a megfordítása is igaz, más tételek megfordítása nem igaz.

162

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Például a Thalész-tételnél: Feltétel

Állítás

Következik-e a feltételből az állítás?

a háromszög egyik oldala a köré írt kör átmérője

a háromszög derékszögű

igen

a háromszög derékszögű

a háromszög egyik oldala a köré írt kör átmérője

igen

Vizsgáljunk meg hasonlóan egy másik tételt: Ha egy négyszög négyzet, akkor a szögei derékszögek. Feltétel

Állítás

Következik-e a feltételből az állítás?

a négyszög négyzet

a négyszög szögei derékszögek

igen

a négyszög szögei derékszögek

a négyszög négyzet

nem

Ennek a tételnek a megfordítása nem igaz, mert van olyan négyszög, amely nem négyzet, de a szögei derékszögek. Ilyen minden téglalap, amelyiknek nem egyenlők az oldalai.

P É L DA

Szerkesszünk a k körhöz érintőket a külső P pontból! O

Megoldás Szerkesszük meg először az OP átmérőjű kört! A két kör az E és G pontokban metszi egymást. Thalész tétele miatt a PEO háromszög derékszögű az E pontnál. Ezért a PE egyenes érinti a k kört. Hasonlóan látható, hogy a PG egyenes is érinti a k kört.

F E L A DAT

Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 95 mm és 168 mm.

B sC

A háromszög egyik oldala mint átmérő fölé kört szerkesztettünk. Magyarázd meg, hogy a megszerkesztett M pont miért a háromszög magasságpontja!

sB A

a) Mekkora a háromszög köré írható kör sugara? b) Mekkorák a háromszög súlyvonalai?

A P pont mozgatásával szemléltethető a GeoGebra programban p a szerkesztés helyessége.

9 4 . l e c ke

F E L A DAT M E G O L D Á S T H A L É S Z T É T E L É V E L

163

Rajzolj egy 2,5 cm sugarú kört! a) Szerkessz egy olyan pontot a körön kívül, amelyből 1 cm hosszú érintőszakasz húzható a körhöz! b) Szerkeszd meg az összes olyan pontot, amelyből a körhöz 1 cm hosszú érintőszakasz húzható!

e Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelyA nek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! A füzetedben dolgozz! Hány megoldása van a feladatnak?

H Á Z I F E L A DAT

Szerkessz két olyan derékszögű háromszöget, amelynek az átfogója a KL szakasz, és a harmadik csúcsa a k körön van! A füzetedben dolgozz!

Kösd össze gondolatban az e egyenes mindegyik pontját A-val és B-vel! Vedd fel az ábrát a füzetedben! a) Melyik pontokból látszik az AB szakasz derékszögben? b) Milyen szögben látszik az AB szakasz a körön kívüli pontokból, például a P-ből? c) Milyen szögben látszik az AB szakasz a körön belüli pontokból, például a Q-ból? Gondolj rá: háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a kisebb oldallal szemben!

2. 3.

Helyezd el úgy a KL szakaszt, hogy az előző feladatnak csak egy megoldása legyen! Az ABC derékszögű háromszög egyik szöge 15°-os, az AB átfogó 12 cm hosszú. C j

a) b) c) d)

Q A

d 15°

e A

Mekkora a CF súlyvonal? Mekkora a δ szög? Mekkora az ε és a φ szög? Mekkora a CT magasság?

RÁADÁS Thalész (Kr. e. 624?–548?) matematikus és filozófus, a hét görög bölcs egyike volt, sokan a görög filozófia atyjaként emlegetik. A kis-ázsiai Milétoszban született, föníciai nemesi családban. A tudományok mellett politikával és kereskedelemmel is foglalkozott. Thalész érdekesen magyarázott egyes természeti jelenségeket; a földrengéseket például úgy, hogy a Föld vízen úszik, és a földrengéseket a víz hullámzása okozza.

164

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Ő volt az első olyan, matematikával is foglalkozó tudós, akinek a neve is fennmaradt. Komoly geometriai ismeretekkel rendelkezett, használta a térben elhelyezkedő egyenesek, síkok, testek fogalmát, távolságokkal és szögekkel dolgozott. Megmutatta, hogy a csúcsszögek egyenlők, hogy az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei megegyeznek, és hogy ha két háromszög egy-egy oldala és az azokon fekvő szögek páronként egyenlők, akkor a két háromszög egybevágó. Bebizonyította, hogy a háromszög belső szögeinek összege akkora, mint két derékszög együtt. Foglalkozott a hasonló háromszögekkel is, és kutatásai eredményét gyakorlati célokra is felhasználta. Például a hasonló háromszögek segítségével határozta meg a piramisok magasságát, sőt ilyen módszerrel megmérte hajók távolságát a tengeren. Leghíresebb megállapítása a derékszögű háromszög és a köré írt kör kapcsolatát kimondó tétel, amely máig az ő nevét viseli. Magát az összefüggést az egyiptomi és babiloni papok valószínűleg már Thalész előtt is ismerték, erről azonban nem maradt fenn bizonyíték. A tétel első bizonyítását neki tulajdonítják.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

Bizonyítsuk be Thalész tételét!

Tudjuk, hogy az ABC háromszög AB oldala a háromszög köré írt kör átmérője. Ha a C-t összekötjük a kör K középpontjával, akkor az ABC háromszöget két egyenlő szárú háromszögre bontottuk (a szárak a kör sugarával egyenlők). Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők, ezért ACK <) = α és BCK <) = β. Írjuk fel, hogy a háromszög szögeinek összege 180°! α + α + β + β = 180°; 2 α + 2 α = 180°; α + β = 90°. Eredményünk éppen azt jelenti, hogy az ABC háromszögnek a C csúcsnál derékszöge van.

C a

9 4 . l e c ke

F E L A DAT M E G O L D Á S T H A L É S Z T É T E L É V E L

Bizonyítsuk be Thalész tételének a megfordítását!

Most azt tudjuk, hogy az ABC háromszög derékszögű, és C a derékszögű csúcs. A két hegyesszög összege: α + β = 90°. Osszuk két részre a C csúcsnál fekvő derékszöget az ábra szerint! Az AKC háromszög két szöge egyenlő, ezért ez egyenlő szárú háromszög, melyben KA = KC. A BKC háromszög két szöge egyenlő, ezért ez egyenlő szárú háromszög, melyben KC = KB. Tehát KA = KC = KB, vagyis a K pont az átfogó felezőpontja, és ez egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától. K tehát a derékszögű háromszög körülírt körének középpontja.

a A

B C a

a A

165

A THALÉSZ-TÉTEL ALKALMAZÁSAI

P É L DA

Rajzoljuk meg azt a kört, amelynek átmérője az ABC egyenlő szárú háromszög AC szára! Igazoljuk, hogy ez a kör a háromszög AB alapját annak a felezőpontjában metszi!

Megoldás Az ábrán P a kör és az AB alap metszéspontja. Thalész tételéből következik, hogy az APC szög derékszög. A C-ből AB-re húzott merőleges viszont nem más, mint az ABC háromszög szimmetriatengelye, tehát P az alap felezőpontja.

Az ABC szabályos háromszög oldalai 44 mm-esek, az AB oldal felezőpontja D. Mekkora részekre osztja az AC oldalt a CD átmérőjű kör?

Megoldás Jelöljük a kör és az AC oldal metszéspontját E-vel! Thalész tételéből következik, hogy a CED szög (és így az AED szög is) derékszög. Az AED derékszögű háromszög egyik szöge 60°-os, ezért az AE befogó az AD átfogó fele. Az AD szakasz pedig az AB oldal fele, vagyis 22 mm hosszúságú. Tehát 1 1 AE = AD = ⋅ 22 = 11 (mm), 2 2 az AC oldal másik része pedig AC – AE = 44 – 11 = 33 (mm). Érdekes: az AC oldal egyik része 3-szor akkora, mint a másik.

E A

F E L A DAT

166

Egy szabályos nyolcszög egyik csúcsából az ábra szerint meghúzunk két átlót. Sorold fel a keletkezett négyszögek tulajdonságait!

Egy szabályos tízszöget az egyik csúcsából induló hét átlójával nyolc háromszögre bontottunk. a) Hány egyenlő szárú és hány derékszögű háromszög van a nyolc háromszög között?

b) Hányféleképpen választható ki a hét átló közül kettő úgy, hogy merőlegesek legyenek egymásra? c) Számítsd ki a nyolc háromszög szögeit!

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Mekkora a körbe írt négyszög kerülete és területe? (K a kör középpontja.)

7,8

Egy 10 cm sugarú körbe olyan deltoidot írunk, amelynek két 12 cm-es oldala van. a) Mekkora a másik oldalpár? b) Mekkora a deltoid területe?

cm 12

5 cm

10 cm

H Á Z I F E L A DAT

Az ABC háromszög egyenlő szárú, derékszögű; az AB szakasz 100 cm hosszú; a kör átmegy a C-n, és a felezőpontjában érinti az AB átfogót. a) A kör területének hány százaléka van az ábrán az ABC háromszögön kívül?

Egy 4 egység oldalú szabályos háromszög mindhárom oldalára megrajzoltuk a Thalész-kört. a) Mekkora e körlemezek metszetének területe? b) Ez hány százaléka a háromszög területének?

Egy derékszögű deltoid két oldalának hossza 15,6 cm és 13,3 cm. Mekkora sugarú kör írható a deltoid köré?

Hány különböző derékszögű háromszöget határoznak meg egy szabályos hatszög csúcsai?

b) Az ABC háromszög területének hány százalékát fedi le a körlap az ábrán? C

9 5 . l e c ke

A T H A L É S Z -T É T E L A L K A L M A Z Á S A I

167

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

BEVEZETŐ Minden háromszögnek van körülírt és beírt köre.

Most vizsgáljuk meg, hogy mi a helyzet a négyszögekkel és más sokszögekkel! Könnyen látható, hogy ez a tulajdonság, amellyel minden háromszög rendelkezik, nincs meg minden sokszög esetében. Vannak olyan sokszögek, amelyeknek sem beírt, sem körülírt körük nincs.

A szimmetrikus négyszögek között igazak a következők: – A húrtrapézoknak van körülírt körük (a nevüket is erről a tulajdonságukról kapták), de nem mindegyiknek van beírt köre.

van beírt köre, és van körülírt köre

körülírt köre van, beírt köre nincs

– A paralelogrammáknak általában sem beírt, sem körülírt körük nincsen, a tengelyesen szimmetrikus paralelogrammák azonban kivételt képeznek ebből a szempontból. – Minden téglalapnak van körülírt köre, minden konvex deltoidnak (így a rombusznak is) van beírt köre.

Vannak olyan sokszögek, amelyeknek csak beírt vagy csak körülírt körük van.

– A téglapok közül csak a négyzeteknek van beírt körük, a deltoidok közül csak a derékszögű deltoidoknak (köztük a négyzeteknek) van körülírt körük. csak beírt köre van

csak körülírt köre van

És olyanok is, amelyek mindkét fajta körrel rendelkeznek.

168

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

ELMÉLET Amelyik négyszögnek van beírt köre, azt érintőnégyszögnek, amelyiknek van körülírt köre, azt húrnégyszögnek nevezzük. Hasonlóan érintősokszögnek, illetve húrsokszögnek nevezzük azokat a sokszögeket, amelyeknek van beírt, illetve körülírt körük. A szabályos sokszögek különleges sokszögek azért is, mert mindegyik húrsokszög is és érintősokszög is. A körülírt és a beírt körük koncentrikus (ugyanaz a pont a középpontjuk).

P É L DA 28 mm

Egy érintőnégyszög három oldalának hosszúságát az ábra mutatja. Mekkora a negyedik oldala?

31 mm

39 m

Megoldás Tudjuk, hogy külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Az egyenlő szakaszokat azonos betűkkel jelöltük. Az ismeretlen oldal hossza: x + y. A rajzról leolvashatjuk, hogy két-két szemközti oldal hosszának összege x + y + z + u. Ez egyrészt egyenlő 31 + 39 = 70 milliméterrel, másrészt 28 + (x + y) milliméterrel. Tehát az ismeretlen oldal hossza x + y = 70 – 28 = 42 milliméter.

x x

Megjegyzés: Minden érintőnégyszögre igaz, hogy két-két szemközti oldalának az összege egyenlő.

F E L A DAT

a) b) c) d) e) f)

Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van körülírt köre? Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van körülírt köre? Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van beírt köre? Milyen négyszög az a téglalap, amelynek van beírt köre? Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van beírt köre? Milyen négyszög az a rombusz, amelynek van körülírt köre?

9 6 . l e c ke

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

169

Az e egyenes a piros és a kék körnek is érintője. Keress vonalzód odaillesztésével még ilyen tulajdonságú egyeneseket! Hány közös érintője van a két körnek? a)

Mekkora a 24 cm kerületű szabályos a) háromszög; c) hatszög; b) négyszög; d) nyolcszög köré írt kör sugara?

Egy húrtrapéz alapjainak a hosszúsága 24 mm és 54 mm. A trapéznak mind a négy oldala érinti a zöld kört.

24 mm

b) e

54 mm

a) Mekkorák a trapéz csúcsaiból a körhöz húzott érintőszakaszok? b) Mekkorák a trapéz szárai? c) Mekkora a trapéz magassága? d) Mekkora a zöld kör sugara?

H Á Z I F E L A DAT

Egy 8 cm oldalú rombusz egyik szöge 60°-os. a) Mekkora a rombusz területe? b) Mekkora a rombusz beírt körének sugara?

Egy szabályos hatszög oldala 1 cm hosszú. a) Számítsd ki a hatszög területét, továbbá a beírt és a köré írt kör területét is! b) A két kör területének különbsége hány százaléka a hatszög területének?

170

a) Egy négyzet beírt körének sugara 3 cm. Mekkora a körülírt körének sugara? b) Egy téglalap oldalainak hossza 17,6 cm és 5,7 cm. Mekkora a téglalap köré írható kör sugara?

Egy kisiparos olyan padlócsempéket gyárt, amelyek húrtrapéz alakúak. A trapézoknak két 45°-os szögük van, a hosszabbik alapjuk 12 cm hosszú, a száraik 4 cm-esek.

m 4c

45° 12 cm

a) Vágj ki papírból 10 ilyen trapézt, tervezz belőlük érdekes mintákat! b) Mekkora egy csempe területe? c) Hány ilyen csempe kell egy 3 × 1,5 m-es erkély burkolásához?

Egy derékszögű deltoid hosszabb átlója 6 cm, rövidebb átlója 5 cm hosszú. a) Mekkora a deltoid köré írható kör sugara? b) Szerkeszd meg a deltoidot és a köré írt kört is! c) Szerkeszd meg a deltoid beírt körének középpontját és a beírt kört is!

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

RÁADÁS Minden érintősokszög területe kiszámítható úgy, hogy a sokszög kerületének a felét megszorozzuk a beírt kör sugarával: t = rs. Miért? Ha a kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor a sokszög olyan háromszögekre r bomlik, amelyek egyik oldala a sokszögnek is oldala, és az ezekhez tartozó magasság éppen r. a r r Egy ilyen háromszög területe az oldalhosszúság -szerese: a ⋅ , 2 2 r az összes háromszög területének összege pedig az oldalhosszúságok összegének (vagyis a sokszög kerületének) -szerese. Ha a 2 sokszög területét t-vel és a kerületét 2s-sel jelöljük, akkor r = rs. 2 Ezzel a képlettel, háromszögekre vonatkozóan már a 22. lecke Emelt szint részében is találkozhattunk.

t = 2s ⋅

Mekkora abba a derékszögű háromszögbe írt kör sugara, amelynek az átfogója 52 mm, és az egyik befogója 2 cm? 2 cm

1. 2.

Mekkora a 10 cm-es oldalú szabályos hatszög a) beírt körének a sugara; b) területe?

Egy szabályos 10-szög oldalai 8 cm hosszúak, a köré írt kör sugara ≈ 13 cm. Mekkora a) beírt körének a sugara; b) a területe?

52 m

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Az ábrán egy sokszöget látunk. a) Hány oldalú ez a sokszög? b) Mekkorák az oldalai? c) Van-e rajta valamilyen szimmetria? d) Mekkora a kerülete és a területe?

90° 30°

9 6 . l e c ke

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

171

SOKSZÖGEK

F E L A DAT Beépítik egy ház tetőterét. A hasznos alapterületet az ábra mutatja.

27 dm

Egy rézlemez konvex deltoid alakú. Az oldalainak a hosszúsága 13 cm és 8 cm. A két rövidebb oldal merőleges egymásra.

d 85

10 m

8c 90°

A 15 cm oldalú szabályos hatszög az ábra szerint helyezkedik el egy négyzetben.

cm 15

45°

a) Mekkorák a deltoid átlói? b) Mekkora a rézlemez területe? c) Legalább hány százalék a hulladék, ha kör alakú lemezből vágják ki a deltoidot? d) Legalább hány százalék a hulladék, ha téglalap alakú lemezből vágják ki a deltoidot?

a) Hány oldalú sokszög ez az alaprajz? b) Hány méter a kerülete? c) Mekkora a területe?

45°

18 m

Az ábrán két négyzetből és két háromszögből egy sokszöget állítottunk össze.

90°

a) Milyen szimmetriákkal rendelkezik a két sokszögből álló alakzat? b) Számítsd ki a négyzet (berajzolt) átlójának hosszát, majd a négyzet oldalának hosszát is! c) Hány százaléka a hatszög területe a négyzet területének?

30°

a) Hány oldalú ez a sokszög, és hány átlója van? b) Van-e szimmetriatengelye, szimmetria-középpontja? c) Mennyi a belső szögeinek összege? Mennyi a külső szögeinek összege? d) Mekkorák az oldalai, a szögei, és mekkora a leghosszabb átlója? e) Mekkora a kerülete és a területe?

172

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

H Á Z I F E L A DAT

Mekkora a területe egy 24 cm kerületű szabályos a) háromszögnek; c) hatszögnek;

Egy szabályos nyolcszög oldalai 6 cm-esek. A nyolcszöget az ábra szerint kiegészítjük négyzetté. Mekkorák a négyzet oldalai?

Az ABCD négyszög két oldala párhuzamos, a másik kettő egyenlő, de nem párhuzamos.

d) nyolcszögnek?

24 mm

25 m

Ha megelégszel közelítő értékekkel, akkor a számoláshoz felhasználhatod az a cm-es oldalhosszúságú szabályos sokszögekre vonatkozó alsó táblázatot!

Szerkessz olyan húrtrapézt, melynek a 6 cm-es alapján fekvő szögei 60°-osak, és a szárai 2 cm hoszszúak! Mekkora a rövidebb alapja? Hány szabályos háromszögre bontható ez a trapéz?

m 25 m

b) négyszögnek;

39 mm

a) b) c) d) e)

Szerkeszd meg ezt a négyszöget! Sorold fel a tulajdonságait! Mekkora az ismeretlen oldal? Mekkora a négyszög területe? Mekkorák a négyszög átlói?

A következő táblázat a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögekre vonatkozik: Szögek

Köré írt kör sugara (cm-ben) R

Beírt kör sugara (cm-ben) r

60°

0,5774 a

0,2887a

0,4330a 2

90°

0,7071 a

0,5 a

108°

0,8507 a

0,688 a

1,7205 a 2

120°

0,8660 a

2,5981 a 2

128,6°

1,1524 a

1,0383 a

3,6339 a 2

135°

1,3066 a

1,2071 a

4,8284 a 2

140°

1,4619 a

1,3737 a

6,1818 a 2

144°

1,6180 a

1,5388 a

10 a

7,6942 a 2

147,3°

1,7747 a

1,7028 a

11 a

9,3656 a 2

150°

1,9319 a

1,8660 a

12 a

11,1962 a 2

152,3°

2,0893 a

2,0286 a

13 a

13,1858 a 2

154,3°

2,2470 a

2,1906 a

14 a

15,3345 a 2

156°

2,4049 a

2,3523 a

15 a

17,6424 a 2

157,5°

2,5629 a

2,5137 a

16 a

20,1094 a 2

158,8°

2,7211 a

2,6748 a

17 a

22,7355 a 2

160°

2,8794 a

2,8356 a

18 a

25,5208 a 2

161,1°

3,0378 a

2,9963 a

19 a

28,4652 a 2

162°

3,1962 a

3,1569 a

20 a

32,5688 a 2

97. l e c ke

SOKSZÖGEK

Kerület (cm-ben) 2s

Terület (cm2-ben) t

Oldalszám

17 3

GYAKORLÁS

F E L A DAT

Egy szökőkút medencéje négyzet alakú talapzaton áll. A talapzat köré az ábra szerint szabályos nyolcszög alakban szeretnének díszburkolatot építeni. A talapzat oldalai 3 méter hosszúak. Mekkora a díszkővel borítandó terület?

Vizsgáld a szabályos sokszögeket! Használd az a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögekre vonatkozó táblázatot a könyv végén! a) Melyik sokszög esetében adja meg a táblázat a belső szögek pontos értékét, és melyek esetében ad közelítő értéket? R r b) Készíts grafikont az és az értékekről az oldalszám függvényében! Mit figyelhetsz meg a grafikonokon? r R c) Hány oldalúak azok a szabályos sokszögek, amelyek esetében a beírt kör sugara nagyobb a körülírt kör sugarának 90%-ánál (95%-ánál)? d) Ellenőrizd a táblázat alapján legalább 6-féle sokszögnél, hogy a terület egyenlő a beírt kör sugarának és a kerület felének a szorzatával, vagyis t = rs!

174

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

A modern építészet egyik csodájaként tartják számon a Malajzia fővárosában, Kuala Lumpurban felépült Petronas ikertornyokat. A tornyok alaprajzához, az egymásba kapcsolódó négyzetekhez és körökhöz az ország uralkodó vallása, az iszlám építészeti stílusa adott ihletet. Szerkeszd meg a bemutatott alaprajzot egy 15 cm oldalú négyzetből kiindulva! – Forgasd el a négyzetet a középpontja körül 45°-kal! – Kösd össze a két négyzet csúcsait, így egy szabályos nyolcszöget kapsz. – Szerkessz olyan köröket, amelyeknek középpontja a két négyzet egy-egy oldalának a metszéspontja, és amelyek érintik a nyolcszög oldalait!

H Á Z I F E L A DAT A házi feladatok a Petronas tornyokkal kapcsolatosak. A megoldáshoz vedd figyelembe a tanóra 3. feladatát! Számításaidhoz használhatod az a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögekre vonatkozó táblázatot a könyv végén.

Mekkora a „belső” szabályos nyolcszög két szemközti csúcsa közötti távolság? Ha nem a táblázatot használod, akkor tanulmányozd a színezett (zöld) háromszöget!

Mekkora a körök sugara?

Mekkora a kicsinyített alaprajz területe?

Mekkorák a „külső” szabályos nyolcszög oldalai? Ha nem a táblázatot használod, akkor a színezett (narancssárga) háromszögek segítségével is válaszolhatsz.

Mekkora a „külső” szabályos nyolcszög két szemközti oldala közötti távolság?

9 8 . l e c ke

GYA KO R L Á S

15 cm

17 5

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT Rakj össze nyolc 3 cm-es oldalú egybevágó szabályos háromszögből olyan sokszöget, amely a) középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem; b) tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem! Melyik sokszögnek hány cm a kerülete? Melyik sokszögnek hány cm2 a területe?

a) Hány háromszög keletkezik? b) Hány tengelyesen szimmetrikus háromszög van közöttük? c) Melyik háromszögnek mekkorák a szögei? d) Vannak-e merőlegesek a megrajzolt átlók között?

Tűzzománccal díszített, „csepp alakú” fülbevalót kétféle változatban gyárt egy kisvállalkozó.

60°

A képen látható kerék átmérője 80 cm, és négy egyforma széles deszkalapból faragták, amelyeket azután egymás mellé illesztettek. Milyen hosszúak az egyes illesztések? (az ábrán pirossal jelölve)

a) Hány százalékkal több lemezre van szükség a tömör változathoz, mint a másikhoz, amelynek csak a körcikk alakú része tömör? b) 1200 pár fülbevaló gyártásához legalább hány méter huzalra van szükség az első változathoz? (A tömör körcikk alakú részt két huzaldarab hozzáforrasztásával lehet felfüggeszteni.)

176

Egy szabályos nyolcszög egyik csúcsából meghúzzuk az összes átlót.

A szabályos háromszögek oldala 9 cm. a) Mekkora a színezett körlapok sugara? b) Mekkorra részét színeztük be a háromszögeknek? c) Van-e tengelyes, vagy középpontos, vagy forgásszimmetriája az ábráknak?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

Mekkora a 10 cm sugarú körbe írt szabályos a) háromszög; b) nyolcszög területe?

Egy húrtrapéz alapjainak a hosszúsága 15 cm és 5,4 cm, a szárai 7,3 cm-esek. a) Mekkora a magassága? b) Mekkorák az átlói? c) Mekkora a területe?

m 25 m 14 mm

5,4 cm

7,3

Hány derékszöge lehet egy olyan deltoidnak, amelynek van körülírt köre?

Egy háromszög oldalainak hoszsza 14 mm, 25 mm és 25 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalegyenesére! A háromszög és a három tükörképe együtt egy sokszöget alkot. a) Hány oldalú ez a sokszög? b) Hány szimmetriatengelye van? c) Mekkora a területe?

7,3

25 m m

TUDÁSPRÓBA I.

15 cm

25 m m 14 mm

Mekkora a 10 cm sugarú körbe írt szabályos a) négyszög; b) hatszög területe?

Egy húrtrapéz egyik alapjának a hosszúsága 15 cm, a szárai 9 cm-esek, a körülírt körének átmérője is 15 cm. a) Mekkorák az átlói? b) Mekkora a magassága? c) Mekkora a másik alapja?

Rajzolj egy 2 cm sugarú kört! Szerkessz ebbe a körbe egy olyan négyszöget, amelynek pontosan két derékszöge van, és ezek egymással szemköztiek! m

Egy háromszög oldalainak hoszsza 14 mm, 25 mm és 25 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalfelező pontjára. A háromszög és a három tükörképe együtt egy sokszöget alkot. a) Hány oldalú ez a sokszög? b) Hány szimmetriatengelye van? c) Mekkora a területe?

25 m

TUDÁSPRÓBA II.

15 cm

9 9 . l e c ke

GYA KO R L Á S ; T U D Á S P R Ó B A

177

100

JÁTÉKOK

Véget ért a tanév. Az Arany család napjai is nyugodtabbak lettek kissé. Egy esős délután a két nagyobb gyerek, Hajni és Bence elhatározta, hogy nem kapcsolják be sem a tévét, sem a számítógépet, hanem előveszik a régi jó játékokat, azokkal szórakoztatják a családot és magukat. (A füzetedben dolgozz!)

Csillának két rajzos feladatot adtak. 1

Néhány oszlopban az összes karikát színezd pirosra úgy, hogy minden sorban pontosan egy karika legyen piros!

Kösd össze az azonos betűket csakis a négyzetek középpontján át vízszintesen és függőlegesen haladó, egymást nem metsző vonalakkal!

A B C D A D

C B

Csilla már ismeri az A, B, C és D betűket, nekifoghatna a megoldásoknak egyedül, de inkább bemegy a dédmamához, vele szeretne játszani. Ketten együtt sikeresen meg is oldották a feladatokat.

II. 1

Anyának egy rejtvényt kellett megfejtenie, amit Bence egy érdekes könyvben talált.

Számkeresztrejtvény

Vízszintes: a) Egy prímszám négyzete. e) A függőleges j) és a függőleges k) legnagyobb közös osztójának a fele. f) Egy négyzetszám köbe. h) A vízszintes a) négyzetgyöke. j) Szimmetrikus négyzetszám (jegyei fordított sorrendben is ugyanazt a számot alkotják). m) A függőleges i)-nél 1-gyel nagyobb szám. n) A vízszintes h) ötszöröse. o) A vízszintes m)-nél 1-gyel nagyobb szám négyzete.

f h

d g

i k

m n Függőleges: a) 8-cal kisebb a legkisebb olyan természetes számnál, amely 2-vel osztva 1-et, 3-mal osztva 2-t, 4-gyel osztva 3-at, 5-tel osztva 4-et, o 6-tal osztva 5-öt ad maradékul. b) Számjegyeinek összege 29. c) Prímszám. d) A függőleges k) egyik prímtényezője. g) A vízszintes m) és a vízszintes o) szorzatának négytizede. i) A függőleges d) kétszerese. j) A függőleges k) fordítottja. k) A vízszintes j) négyzetgyöke. l) A vízszites m) legnagyobb prímtényezőjének többszöröse.

178

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Síkmértan

III.

IV.

Hajni fejtörőket adott fel Bencének: 1

Gondolj egy számot, adj hozzá 2-t, szorozd meg 6-tal, adj hozzá 9-et, oszd el 3-mal, vegyél el belőle 7-et, oszd el 2-vel! Így megkapod azt a számot, amelyre gondoltál. Miért?

Gondolj egy számot, adj hozzá 5-öt, szorozd meg 2-vel, vegyél el belőle 20-at, adj hozzá 9-et, szorozd meg 3-mal, vond ki a gondolt szám 6-szorosából! Így 3-at kapsz. Miért?

Szórakoztató könyveket lapozva Bence is talált Hajninak való feladatokat. 1

Három szoba közül az egyikben egy hölgy van, a másik kettőben pedig egy-egy tigris. A szobák ajtaján szereplő három felirat közül legfeljebb egy igaz. Melyik szobában van a hölgy, ha a feliratok a következők:

Határozd meg azt a legnagyobb számot, amelyben a harmadik számjegytől kezdve minden számjegy az előző két számjegy összege!

A 4 cm oldalú négyzetnek 16 cm2 a területe és 16 cm a kerülete. Van-e még egy olyan téglalap, amelynek annyi négyzetcentiméter a területe, ahány centiméter a kerülete? A téglalap oldalainak hossza csak egész centiméter lehet.

Amikor mindenki elkészült a saját feladatával, páros versenyeket rendeztek. 1

Egy szabályos sakktábla bal alsó sarkából indul egy bábu. Bence és Apa lépteti vagy vízszintesen jobbra valahány mezőt, vagy függőlegesen felfelé valahány mezőt. Az nyer, aki a jobb felső sarokba lép. Először Bence lépett, és akkor apa azt mondta, hogy Bence máris vesztett. Honnan tudta Apa, hogy ha ő jól játszik, akkor Bence nem nyerhet?

Hajni előkészített 56 gyufaszálat. Bencével ezekből felváltva kivesznek 1, 2 vagy 3 darabot. Az nyer, aki az utolsót veszi el. Bence azt állította, hogy ő biztosan nyer, ha Hajni kezdi a játékot. Ezt Hajni csak azután hitte el, hogy Bencétől 5-ször kikapott. Mi lehet Bence trükkje?

Hajni egy gyufát kidobott, maradt 55 darab. Kíváncsi volt, így is megveri-e az öccse. Bence váltig állította, hogy igen, de akkor neki kell kezdenie a játékot. Hajni beleegyezett. Bence az első húzásnál 3 gyufát vett el. Ezután pedig újra mindig Bence győzött. Miért?

1 0 0 . l e c ke

J Á T É KO K

17 9

PISA FELADATOK A PISA egy nemzetközi program rövidítése: Programme for International Student Assessment, azaz „a nemzetközi tanulói teljesítménymérés programja”. A kilencvenes évek végén hívta életre a legfejlettebb államokat tömörítő Gazdasági Együttműködési és Fejlesztési Szervezet (OECD), melynek Magyarország 1996 óta tagja. PISA-felmérést először 2000-ben végeztek. A felmérés célja elsősorban a mindennapi életben használható tudás vizsgálata, emiatt is fontos az ország gazdasági megítélésének szempontjából. A mérést háromévenként ismétlik a matematika, a szövegértés és a természettudomány területén. 2012-ben 65 ország 500 ezer 15 éves tanulója írta meg. Az alábbi feladatok 2003-as feladatsorban szerepeltek. (Kiegészítettük néhány kérdéssel, ezt *-gal jelöltük.)

Csevegés az interneten

Mark (Sydney-ből, Ausztráliából) és Hans (Berlinből, Németországból) gyakran kapcsolatba lépnek egymással internetes csevegővonalon. Ahhoz, hogy csevegni tudjanak, egy időben kell fenn lenniük az interneten. Mark ahhoz, hogy megfelelő időpontot találjon a csevegésre, megnézett egy időzónákat mutató ábrát, és a következőket találta:

Greenwich 0.00

Berlin 1.00 (éjjel)

Sydney 10.00 (délelőtt)

1. kérdés: Amikor Sydney-ben délután 7.00 óra van, hány óra van Berlinben? 2. kérdés: Mark és Hans nem tud csevegni saját helyi idejük szerint délelőtt 9.00 és délután 4.30 között, mivel iskolába kell menniük. Saját helyi idejük szerint este 11.00-től reggel 7.00-ig sem tudnak csevegni, mert alszanak. Mi lenne a megfelelő időpont Marknak Sydney-ben és Hansnak Berlinben a csevegésre?

Színes cukorkák

Robinak édesanyja megengedi, hogy vegyen egy cukorkát egy zacskóból. Robi nem látja a cukorkákat. A következő grafikon a zacskóban lévő különböző színű cukorkák számát ábrázolja.

8 6 4 2

50%

10%

20%

25%

50%

Barna

25%

Lila

Rózsaszín

20%

Kék

Zöld

180

10%

Sárga

2*. kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hogy Robi piros vagy narancssárga, vagy rózsaszín cukorkát vesz ki a dobozból?

Narancssárga

1. kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hogy Robi egy piros cukorkát fog kivenni?

Piros

Tavaszi vásár

A tavaszi vásáron az egyik bódéban a játékot egy szerencsekerék megforgatásával kell kezdeni. Ha a szerencsekerék páros számon áll meg, a játékos kihúzhat egy üveggolyót egy zacskóból. A szerencsekerék és a zacskóban lévő üveggolyók az alábbi képen láthatók. Nyereményt akkor kap valaki, ha fekete üveggolyót húz. Zsuzsi egyszer játszik.

4 10

2 6

1*. kérdés: Mekkora a valószínűsége, hogy a szerencsekerék páros számon áll meg? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos. 2*. kérdés: Ha a szerencsekereket nem kellene megforgatni húzás előtt, akkor mekkora valószínűséggel nyerne Zsuzsi? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos. 3. kérdés: Ha Zsuzsi megforgatja a szerencsekereket, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy nyerni fog? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos.

Lépcsőminta

1. kérdés: Ákos lépcsőmintát készít négyzetek felhasználásával. A következő lépéseket hajtja végre. Amint látható, egy négyzetet használt az 1. lépésben, három négyzetet a 2. lépésben, és hat négyzetet a 3. lépésben.

1. lépés

2. lépés

3. lépés

Hány négyzetet kell felhasználnia a negyedik lépésben? 2*. kérdés: Ákos kockákból is szeretne lépcsőmintát készíteni. Most a következő módon építkezik.

1. minta

2. minta

3. minta

Hány kocka szükséges a 4. mintához?

P I S A F E L A DAT O K

181

SZABÁLYOS SOKSZÖGEK A következő táblázat a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögekre vonatkozik:

Szögek

Köré írt kör sugara (cm-ben) R

Beírt kör sugara (cm-ben) r

Kerület (cm-ben) 2s

60°

0,5774 a

0,2887 a

0,433 a2

90°

0,7071 a

0,5 a

108°

0,8507 a

0,688 a

1,7205 a2

120°

0,8660 a

2,5981 a2

128,6°

1,1524 a

1,0383 a

3,6339 a2

135°

1,3066 a

1,2071 a

4,8284 a2

140°

1,4619 a

1,3737 a

6,1818 a2

144°

1,6180 a

1,5388 a

10 a

7,6942 a2

147,3°

1,7747 a

1,7028 a

11 a

9,3656 a2

150°

1,9319 a

1,8660 a

12 a

11,1962 a2

152,3°

2,0893 a

2,0286 a

13 a

13,1858 a2

154,3°

2,2470 a

2,1906 a

14 a

15,3345 a2

156°

2,4049 a

2,3523 a

15 a

17,6424 a2

157,5°

2,5629 a

2,5137 a

16 a

20,1094 a2

158,8°

2,7211 a

2,6748 a

17 a

22,7655 a2

160°

2,8794 a

2,8356 a

18 a

25,5208 a2

161,1°

3,0378 a

2,9963 a

19 a

28,4652 a2

162°

3,1962 a

3,1569 a

20 a

32,5688 a2

Például egy 1,5 cm-es oldalú szabályos tizenkétszög – mindegyik szöge 150°-os; – köré írt körének a sugara 1,9319 · 1,5 ≈ 2,90 (cm); – beírt körének a sugara 1,8660 · 1,5 ≈ 2,80 (cm); – kerülete 12 · 1,5 = 18 (cm); – területe 11,1962 · 1,5 2 = 11,1962 · 2,25 ≈ 25,19 (cm2).

182

Terület (cm2-ben) t

Oldalszám

S Z A B Á LYO S S O K S Z Ö G E K

NÉHÁNY FELADAT VÉGEREDMÉNYE

58. lecke: 1. 7258 = 469 = 33112. 2. 1 csomó + 1 halom + + 1 magányos = 110012. 59. lecke: 2.a) 64; 512. b) Dobozból 0 db, zacskóból 4 darab, kis csomagból 7 darab, magányos 3 darab. c) 315 = 4738. 3.a) 751. b) 1111010112. 5. 33334 = 255 = 111111112 . 6. Legalább 31004 = 208, és legfeljebb 31334 = 223. 66. lecke: 1.a) 5. b) 0 és 5. c) 0 és 5. d) 0 és 5 és − 5. 2.a) –5. b) 5 és –5. c) 5 és –5. d) 0 és 5 és –5. 3.a) 8 (x + 3). b) 8 y (x + 3). c) 8 xy (x + 3). d) 8 x 2 y 3 (3 z + 1). 4.a) x 2 – 36; x 2 – 36; x 2 – 12 x + 36; x 2 + x – 6. b) D > A = B > C. 67. lecke: 4.a) (x – 5) (x + y). b) (x – 5) (x – y). c) (3 – y) (y + 5). 5.a) Nincs. b) 3. c) 3. 11y − 4 −2y 2 − 8y + 10 −2y 2 + 16 . 68. lecke: 1.a) . b) . c) 2 y −4 y+4 5y − y 2 + 17 y − 36 3y 2 + 3y 1 x 3 − 2x 2 . 2.a) . b) d) . c) . 2 3 x+2 4 3y − 9y 1 69. lecke: 1. 0,8. 2.a) –4; b) – . 4. 14; 12; 6. 5. 80 000 Ft. 2 2 71. lecke: 1. 3 óra. 2. kg. 3 74. lecke: 1.a) ]–1; +∞[. b) R. c) ]–∞; 0,75]. 2. Végtelen sok; 3. 3.a) {0; 1; 2}, ]–∞; 2,5]. b) {0; 1}, ]–∞; 1]. c) {0}, ]–∞; 1[. d) {0; 1; 2; 3}, ]–∞; 3]. 75. lecke: 2. 121, 122, …, 150; 30. 3.a) ]–2; 4[. b) ]–∞; –2] ∪ ]4; +∞[. c) ]–∞; –2[ ∪ [4; +∞[. 76. lecke: 1.a) 40; 60. b) 110; 190. c) 24; 8. 77. lecke: 1.a) (–3; –4). b) (11; 1). c) (0,75; –0,4). d) (0,5; –3,5). 2.a) 0 b) 0 c) Végtelen sok. 3. 280. 78. lecke: 1. 19. 2. 14. 3. 60. 4. 30. 5. 4,8. 6. 11 és 14. 7. János 15, Mihály 10 éves. 8. 735 ezüstért. 79. lecke: 1.a) 31 g; 102 g. b) 3; 4. 2.b) 1,125 ≤ befekte7 7 tés ≤ 2,25. c) Pl. (0,75; 1,5). e) ≈ 0,78; ≈ 2,33. 3 9 3. 4,5 kg; 5,5 kg. 80. lecke: 3.a) 15 cm. b) 5; 12. c) ≈ 1260 Ft.

N É H Á N Y F E L A DAT V É G E R E D M É N Y E

( 13); b) nincs megoldás.

81. lecke: 1. 3. 2.a) –1;

17 . 6. 28 napot. 23 87. lecke: 1.a) 22,5°; 45°; 67,5°. c) 4. 2. ≈ 15,6 mm. 3.a) 20,0 cm. b) 10,0 cm. 88. lecke: 1.a) 3,3 cm. b) 3,2 cm és 9,8 cm. 2. 5 cm sugarú, az eredetivel koncentrikus kört. 3. 48 mm. 89. lecke: 1.b) 3 cm; 4 cm. c) 7 cm; 1 cm. d) 50 cm; 2 cm. 2.b) 53 mm. c) 1260 mm2. d) 53 mm; ≈ 48 mm. 4.c) 2772 mm2. d) 85 mm. 91. lecke: 6.a) 30 cm; 15 3 cm. b) 25%. 2 3 4 3 cm; cm. b) R = 2r. 3.a)g) 9 mm. b) 92. lecke: 1.a) 3 3 f) 9 2 mm. c)e) 9 3 mm. d) 18 mm. 93. lecke: 2. 64 cm2. 3.a) 16,5 cm; 28 cm; 32,5 cm. b) ≈ 58,4 cm; ≈ 43,3 cm; 32,5 cm. c) 231 cm2. 94. lecke: 1.a) 96,5 mm. b) 96,5 mm; ≈ 174,6 mm; ≈ 126,8 mm. 95. lecke: 2.a) 2. b) 2. c) Egyik szögük 18°, ettől különböző szögek: 144°; 126°; 108°; 90°; 72°; 54°; 36°. 3. 35,2 cm; 70,56 cm2. 4.a) 16 cm. b) 192 cm2. 96. lecke: 1.a) Téglalap. b) Derékszögű deltoid. c) Rombusz. d) Négyzet. e) Konvex. f) Négyzet. 2. 4; 3. 8 3 cm. b) 3 2 cm. c) 4 cm. d) ≈ 3,92 cm. 3.a) 3 4.a) 27 mm; 12 mm. b) 39 mm. c) 36 mm. d) 18 mm. 97. lecke: 1.b) 80,8 m. c) ≈ 235 m2. 2.b) ≈ 41 cm; ≈ 29 cm. c) ≈ 82,9%-a. 3.a) 8 2 ≈ 11,3 és 17,4 (cm). b) 98,3 cm2. c) 59%. d) 50%. 4.a) 6; 9. c) 720°; 360°. d) 10 cm; 5 cm; 5 3 cm; 120°; 150°; 90°; 5 6 + 2 cm. e)(30 + 10 3) cm; (100 + 25 3) cm2. 98. lecke: 2.c) Az oldalak száma > 6, ill. > 9. 99. lecke: 2. ≈ 77,5 cm; 80 cm. 3.a) 6. b) 2. c) A szögek: 22,5°; 45°; 67,5°; 90°; 112,5°; 135°. 4.a) ≈ 83%-kal. b) ≈ 83,14 m. 3. 90 liter. 4. 15 km. 5.

(

)

183

TARTALOM

KAPCSOLATOK, VÁLTOZÁSOK. BEPILLANTÁS A FÜGGVÉNYEK VILÁGÁBA Függvények

75 Kisebb, nagyobb, egyenlő . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 Egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

77 Algebrai módszerek egyenletrendszerek megoldására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

78 Régi idők matekja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

49 Másodfokú függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 Melyik a legnagyobb és melyik a legkisebb érték? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 Négyzetgyökfüggvény, zérushely és értékkészlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 Gyakorlati problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

52 Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

53 Abszolút értékes egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . .

81 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

54 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 SÍKIDOMOK MINDENÜTT Síkmértan

A TERMÉSZETES SZÁMOKTÓL A VALÓS SZÁMOKIG Számok 55 Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 Egybevágósági transzformációk a síkon . . . . . .

120

83 Vektorok, szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

84 Egybevágósági transzformációk a gyakorlatban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

56 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 A transzformációk tulajdonságai . . . . . . . . . . . .

132

57 Oszthatósági feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 Szimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

58 Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 Csomagolunk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 Általános háromszögek, szimmetrikus háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

60 Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 A kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

61 Műveletek törtekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 Szimmetrikus négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

62 Irracionális számok, valós számok . . . . . . . . . . .

90 Szimmetrikus sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

91 Az Arany család nyaralni indul… . . . . . . . . . . .

152

92 A háromszög nevezetes vonalai és pontjai I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154 158

HOGYAN SEGÍT AZ ALGEBRA A PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁBAN? Algebra

184

74 Egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 Betűk szerepe a számolásban . . . . . . . . . . . . . . .

93 A háromszög nevezetes vonalai és pontjai II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 Számolás az algebrában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94 Feladatmegoldás Thalész tételével . . . . . . . . . . .

162

65 Nevezetes szorzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 A Thalész-tétel alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . .

166

66 Polinom szorzattá alakítása . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 Sokszögek és körök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

67 A szorzattá alakítás alkalmazásai . . . . . . . . . . . .

97 Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

68 Algebrai törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

69 Egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

70 Grafikus megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 Játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

71 Problémamegoldás egyenletekkel . . . . . . . . . . . .

82 PISA feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

72 Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Szabályos sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

73 Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Néhány feladat végeredménye . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

GOOGOL 100

A googol a 10 szám neve, ami az 1-es számjegyből és az azt követő száz darab 0-ból áll. A szám nevét egy kilencéves fiú, Milton Sirotta – Edward Kasner amerikai matematikus unokaöccse – adta 1938ban. Kasner arra használta a számot, hogy bemutassa a különbséget a végtelen és egy elképzelhetetlenül nagy szám között, lévén a googol nagyobb, mint az ismert univerzum részecskéinek száma. A googolplex egy még nagyobb szám, amelyben az első 1-es számjegy után googol darab nulla áll.

Matematika

Raktári szám: FI-503010902 ISBN 978-963-682-775-5

Matematika MÁSODIK KÖTET

KÍSÉRLETI TANKÖNYV

MAT-TK_9_2-B-2014-06-14.indd 1

2014.06.23. 9:04:06