15 próbaérettségi matematikából I.

rl

Jrr

J)

) l '_ l i i ',') ( l l I ),,)?)

- ;I - J - t - tJ,-, /

lt

i =:l it ii )titi: u)

eztii t&sziiliiink ire! reltsdg 6 tfi k6lszin

El6sz6

Szerz6k: TOTH JULIANNA FROHLICH LAJOS RUFF JANOS

Lektor: TRAsBNNE HORVATH ANNAMARIA

P6ldat6runktizentit koz6pszinii6retts6gifeladatsorltartalmaz,amelynekrnegold6s6val el6rheted,hogy sikeres,vrigyaidnakmegfelelci6retts6givizsghttehess.

A matematikaa legtobbember szilmhraneh6z,hiszenegy matematikafeladatsorjelentcisonrill6srigot,probldmamegold6k6szs6getig6nyel.Mdgis, 6ppenathrgy egzakts6ga miatt, a felk6sziil6salaposabb,tewezhet1bblehet, mint m6s t6rgyakb6l:pontosan meghat6rozhat6, hogy melyek azoka fogalmak,tetelek,eljilr6sok,amelyekettudni kell.

Feladatsorainkaz on6ll6 gyakorl6smellett igyekeznekbemutatnia tipikus m6dszereket, fog6sokat.Ezeknek a feladatoknaka megold6sa,a saj6t 6s a megold6kulcsban szerepl6megold6sokcisszevet6se nem p6tolhatjaaz 6retts6girek6szi.i16 <in6ll6munk6jiit, de szewezheti,ir6nyithatja, segitheti azt.

2005-ben6letbel6petta kdtszintii6retts6givizsgarendszer.

Ezzel a v6ltoz6ssala matematikai ir6sbeli feladatsorokjellege is megv6ltozik,hiszen egyrl,sztaz ehnirlt 6vtizedekbenaz egyesmatematikair6szteri.iletek (pl. szintetikusgeometria)szerepe6s hangsirlyai is megv6ltoztak,m6sr6sztkozlppontbakeri.ilta matematikaiprobl6mamegold6s 6s modellalkot6sk6pess6ge.

Ez ut6bbi azt jelenti,hogy val6s, osszetettebb,akhra h6tkoznapi6letbenmegfigyelhetcijelens6gek,rendszerekkertilnek a vizsg|lat koz6ppontj6ba:fel kell ismernrink a rendszere vonatkoz6 ismeretekb6l(m6r6si adatok,torv6nyek stb.) a probldma szemponddb6l ldnyegeseket,matematikaimodellt kell alkotnunk,majd a modell segits6g6vel rij <isszeftigg6seket kell levezetniink,a matematikaimodellbenkapott eredmenyeket 6rtelmezniinkkell.

Amatematikai modelljelentheti egyszerfibbesetbenegy egyenletvagy egyenletrendszer fel6llit6sdt6s megoldiis6t,de akiir a rendelkez6sre6116adatokadott szempontszerinti csoportosit6s6t, rendezds6t,statisztikaijellemz6inekmeghat6roz6s6t.

Konyvrinkbenszerepl6feladatsorokrissze6llit6sakor maxim6lisanfigyelembevetti.ik a koz|pszintii matematika 6retts6gikovetelm6nyrendszer6t,az tj lrettsegi feladatsorok jelleg6t, szerkezeti6s tartalmi fel6pit6s6t.

A feladatsorokmegoldds6nakmegkezd6seelcitt drdemeselolvasnoda bevezetdben j avaslatainkat. szereplSmegold6si,felk6szi.il6si Eredm6nyesfelk6sziil6st6s sikeresvizsg6tkiv6nunk!

a mii b6vitett, Mindenjog fenntartva,bele6rtvea sokszorosit6st, jog6t is. A kiad6 ir6sbeli illetve riividitett villtozatakiad6s6nak enged6lyen6lktil sema teljesmti, semannakr6szesemmilyen form6bannem sokszorosithat6.

ISBN 963 9489Sl 4 @ CopyrightMaxim Kiad6oSzeged ll

AszenSk

Bevezet6 Az irj 6retts6gikovetelm6nyrendszerot nagy t6makiirb6l 611,s ezekbencsoportositva rlszletezi a tartalmi 6s m6dszertanikovetelm6nyeket. . Gondolkod6sim6dszerek,halmazok,logika, kombinatorika,gr6fok . Sz6melm6let,algebra . Fiiggv6nyek, az analiziselemei . Geometria,koordin6tageometria, trigonometria . Val6sziniislgszdmiths, statisztika

6ll. ket,j6l elkiilontil6r6szb61 A feladatsor Az l. r 6sz 10- 12 feladatot tartalmaz6feladatlap,amely az alapfogalmak, definici6k, ismeret6thivatott ellen6rizni.Ebbena r6szbenmegjelenhetn6egyszerfiosszefiigg6sek hiny igaz-hamis6llit6st tartalmaz6vagy egyszenifeleletv6laszt6sfeladat is, de a feladatok tiibbs6genyilt vdgii. Az elsri r6sz megoldisbra 45 perc iill rendelkez6sre,vagyis ezen 30 pont id6 eltelteut6n e feladatokmegold6s6ranincs m6d. Ebbena r6szben<isszesen 6rhet6el.

A II. r6sz megold6siid6tartama 135 perc. Ez tov6bbi k6t r6szt Iartalmaz(IVA, IIIB).

A feladatok megold6safolyamatos, az adott id6n beltil nem korl6tozott.

A II/A rdszbenh6rom feladatot kell megoldani, a II/B r6szbenh6rom feladatb6l kell kiv6lasztani kett6t. A feladatok a kozlpszintti kiivetelm6nyek keretein beliil osszetett feladatok, 6ltal6ban tobb t6makort is 6rintenek 6s t<ibb r6szk6rd6sb6l 61lnak. A II. 70 pont 6rhet6el. r6szbencisszesen

A feladatlapon a kiivetkez6 utasitdsokat kapod: I. r6sz . A feladatokmegold6s6ra45 perc fordithat6,az id6letelt6vel a munk6t be kell fejeznie.

Az els6r6szben10-12viszonylagkonnyii, a definici6k 6s szab6lyokkozvetlenalkalmaz5s6tmegkcivetel6feladat tal6lhat6. Mint minden id6re megoldand6feladatsornfl, itt is 6rdemesaz 6rht figyelni. Lfithat6, hogy egy feladatra 3-4 percjut. Ha egy feladat megold6sasor6nezt az id6keretettull6pted,6s m6g tobb id6 kell a megold6shoz,akkor 6rdemesezt a megold6stmegszakitani,6s egy m6sik feladatra6tt6rni.Ha maradtm6g id6 az eglsz feladatsorut6n, akkor 6szszer6az llyen f6lbemaradtfeladatokhoz visszat6rni.

Az id6re ttirt6n6 feladatmegold6sthasznosgyakorolni.

15 pn6nefnnrrsfcr uernMerrxAs6l . A feladatokmegold6sisorrendjetetsz6leges.

Ha valamelyik k6rd6s tril neh6znektfinik, akkor 6t kell t6rni egy krinynyebbre, 6s majd csak a v6g6nvisszat6rnia nehezebbekre. ' A feladatok megold6sihoz zsebsz6mol6g6pet6s n6gyjegy6 fiiggv6nyt6blinatot haszn6lhat, m6s elektronikus vagy ir6sos seg6deszkozhaszn6latatilos!

Erdemes ezen seg6deszkozokhaszn6lat6tm6r otthon j6l begyakorolni. J6 tudni, hogy milyen tipusri <isszefiigg6sek hol tal6lhat6ak a fiig gv6nytihlinatb an.

'A feladatok v6geredm6ny6taz erre a c6lra szolgil6 keretbe irja, a feladatok megold6siit csak akkor r6szletezze,haerre a feladatsz<ivege utasit6stad!

A v6geredm6nytcsak akkor ird be a keretbe,ha biztosan j6, azaz ellen6rizted. Ha a feladat szovegek6ri, akkor r6szleteznikell az indokl6st.

'A feladatokmegold6s6ttollal k6szitse!Ha valamilyenmegold6stvagy megold6sr6szletet 6thriz. akkor az nem 6rt6kelhetri.

Csak akkor hizz itt r6szeket,ha biztosannem j6, 6s van helyettejobb v6laszod.Ha elrontasz valamit, ak.korazt el6g egyszenien 6thrizni. Nem lehet satirozni, kifesteni 6s egy6b nyomelti.intet6sim6dszert alkalmazni. J6, ha ezt mdr a gyakorl6s alatt megszokod.

'Az egyesfeladatokraaz ott feltiintetettpontsz6mnAltttbb nem kaphat6.Titbb megold6ssal, m6lyenszbnt| 6rtekez6sekkel nem 6rdemesaz id6t fecs6relni. ' Ha a megadott vllasz hib6s elemet vagy elemeket tarlalmaz, akkor maxim6lis pontsz6m nem adhat6.

Az els6 rdszbenadhat6 <isszpontsz6m 30 pont. Az egyesfeladatok 6ltal6ban2 pontosak 6s n6ha 3 vagy 4 pontosak. Itt ritk6bb, de el6fordul, hogy a feladatra adott pont feloszthat6 6s a megold6s egyesrdszeirekiil<in lehet pontot kapni. Ha az egyikr6szben hib6t kovett6l el, akkor az arra jdr6 pontot nem kapod meg, de a m6sik r6szrej6r6t megkaphatod,ha ott nincs elvi hiba.

II. r6sz 'A feladatokmegoldiisilra135 perc fordithat6, azid6letelt6vel a munk6t be kell fejeznie.

Ezen id6 alatt <it feladatot kell megoldani. igy egy feladatra el<isztirmaximum 20 pe'cet 6rdemesforditani. . A feladatokmegold6sisorrendjetetsz6leges.

'A II/B r6szbenharom feladat ktizi.il csak kett6t kell megoldania.A nem v6lasztott feladat sorsz6mit irjabe a dolgozatbefejez6sekoraz alilbbi ndgyzetbe! Ha a javit6 tanhr szitmira nem dertil ki egy6rtelmiien,hogy melyik feladat 6rt6kel6s6tnem k6ri, akkor az utols6 feladatra nem kap pontot!

Ez av6laszt6silehet6s6gegyszerrelehet orcimteli 6s neh6z.Az6rt rir<imteli,mert kihagyhatod azt a feladatot, amelyik a legkev6sb6 vonz. Neh6z, mert ezt ki is kell v6lasztanod.

Erdemes alaposan6tgondolni avillasztilst,mert el6fordul, hogy a neh6znek6s visszataszit6nak tiin6 feladat kiv6n kevesebber6feszit6st.igy mindenk6ppenaztjavaslom, hogy gondolkozz el mindh6rom feladaton,miel6tt d<inten6l.A sz6mot akkor ird be anlgyzetbe, amikor mar a k6t neked tetszl feladatot megoldottad, de akkor ne felejtsd el!

15 pn6nAfRETTsfcr

UeTEMATIKAB6L

. A feladatok megoldrisilhozzsebsz6mol6g6pet6s n6gyjegyri fiiggv6nyt6blilzatot haszu n6lhat, m6s elektronikus vagy irdsos seg6deszkozhaszn6latatilos! r! . A feladatok megold6s6hozalkalmazott gondolatmenet6tminden esetbenirja le, mert a FI t\ F: feladatraadhat6pontsz6mjelentrisr6szeerrej6r!

H j6l Itt a megold6s menet6t reszleteznikell minden esetben.Ez struktur6lt 6s olvashat6 legyen. . Ugy"lj arra, hogy a l6nyegesebbr6szsz6mit6sok is nyomon k<ivethet6eklegyenek!

Minden egyesl6p6snekott kell lenni a megold6sban.Nem irhatszki.ilonpapina. Ezt j6, ha a gyakorl6sok sor6n is megszokod. . A feladatok megold6s6nillhasznSlttetelek kozil az iskol6ban tanult, n6vvel elliitott t6teleket (pl. Pitagorasz-tltel, magass6g{6tel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania;el6g csak a t6tel megnevez6s6t roviden inemliteni, de alkalmazhat6s6g6t dokolni kell.

Teh6t soha ne felejtsd el az alkalmazofi tercl nev6t odairni 6s hivatkozni arca,hogy a benne szerepldfelt6tel teljesiil. P6ld6ula Pitagorasz{dteln6lhivatkozni kell ara, hogy a h6romszcigder6ksziigii. Nem n6vvel ell6tott tetelek eset6nle kell irni a tetelt, amit fel akarszhaszn6lni. . A feladatok v6geredm6ny6t(a feltett k6rd6sreadand6v6laszt) szcivegesmegfogalmazhsbanis kozolje!

Avillaszadhskor mindig 6rdemesrijra elolvasni a feladatot, hogy pontosan a k6rd6sre v6laszolj. Ugyelj a m6rt6kegys6gekre6s gondoljuk 6t, hogy eredm6-nytinkkozelit6leg re6lis-e. . A feladatokmegold6s6ttollal k6szitse!Ha valamilyenmegold6stvagy megold6sr6szletet 6thriz, akkor az nem 6rt6kelhet6. . Az egyes feladatokra az ott feltiintetett pontsz6mn6lt<ibbnem kaphat6. . Ha a megadott v|lasz hib6s elemet vagy elemeket tartalmaz, akkor maxim6lis pontsz6m nem adhat6.

SZOVEGES FELADATOK Az e1s6l6p6smindig a feladatmeg6rt6se.Ehhezak6rtobbsz<iris el kell olvasni a feladat szoveg6t.El kell tudnod dcinteni,hogy mire vonatkozik a k6rd6s, mit keresiink, mi az, ami adott 6s milyen kikiit6sek vannak.A kiivetkez6 k6rd6seket6rdemesfeltenni: Kiel6git6-e a kikdt6s? Elegend6-e a kikiit6s az ismeretlen meghat6rozhshhozvagy nem? Esetlegkevesebbis el6g volna? Van benne ellentmond6s?

Ha sztiks6ges,rajzolj 6brit. Vezessbe alkalmasjeltil6st.V6laszdsz6ta kikdt6s egyes r6szeit. Keress risszefiigg6staz adatok 6s az ismeretlen kozrjtt. Ha nem tal6,lszkozvetlen risszefiigglst, n6zz seg6dfeladatokut6n. V6gtil k6szitsd el a megold6s terv6t.

Itt felmeriilhetnek a krivetkezd k6rd6sek: Nem tal6lkozt6l mhr a feladattal?Esetlega mostanit6l kiss6 elt6r6 form6ban?Nem ismersz rokon feladatot, vagy olyan t6telt, aminek haszn6tvehetn6d?

L 5 pn6naf nnttsf cr ueruMerrxAs6t, N6zd csak az ismeretlent! Pr6b6lj visszaeml6kezniegy ismert feladatra, amelyben ugyanez- vary elrhezhasonl6- az ismeretlen.Nem tudnridhasmositani?Nem tudn6dfelhaszn6lniaz eredm6ny6t?Nem tudn6d felhaszn6lnia m6dszer6t?Nem tudn6d esetlegvalamilyen seg6delembevezet6s6velfelhaszn6lhat6viltenni?

Nem tudn6d ittfogalmaznia feladatot?ldtzd fel a definiciot!

Ha nem boldogulsza kitrizott feladattal,prbbttkozz el6szoregy rokon feladattal.Nem tudn6l kigondolni egy kdnnyebbenmegkozelithet6rokon feladatot?Egy 6ltal6nosabbfeladatot?Vagy egy speci6lisabbat?Yagy egy anal6gfeladatot?Nem tudn6d megoldani legal6bba feladat egy r6sz6t?Tartsdmeg a kikot6s egy râ&#x201A;Źszdt,a tobbit ejtsd el! Mennyire van igy meghatarozvaaz ismeretlen,mennyibenv|ltozhat m6g?Nem tudn6l az adatokb6lvalami hasznosatlevezetni?Nem tudn6l mondani m6s adatokat,amelyek alkalmasakaz ismeretlen meghatdrozhs6ra?Meg tudndd 6gy viitoztatni az ismeretlent vagy az adatokat, vagy ha sziiks6ges,mind a kett6t, hogy az rij ismeretlen6s az rij adatokkozelebbessenek egym6shoz?

Felhaszniilt6l minden adatot? Sz6mit6sbavetted az eg6szkikiit6st? Sz6mbavetteda feladatbanel6fordul6 cisszesl6nyeges fo galmat? megsziiletheta terved,amit ezut6nv6grekell hajtanod.

Ezengondolatoksegits6g6vel Ellendrizz minden l6p6st.Bizonyosnak kell lenned benne,hogy a l6p6s helyes-e,hogy be is tudn6d-ebizonyitani,hogy helyes.

Ugy.lj kozben az 6ttekinthet6,j6l strukturAlt leir6sra!

A terv v6grehajt6saut6n kiivetkezik a megold6s vizsg|lata. Ellen6rizni kell az eredm6nyt vagy abizonyit6st.Meg kell n6zned,hogy a kiktit6seknek,a sz<ivegvagy egyenlet ha megvizsg6lod,hogy nem tudn6d-em6selv6r6sainakmegfelel-e.Egy m6sik lehetcis6g, k6pp is levezetniaz eredm6nyt.Nem tudn6d-eaz eredm6nytegyetlenpillantrisrabel6tni.

1. feladatsor I. r6sz l. Adott k6t halmaz:A a9-n6lkisebbp6rospozitiv eg6szek;B a 30-n6lkisebb,6-tal oszt(2 pont) hat6 pozitiv eg6szekhalmaza.Adjameg az A aB 6s a B \.4 halmazokat. < < 2. KeresettAndi k6t olyan sz6mot,amelyreteljesiil,hogy a b.lgaz-e, hogy lal lbl?

(2 pont) sz6m 3. A 3n45*4 sziimbanirjon x helydre olyan sz6mjegyet,hogy a kapott h6tjegyii (3 Pont) oszthat6legyen 72-vel ! hely6t 6s 6rt6k6tl fiiggv6ny sz6ls66rt6k6nek (4 pont) 3, a koziiltik ketten 5, 5. Egy tal6lkoz6nhat embervett r6szt,a r6szfvev6kegyharmada (3 pont) rajzzala k6zfog6sokat! pedig 2 emberrelfogtak kezet.Szeml6ltesse tOUUiet<

4.Hat|rozzameg az xt) x2 -4x+3

az 6. irja fel annak az egyenesnekaz egyenlet6t,amely 6thalad az oigSn 6s mer6leges (3 pont) A(-l;2) 6s a B(2;7) pontok 6ltal meghatinozottegyenesre! megold6shalmaz6t!

7. Adott azf fuggvdnygrafikonja.Olvassale azflx) > 0 egyenl6tlens6g (2 pont)

GEOMETRIAI FELADATOK Gondosanolvasd el, hogy mi adott,6s mire vonatkozika k6rdes.Altal6ban erdemes Jobbanj6rsz, ha megtanu|brtfik|sziteni de ne trjltsd az id6t pontos 6braszerkeszt6ssel. lod, hogyan kell megkcizelit6enar6nyos,kifejezl rajzotkdsziteni. Az 6bra ne tattalmazzon a feladat sziivegdbcilnem kiolvashat6 szabilyoss6gokat(p1.:egyenl6 oldalir h6romszog, derdkszrigiih6romszog),illetveha az 6brakbszitlsekorm6r logikai l6p6seketis v6gzel,arra felt6tlenutalni kell ("Az A csricsn6ll6v6 sztig der6kszog,mert..."). Indokl6s n6lktil, csak az 6bra alapjdn ne fogadj el 6llit6sokat, mert m6g a gondosank6szitett 6bra is csal6kalehet. Sokszorsegit,ha egy tipikusnakv6lt geometriai6bramell6 felveszel m6g egy extr6m 6br6t is: p6ld6ul egy tompaszcigiih6romsz<igetis klszitesz,ha ezt a feladat adatainem zirjirkki. Az iibr6d legyen mindig el6g nagy 6s 6ttekinthet6.Ne adj nevet minden r6sznek,csak azoknak,amelyeknekval6ban sziiks6ges.Ha miir tulzsirfolt, vagy dttekinthetetlenaz ftbrhd,ne legy6l rest rijat kdsziteni.Ha tdtelt kell haszn6lnoda megold6s folyam6n, akkor mindi ghivatkozz ri 6s indokold, hogy mi6rt haszn6lhatod.

Ezek az elvek a tcibbi feladattipusmegold6s6banis segitenek.

8. Minden firi szeretia focit' V6lasszaki a fenti 6llit6s tagadisht az al6bbiak kiiziil!

A) Van olyan fiir, aki szereti a focit.

B) Nincs olyan firi, aki szereti a focit.

(2 pont)

L 5 pn6sefRnrrsEcr uarruerrxAn6r,

L5 pn6sAfRETTsfcr

C) A l6nyok szeretika focit.

D) Van olyan firi, aki nem szereti a focit.

E) A l6nyok nem szeretika focit.

UeTEMATTKAB6L

b) Mekkora a kieg6szit6h6romszogteriilete? c) Mekkora atraplz teri.ilete?

15. Oldja meg a kcivetkezciegyenleteketa val6s sz6mokhalmazan!

(3 pont) (4 pont)

Y-

9. Abrinotia az x>

2cosx fiiggvenyt al-2n;2nl-on!

(2 pont)

10. Egy 37 ftis oszt6lyban legal6bb h6ny tanul6r6l lehet azt |llitani, hogy sziilet6snapjuk ugyanabbana h6napbanvan?

(2 pont)

11.Mely val6sx-reteljesiil,hogyJ x a-3

= 0.

a) tg- = 1s;

(4 pont)

b) log.,(5.r-1)- log.(;r+ l) = L

(8 pont)

II/B

(3 pont)

12. H6romhizaspir szinh|zbament.Egym6smell6 vettekjegyet, h6nyfelek6ppeni.il(2 pont) hetnekle, ha a h6zast6rsak egym6smell6 akarnakiilni?

lI. r6sz

16.Egy gyertyakdszitfv6llalkoz6sa kar6csonyiv6s6naolyan 3 gyerfy6b6l6116grimb alakrigyertyasorozatot dobottpiacra,amelyn6la gomboksugaraiegy m6rtanisorozat egymhstkovetd elemei. 1000 ilyen gyertyasorozat k6szit6sdhez328,5n dm3 anyagothaszn6ltakfel. A gyertyasorozat legnagyobbgiimbj6neksugara6 cm. gombjeineksugarai? a) Mekkor6ka gyertyasorozat (10pont) b) A v6s6r helyszin6re tiirt6n6 sz6llit6skor a gyerfyasorozatok 5 %o-amegs6rtilt. 2 gyertyasorozatkiv|laszt6sakor mekkora annak a val6sziniis6ge,hogy legal|bb az

II/A 13. a) Toltsekitdblilzatot az adottoszlopdiagramalapj6n,ha az cisszesdijbev6tel 15750 (5 pont) milli6 forint.

BIZTOSITOK

G6pjnrmii-biaositrisokdijbev6teleinekmegoszlisa G6pj6rmii60% biztositSsok dijbev6telei 50% (milli6 Ft) 40%

AB-Aeeon Generali-Providenciz

17.Egyhegymagass6g6nak meghat6rozirsirhoz a vizszintes terepegyegyenes ritszaka: szhnA,.B6sC pontokatrigyvessziikfel,hogyAB BC:100 m. E pontokb6la hegy cstcsarendre30o. 45o6s60o-osemelked6si szosbenl6tszik. a) K6szitsen ihrht az adatok felttintet6s6vel! b) Milyen magasa hegy?

(6 pont) (11 pont)

30%

Huns6ria

20%

OTP-Garancia

t0%

Egy6b

IYo

-::.t."t**

18. a) Oldja meg a kovetkezdegyenletetal-2n;2nl-on!

42s i n:

"d.

b) Abrdzoljuk kordiagramona g6pj6rmii-biztositdsok dijbev6teleinekrnegoszl6sdt!

(7 pont) tovdbbioldalai 1,56s2 cm.

14.Egy trapezalapjai2,5 6s4 cm kieg6szit6h6romszrigdnek (5 pont) a) Mekkor6ka traptz sziral?

aa

(4 pont)

egyik s6riilt?

c) A gyertyasorozattervezett6ra 1900 Ft volt atewezett mennyis6g mellett. A s6ri.ilt sorozatokkiv6tele ut6n h6ny %o-kalnovelje meg a v6llalkoz6 hib6tlan term6keinek (3 pont) irht,ha atewezett bev6teltel szeretn66rni?

(9 pont)

r+ s i nr-l 1

(5 pont) b') Hat|rozza meg a gyokok 6tlaght,sz6r6s6t! c)Hat|rozza meg azon szdmlani sorozat els6 10 tagj6nak az osszeglt, amelynek az els6 tagja egyenl6 azegyenletlegkisebbgyrikdvel,differenci6japedigaz egyenlet (3 pont) legnagyobbgyoke a [-2n; 2n)-onl

1 5 pn6sefnnrrsfcr

nnarEMArrKAB6L

Adott az.flx) fiiggvdny grafikonja.Adjuk meg az./{x) < 0 egyenl6tlens6gmegold6s(2 Pont) halmaz6t!

2. feladatsor I. r6sz 1. Abr6zoljar +>log, ;r+ I fiiggv6nyt!

(2 pont)

2.Egyszerusitse az aldbbitortet!

(2 pont) x-l

*'-1 3. Az ABC h6romszrig k6t csricsaA (*2; 4) 6s B (I; -17) a h6romszogstrlypontja: S Q;a). Hathrozza mega h6romszog hi6nyz6csricspontj6nak koordin6t6it!(3 pont) 4. Adott azJ'fuggvlnvgrafikonja.Olvassukle azf fuggv6ny6rtelmez6si tartom6ny6t, 6rt6kk6szlet6t!

(2 pont) + l'l 8. Milyen sz6mjegyrev6gz6dik a20052004

(2 pont)

9. Der6kszrigrih6romszdgoldalai egy olyan sz6mtanisorozategym6stkcivetcielemei, (4 pont) arnelyn6la differencia 1 egys6g.Mekkor6k a h6romszogoldalai?

6 5 4

10. Abr6zolja az x e x' -2r-3

3

fiiggv6nyt(D = IR)!

(4 pont)

(helydt;6rteket),z6rushelyet!

Adja meg a fiiggv6ny sz6ls6er1ek6t

2

11. Hriny egyeneshirzhat6olyan nyolc ponton 6t, amelyekkozi.ilsemelyik h6rom nern (2 pont) illeszkedikegy egyenesre?

-2

-l 12. Mely val6sx-re teljesiil,hogy 2^ > 3?

a

(2 pont)

_J

4

I[. r6sz

5. Dobjunkfel ket szab6lyos dob6kock6t egym6st6l fiiggetlentil!Mi a val6sziniisdge annak,hogya dobottsz6mokmindegyikeprimsz6mlesz?

(3 pont) 6. Az al|bbi kijelent6 mondatokkoztil v6laszdki az 6llit6sokat(it6leteket)!

A) Minden primsz6mp6ratlan.

B) Holnapj6 miisor lesz a tv-ben.

C) Az 6vod6bana legszebbl6ny Myriam.

D) Minden piiros n6gyzetszimosszetett.

(2 pont)

II/A 1 3 .Egy 35 ftis osztdlyb6ll5 tanul6besz6lfranci6ul,13 oroszul,14 n6rnetiil.3 - 3 - 3 tanul6k6t nyelvet,mindentanul6besz6llegaldbbegy nyelven. H6ny olyan tanul6 (12 pont) van,aki mindhdromnyelvetbesz6li?

15 pn6nAfRETTsfcr nnerEMATrKABor

L5 pn6safnrrrsfcr uarnMerrxAs6r L4. Egy szinesiiveggomb sugara4 cm, kor6 olyan szab6lyosn6gyoldahi iiveggrilit terveziink, amelynek lapjai 6rintik a gombot 6s a gula alapdle S.,6 cm. a) Mekkora a grila felszine? b) H6nv cm3vizzel lehet kitciltenia somb 6s a stla kozotti r6szt?

(8 pont) (4 pont)

c) A b) r6szbenkapott 6rtdkek6tlagosan6vi h6ny sziizal6kospiaci 6rernelked6snek felelnekmeg?

17.Egy h6ziasszonyaz asztali l6mp6j6nakernyrij6t szeretndkicser6lni. Elhat|rozta, hogy maga k6sziti el a csonkakripalakir erny6t,amelynekm6ret6ta r6gi ernycisikba terit6seut6n m6ri le.

15. 1000embertmegk6rdeztek,hogy h6ny napotvolt nyaralni az elmirlt 6vben.A v6laszokat az alilbbi tdblilzat mutatia \lanok szhma 3yakorisiig

0 320

a 2 J 150 100 200 I

I

4 80

5 70

6 50

7 30 (2 pont) (3 pont) (3 pont) (4 pont)

a) Mennyi a minta ifilaga? b) Mekkora a sz6rhsa? c) Mennyi a m6dusz,medi6n? d) Abr6zoljuk oszlopdiagramon!

II/B 16. Egy fratalhizaspiir csal6di hhz 6pit6s6ttewezi, olyan 400 m2-estelket szeretn6nek v6s6rolni,amelynekmaxim6lis be6pithet<is6ge 30 %-os. Oner6k6ntrendelkez6siikre rlll 18 mFt (o), az 6pit6shezhifnyz6 <isszeget15 6ves futamidejii 5 o/o-os6pit6si hitel felv6tel6velp6tolj6k.

K6t lehet6s6gad6dottsz6mukra:a v6rosbanv6s6rolnaktelket 15 eFtJm2vagy a kozeli 10 km-re lev6 faluban 5 eFtlm26ron. Ugyanolyan lak6hhz epitlsi kiilts6ge a v6rosban240 eFtlmz,a faluban(a magasabbsz6llit6sikolts6gekmiatt) 250 eFtlmz. j616 kolts6geket a) Maxim6lis be6pit6seset6n,csak a telekv6s6rl6ssal, dpitkez6ssel (p) kell elsz6molniuka v6figyelembev6ve kezdetbenmekkora kolts6gvet6ssel (5 pont) rosban,ill. a falubantort6n6 6pitkez6seset6n?

b) l0 6v eltelteut6nmekkoraa piaci 6rt6kea v6rosbanill. a falubandpitettlak6h6(6 pont) zaknak' ha ( (. dr ) r,o5r5-1,05, _lrro_, p,=po . zi \ ['* ro ,J[,-5oo]-" ahol Po : 6pit6sik<ilts6g,telek6nal megncivelt6rt6ke(eFt); Pt : az ingatlanpiaci 6rt6kel6v mrilva (eFt); i: infl6ci6 ( 6tlagosan6vi 3 %) 11:felvett hitel nagys6ga(eFt) d: alegkozelebbi v6rost6l val6 t6vols6g (km)

a) Mekkora a krirgyrinicikk teriilete,ha c : 19,5cm, h : 18 cm 6s az AD tfxolshga a (7 pont) h htrt6l7.5 cm ? jeloh Az ernyiit b) az irbrdn ABA t6glalapb6l szeretn6kiv6gni. Mekkora rn6retti anyagotv6s6roljon?Mennyibe keriil az anyag,ha m2 ara3200 Ft? c) Mekkora az emy6b6l kialakitott csonkakripmagass6ga? i

18. a) Mutassameg,hogy haa > 0 + a + -> 2l

(4 pont) (6 pont)

(6 pont)

a

b) Oldja megaz *' +\=Z"or(r-I

x'

t'

) egyenleteta val6s sz6mokhahnaz6nl

4l

(l l pont)

15 pn6nefnnrtsfcl

3. feladatsor

MATEMATIKABOL

log, (x - l) fiiggvdnyt !

9. Abrdzoljuk a (2; 4)-n azx

(2 pont)

->

I. r6sz

10. Oldjuk meg a val6s sz6mokhalmaz6na J3*-5 = 2 egyenletetl

l. Melyik sz6mnagyobb

*l+ rusy4i,

(3 pont)

(2 pont)

11.Egy t6glalaptenilete 120 cm2.Oldalainaksz6mtanikcizepeI 1 cm. Mekkor6k az oldalal?

(4 pont)

haromszog szira 3Jicm. Mekkoraa kiir sugara? der6kszogri l2.Egy k<irbeirt egyenkiszriru (2 pont)

2.Mi az aldbbi6llit6stagadilsa?

Ma estemozibamegyekvagyolvasok.

(2 pont)

lI.r6sz

3. Lejla 6sEdit tal6ltk6t pozitivsz6mot(a-t 6sb-t), amelyekre igaz,hogy a> b 6sJU , U'.Igaz-emindig,hogyJi > a2?

(2 pont)

II/A

4. Adott uJ@) fiiggv6ny grafikonja.Adja megfi.r) > 0 egyenl6tlens6gmegold6shalmaz|tl

2llRaizot6pmennyis6g6nekfele('z]!Rafelez6siidejel6 13.l6l46valattbomlikela (4 pottt) a) Mennyiidti alattbomlikel egyadottmennyislg314r6sze?

2!f Mi897S na izot6pottartalmaz. b) Tal6ltakegyr6gifa leletet,amelycm3-enk6nt 2r2fRa izot6pottartalmaz lyen r6gi lehetez a lelet,ha ugyanilyen616fa 10.000 (2 pont) 5. Egy hiiromszcigszcigeinekarhnya2:3:4. Mekkora a legnagyobbszoge?

(2 pont)

6.Egy v6llalat15dolgoz6janak2004. november havinett6keresete 59 eFt,61 eFt,85 eFt, 85 eFt,87 eFt,87 eFt,87 eFt,141eFt,141eFt,141eFt,141eFt,141eFt,187eFt,187 eFt,385eFl Mekkoraavilllalatdolgoz6inak6tlagkeresete, m6dusza, medi6nja? a keresetek sz6r6sa,

cm3-enk6nt?

(8 pont)

14. Hiirorn falu kozrisenteryezegy szennyviztisztitotelep l6tesit6s6t,a falvak t6rk6pszelv6nyr6llevett koordin6t6ikm-ben:A (16; l8); B (28; 2); C(18; 26) a) Mely pontba 6pits6ka szennyviztisztit6telepet,ha azt szeretn6k,hogy mindh6rom falut6l ugyanolyant6vols6gbanlegyen?Adjuk meg a pont koordin6t6it! (6 pont) (2 Pont) b) Mekkora ez attloIsilg? c) Tervezik m6g a falukat egymiissal,6s a falukat a teleppelosszektit6utak 6pit6s6t.

(4 pont) H6ny km ritat szeretndnek6piteni?

(4 pont) 15. Egy piiylnatra 20 p6lyamunka 6rkezett, 5 kateg6ri6banhirdettek 1-l gy6ztest.

Hdnyf6lekdppentort6nhetettez, ha (6 pont) a) egy pillyamunkacsak egy kateg6ri6banlehet gy6zres; (6 pont) b) egy p6lyamunkatcibbkateg6ri6banlehet gytiztes?

7. Adjuk meg intervallumjelcildssela sz6megyenesen l6that6intervallumokat! a)

-1

0l

-l

01

b)

(2 pont)

8. Oldjukmega pozitivsz6mokhalmazin+< x -5

2 egyenl<itlens6get!

(J

pont)

1 5 pn6nefnntrsf cr uarnwratrxAn6r.

4. feladatsor

II/B anyagt (6ra) kezdetbenToh6m6rs6kletii k<irnyezetben, 16. a) 4, 6lland6h6m6rs6kletti htil, ezt a folyamatotaz rin. Newton-f6lelehiil6sitorid6 mrilva Z h6m6rs6kletre v6ny t6nyez6' T: Tf (To- T)' e-Ktirjale, aholK (ll6ra) hci6tbocsritdsi mennyiid6 alatt,,hiille" a 100oC-osk6lak6sban Alland6,2l oC-osh6m6rs6kletii oC-ra?

(5 pont) (K: 13,51/6ra) v6 40 b) Egy szegedigimn6zium 320 l6nytanul6j6t k6rdezt6kmeg hajsziniikr6l. A v6laszokat az aldbbi tilbli,zat mutatja: Fekete Vtirtjs Barna Sz6ke Haiszin

80 Gyakoris6g !

Abr6zoljukktirdiagramon

r24

48

68

[. r6sz 1. Egy 12 ftis kiildtitts6gben 7-enbesz6lnek franci6ul,4-enn6mettil,egy emberbeszdl franciiiul 6s ndmettil.H6ny olyan embervan a kiilddtts6gben,aki semelyiknyelvet sem besz6li?

(2 pont)

2. Milyen szdmjegyekirhat6k -r 6sy hely6be,hogy 45 | 304x7y teljesi.iljon?

3. Abrdzoljaaz x e J;;

(3 pont)

-l flrggv6nyt(D = [2;-)), adjamega z6rushelyeit!

(6 pont)

(2 pont)

c) Mekkora annak a val6szintis6ge,hogy kiv6lasztva l0 l6nyt kciziiltik 2 sz6ke 6s 5 (6 pont) voros haji?

4.Egy otcsricsir gr6fpontjainak foksz6ma3,3,3,1,2.Szeml6ltesse a gr6fot! (2 pont)

17.Egy traplz pirhuzamos oldalai a 6s c (c > a), sziltaib, d. Atrap1z oldalai a, b, d, c sorrendben egy szhmtanisorozat egym6stkiivetd elemei.

(6 pont) a) irhat6-e kor az igy megadott trapdzba?Allitasod indokold! b')Ezt a traplzt 7,5 cm hosszti kiiz6pvonala k6t r6szre osztja, amelyek teriiletdnek

5. Egy h6romszogkeriilete36 cm, egyhozzhhasonl6 h6romsz<ig6 54 cm. Mekkoraa teriiletiik ar6nya?

(2 pont) 6. Adott azffuggvlny grafikonja.Adjamega sz6ls66rt6ket (hely6t,6rt6k606sz6rushely6t!

arinyaT:13.

Mekkora atraplz tertilete?Mekkor6katraplz oldalai?

v

(11pont)

alapjaolyant6glalap,amelynekoldalai12m 6s 15m. A te18.Egy h6zpadl6ster6nek 42o-osszogetzbmakbe. t6sikoka vizszintessel (10pont) a) Mekkoraa padl6st6rt6rfogata? egycser6p0,08m2tertiletetfed le, 6s az a tet6fed6shez,ha b) Hanycser6psziiks6ges gyakorlati okokb6ll0 % -kalmegkell novelni? elm6letilegsz6mitottcser6psz6mot (7 pont)

-)-l r

-

^ -r

-2 -3 4

(3 pont)

T.Beatrix6sAgi tal6ltk6t sz6motamelyrelog2lal> logzlbl.Igaz-e,hogya> b?

(2 ponl) 8. A val6ssz6mokmely legb6vebbr6szhalmazdn lrtelmezhetdaz x e 2sinx - I ftiggv6ny?Mi az 6rt6kk6szlete?

(3 pont) 9. Mutassukmeg,hogy b6rmely<itrfcspont (koordin6t6ieg6szek)eset6nki lehet vrllasztaniaz ot r6cspontb6l k6t olyat,amelyeknek felez6pontja is r6cspont! (3 pont)

t2 r_::_J

15 pn6nAfRErrsfcr

1 5 pn6nefnrrrifcr nnernuarrrAn6l

uarEMArrKAB6L

c) A szezon v6g6n a kereskedrin6l megmaradt 50 db diszt6rgyat beolvasztottdk 6s azokb6l 8,77 cm-es alkot6jri, 6,2 cm-es sugaru kripokat <intottek.Hiiny darab

x2+lOx+25

kdsztilhetett a beolvasztott anyagb6l?

("r* -5)!

(3 pont)

k6szithet6h6romsziniiz6szl65 szinb6l,ha mindenszin csakegy11.H6nyf6lek6ppen (2 Pont) szerfordulhate15?

(3 pont)

12.l$rizolja x -+lx + tl- Z fiiggvdnyta l-2; 2l-onl.

II. r6sz II/A a krivetkez6okok dertiltekki, mint a v6vizsg6latakor 13.A 89193v6l6sszociol6giai 16stokoz6f6t6nyez6k:

ok Gyakorisr{g

Csal6donbeliih Alkoholzmus az Uj p6rkapcsolatKanier6pit6s er6szak eeyik f6l r6sz6r6l

2608s

r8 932

32 045

7 679

a) Sz6moljaki az egyesokok %-os arinyht,ahi6nyz6v6l6sokataz,,egy6bokok" ka(4 pont) teg6ri6basorolva!

(6 pont) b) Szeml6ltessekordiagramon! c) Ennek alap16n,ha valaki egy v6letlentil v6lasztottv6l6st tanulm6nyoz,legnagyobb

es6llyelmilyenokot fog tal6lni?

14. Abrbzolja egykoordin6ta-rendszerben /(-r) =-x2 +2x+l

(2 pont)

6sg(x): 3 (rr: aJ

O,

Ailapitsameg,mely.r 6rt6kreteljesiil,hogy(5 pont) Dg: R \ {0}) fiiggvdnyeket!

(3 Pont) DJV): s@); < (4 pont) b)l(x) g(x)! turist6knak,disztdrgygyanintolyanpi15. Egyiptombana k6zmiivesekaz odal6togat6 ramisokat(ndgyoldahiszab6lyosgril6kat)rinttittek,amelyeka Kheopszpiramis kozel 140m, k6t szemkoztioll:2800 arhnylm6sa.A Kheopszpiramismagass6ga hajl6sszrige 109,47". dal6l6nek (4 pont) a) Mekkoraa Kheopszpiramisalap6le?

(5 pont) b) Mekkoraegy disztilrgyalap6le,oldal6le,t6rfogata?

16.Egy 12m2 alapteri.iletri hfntartisi helyis6gburkol6s6hoz 32x32cm-esegyeditervez6si nlgyzet alakripadl6lapothaszn6lnak fel. A tervekszerinta padl6lapokcsircsaibanegy-egy20 cm sugarunegyedkorivetfesten6nek, a negyedkrirrjkkozosrflszdt, (ktiz6ps6) ill. a padl6lapkiirokrinkiviili r6sz6tk6kre,a fennmarad6 rdszeketfeh6ne festik.

(12 pont) a) Egy padl6lapeset6nmekkorateriiletrir6sztfestenekk6k sziniire? b) K6szitsiinkkrilts6gvet6st a burkol6shoz,hatudjuk,hogy: - a padl6laptervez6se 100eFt - a burkol6shoz:5 m2-enk6ntegy zs6kcsemperagaszt6 sztiks6ges, amelynek6ra 44Ft/kg; - a burkolnikivrlntteriilet 10 Yo-6valtiibb padl6lapotkell venni; - a padl6lapokkrizotti r6szflgizishhoz 7 m2-enk6nt5 kg fugakell, amelynek 6ra 550Ft/kg.

- a gyirt6eladasiira (ezerFt-ban):p:I20 + 10r,aholI a vdsaroltmennyis6g m2-ben - a burkol6munkadija2500Ftlm2.

A csemperagaszt6 csak20,ill. 25 kg-os,afugiz6 anyaga 2,5kg-os,ill. 5 kg-oskiszerel6sben kaphat6.

(5 pont) 17. Egy piiratlan oldalsz6mrikonvex soksziig 6tl6inak sz6maprim. a) H6ny oldahi a sokszog?

(5 pont)

b) E soksz<ig szrigeirendre(c[1,o2, o3,.....o.r)egyolyansz6mtanisorozategym6st k<ivet6elemei,amelynekels6tagja(ur) 72" Mekkor6ka sokszogszogei?(5 pont) c) Az crr-hciz,rll. az a5-hriztartoz6csircsokat risszekot6 6tl6 felezi crrsz<iget.

Milyen speci6lissikidomokraosztjaez az 6tl6a soksz<iget?

(4 pont) d) Mivel egyenl6a szogek6tlaga,sz6r6sa?

(3 pont) 18.Oldja meg a kiivetkez6egyenletrendszert a val6ssz6mokhalmaz6n!

(r)6.-=[+)", (2) loga@+ y) * loga@- y) : 2.

(17pont)

15 pn6nefnnrrsfcr uerEMArrKAB6r

5. feladatsor

11. Egy ritpontri egyszeri gr6fban megrajzoltunk 8 6lt. Mutassuk meg, hogy van legal6bbk6t olyan csfcs, amelyb6lpontosan3 6l indul ki!

(3 pont) 12. Egy csomagmagyar k6rty6b6l h6nyf6lek6ppenlehet kiv6lasztani 4 I nyolcas es 3 makk legyen a kiv6lasztott lapok k<jzritt?

l. Melyik sz6mnagyobb?

vagysin240'

(3 pont)

4. irja 6t tizessz6mrendszerbe 101101 , szimotl

(2 pont)

S.Igaz-e, hogy b I a2 akkor b2l a2?

(2 pont)

6. Abrirzoljaa [-3; l]-on xt) xz -3 fiiggv6nytl

(2 pont)

l,g .104.2,l.lo-3 S.HatLrozzamegM sz6mnormil alakj6t!

5,4.10-e

(2 pont)

(2 pont)

9. Egy szakaszk6t v6gpontja: A(-3; 6), B(3; -6). Hatdrozza meg a szakaszA-hozkozelebbi harmadol6-pontj6nakkoordin6t6it!

(2 pont)

10.Oldjameggrafikusanlffi>

@

x-4 egyenl6tlens6get!

P IA

o

II/A

3. Egy 30 f6soszt6lyban fizik6b6l3jeles, 10k<izepes 6s5 el6gs6ges dolgozatsziiletett, az oszt|ly |tlaga2,9 6s 2,95kdzl esik.H6nyanirtak n6gyesdolgozatot? (4 pont)

7. Hatirozzuk meg az A, B halmazokat,ha tudjuk, hogy: A w B : {a; i; m; 6; r; y;k ; q} A\B: {k;ql AvB: {a;r;i;m}

tigy, hogy (3 pont)

II. r6sz

(2 pont) 2. Melyik illliths igaz? a) mindenrombusz6rint6n6gyszog; b) minden6rintdn6gys zog traplz; c) mindentdglalaptrap6z; d) van olyantrap|z, amelyhrirn6gyszog; e) mindenhirrn6gyszogbe irhat6kor.

frj F

f. r6sz

totr#

Ul

(3 pont)

13. Egy 36 fl6s osztiiy kir6ndulni k6sziil, 4 lehet6s6gkozil aztv|lasztjbk, amelyikre a legtobben szavaznak.Minden tanul6 pontosan t helyre szavazhal.A szavaz6seredm6nye: Budapest M6trafiired 18963

P6cs

Sziks6st6

a) Hov6 mennek kir6ndulni? Szeml6ltesseaz adatokatkordiagramon!

(4 pont) b) A 36 tanul6b6l kiv6lasztunk 3 tanul6t. Mekkora annak a val6sziniis6ge, hogy mindh6rman ugyanarraa helyre szavaztak?

(4 pont)

jogosultak34%-aj6rulazum6l<hoz,aszavaz6k c) Egy nâ&#x201A;Źpszavazhskor aszavaz6sra jogosultakhtny oh-avila52 oh-avoksol igennela feltettk6rd6sre.

A szavazdsra szolt igennel?

(4 pont)

14. Egy hrlromsziig alakri telek oldalainak arbnya25:52:63.A telek teriilete 2520 m2. a) A telekkrirbekerit6s|hezh6ny m hosszrikerit6stkell 6piteni?

(7 pont) b) A gazdaolyan ktir alakthizat szeretne6piteni, amelynek a kiizdppontja a telek oldalait6l egyenl6 t6vols6gravan. A h6romszcigmelyik pontja ez, s milyen t6vol van az oldalakt6l?

(5 pont)

15. 12000eur6t <irokoltiink,s rigy gondoltuk,hogy szerencsej6t6kkal megpr6b6ljuk megntivelnitirciks6giinket, ezlrtMonte-Carl6bautaztunk.Csakhogymir az els6napon 23 eur6tvesztetttink,s mindenezt k<jvetci napon6 eur6valtobbet,mint az el6z6n. a) Legfeljebbh6ny napigj6tszhattunk,ha 225 eur6t f6lre kell tenni a visszarit irtikolts6g6re?

(9 pont) b) Mennyitvesztettiink (3 pont) a 15,,a 25.,illetveaz utols6napon?

L 5 pn6sefnnrrsEcr nnerruerrxAn6r,

II/B

.A H

3 t{

tr

rO

6. feladatsor

16. a) V6gezzeel a krivetkez6rniiveleteket! ( z t-+tl-r'

x+2) x-l

r.- "t-l J xr+6.r+9

r**l

f. r6sz x*-3 pont)

b) Mely val6s x-re 6rtelmezhetci?

2 x +2 \ . l f ----------=T-

r<l

|

"t[l - "'

*'-l |

---7---

r - l)x'+6x+9

(2 pont)

2. Adjon meg k6t olyan halmaa, amelyekmetszetev6geselemsz6mri,uni6ja pedig v6gtelen!

(2 pont)

ll

-

1. Mennyi logo.r,r/8 6rt6ke?

(

2)

(6 pont)

17. A f6nyerrit a f6nyforrilst6l d (m) tivolshgban I (d): Io a't figgvl,ny adja meg, ahol Ioakezdeti f6nyer6,,,a" akozegt<ilfiiggc561land6(0 < a < 1). Tudjuk, hogy egy ker6kp6rosLimprijam6g a ktidben is eszrevehet6egy t61inapon,ha eredetif6nyerej6(4 pont) nek legaldbb60 o/o-ameg van. :0,96? a) Milyen tdvolsrlgb6llehet l6tni a ker6kp6rost,ha a b) Ket szembejov6ker6kp6rossebess6ge12krnlh, ill. l8 km/h. Att6l kezdve, hogy 6szreveszikegymiistmennyi id6 mrilva tal6lkoznak? halad6 ker6kp6rosmogott 54 km/h sebess6ggelhalad6 c) A 12 km/h sebess6ggel g6pj6rmiivezet6jeel tudja-ekeriilni az iitkoz6st,ha reakci6ideje0,5 s, 6s az aut6 2 s alattf6kez<idikle endl a sebess6sr6l?

18. A mell6kelt 6br6negy tengelyesenszimmetrikusnyolcszdgl6that6. a) Sz6rnitsaki a nyolcszcigkeri.ilet6t!(4 pont) b) Sz6mitsaki a nyolcszogteriilet6t! (4 pont) c) Egy vinaklszito kisiparos olyan vhzbt tervez, amely a vizsgiilt nyolcszogszimmetria tengelye konili forgat6ssalkaphat6. 8,5 dl vizet beleontve, milyen magass6gigdll a (9 pont) vinhbanaviz?

3. Hdny h6romjegyfiszSmotk6pezhetiinkaz 1,2,3, 5 sz6mjegyekb6l,ha nem engedjiik meg az ism6tl6d6st?

(3 pont) 4.Egy sz6mtanisorozatm6sodik 6s hatodik elem6nek<isszege15. Lehet-e a sorozat minden eleme eg6szszhm?

(3 pont) 5. Bizonyitsuk be, hogy n6gy egym6stkrivet6 pozitiv eglsz szitm szorzataoszthat624-gyell

(3 pont) 6. Egy torony16b6t61200 m t6vols6gban rlllunkegy sik tenileten,a toronytetejdnl6v6 kil6t6banvannaka bar6taink.Az id6 tiszta,felkiab6lunknekik. Mennyi id6 mrilva hallj6kmega ki6lt6sunkat, ha a toronyteteje32o10'emelkeddsi szogalattliitszik?

sebess6ge 33oI1J Io nun,terjed6si s/ \

(4 pont)

7. Allapitsa meg a kovetkez6 fiiggv6nyek peri6dus6t(az 6rtelmez6sitartom6nyuk a val6s sz6mok halmazinak az alegb6vebb r6szhalmaza,arnelyre6rtelmezhet6k)!

a)f (x)=rinT b) s(x)=Wi

(2-2 pont)

8. Egy csomagmagyark6rty6b6lkihirzunkh6romlapot.Mennyia val6szintis6ge annak, hogymindh6romkihrizottlap piros?

(3 pont)

9. Egyszenisitsea ktivetkez6 trjrtet:

a'-a-2 Zaz -l}a+12

(3 pont)

10.1470 forintot akarunkkifizetni bar6tunknak20 6s 50 forintos6rm6kbenrigy, hogy mindegyik fajt6b6l ugyanannyit adjunk. Megoldhat6 ez?

(3 pont)

&

o ca

15 pn6saf nnrrsf cr naernMerrxAs6l

15 pn6nAf RErrsncr nnaruuArrKA;6r

lI. r6sz

16. Ot hdromtonn6s,6s 10 m6sf6ltonniisteherg6pkocsinak osszesen690 tonna 6rut kellett elsz6llitania meghatdrozottidd alatt a vasritilllomdsra.N6hiiny 6rai munka ut6n

F!

{

rr

II/A 11. Egy szab6lyossokszognek25-tel tiibb 6tl6ja van, mint oldala. Mekkora a sokszog (12 pont) teriilete,ha egy oldal6naka hosszaI m?

12. Egy haj6 d6lut6n 14.00-korindul a kikot6b6l, 3 6r6n keresztiil 6szakfel6 halad 6rank6nt l5 csom6 sebess6ggel, majd nyilt vizekre 6rve 6szak-nyugatfel6 veszi az ir6nyt, felgyorsit a maxim6lis, 6r6nk6nt 20 csom6 sebess6gre6s 2 6ran keresztiil tartja az ir6nyt. Ekkor egy lakatlan szigetre6rkezik, ahol lehorgonyoz.A tengerdszekaz otthon maradt szeretteiketszeretn6k6rtesiteniutaziisuk els6 napj6r6l, ez|rt a lehorgonyz6s utan egy 6r6val postagalambotinditanak ritnak.A galamb azonnalmegtal6lja az ide6lis iranyt (azt az ir6nyt ami egyenesena kikrit6be vezet),6s a haj6 maxim6lis sebess6g6nek4-szeres6vel,pihen6sn6lkiil repiil hazafel6.Mikor 6rkezik a kikiit6be a tenger6szektizenete?Mekkora sz<igetzhrtbe a d6li ir6nnyal a galamb irtja? (12 pont)

az egeszmennyis6g3 rdszit sz[llitottiik el. Ekkor a megszabottid6b6l m6 2 -46 -a 6rilval tdbb id6 telt el, mint amennyi m6g h6tra volt. A munk6t csak rigy sikeriilt hat6rid6re befejezni, hogy a g6pkocsikkal ett6l az id6pontt6l elkezdve 6r6nk6nt egy fordul6val tobbet tettek meg mint addig. H6ny 6ra alatt sz6llitott6k el az eg,6szterhet, 6s h6nyat fordultak eredetileg6r6nk6nt a g6pkocsik,ha a m6sf6l tonn6sakminden 6riiban eggyel tobbet fordultak, mint a h6romtonn6sak?

(17pont)

13. HAny olyan 200-n6l kisebb pozitiv eg6szszhmvan, amelyik sem 5-tel, sem 4-gyel (12 pont) nem oszthat6?

II/B 14.Egy parfiim-c6g csonkakirp alakri parflimris iivegeket akar forgalomba hozni. Egy iiveg t6rfogat6t100 ml-esretervezik.Az el6zetesfelm6r6sekalapj6na vev6k leginkhbb az olyan tivegeket kedvelik, ahol a fed6kor etm6r6je fele az alapkor 6tmer6j6nek, 6s a magassiigapedig megegyezik az iveg alapkordnek6tmdrcij6vel. a\ Hatbrozzak meg annak a parfiimos-i.ivegnekaz adatait,amelyik teljesiti ezeket a (6 pont) kovetelm6nyeket!(Az iiveg fal6nakvastags6g6t hanyagoljukel!) b) A k6sz term6ket olyan t6glatest alakri dobozokbanviszik a boltokba, amelyekbe 6ppen belef6r az iveg. Azt a rlszt, amit nem titlt ki az iveg, szivacsosanyaggal toltik ki, hogy a sz6llit6sbiztons6goslegyen.Mennyi ilyen szivacsosanyagotv6(6 pont) s6roljona cdg, ha 15000db term6ketakar a piacra dobni? c) A csomagol6shozsziiks6gespapirt I m2-esivekben forgalmazzaegy m6sik v6llalkozhs, ivenk6nt 7000 forintos 6ron. Mennyibe kertil a 15000 dobozhoz sztiks6ges (Az iveket 2lo/o-osvesztes6ggel tudj6k hasznositani.) (5 pont) csomagol6anyag?

15. Oldjuk meg az al6bbi egyenleteketa val6s sz6mok halmazhnt. ( +\( zt\ -' -lg4 b) a).,FJ+1=@l lg8

t.o,lt.',l

'"1

o\ El FI F

P P (h

L 5 pnosAfRETTsncr

vTRTEMATTKAB6L \

II. r6sz

7. feladatsor

E Itl

F

I. r6sz

P P

IIlA

th

l. A val6s sz6mok halmazinakmi az a legbrivebb rlszhalmaza,ahol 6rtelmezhet6a ko-

ll. Egy szigeten616r6gcsdl6popul6ci63 havonk6ntaz aktudlis l6tsz6nr20o/u-6valnovekszik. H6ny 6vvel ezelSttvoltak l0-en, ha jelenleg a sz6mit6sok6s csapd6ziisok

(3 pont)

vetkezcifiiggveny'/ f (x) =fg â&#x201A;Ź - x+l 2. Oldja meg azal6bbiegyenleteta val6s sz6mokhalmazinz""" =I.

alapj6n5 024000egyedel a szigeten.

(3 pont)

12. Egy szimrnetrikustrap6zhosszabbikalapla20 cm-es,szirai 5 cm hosszirs6guak.

A trapdz egy szirhrailleszked6szogeinekarhnyaI : 3. Mekkora atrapezteriilete?

(12 pont)

3. Melyik sz6ma nagyobb 134526 vagy 5673r? (Az indexben szereplSszam a szhm-

13. Hol metszik az x2 + y2 : 100 egyenletiikrir 6 abszcisszrljri pondaibahirzott 6rintcji egym6st?Mekkora enneka k6t 6rintcjneka hajl6sszrige? ( l2 pont)

(3 pont)

rendszeralapja.)

(12pont)

novekv6sorrendbeaz alitbbisz6mokat!

4. Rendezze .r l

r=[]l"t u=cos+a A=ro', ft, tagiainakrendre I,1,2,3,

II/B

(3 pont)

4 ismer<i5. Van-eolyan 5 f6b6l e[6 tdrsas6g,ahol a tilrsas6g se van a t6rsas6gonbeliil? (Tegyiik fel, hogy az ismerets6gekkolcsonosek.) (2 pont) 6. Oldja meg az al6bbi egyenletetaz eg6,szsz6mok halmazhnl

14, Egy iskola v6gzcisei6vfolyam-kir6nduldsrak6szrilnek,amire el6re szeretn6kbeszedniaptnzt. Ha mindenki 750 forintot frzelne,akkor a kolts6gekfedezes6hez m6g m6s for6sbo14400 forintot kellene szerezni,ha azonbanmindenki 800 forintot fizetnebe, akkor megmaradna4400 forint felesleg. a) H6nyan vannakaz 6vfolyarnban?

(5 pont) b) A kirrindul6soneste szinhdzlfitogat6st szerveznek,a di6kokat l0 tandr is elkisdri.

AnezSter elscin6h6nysor6t szeretn6kelfoglalni, amely n6,z6ttrenaz els6 sorban l0 sz6kvan 6sh6trafel6haladvaminden sorbaneggyeltobb rikihely talilhat6 rnint az el6zo sorban.Hiiny sort kell lefoglalni a t6rsas6gnak?

(6 pont) c) Az dvfolyam matematika6tlaga3,5. Tudjuk, hogy 50-en kaptakjelest, 40-en n6gyest 6s 16-anbuktak meg. H6nyankaptak h6rmast6s hdnyankettest? (6 pont)

(3 pont)

{;-+8=o 7. Egy apa6s fia 6letkor6nakosszege51 6v.21 6v mrilva az apa6ppenkdtszerannyi id6s (3 pont) lesz, mint a fia. H6ny 6ves volt az apa,amikor megszi.iletetta fii?

8. Legyenek adottaka ktivetkez6halmazok:A : {-1, 1, 3, 5, 71, B : { 2 , 0 , 7 , -l} , C: {3,0}. Hat6rozzukmeg azalitbbihalmazokat! a) (B\ A) uC,

b) (A uB)\ C

(3 pont)

15. Oldja megaz al6bbi trigonometrikusegyenleteketa val6s sz6mokhahnazdn!

k6t lapot,a pakli tetej6n6s alj6nl6v<ilapokat.

9.EW csomagfranciak6rry6b6lkiveszi.ink tettiik.M6snapmegtal6ljuk6ket zseb6be a kabrltunk az als6t A fels6ta mell6nyzsebtinkbe, an6s16tjuk,hogyazonosa sziniik.Ezeninform6ci6kbfttokdbanmennyia val6sziniis6ge (azazegyiksembubi,d6ma,kir6ly vagy nak,hory a lapokmindegyike,,sz6rnozott'lap (3 pont) isz)?

a) sin2-;r.(tg"r+l)=3sinx.(cosx -sinx) +3

(9 pont)

b) 2cos2x+4cosx = 3sin2,r

(8 pont)

f6. Egy 125 darabegybev6g6kis kockdb6l 6pitettnagyobbkocka lapjait k6kre festjiik.

Ezutin szetszedjrika kock6t es darabjaitosszekeverjiik.Vdletlenszetien kivdlasztunk kciztihikegyet.Mennyi a val6szimis6geannak,hogy a kiv6lasztottkock6nak: a) pontosanegy kdk lapja van, (5 pont) b) nincs kek lapja, (6 pont) c) pontosank6t kek lapja van?

(6 pont)

h6romsz<ig befog6inakhossza1 â&#x201A;Źs Ji, a h6romszciglegkisebb 10.Egy der6kszogii (4 pont) pontos 6rt6ke? szogea. Mennyi a cos4a

I l

15 pn6nafnnrrsfcr uerEMArrKAB6r

8. feladatsor I. r6sz l.Hatdrozza meg a val6s sz6mokhalmazdnakazt a legb6vebb rflszhalmazilt,ahol 6rtel-

mezhet6a krivetkez6fiiggv6ny:f (x) =lgrgry ,6

(3 pont)

2. Mit dllithatunkan6l a k6tX-szel6s l-nal jelolt halmazr6l,amelyekrefenn6ll,hogy X \Y =CI? (2 pont) 3. Mekkora oszttiyl|tsz6m mellett mondhatjuk biztosan, hogy van az oszt|lyban n6gy (3 pont) olyan ember, akinek ugyanabbana h6napbanvan a sziilet6snapja?

4.EW t6glalap alakir sportpilya oldalai 50 m 6s I l0 m hossz0ak.A gyep a16ontortetf rendszerttelepitetti.ink.A csiivek apillya alatt, annak6tl6i ment6nhaladnak.A rendszer miikodds kozben a cs6rendszerenkeresztiil, a cs6 ment6nm6terenk6ntI liter vizet locsol 6r6nk6nt.Az ontozfviz 6ra 130 forint kobm6terenk6nt.Mekkoravizszilmlira sz6(3 pont) mitsunk, ha egy h6ten keresztiil folyamatosaniizemeltetjiik a rendszert?

5. Van-e olyan pozitiv p primszfim, amirep + 7 is prim? Yillaszdt indokolja!

(2 pont)

6. Hol veszi fel a maximumit a k<ivetkez6fiiggv6ny? Mennyi ez amaxim6lis 6rt6k?

-ax-51.

IR,/(x)=lx'z 7 :lO,+]-+

(4 pont)

7.2004 janu6rj6ban egy bankba elhelyezttik megtakaritottp6nztinket, I 000 000 forintot a kamatot. Ujabb 3 9%o-os6vi kamat mellett. K6t 6v mrilva a bank 7o/a-racs<ikkentette 6v eltelt6vel bankunk So/o-raakartacsrjkkentenia befektetettp6nztinkrevonatkoz6 kamatlilbat, ez6rtm6g miel6tt 6letbe l6ptek volna az rij kamatok, kivetttik a sz6ml6nkon risszegyiilt p6nzt.Osszesenhiny szhzallkkal gyarapodottp6nziink az eltelt 5 6v alatt?

2004 januhrj6bana doll6r 6rfolyama230 forint volt, 6t 6v eltelt6vel pedig 320 forint.

2004 janu6rj6banvagy 2009-bentudunk tobb doll6rt v6s6ro1nia p6nziinkb6l?(4 pont) 8. Oldja meg az al6bbi egyenleteta val6s sz6mok halmazhn:x4 - 4x2+ 3 : 0. (3 pont)

9. Melyik 6llit6s igaz? a) Ha egy deltoidt6glalap,akkorndgyzetis. b) Mindenhurtraplz6rint6n6gyszog.

r,z]t

(2 pont)

10.P6teregyr6gi matematika-ktinyvet lapozgat,aholaz egyik feladatbank6t egym6sra o r! mer6legesegyenesre vonatkoz6antal6l egyfeladatot.Az egyik egyenesegyenlete E: j6l olvashat6:4x + 5y :6. A m6sikegyenesegyenlet6ben azonbanaz x e[yuttha- b t6j6t nem tudja kiolvasni,mert elmos6dott. lehet Mi az elmos6dottszdm(az aIilbbi U D E jel<iljiik),ha a m6sikegyenlet:Ax - 8y: 7. Segitstinkneki kital6l_ v, egyenletbenl-val ni A 6rt6k5tl (4 pont) F

fI. r6sz IIlA 11.Egy ki6llit6sonvagyunk,6s egy nagym6retiibarokkfestm6nyel6tt 6llunk.A festmdnytbiztons6giokokb6llegfeljebb4 m tdvols6gb6lszabadszeml6lni.Ebb6l a t6vols6gb6la festm6nyals6 sz6le25o depresszi6s szogalatt, mig a fels6 sz6le57" emelkeddsi szcigalattl6tszik.Mekkoraa t6glalapalakrifestm6nyteriilete,ha l,5A s sebess6ggel 6 m6sodperc alatthaladunkel el6tte?

(12pont) 12. Fgy haromsz<ig egyik sz<ige60",ezzela szoggelszembenfekv6 oldala40 cm hoszs2. A m6sikkdt oldalhossz6nak kiiltinbs6ge5 cm. Hat6rozzukmega hi6nyz6szogeket6soldalakat!

(12 pont) 13.H6romdob6kock6valdobvaa dobottsz6mokat<isszeadjuk.

Mennyi a val6sziniis6ge annak, hogy legal6bb 16 lesz az osszeg?

(12pont)

IIlB 14.Oldja megazal6bbiegyenleteket! a) 1+sin2.r=sin.r+cos.r;b) tgr2x--l-"=t. cos'2t

(10_7 pont)

15.Adjon meg egy-egyolyan 8 elemii adathalmazt, aminek: a) m6dusza 4; b) 6tlaga6,5; c) sz6r6sa 0; d) medirinja4 6s itlaga3.

(4 pont) (4 pont) (4 pont) (5 pont)

15 pn6safnnrrsfcr o q F

s tr @

vrerrnnetrrAn6l

16. Egy iskola vtgzts di6kjai k<iztfelmdr6stv6geztekarr6l, hogy honnant6j6koz6dnak a hirekr6l. H6rom lehets6gesfon6st jel<iltek meg, amib6l v6laszthattak:rijs6g, telvizi6, internet. 20-anjelolt6k be mindh6rom forr6st.A viilaszol6k mind bejeloltek legal6bb egyet a hiirom kiiztil. Az olyan di6kok szhmaakik egyetlen fon6sb6l t6jekoz6dnak (net, rijs6g,TV) rendre:30, 40 6s 50. Azon tanul6k sz6ma,akik rijs6got olvasnak6s az internetenis kcivetik az esem6nyeket(esetlegTV-t is n6znek!) fele annyi volt, mint azok sz6maakik TV-t nbznek 6s rijs6got is olvasnak (esetleg m6g neteznekis!). A felm6r6sb6laz is kideriilt, hogy azok, akik mindk6t elektronikus m6di6tfigyelemmelkis6rik, irjs6gotis olvasnak.Volt 10 olyan di6k is, akik nem voltak hajland6ak v6laszolni a k6rd6sekre. a) H6ny embert k6rdeztekmeg a felm6rdsben,ha tudjuk, hogy 125-envoltak olya(5 pont) nok, akik legal6bb az rijs6gokatolvass6k?

b) V6lasszunkki v6letlenszerffen egy di6kotazokkoziil, akik legal6bba TV+ nlzikl Mennyi annaka val6szintis6ge, hogy a kivdlasztottdi6k alegthjdkozottabbak kodl val6? (azaz mindh6rom forr6sb6l t6j6koz6dik)

(5 pont)

c) A di6koka szalagavat6jukra olyankoreogrhfrbval kdsziilnek,ahol a kovetkez66k alakriformSci6tveszikfel: az els6sorbanI ember6ll, a m6sodikbankettti, a harmadikban3, 6sigy tovilbb( mindensorbaneggyeltobb ember,mint az el6z6sorban).Ha mindenvdgzSsr6sztvesza miisorban, legal6bbh6nyharmadikos didkot (7 pont) kell segits6giilhivniuk ahhoz,hogy a form6ci6tl6tretudj6khoznl?

9. feladatsor f. r6sz l. Adjunk meg hiirom olyan pozitiv eg6,szsz6mot, amelyek kriziil brirmelyik kett<inek van egyn6lnagyobbk<izososzt6ja, de a hilrom sziim legnagyobbkdzos oszt6ja l.

(3 pont) 2.Hatfrozza meg a kcivetkez6halmazokat!

I : {deltoidok} n {t6glalapok}; B:

{hrirn6gyszrigek}u {n6gyzetek} (2 pont) 3. Rajta van-eaz e 6s.fegyenesek metszdspontja a g egyenesen,haaz egyenesekegyenletei:e:3x-4y=J; g:7x-21)=-1.

(3 pont) f :x+y=6'

4. H6romalftildi v6rosegym6st6lm6rtt6vols6gai:34 km, 45 km 6s27ksn.Ah6romv6roskcizosenegyTV-ritj6tsz66llom6st6pittetrigy,hogy az illlomhsmindhiiromvdrost6l azonost6vols6gralegyen.Mekkorahat6sugarunak kell lennieaz fitjifisz6-berendezesnek ahhoz,hogy elllthassa feladat6t?

(3 pont)

5. Egy urn6ban4 fekete 6s 3 piros goly6 van. Egym6s ut6n kihrizunk kett6t visszatev6s n6lkiil. Mennyi a val6sziniis6geannak, hogy a kihrizott goly6k ugyanolyan sziniiek?

(3 pont) 6. H6ny eg6szszdmot tartalmaznakaz aldbbihalmazok?

A : l-3,5;4l n [-7; 4]; B : l8; 17,2[\[9; t1[.

(3 pont)

7. Anna nyakliincot fiiz a gyongyeib6l.A l6nc elk6szit6sdhez7 ki.ilonboz5 szini gydngycit szeretnefelhaszn6lni.H6ny ki.ilonbrizSl6ncot tud k6sziteni?(K6tl6ncot azonosnak tekintiink ha a k6t l6ncban minden gyongyszemnekugyanolyan szinti a jobb 6s bal oldali szomszddja.)

(3 pont) 8. Gyciktelenitsea tortek nevez6j6t! .5

^)f,v;E; at *;v3 9. H6ny 6llit6s igaza k<ivetkez6k kozril?

(4 pont) (4 pont)

a) K6t irracion6li s sz6mhilny adosairracion6lis. b) K6t irracionillissz6mosszegeinacion6lis. c) Egy 0-t6l ktildnboz6 racionitlis 6s egy inacion6lis szdm szorzatainacion6lis.

15 pn6rAfRErrsfcr uarEMArrKAB6r

15 pn6nefnnrrsf cr nnetnuerrxAr6l o IA Lt

<

10. Tagadja az alflbbi 6llit6st!

Minden magyar egyetemistinak van nyelwizsg6ja vagy aut6ja.

(2 pont)

e {

tr o

II. r6sz

(Akci siinis6gezaOO$) m-

II/A kifejezveeg6szsz6centim6terekben 11.Egy der6ksziigiihiiromsziigoldalhosszirs6gai keriilete90 a hosszabbbefog6nak.A h6romsz<ig mok, a r<ividebbbefog6 41,6o/o-a (12 pont) k<ir6nek sugara? mennyi a beirhat6 sz<igei6s cm. Mekkor6ka h6romsz<ig egy m6rtanisorozath6romegym6st haromsztigoldalhosszus6gai l2.Egy der6kszcigri Mekkoraa kortilirhat6kor kovet6 elemei.Mekkorrlka h6romszoghegyessz<igei?

(12pont) sugara,ha a h6romsz<igkeriilete 40 cm?

13. Mennyit ad marad6kul tizzel osztva a ktivetkez6 szhm?Mennyit ad maraddkul, ha 3-mal osztjuk? zoofco4- 2004267+20092@2

(12pont)

II/B 14. Oldja meg az al6bbi egyenleteketa val6s sz6mok halmazinl a) 26'5G -stfr*'

=5;

16.Egy egyiptomipiramisn|gyzetalapriszab6lyosgrila,az alapnlgyzetoldala150m, a piramismagass6ga 120m. a) A piramis6pit6s6hez 200000rabszolg6tfoglalkoztattak folyamatosan, 6segyrabszolganaponta1 tonnakiivettudott100m-t mozgatni.Mennyiid6 alatttudtakaz 6pit6shely6hezvinni a 110km-rel6v6b6ny6b6la piramishozsztiks6ges k6 mennyis6get,ha 1200m3helyethagytaka sirkamr6nak6sa j6ratoknak?

+12).log,2=l b) logn(.x

(8 pont) (9 pont) 15.Egy tan6rdolgozatotiratotta v6gz6sdi6kjaival.Az osztillyba32 tanul6jin, a tanir a dolgozatokjavit6s6valm6r majdnemelk6szillt,csaka legjobbdi6k dolgozatavan h6tra.Az eddig kijavitott dolgozatok6tlagak6t tizedesrekerekitve2,19. Rem6li, hogy azutols6diakm6gjavithata helyzeten6saz iltlagkerekitett6rt6kefelmegylegal6bb2.35-re.

(9 pont) hogymegval6sula tanir v 6gya? a) Elk6pzelhet6-e, 2 6s 3 6gyasszob6kb6lv6laszthatnak. b) Az oszthlyelmegykir6ndulni,sz6ll6sukon A h6rom6gyas Harom6gyas szob6b6l5, k6t6gyasb6l16 szabad6ll rendelkez6sre.

2500forintotkell fizetni (az 6rakszob6nszob6k6rt3000forintot,a k6t6gyasok6rt a lehet6legkevesebbet ha <isszesiwe k6nt6rtend6k).Hogyanv6lasszanak szobdkat, szeretn6kfrzetni6s mindenkivett szob6tteliesenki akamakhaszn6lni(nemlehet (8 pont) iires 6gy)?

(7 pont)

b) Hany fokos szcigbenhajlanaka piramis oldallapjai a vizszintesalapsikhoz?(5pont) c) Egy el6ad6skeretdbenbecsomagolj6ka piramist.A csomagol6shozfelhaszn6land6 anyagot 3 m2-esdarabokban6rulj6k. H6ny ilyen iv papirral k6sztiljenek a szervez6k,ha20o/o,a daraboldsb6lad6d6papir-vesztesdggel (5 pont) sz6molnak?

\o EI F' F

P E

v,

I 5 pn6sAf RETTsfcr naerEMATrKABoL l-l

10.feladatsor

II. r6sz

I. r6sz

II/A

1. Adjunk meg olyan B ponthalmazta sikon,amelyreigaz a krivetkez6 illlitds:B a sik egyeneseikciziil csak a koordin6tarendszer tengelyeitnem metszi,a tcibbit igen.

(3 pont) 2. Oldja meg az al6bbi egyenletrendszerta val6s sz6mp6rokhalmazbn!

G +y =5' xy =9y

(3 pont)

3. H6nyf6le, a magyar zhszl6hozhasonl6 h6roms6voszbszl6tlehet k6sziteni 6 szinb6l. ha minden szin legfeljebb egyszerfordulhat el6?

(2 pont) l.*

4.Egy haj6a foly6nlefel6Csongrildr6l l2 Szegedre "h haladva + visszariton 6rralszemben csak. 7+

h

Ej lr: F P

sebesseggel halad,a

sebess6get tudjatartani.Mennyiaz oda-vissza

ftra vonatkoz66tlagsebess6ge?

P t-t u,

11. Egy iizembennaponta500 oltonyt varrnak.Koziiliik 300 fekete,200 sziirke.A napi termel6sben30 olt<inyselejtes.A minris6g-ellendrz6s soriin50 oltonyt vizsg6lnak6t.

Ha az 50-b6l csak 2 selejtes,a teljes 6rut iltveszi az oltdnyokkel keresked6c6g, ha azonbanenn6l tribbet tal6l a minds6gellen6r,a c6g nem v6s6roljameg a k6szletet.

Mekkora a val6sziniisdgeannak,hogy az iizlet megkottetik?(Csak fejezziikki, nem sztiks6geskisz6mitania pontos6rt6ket!)

(12 pont) 12.Egy hrirn6gyszogk6t szemkciaiodala5 6s 10 egys6ghosszirs6gri, a kortilirhat6 kdr sugara l0 egys6g.A n6gyszogleghosszabboldala20 egys6gnyi.Milyen hosszriahiirnyz6 oldal? ( l2 pont) 13. Hatirozza meg az alilbbi egyenletlegnagyobbval6s gyok6t! r l .r +l J

, - +.J

..r +0. 5

= -J

(12pont)

(3 pont)

5. Melyek azok apozitiv eg6szszilrnok,amelyeknekpilratlanszilmripozitiv oszt6jukvan?

(3 pont) 6. Egy szabiilyos otszog 6tl6i egy kisebb szab6lyosotszogethatilroznak meg. Mekkora ennek az iltszognek az oldala, ha a kiindul6si otszog6 12 cm?

(4 pont) 7. Melyik 6llit6s igaz az al6bbiakkozril? a) Vektorok skal6ris szorzhsakommutativ miivelet. b) A vektorok skal6ris szorzdsaasszociativmiivelet.

(3 pont)

8. A tengerviz 5o/os6ttartalmaz. H6ny liter ddesvizetkell 40 liter tengervizhezkeverni, hogy a kever6k s6tartalmaZohlegyen?

(3 pont) 9. Oldja meg az al6bbi egyenletet!

Sln lJ

= --

t; vJ

2

(3 pont)

II/B 14. a) Egy h6romszcig6pit6sitelket szeretn6nkmegv6s6rolni.A kiszemelttelek oldalai 30 m, 36 m 6s 32 m hosszris6griak.

A telekkonyvbenelmos6dotta fiilddarabteriilet6re vonatkoz6 adat.A v6siirl6sramaximum I milli6 forintot sz6ntunk.Jelenlegegy n1gyzetmltertelek itra2000 forint. Meg tudjuk-ev6s6rolnia h6tv6gitelket?(9 pont) b) Hdtvegi telkrink egy der6kszrigiih6romszog alaki fijlddarab, amelynek befogoi 20 6s 30 m hossztis6girak.

Szeretnenka telekre egy kor alakf prilyrit 6piteni, irgy hogy seholne l6gjon ki a tertiletrcil.Kedvenclabdaj6t6kunkat7 m sugarukor alakri p|lydnjrltssz6k.Lesz-ealkalmunkkipr6b6lni ezt a jdtdkota telkiink<in? (8 pont) 15. a) Adjon meg h6rom olyan halmazt, amelyekreigaz, hogy b6rmely kettri metszet6nekelemsz6mav6gtelen,de a h6romhalmaznaknincs kozoseleme,ill. a hrirom halmaz uni6ja az eg6szsz6mok halmazlxal egyenlS! (6 pont) b) V6lasszunkv6letlenszerienegy eg6szsz6mota l0;1001intervallumb6l.Mekkora val6sziniis6ggeltartozik az eryeshalmazokba?

(5 pont) c) A hrirom halmaz kozril melyikben van a legtiibb, legfeljebb n6gyjegyii nernnegativ nlgyzetszitm?

(6 pont)

10.Hogyanv6ltozikazi-Jlag 6sa sz6r6s, haaz 1,3,7,2,5 mintamindenelem6hez hozz6adunk5-<it?

(3 pont)

16. Oldja meg az al6bbi egyenleteketa val6s sz6mokhalmazdn:

a) S.13 - lr - lll' =20;b) l og.," x +l,9 og=3;c 1 a5* - 12- .F =0. ( 6-6-5 pont) '[f

f3, 1

15 pn6sAfRErrsfcr uerEMArrKAB6r r572 ruey F f Z^* y',

I. r6sz 1. Adjon meg k6t olyan halmaa, amelyeknekmetszete{1;a; 5} 6suni6ja{l; 2; 3;4; 5; 6}l

(2 pont) 2. Az x mely 6rt6k6reteljesiil:logo8 = x?

l-l

11. Sz6mol6g6phaszn6latan6lkiil 6llapitsameg, melyik sz6mnagyobb!

11.feladatsor

(2 pont)

12.Igaz-e,tetsz6leges A, B 6s C halmazolcra, hogy (AnB) vC = An(BwC)?

Mi6rt?

Fr

(3 pont)

u P E

ct, F

(2 pont)

II. r6szI

l6v6kil6t6hoz,haazft emel3. Milyenhosszfegyenes tt vezetfel egy200m magasan (2 pont) ked6sisziige15o-os?

TIA

4. Melyik az a szim,amelynekval6dioszt6i2; 3; 4; 5; 6; l0; 12; 15;20;30? (2 pont) 13.Mivel egyenl6?

I

5. Rajzolja meg az * tartom6nyon!

! fiiggv6ny grafikonj6t a lehet6 legb6vebb 6rtelmez6si - x (3 pont)

pesszimista, 6. Ha egy felm6r6salapj6nazt illlapitjik meg,hogy a magyarokt<ibbs6ge akkorebb6lkovetkezik-eaz,hogya pesszimist6k tiibbs6gemagyar?Mi6rt?Yiiaszht (2 pont) p6ld6valillusztrSlhatj a!

0!

7. Oldjamega k<ivetkezd egyenlStlenseg"t, +> o--x

(3 pont)

a) J2toers,

b) 5ilogr2?*toe.'e, c) 0,5roe*rzs

(12pont)

j6t6kkock6tegym6sut6notszcirfeldobunk.Mennyi a val6sziniis6ge 14.Egy szab6lyos annak,hogymindendobdssal p6rossz6motdobunk?

(12 pont) 15. Egy 5 cm oldahi szab6lyoscitsz<iget az egyik szimmetriatengelyek<iriil megforgatunk. a) Mekkora az igy sirrolt t6n6sz t5rfogata?

(12pont)

b) Ha egyilyen alakirforgdstestet akarunkk6sziteniegyforg6shenger alakrifadarabb6l, akkor legal6bbhitny szdzal6khullad6k keletkezik a gydrtis folyam6n?

(A henger6sa bel6lek6szitetttestforg6stengelye azonos.)

( 4.Hatfurozzameg/fi.iggv6ny 8. Az f (x)=-x' +2x+ p fiiggv6ny6rt6kk6szlete:flx) (3 pont) z6rushelyeit!

IIlB 16. Egy filmklubban n6hriny film k<izi.ilvSlasztanakki n6gyet, amit majd meg fognak

9. A(4; 5) 6sB(2; l3). Melyeka, AB koordin6t6i, 6smekkoraa vektorhossza?

(2 pont) l0.Hathrozzameg az alilbbikifejezdsek6rtelmez6si tartom6ny6t:

") l-.-+, s ln- x

-x'z). b) lg(25

(2-2 pont)

neznl.

(17pont)

a) H6ny film krjziil viilasztanak,ha a v6laszt6silehet6s6gek sz6ma495? b) A tagok egy r6szeink6bb lemond h6rom film megn6z6s6neklehet6s6g6rdl,hogy kedvenc filmjiik biztosanbekeriilj<ina kiv6lasztottakkoz6. Ha eztmindenki elfogadja,akkor igy hanyf6lek6ppenlehet a filmeket kiv6lasztani?

17. Hat p6lc6b6l akarunk egy h6romszcigalapri gril6t <issze6llitani.A p6lc6k hosszandvekv6 sorrendben:l0 cm, 15 cm, 20 cm,25 cm,30 cm 6s 40 cm. A lesrdvidebb6s

a leghoszszabb p6lc6klegyenekkit6r6 helyzetiiek.

flt lr: F

(17pont)

15 pn6sef nnrrsf cr UaIEMATIKAB6I &

o q Fi

a) H6nykiilonboz6girl6ttudunk igy el66llitani?(Az egybev6g6gul6katne tekintse kiilonbiiz6nek!) ki a megfelel6gul6kfelszin6t! b) Sz6mitsa

12.feladatsor I. r6sz

hl

tr{ F{

r{

sor6n1050 megegykcizv6lem6ny-kutat6s k6rdeztek 18.Havijovedelmiiknagys6g6r6l hogy az 1050embernek meg6llapitott6k, embert.A kapottv6laszokki6rt6kel6sekor (17pont) havonta.

107,1milli6 forint 6ll rendelkez6s6re cisszesen a) Atlagosan mennyi a megkdrdezettekhavi jovedelme? b) Lehets6ges-e,hogy a megk6rdezettekkiiz<itt volt 100 olyan, aki 20 ezer forintn6l kevesebbhavi jtivedelemmel rendelkezik? c) Lehets6ges-e,hogy a megk6rdezettekkoz<ittvolt 100 olyan, aki 300 ezer forintn6l magasabbhavi jovedelemmelrendelkezik? d) A megkdrdezettekkoziitt legfeljebb h6ny olyan lehet, aki legaklbb havi 200 ezer forintot keres? e) Az adatok ki6rtdkel6sekor kideriilt, hogy a megk6rdezettek20Yo-aminim6lb6rt kap (50 ezer forintot havonta). Ezt tudva, legfeljebb h6ny olyan ember lehet a megk6rdezettekk<izott,aki legal6bb havi 200 ezer forintot keres?

1. Mit jelent az, hogy egy miivelet kommutativ? Adjon pdld6kat!

(2 pont)

2. A kiivetkez6 mondatok koziil melyek 6llit6sok? Amelyik 6llit6s, annak mi a logikai

6rt6ke?Amelyik nemdllit6s,mi6rt nemaz? a) Minden rombusz n6gyzet. b) B6la nagyon okos.

(2 pont) c) Allj, vagy jrivok!

3. Tekints{ink k6t hengert.Alapkoreik sugarailegyenek 11illetve 12.Mindkett6 alapkrir6nek kertilete egyenl6 a m6sik henger magass6g6val.Hogyan ar6nylik egym6shoza k6t henger t6rfogata?

(3 pont) fiiggv6nyben b2-4ac=0, tudjuk tov6bb6, hogy f (*)=*'+bx+c -2005.

Az al6bbi grafikonok kciziil melyik lehetfi.r) grafikonja? (3 pont) K2005):

4.Az

5. K6t sz6mcisszege 53, kiikinbs6ge7. Melyik ez aklt szdm?

(2 pont)

6.Ha egy 10 cm sugarukor sugar6t2 cm-relcscikkentjiik,h6ny sz6zal6l,kal cs6kkena teriilete?

(3 pont) a) 20 b\zs c) 36 d) 40 e\ 64 7. Tekintseaz f (x)=2'' -3 fiiggv6nytlHatfirozzamegazfl3) -7(-1) 6rt6ket!(3pont) 8. Ery egyszerfigr6fban 5 csricsvan,amelyekb6l rendre4;3;2;2;1 6lindul.Hany6levan a gr6fnak?

(2 pont) 9. Hagyjonel egysz6motaz 1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9, l0 sz6mokkdzrilrigy,hogya megmaradt sz6mok ifilaga 5 legyen! Melyik sz6mot kell elhagynia?

(2 pont) 10.Adott k6t pont:A(5; 3), B(-2; 6). irja fel az illtaluk meghatirozottegyenesorig6ra vonatkoz6tiikork6p6nekegyenlet6t!

(3 pont)

L 5 pn6sefnrrrsf cr uernnnarrxAs6r (2 pont)

eh

tn { II.

15 pn6nefnnrrsfcr uerEMATrKAB6r

12. Szabolcsazt Sllitja, hogy ha egy h6romszog szogei egy sz6mtani sorozat egym6st kovet6 tagjai, akkor a h6romsz<ignekvan 60o-osszcige.lgaza van-e?

(3 pont)

N F{

15. Milyen sz6m szerepelhetaz al6bbi keresztrejtv6nybenaz Xhely6n, ha a kcivetkez6-

l. Sz6mjegyeinek szorzata 9.

2. Avizsz.3 sz6mjegyei forditottsorrendben. l. 500-n6lnagyobbnlgyzetszhm.

3. N6gyzetsz6m, amelyjegyeinekosszege 4.

II. r6sz ITIA (12pont) 13. Az 6bran l6that6 csemp6velakarjuk a fi.ird6szobaoldalfalait 1,8 m magass6gigburkolni. A 2,65 m magasfiird6szobaalapja2,5m .2 m-es t6glalap.A fiigg6legesfalfeltiletenhelyezkedikel a2 m. 0,7 m-es ajt6nyil6s6s a 2 m magass6gban elhelye-

zett20 cm 6tm6r6jii szell6z5nyil6s.

(12pont)

II/B

a) Mekkora feliiletet kell burkolni, ha a fiird6k6d miatt m6g 1,6 m2 -t leszifunithatunk? 16.Az ABC hfiromszog A csircs6b6l hrizottlzomagass6g a a BC oldaltx 6sy szakaszokra vitga.Az moszakasz azx 6sy szakaszok b) H6ny m2 csemp6revan sziiks6g,ha abeszerzettmennyis6g 6%o-ahullad6klesz reciprokaisz6mtanikozep6nek reciproka. vagy tonkremegy (pl. v6g6sn6lelt<irik)?

(17pont) c) H6ny darab csemp6tv6sdroljunk? a) irja fel k6plettelazmo-tl d) A csemp6k mint6sak, a mint6kat negyed korivek 6s egyenesszakaszokhat6rolb) Egyszerfsitse ezta k6pletetrigy,hogyne legyenbenneemeletes tcirt! j6k. A burkolt feliilet hbny sz6zal6kalesz siit6tebb,illetve vil6gosabb t6nusfi? c) Mennyitgp + tg14 e) A fiird6szobamennyezetlt6s az oldalfalakcsemp6kfeletti r6sz6t m2-enk6nt150 forint6rt lehet feh6ne festeni. Mennvibe kertil a fest6k?

20 cm

d) Mekkoraa h6romszrig tertilete, hax:2 6sy:3? e) Ha riigzitji.ik,hogyy: 2, viszontx v|ltozhat0 6s7 krizott(x e l0; 7l), akkorhogyanfligg a h6romszog tertiletex-ttil?irja fel e fiiggvdnyhozz6rendelesi szabrily6t!

17.H6rmankhrty|znak.

(17 pont) a) A j6t6kel6ttpenziikarfinya4:5:6.Ajetekut6n5 :6:7. Egyiknkt2 fabatkdt nyert.H6ny fabatk6valiiltek le jhtszani? b) Egy m6sikalkalommalinduliskora p6nziikardnyaT:6 :5. Befejez6skor 6:5: 4. Egyiktikmostis 12 fabatkitnyert.Ezrittalh6nyfabatkdvaltiltek le jhtszanl?

18. Betettema bankbafix kamatoz6sra 50 000 forintot.

(17pont)

a) Mekkor6ra novekszik a p6nzem 2 6v alatt 6vi 9,2%o-os kamatos kamat mellett? b) Ugyanezt az lrtlket egy 6v alatt h6ny o/o-oskamattal 6rttik volna el? c) Mennyi lesz a p|nzem 2 6v eltelt6vel, ha havi lekot6st v6lasztok 6s fel6venk6nt az 6ves kamatl6bak a kiivetkez6k:9,3o/o;9,1 %o;8,75o/o;8,5o/o?

14. Milyen az alilbbiegyenesek krilcson<is helyzete? :3 e :x - 2y:2 + g: 6x-t 3y: 9 f,2x y

h: 5x- l}y: 6

(12pont)

1 5 pnosAfRETTsf,cr naerEMATrKABoL

I. r6sz 1. Mekkora szog a rc radi6n? c) kb. 3,14' b) 90" a) 180o

(2 pont) d) 180'

l.i

11. Egy oszt6.ly37,5%o-a fif. A fiirk 25o/o-a szemiiveges. a) Az osztiiy h6ny szdzallka szemrivegesfiri? b) H6ny f6s az oszt6ly,ha a szemiivegesfiirk szitma3?

L3.feladatsor

e) teljesszog

( 4 pont)

El F P

12. Kettenj6tszanakegy csomag(32 lapos)magyarkdrtyival. Kihriznak bekjle egy la- ttP pot. Az egyiktijtik a tok tizesre,a m6sik a piros 6szratippelt. Mennyi amak a val6szinfisdge,hogy valamelyiktiktal6lt?

(2 pont)

2. L6tesitsenk<ilcsiinosenegy6rtelmii megfeleltet6staz al6bbi ponthalmazok koz<itt!

pontjai. szakasz a) K6t kiilonbtiz6hosszirs6gir b) K6t ktilonbtiz6sugarukor pontjai. c) K6t ki.ilonboz6sugaruz6rt ktirlemezpontjai.

(3 pont)

3. Milyen sz6mjegyrev6gz6dhetegy nlgyzetszhm?

(2 pont)

4. Legalabbh6ny 6le van annaka grSfnak,amelynek3 cs0csavan 6s iisszefiigg6'?(2pont) 5. Egy hegyessztigtangense6s a kotangenseegym6sreciproka.Eszerinta szinusza6s a (2 Pont) koszinuszais?

6. Fejezzeki fla + 2) - JQ - a) 6ttdk1lha a e lR 6s a ) f ( x) =x'- 4 x+5 , xe S

II. r6sz IIIA 13. Egy 36 f6b6l 6116csoporttalteszteltekhilrom term6ket,legyenek ezekA, B es C. Hfsz ftinek tetszettlegal6bbaz A 6s a C tem6k, nyolcnak legalibb a B 6s C termdk. Csak az A, rlletve csak a B tenn6k 2-2 tesztelonekfelelt meg.Az A vagy a B term6ket viszont 29-en tartottrikj6nak. A C termdk szint6n29 embernekfelelt meg.

Mindh6rom term6k csupiin3 embemektetszett.

(12 pont) a) H6ny tesztekinektetszettpontosank6t term6k? b)Hozzhjukk6pestttibbenvagy kevesebben voltak, akiknekcsakegy tenn6kvolt j6? c) Mennyien vannak azok, akiknek egyetlenterm6k sem volt megfeleki?

(2 pont)

b ) f (xl = 3'. xe IR.

6s anyag6b6l1 cm sugamegolvasztunk, 7.Egy 4 cm sugarutomtrraluminiumgombot (3 pont) ru trjmorgiimbtiketiintiink. a) H6ny darabkeletkezik? b) Mekkora a kis gombok osszfelszineaz eredeti gomb felszinlhez k6pest? tetttik meg, visszafel660 6tlagsebessdggel 8. Szegedr6lBudapestreazutarTO + T h (3 pont) 6tlagsebess6g? sz6mitott ritra azeg6sz voh Mennyi haladtunk.

6tlagsebess6ggel g.Legyen B 6s C k6t olyan halmaz,hogy B c C. Mi az eredm6nyea kovetkez6miiveleteknek?

(3 pont) c )B \ C. b\B aC, a'SBwC, az al6bbi kifejez6s6rtelmez6sitartomrlny6t!

10. Abr6zolja szSmegyenesen

-x2 +2x+15 (2 pont)

It

14.Mely eg6szneset6nleszaz t4 ,or, n-) a) 6rt6kenulla: b) pozitiv;

( 12pont)

c) eg6sz?

15. Egy osztiiy tanul6i kor6ben a testv6rek szatnaaz alfibbi gyakoris6ggalfordul el<j: testv6rek szama:

0

I

gyakoris6g:

1l

9

2 10

J

2

Adja meg a testv6reksz6m6nakrelativ gyakoris6g6t(%-ban)6s ihrhzoTjaatestverek sz6m6nakeloszliis6tkordiagrammon!

(12 pont)

1 5 pn6sefnnrrsfcr MATEMArrxAn6l

L4.feladatsor

II/B

I. r6sz

felm6r6s6re ktil<inbiiz6embereketkdrdeztekmeg.

16.Egy televizi6smtisorhat6s6nak Az eredm6nyeketaz al6bbi thbl5rzatmutatja: nagyon tetszett

tetszett

nemtetszett nagyon nem tetszett l0 5

tâ&#x201A;Źrtr

1

J

no

8 5

a J

I

fiil

6 5

3

z

l6ny

8

5

I

I

2. Mit jelent, ha egy adathalmazterjedelme 0? Mit jelent, ha sz6r6sa0? Kiivetkezik-e

17. Hilnyadikraa legval6sziniibb egydob6kock6val az els6hatostdobni?

(3 pont)

egyika mdsikb6l?

3. Ot ember k<izottsorsolnakki ot ktilitnbriz6 jutalmat rigy, hogy neveiket egy kalapb6l egym6s fiilnl<th:6zzhk.H6ny kiikinb<iz6sorrendbenhirzhatjrlkki az 6t nevet?(2pont)

a) H6ny szem6lyt k6rdeztekmeg? b) H6ny emberneknem tetszetta miisor? c) H6ny n6nemii szem6lyneknem, vagy nagyon nem tetszett? d)A feln6tteknek tetszettink6bb vagy a gyerekeknek?

Ha.F jeloli a himnemiieket,E a feln6ttek halmazit, akkor mennyi

e rh "- l l. o '' lr - ' lt'lrnr --l' r u

1. Sz6mitsaki, hinyszorosa a kocka t6rfogataa kock6ba irt g<imbt6rfogat6nak!(2 pont)

4.Egy meteorol6giai6llom6sonegy nap otszorolvass6kle a h6m6rs6kleteta megfele16 miiszerr6l. Minden h6napban a m6rt 6rt6keket grafikusan 6brdzolj6k. Jogos-e, hogy iisszek6tik egy egyenesvonallal a m6rt drtekeket?Yfilaszirt indokolja! (2 pont)

(17pont) (17 pont)

gyakoris6ga 18.Tegyiikfel, hogyegybizonyosbetegs6g 100000 f6ren6zve40, 6shogy a betegsdgben szenved6k 45o/o-a, a betegs6gben nem szenveddk 20%o-a doh6nyos.

Adja meg,hogy ekkor a doh6nyosoknak 6s a nem doh6nyosoknak h6ny sz6zal6ka (17pont) szenvedebbena betegs6gben!

5. Egy 1 cm oldalhosszirs6grindgyzetetaz egyik 6tl6ja ktirtil megforgatunk.Mekkora az

6ltalasrirolttlrrlsz t6rfogata?

6. Mennyitkap a k6t testv6rki.iliin-kiiliin,haaz 500 ezerforint <irirks6get b) 1:1 a\4:6; arhnybanosztj6kfel?

(2 pont)

(2 pont)

ha 6rtehnez6sitartom6nyaa T.Hattrozzamegaz xt+3'-2 -4 fiiggv6ny6rt6kk6szlet6t, (2 pont) lehetd legb6vebb,val6s sz6mokb6l 6116halmaz?

8. a) H6ny egy-egy6rtelmii fiiggv6nyt lehet k6t 7 elemii halmaz kozdtt l6tesiteni? b) H6ny fiiggv6ny l6tezik k6t 7 elemii halmaz kozott?

(2 pont) 9. Az f els6fokrifiiggv6ny grafikonja olyan m meredeks6giiegyenes,amely illeszkedik a P pontra. Adja meg azf fuggveny hozzirendeldsi szab6ly6t,ha

a ) m: 3 6 sP (0 ;2 ) ; 't

(

|

4\

b't m= a e sP l - - : I l t l, 5 3 ) 3

(3 pont)

8 egys6g.Mekkom6rtanikozepe..E et hosszukosszege hossz6nak 10.K6t szakasz (3 pont) ra hosszris6sfak5t szakasz?

15 pn6nAfRETTsf cr uaTEMATTKAB6L

15 pn6refnurtsfcr

o 11.a) Szerkessze meg azABC h6romszcig q srilypontj6t! ,.1

{ I{

E

b) A srilypontj6b6l kicsinyitse1 ardnyban a h6romsziiget! z

A

(4 pont)

UeTEMATTKAB6L

b) ,,Egy fiirt6l megklrdeztlk, h6ny 6ves.Azt felelte: harmadannyi,mint ap6m. H6t ap6d h6ny 6ves?Erre azt felelte:50 6v mrilva, ha meg6rjiik, ap6m 6veinek negyed6vel lesz id6sebbn6lam.Melyikiik h6ny 6vesmost?" (1812-b6lval6 feladat.)

(12 pont)

+ F{

12.Az I kg-oscukroszacsk6kbet<iltotttcimeg6nek sz6r6sa50 gramm,a 20 dek6ssava-

ny0cukork6s csomagoktcilt6tomegdneksz6r6saI dekagramm.

(3 pont) a) Melyik esetbennagyobb a sz6rhs? b) Hogyan ttintetn6 fel a term6kek csomagol6sdna tolt6tomeg relativ sz6r6s6t%r-ban? i

fI. r6sz

(17pont) fekvciszogfelezlje P-benmetsziazAC oldalt. daraboljaazABC h6romsztiget! a) Igazolja,hogyPB kdt egyenl6sz6ruhilromsz<igre b) Milyen hosszira PC szakasz? ozl irja fel hasonhasonl6 azABP h6romsztigh c) Igazolja,hogyazABC hilromszrig h6majd aszbrakhossz6nak hiinyadosak6nt, l6s6gukaftnyiltaz alapokhossz6nak is! nyadosak6nt pontos6rtek6t! azABC hilromszogsz6raihossz6nak meg d) Hatirozza cos72"6scosl8" pontos6rteket! segits6g6vel e; irja fel a kiszilmitottszakaszhosszak 17. A-b6l.B-ben6gyturistaritvezetpiros,s6rga,ztild 6sk6k. B-b6lC-bek6t turistaritve(17 pont) zetpiros6sz<ild,C-b6lD-bepedigh6romrit viszpiros,s6rga6sk6k. j6rhatjukbe azABCD irtvonalat? a) H6nyf6lek6ppen j6rhatjukbe azABCD ritvonalatrigy,hogy a kiiz6ps6szakaszon b) H6nyf6lek6ppen jelz6sen mint el6tte6sut6na? haladjunk, m6sszinii

II/A 13. Egy m6rtanisorozatelsri8 tagj6tcisszeadtuk.

Ez az osszeg4-szerakkora,mintha e 8 tagb6lcsaka piiratlanindexiitagokatadtukvolnacissze.

(12 pont) a) Mekkorae sorozath6nyadosa? b) Adjon megegyilyen sorozatot, ahola1:2! c) Mennyi az els68 tag <isszege a b) esetben?

14.APQR h6romszog kriz6pvonalainak hossza5 cm,6 cm 6s7 cm. Sz6mitsaki a PQR h6romsz<ig szrigeit?

(12pont) 15. a) ,,Egy ember k<isztintegy t6rsas6got:adj isten mind a harmincatoknak! Felel krjnJlisk az egyik: ha m6g egyszerannyian 6s m6g feleannyianvoln6nk, mint ah6nyan vagyunk, rigy lenn6nk harmincan! H6nyan voltak val6j6ban?" (1577-b6l val6 ieladat.)

a 18.a) Egyszeriisitse

3x2-30x +75

4x2-loo

tortet!

b) Oldja meg a val6s sz6mokhalmaz6na

3xz-30x+75 > -l 4x2-loo

egyenl6tlens6get!

(17pont)

1 5 pn6nAfRETrsfcr naetEMArIKAB6L ld

15.feladatsor I. r6sz 1. Ha egy m6rtani sorozatels6 tagja ar:2,

h6nyadosapedig q : 3, akkor mekkora az

11. Egy telefonh6l6zatban6 krizpont mindegyike legal6bb 3 m6sikkal van kozvetlen (4 pont) kapcsolatban. m6s vagy kapcsolat kozvetleni.il kiiz<itt k6t k<izpont ekkor b6rmely L6tesithet6-e a) kiizpontokon keresztiil? b) Mi a helyzet akkor,ha a,,3 m6sikat" 2-re csokkentji.ik?

(2 pont) 12. A Sonics800 darab.a Motorol6d 700 darabmobiltelefontsz6llitotth6rom i.izletnek: (4 pont) 500 darabot a Dr6tlandnak. 6s 600 darabot Sz6tlandnak.

2. Egy kutyakiSllit6sra 15-enneveztekbe, mindenki egy kuty6val. H6nyf6lek6ppensom6ga harmadikiizlet,B6tland,ak6tf6letelefonb6ltisszesen? a) Mennyitelefontrendelhet (2 pont) rakozhatnakfel egym6smellett, ha a kuty6k 6s gazd6ik felv6ltva 6llnak? eloszt6sim6ddal,amelyb6lkiolvashat6,hogy b) K6szitsentdblilzatotegy lehetsdges melyik gyirt6 melyik iizletnekh6ny darabmobiltelefontsziilithat, hogy el is 6jjel trjltenekmeg vizzel. Este9 6s l1 6ra kozott az risz6medence 3. Egy risz6medenc6t fogyjonaz 6ru6smindenkimegis kapjaa rendeltmennyis6get! n-edik tag 6s mennyi az els6n tag iisszege?

iires. 11 6r6t6l reggel 6 6rhig 6r6nk6nt800 hektoliter vizet engednekegyenletessebess6ggela medenc6be.6 6rakor elz6rj6k a csapokat. Abrilzolja az risz6medenc6ben (2 pont) lev6 viz mennyis6g6taz este9 6s reggel 6 6ra k<izcittiid6szakban!

4.Egy henger t6rfogat6nakhdny szizal|k|val kisebb a bele illeszked6 legnagyobb t6r(2 pont) fogatu kip t6rfogata?

5. Bizonyitsa be, hogy nem l6tezik olyan, a val6s sz6mokon6rtelmezett/ fiiggv6ny, (2 pont) amelyref.x) + J6 - x\ : x teljestil minden .re iR eset6n!

6. Oldja meg a k<ivetkez6egyenletet:

II. r6sz II/A mega h6romszog csricsai: A(-3; l), B(2; -2), C(5;3). Hatdrozza 13.Egyh6romszrig a) oldalainakhossz6t; b) teriilet6t; (12pont) c) magass6gpontj6t!

5.r

L = \1125.

z5

(2 pont)

7. Oldja meg algebraifton a .orf * + l= 0 trigonometrikusegyenletet! \ " 4)

(2 pont)

8.Adja meg annak a linedris fiiggv6nynek ahozzhrendel6siszab6ly6t,amelynek k6pe parhuzamosaz x e -3"r + 5 fiiggvdny k6p6vel 6s 6tmegy a (-l; 2\ ponton! (2 pont) 9. H6nyszoros6ranovekszik a gomb t6rfogata,ha felszine a dupl6j6ra n6?

(3 pont)

10. H6ny kiiltinboz6m6don olvashat6ki a GONDOLKODO sz6 a mell6kelt 6br6b6l,ha (3 pont) a G-t6l indulva csakjobbra vagy lefel6 haladhatunk?

GOND ONDO NDOL KOD

oD6

14. Egy tehets6gesoszt6lybant6volugr6st m6rtek fel, amelynek n6gy legjobb eredm6ny6t irta fel a tan6r. Ezek iltlagbt 6s sz6rds6tis meghat6rozla:4,0 m, illetve 0,122 m.

A megmaradtk6t eredelmaszatol6dott. k6t adata kiolvashatatlans6gig Jegyzet6ben (12 pont) m6ny 4,1 m 6s 3,8 m. Mi volt a miisik k6t m6r6sieredm6ny?

15.Az ABC egyenl6szrffi h6romsz6gAB alapj6nakhossza308cm, szfuail'70 cm hoszszirak.Sz5mitsaki, mekkorat6vols6gravan a h6romsziigsrilypondaa h6romszog pontjait6l; a) oldalfelez6 (12pont) b) oldalait6l!

II/B 3 liter lS%-os6s 3 liter 33%-os s6oldatot.Mennyi, milyen to16.a) Osszekeveriink m6nys6giioldatotkapunk?

2 liter l5%-os6s 3 liter l5%-os s6oldatot.Mennyi, milyen tob) Osszekevertink m6nys6giioldatotkapunk?

(rl rrl b P t

o F

15 pn6sefnnrrsfcr uerruerrxAn6r x o Q Lr

k

FI Irl

tr

U' r-{

c) Altalanositsa az a)-beli eredm6nyt! Mennyi, milyen tiim6nys6gti oldatot kapunk, ha iisszekevertinkk6t azonosmennyis6gti,de kiil<inb<iz6tdm6nys6giioldatot? d) Altal6nositsa a b)-beli eredm6nyt! Mennyi, milyen tiim6nysdgii oldatot kapunk, ha <isszekeveriinkk6t kiiltinb<iz6mennyis6gii, de azonost<im6nys6grioldatot?

(17 pont) 17. a) Egy vend6gl6t6c6g hideg btif6t sz6llitott egy tanfolyami vizsgiira. E vizsganapon minden sona ker0l6 vizsghz6minden bent l6v6 tan6rn6l felelt, s a nap folyam6n mind a di6kok, mind a tan6rok fejenk6nt 3 szendvicsetfogyasztottak. Osszesen 150 felelet hangzottel 6s 105 szendvicsfogyott. H6ny tan6r vizsgintatott h6ny di6kot? (A tan6rok kevesebbenvoltak a di6kokn6l.) b) Ugyanez a vend6gl6t6 c6g 2000 Ft/kg 6s 4000 Ftlkg egys6g6ruk6v6fajt6kb6l 3100 Ft kil6nk6nti 6ru keverdketk6szitett.Ha ehheza kever6khezm6g 5 kg-ot hozziil<evemeka dr6gibbik fajt6b6l, akkor az rij kever6k egys6g6ra3400 Ft/kg lesz. H6ny kilogrammot tartalmazottaz eredeti kever6k az egyesk6v6fajt6kb6l?

(17 pont) 18. Kov6cs rir kertje 6000 m2 tertilehi 6s t6glalapalaki. A szemkdztisarkokat 130 m

hossz0egyenesft kitti <issze.

(17pont) a) H6nym6terhosszria kerit6sa kert k<iriil? b) A kert kiiz6ppontj6b6lh6nyfokossztigbenl6tsz6dnaka kert rovidebbikoldalai? c) Az el5z5kertje, szint6n6000 m2 teriiletfi,de szab6lyosh6romsz<ig alakirvolt, amelybena krit egyenl6t6vols6gravolt a kert sarkait6l.Mennyitkellet gyalogolnia igy a kert b6rmelysark6b6la krithoz?