01 razones y proporciones

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RAZONES Y PROPORCIONES 01. En febrero, un empresario invirtió el doble de lo que invirtió en enero y ganó $1 000 más que en enero. ¿Cuánto fue lo invertido en febrero si la razón de las rentabilidades de febrero y de enero fue de 3/4 y la rentabilidad del bimestre fue de 1/3? Considere que la rentabilidad

es la razón entre la ganancia ( )

obtenida y la inversión ( ) hecha:

Solución De los datos Enero

Febrero

Inversión ganancia rentabilidad

Como “la razón de las rentabilidades de febrero y de enero fue de 3/4”, entonces

÷

÷

Como “la rentabilidad del bimestre fue de 1/3”, entonces ÷

ˆ

02. En una razón geométrica el producto de los antecedentes es 160 y el de los consecuentes es 1 000. Hallar la razón de la suma del primer antecedente con el doble del segundo antecedente y la suma del primer consecuente con el doble del segundo consecuente.

Solución Sea la proporción:

de los datos:

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÷

÷

÷

entonces ÷

ˆ

03. Hallar los cuatro términos de una proporción geométrica, si se sabe que suman 40; la suma de los antecedentes es igual al doble del consecuente mayor y la suma de los cuadrados de los consecuentes es 160 Solución Sea la proporción:

de los datos:

reemplazando (2) en (1) ÷

... (4)

reemplazamos (4) en (3) , de donde

... (5)

(5) en (4) , de donde

... (6)

(5) en (2) ... (7) reemplazando (5) y (6) en la proporción , entonces

...(8)

reemplazamos (8) en (7) , de donde

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reemplazando en (8)

ˆ la proporción es:

04. Si una razón geométrica se le resta 2 unidades a cada uno de sus términos, la nueva razón es 1 a 2. Hallar la razón si la suma de sus términos es 16

05. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta es 144. Si el primero de ellos es 2, hallar el cuarto.

06. Dos razones iguales a 2 forman una proporción geométrica continua. Si la suma de los extremos es 80, hallar los cuatro términos de la proporción

07. En una proporción geométrica discreta, la suma de antecedentes es 21 y la suma de sus consecuentes es 14. Halle la razón geométrica. Si la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es 10, halle los 4 términos de la proporción geométrica

08. La suma y la diferencia de dos números positivos están en razón 5/2, si la suma de los cuadrados de estos números es 58, hallar en qué razón aritmética están estos números

09. Hallar los cuatro términos de una proporción geométrica sabiendo que la suma de los antecedentes es 9, la suma de los medios es 15 y la suma de los cuatro términos es 36

10. En una proporción geométrica discreta, la suma de los antecedentes es 8 y la suma de las raíces cuadradas del producto de cada antecedente con su respectivo consecuente es 12. Hallar la razón de esta proporción geométrica

11. En una proporción geométrica si al primer antecedente se le suma 6 y al segundo antecedente se le suma 14 se forma una nueva proporción cuya razón es 1,5 veces la original. Si el producto de los cuatro términos de la proporción original es 176 400, determinar dicha proporción.

12. En una proporción geométrica continua la suma de los cuatro términos es 49 y la diferencia de los extremos es 7. Hallar la proporción.

13. En una proporción geométrica continua el producto de sus tres términos diferentes es 1 728 y la suma de sus extremos es 26. Hallar el mayor de los extremos.

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14. En una proporción geométrica continua, la suma de los cuadrados de sus 4 términos es 576, hallar la suma de los extremos.

15. En una proporción geométrica continua, la suma de los cuatro términos es 50 y el primer término es mayor que el último en 10 unidades. Determinar los términos de la proporción.

16. En una proporción geométrica continua la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 2 es a 8. Si la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 2 601, hallar la proporción.

17. La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua son respectivamente 100 y 65 536. Hallar la proporción.

18. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 6 es a 2. Si la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 400, hallar la proporción.

19. Si en una razón geométrica se le agrega 20 unidades a cada uno de sus términos, la razón aumenta a sus 3/2. Hallar la razón si la suma de sus términos es 23.

20. En una proporción geométrica continua se cumple que la suma de sus cuatro términos es igual a 125 y que la diferencia de sus extremos es 25. Hallar los extremos.

21. En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 810 000. Si al consecuente mayor se le suma 15, este sería igual al triple del consecuente menor. Hallar la proporción.

22. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 18. Hallar la suma de los productos de cada antecedente con su respectivo consecuente, si la razón es 1/2

23. La razón geométrica de dos números cuya suma es 25, se invierte cuando se agrega 5 al menor y se quita 5 al mayor. Hallar los números.

24. La razón de dos números es 4/5. Si al antecedente se le resta 2 y luego se duplica y al consecuente se le suma 1, la razón se invierte. Hallar la suma de los números.

25. La suma y la diferencia de dos números positivos están en razón 5/2, si la suma de los cuadrados de estos números es 58, hallar en qué razón aritmética están estos números.

26. En una proporción geométrica discreta, la suma de los antecedentes es 8 y la suma de las raíces cuadradas del producto de cada antecedente por su respectivo consecuente es 12. Hallar la razón de esta proporción geométrica.

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27. En una proporción geométrica discreta se sabe que: la suma de los términos de la primera razón es 15, la suma de los términos de la segunda razón es 25 y la suma de los consecuentes es 16. Hallar todos los términos.

28. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 2 es a 3. Si la suma de los cuadrados de los cuatro términos de la proporción es 169, hallar la proporción.

29. Hallar los cuatro términos de una proporción geométrica sabiendo que la suma de los extremos es 16, la suma de los medios es 14 y la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 260.

30. Si en una razón geométrica el antecedente se duplica y el consecuente aumenta en 24, la razón aumenta en 1/8; pero si al antecedente aumenta en 6 y el consecuente se duplica, la razón disminuye en 1/8. Hallar la razón original.

31. En una proporción geométrica continua la suma de los tres términos diferentes es 76 y el producto de todos sus términos es 331 776. Encontrar la proporción.

32. La razón geométrica de dos números cuya suma es 49, se invierte cuando se agrega 16 al menor y se quita 23 al mayor. Hallar los números

33. En una proporción geométrica discreta su razón es 4/7. Si la suma de los antecedentes es 32, hallar la suma de los cuatro términos de la proporción.

34. En una proporción geométrica continua el producto de los cuatro términos es 1 296. Si el primer término es tercia proporcional entre 72 y 12, hallar el cuarto término de la proporción.

35. En una proporción geométrica discreta su razón es 2/3. Si la diferencia de los consecuentes es 9 y la suma de los antecedentes es 22. Hallar la suma de los cuatro términos de la proporción

36. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos con uno de los medios es 19 y la suma de los recíprocos de los extremos con el recíproco del medio es 19/36, hallar la proporción.

37. En una proporción geométrica continua, la suma de los cuadrados de sus términos es 576, hallar la suma de los extremos.

38. En una proporción geométrica discreta, demostrar la siguiente propiedad "La suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente”.

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39. En una proporción geométrica discreta, la suma de antecedentes es 21 y la suma de consecuentes es 14.

Halla la razón geométrica. Si la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es 10. Halle los 4 términos de la proporción geométrica.

40. Si:

, hallar

41. Si:

, demostrar que:

42. Si

es media proporcional entre

43. Evaluar:

y , demostrar que:

, si se cumple que:

•

es media proporcional de

y .

•

es media proporcional de

y

.

•

44. Si:

hallar

45. Dada la proporción discreta

46. Dada la proporción

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demostrar que:

, demostrar que:

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47. Dada la proporción geométrica:

, demostrar que:

a)

b)

48. Dada la proporción geométrica

demostrar que

49. En una proporción continua de extremos

y , y de media proporcional

.

Demostrar que:

50. Dada la proporción:

51.

, demostrar que:

es media proporcional entre

y

. el primer antecedente de la proporción es al segundo consecuente

como 4 es a 1.

Hallar la proporción si además se sabe que:

52. En una proporción geométrica discreta

se cumple:

v

Calcular:

53. Si:

hallar

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55. En una proporción geométrica discreta, calcular la razón entre la suma de las raíces cuadradas de los productos de cada antecedente con su respectivo consecuente y la raíz cuadrada de la suma de antecedentes, sabiendo que la raíz cuadrada de la suma de consecuentes es 4.

54. Dada la siguiente proporción:

, se cumple que:

Calcular:

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(2,5 puntos)

(2 puntos)

8

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