LA RECTA
01. Se tiene un cuadrilátero de vértices
,
,
y
. Hallar las ecuaciones de las diagonales del
cuadrilátero.
02. Sea un triángulo rectángulo en el espacio, de vértices recta
,
y además
,
recto en
y
. Si la hipotenusa está sobre la , encuentre el vértice A. (3 puntos)
PARÁBOLA
01. Las relaciones de oferta y demanda de un bien vienen dadas por
donde el precio está en soles y a)
en cientos de unidades. Encuentre
,
y
si se sabe que
es el punto de equilibrio.
b) Existe un exceso de oferta de 200 unidades cuando el precio es de 10 soles. Grafique lo obtenido
Resolución Como el punto de equilibrio es
, entonces
reemplazando tenemos
entonces
y
... (1)
Como el exceso de oferta es de 200 unidades cuando el precio es de 10 soles, entonces
en la oferta, cuando
en la demanda, cuando
tenemos
tenemos
, entonces
, entonces
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reemplazando tenemos
de donde
resolviendo el sistema (1) y (2)
ˆ
;
entonces
Grafiquemos
02. Al producir cierto bien se ha determinado que el costo fijo es de 1 000 soles y el costo unitario de 4 soles. Se sabe que la función de la demanda
es lineal y que un incremento en el precio de un sol, la
cantidad demandada disminuye en 8 unidades. Se sabe que la máxima utilidad de la empresa se obtiene al producir y vender 400 unidades. a) Encuentre la máxima utilidad que se obtiene produciendo este bien. b) Esboce la gráfica de la función costo, ingreso e utilidad.
Resolución Costo fijo (
):
Costo unitario (
):
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Cantidad ( ) ÷
Costo total ( ) : En la demanda
es lineal
entonces
Como “un incremento en el precio de un sol, la cantidad demandada disminuye en 8 unidades” entonces,
÷
entonces
Ingreso (I) :
entonces
Utilidad (U) :
entonces
Completando cuadrados
Por lo que será máximo cuando Se sabe que la máxima utilidad de la empresa se obtiene al producir y vender 400 unidades entonces
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v
;
a) Máxima utilidad es cuando q = 400 entonces
ˆ
b) ÷
03. Trazar las gráficas que correspondan a cada una de las siguientes ecuaciones i) ii) iii) iv) v) vi)
04. Hacer un esbozo de las regiones en el plano cartesiano limitada por las siguientes curvas que en cada caso se señala (señale los puntos de intersección de las curvas).
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a)
;
b)
;
c)
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;
d)
;
05. La utilidad
obtenida por fabricar y vender
unidades de un producto es
soles, con a) Encuentre
, si se sabe que por 2 unidades que se fabrica y vende, el fabricante tiene una pérdida de
240 soles. b) Encuentre el mayor valor de c) Determine
que puede tomar
para el cual se tiene que
.
. Interprete este resultado (3,5 puntos)
CIRCUNFERENCIA
01. La oferta y demanda de un bien son
respectivamente. Encuentre
y
si sabe que
a) El bien se deja de ofertar al precio de 1 sol. b) Cuando el precio es de 3 soles, hay un exceso de demanda de 2 unidades. Grafique las ecuaciones de la oferta y demanda en un solo plano. (4 puntos)
Resolución Como el bien se deja de ofertar al precio de 1 sol, entonces en la oferta, si entonces,
, entonces
, entonces
Cuando el precio es de 3 soles, hay un exceso de demanda de 2 unidades, entonces
en la demanda, cuando
en la oferta, cuando
, tenemos
, tenemos
, entonces
, entonces
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reemplazando tenemos
ˆ
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, entonces
v
Grafiquemos
02. Halle una ecuación que describa a la circunferencia de centro
y contenga al punto
.
Resolución
La distancia de
a
es el radio de la circunferencia
÷ entonces la ecuación de la circunferencia es: ˆ
03. Sean las rectas
Encuentre el centro y radio de la circunferencia que es tangente a ambas rectas, si se sabe además que uno de los puntos de tangencia es
. Interprete geométricamente porqué hay dos soluciones.
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Resolución ,
,
y
como la circunferencia es tangente a recta bisectriz (
en el plano cartesiano
y
, entonces el centro de la circunferencia de encuentra en la
) de dichas recta y pasa por el punto de intersección entre ellas
Cálculo de la pendiente de la bisectriz
Si
como pasa por el punto
, entonces la ecuación de la recta bisectriz es:
entonces
además el centro de la circunferencia pasa por la recta (
) que es perpendicular a la recta
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en el punto
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La pendiente de
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es
como pasa por el punto
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, entonces la pendiente de la perpendicular a , entonces la ecuación de la recta
es
es
entonces
El centro de la circunferencia (O) se encuentra en la intersección de
y
Entonces centro de la circunferencia es El radio es
La ecuación de circunferencia es ˆ
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Si
como pasa por el punto
, entonces la ecuaciรณn de la recta bisectriz es:
entonces
El centro de la circunferencia (
) se encuentra en la intersecciรณn de
y
entonces centro de la circunferencia es el radio es
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La ecuación de circunferencia es ˆ
04. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia
y la recta
Hacer un esbozo gráfico de su resultado
05. Hallar las ecuación de la circunferencia C que tiene por centro al punto
y pasa por el punto
.
¿En qué punto(s) intersecta C al eje Y?
06. La circunferencia los puntos de tangencia es
es tangente a las rectas
y
. Uno de
, halle el centro y radio de la circunferencia. (3 puntos)
HIPÉRBOLA 01. Si " es un parámetro, analizar en cada caso, el número de intersecciones de la hipérbola
con la recta
i) ii)
GRÁFICAS 01. Grafique separadamente las gráficas correspondientes a
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;
;
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